Tüketici Dengesi (Fayda Maksimizasyonu) Alıştırma Soruları — KPSS İktisat

Soru 1Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ mallarından elde ettiği toplam fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X^2 \cdot Y$ şeklinde ifade edilmektedir. $X$ malının birim fiyatı $4$ TL, $Y$ malının birim fiyatı $8$ TL ve tüketicinin bütçesi $180$ TL'dir.

Buna göre, faydasını maksimize eden bu tüketici denge noktasında kaç birim $X$ malı tüketmelidir?

7,5

15

22,5

30

45

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Faydasını maksimize eden tüketici denge noktasında 30 birim X malı tüketmelidir.

Tüketici dengesi, marjinal ikame oranının fiyat oranına eşit olduğu (

MRS_{XY} = P_X/P_Y

) ve bütçe kısıtının sağlandığı noktada oluşur.

U = X^2Y

fonksiyonu için

MRS = 2Y/X

olup,

4/8

fiyat oranına eşitlendiğinde

X = 4Y

ilişkisi bulunur. Bütçe denkleminde (

4X + 8Y = 180

) bu ilişki yerine konulduğunda

X=30

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal faydaları ve Marjinal İkame Oranını (MRS) hesaplayın.

MU_X = 2XY

,

MU_Y = X^2

ve

MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{2XY}{X^2} = \frac{2Y}{X}

Tüketici dengesi için malın marjinal faydalarının oranı, fiyatların oranına eşit olmalıdır.

2

Denge koşulunu (

MRS_{XY} = P_X/P_Y

) uygulayın.

\frac{2Y}{X} = \frac{4}{8} \Rightarrow \frac{2Y}{X} = \frac{1}{2} \Rightarrow X = 4Y

Optimal tüketim sepetinde tüketicinin öznel ikame oranı, piyasadaki fiyat oranına eşitlenir.

3

Bulunan ilişkiyi bütçe doğrusu denkleminde yerine yazın.

4X + 8Y = 180

denkleminde

X = 4Y

yazılırsa:

4(4Y) + 8Y = 180 \Rightarrow 16Y + 8Y = 180 \Rightarrow 24Y = 180 \Rightarrow Y = 7,5

Tüketici bütçesinin tamamını harcayarak faydasını maksimize eder.

4

X malı miktarını hesaplayın.

X = 4 \times 7,5 = 30

Denge koşulunda bulunan

X = 4Y

ilişkisi kullanılarak nihai miktar bulunur.

Anahtar Kavram

Cobb-Douglas Fayda Fonksiyonunda Tüketici Dengesi

Soru 2Soru →

Bir tüketicinin fayda fonksiyonu $U(X, Y) = 3X + 4Y$ şeklinde tanımlanmıştır. $X$ malının birim fiyatı ( $P_X$ ) $6$ TL, $Y$ malının birim fiyatı ( $P_Y$ ) ise $10$ TL'dir. Tüketicinin bütçesinin tamamını harcadığı varsayıldığında, faydasını maksimize edebilmesi için izlemesi gereken strateji aşağıdakilerden hangisidir?

Bütçesinin tamamını

X

malına harcayarak köşe dengesine ulaşmalıdır.

Bütçesinin tamamını

Y

malına harcayarak köşe dengesine ulaşmalıdır.

Her iki maldan da marjinal faydaların fiyatlara oranının eşitlendiği bir iç denge noktası aramalıdır.

Mallar arasında tam tamamlayıcılık ilişkisi olduğu için her iki maldan da belirli bir oranda tüketmelidir.

Marjinal ikame oranı (

MRS

) fiyat oranına (

P_X / P_Y

) eşit olmadığı için tüketici dengesi sağlanamaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bütçesinin tamamını $X$ malına harcayarak köşe dengesine ulaşmalıdır.

Cevap

Tüketici, bütçesinin tamamını

X

malına ayırarak köşe dengesine ulaşmalıdır.

Fayda fonksiyonu doğrusal (

U = aX + bY

) olduğu için mallar tam ikame edilebilir özelliktedir. Bu durumda farksızlık eğrileri düz bir doğrudur ve marjinal ikame oranı (

MRS = MU_X / MU_Y = 3/4 = 0,75

) sabittir. Bütçe doğrusunun eğimi (

P_X / P_Y = 6/10 = 0,6

) ise MRS'den daha düşüktür (

0,75 > 0,6

). Bu durumda farksızlık eğrisi bütçe doğrusundan daha diktir ve tüketici farksızlık eğrisini mümkün olduğunca dışarı kaydırdığında bütçe doğrusunun yatay ekseni (

X

ekseni) kestiği noktada dengeye ulaşır. Sayısal olarak da

\frac{MU_X}{P_X} (0,5) > \frac{MU_Y}{P_Y} (0,4)

olduğu için tüketicinin her lirasıyla sadece

X

malı alması rasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1

Malların marjinal faydalarını (

MU

) hesaplayın.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 3

ve

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 4

Doğrusal fayda fonksiyonunda marjinal faydalar tüketim miktarlarından bağımsız ve sabittir.

2

Mallar için harcanan her bir liranın sağladığı marjinal faydayı (eş-marjinal fayda ilkesi) hesaplayın.

X için:

\frac{MU_X}{P_X} = \frac{3}{6} = 0,5

; Y için:

\frac{MU_Y}{P_Y} = \frac{4}{10} = 0,4

Tüketicinin kısıtlı bütçesiyle hangi maldan daha fazla 'fayda verimi' aldığını belirlemek gerekir.

3

Elde edilen oranları karşılaştırarak denge kararını verin.

0,5 > 0,4

olduğundan tüketici tüm bütçesini

X

malına ayırmalıdır.

X

malı için harcanan son liranın getirdiği fayda,

Y

malından daha yüksektir.

Anahtar Kavram

Tam İkame Mallarda Köşe Dengesi

İpuçları

1

Fayda fonksiyonunun biçimine dikkat edin:

U = aX + bY

yapısı malların birbirini tam ikame edebildiğini gösterir.

2

Her iki mal için 'marjinal fayda / fiyat' oranlarını hesaplayın. Hangisi daha yüksekse tüketici o malı tercih edecektir.

3

X malı için oran

3/6=0,5

, Y malı için

4/10=0,4

'tür. Tüketici daha yüksek verim aldığı mala bütçesinin tamamını yatırmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Fiyatların değişmesi durumunda (

P_X=8, P_Y=10

) dengenin nasıl yer değiştireceğini incelemek konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları üzerindeki tercihleri $U(X, Y) = X^{0,25} \cdot Y^{0,75}$ fayda fonksiyonu ile temsil edilmektedir. $X$ malının birim fiyatı $10$ TL, $Y$ malının birim fiyatı $20$ TL ve tüketicinin toplam bütçesi $800$ TL'dir. Buna göre, faydasını maksimize etmek isteyen bu tüketici denge noktasında $Y$ malından kaç birim tüketmelidir?

10

20

30

40

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Tüketici, faydasını maksimize etmek için

Y

malından

30

birim tüketmelidir.

Cobb-Douglas tipi bir fayda fonksiyonunda (

U = X^a Y^b

), tüketicinin faydasını maksimize eden harcama dağılımı üslerle doğru orantılıdır.

Y

malının üssü

0,75

ve toplam üs

1,0

olduğu için bütçenin %75'i (

600

TL)

Y

malına ayrılır.

20

TL birim fiyatı üzerinden bu bütçeyle

30

birim

Y

malı tüketilmesi dengeyi sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Fayda fonksiyonunun türünü ve özelliklerini belirleme

Cobb-Douglas tipi fayda fonksiyonu:

U(X, Y) = X^a \cdot Y^b

Cobb-Douglas fonksiyonlarında her malın bütçe içindeki payı, o malın üssünün üsler toplamına oranına eşittir.

2

Y

malı için bütçe payını hesaplama

Y \text{ bütçe payı} = \frac{b}{a+b} = \frac{0,75}{0,25 + 0,75} = 0,75

Y

malına ayrılacak toplam parayı bulmak için bütçe içindeki oranını bilmemiz gerekir.

3

Y

malına ayrılan toplam harcamayı hesaplama

800 \text{ TL} \times 0,75 = 600 \text{ TL}

Toplam bütçenin %75'inin

Y

malına harcanması gerektiğini belirledik.

4

Y

malı miktarını birim fiyat üzerinden bulma

Y = \frac{600 \text{ TL}}{20 \text{ TL/Birim}} = 30 \text{ birim}

Harcama tutarı birim fiyata bölünerek denge miktarına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Cobb-Douglas Fayda Fonksiyonu ve Bütçe Payı İlişkisi

İpuçları

1

Cobb-Douglas tipi fonksiyonlarda mallara ayrılan bütçe miktarı, o malın fonksiyon üzerindeki üssü ile orantılıdır.

2

Y

malına harcanan toplam tutarı bulmak için toplam geliri

Y

malının üssü (

0,75

) ile çarpın.

3

800 \text{ TL} \times 0,75 = 600 \text{ TL}

harcamayı

Y

malının fiyatı olan

20

TL'ye böldüğünüzde sonuca ulaşırsınız.

Daha Fazla Pratik

Bütçe ve fiyatlar sabitken üslerin yer değiştirmesi durumunda tüketim miktarlarının nasıl değişeceğini analiz edin.

Alternatif Yöntem

Marjinal faydaların fiyatlara oranı (

MU_X / P_X = MU_Y / P_Y

) denklik şartı kullanılarak da çözülebilir:

MU_X = 0,25 X^{-0,75} Y^{0,75}

ve

MU_Y = 0,75 X^{0,25} Y^{-0,25}

değerleri oranlandığında

\frac{Y}{3X} = \frac{10}{20} \Rightarrow Y = 1,5X

ilişkisi bulunur. Bütçe kısıtı

10X + 20Y = 800

denkleminde

X

yerine

Y/1,5

yazılarak

30

sonucuna gidilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir tüketicinin fayda fonksiyonu $U(x, y) = x^{1/3} y^{2/3}$ olarak tanımlanmıştır. Tüketicinin geliri $300$ TL, $x$ malının birim fiyatı $P_x = 10$ TL ve $y$ malının birim fiyatı $P_y = 10$ TL'dir. Tüketicinin toplam faydasını maksimize eden optimal tüketim sepetindeki ( $x, y$ ) miktarları aşağıdakilerden hangisidir?

x = 10, y = 20

x = 20, y = 10

x = 15, y = 15

x = 30, y = 0

x = 10, y = 10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x = 10, y = 20$

Cevap

Tüketici faydasını maksimize eden optimal sepet

x = 10

ve

y = 20

birimden oluşmaktadır.

Optimal tüketim miktarını bulmak için Cobb-Douglas tipi fayda fonksiyonlarında harcama payları kuralı uygulanabilir.

U = x^a y^b

fonksiyonunda

x

için harcanan miktar gelirin

a/(a+b)

'sine eşittir. Bu soruda

x = (1/3) / 1 \times (300/10) = 10

ve

y = (2/3) / 1 \times (300/10) = 20

olarak bulunur. Matematiksel olarak

MRS = y/2x

oranının fiyat oranı olan 1'e eşitlenmesi ve bütçe kısıtının çözülmesi bizi

x=10, y=20

sonucuna götürür.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal faydaların hesaplanması

MU_x = \frac{1}{3} x^{-2/3} y^{2/3}

ve

MU_y = \frac{2}{3} x^{1/3} y^{-1/3}

Tüketici dengesi için malların marjinal faydalarının bilinmesi gerekir.

2

Marjinal ikame oranının (

MRS_{xy}

) bulunması

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{\frac{1}{3} x^{-2/3} y^{2/3}}{\frac{2}{3} x^{1/3} y^{-1/3}} = \frac{y}{2x}

MRS, farksızlık eğrisinin eğimini temsil eder ve denge noktasında fiyat oranına eşittir.

3

Denge koşulunun fiyat oranıyla eşitlenmesi

\frac{y}{2x} = \frac{P_x}{P_y} \Rightarrow \frac{y}{2x} = \frac{10}{10} = 1 \Rightarrow y = 2x

Fayda maksimizasyonu noktasında marjinal faydaların oranı, fiyatların oranına eşit olmalıdır.

4

Bütçe kısıtı denkleminde yerine koyma

P_x x + P_y y = I \Rightarrow 10x + 10(2x) = 300 \Rightarrow 30x = 300 \Rightarrow x = 10

Tüketici bütçesinin tamamını harcayarak dengeye ulaşır.

5

Diğer mal miktarının bulunması

y = 2(10) = 20

Denge koşulundan (

y=2x

) faydalanarak

y

miktarı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Cobb-Douglas Tüketici Dengesi

Alternatif Yöntem

Cobb-Douglas fonksiyonları (

U = x^a y^b

) için pratik yöntem:

x^* = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{I}{P_x}

ve

y^* = \frac{b}{a+b} \cdot \frac{I}{P_y}

formülleri kullanılabilir. Burada

a=1/3

,

b=2/3

,

I=300

,

P_x=10

,

P_y=10

değerleri yerine konulduğunda doğrudan sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 5Soru →

Kardinal (sayısal) fayda yaklaşımına göre, bir tüketicinin sınırlı geliriyle satın alabileceği mal sepetinden elde ettiği toplam faydayı maksimize edebilmesi (tüketici dengesi) için gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

Tüketilen her bir malın marjinal faydalarının birbirine eşit olması

Tüketilen her bir maldan elde edilen toplam faydaların birbirine eşit olması

Her mala harcanan son liranın sağladığı marjinal faydaların birbirine eşit olması

Bütçenin tamamının marjinal faydası en yüksek olan malın tüketimine ayrılması

Bütçenin sadece birim fiyatı en düşük olan malın tüketimine ayrılması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Her mala harcanan son liranın sağladığı marjinal faydaların birbirine eşit olması

Cevap

Tüketici dengesi, her mala harcanan son liranın sağladığı marjinal faydaların birbirine eşitlenmesi durumunda gerçekleşir.

Tüketici dengesi, tüketicinin sınırlı geliriyle her maldan elde ettiği marjinal faydanın o malın fiyatına oranını (

MU/P

) tüm mallar için eşitlediği noktada sağlanır. Bu durum, 'her mala harcanan son liranın marjinal faydasının eşitlenmesi' olarak ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Denge Koşulunun Belirlenmesi

\frac{MU_x}{P_x} = \frac{MU_y}{P_y} = ... = \frac{MU_n}{P_n}

Kardinal fayda analizine göre, tüketicinin sınırlı bütçesiyle en yüksek faydayı elde edebilmesi için malların marjinal faydalarının fiyatlarına oranının eşit olması gerekir.

2

Eş-Marjinal Fayda İlkesinin Yorumlanması

Harcanan son liranın marjinal faydası eşitlenir.

Eğer bir malın fiyat başına marjinal faydası diğerinden yüksekse, tüketici o maldan daha fazla alarak toplam faydasını artırabilir. Denge noktasında bu oranlar eşitlenmiş olmalıdır.

Anahtar Kavram

Eş-Marjinal Fayda İlkesi (Gossen'in II. Kanunu)

İpuçları

1

Tüketici kararlarında 'son birim' (marjinal) analizi yapıldığını hatırlayın.

2

Denge için malın getirdiği fayda ile malın fiyatının (maliyetinin) birlikte değerlendirilmesi gerekir.

3

Gossen'in II. Kanunu olan eş-marjinal fayda ilkesini ve

MU/P

formülünü düşünün.

Daha Fazla Pratik

Ordinal fayda analizinde bütçe doğrusu ile farksızlık eğrisinin birbirine teğet olduğu durumu inceleyerek benzerlikleri karşılaştırın.

Tahmini Süre:45s

Soru 6Soru →

Bir tüketicinin fayda fonksiyonu $U(x, y) = 5x + 2y$ olarak tanımlanmıştır. Tüketicinin bütçesi $100$ TL, $x$ malının birim fiyatı ( $P_x$ ) $10$ TL ve $y$ malının birim fiyatı ( $P_y$ ) $5$ TL'dir. Diğer şartlar sabitken, $y$ malının birim fiyatı $2$ TL'ye düştüğünde tüketicinin fayda maksimizasyonunu sağlayan denge sepetindeki değişim aşağıdakilerden hangisidir?

Tüketici başlangıçta sadece

x

malı tüketirken, fiyat değişimi sonrası tüm gelirini

y

malına harcamaya başlar.

Fiyatlardaki değişim marjinal faydaları eşitleyeceği için tüketici her iki maldan da eşit miktarda tüketmeye başlar.

Tüketici, faydasını artırmak için başlangıçtaki

x

ağırlıklı sepetten vazgeçip her iki malı birlikte tükettiği bir iç dengeye yönelir.

Tüketici başlangıçta sadece

y

malı tüketirken, fiyat değişimi sonrası sadece

x

malı tüketmeye başlar.

y

malının fiyatı düşmesine rağmen marjinal ikame oranı değişmediği için tüketicinin denge sepeti değişmez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tüketici başlangıçta sadece $x$ malı tüketirken, fiyat değişimi sonrası tüm gelirini $y$ malına harcamaya başlar.

Cevap

Tüketici başlangıçta sadece ilk malı tüketirken, ikinci malın fiyatındaki düşüş sonrası karar kuralı gereği tüm bütçesini ikinci mala yönlendirir.

Verilen fayda fonksiyonu tam ikame malları temsil etmektedir. Bu durumda tüketici, lirasının karşılığında en fazla marjinal faydayı sağlayan mala yönelir. Başlangıçta

x

malı birim fiyat başına daha fazla fayda sağlarken (

5/10 > 2/5

),

y

malının fiyatı

2

TL'ye düştüğünde

y

malı daha avantajlı hale gelmektedir (

2/2 > 5/10

). Bu nedenle denge bir köşeden (sadece

x

) diğer köşeye (sadece

y

) sıçrar.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal İkame Oranının (

MRS

) hesaplanması

MU_x = 5

,

MU_y = 2

olduğu için

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{5}{2} = 2,5

Tam ikame mallarda dengeyi belirlemek için sabit olan marjinal ikame oranını bulmamız gerekir.

2

Başlangıç denge durumunun analizi

Fiyat oranı

\frac{P_x}{P_y} = \frac{10}{5} = 2

.

MRS (2,5) > \frac{P_x}{P_y} (2)

durumu vardır.

Eğer

MRS > \frac{P_x}{P_y}

ise tüketici parasını marjinal faydası fiyatına göre daha yüksek olan

x

malına harcar (

x = \frac{100}{10} = 10, y = 0

).

3

Fiyat değişimi sonrası yeni durumun analizi

Yeni fiyat oranı

\frac{P_x}{P_{y'}} = \frac{10}{2} = 5

.

MRS (2,5) < \frac{P_x}{P_{y'}} (5)

durumu oluşur.

y

malının ucuzlamasıyla bütçe doğrusu dikleşmiş ve fiyat oranı marjinal ikame oranını geçmiştir.

4

Yeni denge noktasının belirlenmesi

Tüketici sadece

y

malı tüketmeye karar verir (

x = 0, y = \frac{100}{2} = 50

).

MRS < \frac{P_x}{P_y}

durumunda tüketici tüm gelirini

y

malına harcayarak faydasını maksimize eder.

Anahtar Kavram

Tam İkame Mallarda Köşe Dengesi (Corner Solution)

İpuçları

1

Fayda fonksiyonunun biçimine dikkat edin; bu fonksiyon malların birbirini tam olarak ikame edebildiğini gösterir.

2

Tam ikame mallarda tüketici ya sadece bir malı tüketir ya da fiyat oranı MRS'ye eşitse her ikisini de tüketebilir. MRS ile fiyat oranını kıyaslayın.

3

Başlangıçta

MRS = 2,5

ve fiyat oranı

2

iken, fiyat düşüşü sonrası yeni fiyat oranı

5

olmaktadır. Karar kuralını bu iki durum için ayrı ayrı uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Fiyat oranı marjinal ikame oranına tam olarak eşit olduğunda (

P_x/P_y = 2,5

) denge noktasının nasıl bir özellik göstereceğini araştırın.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 7Soru →

Bir tüketici, bütçesinin tamamını $X$ ve $Y$ malları arasında paylaştırarak faydasını maksimize etmeye çalışmaktadır. Tüketicinin tükettiği son birim mallara ilişkin veriler aşağıdaki gibidir:

Değişken	$X$ Malı	$Y$ Malı
Marjinal Fayda ( $MU$ )	$40$	$60$
Fiyat ( $P$ )	$5$ TL	$10$ TL

Buna göre, bu tüketicinin toplam faydasını artırabilmesi için izlemesi gereken strateji aşağıdakilerden hangisidir?

X

malı tüketimini artırmalı,

Y

malı tüketimini azaltmalıdır.

Y

malı tüketimini artırmalı,

X

malı tüketimini azaltmalıdır.

Tüketim bileşimini değiştirmemelidir çünkü tüketici dengesi sağlanmıştır.

Sadece

Y

malı tüketerek bütçesinin tamamını bu mala ayırmalıdır.

Faydasını artırmak için bütçe kısıtını görmezden gelerek her iki malın tüketimini de artırmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X$ malı tüketimini artırmalı, $Y$ malı tüketimini azaltmalıdır.

Cevap

Tüketici, birim TL başına daha yüksek fayda sağlayan X malının tüketimini artırmalı, Y malının tüketimini ise azaltmalıdır.

Tüketici dengesinin temel koşulu, malların marjinal faydalarının fiyatlarına oranının birbirine eşit olmasıdır (

\frac{MU_x}{P_x} = \frac{MU_y}{P_y}

). Soruda verilen değerlere göre X malı için bu oran

8

, Y malı için ise

6

'dır. Tüketici, X malına harcadığı her ek liradan, Y malına harcadığı ek liraya göre daha fazla fayda elde etmektedir. Bu nedenle, toplam faydasını artırmak isteyen rasyonel bir tüketici, getirisi düşük olan Y malının tüketimini azaltıp, buradan tasarruf ettiği bütçeyi getirisi yüksek olan X malına kaydırmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir mal için harcanan son liranın sağladığı marjinal faydayı (eş marjinal fayda ilkesi) hesaplayınız.

X

malı için

\frac{MU_x}{P_x} = \frac{40}{5} = 8

;

Y

malı için

\frac{MU_y}{P_y} = \frac{60}{10} = 6

sonuçları bulunur.

Tüketicinin her bir liradan elde ettiği getiriyi karşılaştırabilmek için bu oranlara bakılmalıdır.

2

Hesaplanan oranları karşılaştırarak denge koşulunu kontrol ediniz.

8 > 6

olduğu için denge koşulu (

\frac{MU_x}{P_x} = \frac{MU_y}{P_y}

) sağlanmamıştır.

Oranlar eşit değilse tüketici, parasını daha yüksek getiri sağlayan mala kaydırarak faydasını artırabilir.

3

Faydayı artırmak için gerekli tüketim değişimini belirleyiniz.

X malına harcanan paranın marjinal getirisi daha yüksek olduğu için X tüketimi artırılmalı, bütçe kısıtı nedeniyle Y tüketimi azaltılmalıdır.

Azalan marjinal fayda yasası gereği, X tüketimi arttıkça

MU_x

düşecek ve oranlar eşitlenene kadar bu süreç devam edecektir.

Anahtar Kavram

Eş-Marjinal Fayda İlkesi (Tüketici Dengesi Koşulu)

Daha Fazla Pratik

Fiyatlardaki bir değişimin bütçe doğrusunun eğimini ve tüketici dengesini nasıl değiştirdiğini inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Bir tüketici bütçesinin tamamını kullanarak $X$ ve $Y$ mallarını tüketmektedir. $X$ malının birim fiyatı $4$ TL, $Y$ malının birim fiyatı ise $2$ TL'dir. Tüketicinin tükettiği son birimlerden elde ettiği marjinal faydalar sırasıyla $MU_x = 20$ ve $MU_y = 12$ birimdir. Bu tüketicinin faydasını maksimize edebilmesi için tüketim bileşimiyle ilgili aşağıdakilerden hangisini yapması gerekir?

Y

malı tüketimini artırmalı,

X

malı tüketimini azaltmalıdır.

X

malı tüketimini artırmalı,

Y

malı tüketimini azaltmalıdır.

Tüketim bileşimini değiştirmemelidir, çünkü mevcut durumda dengededir.

Faydasını artırmak için her iki malın tüketimini de aynı oranda artırmalıdır.

X

malı tüketimini iki katına çıkarırken

Y

malı tüketimini sabit tutmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Y$ malı tüketimini artırmalı, $X$ malı tüketimini azaltmalıdır.

Cevap

Y

malı tüketimini artırmalı,

X

malı tüketimini azaltmalıdır.

Tüketici dengesinin sağlanabilmesi için malların marjinal faydalarının fiyatlarına oranının eşit olması gerekir (

MU_x/P_x = MU_y/P_y

). Verilen değerlere göre

X

malı için bu oran

5

,

Y

malı için ise

6

'dır. Tüketici, her lirasından en yüksek faydayı almak istediği için, lira başına daha yüksek fayda (

6

) sağlayan

Y

malının tüketimini artırmalıdır. Azalan marjinal fayda yasası gereği

Y

tüketimi arttıkça

MU_y

düşecek,

X

tüketimi azaldıkça

MU_x

artacak ve sonunda bu oranlar eşitlenerek dengeye ulaşılacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

X

malı için lira başına düşen marjinal faydayı hesaplayınız.

\frac{MU_x}{P_x} = \frac{20}{4} = 5

Tüketicinin

X

malına harcadığı son liranın kendisine sağladığı faydayı bulmak gerekir.

2

Y

malı için lira başına düşen marjinal faydayı hesaplayınız.

\frac{MU_y}{P_y} = \frac{12}{2} = 6

Tüketicinin

Y

malına harcadığı son liranın kendisine sağladığı faydayı bulmak gerekir.

3

Elde edilen oranları karşılaştırınız.

5 < 6

yani

\frac{MU_x}{P_x} < \frac{MU_y}{P_y}

Denge koşulunun (

MU_x/P_x = MU_y/P_y

) sağlanıp sağlanmadığını ve hangi malın daha verimli olduğunu belirlemek gerekir.

4

Rasyonel tüketici davranışına göre karar veriniz.

Y

artırılmalı,

X

azaltılmalı

Y

malına harcanan son lira daha fazla fayda sağladığı için

Y

tüketimi artırılmalıdır. Bütçe kısıtı altında bu artış ancak

X

tüketiminin azaltılmasıyla mümkündür.

Anahtar Kavram

Eş Marjinal Fayda İlkesi (Gossen'in İkinci Kanunu)

Daha Fazla Pratik

Fiyatlar ve marjinal faydalar eşit olduğunda bütçedeki bir artışın tüketici dengesini nasıl etkileyeceğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

$180$ TL gelire sahip bir tüketici, birim fiyatları sırasıyla $P_x = 10$ TL ve $P_y = 4$ TL olan $X$ ve $Y$ mallarından tüketmektedir. Tüketicinin tercihleri $U(X, Y) = \min\{2X, Y\}$ fayda fonksiyonu ile temsil edildiğine göre, tüketicinin faydasını maksimize ettiği denge noktasında tükettiği $Y$ malı miktarı kaç birimdir?

10

20

18

45

7,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$

Cevap

Tüketicinin denge noktasında tükettiği

Y

malı miktarı

20

birimdir.

Denge noktasında

Y

malı miktarının

20

birim olması doğrudur; çünkü

U(X, Y) = \min\{2X, Y\}

fonksiyonuna göre tüketici her

1

birim

X

için

2

birim

Y

tüketmelidir (

Y=2X

). Bu ilişki

10X + 4Y = 180

bütçe kısıtında yerine konulduğunda (

10X + 8X = 180

),

X=10

ve dolayısıyla

Y=20

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Fayda fonksiyonunun türünü ve denge koşulunu belirle.

U(X, Y) = \min\{2X, Y\}

fonksiyonu Leontief (tam tamamlayıcı) tipi bir fonksiyondur. Bu fonksiyonlar için denge, dirsek noktası olan

2X = Y

koşulunda gerçekleşir.

Tam tamamlayıcı mallarda tüketici, malları belirli bir oranda birlikte tüketmek zorundadır; aksi takdirde marjinal fayda sıfıra düşer.

2

Bütçe doğrusu denklemini yaz.

P_x \cdot X + P_y \cdot Y = I \Rightarrow 10X + 4Y = 180

Tüketici dengede bütçesinin tamamını harcamalıdır.

3

Denge koşulunu bütçe denkleminde yerine koy ve

X

miktarını hesapla.

10X + 4(2X) = 180 \Rightarrow 10X + 8X = 180 \Rightarrow 18X = 180 \Rightarrow X = 10

Y

yerine

2X

yazılarak tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir.

4

X

değerini kullanarak

Y

miktarını bul.

Y = 2X \Rightarrow Y = 2 \cdot 10 = 20

Soru kökünde bizden istenen

Y

malının miktarıdır.

Anahtar Kavram

Leontief (Tam Tamlayıcı) Fayda Fonksiyonunda Tüketici Dengesi

İpuçları

1

Bu bir Leontief (tam tamamlayıcı) fayda fonksiyonudur; farksızlık eğrileri

L

şeklindedir.

2

Denge noktası, fonksiyonun içindeki ifadelerin birbirine eşit olduğu (

2X = Y

) dirsek noktasında oluşur.

3

Y = 2X

ifadesini bütçe kısıtı olan

10X + 4Y = 180

denkleminde yerine koyarak bilinmeyenleri bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu fiyatların veya fayda oranlarının değiştiği (örneğin

X

malına vergi gelmesi) durumlar için çözerek ikame ve gelir etkilerini analiz edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oransal yöntemle: Bir 'sepet' oluşturun. 1 birim

X

ve 2 birim

Y

içeren bir sepetin maliyeti

1 \cdot 10 + 2 \cdot 4 = 18

TL'dir. Toplam bütçe olan

180

TL ile

180 / 18 = 10

sepet alınabilir. Her sepette 2 adet

Y

olduğuna göre toplamda

20

adet

Y

tüketilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bütçesinin tamamını harcayarak $X$ ve $Y$ mallarından tüketen bir bireyin, tükettiği son birimlerden elde ettiği marjinal faydalar sırasıyla $MU_X = 30$ birim ve $MU_Y = 20$ birimdir. Malların birim fiyatları ise $P_X = 5$ TL ve $P_Y = 2$ TL'dir. Buna göre, faydasını maksimize etmek isteyen tüketicinin davranışı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

X

malı tüketimini artırmalı,

Y

malı tüketimini azaltmalıdır.

Y

malı tüketimini artırmalı,

X

malı tüketimini azaltmalıdır.

Mevcut tüketim bileşimi ile fayda maksimizasyonu sağlandığı için tüketimini değiştirmemelidir.

Y

malının marjinal faydası

30

birim olana kadar sadece

X

malı tüketmelidir.

Her iki malın da tüketimini marjinal faydaları sıfır olana kadar artırmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Y$ malı tüketimini artırmalı, $X$ malı tüketimini azaltmalıdır.

Cevap

Tüketici, bir lirasına daha fazla marjinal fayda sağlayan Y malının tüketimini artırmalı ve X malının tüketimini azaltmalıdır.

Tüketici dengesi, her mala harcanan son liranın sağladığı marjinal faydaların eşitlenmesi durumunda (

MU_x/P_x = MU_y/P_y

) sağlanır. Soruda verilen değerlere göre

Y

malının sağladığı marjinal fayda (

10

),

X

malından (

6

) daha yüksektir. Rasyonel bir tüketici, daha yüksek fayda sağlayan

Y

malına daha fazla bütçe ayırarak toplam faydasını artırabilir.

Adım Adım Çözüm

1

X malı için harcanan son liranın sağladığı marjinal faydayı hesapla

\frac{MU_X}{P_X} = \frac{30}{5} = 6

birim/TL

Tüketicinin her bir liradan elde ettiği getiriyi karşılaştırmak gerekir.

2

Y malı için harcanan son liranın sağladığı marjinal faydayı hesapla

\frac{MU_Y}{P_Y} = \frac{20}{2} = 10

birim/TL

Denge koşulunun sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek için ikinci malın verimi bulunur.

3

Elde edilen değerleri karşılaştır ve rasyonel davranışı belirle

\frac{MU_Y}{P_Y} (10) > \frac{MU_X}{P_X} (6)

olduğu için

Y

tüketimi artırılmalı,

X

azaltılmalıdır.

Azalan marjinal fayda kanunu gereği,

Y

tüketimi arttıkça

MU_Y

düşecek ve

X

tüketimi azaldıkça

MU_X

artacaktır; bu süreç oranlar eşitlenene kadar devam eder.

Anahtar Kavram

Eş-marjinal İlkesi (Gossen Kanunu)

İpuçları

1

Fayda maksimizasyonu için sadece marjinal faydalara değil, fiyatlara da bakmalısınız.

2

Her bir mal için 'bir lira başına düşen faydayı' (

MU/P

) hesaplayın.

3

Hangi malın lira başına getirisi daha yüksekse, o malın tüketimini artırmak rasyoneldir.

Daha Fazla Pratik

Fiyatların değişmesi durumunda bütçe doğrusunun nasıl döneceğini ve yeni denge noktasının yönünü inceleyen sorulara göz atabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bütçesinin tamamını $X$ ve $Y$ malları arasında paylaştıran bir tüketicinin mevcut tüketim sepetinde, $X$ malının $Y$ malı ile marjinal ikame oranı ( $MRS_{xy}$ ) $3$ olarak hesaplanmıştır. $X$ malının birim fiyatı ( $P_x$ ) $12$ TL ve $Y$ malının birim fiyatı ( $P_y$ ) $6$ TL olduğuna göre, bu tüketicinin faydasını maksimize edebilmesi için aşağıdakilerden hangisini yapması beklenir?

X

malı tüketimini artırmalı,

Y

malı tüketimini azaltmalıdır.

Y

malı tüketimini artırmalı,

X

malı tüketimini azaltmalıdır.

Mevcut tüketim bileşimini değiştirmemelidir, çünkü tüketici dengededir.

Sadece

X

malı tüketerek köşe dengesine yönelmelidir.

Toplam faydasını artırmak için her iki malın tüketimini de aynı oranda artırmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X$ malı tüketimini artırmalı, $Y$ malı tüketimini azaltmalıdır.

Cevap

Tüketicinin faydasını maksimize etmesi için

X

malı tüketimini artırması ve

Y

malı tüketimini azaltması gerekir.

Tüketici dengesi

MRS_{xy} = P_x / P_y

noktasında sağlanır. Soruda verilen değerlere göre

MRS_{xy} = 3

ve fiyat oranı

12/6 = 2

'dir.

MRS_{xy} > P_x / P_y

olması, tüketicinin

X

malına verdiği değerin (vazgeçmeye hazır olduğu

Y

miktarının), piyasanın talep ettiği değerden daha yüksek olduğunu gösterir. Bu durumda tüketici,

X

malı tüketimini artırarak toplam faydasını yükseltebilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tüketici denge koşulunu (Eş marjinal fayda ilkesi veya teğetlik koşulu) belirleyin.

MRS_{xy} = \frac{P_x}{P_y}

Fayda maksimizasyonu için farksızlık eğrisinin eğimi, bütçe doğrusunun eğimine eşit olmalıdır.

2

Verilen değerleri kullanarak piyasa fiyat oranını hesaplayın.

\frac{P_x}{P_y} = \frac{12}{6} = 2

Piyasanın iki mal arasındaki değişim oranını belirlemek için gereklidir.

3

Tüketicinin mevcut durumdaki marjinal ikame oranını (

MRS_{xy}

) fiyat oranı ile karşılaştırın.

MRS_{xy} = 3

ve

\frac{P_x}{P_y} = 2 \Rightarrow 3 > 2

Tüketicinin öznel değerlendirmesi ile piyasa değerlendirmesi arasındaki farkı görmek için.

4

Karşılaştırma sonucuna göre tüketim yönünü belirleyin.

MRS_{xy} > \frac{P_x}{P_y}

olduğu için

X

artırılmalı,

Y

azaltılmalıdır.

Tüketici için

X

'in marjinal önemi piyasa maliyetinden fazladır.

X

artırıldıkça azalan marjinal fayda nedeniyle

MRS

düşecek ve dengeye (2 değerine) yaklaşılacaktır.

Anahtar Kavram

Tüketici Dengesi ve Marjinal İkame Oranı (MRS)

İpuçları

1

Tüketici dengesinin sağlanması için marjinal ikame oranının fiyat oranına eşit olması gerektiğini hatırlayın.

2

Fiyat oranını (

P_x/P_y

) hesaplayın ve verilen

MRS

değeriyle karşılaştırın. Hangi oran daha büyük?

3

MRS = 3

ve fiyat oranı

2

olduğu için tüketici

X

malına piyasadan daha fazla değer vermektedir. Bu durumda

X

tüketimi artırılmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Fiyatların değiştiği veya gelir artışının yaşandığı durumlarda bütçe doğrusunun nasıl hareket edeceğini analiz eden sorulara göz atabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denge koşulunu

\frac{MU_x}{P_x} = \frac{MU_y}{P_y}

şeklinde de düşünebilirsiniz.

MRS_{xy} = \frac{MU_x}{MU_y} = 3

ise

MU_x = 3 \cdot MU_y

diyebiliriz. Buradan

\frac{3 \cdot MU_y}{12} = \frac{MU_y}{4}

ve

\frac{MU_y}{6}

değerlerini karşılaştırdığımızda,

X

için birim para başına düşen faydanın (

1/4

)

Y

'den (

1/6

) daha büyük olduğu görülür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Tüketim sepetinde sadece $X$ ve $Y$ malları bulunan bir bireyin fayda fonksiyonu $U = X^2 Y$ şeklindedir. Tüketicinin geliri $180$ TL, $X$ malının fiyatı $4$ TL ve $Y$ malının fiyatı $2$ TL'dir. $X$ malının birim fiyatı $6$ TL'ye yükseldiğinde, tüketicinin fayda maksimizasyonunu sağlayan yeni denge miktarındaki değişim için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

10

birim azalır

10

birim artar

20

birim azalır

30

birim azalır

5

birim azalır

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$ birim azalır

Cevap

Fiyat artışı sonrası

X

malı tüketimi

10

birim azalır.

Tüketicinin fayda fonksiyonu

U = X^2 Y

olarak verildiğinde, geliri (

M

) ve fiyatları kullanarak denge noktasını buluruz. Cobb-Douglas tipi fonksiyonlarda malın talebi, toplam gelirin o malın fayda fonksiyonundaki üssel ağırlığı oranında o mala ayrılmasıyla bulunur. Başlangıçta

180

TL gelirin

2/3

'ü

X

malına ayrılır (

120

TL).

120 / 4 = 30

birim

X

tüketilir. Fiyat

6

TL'ye çıktığında ise

120 / 6 = 20

birim

X

tüketilir. Sonuç olarak tüketim

10

birim azalmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç denge noktasındaki

X

miktarını hesapla

X_1 = 30

Cobb-Douglas fayda fonksiyonunda (

U=X^a Y^b

)

X

malı talebi

X = [a / (a+b)] \cdot (M / P_x)

formülü ile bulunur. Burada

a=2, b=1, M=180, P_x=4

olduğundan

X_1 = (2/3) \cdot (180/4) = 30

birimdir.

2

Fiyat değişimi sonrası yeni denge noktasındaki

X

miktarını hesapla

X_2 = 20

X

malının fiyatı

6

TL'ye yükseldiğinde;

X_2 = (2/3) \cdot (180/6) = 20

birim olur.

3

Denge miktarları arasındaki farkı bul

-10

X

malı tüketimi

30

birimden

20

birime düştüğü için değişim

20 - 30 = -10

birimdir.

Anahtar Kavram

Cobb-Douglas Fayda Fonksiyonunda Tüketici Dengesi ve Talep Değişimi

Daha Fazla Pratik

Fiyat değişiminin toplam etkisini 'Gelir Etkisi' ve 'İkame Etkisi' olarak ayrıştıran Hicks veya Slutsky yöntemlerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X \cdot Y$ olan bir tüketicinin aylık geliri $120$ TL'dir. $X$ malının birim fiyatı $P_x = 4$ TL ve $Y$ malının birim fiyatı $P_y = 2$ TL iken tüketici faydasını maksimize etmektedir. $Y$ malının birim fiyatının $4$ TL'ye yükselmesi durumunda, tüketicinin yeni denge noktasındaki $X$ malı tüketim miktarı hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

15

birimden

7,5

birime düşer.

15

birimden

30

birime çıkar.

15

birim olarak kalır, değişmez.

30

birimden

15

birime düşer.

7,5

birimden

15

birime çıkar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$ birim olarak kalır, değişmez.

Cevap

Tüketicinin X malı tüketim miktarı 15 birim olarak kalır, değişmez.

Cobb-Douglas tipi fayda fonksiyonlarında (

U = X^a Y^b

), bir malın talep miktarı sadece o malın kendi fiyatına, bireyin gelirine ve fonksiyonun parametrelerine (a ve b üsleri) bağlıdır. Bu fonksiyon yapısında mallar arasındaki çapraz fiyat esnekliği sıfır olduğu için

Y

malının fiyatındaki bir artış veya azalış, tüketicinin

X

malına ayırdığı bütçe payını ve dolayısıyla tüketim miktarını değiştirmez. Başlangıçta

120

TL gelirin yarısı (

60

TL)

X

malına harcanmaktadır (

15

birim).

P_y

yükseldiğinde

X

malına ayrılan bütçe yine

60

TL olarak kalacağı için tüketim miktarı değişmeyerek

15

birim seviyesinde kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Fayda fonksiyonunun tipini ve talep fonksiyonlarını belirle.

U = X^a Y^b

formundaki Cobb-Douglas fonksiyonu için

X

malı talebi

X = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{M}{P_x}

şeklindedir.

Cobb-Douglas tipi fonksiyonlarda tüketici gelirinin sabit bir oranını her bir mala harcar.

2

Başlangıçtaki X malı tüketim miktarını hesapla.

X = \frac{1}{1+1} \cdot \frac{120}{4} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15

birim.

Üstlerin toplamı

1+1=2

olduğundan gelir iki mal arasında eşit paylaştırılır (

60

TL

X

'e,

60

TL

Y

'ye).

3

Y

malının fiyat değişiminin

X

talebi üzerindeki etkisini analiz et.

X

malı talep fonksiyonunda

P_y

değişkeni yer almamaktadır.

Cobb-Douglas fonksiyonunda mallar arasındaki çapraz fiyat esnekliği sıfırdır; yani bir malın fiyatındaki değişim diğer malın miktarını etkilemez.

4

Yeni denge miktarını kontrol et.

X' = \frac{120}{2 \cdot 4} = 15

birim.

M

ve

P_x

değişmediği sürece

X

malı tüketimi sabit kalır.

Anahtar Kavram

Cobb-Douglas Fayda Fonksiyonu ve Çapraz Fiyat Etkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 14Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketiminden elde ettiği toplam fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X \cdot Y^2$ olarak tanımlanmıştır. Tüketicinin bu iki mal için ayırdığı toplam bütçe $300$ TL, $X$ malının birim fiyatı $20$ TL ve $Y$ malının birim fiyatı $10$ TL'dir. Buna göre, bütçesinin tamamını harcayarak faydasını maksimize eden bu tüketicinin denge sepetinde yer alan ** $Y$ malı miktarı** kaç birimdir?

5

10

15

20

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Faydasını maksimize eden tüketici denge noktasında 20 birim Y malı tüketmektedir.

Cobb-Douglas tipi

U = X^a Y^b

fayda fonksiyonlarında tüketici, gelirinin

\frac{b}{a+b}

kadarını

Y

malına ayırır. Burada

a=1

ve

b=2

olduğundan, tüketici

300

TL olan gelirinin

2/3

’ünü (

200

TL)

Y

malına harcar.

Y

malının birim fiyatı

10

TL olduğu için

200 / 10 = 20

birim

Y

malı tüketilir.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal faydaların hesaplanması ve denge koşulunun kurulması

MU_X = Y^2

ve

MU_Y = 2XY

. Denge koşulu:

\frac{MU_X}{P_X} = \frac{MU_Y}{P_Y}

Tüketici dengesinde her mala harcanan son liranın sağladığı marjinal faydalar eşit olmalıdır.

2

Fiyatların ve marjinal faydaların yerine konulması

\frac{Y^2}{20} = \frac{2XY}{10} \Rightarrow \frac{Y}{20} = \frac{2X}{10} \Rightarrow Y = 4X

Mallar arasındaki marjinal ikame oranının fiyat oranına eşitliği sağlanır.

3

Bütçe kısıtında yerine koyma

20X + 10Y = 300 \Rightarrow 20X + 10(4X) = 300 \Rightarrow 60X = 300 \Rightarrow X = 5

Tüketicinin bütçesinin tamamını harcadığı varsayımıyla denge miktarları bulunur.

4

Y malı miktarının hesaplanması

Y = 4X = 4 \times 5 = 20

Bulunan X değeri kullanılarak sepetin diğer bileşeni olan Y miktarına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Eş-marjinal Fayda İlkesi (Tüketici Dengesi)

Daha Fazla Pratik

Fayda fonksiyonundaki üslerin değişmesi durumunda bütçe paylarının nasıl değişeceğini analiz etmek için üsleri yer değiştirerek soruyu tekrar çözünüz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin fayda fonksiyonu $U(X, Y) = 2\sqrt{X} + Y$ şeklindedir. Tüketicinin bütçesi $100$ TL, $X$ malının birim fiyatı $2$ TL ve $Y$ malının birim fiyatı ise $10$ TL'dir. Bu tüketicinin faydasını maksimize eden tüketim sepetinde kaç birim $Y$ malı bulunur?

5

10

15

25

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Fayda maksimizasyonu sağlandığında tüketici sepetinde 5 birim Y malı bulunur.

Denge noktasında, tüketicinin harcadığı son liranın her iki maldan da sağladığı marjinal fayda eşit olmalıdır (

MU_X/P_X = MU_Y/P_Y

). Verilen fayda fonksiyonuna göre

MU_X = 1/\sqrt{X}

ve

MU_Y = 1

olup, fiyat oranına (

2/10

) eşitlendiğinde

X

miktarının 25 olduğu görülür. Bütçe kısıtı olan

100 = 2X + 10Y

denkleminde

X=25

yazıldığında, geriye kalan 50 TL ile tanesi 10 TL'den 5 birim Y malı satın alınabilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Malların marjinal faydalarını (

MU

) hesaplayınız.

MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{X}} = \frac{1}{\sqrt{X}}

ve

MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 1

Tüketici dengesini bulmak için öncelikle malların ilave birimlerinden elde edilen faydalar hesaplanmalıdır.

2

Marjinal ikame oranını (

MRS

) fiyat oranına eşitleyerek denge koşulunu yazınız.

\frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{P_X}{P_Y} \Rightarrow \frac{1/\sqrt{X}}{1} = \frac{2}{10}

Fayda maksimizasyonu, farksızlık eğrisinin eğiminin (

MRS

) bütçe doğrusunun eğimine (

P_X/P_Y

) eşit olduğu noktada gerçekleşir.

3

Denge koşulundan

X

malı miktarını bulunuz.

\frac{1}{\sqrt{X}} = 0,2 \Rightarrow \sqrt{X} = 5 \Rightarrow X = 25

birim

Quasi-linear fayda fonksiyonlarında bir malın (burada

X

) talep miktarı, gelir yeterli olduğu sürece fiyata bağlıdır.

4

Bulunan

X

değerini bütçe kısıtı denklemine yerleştirerek

Y

malı miktarını hesaplayınız.

P_X X + P_Y Y = I \Rightarrow (2 \cdot 25) + (10 \cdot Y) = 100 \Rightarrow 50 + 10Y = 100 \Rightarrow 10Y = 50 \Rightarrow Y = 5

birim

Gelirin tamamı harcandığında,

X

malı için yapılan harcamadan kalan tutar

Y

malı tüketimine ayrılır.

Anahtar Kavram

Eş-Marjinal Fayda İlkesi ve Quasi-Linear Fayda Fonksiyonunda Denge

İpuçları

1

Denge için her iki malın marjinal faydalarının fiyatlarına oranının eşit olması gerektiğini (

MU_X/P_X = MU_Y/P_Y

) hatırlayınız.

2

Önce

X

malının marjinal faydasını (

2\sqrt{X}

ifadesinin türevini) bularak fiyat oranına eşitleyin ve ideal

X

miktarını belirleyin.

3

X

miktarını 25 bulduktan sonra, bütçe doğrusu olan

2X + 10Y = 100

denkleminde yerine koyarak

Y

değerini çekin.

Daha Fazla Pratik

Fiyat değişimlerinin quasi-linear fayda fonksiyonlarında denge sepetini nasıl etkilediğini (özellikle gelir etkisinin sıfır olma durumunu) inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 16Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin fayda fonksiyonu $U(X, Y) = 3X + Y$ şeklindedir. $X$ malının birim fiyatı $6$ TL, $Y$ malının birim fiyatı $4$ TL ve tüketicinin aylık geliri $120$ TL'dir. Bu verilere göre, faydasını maksimize eden tüketicinin denge tüketim sepeti aşağıdakilerden hangisidir?

20

birim

X

ve

0

birim

Y

0

birim

X

ve

30

birim

Y

12

birim

X

ve

12

birim

Y

10

birim

X

ve

15

birim

Y

15

birim

X

ve

5

birim

Y

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$ birim $X$ ve $0$ birim $Y$

Cevap

Tüketici dengesi, tüm gelirin X malına ayrıldığı 20 birim X ve 0 birim Y sepetinde oluşur.

Denge tüketim sepeti olan 20 birim X ve 0 birim Y, tüketicinin harcadığı her bir lira başına en yüksek faydayı elde ettiği durumdur. Fonksiyon tam ikame yapısında olduğu için

MRS_{xy} = 3

sabittir ve fiyat oranı olan

P_x/P_y = 1,5

değerinden büyüktür. Bu durumda tüketici tüm bütçesini X malına ayırarak toplam faydasını

U = 3(20) + 0 = 60

seviyesine çıkarır.

Adım Adım Çözüm

1

Malların marjinal faydalarını (

MU

) hesapla.

MU_x = \frac{\partial U}{\partial X} = 3

ve

MU_y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 1

Marjinal faydalar, tüketilen mal miktarındaki bir birimlik artışın toplam faydada yarattığı değişimi gösterir.

2

Her bir mal için harcanan son lira başına düşen marjinal faydayı (eş marjinal fayda ilkesi) karşılaştır.

X malı için:

\frac{MU_x}{P_x} = \frac{3}{6} = 0,5

; Y malı için:

\frac{MU_y}{P_y} = \frac{1}{4} = 0,25

Rasyonel bir tüketici, bir lirasına karşılık en yüksek faydayı veren malı tercih eder.

3

Karşılaştırma sonucuna göre denge miktarını belirle.

\frac{MU_x}{P_x} > \frac{MU_y}{P_y}

(

0,5 > 0,25

) olduğu için tüm gelir X malına harcanır.

Mallar tam ikame olduğunda (

MRS

sabit), tüketici sadece bir lirasına daha fazla fayda sağlayan malı tüketerek 'köşe dengesi' oluşturur.

4

Tüketilen X malı miktarını hesapla.

X = \frac{I}{P_x} = \frac{120}{6} = 20

birim.

Y = 0

birim.

Tüm gelirin (

I

) X malının fiyatına (

P_x

) bölünmesiyle satın alınabilecek maksimum miktar bulunur.

Anahtar Kavram

Tam İkame Mallarda Tüketici Dengesi ve Köşe Dengesi

İpuçları

1

Fayda fonksiyonunun yapısına dikkat edin; bu bir tam ikame (doğrusal) fayda fonksiyonudur.

2

X malı için bir lira başına düşen marjinal faydayı (

MU_x / P_x

) hesaplayıp Y malı ile kıyaslayın.

3

Eğer

MU_x / P_x > MU_y / P_y

ise, tüketici tüm parasını X malına harcayarak köşe dengesine ulaşır.

Daha Fazla Pratik

Fiyat oranının tam olarak marjinal ikame oranına eşit olduğu (

P_x/P_y = 3

) bir senaryoda tüketicinin denge çözümünün nasıl değişeceğini düşünün.

Alternatif Yöntem

Marjinal İkame Oranı (

MRS = MU_x / MU_y = 3

) ile fiyat oranını (

P_x / P_y = 1,5

) karşılaştırın.

MRS > P_x / P_y

olduğu sürece bütçe doğrusu farksızlık eğrisinden daha yatıktır, bu da denge noktasının yatay eksende (X ekseni) oluşacağını gösterir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 17Soru →

Bir tüketici bütçesinin tamamını $X$ ve $Y$ mallarına harcayarak $U(X, Y) = \sqrt{X \cdot Y}$ fayda fonksiyonu ile faydasını maksimize etmektedir. Tüketicinin geliri $300$ TL, $X$ malının birim fiyatı $P_x = 15$ TL ve $Y$ malının birim fiyatı $P_y = 10$ TL'dir. $X$ malının birim fiyatının $10$ TL'ye düşmesi durumunda, yeni denge noktasındaki $X$ malı tüketim miktarı ilk dengeye göre nasıl değişir?

5 birim artar

5 birim azalır

10 birim artar

15 birim artar

Değişmez

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5 birim artar

Cevap

Yeni denge noktasında X malı tüketimi 5 birim artar.

Tüketici dengesinde Cobb-Douglas tipi bir fayda fonksiyonu (

U = X^a Y^b

) kullanıldığında, tüketici bütçesinin

a/(a+b)

kadarını

X

malına ayırır. Verilen

U = \sqrt{X \cdot Y}

fonksiyonunda üsler eşit (

0,5

) olduğu için bütçenin yarısı (

150

TL)

X

malına harcanır. İlk durumda

150/15 = 10

birim olan tüketim, fiyat

10

TL'ye düştüğünde

150/10 = 15

birime çıkar. Bu da tüketimde 5 birimlik bir artış anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç denge miktarını hesapla

X_1 = 10

birim

U = X^{0,5} Y^{0,5}

fonksiyonunda gelir iki mal arasında eşit paylaştırılır.

150 / 15 = 10

birim elde edilir.

2

Fiyat değişimi sonrası yeni denge miktarını hesapla

X_2 = 15

birim

Yeni fiyat

10

TL olduğunda, ayrılan

150

TL ile

150 / 10 = 15

birim tüketilir.

3

Tüketim miktarındaki değişimi belirle

+5

birim

Yeni miktar (

15

) ile eski miktar (

10

) arasındaki fark artış yönündedir.

Anahtar Kavram

Cobb-Douglas Fayda Fonksiyonu ve Tüketici Dengesi

Daha Fazla Pratik

Fiyat değişimi sonrası Y malı tüketiminin neden değişmediğini analiz ediniz (Çapraz fiyat esnekliği ilişkisi).

Alternatif Yöntem

Cobb-Douglas fonksiyonunda

X

malı talebi

X = (1/2) \cdot (M/P_x)

formülüyle bulunur.

X

malının fiyatı

15

TL'den

10

TL'ye düştüğünde fiyat

2/3

oranına iner. Talep esnekliği 1 olduğu için miktar

3/2

katına çıkar:

10 \times 1,5 = 15

. Fark

15 - 10 = 5

birimdir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

Fayda fonksiyonu $U(X, Y) = X^2 Y$ olan bir tüketici, bütçesinin tamamını kullanarak $X$ ve $Y$ malları arasında seçim yapmaktadır. $X$ malının birim fiyatı $4$ TL ve $Y$ malının birim fiyatı $8$ TL'dir. Bu tüketici faydasını maksimize ettiği denge noktasında $20$ birim $Y$ malı tükettiğine göre, tüketicinin toplam bütçesi (geliri) kaç TL'dir?

240

320

480

600

720

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 480

Cevap

Tüketicinin toplam bütçesi 480 TL'dir.

Denge noktasında farksızlık eğrisinin eğimi (MRS), bütçe doğrusunun eğimine (

P_x/P_y

) eşittir.

U = X^2 Y

fonksiyonu için

MRS = 2Y/X

olarak bulunur. Fiyatlar oranı

4/8 = 0.5

olduğu için

2Y/X = 0.5

eşitliğinden

X = 4Y

sonucuna varılır. Soruda verilen

Y=20

değeri yerine yazıldığında

X=80

bulunur. Toplam harcama

480

TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal fayda oranını (MRS) belirleyelim.

MRS = \frac{MU_x}{MU_y} = \frac{2XY}{X^2} = \frac{2Y}{X}

Tüketici dengesinin sağlanması için marjinal ikame oranının hesaplanması gerekir.

2

Denge koşulunu (eş-marjinal fayda ilkesi) uygulayalım.

\frac{2Y}{X} = \frac{P_x}{P_y} \Rightarrow \frac{2Y}{X} = \frac{4}{8} \Rightarrow X = 4Y

Tüketici dengesinde

MRS = P_x / P_y

eşitliği sağlanmalıdır.

3

Verilen

Y

miktarı üzerinden

X

miktarını bulalım.

Y = 20

ise

X = 4 \times 20 = 80

birim.

Dengede tüketilen mal miktarları arasındaki ilişkiyi kullanarak

X

tüketimini belirleriz.

4

Bütçe kısıtı denklemini kuralım ve toplam geliri hesaplayalım.

I = (P_x \cdot X) + (P_y \cdot Y) = (4 \times 80) + (8 \times 20) = 320 + 160 = 480

TL.

Tüketici bütçesinin tamamını harcadığı için her iki malın maliyetleri toplamı gelire eşittir.

Anahtar Kavram

Tüketici dengesi noktasında malların marjinal faydalarının fiyatlarına oranı birbirine eşittir (

MU_x/P_x = MU_y/P_y

). Bu durum Cobb-Douglas tipi fayda fonksiyonlarında gelirin üslerle orantılı olarak harcanması prensibiyle de çözülebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 19Soru →

Bir tüketicinin $X$ ve $Y$ malları tüketimine ilişkin fayda fonksiyonu $U(X, Y) = (X + 4)Y$ şeklinde tanımlanmıştır. Tüketicinin geliri $200$ TL, $X$ malının birim fiyatı $10$ TL ve $Y$ malının birim fiyatı $20$ TL'dir. Tüketici bütçesinin tamamını kullanarak faydasını maksimize ettiğinde denge noktasında kaç birim $X$ malı tüketir?

8

6

10

12

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $8$

Cevap

Tüketici faydasını maksimize ettiğinde

8

birim

X

malı tüketir.

Denge noktasında tüketicinin harcadığı her bir liranın sağladığı marjinal fayda tüm mallar için eşit olmalıdır (

MU_x/P_x = MU_y/P_y

). Verilen fonksiyon için

Y/10 = (X+4)/20

eşitliğinden

X = 2Y-4

bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı

10X + 20Y = 200

bütçe denkleminde yerine yazıldığında

X = 8

ve

Y = 6

değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Marjinal faydaların (

MU

) hesaplanması

MU_x = Y

ve

MU_y = X + 4

Tüketici dengesi için öncelikle malların marjinal faydaları bulunur.

2

Marjinal İkame Oranının (

MRS

) fiyat oranına eşitlenmesi

\frac{Y}{X + 4} = \frac{10}{20} \Rightarrow 2Y = X + 4 \Rightarrow X = 2Y - 4

Fayda maksimizasyonu için farksızlık eğrisinin eğimi bütçe doğrusunun eğimine eşit olmalıdır.

3

Elde edilen eşitliğin bütçe kısıtında yerine konulması

10(2Y - 4) + 20Y = 200 \Rightarrow 20Y - 40 + 20Y = 200 \Rightarrow 40Y = 240 \Rightarrow Y = 6

Tüketicinin tüm gelirini harcadığı varsayımıyla bütçe doğrusu denklemi kullanılır.

4

X

miktarının hesaplanması

X = 2(6) - 4 = 8

Y

değeri bulunduktan sonra denge koşulunda yerine yazılarak

X

miktarına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Stone-Geary tipi fayda fonksiyonlarında tüketici dengesi bütçe kısıtı ve marjinal fayda oranlarının eşitliği ile belirlenir.

İpuçları

1

Tüketici dengesi için marjinal ikame oranını (

MRS

) fiyat oranına (

P_x/P_y

) eşitleyerek başlayın.

2

MRS

hesaplanırken

U = (X+4)Y

fonksiyonunun

X

ve

Y

değişkenlerine göre kısmi türevlerini doğru aldığınızdan emin olun.

3

MU_x = Y

ve

MU_y = X+4

eşitliklerini kullanarak

Y / (X+4) = 1/2

bağıntısına ulaşın ve bunu bütçe denkleminde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Fayda fonksiyonundaki sabit terim arttığında veya

X

malının fiyatı düştüğünde dengenin nasıl değişeceğini analiz edin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

Bir tüketici, aralarında tam tamamlayıcılık ilişkisi bulunan $X$ ve $Y$ mallarını $U(X, Y) = \min\{2X, Y\}$ fayda fonksiyonuna göre tüketmektedir. $X$ malının birim fiyatı $5$ TL, $Y$ malının birim fiyatı $10$ TL ve tüketicinin toplam geliri $200$ TL'dir. Bu verilere göre, tüketicinin fayda maksimizasyonunu sağlayan $X$ malı tüketim miktarı kaç birimdir?

8

10

16

20

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Fayda maksimizasyonunu sağlayan

X

malı miktarı 8 birimdir.

Doğru yanıt olan 8 birim,

U = \min\{2X, Y\}

fonksiyonuna göre her 1 birim

X

için 2 birim

Y

tüketilmesi gerektiği (

2X = Y

) ve bu dengenin

5X + 10Y = 200

bütçe kısıtı altında sağlandığı noktadır (

5X + 10(2X) = 200 \Rightarrow 25X = 200

).

Adım Adım Çözüm

1

Fayda fonksiyonundan tüketim oranını belirleme

2X = Y

Leontief tipi (tam tamlayıcı) fayda fonksiyonlarında tüketici, malları her zaman belirli bir oranda (

2X = Y

veya

Y/X = 2

) tüketir. Bu oran dışındaki tüketimler ek fayda sağlamaz.

2

Tüketim oranını bütçe kısıtı denklemine yerleştirme

5X + 10(2X) = 200

Tüketicinin bütçe kısıtı

P_x X + P_y Y = I

şeklindedir.

Y

yerine

2X

yazılarak tek bilinmeyenli denklem elde edilir.

3

Denklemi

X

için çözme

25X = 200 \Rightarrow X = 8

Bütçe kısıtı üzerindeki harcama toplamı gelire eşitlendiğinde denge miktarı bulunur.

Anahtar Kavram

Tam Tamlayıcı Mallar ve Leontief Tipi Fayda Fonksiyonu Altında Tüketici Dengesi

Tahmini Süre:1m 30s

Tüketici Dengesi (Fayda Maksimizasyonu)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap