Layer 1

Soru 201Soru →

Şekildeki $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ olarak verilmiştir. $A$ köşesine ait iç açıortay doğrusu $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $|BD| = 6$ cm ve $|DC| = 10$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç santimetredir?

10

12

16

18

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İstenen uzunluk 12 santimetredir.

İç açıortay teoremi gereği kolların oranı, tabandaki parçaların oranına eşittir (

3k, 5k

). Oluşan üçgen 3-4-5 üçgeninin bir katı olduğundan, hipotenüs ve dik kenar arasındaki ilişki çözülerek istenen kenar uzunluğu 12 cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Açıortay teoremini uygula.

\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

bulunur. Buradan

|AB| = 3k

ve

|AC| = 5k

diyebiliriz.

Üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler.

2

ABC

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kur.

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \Rightarrow (3k)^2 + (6+10)^2 = (5k)^2

.

Dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanmak için.

3

Denklemi çözerek

k

değerini bul.

9k^2 + 16^2 = 25k^2 \Rightarrow 256 = 16k^2 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4

.

Bilinmeyen katsayıyı belirlemek için.

4

|AB|

uzunluğunu hesapla.

|AB| = 3k = 3 \cdot 4 = 12

cm.

Soruda istenen kenar uzunluğuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

Soru 202Soru →

Aşağıdaki şekilde bir dışbükey altıgen verilmiştir.

Buna göre, bu altıgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

360^{\circ}

540^{\circ}

720^{\circ}

1080^{\circ}

120^{\circ}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $720^{\circ}$

Cevap

Dışbükey bir altıgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

720^{\circ}

'dir.

Dışbükey bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n-2) \times 180^{\circ}

formülü ile bulunur. Altıgen için

n=6

olduğundan

(6-2) \times 180^{\circ} = 4 \times 180^{\circ} = 720^{\circ}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Çokgenin kenar sayısını (

n

) belirleyelim.

n = 6

(Altıgen)

Soruda verilen şekil bir altıgendir.

2

İç açılar toplamı formülünü uygulayalım.

Toplam =

(n - 2) \times 180^{\circ}

Herhangi bir dışbükey

n

kenarlı çokgenin iç açılar toplamı

(n-2)

tane üçgenin iç açılar toplamına eşittir.

3

n

yerine 6 yazarak işlemi tamamlayalım.

(6 - 2) \times 180^{\circ} = 4 \times 180^{\circ} = 720^{\circ}

Altıgen 4 adet üçgene bölünebildiği için iç açılar toplamı

720^{\circ}

olur.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin iç açılar toplamı

(n-2) \times 180^{\circ}

formülü ile hesaplanır.

İpuçları

1

Şeklin kaç kenarlı olduğunu (n sayısını) belirleyerek başlayın.

2

Çokgenin bir köşesinden diğer köşelerine doğrular çizerek kaç tane üçgen oluştuğunu görebilirsiniz.

3

İç açılar toplamı için

(n-2) \times 180^{\circ}

formülünü kullanın; burada

n=6

olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Farklı kenar sayılarına sahip (beşgen, yedigen gibi) çokgenlerin iç açılar toplamını hesaplayarak pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çokgenin içindeki bir noktadan tüm köşelere doğrular çizerek 6 tane üçgen oluşturabilirsiniz. Bu üçgenlerin açılar toplamından (

6 \times 180^{\circ}

) merkezde oluşan tam açıyı (

360^{\circ}

) çıkararak sonucu bulabilirsiniz:

1080^{\circ} - 360^{\circ} = 720^{\circ}

.

Tahmini Süre:45s

Soru 203Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde, $B$ ve $C$ köşelerine ait dış açıortaylar üçgenin dışındaki bir $D$ noktasında kesişmektedir. Bu dış açıortayların oluşturduğu $\widehat{BDC}$ açısının ölçüsü, $A$ köşesindeki iç açının ölçüsünden $15^\circ$ daha küçüktür.

Buna göre, $ABC$ üçgeninin $A$ köşesindeki iç açısı kaç derecedir?

30

50

60

70

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

ABC üçgeninin A köşesindeki iç açısı 70 derecedir.

Üçgende iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü

90^\circ - m(\widehat{A})/2

bağıntısı ile bulunur. Soruda bu açının,

A

açısının ölçüsünden 15 derece eksik olduğu ifade edilmiştir. Kurulan

90^\circ - m(\widehat{A})/2 = m(\widehat{A}) - 15^\circ

denklemi çözüldüğünde

1,5 \cdot m(\widehat{A}) = 105^\circ

ve buradan

m(\widehat{A}) = 70^\circ

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

A

açısının ölçüsüne bir değişken atayalım.

m(\widehat{BAC}) = \alpha

Bilinmeyen açıyı matematiksel olarak ifade etmek için

\alpha

sembolü seçildi.

2

Üçgende iki dış açıortay arasındaki açının ölçüsünü veren formülü belirleyelim.

m(\widehat{BDC}) = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}

Geometri kurallarına göre bir üçgende iki dış açıortayın kesişimiyle oluşan açı, tepe açısının yarısının 90 dereceden çıkarılmasıyla bulunur.

3

Soruda verilen '15 derece daha küçük' bilgisini kullanarak denklemi kuralım.

90^\circ - \frac{\alpha}{2} = \alpha - 15^\circ

Dış açıortayların oluşturduğu açının ölçüsü (

90^\circ - \alpha/2

), iç açının ölçüsünden (

\alpha

) 15 eksiktir.

4

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözelim.

90^\circ + 15^\circ = \alpha + \frac{\alpha}{2} \implies 105^\circ = 1,5\alpha

Bilinmeyenler bir tarafa, bilinenler diğer tarafa toplanarak denklem sadeleştirildi.

5

\alpha

değerini bulmak için bölme işlemini gerçekleştirelim.

\alpha = \frac{105^\circ}{1,5} = 70^\circ

Denklemin her iki tarafı 1,5'e bölünerek

A

açısının değeri hesaplandı.

Anahtar Kavram

Üçgende Dış Açıortay Özellikleri

İpuçları

1

Üçgende iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı ile üçüncü köşedeki iç açı arasındaki temel bağıntıyı hatırlayın.

2

D

noktasındaki açının ölçüsünü

A

açısının ölçüsü cinsinden

90^\circ - m(\widehat{A})/2

şeklinde ifade edebilirsiniz.

3

Sorudaki sözel ilişkiyi 'Dış açı = A açısı - 15' şeklinde bir denklem olarak kurup çözüme gidin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu iç açıortayların kesişmesi durumu (

90^\circ + m(\widehat{A})/2

) için çözerek kuralları pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin dış açılarını

180^\circ - B

ve

180^\circ - C

olarak yazıp, bunların yarısını alarak

BCD

üçgeninin iç açılar toplamından (

180^\circ

) faydalanarak da aynı sonuca ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 15s

Soru 204Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde; $A$ açısının iç açıortay doğrusu $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, dış açıortay doğrusu ise $BC$ kenarını taşıyan doğruyu $E$ noktasında kesmektedir. $|AB| = 8$ cm, $|AC| = 6$ cm ve $|BC| = 7$ cm olduğuna göre, $|DE|$ uzunluğu kaç cm'dir?

14

21

24

25

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24 cm'dir.

Soruda hem iç hem de dış açıortay teoremlerinin uygulanması gerekmektedir. Öncelikle iç açıortay teoremine göre

AB

ve

AC

kenarlarının oranı (

8/6=4/3

),

BD

ve

DC

parçalarının oranına eşittir.

|BC|=7

cm olduğu için bu oranla

|DC|=3

cm bulunur. Daha sonra dış açıortay teoremine göre, dış açıortayın kestiği

E

noktası için

|BE|/|CE|

oranı da kenarların oranına (

8/6

) eşittir. Buradan kurulan denklemle

|CE|=21

cm bulunur. İstenen

|DE|

uzunluğu ise

|DC| + |CE|

toplamından

3 + 21 = 24

cm olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İç açıortay teoremini uygula

|BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 8/6 = 4/3

. Toplam

|BC|=7

olduğundan,

|BD|=4

cm ve

|DC|=3

cm bulunur.

Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı diğer kenarların oranına göre böler.

2

Dış açıortay teoremini uygula

|BE|/|CE| = |AB|/|AC| = 8/6 = 4/3

.

|CE|=x

denirse,

|BE|=7+x

olur.

(7+x)/x = 4/3 \Rightarrow 21+3x=4x \Rightarrow x=21

. Yani

|CE|=21

cm bulunur.

Dış açıortay teoremi, dış açıortayın kestiği nokta ile köşe noktaları arasındaki uzaklıkların oranını verir.

3

|DE|

uzunluğunu hesapla

|DE| = |DC| + |CE| = 3 + 21 = 24

cm.

D, C, E

noktaları doğrusaldır ve

D

ile

E

arasındaki mesafe bu iki parçanın toplamıdır.

Anahtar Kavram

İç ve Dış Açıortay Teoremleri

İpuçları

1

Önce iç açıortay teoremini kullanarak

D

noktasının

BC

kenarını hangi oranda böldüğünü bulunuz.

2

İç açıortay teoremine göre

|AB|/|AC| = |BD|/|DC|

eşitliğini kullanın.

|BD|+|DC|=7

olduğunu unutmayın.

3

Dış açıortay teoremi için

|BE|/|CE| = |AB|/|AC|

oranını kurun. Burada

|BE| = |BC| + |CE|

olacaktır.

Daha Fazla Pratik

İç ve dış açıortay doğrularının birbirine dik olduğu (

DA \perp AE

) özelliğini kullanan soruları inceleyiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 205Soru →

Aşağıdaki $ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları ve açılar arasındaki ilişkiler verilmiştir. $|AB| = 12$ cm ve $|BC| = 7$ cm'dir. Bu üçgenin iç açılarının ölçüleri arasında $m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{A})$ bağıntısı olduğuna göre, $|AC|$ kenarının santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

3

4

6

11

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4 farklı tam sayı değeri vardır.

Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar 5 ile 19 arasında olmalıdır. Ancak soruda verilen

m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{A})

koşulu, kenarlar arasında

12 > |AC| > 7

bağıntısını zorunlu kılar. Bu iki koşulun kesişimi alındığında

|AC|

'nun 7 ile 12 arasında olması gerektiği görülür. Bu aralıktaki tam sayılar 8, 9, 10 ve 11 olup toplamda 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayın.

|12 - 7| < |AC| < |12 + 7| \Rightarrow 5 < |AC| < 19

Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.

2

Açı-kenar bağıntısını kullanarak kenarlar arasındaki sıralamayı belirleyin.

m(\widehat{C}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{A}) \Rightarrow |AB| > |AC| > |BC|

Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

3

Verilen kenar uzunluklarını sıralamada yerine koyun.

12 > |AC| > 7

|AB| = 12

cm ve

|BC| = 7

cm olarak verilmiştir.

4

Elde edilen iki eşitsizliğin kesişim kümesini bulun.

Ortak aralık:

7 < |AC| < 12

Kenar uzunluğu hem üçgen eşitsizliğini hem de açı koşulunu aynı anda sağlamalıdır.

5

Aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyin.

8, 9, 10, 11 (Toplam 4 adet)

7 ile 12 arasındaki tam sayılar istenmektedir.

Anahtar Kavram

Üçgenlerde kenar uzunlukları ile açı ölçüleri arasındaki temel ilişki: Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur ve her kenar üçgen eşitsizliğini sağlamalıdır.

İpuçları

1

Üçgen eşitsizliğini kullanarak

|AC|

için geniş bir aralık belirleyin.

2

Açı sıralamasına bakın:

m(\widehat{C})

açısı 12 cm'lik kenarı görüyorsa,

m(\widehat{B})

açısının gördüğü

|AC|

kenarı 12'den küçük olmalıdır.

3

Benzer şekilde

m(\widehat{B}) > m(\widehat{A})

olduğu için

|AC| > 7

olmalıdır. Bulduğunuz tüm sınırları birleştirin.

Daha Fazla Pratik

Bir dahaki soruda bir açının 90 dereceden büyük veya küçük olma durumunun kenar uzunluğunu nasıl etkilediğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde hem

(5, 19)

aralığını hem de

(7, 12)

aralığını çizerek kesişim bölgesini görsel olarak belirleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 206Soru →

Bir kenar uzunluğu $a$ birim olan $ABC$ eşkenar üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde, bu kenarı iki eş parçaya ayıran bir $E$ noktası işaretleniyor. $[BC]$ kenarı üzerinde ise $|BC| = 4|BD|$ eşitliğini sağlayan bir $D$ noktası alınıyor.

$[AD]$ ve $[BE]$ doğru parçaları $K$ noktasında kesiştiğine ve $ABC$ üçgeninin alanı $60$ cm $^2$ olduğuna göre, $ABK$ üçgeninin alanı kaç cm $^2$ dir?

10

12

15

20

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Menelaus teoremi veya alan oranları kullanılarak hesaplanan 12 cm

^2

değeridir.

Verilen oranlar kullanılarak (Menelaus teoremi veya kütle merkezi metodu ile) kesişim noktasının

BE

doğru parçasını 2'ye 3 oranında böldüğü bulunur.

ABE

üçgeni tüm alanın yarısıdır (30).

ABK

üçgeni ise bu yarım alanın 2/5'i kadardır, bu da 12 cm

^2

eder.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin kenarları üzerindeki oranları belirle.

E

,

[AC]

'nin orta noktası olduğundan

|AE| = |EC| = k

diyelim.

|BC| = 4|BD|

olduğundan

|BD| = m

ise

|DC| = 3m

olur.

Soruda verilen oranları matematiksel ifadelere dökmek çözümün temelidir.

2

Menelaus Teoremini

\triangle BCE

üzerinde,

A-K-D

keseni için uygula veya kütle merkezi (mass points) yöntemini kullan.

Menelaus ile:

\frac{CK}{KB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AE} = 1

(veya ilgili üçgene göre uyarlanmış hali). Alternatif olarak Kütle Merkezi Yöntemi ile:

C=1

birim kütle olsun.

|AE|=|EC|

olduğundan

A=1

.

|DC|=3|BD|

olduğundan

B=3

.

K

noktasının

[BE]

üzerindeki konumunu (oranını) bulmak için gereklidir.

3

B

ve

E

noktalarındaki kütlelere göre

K

noktasının

[BE]

'yi bölme oranını hesapla.

E

noktasındaki yük

A+C=2

.

B

noktasındaki yük

3

.

[BE]

üzerinde denge şartı:

3 \cdot |BK| = 2 \cdot |KE| \Rightarrow \frac{|BK|}{|KE|} = \frac{2}{3}

. Yani

|BK| = \frac{2}{5} |BE|

.

Alan paylaşımı taban uzunlukları oranıyla doğru orantılıdır.

4

Alan parçalama yöntemiyle

S(ABK)

alanını hesapla.

S(ABE) = \frac{1}{2} S(ABC) = 30

cm

^2

(çünkü E orta nokta).

\triangle ABK

ve

\triangle ABE

aynı yüksekliğe sahiptir, alanları tabanları oranındadır:

S(ABK) = \frac{|BK|}{|BE|} \cdot S(ABE) = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12

cm

^2

.

Sonuca ulaşmak için parça alanın bütün alanla ilişkisini kurmak.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan Paylaşımı ve Menelaus Teoremi

İpuçları

1

E noktası AC kenarının orta noktası olduğu için ABE üçgeninin alanı, tüm üçgenin alanının yarısıdır.

2

K noktasının BE üzerindeki yerini bulmak için Menelaus teoremini veya 'Maddesel Nokta' (kütle merkezi) yöntemini kullanmayı deneyin.

3

C köşesine 1, A köşesine 1 (E orta nokta olduğu için) ve B köşesine 3 (BC=4BD olduğu için) birim kütle vererek K noktasının denge konumunu bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, D noktası BC üzerinde dışta bir nokta olacak şekilde çözün (Dış Menelaus).

Alternatif Yöntem

D noktasından AC kenarına bir paralel çizerek benzer üçgenler (Kelebek Benzerliği) oluşturup oranları bulabilirsiniz.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 207Soru →

Bir $ABCD$ dörtgeninde, $m(\widehat{DAB}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{ABC}) = 60^\circ$ olduğu bilinmektedir. Kenar uzunlukları $|AD| = 4$ cm, $|AB| = 10$ cm ve $|BC| = 3$ cm olarak verildiğine göre, $|CD|$ uzunluğu kaç santimetredir?

\sqrt{39}

\sqrt{41}

\sqrt{43}

7

\sqrt{127}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{43}$

Cevap

Dörtgenin kenarlarını uzatarak oluşturulan eşkenar üçgen yardımıyla hesaplanan

|CD|

değeri

\sqrt{43}

santimetredir.

Dörtgenin

A

ve

B

köşelerindeki

60^\circ

'lik açılar, kenarlar uzatıldığında bir eşkenar üçgen oluşacağını gösterir. Taban kenarı 10 cm olduğundan, oluşturulan büyük üçgenin diğer kenarları da 10 cm olur. Verilen 4 cm ve 3 cm'lik kısımlar çıkarıldığında, tepe noktasında oluşan küçük üçgenin kenarları 6 cm ve 7 cm olarak bulunur. Aradaki açı

60^\circ

olduğu için Kosinüs Teoremi uygulanarak

|CD| = \sqrt{6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{43}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

AD

ve

BC

kenarlarını dörtgenin yukarısında kesişecek şekilde uzatın ve kesişim noktasına

K

deyin.

Taban açıları

m(\widehat{A}) = 60^\circ

ve

m(\widehat{B}) = 60^\circ

olduğundan, oluşan

KAB

üçgeni bir eşkenar üçgendir.

Bir üçgenin iki açısı

60^\circ

ise üçüncü açısı da

60^\circ

olur ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşitlenir.

2

Oluşan büyük

KAB

eşkenar üçgeninin kenar uzunluğunu kullanarak üstteki küçük

KDC

üçgeninin kenarlarını bulun.

|KA| = |KB| = |AB| = 10

cm'dir. Buradan

|KD| = 10 - 4 = 6

cm ve

|KC| = 10 - 3 = 7

cm bulunur.

Büyük üçgenin bir kenarı 10 cm olduğundan, diğer kenarlar da 10 cm olmalıdır.

3

KDC

üçgeninde,

60^\circ

'lik tepe açısını kullanarak Kosinüs Teoremini uygulayın.

|CD|^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) = 36 + 49 - 42 = 43

. Buradan

|CD| = \sqrt{43}

cm bulunur.

İki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen bir üçgende üçüncü kenarı bulmak için

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)

formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Özel açılı (

60^\circ

) dörtgen sorularında şekli eşkenar üçgene tamamlama stratejisi.

İpuçları

1

Bu dörtgeni bilinen özel bir üçgene tamamlamayı deneyin.

60^\circ

açıları size hangi üçgeni hatırlatıyor?

2

AD

ve

BC

kenarlarını yukarı doğru uzatırsanız, taban açıları

60^\circ

olan bir üçgen elde edersiniz. Bu üçgenin tepe açısı kaç derece olur?

3

Oluşan büyük üçgen eşkenardır ve bir kenarı 10 cm'dir. Tepe noktasında oluşan küçük üçgenin kenarlarını (10-4) ve (10-3) olarak bulup Kosinüs Teoremi uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, açılardan birinin

120^\circ

olduğu durumlarda dış açıdan giderek eşkenar üçgene tamamlama sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

C

ve

D

köşelerinden

AB

kenarına dikmeler indirerek (

H_1

ve

H_2

), oluşan dik üçgenler ve ortadaki dikdörtgen yardımıyla da çözüm yapılabilir, ancak bu yöntem daha uzun işlem gerektirir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 208Soru →

Tepe açısının ölçüsü $30^\circ$ olan bir $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC|$ eşitliği verilmektedir. Üçgenin $[BC]$ tabanı üzerinde alınan herhangi bir $P$ noktasından eş kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları sırasıyla $3\text{ cm}$ ve $5\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABC$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

32

48

64

96

128

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

İkizkenar üçgenin tabanındaki bir noktadan eş kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, eş kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir kuralı kullanılarak alan 64 cm² bulunur.

İkizkenar üçgenlerde taban üzerindeki herhangi bir noktadan eş kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eş kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir. Bu soruda yükseklik

3 + 5 = 8

cm bulunur. Tepe açısı

30^\circ

olduğundan, bu yüksekliğin içinde bulunduğu dik üçgende hipotenüs (yani üçgenin bir kenarı) yüksekliğin 2 katı, yani

16

cm olur. Alan formülü ile

\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 = 64

cm² sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar üçgen özelliğini uygula.

Taban üzerindeki

P

noktasından eş kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, eş kenarlardan birine ait yüksekliğe (

h_b

) eşittir:

h_b = 3 + 5 = 8

cm.

İkizkenar üçgenlerde tabandan yan kenarlara inilen dikmelerin toplamı, yan kenara ait yüksekliği verir.

2

30-60-90 üçgeni özelliğini kullanarak kenar uzunluğunu bul.

Tepe açısı

A = 30^\circ

ve yükseklik

h_b = 8

cm olduğundan, dik üçgende

\sin(30^\circ) = \frac{h_b}{|AC|}

bağıntısı ile

|AC| = \frac{8}{0.5} = 16

cm bulunur.

Yükseklik çizildiğinde oluşan dik üçgende 30 derecenin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır.

3

Üçgenin alanını hesapla.

Alan

(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 = 64

cm².

Üçgenin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabandan yan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, yan kenara ait yüksekliğe eşittir.

Soru 209Soru →

Analitik düzlemde $A(2, 6)$ ve $B(8, -2)$ noktaları veriliyor. Buna göre, $[AB]$ doğru parçasının orta noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

(5, 4)

(5, 2)

(10, 4)

(3, 2)

(2, 5)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(5, 2)$

Cevap

Verilen noktaların orta noktası

(5, 2)

koordinatlarına sahiptir.

Analitik düzlemde iki noktanın orta noktası, bu noktaların

x

ve

y

koordinatlarının ayrı ayrı ortalaması alınarak bulunur.

A(2, 6)

ve

B(8, -2)

noktaları için apsis

(2+8)/2=5

ve ordinat

(6-2)/2=2

olarak hesaplanır. Bu da bizi

(5, 2)

noktasına ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1

Noktaların koordinatlarını tespit edin.

x_1=2, y_1=6

ve

x_2=8, y_2=-2

Formülde kullanılacak değerlerin doğru belirlenmesi gerekir.

2

Orta nokta formülünü uygulayın.

M = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})

Bir doğru parçasının orta noktası, uç noktalarının aritmetik ortalamasıdır.

3

x

koordinatını hesaplayın.

\frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5

Orta noktanın apsisini bulmak için apsisler toplamının yarısı alınır.

4

y

koordinatını hesaplayın.

\frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2

Orta noktanın ordinatını bulmak için ordinatlar toplamının yarısı alınır.

Anahtar Kavram

Orta Nokta Koordinatları

İpuçları

1

Orta noktayı bulmak, iki sayının tam ortasını (ortalamasını) bulmak gibidir.

2

Apsisleri kendi arasında, ordinatları kendi arasında toplayıp ikiye bölmelisiniz.

3

x

için

(2+8)/2

,

y

için

(6-2)/2

işlemlerini yapın.

Daha Fazla Pratik

Farklı bölgelerdeki (örneğin II. ve IV. bölge) noktaların orta noktalarını bularak işaret yönetimi pratiği yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu mantığıyla;

x

değeri 2'den 8'e 6 birim artmıştır, orta noktada 3 birim artarak 5 olur.

y

değeri 6'dan -2'ye 8 birim azalmıştır, orta noktada 4 birim azalarak 2 olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 210Soru →

Taban yarıçapı $3$ cm ve yüksekliği $16\pi$ cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun taban çevresi üzerindeki $A$ noktasında bulunan bir karınca, kutunun yanal yüzeyi üzerinden iki tam tur atarak, üst tabanda $A$ noktasının tam düşey hizasında bulunan $B$ noktasına en kısa yoldan gitmek istiyor. Buna göre, karıncanın alacağı yol en az kaç cm'dir?

15\pi

20\pi

25\pi

28\pi

32\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20\pi$

Cevap

Karıncanın alacağı en kısa yol

20\pi

cm'dir.

Karınca silindir yüzeyinde hareket ettiğinde, en kısa yolu bulmak için silindirin yanal yüzeyi düz bir dikdörtgen gibi açılır. Karınca 2 tam tur attığı için, bu dikdörtgenlerden yan yana iki tane varmış gibi düşünülür. Böylece toplam yatay yol, taban çevresinin 2 katı (

2 \times 2\pi r = 12\pi

) olur. Dikey yol ise silindirin yüksekliğidir (

16\pi

). Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (

12\pi - 16\pi - 20\pi

) uygulanarak en kısa yol

20\pi

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Silindirin taban çevresini hesapla.

Çevre

= 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi

cm.

Silindirin yanal yüzeyi açıldığında genişliği çevre kadar olacaktır.

2

Karıncanın 2 tam tur atması nedeniyle toplam yatay mesafeyi belirle.

Yatay Yol

= 2 \times \text{Çevre} = 2 \times 6\pi = 12\pi

cm.

Her tur için bir çevre uzunluğu kadar yatay mesafe kat edilir.

3

Oluşan dik üçgenin dik kenarlarını belirle ve Pisagor bağıntısını uygula.

Dik kenarlar:

12\pi

ve

16\pi

. Hipotenüs (

x

) için:

x^2 = (12\pi)^2 + (16\pi)^2

.

En kısa yol, açınım düzlemindeki doğrusal yoldur (hipotenüs).

4

Hipotenüs uzunluğunu hesapla (veya özel üçgeni fark et).

x = \sqrt{144\pi^2 + 256\pi^2} = \sqrt{400\pi^2} = 20\pi

cm. (3-4-5 üçgeninin

4\pi

katı olan 12-16-20 üçgeni).

İşlemin sonucunu bulmak.

Anahtar Kavram

Silindir yüzeyinde en kısa yol problemleri, silindirin açınımı yapılarak düzlemde Pisagor bağıntısı ile çözülür.

Soru 211Soru →

Bir harita mühendisi, $ABC$ dik üçgeni biçimindeki bir arsanın ölçümlerini yapmaktadır. Arsanın $A$ köşesindeki açısı $90^\circ$ olup, $[BC]$ kenarı hipotenüstür. Yapılan ölçümlerde hipotenüs uzunluğu 100 metre, $A$ köşesinden hipotenüse inilen dikmenin uzunluğu ise 25 metre olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu arsanın en küçük iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

15

22,5

30

45

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Arsanın en küçük iç açısı 15 derecedir.

Dik üçgende hipotenüs uzunluğu (

a

), kendisine ait yüksekliğin (

h

) 4 katı ise (

a=4h

), bu üçgenin dar açıları

15^\circ

ve

75^\circ

'dir. Soruda hipotenüs 100 m ve yükseklik 25 m verildiğinden (

100 = 4 \times 25

), bu şart sağlanır. Dolayısıyla en küçük iç açı 15 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen uzunlukları ve oranı analiz et

Hipotenüs

|BC| = a = 100

m, Yükseklik

|AH| = h = 25

m. Oran:

h = \frac{a}{4}

.

Dik üçgenin kenar ve yükseklik ilişkisini kurmak için.

2

Muhteşem üçlü (kenarortay) özelliğini kullan

BC

kenarına ait kenarortay

[AM]

çizilirse,

|AM| = |BM| = |MC| = \frac{100}{2} = 50

m olur.

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.

3

Oluşan

AHM

dik üçgeninde açıları hesapla

Hipotenüs

|AM|=50

, dik kenar

|AH|=25

. Dik kenar hipotenüsün yarısı olduğu için

m(\widehat{AMH}) = 30^\circ

olur (30-60-90 üçgeni).

Özel üçgen özelliklerini kullanarak açı değerini bulmak için.

4

Dış açı özelliğinden üçgenin iç açısını bul

AMC

ikizkenar üçgeninde (

|AM|=|MC|

), dış açı

30^\circ

ise iç açılar

15^\circ

olur (

2\alpha = 30^\circ \Rightarrow \alpha = 15^\circ

). Diğer açı

90-15=75^\circ

'dir.

En küçük açıyı tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin, hipotenüsün 4'te 1'ine eşit olması (

h = \frac{a}{4}

) durumu, üçgenin

15^\circ-75^\circ-90^\circ

üçgeni olduğunu gösterir.

İpuçları

1

Hipotenüse ait kenarortayı çizmeyi deneyin. Dik üçgende kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).

2

Kenarortay çizildiğinde oluşan yeni dik üçgenin hipotenüsü 50 m, dik kenarı 25 m olacaktır. Bu oran size tanıdık bir özel üçgeni hatırlatıyor mu?

3

Dik kenar, hipotenüsün yarısıysa açı

30^\circ

'dir. Bu açı, ikizkenar bir üçgenin dış açısıdır. Dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, hipotenüsü yüksekliğinin

2\sqrt{2}

katı olan dik üçgenin açılarını soran bir soru çözülebilir (Cevap:

22,5^\circ

).

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: Doğrudan

h_a = \frac{a}{4}

özelliğini bilen biri, bunun

15^\circ-75^\circ-90^\circ

üçgeninin karakteristik özelliği olduğunu hatırlayarak işlem yapmadan 15'i işaretleyebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 212Soru →

Analitik düzlemde köşe noktaları A(0,0), B(3,0), C(3,4) ve D(0,2) olan dörtgensel bölge, y ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç $\pi$ birimküptür?

18

24

28

30

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Oluşan cismin hacmi 30

\pi

birimküptür.

Dörtgensel bölge bir dikdörtgen (y=0 ile y=2 arası) ve bir üçgen (y=2 ile y=4 arası) olarak ikiye ayrılabilir. Alt parça tam bir silindir oluşturur (

V=18\pi

). Üst parça ise dolu bir silindirden bir koninin çıkarılmasıyla elde edilen formdadır (

V=12\pi

). Toplam hacim

30\pi

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen noktaları koordinat düzleminde işaretleyin ve bölgeyi tanımlayın.

Bölge, altta

3 \times 2

boyutlarında bir dikdörtgen ve üstte dik kenarları 3 ve 2 birim olan bir dik üçgenin birleşiminden oluşan bir dik yamuktur.

Cismin geometrik yapısını anlamak için parçalara ayırma yöntemi en güvenilir yoldur.

2

Alt dikdörtgen parçasının (A-B-E-D) y ekseni etrafında dönmesiyle oluşan hacmi hesaplayın.

V_1 = \pi r^2 h = \pi (3^2)(2) = 18\pi

birimküp.

Kenarları 3 ve 2 olan dikdörtgen, y ekseni (kısa kenar) etrafında döndüğünde yarıçapı 3, yüksekliği 2 olan bir silindir oluşturur.

3

Üst üçgen parçasının (D-E-C) y ekseni etrafında dönmesiyle oluşan hacmi hesaplayın. (Pappus Teoremi veya Silindirden Koni Çıkarma)

V_2 = \text{Dış Silindir} - \text{Boş Koni} = \pi(3^2)(2) - \frac{1}{3}\pi(3^2)(2) = 18\pi - 6\pi = 12\pi

birimküp.

Üst parça, yarıçapı 3 ve yüksekliği 2 olan bir silindirin içinden, tepe noktası aşağıda olan bir koninin çıkarılmasıyla oluşan cisimdir.

4

İki parçanın hacmini toplayın.

V_{\text{toplam}} = 18\pi + 12\pi = 30\pi

birimküp.

Cisim bu iki hacmin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Dönel Cisimlerin Hacmi ve Pappus Teoremi

İpuçları

1

Şekli y ekseni üzerinde iki parçaya ayırarak düşünün:

y=0

'dan

y=2

'ye kadar olan kısım ve

y=2

'den

y=4

'e kadar olan kısım.

2

Alt parça (0-2 arası) basit bir silindirdir. Üst parçayı (2-4 arası) hesaplarken, oluşan şeklin dolu bir silindirden bir koninin çıkarılmış hali olduğunu fark edin.

Alternatif Yöntem

Pappus Teoremi (2. Teorem) ile çözüm: Alan

\times

Ağırlık Merkezinin Aldığı Yol. Yamuğun alanı 9 br², ağırlık merkezinin x bileşeni 5/3'tür.

V = 2\pi \cdot (5/3) \cdot 9 = 30\pi

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 213Soru →

Aşağıdaki $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC| = 10$ cm'dir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınmıştır.

$|BD| = 4$ cm ve $|DC| = 12$ cm olduğuna göre, $|AD|$ uzunluğu kaç santimetredir?

6

2√13

8

2√29

4√5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2√13

Cevap

İstenen

|AD|

uzunluğu 2√13 santimetredir.

İkizkenar üçgen özelliklerini kullanarak tabana inilen dikme tabanı ikiye böler (|BH|=8). Bu sayede yüksekliği (|AH|=6) ve aradaki farkı (|DH|=4) buluruz. Son adımda oluşturduğumuz küçük dik üçgende Pisagor uygulayarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

A köşesinden [BC] tabanına [AH] dikmesi indirilir.

AH ⊥ BC

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler.

2

[BC] tabanının toplam uzunluğu bulunur ve ikiye bölünerek [BH] ve [HC] uzunlukları hesaplanır.

|BC| = 4 + 12 = 16 cm; |BH| = |HC| = 8 cm

Toplam taban 16 cm olduğundan, yükseklik ayağı H noktası bunu 8'er cm olarak böler.

3

ABH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı ile yükseklik (|AH|) hesaplanır.

|AH|² + 8² = 10² ⇒ |AH|² = 100 - 64 = 36 ⇒ |AH| = 6 cm

6-8-10 özel dik üçgeni oluşur.

4

[DH] uzunluğu bulunur.

|DH| = |BH| - |BD| = 8 - 4 = 4 cm

H noktası B'den 8 cm uzaklıktadır, D noktası ise B'den 4 cm uzaklıktadır.

5

ADH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak |AD| bulunur.

|AD|² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52 ⇒ |AD| = √52 = 2√13 cm

Dik kenarları 6 ve 4 olan üçgenin hipotenüsü hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tepe açısından inilen dikmenin (yüksekliğin) aynı zamanda kenarortay olması özelliği ve Pisagor bağıntısının kullanımı.

İpuçları

1

İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikmenin özelliklerini hatırlayın.

2

A köşesinden [BC] kenarına bir dikme indirin. Bu dikme [BC] kenarını iki eşit parçaya bölecektir.

3

Oluşan 6-8-10 üçgenini kullanarak yüksekliği bulun, ardından yüksekliğin ayağı ile D noktası arasındaki mesafeyi (4 cm) kullanarak yeni bir Pisagor bağıntısı uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla eşkenar üçgen içinde alınan bir noktanın köşeye uzaklığının sorulduğu soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi ile de çözülebilir: ABC üçgeninde B açısının kosinüsü (

8/10

) bulunup ABD üçgeninde uygulanabilir, ancak dikme indirmek daha pratiktir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 214Soru →

Alt ve üst taban uzunlukları sırasıyla $15$ cm ve $10$ cm olan bir $ABCD$ dik yamuğu, kenarlarına içten teğet olan $O$ merkezli bir çemberi çevrelemektedir. Buna göre, yamuğun alanı ile çemberin alanı arasındaki fark kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

150 - 36\pi

125 - 25\pi

300 - 36\pi

150 - 12\pi

144 - 36\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $150 - 36\pi$

Cevap

Yamuğun alanı

150

, çemberin alanı

36\pi

olduğundan fark

150 - 36\pi

bulunur.

Soruda verilen şekil bir teğetler dörtgeni olduğundan, karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir. Tabanlar toplamı

10+15=25

olduğundan, yükseklik (

h

) ile eğik kenarın (

x

) toplamı da

25

olmalıdır (

h+x=25 \Rightarrow x=25-h

). Dik yamuk içinde oluşturulan dik üçgende, dik kenarlar

h

ve taban farkı olan

5

birimdir. Pisagor bağıntısı

h^2 + 5^2 = (25-h)^2

çözüldüğünde yükseklik

h=12

bulunur. Bu yükseklik aynı zamanda çemberin çapıdır, yani yarıçap

r=6

'dır. Yamuğun alanı

\frac{10+15}{2} \cdot 12 = 150

, çemberin alanı

\pi \cdot 6^2 = 36\pi

olarak hesaplanır. Aradaki fark

150 - 36\pi

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Teğetler dörtgeni özelliğini uygula.

Yamuğun paralel olmayan kenarlarının toplamı, paralel kenarlarının toplamına eşittir:

h + |BC| = 10 + 15 = 25

. Buradan

|BC| = 25 - h

bulunur.

Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşittir.

2

Dik üçgen oluşturarak Pisagor bağıntısını kur.

Dik köşeden tabana dikme inildiğinde oluşan dik üçgenin kenarları:

h

,

(15-10)=5

ve hipotenüs

(25-h)

olur. Denklem:

h^2 + 5^2 = (25-h)^2

.

Yamuğun yüksekliğini bulmak için dik üçgen yardımıyla denklem kurulmalıdır.

3

Denklemi çözerek yüksekliği ve yarıçapı bul.

h^2 + 25 = 625 - 50h + h^2 \Rightarrow 50h = 600 \Rightarrow h = 12

cm. Çemberin çapı yüksekliğe eşit olduğundan

2r = 12 \Rightarrow r = 6

cm.

Dik yamukta iç teğet çemberin çapı, yamuğun yüksekliğine eşittir.

4

Alanları hesapla ve farkı bul.

Yamuk Alanı:

\frac{10+15}{2} \cdot 12 = 150

. Çember Alanı:

\pi \cdot 6^2 = 36\pi

. Fark:

150 - 36\pi

.

Sonuç için her iki geometrik şeklin alan formülleri uygulanır.

Anahtar Kavram

Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların toplamı eşittir ve dik yamukta yükseklik iç teğet çemberin çapıdır.

İpuçları

1

Şekil bir teğetler dörtgenidir. Teğetler dörtgeninin en önemli kenar özelliğini hatırlayın: Karşılıklı kenarların toplamı birbirine eşittir.

2

Yamuğun yüksekliğine

h

deyin. Dik kenar aynı zamanda yüksekliktir. Diğer (eğik) yan kenarı

h

cinsinden ifade etmek için teğetler dörtgeni özelliğini (

a+c = b+d

) kullanın.

3

Tabanların farkı

5

'tir. Dik yamukta dik inerek bir dik üçgen oluşturun. Bu üçgenin kenarları

h

,

5

ve hipotenüsü

(25-h)

olacaktır. Pisagor bağıntısı ile

h

'yi bulun.

Alternatif Yöntem

5-12-13 özel üçgenini deneyerek de bulunabilir. Taban farkı 5 olduğundan, kenarları 5, 12, 13 olan dik üçgen yamuğun kesilen kısmı olabilir. Bu durumda yükseklik 12 olur.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 215Soru →

Taban yarıçapı ve yüksekliği, içerisine yerleştirilen iki adet eş küreye teğet olacak şekilde tasarlanmış bir dik dairesel silindir verilmiştir. Kürelerden her birinin hacmi $36\pi \text{ cm}^3$ olduğuna göre, bu silindirin hacmi kaç $\pi \text{ cm}^3$ tür?

54

72

108

144

432

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Silindirin hacmi

108\pi \text{ cm}^3

olarak hesaplanır.

Kürenin hacminden hareketle yarıçap

3 \text{ cm}

olarak bulunur. Küreler silindire teğet olduğu için silindirin taban yarıçapı

3 \text{ cm}

ve yüksekliği iki kürenin çapları toplamı olan

12 \text{ cm}

olur. Bu değerlerle silindir hacmi

108\pi

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kürenin hacim formülünü kullanarak yarıçapı bulunuz.

V = \frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r = 3 \text{ cm}

Kürenin hacmi verildiği için önce temel boyut olan yarıçapın belirlenmesi gerekir.

2

Silindirin taban yarıçapını (

R

) belirleyiniz.

R = r = 3 \text{ cm}

Küreler silindirin yan yüzeyine teğet olduğu için silindirin yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir.

3

Silindirin yüksekliğini (

h

) belirleyiniz.

h = 2 \times (2r) = 4r = 12 \text{ cm}

İki eş küre üst üste ve silindirin tabanlarına teğet yerleştirildiği için silindirin yüksekliği, iki kürenin çapları toplamına eşittir.

4

Silindirin hacim formülünü (

V = \pi R^2 h

) uygulayınız.

V = \pi \times 3^2 \times 12 = 9 \times 12 \times \pi = 108\pi \text{ cm}^3

Elde edilen boyutlar silindir hacim formülünde yerine konularak toplam hacim hesaplanır.

Anahtar Kavram

İç içe geçmiş katı cisimlerde teğetlik durumları ve hacim ilişkileri.

İpuçları

1

Önce kürenin hacim formülünü kullanarak bir kürenin yarıçapını bulmaya çalışın.

2

Silindirin yüksekliğinin, içindeki iki kürenin çaplarının toplamına eşit olduğunu fark edin.

3

Kürenin yarıçapı

3 \text{ cm}

ise silindirin yüksekliği

12 \text{ cm}

ve taban yarıçapı

3 \text{ cm}

olur.

Daha Fazla Pratik

Silindir içindeki boşluğun hacmini bulmak için silindirin hacminden kürelerin hacimleri toplamını çıkarabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 216Soru →

Bir düzgün çokgenin kenar sayısı $5$ artırıldığında, bir dış açısının ölçüsü $6^{\circ}$ azalmaktadır.

Buna göre, ilk durumdaki bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

35

54

90

135

170

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

İlk durumdaki düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 90'dır.

Düzgün çokgenin dış açısı

360/n

formülüyle bulunur. Kenar sayısı 5 arttığında dış açı 6 derece azalıyorsa, kurulan

\frac{360}{n} - \frac{360}{n+5} = 6

denkleminin çözümü

n=15

verir. 15 kenarlı bir düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı

\frac{15(15-3)}{2} = 90

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sorudaki ilişkiyi matematiksel denkleme dökün.

İlk kenar sayısına

n

diyelim. Dış açı formülü

\frac{360}{n}

'dir. Kenar sayısı

n+5

olduğunda dış açı

\frac{360}{n+5}

olur. Denklem:

\frac{360}{n} - \frac{360}{n+5} = 6

Dış açının 6 derece azaldığı bilgisini kullanmak için.

2

Denklemi sadeleştirerek

n

değerini bulun.

Her terimi 6'ya bölelim:

\frac{60}{n} - \frac{60}{n+5} = 1

. Payda eşitleyelim:

\frac{60(n+5) - 60n}{n(n+5)} = 1 \rightarrow 300 = n^2 + 5n

. Buradan

n^2 + 5n - 300 = 0

elde edilir. Çarpanlarına ayıralım:

(n+20)(n-15)=0

.

n

pozitif olmalı, bu yüzden

n=15

.

Başlangıçtaki kenar sayısını belirlemek için.

3

Bulunan kenar sayısı ile toplam köşegen sayısını hesaplayın.

Köşegen sayısı formülü

\frac{n(n-3)}{2}

'dir.

n=15

için:

\frac{15 \times (15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 15 \times 6 = 90

.

Sorunun istediği nihai değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde dış açı ve köşegen sayısı ilişkisi

İpuçları

1

Bir düzgün çokgenin dış açısının ölçüsü

\frac{360}{n}

formülü ile bulunur.

2

Kenar sayısı

n

olan çokgenin dış açısı ile

n+5

olanın dış açısı arasındaki fark 6 derecedir. Bu ilişkiyi bir denkleme dökün.

3

\frac{360}{n} - \frac{360}{n+5} = 6

denklemini çözerek

n

değerini bulun, sonra

\frac{n(n-3)}{2}

formülünü kullanın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 217Soru →

$ABCD$ bir paralelkenardır. $E$ noktası $[DC]$ kenarı üzerinde, $F$ noktası ise $[BC]$ kenarı üzerindedir. $Alan(ADE) = 12 \text{ cm}^2$ , $Alan(ABF) = 15 \text{ cm}^2$ ve $Alan(EFC) = 8 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, $Alan(AEF)$ kaç $\text{ cm}^2$ dir?

20

22

24

25

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Hesaplamalar sonucunda içteki üçgenin alanı 25 cm² olarak bulunur.

Paralelkenarın kenar oranları ile alanlar arasındaki cebirsel ilişki kurulduğunda toplam alan 60

\text{cm}^2

çıkmaktadır. İçteki bölge olan

AEF

üçgeninin alanı, 60

\text{cm}^2

olan toplam alandan bilinen 12, 15 ve 8

\text{cm}^2

'lik dış bölgelerin çıkarılmasıyla 25

\text{cm}^2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Paralelkenarın toplam alanını

S

olarak belirleyip kenar oranlarını yazın.

Alan(ADE) = \frac{1}{2} S \cdot \frac{DE}{DC}

ve

Alan(ABF) = \frac{1}{2} S \cdot \frac{BF}{BC}

Paralelkenarda bir köşeden karşı kenara çizilen üçgenin alanı, taban oranına bağlı olarak tüm alanın yarısı ile ilişkilidir.

2

Verilen alan değerlerini kullanarak kenar oranlarını

S

cinsinden bulun.

\frac{DE}{DC} = \frac{24}{S}

ve

\frac{BF}{BC} = \frac{30}{S}

12 = \frac{1}{2} S \cdot k_1 \Rightarrow k_1 = 24/S

ve

15 = \frac{1}{2} S \cdot k_2 \Rightarrow k_2 = 30/S

.

3

EFC

üçgeninin alanını bu oranlar cinsinden yazıp denklemi kurun.

Alan(EFC) = \frac{1}{2} S \cdot (1 - \frac{24}{S}) \cdot (1 - \frac{30}{S}) = 8

EC = DC - DE

ve

CF = BC - BF

olduğu için kenarların kalan kısımları kullanılır.

4

Denklemi çözerek paralelkenarın toplam alanını bulun.

S^2 - 70S + 720 = 0 \Rightarrow S = 60

Denklem açıldığında

(S-60)(S-10)=0

bulunur; alan 35'ten büyük olmalıdır.

5

Hedef bölgeyi bulun.

Alan(AEF) = 60 - (12 + 15 + 8) = 25

Tüm alandan dıştaki üç üçgenin alanları toplamı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Paralelkenarda alan parçalama ve kenar oranları ile alan arasındaki cebirsel ilişki.

Soru 218Soru →

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 150^\circ$ olarak verilmiştir. $AB$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $AC$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası alınarak, $BC$ kenarına paralel bir $[DE]$ doğru parçası çiziliyor.

$|AD| = 4\text{ cm}$ , $|DB| = 2\text{ cm}$ ve $|AC| = 12\text{ cm}$ olduğuna göre, $DBCE$ dörtgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

6

8

10

12

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10

Doğru cevap 10'dur. Öncelikle

ABC

üçgeninin alanı sinüs teoremi ile

1/2 \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin(150^\circ) = 18

bulunur. Benzerlik oranı

4/6=2/3

olduğundan, alanlar oranı

(2/3)^2=4/9

olur. Küçük üçgenin alanı

18 \cdot 4/9 = 8

bulunur. Taralı dörtgen alanı ise tüm alandan bu parçanın çıkarılmasıyla

18 - 8 = 10

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Büyük üçgenin (

ABC

) alanını sinüs alan formülü ile hesapla.

Alan(ABC) = 1/2 * |AB| * |AC| * sin(150°). |AB| = 4 + 2 = 6 cm. sin(150°) = 1/2. Alan = 1/2 * 6 * 12 * (1/2) = 18 cm².

İki kenar ve arasındaki açı bilindiğinde alan en kolay sinüs formülü ile bulunur.

2

Benzerlik oranını (k) belirle.

DE // BC olduğu için ADE ~ ABC benzerliği vardır. Benzerlik oranı k = |AD| / |AB| = 4 / 6 = 2/3'tür.

Paralellik, Temel Orantı Teoremi gereği benzer üçgenler oluşturur.

3

Alanların oranını (k²) hesapla ve ADE üçgeninin alanını bul.

Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: (2/3)² = 4/9. Alan(ADE) = Alan(ABC) * (4/9) = 18 * 4/9 = 8 cm².

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

4

İstenen dörtgenin alanını bulmak için çıkarma işlemi yap.

Alan(DBCE) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 18 - 8 = 10 cm².

Dörtgenin alanı, büyük üçgenin alanından kesilen küçük üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Sinüs Alan Formülü ve Benzerlik-Alan İlişkisi (k²)

İpuçları

1

Geniş açılı üçgenlerde alan hesabı için sinüs alan formülünü (

1/2 \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)

) hatırlayın.

\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ)

'dir.

2

Paralellik varsa benzerlik vardır. Benzerlik oranı (

k

), kenarların oranıdır (

|AD|/|AB|

).

3

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine (

k^2

) eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzerlik oranının 1/3 olduğu bir üçgende, tabana paralel çizilen doğrunun ayırdığı bölgelerin alanları oranını inceleyen sorular çözün.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 219Soru →

Bir peyzaj mimarı, yeni bir park projesi için daire şeklinde bir süs göleti tasarlamıştır. Taslak çizimde bu göletin yarıçapı $8$ metre olarak belirlenmiştir. $\pi = 3$ alınız. Buna göre, bu süs göletinin zeminde kaplayacağı alan kaç metrekaredir?

24

48

64

192

576

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192

Cevap

Süs göletinin kaplayacağı alan 192 metrekaredir.

Daire şeklindeki bir yüzeyin alanı

\pi \cdot r^2

formülü ile bulunur. Soruda yarıçap (

r

)

8

metre ve

\pi

değeri

3

olarak verildiğinden; alan

3 \cdot 8^2 = 3 \cdot 64 = 192

metrekare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerleri belirleme

r = 8

m ve

\pi = 3

Soruda verilen yarıçap ve sabit değer formülde kullanılmak üzere not edilir.

2

Alan formülünü yazma

Alan = \pi \cdot r^2

Dairenin kapladığı alanı hesaplamak için gerekli olan temel geometrik formül budur.

3

Değerleri formülde yerine koyma

Alan = 3 \cdot 8^2

Yarıçap ve

\pi

değerleri formüldeki yerlerine yerleştirilir.

4

Kuvvet alma işlemini yapma

8^2 = 64

Matematiksel işlem önceliğine göre önce üslü ifade (kare alma) hesaplanır.

5

Çarpma işlemini tamamlama

3 \cdot 64 = 192

Bulunan kare değeri

\pi

sayısı ile çarpılarak nihai alan sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Dairenin Alanı

İpuçları

1

Dairenin kapladığı yeri bulmak için 'alan' formülünü kullanmalısınız.

2

Alan formülü

\pi \cdot r^2

şeklindedir. Burada

r

yarıçapı temsil eder.

3

İşlem yaparken önce

8

'in karesini almayı, sonra sonucu

3

ile çarpmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Yarıçapı bilinen bu göletin çevresine bir sıra tel çekilseydi kaç metre tel gerekirdi? (Çevre hesaplama alıştırması)

Tahmini Süre:45s

Soru 220Soru →

Taban yarıçapı $4\text{ cm}$ ve yüksekliği $9\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki metal bir blok eritiliyor. Elde edilen sıvı metalin tamamı kullanılarak, taban yarıçapı $2\text{ cm}$ ve yüksekliği $3\text{ cm}$ olan içi dolu dik dairesel koniler dökülüyor.

Buna göre, bu işlem sonunda en çok kaç adet koni elde edilir?

12

18

24

36

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Elde edilen koni sayısı 36'dır.

Metal blok eritildiğinde toplam hacim değişmez. Silindirin hacmi

144\pi

, bir koninin hacmi ise

4\pi

olarak hesaplanır. Bu iki değer oranlandığında

144\pi / 4\pi = 36

adet koni elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eritilen silindirin hacmini hesapla.

V_{silindir} = \pi r^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = 144\pi \text{ cm}^3

Silindirin hacim formülü kullanılarak toplam metal miktarı bulunur.

2

Elde edilecek bir koninin hacmini hesapla.

V_{koni} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 3 = 4\pi \text{ cm}^3

Koninin hacim formülü kullanılarak tek bir parçanın hacmi bulunur.

3

Toplam hacmi bir koninin hacmine böl.

\frac{144\pi}{4\pi} = 36

Toplam metal miktarının kaç adet koniye dönüştüğü oranlanarak bulunur.

Anahtar Kavram

Hacim Korunumu ve Dönüşümü

İpuçları

1

Eritme işlemlerinde cismin şekli değişse de toplam hacmi (miktarı) değişmez.

2

Önce silindirin hacmini, sonra bir koninin hacmini hesaplayın. Silindir hacmi formülü

\pi r^2 h

, koni hacmi formülü

\frac{1}{3} \pi r^2 h

şeklindedir.

3

Silindir hacmi:

\pi \cdot 4^2 \cdot 9

. Koni hacmi:

\frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 3

. Bu iki sonucu birbirine bölün.

Alternatif Yöntem

Oran yöntemi kullanılabilir: Yarıçap yarıya düşüyor (

r \to r/2

), alan 1/4'üne iner. Yükseklik 3'te 1'ine düşüyor (

h \to h/3

). Koni faktörü 1/3 vardır. Hacim değişimi: Silindir Hacmi / Koni Hacmi =

\frac{\pi r^2 h}{\frac{1}{3}\pi (r/2)^2 (h/3)} = \frac{1}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 36

.

Tahmini Süre:1m 30s

Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik