Examkin

All practice questions

8734 questions

All types8,734Multiple choice4,865Multiple select1True / False289Numeric852Matching1,797Ordering842Fill in the blank63Short answer25
Question 81Question →
Genel terimi
an={3n−k,n tek isen2−12n+32,n c¸ift isea_n = \begin{cases} 3n - k, & n \text{ tek ise} \\ n^2 - 12n + 32, & n \text{ çift ise} \end{cases}
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin negatif terimlerinin sayısı 44 olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Negatif terim sayısının 4 olmasını sağlayan en küçük kk tam sayısı 16'dır.
Çift indisli terimler incelendiğinde sadece a6a_6 teriminin negatif olduğu görülür. Toplam 4 negatif terim elde edebilmek amacıyla tek indisli terimlerden tam olarak 3 adet negatif terim gelmelidir. an=3n−ka_n = 3n - k dizisi artan olduğundan, negatif terimler sırasıyla en küçük tek indisli terimler olan a1,a3a_1, a_3 ve a5a_5 olmalıdır. Bir sonraki tek indisli terim olan a7a_7 ise negatif olmamalıdır. Buradan hareketle a5<0  ⟹  k>15a_5 < 0 \implies k > 15 ve a7≥0  ⟹  k≤21a_7 \ge 0 \implies k \le 21 eşitsizlikleri elde edilir. Bu aralıkta kk'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 16'dır.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin genel terimi tek ve çift indisler için parçalı olarak tanımlandığından, çift ve tek indisli durumları ayrı ayrı incelemek üzere planlama yapılır.
Çift indisli terimler için an=n2−12n+32a_n = n^2 - 12n + 32 ve tek indisli terimler için an=3n−ka_n = 3n - k ifadeleri kullanılacaktır.
Dizi indislerinin pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) olması koşuluna uygun terimleri belirlemek.
2
Çift indisli terimlerin hangilerinin negatif olduğunu bulmak için n2−12n+32<0n^2 - 12n + 32 < 0 eşitsizliği çözülür.
(n−4)(n−8)<0  ⟹  4<n<8(n-4)(n-8) < 0 \implies 4 < n < 8 bulunur. Bu aralıktaki tek çift pozitif tam sayı n=6n = 6 olduğundan, çift indisli terimlerden yalnızca a6a_6 negatiftir.
Çift terimlerden gelen negatif terim sayısını tam olarak saptamak.
3
Toplam negatif terim sayısı 4 olarak verildiğinden ve bunlardan 1 tanesi çift indisli terimlerden geldiğinden, tek indisli terimlerden tam olarak 3 tanesinin negatif olması gerektiği çıkarımı yapılır.
Tek indisli terimlerden ilk üçü (a1,a3,a5a_1, a_3, a_5) negatif, dördüncü tek terim (a7a_7) ise sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
an=3n−ka_n = 3n - k ifadesi nn arttıkça artan bir dizi oluşturduğundan, negatif terimler en küçük indisliler olmak zorundadır.
4
Tek indisli terimler için belirlenen koşullar eşitsizliğe dökülür.
a5<0  ⟹  3(5)−k<0  ⟹  k>15a_5 < 0 \implies 3(5) - k < 0 \implies k > 15 ve a7≥0  ⟹  3(7)−k≥0  ⟹  k≤21a_7 \ge 0 \implies 3(7) - k \ge 0 \implies k \le 21 elde edilir. Bu iki eşitsizlik birleştirilerek 15<k≤2115 < k \le 21 bulunur.
kk parametresinin alabileceği değer aralığını belirlemek.
5
15<k≤2115 < k \le 21 aralığındaki en küçük kk tam sayısı tespit edilir.
Bu aralıktaki en küçük tam sayı 16'dır.
Soruda istenen en küçük kk tam sayı değerine ulaşmak.

Key Concept

Dizi tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması, parçalı tanımlı dizilerde genel terim analizi ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü.
Question 82Question →

1'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,

xlog⁡2y+ylog⁡2x=16x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16
log⁡x2+log⁡y2=32\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{3}{2}
olduğuna göre, log⁡xy+log⁡yx\log_x y + \log_y x ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 194\frac{19}{4}

Answer

İfadenin değeri olan 19/4 sayısı doğru cevaptır.
İfadenin doğru değeri, taban değiştirme ve logaritma özellikleri sırasıyla uygulanıp elde edilen u⋅v=3u \cdot v = 3 ve u+v=9/2u + v = 9/2 değerlerinin, log⁡xy+log⁡yx=u2+v2uv\log_x y + \log_y x = \frac{u^2 + v^2}{uv} ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 19/4 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliğini kullanarak denklemdeki terimleri sadeleştirmek.
xlog⁡2y=ylog⁡2xx^{\log_2 y} = y^{\log_2 x} olduğundan, xlog⁡2y+ylog⁡2x=2⋅ylog⁡2x=16  ⟹  ylog⁡2x=8x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 2 \cdot y^{\log_2 x} = 16 \implies y^{\log_2 x} = 8 elde edilir.
Taban ile logaritmanın argümanının yer değiştirebilmesi özelliğinden yararlanarak iki terimi tek bir terim cinsinden yazmak.
2
Elde edilen ylog⁡2x=8y^{\log_2 x} = 8 denkleminin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını almak.
log⁡2(ylog⁡2x)=log⁡28  ⟹  log⁡2x⋅log⁡2y=3\log_2(y^{\log_2 x}) = \log_2 8 \implies \log_2 x \cdot \log_2 y = 3 bulunur.
Üstel ifadeyi logaritma çarpımı haline getirmek.
3
İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini uygulamak.
log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} ve log⁡y2=1log⁡2y\log_y 2 = \frac{1}{\log_2 y} olduğundan, 1log⁡2x+1log⁡2y=32\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{3}{2} elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmaları ortak bir tabana (2 tabanına) dönüştürmek.
4
Değişken değiştirme yaparak denklem sistemini çözmek.
u=log⁡2xu = \log_2 x ve v=log⁡2yv = \log_2 y olsun. u⋅v=3u \cdot v = 3 ve 1u+1v=32  ⟹  u+vuv=32  ⟹  u+v=92\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{3}{2} \implies \frac{u+v}{uv} = \frac{3}{2} \implies u+v = \frac{9}{2} elde edilir.
Logaritmik ifadeleri sadeleştirip cebirsel bir sistem kurmak.
5
İstenen log⁡xy+log⁡yx\log_x y + \log_y x ifadesini uu ve vv cinsinden yazıp hesaplamak.
log⁡xy+log⁡yx=vu+uv=u2+v2uv=(u+v)2−2uvuv\log_x y + \log_y x = \frac{v}{u} + \frac{u}{v} = \frac{u^2 + v^2}{uv} = \frac{(u+v)^2 - 2uv}{uv} olur. Değerler yerine yazıldığında (9/2)2−2(3)3=81/4−63=57/43=194\frac{(9/2)^2 - 2(3)}{3} = \frac{81/4 - 6}{3} = \frac{57/4}{3} = \frac{19}{4} bulunur.
Cebirsel özdeşlikler ve taban değiştirme yardımıyla sonuca ulaşmak.

Key Concept

Logaritma Özellikleri ve Taban Değiştirme Kuralları
Question 83Question →
x>0x > 0 olmak üzere,
tan⁡(arctan⁡(2x)+arctan⁡(x))=−3\tan(\arctan(2x) + \arctan(x)) = -3
denklemini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 1; x = 1

Answer

1
Verilen denklemde arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b dönüşümleri yapıldığında, tanjant toplam formülü kullanılarak rasyonel bir ifadeye ulaşılır. Bu ifade düzenlendiğinde 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 denklemi elde edilir. Çözüm kümesinden elde edilen x=1x = 1 değeri, x>0x > 0 koşulunu sağlayan tek köktür.

Step-by-Step Solution

1
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlemek için arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b olarak adlandırın.
tan⁡(a)=2x\tan(a) = 2x ve tan⁡(b)=x\tan(b) = x eşitlikleri elde edilir.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı gereği arctan⁡(u)=v  ⟺  tan⁡(v)=u\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u ilişkisi kullanılır.
2
Soru kökündeki denklemde dönüşümleri yerine yazarak tanjant toplam formülünü uygulayın.
tan⁡(a+b)=−3  ⟹  tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)=−3\tan(a+b) = -3 \implies \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} = -3 olur. Değerleri yerine koyduğumuzda 2x+x1−(2x)(x)=−3\frac{2x + x}{1 - (2x)(x)} = -3 elde edilir.
Tanjant fonksiyonunun toplam formülü olan tan⁡(a+b)=tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} ifadesinden yararlanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyip ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3x1−2x2=−3  ⟹  3x=−3(1−2x2)  ⟹  3x=−3+6x2  ⟹  6x2−3x−3=0\frac{3x}{1 - 2x^2} = -3 \implies 3x = -3(1 - 2x^2) \implies 3x = -3 + 6x^2 \implies 6x^2 - 3x - 3 = 0 olur.
İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki ifade karşı tarafa çarpım olarak geçirilir.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
Denklemin her iki tarafı da 33 ile bölünürse 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 elde edilir. Bu ifade (2x+1)(x−1)=0(2x + 1)(x - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x=−12x = -\frac{1}{2} ve x=1x = 1 olarak bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
x>0x > 0 koşulunu göz önünde bulundurarak denklemi sağlayan nihai değeri belirleyin.
x=1x = 1 olarak bulunur.
Soruda başlangıçta xx değerinin pozitif olduğu (x>0x > 0) belirtilmiştir, bu nedenle negatif kök elenir.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonları içeren denklemlerde tanjant toplam formülünün uygulanması.
Question 84Question →
log⁡x(10−x)−log⁡10−x(x3)=2\log_x(10-x) - \log_{10-x}(x^3) = 2 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı 12'dir.
Denklemin logaritma özellikleri ve değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi sonucunda elde edilen reel kökler 2, 5−265-2\sqrt{6} ve 5+265+2\sqrt{6} değerleridir. Bu köklerin hepsi logaritmanın tanım kümesi şartlarını (tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın pozitif olması) sağlamaktadır. Bu üç kökün toplamı 12 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirlemek.
Tanım kümesi x∈(0,10)∖{1,9}x \in (0, 10) \setminus \{1, 9\} olarak bulunur.
Logaritma tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise pozitif olmalıdır. Buradan x>0x > 0, x≠1x \neq 1, 10−x>0  ⟹  x<1010-x > 0 \implies x < 10 ve 10−x≠1  ⟹  x≠910-x \neq 1 \implies x \neq 9 elde edilir.
2
Logaritma özelliklerini kullanarak denklemi düzenlemek.
log⁡x(10−x)−3log⁡10−x(x)=2\log_x(10-x) - 3\log_{10-x}(x) = 2 denklemi elde edilir.
log⁡10−x(x3)=3log⁡10−x(x)\log_{10-x}(x^3) = 3\log_{10-x}(x) özelliği kullanılarak denklem daha basit hale getirilir.
3
Değişken değiştirme uygulamak.
u2−2u−3=0u^2 - 2u - 3 = 0 denklemi elde edilir.
log⁡10−x(x)=1log⁡x(10−x)\log_{10-x}(x) = \frac{1}{\log_x(10-x)} olduğundan, log⁡x(10−x)=u\log_x(10-x) = u dönüşümü yapılarak ikinci dereceden bir denklem oluşturulur.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek uu değerlerini bulmak.
u=3u = 3 ve u=−1u = -1 değerleri bulunur.
u2−2u−3=(u−3)(u+1)=0u^2 - 2u - 3 = (u-3)(u+1) = 0 çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülür.
5
Her bir uu değeri için xx değerlerini bulmak ve tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek.
x=2x = 2, x=5+26x = 5 + 2\sqrt{6} ve x=5−26x = 5 - 2\sqrt{6} kökleri bulunur.
u=3u=3 için x3=10−x  ⟹  (x−2)(x2+2x+5)=0  ⟹  x=2x^3 = 10-x \implies (x-2)(x^2+2x+5)=0 \implies x=2 elde edilir. u=−1u=-1 için x−1=10−x  ⟹  x2−10x+1=0  ⟹  x=5±26x^{-1} = 10-x \implies x^2-10x+1=0 \implies x=5 \pm 2\sqrt{6} elde edilir. Bulunan tüm değerler tanım kümesindedir.
6
Tüm kökleri toplamak.
2+(5+26)+(5−26)=122 + (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 12 bulunur.
Soruda bizden istenen, denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamıdır.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Denklemlerin Değişken Değiştirme ve Taban Değiştirme Yöntemleriyle Çözülmesi
Estimated Time:2m 30s
Question 85Question →

Elemanları gerçel sayılar olan en geniş tanım kümesinde f(−x)+f(x)=0f(-x) + f(x) = 0 eşitliğini sağlayan bir ff fonksiyonunun grafiği; xx-ekseni boyunca sağa doğru 3 birim, yy-ekseni boyunca yukarı doğru 5 birim ötelenerek gg fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

gg fonksiyonunun grafiği (k,m)(k, m) noktasına göre simetrik olduğuna göre, k⋅mk \cdot m çarpımının değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

g fonksiyonunun grafiğinin simetri merkezi (3, 5) noktası olup, k ve m değerlerinin çarpımı 15'tir.
f fonksiyonunun tek fonksiyon olmasından dolayı grafiği (0, 0) noktasına göre simetriktir. Yapılan ötelemeler simetri merkezini (3, 5) noktasına taşır. Bu durumda k = 3 ve m = 5 olup çarpımları 15'tir.

Step-by-Step Solution

1
f fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme
f fonksiyonunun tek fonksiyon olduğu ve simetri merkezinin (0, 0) noktası olduğu tespit edilir.
Her x için f(-x) + f(x) = 0 olması, f(-x) = -f(x) özelliğini sağlar ve tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
2
Öteleme dönüşümü altında simetri merkezinin yeni koordinatlarını bulma
g fonksiyonunun simetri merkezinin (3, 5) noktası olduğu belirlenir.
Grafiğin sağa 3 birim ve yukarı 5 birim ötelenmesi, simetri merkezinin de x bileşeninin 3, y bileşeninin 5 artmasına neden olur.
3
k * m çarpımını hesaplama
k * m = 3 * 5 = 15 olarak bulunur.
Simetri merkezinin koordinatları k = 3 ve m = 5 olarak eşleştirilir ve bu değerler çarpılır.

Key Concept

Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir ve öteleme dönüşümleri simetri merkezini aynı doğrultuda kaydırır.
Question 86Question →
θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡4θ−sin⁡4θsin⁡θcos⁡θ=83\frac{\cos^4 \theta - \sin^4 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{8}{3}
olduğuna göre, tan⁡θ\tan \theta değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 13\frac{1}{3}

Answer

13\frac{1}{3}
Verilen ifade iki kare farkı ve yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡(2θ)=34\tan(2\theta) = \frac{3}{4} elde edilir. Tanjant yarım açı formülüyle kurulan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde ve açının (0,π4)\left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında olduğu (yani tanjant değerinin pozitif olduğu) dikkate alındığında doğru değer 13\frac{1}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡4θ−sin⁡4θ\cos^4 \theta - \sin^4 \theta ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın.
(cos⁡2θ−sin⁡2θ)(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=cos⁡(2θ)⋅1=cos⁡(2θ)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos(2\theta) \cdot 1 = \cos(2\theta)
Trigonometrik yarım açı ve temel özdeşlik kurallarını kullanarak ifadeyi basitleştirmek.
2
Paydadaki sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta ifadesini sinüs yarım açı formülü yardımıyla düzenleyin.
12sin⁡(2θ)\frac{1}{2}\sin(2\theta)
Payda kısmını tek bir açın��n (2θ2\theta) trigonometrik oranı cinsinden yazmak.
3
Elde edilen sonuçları denklemde yerine yazarak tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerini bulun.
cos⁡(2θ)12sin⁡(2θ)=83  ⟹  2cot⁡(2θ)=83  ⟹  cot⁡(2θ)=43  ⟹  tan⁡(2θ)=34\frac{\cos(2\theta)}{\frac{1}{2}\sin(2\theta)} = \frac{8}{3} \implies 2\cot(2\theta) = \frac{8}{3} \implies \cot(2\theta) = \frac{4}{3} \implies \tan(2\theta) = \frac{3}{4}
Tanjant yarım açı formülünü uygulayabilmek için tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerine ulaşmak.
4
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak tan⁡θ=t\tan\theta = t değişkeni için bir denklem kurun ve bu denklemi çözün.
2t1−t2=34  ⟹  8t=3−3t2  ⟹  3t2+8t−3=0  ⟹  (3t−1)(t+3)=0\frac{2t}{1 - t^2} = \frac{3}{4} \implies 8t = 3 - 3t^2 \implies 3t^2 + 8t - 3 = 0 \implies (3t - 1)(t + 3) = 0 Buradan t=13t = \frac{1}{3} veya t=−3t = -3 bulunur.
tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerinden yarım açı formülüyle tan⁡θ\tan\theta değerine geçiş yapmak.
5
Verilen θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığını göz önünde bulundurarak doğru tanjant değerini seçin.
θ\theta açısı birinci bölgede olduğundan tan⁡θ>0\tan\theta > 0 olmalıdır. Bu nedenle t=13t = \frac{1}{3} değeri alınır.
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik fonksiyonun işaretini belirlemek.

Key Concept

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci dereceden denklemler yardımıyla yarım açının trigonometrik değerinin bulunması.
Question 87Question →

xx ve yy birer dar açı olmak üzere,

3sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y=23\sin x \cos y + \cos x \sin y = 2
sin⁡xcos⁡y+3cos⁡xsin⁡y=1\sin x \cos y + 3\cos x \sin y = 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x−yx - y farkı kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Verilen denklem sisteminden sinüs fark formülü yardımıyla sin⁡(x−y)=12\sin(x-y) = \frac{1}{2} elde edilir. xx ve yy dar açılar olduğundan x−y=30∘x-y = 30^\circ bulunur.
Verilen iki denklem u=sin⁡xcos⁡yu = \sin x \cos y ve v=cos⁡xsin⁡yv = \cos x \sin y değişkenleriyle iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürülür: 3u+v=23u + v = 2 ve u+3v=1u + 3v = 1. Bu sistem çözüldüğünde u=5/8u = 5/8 ve v=1/8v = 1/8 bulunur. Sinüs fark formülü sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y olduğundan, sin⁡(x−y)=u−v=5/8−1/8=1/2\sin(x-y) = u - v = 5/8 - 1/8 = 1/2 olur. xx ve yy dar açılar olduğu için −90∘<x−y<90∘-90^\circ < x-y < 90^\circ olup bu aralıkta sinüsü 1/21/2 olan tek açı 30∘30^\circ derecedir.

Step-by-Step Solution

1
u=sin⁡xcos⁡yu = \sin x \cos y ve v=cos⁡xsin⁡yv = \cos x \sin y değişken tanımlamaları yapılır.
Sistem 3u+v=23u + v = 2 ve u+3v=1u + 3v = 1 biçimini alır.
Trigonometrik ifadeleri daha kolay çözülebilir bir doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.
2
Elde edilen doğrusal denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.
u=58u = \frac{5}{8} ve v=18v = \frac{1}{8} bulunur.
Bilinmeyen trigonometrik çarpımların sayısal değerlerini tespit etmek için.
3
Sinüsün fark formülü olan sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y ifadesinde bulunan değerler yerine yazılır.
sin⁡(x−y)=58−18=48=12\sin(x-y) = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} elde edilir.
İstenen x−yx-y açısına ulaşmak için gerekli olan sinüs değerini hesaplamak için.
4
xx ve yy dar açılar olduğundan −90∘<x−y<90∘-90^\circ < x-y < 90^\circ aralığı göz önüne alınarak x−yx-y değeri belirlenir.
x−y=30∘x-y = 30^\circ bulunur.
Açı sınırlandırmalarını kullanarak sinüs değeri 12\frac{1}{2} olan uygun açıyı bulmak için.

Key Concept

İki açının farkının sinüs açılımı formülü: sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b.
Question 88Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=log⁡x−210−x(x2−25)f(x) = \log_{\frac{x-2}{10-x}}(x^2 - 25)
fonksiyonunu tanımlı kılan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İlgili koşulların kesişimi alındığında fonksiyonu tanımlı yapan tam sayılar 7, 8 ve 9 olup bu sayıların toplamı 24'tür.
Fonksiyonun tanımlı olması için x2−25>0x^2-25>0, x−210−x>0\frac{x-2}{10-x}>0 ve x−210−x≠1\frac{x-2}{10-x}\neq1 şartlarının kesişimi alınmalıdır. Bu kesişim (5,10)∖{6}(5, 10) \setminus \{6\} kümesini verir. Bu kümedeki tam sayılar 7, 8 ve 9 olup toplamları 24'tür.

Step-by-Step Solution

1
Argümanın pozitiflik şartını belirlemek
x∈(−∞,−5)∪(5,∞)x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)
Logaritma tanımı gereği, logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır (x2−25>0x^2 - 25 > 0).
2
Tabanın pozitiflik şartını belirlemek
x∈(2,10)x \in (2, 10)
Logaritma tanımı gereği, logaritmanın tabanı sıfırdan büyük olmalıdır (x−210−x>0\frac{x-2}{10-x} > 0).
3
Tabanın 1'den farklı olma şartını incelemek
x≠6x \neq 6
Logaritma tanımı gereği, taban 1 değerine eşit olamaz (x−210−x≠1\frac{x-2}{10-x} \neq 1).
4
Bulunan tüm koşulların kesişimini alıp tam sayı değerlerini toplamak
Tanım kümesi (5,10)∖{6}(5, 10) \setminus \{6\} ve toplam 7+8+9=247 + 8 + 9 = 24
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm şartların eş zamanlı olarak sağlanması gerekir. Bu aralıktaki tam sayılar toplanır.

Key Concept

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, argümanın ise pozitif olması şartları birlikte incelenir.
Question 89Question →
log⁡3(x−1)+log⁡3(x−3)=log⁡3(x+17)\log_3(x - 1) + \log_3(x - 3) = \log_3(x + 17)

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Denklemi sağlayan tek gerçel kök 77 olduğundan, kökler toplam�� 77 dir.
Denklemin tek gerçel kökü olan 77 değeri tanım aralığı olan x>3x > 3 koşulunu sağladığı için doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesi kısıtlamalarını belirleme
x>3x > 3
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tüm logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritma toplama özelliğini kullanarak sol tarafı tek logaritma altında birleştirme
log⁡3(x2−4x+3)=log⁡3(x+17)\log_3(x^2 - 4x + 3) = \log_3(x + 17)
Aynı tabandaki logaritmik ifadelerin toplamı, argümanların çarpımına eşittir.
3
Tabanlar eşit olduğundan argümanları eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çözme
x=7x = 7 veya x=−2x = -2
x2−4x+3=x+17  ⟹  x2−5x−14=0  ⟹  (x−7)(x+2)=0x^2 - 4x + 3 = x + 17 \implies x^2 - 5x - 14 = 0 \implies (x - 7)(x + 2) = 0 olur.
4
Bulunan köklerin tanım kümesi şartına uygunluğunu denetleme
x=7x = 7 geçerli kök, x=−2x = -2 geçersiz kök
x=−2x = -2 değeri x>3x > 3 tanım kümesi şartını sağlamadığından yalancı köktür.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümünde elde edilen köklerin mutlaka logaritmanın tanım kümesi kuralları ile kontrol edilmesi gerekir.
Question 90Question →

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

an=log⁡5(k2n2−18n+47)a_n = \log_5 \left( \frac{k}{2n^2 - 18n + 47} \right)

biçiminde tanımlanıyor. Bu dizinin en büyük terimi 22 olduğuna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 175

Answer

Dizinin en büyük terimi n=4n = 4 veya n=5n = 5 için elde edilir ve bu durumda kk değeri 175 olarak bulunur.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan, paydadaki ifadenin en küçük değeri tepe noktasına en yakın tam sayılar olan 4 veya 5 için elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında k/7 = 25 eşitliğinden k = 175 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin genel terimini maksimum yapan koşulları belirlemek
Paydadaki 2n2−18n+472n^2 - 18n + 47 ifadesinin minimum değeri alması gerektiği tespit edildi.
Logaritma tabanı 1'den büyük olduğundan, kesirli ifadenin en büyük olması için paydasının en küçük olması gerekir.
2
Paydadaki ifadenin tepe noktasını bulmak
r=4,5r = 4,5
2x2−18x+472x^2 - 18x + 47 parabolünün tepe noktası x=−b2ax = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
3
Dizi tanım kümesi sınırını (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) uygulamak
n=4n = 4 veya n=5n = 5 değerleri seçilir. Paydanın minimum değeri: 2(4)2−18(4)+47=72(4)^2 - 18(4) + 47 = 7
Dizinin terim indisi tam sayı olmak zorundadır. Bu yüzden 4,54,5 değerine en yakın tam sayılar olan 44 ve 55 incelenir.
4
Maksimum terim değerini kullanarak kk değerini hesaplamak
k=175k = 175
a4=log⁡5(k7)=2  ⟹  k7=25  ⟹  k=175a_4 = \log_5\left(\frac{k}{7}\right) = 2 \implies \frac{k}{7} = 25 \implies k = 175 eşitliği çözülür.

Key Concept

Dizi tanım kümesi (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) ve genel terim özellikleri
Question 91Question →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=nn+1⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n
bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=12a_1 = 12 olduğuna göre, bu dizinin altıncı terimi olan a6a_6 kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Dizinin altıncı terimi 2'dir.
Verilen an+1=nn+1⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n indirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1, 2, 3, 4 ve 5 yazılıp elde edilen eşitlikler taraf tarafa çarpıldığında, eşitliğin her iki tarafındaki a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5 terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan a6=16⋅a1a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1 eşitliğinde a1=12a_1 = 12 değeri yerine yazıldığında sonuç 2 olarak bulunur. Bu durum 2 değerinin yer aldığı seçeneği doğru kılar.

Step-by-Step Solution

1
Verilen indirgeme bağıntısını n=1n=1 değerinden başlayarak n=5n=5 değerine kadar yazalım.
n=1n=1 için: a2=12⋅a1a_2 = \frac{1}{2} \cdot a_1
n=2n=2 için: a3=23⋅a2a_3 = \frac{2}{3} \cdot a_2
n=3n=3 için: a4=34⋅a3a_4 = \frac{3}{4} \cdot a_3
n=4n=4 için: a5=45⋅a4a_5 = \frac{4}{5} \cdot a_4
n=5n=5 için: a6=56⋅a5a_6 = \frac{5}{6} \cdot a_5
İstenen terim olan a6a_6'ya ulaşmak için ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmamız gerekir.
2
Elde edilen bu eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.
a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=(12⋅23⋅34⋅45⋅56)⋅(a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5)a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}\right) \cdot (a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5)
Çarpımsal indirgemeli dizilerde terimleri sadeleştirmek için taraf tarafa çarpma yöntemi (teleskopik çarpım) kullanılır.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki ortak terimleri (a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5) ve rasyonel sayıların pay ve paydalarındaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
a6=16⋅a1a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1
Sadeleştirmeler sonucunda dizinin altıncı terimi ile birinci terimi arasında doğrudan bir ilişki kalır.
4
a1=12a_1 = 12 değerini yerine yazarak a6a_6 değerini hesaplayalım.
a6=16⋅12=2a_6 = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2
Başlangıç koşulu kullanılarak aranan terimin sayısal değeri bulunur.

Key Concept

Çarpımsal indirgemeli dizilerde teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemi kullanılarak genel terim veya belirli bir terim elde edilir.
Question 92Question →

Bir psikolog, yeni bir işe başlayan bireylerin uyum sürecindeki stres düzeylerini incelemektedir. Bu amaçla katılımcıların kalp atış hızlarını kaydetmiş, kaygı anındaki terleme oranlarını ölçmüş ve yüz ifadelerindeki değişimleri videoya almıştır. Araştırmacı, katılımcıların doğrudan erişilemeyen öznel iç dünyalarını tahmin etmek yerine, d��şarıdan izlenebilen ve kaydedilebilen somut tepkileri veri kabul etmiştir.

Bu araştırmacının yaklaşımı, psikolojinin bir bilim dalı olarak öncelikle hangi ölçütlerine dayanmaktadır?

Show answer & explanation

Answer: Gözlenebilirlik ve ölçülebilirlik

Answer

Gözlenebilirlik ve ölçülebilirlik
Araştırmacının kalp atış hızı ve terleme oranı gibi fiziksel tepkileri kaydetmesi ölçülebilirlik; yüz ifadelerini videoya çekmesi ise gözlenebilirlik ölçütünü doğrudan örneklendirir. Psikoloji biliminin en temel konusu, gözlenebilen ve ölçülebilen bu tür ampirik davranışlardır.

Step-by-Step Solution

1
Paragraftaki araştırmacının veri toplama yöntemlerini analiz edin.
Araştırmacının kalp atış hızı, terleme oranı ve yüz ifadesi gibi somut verileri kaydettiği görülmektedir.
Soruda araştırmacının hangi verilere yöneldiğini tespit etmek çözüme giden ilk adımdır.
2
Kaydedilen bu verilerin bilimsel ölçütler açısından niteliğini değerlendirin.
Bu veriler dışarıdan doğrudan izlenebilen (gözlenebilirlik) ve araçlarla kaydedilebilen (ölçülebilirlik) özellikler taşımaktadır.
Somut verilerin bilimsel araştırma ölçütlerindeki karşılığını belirlemek gerekir.
3
Ulaşılan özellikleri seçeneklerdeki kavramlarla eşleştirin.
Araştırmacının öznel iç dünyayı bir kenara bırakıp dışarıdan gözlenebilen ve ölçülebilen tepkileri veri kabul etmesi 'Gözlenebilirlik ve ölçülebilirlik' seçeneği ile doğrudan örtüşür.
Psikolojinin felsefeden ayrılarak pozitif bir bilim olmasını sağlayan temel ölçütler tespit edilir.

Key Concept

Psikolojinin ölçütleri olan gözlenebilirlik ve ölçülebilirlik, incelenen konunun ampirik yöntemlerle test edilebilmesini sağlar.
Estimated Time:50s
Question 93Question →
tan⁡70∘−tan⁡10∘−3tan⁡70∘tan⁡10∘\frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3}}{\tan 70^\circ \tan 10^\circ} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 3\sqrt{3}

Answer

3\sqrt{3}
İfadeyi sadeleştirmek için 70∘−10∘=60∘70^\circ - 10^\circ = 60^\circ ilişkisi kullanılarak iki açının farkının tanjant formülü uygulanır. tan⁡(70∘−10∘)=tan⁡70∘−tan⁡10∘1+tan⁡70∘tan⁡10∘\tan(70^\circ - 10^\circ) = \frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 10^\circ} eşitliğinde tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3} yazılarak içler dışlar çarpımı yapıldığında tan⁡70∘−tan⁡10∘−3=3tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3} = \sqrt{3} \tan 70^\circ \tan 10^\circ elde edilir. Bu değer pay kısmındaki ifadenin yerine yazıldığında pay ve paydadaki tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ \tan 10^\circ terimleri sadeleşir ve sonuç karekök üç olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
70∘−10∘=60∘70^\circ - 10^\circ = 60^\circ eşitliğini fark ederek iki açının farkının tanjant formülünü yazmak.
tan⁡(70∘−10∘)=tan⁡70∘−tan⁡10∘1+tan⁡70∘tan⁡10∘\tan(70^\circ - 10^\circ) = \frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 10^\circ}
Verilen ifadedeki tan⁡70∘\tan 70^\circ ve tan⁡10∘\tan 10^\circ terimleri arasındaki cebirsel ilişkiyi kurabilmek için fark formülü kullanılır.
2
tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3} değerini formülde yerine koyup içler dışlar çarpımı yapmak.
3+3tan⁡70∘tan⁡10∘=tan⁡70∘−tan⁡10∘\sqrt{3} + \sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ = \tan 70^\circ - \tan 10^\circ
Bilinen bir açının tanjant değerini kullanarak denklem oluşturulur.
3
Elde edilen eşitliği düzenleyerek sorudaki pay kısmına benzetmek.
tan⁡70∘−tan⁡10∘−3=3tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3} = \sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ
Pay kısmındaki ifadenin yerine tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ \tan 10^\circ cinsinden eşiti yazılmak istenir.
4
Bulunan bu eşiti orijinal kesirli ifadede pay kısmına yazıp sadeleştirme işlemini tamamlamak.
3tan⁡70∘tan⁡10∘tan⁡70∘tan⁡10∘=3\frac{\sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ}{\tan 70^\circ \tan 10^\circ} = \sqrt{3}
Ortak terimler sadeleştirilerek ifadenin en sade sayısal değeri bulunur.

Key Concept

İki açının farkının tanjant formülü: tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}
Question 94Question →
Genel terimi
an=n2−9n+142n2−11n+20−ka_n = \frac{n^2 - 9n + 14}{2n^2 - 11n + 20 - k}
olan (an)(a_n) ifadesi bir gerçel sayı dizisi belirttiğine göre, kk pozitif tam sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6 değeri k için kullanılamaz çünkü bu değer dizinin ikinci terimini tanımsız yapmaktadır.
6 değeri k yerine yazıldığında payda ifadesinin köklerinden biri n = 2 pozitif tam sayısı olur. Bu durumda dizinin ikinci terimi olan a_2 tanımsız olacağından ifade bir gerçel sayı dizisi belirtmez.

Step-by-Step Solution

1
Dizi tanımından yola çıkarak genel terimin tanımsız olduğu durumları belirleme.
Bir (an)(a_n) ifadesinin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı bir gerçel sayıya eşit olması gerekir. Rasyonel bir ifadenin tanımsız olması paydasının sıfır olmasına bağlıdır. Bu nedenle 2n2−11n+20−k=02n^2 - 11n + 20 - k = 0 denkleminin pozitif tam sayılarda kökü olmamalıdır.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır.
2
Seçeneklerdeki değerlerin paydayı sıfır yapıp yapmadığını analiz etme.
6 değeri incelenir. k=6k = 6 için payda 2n2−11n+142n^2 - 11n + 14 olur. Bu ifadeyi sıfıra eşitleyip çarpanlarına ayırırsak: (2n−7)(n−2)=0(2n - 7)(n - 2) = 0 elde edilir. Buradan kökler n=2n = 2 ve n=72n = \frac{7}{2} bulunur.
Paydayı sıfır yapan nn değerlerinin pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
3
Bulunan köklerin dizi terimi indisleriyle uyuşup uyuşmadığını ve belirsizlik durumunu kontrol etme.
n=2n = 2 bir pozitif tam sayı olduğundan dizinin ikinci terimi olan a2a_2 hesaplanırken payda sıfır olur. Pay ise 22−9(2)+14=02^2 - 9(2) + 14 = 0 olur. Bu durumda a2=00a_2 = \frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Sadeleştirme yapılsa bile fonksiyonun tanım kümesindeki n=2n = 2 değeri için başlangıçtaki kural tanımsızdır. Dolayısıyla a2a_2 bir gerçel sayı belirtmez.
Sadeleştirilebilir belirsizlik durumları bile ifadenin o noktada tanımsız olmasını engellemez.
4
Diğer seçeneklerin neden dizi belirtmeyi engellemediğini doğrulama.
k=7,9,10,12k = 7, 9, 10, 12 değerleri için 2n2−11n+20−k=02n^2 - 11n + 20 - k = 0 denkleminin diskriminantı sırasıyla Δ=17,33,41,57\Delta = 17, 33, 41, 57 olur. Bu değerler tam kare olmadığından denklemlerin kökleri rasyonel sayı değildir ve dolayısıyla hiçbir pozitif tam sayı değeri paydayı sıfır yapamaz. Bu durumda dizi tanımlı kalır.
Paydanın kökleri pozitif tam sayı değilse dizi tüm pozitif tam sayılarda tanımlıdır.

Key Concept

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı indisi için tanımlı olması gerekir.
Estimated Time:2m 30s
Question 95Question →
Bir xx gerçel sayısı için,
x2−4x−3≤0 \frac{x^2 - 4}{x - 3} \le 0
(x+1)2x2−5x≥0 \frac{(x + 1)^2}{x^2 - 5x} \ge 0
eşitsizlik sistemi veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizlik sistemini sağlayan en büyük iki negatif tam sayının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -5

Answer

Sistemi sağlayan en büyük iki negatif tam sayının toplamı -5'tir.
Her iki eşitsizliğin işaret tablosu oluşturulup ortak çözüm kümesi incelendiğinde, ortak aralığın (-\infty, -2] olduğu görülür. Bu aralıktaki en büyük iki negatif tam sayı -2 ve -3 olduğundan toplamları -5'tir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliğin köklerinin bulunması ve işaret incelemesinin yapılması.
Çözüm kümesi: (-\infty, -2] \cup [2, 3)
Sistemin ilk parçasını sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek amacıyla kökler bulunup tabloya yerleştirilir.
2
İkinci eşitsizliğin köklerinin bulunması, çift katlı kök ��zelliğine dikkat edilerek işaret incelemesinin yapılması.
Çözüm kümesi: (-\infty, 0) \cup (5, \infty)
Sistemin ikinci parçasını sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek için payın çift katlı kökü (x = -1) ve paydanın tek katlı kökleri (x = 0, x = 5) incelenir.
3
Elde edilen iki ��özüm kümesinin kesişim kümesinin bulunması.
Ortakc\co¨zu¨mku¨mesi:(−∞,−2]Ortak çözüm kümesi: (-\infty, -2]
Eşitsizlik sisteminin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan x değerlerinin ortak kümesidir.
4
Ortak çözüm kümesindeki en büyük iki negatif tam sayının belirlenip toplanması.
-5
Ortak çözüm kümesindeki negatif tam sayılar -2, -3, -4, ... şeklindedir. En büyük iki tanesi olan -2 ve -3'ün toplamı istenmektedir.

Key Concept

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Question 96Question →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−3x≤a(x−3)x^2 - 3x \le a(x - 3)
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre;
I. a=3a = 3 ise eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
II. a>3a > 3 ise eşitsizliği sağlayan en küçük xx tam sayısı 3'tür.
III. a=0a = 0 ise eşitsizliği sağlayan 4 farklı xx tam sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: I, II ve III

Answer

I, II ve III öncüllerinin tamamı doğrudur.
Doğru cevap tüm öncüllerin doğru olduğu seçenektir. Çarpanlarına ayrılmış hali (x-3)(x-a) <= 0 olan eşitsizlikte: a=3 için çift katlı kök oluşur ve çözüm kümesi tek elemanlıdır; a > 3 için çözüm aralığı [3, a] olup en küçük tam sayı 3'tür; a=0 için çözüm aralığı [0, 3] olup bu aralıkta 4 farklı tam sayı vardır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliği standart form olan f(x) <= 0 biçimine getirmek için tüm terimleri sol tarafta toplayalım.
x2−3x−a(x−3)≤0  ⟹  x(x−3)−a(x−3)≤0  ⟹  (x−3)(x−a)≤0x^2 - 3x - a(x - 3) \le 0 \implies x(x-3) - a(x-3) \le 0 \implies (x-3)(x-a) \le 0 elde edilir.
İkinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesi yapılabilmesi için öncelikle çarpanlarına ayrılması ve köklerinin bulunması gerekir.
2
I. öncülü inceleyelim: a = 3 durumunu ele alalım.
(x−3)(x−3)≤0  ⟹  (x−3)2≤0(x-3)(x-3) \le 0 \implies (x-3)^2 \le 0 olur. Bir gerçel sayının karesi negatif olamayacağından, bu eşitsizliği sağlayan tek değer x=3x = 3'tür. Çözüm kümesi {3} olup tek elemanlıdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Çift katlı köklerde ifadenin işareti kökten geçerken değişmez ve sıfıra eşitlik durumu tek noktada sağlanır.
3
II. öncülü inceleyelim: a > 3 durumunu ele alalım.
Eşitsizliğin kökleri 3 ve a olup, a > 3 olduğundan kökler tablosu oluşturulduğunda çözüm kümesi [3, a] kapalı aralığı olur. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 3'tür. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Baş katsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir ifadenin kökleri arasında negatif değerler aldığı bilinmektedir.
4
III. öncülü inceleyelim: a = 0 durumunu ele alalım.
(x−3)(x−0)≤0  ⟹  x(x−3)≤0(x-3)(x-0) \le 0 \implies x(x-3) \le 0 olur. Kökler 0 ve 3 olup, çözüm kümesi [0, 3] kapalı aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 0, 1, 2, 3 olmak üzere 4 tanedir. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.
Kapalı aralıktaki tam sayıların adedi, sınır değerlerin dahil olduğu duruma göre sayılır.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çarpanlara ayrılması, köklerinin bulunması, parametreye göre işaret tablosunun oluşturulması ve çift katlı kök analizi.
Estimated Time:2m 0s
Question 97Question →

Tanımlı olduğu her xx gerçek sayısı için,

sin⁡(x−π6)+cos⁡(x−π3)cos⁡(x−π6)−sin⁡(x−π3) \frac{\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}

ifadesinin en sade eşiti nedir?

Show answer & explanation

Answer: tan(x); \tan(x); tan x; \tan x; tanx; \tanx

Answer

İfadenin en sade eşiti tan(x) olarak bulunur.
Verilen ifadedeki tüm terimler toplam ve fark formülleri kullanılarak açılıp toplandığında pay kısmı 3sin⁡x\sqrt{3}\sin x, payda kısmı ise 3cos⁡x\sqrt{3}\cos x olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin oranı ise tan⁡x\tan x sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
sin⁡(x−π/6)=sin⁡xcos⁡(π/6)−cos⁡xsin⁡(π/6)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - \pi/6) = \sin x \cos(\pi/6) - \cos x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x ve cos⁡(x−π/3)=cos⁡xcos⁡(π/3)+sin⁡xsin⁡(π/3)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - \pi/3) = \cos x \cos(\pi/3) + \sin x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x elde edilir.
Payı basitle��tirmek için sin⁡(a−b)\sin(a-b) ve cos⁡(a−b)\cos(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
2
Pay kısmındaki bu iki açılımı toplayarak payı sadeleştirin.
(32sin⁡x−12cos⁡x)+(12cos⁡x+32sin⁡x)=3sin⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x bulunur.
−12cos⁡x-\frac{1}{2}\cos x ve 12cos⁡x\frac{1}{2}\cos x terimleri birbirini sadeleştirir.
3
Payda kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
cos⁡(x−π/6)=cos⁡xcos⁡(π/6)+sin⁡xsin⁡(π/6)=32cos⁡x+12sin⁡x\cos(x - \pi/6) = \cos x \cos(\pi/6) + \sin x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x ve sin⁡(x−π/3)=sin⁡xcos⁡(π/3)−cos⁡xsin⁡(π/3)=12sin⁡x−32cos⁡x\sin(x - \pi/3) = \sin x \cos(\pi/3) - \cos x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x elde edilir.
Paydayı basitleştirmek için cos⁡(a−b)\cos(a-b) ve sin⁡(a−b)\sin(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
4
Payda kısmındaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek paydayı sadeleştirin.
(32cos⁡x+12sin⁡x)−(12sin⁡x−32cos⁡x)=3cos⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x bulunur.
Çıkarma işlemi dağıtıldığında 12sin⁡x\frac{1}{2}\sin x terimleri birbirini götürür ve kosinüslü terimler toplanır.
5
Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda değerlerini oranlayın.
3sin⁡x3cos⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sqrt{3}\sin x}{\sqrt{3}\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x elde edilir.
Katsayılar sadeleşir ve temel trigonometrik özdeşliklerden sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x bağıntısı kullanılır.

Key Concept

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının fark formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 98Question →

Kenar uzunlukları ∣AB∣=7 birim|AB| = 7\text{ birim}, ∣AC∣=8 birim|AC| = 8\text{ birim} ve ∣BC∣=5 birim|BC| = 5\text{ birim} olan bir ABCABC üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası belirleniyor.

∣BD∣=2 birim|BD| = 2\text{ birim} olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

AD uzunluğu 7 birimdir.
Doğru cevap 7'dir. İlk olarak büyük ABCABC üçgeninde tüm kenarlar bilindiği için Kosinüs Teoremi ile CC açısının kosinüsü 12\frac{1}{2} olarak bulunur. Ardından DD noktası [BC][BC] kenarını 22 ve 33 birimlik iki parçaya ayırdığı için, ACDACD üçgeninde kenarlar 88 birim ve 33 birim, aralarındaki açının kosinüsü ise 12\frac{1}{2} olur. Bu üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣AD∣=7|AD| = 7 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninde CC açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanarak cos⁡(C^)\cos(\widehat{C}) değeri hesaplanır.
∣AB∣2=∣BC∣2+∣AC∣2−2⋅∣BC∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(C^)|AB|^2 = |BC|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})
72=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡(C^)7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\widehat{C})
49=25+64−80⋅cos⁡(C^)49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(\widehat{C})
80⋅cos⁡(C^)=40⇒cos⁡(C^)=1280 \cdot \cos(\widehat{C}) = 40 \Rightarrow \cos(\widehat{C}) = \frac{1}{2} (Buradan m(C^)=60∘m(\widehat{C}) = 60^\circ bulunur.)
ACDACD üçgeninde ∣AD∣|AD| uzunluğunu hesaplayabilmek için bu iki üçgenin ortak açısı olan CC açısının kosinüs değerine ihtiyaç vardır.
2
ACDACD üçgeninde [AD][AD] kenarını bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AD∣2=∣CD∣2+∣AC∣2−2⋅∣CD∣⋅∣AC∣⋅cos⁡(C^)|AD|^2 = |CD|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |CD| \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{C})
Burada ∣CD∣=∣BC∣−∣BD∣=5−2=3 birim|CD| = |BC| - |BD| = 5 - 2 = 3\text{ birim}'dir.
∣AD∣2=32+82−2⋅3⋅8⋅12|AD|^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}
∣AD∣2=9+64−24=49|AD|^2 = 9 + 64 - 24 = 49
∣AD∣=7 birim|AD| = 7\text{ birim} bulunur.
ACDACD üçgeninin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının kosinüs değeri bilindiğinden, bilinmeyen üçüncü kenar doğrudan hesaplanabilir.

Key Concept

Kosinüs Teoremi yardımıyla bir üçgende bilinmeyen kenar uzunluğunun hesaplanması.
Estimated Time:2m 0s
Question 99Question →
xx, yy ve zz 1'den farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
log⁡2x+log⁡4(yz)=2\log_2 x + \log_4 (yz) = 2
log⁡3y+log⁡9(xz)=2\log_3 y + \log_9 (xz) = 2
log⁡5z+log⁡25(xy)=2\log_5 z + \log_{25} (xy) = 2
denklem sistemi veriliyor.

Buna göre, log⁡1,5(yx)\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İstenen ifadenin değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem sisteminde logaritma taban değiştirme ve kuvvet kuralları uygulanarak değişkenlerin oranları elde edilir. Buradan y/x oranı bulunarak tabanı 1,5 olan logaritma ifadesinin değeri 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma tabanlarını eşitleme
log⁡2(x2yz)=4\log_2(x^2 y z) = 4, log⁡3(y2xz)=4\log_3(y^2 x z) = 4 ve log⁡5(z2xy)=4\log_5(z^2 x y) = 4
log⁡a2b=12log⁡ab\log_{a^2} b = \frac{1}{2}\log_a b ve log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(bc)\log_a b + \log_a c = \log_a(bc) özelliklerini kullanarak her denklemdeki logaritmik ifadeleri tek bir tabanda birleştirmek.
2
Logaritmik ifadeleri üslü denklemlere dönüştürme
x2yz=16x^2 y z = 16, y2xz=81y^2 x z = 81 ve z2xy=625z^2 x y = 625
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b tanımını kullanarak denklemleri cebirsel olarak çözülebilir hale getirmek.
3
Denklemleri taraf tarafa çarpma
(xyz)4=304  ⟹  xyz=30(xyz)^4 = 30^4 \implies xyz = 30
Değişkenlerin çarpımını (xyzxyz) elde ederek her bir değişkeni ayrı ayrı izole edebilmek.
4
xx ve yy değişkenlerini bulma
x=815x = \frac{8}{15} ve y=2710y = \frac{27}{10}
x2yz=x(xyz)=16x^2 y z = x(xyz) = 16 ve y2xz=y(xyz)=81y^2 x z = y(xyz) = 81 eşitliklerinde xyz=30xyz = 30 değerini yerine yazmak.
5
yx\frac{y}{x} oranını ve logaritma değerini hesaplama
log⁡1,5(yx)=4\log_{1,5} \left(\frac{y}{x}\right) = 4
yx=8116=(32)4\frac{y}{x} = \frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 ve 1,5=321,5 = \frac{3}{2} eşitliklerini kullanarak istenen logaritma ifadesinin değerini bulmak.

Key Concept

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Question 100Question →

Bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+n+2a_{n+1} = a_n + n + 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, a5a_5 teriminin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

Dizinin beşinci terimi olan a5a_5 değeri 21'dir.
Verilen indirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,31, 2, 3 ve 44 yazıldığında elde edilen denklemler taraf tarafa toplandığında aradaki terimler sadeleşir ve a5=a1+3+4+5+6a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6 bağıntısına ulaşılır. a1=3a_1 = 3 olduğundan, a5=3+18=21a_5 = 3 + 18 = 21 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İndirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,31, 2, 3 ve 44 yazılır.
a2=a1+3a_2 = a_1 + 3, a3=a2+4a_3 = a_2 + 4, a4=a3+5a_4 = a_3 + 5 ve a5=a4+6a_5 = a_4 + 6 denklemleri elde edilir.
İlk terimden başlanarak ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmak amacıyla bu adımlar uygulanır.
2
Elde edilen denklemler taraf tarafa toplanarak ortak terimler sadeleştirilir.
a5=a1+3+4+5+6a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6 eşitliği elde edilir.
Teleskopik sadeleştirme yöntemiyle aradaki terimleri tek tek hesaplamadan doğrudan a5a_5 terimine ulaşmak hedeflenir.
3
a1=3a_1 = 3 değeri denklemde yerine yazılır ve toplama işlemi tamamlanır.
a5=3+18=21a_5 = 3 + 18 = 21 bulunur.
a5a_5 teriminin nihai sayısal değerini bulmak için.

Key Concept

İndirgemeli dizilerde terimler arası geçiş ve teleskopik (zincirleme) toplama yöntemi.
Estimated Time:1m 30s
PreviousPage 5 / 437Next