Examkin

Veri, Sayma ve Olasılık

98 soru

Tüm türler98Çoktan seçmeli51Doğru / Yanlış4Sayısal39Sıralama3Boşluk doldurma1
Soru 61Soru →

Aşağıda verilen durumların her biri için gerçekleşebilecek farklı dizilim sayılarını hesaplayarak bu durumları elde edilen sayılara göre küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Sarı-lacivert boncukların dizilim sayısı (10), Ceren ve Deniz'in yan yana olduğu dizilim sayısı (12) ve MASAL kelimesinin harfleriyle yazılabilecek kelime sayısı (60) şeklinde küçükten büyüğe sıralanmalıdır.
Hesaplanan dizilim sayıları sırasıyla 10, 12 ve 60'tır. Bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı 10 < 12 < 60 şeklinde olduğundan doğru sıralama sarı-lacivert boncukların dizilim sayısı, Ceren ve Deniz'in yan yana olduğu dizilim sayısı ve MASAL kelimesinden elde edilen kelime sayısı sırasıyla olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Özdeş 3 sarı ve özdeş 2 lacivert boncuğun dizilim sayısını hesaplayın.
Toplam boncuk sayısı 3+2=53 + 2 = 5 olduğundan, tekrarlı permütasyon formülüyle 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 farklı dizilim elde edilir.
Birinci durumun olası dizilim sayısını belirlemek için.
2
Ceren ve Deniz'in yan yana olduğu 4 kişinin dizilim sayısını hesaplayın.
Ceren ve Deniz bir bütün olarak kabul edilir. Bu grup ve kalan 2 kişi toplam 3 nesne oluşturur. Nesnelerin dizilimi 3!=63! = 6 ve Ceren ile Deniz'in kendi aralarında yer değiştirmesi 2!=22! = 2 olduğundan toplam dizilim sayısı 6⋅2=126 \cdot 2 = 12 olur.
İkinci durumun olası dizilim sayısını belirlemek için.
3
MASAL kelimesinin harfleriyle yazılabilecek farklı kelime sayısını hesaplayın.
Kelime 5 harflidir ve 'A' harfi 2 kez tekrarlanmaktadır. Tekrarlı permütasyon formülüyle 5!2!=60\frac{5!}{2!} = 60 farklı dizilim elde edilir.
Üçüncü durumun olası dizilim sayısını belirlemek için.
4
Ende edilen dizilim sayılarını karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayın.
10<12<6010 < 12 < 60 olduğundan doğru sıralama birinci durum, ikinci durum ve üçüncü durum şeklindedir.
Soruda istenen küçükten büyüğe sıralamayı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Permütasyon ve tekrarlı permütasyon hesaplamalarında nesnelerin özdeş olması durumunda toplam faktöriyel değerinin tekrarlayan nesne sayılarının faktöriyeline bölünmesi gerekir. Belirli nesnelerin yan yana olması istendiğinde ise bu nesneler tek bir grup olarak kabul edilir ve grubun kendi içindeki yer değişimi de hesaba katılır.

Alternatif Yöntem

Her bir durumu ayrı ayrı permütasyon formülleriyle hesaplamak yerine, olası eşleşmeleri küçük sayılar için (1. ve 2. durumlar) manuel olarak yazarak da doğrulamak mümkündür. Örneğin, 3 sarı (S) ve 2 lacivert (L) boncuk için dizilimler: SSSLL, SSLSL, SSLLS, SLSSL, SLSLS, SLLSS, LSSSL, LSSLS, LSLSS, LLSSS şeklinde yazılarak 10 adet olduğu doğrudan sayılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 62Soru →

Bir torbada 44 mavi ve 66 sarı bilye vardır. Bu torbadan rastgele bir bilye çekilip rengi kaydedildikten sonra torbaya geri atılıyor. Bu işlem art arda 5050 kez tekrarlanıyor ve elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda gösteriliyor:

Çekilen Bilye RengiÇekilme Sayısı
Mavi2222
Sarı2828

Buna göre, mavi bilye çekme olayının deneysel olasılığı ile teorik olasılığı arasındaki pozitif fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.04

Cevap

Mavi bilye çekme olayının deneysel olasılığı ile teorik olasılığı arasındaki pozitif fark 0,040,04'tür.
Mavi bilye çekme olayının teorik olasılığı 410=0,4\frac{4}{10} = 0,4 ve deneysel olasılığı 2250=0,44\frac{22}{50} = 0,44'tür. Bu iki değer arasındaki fark ise 0,44−0,4=0,040,44 - 0,4 = 0,04 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teorik olasılığın hesaplanması
Teorik olasılık 0,40,4'tür.
Torbadaki mavi bilye sayısı 44, toplam bilye sayısı 4+6=104 + 6 = 10 olduğundan teorik olasılık 410=0,4\frac{4}{10} = 0,4 olarak bulunur.
2
Deneysel olasılığın hesaplanması
Deneysel olasılık 0,440,44'tür.
Yapılan 5050 denemeden 2222'sinde mavi bilye çekildiği için deneysel olasılık 2250=0,44\frac{22}{50} = 0,44 olarak bulunur.
3
Deneysel ve teorik olasılık arasındaki farkın hesaplanması
Pozitif fark 0,040,04'tür.
Deneysel olasılık ile teorik olasılık arasındaki fark ∣0,44−0,4∣=0,04|0,44 - 0,4| = 0,04 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Teorik olasılık, matematiksel hesaplamalara dayanan olasılıktır. Deneysel olasılık ise yapılan denemelerin sonuçlarına dayanan olasılıktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 63Soru →

Bir kütüphanedeki kitaplıkta bulunan bilim kurgu ve tarih kitaplarının ciltli veya karton kapaklı olma durumlarına göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

Kitap TürüCiltliKarton Kapaklı
Bilim Kurgu3x3xyy
Tarihxx2y2y

Bu kitaplıkta toplam 60 kitap bulunmaktadır. Kitaplıktan rastgele seçilen bir kitabın karton kapaklı veya bilim kurgu kitabı olma olasılığı 1720\frac{17}{20}'dir.

Buna göre, bu kitaplıktaki ciltli tarih kitaplarının sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Kitaplıktaki ciltli tarih kitaplarının say��sı 9'dur.
Seçilen kitabın karton kapaklı veya bilim kurgu kitabı olması olayının tümleyeni, seçilen kitabın hem ciltli hem de tarih kitabı (ciltli tarih kitabı) olmasıdır. Bu tümleyen olayın olasılığı 1−1720=3201 - \frac{17}{20} = \frac{3}{20}'dir. Kitaplıkta toplam 60 kitap bulunduğundan, ciltli tarih kitaplarının sayısı 60×320=960 \times \frac{3}{20} = 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam kitap sayısına göre ilk denklemi kurmak
4x+3y=604x + 3y = 60
Tablodaki tüm hücrelerin toplam�� kütüphanedeki toplam kitap sayısını (60) verir.
2
Karton kapaklı veya bilim kurgu olan kitapların sayısını bulmak
3x+3y=513x + 3y = 51
Olasılık 1720\frac{17}{20} olduğuna göre, bu kritere uyan kitap sayısı 60×1720=5160 \times \frac{17}{20} = 51'dir. Tablodan bu küme 3x+y+2y=3x+3y3x + y + 2y = 3x + 3y olarak hesaplanır.
3
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek
x=9x = 9 ve y=8y = 8
x+y=17x + y = 17 denklemini 3 ile genişletip 4x+3y=604x + 3y = 60 denkleminden çıkardığımızda x=9x = 9 elde ederiz.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı

Alternatif Yöntem

Tümleyen olay mantığı kullanılarak daha hızlı çözüme ulaşılabilir. Karton kapaklı veya bilim kurgu kitabı olmamanın tek yolu kitabın ciltli tarih kitabı olmasıdır. Bu tümleyen olayın olasılığı 1−1720=3201 - \frac{17}{20} = \frac{3}{20} olup, doğrudan 60×320=960 \times \frac{3}{20} = 9 hesabı ile sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 64Soru →

Bir sınıftaki 7 öğrencinin bir hafta boyunca okudukları kitap sayfa sayıları sırasıyla 120120, 8585, 210210, 150150, 9595, 8080 ve 170170 olarak kaydedilmiştir.

Buna göre, bu öğrencilerin okudukları sayfa sayılarından oluşan veri grubunun medyanı (ortanca değeri) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120
Veriler küçükten büyüğe sıralandığında 80,85,95,120,150,170,21080, 85, 95, 120, 150, 170, 210 dizisi elde edilir. Toplam 7 elemanlı bu grubun tam ortasındaki (4. sıradaki) eleman 120 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubundaki elemanları küçükten büyüğe doğru sıralayın.
80,85,95,120,150,170,21080, 85, 95, 120, 150, 170, 210
Medyan (ortanca değer) bulmak için öncelikle verilerin sıraya dizilmesi gerekir.
2
Veri sayısını belirleyin ve medyanın kaçıncı terim olacağını bulun.
Veri sayısı n=7n = 7 (tek sayı). Medyan 7+12=4\frac{7+1}{2} = 4. terimdir.
Tek sayıda eleman içeren veri gruplarında medyan tam ortadaki tek bir terimdir.
3
Sıralı dizideki 4. terimi belirleyin.
4. terim 120120 sayısıdır.
Sıralı dizide baştan 4. sırada bulunan sayı 120'dir.

Anahtar Kavram

Bir veri grubunun medyanını bulmak için veriler küçükten büyüğe sıralanır. Eleman sayısı tek ise medyan tam ortadaki sayıdır.
Soru 65Soru →
A={−3,−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

kümesinin elemanlarından çarpımları negatif olan 3 farklı sayı seçilecektir.

Buna göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Seçimin 19 farklı şekilde yapılabileceğini belirten seçenek doğrudur.
Doğru seçenekte belirtilen değer, çarpımları negatif olan üç sayının seçim yollarının doğru analiz edilip toplanmasıyla elde edilen 19'dur. Üçü de negatif olan 1 durum ile biri negatif ikisi pozitif olan 18 durumun toplamı 19 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
K��medeki sayıların işaretlerine göre gruplandırılması
Negatif sayılar: {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} (3 adet), Pozitif sayılar: {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} (4 adet) ve Nötr sayı: {0}\{0\} (1 adet).
Hangi sayıların çarpımının negatif sonuç vereceğini belirlemek için sayıların işaret gruplarını bilmemiz gerekir.
2
Çarpımın negatif olabilmesi için gerekli durumların belirlenmesi
Durum 1: 3 sayının da negatif olması. Durum 2: 1 negatif ve 2 pozitif sayının seçilmesi.
Üç sayının çarpımının negatif olması yalnızca bu iki durumda mümkündür. Sıfır sayısı çarpımı sıfır yapacağından dahil edilemez.
3
Durum 1 ve Durum 2 için kombinasyon hesaplarının yapılması ve toplanması
Durum 1: (33)=1\binom{3}{3} = 1 yol. Durum 2: (31)×(42)=3×6=18\binom{3}{1} \times \binom{4}{2} = 3 \times 6 = 18 yol. Toplam: 1+18=191 + 18 = 19 yol.
Farklı bağımsız durumların oluşturduğu seçenek sayıları toplanarak toplam seçim sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Koşullu kombinasyon hesaplamalarında elemanların niteliklerine göre gruplandırılması ve durum analizi yapılması.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 66Soru →

Bir laboratuvarda çalışan 88 bilim insanından 33'ü biyolog, 33'ü kimyager ve 22'si fizikçidir. Bu bilim insanları arasından 44 kişilik bir araştırma ekibi kurulacaktır. Kurulacak ekipte her üç meslek grubundan da en az birer bilim insanı bulunması zorunlu olduğuna göre, bu araştırma ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Kurulabilecek araştırma ekibi 45 farklı şekilde oluşturulabilir.
Araştırma ekibinde her meslek grubundan en az bir kişi bulunması gerektiğinden, 4 kişilik ekip (2 biyolog, 1 kimyager, 1 fizikçi), (1 biyolog, 2 kimyager, 1 fizikçi) veya (1 biyolog, 1 kimyager, 2 fizikçi) şeklinde oluşturulabilir. Bu durumların kombinasyonları hesaplanıp toplandığında doğru sonuç olan 45 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Her meslek grubundan en az bir kişi içeren 4 kişilik ekibin olası dağılımlarını belirleme.
Grup dağılımları (2 Biyolog, 1 Kimyager, 1 Fizikçi), (1 Biyolog, 2 Kimyager, 1 Fizikçi) ve (1 Biyolog, 1 Kimyager, 2 Fizikçi) olarak belirlenir.
Toplamda 4 kişi seçileceğinden ve 3 gruptan en az birer kişi bulunması gerektiğinden, geriye kalan 1 kişinin bu gruplardan birine ait olması gerekir.
2
Her bir dağılım durumunun kombinasyon sayılarını hesaplama.
Birinci durum için 18, ikinci durum için 18 ve üçüncü durum için 9 farklı seçim elde edilir.
Belirlenen gruplardaki kişi sayılarına göre biyologlar arasından seçim için (3a)\binom{3}{a}, kimyagerler arasından seçim için (3b)\binom{3}{b} ve fizikçiler arasından seçim için (2c)\binom{2}{c} kombinasyonları çarpılır.
3
Elde edilen tüm durumların kombinasyon sayılarını toplama.
Toplam seçim sayısı 45 olarak bulunur.
Farklı durumlar ayrık olaylar olduğundan, toplam seçim sayısına ulaşmak için bu durumların yolları toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim)
Soru 67Soru →

Bir çağrı merkezinde çalışan Melis'in hafta içi günlerinde çözdüğü destek talebi sayıları sırasıyla 1818, 2424, 1515, 2121 ve xx olarak kaydedilmiştir. Bu veri grubunun medyanı (ortanca değeri) 2020 olduğuna göre, Melis'in bu beş günde çözdüğü toplam destek talebi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 98

Cevap

Melis'in hafta içi günlerinde çözdüğü toplam destek talebi sayısı 98'dir.
Veriler küçükten büyüğe sıralandığında 15,18,21,2415, 18, 21, 24 elde edilir. 5 elemanlı bu grubun medyanı 3. sıradaki sayı olmalıdır. Medyan 2020 olarak verildiği için sıralı listede 18 ile 21 arasında x=20x = 20 değeri bulunmalıdır. Buradan toplam değer 15+18+20+21+24=9815 + 18 + 20 + 21 + 24 = 98 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bilinen verilerin sıralanması
15,18,21,2415, 18, 21, 24
Bir veri grubunun medyanını belirlemek için öncelikle verileri küçükten büyüğe sıralamak gerekir.
2
Medyan konumunun tespiti
3. eleman medyandır.
Grupta 5 veri (tek sayıda) bulunduğu için sıralı gruptaki tam ortada yer alan 3. eleman medyan olur.
3
Bilinmeyen xx değerinin belirlenmesi
x=20x = 20
Medyan 2020 olarak verildiğine göre sıralı listede 3. sıradaki eleman 2020 olmalıdır. Bu durumda sıralama 15,18,x,21,2415, 18, x, 21, 24 şeklinde olacağından x=20x = 20 olur.
4
Toplam talebin hesaplanması
15+18+20+21+24=9815 + 18 + 20 + 21 + 24 = 98
Hafta içi günlerinde çözülen tüm taleplerin toplam sayısını bulmak amacıyla tüm veriler toplanır.

Anahtar Kavram

Tek sayıda elemanı olan bir veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki eleman medyandır.
Soru 68Soru →

Bir şirketin insan kaynakları departmanında çalışan 8 personelden 4'ü kadın, 4'ü erkektir. Bu personeller arasından rastgele 4 kişi seçilerek bir çalışma komisyonu oluşturulacaktır.

Oluşturulan bu komisyondaki kadın personel sayısının, erkek personel sayısından fazla olma olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} rasyonel sayısı olarak yazıldığına göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 87

Cevap

Komisyondaki kadın personel sayısının erkek personel sayısından fazla olma olasılığı 1770\frac{17}{70} olup en sade halindedir. Bu durumda a=17a = 17 ve b=70b = 70 olduğundan toplamları 87'dir.
Yapılan seçimlerde tüm durumların sayısı (84)=70\binom{8}{4} = 70 iken, kadın sayısının erkek sayısından fazla olduğu durumlar 3 kadın-1 erkek (16 durum) ve 4 kadın-0 erkek (1 durum) olmak üzere toplam 17'dir. Buradan olasılık 1770\frac{17}{70} bulunur ve pay ile paydanın toplamı 87 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası komisyon seçimlerinin sayısını hesaplama
(84)=70\binom{8}{4} = 70
8 personelden rastgele 4 kişinin seçilmesiyle oluşabilecek tüm olası durumları bulmak için kombinasyon hesabı yapılır.
2
Kadın personel sayısının erkek personel sayısından fazla olduğu durumları belirleme
Kadın sayısı 3 veya 4 olmalıdır.
4 kişilik komisyonda kadınların erkeklerden fazla olması sadece 3 kadın-1 erkek veya 4 kadın-0 erkek durumlarında gerçekleşir.
3
3 kadın ve 1 erkekten oluşan komisyon seçim sayısını hesaplama
(43)×(41)=16\binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 16
4 kadın personelden 3'ünün ve 4 erkek personelden 1'inin seçilme kombinasyonunu bulmak için çarpım kuralı uygulanır.
4
4 kadın ve 0 erkekten oluşan komisyon seçim sayısını hesaplama
(44)×(40)=1\binom{4}{4} \times \binom{4}{0} = 1
4 kadın personelden 4'ünün de seçilme durumunu bulmak için kombinasyon hesabı yapılır.
5
İstenen durumların toplam sayısını ve olasılığı hesaplama
16+1=1716 + 1 = 17 istenen durum, olasılık 1770\frac{17}{70}
Farklı durumların seçim sayıları toplanarak istenen durum sayısı bulunur, ardından bu sayı toplam durum sayısına bölünür.
6
En sade haldeki pay ve paydanın toplamını bulma
17+70=8717 + 70 = 87
1717 ve 7070 sayılarının ortak böleni olmadığından kesir en sade haldedir. Pay ve payda toplanır.

Anahtar Kavram

Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının tüm olası durumların sayısına oranı ile hesaplanır.
Soru 69Soru →

Bir sinema salonunda yan yana bulunan ve 11'den 1212'ye kadar ardışık sayılarla numaralandırılmış 1212 koltuğun bazılarının dolu, bazılarının ise boş olduğu bilinmektedir. Bu koltukların doluluk durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmi��tir:

* Dolu koltukların numaralarının her biri birer çift sayıdır.
* Boş koltuklar arasından rastgele seçilen bir koltuğun numarasının asal sayı olma olasılığı 12\frac{1}{2}'dir.
* Boş koltuklar arasından rastgele seçilen bir koltuğun numarasının tek sayı olma olasılığı 34\frac{3}{4}'tür.

Buna göre, bu sıradaki dolu koltuk sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dolu koltuk sayısı 4'tür.
Dolu koltukların numaraları çift sayı olduğundan, tek numaralı tüm koltuklar boştur. 1 ile 12 arasındaki tek sayılar 6 adet olup bunların tamamı boş koltuklar kümesindedir. Boş koltuklar arasından seçilen bir koltuğun tek sayı olma olasılığı 3/4 olarak verildiğine göre, boş koltuk sayısı 8'dir. Toplam 12 koltuk olduğundan dolu koltuk sayısı 12 - 8 = 4 olarak bulunur. Asal sayı olma olasılığı olan 1/2 değeri de bu durumu doğrular; çünkü boş koltuklardaki asal sayılar sadece tek olan asallardır (3, 5, 7, 11) ve sayıları 4'tür. 4/8 = 1/2 oranı sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dolu koltukların numaralarının çift sayı olmasından hareketle tek numaralı koltukların durumunu belirlemek.
11 ile 1212 arasındaki tek sayılar {1,3,5,7,9,11}\{1, 3, 5, 7, 9, 11\} olmak üzere bu 66 koltuğun tamamı boş koltuktur.
Dolu olan tüm koltukların numaraları çift sayı olarak verildiğinden, hiçbir tek numaralı koltuk dolu olamaz.
2
Boş koltuklar arasından seçilen bir koltuğun tek numaralı olma olasılığını kullanarak toplam boş koltuk sayısını hesaplamak.
Boş koltuk sayısı n(B)n(B) olsun. Tek numaralı boş koltuk sayısı 66'dır. Olasılık 6n(B)=34\frac{6}{n(B)} = \frac{3}{4} olduğundan n(B)=8n(B) = 8 bulunur.
Boş koltuklar içinden rastgele seçilen bir koltuğun numarasının tek sayı olma olasılığı, tek numaralı boş koltuk sayısının toplam boş koltuk sayısına oranına eşittir.
3
Toplam boş koltuk sayısı ile sıradaki toplam koltuk sayısını kullanarak dolu koltuk sayısını bulmak.
Dolu koltuk sayısı 12−8=412 - 8 = 4 olarak elde edilir.
Sırada toplam 12 koltuk olduğundan, dolu koltuk sayısı toplam koltuk sayısından boş koltuk sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
4
Asal sayı olasılığı bilgisini kullanarak çözümün tutarlılığını doğrulamak.
11 ile 1212 arasındaki asal sayılar {2,3,5,7,11}\{2, 3, 5, 7, 11\}'dir. Boş koltuklar kümesi içinde tek olan 44 asal sayı {3,5,7,11}\{3, 5, 7, 11\} mutlaka yer alır. Boş koltuklar arasında asal sayı olma olasılığı 48=12\frac{4}{8} = \frac{1}{2} olduğundan, çift olan 22 asal sayısı boş koltuklar kümesinde yer almamalıdır (yani dolu olmalıdır). Bu durum 44 dolu koltuk olmasıyla tamamen uyumludur.
Verilen asal sayı olasılığının (12\frac{1}{2}) sağlanabilmesi için boş koltuklar kümesinde tam olarak 4 asal sayı bulunması gerekir.

Anahtar Kavram

Basit olayların olasılığı tanımı ve örnek uzay hesaplama
Soru 70Soru →

Bir sanat galerisinde sergilenecek 99 farklı tablodan 44'ü A ressamına, 55'i B ressamına aittir. Bu galeride yan yana bulunan 33 sergi standına, her iki ressamın da en az birer tablosu yer alacak şekilde 33 tablo seçilerek yerleştirilecektir.

Tabloların stantlardaki dizilim sırası önemsiz olduğuna göre, bu sergileme için tablolar kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7070

Cevap

Her iki ressamın da en az birer tablosunun bulunması koşuluyla 7070 farklı seçim yapılabilir.
Seçilecek 33 tablonun her iki ressamdan da en az birer adet içermesi koşulu, (1 A, 2 B) veya (2 A, 1 B) tablolarının seçilmesini gerektirir. Bu durumların kombinasyon hesabı sırasıyla (41)×(52)=40\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} = 40 ve (42)×(51)=30\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} = 30 olup, toplamları 7070 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları sağlayan durumları belirleme
Toplam 33 tablo seçilecektir ve her iki ressamın da en az birer tablosu bulunmalıdır. Bu durum iki farklı şekilde gerçekleşebilir: 1) A ressamından 11 ve B ressamından 22 tablo seçilmesi, 2) A ressamından 22 ve B ressamından 11 tablo seçilmesi.
Soruda belirtilen 'her iki ressamın da en az birer tablosunun bulunması' kısıtlamasını analiz etmek için.
2
Birinci durum için kombinasyon sayısını hesaplama
A ressamından 11 tablo (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı şekilde, B ressamından 22 tablo ise (52)=5×42×1=10\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 farklı şekilde seçilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre bu durum: 4×10=404 \times 10 = 40 farklı şekilde gerçekleşir.
Birinci senaryonun tüm olası seçim sayılarını bulmak için.
3
İkinci durum için kombinasyon sayısını hesaplama
A ressamından 22 tablo (42)=4×32×1=6\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 farklı şekilde, B ressamından 11 tablo ise (51)=5\binom{5}{1} = 5 farklı şekilde seçilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre bu durum: 6×5=306 \times 5 = 30 farklı şekilde gerçekleşir.
İkinci senaryonun tüm olası seçim sayılarını bulmak için.
4
Durumları toplama
Bu iki durum ayrık olaylar olduğundan toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır: 40+30=7040 + 30 = 70 farklı seçim yapılabilir.
Oluşturulabilecek tüm geçerli sergileme gruplarının toplam sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve Toplama-Çarpma Yoluyla Sayma Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 71Soru →

Bir yapay zekâ yaz kampına katılan 5 bilgisayar m��hendisliği ve 5 endüstri mühendisliği öğrencisi arasından 4 kişilik bir proje takımı kurulacaktır. Proje takımında her iki bölümden de en az birer öğrenci bulunması ve takım üyelerinden birinin takım lideri olması kararlaştırılmıştır. Buna göre, bu proje takımı ve takım lideri kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 800

Cevap

800 farklı şekilde seçilebilir.
Koşullara uygun olarak oluşturulabilecek 4 kişilik takımların sayısı 200'dür. Bu takımların her biri için lider 4 farklı şekilde belirlenebildiğinden, toplam seçim sayısı 800'dür.

Adım Adım Çözüm

1
Proje takımındaki öğrencilerin bölümlerine göre dağılım senaryolarını belirlemek.
Takımda en az bir bilgisayar ve en az bir endüstri mühendisliği öğrencisi bulunması gerektiğinden, 4 kişilik takım 3 farklı dağılımla oluşturulabilir: (1 Bilgisayar, 3 Endüstri), (2 Bilgisayar, 2 Endüstri) veya (3 Bilgisayar, 1 Endüstri).
En az birer öğrenci bulunması koşulunu tüm olası ayrık durumlara bölerek incelemek kolaylık sağlar.
2
Belirlenen senaryolar için kombinasyon hesaplarını yaparak toplanabilecek tüm durumları toplamak.
1. Durum için C(5,1) * C(5,3) = 5 * 10 = 50; 2. Durum için C(5,2) * C(5,2) = 10 * 10 = 100; 3. Durum için C(5,3) * C(5,1) = 10 * 5 = 50. Toplam takım sayısı 50 + 100 + 50 = 200 olur.
Farklı bölümlerden yapılacak bağımsız seçim sayılarını çarparız, ardından bu alternatif ayrık durumları toplarız.
3
Seçilen 4 kişilik takım üyelerinden 1 lider belirlemek.
Seçilen her 4 kişilik grup için lider 4 farklı şekilde seçilebilir. Toplam durum sayısı 200 * 4 = 800 olur.
Takımın seçilmesi ile liderin belirlenmesi ardışık işlemler olduğu için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ve Çarpma/Toplama Yoluyla Sayma Kuralları
Soru 72Soru →

Bir üniversite öğrencisi, dönemlik ders programını oluştururken A ve B seçmeli ders gruplarından toplam 44 ders seçecektir. A grubunda 55 farklı ders, B grubunda ise 44 farklı ders bulunmaktadır. Bu öğrenci her iki gruptan da en az birer ders seçmek zorunda olduğuna göre, ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Ders seçimi 120 farklı şekilde yapılabilir.
Soruda her iki gruptan en az birer ders seçilmesi koşulu bulunduğundan, olası tüm seçim durumları (1 A dersi ve 3 B dersi), (2 A dersi ve 2 B dersi) ile (3 A dersi ve 1 B dersi) şeklinde üç ayrık gruba ayrılır. Her bir durum için bağımsız seçimler kombinasyon yöntemiyle hesaplanıp çarpılır: sırasıyla 20, 60 ve 40 farklı seçim elde edilir. Bu durumların toplamı olan 120 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara uygun ders dağılım senaryolarını belirleme.
Toplam 4 ders seçilecektir. A grubundan xx ve B grubundan yy ders seçilmek üzere x+y=4x+y=4 olmalıdır. Her iki gruptan da en az bir ders seçileceğinden olası (x,y)(x, y) ikilileri: (1,3)(1, 3), (2,2)(2, 2) ve (3,1)(3, 1) şeklindedir.
Her iki gruptan en az bir ders seçilmesi koşulunu sağlayan tüm ayrık durumları tespit etmek için.
2
Her bir olası senaryo için kombinasyon değerlerini hesaplama.
1. senaryo (1 ders A'dan, 3 ders B'den): (51)×(43)=5×4=20\binom{5}{1} \times \binom{4}{3} = 5 \times 4 = 20 farklı seçim.
2. senaryo (2 ders A'dan, 2 ders B'den): (52)×(42)=10×6=60\binom{5}{2} \times \binom{4}{2} = 10 \times 6 = 60 farklı seçim.
3. senaryo (3 ders A'dan, 1 ders B'den): (53)×(41)=10×4=40\binom{5}{3} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40 farklı seçim.
Belirlenen bağımsız senaryoların her biri için kaç farklı grup oluşturulabileceğini bulmak için.
3
Elde edilen ayrık durumların sonuçlarını toplama.
20+60+40=12020 + 60 + 40 = 120.
Birbirinden bağımsız ayrık durumların toplam seçim sayısını elde etmek amacıyla toplama prensibini uygulamak için.

Anahtar Kavram

Gruplardan en az bir eleman seçme koşulu içeren kombinasyon problemleri
Soru 73Soru →

Bir teknoloji firması, geliştireceği yeni bir proje için 88 farklı fikir arasından 33 tanesini seçerek bir ön çalışma grubu oluşturacaktır. Bu fikirlerden 33 tanesi yapay zekâ (YZ), 55 tanesi ise siber güvenlik alanındadır. Seçilen fikirlerin en az birinin yapay zekâ alanında olması hedeflenmektedir. Buna göre, bu ön çalışma grubundaki proje fikirleri kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Ön çalışma grubundaki proje fikirleri 46 farklı şekilde seçilebilir.
Doğru yanıt olan 46 değerine ulaşmak için, 8 fikir arasından yapılacak tüm 3'lü seçimlerin sayısından (56), en az bir yapay zekâ fikri bulunması koşulunu ihlal eden ve sadece siber güvenlik fikirlerinden oluşan 3'lü seçimlerin sayısı (10) çıkarılır. Böylece en az bir yapay zekâ fikri barındıran durum sayısı 46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası seçimlerin (koşulsuz) sayısını hesaplamak
(83)=56\binom{8}{3} = 56
88 farklı fikir arasından herhangi bir koşul olmaksızın 33 fikrin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmak için kombinasyon formülü uygulanır.
2
İstenmeyen durumların (hiç yapay zekâ fikri içermeyen) sayısını hesaplamak
(53)=10\binom{5}{3} = 10
En az bir yapay zekâ fikri bulunması istendiğinden, hiç yapay zekâ fikrinin bulunmadığı (yani sadece siber güvenlik fikirlerinin seçildiği) durumlar istenmeyen durumlardır.
3
İstenen durum sayısını elde etmek için tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak
56−10=4656 - 10 = 46
Tüm olası seçimlerden sadece siber güvenlik fikirlerinin seçildiği durumlar çıkarıldığında, geriye en az bir yapay zekâ fikri barındıran durumlar kalır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Tüm Durumlar Yöntemi
Soru 74Soru →

Bir çarkın dairesel yüzeyi; 11, 22, 33 ve 44 sayıları ile numaralandırılmış, merkez açılarının ölçüleri sırasıyla 120∘120^\circ, 90∘90^\circ, 60∘60^\circ ve 90∘90^\circ olan dört bölgeye ayrılmıştır.

Bu çark rastgele art arda 6060 defa çevrilmiş ve ibrenin durduğu bölgelerdeki sayılar kaydedilerek aşağıdaki frekans tablosu elde edilmiştir:

Gelen SayıFrekans
124
212
39
415

Buna göre, çarkın çevrilmesi deneyiyle ilgili;

I. 11 gelme olayının deneysel olasılığı, teorik olasılığından fazladır.
II. 33 gelme olayının deneysel olasılığı ile teorik olasılığı arasındaki farkın mutlak değeri 160\frac{1}{60}'tır.
III. Çark 6060 defa daha çevrildiğinde 44 gelme olayının deneysel olasılığının kesinlikle teorik olasılığına eşit olacağı söylenebilir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
Doğru cevap, I ve II öncüllerinin doğru, III. öncülün ise yanlış olduğunu belirten seçenektir. Çarkın 1 gelme olayının deneysel olasılığı 2460=25=1230\frac{24}{60} = \frac{2}{5} = \frac{12}{30} iken, teorik olasılığı 120360=13=1030\frac{120}{360} = \frac{1}{3} = \frac{10}{30}'tır. 1230>1030\frac{12}{30} > \frac{10}{30} olduğundan birinci öncül doğrudur. 3 gelme olayının deneysel olasılığı 960=320\frac{9}{60} = \frac{3}{20} ve teorik olasılığı 60360=16\frac{60}{360} = \frac{1}{6}'dır. İkisi arasındaki farkın mutlak değeri ∣320−16∣=∣960−1060∣=160\left|\frac{3}{20} - \frac{1}{6}\right| = \left|\frac{9}{60} - \frac{10}{60}\right| = \frac{1}{60} olduğundan ikinci öncül de doğrudur. Üçüncü öncüldeki kesinlik ifadesi ise deneysel olasılığın doğasına aykırı olduğundan yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Çarkın toplam çevrilme (deneme) sayısını bulmak için frekanstaki değerlerin toplamı hesaplanır.
Toplam deneme sayısı: 24+12+9+15=6024 + 12 + 9 + 15 = 60 olarak bulunur.
Deneysel olasılık hesaplamalarında paydadaki toplam durum sayısını (örnek uzayı) belirlemek için.
2
Çarktaki bölgelerin merkez açılarına göre ilgili sayıların gelme olaylarının teorik olasılıkları hesaplanır.
1 gelme teorik olasılığı: 120∘360∘=13\frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}, 3 gelme teorik olasılığı: 60∘360∘=16\frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6}, 4 gelme teorik olasılığı: 90∘360∘=14\frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4} olarak bulunur.
Öncüllerdeki teorik olasılık kıyaslamalarını yapabilmek için.
3
Frekans tablosundaki verilere dayanarak ilgili sayıların deneysel olasılıkları hesaplanır.
1 gelme deneysel olasılığı: 2460=25\frac{24}{60} = \frac{2}{5}, 3 gelme deneysel olasılığı: 960=320\frac{9}{60} = \frac{3}{20}, 4 gelme deneysel olasılığı: 1560=14\frac{15}{60} = \frac{1}{4} olarak bulunur.
Öncüllerdeki deneysel olasılık değerlerini elde etmek için.
4
Hesaplanan deneysel ve teorik olasılık değerleri kullanılarak öncüller sırasıyla değerlendirilir.
I. öncül için: 25>13\frac{2}{5} > \frac{1}{3} (yani 1230>1030\frac{12}{30} > \frac{10}{30}) olduğundan doğrudur. II. öncül için: ∣320−16∣=∣960−1060∣=160\left|\frac{3}{20} - \frac{1}{6}\right| = \left|\frac{9}{60} - \frac{10}{60}\right| = \frac{1}{60} olduğundan doğrudur. III. öncüldeki 'kesinlikle eşit olacağı söylenebilir' ifadesi deneysel olasılığın doğasına (olasılıkta kesinlik olamayacağına) aykırı olduğundan yanlıştır.
Soruda istenen doğru ifadeleri belirleyip sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Deneysel olasılık ile teorik olasılık arasındaki farklar ve Büyük Sayılar Kanunu
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 75Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan 8 yazıl��mcı arasından, 4'er kişilik A ve B olarak adlandırılan iki farklı proje ekibi oluşturulacaktır. Bu yazılımcılardan Can ve Mert, aralarındaki anlaşmazlık nedeniyle aynı ekipte birlikte çalışmak istememektedirler.

Buna göre, bu iki proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Can ve Mert'in aynı ekipte bulunmadığı A ve B proje ekipleri 40 farklı şekilde oluşturulabilir.
Can ve Mert farklı ekiplerde yer alacağından, Can A ekibinde iken Mert B ekibindedir veya tam tersi durum geçerlidir. Can A'da, Mert B'de olduğunda, kalan 6 yazılımcı arasından A ekibine 3 kişi seçilir: C(6, 3) = 20. Benzer şekilde, Can B'de, Mert A'da olduğunda da C(6, 3) = 20 farklı seçim yapılabilir. Bu iki durum toplandığında toplam 40 farklı ekip oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Can ve Mert'in farklı ekiplerde yer alması gerektiği durumları analiz etmek.
Can A ekibinde ise Mert B ekibindedir; veya Can B ekibinde ise Mert A ekibindedir.
Can ve Mert aynı ekipte olmak istemediğinden, her biri farklı bir ekipte yer almalıdır.
2
Can'ın A ekibinde, Mert'in B ekibinde olduğu durum sayısını hesaplamak.
C(6, 3) = 20
Geriye kalan 6 yazılımcı arasından A ekibini tamamlamak için 3 kişi seçilmelidir. Kalan 3 kişi otomatik olarak B ekibine gider.
3
Mert'in A ekibinde, Can'ın B ekibinde olduğu durum sayısını hesaplamak.
C(6, 3) = 20
Geriye kalan 6 yazılımcı arasından A ekibini tamamlamak için 3 kişi seçilmelidir. Kalan 3 kişi otomatik olarak B ekibine gider.
4
Elde edilen durum sayılarını toplayarak toplam sonucu bulmak.
20 + 20 = 40
Bu iki durum ayrık olaylar olduğundan, toplam durum sayısı ayrı ayrı hesaplanan durumların toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) kullanarak gruplandırma yapma ve kısıtlı durumları çıkarma veya ayrı ayrı inceleme.
Soru 76Soru →

Bir lisenin bilim şenliğinde Fizik, Kimya ve Biyoloji alanlarında toplam 3636 proje sergilenmiştir. Bu projelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Fizik alanındaki proje sayısı, Kimya alanındaki proje sayısının 22 katıdır.
* Biyoloji alanındaki proje sayısı, Kimya alanındaki proje sayısından 44 fazladır.
* Sergilenen projelerin yarısı Tasarım projesi, diğer yarısı ise Araştırma projesidir.
* Kimya alanındaki projelerin 34\frac{3}{4}'ü Araştırma projesidir.
* Fizik alan��ndaki Tasarım projelerinin sayısı, Biyoloji alanındaki Tasarım projelerinin sayısından 44 fazladır.

Buna göre, bu şenlikte sergilenen projeler arasından rastgele seçilen bir projenin Ara��tırma projesi veya Kimya projesi olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 59\frac{5}{9}

Cevap

Seçilen projenin Araştırma veya Kimya projesi olma olasılığı 59\frac{5}{9}'dur.
Seçilen projenin Araştırma veya Kimya projesi olma olasılığı, toplam Araştırma projelerinin sayısı ile Kimya projelerinin sayısının toplanıp, her iki özelliği birden taşıyan Kimya Araştırma projelerinin sayısının bir kez çıkarılmasıyla elde edilen eleman sayısının (2020) toplam proje sayısına (3636) oranlanmasıyla 59\frac{5}{9} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kimya projelerinin sayısına xx diyerek her bir alandaki proje sayılarını belirlemek için denklem kuralım.
Kimya projeleri = xx, Fizik projeleri = 2x2x, Biyoloji projeleri = x+4x + 4. Toplam proje sayısı 3636 olduğundan: x+2x+(x+4)=36⇒4x+4=36⇒4x=32⇒x=8x + 2x + (x + 4) = 36 \Rightarrow 4x + 4 = 36 \Rightarrow 4x = 32 \Rightarrow x = 8. Buradan Fizik projeleri 1616, Kimya projeleri 88 ve Biyoloji projeleri 1212 adet olarak bulunur.
Her bir ders alanına düşen toplam proje sayısını bularak olasılık hesabının temel bileşenlerini elde etmek.
2
Tasarım ve Araştırma projelerinin alanlara göre dağılımını hesaplayalım.
Toplam projelerin yarısı yani 1818'i Tasarım, 1818'i Araştırma projesidir. Kimya projelerinin 34\frac{3}{4}'ü Araştırma projesi olduğuna göre: Kimya Araştırma = 8×34=68 \times \frac{3}{4} = 6 ve Kimya Tasarım = 8−6=28 - 6 = 2 olur.
Kimya alanındaki Tasarım ve Araştırma projelerinin sayısını belirlemek.
3
Fizik ve Biyoloji alanındaki Tasarım projelerinin sayılarını bulalım.
Biyoloji Tasarım projesi sayısı yy olsun. Fizik Tasarım projesi sayısı y+4y + 4 olur. Toplam Tasarım projesi sayısı 1818 olduğuna göre: y+(y+4)+2=18⇒2y+6=18⇒2y=12⇒y=6y + (y + 4) + 2 = 18 \Rightarrow 2y + 6 = 18 \Rightarrow 2y = 12 \Rightarrow y = 6. Buradan Biyoloji Tasarım = 66, Fizik Tasarım = 1010 bulunur.
Biyoloji ve Fizik alanlarındaki Tasarım projelerinin sayısını belirlemek.
4
Araştırma projesi veya Kimya projesi olma durumunun eleman sayısını (s(A∪K)s(A \cup K)) ve olasılığını hesaplayalım.
s(A∪K)=s(A)+s(K)−s(A∩K)s(A \cup K) = s(A) + s(K) - s(A \cap K) formülünden; Araştırma sayısı s(A)=18s(A) = 18, Kimya sayısı s(K)=8s(K) = 8, hem Araştırma hem Kimya olanların sayısı s(A∩K)=6s(A \cap K) = 6'dır. Böylece s(A∪K)=18+8−6=20s(A \cup K) = 18 + 8 - 6 = 20 olur. Olasılık ise 2036=59\frac{20}{36} = \frac{5}{9} olarak hesaplanır.
Birleşim kümesinin eleman sayısını bularak olasılık değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki olayın birleşiminin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamından kesişimlerinin olasılığının çıkarılmasıyla hesaplanır.
Soru 77Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(2x3−yx)n\left(2x^3 - \frac{y}{x}\right)^n
ifadesinin açılımındaki terim sayısı 99 dur.

Buna göre, bu açılımdaki x12y3x^{12}y^3 lü terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1792-1792

Cevap

Açılımdaki terimin katsayısı −1792-1792 değeridir.
Açılımda terim sayısı 9 olduğundan binom üssü n=8n=8 olarak belirlenir. x12y3x^{12}y^3 lü terimin katsayısını bulmak için genel terim formülünde r=3r=3 yazılır. Buradan (83)⋅25⋅(−1)3=−1792\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-1)^3 = -1792 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımın terim sayısından hareketle nn değerini bulunuz.
n=8n = 8
(A+B)n(A+B)^n açılımında n+1n+1 adet terim bulunur. Terim sayısı 99 olduğuna göre, n+1=9⇒n=8n+1 = 9 \Rightarrow n = 8 olur.
2
n=8n = 8 için genel terim formülünü yazınız ve istenen terimi belirleyiniz.
r=3r = 3 ve genel terim (8r)⋅(2x3)8−r⋅(−yx)r\binom{8}{r} \cdot (2x^3)^{8-r} \cdot \left(-\frac{y}{x}\right)^r
Genel terim (8r)⋅28−r⋅(−1)r⋅x24−4r⋅yr\binom{8}{r} \cdot 2^{8-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{24-4r} \cdot y^r şeklindedir. x12y3x^{12}y^3 lü terim için yy'nin üssü r=3r = 3 olmalıdır. Bu durumda xx'in üssü de 24−4(3)=1224-4(3) = 12 olur ve koşul sağlanır.
3
Belirlenen r=3r = 3 değeri için terimin katsayısını hesaplayınız.
Katsayı = −1792-1792
Katsayı (83)⋅25⋅(−1)3=56⋅32⋅(−1)=−1792\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-1)^3 = 56 \cdot 32 \cdot (-1) = -1792 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1n+1 olup, genel terim (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle hesaplanır. Negatif terimlerin tek kuvvetlerinin negatif olduğu unutulmamalıdır.
Soru 78Soru →

Bir gruptaki 1010 kişinin ağırlıkları kilogram cinsinden birer tam sayıdır. Bu kişilerin ağırlıklarından oluşan veri grubuyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* En hafif kişinin ağırlığı 58 kg58\text{ kg}, en ağır kişinin ağırlığı ise 80 kg80\text{ kg}'dır.
* Veri grubunun medyanı (ortanca) 68 kg68\text{ kg}'dır.
* Veri grubunun modu (tepe değeri) tek bir değer olup 72 kg72\text{ kg}'dır.
* Veri grubunun aritmetik ortalaması bir tam sayıdır.

Buna göre, bu kişilerin ağırlıklarının aritmetik ortalaması en çok kaç kg\text{kg} olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 69

Cevap

Kişilerin ağırlıklarının aritmetik ortalaması en çok 69 kg olabilir.
Veriler küçükten büyüğe sıralandığında medyan 68 kg ise ortadaki iki terimin (x5x_5 ve x6x_6) toplamı 136 kg olur. Mod tek bir değer olup 72 kg olduğundan, toplamın maksimum olması için 72 sayısı 2 kez tekrar etmeli ve diğer tüm sayılar benzersiz olmalıdır. Buna göre yazılabilecek en büyük sıralı grup 58, 64, 65, 66, 67, 69, 72, 72, 79, 80 olur. Bu elemanların toplamı 692 kg'dır. Aritmetik ortalama tam sayı olduğundan, toplam 10'a tam bölünmelidir. Bu koşullarda toplam en çok 690 kg, aritmetik ortalama ise en çok 69 kg olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Medyan tanımını kullanarak sıralı veri grubundaki ortadaki iki terimin toplamını elde edin.
x5+x6=136x_5 + x_6 = 136
10 elemanlı çift sayıda terimi olan bir veri grubunda medyan, ortadaki iki terim olan 5. ve 6. terimlerin aritmetik ortalamasıdır.
2
Modun tek değer ve 72 olduğunu kullanarak elemanları sıralı ve maksimum olacak şekilde belirleyin.
x1=58x_1 = 58, x2=64x_2 = 64, x3=65x_3 = 65, x4=66x_4 = 66, x5=67x_5 = 67, x6=69x_6 = 69, x7=72x_7 = 72, x8=72x_8 = 72, x9=79x_9 = 79, x10=80x_{10} = 80
Toplamı en büyük yapmak için 72 değeri (mod) 2 kez tekrar etmeli, diğer tüm değerler ise benzersiz ve seçilebilecek en büyük tam sayılar olmal��dır.
3
Seçilen elemanların toplamını hesaplayın.
58+64+65+66+67+69+72+72+79+80=69258 + 64 + 65 + 66 + 67 + 69 + 72 + 72 + 79 + 80 = 692
Aritmetik ortalamanın üst sınırını belirlemek için elemanların alabileceği maksimum değerler toplanır.
4
Aritmetik ortalamanın tam sayı olması kuralından hareketle nihai ortalamayı hesaplayın.
Toplam = 690690 ve Aritmetik Ortalama = 6969
10 kişinin ağırlıkları toplamı 10'a tam bölünmelidir. 692'den küçük ve 10'a bölünebilen en büyük tam sayı 690'dır.

Anahtar Kavram

Merkezi Eğilim Ölçüleri
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 79Soru →

Bir tasarımcının çekmecesinde yalnızca siyah ve beyaz renkli toplam 18 adet tükenmez ve kurşun kalem vardır.

Çekmecedeki kalemlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Çekmeceden rastgele seçilen bir kalemin tükenmez kalem olma olasılığı 59\frac{5}{9}'dur.
- Çekmecedeki siyah kalemlerin sayısı, beyaz kalemlerin sayısının 2 katıdır.
- Siyah renkli kurşun kalemlerin sayısı 4'tür.

Buna göre, bu çekmeceden rastgele seçilen bir kalemin beyaz renkli tükenmez kalem olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19\frac{1}{9}

Cevap

Çekmeceden rastgele seçilen bir kalemin beyaz renkli tükenmez kalem olma olasılığı 19\frac{1}{9}'dur.
Çekmecedeki toplam 18 kalemin olasılık ve oran verilerinden yola çıkılarak 10 tanesinin tükenmez, 8 tanesinin kurşun kalem olduğu belirlenir. Toplam 6 beyaz ve 12 siyah kalem vardır. Siyah kurşun kalemlerin sayısı 4 ise, toplam 8 kurşun kalem olduğu için beyaz kurşun kalemlerin sayısı 4 olur. Toplam beyaz kalemlerin sayısı 6 olduğundan, beyaz tükenmez kalemlerin sayısı 2 olarak bulunur. Çekmeceden seçilen bir kalemin beyaz tükenmez kalem olma olasılığı ise 218=19\frac{2}{18} = \frac{1}{9}'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Tükenmez ve kurşun kalemlerin toplam sayılarını hesaplayın.
Tükenmez kalem sayısı: 18×59=1018 \times \frac{5}{9} = 10. Kurşun kalem sayısı: 18−10=818 - 10 = 8.
Çekmeceden rastgele seçilen kalemin tükenmez kalem olma olasılığı 59\frac{5}{9} olarak verilmiştir. Toplam kalem sayısı 18 olduğundan, bu oranla çarpılarak tükenmez kalem sayısı bulunur. Kalan kalemler ise kurşun kalemdir.
2
Siyah ve beyaz renkli kalemlerin toplam sayılarını hesaplayın.
Beyaz kalem sayısı: xx, Siyah kalem sayısı: 2x2x. x+2x=18  ⟹  3x=18  ⟹  x=6x + 2x = 18 \implies 3x = 18 \implies x = 6 beyaz kalem, 2×6=122 \times 6 = 12 siyah kalem.
Siyah kalemlerin sayısının beyaz kalemlerin sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir.
3
Verilen bilgileri bir tabloya yerleştirerek beyaz tükenmez kalem sayısını bulun.
Siyah kurşun kalem sayısı 4'tür. Toplam kurşun kalem sayısı 8 olduğundan, beyaz kurşun kalem sayısı 8−4=48 - 4 = 4 olur. Toplam beyaz kalem sayısı 6 olduğuna göre, beyaz tükenmez kalem sayısı 6−4=26 - 4 = 2 olarak bulunur.
Her bir kategorideki (renk ve kalem türü) kalem sayısını netleştirmek ve hedefimiz olan beyaz tükenmez kalem sayısına ulaşmak için bu adımlar gereklidir.
4
Seçilen kalemin beyaz renkli tükenmez kalem olma olasılığını hesaplayın.
Olasılık = I˙stenen DurumTu¨m Durumlar=218=19\frac{\text{İstenen Durum}}{\text{Tüm Durumlar}} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}.
Basit olayların olasılığı formülü gereği, istenen durum sayısı (beyaz tükenmez kalem sayısı) örnek uzayın eleman sayısına (toplam kalem sayısı) bölünür.

Anahtar Kavram

Basit olayların olasılığı, örnek uzay ve istenen durum sayısının bulunmasında küme/tablo yönteminin kullanılması.
Soru 80Soru →

Bir dijital fotoğraf albümünde bulunan toplam 30 fotoğrafın her biri manzara veya portre kategorisinden birine ait olup bu fotoğrafların bir kısmı renkli, geri kalanı ise siyah-beyazdır.

Bu albümdeki manzara fotoğraflarının sayısı, portre fotoğraflarının sayısının 2 katıdır. Albümdeki renkli fotoğrafların toplam sayısı ile siyah-beyaz fotoğrafların toplam sayısı birbirine eşittir.

Albümden rastgele seçilen bir fotoğrafın manzara fotoğrafı veya renkli fotoğraf olma olasılığı 45\frac{4}{5}'tir.

Buna göre, albümdeki renkli manzara fotoğrafı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Renkli manzara fotoğrafı sayısı 11'dir.
Toplam 30 fotoğrafın 20'si manzara, 10'u portredir. Renkli fotoğraf sayısı 15'tir. Manzara veya renkli fotoğraf olma olasılığı 45\frac{4}{5} olduğundan, bu olayın eleman sayısı 30×45=2430 \times \frac{4}{5} = 24'tür. Kümelerdeki birleşim formülüne göre 24=20+15−s(Manzara∩Renkli)24 = 20 + 15 - s(\text{Manzara} \cap \text{Renkli}) yazılır. Buradan hem manzara hem de renkli olan fotoğraf sayısı 11 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Manzara ve portre fotoğraflarının sayılarını belirleme
Manzara fotoğrafı sayısı 20, portre foto��rafı sayısı 10 olarak bulunur.
Toplam fotoğraf sayısı 30'dur ve manzara fotoğraflarının sayısı portre fotoğraflarının 2 katıdır.
2
Renkli fotoğraf sayisini belirleme
Renkli fotoğraf sayısı 15 olarak bulunur.
Renkli ve siyah-beyaz fotoğrafların sayıları eşit olup toplamları 30'dur.
3
Birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplama ve renkli manzara fotoğraflarının sayısını bulma
Renkli manzara fotoğrafı sayısı 11 olarak bulunur.
Rastgele seçilen fotoğrafın manzara veya renkli olma olasılığı 45\frac{4}{5} olduğundan bu olayın eleman sayısı 24'tür. Kümelerdeki birleşim formülü (s(M∪R)=s(M)+s(R)−s(M∩R)s(M \cup R) = s(M) + s(R) - s(M \cap R)) kullanılarak kesişim kümesinin eleman sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit olayların olasılığı hesaplanırken istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranı kullanılır. İki olayın birleşiminin olasılığı veya eleman sayısı hesaplanırken kümelerdeki birleşim formülünden yararlanılır.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 4 / 5Sonraki
Veri, Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin