Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 221Soru →

aa ve bb birer gerçel sayıdır.

−a2-a^2 ifadesi negatif bir sayıya, (−b)3(-b)^3 ifadesi ise pozitif bir sayıya eşittir.

Buna göre,

I. aa sayısı sıfırdan farklıdır.
II. bb sayısı negatif bir sayıdır.
III. a⋅ba \cdot b çarpımı sıfır (nötr) olabilir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Birinci öncülde, −a2<0  ⟹  a2>0  ⟹  a≠0-a^2 < 0 \implies a^2 > 0 \implies a \neq 0 bulunur. Bu nedenle birinci öncül kesinlikle doğrudur. İkinci öncülde, (−b)3>0  ⟹  −b>0  ⟹  b<0(-b)^3 > 0 \implies -b > 0 \implies b < 0 bulunur. Bu nedenle ikinci öncül kesinlikle doğrudur. Üçüncü öncülde, sıfırdan farklı iki sayının çarpımı sıfıra eşit olamayacağından çarpım sıfır (nötr) olamaz. Dolayısıyla doğru yanıt 'I ve II' ifadesini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
−a2-a^2 ifadesinin işaretini analiz etmek.
a≠0a \neq 0 elde edilir.
−a2-a^2 ifadesi negatif bir sayıya eşit olduğundan −a2<0-a^2 < 0 olmalıdır. Buradan a2>0a^2 > 0 bulunur. Bir gerçel sayının karesi pozitifse, o sayı sıfır olamaz. Dolayısıyla I. öncül kesinlikle doğrudur.
2
(−b)3(-b)^3 ifadesinin işaretini analiz etmek.
b<0b < 0 elde edilir.
(−b)3(-b)^3 ifadesi pozitif bir sayıya eşit olduğundan (−b)3>0(-b)^3 > 0 olmalıdır. Tek dereceli kuvvetler tabanın işaretini koruduğundan −b>0-b > 0 ve buradan b<0b < 0 bulunur. Dolayısıyla II. öncül kesinlikle doğrudur.
3
a⋅ba \cdot b çarpımının sıfır (nötr) olma durumunu incelemek.
a⋅b≠0a \cdot b \neq 0 elde edilir.
a≠0a \neq 0 ve b<0b < 0 (yani b≠0b \neq 0) olduğundan, bu iki sayının çarpımı sıfıra eşit olamaz. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) olduğundan, çarpım nötr olamaz. Dolayısıyla III. öncül kesinlikle doğru değildir.

Anahtar Kavram

Negatif sayıların tek ve çift kuvvetlerinin işaretleri ve sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Soru 222Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, birler basamağındaki rakamın 7 katına eşittir.

Buna göre, A+BA + B toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Rakamların toplamı olan 8'dir.
İki basamaklı ABAB sayısı 10A+B10A + B şeklinde çözümlenip birler basamağındaki BB rakamının 7 katına eşitlendiğinde 10A+B=7B10A + B = 7B denklemi kurulur. Buradan 10A=6B10A = 6B ve sadeleştirilerek 5A=3B5A = 3B elde edilir. AA ve BB birer rakam ve A≠0A \neq 0 olduğundan bu eşitliği sağlayan tek rakam çifti A=3A = 3 ve B=5B = 5'tir. Rakamların toplamı 3+5=83 + 5 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı ABAB sayısı çözümlenerek basamak değerleri cinsinden yazılır.
AB=10A+BAB = 10A + B
Basamak analizi yapabilmek ve denklemi çözebilmek için sayıyı çözümlemek gerekir.
2
Soruda verilen 'sayının birler basamağındaki rakamın 7 katına eşit olması' koşulu denklem haline getirilir ve sadeleştirilir.
10A+B=7B⇒10A=6B⇒5A=3B10A + B = 7B \Rightarrow 10A = 6B \Rightarrow 5A = 3B
Bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi en basit tam sayı katsayılarıyla ifade etmek için.
3
Elde edilen 5A=3B5A = 3B denkleminde AA ve BB harflerinin sıfırdan farklı birer rakam olması kısıtlaması kullanılarak değerleri belirlenir.
A=3A = 3 ve B=5B = 5
ABAB iki basamaklı bir sayı olduğundan onlar basamağındaki AA sıfır olamaz. 5 ve 3 aralarında asal olduğundan AA sayısı 3'ün, BB sayısı 5'in katı olmalıdır. Rakam olma şartını sadece bu değerler sağlar.
4
Bulunan rakamlar toplanır.
A+B=3+5=8A + B = 3 + 5 = 8
Soruda bizden istenen rakamlar toplamı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 223Soru →

Bir kitabın sayfaları 1'den başlanarak ardışık doğal sayılarla numaralandırılmıştır. Bu kitaptan ardışık birkaç yaprak yırtılmıştır. Yırtılan yapraklardaki sayfa numaralarının toplamı 196, geriye kalan sayfaların numaralarının toplamı ise 3044'tür.

Buna göre, yırtılan sayfalardan numarası en büyük olan sayfa ile yırtılan yaprak sayısının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Yırtılan sayfalardan numarası en büyük olan sayfa 28, yırtılan yaprak sayısı ise 4'tür. Bu iki değerin toplamı 32'dir.
Kitabın toplam sayfa sayısı 80 olarak hesaplanır. Yırtılan xx yaprak için sayfa numaralarının toplamı x(4m+2x−3)=196x(4m + 2x - 3) = 196 denklemini verir. Bu denklemin pozitif tam sayılardaki tek çözümü x=4x = 4 ve m=11m = 11 şeklindedir. Dolayısıyla yırtılan sayfalar 21 ile 28 arasındadır. En büyük yırtılan sayfa numarası 28, yırtılan yaprak sayısı 4 olup toplamları 32'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kitabın toplam sayfa sayısının bulunması
Kitabın başlangıçtaki tüm sayfalarının numaraları toplamı Stoplam=3044+196=3240S_{toplam} = 3044 + 196 = 3240 olur. NN sayfa sayısı olmak üzere N(N+1)2=3240  ⟹  N(N+1)=6480\frac{N(N+1)}{2} = 3240 \implies N(N+1) = 6480 denkleminden N=80N = 80 bulunur.
Yırtılan sayfalar ile kalan sayfaların toplamı kitabın orijinal sayfa sayısının toplamını verir.
2
Yaprak yırtılma kuralının modellenmesi
Bir kitaptan yaprak yırtıldığında, her yaprakta önlü arkalı iki sayfa bulunur ve bu sayfalar daima sırasıyla bir tek ve bir çift sayıdan oluşur (2m−12m-1 ve 2m2m). Ardışık xx tane yaprak yırtıldığında yırtılan sayfa sayısı 2x2x olur ve bu sayfalar 2m−12m-1 ile başlar, 2m+2x−22m + 2x - 2 ile biter.
Kitap yapraklarının sayfa numaralandırma yapısı ardışık sayıların başlangıç karakterini belirler.
3
Yırtılan sayfa numaraları toplamı denkleminin kurulması ve çözülmesi
Yırtılan sayfaların toplamı: x(4m+2x−3)=196x(4m + 2x - 3) = 196 olur. Burada xx ve mm pozitif tam sayılardır. 196'nın çarpanları incelendiğinde sadece x=4x = 4 değeri için 4m+5=49  ⟹  4m=44  ⟹  m=114m + 5 = 49 \implies 4m = 44 \implies m = 11 tam sayı çözümü elde edilir.
Yırtılan yaprakların sayfa numaraları toplamı verilmiştir, bu bağıntıdan tekil tam sayı çözümü elde edilir.
4
İstenen toplamın hesaplanması
Yırtılan yaprak sayısı x=4x = 4'tür. Yırtılan sayfalar m=11m=11 için 21. sayfadan başlayıp 28. sayfada biter. En büyük sayfa numarası 28'dir. İstenen toplam: 28+4=3228 + 4 = 32 olarak hesaplanır.
En büyük sayfa numarası ile yırtılan yaprak sayısının toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve kitap sayfası-yaprak ilişkisinin modellenmesi

Alternatif Yöntem

Yırtılan sayfaların aritmetik ortalaması 1962x=98x\frac{196}{2x} = \frac{98}{x} olur. Ardışık 2x2x tane tam sayının ortalaması bir buçuklu (yani .5.5 ile biten) bir sayı olmalıdır. Dolayısıyla xx sayısı 9898'i bölen ama ortalamayı buçuklu yapan bir sayı olmalıdır. Buradan x=4x = 4 için ortalama 24.524.5 olur. Ortalaması 24.524.5 olan 8 ardışık sayı 21,22,23,24,25,26,27,2821, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28'dir. En büyük sayfa 28, yaprak sayısı 4 olduğundan toplamları 28+4=3228 + 4 = 32 bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 224Soru →

Sayı doğrusu üzerinde −3-3 ile 30\sqrt{30} sayıları arasında yer alan tam sayılardan kaç tanesi aynı zamanda bir doğal sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen aralıktaki tam sayılardan aynı zamanda doğal sayı olanların adeti 6'dır.
−3-3 ile 30\sqrt{30} sayıları arasındaki tam sayılar −2,−1,0,1,2,3,4,5-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 değerleridir. Doğal sayılar kümesi negatif olmayan tam sayıları (yani 0 ve pozitif tam sayıları) içerdiğinden bu aralıktaki doğal sayılar 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere 6 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök dışı değer tespiti
5<30<65 < \sqrt{30} < 6 olarak bulunur.
52=255^2 = 25 ve 62=366^2 = 36 olduğundan, 25<30<3625 < 30 < 36 eşitsizliğinden yararlanarak 30\sqrt{30} değerinin 5 ile 6 arasında olduğu tespit edilir.
2
Aralıktaki tam sayıların listelenmesi
Aralıktaki tam sayılar: −2,−1,0,1,2,3,4,5-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
−3-3 ile 30\sqrt{30} sayıları arasındaki (sınırlar dahil değil) tam sayılar belirlenir.
3
Doğal sayıların seçilmesi ve sayılması
Doğal sayılar: 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5 olmak üzere toplam 6 adettir.
Doğal sayılar kümesi 0'dan başlayıp sonsuza giden tam sayılardan oluşur. Bu nedenle negatif olan −2-2 ve −1-1 sayıları elenir.

Anahtar Kavram

Tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin elemanlarının ayırt edilmesi, özellikle sıfırın bir doğal sayı olması
Soru 225Soru →
Dört basamaklı ABCDABCD ve BCDABCDA doğal sayıları için,
ABCD−BCDA=3267ABCD - BCDA = 3267
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan ABCDABCD sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Koşulları sağlayan ABCDABCD sayısı 51925192 olup, rakamları toplamı 17'dir.
Çözümleme sonucunda ulaşılan 111A−BCD=363111A - BCD = 363 denkleminde, BCDABCDA sayısının dört basamaklı olması gereğiyle B≠0B \neq 0 ve ABCDABCD sayısının rakamlarının farklı olması kısıtları uygulandığında, koşula uygun tek sayının ABCD=5192ABCD = 5192 olduğu görülür. Bu sayının rakamları toplamı 17 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Dört basamaklı ABCDABCD ve BCDABCDA sayılarının basamak çözümlemesini yapın.
ABCD=1000A+100B+10C+DABCD = 1000A + 100B + 10C + D ve BCDA=1000B+100C+10D+ABCDA = 1000B + 100C + 10D + A denklemleri elde edilir.
Sayılar arasındaki çıkarma işlemini gerçekleştirebilmek ve basamaklar arasındaki cebirsel ilişkiyi kurmak amacıyla çözümleme yapılır.
2
Verilen ABCD−BCDA=3267ABCD - BCDA = 3267 eşitliğinde çözümleme sonuçlarını yerine yazarak denklemi sadeleştirin.
999A−900B−90C−9D=3267999A - 900B - 90C - 9D = 3267 olur. Her iki tarafı 9 ile böldüğümüzde 111A−(100B+10C+D)=363111A - (100B + 10C + D) = 363 yani 111A−BCD=363111A - BCD = 363 elde edilir.
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak daha basit bir katsayı ilişkisi kurmak ve BCDBCD üç basamaklı sayısını tek bir bütün olarak incelemek çözümü kolaylaştırır.
3
BCD=111A−363BCD = 111A - 363 eşitliğinde AA rakamının alabileceği değerleri, rakamların farklı olması ve B≠0B \neq 0 koşullarına göre test edin.
A≤3A \le 3 için BCDBCD negatif olur. A=4A=4 için BCD=081BCD=081 olur fakat BCDABCDA dört basamaklı olduğundan B≠0B \neq 0 olmalıdır. A=5A=5 için BCD=192BCD=192 olur ve ABCD=5192ABCD=5192 elde edilir (tüm rakamlar farklıdır). A≥6A \ge 6 değerleri için BCD=111A−363=100(A−3)+10(A−6)+(A−3)BCD = 111A - 363 = 100(A-3) + 10(A-6) + (A-3) formundan ötürü her zaman B=D=A−3B=D=A-3 eşitliği oluşur ve rakamlar farklı olamaz.
BCDABCDA sayısının en büyük basamağındaki rakam olan BB sıfır olamayacağı için A=4A=4 elenir. Rakamların farklı olması istendiği için B=DB=D eşitliğine yol açan A≥6A \ge 6 durumları elenir. Bu sayede tek geçerli çözüm belirlenir.
4
Koşulları sağlayan ABCD=5192ABCD = 5192 sayısının rakamları toplamını hesaplayın.
5+1+9+2=175 + 1 + 9 + 2 = 17 elde edilir.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için bulunan rakamlar toplanır.

Anahtar Kavram

Çok basamaklı doğal sayıların basamak analizi yöntemiyle çözümlenmesi, basamak değeri kısıtlamaları (baş basamağın sıfır olamaması) ve basamaklar arası cebirsel denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 226Soru →
aa bir doğal sayı olmak üzere,
a!+(a−1)!(a−1)!=10\frac{a! + (a-1)!}{(a-1)!} = 10
olduğuna göre, aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İşlemler sadeleştirildiğinde a=9a = 9 olarak bulunur.
Verilen denklemde pay kısmındaki a!a! terimi a⋅(a−1)!a \cdot (a-1)! şeklinde açılıp ortak paranteze alındığında, ifadenin sol tarafı a+1a+1 olarak sadeleşir. Buradan a+1=10a+1=10 eşitliği elde edilir ve a=9a=9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki a!a! ifadesini (a−1)!(a-1)! cinsinden açın.
a!=a⋅(a−1)!a! = a \cdot (a-1)!
Ortak paranteze alabilmek için faktöriyelleri aynı cinsten yazmak gerekir.
2
Payı (a−1)!(a-1)! ortak parantezine alın.
a⋅(a−1)!+(a−1)!=(a−1)!⋅(a+1)a \cdot (a-1)! + (a-1)! = (a-1)! \cdot (a+1)
Ortak çarpan parantezine alma kuralı uygulanır.
3
Pay ve paydadaki (a−1)!(a-1)! terimlerini sadeleştirin.
(a−1)!⋅(a+1)(a−1)!=a+1\frac{(a-1)! \cdot (a+1)}{(a-1)!} = a + 1
Aynı olan faktöriyel çarpanları sadeleşir.
4
a+1=10a+1 = 10 denklemini çözün.
a=9a = 9
Eşitliğin her iki tarafından 1 çıkarılır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerde büyük olan faktöriyeli küçük olan cinsinden yazarak sadeleştirme yapılması.
Tahmini Süre:45s
Soru 227Soru →
xx, yy ve zz tam sayıları için
x⋅zx \cdot z
ifadesinin bir tek sayıya,
x⋅y+zx \cdot y + z
ifadesinin ise bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (x−y)⋅z(x - y) \cdot z

Cevap

Parantez içinde x eksi y çarpı z ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Parantez içinde x eksi y çarpı z ifadesi her zaman çift bir sayıdır. Çünkü x ve y tek sayılar olduğundan farkları olan x - y her zaman çift bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile z tam sayısının çarpımı da daima çift bir sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
x ve z tam sayılarının çarpımının tek sayı olmasından yola çıkarak bu sayıların tekliğini veya çiftliğini belirleyin.
x ve z tam sayılarının çarpımı tek sayı olduğundan, hem x hem de z tek sayı olmak zorundadır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.
2
x çarpı y artı z ifadesinin çift sayı olmasından yola çıkarak y tam sayısının tekliğini veya çiftliğini belirleyin.
x çarpı y artı z ifadesi çift sayı ve z tek sayı olduğundan, x çarpı y ifadesi tek sayı olmalıdır. x tek sayı olduğundan, y de tek sayı olmak zorundadır.
Bir tek sayı ile bir çift sayının toplamı tek sayı olacağından, sonucun çift olabilmesi için z (tek) ile toplanan x çarpı y ifadesinin tek sayı olması gerekir. İki sayının çarpımı tek ise ikisinin de tek olması gerekir.
3
Elde edilen sonuçlara göre x, y ve z sayılarının tamamının tek sayı olduğunu kullanarak seçeneklerdeki ifadeleri inceleyin.
x ve y tek sayı olduğundan farkları (x - y) her zaman çift bir tam sayıdır. Çift bir tam sayı ile z tam sayısının çarpımı olan (x - y) çarpı z ifadesi her zaman çift bir sayıdır. Diğer seçeneklerdeki üslü ifadeler ise negatif üs durumunda tam sayı belirtmeyebileceği için her zaman çift sayı olamazlar.
Çift bir sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı daima çift sayıdır. Ancak negatif tam sayı üsleri rasyonel sonuçlar doğurabileceğinden teklik-çiftlik kavramı kapsamında incelenemez.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayıların özellikleri ile tam sayılarda işlemler
Soru 228Soru →
aa bir negatif tam sayı, bb ise işareti olmayan (nötr) bir tam sayıdır.
cc bir tam sayı olmak üzere,
ac<0<b−ca^c < 0 < b - c
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri daima negatif bir gerçel sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ab−ca^{b-c}

Cevap

ab−ca^{b-c} ifadesinin değeri daima negatif bir gerçel sayıdır.
ab−ca^{b-c} ifadesinde b=0b = 0 yazıldığında ifade a−ca^{-c} şekline dönüşür. cc negatif tek tam sayı olduğundan −c-c pozitif tek tam sayıdır. Negatif bir sayının pozitif tek kuvveti de daima negatif bir değer alacağından, bu ifadenin değeri kesinlikle negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Nötr tam sayı tanımından yararlanarak bb değişkeninin değerini belirleme
b=0b = 0
Gerçel sayılar kümesinde işareti olmayan (nötr) tek tam sayı sıfırdır.
2
0<b−c0 < b - c eşitsizliğinde b=0b = 0 değerini yerine yazarak cc sayısının işaretini bulma
c<0c < 0
0<0−c  ⟹  0<−c  ⟹  c<00 < 0 - c \implies 0 < -c \implies c < 0 elde edilir. Bu durumda cc bir negatif tam sayıdır.
3
ac<0a^c < 0 eşitsizliğini kullanarak cc sayısının tekliğini/çiftliğini analiz etme
cc negatif tek tam sayıdır.
aa negatif bir tam sayıdır. Negatif bir sayının tam sayı kuvvetinin negatif olabilmesi için üssün tek bir tam sayı olması gerekir. c<0c < 0 olduğundan cc negatif tek tam sayıdır.
4
ab−ca^{b-c} ifadesinin işaretini belirleme
ab−c=a−c<0a^{b-c} = a^{-c} < 0
b=0b = 0 yazıldığında ifade a−ca^{-c} olur. cc negatif tek sayı olduğundan −c-c pozitif tek sayıdır. Negatif bir sayı olan aa'nın pozitif tek kuvveti daima negatif bir gerçel sayıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Kuvvetleri ve İşaret Kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 229Soru →

Beş basamaklı bir doğal sayının soldan sağa doğru ardışık her iki basamağındaki rakamların sırasıyla oluşturduğu iki basamaklı sayılara o sayının "ardışık ikilileri" denir. Örneğin; 4375243752 sayısının ardışık ikilileri 4343, 3737, 7575 ve 5252 sayılarıdır.

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan beş basamaklı ABCDEABCDE doğal sayısının tüm ardışık ikililerinin toplamı, bu sayının rakamları toplamının 8 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en küçük ABCDEABCDE sayısının binler basamağındaki rakam kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Koşulu sağlayan en küçük beş basamaklı sayı olan 12365 sayısının binler basamağındaki rakam 2'dir.
Koşulu sağlayan en küçük beş basamaklı sayı olan 12365 sayısının binler basamağındaki rakam 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık ikili sayıların çözümlenmesi ve toplanması
Toplam =10A+11B+11C+11D+E= 10A + 11B + 11C + 11D + E
Ardışık ikililer 10A+B10A+B, 10B+C10B+C, 10C+D10C+D ve 10D+E10D+E olup toplandıklarında bu ifadeyi verir.
2
Verilen koşula göre denklemin kurulması ve sadeleştirilmesi
2A+3(B+C+D)=7E2A + 3(B+C+D) = 7E
Ardışık ikililerin toplamı rakamlar toplamının 8 katına eşitlenir: 10A+11B+11C+11D+E=8(A+B+C+D+E)10A + 11B + 11C + 11D + E = 8(A+B+C+D+E).
3
En küçük ABCDEABCDE sayısı için AA değerinin belirlenmesi
A=1A = 1 ve 2+3(B+C+D)=7E2 + 3(B+C+D) = 7E
Sayının en küçük olması için en büyük basamaktaki rakam olan AA en küçük pozitif değer olan 1 seçilmelidir.
4
Kalan rakamların değerlerinin belirlenmesi
E=5E = 5, B=2B = 2, C=3C = 3, D=6D = 6
2+3(B+C+D)=7E2 + 3(B+C+D) = 7E denkleminde E=5E=5 için B+C+D=11B+C+D=11 olur. Rakamların farklı ve sıfırdan farklı olması koşuluyla, sayıyı en küçük yapmak için B=2,C=3,D=6B=2, C=3, D=6 seçilir.
5
Sayının oluşturulması ve binler basamağının belirlenmesi
Sayı: 1236512365, Binler basamağı: 2
Oluşan 1236512365 sayısının soldan ikinci basamağı olan binler basamağındaki rakam 2'dir.

Anahtar Kavram

Basamak analizi, çözümleme ve sınırlayıcı şartlar altında değer verme
Soru 230Soru →

a=−3a = -3 ve b=0b = 0 olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri pozitif bir sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−a)3(-a)^3

Cevap

(−a)3(-a)^3 ifadesi pozitif bir sayıdır.
(−a)3(-a)^3 ifadesinde aa yerine −3-3 yazıldığında, parantez içi −(−3)=3-(-3) = 3 olur. 33 sayısının küpü alındığında ise sonuç 33=273^3 = 27 olarak pozitif bir sayı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen değişkenlerin işaretlerini ve değerlerini belirleyin.
a=−3a = -3 (negatif bir sayı) ve b=0b = 0 (işaretsiz, nötr bir sayı) olarak verilmiştir.
İfadelerin sayısal değerlerini hesaplamak için bu değerleri yerlerine yazmamız gerekir.
2
(−a)3(-a)^3 ifadesini a=−3a = -3 değeri için hesaplayın.
(−(−3))3=33=27(-(-3))^3 = 3^3 = 27 elde edilir.
Parantez içindeki negatif işaretlerin çarpımı pozitif olur ve pozitif bir sayının tek/çift tüm kuvvetleri pozitiftir.
3
Diğer seçeneklerdeki ifadelerin değerlerini hesaplayarak pozitif olmadıklarını teyit edin.
−a2=−9-a^2 = -9, a3=−27a^3 = -27, a2⋅b=0a^2 \cdot b = 0 (nötr) ve a−b=−3a - b = -3 değerleri elde edilir.
Sıfırın işaretsiz (nötr) olduğunu ve parantezsiz negatif kuvvetlerin işaret kurallarını doğru uygulamak çeldiricileri elememizi sağlar.

Anahtar Kavram

Negatif sayıların parantezli kuvvetleri ve sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olma özelliği.
Soru 231Soru →
xx, yy ve zz birer tam sayı olmak üzere,
(x−y)⋅(y−z)(x - y) \cdot (y - z)
ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. x+zx + z
II. x⋅z+yx \cdot z + y
III. x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z

ifadelerinden hangileri her zaman çift say��dır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen çarpım ifadesinin tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Bu durumda x−yx-y ve y−zy-z ifadelerinin ikisi de tek sayıdır. İki tam sayının farkının tek sayı olması, bu sayıların zıt pariteye (biri tek, diğeri çift) sahip olduğunu gösterir. Dolayısıyla, yy çift sayı ise xx ve zz tek sayı; yy tek sayı ise xx ve zz çift sayıdır. Her iki durumda da xx ve zz aynı pariteye sahiptir.

I. öncüldeki x+zx + z ifadesinde, aynı paritedeki iki sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından bu ifade her zaman çift sayıdır.

III. öncüldeki x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z ifadesi y(x+z)y(x + z) şeklinde ortak çarpan parantezine alınabilir. x+zx+z her zaman çift sayı olduğundan, bu toplamın yy tam sayısı ile çarpımı da her zaman çift sayı olur.

Bu nedenlerle doğru yanıt 'I ve III' seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpım ifadesinin teklik-çiftlik durumunu analiz etmek
x−yx - y ve y−zy - z ifadelerinin ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
Değişkenlerin parite ilişkisini belirlemek
xx ve zz aynı pariteye (ikisi de çift veya ikisi de tek) sahipken, yy bunlardan farklı pariteye sahiptir.
x−yx - y tek ise xx ve yy farklı paritededir. y−zy - z tek ise yy ve zz farklı paritededir. Dolayısıyla xx ve zz aynı paritede olmalıdır.
3
Öncülleri tek tek değerlendirmek
I. x+zx + z her zaman çift sayıdır. II. x⋅z+yx \cdot z + y her zaman tek sayıdır. III. x⋅y+y⋅zx \cdot y + y \cdot z her zaman çift sayıdır.
Aynı paritedeki iki sayının toplamı çifttir. Birinci öncül her zaman çift olur. İkinci öncülde her iki durumda da sonuç tek olur. Üçüncü öncül y(x+z)y(x + z) olarak yazıldığında, x+zx + z çift olduğundan sonuç her zaman çift olur.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 232Soru →

Q\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesini ve R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesini göstermek üzere, AA ve BB kümeleri

A={x∈Q∣x2−2x∈Z ve x∈[−3,3]}A = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 - 2x \in \mathbb{Z} \text{ ve } x \in [-3, 3]\}
B={x∈R∣x2−2x∈Z ve x∈[−3,3]}B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 2x \in \mathbb{Z} \text{ ve } x \in [-3, 3]\}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, BB kümesinin eleman sayısı AA kümesinin eleman sayısından kaç fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

B kümesinin eleman sayısı A kümesinin eleman sayısından 14 fazladır.
A kümesinin elemanları rasyonel sayı olarak tanımlanmıştır. Bir xx rasyonel sayısı için x2−2xx^2 - 2x ifadesinin tam sayı olması ancak xx değerinin bir tam sayı olması durumunda gerçekleşebilir. [−3,3][-3, 3] kapalı aralığındaki tam sayılar 7 tanedir, bu nedenle A kümesinin eleman sayısı 7 olur. B kümesinde ise xx değerleri gerçel sayıdır. f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x parabolü [−3,3][-3, 3] aralığında [−1,15][-1, 15] arasındaki tüm tam sayı değerlerini alır. y=ky = k (k∈Zk \in \mathbb{Z}) doğrularının bu aralıkta parabolü kestiği noktalar incelendiğinde; tepe noktasında (y=−1y = -1) 1 nokta, y∈{0,1,2,3}y \in \{0, 1, 2, 3\} için 2'şer noktadan toplam 8 nokta, y∈{4,5,...,15}y \in \{4, 5, ..., 15\} için ise sadece sol kolda 1'er noktadan toplam 12 nokta kesişim oluşturur. Böylece B kümesinin eleman sayısı 1+8+12=211 + 8 + 12 = 21 bulunur. İki kümenin eleman sayıları farkı 21−7=1421 - 7 = 14 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için rasyonel x değerlerini analiz etme
x rasyonel sayısı için x2−2xx^2 - 2x bir tam sayı ise, x sayısı da bir tam sayı olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan [−3,3][-3, 3] aralığındaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olup A kümesinin eleman sayısı 7'dir.
Rasyonel sayıların tam sayı olma zorunluluğunu göstererek A kümesinin eleman sayısını tam olarak tespit etmek.
2
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x fonksiyonunun [−3,3][-3, 3] aralığındaki sınırlarını ve tepe noktasını bulma
Fonksiyon x=1x=1 tepe noktasında minimum −1-1 değerini alır. Sol uç olan x=−3x=-3 noktasında 1515, sağ uç olan x=3x=3 noktasında ise 33 değerini alır. Görüntü kümesi [−1,15][-1, 15] aralığıdır.
İkinci dereceden fonksiyonun görüntü kümesindeki tam sayı değerlerinin sınırlarını belirleyerek kaç farklı tam sayı değeri alabileceğini bulmak.
3
Değer aralığındaki her tam sayı değeri için [−3,3][-3, 3] aralığına düşen gerçel kök sayısını hesaplama
k=−1k = -1 için 1 kök, k∈{0,1,2,3}k \in \{0, 1, 2, 3\} için 8 kök, k∈{4,5,...,15}k \in \{4, 5, ..., 15\} için 12 kök olmak üzere toplam 21 farklı gerçel kök (B kümesinin elemanı) bulunur.
Fonksiyonun her bir tam sayı değerini kaç kez aldığını aralık sınırlarına dikkat ederek saymak.
4
B ve A kümelerinin eleman sayıları arasındaki farkı bulma
21−7=1421 - 7 = 14
Soruda istenen fark değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve gerçel sayılar kümelerinin eleman analizi, rasyonel kök teoremi uygulaması ve ikinci dereceden fonksiyonların görüntü kümesi üzerindeki tam sayı değerlerinin tespiti.
Soru 233Soru →

3x=03x = 0

denkleminin çözüm kümesi;

I. Pozitif tam sayılar (Z+\mathbb{Z}^+)
II. Doğal sayılar (N\mathbb{N})
III. Rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q})

kümelerinin hangilerinde boş k��medir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Denklemin çözüm kümesi sadece pozitif tam sayılar kümesinde boş kümedir.
Denklemin tek kökü olan 00 sayısı, işareti olmayan (nötr) bir sayıdır. Bu yüzden pozitif tam sayılar kümesinin bir elemanı değildir ve çözüm kümesi bu kümede boş kümedir. Ancak 00 sayısı hem bir doğal sayıdır hem de paydası 11 olan bir rasyonel sayıdır. Dolayısıyla çözüm kümesi doğal sayılar ve rasyonel sayılarda boş küme değildir. Bu durum bizi doğru yanıta götürür.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin kökü bulunur.
x=0x = 0
3x=03x = 0 eşitliğinde her iki taraf 33'e bölünerek kök değeri x=0x = 0 olarak elde edilir.
2
Kökün pozitif tam sayılar kümesiyle ilişkisi incelenir.
0∉Z+0 \notin \mathbb{Z}^+
Sıfır sayısı nötr bir sayıdır; işareti yoktur, dolayısıyla pozitif bir tam sayı değildir. Bu nedenle çözüm kümesi pozitif tam sayılarda boş kümedir.
3
Kökün doğal sayılar kümesiyle ilişkisi incelenir.
0∈N0 \in \mathbb{N}
Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,3,...}\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} sıfır elemanını içerir. Bu nedenle doğal sayılardaki çözüm kümesi boş küme değildir.
4
Kökün rasyonel sayılar kümesiyle ilişkisi incelenir.
0∈Q0 \in \mathbb{Q}
Sıfır sayısı 01\frac{0}{1} şeklinde yazılabildiği için bir rasyonel sayıdır. Bu nedenle rasyonel sayılardaki çözüm kümesi boş küme değildir.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Sıfır Sayısının Özellikleri
Soru 234Soru →

Ardışık pozitif tam sayıların toplamları üzerine araştırma yapan bir matematikçi, bazı sayıların birden fazla şekilde ardışık sayıların toplamı olarak yazılabildiğini fark etmiştir. Bu doğrultuda aşağıdaki üç sayıyı incelemeye alıyor:

* I. Sayı: 24⋅32⋅512^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1
* II. Sayı: 33⋅523^3 \cdot 5^2
* III. Sayı: 28⋅712^8 \cdot 7^1

Bu sayıların her birinin, en az iki ardışık pozitif tam sayının toplamı şeklinde kaç farklı biçimde yazılacağını hesaplıyor. I. sayı için bulduğu değer xx, II. sayı için yy ve III. sayı için zz'dir.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

z < x < y
Doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir. Çünkü bir SS pozitif tam sayısının en az iki ardışık pozitif tam sayının toplamı olarak yazılma sayısı, SS'nin kendisinden büyük olmayan tek bölenlerinin sayısının 1 eksiğine (yani dtek(S)−1d_{\text{tek}}(S) - 1) eşittir. Bu kurala göre hesaplandığında z=1z = 1, x=5x = 5 ve y=11y = 11 değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bir pozitif tam sayının ardışık sayıların toplamı olarak yazılabilme kuralını belirleme.
Bir SS sayısının kk terimli ardışık pozitif tam sayıların toplamı şeklinde yazılması S=k(2a+k−1)2  ⟹  2S=k(2a+k−1)S = \frac{k(2a + k - 1)}{2} \implies 2S = k(2a + k - 1) denklemini verir. Burada kk ve 2a+k−12a + k - 1 çarpanlarından biri tek, diğeri çifttir. Dolayısıyla, her farklı yazım biçimi SS sayısının 1'den büyük bir tek bölenine karşılık gelir. Yani yazım sayısı dtek(S)−1d_{\text{tek}}(S) - 1 formülü ile bulunur.
Ardışık toplam problemlerinde terim sayısı ve başlangıç terimi ilişkisini çarpanlara ayırma prensibiyle analiz etmek gerekir.
2
I. sayı (24⋅32⋅512^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1) için xx değerini hesaplama.
I. sayının tek asal çarpanları 3 ve 5'tir. Tek bölenlerinin sayısı (2+1)(1+1)=6(2+1)(1+1) = 6'dır. En az iki terimli olma şartı nedeniyle 1'den büyük tek bölenleri almalıyız. Buradan x=6−1=5x = 6 - 1 = 5 bulunur.
Çift çarpan olan 2'nin kuvveti tek bölen sayısını etkilemez.
3
II. sayı (33⋅523^3 \cdot 5^2) için yy değerini hesaplama.
II. sayı zaten tektir. Tüm bölenleri tektir ve sayısı (3+1)(2+1)=12(3+1)(2+1) = 12'dir. Buradan y=12−1=11y = 12 - 1 = 11 bulunur.
Tamamı tek çarpanlardan oluşan sayıların tüm pozitif bölenleri tek bölendir.
4
III. sayı (28⋅712^8 \cdot 7^1) için zz değerini hesaplama.
III. sayının tek asal çarpanı sadece 7'dir. Tek bölenlerinin sayısı (1+1)=2(1+1) = 2'dir (bunlar 1 ve 7'dir). Buradan z=2−1=1z = 2 - 1 = 1 bulunur.
Sadece 7'ye bağlı tek bölenler hesaplanır.
5
Elde edilen xx, yy ve zz değerlerini karşılaştırma ve sıralama.
z=1z = 1, x=5x = 5 ve y=11y = 11 olduğundan küçükten büyüğe sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.
Bulunan değerlerin sayısal büyüklükleri karşılaştırılarak nihai sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Bir pozitif tam sayının ardışık sayıların toplamı olarak yazılabilme sayısı ile o sayının tek bölenlerinin sayısı arasındaki ilişki.
Soru 235Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere, aba^b ve bcb^c ifadeleri de birer tam sayıdır.

ab+bca^b + b^c

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilindiğine göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

Değişkenlerin çarpımı olan a⋅ba \cdot b ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Olası iki durumda da aa ve bb tam sayılarından biri tek iken diğeri çifttir. Çarpanlardan en az biri çift sayı olduğundan, bu iki sayının çarpımı her zaman bir çift tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
aba^b ve bcb^c ifadelerinin tam sayı olma koşullarını incelemek.
Negatif bir üssün sonucu tam sayı yapabilmesi için tabanın ±1\pm 1 olması gerekir. Dolayısıyla, b<0b < 0 ise a∈{−1,1}a \in \{-1, 1\} (yani aa tektir). Benzer şekilde, c<0c < 0 ise b∈{−1,1}b \in \{-1, 1\} (yani bb tektir).
Taban sıfırdan farklı bir tam sayı iken üssün negatif olması durumunda ifadenin tam sayı çıkması yalnızca tabanın çarpmaya göre tersinin de tam sayı olmasıyla mümkündür.
2
ab+bca^b + b^c toplamının tek sayı olma durumlarını analiz etmek.
İki tam sayının toplamının tek olması için biri çift, diğeri tek olmalıdır.
- Durum 1: aba^b çift ve bcb^c tek olsun. aba^b çift ise aa çift olmalıdır (bu durumda b>0b > 0 olur). bcb^c tek ise bb tek olmalıdır.
- Durum 2: aba^b tek ve bcb^c çift olsun. bcb^c çift ise bb çift olmalıdır (bu durumda c>0c > 0 olur). aba^b tek ise aa tek olmalıdır.
Zıt teklik-çiftlik karakterindeki iki tam sayının toplamı her zaman tek sayıdır.
3
Elde edilen veriler doğrultusunda seçenekleri değerlendirmek.
Her iki durumda da aa ve bb değişkenlerinden biri tek iken diğeri çifttir. Bu nedenle a⋅ba \cdot b çarpımı her zaman bir çift sayıdır. Diğer seçeneklerdeki ifadeler ise negatif üs durumlarında rasyonel sayı belirtebileceğinden veya teklik-çiftlik durumu değişkenlik göstereceğinden her zaman çift sayı olmazlar.
Bir çift tam sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çift bir tam sayıdır.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda teklik ve çiftlik kavramlarında tabanın ve üssün tam sayı olma sınırları ile işaretlerinin incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 236Soru →

Sayı kümeleriyle ilgili verilen;

I. İki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.

II. Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyonel bir sayıdır.

III. Karesi rasyonel sayı olan her gerçel sayı bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
İki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir. Örneğin, birbirinin toplama işlemine göre tersi olan 2\sqrt{2} ve −2-\sqrt{2} irrasyonel sayılarının toplamı rasyonel bir sayı olan 00'dır. Bu yüzden birinci öncül doğrudur. Diğer iki öncül ise sırasıyla sıfır elemanının etkisi ve irrasyonel sayıların karelerinin rasyonelliği durumlarından ötürü her zaman geçerli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü test etmek için iki irrasyonel sayı seçip toplamlarını inceleyelim.
5\sqrt{5} ve −5-\sqrt{5} sayıları irrasyoneldir. Toplamları ise 5+(−5)=0\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0 olur. 00 sayısı bir rasyonel sayı olduğundan iki irrasyonel sayının toplamı rasyonel sayı olabilir. Dolayısıyla birinci öncül doğrudur.
Toplama işleminin sonucunun rasyonel sayı olabileceğini gösteren karşıt bir örnek bulmak öncülün doğruluğunu kanıtlar.
2
İkinci öncülü test etmek için rasyonel sayı olarak 00 sayısını seçip irrasyonel bir sayı ile çarpalım.
0∈Q0 \in \mathbb{Q} (rasyonel) ve 2∈Q′\sqrt{2} \in \mathbb{Q}' (irrasyonel) olsun. Bu iki sayının çarpımı 0⋅2=00 \cdot \sqrt{2} = 0 olur. 00 rasyonel bir sayı olduğundan çarpım rasyonel çıkmıştır. Dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.
Sıfır elemanının rasyonel sayı olduğu ve çarpma işlemindeki yutan eleman rolü, öncüldeki genel yargıyı çürütür.
3
Üçüncü öncülü doğrulamak amacıyla karesi rasyonel olan ancak kendisi rasyonel olmayan bir sayı olup olmadığını araştıralım.
x=3x = \sqrt{3} sayısı irrasyonel bir sayıdır. Ancak karesi x2=3x^2 = 3 olup bir rasyonel sayıdır. Karesi rasyonel olduğu halde kendisi irrasyonel olan sayılar bulunduğundan üçüncü öncül yanlıştır.
Köklü sayıların karesinin rasyonel olabileceği gerçeği ile sayının kendisinin irrasyonel kalması durumu arasındaki farkı belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin özellikleri ve elemanlarının işlemsel davranışları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 237Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0
b−a<0b - a < 0
eşitsizlik ve eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri daima negatiftir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b−acb - a^c

Cevap

b - a^c
Seçeneklerdeki 'b - a^c' ifadesinde, c = 0 ve a sıfırdan farklı bir negatif sayı olduğu için a^c = a^0 = 1 olur. İfade b - 1 şekline dönüşür. b negatif bir tam sayı olduğundan, negatif bir sayıdan 1 çıkarıldığında sonuç daima negatif bir sayı (en fazla -2) olacaktır. Bu nedenle bu ifade daima negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğini analiz etmek.
a<0a < 0 ve b≠0b \neq 0 olduğu bulunur.
b2b^2 ifadesi sıfırdan farklı her tam sayı için daima pozitif olduğundan, çarpımın negatif olması için a3<0a^3 < 0 yani a<0a < 0 olmalıdır.
2
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0 eşitliğini analiz etmek.
c=0c = 0 (nötr) olduğu bulunur.
aa sayısı negatif (yani sıfırdan farklı) olduğundan, çarpımın sıfır olması ancak c2=0c^2 = 0 yani c=0c = 0 olması ile mümkündür.
3
b−a<0b - a < 0 eşitsizliğini kullanarak bb'nin işaretini belirlemek.
b<a<0b < a < 0 olduğundan b<0b < 0 (negatif) olduğu bulunur.
b<ab < a eşitsizliğinde aa negatif olduğundan, aa'dan daha küçük olan bb sayısı da negatif olmak zorundadır.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin işaretlerini incelemek.
b−acb - a^c ifadesinin daima negatif olduğu görülür.
c=0c = 0 ve a≠0a \neq 0 olduğundan ac=a0=1a^c = a^0 = 1 olur. Buradan b−ac=b−1b - a^c = b - 1 elde edilir. bb negatif bir tam sayı olduğundan b−1b - 1 daima negatiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayılar
Soru 238Soru →
Tam sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için
a2+3a+ba^2 + 3a + b
toplamının bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b3+3b^3 + 3

Cevap

İçinde b'nin tek kuvveti ile tek bir sayının toplamını barındıran ifade her zaman çift sayıdır.
Verilen toplamda a(a+3)a(a+3) terimi her zaman çift olduğu için bb sayısı mutlaka tek sayıdır. Tek bir sayının pozitif tam sayı kuvvetleri de tek olacağından b3b^3 tektir. Tek sayı ile tek sayı olan 3'ün toplamı her zaman çift sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
a2+3aa^2 + 3a ifadesinin teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
a2+3a=a(a+3)a^2 + 3a = a(a+3) şeklinde yazılabilir. aa tam sayısı tek ise a+3a+3 çift, aa çift ise a+3a+3 tek olacağından bu çarpım her zaman çift sayıdır.
Toplama işlemindeki diğer terimlerin karakterini belirlemek için bilinen kısmın paritesini bulmak gerekir.
2
bb sayısının teklik-çiftlik durumunu analiz etmek.
a2+3aa^2 + 3a çift olduğundan, çift sayı ile bb sayısının toplamının tek olması için bb sayısının tek sayı olması gerekir.
Çift bir sayı ile ancak tek bir sayı toplandığında sonuç tek sayı olur.
3
Seçeneklerdeki ifadeleri bb'nin tek sayı olduğu ve aa hakkında kesin bilgi olmadığı durumuna göre incelemek.
bb tek sayı ise b3b^3 de tek sayıdır. Buradan b3+3b^3 + 3 ifadesi tek ile tekin toplamı olacağından çift olur. Diğer seçenekler ise ya aa değerine bağlıdır ya da tam sayı olma garantisi taşımamaktadır.
Her zaman çift sayı olan doğru seçeneği tespit etmek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayıların özellikleri ile ardışık tam sayıların çarpımının çift olması prensibi.
Soru 239Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısının yüzler basamağındaki rakam 2 artırılıp, onlar basamağındaki rakam 5 azaltılarak üç basamaklı yeni bir sayı elde ediliyor. Elde edilen bu yeni sayının onlar ve birler basamağındaki rakamlar yer değiştirildiğinde oluşan üç basamaklı sayı, ilk ABCABC sayısından 213 fazla oluyor.

Buna göre, C−BC - B farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

C - B farkının değeri 2'dir.
Çözümleme adımları takip edildiğinde, yüzler basamağındaki 2 artış sayı değerini 200 artırır. Yeni sayının onlar ve birler basamağı yer değiştirdiğinde basamak değerleri sırasıyla 10C+B−510C + B - 5 olur. İlk sayının onlar ve birler basamağı değerleri toplamı 10B+C10B + C olduğundan, iki sayı arasındaki fark 195+9(C−B)=213195 + 9(C-B) = 213 denklemini verir. Buradan 9(C−B)=189(C-B) = 18 ve C−B=2C-B = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk sayının basamak çözümlemesini yazalım.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C
Değişimleri matematiksel olarak ifade edebilmek için sayıları çözümlemeliyiz.
2
Yüzler basamağı 2 artırılan ve onlar basamağı 5 azaltılan sayının basamaklarını belirleyelim.
Yüzler basamağı: A+2A+2, Onlar basamağı: B−5B-5, Birler basamağı: CC
Yeni sayının rakamlarını elde etmek için belirtilen işlemleri basamaklara uygularız.
3
Belirlenen bu sayının onlar ve birler basamağını yer değiştirip çözümleyelim.
100(A+2)+10C+(B−5)=100A+B+10C+195100(A+2) + 10C + (B-5) = 100A + B + 10C + 195
Yeni sayının onlar basamağı CC, birler basamağı B−5B-5 olur ve bu sayı çözümlenir.
4
Oluşan son sayı ile ilk sayı arasındaki farkı 213'e eşitleyip denklemi çözelim.
195+9(C−B)=213  ⟹  9(C−B)=18  ⟹  C−B=2195 + 9(C - B) = 213 \implies 9(C - B) = 18 \implies C - B = 2
İki sayının fark denklemini kurarak aradığımız C−BC-B değerine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Basamak analizi ve çözümleme yöntemiyle sayısal ifadeleri basamak değerlerine ayırma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 240Soru →

a,ba, b ve cc gerçel sayıları için,

a3⋅b2>0a^3 \cdot b^2 > 0
a+b<0a + b < 0
a⋅c2=0a \cdot c^2 = 0

koşulları sağlanmaktadır.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: +, -, nötr

Cevap

a pozitif (+), b negatif (-), c nötr (0) olmalıdır.
a^3 * b^2 > 0 ifadesinde b^2 pozitif olduğundan a^3 de pozitif olmalı, yani a pozitif (+) olmalıdır. a * c^2 = 0 ifadesinde a pozitif (sıfır değil) olduğundan c sıfır (nötr) olmalıdır. a + b < 0 eşitsizliğinde a pozitif olduğundan b negatif (-) olmalıdır. Bu durumda sırasıyla +, -, nötr işaretleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
a^3 * b^2 > 0 eşitsizliğini incelemek.
a > 0
Sıfırdan farklı bir gerçel sayının çift kuvveti (b^2) daima pozitiftir. Çarpımın sonucunun pozitif olabilmesi için a^3 ifadesinin de pozitif olması gerekir. Buradan a sayısının pozitif (+) olduğu sonucuna varılır.
2
a * c^2 = 0 eşitliğini incelemek.
c = 0 (nötr)
İlk adımda a sayısının pozitif olduğunu bulmuştuk, yani a sıfır olamaz. Çarpımın sıfır çıkabilmesi için c^2 = 0 olmalıdır. Buradan c = 0 elde edilir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır.
3
a + b < 0 eşitsizliğini incelemek.
b < 0
a pozitif bir sayı olduğuna göre, pozitif bir sayıyla toplamı negatif olan b sayısı kesinlikle negatif (-) olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların tek ve çift kuvvetlerinin işaret analizi ile sıfır sayısının nötr (işaretsiz) olma özelliği.
ÖncekiSayfa 12 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 12 | Examkin