Faktöriyel Tasarımlar Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir ilaç şirketindeki Ar-Ge araştırmacısı, yeni bir etken maddenin çözünme oranını maksimize etmek için üç farklı faktörün (Sıcaklık, Basınç ve Çözücü Oranı) etkisini incelemektedir. Her faktörün sayısal olarak belirlenmiş 3 farklı düzeyi bulunmaktadır. Deney, tamamen rastgele tasarım planına uygun olarak $3^3$ tam faktöriyel tasarım kurgusuyla, her deneme birimi için $n=2$ tekrarla yürütülmüştür.

Araştırmacı, Sıcaklık ( $A$ ) ve Basınç ( $B$ ) faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşim ( $AB$ ) etkisini daha detaylı analiz etmek amacıyla, ortogonal polinomlar kullanarak bu etkileşimi doğrusal ( $L$ ) ve kuadratik ( $Q$ ) alt bileşenlerine ayırmak istemektedir.

Buna göre, $AB$ etkileşiminin toplam serbestlik derecesi ve ortogonal polinom alt bileşenlerine doğru ayrışımı aşağıdakilerin hangisinde verilmiştir?

AB

etkileşiminin toplam serbestlik derecesi 4'tür; her biri 1 serbestlik derecesine sahip olan

A_L B_L

,

A_L B_Q

,

A_Q B_L

ve

A_Q B_Q

olmak üzere dört bağımsız bileşene ayrıştırılır.

AB

etkileşiminin toplam serbestlik derecesi 2'dir; faktörlerin düzey sayısı 3 olduğu için sadece 1'er serbestlik dereceli

A_L B_L

ve

A_Q B_Q

olmak üzere iki bileşene ayrıştırılır.

AB

etkileşiminin toplam serbestlik derecesi 4'tür; ancak ortogonal polinomlar yardımıyla doğrusal ve kuadratik ayrıştırma işlemi yalnızca ana etkiler için yapılabilir, etkileşimler bileşenlerine ayrılamaz.

AB

etkileşiminin toplam serbestlik derecesi 6'dır; her biri 2 serbestlik derecesine sahip olan

A_L B_Q

,

A_Q B_L

ve

A_Q B_Q

bileşenlerinden oluşur.

AB

etkileşiminin toplam serbestlik derecesi 8'dir; bu değer

A

ve

B

faktörlerinin kombinasyonlarının oluşturduğu toplam serbestlik derecesini yansıtarak doğrusal ve kuadratik bileşenlere bölünür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $AB$ etkileşiminin toplam serbestlik derecesi 4'tür; her biri 1 serbestlik derecesine sahip olan $A_L B_L$ , $A_L B_Q$ , $A_Q B_L$ ve $A_Q B_Q$ olmak üzere dört bağımsız bileşene ayrıştırılır.

Cevap

Doğru cevap,

AB

etkileşiminin serbestlik derecesinin 4 olduğunu ve

A_L B_L

,

A_L B_Q

,

A_Q B_L

ve

A_Q B_Q

bileşenlerine ayrıştırıldığını belirten seçenektir.

3^k

tasarımlarında her faktörün serbestlik derecesi

3-1=2

'dir. İki yönlü bir etkileşimin (

AB

) serbestlik derecesi, onu oluşturan ana etkilerin serbestlik derecelerinin çarpımıdır (

2 \times 2 = 4

). Faktörler nicel olduğundan, 2 serbestlik derecesi her biri 1 serbestlik derecesine sahip Doğrusal (

L

) ve Kuadratik (

Q

) bileşenlere ayrılır. Etkileşim de bu bileşenlerin tüm olası çapraz kombinasyonlarını içerir. Bu nedenle 4 serbestlik derecesi, her biri 1 serbestlik dereceli olan

A_L B_L

,

A_L B_Q

,

A_Q B_L

ve

A_Q B_Q

şeklinde tam olarak dört bileşene ayrıştırılır.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

faktörlerinin ana etkilerine ait serbestlik derecelerini hesaplamak.

Her faktör 3 düzeyli olduğu için,

sd_A = (3-1) = 2

ve

sd_B = (3-1) = 2

olarak bulunur.

Etkileşim serbestlik derecesini bulmak için öncelikle ilgili faktörlerin kendi serbestlik dereceleri bilinmelidir.

2

AB

etkileşiminin toplam serbestlik derecesini hesaplamak.

sd_{AB} = sd_A \times sd_B = 2 \times 2 = 4

elde edilir.

İki yönlü bir etkileşimin serbestlik derecesi, etkileşime giren faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

3

Nicel faktörlerin ortogonal polinom bileşenlerini belirlemek.

2 serbestlik dereceli her ana etki, her biri 1 serbestlik dereceli Doğrusal (

L

) ve Kuadratik (

Q

) olmak üzere ikiye ayrılır.

Sayısal düzeylere sahip faktörlerdeki değişimi trend bazında (doğrusal artış/azalış veya eğrisellik) incelemek için polinomlar kullanılır.

4

Etkileşimi bu polinom bileşenlerinin çarpımları şeklinde ayrıştırmak.

4 serbestlik dereceli

AB

etkileşimi, her biri 1 sd'ye sahip

A_L B_L

,

A_L B_Q

,

A_Q B_L

ve

A_Q B_Q

olmak üzere toplam dört bağımsız ortogonal bileşene tam olarak ayrışır.

Etkileşim uzayı, kendisini oluşturan faktörlerin bağımsız doğrusal ve kuadratik vektörlerinin tüm olası çapraz çarpımlarını barındırır.

Anahtar Kavram

3^k faktöriyel tasarımlarda etkileşim serbestlik derecelerinin hesabı ve sayısal faktörlerin etkileşimlerinde ortogonal polinomlar (doğrusal, kuadratik) yardımıyla bileşenlere ayrıştırma kuralı.

Soru 22Soru →

Bir üretim sürecinin optimizasyonu için üç faktörlü tam faktöriyel bir deney tasarlanmıştır:

- A Faktörü (Katalizör Türü): Araştırmacı tarafından özel olarak seçilen 3 farklı katalizör (Sabit etki)
- B Faktörü (Hammadde Partisi): Depodan rastgele seçilen 4 farklı parti (Şansa bağlı etki)
- C Faktörü (Operatör): Vardiyadan rastgele seçilen 5 farklı operatör (Şansa bağlı etki)

Deney, her muamele kombinasyonunda $n=2$ tekrar (replikasyon) olacak şekilde yürütülmüştür. Analiz aşamasında kısıtlı karma model (restricted mixed model) varsayımı altında Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kuralları çıkarılmıştır.

(Not: $KO$ terimi, ilgili varyasyon kaynağının Kareler Ortalamasını ifade etmektedir.)

Buna göre, A faktörünün (Katalizör Türü) ana etkisinin anlamlılığını test etmek için Satterthwaite yaklaşımına dayalı oluşturulması gereken sözde (pseudo) $F$ test istatistiği ( $F'$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

F = \frac{KO_A}{KO_{ABC}}

F = \frac{KO_A + KO_{Hata}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

F = \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

F = \frac{KO_A + KO_{BC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}$

Cevap

A faktörünün ana etkisini test etmek için doğru F istatistiği,

F = \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

şeklinde kurulan sözde (pseudo) F testidir.

Kısıtlı karma modelde (restricted mixed model) sabit bir A faktörünün (B ve C şansa bağlıyken) Beklenen Kareler Ortalaması; hata, üçlü etkileşim ve A'nın dâhil olduğu ikili etkileşimlerin varyans bileşenlerini içerir. Yokluk hipotezi (

H_0

) altında

E(KO_A)

ile aynı beklenen değere sahip tek bir varyasyon kaynağı yoktur. Bu nedenle Satterthwaite yaklaşımı kullanılarak pay ve paydadaki beklenen değerlerin toplamları eşitlenir.

E(KO_A) + E(KO_{ABC})

toplamı,

E(KO_{AB}) + E(KO_{AC})

toplamına eşit olduğu için doğru test istatistiği bu kombinasyonla oluşturulur.

Adım Adım Çözüm

1

Deney modelinin özelliklerini belirleme

A faktörü sabit (fixed), B ve C faktörleri şansa bağlı (random) olarak tanımlanmıştır. Tasarım kısıtlı karma modeldir.

Varyans analizi modelinin E(KO) kurallarını doğru formüle edebilmek için faktör yapıları bilinmelidir.

2

Kısıtlı karma modelde A faktörü için Beklenen Kareler Ortalamasını (E(KO)) yazma

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{ABC} + c \cdot n\sigma^2_{AB} + b \cdot n\sigma^2_{AC} + bcn\frac{\sum\alpha^2_i}{a-1}

elde edilir.

Sabit bir faktörün beklentisi; hata varyansını, rastgele faktörlerle olan tüm etkileşimlerin varyans bileşenlerini ve kendi sabit etkisini içerir.

3

Doğrudan kullanılabilecek bir payda olup olmadığını kontrol etme

Hiçbir tekil varyasyon kaynağının E(KO) değeri,

H_0

doğru olduğundaki

E(KO_A)

değerine (yani sabit etki bileşeni 0 olduğunda kalan kısma) eşit değildir.

Test istatistiği oluşturabilmek için pay ve paydanın beklenen değerlerinin

H_0

altında eşit olması gerekir.

4

Satterthwaite yaklaşımı ile sözde F istatistiğini oluşturma

E(KO_{AB}) + E(KO_{AC}) = 2\sigma^2 + 2n\sigma^2_{ABC} + cn\sigma^2_{AB} + bn\sigma^2_{AC}

değerine, payda

E(KO_A) + E(KO_{ABC})

eklenerek beklenen değerler eşitlenir. Buradan

F' = \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

elde edilir.

Matematiksel olarak pay ve paydadaki terimlerin beklenen kareler ortalamaları toplamı birbirine denkleştirilerek geçerli bir oran yakalanmalıdır.

Anahtar Kavram

Karma Etkili Faktöriyel Modellerde Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) Kuralları ve Sözde (Pseudo) F Testi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 23Soru →

Bir araştırmacı, yeni bir kaplama malzemesinin aşınma direncini incelemek üzere üç faktörlü bir deney tasarlamıştır. Araştırmada;
- Sıcaklık (A faktörü): Araştırmacı tarafından özel olarak belirlenen $a$ farklı düzeyde (sabit etkili),
- Hammadde Partisi (B faktörü): Üretim hattından rastgele seçilen $b$ farklı düzeyde (şansa bağlı etkili),
- Kullanılan Makine (C faktörü): Fabrikadaki makineler arasından rastgele seçilen $c$ farklı düzeyde (şansa bağlı etkili) ele alınmıştır.

Her bir kombinasyon için $n$ adet ölçüm yapılmıştır. Araştırmacı analizinde klasik kısıtlı karma model (restricted mixed model) varsayımlarını (sabit faktör üzerindeki etkileşim toplamlarının sıfır olması varsayımı) dikkate almaktadır.

Buna göre, 'Hammadde Partisi' (B faktörü) ana etkisinin anlamlılığını test etmek isteyen araştırmacının dikkate alması gereken Beklenen Kareler Ortalaması denklemi $E(KO_B)$ ve kullanması gereken doğru $F$ test istatistiği aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?
(Not: Hata varyansı $\sigma^2$ ile gösterilmiş olup, modeldeki tüm faktörler arası etkileşimlerin var olduğu kabul edilmektedir.)

E(KO_B) = \sigma^2 + n\sigma^2_{ABC} + cn\sigma^2_{AB} + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B

ve kesin (exact) bir F testi yoktur.

E(KO_B) = \sigma^2 + n\sigma^2_{ABC} + acn\sigma^2_B

ve

F = \frac{KO_B}{KO_{ABC}}

E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B

ve

F = \frac{KO_B}{KO_{BC}}

E(KO_B) = \sigma^2 + cn\sigma^2_{AB} + acn\sigma^2_B

ve

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

E(KO_B) = \sigma^2 + acn\sigma^2_B

ve

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B$ ve $F = \frac{KO_B}{KO_{BC}}$

Cevap

E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B

ve

F = \frac{KO_B}{KO_{BC}}

ifadesidir.

Kısıtlı karma modelde (restricted mixed model), bir etkinin Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) hesaplanırken o etkiyi içeren daha yüksek dereceli etkileşimlere bakılır. Eğer ilgili etkileşime eklenen faktörlerden herhangi biri 'sabit (fixed)' ise, o etkileşimin varyans unsuru E(KO) denklemine katılmaz; sadece tüm eklenen faktörlerin 'şansa bağlı (random)' olduğu durumlar katılır. B faktörünü (şansa bağlı) içeren etkileşimler AB, BC ve ABC'dir. AB ve ABC etkileşimlerine eklenen A faktörü 'sabit' olduğu için

\sigma^2_{AB}

ve

\sigma^2_{ABC}

denkleme dâhil edilmez. Sadece eklenen C faktörü 'şansa bağlı' olduğu için

\sigma^2_{BC}

dâhil edilir. Böylece

E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B

elde edilir. Aynı algoritmik kural BC etkileşimine uygulandığında

E(KO_{BC}) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC}

bulunur.

H_0: \sigma^2_B = 0

hipotezini test etmek için E(KO) değerleri oranlandığında, doğru ve kesin F testi

F = KO_B / KO_{BC}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Model türünü ve faktörlerin niteliklerini belirleme.

Model üç faktörlü kısıtlı karma modeldir. A sabit, B ve C şansa bağlı etkilidir. Analizde hedeflenen etki B faktörüdür.

Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kuralları, modelin kısıtlı/kısıtsız olmasına ve her bir faktörün sabit ya da şansa bağlı olmasına göre belirlenir.

2

B faktörünü içeren daha yüksek dereceli etkileşimleri tespit etme ve Kısıtlı Model kurallarını uygulama.

B'yi içeren etkileşimler: AB, BC, ABC'dir. Kural gereği, etkileşime eklenen harflerden (faktörlerden) herhangi biri 'sabit' ise o varyans unsuru denkleme alınmaz. AB ve ABC'ye eklenen 'A' sabittir, dışlanırlar. BC'ye eklenen 'C' şansa bağlıdır, denkleme alınır.

Kısıtlı karma modelde, sabit faktör üzerinden alınan etkileşim toplamlarının sıfır olması varsayımı nedeniyle ilgili varyans unsurları E(KO) denkleminden düşer.

3

B faktörü için E(KO) denklemini ve katsayıları oluşturma.

E(KO_B) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC} + acn\sigma^2_B

denklemi elde edilir.

Her varyans unsurunun katsayısı, o etkileşimde yer almayan faktörlerin düzey sayıları ile tekrar sayısının (

n

) çarpımıyla bulunur.

4

Uygun F test istatistiği için payda (hata terimi) olarak kullanılacak kareler ortalamasını belirleme.

H_0: \sigma^2_B = 0

hipotezi altında payı eşitleyecek yapı

E(KO_{BC}) = \sigma^2 + an\sigma^2_{BC}

'dir. Bu nedenle payda

KO_{BC}

olmalıdır.

F istatistiğinin beklentisi 1'e yakınsamalıdır. Paydaki E(KO) ifadesinden, test edilen varyans unsuru çıkarıldığında kalan ifade paydanın E(KO) değerine eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kısıtlı Karma Modellerde (Restricted Mixed Models) Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) Algoritması ve F Testi İstatistiği

Soru 24Soru →

Bir bilişsel ergonomi araştırmasında, yeni geliştirilen 4 farklı kontrol paneli arayüzünün (Faktör A) operatörlerin tepki süresi üzerindeki etkisi incelenmektedir. Araştırmacı, A faktörünü kendi belirlediği sabit düzeyler olarak seçmiştir. Ayrıca, sistemin kullanılacağı geniş kullanıcı evrenini temsil etmesi amacıyla rastgele seçilen 5 farklı operatör profili (Faktör B) deneye dahil edilmiştir. Her arayüz ve operatör profili kombinasyonunda 3 farklı bağımsız ölçüm alınarak iki yönlü, etkileşimli bir karma (mixed) faktöriyel tasarım oluşturulmuştur.

Beklenen Kareler Ortalaması ( $E(KO)$ ) kuralları dikkate alındığında; arayüz tasarımları arasındaki farklılığın (A faktörü ana etkisinin) istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için oluşturulacak $F$ test istatistiği ve bu istatistiğin serbestlik dereceleri ( $sd_1, sd_2$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

ve

sd = (3, 40)

F = \frac{KO_A}{KO_B}

ve

sd = (3, 4)

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve

sd = (3, 12)

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

ve

sd = (4, 20)

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}}

ve

sd = (12, 40)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$ ve $sd = (3, 12)$

Cevap

Karma faktöriyel tasarımda sabit olan A faktörünü test etmek için etkileşim kareler ortalamasına bölünmesi gerektiğinden doğru oran

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

şeklindedir. Serbestlik dereceleri ise sırasıyla

3

ve

12

'dir.

İki yönlü etkileşimli karma modellerde (A sabit, B tesadüfi); sabit etkinin test edilmesi sürecinde E(KO) kuralları gereğince Beklenen Kareler Ortalaması

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta} + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

formülüyle bulunur. Etkileşim teriminin beklentisi ise

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta}

şeklindedir. Sıfır hipotezi (

A

etkisizdir) altında

\sum\alpha_i^2 = 0

olacağından iki denklem eşitlenir. Bu durum, uygun paydanın

KO_{AB}

olduğunu matematiksel olarak kanıtlar. Serbestlik dereceleri

sd_A = a-1 = 3

ve

sd_{AB} = (a-1)(b-1) = 12

olarak hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Model tipini ve faktör özelliklerini belirle.

Faktör A: Sabit (a = 4), Faktör B: Tesadüfi (b = 5), Tekrar sayısı: n = 3. Bu yapı iki yönlü etkileşimli karma (mixed) modeldir.

Varyans analizi modelinde uygun hata terimini bulmak için Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kurallarının hangi modele göre işletileceğinin bilinmesi gerekir.

2

Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kurallarını Sabit A faktörü için uygula.

Karma modelde sabit A faktörü için:

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta} + \frac{bn\sum\alpha_i^2}{a-1}

. Etkileşim için:

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{\alpha\beta}

.

Sıfır hipotezi (

H_0: \alpha_i = 0

) doğru olduğunda,

E(KO_A)

değeri tam olarak

E(KO_{AB})

değerine eşit olmalıdır ki F oranı 1'e yaklaşsın.

3

Doğru F test istatistiği oranını kur.

Pay kısmına

KO_A

, payda kısmına ise beklentisi örtüşen

KO_{AB}

yazılır. Dolayısıyla

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

.

Test edilecek etkinin dışındaki varyans bileşenlerini izole etmek (bu örnekte

n\sigma^2_{\alpha\beta}

etkileşim varyansını nötrlemek) için uygun payda seçilmelidir.

4

F test istatistiğinin pay ve payda serbestlik derecelerini (

sd_1, sd_2

) hesapla.

Pay (

KO_A

) serbestlik derecesi:

sd_1 = a - 1 = 4 - 1 = 3

. Payda (

KO_{AB}

) serbestlik derecesi:

sd_2 = (a - 1)(b - 1) = (4 - 1)(5 - 1) = 3 \times 4 = 12

.

Kareler ortalamaları hesaplanırken kareler toplamlarının bölündüğü ilgili serbestlik dereceleri, aynı zamanda F dağılımının parametreleridir.

Anahtar Kavram

İki yönlü etkileşimli karma (A sabit, B tesadüfi) ANOVA modellerinde; sabit etkinin anlamlılığı test edilirken, payda (hata terimi) olarak genel hata kareler ortalaması (

KO_{Hata}

) değil, etkileşim kareler ortalaması (

KO_{AB}

) kullanılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 25Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin ulaşım koordinasyon merkezi, akıllı sinyalizasyon sistemlerinin kavşaklardaki ortalama araç bekleme süresine etkisini incelemek üzere bir deney tasarlamaktadır. Çalışmada; Sinyal Döngü Süresi ( $A$ ), Gelen Şerit Sayısı ( $B$ ) ve Ana Arterdeki Trafik Yoğunluğu ( $C$ ) olmak üzere üç faktör belirlenmiştir. Araştırmacılar, bu faktörlerin bekleme süresi üzerindeki etkilerindeki doğrusal olmayan eğilimleri de detaylı bir şekilde görebilmek amacıyla her bir faktör için 3 farklı nicel düzey (düşük, orta, yüksek) belirlemiş ve tam faktöriyel bir $3^k$ tasarımı uygulamıştır.

Buna göre, $A$ faktörünün ana etkisi ile $A$ ve $C$ faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşimin ( $A \times C$ ) serbestlik dereceleri (sd) ve bu derecelerin ortogonal polinom bileşenlerine (doğrusal, kuadratik) ayrıştırılmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A

faktörünün serbestlik derecesi 2'dir ve 1 doğrusal, 1 kuadratik bileşene ayrılır;

A \times C

etkileşiminin serbestlik derecesi 4'tür ve her biri 1 serbestlik derecesine sahip 4 bağımsız ortogonal bileşene ayrıştırılabilir.

A

faktörünün serbestlik derecesi 1'dir ve sadece doğrusal bileşeni vardır;

A \times C

etkileşiminin serbestlik derecesi 1'dir ve daha alt bileşenlere ayrıştırılamaz.

A

faktörünün serbestlik derecesi düzey sayısına eşit olup 3'tür;

A \times C

etkileşiminin serbestlik derecesi ise faktörlerin düzey sayıları toplamı olan 6'dır.

A

faktörünün serbestlik derecesi 2'dir ve 1 doğrusal, 1 kuadratik bileşene ayrılır;

A \times C

etkileşimi de ana etkiler gibi toplam 2 serbestlik derecesine sahiptir ve etkileşimin doğrusal ile kuadratik kısımlarını ifade eder.

A

faktörünün serbestlik derecesi 2'dir ancak polinom bileşenlerine ayrılamaz;

A \times C

etkileşiminin serbestlik derecesi 4'tür ve kendi içinde toplanabilir alt etkileşim bileşenlerine bölünemez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ faktörünün serbestlik derecesi 2'dir ve 1 doğrusal, 1 kuadratik bileşene ayrılır; $A \times C$ etkileşiminin serbestlik derecesi 4'tür ve her biri 1 serbestlik derecesine sahip 4 bağımsız ortogonal bileşene ayrıştırılabilir.

Cevap

Ana etkinin 2 serbestlik derecesine sahip olup doğrusal ve kuadratik olarak ayrıştığını; etkileşimin ise 4 serbestlik derecesine sahip olup 4 bağımsız ortogonal bileşene bölünebildiğini ifade eden seçenektir.

Doğru cevap,

3^k

tasarımlarının temel teorisini eksiksiz yansıtmaktadır. Bir faktörün 3 düzeyi varsa, ana etkisinin serbestlik derecesi

(3-1)=2

'dir. Faktör düzeyleri nicel (düşük, orta, yüksek) olduğunda, bu 2 serbestlik derecesi 1 doğrusal (linear) ve 1 kuadratik (quadratic) bileşen olarak iki ortogonal kontrasta ayrıştırılabilir. İki yönlü etkileşimin serbestlik derecesi ise ilgili ana etkilerin serbestlik derecelerinin çarpımıdır:

2 \times 2 = 4

. Bu 4 serbestlik derecesi de ana etkilerin bileşenlerinin birbiriyle çaprazlanması sonucu her biri 1 serbestlik derecesine sahip 4 bağımsız bileşene (Doğrusal-Doğrusal, Doğrusal-Kuadratik, Kuadratik-Doğrusal, Kuadratik-Kuadratik) ayrıştırılır.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım tipini ve faktörlerin düzey sayısını belirleme

Çalışma, her faktörün 3 düzeyde test edildiği

3^3

tam faktöriyel bir tasarımdır.

Serbestlik derecesi hesaplamalarının temelini tasarımın yapısı oluşturur.

2

A

faktörünün ana etkisi için serbestlik derecesini (sd) ve polinom bileşenlerini hesaplama

Düzey sayısı

a=3

olduğundan, sd

= 3 - 1 = 2

'dir. Düzeyler nicel olduğu için bu 2 sd, 1 adet doğrusal (

A_L

) ve 1 adet kuadratik (

A_Q

) bileşen olarak ortogonal parçalara ayrılır.

3^k tasarımlarının en önemli özelliklerinden biri, ana etkilerin eğilim analizine olanak tanımasıdır.

3

A \times C

iki yönlü etkileşimi için serbestlik derecesini hesaplama

A

'nın sd'si 2 ve

C

'nin sd'si 2'dir. Etkileşim sd'si

= 2 \times 2 = 4

'tür.

İki yönlü etkileşimlerin serbestlik derecesi, etkileşime giren faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

4

Etkileşim serbestlik derecesini ortogonal bileşenlere ayrıştırma

4 serbestlik derecesine sahip

A \times C

etkileşimi, her biri 1 sd'ye sahip olan 4 bileşene ayrılır:

A_L C_L

,

A_L C_Q

,

A_Q C_L

ve

A_Q C_Q

.

Ana etkilerin bileşenleri (doğrusal ve kuadratik) birbirleriyle tam olarak çaprazlandığında etkileşimin alt bileşenlerini oluşturur.

Anahtar Kavram

3^k Faktöriyel Tasarımlarda Serbestlik Derecesi ve Ortogonal Polinomlar

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 26Soru →

Bir çağrı merkezinde, müşteri görüşme sürelerini (yanıt değişkeni) etkileyen faktörleri incelemek amacıyla iki faktörlü bir deney tasarlanmıştır:

- A Faktörü (Arayüz Yazılımı): Piyasada yaygın kullanılan ve araştırmacı tarafından özellikle performansları karşılaştırılmak istenen $3$ farklı yazılım.
- B Faktörü (Müşteri Temsilcisi): Şirkette çalışan yüzlerce temsilci arasından tamamen tesadüfi olarak seçilen $5$ temsilci.

Her bir yazılım ve temsilci kombinasyonu için $n=4$ farklı çağrı gözlemlenmiştir. İki yönlü karma etkili (mixed) bu modelde, A faktörünün (Yazılım) ana etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için hesaplanması gereken F istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $KO$ , Kareler Ortalamasını ifade etmektedir.)

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}}

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

F = \frac{KO_A}{KO_B}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$

Cevap

A faktörünün temel etkisini test etmek için A'nın Kareler Ortalamasının, AB Etkileşim Kareler Ortalamasına bölündüğü oran kullanılmalıdır.

Sorudaki A faktörü (Yazılım) araştırmacı tarafından özel olarak belirlendiği için 'sabit (fixed)' etkili, B faktörü (Temsilci) ise rastgele seçildiği için 'şansa bağlı (random)' etkilidir. İki yönlü karma (mixed) modellerde, sabit faktörün Beklenen Kareler Ortalaması E(KO_A) etkileşim varyansını da içerir. Bu nedenle A faktörünün ana etkisini doğru bir şekilde test edebilmek için

KO_A

değeri,

KO_{Hata}

'ya değil

KO_{AB}

'ye (Etkileşim Kareler Ortalamasına) bölünmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

A ve B faktörlerinin istatistiksel doğasını (sabit/şansa bağlı) belirleyin.

A faktörü (Yazılım) araştırmacı tarafından özel olarak seçildiği için 'sabit', B faktörü (Temsilci) ise yığından tesadüfi seçildiği için 'şansa bağlı' etkilidir.

Varyans analizinde test istatistiğinin (F) paydasına yazılacak hata terimi, deneydeki faktörlerin özelliklerine göre kurulan modele (Sabit, Şansa Bağlı veya Karma) dayanır.

2

A faktörünün Beklenen Kareler Ortalamasını (E(KO)) değerlendirin.

Karma modelde sabit faktörün beklenen varyans yapısı hata varyansı, etkileşim varyansı ve faktörün kendi varyansının toplamından oluşur.

Doğru bir F testi için sıfır hipotezi doğru olduğunda pay ve paydanın beklenen değerlerinin birbirine eşit (oranın 1'e yakın) olması gerekir.

3

Uygun F test istatistiğini oluşturun.

E(KO) kuralları gereği, A faktörü (sabit etki), yalnızca kendisi test edilmek istendiğinde etkileşim varyansını dışlamak için AB Etkileşim Kareler Ortalamasına (KO_AB) bölünür.

Eğer KO_Hata'ya bölünseydi, F oranının içinde etkileşim etkisi de kalacağı için test geçersiz (yanıltıcı) olurdu.

Anahtar Kavram

Karma (Mixed) Modellerde Beklenen Kareler Ortalaması ve F Testi Seçimi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 27Soru →

Bir tekstil fabrikasında kalite kontrol mühendisi, sentetik bir ipliğin kopma mukavemeti üzerinde 'Makine' (A faktörü) ve 'Operatör' (B faktörü) etkilerini incelemek üzere iki yönlü faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Mühendis, fabrikadaki çok sayıdaki makine arasından $4$ makineyi ve yüzlerce operatör arasından $5$ operatörü tamamen rastgele seçmiştir. Her bir makine-operatör kombinasyonu için $n=3$ tekrar yapılmıştır.

Deneyde elde edilen verilere göre varyans analizi (ANOVA) uygulanacaktır. İlgili evren modelinde hata varyansı $\sigma^2$ , Makine varyans unsuru $\sigma_A^2$ , Operatör varyans unsuru $\sigma_B^2$ ve etkileşim varyans unsuru $\sigma_{AB}^2$ ile gösterilmektedir.

Buna göre, Makine (A) faktörünün ana etkisine ait Beklenen Kareler Ortalaması $E(KO_A)$ yapısı ve bu etkinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için kullanılması gereken $F$ test istatistiği aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

*(Not: $a$ , $b$ ve $n$ sırasıyla A faktörü düzey sayısını, B faktörü düzey sayısını ve hücre başına tekrar sayısını ifade etmektedir. Gösterimlerde $KO$ , Kareler Ortalamasını; $KO_H$ , Hata Kareler Ortalamasını temsil etmektedir.)*

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\sigma_A^2 \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

E(KO_A) = \sigma^2 + \frac{bn\sum \alpha_i^2}{a-1} \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_H}

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\sigma_A^2 \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_H}

E(KO_A) = \sigma^2 + bn\sigma_A^2 \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_H}

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + an\sigma_A^2 \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\sigma_A^2 \quad \text{ve} \quad F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}$

Cevap

Doğru eşleşme, ana etkinin beklenen kareler ortalamasında hata varyansı, etkileşim varyansı ve ilgili ana etkinin varyans unsurunun (

b \cdot n

katsayısıyla) bulunduğu ve paydada etkileşim kareler ortalamasının yer aldığı seçenektir.

Soruda hem makine hem de operatör seçimlerinin rastgele yapıldığı açıkça belirtilmiştir. Bu durum, analizin 'İki Yönlü Şansa Bağlı Model (Model II)' çerçevesinde yapılmasını gerektirir. Şansa bağlı faktöriyel modellerde herhangi bir ana etkinin (örneğin A faktörünün) beklenen kareler ortalaması,

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\sigma_A^2

şeklinde ifade edilir. Burada ana etkinin varlığı test edilirken (

H_0: \sigma_A^2 = 0

), denklem

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2

yapısına indirgenir. Beklenen kareler ortalaması (E(KO)) prensiplerine göre, doğru test istatistiği bu iki terimin oranlanmasıyla elde edileceğinden

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

oranı kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımının model tipini belirleme.

Araştırmacı hem Makine hem de Operatör düzeylerini büyük bir evrenden rastgele seçtiği için bu tasarım 'İki Yönlü Şansa Bağlı Model'dir (Model II - Random Effects Model).

Uygulanacak test istatistikleri ve beklenen kareler ortalaması yapıları faktörlerin sabit mi yoksa şansa bağlı mı seçildiğine göre değişir.

2

Makine (A) faktörünün Beklenen Kareler Ortalaması

E(KO_A)

formülünü çıkarma.

Şansa bağlı modelde

E(KO_A)

formülü, hata varyansı (

\sigma^2

), etkileşim varyansı (

\sigma_{AB}^2

) ve ana etkinin kendi varyans unsurunu (

\sigma_A^2

) içerir. Katsayılar dikkate alındığında denklem

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2 + bn\sigma_A^2

olur.

Rastgele seçilen faktörlerin etkileşimi, her iki ana etkinin varyans yapısına da dahil olur.

3

A faktörü için geçerli

F

test istatistiğinin paydasını belirleme.

H_0: \sigma_A^2 = 0

hipotezi altında,

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma_{AB}^2

kalır. Bu değer tam olarak

E(KO_{AB})

yapısına eşittir. Bu nedenle test istatistiği

F = \frac{KO_A}{KO_{AB}}

olarak kurulmalıdır.

Beklenen Kareler Ortalaması kurallarına göre, bir etkinin istatistiksel anlamlılığını test etmek için

F

oranının paydasına, boş hipotez doğruyken pay ile aynı beklenen değere sahip olan Kareler Ortalaması yerleştirilmelidir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Faktöriyel Tasarımlarda Şansa Bağlı Modeller (Model II) ve Beklenen Kareler Ortalaması (E(MS)) Kuralları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir kalite kontrol uzmanı, 6 faktörlü ( $A, B, C, D, E, F$ ) bir üretim sürecini optimize etmek amacıyla $\frac{1}{4}$ oranında kesirli (fractional) faktöriyel tasarım olan $2^{6-2}$ tasarımını uygulamaya karar vermiştir. Bu tasarımda $A, B, C$ ve $D$ temel faktörler olarak alınmış; $E$ ve $F$ faktörleri ise sırasıyla $E = ABC$ ve $F = BCD$ üreteçleri (generators) kullanılarak oluşturulmuştur.

Buna göre, bu deney tasarımında ** $AB$ ** ikili etkileşimi, aşağıdaki hangi etki veya etkileşim ile karışmış (aliased) yapıdadır? (Dörtlü etkileşimler ihmal edilecektir.)

CE

ikili etkileşimi

C

ana etkisi

ACD

üçlü etkileşimi

BC

ikili etkileşimi

EF

ikili etkileşimi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $CE$ ikili etkileşimi

Cevap

Dörtlü etkileşimler dışarıda bırakıldığında,

AB

ikili etkileşiminin

CE

ikili etkileşimi ile karıştığı (aliased) görülmektedir.

Bu

2^{6-2}

kısmi faktöriyel tasarımında

E = ABC

ve

F = BCD

üreteçleri kullanılarak tam tanımlayıcı bağıntı

I = ABCE = BCDF = ADEF

şeklinde oluşturulur. Bir etkinin karışım (alias) yapısını bulmak için o etki tanımlayıcı bağıntı ile mod-2 kuralına göre çarpılır (

A^2 = I

,

B^2 = I

).

AB \times I

işlemi yapıldığında

AB = CE = ACDF = BDEF

eşitliği elde edilir. Soru yönergesinde dörtlü etkileşimlerin ihmal edileceği belirtildiği için geriye yalnızca

CE

ikili etkileşimi kalmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Üreteçlerden (generators) yararlanarak temel bağıntıları oluşturmak.

E = ABC

eşitliğinden

I = ABCE

ve

F = BCD

eşitliğinden

I = BCDF

elde edilir.

Karışım yapısını doğru bir şekilde bulabilmek için öncelikle tanımlayıcı bağıntıların her bir temel parçasının belirlenmesi gerekir.

2

Genelleştirilmiş etkileşimi (generalized interaction) hesaplamak.

Temel bağıntıların birbiriyle çarpımı sonucunda

I = (ABCE)(BCDF) = A \cdot B^2 \cdot C^2 \cdot D \cdot E \cdot F = ADEF

bulunur.

Tüm muhtemel karışımları eksiksiz görebilmek adına tam tanımlayıcı bağıntıya (

I = ABCE = BCDF = ADEF

) ulaşılmalıdır.

3

Sorulan

AB

etkileşimini tam tanımlayıcı bağıntı ile kuralına uygun olarak çarpmak.

AB \times I

işleminden sırasıyla

CE

,

ACDF

ve

BDEF

etkileşimleri elde edilir.

Bir etkinin hangi etkilerle karıştığını (aliased) bulmanın temel kuralı, o etkiyi

I

ile mod-2 aritmetiği kurallarına (

A \cdot A = I

, vb.) uygun olarak çarpmaktır.

4

Sorudaki kısıta göre uygun olan karışım sonucunu seçmek.

Dörtlü etkileşimler (

ACDF

ve

BDEF

) ihmal edildiğinde,

AB

etkileşiminin

CE

ikili etkileşimi ile karıştığı sonucuna varılır.

Uygulamada genellikle yüksek dereceli (üçlü ve dörtlü) etkileşimlerin önemsiz olduğu varsayıldığından (sparsity of effects prensibi), en düşük dereceli karışım yapısı tespit edilmelidir.

Anahtar Kavram

Kısmi (Fractional) Faktöriyel Tasarımlarda Tanımlayıcı Bağıntı (Defining Relation) ve Karışım (Alias) Yapısının Mod-2 Aritmetiğiyle Hesaplanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 29Soru →

Bir araştırmacı, kimyasal bir reaksiyonun verimini maksimize etmek amacıyla sıcaklık (A) ve katalizör miktarının (B) etkilerini incelemek için tek tekrarlı ( $r=1$ ) $2^2$ faktöriyel tasarım kurgulamıştır.

Deney sonucunda elde edilen verim değerleri standart Yates sırasına göre aşağıda verilmiştir:

Deney Noktası	Verim ( $Y$ )
(1)	14
a	26
b	22
ab	42

Buna göre, Yates algoritması kullanılarak hesaplanan AB etkileşim etkisinin tahmini değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2

12

4

8

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Yates algoritması ile 2. sütunda elde edilen AB toplamı 8 olup formül gereği 2'ye bölündüğünde tahmini değer 4'tür.

Yates algoritmasında

2^2

tasarımı için hesaplama tablosu 2 iterasyon sütunundan oluşur. 1. sütun işlemleri ile sırasıyla 40, 64, 12, 20 değerleri elde edilir. Bu değerler üzerinden aynı toplama ve çıkarma kuralları 2. sütuna uygulandığında 104, 32, 24 ve 8 elde edilir. Standart Yates sırasına göre son satırdaki (ab) değer olan 8, AB etkileşiminin toplamını (kontrastını) verir. Etki tahmini elde etmek için bu toplam,

r \cdot 2^{k-1}

formülünden gelen (

1 \cdot 2^1 = 2

) değerine bölünmelidir. Dolayısıyla

8 / 2 = 4

işlemi sonucu AB etkileşim etkisi 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yates algoritması 1. sütun değerlerinin hesaplanması.

Ardışık ikililerin toplamları: 14+26=40 ve 22+42=64. Ardışık ikililerin farkları (alt-üst): 26-14=12 ve 42-22=20.

Yates algoritmasında ilk sütun işlemleri, verilerin standart sırayla ikişerli gruplanarak önce toplanması, sonra alttakinden üsttekinin çıkarılması esasına dayanır.

2

Yates algoritması 2. sütun (toplamlar) değerlerinin hesaplanması.

1. sütun değerlerine aynı işlem uygulanır. Toplamlar: 40+64=104 (Genel) ve 12+20=32 (A ana etkisi). Farklar: 64-40=24 (B ana etkisi) ve 20-12=8 (AB etkileşimi).

2^2

tasarımında faktör sayısı

k=2

olduğu için işlem tam olarak 2 kez (2 sütun boyunca) tekrar edilir.

3

AB etkileşim etkisinin tahmini değerinin bulunması.

Yates toplamı olan 8, formül gereği bölen değere (

r \cdot 2^{k-1}

) oranlanır. Bölen =

1 \cdot 2^{2-1} = 2

. Sonuç:

8 / 2 = 4

.

Bir etkinin büyüklüğünü (etki tahminini) bulmak için, Yates algoritmasındaki ilgili toplam değeri genel formül olan

r \cdot 2^{k-1}

'e bölünmelidir.

Anahtar Kavram

2^k Faktöriyel Tasarımda Yates Algoritması ile Etki Tahmini

Soru 30Soru →

Bir araştırmacı, endüstriyel bir üretim sürecinde üç farklı faktörün (A, B ve C) ürün dayanıklılığı üzerindeki etkisini incelemek için tam faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Bu tasarımda:
- A faktörü araştırmacı tarafından özel olarak belirlenen düzeylere sahip sabit (fixed) etkili bir faktördür.
- B ve C faktörleri ise üretim hattından rastgele seçilen düzeylere sahip şansa bağlı (random) etkili faktörlerdir.
- Tüm faktör kombinasyonlarında eşit sayıda ( $n > 1$ ) tekrar (replikasyon) yapılmıştır.

Verilerin analizi için kısıtsız (unrestricted) karma model kullanılmıştır. Beklenen Kareler Ortalaması ( $E(KO)$ ) kuralları uygulandığında, A faktörünün temel etkisini (main effect) test etmek için uygun bir kesin (exact) F-testinin bulunmadığı görülmüştür.

Bu durumda, A faktörünün temel etkisinin istatistiksel anlamlılığını test edebilmek için Satterthwaite yaklaşımına göre oluşturulması gereken en uygun sözde (pseudo/quasi) F-istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

F = \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

F = \frac{KO_A}{KO_{Hata}}

F = \frac{KO_A}{KO_{ABC}}

F = \frac{KO_A + KO_{Hata}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

F = \frac{KO_A}{KO_{AB} + KO_{AC}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}$

Cevap

Satterthwaite yaklaşımına göre pay kısmında A ana etkisi ile üçlü etkileşimin (

KO_A + KO_{ABC}

) toplandığı, payda kısmında ise ilgili iki yönlü etkileşimlerin (

KO_{AB} + KO_{AC}

) toplandığı formül doğrudur.

Üç faktörlü kısıtsız karma modelde (A sabit, B ve C şansa bağlı), beklenen kareler ortalamaları E(KO) kurallarına göre şu şekildedir:

E(KO_A) = \sigma^2 + n\sigma^2_{ABC} + bn\sigma^2_{AC} + cn\sigma^2_{AB} + bcn\theta_A^2

E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{ABC} + cn\sigma^2_{AB}

E(KO_{AC}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{ABC} + bn\sigma^2_{AC}

E(KO_{ABC}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{ABC}

A faktörünün anlamlılığını test etmek için sıfır hipotezi (

H_0: \theta_A^2 = 0

) altında pay ve paydanın beklenen değerleri eşit olmalıdır. Doğrudan tek bir KO değeri bu eşitliği sağlamaz. Satterthwaite yaklaşımı ile KO'ların doğrusal kombinasyonları toplanır:
Pay:

E(KO_A) + E(KO_{ABC}) = 2\sigma^2 + 2n\sigma^2_{ABC} + bn\sigma^2_{AC} + cn\sigma^2_{AB} + bcn\theta_A^2

Payda:

E(KO_{AB}) + E(KO_{AC}) = 2\sigma^2 + 2n\sigma^2_{ABC} + bn\sigma^2_{AC} + cn\sigma^2_{AB}

Sıfır hipotezi doğru olduğunda pay ve paydanın beklentisi birebir eşitlenir. Bu nedenle sözde (quasi) F istatistiği

F = \frac{KO_A + KO_{ABC}}{KO_{AB} + KO_{AC}}

formülü kullanılarak geçerli bir şekilde oluşturulur.

Adım Adım Çözüm

1

A (sabit), B ve C (şansa bağlı) faktörleri için kısıtsız (unrestricted) karma modelin Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) denklemlerini yazın.

E(KO_A)

içinde

\sigma^2_{Hata}

,

\sigma^2_{ABC}

,

\sigma^2_{AC}

,

\sigma^2_{AB}

ve A'nın kendi etkisi bulunur. İlgili iki yönlü etkileşimler

E(KO_{AB})

ve

E(KO_{AC})

içinde yer alır.

Şansa bağlı faktörlerle yapılan etkileşimler, ilgili terimin beklenen kareler ortalaması denklemini doğrudan etkiler.

2

A faktörünün temel etkisini test etmek için sıfır hipotezi (

H_0

) doğruyken pay ve paydanın beklenen değerlerinin birbirine eşit olacağı lineer kombinasyonları belirleyin.

E(KO_A) + E(KO_{ABC}) = E(KO_{AB}) + E(KO_{AC})

eşitliğinin,

H_0

altında tam olarak aynı varyans unsurlarını içerdiği görülür.

Doğrudan birbirine bölünebilecek tekil

KO

değerleri olmadığında, beklenen değerler eşitliğini sağlamak için kareler ortalamaları toplanarak Satterthwaite sözde F istatistiği elde edilir.

Anahtar Kavram

Beklenen Kareler Ortalaması Kuralları ve Sözde F (Quasi-F) İstatistiği

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 31Soru →

Bir otomotiv fabrikasında yürütülen kalite kontrol çalışmalarında; boya kalınlığı, fırın sıcaklığı, kuruma süresi, ortam nemi ve astar türü olmak üzere $5$ farklı değişken ( $A, B, C, D, E$ ) teste tabi tutulacaktır. Tüm değişkenlerin her kombinasyonunun denenmesi üretim hattında çok fazla duruşa yol açacağından, $16$ işlemden oluşan $2^{5-1}$ kesirli faktöriyel bir deney planlanmıştır. Bu tasarımda $E$ değişkeninin (astar türü) seviyeleri, $E = ABCD$ kuralına göre atanmıştır.

Verilen bilgilere göre, bu deney tasarımında $AB$ iki yönlü etkileşimi aşağıdaki etkilerden hangisiyle karışmış (aliased) durumdadır?

CDE

CD

CE

ABCD

ABCDE

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $CDE$

Cevap

Doğru yanıt

CDE

üç yönlü etkileşimidir.

Bu tasarımda

E = ABCD

üreteci verildiği için temel (identite) ilişki

I = ABCDE

şeklinde oluşur. Herhangi bir etkinin karışımını (alias) bulmak için ilgili etki temel ilişki ile modül 2 aritmetiğine göre çarpılır. İstenen

AB

etkileşimi için çarpım:

AB \times ABCDE = A^2 B^2 CDE

olur. Kısmi faktöriyel tasarımlarda herhangi bir faktörün kendisiyle çarpımı birim (I) elemanı verdiğinden,

A^2

ve

B^2

etkisiz hale gelir ve geriye yalnızca

CDE

kalır. Dolayısıyla

AB

etkileşimi istatistiksel olarak

CDE

etkileşimi ile karışmış durumdadır.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarımın temel (identite) ilişkisinin belirlenmesi.

Üreteç

E = ABCD

verildiği için, denklemin her iki tarafı

E

ile çarpılarak temel ilişki

I = ABCDE

olarak bulunur.

Kısmi faktöriyel tasarımlarda bir etkinin hangi etkilerle karıştığını (aliased) bulmak için öncelikle temel ilişkinin elde edilmesi zorunludur.

2

AB

etkileşiminin karışım (alias) yapısının hesaplanması.

AB

etkisi, temel ilişki ile çarpılır:

AB \times I = AB \times ABCDE

.

Karışım yapısını ortaya çıkarmak için ilgili etki ile temel ilişki birbiriyle cebirsel olarak çarpılır.

3

Çarpım işleminin modül 2 aritmetiğine göre sadeleştirilmesi.

A^2 B^2 CDE

ifadesi elde edilir. Faktörlerin kareleri birime (I) eşit olduğundan (

A^2=I

,

B^2=I

), ifade

CDE

'ye dönüşür.

Aynı faktörün kendisiyle çarpımı etkisiz elemanı (I) verdiğinden sadeleştirme yapılarak nihai karışım etkisi bulunur.

Anahtar Kavram

Kısmi (Fractional) Faktöriyel Tasarımlarda Temel İlişki ve Karışma (Aliasing)

Soru 32Soru →

Bir endüstri mühendisi, sıcaklık (20°C ve 30°C) ve malzeme türü (X ve Y) olmak üzere iki faktörün bir sürecin verimi üzerindeki etkisini incelemek için $2 \times 2$ faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Deney sonucunda elde edilen hücre ortalamaları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Sıcaklık \ Malzeme	X Malzemesi	Y Malzemesi
20°C	50	70
30°C	70	50

Bu hücre ortalamaları tablosu incelendiğinde, faktörlerin verim üzerindeki etkileriyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Faktörlerin hiçbirinin genel ana etkisi bulunmamaktadır; ancak sıcaklık ile malzeme türü arasında güçlü bir etkileşim etkisi söz konusudur.

Hücreler arasındaki belirgin sayısal farklılıklar, her iki faktörün de güçlü bir genel ana etkisi olduğunu ve aralarında hiçbir etkileşim bulunmadığını gösterir.

Faktörlerin satır ve sütun ortalamaları birbirine eşit olduğundan, genel ana etkileriyle birlikte etkileşim etkisinin de kesinlikle sıfır olduğu sonucuna varılır.

Tablodaki sıcaklık ve malzeme türü birer düzey, 20°C, 30°C, X ve Y ise bu düzeylerin alt faktörleri olduğu için etkileşim hesaplanamaz.

Etkileşim etkisinin istatistiksel olarak yorumlanabilmesi için, öncelikle faktörlerden en az birinin genel ana etkisinin sıfırdan farklı ve belirgin olması şarttır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Faktörlerin hiçbirinin genel ana etkisi bulunmamaktadır; ancak sıcaklık ile malzeme türü arasında güçlü bir etkileşim etkisi söz konusudur.

Cevap

Faktörlerin hiçbirinin genel ana etkisi bulunmamaktadır; ancak sıcaklık ile malzeme türü arasında güçlü bir etkileşim etkisi söz konusudur.

Verilen tabloda her bir satırın ortalaması 60 ve her bir sütunun ortalaması 60'tır. Marjinal ortalamalarda hiçbir farklılık olmaması, faktörlerin genel ana etkilerinin sıfır olduğunu kanıtlar. Ancak tablonun içine bakıldığında, 20°C'de Y malzemesi verimi artırırken, 30°C'de aynı malzemenin verimi düşürdüğü görülür. Bu şekilde çapraz (disordinal) bir ilişkinin olması, iki faktör arasında güçlü bir etkileşim (interaksiyon) olduğunu matematiksel olarak kesinleştirir.

Adım Adım Çözüm

1

Sıcaklık faktörünün genel ana etkisini bulmak için satır ortalamalarını hesaplama.

20°C için satır ortalaması

(50+70)/2 = 60

; 30°C için satır ortalaması

(70+50)/2 = 60

'tır. Ortalamalar eşit olduğundan sıcaklığın genel ana etkisi sıfırdır.

Ana etkiler, faktörlerin diğer faktör düzeyleri üzerinden marjinal ortalamalarının karşılaştırılmasıyla bulunur.

2

Malzeme türü faktörünün genel ana etkisini bulmak için sütun ortalamalarını hesaplama.

X malzemesi için sütun ortalaması

(50+70)/2 = 60

; Y malzemesi için sütun ortalaması

(70+50)/2 = 60

'tır. Malzeme türünün de genel ana etkisi sıfırdır.

Bir faktörün düzeyleri arasındaki ortalama farkı, o faktörün ana etkisinin varlığını gösterir.

3

Düzeyler arasındaki değişim yönlerini kıyaslayarak etkileşim etkisini inceleme.

20°C sıcaklıkta Y malzemesi X'ten daha yüksek verim (70'e karşı 50) sağlarken; 30°C sıcaklıkta X malzemesi Y'den daha yüksek verim (70'e karşı 50) sağlamıştır.

Bir faktörün (malzeme) bağımlı değişken üzerindeki etkisinin, diğer faktörün (sıcaklık) düzeylerine göre yön veya büyüklük değiştirmesi etkileşimin kanıtıdır.

4

Sonuçları sentezleme.

Marjinal ortalamalara bakıldığında faktörlerin tek başlarına verimi etkilemediği görülür, ancak verim sıcaklık ve malzeme kombinasyonuna göre dramatik şekilde değişmektedir. Bu durum güçlü bir etkileşime işaret eder.

Ana etkiler ile etkileşim etkisinin istatistiksel olarak birbirinden bağımsız bileşenler olduğu kuralını teyit etmek için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda Ana Etki ve Etkileşim Etkisi Ayrımı

Alternatif Yöntem

Veriler bir etkileşim grafiği (çizgi grafiği) üzerine çizilerek problem çok daha hızlı çözülebilir. X eksenine sıcaklıkları (20°C ve 30°C), Y eksenine verimi yerleştirip, X ve Y malzemeleri için iki ayrı doğru çizildiğinde, doğruların tam ortada 'X' harfi şeklinde kesiştiği görülür. Bu görüntü bize saniyeler içinde ana etkilerin sıfır, etkileşimin ise maksimum düzeyde (disordinal) olduğunu kanıtlar.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 33Soru →

Bir tarım araştırmacısı, yeni geliştirilen gübre türlerinin (A faktörü, sabit etkili, $a$ düzeyli) ve farklı toprak parsellerinin (B faktörü, şansa bağlı, $b$ düzeyli) buğday verimi üzerindeki etkisini incelemek amacıyla hücre başına $n$ ( $n>1$ ) tekrarlı iki yönlü bir faktöriyel deney tasarlamıştır. Araştırmacı analizini gerçekleştirirken, etkileşim etkilerinin yapısına dair temel istatistiksel varsayımları nedeniyle literatürde yer alan 'kısıtlı' (restricted) ve 'kısıtsız' (unrestricted) karma model formülasyonları arasında karar vermeye çalışmaktadır.

Buna göre, kısıtlı ve kısıtsız karma modeller bağlamında, şansa bağlı olan B faktörünün Beklenen Kareler Ortalaması ( $E(KO_B)$ ) yapısı ve bu faktörün anlamlılığını test etmek için kullanılacak doğru $F$ istatistiği eşleştirmesi aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Kısıtsız modelde

E(KO_B)

etkileşim varyans unsurunu içerir ve test istatistiği

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

şeklindedir; kısıtlı modelde ise

E(KO_B)

etkileşim varyansını içermez ve test istatistiği

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

şeklindedir.

Kısıtlı modelde

E(KO_B)

etkileşim varyans unsurunu içerir ve test istatistiği

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

şeklindedir; kısıtsız modelde ise

E(KO_B)

etkileşim varyansını içermez ve test istatistiği

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

şeklindedir.

Her iki karma modelde de şansa bağlı faktörün

E(KO_B)

denklemi yalnızca kendi varyansını ve hata varyansını barındırır, bu nedenle anlamlılık testi her iki durumda da

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

ile yapılır.

Her iki karma modelde de şansa bağlı faktörün

E(KO_B)

denklemi etkileşim varyans unsurunu barındırır ve bu faktörün anlamlılığı her iki durumda da

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

istatistiği ile test edilir.

Kısıtlı modelde

E(KO_B)

etkileşim varyansını içermediğinden

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

kullanılırken; kısıtsız modelde kesin bir hata terimi bulunamadığından Satterthwaite sözde (pseudo)

F

istatistiğinin kullanılması zorunludur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kısıtsız modelde $E(KO_B)$ etkileşim varyans unsurunu içerir ve test istatistiği $F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}$ şeklindedir; kısıtlı modelde ise $E(KO_B)$ etkileşim varyansını içermez ve test istatistiği $F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}$ şeklindedir.

Cevap

Kısıtsız modelde

E(KO_B)

etkileşim varyansını barındırdığı için test işlemi

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

ile yapılırken, kısıtlı modelde etkileşim varyansı denklemden düştüğü için

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

istatistiği kullanılır.

Kısıtsız (unrestricted) karma modelde, etkileşim bileşenleri üzerinde herhangi bir matematiksel toplam kısıtı yoktur. Bu durum, şansa bağlı faktörün (B) beklenen kareler ortalamasına (

E(KO_B)

) etkileşim varyansının (

\sigma^2_{\alpha\beta}

) da dahil olmasına neden olur (

E(KO_B) = \sigma^2_e + n\sigma^2_{\alpha\beta} + an\sigma^2_\beta

). B faktörünün anlamlılığını test edebilmek için, içinde aynı hata ve etkileşim varyansını barındıran

KO_{AB}

(

E(KO_{AB}) = \sigma^2_e + n\sigma^2_{\alpha\beta}

) uygun hata terimidir ve test

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

ile yapılır. Kısıtlı (restricted) modelde ise, etkileşimlerin sabit faktör düzeyleri toplamının sıfır olduğu varsayılır. Bu kısıt, etkileşim varyansını B faktörünün

E(KO_B)

denkleminden siler (

E(KO_B) = \sigma^2_e + an\sigma^2_\beta

). Dolayısıyla, bu durumda B'yi test edecek uygun terim doğrudan

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıtlı (Restricted) karma modelin varsayımlarını ve E(KO) yapısını analiz etmek.

Kısıtlı modelde, sabit faktör düzeyleri üzerindeki etkileşimlerin toplamının sıfır olduğu varsayılır

\left(\sum_{i=1}^a (\alpha\beta)_{ij} = 0\right)

. Bu kısıt, şansa bağlı faktörün (B) beklenen kareler ortalamasından etkileşim varyansını (

\sigma^2_{\alpha\beta}

) çıkarır. Böylece

E(KO_B) = \sigma^2_e + a n \sigma^2_\beta

olur.

Model kısıtlarının Beklenen Kareler Ortalaması (EMS) algoritması üzerindeki matematiksel etkisini belirlemek.

2

Kısıtlı model için B faktörüne ait uygun F istatistiğini belirlemek.

E(KO_B)

içerisinde sadece hata varyansı ve B'nin kendi varyansı bulunduğu için, varyans analizi test işlemi doğrudan hata kareler ortalamasına bölünerek (

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

) yapılır.

F testinde, test edilecek etkinin varyansını sıfır kabul eden (H0 altında) uygun hata terimini bulmak.

3

Kısıtsız (Unrestricted) karma modelin varsayımlarını ve E(KO) yapısını analiz etmek.

Kısıtsız modelde etkileşim terimleri kısıtlanmaz, tamamen rastgele değişkenler olarak kabul edilir. Bu nedenle B faktörünün marjinal ortalamalarının varyansına etkileşim varyansı da eklenir. Böylece

E(KO_B) = \sigma^2_e + n \sigma^2_{\alpha\beta} + a n \sigma^2_\beta

olur.

Kısıtsız yaklaşımın varyans bileşenlerine etkisini türetmek.

4

Kısıtsız model için B faktörüne ait uygun F istatistiğini belirlemek.

E(KO_{AB}) = \sigma^2_e + n \sigma^2_{\alpha\beta}

olduğundan, B faktörünün kendi varyansını (

\sigma^2_\beta

) izole edebilmek için hesaplanan

KO_B

'nin

KO_{AB}

'ye bölünmesi zorunludur (

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

).

Doğru F oranını elde edebilmek için payın beklentisinin, paydanın beklentisinden sadece test edilen parametrenin varyansı kadar fazla olmasını sağlamak.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Karma Modellerde (Sabit ve Şansa Bağlı) Kısıtlı/Kısıtsız Model Yaklaşımları ve Beklenen Kareler Ortalaması Kuralları

Soru 34Soru →

Bir ziraat mühendisi, iki farklı gübre türünün (A ve B) bitki büyümesi üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla $2^2$ faktöriyel tasarım kurgulamış ve deneyi 3 tekrarlı olarak yürütmüştür. Muamele kombinasyonlarına ait toplam yanıt değerleri standart sırada sırasıyla $(1) = 20$ , $a = 30$ , $b = 24$ ve $ab = 42$ olarak elde edilmiştir.

Araştırmacı, ana etkileri ve etkileşim etkisini pratik bir şekilde hesaplamak için Yates algoritmasını kullanmaktadır.

Buna göre, Yates algoritmasının 1. işlem sütununda (Sütun 1), ' $b$ ' muamele kombinasyonunun bulunduğu satıra yazılması gereken değer kaçtır?

50

-10

10

18

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Yates algoritmasının 1. sütununda 'b' satırına karşılık gelen değer 10'dur.

Yates algoritmasında ilk işlem sütununu oluştururken, tablonun alt yarısındaki değerler ardışık muamele çiftlerinin farkı alınarak (ikinciden birinci çıkarılarak) elde edilir. Standart sıradaki 3. satır ('b' satırı) için, ilk çiftten gelen fark (

a - (1)

) hesaplanır. Yanıt değerleri

a = 30

ve

(1) = 20

olduğundan,

30 - 20 = 10

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Muamele kombinasyonlarının ve yanıt değerlerinin standart sırada alt alta yazılması.

(1)=20, a=30, b=24, ab=42 değerleri sırasıyla ilk sütunu oluşturur.

Yates algoritmasının doğru işleyebilmesi için verilerin standart sırada olması zorunludur.

2

Yates algoritmasının 1. sütununun ilk yarısının (üst kısmının) hesaplanması.

1. satır:

20 + 30 = 50

. 2. satır:

24 + 42 = 66

.

Algoritmanın ilk yarısı, ardışık veri çiftlerinin toplanmasıyla elde edilir.

3

Yates algoritmasının 1. sütununun ikinci yarısının (alt kısmının) hesaplanması.

3. satır ('b' satırı):

30 - 20 = 10

. 4. satır ('ab' satırı):

42 - 24 = 18

.

Algoritmanın alt yarısı, ardışık veri çiftlerinin farkı alınarak (ikinciden birinci çıkarılarak) oluşturulur.

4

İstenen değerin belirlenmesi.

Sütun 1, 3. satır değeri olan 10 elde edilir.

Soruda özel olarak 'b' muamele kombinasyonuna (3. satıra) denk gelen Sütun 1 değeri sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Yates Algoritmasında İşlem Sırası ve Sütun Hesaplamaları

Alternatif Yöntem

Algoritmanın ilerleyişini test etmek adına, tüm tablo tamamlanıp kontrastlar bulunduğunda tanımlı B kontrastı formülü (

b + ab - a - (1) = 24 + 42 - 30 - 20 = 16

) ile son sütun değerleri doğrulanabilir, ancak doğrudan adım adım işlem yapmak Sütun 1 için en pratik yoldur.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 35Soru →

Bir araştırmacı, bir üretim sürecindeki dört farklı faktörün ( $A, B, C, D$ ) etkilerini incelemek amacıyla $2^4$ tam faktöriyel deney planlamıştır. Ancak fiziksel kısıtlamalar nedeniyle her bir vardiyada en fazla 4 deneme yapılabilmektedir. Deneyin 4 vardiyada (4 blokta) tamamlanmasına karar verilmiş ve araştırmacı tarafından $ABD$ ile $ACD$ üç yönlü etkileşimleri bilerek bloklarla karıştırılmıştır (confounded).

Buna göre, uygulanan bu kısmi karışık (confounded) deney tasarımı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Karışma işlemi neticesinde yalnızca

ABD

ve

ACD

etkileri feda edilmiş olup, geriye kalan tüm ana etki ve etkileşimler birbirinden bağımsız olarak ölçülebilir.

Deneydeki bloklama işlemi, blok değişkeninin faktörlerle olan etkileşimini istatistiksel olarak test edip yeni bir etki olarak modellemek amacıyla yapılmıştır.

Dört bloklu bu tasarımda, varyans analizi (ANOVA) tablosunda blok etkisine 4 serbestlik derecesi atanarak kareler toplamı hesaplanır.

Tasarımın yapısı gereği genelleştirilmiş etkileşim kuralı sonucunda,

BC

iki yönlü etkileşimi de bloklarla karışmıştır ve net olarak tahmin edilemez.

Seçilen karıştırılmış etkileşimlerdeki ortak faktörler olan

A

ve

D

ana etkileri de temel düzeyde blok etkisiyle otomatik olarak karışmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tasarımın yapısı gereği genelleştirilmiş etkileşim kuralı sonucunda, $BC$ iki yönlü etkileşimi de bloklarla karışmıştır ve net olarak tahmin edilemez.

Cevap

Deney tasarımında genelleştirilmiş etkileşim (generalized interaction) kuralı gereği, seçilen iki etkinin çarpımı olan

BC

iki yönlü etkileşimi de bloklarla karışmıştır ve bağımsız olarak tahmin edilemez.

2^k

faktöriyel tasarımlarda, deneyi

2^p

blokta yürütmek için

p

adet bağımsız etki seçilmelidir. Bu seçim sonucunda, seçilen etkilerin kendi aralarındaki genelleştirilmiş etkileşimleri de (çarpımları) bloklarla karışır.

ABD

ve

ACD

etkileşimleri seçildiğinde, modulo 2 aritmetiğine göre çarpımları alınır (

ABD \times ACD = A^2 B C D^2

). Çift dereceli kuvvetler (

A^2

ve

D^2

) etkisiz eleman (

I

) olacağından, geriye sadece

BC

kalır. Bu durum,

BC

iki yönlü etkileşiminin de bloklarla karıştığını ve tek başına tahmin edilemeyeceğini gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarımın temel özelliklerini belirle.

2^4

faktöriyel tasarım ve 4 blok (

2^2

) bulunmaktadır. Bu durumda

p=2

adet etki araştırmacı tarafından seçilmelidir.

Bir

2^k

tasarımını

2^p

blokta yürütmek için

p

adet bağımsız jeneratör seçilmesi zorunludur.

2

Karışan etki sayısını hesapla.

Toplam karışan etki sayısı

2^p - 1

kuralına göre

2^2 - 1 = 3

adettir.

Seçilen etkilerin kendi aralarındaki genelleştirilmiş etkileşimleri de doğal olarak bloklarla karışır.

3

Genelleştirilmiş etkileşimi bulmak için seçilen etkileri Modulo 2 aritmetiği ile çarp.

ABD \times ACD = A^1 \cdot A^1 \cdot B^1 \cdot C^1 \cdot D^1 \cdot D^1 = A^2 \cdot B^1 \cdot C^1 \cdot D^2

.

Modulo 2 aritmetiğinde aynı harfin karesi (çift kuvvetleri) etkisiz eleman (

I

) olur.

4

Elde edilen sonucu sadeleştir.

A^2 = I

ve

D^2 = I

olduğundan sonuç

I \cdot B \cdot C \cdot I = BC

olarak bulunur.

Çift kuvvetlerin silinmesiyle geriye kalan harfler, bloklarla karışan üçüncü etkiyi verir. Bu durumda

BC

iki yönlü etkileşimi bağımsızlığını yitirir.

Anahtar Kavram

Genelleştirilmiş Karışma (Generalized Confounding) ve Modulo 2 Çarpımı

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 36Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, "Öğretim Yöntemi" (Geleneksel ve İşbirlikçi) ile "Ders Çalışma Ortamı" (Sessiz ve Müzikli) olmak üzere iki faktörün, öğrencilerin bir konuyu öğrenme süreleri üzerindeki etkisini incelemek amacıyla iki yönlü faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda, öğretim yöntemi ile ders çalışma ortamı arasındaki etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olduğu tespit edilmiştir ( $p < 0,05$ ).

Bu analiz sonucuna göre, araştırmacının ulaşması gereken en doğru yargı aşağıdakilerden hangisidir?

Etkileşim anlamlı bulunduğundan, faktörlerin ortaklaşa etkisinden ziyade her bir faktörün kendi ana etkisine odaklanılmalı ve genel sonuçlar bu yönde yorumlanmalıdır.

Her iki faktör de öğrenme süreleri üzerinde birbirinden tamamen bağımsız, toplanabilir ve düzeylerden etkilenmeyen sabit yönlü etkiler meydana getirmiştir.

Öğretim yönteminin öğrenme süreleri üzerindeki etkisi, ders çalışma ortamının hangi düzeyinde bulunulduğuna bağlı olarak farklılık göstermektedir.

Deneydeki bağımsız değişkenler (faktörler) ile bu değişkenlerin aldığı kategorik değerler (düzeyler) birbirine karıştığı için, elde edilen etkileşim sonucunun pratik bir geçerliliği bulunmamaktadır.

Faktörler arasındaki anlamlı etkileşim, deneyde hesaba katılmayan bir blok değişkeniyle karışma (confounding) problemi yarattığından istatistiksel olarak yok sayılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Öğretim yönteminin öğrenme süreleri üzerindeki etkisi, ders çalışma ortamının hangi düzeyinde bulunulduğuna bağlı olarak farklılık göstermektedir.

Cevap

Öğretim yönteminin öğrenme süreleri üzerindeki etkisi, ders çalışma ortamının hangi düzeyinde bulunulduğuna bağlı olarak farklılık göstermektedir.

Varyans analizinde iki faktör arasındaki etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı çıkması, faktörlerden birinin (öğretim yöntemi) bağımlı değişken (öğrenme süresi) üzerindeki etkisinin, diğer faktörün (ders çalışma ortamı) farklı düzeylerinde aynı kalmadığını, değiştiğini gösterir. Bu durum, faktöriyel tasarımlarda etkileşimin klasik tanımıdır ve bu yargıyı içeren seçenek en doğru ifadedir.

Adım Adım Çözüm

1

Senaryoda verilen varyans analizi (ANOVA) sonucunu incelemek.

Öğretim yöntemi ve ders çalışma ortamı faktörleri arasındaki etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı (

p < 0,05

) olduğu tespit edilir.

Etkileşim etkisinin anlamlılık durumu, faktörlerin ana etkilerinin nasıl yorumlanması gerektiğini doğrudan belirler.

2

Anlamlı etkileşim etkisinin istatistiksel tanımını hatırlamak.

Etkileşim, bir faktörün bağımlı değişken üzerindeki etkisinin yönünün veya büyüklüğünün, diğer faktörün düzeylerine bağlı olarak değişmesi durumudur.

Faktöriyel tasarımların temel mantığı, faktörlerin ortaklaşa etkilerini değerlendirebilmektir.

3

Seçenekleri etkileşim tanımı ile karşılaştırmak.

Etkileşimin anlamlı olması, öğretim yönteminin etkisinin ders çalışma ortamına göre değiştiğini gösteren ifadenin doğru olduğu sonucuna götürür.

Ana etkilerin birbirinden bağımsız olduğu veya etkileşim varken doğrudan yorumlanması gerektiği yönündeki çıkarımlar hatalıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda Etkileşim Etkisi

Soru 37Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, iki farklı öğretim stratejisinin (Strateji: $St_1$ , $St_2$ ) ve üç farklı motivasyon düzeyinin (Motivasyon: $M_1$ -Düşük, $M_2$ -Orta, $M_3$ -Yüksek) öğrencilerin problem çözme başarı puanları üzerindeki etkisini araştırmak için $2 \times 3$ faktöriyel tasarım kurgulamış ve her koşulda eşit sayıda öğrenci ile çalışmıştır. Elde edilen hücre ortalamaları ve marjinal ortalamalar aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Strateji \ Motivasyon	$M_1$ (Düşük)	$M_2$ (Orta)	$M_3$ (Yüksek)	Marjinal Ortalama
$St_1$	40	60	80	60
$St_2$	60	60	60	60
Marjinal Ortalama	50	60	70	Genel Ort. = 60

Yapılan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda Motivasyon faktörünün ana etkisi ve Strateji $\times$ Motivasyon etkileşim etkisi istatistiksel olarak anlamlı ( $p < 0,05$ ), Strateji faktörünün ana etkisi ise anlamsız bulunmuştur.

Bu deneysel sonuçlara göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak en doğru yorumdur?

Öğretim stratejisinin istatistiksel olarak anlamlı bir ana etkisi olmamasına rağmen, motivasyon düzeyindeki değişimin başarı üzerindeki etkisi kullanılan stratejiye göre farklılık gösterdiği için anlamlı bir etkileşim ortaya çıkmıştır ve motivasyonun ana etkisi genellenerek yorumlanmamalıdır.

Motivasyon faktörünün ana etkisi istatistiksel olarak anlamlı bulunduğundan, öğretmen hangi stratejiyi kullanırsa kullansın başarıyı en üst düzeye çıkarmak için her zaman

M_3

(Yüksek) motivasyon düzeyindeki öğrencilere odaklanmalıdır.

Strateji faktörünün marjinal ortalamaları birbirine eşit olduğu ve ana etkisi anlamsız bulunduğu için, öğretim stratejisinin başarı üzerinde hiçbir etkisi olmadığı kanıtlanmıştır ve analiz sadece Motivasyon faktörü üzerinden tekrarlanmalıdır.

Etkileşim etkisinin anlamlı çıkmasının temel nedeni, Strateji faktörünün

M_1

,

M_2

,

M_3

düzeyleri ile Motivasyon faktörünün

St_1

,

St_2

düzeyleri arasındaki eşitsiz dağılımın yarattığı varyans heterojenliğidir.

Modelde etkileşim etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olması, Strateji ve Motivasyon faktörlerine ait kareler toplamlarının birbirinden bağımsız olmamasından ve toplanabilirlik varsayımını ihlal etmesinden kaynaklanmaktadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Öğretim stratejisinin istatistiksel olarak anlamlı bir ana etkisi olmamasına rağmen, motivasyon düzeyindeki değişimin başarı üzerindeki etkisi kullanılan stratejiye göre farklılık gösterdiği için anlamlı bir etkileşim ortaya çıkmıştır ve motivasyonun ana etkisi genellenerek yorumlanmamalıdır.

Cevap

Öğretim stratejisinin ana etkisi olmamasına rağmen motivasyonun etkisinin stratejiye göre değişmesi anlamlı bir etkileşim yaratır ve bu durumda motivasyonun ana etkisi genellenemez.

Verilen tabloda, Strateji 1 kullanıldığında motivasyon seviyesi başarıyı doğrudan ve güçlü şekilde etkilerken (40'tan 80'e), Strateji 2 kullanıldığında motivasyonun başarı üzerinde hiçbir etkisi olmadığı (hep 60) açıkça görülmektedir. Motivasyonun bu 'basit etkisinin' stratejiden stratejiye değişmesi, istatistiksel etkileşimin (interaction) tam tanımıdır. Etkileşim bu kadar bariz ve anlamlı iken, salt motivasyon faktörünün ana etkisine bakarak 'motivasyon her zaman başarıyı artırır' şeklinde bir genelleme yapılamaz. Doğru seçenek, bu durumu istatistiksel terminolojiyle eksiksiz olarak ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Strateji faktörünün ana etkisini analiz et.

St_1

ve

St_2

için marjinal ortalamalar 60'tır (Ana etki yoktur).

Bir faktörün ana etkisi, diğer faktörün düzeylerinden bağımsız olarak kendi marjinal ortalamaları arasındaki farkı yansıtır.

2

Motivasyon faktörünün ana etkisini analiz et.

M_1=50

,

M_2=60

,

M_3=70

şeklindedir (Anlamlı ana etki vardır).

Genel ortalamaya bakıldığında motivasyon arttıkça başarının da arttığı görülmektedir.

3

Hücre ortalamalarındaki basit etkileri (simple effects) incele.

St_1

'de motivasyon arttıkça başarı artmaktadır (40->60->80). Ancak

St_2

'de motivasyonun hiçbir etkisi yoktur (60->60->60).

Bir faktörün etkisi, diğer faktörün hangi düzeyinde olduğumuza göre değişiyorsa etkileşim var demektir.

4

Bulguları sentezleyerek istatistiksel sonucu yorumla.

Etkileşim anlamlı olduğu için, motivasyonun ana etkisi (

M_3

'ün

M_1

'den yüksek olması) yanıltıcıdır ve her iki strateji için genel bir kural olarak yorumlanamaz.

Ana etkiler, etkileşim anlamlı olduğunda her zaman bağımsız olarak yorumlanamaz; çünkü faktörler ortaklaşa bir davranış sergilemektedir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Etkileşim ve Ana Etki Yorumlaması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 38Soru →

Bir malzeme bilimi uzmanı, yeni nesil bir seramik kompozitin dayanımını artırmak amacıyla 3 faktörlü (Fırınlama Sıcaklığı, Soğuma Hızı ve Katkı Oranı) ve her bir faktörün 3 düzeyde ele alındığı bir $3^3$ faktöriyel tasarım gerçekleştirmiştir. Uzman, nicel bir değişken olan 'Fırınlama Sıcaklığı' faktörünün ana etkisini doğrusal ve kuadratik bileşenlerine ayırarak incelemek ve 'Fırınlama Sıcaklığı' ile 'Soğuma Hızı' faktörleri arasındaki iki yönlü etkileşimin modele katkısını analiz etmek istemektedir.

Buna göre, varyans analizi (ANOVA) tablosunda 'Fırınlama Sıcaklığı' faktörünün kuadratik bileşenine ve bu iki faktör arasındaki iki yönlü etkileşime (Fırınlama Sıcaklığı $\times$ Soğuma Hızı) ait serbestlik dereceleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

2 ve 4

1 ve 1

3 ve 9

1 ve 4

2 ve 8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1 ve 4

Cevap

Sıcaklık faktörünün kuadratik bileşeninin serbestlik derecesi 1, Sıcaklık ve Soğuma Hızı arasındaki iki yönlü etkileşimin serbestlik derecesi ise 4'tür.

3^k

faktöriyel tasarımlarında her faktör 3 düzeyli olduğu için her bir ana etkinin toplam serbestlik derecesi

3-1=2

'dir. Faktörler nicel olduğunda bu 2 serbestlik derecesi, ortogonal polinomlar yardımıyla doğrusal (lineer) ve kuadratik (ikinci dereceden) olmak üzere her biri 1 serbestlik derecesine sahip iki bağımsız bileşene ayrılabilir. Dolayısıyla Fırınlama Sıcaklığı faktörünün kuadratik bileşeninin serbestlik derecesi 1'dir. İki faktörlü (iki yönlü) etkileşimin serbestlik derecesi ise bu iki faktörün serbestlik derecelerinin doğrudan çarpımına eşittir:

(3-1) \times (3-1) = 2 \times 2 = 4

. Bu nedenle doğru yanıt sırasıyla 1 ve 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir ana etkinin toplam serbestlik derecesini hesapla.

3^k

tasarımında her faktör 3 düzeyli olduğundan, her bir ana etkinin serbestlik derecesi

3 - 1 = 2

'dir.

Varyans analizinde bir faktörün serbestlik derecesi düzey sayısının bir eksiği olarak bulunur.

2

Ana etkinin kuadratik bileşeninin serbestlik derecesini bul.

2 serbestlik derecesine sahip nicel ana etki, 1 serbestlik dereceli doğrusal ve 1 serbestlik dereceli kuadratik bileşenlere ayrılır. Kuadratik bileşen = 1 sd.

Nicel faktörlerde polinomsal eğilimler incelenirken toplam serbestlik derecesi her biri 1 sd olan bağımsız bileşenlere (doğrusal, kuadratik vb.) parçalanır.

3

İki yönlü etkileşimin serbestlik derecesini hesapla.

İki yönlü etkileşimin serbestlik derecesi, ilgili faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımıdır:

2 \times 2 = 4

.

Etkileşim serbestlik dereceleri, etkileşime giren faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpılması kuralı ile elde edilir.

Anahtar Kavram

3^k Faktöriyel Tasarımlarda Serbestlik Derecesi ve Bileşenlere Ayırma

Soru 39Soru →

Bir biyoteknoloji araştırmacısı, mikroalglerden lipid üretim verimini optimize etmek amacıyla; Işık Şiddeti ( $A$ ), Sıcaklık ( $B$ ), pH ( $C$ ) ve Azot Derişimi ( $D$ ) olmak üzere dört nicel faktörün etkisini inceleyeceği bir $3^4$ tam faktöriyel deney planlamıştır. Deney, her bir muamele kombinasyonu için 2 tam tekrar (replikasyon) içerecek şekilde tamamen rastgele tasarıma uygun olarak yürütülmüştür.

Araştırmacı, deney sonucunda elde edilecek varyans analizi (ANOVA) tablosunda faktörlerin ana etkilerini ve etkileşimlerini doğrusal (L) ve kuadratik (Q) bileşenlerine ayırarak daha detaylı bir inceleme yapmayı hedeflemektedir. Özellikle Işık Şiddeti faktörünün doğrusal bileşeni ile Sıcaklık faktörünün kuadratik bileşeninin ortaklaşa etkisini ( $A_L B_Q$ ) modelde izole edecektir.

Buna göre, kurulacak varyans analizi tablosunda sırasıyla; İşlemler (Muameleler) serbestlik derecesi, ** $A_L B_Q$ etkileşim bileşeninin serbestlik derecesi ve Hata serbestlik derecesi** aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

80, 4, 81

81, 2, 80

80, 1, 81

80, 2, 161

15, 1, 16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80, 1, 81

Cevap

Sırasıyla hesaplamalar doğru yapıldığında değerler 80, 1 ve 81 olmalıdır.

Varyans analizi tablosunda işlemler serbestlik derecesi toplam muamele sayısının bir eksiğidir (

3^4 - 1 = 80

).

3^k

tasarımlarında her bir ana etkinin doğrusal ve kuadratik bileşenleri 1'er serbestlik derecesine sahiptir; bu nedenle

A_L B_Q

bileşeninin serbestlik derecesi iki bileşenin çarpımı ile

1 \times 1 = 1

olur. Son olarak Hata serbestlik derecesi, toplam gözlem sayısından (

81 \times 2 = 162

) muamele sayısının (81) çıkarılmasıyla

162 - 81 = 81

olarak bulunur. Formülle hesaplandığında ise

v(n-1) = 81(2-1) = 81

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İşlemler (Muameleler) serbestlik derecesinin hesaplanması.

Tasarımda 4 faktör (

k=4

) ve her faktörün 3 düzeyi olduğu için toplam muamele sayısı

v = 3^4 = 81

'dir. İşlemler serbestlik derecesi

v - 1 = 81 - 1 = 80

olarak bulunur.

Varyans analizinde genel modelin işlem serbestlik derecesi her zaman toplam bağımsız muamele sayısının bir eksiğidir.

2

A_L B_Q

etkileşim bileşeninin serbestlik derecesinin belirlenmesi.

Ana etkiler (

A, B

) 2 serbestlik derecesine sahiptir ve doğrusal (1 SD) ile kuadratik (1 SD) bileşenlere ayrılır.

A

ve

B

arasındaki ana etkileşim (

2 \times 2 = 4

SD), dört adet ortogonal alt bileşene (

A_L B_L, A_L B_Q, A_Q B_L, A_Q B_Q

) ayrılır. Dolayısıyla

A_L B_Q

bileşeninin serbestlik derecesi

1 \times 1 = 1

'dir.

3^k

tasarımlarında etkileşim bileşenlerinin serbestlik derecesi, kendisini oluşturan temel bileşenlerin serbestlik derecelerinin çarpımı ile elde edilir.

3

Hata serbestlik derecesinin hesaplanması.

Deneyde 2 tekrar (

n=2

) olduğundan toplam gözlem sayısı

N = 81 \times 2 = 162

'dir. Toplam SD =

162 - 1 = 161

'dir. Hata SD = Toplam SD - İşlemler SD =

161 - 80 = 81

'dir. (Veya doğrudan formül ile

v(n-1) = 81(2-1) = 81

hesaplanabilir).

Hata varyansının serbestlik derecesi, her bir muamele içindeki tekrarların sağladığı serbestlik derecelerinin grup bazında toplanmasından (

v(n-1)

) elde edilir.

Anahtar Kavram

3^k

faktöriyel tasarımlarda serbestlik derecelerinin parçalanması ve etkileşim bileşenlerinin (doğrusal, kuadratik) ayrıştırılması.

Soru 40Soru →

Bir bakanlıkta görevli uzman, hizmet içi eğitim alan personelin yıl sonu performans puanlarını incelemek üzere, hücre başına eşit sayıda gözlem içeren iki yönlü bir varyans analizi planlamıştır. Araştırmada Türkiye genelindeki eğitim merkezleri arasından $a = 4$ farklı merkez rastgele seçilmiş (Faktör A, şansa bağlı faktör) ve personele uygulanan $b = 3$ farklı eğitim modülü (Faktör B, sabit faktör) teste tabi tutulmuştur. Her bir merkez ve modül kombinasyonunda $n = 5$ personelin performansı kaydedilmiştir.

Kısıtlı karma model (restricted mixed model) varsayımları dikkate alındığında, eğitim modüllerinin (Faktör B) temel etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için Beklenen Kareler Ortalaması (E(KO)) kurallarına göre oluşturulacak doğru $F$ test istatistiği ve bu istatistiğin paydasının serbestlik derecesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

, payda serbestlik derecesi

= 6

F = \frac{KO_B}{KO_{Hata}}

, payda serbestlik derecesi

= 48

F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}

, payda serbestlik derecesi

= 12

F = \frac{KO_{AB}}{KO_{Hata}}

, payda serbestlik derecesi

= 48

F = \frac{KO_B}{KO_A}

, payda serbestlik derecesi

= 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = \frac{KO_B}{KO_{AB}}$ , payda serbestlik derecesi $= 6$

Cevap

Doğru test istatistiği F = KO_B / KO_{AB} şeklindedir ve bu testin paydasındaki serbestlik derecesi 6'dır.

Kısıtlı karma model varsayımları altında, sabit bir faktörün (Faktör B) temel etkisi test edilirken F oranının paydasında o faktörün şansa bağlı faktörle yaptığı etkileşimin kareler ortalaması (

KO_{AB}

) yer almalıdır. Bunun nedeni E(KO) kuralları gereği E(KO_B)'nin içinde etkileşim varyansı bileşeninin bulunmasıdır. Etkileşimin serbestlik derecesi ise

(a-1)(b-1)

kuralıyla

(4-1)(3-1) = 6

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırma tasarımı ve faktör özelliklerini belirlemek.

İki yönlü karma model (Faktör A şansa bağlı/rastgele, Faktör B sabit). Düzey sayıları: a=4, b=3 ve hücre başına tekrar sayısı n=5.

Hangi Beklenen Kareler Ortalaması kuralının işletileceğini saptamak için modelin yapısı bilinmelidir.

2

Faktör B (Sabit Faktör) için Beklenen Kareler Ortalamasını (E(KO)) yazmak.

Kısıtlı karma modelde, E(KO_B) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB} + \frac{na\sum\beta_j^2}{b-1} şeklindedir.

F testinde kullanılacak payda, test edilmek istenen asıl etki (sabit etki bileşeni) dışındaki tüm varyans bileşenlerini tam olarak içermelidir.

3

E(KO_B) ifadesini izole edecek uygun paydayı belirlemek.

E(KO_B) içinde hem hata varyansı (\sigma^2) hem de etkileşim varyansı (n\sigma^2_{AB}) bulunur. Etkileşimin beklenen kareler ortalaması E(KO_{AB}) = \sigma^2 + n\sigma^2_{AB}'dir. Dolayısıyla doğru payda KO_{AB} olmalıdır.

Sıfır hipotezi (Faktör B'nin etkisi yoktur) doğru olduğunda, pay ve paydanın beklenen değerlerinin eşit olması (oranın 1'e yaklaşması) F testinin temel mantığıdır.

4

Paydadaki varyans kaynağının (Etkileşim - AB) serbestlik derecesini hesaplamak.

sd_{AB} = (a - 1) \times (b - 1) formülü uygulanır. sd_{AB} = (4 - 1) \times (3 - 1) = 3 \times 2 = 6 olarak bulunur.

Test istatistiğinin dağılımını belirlemek için paydanın serbestlik derecesine ihtiyaç vardır.

Anahtar Kavram

İki yönlü kısıtlı karma modellerde E(KO) kurallarına göre F istatistiğinin belirlenmesi.

Faktöriyel Tasarımlar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap