Sayma ve Olasılık Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Bir düzlem üzerinde birbirine paralel olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları verilmiştir. $d_1$ doğrusu üzerinde $A, B, C, D$ noktaları, $d_2$ doğrusu üzerinde ise $K, L, M$ noktaları işaretlenmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

30

35

21

31

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İşaretlenen 7 nokta ile toplam 30 farklı üçgen oluşturulabilir.

Üçgen oluşturmak için paralel doğrulardan biri üzerinden 1 nokta, diğeri üzerinden 2 nokta seçilmelidir. Üstteki 4 noktadan 1 ve alttaki 3 noktadan 2 nokta seçimi

4 \times 3 = 12

durum; üstten 2 ve alttan 1 nokta seçimi

6 \times 3 = 18

durum üretir. Toplamda 30 üçgen elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nokta sayısını ve üçgen kuralını belirleme

Toplam 7 nokta (

4 + 3 = 7

) vardır. Üçgen için 3 nokta seçilmelidir.

Üçgenin 3 köşesi vardır ve bu noktaların doğrusal olmaması gerekir.

2

Birinci durumu hesaplama (1 nokta

d_1

'den, 2 nokta

d_2

'den)

C(4, 1) \times C(3, 2) = 4 \times 3 = 12

Üstteki 4 noktadan biri ve alttaki 3 noktadan ikisi seçilerek üçgen oluşturulabilir.

3

İkinci durumu hesaplama (2 nokta

d_1

'den, 1 nokta

d_2

'den)

C(4, 2) \times C(3, 1) = 6 \times 3 = 18

Üstteki 4 noktadan ikisi ve alttaki 3 noktadan biri seçilerek üçgen oluşturulabilir.

4

Durumları toplama

12 + 18 = 30

Farklı olasılıkların toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun Geometrik Uygulamaları (Üçgen Sayısı Hesabı)

İpuçları

1

Üçgen oluşturmak için seçtiğiniz 3 noktanın hepsinin aynı doğru üzerinde olmaması gerektiğini unutmayın.

2

İki durum vardır: Üstteki doğrudan 1 ve alttakinden 2 nokta seçmek veya üsttekinden 2 ve alttakinden 1 nokta seçmek.

3

Kombinasyon formülü kullanarak

C(4,1) \times C(3,2) + C(4,2) \times C(3,1)

işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Noktalardan bazıları bir çember üzerinde olsaydı hesaplamanın nasıl değişeceğini düşünün.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 62Soru →

Bir kamu kurumunun düzenlediği güvenlik protokolü gereği, $4$ farklı ekip otosu ve $3$ farklı makam aracı bir konvoy halinde sıralanacaktır. Konvoy düzeni ile ilgili aşağıdaki kurallar belirlenmiştir:

1. Konvoyun en başında ve en sonunda mutlaka birer ekip otosu bulunacaktır.
2. Güvenlik gerekçesiyle makam araçları ardışık olarak (peş peşe) gelmeyecektir.

Buna göre, bu $7$ araç kaç farklı şekilde sıralanabilir?

72

144

288

720

1440

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Araçlar verilen kurallara göre 144 farklı şekilde sıralanabilir.

Sorudaki kısıtlamaları sağlayan tek yerleşim planı

E - M - E - M - E - M - E

şeklindedir. Bu yapıda 4 ekip otosu kendi içinde

4! = 24

farklı şekilde, 3 makam aracı ise kendi içinde

3! = 6

farklı şekilde yer değiştirebilir. Toplam sıralama sayısı

24 \times 6 = 144

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sıralama kuralını belirle

E-M-E-M-E-M-E

4 Ekip Otosu (E) ve 3 Makam Aracı (M) vardır. Başta ve sonda E olması zorunludur. M'ler yan yana gelemez. Bu iki kuralı aynı anda sağlayan tek dizilim yapısı E ile başlayıp E ile biten ve aralara tek tek M yerleştirilen yapıdır.

2

Ekip otolarının kendi aralarındaki sıralanışını hesapla

4! = 24

4 farklı ekip otosu, belirlenen 4 'E' pozisyonuna kendi aralarında P(4,4) şeklinde sıralanır.

3

Makam araçlarının kendi aralarındaki sıralanışını hesapla

3! = 6

3 farklı makam aracı, ekip otolarının arasında kalan 3 'M' pozisyonuna kendi aralarında P(3,3) şeklinde sıralanır.

4

Toplam durumu hesapla

24 x 6 = 144

Çarpma kuralı gereği, bağımsız olayların seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Koşullu Permütasyon ve Ayırma Yöntemi

İpuçları

1

Önce şartları sağlayan yerleşim şablonunu (taslağını) çiziniz. Hangi araçlar uçlarda olmalı?

2

Şablon mecburen E - M - E ... şeklinde gitmelidir. Boşluklara araçları yerleştirin.

3

Yapı: E M E M E M E şeklindedir. E'leri kendi aralarında, M'leri kendi aralarında sıralayıp çarpınız.

Alternatif Yöntem

Kutu Yöntemi: 7 kutu çizilir. 1. ve 7. kutuya E şarttır. 4 E'den biri 1. kutuya, kalan 3 E'den biri 7. kutuya... şeklinde adım adım olasılıklar çarpılarak da gidilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 63Soru →

Bir kaymakamlık makamında düzenlenen koordinasyon toplantısına 5 farklı kurum müdürü katılmıştır. Toplantı sonunda hazırlanacak resmi tutanağı imzalamak üzere bu müdürler arasından bir "birinci imza yetkilisi" ve bir "ikinci imza yetkilisi" belirlenecektir.

Buna göre, bu iki yetkili kaç farklı şekilde belirlenebilir?

10

20

25

9

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Birinci imza yetkilisi için 5, ikinci yetkili için 4 aday bulunması ve seçim sırasının önemli olması nedeniyle

5 \times 4 = 20

farklı belirleme yapılabilir.

Sıralamanın önemli olduğu bu soruda, birinci yetkili için 5 farklı kurum müdürü arasından seçim yapılır. Birinci yetkili belirlendikten sonra geriye kalan 4 müdürden biri ikinci yetkili olarak seçilir. Permütasyon mantığı gereği bu iki değerin çarpımı olan 20, toplam farklı durum sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci imza yetkilisi için mümkün olan aday sayısını belirleyin.

5 aday

Toplantıya katılan tüm kurum müdürleri birinci imza yetkilisi olabilir.

2

Birinci yetkili seçildikten sonra ikinci imza yetkilisi için kalan aday sayısını belirleyin.

4 aday

Birinci yetkili olarak seçilen kişi aynı zamanda ikinci yetkili olamaz.

3

Çarpma yoluyla sayma kuralını uygulayarak toplam durumu hesaplayın.

5 \times 4 = 20

Birbirine bağlı bu iki seçimde sıralama (birinci ve ikinci olma durumu) önemli olduğu için seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama), nesnelerin belirli bir düzen veya sıra gözetilerek dizilmesidir.

İpuçları

1

Bu soruda imza yetkililerinin 'birinci' ve 'ikinci' olarak belirlenmesi, seçim sırasının önemli olduğunu gösterir.

2

Birinci imza yetkilisi için 5 farklı kişi seçilebilir. O kişi seçildikten sonra geriye kaç kişi kaldığını bulun.

3

Birinci yetkili için 5, ikinci yetkili için kalan 4 seçeneği çarparak sonucu bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer imza yetkilileri arasında kıdem veya sıra farkı olmasaydı (sadece 2 kişi seçilseydi), sonuç nasıl değişirdi? (Kombinasyon konusuna hazırlık).

Alternatif Yöntem

Permütasyon formülü

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

kullanılarak

P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{120}{6} = 20

hesaplanabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 64Soru →

Bir düzlem üzerinde bulunan bir çemberin üzerinde $5$ farklı nokta, bu çemberi kesmeyen bir $d$ doğrusunun üzerinde ise $4$ farklı nokta işaretlenmiştir. Bu $9$ noktadan herhangi üçü (doğru üzerindeki noktalar hariç) doğrusal değildir. Buna göre, köşeleri bu $9$ noktadan seçilen en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

84

80

74

70

54

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $80$

Cevap

Seksen farklı üçgen çizilebilir.

Üçgen oluşturabilmek için seçilen

3

noktanın doğrusal olmaması gerekir. Düzlemdeki

9

noktadan seçilebilecek tüm

3

’lü grupların sayısı

C(9,3) = 84

’tür. Ancak

d

doğrusu üzerindeki

4

nokta doğrusal olduğu için bu noktalar kendi aralarında üçgen oluşturamazlar. Bu

4

noktadan seçilen

3

’lü grup sayısı

C(4,3) = 4

’tür. Dolayısıyla, çizilebilecek toplam üçgen sayısı

84 - 4 = 80

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nokta sayısını ve tüm olası üçlü seçimleri belirleyin.

5

(çember) +

4

(doğru) =

9

nokta. Tüm üçlü seçimler:

C(9,3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

.

Üçgen oluşturmak için

3

noktaya ihtiyaç vardır; herhangi bir kısıtlama olmasaydı toplam seçim sayısı bu olacaktı.

2

Doğrusal oldukları için üçgen oluşturamayacak olan nokta gruplarını belirleyin.

Doğru üzerindeki

4

noktadan seçilen

3

nokta üçgen oluşturmaz:

C(4,3) = 4

.

Aynı doğru üzerindeki noktalar birleştirildiğinde bir kapalı şekil (üçgen) değil, bir doğru parçası oluştururlar.

3

Tüm durumlardan geçersiz durumları çıkararak sonucu bulun.

84 - 4 = 80

.

Çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal olmadığı için onlar her zaman üçgen oluşturur, sadece doğru üzerindeki kısıtlamayı çıkarmak yeterlidir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle üçgen sayma: Toplam durumdan doğrusal olanların (üçgen oluşturmayanların) çıkarılması mantığına dayanır.

İpuçları

1

Üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan

3

nokta seçmeniz gerektiğini hatırlayın.

2

Önce tüm noktalar serbestmiş gibi kaç farklı

3

’lü seçilebileceğini hesaplayın, sonra kuralı bozanları çıkarın.

3

Doğru üzerindeki

4

noktadan seçilen herhangi

3

noktanın bir üçgen belirtmediğini (

C(4,3)

) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Nokta sayılarını değiştirerek veya doğrunun çemberi kesmesi durumunda ne gibi değişiklikler olacağını düşünerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Vaka analizi yöntemiyle de çözülebilir: 1)

3

nokta çemberden:

C(5,3) = 10

. 2)

2

nokta çemberden,

1

nokta doğrudan:

C(5,2) \times C(4,1) = 10 \times 4 = 40

. 3)

1

nokta çemberden,

2

nokta doğrudan:

C(5,1) \times C(4,2) = 5 \times 6 = 30

. Toplam:

10 + 40 + 30 = 80

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 65Soru →

Bir eğitim ve araştırma hastanesinin günlük ameliyat listesinde; 1 organ nakli, 2 farklı kalp bypass ve 3 farklı menisküs ameliyatı olmak üzere toplam 6 ameliyat planlanacaktır. Tıbbi gereklilikler ve personel yönetimi nedeniyle aşağıdaki kurallar uygulanacaktır:

* Organ nakli ameliyatı, sterilizasyon önceliği sebebiyle günün ilk sırasında yapılmalıdır.
* Cerrahların yorgunluk yönetimi açısından, iki kalp bypass ameliyatı arka arkaya (peş peşe) yapılmamalıdır.

Buna göre, bu ameliyatlar gün içinde kaç farklı sıralama ile gerçekleştirilebilir?

36

48

60

72

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Verilen kısıtlamalara göre ameliyatlar 72 farklı şekilde sıralanabilir.

Organ nakli ilk sırada sabitlendiği için geriye kalan 5 ameliyatın (2 Bypass, 3 Menisküs) sıralamasına bakılır. İki farklı yöntemle çözülebilir:

1. Yöntem (Tüm Durum - İstenmeyen Durum):
* Kalan 5 ameliyatın tüm sıralanışı:

5! = 120

.
* İstenmeyen durum (Bypassların yan yana olması): Bypassları bir bütün kabul edersek

4! \times 2! = 24 \times 2 = 48

.
* Sonuç:

120 - 48 = 72

.

2. Yöntem (Ayıraç/Boşluk Yöntemi):
* Önce kısıtlaması olmayan 3 menisküs ameliyatı sıralanır:

3! = 6

.
* Bu ameliyatların arasına ve sonuna (Organ naklinden sonraki boşluklar) Bypasslar yerleştirilir. Menisküsler:

\_ M_1 \_ M_2 \_ M_3 \_

. Oluşan 4 boşluğa 2 Bypass ameliyatı

P(4,2) = 4 \times 3 = 12

şekilde yerleşir.
* Sonuç:

6 \times 12 = 72

.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit elemanı yerleştir

Organ nakli (O) 1. sırada sabitlenir. Geriye kalan 5 sıraya (2., 3., 4., 5., 6.) yerleştirilecek ameliyatlar: 2 kalp bypass (K1, K2) ve 3 menisküs (M1, M2, M3).

İlk şartı sağlamak için.

2

Tüm durumları hesapla (Kısıtlamasız)

Geriye kalan 5 farklı ameliyatın kendi arasındaki sıralanışı: P(5, 5) = 5! = 120.

Genel durumu görmek için.

3

İstenmeyen durumu hesapla (Bypasslar yan yana)

K1 ve K2'yi tek bir paket (X) gibi düşünürsek; elimizde {X, M1, M2, M3} olmak üzere 4 nesne olur. Bunların sıralanışı 4! = 24'tür. Paketin içindeki K1 ve K2'nin yer değiştirmesi 2! = 2'dir. Toplam istenmeyen durum: 24 x 2 = 48.

'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durum' yöntemini kullanmak için.

4

Sonucu bul

Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 120 - 48 = 72.

İstenen şartı sağlayan sıralama sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kısıtlamalı Permütasyon (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)

İpuçları

1

Önce hiçbir kısıtlama yokmuş gibi (sadece organ nakli sabit) toplam sıralama sayısını bulun.

2

Toplam durumdan, kalp bypass ameliyatlarının yan yana geldiği durumları çıkararak sonuca ulaşabilirsiniz.

3

Bypasslar yan yana geldiğinde onları 'tek bir ameliyat' gibi paketleyip hesaplayın, sonra bu paketin kendi içindeki sıralamasını (

2!

) unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, '3 kız ve 4 erkek öğrenci, kızlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?' sorusunu çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Ayıraç Yöntemi: Önce 3 menisküs ameliyatını sıralayın (

3!

). Sonra bu ameliyatların oluşturduğu 4 boşluğa (sağ, sol ve aralar) 2 bypass ameliyatını sıralı şekilde yerleştirin (

P(4,2)

).

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 66Soru →

A = \{1, 2, 3\}

ve

B = \{-1, 0, 1\}

kümeleri veriliyor.

A

kümesinden

B

kümesine tanımlanabilecek tüm fonksiyonlar arasından rastgele seçilen bir

f

fonksiyonunun,

f(1) + f(2) + f(3) = 0

eşitliğini sağlama olasılığı kaçtır?

\frac{2}{27}

\frac{5}{27}

\frac{2}{9}

\frac{7}{27}

\frac{1}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{7}{27}$

Cevap

Rastgele seçilen fonksiyonun şartı sağlama olasılığı \frac{7}{27}'dir.

Doğru cevap, örnek uzayın büyüklüğü olan

3^3=27

ile istenen durumların sayısı olan 7'nin oranlanmasıyla bulunur. İstenen durumlar, görüntülerin hepsinin 0 olduğu 1 durum ve görüntülerin

\{-1, 0, 1\}

olduğu 6 farklı sıralama durumunun toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Örnek uzayın (tüm olası fonksiyonların) sayısını hesapla.

s(E) = s(B)^{s(A)} = 3^3 = 27

farklı fonksiyon tanımlanabilir.

Her bir tanım kümesi elemanı (

1, 2, 3

) için değer kümesinden (

3

seçenek) biri seçilir.

2

İstenen koşulu (

f(1) + f(2) + f(3) = 0

) sağlayan değer gruarını belirle.

Toplamı 0 olan üçlü değer grupları:

\{0, 0, 0\}

ve

\{-1, 0, 1\}

gruplarıdır.

Değer kümesi

\{-1, 0, 1\}

elemanlarından oluştuğu için toplamı 0 yapan başka bir üçlü kombinasyon yoktur.

3

Belirlenen grupların kendi içindeki sıralanış (permütasyon) sayılarını bularak toplam istenen durum sayısını hesapla.

Durum 1 (0,0,0): Tekrarlı permütasyon

\frac{3!}{3!} = 1

durum. Durum 2 (-1,0,1): Farklı elemanlar

3! = 6

durum. Toplam istenen durum

1 + 6 = 7

.

Fonksiyonlarda sıralama önemlidir; f(1)=-1 ile f(1)=0 farklı fonksiyonlar belirtir.

4

İstenen durum sayısını örnek uzay sayısına oranla.

Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durum}}{\text{Tüm Durumlar}} = \frac{7}{27}

Olasılık fonksiyonunun tanımı gereği.

Anahtar Kavram

Örnek Uzay ve Olasılık Hesabı

İpuçları

1

Önce

A

'dan

B

'ye tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısını (

s(B)^{s(A)}

) hesaplayın.

2

Görüntü kümesi elemanları

\{-1, 0, 1\}

arasından seçilecektir. Üç sayının toplamının 0 olması için hangi sayı grupları seçilebilir? (Örn: Hepsi 0 olabilir mi?)

3

Toplamı 0 yapan iki temel grup vardır:

\{0, 0, 0\}

ve

\{-1, 0, 1\}

. Bu grufların kendi içindeki yer değiştirme sayılarını (permütasyonlarını) toplamayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'Birebir olma olasılığı' veya 'Örten olma olasılığı' şartlarıyla çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Polinom açılımı yöntemi:

(x^{-1} + x^0 + x^1)^3

ifadesinin açılımındaki

x^0

'lı terimin katsayısı, toplamı 0 olan durumların sayısını verir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 67Soru →

Bir kamu kurumunun arşiv biriminde; içerikleri bakımından birbirinden farklı $3$ adet sarı, özdeş $2$ adet mavi ve özdeş $2$ adet kırmızı dosya bir rafa yan yana dizilecektir.

Kırmızı dosyaların daima bir arada olması ve mavi dosyaların kesinlikle yan yana gelmemesi koşuluyla, bu dosyalar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

40

120

240

360

480

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Dosyalar 240 farklı şekilde dizilebilir.

Kırmızı dosyalar bir arada olacağı için tek bir paket [KK] gibi düşünülür. Maviler şimdilik kenara ayrılır. Elimzde 3 farklı Sarı (S1, S2, S3) ve 1 Kırmızı Paket [KK] vardır. Bu 4 nesne

4! = 24

farklı şekilde sıralanır. Bu sıralama sonucunda nesnelerin arasında ve uçlarında toplam 5 boşluk oluşur. Mavilerin yan yana gelmemesi için bu 5 boşluktan 2 tanesi seçilip özdeş mavi dosyalar oraya konur (

C(5,2)=10

). Sonuç

24 \times 10 = 240

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kırmızı dosyaları paketleyin (Blok Yöntemi)

Kırmızı dosyalar (KK) tek bir nesne kabul edilir.

Kırmızı dosyaların bir arada olması istendiği için onları ayrılmaz bir bütün olarak düşünmeliyiz. Kırmızılar özdeş olduğu için kendi aralarında yer değiştirmeleri durumu etkilemez (

1

durum).

2

Mavi dosyalar haricindeki nesneleri sıralayın

4 nesne (3 Farklı Sarı + 1 Kırmızı Blok)

4! = 24

farklı şekilde sıralanır.

Mavi dosyalar 'yan yana gelmeyecek' şartına sahip olduğu için onları en sona, boşluklara yerleştireceğiz. Önce diğerlerini dizmemiz gerekir.

3

Oluşan boşlukları belirleyin ve Mavi dosyaları yerleştirin (Ayıraç Yöntemi)

4 nesnenin yarattığı 5 boşluğa, 2 özdeş mavi dosya

C(5,2) = 10

farklı şekilde yerleştirilir.

4 nesne yan yana dizildiğinde aralarında, başında ve sonunda toplam

5

boşluk oluşur (_ N _ N _ N _ N _). Mavi dosyaların yan yana gelmemesi için bu 5 boşluktan herhangi 2'sini seçip yerleştirmeliyiz. Maviler özdeş olduğu için sıralama değil seçme (kombinasyon) yaparız.

4

Sonuçları çarpın

24 \times 10 = 240

.

Saymanın çarpma kuralı gereği, aşamalı işlemlerin sonuçları çarpılır.

Anahtar Kavram

Bu soru, 'Bloklama Yöntemi' (yan yana olma şartı) ile 'Ayıraç/Boşluk Yöntemi'nin (yan yana olmama şartı) birlikte kullanıldığı ve hem özdeş hem farklı nesnelerin bir arada bulunduğu ileri düzey bir tekrarlı permütasyon problemidir.

İpuçları

1

Önce şartı daha kısıtlayıcı olan 'Kırmızı' dosyaları halledin. Onları tek bir dosya gibi paketleyin.

2

'Yan yana gelmeme' sorularında en güvenli yol 'Boşluk (Ayıraç) Yöntemi'dir. Önce diğer dosyaları dizin, sonra mavileri oluşan boşluklara yerleştirin.

3

3 farklı Sarı ve 1 Kırmızı paketini dizdikten sonra 5 boşluk oluşur. 2 özdeş Mavi dosyayı bu 5 boşluğa kaç farklı şekilde seçip koyabilirsiniz?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı pekiştirmek için: '3 farklı matematik ve 4 özdeş fizik kitabı, fizik kitaplarının hiçbiri yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde dizilir?' sorusunu çözünüz.

Alternatif Yöntem

Tüm Durum - İstenmeyen Durum yöntemiyle de çözülebilir ancak bu soruda çok karmaşıktır çünkü 'Maviler yan yana' durumunu çıkarırken 'Kırmızılar yan yana' şartını korumanız gerekir. Boşluk yöntemi daha pratiktir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 68Soru →

Bir

E

örnek uzayı, birbirini dışlayan (ayrık)

A

,

B

ve

C

olaylarından oluşmaktadır. Bu olayların gerçekleşme olasılıkları arasında,

P(A) = 2 \cdot P(B)

P(B) = 3 \cdot P(C)

bağıntıları bulunmaktadır.

Buna göre, $A$ olayının gerçekleşme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{10}

\frac{3}{10}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{2}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{5}$

Cevap

A

olayının gerçekleşme olasılığı

\frac{3}{5}

'tir.

Örnek uzay

A

,

B

ve

C

olaylarından oluştuğu için bu olasılıkların toplamı 1 olmalıdır. Verilen katsayılar kullanılarak tüm olasılıklar

P(C)

cinsinden yazıldığında (

P(C)=k, P(B)=3k, P(A)=6k

), toplam

10k=1

denklemi elde edilir. Buradan

k=1/10

bulunur. Soruda

P(A)=6k

sorulduğu için cevap

6/10

yani

3/5

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık fonksiyonu özelliklerini hatırla.

E

örnek uzayı

A

,

B

ve

C

ayrık olaylarından oluştuğu için, tüm olasılıkların toplamı 1 olmalıdır:

P(A) + P(B) + P(C) = 1

.

Olasılık aksiyomları gereği örnek uzaydaki tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı 1'dir.

2

Verilen bağıntıları tek bir değişken cinsinden ifade et.

P(C) = k

olsun. Bu durumda

P(B) = 3k

olur.

P(A) = 2 \cdot P(B)

olduğundan,

P(A) = 2 \cdot (3k) = 6k

olur.

Denklemi çözmek için tüm bilinmeyenleri en küçük birim (burada

P(C)

) cinsinden yazmak işlemi kolaylaştırır.

3

Elde edilen ifadeleri toplam olasılık denkleminde yerine yaz ve

k

değerini bul.

6k + 3k + k = 1 \Rightarrow 10k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{10}

.

Değişkenin değerini bulmak için doğrusal denklem çözülür.

4

İstenen

P(A)

değerini hesapla.

P(A) = 6k = 6 \cdot \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

.

Bulunan birim değer, soruda sorulan olayın ifadesinde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Örnek uzayı oluşturan ayrık olayların olasılıkları toplamı 1'dir (

P(E)=1

).

Soru 69Soru →

Bir Bakanlığın teftiş kurulunda görevli 2 başmüfettiş ve 5 müfettiş, yan yana dizilmiş 7 sandalyelik bir protokol sırasına oturacaklardır.

Protokol kuralları gereği sıranın her iki ucunda (başında ve sonunda) birer müfettiş oturması ve başmüfettişlerin yan yana gelmemesi istenmektedir.

Buna göre, bu oturma düzeni kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

240

720

1440

2880

5040

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1440

Cevap

1440 farklı şekilde oluşturulabilir.

Doğru hesaplama için problemi üç aşamada çözmeliyiz: Önce şart koşulan uç noktalar yerleştirilir (

P(5,2)=20

). Daha sonra kalan 3 müfettiş araya dizilir (

3!=6

). Son olarak, başmüfettişlerin yan yana gelmemesi için, aradaki 3 müfettişin oluşturduğu 4 boşluğa 2 başmüfettiş yerleştirilir (

P(4,2)=12

). Çarpma kuralı gereği sonuç

20 \times 6 \times 12 = 1440

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Uçlardaki müfettişlerin yerleşimini hesapla.

P(5, 2) = 5 \times 4 = 20

Toplam 5 müfettişten 2 tanesi seçilip başa ve sona sıralanır.

2

Kalan müfettişlerin (3 kişi) aradaki yerleşimini hesapla.

3! = 6

Uçlar dolduktan sonra kalan 3 müfettiş, ortadaki boşluklara kendi aralarında yerleşir.

3

Başmüfettişlerin yan yana gelmemesi için uygun boşlukları belirle ve yerleştir.

P(4, 2) = 4 \times 3 = 12

Ortadaki 3 müfettişin oluşturduğu 4 boşluğa (müfettişlerin sağı, solu ve araları) 2 başmüfettiş yerleştirilir.

4

Tüm ihtimalleri çarp.

20 \times 6 \times 12 = 1440

Olaylar birbirine bağlı olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Permütasyon ve Ayraç Yöntemi

Soru 70Soru →

Bir $E = \{e_1, e_2, e_3, e_4\}$ örnek uzayı üzerinde tanımlı bir $P$ olasılık fonksiyonu için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $P(\{e_1, e_2\}) = 3 \cdot P(\{e_3\})$
* $P(\{e_3, e_4\}) = 4 \cdot P(\{e_1\})$
* $P(\{e_2, e_3\}) = \frac{1}{2}$

Buna göre, $P(\{e_1\})$ değeri kaçtır?

\frac{5}{38}

\frac{13}{38}

\frac{3}{19}

\frac{7}{19}

\frac{1}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{38}$

Cevap

Verilen olasılık fonksiyonu aksiyomları ve denklem sistemi çözüldüğünde

P(\{e_1\}) = \frac{5}{38}

olarak bulunur.

Verilen denklemler

P(e_1) + P(e_2) + P(e_3) + P(e_4) = 1

temel kuralı ile birleştirildiğinde dört bilinmeyenli bir sistem oluşur. Bu sistemde

P(e_2), P(e_3)

ve

P(e_4)

değerleri

P(e_1)

cinsinden ifade edilip yerine yazıldığında

19 \cdot P(e_1) = 2,5

eşitliği elde edilir. Buradan

P(e_1) = 5/38

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örnek uzay aksiyomunu yazın.

P(e_1) + P(e_2) + P(e_3) + P(e_4) = 1

Bir örnek uzaydaki tüm ayrık basit olayların olasılıkları toplamı 1'e eşittir.

2

Verilen ilişkileri kullanarak değişken sayısını azaltın.

P(e_1) + P(e_2) = 3P(e_3)

ise

3P(e_3) + P(e_3) + P(e_4) = 1 \Rightarrow 4P(e_3) + P(e_4) = 1

P(e_3) + P(e_4) = 4P(e_1)

ise

P(e_1) + P(e_2) + 4P(e_1) = 1 \Rightarrow 5P(e_1) + P(e_2) = 1

Verilen alt küme olasılıklarını ana toplam denklemine yerleştirerek sadeleştirme yapılır.

3

Tüm olasılıkları

P(e_1)

cinsinden ifade edin.

P(e_2) = 1 - 5P(e_1)

P(e_3) = \frac{1}{2} - P(e_2) = \frac{1}{2} - (1 - 5P(e_1)) = 5P(e_1) - \frac{1}{2}

P(e_4) = 4P(e_1) - P(e_3) = 4P(e_1) - (5P(e_1) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - P(e_1)

Tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek için tüm terimler aynı değişken türünden yazılır.

4

Elde edilen ifadeleri

4P(e_3) + P(e_4) = 1

denkleminde yerine koyarak çözün.

4(5P(e_1) - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - P(e_1)) = 1

20P(e_1) - 2 + \frac{1}{2} - P(e_1) = 1

19P(e_1) - \frac{3}{2} = 1 \Rightarrow 19P(e_1) = \frac{5}{2} \Rightarrow P(e_1) = \frac{5}{38}

Lineer denklem çözülerek hedef olasılık değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Olasılık fonksiyonu, bir örnek uzaydaki olayları [0, 1] aralığına eşleyen ve örnek uzayın tamamının olasılığını 1 kabul eden bir fonksiyondur.

İpuçları

1

Örnek uzayı oluşturan tüm ayrık basit olayların olasılıkları toplamının 1 olması gerektiğini unutmayın.

2

P(e_1) + P(e_2) = 3P(e_3)

bilgisini kullanarak örnek uzay toplamını

4P(e_3) + P(e_4) = 1

şeklinde sadeleştirebilirsiniz.

3

Tüm bilinmeyenleri (

P(e_2), P(e_3), P(e_4)

) sadece

P(e_1)

cinsinden yazmaya çalışın ve son denkleme yerleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, olayların birbirinin tümleyeni olduğu durumlar için çözerek pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 71Soru →

Bir Bakanlık bünyesinde gerçekleştirilecek olan "Yılın Başarılı Personeli" ödül töreni için özel hediye paketleri hazırlanacaktır. Hediye seçenekleri arasında 4 farklı kurumsal ajanda ve 6 farklı dolma kalem seti bulunmaktadır. Her bir hediye paketi, bir ajanda ve bir dolma kalem setinden oluşacaktır. Buna göre, bir ajanda ve bir kalem setinden oluşan kaç farklı hediye paketi oluşturulabilir?

10

16

20

24

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Ajanda ve kalem setinden oluşan 24 farklı hediye paketi oluşturulabilir.

Soruda her paketin bir ajanda ve bir kalem setinden oluşacağı belirtilmiştir. Birinci grup (ajandalar) için 4 farklı seçenek, ikinci grup (kalem setleri) için 6 farklı seçenek vardır. Bu iki seçim birbirinden bağımsız ancak bir paket içinde birleştirildiği için çarpma kuralı geçerlidir. Toplam paket sayısı

4 \times 6 = 24

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Seçenek sayılarını belirleyin.

Ajanda sayısı:

4

, Kalem seti sayısı:

6

.

Sayma kuralını uygulamak için her bir gruptaki eleman sayısını bilmemiz gerekir.

2

Bağlacı ve işlem türünü analiz edin.

Bağlaç "ve" olduğu için Çarpma Kuralı uygulanmalıdır.

"Ve" bağlacı, her iki gruptan da seçim yapılacağını ve bu seçimlerin birbirine bağlı olduğunu (birleştirildiğini) gösterir.

3

Çarpma işlemini gerçekleştirin.

4 \times 6 = 24

.

Birinci grup için

4

, ikinci grup için

6

seçenek varsa toplam durum sayısı bu seçeneklerin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel İlkesi: Çarpma Kuralı

İpuçları

1

Soruda kaç farklı ürün grubu olduğunu ve her birinden kaçar seçenek bulunduğunu listeleyin.

2

Soruda geçen "ve" bağlacına dikkat edin. Eğer iki farklı gruptan birer seçim yapıp bunları birleştiriyorsak hangi kuralı kullanıyorduk?

3

Birinci gruptan yapılacak her bir seçim için ikinci gruptaki seçeneklerin tamamını kullanabilirsiniz. Yani her bir ajanda için 6 farklı kalem seti seçeneği mevcuttur. Bu durumda

4

adet

6

'yı toplamalı veya kısaca çarpmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Bağlacı 'veya' yaparak soruyu tekrar çözmeyi deneyin. Eğer sadece bir hediye seçilecek olsaydı sonuç kaç olurdu?

Tahmini Süre:45s

Soru 72Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem dairesinde, 3 adet A marka, 3 adet B marka ve 2 adet C marka olmak üzere toplam 8 adet sunucu tek bir sıra halinde rafa dizilecektir.

Dizilişin en başında A marka bir sunucunun bulunması ve C marka sunucuların yan yana gelmemesi koşuluyla bu sunucular kaç farklı şekilde sıralanabilir?

100

120

150

180

210

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

Sunucular verilen koşullara uygun olarak 150 farklı şekilde sıralanabilir.

Soruda iki temel kısıt vardır: İlk elemanın sabitlenmesi ve belirli elemanların (C) yan yana gelmemesi. Önce koşulsuz elemanlar (2 tane A, 3 tane B) sıralanır. Bu 5 eleman

5!/(2!3!) = 10

farklı 'iskelet' oluşturur. C marka sunucular bu iskeletin oluşturduğu boşluklara yerleştirilmelidir. Başta sabit bir A olduğu için, sabit A ile iskeletin ilk elemanı arası da geçerli bir boşluktur. Böylece 5 elemanın oluşturduğu 6 potansiyel boşluk (A_sabit _ E1 _ E2 _ E3 _ E4 _ E5 _) vardır. Özdeş 2 adet C sunucusu bu 6 boşluğa

C(6,2)=15

farklı şekilde yerleşir. Çarpma kuralı ile

10 \times 15 = 150

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Sabit koşulu uygula ve kalan elemanları belirle.

Dizilişin başında 1 adet A marka sunucu sabitlenir. Geriye kalan düzenlenecek elemanlar: 2 adet A, 3 adet B, 2 adet C.

Sıralama problemini basitleştirmek için sabit elemanı ayırıp kalan havuza odaklanmalıyız.

2

'Yan yana gelmeme' koşulu olmayan elemanların (iskelet) sıralanmasını hesapla.

C'ler hariç kalan elemanlar (2 adet A, 3 adet B) için tekrarlı permütasyon:

5! / (2! \times 3!) = 120 / 12 = 10

farklı durum.

Önce kısıtlamasız elemanları yerleştirerek C sunucuları için boşluklar yaratırız.

3

C sunucularının yerleşebileceği uygun boşluk sayısını belirle.

Başta sabit bir A var. Sonra sıralanan 5 eleman (Örn: A B B A B) gelir. Boşluklar: Sabit A'dan sonraki boşluk dahil, elemanların arası ve sonu. Toplam boşluk sayısı =

5 + 1 = 6

.

Başlangıçtaki sabit A ile dizilen ilk eleman arasına da C gelebilir. Toplam 6 uygun yer vardır.

4

C sunucularını boşluklara yerleştir ve toplam sonucu bul.

6 boşluktan 2'sini seçip C'leri yerleştirme:

C(6, 2) = 15

. Toplam durum:

10 \times 15 = 150

.

Çarpma kuralı gereği, iskelet dizilim sayısı ile boşluk seçim sayısını çarparız.

Anahtar Kavram

Ayraç Yöntemi ve Sabit Elemanlı Tekrarlı Permütasyon

İpuçları

1

Önce koşulsuz olanları (A ve B'leri) yerleştirip bir 'iskelet' oluşturun, sonra C'leri aralara serpiştirin.

2

En baştaki A sunucusu sabittir, onu dizilişe dahil etmeyin. Kalan 2 A ve 3 B'yi kaç farklı şekilde dizersiniz?

3

2 A ve 3 B sunucusu 10 farklı şekilde dizilir. Bu dizilim 6 boşluk yaratır (baştaki sabit A'nın hemen sağı dahil). C'ler bu 6 boşluktan 2'sine yerleşmelidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 'KARAKARTAL kelimesinin harfleriyle sessiz harflerin yan yana gelmediği kaç kelime yazılabilir?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Tüm Durum - İstenmeyen Durum Yöntemi: Başta A olan tüm durumlar (

210

) hesaplanır. Bundan, C'lerin yan yana olduğu durumlar (CC tek paket kabul edilip hesaplanır:

6!/(2!3!1!) = 60

) çıkarılır.

210 - 60 = 150

.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 73Soru →

Bir yükseköğretim kurumunda oluşturulacak etik kurul için $6$ hukukçu ve $5$ akademisyen aday olarak belirlenmiştir. Bu adaylar arasından $4$ kişilik bir kurul oluşturulacaktır. Kurulda yer alacak hukukçu sayısının, akademisyen sayısından fazla olması koşuluyla kaç farklı seçim yapılabilir?

100

115

150

265

330

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 115

Cevap

115 farklı seçim yapılabilir.

Kurulda hukukçu sayısının akademisyen sayısından fazla olması için olası senaryoları ayrı ayrı hesaplayıp toplamalıyız. 4 kişilik bir kurulda hukukçuların çoğunlukta olduğu sadece iki senaryo vardır: ya 3 hukukçu 1 akademisyen seçilir ya da 4 üyenin tamamı hukukçu olur. Bu hesaplamalar sonucunda toplam 115 farklı seçim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen koşulları sağlayan durumları belirle

4 kişilik kurulda hukukçu sayısının akademisyen sayısından fazla olması için iki durum vardır:
1. Durum: 3 Hukukçu, 1 Akademisyen
2. Durum: 4 Hukukçu, 0 Akademisyen

Hukukçu sayısı > Akademisyen sayısı eşitsizliğini sağlayan tamsayı ikilileri (3,1) ve (4,0)'dır. (2,2) eşitliktir, sağlanmaz.

2

Birinci durum için kombinasyon sayısını hesapla (3 Hukukçu, 1 Akademisyen)

C(6,3) \times C(5,1) = 20 \times 5 = 100

6 hukukçudan 3'ü ve 5 akademisyenden 1'i seçilmelidir.

3

İkinci durum için kombinasyon sayısını hesapla (4 Hukukçu, 0 Akademisyen)

C(6,4) \times C(5,0) = 15 \times 1 = 15

6 hukukçudan 4'ü seçilmeli, akademisyen seçilmemelidir.

4

Tüm geçerli durumları topla

100 + 15 = 115

Bu iki durum birbirinden ayrı (ayrık) olaylar olduğu için sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Ayrık Durumların Toplanması

İpuçları

1

4 kişilik bir kurulda hukukçuların akademisyenlerden sayıca fazla olabileceği tüm sayısal dağılımları (Hukukçu, Akademisyen) yazarak başlayın.

2

Kurulda (3 Hukukçu, 1 Akademisyen) veya (4 Hukukçu, 0 Akademisyen) olabilir. Eşitlik durumu (2, 2) istenen şartı sağlamaz.

3

İki ayrı durumu hesaplayın:

C(6,3) \times C(5,1)

ve

C(6,4) \times C(5,0)

. Sonuçları toplayın.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 74Soru →

Aşağıda verilen rakamların tamamı kullanılarak 7 basamaklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

\{ 0, 0, 2, 2, 3, 4, 4 \}

360

390

450

540

630

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 390

Cevap

Toplamda 390 farklı çift sayı yazılabilir.

Verilen rakamlarla oluşturulabilecek çift sayılar için son basamağın 0, 2 veya 4 olması gerekir. Kümede 0 rakamı da bulunduğu için, 0'ın sonda kullanılması ile diğer çift rakamların sonda kullanılması durumları, 'başa 0 gelmeme' kuralını farklı etkiler. Bu yüzden inceleme 3 ayrı durumda yapılır:
1. Son basamak 0 ise: Kalan

\{0,2,2,3,4,4\}

ile 150 sayı yazılır.
2. Son basamak 2 ise: Kalan

\{0,0,2,3,4,4\}

ile 120 sayı yazılır.
3. Son basamak 4 ise: Kalan

\{0,0,2,2,3,4\}

ile 120 sayı yazılır.
Toplam:

150 + 120 + 120 = 390

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kümeyi ve kısıtları analiz et.

Küme:

\{0, 0, 2, 2, 3, 4, 4\}

. Toplam 7 eleman. Kısıtlar: 1) Sayı çift olmalı (son basamak 0, 2 veya 4). 2) Sayı 7 basamaklı olmalı (ilk basamak 0 olamaz).

Çift sayı olması için birler basamağına çift rakam gelmelidir. Basamak analizi gereği en soldaki basamak 0 olamaz.

2

Durum 1: Son basamağın 0 olduğu durumu hesapla.

Kalan rakamlar:

\{0, 2, 2, 3, 4, 4\}

. Toplam dizilim:

\frac{6!}{1!2!1!2!} = 180

. Geçerli (başa 0 gelmeyen) durumlar:

180 \times \frac{5}{6} = 150

.

Kalan 6 rakamdan sadece 1 tanesi sıfırdır. Başa sıfır gelme olasılığı

\frac{1}{6}

olduğundan, geçerli durum oranı

\frac{5}{6}

'dır.

3

Durum 2: Son basamağın 2 olduğu durumu hesapla.

Kalan rakamlar:

\{0, 0, 2, 3, 4, 4\}

. Toplam dizilim:

\frac{6!}{2!1!1!2!} = 180

. Geçerli durumlar:

180 \times \frac{4}{6} = 120

.

Kalan 6 rakamdan 2 tanesi sıfırdır. Başa sıfır gelme olasılığı

\frac{2}{6}

olduğundan, geçerli durum oranı

\frac{4}{6}

'dır.

4

Durum 3: Son basamağın 4 olduğu durumu hesapla.

Kalan rakamlar:

\{0, 0, 2, 2, 3, 4\}

. Durum 2 ile simetriktir. Geçerli durumlar: 120.

2 ve 4 rakamlarının adetleri ve yapıları bu problemde özdeş rol oynadığından hesaplama Durum 2 ile aynıdır.

5

Tüm durumları topla.

150 + 120 + 120 = 390

.

Ayrık durumların toplamı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

İçinde 0 bulunan kümelerde tekrarlı permütasyon hesaplanırken, 0'ın başa gelme durumu ve sona gelme durumu (çift sayı kısıtı varsa) birbirini etkilediği için durumlar ayrı ayrı incelenmelidir.

İpuçları

1

Sayıların çift olması istendiği için son basamak sadece 0, 2 veya 4 olabilir. Bu durumları ayrı ayrı incelemelisiniz.

2

Son basamağa 0 geldiğinde, elinizde kalan rakamlar ile son basamağa 2 geldiğinde elinizde kalan rakamların 'başa 0 gelme' riski farklıdır.

3

Sonu 0 olanlar için

\{0,2,2,3,4,4\}

kümesini; sonu 2 olanlar için

\{0,0,2,3,4,4\}

kümesini kullanın. Başa 0 gelmemesi için

\text{Tüm Durum} \times \frac{\text{Sıfır Olmayan Sayısı}}{\text{Toplam Sayı}}

oranını kullanabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumdan çıkarma yöntemi: Tüm 7 basamaklı sayıları bulun (450). Tek sayı olanları (sonu 3 ile bitenleri) hesaplayıp çıkarın. Sonu 3 ile bitenler için kalan küme

\{0,0,2,2,3,4,4\}

'tür. Bu küme ile yazılabilecek 7 basamaklı sayı miktarı:

\frac{6!}{2!2!1!2!} \times \frac{4}{6} = 60

. Sonuç:

450 - 60 = 390

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 75Soru →

Bir bakanlık bünyesinde yürütülen bir proje için $7$ kişilik bir aday listesi belirlenmiştir. Bu adaylar arasından, projeyi sahada takip etmek üzere $3$ kişilik bir denetim komisyonu oluşturulacaktır. Buna göre, bu denetim komisyonu kaç farklı şekilde seçilebilir?

21

35

42

120

210

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Denetim komisyonu 35 farklı şekilde seçilebilir.

Soruda verilen 7 aday arasından 3 kişilik bir grup seçilmesi istendiği için bu bir kombinasyon problemidir. Kombinasyon formülü gereği 7'nin 3'lüsü hesaplandığında (

C(7,3)

), sonuç 35 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirle.

Sıralama önemli olmadığı, sadece bir grup seçildiği için kombinasyon (

C

) kullanılmalıdır.

Bir komisyon veya grup oluşturulurken kişilerin kendi içindeki sırası sonucu değiştirmez.

2

Kombinasyon formülünü uygula.

C(7, 3) = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}

n

eleman arasından

r

eleman seçme formülü

C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

şeklindedir.

3

Matematiksel işlemi tamamla.

C(7, 3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35

Ardışık çarpımlar yapılarak ve paydadaki

3!

(6) değerine bölünerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme)

İpuçları

1

Soruda seçilen kişilerin sırasının önemli olup olmadığını düşünün.

2

Grup veya kurul oluşturma sorularında kombinasyon (

C(n,r)

) formülü kullanılır.

3

C(7,3)

hesaplamasında pay kısmına

7 \cdot 6 \cdot 5

, payda kısmına ise

3 \cdot 2 \cdot 1

yazarak sonucu bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Kombinasyonun temel mantığını kavradıktan sonra, 'en az bir' veya 'belirli bir kişinin bulunması' şartı içeren daha karmaşık soruları çözmeyi deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 76Soru →

Bir düzlemde bulunan $6$ noktadan $3$ tanesi aynı $d$ doğrusu üzerindedir. Geriye kalan $3$ nokta ise bu doğru üzerinde değildir ve herhangi üçü doğrusal değildir.

Buna göre, köşeleri bu $6$ noktadan herhangi üçü olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?

10

15

18

19

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Köşeleri bu noktalardan seçilen en fazla 19 farklı üçgen oluşturulabilir.

Verilen 6 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı

C(6, 3) = 20

'dir. Ancak, soruda belirtilen

d

doğrusu üzerindeki 3 nokta doğrusal olduğu için bu noktalardan seçilen tek bir 3'lü grup (

C(3, 3) = 1

) üçgen oluşturmaz. Bu nedenle

20 - 1 = 19

farklı üçgen çizilebilir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam nokta sayısını ve üçgen oluşturmak için gereken nokta sayısını belirleyin.

n = 6

,

r = 3

Bir üçgen oluşturmak için düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır.

2

Hiçbir sınırlama olmasaydı oluşabilecek tüm üçlü kombinasyonları hesaplayın.

C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

6 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısını bulmak için kombinasyon formülü kullanılır.

3

Doğrusal olan noktaların oluşturduğu ve üçgen belirtmeyen durumları hesaplayın.

C(3, 3) = 1

Aynı

d

doğrusu üzerinde bulunan 3 nokta, doğrusal oldukları için bir üçgen oluşturamaz.

4

Toplam durum sayısından üçgen oluşturmayan durumu çıkarın.

20 - 1 = 19

Geometrik olarak mümkün olan gerçek üçgen sayısına ulaşmak için kısıtlamayı genel toplamdan çıkarmak gerekir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle şekil sayma problemlerinde, tüm seçimlerden doğrusal olan ve şekil oluşturmayan noktaların seçimini çıkarmak temel kuraldır.

İpuçları

1

Bir üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan kaç noktaya ihtiyacınız olduğunu hatırlayın.

2

6 noktadan yapılabilecek tüm 3'lü seçimleri hesaplayın, sonra kısıtlamayı düşünün.

3

Aynı doğru üzerindeki 3 noktanın kendi arasında üçgen oluşturamayacağını (

C(3, 3) = 1

) toplam seçimlerden çıkarmayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Nokta sayısını değiştirerek veya ikinci bir paralel doğru ekleyerek soruyu daha karmaşık hale getirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, noktaları gruplandırarak da çözebilirsiniz: (Doğru üzerinden 1 nokta, dışarıdan 2 nokta) + (Doğru üzerinden 2 nokta, dışarıdan 1 nokta) + (Dışarıdaki 3 noktadan 3'ü). Yani:

C(3, 1) \times C(3, 2) + C(3, 2) \times C(3, 1) + C(3, 3) = 3 \times 3 + 3 \times 3 + 1 = 9 + 9 + 1 = 19

.

Tahmini Süre:45s

Soru 77Soru →

Bir İl Afet ve Acil Durum Müdürlüğü (AFAD), olası bir doğal afet senaryosu için özel bir 'Kriz Müdahale Ekibi' oluşturacaktır. Müdürlüğün elindeki mevcut personel havuzu ve sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Personel Ünvanı	Mevcut Sayı
Arama Kurtarma Teknisyeni	4
İlk Yardım Uzmanı	5
Lojistik Sorumlusu	3

Oluşturulacak 4 kişilik bu ekip için aşağıdaki kurallar belirlenmiştir:

1. Ekipte her ünvandan en az bir personel bulunmalıdır.
2. Personel havuzunda bulunan Arama Kurtarma Teknisyeni Ali Bey ile İlk Yardım Uzmanı Berna Hanım evli oldukları için, kurum yönetmeliği gereği aynı operasyon ekibinde yer alamazlar.

Buna göre, bu Kriz Müdahale Ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

222

246

258

270

285

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 246

Cevap

Kurallara uygun 246 farklı ekip oluşturulabilir.

Soruda verilen kısıtlamalar altında doğru hesaplama yöntemi 'Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar' ilkesine dayanır. Öncelikle 4 kişilik ekipte her branştan en az bir kişi olma şartı, ekibin dağılımının (2,1,1) şeklinde olmasını gerektirir. Bu şartı sağlayan toplam 270 farklı ekip kurulabilir. Ancak Ali ve Berna'nın birlikte çalışamayacağı belirtildiğinden, bu ikilinin birlikte bulunduğu ve yine (2,1,1) şartını sağlayan 24 durum (9+12+3) genel toplamdan çıkarılmalıdır. Sonuç olarak

270 - 24 = 246

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ekip yapısının belirlenmesi

4 kişilik ekipte 3 farklı branştan en az 1 kişi olacağı için dağılım (2, 1, 1) şeklinde olmalıdır.

Toplam 4 kişi seçilecek ve 3 farklı grup var. Bu ancak bir gruptan 2, diğerlerinden 1'er kişi seçilerek mümkündür.

2

Tüm durumların (kısıtlama olmadan) hesaplanması

Durum 1 (2 Teknisyen, 1 Uzman, 1 Lojistik):

C(4,2) \cdot C(5,1) \cdot C(3,1) = 6 \cdot 5 \cdot 3 = 90

Durum 2 (1 Teknisyen, 2 Uzman, 1 Lojistik):

C(4,1) \cdot C(5,2) \cdot C(3,1) = 4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

Durum 3 (1 Teknisyen, 1 Uzman, 2 Lojistik):

C(4,1) \cdot C(5,1) \cdot C(3,2) = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

Toplam =

90 + 120 + 60 = 270

Toplama ve çarpma kuralı kullanılarak olası tüm kombinasyonlar hesaplanır.

3

İstenmeyen durumların (Ali ve Berna birlikte) hesaplanması

Ali (A) ve Berna (B) seçildiğinde kalan 2 kişi seçilmelidir (biri mutlaka Lojistik olmalı).
Durum 1 (Ali + 1 Teknisyen, Berna, 1 Lojistik):

1 \cdot C(3,1) \cdot 1 \cdot C(3,1) = 9

Durum 2 (Ali, Berna + 1 Uzman, 1 Lojistik):

1 \cdot 1 \cdot C(4,1) \cdot C(3,1) = 12

Durum 3 (Ali, Berna, 2 Lojistik):

1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot C(3,2) = 3

Toplam İstenmeyen =

9 + 12 + 3 = 24

Ali ve Berna'nın aynı anda bulunduğu durumlar hesaplanarak genel toplamdan çıkarılacaktır.

4

Sonucun bulunması

270 - 24 = 246

Tüm durumlardan kısıtlamaya uymayan durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ve Sayma Kuralları (Tüm Durumlar - İstenmeyen Durumlar)

İpuçları

1

Bu tür sorularda doğrudan 'ayrık' ekipleri saymak zordur. Bunun yerine, hiçbir yasak yokmuş gibi 'Tüm Durumları' hesaplayıp, sonra yasaklı durumu (Ali ve Berna'nın birlikte olduğu durumları) çıkarmayı deneyin.

2

Ekip 4 kişilik ve 3 farklı branş var. Her branştan en az bir kişi olması için, bir branştan 2 kişi, diğerlerinden 1'er kişi seçilmelidir. Bu üç farklı durumu (2-1-1, 1-2-1, 1-1-2) ayrı ayrı hesaplayıp toplayın.

3

İstenmeyen durumda Ali (Arama Kurtarma) ve Berna (İlk Yardım) kesinlikle seçilmiştir. Geriye seçilmesi gereken 2 kişi kalır ve bunlardan en az biri Lojistikçi olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan alt durumları hesaplayıp toplamdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, 'En az 2 doktorun bulunduğu' gibi alt sınır içeren bir komisyon problemi çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Direkt Yöntem: Ali'nin olup Berna'nın olmadığı + Berna'nın olup Ali'nin olmadığı + İkisinin de olmadığı durumları ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsiniz. Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı gerektirir ve hata riski daha yüksektir.

Tahmini Süre:4m 0s

Soru 78Soru →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları ayrık (ayrık kümeler) iki olaydır.

Bu olayların olasılıkları

x

gerçel sayısı türünden,

P(A) = 3x - \frac{1}{4}

P(B) = \frac{1}{2} - x

eşitlikleri ile verilmiştir.

Buna göre, $x$ değerinin alabileceği en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

\left[\frac{1}{12}, \frac{5}{12}\right]

\left[\frac{1}{12}, \frac{3}{8}\right]

\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right]

\left[\frac{1}{12}, \frac{1}{2}\right]

\left[0, \frac{3}{8}\right]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\left[\frac{1}{12}, \frac{3}{8}\right]$

Cevap

x değerinin en geniş aralığı [1/12, 3/8] kapalı aralığıdır.

Doğru cevap, üç temel kısıtlamanın kesişimidir: 1) A'nın olasılığı negatif olamaz ve 1'i geçemez, 2) B'nin olasılığı negatif olamaz ve 1'i geçemez, 3) A ve B ayrık olduğu için toplamları 1'i geçemez. Bu üç eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi

[1/12, 3/8]

aralığını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Olasılık fonksiyonunun temel aksiyomlarından biri olan

0 \le P(A) \le 1

şartını

A

olayı için incele.

0 \le 3x - \frac{1}{4} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{4} \le 3x \le \frac{5}{4} \Rightarrow x \in [\frac{1}{12}, \frac{5}{12}]

Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında olmalıdır.

2

0 \le P(B) \le 1

şartını

B

olayı için incele.

0 \le \frac{1}{2} - x \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le -x \le \frac{1}{2} \Rightarrow x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

B olayının olasılığı da geçerli bir olasılık değeri olmalıdır.

3

Ayrık olaylar için birleşim kuralını (

P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1

) uygula.

(3x - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} - x) \le 1 \Rightarrow 2x + \frac{1}{4} \le 1 \Rightarrow 2x \le \frac{3}{4} \Rightarrow x \le \frac{3}{8}

Ayrık iki olayın olasılıkları toplamı, örnek uzayın olasılığını (1) geçemez.

4

Tüm şartları sağlayan ortak çözüm kümesini (kesişim aralığını) bul.

x \ge \frac{1}{12}

,

x \le \frac{5}{12}

,

x \ge -\frac{1}{2}

,

x \le \frac{1}{2}

ve

x \le \frac{3}{8}

eşitsizliklerinin kesişimi:

[\frac{1}{12}, \frac{3}{8}]

x değeri tüm kısıtlamaları aynı anda sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık fonksiyonunun özellikleri:

0 \le P(E) \le 1

ve ayrık olaylar için

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

.

İpuçları

1

Bir olayın olasılığı asla negatif olamaz ve 1'den büyük olamaz.

0 \le P(A) \le 1

eşitsizliğini kurun.

2

A

ve

B

ayrık olaylar olduğu için, birleşimlerinin olasılığı toplamlarına eşittir ve bu toplam en fazla 1 olabilir.

3

Üç koşulu aynı anda sağlayan aralığı bulun: 1)

P(A) \ge 0

, 2)

P(B) \ge 0

, 3)

P(A) + P(B) \le 1

.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'ayrık' yerine 'bağımsız' olaylar denseydi çözüm nasıl değişirdi?

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 79Soru →

Bir kaymakamlık ziyareti sırasında vali beyi karşılamak üzere; kaymakam, belediye başkanı ve $4$ farklı şube müdürü tek sıra hâlinde yan yana dizileceklerdir.

Kaymakam ile belediye başkanı arasında tam olarak bir şube müdürünün bulunduğu kaç farklı sıralama yapılabilir?

96

144

192

240

360

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $192$

Cevap

Kaymakam ve belediye başkanı arasında bir kişinin bulunduğu toplam

192

farklı sıralama yapılabilir.

Doğru cevap olan

192

değerine ulaşmak için önce Kaymakam ve Belediye Başkanı arasındaki boşluğa gelebilecek

4

farklı şube müdürü olduğu, ardından bu iki ana yetkilinin kendi arasında

2

farklı şekilde yer değiştirebileceği görülmelidir. Bu üçlü yapı bir blok (

1

birim) olarak alındığında, geriye kalan

3

şube müdürü ile birlikte toplam

4

birimin sıralanması

4! = 24

durum oluşturur. Sonuç olarak

4 \times 2 \times 24 = 192

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kaymakam (

K

), belediye başkanı (

B

) ve aralarındaki bir şube müdüründen (

S

) oluşan bir blok yapısı kurgulanmalıdır.

(K, S, B)

bloğu.

Aralarında tam olarak bir kişi bulunması şartını sağlamak için bu üçlü grup bir bütün olarak hareket etmelidir.

2

Oluşturulan bloğun içindeki değişkenleri hesaplayalım.

4 \times 2 = 8

durum.

Aradaki şube müdürü

4

farklı müdür arasından seçilebilir (

4

durum) ve Kaymakam ile Belediye Başkanı kendi aralarında yer değiştirebilir (

2! = 2

durum).

3

Toplam sıralama sayısını bulmak için blok ve dışarıda kalanları birer birim olarak kabul edelim.

1 \text{ (blok)} + 3 \text{ (kalan müdürler)} = 4

birim.

Blok bir bütün sayılır, geriye kalan

3

müdür ise serbesttir.

4

Tüm birimlerin sıralanışını ve blok içi durumları çarparak sonucu bulalım.

4! \times 8 = 24 \times 8 = 192

.

4

birim

4!

şeklinde sıralanır, her bir sıralama için bloğun kendi içindeki

8

farklı durumu geçerlidir.

Anahtar Kavram

Permütasyon (Sıralama) ve Bloklama Yöntemi

İpuçları

1

Kaymakam, aradaki kişi ve belediye başkanını bir paket (blok) gibi düşünün.

2

Paket içindeki şube müdürünü seçmeyi ve kaymakam ile belediye başkanını yer değiştirmeyi unutmayın.

3

Toplam 6 kişi var. 3 kişilik bir blok yaparsanız, dışarıda 3 kişi kalır. Toplamda 4 nesneyi sıralayacaksınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda 'en az bir kişi bulunması' veya 'hiç yan yana gelmemeleri' durumlarını inceleyerek tüm durumdan çıkarma yöntemini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kaymakam ve belediye başkanının aralarında bir boşluk olacak şekilde oturabileceği yerleri manuel sayabiliriz: (1,3), (2,4), (3,5) ve (4,6). Bu 4 durumun her birinde yetkililer kendi arasında 2 farklı şekilde dizilir. Aradaki boşluğa 4 farklı kişi gelebilir. Kalan 3 kişi ise kalan 3 yere 3! şeklinde dizilir. İşlem:

4 \times 2 \times 4 \times 6 = 192

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 80Soru →

Aşağıdaki şekilde bir şehrin birbirini dik kesen sokakları gösterilmiştir.

A noktasından hareket eden bir kişi, sadece sağa ve yukarı doğru hareket ederek $C$ noktasına uğramak koşuluyla $B$ noktasına kaç farklı yoldan gidebilir?

16

60

120

126

2880

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $60$

Cevap

A noktasından

C

noktasına uğrayarak

B

noktasına giden toplam farklı yol sayısı

60

tanedir.

Doğru yanıt olan 60 seçeneği, A'dan C'ye giden 10 farklı yol ile C'den B'ye giden 6 farklı yolun çarpılmasıyla elde edilir. A-C arası için 3 sağ ve 2 yukarı hareketin dizilimi

\frac{5!}{3!2!} = 10

, C-B arası için 2 sağ ve 2 yukarı hareketin dizilimi

\frac{4!}{2!2!} = 6

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

A

noktasından

C

noktasına giden yol sayısını hesapla.

\frac{5!}{3! \times 2!} = 10

A

'dan

C

'ye ulaşmak için 3 birim sağa (

S

) ve 2 birim yukarı (

Y

) olmak üzere toplam 5 birim hareket edilmelidir. Bu hareketlerin sıralanışı tekrarlı permütasyon ile bulunur.

2

C

noktasından

B

noktasına giden yol sayısını hesapla.

\frac{4!}{2! \times 2!} = 6

C

'den

B

'ye ulaşmak için 2 birim sağa (

S

) ve 2 birim yukarı (

Y

) olmak üzere toplam 4 birim hareket edilmelidir.

3

Saymanın çarpma kuralını uygulayarak toplam yolu bul.

10 \times 6 = 60

A

'dan

C

'ye ve

C

'den

B

'ye gidiş olayları birbirine bağlı olduğundan, bulunan sonuçlar çarpılır.

Anahtar Kavram

Özdeş nesnelerin (veya hareketlerin) diziliminde tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.

İpuçları

1

Bu tür sorularda sağa adımları '

S

' ve yukarı adımları '

Y

' harfleriyle simgeleyerek bir kelime oluşturuyormuş gibi düşünebilirsiniz.

2

A

noktasından

C

noktasına ulaşmak için toplam kaç birim sağa ve kaç birim yukarı gitmeniz gerektiğini belirleyin ve bu adımları tekrarlı permütasyonla sıralayın.

3

A \to C

arası için

3S

ve

2Y

(

5! / (3! \times 2!)

),

C \to B

arası için ise

2S

ve

2Y

(

4! / (2! \times 2!)

) hesaplamalarını yapıp çarpmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Eğer

C

noktasına uğramama koşulu sorulsaydı, tüm durumlardan

C

'ye uğranan durumları çıkarmanız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Grid üzerinde her köşeye ulaşılabilecek yol sayılarını toplayarak ilerleme (Pascal üçgeni mantığı) yöntemiyle de

A

'dan

C

'ye ve ardından

C

'den

B

'ye ulaşabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Sayma ve Olasılık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları