Olasılık Teorisi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir üniversitenin biyoistatistik araştırmalarında görevli bir veri bilimci, genetik faktörler ( $A$ , $B$ , $C$ ) ve biyolojik ölçümler ( $X$ , $Y$ ) arasındaki ilişkileri modellerken aşağıdaki teorik varsayımları listelemiştir:

I. Ortaya çıkma olasılıkları sıfırdan farklı olan $A$ ve $B$ genetik faktörleri ayrık (birbirini dışlayan) olaylar ise, bu faktörler istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır.
II. $X$ ve $Y$ biyolojik ölçümlerini temsil eden rastgele değişkenler arasındaki kovaryans sıfır olarak hesaplanmışsa, bu iki değişken kesinlikle bağımsızdır.
III. $A$ , $B$ ve $C$ faktörlerinin karşılıklı (mutually) bağımsız olduğunu söyleyebilmek için sadece $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ eşitliği yeterli değildir; aynı zamanda her bir faktör çiftinin ikişerli (pairwise) bağımsız olması da zorunludur.

Buna göre, veri bilimcinin listelediği varsayımlardan hangisi veya hangileri teorik olarak kesinlikle doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

Yalnız III

I ve II

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Sadece üçüncü ifade kesinlikle doğrudur (Yalnız III).

Verilen öncüller arasında yalnızca üçüncü öncül matematiksel olarak doğrudur. Karşılıklı bağımsızlık tanımı gereği, bir olay grubunun karşılıklı bağımsız olabilmesi için hem grubun tamamının kesişim olasılığı kuralına uyması hem de kendi içindeki tüm alt kümelerin (ikili, üçlü vb.) bağımsızlık kuralını sağlaması zorunludur. Dolayısıyla yalnızca Yalnız III ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

I. ifadeyi değerlendir.

P(A) > 0

ve

P(B) > 0

olan ayrık olaylar için

P(A \cap B) = 0

'dır.

P(A)P(B) > 0

olduğundan

P(A \cap B) \neq P(A)P(B)

olur ve olaylar bağımlıdır. Birinci ifade yanlıştır.

2

II. ifadeyi değerlendir.

Kovaryansın sıfır olması, değişkenler arasında yalnızca doğrusal (lineer) bir ilişki olmadığını gösterir.

Doğrusal olmayan yapısal bağımlılıklar söz konusu olabileceğinden, sıfır kovaryans kesin bağımsızlık anlamına gelmez. İkinci ifade yanlıştır.

3

III. ifadeyi değerlendir.

Üç olayın karşılıklı bağımsız olabilmesi için genel kesişim kuralı tek başına yeterli değildir.

Olayların kendi aralarındaki tüm alt ikili kombinasyonların da ikişerli (pairwise) bağımsızlık kuralını (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

vb.) sağlaması şarttır. Üçüncü ifade kesinlikle doğrudur.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık, Ayrıklık ve Kovaryans İlişkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 22Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) denetim biriminde, işyeri sicil dosyalarının incelenmesi sırasında karşılaşılan 'kayıt dışı istihdam tespiti' ( $A$ olayı) ile 'eksik prim ödemesi' ( $B$ olayı) durumlarının istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olduğu ve her iki olayın da gerçekleşme olasılığının sıfırdan büyük olduğu ( $P(A) > 0, P(B) > 0$ ) saptanmıştır. Raporda ayrıca, bu denetimlerde harcanan süreleri temsil eden $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryansın sıfır ( $Cov(X,Y) = 0$ ) olduğu belirtilmiştir.

Olasılık teorisi kavramları dikkate alındığında, bu istatistiksel modelle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A

ve

B

olaylarının olasılıkları sıfırdan büyük ve bu olaylar bağımsız olduğundan, söz konusu iki olay kesinlikle ayrık (ayrışık) olaylar değildir.

A

ve

B

olayları birbirinden bağımsız kabul edildiği için, incelenen bir dosyada her iki usulsüzlüğün aynı anda tespit edilme olasılığı sıfırdır.

X

ve

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans sıfır olarak hesaplandığından, bu iki değişken birbirinden kesinlikle bağımsızdır.

B

olayı tespit edildiğinde

A

'nın da gerçekleşme olasılığını ifade eden

P(A|B)

değeri hesaplanırken, iki olayın kesişim olasılığı kural gereği doğrudan

P(A)

değerine bölünmelidir.

Bu iki olaydan en az birinin tespit edilme olasılığı olan

P(A \cup B)

, olaylar bağımsız olduğundan doğrudan

P(A) + P(B)

formülü ile hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $A$ ve $B$ olaylarının olasılıkları sıfırdan büyük ve bu olaylar bağımsız olduğundan, söz konusu iki olay kesinlikle ayrık (ayrışık) olaylar değildir.

Cevap

Sıfırdan büyük olasılıklı iki bağımsız olayın kesişim olasılığı da sıfırdan büyük olacağı için bu olaylar ayrık olamazlar seçeneği doğrudur.

İki olayın bağımsız olması, bu olayların kesişim (birlikte gerçekleşme) olasılığının, kendi marjinal olasılıklarının çarpımına eşit olması demektir (

P(A \cap B) = P(A)P(B)

). Soru metninde olayların olasılıklarının sıfırdan büyük olduğu (

P(A)>0

ve

P(B)>0

) verilmiştir. Bu durumda iki pozitif değerin çarpımı da daima sıfırdan büyük olmak zorundadır (

P(A \cap B) > 0

). Birbiriyle ayrık (mutually exclusive) olan olayların ise ortak hiçbir noktası bulunmadığından kesişim olasılıkları mutlak sıfırdır. Kesişim olasılığı sıfırdan büyük olarak hesaplanan bu iki olayın ayrık olması matematiksel olarak imkânsızdır.

Adım Adım Çözüm

1

A

ve

B

olaylarının bağımsızlık tanımını ve ayrıklık şartını matematiksel olarak ifade edin.

Bağımsızlık şartı:

P(A \cap B) = P(A)P(B)

. Ayrıklık şartı:

P(A \cap B) = 0

.

Olayların özelliklerini birbiriyle kıyaslayabilmek ve yorum yapabilmek için teorik tanımlara ihtiyaç vardır.

2

Verilen

P(A) > 0

ve

P(B) > 0

koşullarını bağımsızlık formülünde yerine koyarak kesişim olasılığını inceleyin.

İki pozitif sayının çarpımı her zaman pozitif olacağından,

P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0

sonucu elde edilir.

Olayların aynı anda gerçekleşip gerçekleşemeyeceğini belirlemek için kesişim olasılığının sıfır olup olmadığı test edilmelidir.

3

Bulunan kesişim olasılığını ayrıklık tanımıyla karşılaştırarak yorumlayın.

P(A \cap B) > 0

olduğu için olaylar aynı anda gerçekleşebilir, yani ayrık (kesişimleri boş küme) değildirler.

Bağımsız ve sıfırdan büyük olasılığa sahip olayların teorik olarak neden ayrık olamayacağını ispatlamak için.

4

Kovaryans ve bağımsızlık ilişkisini değerlendirerek çeldiricileri eleyin.

Cov(X,Y) = 0

olması değişkenlerin doğrusal bağımlı olmadığını gösterir, ancak bu durum onların kesinlikle bağımsız olduğu anlamına gelmez.

Kovaryans ve bağımsızlık kavramları arasındaki tek yönlü ilişkiyi hatırlayarak hatalı çıkarımları tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık ve Ayrıklık (Disjoint) Kavramlarının Teorik İlişkisi

Soru 23Soru →

Bir tarım il müdürlüğünde seralardaki mahsul kalitesini olumsuz etkileyen üç farklı bitki hastalığı ( $H_1$ , $H_2$ ve $H_3$ ) araştırılmaktadır. Bir serada bu hastalıkların görülme durumu sırasıyla $X$ , $Y$ ve $Z$ Bernoulli (gösterge) rastgele değişkenleriyle modellenmiştir ( $1$ : hastalık var, $0$ : hastalık yok).

Saha araştırmalarından elde edilen istatistiksel sonuçlar şöyledir:
- $H_1$ ve $H_2$ hastalıkları aynı serada eş zamanlı olarak hiç görülmemektedir (ayrık olaylar).
- $H_1$ ile $H_3$ ve $H_2$ ile $H_3$ hastalıklarının görülme durumları istatistiksel olarak birbirinden tamamen bağımsızdır.
- Her üç hastalığın da tek başına görülme olasılığı sıfırdan farklıdır ( $P(H_i) > 0, \text{ } i=1,2,3$ ).

Verilen bu modele göre, değişkenlerin olasılık ve kovaryans yapılarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

H_1

ve

H_2

olayları ayrık oldukları için

X

ve

Y

değişkenleri bağımsız değildir ve aralarındaki kovaryans negatiftir (

\text{Cov}(X,Y) < 0

).

H_1

ve

H_2

olayları ayrık (kesişimi boş küme) olduklarından istatistiksel olarak da bağımsızdırlar; bu nedenle

\text{Cov}(X,Y) = 0

'dır.

Sisteme eklenecek sürekli bir

T

sıcaklık değişkeni ile

X

arasındaki kovaryansın sıfır (

\text{Cov}(X,T)=0

) çıkması, sıcaklık ile

H_1

hastalığının kesinlikle bağımsız olduğunu kanıtlar.

H_3

hastalığının görüldüğü bilinen bir serada

H_1

'in de görülme olasılığı olan

P(H_1 \mid H_3)

, koşullu olasılık tanımı gereği

\frac{P(H_1 \cap H_3)}{P(H_1)}

formülüyle hesaplanır.

X

ve

Y

rastgele değişkenlerinin çarpımının beklenen değeri, değişkenlerin bağımlılık durumuna bakılmaksızın her zaman

E[X \cdot Y] = E[X] \cdot E[Y]

eşitliğini sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $H_1$ ve $H_2$ olayları ayrık oldukları için $X$ ve $Y$ değişkenleri bağımsız değildir ve aralarındaki kovaryans negatiftir ( $\text{Cov}(X,Y) < 0$ ).

Cevap

Ayrık (kesişimi olmayan) olaylar bağımsız değildir ve kovaryansları daima negatiftir ifadesi doğrudur.

Verilen senaryoda

H_1

ve

H_2

olayları aynı anda gerçekleşemez (ayrıktır), dolayısıyla kesişimlerinin olasılığı sıfırdır. Bağımsızlık şartı olan

P(H_1 \cap H_2) = P(H_1)P(H_2)

denkleminin sağ tarafı iki pozitif sayının çarpımı olduğundan pozitif çıkar. Sol taraf sıfır, sağ taraf pozitif olduğundan eşitlik sağlanamaz ve olaylar istatistiksel olarak bağımlı kabul edilir. İndikatör değişkenler için kovaryans

\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - P(H_1)P(H_2)

olarak hesaplanır. Marjinal olasılıklar sıfırdan büyük olduğu için bu işlemin sonucu her zaman negatif olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

H_1

ve

H_2

olaylarının kesişim olasılığını belirleme

H_1 \cap H_2 = \emptyset

olduğundan

P(H_1 \cap H_2) = 0

bulunur.

Soruda bu iki hastalığın eş zamanlı olarak hiç görülmediği, yani ayrık olaylar olduğu verilmiştir.

2

H_1

ve

H_2

olaylarının istatistiksel bağımsızlığını test etme

P(H_1) > 0

ve

P(H_2) > 0

olduğundan,

P(H_1)P(H_2) > 0

elde edilir.

0 \neq P(H_1)P(H_2)

olduğu için bu olaylar bağımlıdır.

Bağımsızlık tanımına göre iki olayın bağımsız olabilmesi için kesişimlerinin olasılığının, marjinal olasılıkların çarpımına eşit olması zorunludur.

3

X

ve

Y

indikatör değişkenleri arasındaki kovaryansı hesaplama

\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = P(H_1 \cap H_2) - P(H_1)P(H_2) = 0 - P(H_1)P(H_2)

. Sonuç negatiftir.

İndikatör değişkenlerin çarpımının beklenen değeri, temsil ettikleri olayların kesişim olasılığına eşittir. Negatif sonuç, değişkenlerin ters yönde ilişkili (biri varken diğeri yok) olduğunu matematiksel olarak kanıtlar.

Anahtar Kavram

Ayrık Olaylar ve Bağımsızlık İlişkisi ile Kovaryans

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 24Soru →

Kültür ve Turizm Bakanlığı, tarihi bir kazı alanında yürütülecek envanter çalışması için $5$ arkeolog ve $4$ sanat tarihçisi arasından $3$ kişilik bir uzman heyeti görevlendirecektir.

Oluşturulacak bu heyette en az $1$ sanat tarihçisinin bulunması zorunludur.

Buna göre, bu heyet kaç farklı biçimde oluşturulabilir?

40

74

84

112

444

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $74$

Cevap

Heyette en az

1

sanat tarihçisinin bulunduğu durumların sayısı

74

'tür.

Doğru sonuca ulaşmak için tüm olası seçim durumlarından istenmeyen durumu çıkarmak en güvenli yoldur. Toplam

9

kişiden oluşturulabilecek

3

kişilik grupların tamamı

\binom{9}{3} = 84

'tür. İstenmeyen durum, heyette hiç sanat tarihçisi olmaması, yani tüm üyelerin

5

arkeolog arasından seçilmesidir; bu da

\binom{5}{3} = 10

'dur. Tüm durumlardan istenmeyen durum çıkarıldığında (

84 - 10

) doğru cevap

74

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıtlama olmaksızın oluşturulabilecek tüm

3

kişilik heyetlerin sayısını hesapla.

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

farklı heyet oluşturulabilir.

Tümleyici olay yöntemini kullanabilmek için öncelikle örnek uzayın tamamının büyüklüğünü bilmemiz gerekir.

2

İstenmeyen durum olan 'hiç sanat tarihçisi içermeyen' (sadece arkeologlardan oluşan) heyetlerin sayısını hesapla.

Sadece

5

arkeolog arasından

3

kişi seçilir:

\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

heyet.

İstenen koşul 'en az

1

sanat tarihçisi' olduğundan, bunun tersi olan 'hiç sanat tarihçisi olmaması' durumu daha kolay hesaplanıp tüm durumlardan çıkarılabilir.

3

Tüm heyetlerin sayısından, istenmeyen heyetlerin sayısını çıkararak sonuca ulaş.

84 - 10 = 74

farklı heyet oluşturulabilir.

Kombinasyon problemlerinde 'en az' ifadeleri geçtiğinde tümleyen mantığı ile (Tümü - İstenmeyen) işlemi yapmak daha pratik ve hatasız bir çözümdür.

Anahtar Kavram

Kombinasyon, Seçme Kuralları ve Tümleyen (Tamamlayıcı) Olay Mantığı

Soru 25Soru →

Bir Tarım İl Müdürlüğü kayıtlarına göre, belirli bir bölgedeki tarımsal işletmelerin $\%40$ 'ı sera, $\%40$ 'ı açık tarla ve $\%20$ 'si meyve bahçesi statüsündedir. Müdürlük tarafından gerçekleştirilen rutin denetimler sonucunda; seraların $\%5$ 'inde, açık tarlaların $\%10$ 'unda ve meyve bahçelerinin $\%15$ 'inde iyi tarım standartlarına aykırılık tespit edilmiştir.

Buna göre, denetimler sonucunda standartlara aykırı faaliyet gösterdiği tespit edilen işletmeler arasından rastgele seçilen bir işletmenin açık tarla statüsünde olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{25}

\frac{1}{10}

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

\frac{4}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{9}$

Cevap

\frac{4}{9}

İstenen durum, rastgele seçilen aykırı bir işletmenin açık tarla olmasıdır. Bu, Bayes Teoremi gerektiren bir koşullu olasılık problemidir (

P(A|I)

). Öncelikle toplam aykırılık (ihlal) olasılığı hesaplanır:

P(I) = P(S)P(I|S) + P(A)P(I|A) + P(M)P(I|M) = 0.02 + 0.04 + 0.03 = 0.09

. Daha sonra ilgilenilen durumun kesişim olasılığı, toplam olasılığa bölünür:

P(A|I) = \frac{0.04}{0.09} = \frac{4}{9}

.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımla.

S

: Sera (

P(S)=0.40

),

A

: Açık Tarla (

P(A)=0.40

),

M

: Meyve Bahçesi (

P(M)=0.20

). İhlal durumu

I

olsun.

P(I|S)=0.05

,

P(I|A)=0.10

,

P(I|M)=0.15

.

Bayes Teoremi'ni kullanabilmek için probleme ait önsel ve koşullu olasılıkların formülize edilmesi gerekir.

2

Toplam Olasılık Teoremi'ni kullanarak herhangi bir işletmenin aykırı faaliyet gösterme olasılığını (

P(I)

) hesapla.

P(I) = (0.40 \times 0.05) + (0.40 \times 0.10) + (0.20 \times 0.15) = 0.02 + 0.04 + 0.03 = 0.09

Koşullu olasılık formülünün paydasını oluşturacak olan 'toplam ihlal' ihtimalini bulmak gereklidir.

3

Bayes Teoremi'ni kullanarak aykırılık gösterdiği bilinen işletmenin açık tarla olma olasılığını (

P(A|I)

) hesapla.

P(A|I) = \frac{P(A \cap I)}{P(I)} = \frac{0.04}{0.09} = \frac{4}{9}

İstenen olasılık, 'Açık Tarla ve İhlal' kesişim olasılığının, 'Toplam İhlal' olasılığına oranıdır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık

Soru 26Soru →

Bir bölgede belirli bir bulaşıcı hastalığın görülme oranı %5 olarak saptanmıştır. Bu hastalığın tespiti için geliştirilen iki farklı tarama testi, kişilerin hastalık durumları (hasta olup olmamaları) bilindiğinde birbirinden bağımsız olarak sonuç üretmektedir.

- Birinci testin, hastaları doğru teşhis etme olasılığı %80, sağlıklı kişilere yanlışlıkla pozitif sonuç verme olasılığı %10'dur.
- İkinci testin, hastaları doğru teşhis etme olasılığı %90, sağlıklı kişilere yanlışlıkla pozitif sonuç verme olasılığı %20'dir.

Rastgele seçilen bir kişiye bu iki test aynı anda uygulanmış ve her iki testin de sonucu pozitif çıkmıştır.

Buna göre, bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?

\frac{36}{37}

\frac{9}{14}

\frac{36}{55}

\frac{18}{25}

\frac{9}{250}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{36}{55}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{36}{55}

seçeneğidir. Bayes Teoremi ve koşullu bağımsızlık özelliklerinden yararlanarak her iki testin de pozitif çıktığı durumun koşullu olasılığı doğru şekilde elde edilir.

Soruda her iki testin pozitif çıktığı bilindiğine göre, kişinin hasta olma koşullu olasılığı Bayes Teoremi ile hesaplanmalıdır. İstenen değer

P(H | T_1 \cap T_2)

'dir. Formülde pay kısmı, kişinin hasta olması ve her iki testin pozitif çıkması durumudur:

P(T_1 \cap T_2 | H) \cdot P(H) = 0,80 \cdot 0,90 \cdot 0,05 = 0,036

. Payda kısmı ise toplam olasılıktır: Hasta olup testleri pozitif çıkanlar (

0,036

) ile Sağlıklı olup testleri pozitif çıkanların (Yanlış Pozitif) toplamıdır. Yanlış pozitif kısmı

P(T_1 \cap T_2 | H') \cdot P(H') = 0,10 \cdot 0,20 \cdot 0,95 = 0,019

olarak hesaplanır. Toplam olasılık

0,036 + 0,019 = 0,055

olur. İki değer birbirine oranlandığında

\frac{0,036}{0,055} = \frac{36}{55}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve olasılıklarını matematiksel sembollerle tanımlayın.

H

: Hasta,

P(H) = 0,05

,

P(H') = 0,95

.

T_1, T_2

: Testlerin pozitif çıkması.

Sözel problemi olasılık modeline dökmek karmaşıklığı giderir.

2

Hastalık durumuna göre her iki testin aynı anda pozitif çıkma olasılıklarını (koşullu bağımsızlığı kullanarak) hesaplayın.

P(T_1 \cap T_2 | H) = 0,80 \cdot 0,90 = 0,72

ve

P(T_1 \cap T_2 | H') = 0,10 \cdot 0,20 = 0,02

.

Testlerin, hastalığın varlığı veya yokluğu bilindiğinde birbirinden bağımsız sonuç ürettiği soruda belirtilmiştir.

3

Toplam olasılık teoremi ile rastgele bir kişinin iki testten de pozitif sonuç alma olasılığını (paydayı) bulun.

P(T_1 \cap T_2) = P(T_1 \cap T_2 | H) \cdot P(H) + P(T_1 \cap T_2 | H') \cdot P(H') = (0,72 \cdot 0,05) + (0,02 \cdot 0,95) = 0,036 + 0,019 = 0,055

.

Bayes Teoremi'nin paydasını oluşturan tüm olası senaryoları birleştirmek gereklidir.

4

Bayes Teoremi'ni uygulayarak iki pozitif test sonucuna sahip kişinin gerçekten hasta olma olasılığını hesaplayın.

P(H | T_1 \cap T_2) = \frac{0,036}{0,055} = \frac{36}{55}

.

Elde edilen yeni bilgi (

T_1 \cap T_2

) ışığında ilk baştaki hastalık olasılığını (

H

) güncellemek için Bayes Teoremi şarttır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi, Koşullu Bağımsızlık ve Toplam Olasılık

Soru 27Soru →

Bir kamu bankasının teftiş kurulu başkanlığı, $4$ başmüfettiş ve $6$ müfettiş yardımcısından oluşan bir personel havuzundan, kapsamlı bir şube denetimi için $3$ kişilik bir denetim ekibi görevlendirecektir.

Bu denetim ekibinin oluşturulmasında aşağıdaki kurallara uyulacaktır:
- Ekipte $1$ kişi 'ekip başkanı', diğer $2$ kişi ise aralarında statü farkı olmaksızın 'ekip üyesi' olarak görev yapacaktır.
- Ekip başkanı mutlaka başmüfettişler arasından seçilmelidir.
- Ekip üyeleri, kalan başmüfettişler veya müfettiş yardımcıları arasından seçilebilir.

Buna göre, bu denetim ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

60

120

144

180

288

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Ekip başkanı seçimi için 4 seçenek vardır, kalan adaylardan 2 üye seçimi için ise kombinasyon uygulandığında sonuç 144 bulunur.

Doğru yanıt olan 144 değeri iki ardışık adımda elde edilir. Birinci adımda, ekip başkanının zorunlu olarak başmüfettişlerden seçilmesi kuralı gereğince

C(4,1) = 4

seçenek belirlenir. İkinci adımda, kalan

3

başmüfettiş ve

6

müfettiş yardımcısından oluşan

9

kişilik havuzdan sırasız

2

üye

C(9, 2) = 36

farklı şekilde seçilir. Ardışık bu iki işlemin saymanın temel ilkesiyle çarpılmasıyla toplam farklı görevlendirme sayısı

4 \times 36 = 144

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ekip başkanının kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplayınız.

Başkan mutlaka başmüfettiş olacağı için

C(4,1) = 4

farklı seçenek vardır.

Belirli bir kısıta sahip (sadece başmüfettiş) tek kişilik özel bir pozisyon için seçim yapıyoruz.

2

Kalan aday havuzunun mevcudunu belirleyiniz.

Havuzdaki toplam kişi sayısı

10

'dur. Seçilen 1 başkan düşüldüğünde geriye

9

kişi (

3

başmüfettiş,

6

müfettiş yardımcısı) kalır.

Aynı personel birden fazla rolde görevlendirilemeyeceğinden, seçilen kişi örneklemden çıkarılmalıdır.

3

Ekip üyelerinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplayınız.

Kalan

9

aday arasından

2

kişi

C(9,2) = \frac{9 \times 8}{2} = 36

farklı şekilde seçilir.

Üyeler arasında herhangi bir statü farkı veya sıralama olmadığı için permütasyon değil, kombinasyon kullanılmalıdır.

4

Saymanın çarpım kuralını uygulayarak toplam kombinasyon sayısını bulunuz.

Başkan seçimi ve üye seçimi ardışık olaylar olduğundan

4 \times 36 = 144

sonucu elde edilir.

Birbiriyle bağlantılı iki farklı seçim sürecinin toplam olasılık uzayını bulmak için olasılık teorisinin temel çarpım ilkesi kullanılır.

Anahtar Kavram

Sayma Kuralları, Permütasyon ve Kombinasyonun Birlikte Kullanımı

Soru 28Soru →

Rekabet Kurumu, büyük çaplı bir şirket birleşmesi işlemini incelemek üzere özel bir denetim komisyonu kuracaktır. Kurumun bu proje için görevlendirebileceği $7$ rekabet başuzmanı ve $4$ bilişim teknolojileri uzmanı bulunmaktadır.

Oluşturulacak komisyon ile ilgili şu kurallar belirlenmiştir:
- Komisyon tam olarak $3$ rekabet başuzmanı ve $2$ bilişim teknolojileri uzmanından oluşacaktır.
- Seçilecek $3$ rekabet başuzmanından biri "Komisyon Başkanı", biri "Başkan Vekili" ve diğeri "Raportör" olarak görevlendirilecektir.
- Seçilecek $2$ bilişim teknolojileri uzmanı ise komisyonda eşit statüde "Üye" olarak yer alacaktır.

Buna göre, bu denetim komisyonu görev dağılımı dikkate alındığında kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

210

216

420

1260

2520

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1260$

Cevap

Komisyon

1260

farklı şekilde oluşturulabilir.

Bu sorunun çözümünde, seçim yapılacak alt grupların görev statüleri belirleyicidir. Başuzmanlar arasından yapılacak

3

kişilik seçimde 'Başkan', 'Başkan Vekili' ve 'Raportör' gibi farklı makamlar bulunduğundan sıralama önemlidir. Bu durum

7

'nin

3

'lü permütasyonu ile

P(7,3) = 210

şeklinde hesaplanır. Bilişim uzmanları ise eşit 'Üye' statüsünde olacağından sıra önemsizdir; bu da

4

'ün

2

'li kombinasyonu ile

C(4,2) = 6

şeklinde hesaplanır. Bir komisyon oluşturmak için bu iki aşama ardışık olarak gerçekleştiğinden, saymanın temel ilkesi gereği elde edilen değerler çarpılır:

210 \times 6 = 1260

.

Adım Adım Çözüm

1

7

başuzman arasından

3

kişinin farklı unvanlarla (Başkan, Başkan Vekili, Raportör) seçilmesi işlemini hesapla.

P(7,3) = \frac{7!}{(7-3)!} = 7 \times 6 \times 5 = 210

farklı durum.

Makam ve görev tanımları farklı olduğu için sıralama (diziliş) önemlidir, bu nedenle permütasyon kullanılır.

2

4

bilişim uzmanı arasından eşit statüde görev yapacak

2

kişinin seçilmesi işlemini hesapla.

C(4,2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

farklı durum.

Kişiler eşit statüde komisyon üyesi olacağından sıralamanın bir önemi yoktur, sadece kimlerin seçildiği önemlidir (kombinasyon).

3

Saymanın temel ilkesi (çarpım kuralı) gereğince, iki bağımsız seçimin olası durumlarını birbiriyle çarp.

210 \times 6 = 1260

Komisyonun tamamlanması için hem başuzmanların hem de bilişim uzmanlarının seçilmesi işlemi birlikte (ve bağlacı ile) gerçekleşmektedir.

Anahtar Kavram

Sıralı seçimlerde (farklı görev atamaları) permütasyon, sırasız seçimlerde (eşit statülü grup oluşturma) kombinasyon kurallarının saymanın temel ilkesi ile birlikte uygulanması.

Soru 29Soru →

Bir kamu kurumunun denetim birimi, incelediği dosyaları A (Yüksek Riskli), B (Orta Riskli) ve C (Düşük Riskli) olmak üzere üç farklı kategoriye ayırmaktadır.

Tüm dosyaların %30'u A, %50'si B ve %20'si C kategorisindedir. Yapılan geçmiş denetimlere göre, bu kategorilerdeki dosyalarda mevzuata aykırılık tespit edilme olasılıkları sırasıyla %10, %4 ve %5 olarak belirlenmiştir.

Rastgele seçilen ve incelenen bir dosyada mevzuata aykırılık tespit edildiği bilindiğine göre, bu dosyanın B (Orta Riskli) kategorisine ait olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{25}

\frac{3}{50}

\frac{4}{19}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{3}$

Cevap

Rastgele seçilen mevzuata aykırı bir dosyanın B (Orta Riskli) kategorisinde olma olasılığı

\frac{1}{3}

tür.

Bayes teoremine göre aranan olasılık

P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)}

bağıntısı ile hesaplanır.

B

kategorisinden gelip aynı zamanda mevzuata aykırı olma olasılığı

0,50 \times 0,04 = 0,02

'dir. Herhangi bir dosyanın aykırı olma toplam olasılığı ise

(0,30 \times 0,10) + (0,50 \times 0,04) + (0,20 \times 0,05) = 0,06

olarak hesaplanır. İlgili kesişim değerinin, toplam olasılık değerine oranlanmasıyla elde edilen sonuç

\frac{0,02}{0,06} = \frac{1}{3}

'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Olayların ve verilen marjinal ile koşullu olasılıkların matematiksel olarak tanımlanması.

P(A) = 0,30

,

P(B) = 0,50

,

P(C) = 0,20

. Aykırılık olayına

M

denilirse;

P(M|A) = 0,10

,

P(M|B) = 0,04

,

P(M|C) = 0,05

olarak yazılır.

Bayes teoremini doğru biçimde uygulayabilmek için formülde kullanılacak tüm bileşenlerin açıkça listelenmesi gerekir.

2

Toplam Olasılık Teoremi kullanılarak rastgele bir dosyada mevzuata aykırılık bulunma olasılığının (

P(M)

) hesaplanması.

P(M) = P(A)\cdot P(M|A) + P(B)\cdot P(M|B) + P(C)\cdot P(M|C) = (0,30 \cdot 0,10) + (0,50 \cdot 0,04) + (0,20 \cdot 0,05) = 0,03 + 0,02 + 0,01 = 0,06

.

Koşullu olasılık oranında paydayı (örnek uzayın yeni boyutunu) oluşturmak için ilgili tüm durumların ağırlıklı toplamına ihtiyaç vardır.

3

Bayes Teoremi yardımıyla

P(B|M)

koşullu olasılığının elde edilmesi.

P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} = \frac{P(B)\cdot P(M|B)}{P(M)} = \frac{0,02}{0,06} = \frac{1}{3}

.

Dosyanın mevzuata aykırı olduğu bilindiği (koşul) için, B kategorisine ait olma ihtimali bu iki değerin oranlanmasıyla kesin olarak belirlenir.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Kuralı

Soru 30Soru →

Bir $\Omega$ örnek uzayında tanımlanan $A$ , $B$ ve $C$ olayları, bir kalite kontrol sürecinde gözlemlenen üç farklı donanım hatasını temsil etmektedir. Mevzuat ve fiziksel tasarım kuralları gereği, incelenen bir üründe $A$ ve $B$ hatalarının aynı anda bulunması imkânsızdır ( $A$ ve $B$ ayrık olaylardır).

Bu denetim sürecinde, bir ürünün doğrudan "Ağır Kusurlu" sayılarak imha edilebilmesi için bu üç hatadan tam olarak iki tanesinin üründe aynı anda bulunması gerektiği şart koşulmuştur.

Buna göre, rastgele seçilen bir ürünün "Ağır Kusurlu" sayılması olayını ifade eden küme işleminin en sade matematiksel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

(A \cap B) \cup C

(A \cap C) \cap (B \cap C)

(A^c \cap B^c) \cap C

(A \cup B) \cap C

(A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(A \cup B) \cap C$

Cevap

Ağır kusurlu olma olayı

(A \cup B) \cap C

küme işlemi ile ifade edilir.

Soru metnindeki şartlara göre A ve B hataları aynı anda bulunamamaktadır (

A \cap B = \emptyset

). Bir üründe tam olarak iki hata bulunabilmesi için bu hatalardan birinin kesinlikle C olması, diğerinin ise ya A ya da B olması zorunludur. Matematiksel olarak bu durum, 'A ile C'nin birlikte gerçekleşmesi' veya 'B ile C'nin birlikte gerçekleşmesi' anlamına gelir. Bu mantık

(A \cap C) \cup (B \cap C)

şeklinde ifade edilir. Kümelerde dağılma özelliği dikkate alındığında bu ifadenin en sade ve eşdeğer gösterimi

(A \cup B) \cap C

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Üç olaydan tam olarak ikisinin gerçekleştiği durumu genel küme formülüyle matematiksel olarak ifade etme

(A \cap B \cap C^c) \cup (A \cap C \cap B^c) \cup (B \cap C \cap A^c)

Herhangi üç olay içinden tam olarak ikisinin gerçekleşmesi, o iki olayın gerçekleşip geriye kalan üçüncüsünün gerçekleşmediği üç farklı alternatif durumun birleşimidir.

2

A

ve

B

olaylarının ayrık olma özelliğini genel formüle uygulama

A \cap B = \emptyset

olduğu için formüldeki birinci terim olan

(A \cap B \cap C^c) = \emptyset

olur.

Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez. Bu nedenle, içinde

A

ve

B

'nin kesişimini barındıran her küme zorunlu olarak boş kümeye eşittir.

3

Ayrıklık özelliğinin mantıksal sonuçlarını kullanarak kalan terimleri sadeleştirme

A

gerçekleştiğinde

B

zaten gerçekleşemeyeceği için

(A \cap C \cap B^c) = (A \cap C)

olur. Benzer şekilde

(B \cap C \cap A^c) = (B \cap C)

olur.

A ve B ayrık ise

A \subseteq B^c

ve

B \subseteq A^c

özellikleri geçerlidir. Bu durumda kesişim işlemlerinde

B^c

veya

A^c

yazmak gereksiz bir tekrardır.

4

Sadeleşmiş olan alternatif durumları tek bir ifadede birleştirme

Geriye kalan durumların birleşimi

(A \cap C) \cup (B \cap C)

halini alır.

Ağır kusur için ya A ile C birlikte görülmeli, ya da B ile C birlikte görülmelidir.

5

Elde edilen birleşim kümesini ortak paranteze alma (dağılma özelliğinin tersi)

(A \cap C) \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C

Kümeler teorisindeki dağılma özelliği kuralı kullanılarak, ifade sorunun seçeneklerinde beklenen en sade biçime dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Örnek uzayda tanımlı olaylar üzerinde küme işlemleri ve ayrık (mutually exclusive) olayların özellikleri

Alternatif Yöntem

Problemi soyut cebirsel kurallarla çözmek yerine doğrudan bir Venn şeması çizilerek çözüme ulaşılabilir. A ve B olayları ayrık olduğundan, örnek uzay içerisine birbirini kesmeyen iki ayrı çember çizilir. C olayı ise hem A'yı hem de B'yi kesecek şekilde yerleştirilir. Soru 'tam olarak iki olayın' gerçekleşmesini istediğinden, sadece iki kümenin üst üste bindiği bölgeler taranmalıdır. Şemada bu koşulu sağlayan yalnızca iki bölge oluşur: A çemberi ile C'nin kesişimi ve B çemberi ile C'nin kesişimi. Bu taranan iki ayrı alan, A ile B'nin birleşim kümesinin C tarafından kesilen bölgesidir; yani görsel olarak

(A \cup B) \cap C

ifadesi anında tespit edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Bir yayınevi tarafından hazırlanan 'Olasılık ve Stokastik Süreçler' adlı akademik ders kitabının taslak inceleme sürecinde, editörler bağımsızlık, ayrıklık ve kovaryans kavramları ile ilgili yazılmış teorik ifadelerin doğruluğunu tartışmaktadır.

Bu taslak incelemesi sırasında karşılaşılan aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

İki olayın birbirinden bağımsız olması, bu olayların aynı anda gerçekleşemeyeceğini yani ayrık (kesişimlerinin boş küme) olduklarını gösterir.

Sıfırdan büyük olasılığa sahip iki olay ayrık (kesişimleri boş küme) ise, bu iki olay aynı zamanda bağımsız olamaz.

İki rastgele değişken arasındaki kovaryans değerinin sıfır bulunması, bu değişkenlerin istatistiksel olarak bağımsız olduğunu kesin olarak kanıtlar.

Bir örnek uzaydaki herhangi üç olayın ikişerli olarak bağımsız olması, bu olayların karşılıklı (tam) olarak da bağımsız olmasını her zaman garanti eder.

Herhangi bir

A

olayının

B

olayı gerçekleştiği bilindiğindeki koşullu olasılığı

P(A|B)

hesaplanırken, olayların kesişim olasılığı daima

A

olayının marjinal olasılığına bölünür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sıfırdan büyük olasılığa sahip iki olay ayrık (kesişimleri boş küme) ise, bu iki olay aynı zamanda bağımsız olamaz.

Cevap

Doğru ifade, olasılıkları sıfırdan büyük olan ayrık iki olayın aynı zamanda bağımsız olamayacağını belirten seçenektir.

Sıfırdan büyük olasılığa sahip iki olay ayrık ise kesişimlerinin olasılığı sıfırdır (

P(A \cap B) = 0

). Eğer bu olaylar bağımsız olsaydı,

P(A \cap B) = P(A)P(B)

eşitliği sağlanmalıydı. Olasılıklar sıfırdan büyük olduğu için çarpımları sıfır olamaz (

P(A)P(B) > 0

). Bu durum

0 = P(A)P(B)

şeklinde bir çelişkiye yol açar. Dolayısıyla ayrık olaylar bağımsız olamaz.

Adım Adım Çözüm

1

Ayrıklık ve bağımsızlık kavramlarının matematiksel tanımları yazılır.

Ayrık olaylar için

P(A \cap B) = 0

geçerlidir. Bağımsız olaylar için ise

P(A \cap B) = P(A)P(B)

kuralı sağlanmalıdır.

Teorik ifadelerin doğruluğunu matematiksel kurallarla ispatlamak için tanımların netleştirilmesi gerekir.

2

Olasılıkları sıfırdan büyük olan ayrık iki olayın bağımsızlık durumu test edilir.

Eğer

P(A) > 0

ve

P(B) > 0

ise,

P(A)P(B) > 0

olur. Oysa olaylar ayrık olduğu için

P(A \cap B) = 0

'dır. Bu durumda

0 \neq P(A)P(B)

eşitsizliği ortaya çıkar, dolayısıyla bağımsız olamazlar.

Doğru olan seçeneğin kavramsal ispatını tamamlamak için çelişkiyi göstermek gereklidir.

3

Diğer ifadelerdeki istatistiksel yanılgılar tespit edilir.

Kovaryansın sıfır olması bağımsızlığı garantilemez, ikişerli bağımsızlık tam bağımsızlık anlamına gelmez ve koşullu olasılıkta payda kısmına koşul olayı yazılmalıdır.

Çeldirici seçeneklerin neden yanlış olduğunu kanıtlayarak eleme yapmak için.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık ve Ayrıklık İlişkisi

Soru 32Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı Tarımsal Araştırmalar ve Politikalar Genel Müdürlüğü (TAGEM), yeni kurulan "Biyoteknoloji" ve "Toprak Analizi" isimli iki farklı ihtisas laboratuvarına uzman personel ataması yapacaktır.

Kurumun merkez teşkilatında görevli $5$ ziraat mühendisi ve $4$ veteriner hekimden oluşan bir uzman havuzu bulunmaktadır. Her iki laboratuvara da tam olarak $2$ ziraat mühendisi ve $1$ veteriner hekim atanması planlanmaktadır.

Buna göre, bu iki laboratuvarın uzman kadroları kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

30

180

360

1440

1600

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 360

Cevap

İki laboratuvarın uzman kadroları 360 farklı şekilde oluşturulabilir.

İki laboratuvar birbirinden farklı özelliklere ve isimlere sahip olduğu için atamalar sırayla düşünülebilir. İlk laboratuvar için 5 ziraat mühendisinden 2'si

\binom{5}{2}

ve 4 veteriner hekimden 1'i

\binom{4}{1}

şeklinde seçilir, çarpım kuralıyla

10 \times 4 = 40

durum oluşur. Bu atama yapıldıktan sonra geriye 3 ziraat mühendisi ve 3 veteriner hekim kalır. İkinci laboratuvar için kalanlar arasından

\binom{3}{2}

ve

\binom{3}{1}

şeklinde seçim yapılır ve

3 \times 3 = 9

durum elde edilir. Bu iki olay art arda gerçekleştiğinden tüm seçenekler çarpılır:

40 \times 9 = 360

farklı atama yapılabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Biyoteknoloji laboratuvarı için 2 ziraat mühendisi ve 1 veteriner hekim seçilmesi

\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40

farklı şekilde seçilebilir.

Başlangıçta havuzda 5 ziraat mühendisi ve 4 veteriner hekim bulunmaktadır. Laboratuvar içindeki görev sıralaması önemsiz olduğu için kombinasyon kullanılır.

2

Toprak Analizi laboratuvarı için kalanlar arasından 2 ziraat mühendisi ve 1 veteriner hekim seçilmesi

Kalan 3 ziraat mühendisi ve 3 veteriner hekim arasından

\binom{3}{2} \times \binom{3}{1} = 3 \times 3 = 9

farklı şekilde seçim yapılabilir.

Birinci laboratuvara atanan kişiler havuzdan eksilmiştir. Kalan personel arasından tekrar kombinasyon ile seçim yapılır.

3

Çarpım kuralının uygulanması

Toplam atama sayısı:

40 \times 9 = 360

olarak bulunur.

Her iki laboratuvara atama işlemleri birbirini takip eden ve birlikte gerçekleşmesi gereken olaylar olduğundan saymanın temel ilkesi gereği çarpma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel İlkesi (Çarpım Kuralı) ve Kombinasyon

Soru 33Soru →

Bir gümrük müdürlüğünde ülkeye giriş yapan ticari eşyaların taşımacılık türlerine göre dağılımı incelendiğinde; eşyaların $\%50$ 'sinin denizyolu, $\%30$ 'unun havayolu ve $\%20$ 'sinin karayolu ile getirildiği belirlenmiştir. Yapılan risk analizi ve fiziki kontroller sonucunda, denizyolu ile gelen eşyaların $\%4$ 'ünde, havayolu ile gelen eşyaların $\%2$ 'sinde ve karayolu ile gelen eşyaların $\%8$ 'inde beyan dışı (usulsüz) durum tespit edilmiştir.

Rastgele seçilerek denetlenen bir ticari eşyada beyan dışı durum tespit edildiği bilindiğine göre, bu eşyanın karayolu ile getirilmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{4}{7}

\frac{8}{21}

\frac{1}{5}

\frac{2}{25}

\frac{2}{125}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{8}{21}$

Cevap

Bir ticari eşyanın usulsüz çıktığı bilindiğinde karayoluyla gelmiş olma olasılığı 8/21'dir.

Verilen problemde bir koşul altında gerçekleşen olay sorulmaktadır. Önsel olasılıklar (taşıma türü oranları) ve koşullu olasılıklar (usulsüzlük oranları) bilindiğine göre Bayes Teoremi kullanılmalıdır. Doğru hesaplamada, karayolu ile gelip usulsüz çıkanların oranı (0.016), tüm usulsüz çıkanların oranına (0.042) bölünür ve 16/42'den 8/21 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayın.

D: Denizyolu

P(D)=0.50

, H: Havayolu

P(H)=0.30

, K: Karayolu

P(K)=0.20

. U: Usulsüz durum.

P(U|D)=0.04

,

P(U|H)=0.02

,

P(U|K)=0.08

.

Problemi matematiksel modele dönüştürmek için temel değişkenlerin belirlenmesi gerekir.

2

Toplam Olasılık Teoremi'ni kullanarak rastgele seçilen bir eşyada usulsüzlük çıkma olasılığını

P(U)

hesaplayın.

P(U) = P(D)P(U|D) + P(H)P(U|H) + P(K)P(U|K) = (0.50 \times 0.04) + (0.30 \times 0.02) + (0.20 \times 0.08) = 0.020 + 0.006 + 0.016 = 0.042

Koşullu olasılık (Bayes) hesaplamasında paydayı oluşturacak olan toplam usulsüzlük olasılığının bulunması gereklidir.

3

Bayes Teoremi'ni kullanarak eşyanın usulsüz olduğu bilindiğinde karayoluyla gelmiş olma olasılığını

P(K|U)

hesaplayın.

P(K|U) = \frac{P(K \cap U)}{P(U)} = \frac{P(K)P(U|K)}{P(U)} = \frac{0.016}{0.042} = \frac{16}{42} = \frac{8}{21}

Sonuca ulaşmak için ters koşullu olasılık formülü uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Kuralı

Soru 34Soru →

Bir e-devlet portalının kullanımına ilişkin yapılan geniş çaplı bir araştırmada, kullanıcıların sisteme yönelik memnuniyetleri üç farklı boyutta incelenmiştir: Güvenilirlik ( $G$ ), Hız ( $H$ ) ve Kullanım Kolaylığı ( $K$ ).

Araştırma sonuçlarına göre, sisteme giriş yapan kullanıcıların;
- %80'inin portalı güvenilir bulduğu,
- %75'inin portalın hızından memnun olduğu,
- %90'ının ise portalı kullanım açısından kolay bulduğu tespit edilmiştir.

Olasılık aksiyomları dikkate alındığında, rastgele seçilen bir kullanıcının portalı her üç boyutta da olumlu değerlendirmiş olma olasılığının yüzde cinsinden alabileceği en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?

0

45

54

55

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Rastgele seçilen bir kullanıcının portalı her üç boyutta da olumlu değerlendirmiş olma olasılığının alabileceği en küçük değer 45'tir.

İstenen olay, rastgele seçilen bir kullanıcının her üç boyutta da olumlu değerlendirme yapmasıdır, yani

P(G \cap H \cap K)

olasılığının en küçük değerini bulmalıyız. De Morgan kuralları gereği, kesişimin olasılığı

P(G \cap H \cap K) = 1 - P(G^c \cup H^c \cup K^c)

şeklinde yazılabilir. Kesişimin minimum olabilmesi için birleşimin maksimum olması gerekir. Olasılık aksiyomlarından Boole Eşitsizliğine (alt toplamsallık) göre, bir birleşimin olasılığı olayların kendi olasılıkları toplamından büyük olamaz. Tümleyen olasılıkların toplamı

0,20 + 0,25 + 0,10 = 0,55

'tir. O halde istenmeyen durumların birleşiminin alabileceği en büyük değer

0,55

'tir. Kesişimin alabileceği en küçük değer ise

1 - 0,55 = 0,45

(yani %45) olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Olayların tümleyen (olumsuz değerlendirme) olasılıklarını hesaplama.

P(G^c) = 0,20

,

P(H^c) = 0,25

,

P(K^c) = 0,10

Kesişimin minimum değerini bulmak için tümleyen olayların birleşiminden yararlanmak De Morgan kuralları gereği en etkili analitik yoldur.

2

Tümleyen olayların birleşiminin alabileceği en büyük değeri Boole eşitsizliği ile bulma.

P(G^c \cup H^c \cup K^c) \le 0,20 + 0,25 + 0,10 = 0,55

Olasılık aksiyomlarına göre bir birleşimin olasılığı, olayların ayrı ayrı olasılıklarının toplamını hiçbir koşulda geçemez.

3

Bulunan maksimum birleşim değerini 1'den çıkararak kesişimin minimum olasılığını hesaplama.

P(G \cap H \cap K) \ge 1 - 0,55 = 0,45

(Yani %45)

Tüm durumların olasılık toplamı 1'dir. İstenmeyen durumlar (tümleyenlerin birleşimi) ne kadar büyük olursa, istenen durumların (kesişimin) olasılığı o kadar küçük olur.

Anahtar Kavram

Olasılık Aksiyomları ve Boole Eşitsizliği (Fréchet Sınırları)

Alternatif Yöntem

Problemi Venn şeması mantığıyla en kötü senaryo (worst-case) düşüncesiyle çözmek de mümkündür. %100'lük bir küme üzerinde, boyutlardan memnun olmayan %20, %25 ve %10'luk kesimlerin birbirleriyle hiç kesişmediği (hiçbir kullanıcının birden fazla boyutta şikayetçi olmadığı) en dağınık durumu hayal edersek: Şikayetçi olan toplam kitle en fazla 20 + 25 + 10 = %55 olabilir. Geriye kalan kitle mecburen her üçünden de memnun olmalıdır: 100 - 55 = 45 sonucuna bu sezgisel mantıkla da ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 35Soru →

Bir Çevre ve Şehircilik İl Müdürlüğü uzmanları, sanayi tesislerinde gerçekleştirilen denetimlere ilişkin bir risk değerlendirme raporu hazırlamıştır. Raporda, rastgele seçilen bir tesisin;

* Atık su deşarj sınırlarını aşma ( $A$ ) olasılığı $0,75$ ,
* Baca gazı emisyon sınırlarını aşma ( $B$ ) olasılığı $0,60$ ,
* Tehlikeli atık depolama kurallarını ihlal etme ( $C$ ) olasılığı ise $0,45$

olarak tahmin edilmiştir.

Olasılık fonksiyonu aksiyomları ve temel olasılık teoremleri dikkate alındığında, bu rapora ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle hatalıdır?

Baca gazı emisyon sınırlarını aşan tesislerin tamamı aynı zamanda atık su deşarj sınırlarını da aşmıştır.

Atık su deşarj sınırlarını ve tehlikeli atık depolama kurallarını birlikte ihlal eden tesislerin bulunma olasılığı

0,35

'tir.

Atık su deşarj sınırlarını ve baca gazı emisyon sınırlarını birlikte aşan tesislerin bulunma olasılığı

0,25

'tir.

Baca gazı emisyon sınırlarını aşıp, tehlikeli atık depolama kurallarını ihlal etmeyen tesislerin bulunma olasılığı

0,40

'tır.

Atık su deşarj sınırlarını aşma ve tehlikeli atık depolama kurallarını ihlal etme olayları birbirinden bağımsızdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Atık su deşarj sınırlarını ve baca gazı emisyon sınırlarını birlikte aşan tesislerin bulunma olasılığı $0,25$ 'tir.

Cevap

Atık su deşarj sınırlarını ve baca gazı emisyon sınırlarını birlikte aşan tesislerin bulunma olasılığının

0,25

olduğunu iddia eden ifade.

Olasılık fonksiyonu aksiyomlarına göre herhangi bir olayın olasılığı 1'den büyük olamaz. İki olayın birleşiminin olasılığı

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

formülü ile hesaplanır. İlgili seçenekte verilen değerler yerine konduğunda

0,75 + 0,60 - 0,25 = 1,10

sonucu elde edilir. Birleşim olasılığı evrensel örnek uzayın olasılığı olan 1'i aştığı için bu durum Kolmogorov aksiyomlarına aykırıdır ve kesinlikle hatalıdır (Fréchet alt sınır kuralına göre

P(A \cap B) \geq 0,75 + 0,60 - 1 = 0,35

olmalıdır).

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerde verilen olasılık senaryolarının her biri için Genel Toplama Kuralı formülünü

P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)

kurmak.

Tüm ikili ilişki senaryoları için birleşim kümelerinin olasılıkları test edilir.

Hiçbir olay kombinasyonunun olasılık değerinin üst sınır olan 1'i (

P(\Omega) = 1

) aşamayacağının kontrol edilmesi gereklidir.

2

Atık su (

A

) ve baca gazı (

B

) sınırlarını birlikte aşanların

0,25

olması durumunu analiz etmek.

P(A \cup B) = 0,75 + 0,60 - 0,25 = 1,10

sonucu elde edilir.

Verilen iki olayın marjinal olasılıkları oldukça yüksek olduğu için, kesişimlerinin çok düşük olması birleşim olasılığını doğal sınırların ötesine iter.

3

Elde edilen birleşim değerini Kolmogorov aksiyomlarıyla karşılaştırmak.

1,10 > 1

olduğu için birinci aksiyomun (

0 \leq P(E) \leq 1

) ihlal edildiği kesinleşir.

Bir olasılık fonksiyonu daima

[0, 1]

aralığında tanımlıdır, bu nedenle bu istatistiksel raporun ilgili maddesi kesinlikle hatalıdır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonu ve Kolmogorov Aksiyomları (Fréchet Sınırları)

Soru 36Soru →

Bir kamu kurumu tarafından açılan ihaleye katılan firmaların $\%60$ 'ı yerli, $\%40$ 'ı ise yabancı firmadır. Yerli firmaların sunduğu ihale dosyalarının $\%10$ 'unun, yabancı firmaların sunduğu dosyaların ise $\%5$ 'inin teknik şartnameye uygun olmadığı tespit edilmiştir. Seçilen bir ihale dosyasının teknik şartnameye uygun olmadığı bilindiğine göre, bu dosyanın bir yerli firmaya ait olma olasılığı kaçtır?

0,75

0,10

0,60

0,08

0,25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,75$

Cevap

Seçilen uygun olmayan dosyanın yerli bir firmaya ait olma olasılığı

0,75

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan değer, toplam uygun olmayan dosyalar içindeki yerli firmaların payını temsil eder. Yerli firmalardan gelen hata oranı (

0,06

), toplam hata oranına (

0,08

) bölündüğünde sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayalım.

P(Y) = 0,60

(Yerli),

P(F) = 0,40

(Yabancı),

P(U^c|Y) = 0,10

(Yerli ve uygun değil),

P(U^c|F) = 0,05

(Yabancı ve uygun değil).

Bayes Teoremi'ni uygulamak için gerekli temel verileri belirlemek gerekir.

2

Toplam uygun olmayan dosya olasılığını (

P(U^c)

) hesaplayalım.

P(U^c) = (0,60 \times 0,10) + (0,40 \times 0,05) = 0,06 + 0,02 = 0,08

.

Payda kısmında kullanılacak olan toplam olasılık yasasını uygulamak gerekir.

3

Bayes Teoremi formülünü uygulayalım.

P(Y|U^c) = \frac{P(U^c|Y) \cdot P(Y)}{P(U^c)} = \frac{0,06}{0,08} = 0,75

.

Belirli bir sonuç bilindiğinde (dosyanın uygun olmaması), bu sonucun belirli bir nedenden (yerli firma) kaynaklanma olasılığını bulmak amaçlanır.

Anahtar Kavram

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Yasası

İpuçları

1

Önce rastgele seçilen herhangi bir dosyanın teknik şartnameye uygun olmama (toplam) olasılığını hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi, dosyanın 'uygun olduğu bilindiğine göre' yerli olma olasılığını hesaplayarak pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

100 dosya varmış gibi düşünerek bir tablo oluşturabilirsiniz: 60 yerli (6'sı uygun değil), 40 yabancı (2'si uygun değil). Toplam 8 uygun olmayan dosya içinden yerli olanların oranı 6/8'dir.

Tahmini Süre:45s

Soru 37Soru →

Bir kamu kurumunda denetlenen evrakların $\%30$ 'unda yazım hatası ( $A$ ), $\%20$ 'sinde ise mühür hatası ( $B$ ) tespit edilmiştir. İncelenen evrakların $\%10$ 'unda hem yazım hem de mühür hatası bulunduğu saptanmıştır. Buna göre, rastgele seçilen bir evrakta bu hatalardan en az birinin bulunma olasılığı kaçtır?

0,10

0,35

0,40

0,50

0,06

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,40$

Cevap

Rastgele seçilen bir evrakta en az bir hatanın bulunma olasılığı 0,40'tır.

Olasılık teorisindeki genel toplama kuralına göre, herhangi iki

A

ve

B

olayı için bu olaylardan en az birinin gerçekleşme olasılığı

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen değerler (

0,30 + 0,20 - 0,10

) yerine konulduğunda sonuç

0,40

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen olasılık değerlerini sembolik olarak ifade edin.

P(A) = 0,30

,

P(B) = 0,20

ve

P(A \cap B) = 0,10

.

Soruda verilen sözel bilgileri matematiksel işleme hazır hale getirmek için.

2

En az bir hatanın bulunma olasılığını (birleşim olasılığı) hesaplamak için genel toplama kuralını yazın.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

İki olayın birleşim olasılığı, olayların olasılıkları toplamından kesişimlerinin olasılığının çıkarılmasına eşittir.

3

Değerleri formülde yerine koyarak hesaplamayı yapın.

P(A \cup B) = 0,30 + 0,20 - 0,10 = 0,40

Toplama kuralını uygulayarak aranan olasılık değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Olasılık Toplama Kuralı (Genel Kural)

Soru 38Soru →

Bir büyükşehir belediyesinin strateji geliştirme daire başkanlığında görev yapan $6$ farklı istatistikçi arasından, bir bölge planlama toplantısına kurum adına katılmak üzere $2$ kişilik bir heyet kaç farklı şekilde seçilebilir?

15

30

12

8

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Heyet seçimi 15 farklı şekilde yapılabilir.

Verilen problemde

6

kişi arasından

2

kişi seçilmektedir. Seçim işleminde kişilerin heyete girme sırası sonucu değiştirmediği için bu bir kombinasyon problemidir.

C(6, 2) = 15

hesaplaması ile doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirleme

Kombinasyon

Heyet oluşturulurken kişilerin seçilme sırası önemli değildir, sadece grubun kimlerden oluştuğu önemlidir.

2

Kombinasyon formülünü (

n=6

,

r=2

) uygulama

C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!}

n

elemanlı bir kümeden

r

elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak için kombinasyon kullanılır.

3

İşlemleri sadeleştirme ve hesaplama

\frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15

Faktöriyel ifadeleri sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme)

Daha Fazla Pratik

Seçilen kişilere 'başkan' ve 'başkan yardımcısı' gibi unvanlar verilseydi problemin nasıl değişeceğini düşününüz.

Tahmini Süre:45s

Soru 39Soru →

Bir kamu kurumuna gelen evrakların $\%60$ 'ı $A$ şubesine, $\%40$ 'ı ise $B$ şubesine iletilmektedir. $A$ şubesine giden evrakların $\%10$ 'unun, $B$ şubesine giden evrakların ise $\%20$ 'sinin hatalı olduğu saptanmıştır. Buna göre, kuruma gelen evraklardan rastgele seçilen bir evrakın hatalı olma olasılığı kaçtır?

0,14

0,30

0,15

0,06

0,08

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,14$

Cevap

0,14

olasılık değeri doğrudur.

0,14

sonucu, Toplam Olasılık Teoremi'nin doğru uygulanmasıyla elde edilir. A şubesinden gelen hatalı evrak olasılığı

0,60 \times 0,10 = 0,06

ve B şubesinden gelen hatalı evrak olasılığı

0,40 \times 0,20 = 0,08

olarak hesaplanır. Bu iki ayrık durumun toplamı genel hata olasılığını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Olayları ve verilen olasılıkları tanımlayın.

P(A) = 0,60

,

P(B) = 0,40

,

P(H|A) = 0,10

ve

P(H|B) = 0,20

Toplam olasılık teoremi için gerekli bileşenleri belirlemek gerekir.

2

Toplam Olasılık Teoremi formülünü kurun.

P(H) = P(A) \times P(H|A) + P(B) \times P(H|B)

Hatalı bir evrakın hem A hem de B şubesinden gelmiş olabileceği tüm yolları toplamak gerekir.

3

Sayısal değerleri yerine koyarak hesaplamayı tamamlayın.

P(H) = (0,60 \times 0,10) + (0,40 \times 0,20) = 0,06 + 0,08 = 0,14

Aritmetik çarpım ve toplama işlemleriyle nihai olasılığa ulaşılır.

Anahtar Kavram

Toplam Olasılık Teoremi

Alternatif Yöntem

Evrak sayısını

100

adet varsayarak çözebilirsiniz:

60

evrak A'ya,

40

evrak B'ye gider. A'dakilerin

60 \times 0,10 = 6

tanesi, B'dekilerin

40 \times 0,20 = 8

tanesi hatalıdır. Toplam hatalı evrak

6 + 8 = 14

olup, tüm evraklara oranı

14/100 = 0,14

olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 40Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yürütülecek bir saha çalışmasında kullanılmak üzere belirlenen $8$ farklı veri toplama yönteminden $2$ tanesi, pilot uygulama için seçilecektir. Bu seçim işlemi kaç farklı şekilde gerçekleştirilebilir?

10

16

28

56

64

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Seçim işlemi 28 farklı şekilde gerçekleştirilebilir.

Verilen problemde

8

farklı yöntem arasından

2

tanesinin seçilmesi istenmektedir. Seçim sırası sonucu değiştirmediği için kombinasyon kuralı uygulanır.

C(8,2)

hesaplandığında

\frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin türünü belirle.

Kombinasyon (Seçim)

Seçilen veri toplama yöntemlerinin hangi sırayla seçildiğinin bir önemi yoktur; sadece hangi yöntemlerin seçildiği önemlidir.

2

Kombinasyon formülünü uygula.

C(8, 2) = \binom{8}{2}

n

elemanlı bir kümeden

r

elemanlı bir alt küme seçme sayısı kombinasyon ile hesaplanır.

3

Hesaplamayı gerçekleştir.

\frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28

Kombinasyon formülü

C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon, nesnelerin sırasının önemli olmadığı seçim işlemlerinde kullanılır.

İpuçları

1

Bu bir seçim problemidir; seçilen yöntemlerin sırası sonucu değiştirir mi diye düşünün.

2

Sıranın önemsiz olduğu durumlarda kombinasyon formülü (

C(n, r)

) kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Seçilen yöntemlerin bir de 'birinci tercih' ve 'ikinci tercih' olarak sıralanması gerekseydi cevabın nasıl değişeceğini düşünün.

Tahmini Süre:45s

Olasılık Teorisi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap