Examkin

Problemler

415 soru

Soru 101Soru →

Bir tüccar, kilogramını 6060 TL'den satın aldığı yaş sabunları kuruttuktan sonra satmaktadır. Kuruma işlemi sırasında sabunlar ağırlıklarının %20\%20'sini kaybetmektedir. Tüccarın bu satıştan maliyet üzerinden %40\%40 oranında kâr elde edebilmesi için, kuru sabunun kilogram satış fiyatını kaç TL olarak belirlemesi gerekmektedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 105

Cevap

Kuru sabunun kilogram satış fiyatı 105 TL olmalıdır.
Soruda ürünün miktarının azalması (fire vermesi) ve bu durumun birim maliyeti artırması kurgulanmıştır. Başlangıçta 100100 kg ürün alındığı varsayılırsa, toplam maliyet 60006000 TL olur. Kuruma sonrası elde sadece 8080 kg ürün kalır. Tüccarın zarar etmemesi ve üzerine %40\%40 kâr koyabilmesi için, toplamda 60006000 TL'nin %140\%140'ı olan 84008400 TL kazanması gerekir. Bu tutarı elindeki 8080 kg ürünü satarak elde edeceği için, 8400/80=1058400 / 80 = 105 TL satış fiyatı belirlenmelidir.

Adım Adım Çözüm

1
İşlem kolaylığı sağlaması için başlangıçta alınan yaş sabun miktarını referans bir değer olarak belirle.
Alınan miktar: 100100 kg olsun.
Yüzde problemlerinde 100100 sayısını taban almak işlemleri sadeleştirir.
2
Toplam maliyeti hesapla.
Toplam Maliyet = 100 kg×60 TL/kg=6000100 \text{ kg} \times 60 \text{ TL/kg} = 6000 TL.
Kâr hesabı toplam maliyet üzerinden yapılacaktır.
3
Kuruma sonrası kalan sabun miktarını (net ağırlığı) hesapla.
Kalan Miktar = 100−(100×%20)=80100 - (100 \times \%20) = 80 kg.
Satış yapılabilecek ürün miktarı, fire (kayıp) sonrası kalan miktardır.
4
Maliyet üzerinden hedeflenen toplam satış gelirini hesapla.
Hedef Gelir = 6000+(6000×%40)=6000+2400=84006000 + (6000 \times \%40) = 6000 + 2400 = 8400 TL.
Tüccar toplam maliyetine %40\%40 kâr eklemek istemektedir.
5
Birim satış fiyatını bulmak için hedef geliri kalan miktara böl.
Birim Fiyat = 8400 TL/80 kg=1058400 \text{ TL} / 80 \text{ kg} = 105 TL.
Toplam gelirin kalan ürün miktarına bölünmesi birim fiyatı verir.

Anahtar Kavram

Miktar azaldığında birim maliyetin artması prensibi (Fire Problemleri).

İpuçları

1
Soruyu çözmek için hayali bir miktar belirleyin (örneğin 100 kg sabun alındığını varsayın).
2
100 kg sabun kuruduğunda geriye 80 kg kalır, ancak tüccarın ödediği toplam para (maliyet) değişmez.
3
Toplam maliyetinizi hesaplayın, buna %40 kâr ekleyerek hedeflediğiniz toplam parayı bulun. Son olarak bu parayı elinizde kalan 80 kg sabuna bölerek birim fiyatı bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çözülen 'enflasyon ve alım gücü' problemlerini inceleyin.

Alternatif Yöntem

Çarpan Yöntemi: Maliyet artış katsayısı 100100−20=10080=1.25\frac{100}{100-20} = \frac{100}{80} = 1.25 tir (Maliyet %25\%25 artar). Bunun üzerine %40\%40 kâr koymak için: 60×1.25×1.40=10560 \times 1.25 \times 1.40 = 105 TL işlemi yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 102Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin %40\%40'ı kızdır. Kız öğrencilerin %25\%25'i, erkek öğrencilerin ise %20\%20'si gözlük kullanmaktadır. Bu sınıfta gözlük kullanmayan toplam 117117 öğrenci olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Sınıf mevcudu 150 kişidir.
Sınıf mevcudu 100x100x olarak alındığında; kızlar 40x40x, erkekler 60x60x olur. Kızların %75\%75'i (gözlüksüzler) 30x30x, erkeklerin %80\%80'i (gözlüksüzler) 48x48x yapar. Toplam gözlüksüz öğrenci sayısı olan 78x78x, 117117'ye eşitlendiğinde x=1,5x=1,5 bulunur. Buradan toplam mevcut 100×1,5=150100 \times 1,5 = 150 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıf mevcuduna bir değişken atayın.
Sınıf mevcudu =100x= 100x olsun.
Yüzde hesaplamalarını kolaylaştırmak için başlangıç değerini 100'ün katı seçmek işlemleri hızlandırır.
2
Kız ve erkek öğrenci sayılarını belirleyin.
Kızlar: 100x×%40=40x100x \times \%40 = 40x, Erkekler: 100x−40x=60x100x - 40x = 60x.
Sınıfın geri kalanı erkek olduğu için mevcuttan kız sayısını çıkardık.
3
Her gruptaki gözlük kullanmayan öğrenci oranlarını ve sayılarını hesaplayın.
Gözlüksüz Kızlar: 40x×%75=30x40x \times \%75 = 30x, Gözlüksüz Erkekler: 60x×%80=48x60x \times \%80 = 48x.
Bir grubun %25'i gözlüklü ise %75'i gözlüksüzdür. Aynı mantıkla %20'si gözlüklü ise %80'i gözlüksüzdür.
4
Toplam gözlüksüz öğrenci sayısını verilen sayıya eşitleyin.
30x+48x=78x⇒78x=11730x + 48x = 78x \Rightarrow 78x = 117.
Problemin sonunda verilen 117 sayısı, her iki gruptaki gözlüksüzlerin toplamına eşittir.
5
Denklemi çözerek sınıf mevcudunu bulun.
x=117/78=1,5x = 117 / 78 = 1,5. Sınıf mevcudu: 100×1,5=150100 \times 1,5 = 150.
Bilinmeyeni bulduktan sonra başlangıçta belirlediğimiz 100x100x ifadesinde yerine koyduk.

Anahtar Kavram

Yüzde problemlerinde temel miktar (referans) doğru belirlenmeli ve alt grupların yüzdeleri kendi bütünleri üzerinden hesaplanmalıdır.

İpuçları

1
Sınıf mevcuduna 100x100x diyerek başlayın ve önce kız-erkek sayılarını bu cinsinden yazın.
2
Gözlük kullanmayanların sayısını bulmak için; kızların %75\%75'ini, erkeklerin ise %80\%80'ini hesaplamanız gerektiğini unutmayın.
3
Gözlüksüz kız ve erkek sayılarını toplayıp 117117'ye eşitleyerek xx değerini bulun, ardından 100x100x sonucuna ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Kar-zarar problemlerindeki 'maliyet üzerinden yüzde' mantığı ile bu sorudaki 'grup üzerinden yüzde' mantığı arasındaki benzerliği inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 103Soru →

A kabında ağırlıkça %40\%40 şeker oranına sahip 100100 gram, B kabında ise ağırlıkça %20\%20 şeker oranına sahip 6060 gram şekerli su karışımı bulunmaktadır. Önce A kabındaki karışımın 15\frac{1}{5}'i alınıp B kabına karıştırılıyor. Daha sonra B kabında elde edilen yeni karışımın 14\frac{1}{4}'ü alınıp tekrar A kabına karıştırılıyor. Buna göre, son durumda A kabında oluşan karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Son durumda A kabındaki karışımın şeker oranı %37\%37 olarak bulunur.
Doğru cevap, karışım transferlerini sırasıyla ve kütle korunumuna dikkat ederek takip etmeyi gerektirir. İlk adımda A'dan B'ye geçen şeker miktarı hesaplanıp B'nin yeni yüzdesi ( \ %25) bulunur. İkinci adımda bu yeni yüzdeli karışımdan A'ya geri transfer yapılır. Sonuçta A kabında toplam 3737 gram şeker ve 100100 gram karışım oluştuğu için oran %37\%37 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A kabından B kabına yapılan ilk transferi analiz etme.
A'dan aktarılan: 2020 g kütle, 88 g şeker. A'da kalan: 8080 g kütle, 3232 g şeker.
A kabındaki 100100 gram karışımın 15\frac{1}{5}'i hesaplanır: 100×15=20100 \times \frac{1}{5} = 20 gram. Bu miktarın içindeki şeker: 20×%40=820 \times \%40 = 8 gramdır.
2
B kabındaki yeni karışımın durumunu hesaplama.
B'nin yeni hali: 8080 g kütle, 2020 g şeker. Yeni oran: %25\%25.
B'de başlangıçta 6060 g (%20) vardı (1212 g şeker). A'dan gelen 2020 g (88 g şeker) eklendi. Toplam kütle: 60+20=8060+20=80 g. Toplam şeker: 12+8=2012+8=20 g. Oran: 2080=14=%25\frac{20}{80} = \frac{1}{4} = \%25.
3
B kabından A kabına yapılan ikinci transferi analiz etme.
B'den A'ya aktarılan: 2020 g kütle, 55 g şeker.
B'deki 8080 gram yeni karışımın 14\frac{1}{4}'ü hesaplanır: 80×14=2080 \times \frac{1}{4} = 20 gram. Bu karışımın oranı %25\%25 olduğundan içindeki şeker: 20×0,25=520 \times 0,25 = 5 gramdır.
4
A kabındaki son durumu ve yüzdeyi hesaplama.
Son A: 100100 g kütle, 3737 g şeker. Oran: %37\%37.
A'da kalan 8080 g karışımda 3232 g şeker vardı. B'den gelen 2020 g karışımda 55 g şeker geldi. Toplam kütle: 80+20=10080+20=100 g. Toplam şeker: 32+5=3732+5=37 g. Yüzde: 37100=%37\frac{37}{100} = \%37.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde madde transferi yapılırken, saf madde miktarı ve toplam karışım miktarı ayrı ayrı takip edilmeli, ara karışımların yüzdeleri güncellenmelidir.

İpuçları

1
Her transfer işleminde hem toplam karışım miktarını hem de içindeki saf şeker miktarını ayrı ayrı hesaplayarak tablo oluşturunuz.
2
İlk adımda A'dan B'ye 20 gram karışım geçer. B'nin yeni toplam kütlesi 80 gram olur. Önce bu yeni karışımın şeker yüzdesini bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'su buharlaştırma' işlemi ekleyerek çözmeyi deneyin: Karışımdan su eksildiğinde saf madde miktarı sabit kalırken yüzdesi artar.

Alternatif Yöntem

Saf madde takibi yerine oran değişimi üzerinden gidilebilir: A'dan B'ye geçen 20g, B'deki 60g ile birleşince 1'e 3 oranında karışır. (1×40+3×20)/4=25(1 \times 40 + 3 \times 20)/4 = 25. Yeni B %25 olur. Sonra B'den A'ya dönen 20g (%25), A'da kalan 80g (%40) ile birleşir (1'e 4 oran). (1×25+4×40)/5=185/5=37(1 \times 25 + 4 \times 40)/5 = 185/5 = 37.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 104Soru →

Bir belediyeye ait hayvan barınağında toplam 180180 hayvan bulunmaktadır. Bu hayvanların %30\%30'u kedi olduğuna göre, barınaktaki kedi sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Barınaktaki kedi sayısı 54'tür.
Verilen toplam 180180 hayvanın %30\%30'unu bulmak için 180×30100\frac{180 \times 30}{100} işlemi uygulanır. Sıfırlar sadeleştiğinde 18×3=5418 \times 3 = 54 sonucu elde edilir. Bu nedenle barınaktaki kedi sayısı 54'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Bütünün miktarını ve istenen yüzde oranını belirleyin.
Toplam hayvan sayısı 180180, kedi oranı %30\%30.
Yüzde hesaplaması yapabilmek için temel verileri saptamak gerekir.
2
Yüzde formülünü uygulayın: (Sayı×Oran)/100(\text{Sayı} \times \text{Oran}) / 100.
180×30100\frac{180 \times 30}{100}
Bir sayının belirli bir yüzdesini bulmak için o sayı ile yüzde oranı çarpılır ve sonuç 100'e bölünür.
3
Gerekli sadeleştirmeleri yaparak işlemi tamamlayın.
18×3=5418 \times 3 = 54
İşlemi kolaylaştırmak için pay ve paydadaki sıfırlar sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Bir Çokluğun Belirli Bir Yüzdesini Bulma

İpuçları

1
Bir sayının %30'unu bulmak için o sayıyı önce 100'e bölüp sonra 30 ile çarpabilir veya doğrudan 0,30 ile çarpabilirsiniz.
2
180 sayısının %10'unu bulmak çok kolaydır (sadece bir sıfır atın). Bulduğunuz bu değeri 3 ile çarparak %30'a ulaşabilirsiniz.
3
180×30180 \times 30 işlemini yapıp çıkan sonucu 100100'e bölerseniz kedi sayısını bulacaksınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, aynı barınaktaki köpeklerin sayısını (%70) hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı yöntemini kullanabilirsiniz: Tamamı (%100) 180 ise, %30'u x'tir. Burada doğru orantı kurarak 100x=180×30100x = 180 \times 30 denkleminden x=54x=54 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:45s
Soru 105Soru →

A kabında ağırlıkça %30 şeker içeren 80 gram, B kabında ise ağırlıkça %10 şeker içeren 120 gram şekerli su karışımı bulunmaktadır.

Önce A kabındaki karışımın yarısı B kabına boşaltılıp karıştırılıyor. Ardından B kabında oluşan yeni karışımın dörtte biri tekrar A kabına boşaltılıyor.

Buna göre, son durumda A kabında oluşan karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22,5

Cevap

Son durumda A kabındaki karışımın şeker oranı %22,5'tir.
Karışım problemlerinde adım adım madde takibi yapılmalıdır. İlk adımda A'dan B'ye 40g karışım (12g şeker) geçer. A'da 40g kalır, B ise 160g olur ve şeker oranı %15'e çıkar. İkinci adımda B'den A'ya 40g karışım (bu sefer %15'lik, yani 6g şeker içeren) geçer. Son durumda A kabında 40g (kalan) + 40g (gelen) = 80g karışım olur. Toplam şeker ise 12g (kalan) + 6g (gelen) = 18g olur. Yüzde hesabı: 1880=22,5100\frac{18}{80} = \frac{22,5}{100} yani %22,5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki madde miktarlarını hesapla.
A: 80g (%30) → 24g şeker. B: 120g (%10) → 12g şeker.
Karışım değişimlerini takip edebilmek için saf madde miktarlarını bilmemiz gerekir.
2
A'nın yarısını (1/2) B'ye aktar ve B'nin yeni durumunu hesapla.
Aktarılan: 40g karışım (12g şeker). B'nin Yeni Hali: 120+40=160g toplam, 12+12=24g şeker. Yeni Oran: 24/160 = %15.
A'dan dökülen miktar B'ye eklenerek yeni bir homojen karışım oluşturur.
3
B'nin yeni halinin dörtte birini (1/4) A'ya geri aktar.
Aktarılan: 160g'ın 1/4'ü = 40g karışım. İçindeki şeker: 24g'ın 1/4'ü = 6g şeker.
Homojen karışımdan alınan her parçada oran aynıdır (%15).
4
A kabının son durumunu ve yüzdesini hesapla.
A'da kalan: 40g (12g şeker). Eklenen: 40g (6g şeker). Toplam: 80g karışım, 18g şeker. Oran: 18/80 = 22,5/100 = %22,5.
Kalan miktar ile geri eklenen miktarın toplamı son yüzdeyi verir.

Anahtar Kavram

Ardışık Karışım İşlemleri ve Madde Takibi

İpuçları

1
Her adımda kaplarda kalan madde miktarını ve şeker miktarını ayrı ayrı not ediniz.
2
İlk işlemden sonra A kabında 40g karışım kalırken, B kabı 160g ağırlığa ulaşır. B'nin yeni şeker yüzdesini hesaplayıp ikinci adıma geçiniz.

Alternatif Yöntem

Oran yöntemi: A'dan B'ye giden miktar B'nin 1/3'ü kadardır (40g/120g). Ağırlıklı ortalama ile B'nin yeni yüzdesi bulunur. Sonra B'den A'ya gelen miktar A'nın kalanının (40g) aynısıdır (40g). Eşit miktarda karıştıkları için son yüzde, A'nın kalan yüzdesi (%30) ile B'nin yeni yüzdesinin (%15) tam ortasıdır: (30+15)/2=22,5(30+15)/2 = 22,5.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 106Soru →

Tuz yüzdeleri birbirinden farklı olan A ve B homojen tuzlu su karışımları bulunmaktadır. A karışımından xx gram, B karışımından yy gram alınarak oluşturulan I. karışımın tuz yüzdesi C1C_1; A karışımından yy gram, B karışımından xx gram alınarak oluşturulan II. karışımın tuz yüzdesi C2C_2 olarak hesaplanmıştır.

C2C_2 değerinin, A karışımının kendi tuz yüzdesi ile C1C_1 değerinin aritmetik ortalamasına eşit olduğu bilindiğine göre, xx ile yy arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: y=2xy = 2x

Cevap

y=2xy = 2x bağıntısı elde edilir.
Soruda verilen karışım senaryoları cebirsel olarak modellendiğinde, C1C_1 ve C2C_2 değerleri kütlelerin (xx ve yy) ağırlıklı ortalamalarına bağlıdır. C2C_2'nin, AA ile C1C_1'in aritmetik ortalaması olması şartı (2C2=A+C12C_2 = A + C_1), gerekli cebirsel sadeleştirmeler yapıldığında (a−b)(y−2x)=0(a-b)(y-2x)=0 eşitliğini verir. Karışımların yüzdeleri farklı (a≠ba \neq b) olduğu için tek çözüm y=2xy=2x bağıntısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla
A karışımının tuz yüzdesi aa, B karışımının tuz yüzdesi bb olsun. Verilen bilgiye göre a≠ba \neq b.
Yüzde hesaplamalarını cebirsel olarak ifade edebilmek için sabitlere ihtiyaç vardır.
2
I. Karışım (C1C_1) ve II. Karışım (C2C_2) için denklemleri kur
C1=x⋅a+y⋅bx+yC_1 = \frac{x \cdot a + y \cdot b}{x + y} ve C2=y⋅a+x⋅bx+yC_2 = \frac{y \cdot a + x \cdot b}{x + y}
Karışım problemlerinde yeni yüzde, (Miktar ×\times Yüzde) toplamının toplam miktara bölünmesiyle bulunur.
3
Verilen aritmetik ortalama şartını denkleme dök
C2=a+C12⇒2C2=a+C1C_2 = \frac{a + C_1}{2} \Rightarrow 2C_2 = a + C_1
Sorudaki sözel ifade matematiksel eşitliğe dönüştürülür.
4
Denklemde ifadeleri yerine yaz ve düzenle
2(ya+xbx+y)=a+xa+ybx+y2 \left( \frac{ya + xb}{x+y} \right) = a + \frac{xa + yb}{x+y}
Kesirli ifadelerden kurtulmak ve x,yx, y ilişkisini bulmak için yerine koyma işlemi yapılır.
5
Eşitliğin her iki tarafını (x+y)(x+y) ile çarp ve sadeleştir
2(ya+xb)=a(x+y)+xa+yb⇒2ya+2xb=ax+ay+xa+yb⇒2ya+2xb=2ax+ay+yb2(ya + xb) = a(x+y) + xa + yb \Rightarrow 2ya + 2xb = ax + ay + xa + yb \Rightarrow 2ya + 2xb = 2ax + ay + yb
Paydaları yok ederek lineer bir denklem elde edilir.
6
Benzer terimleri bir araya topla ve çarpanlara ayır
2ya−ay−yb+2xb−2ax=0⇒ay−yb−2ax+2xb=0⇒y(a−b)−2x(a−b)=0⇒(a−b)(y−2x)=02ya - ay - yb + 2xb - 2ax = 0 \Rightarrow ay - yb - 2ax + 2xb = 0 \Rightarrow y(a-b) - 2x(a-b) = 0 \Rightarrow (a-b)(y-2x) = 0
a≠ba \neq b olduğu bilindiği için (a−b)(a-b) terimi sadeleşebilir.
7
Sonucu bul
a≠ba \neq b olduğundan a−b≠0a-b \neq 0 olur. Bu durumda y−2x=0y - 2x = 0 olmalıdır, yani y=2xy = 2x.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

Anahtar Kavram

Karışım Problemlerinde Ağırlıklı Ortalama ve Cebirsel Modelleme

İpuçları

1
A ve B karışımlarının tuz yüzdelerine sırasıyla aa ve bb diyerek C1C_1 ve C2C_2 değerlerini xx ve yy cinsinden yazın.
2
Karışım formülünü hatırlayın: (Miktar1 ×\times Yüzde1 + Miktar2 ×\times Yüzde2) / Toplam Miktar. Bu formülü kullanarak 2C2=a+C12C_2 = a + C_1 eşitliğini kurun.
3
Elde ettiğiniz denklemde paydaları eşitleyip (x+y)(x+y) ifadelerini sadeleştirin. Sonrasında (a−b)(a-b) parantezine alarak çözüme ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Karışımların bir kısmının dökülüp yerine saf su eklendiği problemleri inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Değer vererek kontrol etme: x=1x=1 ve y=2y=2 (yani y=2xy=2x) varsayalım. Eğer a=10,b=40a=10, b=40 ise; C1=(10+80)/3=30C_1 = (10+80)/3 = 30. C2=(20+40)/3=20C_2 = (20+40)/3 = 20. Şart: 20=(10+30)/220 = (10+30)/2. Bu eşitlik sağlandığı için y=2xy=2x doğrudur.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 107Soru →

Yaşları birbirinden farklı tam sayılar olan Ahmet, Burak ve Cenk isimli üç arkadaşın yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ahmet, Burak'ın bugünkü yaşındayken; Cenk'in yaşı, Burak'ın bugünkü yaşının 13\frac{1}{3}'ü kadardı.
* Burak, Ahmet'in bugünkü yaşına geldiğinde; Cenk'in yaşı, Ahmet'in bugünkü yaşının yarısı olacaktır.

Buna göre, bu üç kişinin bugünkü yaşları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 69

Cevap

Üç arkadaşın yaşları toplamı 69 olabilir.
Denklem sistemi çözüldüğünde yaşların sırasıyla 10k,9k,4k10k, 9k, 4k orantısında olduğu görülür. Toplamları 23k23k eder. Seçeneklerde 23'ün katı olan tek sayı, k=3k=3 değeri için elde edilen 69'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet'in yaşı aa, Burak'ın yaşı bb ve Cenk'in yaşı cc olsun. Verilen bilgilerden Ahmet'in en büyük, Burak'ın ortanca olduğu anlaşılmaktadır (a>ba > b). İlk durumu denkleme dökeriz.
Ahmet, Burak'ın yaşındayken geçen süre t1=a−bt_1 = a - b yıldır. Bu durumda Cenk'in yaşı: c−(a−b)=c−a+bc - (a - b) = c - a + b. Verilen bilgiye göre: c−a+b=b3⇒3c−3a+3b=b⇒3a=2b+3cc - a + b = \frac{b}{3} \Rightarrow 3c - 3a + 3b = b \Rightarrow 3a = 2b + 3c (I. Denklem)
Geçmiş zamandaki yaş ilişkisini matematiksel ifadeye dönüştürmek.
2
İkinci durumu denkleme dökeriz.
Burak, Ahmet'in yaşına geldiğinde geçecek süre t2=a−bt_2 = a - b yıldır. Bu durumda Cenk'in yaşı: c+(a−b)c + (a - b). Verilen bilgiye göre: c+a−b=a2⇒2c+2a−2b=a⇒a+2c=2bc + a - b = \frac{a}{2} \Rightarrow 2c + 2a - 2b = a \Rightarrow a + 2c = 2b (II. Denklem)
Gelecek zamandaki yaş ilişkisini matematiksel ifadeye dönüştürmek.
3
Elde edilen iki denklemi ortak çözeriz. II. denklemdeki 2b2b ifadesini I. denklemde yerine yazarız.
3a=(a+2c)+3c⇒3a=a+5c⇒2a=5c3a = (a + 2c) + 3c \Rightarrow 3a = a + 5c \Rightarrow 2a = 5c. Buradan c=2a5c = \frac{2a}{5} bulunur.
Değişken sayısını azaltarak yaşlar arasındaki oranı bulmak.
4
Bulduğumuz cc değerini II. denklemde yerine yazarak bb'yi aa cinsinden ifade ederiz.
2b=a+2(2a5)⇒2b=5a+4a5⇒2b=9a5⇒b=9a102b = a + 2(\frac{2a}{5}) \Rightarrow 2b = \frac{5a + 4a}{5} \Rightarrow 2b = \frac{9a}{5} \Rightarrow b = \frac{9a}{10}.
Tüm yaşları tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
5
Yaşların tam sayı olması gerektiği için a,b,ca, b, c değerlerini orantılı bir kk sayısı ile ifade ederiz.
aa sayısı hem 5'e hem 10'a bölünebilmeli, a=10ka=10k olsun. O halde: c=4kc = 4k, b=9kb = 9k olur. Yaşlar: Ahmet=10k, Burak=9k, Cenk=4k.
Kesirli ifadelerden kurtulup tam sayı katlarını belirlemek.
6
Yaşların toplamını hesaplayıp seçenekleri kontrol ederiz.
Toplam =10k+9k+4k=23k= 10k + 9k + 4k = 23k. Sonuç 23'ün bir tam sayı katı olmalıdır. Seçenekler arasında 23'ün katı olan tek sayı 69'dur (k=3k=3 için).
Doğru cevabı seçenekler arasından tespit etmek.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde kişiler arasındaki yaş farkının sabit kalması ve zamanın herkes için eşit işlemesi prensibi üzerine kurulu denklem sistemleri.

İpuçları

1
Ahmet'in yaşına aa, Burak'ın yaşına bb, Cenk'in yaşına cc diyerek iki ayrı durumu matematiksel eşitliğe dökün. Ahmet'in Burak'ın yaşına inmesi için (a−b)(a-b) yıl geriye gitmek gerekir.
2
İki denklem elde edeceksiniz: 1) c−(a−b)=b/3c - (a-b) = b/3 ve 2) c+(a−b)=a/2c + (a-b) = a/2. Bu iki denklemdeki bb ve cc değerlerini aa cinsinden ifade etmeye çalışın.
3
Denklemleri çözdüğünüzde c=2/5ac = 2/5 a ve b=9/10ab = 9/10 a bulacaksınız. Yaşların tam sayı olması için aa'nın 10'un katı olması gerekir. Toplamı kk cinsinden ifade edin.

Daha Fazla Pratik

Bir babanın yaşının, iki çocuğunun yaşları toplamına oranı ile ilgili, zaman değişimli sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Değer vererek deneme yöntemi: Ahmet'in yaşı 10'un katı (paydalar 2 ve 5 olduğu için) olmalıdır. a=10,20,30...a=10, 20, 30... vererek bb ve cc hesaplanıp şartların sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 108Soru →

Yıllık enflasyon oranının %60\%60 olduğu bir ülkede, memur maaşlarına yılın ilk yarısında %20\%20, ikinci yarısında ise ilk altı ayın sonunda oluşan maaş üzerinden tekrar %20\%20 oranında zam yapılmıştır.

Buna göre, yıl sonunda memurun alım gücündeki değişim aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %10 azalmıştır

Cevap

Memurun alım gücü %10 azalmıştır.
Alım gücü sorularında temel mantık, maaş artışı ile ürün fiyat artışını oranlamaktır. Maaş kümülatif olarak 100→120→144100 \rightarrow 120 \rightarrow 144 TL'ye çıkarken, ürün fiyatı enflasyon nedeniyle 100→160100 \rightarrow 160 TL'ye çıkmıştır. Elimizdeki para (144), almamız gereken malın fiyatını (160) karşılayamamaktadır. Oran 144160=0,90\frac{144}{160} = 0,90 olduğundan, alım gücü başlangıca göre %10\%10 düşmüştür.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç değerlerini belirle.
Başlangıçta Maaş = 100100 TL, Ürün Fiyatı = 100100 TL olsun. Alım gücü = 100100=1\frac{100}{100} = 1 birim.
Yüzde problemlerinde işlem kolaylığı sağlamak için başlangıç değerlerini 100 seçmek standart bir yöntemdir.
2
Yıl sonundaki ürün fiyatını hesapla (Enflasyon etkisi).
Enflasyon %60\%60 olduğu için ürün fiyatı: 100+60=160100 + 60 = 160 TL olur.
Enflasyon, ürün fiyatlarındaki artış oranıdır.
3
Yıl sonundaki memur maaşını hesapla (Kümülatif zam).
İlk zam (%20): 100×120100=120100 \times \frac{120}{100} = 120 TL.
İkinci zam (%20): 120×120100=144120 \times \frac{120}{100} = 144 TL.
İkinci zam, ilk zamlı maaş üzerinden yapıldığı için bileşik hesaplama gerekir.
4
Yeni alım gücünü ve değişimi hesapla.
Yeni Alım Gücü = Yeni Maas¸Yeni Fiyat=144160\frac{\text{Yeni Maaş}}{\text{Yeni Fiyat}} = \frac{144}{160}.
Sadeleştirme: 144÷16160÷16=910=%90\frac{144 \div 16}{160 \div 16} = \frac{9}{10} = \%90.
Değişim: Başlangıç %100\%100 idi, şimdi %90\%90. Demek ki %10\%10 azalmıştır.
Alım gücü, gelirin fiyatlara oranıdır. Oran 1'den (veya %100'den) ne kadar saparsa değişim o kadardır.

Anahtar Kavram

Alım Gücü ve Bileşik Yüzde
Soru 109Soru →

Sabit VkV_k hızıyla doğrusal bir yolda ilerleyen ve uzunluğu LL metre olan bir konvoyun en arkasında bulunan bir haberci aracı, sabit VaV_a hızıyla (Va>VkV_a > V_k) hareket ederek konvoyun en önüne kadar gitmiş ve hiç durmadan aynı hızla geri dönerek tekrar konvoyun en arkasındaki başlangıç konumuna gelmiştir. Haberci aracı bu tüm hareketi tamamladığında, konvoyun toplamda kendi uzunluğu kadar (LL metre) yol aldığı tespit edilmiştir. Buna göre, haberci aracının hızı konvoyun hızının kaç katıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1+21 + \sqrt{2}

Cevap

Haberci aracının hızı konvoyun hızının 1+21 + \sqrt{2} katıdır.
Soruda aracın hareketi iki aşamadan oluşur: konvoyun önüne gitme ve arkasına dönme. Bu süreçte konvoy da hareket halindedir. Bağıl hız prensibine göre, araç ileri giderken konvoya göre hızı (Va−Vk)(V_a - V_k), geri dönerken (Va+Vk)(V_a + V_k) olur. Her iki durumda da konvoya göre katedilen mesafe konvoyun boyu (LL) kadardır. Bu sürelerin toplamı, konvoyun LL mesafesini gitme süresine (L/VkL/V_k) eşittir. Kurulan 1x−1+1x+1=1\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 1 denkleminin çözümü, hız oranının 1+21 + \sqrt{2} olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi matematiksel modele dök
Konvoy hızı VkV_k, araç hızı VaV_a olsun. Konvoyun aldığı yol LL olduğuna göre geçen toplam süre t=LVkt = \frac{L}{V_k}'dır.
Hız, yol ve zaman arasındaki temel ilişkiyi kurmak.
2
Aracın gidiş (öne yetişme) süresini hesapla
Araç konvoyla aynı yönde gittiği için bağıl hız (Va−Vk)(V_a - V_k) olur. Alması gereken bağıl yol LL'dir. Süre t1=LVa−Vkt_1 = \frac{L}{V_a - V_k}.
Bağıl hız kavramını kullanarak yakalama süresini bulmak.
3
Aracın dönüş (arkaya kavuşma) süresini hesapla
Araç geri dönerken konvoya zıt yönde gider, bağıl hız (Va+Vk)(V_a + V_k) olur. Alması gereken bağıl yol yine LL'dir. Süre t2=LVa+Vkt_2 = \frac{L}{V_a + V_k}.
Karşılaşma/zıt yön hareketinde hızların toplandığı ilkesini uygulamak.
4
Toplam süre denklemini kur ve çöz
Toplam süre eşitliğinden: LVa−Vk+LVa+Vk=LVk\frac{L}{V_a - V_k} + \frac{L}{V_a + V_k} = \frac{L}{V_k}. LL'ler sadeleşir ve VaVk=x\frac{V_a}{V_k} = x dönüşümü yapılırsa: 1x−1+1x+1=1\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 1 elde edilir.
Süreleri eşitleyerek hızlar arası oranı bulmak için denklem oluşturmak.
5
İkinci dereceden denklemi çöz
2xx2−1=1⇒x2−2x−1=0\frac{2x}{x^2-1} = 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0. Kökler x=2±4+42=1±2x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}. Hız oranı pozitif ve araç konvoydan hızlı (x>1x>1) olduğu için cevap 1+21 + \sqrt{2}'dir.
Cebirsel çözümle sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bağıl Hareket ve Denklem Kurma

İpuçları

1
Aracın konvoya göre hızını düşünün. Konvoya yetişirken hız farkını, geri dönerken hız toplamını kullanmalısınız.
2
Aracın konvoyun önüne gitme süresi t1=L/(Va−Vk)t_1 = L / (V_a - V_k) ve arkaya dönme süresi t2=L/(Va+Vk)t_2 = L / (V_a + V_k) şeklindedir.
3
Toplam süre (t1+t2t_1 + t_2), konvoyun LL yolunu alma süresine (L/VkL/V_k) eşittir. Bu eşitliği kurup Va/VkV_a/V_k oranını çekin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, akıntıya karşı ve akıntı yönünde yüzme sorularını inceleyebilirsiniz; matematiksel model birebir aynıdır.

Alternatif Yöntem

Yere göre hızlarla çözüm: Araç öne giderken aldığı yol x1x_1, konvoyun aldığı yol y1y_1. x1=y1+Lx_1 = y_1 + L. Dönüşte araç x2x_2, konvoy y2y_2 yol alır. x2=L−y2x_2 = L - y_2. Bu denklemler karmaşık olacağı için bağıl hız yöntemi çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 110Soru →

Bir halı dokuma atölyesinde bir usta, bir kalfanın 2 katı, bir çırağın ise 4 katı hızla çalışmaktadır. Üçü birlikte aldıkları bir siparişi 12 günde bitirebilmektedir. İşe başladıktan 3 gün sonra usta ayrılıyor. Kalan işi kalfa ile çırak sürdürürken, bir süre sonra kalfa da işi bırakıyor ve kalan kısmı çırak tek başına 6 günde tamamlıyor. Buna göre, siparişin tamamı toplam kaç günde bitmiştir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Siparişin tamamı 28 günde bitmiştir.
İşçilerin hızları vv (Çırak), 2v2v (Kalfa) ve 4v4v (Usta) olarak belirlenir. Toplam iş 12×7v=84v12 \times 7v = 84v birimdir. İlk 3 günde 21v21v, son 6 günde çırak tek başına 6v6v iş yapar. Geriye kalan 57v57v işi, kalfa ve çırak (3v3v hızla) 1919 günde tamamlar. Toplam süre 3+19+6=283 + 19 + 6 = 28 gündür.

Adım Adım Çözüm

1
Çalışma hızlarını belirle.
Çırak hızı = vv, Kalfa hızı = 2v2v, Usta hızı = 4v4v. Toplam hız = 7v7v.
Sorudaki kat ilişkilerine göre hızlar oranlanır (Usta kalfanın 2, çırağın 4 katı ise: 4v,2v,v4v, 2v, v).
2
Toplam iş miktarını hesapla.
İş = 12 gu¨n×7v=84v12 \text{ gün} \times 7v = 84v.
İş = Hız ×\times Zaman formülü kullanılır.
3
Birinci ve üçüncü evrede yapılan işleri toplam işten çıkararak orta evreyi bul.
1. Evre (3 gün, hepsi): 3×7v=21v3 \times 7v = 21v. 3. Evre (6 gün, sadece çırak): 6×v=6v6 \times v = 6v. Kalan İş (Orta evre): 84v−(21v+6v)=57v84v - (21v + 6v) = 57v.
İş üç aşamada yapılmıştır; başı ve sonu bellidir, ortadaki süre bulunmalıdır.
4
Orta evrenin süresini hesapla ve toplam süreyi bul.
Orta evre hızı (Kalfa+Çırak) = 3v3v. Süre = 57v/3v=1957v / 3v = 19 gün. Toplam süre = 3+19+6=283 + 19 + 6 = 28 gün.
Toplam süre, üç evrenin sürelerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

İşçi problemleri ve hız denklemleri

İpuçları

1
Öncelikle her bir çalışanın çalışma hızını vv cinsinden ifade edin (Örn: Çırak vv ise Kalfa kaç vv olur?).
2
İşin tamamını birim cinsinden hesaplayın (Toplam Hız ×\times Toplam Gün). Sonra işi üç parça halinde düşünün: 1. Hepsi, 2. Kalfa+Çırak, 3. Sadece Çırak.
3
Toplam iş 84v84v'dir. İlk 3 günde 21v21v, son 6 günde 6v6v iş yapılmıştır. Aradaki farkı Kalfa ve Çırak birlikte yapmıştır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, işçilerin hızlarının değiştiği (yorulma vb.) durumları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İş parça yöntemi yerine kesir yöntemiyle de çözülebilir: İşin tamamına 1 diyerek, (3/12)(3/12)'si başta, (6/Tcirak)(6/T_{cirak})'ı sonda yapıldı şeklinde denklem kurulabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 111Soru →

Cansu, Derya'dan 55 yaş büyüktür. Derya'nın doğum yılı Elif'in doğum yılından 33 fazladır. 20262026 yılında bu üç kişinin yaşları toplamı 7474 olacağına göre, Cansu'nun 20242024 yılındaki yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2525

Cevap

Cansu'nun 20242024 yılındaki yaşı 2525'dir.
Derya'nın 20262026 yılındaki yaşı xx olarak kabul edildiğinde, Cansu x+5x+5 ve Elif x+3x+3 yaşındadır. Bu üç değerin toplamı 7474 olduğundan x=22x=22 bulunur. Cansu'nun 20262026 yaşı 2727 olur. Soruda 20242024 yılı sorulduğu için 22 yıl geriye gidilerek 2525 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kişiler arasındaki yaş ilişkilerini bir değişken cinsinden ifade edin.
Derya'nın yaşına xx dersek; Cansu x+5x+5, Elif ise (doğum yılı 33 eksik olduğu için 33 yaş daha büyük olur) x+3x+3 yaşında olur.
Problemdeki sözel verileri matematiksel denkleme dökmek için ortak bir değişken belirlenmelidir.
2
20262026 yılındaki toplam yaş denklemini kurun.
(x+5)+x+(x+3)=74(x+5) + x + (x+3) = 74
Üç kişinin yaşları toplamının 7474 olduğu bilgisi kullanılarak xx değeri bulunur.
3
Denklemi çözerek Derya'nın yaşını bulun.
3x+8=74⇒3x=66⇒x=223x + 8 = 74 \Rightarrow 3x = 66 \Rightarrow x = 22
Derya'nın 20262026 yılındaki yaşının 2222 olduğu hesaplanır.
4
Cansu'nun 20262026 yılındaki yaşını hesaplayın.
22+5=2722 + 5 = 27
Cansu, Derya'dan 55 yaş büyük olduğu için 20262026 yılında 2727 yaşındadır.
5
Cansu'nun 20242024 yılındaki yaşını bulun.
27−2=2527 - 2 = 25
20262026 yılından 20242024 yılına gidildiğinde aradan 22 yıl geçtiği için yaş 22 azaltılır.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde 'doğum yılı daha büyük olan kişi daha küçüktür' kuralı ve farklı yıllardaki yaş değişimlerinin doğru hesaplanması.

İpuçları

1
Derya'nın doğum yılı Elif'ten 33 fazla ise, Elif Derya'dan 33 yaş daha büyüktür.
2
Üç kişinin 20262026 yılındaki yaşlarını Derya'nın yaşına (xx) bağlı olarak yazıp 7474'e eşitleyin.
3
Denklemden bulduğunuz xx değeri Derya'nın yaşıdır. Cansu'nun yaşını bulup 20242024 yılına (2 yıl geri) gidin.

Daha Fazla Pratik

Kişilerin doğum yılları arasındaki farkın yaşları arasındaki farka eşit olduğunu ancak doğum yılı büyük olanın yaşının küçük olduğunu unutmayın.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 112Soru →

Bir kamu kurumu, yıllık bütçesinden ayrılan tanıtım ödeneğini üç farklı kalemde kullanmayı planlamaktadır. Ödeneğin önce 25\frac{2}{5}'si afiş ve broşür basımı için harcanmıştır. Daha sonra kalan miktarın 13\frac{1}{3}'i dijital medya reklamları için kullanılmıştır. Geriye kalan 24.000 TL ise fuar organizasyonlarına ayrılmıştır.

Buna göre, dijital medya reklamları için harcanan miktar kaç Türk Lirasıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12.000

Cevap

Dijital medya reklamları için harcanan miktar 12.000 TL'dir.
Ödeneğin tamamını birim parçalara ayırarak (veya 15x diyerek) adım adım ilerlendiğinde; ilk harcama sonrası kalan 3 birimdir (modelde). Bunun 1/3'ü yani 1 birimi dijital medyaya harcanmıştır. Geriye 2 birim kalır. 2 birim 24.000 TL ise, 1 birim (dijital medya) 12.000 TL olur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi modellemek için ödeneğin tamamına uygun bir değişken ata.
Ödeneğin tamamına 15x15x diyelim (Paydalar 5 ve 3'ün katı).
Kesirlerle işlem yaparken tam sayılarla çalışmak hata riskini azaltır.
2
İlk harcama kalemini (afiş ve broşür) hesapla ve kalan miktarı bul.
Harcama: 15x⋅25=6x15x \cdot \frac{2}{5} = 6x. Kalan: 15x−6x=9x15x - 6x = 9x.
Soruda 'kalan miktarın' ifadesi geçtiği için her adımda kalan bakiye bulunmalıdır.
3
İkinci harcama kalemini (dijital medya) kalan miktar üzerinden hesapla.
Dijital Medya: 9x⋅13=3x9x \cdot \frac{1}{3} = 3x. Yeni Kalan: 9x−3x=6x9x - 3x = 6x.
İkinci kesir işlemi ana para üzerinden değil, ilk harcamadan sonraki bakiye üzerinden yapılır.
4
Son kalan miktarı (fuar) verilen sayısal değere eşitle ve x'i bul.
6x=24.000⇒x=4.0006x = 24.000 \Rightarrow x = 4.000.
Değişkenin değerini bulmak için sorudaki gerçek sayısal veri kullanılır.
5
Bulunan x değerini istenen kalem (dijital medya) yerine yaz.
Dijital Medya (3x3x) = 3⋅4.000=12.0003 \cdot 4.000 = 12.000 TL.
Soruda toplam ödenek değil, sadece dijital medya harcaması sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde 'kalanın kesri' (ardışık kesir) mantığı ve bütünden parçaya gitme.

İpuçları

1
Soruda 'kalan miktarın' ifadesine dikkat edin. İkinci harcama, başlangıçtaki paranın tamamı üzerinden değil, ilk harcamadan sonra elde kalan tutar üzerinden yapılmalıdır.
2
İşlemleri kolaylaştırmak için paranın tamamına paydaların (5 ve 3) ortak katı olan 15x diyebilirsiniz.
3
Geriye kalan 24.000 TL, modelinizdeki son parçaya (6x'e veya modeldeki 2 birime) eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'toplam miktar' veya 'ilk harcama miktarı' sorularak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Ters İşlem Yöntemi: En sondan başa doğru gidilebilir. Kalan para (24.000), dijital medyadan sonra kalan kısımdır. Dijital medya kalan paranın 1/3'ü ise, geriye 2/3 kalmıştır. Hangi sayının 2/3'ü 24.000 eder? -> 36.000 (Bu, 1. harcama sonrası kalan). İlk harcama 2/5 ise geriye 3/5 kalmıştır. Hangi sayının 3/5'i 36.000 eder? -> 60.000 (Toplam). Dijital medya için: 36.000'in 1/3'ü = 12.000 TL.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 113Soru →

Bir ziraat mühendisi, iki farklı sıvı gübreyi belirli oranlarda karıştırarak yeni bir besin çözeltisi hazırlamaktadır. A çözeltisinin azot oranı %30\%30, B çözeltisinin azot oranı %45\%45'tir. Mühendis; AA litre A çözeltisini, BB litre B çözeltisini, AA litre saf suyu ve BB litre saf azotu boş bir kapta karıştırmıştır. Oluşan son karışımın azot oranı %40\%40 olduğuna göre, başlangıçta kullanılan A çözeltisi miktarının B çözeltisi miktarına oranı (AB\frac{A}{B}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13/1013/10

Cevap

Başlangıçta kullanılan A çözeltisi miktarının B çözeltisi miktarına oranı 13/1013/10 olarak bulunur.
Doğru yanıt olan seçenek, karışımdaki tüm azot kaynaklarının toplamının (A'dan gelen, B'den gelen ve saf eklenen) toplam karışım hacminin (A+B+A+B) %40\%40'ına eşitlenmesiyle elde edilir. Yapılan cebirsel sadeleştirmeler sonucunda 0,5A=0,65B0,5A = 0,65B eşitliğine ulaşılır ve buradan oran 13/1013/10 olarak çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Karışımdaki toplam saf azot miktarını belirlemek.
Toplam Azot = 0,30A+0,45B+B=0,30A+1,45B0,30A + 0,45B + B = 0,30A + 1,45B
A çözeltisinden %30A\%30A, B çözeltisinden %45B\%45B ve ayrıca eklenen saf azottan (tamamı azot olduğu için) BB kadar madde gelir.
2
Karışımın toplam hacmini belirlemek.
Toplam Hacim = A+B+A+B=2A+2BA + B + A + B = 2A + 2B
A ve B çözeltilerine ek olarak AA litre su ve BB litre saf azot eklendiği için tüm miktarlar toplanır.
3
Yüzde denklemini kurmak.
0,30A+1,45B2A+2B=0,40\frac{0,30A + 1,45B}{2A + 2B} = 0,40
Karışımın azot oranı, toplam saf azotun toplam hacme bölünmesiyle bulunur.
4
Denklemi çözerek A ve B arasındaki ilişkiyi bulmak.
0,30A+1,45B=0,80A+0,80B⇒0,65B=0,50A⇒AB=0,650,50=13100,30A + 1,45B = 0,80A + 0,80B \Rightarrow 0,65B = 0,50A \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{0,65}{0,50} = \frac{13}{10}
İçler dışlar çarpımı yapılıp benzer terimler bir araya getirilerek oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde saf madde miktarının korunumu ilkesi.

İpuçları

1
Karışımın toplam azot miktarını paya, toplam hacmini paydaya yazarak %40\%40'a eşitleyin.
2
Saf azot eklediğinizde hem paydaki (azot miktarı) hem de paydadaki (toplam hacim) değerin arttığını unutmayın.
3
Denkleminiz şu şekilde olmalı: (0,3A+0,45B+B)/(A+B+A+B)=40/100(0,3A + 0,45B + B) / (A + B + A + B) = 40/100.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin sayısının arttığı karışım problemlerinde her zaman 'Saf Madde / Toplam Hacim' formülünü kullanmak hata payını azaltır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 114Soru →

Bir kamu kurumunun evrak kayıt biriminde görevli uzman personel ve memurların çalışma hızları kendi grupları içinde eşittir. Bu birimde yapılan iş etütleri sonucunda aşağıdaki veriler elde edilmiştir:

Ekip YapısıTamamlama Süresi
2 Uzman ve 3 Memur4 Gün
3 Uzman ve 2 Memur3 Gün

Buna göre, aynı miktardaki işin tamamını bir memur tek başına kaç günde bitirebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Bir memur işin tamamını tek başına 60 günde bitirebilir.
Verilen iki durum için 'Yapılan İş = Süre x (Toplam Kapasite)' eşitliği kurulur. 4(2U+3M)=3(3U+2M)4(2U + 3M) = 3(3U + 2M) denklemi çözüldüğünde, bir uzmanın hızının bir memurun hızının 6 katı olduğu (U=6MU = 6M) görülür. Bu ilişki ilk denklemde yerine konulduğunda toplam işin 60M60M olduğu anlaşılır. Dolayısıyla hızı MM olan bir memur bu işi 60 günde bitirir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla ve iş denklemlerini kur.
Uzman hızı = UU, Memur hızı = MM, Toplam İş = WW. Denklemler: W=4⋅(2U+3M)W = 4 \cdot (2U + 3M) ve W=3⋅(3U+2M)W = 3 \cdot (3U + 2M).
İş miktarı sabittir ve İş = Süre x Toplam Hız formülü ile ifade edilir.
2
İki denklemi birbirine eşitleyerek UU ve MM arasındaki ilişkiyi bul.
8U+12M=9U+6M⇒U=6M8U + 12M = 9U + 6M \Rightarrow U = 6M.
Aynı işi ifade eden iki denklem eşitlenerek hızlar arası oran bulunur. Bir uzmanın hızı, 6 memurun hızına eşittir.
3
Bulunan ilişkiyi herhangi bir denklemde yerine yazarak toplam işi MM cinsinden ifade et.
W=4⋅(2(6M)+3M)=4⋅(12M+3M)=4⋅15M=60MW = 4 \cdot (2(6M) + 3M) = 4 \cdot (12M + 3M) = 4 \cdot 15M = 60M.
Toplam iş miktarını tek bir değişken (memur hızı) cinsinden ifade etmek sonuca götürür.
4
Bir memurun tek başına süresini hesapla.
İş = 60M60M. Bir memurun hızı MM olduğuna göre, Süre = 60M/M=6060M / M = 60 gün.
Toplam iş miktarının birim hıza bölünmesi süreyi verir.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde farklı kapasitedeki işçilerin hızları arasında doğrusal denklem sistemi kurarak ilişki bulma.

İpuçları

1
Yapılan iş miktarı her iki durumda da aynıdır. 'İş = Süre x Toplam Hız' formülünü kullanarak iki durumu birbirine eşitleyin.
2
Uzman hızına UU, Memur hızına MM diyerek şu eşitliği kurun: 4⋅(2U+3M)=3⋅(3U+2M)4 \cdot (2U + 3M) = 3 \cdot (3U + 2M).
3
Eşitlikten U=6MU = 6M sonucuna ulaşacaksınız. Yani 1 Uzman, 6 Memur gücündedir. Bunu denklemlerden birine yazarak toplam işi MM cinsinden bulun.

Alternatif Yöntem

Toplam işi UU ve MM katsayılarının (sürelerle çarpılmış hallerinin) farkları üzerinden de düşünebilirsiniz: 1 günlük fark, personel değişiminin yarattığı etkiye eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 115Soru →

Bir telin sol ucundan uzunluğunun 17\frac{1}{7}'si kesilip atılıyor. Daha sonra kalan parçanın sağ ucundan, eldeki bu parçanın 14\frac{1}{4}'ü kesilip atılıyor. Bu işlemlerin sonunda telin orta noktası, başlangıçtaki orta noktaya göre 5 cm kaydığına göre, telin kesilmeden önceki toplam uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Telin başlangıçtaki uzunluğu 140 cm'dir.
Telin uzunluğuna 28x28x denildiğinde, sol uçtan 4x4x kesilince orta nokta sağa 2x2x kayar. Kalan 24x24x telden sağ uçtan 6x6x kesilince orta nokta sola 3x3x kayar. Net kayma ∣2x−3x∣=x|2x - 3x| = x olur. x=5x=5 cm olduğuna göre, telin tamamı 28x=14028x = 140 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Telin başlangıçtaki uzunluğuna, paydaların (7 ve 4) ortak katı olan bir değer vererek işlem kolaylığı sağla.
Telin uzunluğu 28x28x olsun. Başlangıçta orta nokta 14x14x konumundadır.
Kesir problemlerinde bütüne, paydaların EKOK'u kadar değer vermek rasyonel sayılarla uğraşmayı engeller.
2
Sol uçtan yapılan birinci kesimi ve kalan parça uzunluğunu hesapla.
Kesilen: 28x⋅17=4x28x \cdot \frac{1}{7} = 4x. Kalan telin uzunluğu: 28x−4x=24x28x - 4x = 24x.
Soruda ilk işlemin 'uzunluğun 1/7'si' olduğu belirtilmiştir.
3
Kalan parçanın sağ ucundan yapılan ikinci kesimi hesapla.
İkinci kesilen: 24x⋅14=6x24x \cdot \frac{1}{4} = 6x.
İkinci kesimin 'kalan parçanın' 1/4'ü olduğu belirtilmiştir, bu yüzden referans değer 24x alınır.
4
Yeni telin uç noktalarını ve yeni orta noktasını belirle.
Sol uçtan 4x4x gittiği için yeni başlangıç noktası 4x4x'tir. Sağ uçtan 6x6x gittiği için (toplam boy 28x idi) yeni bitiş noktası 28x−6x=22x28x - 6x = 22x'tir. Yeni orta nokta: 4x+22x2=26x2=13x\frac{4x + 22x}{2} = \frac{26x}{2} = 13x.
Orta nokta, uç noktaların toplamının yarısıdır.
5
Orta nokta kayma miktarını verilen değerle eşitleyerek xx'i bul ve toplam uzunluğu hesapla.
Kayma: ∣14x−13x∣=x|14x - 13x| = x. Soruda kayma 5 cm verildiğinden x=5x=5. Toplam boy: 28x=28⋅5=14028x = 28 \cdot 5 = 140 cm.
Başlangıçtaki orta nokta ile son durumdaki orta nokta arasındaki fark kayma miktarıdır.

Anahtar Kavram

Kesir problemlerinde parça kesildiğinde orta nokta, kesilen parçanın yarısı kadar ters yöne kayar. İki uçtan kesim yapıldığında net kayma, oluşan kaymaların farkıdır.

İpuçları

1
Telin uzunluğuna hem 7'ye hem de 4'e tam bölünebilen bir değişken (örneğin 28x) vererek başlayın.
2
Bir uçtan parça kesildiğinde, orta noktanın kesilen parçanın yarısı kadar diğer yöne kaydığını hatırlayın.
3
Sol uçtan kesilen parça orta noktayı sağa, sağ uçtan kesilen parça sola kaydırır. Net kayma bu iki etkinin farkıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir telin ucuna parça eklenmesi durumunda orta noktanın nasıl değişeceğini soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Formül Yöntemi: Sol uçtan kesilen miktar AA, sağ uçtan kesilen miktar BB ise, orta nokta kayması ∣A−B∣2\frac{|A - B|}{2} formülü ile de bulunabilir.
Burada L=28xL=28x için; A=4xA=4x ve B=6xB=6x (kalanın 1/4'ü) olur. Kayma = ∣4x−6x∣/2=x|4x - 6x| / 2 = x.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 116Soru →

Bir kamu kurumunda görev yapan bir Daire Başkanı, bir Uzman ve bir Asistan'ın yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Daire Başkanı'nın yaşı, Uzman ve Asistan'ın yaşları toplamına eşittir.
* Uzman, Daire Başkanı'nın bugünkü yaşına geldiğinde, üçünün yaşları toplamı 162162 olacaktır.
* Asistan doğduğunda, Uzman 1818 yaşındaydı.

Buna göre, Daire Başkanı'nın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Daire Başkanı'nın bugünkü yaşı 54'tür.
Verilen ilişkiler (Yaş toplamı eşitliği, yaş farkı ve gelecekteki toplam) matematiksel denklemlere döküldüğünde; Asistan 18, Uzman 36 ve Daire Başkanı 54 yaşında bulunur. Uzman (36), Daire Başkanı'nın yaşına (54) geldiğinde 18 yıl geçer. 18 yıl sonra yaşlar 72, 54 ve 36 olur; toplamları 162'yi sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla
Daire Başkanı = dd, Uzman = uu, Asistan = aa olsun.
Problemi matematiksel denklemlere dökebilmek için harflendirme yapılır.
2
Verilen birinci bilgiyi denkleme dök
d=u+ad = u + a
Daire Başkanı'nın yaşı diğer ikisinin toplamına eşittir.
3
Verilen üçüncü bilgiyi kullanarak uu ve aa arasındaki ilişkiyi bul
u−a=18⇒u=a+18u - a = 18 \Rightarrow u = a + 18
Asistan doğduğunda (0 yaşında), Uzman 18 yaşındaysa aralarındaki yaş farkı 18'dir.
4
Birinci denklemde uu yerine a+18a+18 yazarak dd'yi aa cinsinden ifade et
d=(a+18)+a⇒d=2a+18d = (a + 18) + a \Rightarrow d = 2a + 18
Denklemleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek çözümü kolaylaştırır.
5
İkinci bilgiyi (zaman değişimi) analiz et
Uzman'ın yaşı uu'dan dd'ye geldiğinde geçen süre: d−ud - u yıldır. Bu süre sonunda yeni yaşlar toplamı: (d+(d−u))+(u+(d−u))+(a+(d−u))=162(d + (d-u)) + (u + (d-u)) + (a + (d-u)) = 162. Sadeleştirilirse: 3d+a=1623d + a = 162 denklemi yanlış olur, çünkü herkes d−ud-u kadar yaş alır. Doğrusu: Yeni toplam = dyeni+uyeni+ayeni=(d+d−u)+d+(a+d−u)=3d+a−ud_{yeni} + u_{yeni} + a_{yeni} = (d + d - u) + d + (a + d - u) = 3d + a - u değil; Herkes d−ud-u yaş büyür. Yeni yaşlar: Dyeni=d+(d−u)=2d−uD_{yeni} = d + (d-u) = 2d - u, Uyeni=dU_{yeni} = d, Ayeni=a+(d−u)A_{yeni} = a + (d-u). Toplam: (2d−u)+d+(a+d−u)=4d+a−2u=162(2d - u) + d + (a + d - u) = 4d + a - 2u = 162.
Aradan geçen zaman (d−ud-u yıl) her üç kişi için de yaşa eklenmelidir.
6
Elde edilen denklemde tüm ifadeleri aa cinsinden yaz ve çöz
Denklem: 4d+a−2u=1624d + a - 2u = 162. d=2a+18d = 2a + 18 ve u=a+18u = a + 18 değerlerini yerine koyalım.
4(2a+18)+a−2(a+18)=1624(2a + 18) + a - 2(a + 18) = 162
8a+72+a−2a−36=1628a + 72 + a - 2a - 36 = 162
7a+36=1627a + 36 = 162
7a=126⇒a=187a = 126 \Rightarrow a = 18
Tek bilinmeyenli denklemi çözerek Asistan'ın yaşını buluruz.
7
Daire Başkanı'nın yaşını hesapla
d=2a+18⇒d=2(18)+18=36+18=54d = 2a + 18 \Rightarrow d = 2(18) + 18 = 36 + 18 = 54.
Bulunan aa değeri ana denklemde yerine konularak istenen sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde kişiler arasındaki yaş farkı sabittir, ancak geçen zaman herkesin yaşına eşit miktarda eklenir.

İpuçları

1
Üç kişinin yaşlarına d,u,ad, u, a diyerek başlayın. 'Asistan doğduğunda Uzman 18 yaşındaydı' ifadesi, yaş farkını verir.
2
Uzman, Daire Başkanı'nın yaşına geldiğinde aradan geçen süre (d−u)(d - u) yıldır. Bu süreyi herkesin yaşına ekleyerek yeni toplamı yazın.
3
Denklemleri tek bilinmeyene indirin: u=a+18u = a + 18 ve d=u+a=2a+18d = u + a = 2a + 18. Gelecekteki toplam denkleminde dd ve uu yerine aa cinsinden değerlerini yazın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, şimdiki yaşları oranı verilen ve geçmişteki bir zamandaki yaşları farkı sorulan sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 117Soru →

Bir savunma sanayi tesisinde üretilen K, L ve M tipi elektronik kartların günlük üretim adetleri 1. grafikte, bu üretim sonunda tespit edilen hatalı kart sayılarının türlere göre dağılımı ise 2. grafikte verilmiştir.

L tipi kartların %3\%3'ünün hatalı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, K tipi kartların yüzde kaçı hatalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7,50

Cevap

K tipi kartların %7,5\%7,5'i hatalıdır.
Öncelikle L ürününün toplam üretim adedi (6000) ve hata oranı (%3) kullanılarak L'nin hata sayısı 180 olarak bulunur. Daire grafiğinde L'ye düşen 90∘90^\circ bu 180 adedi temsil eder, yani her 1 derece 2 hatalı ürüne eşittir. K ürünü için 150∘150^\circ olduğundan, K'nın hata sayısı 150×2=300150 \times 2 = 300 adettir. K'nın üretim adedi 4000 olduğu için, hata oranı 3004000=%7,5\frac{300}{4000} = \%7,5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Grafiklerden verileri tanımla.
Üretim Adetleri (1. Grafik): K=4000, L=6000, M=8000. Hata Dağılımı (2. Grafik): K=150∘150^\circ, L=90∘90^\circ, M=120∘120^\circ.
Problemi çözmek için sayısal verilerin netleştirilmesi gerekir.
2
L tipi kartlar için toplam hatalı sayısını hesapla.
L Hatası = 6000×3100=1806000 \times \frac{3}{100} = 180 adet.
Daire grafiğindeki açı ile gerçek sayı arasındaki ilişkiyi kurmak için referans değere ihtiyaç vardır.
3
Daire grafiği için orantı sabitini (derece başına düşen hata sayısı) bul.
L için 90∘90^\circ açı 180 hatalı ürüne karşılık gelmektedir. Yani 1∘=21^\circ = 2 hatalı ürün.
Bu oran diğer ürünlerin hata sayılarını bulmak için kullanılacaktır.
4
K tipi kartların hatalı sayısını hesapla.
K açısı 150∘150^\circ olduğundan, Hata Sayısı = 150×2=300150 \times 2 = 300 adet.
K ürününün hata oranını bulmak için toplam hata sayısı gereklidir.
5
K tipi kartların hata yüzdesini hesapla.
Yüzde = 3004000=340=7,5100=%7,5\frac{300}{4000} = \frac{3}{40} = \frac{7,5}{100} = \%7,5.
Sonuç, istenen yüzde formatına dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Sütun ve daire grafikleri arasında veri transferi yaparak yüzde hesabı oluşturma.

İpuçları

1
Önce L ürününün kaç adet hatalı üretildiğini sayısal olarak bulunuz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 118Soru →

Bir gümüş ustası, ağırlıkça %40\%40 gümüş içeren bir alaşım ile ağırlıkça %10\%10 gümüş içeren başka bir alaşımı eriterek birleştiriyor. Usta, bu işlem sonucunda gümüş oranı %20\%20 olan yeni bir alaşım elde etmek istemektedir.

Buna göre, %40\%40 gümüş içeren alaşımdan 1212 gram kullanan usta, istediği orandaki karışımı elde etmek için %10\%10 gümüş içeren alaşımdan kaç gram kullanmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2424

Cevap

Ustanın, gümüş oranı %20\%20 olan alaşımı elde edebilmesi için %10\%10'luk alaşımdan 2424 gram kullanması gerekmektedir.
Karışım problemlerinin temel prensibine göre, bileşenlerin içindeki saf madde miktarlarının toplamı, son karışımın toplam kütlesi ile son yüzdenin çarpımına eşittir. Bu soruda, %40\%40 gümüş içeren 1212 gram alaşımdaki gümüş miktarı (12×4012 \times 40) ile %10\%10 gümüş içeren xx gram alaşımdaki gümüş miktarının (x×10x \times 10) toplamı, oluşan (12+x)(12 + x) gramlık yeni alaşımın %20\%20'sine eşittir. Yapılan hesaplama sonucunda 480+10x=240+20x480 + 10x = 240 + 20x denklemi kurulur ve buradan x=24x = 24 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Karışımdaki toplam gümüş miktarını belirlemek için karışım denklemini kurun.
12×40+x×10=(12+x)×2012 \times 40 + x \times 10 = (12 + x) \times 20
Bir karışımda bulunan saf madde miktarlarının toplamı, son durumdaki toplam madde miktarının yüzdesine eşittir.
2
Elde edilen denklemdeki çarpma işlemlerini yapın.
480+10x=240+20x480 + 10x = 240 + 20x
Denklemi çözebilmek için parantezleri açmak ve sayısal değerleri sadeleştirmek gerekir.
3
Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayarak denklemi çözün.
480−240=20x−10x⇒240=10x⇒x=24480 - 240 = 20x - 10x \Rightarrow 240 = 10x \Rightarrow x = 24
Eşitliğin korunması prensibiyle, terimleri karşı tarafa işaret değiştirerek geçirerek bilinmeyene ulaşılır.

Anahtar Kavram

Karışım problemlerinde temel kural: (1. Karışım Miktarı × 1. Karışım Yüzdesi) + (2. Karışım Miktarı × 2. Karışım Yüzdesi) = (Toplam Karışım Miktarı × Son Karışım Yüzdesi)

İpuçları

1
Karışım problemlerinde toplam kütle ile maddenin saflık yüzdesini çarparak toplam saf madde miktarını bulabilirsiniz.
2
M1⋅Y1+M2⋅Y2=(M1+M2)⋅YsonM_1 \cdot Y_1 + M_2 \cdot Y_2 = (M_1 + M_2) \cdot Y_{son} formülünü kullanarak verileri yerine yerleştirin.
3
İkinci alaşımın miktarını xx olarak kabul ederseniz, son karışım 12+x12 + x gram olacaktır. Bu toplam kütlenin %20\%20'si içerisindeki gümüş miktarına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Karışımlardan birinin yarısı boşaltılıp yerine farklı bir karışım eklendiği senaryoları inceleyerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oran-orantı veya terazi yöntemiyle: %40\%40 ile %10\%10 arasındaki farklar ve hedeflen %20\%20 arasındaki uzaklıklar incelenebilir. %40\%40 ile %20\%20 arasında 2020 birim, %10\%10 ile %20\%20 arasında 1010 birim fark vardır. Uzaklıklar ile miktarlar ters orantılıdır. Yani 1212 gram ×20\times 20 birim = xx gram ×10\times 10 birim denkleminden x=24x = 24 gram bulunur.
Tahmini Süre:1m 20s
Soru 119Soru →

Bir halk eğitim merkezinde düzenlenen bilgisayar kursuna toplam 250250 kursiyer kayıt yaptırmıştır. Bu kursiyerlerin %60\%60'ı kadın olduğuna göre, kursa kayıt yaptıran erkek kursiyer sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Kursa kayıt yaptıran erkek kursiyer sayısı 100100'dür.
Toplam kursiyer sayısının %60\%60'ı kadın ise, erkeklerin oranı %100−%60=%40\%100 - \%60 = \%40 olur. 250250 sayısının %40\%40'ı ise 250×0,4=100250 \times 0,4 = 100 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Erkek kursiyerlerin yüzde oranını belirlemek
100−60=40100 - 60 = 40
Tamamı %100\%100 olan bir grubun %60\%60'ı kadın ise geriye kalan %40\%40'ı erkektir.
2
Toplam kursiyer sayısı üzerinden erkeklerin sayısını hesaplamak
250×40100=100250 \times \frac{40}{100} = 100
Yüzde miktarını bulmak için toplam sayı ile yüzde oranı çarpılır.

Anahtar Kavram

Bir bütünün belirli bir yüzdesini hesaplama ve tamamlama ilkesi.

İpuçları

1
Gruptaki kişilerin tamamının %100\%100 olduğunu düşünerek işe başlayabilirsin.
2
Kadınların oranı %60\%60 ise erkeklerin oranı kaçtır? Bu oranı bulduktan sonra sayıyı hesaplayabilirsin.
3
Önce 250250'nin %60\%60'ını bulup toplamdan çıkarabilirsin ya da doğrudan 250250'nin %40\%40'ını hesaplayabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Bir ürünün fiyatına yapılan yüzde zam ve indirimlerin birleşimini içeren sorulara göz atabilirsin.

Alternatif Yöntem

Önce kadın sayısını bulabiliriz: 250×0,6=150250 \times 0,6 = 150. Toplam mevcuttan kadınları çıkardığımızda erkek sayısına ulaşırız: 250−150=100250 - 150 = 100.
Tahmini Süre:45s
Soru 120Soru →

Bir belediyenin yol bakım çalışmasında görevli iki ekipten; A ekibi bir projeyi tek başına 20 günde, B ekibi ise aynı projeyi tek başına 30 günde bitirebilmektedir. İki ekip projeye birlikte başladıktan 4 gün sonra, A ekibinin iş makinelerinden birinde meydana gelen arıza nedeniyle çalışma kapasitesi 13\frac{1}{3} oranında düşmüştür. B ekibi ise normal kapasitesiyle çalışmaya devam etmiştir. Buna göre, projenin kalan kısmı bu koşullar altında kaç günde tamamlanır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Projenin kalan kısmı 10 günde tamamlanır.
Doğru cevap, kalan iş miktarının (40 birim), kapasite düşüşü sonrası oluşan yeni toplam hıza (4 birim/gün) bölünmesiyle elde edilen 10 gün değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam iş miktarını belirle (EKOK yöntemi)
İş miktarı = EKOK(20, 30) = 60 birim
İşlem kolaylığı için işin tamamına, bitirme sürelerinin ortak katı olan bir değer verilir.
2
Ekiplerin günlük çalışma kapasitelerini (hızlarını) hesapla
A ekibinin hızı (VAV_A) = 60/20=360 / 20 = 3 birim/gün, B ekibinin hızı (VBV_B) = 60/30=260 / 30 = 2 birim/gün. Toplam hız = 3+2=53 + 2 = 5 birim/gün.
Bir günde yapılan iş miktarını bulmak için toplam iş süreye bölünür.
3
İlk 4 günde yapılan işi ve kalan işi hesapla
Yapılan iş = 4 gu¨n×5 birim/gu¨n=204 \text{ gün} \times 5 \text{ birim/gün} = 20 birim. Kalan iş = 60−20=4060 - 20 = 40 birim.
Kapasite değişimi öncesi tamamlanan kısım toplam işten düşülmelidir.
4
A ekibinin arıza sonrası yeni kapasitesini hesapla
Eski VA=3V_A = 3. Kapasite 13\frac{1}{3} oranında düşerse azalma miktarı 3×13=13 \times \frac{1}{3} = 1 birimdir. Yeni VA=3−1=2V_A = 3 - 1 = 2 birim/gün. B ekibi değişmedi (VB=2V_B = 2). Yeni Toplam Hız = 2+2=42 + 2 = 4 birim/gün.
Arıza sonrası A ekibinin hızı azalır, yeni toplam hız buna göre belirlenir.
5
Kalan işin bitme süresini hesapla
Süre = Kalan İş / Yeni Toplam Hız = 40/4=1040 / 4 = 10 gün.
Kalan iş miktarı, yeni çalışma hızıyla kaç günde biteceğini verir.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde çalışma hızı veya kapasite değiştiğinde, problem dönemlere ayrılarak (değişim öncesi ve sonrası) incelenmeli ve kalan iş miktarı yeni hızlara göre hesaplanmalıdır.

İpuçları

1
İşin tamamına 20 ve 30'un ortak katı olan bir sayı vererek başlayın (örneğin 60 birim).
2
İlk 4 günde ne kadar iş yapıldığını hesaplayıp toplam işten çıkarın. Sonra A ekibinin hızını 1/3 oranında azaltarak yeni toplam hızı bulun.
3
Kalan iş 40 birimdir. Yeni hızlar toplamı (2 + 2) = 4 birimdir. 40'ı 4'e bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, ekiplerden biri işten tamamen ayrıldığında kalan işin süresini hesaplayarak çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Birim kesir yöntemi: İşin tamamı 1 olsun. 1 günde A 1/20, B 1/30 yapar. 4 günde 4*(1/20+1/30) = 4*(5/60) = 20/60 = 1/3 biter. Kalan iş = 2/3. Yeni hızlar: A=(1/20)*(2/3)=1/30, B=1/30. Toplam=2/30=1/15. Süre = (2/3) / (1/15) = 10.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 6 / 21Sonraki
Problemler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 6 | Examkin