Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = 1, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

$U = 2X$ ve $V = 3Y$ olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3

h(u, v) = 6, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3

h(u, v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{1}{5}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $h(u, v) = \frac{1}{6}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 3$

Cevap

h(u, v) = \frac{1}{6}

fonksiyonu ile

0 < u < 2

ve

0 < v < 3

sınırlarını içeren seçenek doğrudur.

Doğru cevap,

U=2X

ve

V=3Y

doğrusal dönüşümü için Jakobiyen determinantının

|(1/2) \times (1/3)| = 1/6

olduğunu ve yeni sınırların

u \in (0, 2)

,

v \in (0, 3)

aralığına genişlediğini doğru bir şekilde göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm denklemlerini yazın.

x = \frac{u}{2}

ve

y = \frac{v}{3}

Jakobiyen determinantını hesaplamak için orijinal değişkenlerin yeni değişkenler cinsinden ifadesi gerekir.

2

Jakobiyen determinantını hesaplayın.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6}

Çok değişkenli dönüşümlerde yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile ölçeklenir.

3

Yeni yoğunluk fonksiyonunu formüle yerleştirin.

h(u, v) = f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

Dönüşüm kuralı gereği yeni PDF, eski PDF ile Jakobiyen çarpanının çarpımıdır.

4

Yeni değişkenlerin tanım aralığını (destek bölgesini) belirleyin.

0 < x < 1 \implies 0 < \frac{u}{2} < 1 \implies 0 < u < 2

ve

0 < y < 1 \implies 0 < \frac{v}{3} < 1 \implies 0 < v < 3

Değişken dönüşümü yapıldığında olasılığın tanımlı olduğu bölge de değişir.

Anahtar Kavram

İki değişkenli bir dönüşümde

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J|

kuralı uygulanır ve sınırlar her değişken için ayrı ayrı güncellenir.

Daha Fazla Pratik

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı için konvolüsyon yöntemini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 62Soru →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilmiştir. Bu değişkenler üzerinde $U = X^2$ ve $V = Y$ şeklinde bir değişken dönüşümü tanımlandığına göre, yeni değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 2\sqrt{u}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{1}{4u}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$

Cevap

h(u, v) = \frac{1}{2\sqrt{u}}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

ifadesi doğru olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Dönüşüm için Jakobiyen determinantı

\frac{1}{2\sqrt{u}}

olarak hesaplanır ve orijinal PDF olan 1 ile çarpıldığında doğru sonuç elde edilir. Tanım aralıkları da bire-bir dönüşüm altında korunur.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm denklemlerini yazınız.

x = \sqrt{u}

ve

y = v

Orijinal değişkenleri (

x, y

) yeni değişkenler (

u, v

) cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayınız.

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \frac{1}{2\sqrt{u}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{u}}

Çok değişkenli dönüşümlerde alan değişimini temsil eden Jakobiyen çarpanı hesaplanmalıdır.

3

Yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunu

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J|

formülüyle bulunuz.

h(u, v) = 1 \cdot |\frac{1}{2\sqrt{u}}| = \frac{1}{2\sqrt{u}}

Ortak PDF dönüşüm formülü uygulanarak yeni yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

4

Yeni tanım bölgesini (support) belirleyiniz.

0 < x < 1 \implies 0 < \sqrt{u} < 1 \implies 0 < u < 1

ve

0 < y < 1 \implies 0 < v < 1

Değişkenlerin tanımlı olduğu aralıklar dönüşüm altında yeniden kontrol edilmelidir.

Anahtar Kavram

Jakobiyen Determinantı ile Değişken Dönüşümü

Soru 63Soru →

Bir kamu kurumunun dijital arşivinde bir saatte tespit edilen hatalı kayıt sayısı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile ifade edilmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	-1	0	1	2
$P(X=x)$	0,1	0,2	0,4	0,3

Bu kayıtlar için tanımlanan bir risk endeksi $Y = X^2$ dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, risk endeksinin 1 olma olasılığı ( $P(Y=1)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,5

Cevap

Risk endeksinin 1 olma olasılığı 0,5'tir.

Risk endeksinin (

Y

) 1 olması durumu, hata sayısının (

X

) 1 veya -1 olduğu durumlarda gerçekleşir. Verilen tabloya göre

P(X=1) = 0,4

ve

P(X=-1) = 0,1

olduğundan, toplam olasılık

0,4 + 0,1 = 0,5

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Y = 1

sonucunu veren

X

değerlerini belirleyelim.

X^2 = 1 \Rightarrow X = 1

ve

X = -1

Dönüşüm fonksiyonu

Y = X^2

olduğu için,

Y

değerinin 1 olması için

X

değerinin karesi 1 olmalıdır.

2

P(Y=1)

olasılığını hesaplayalım.

P(Y=1) = P(X=1) + P(X=-1)

Kesikli rastgele değişkenlerde dönüşüm yapılırken, yeni değişkenin bir değeri alması, o değeri üreten tüm eski değişken değerlerinin olasılıklarının toplamına eşittir.

3

Tablodaki olasılık değerlerini toplayalım.

0,4 + 0,1 = 0,5

Tabloda

X = 1

için olasılık 0,4 ve

X = -1

için olasılık 0,1 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Kesikli bir rastgele değişkenin dönüşümü altında bir olasılığın hesaplanması, o sonucu veren tüm girdi değerlerinin olasılıklarının toplanmasını gerektirir.

Daha Fazla Pratik

Değişkenin

Y = |X|

veya

Y = X+1

gibi farklı dönüşümleri için olasılık kütle fonksiyonunu oluşturmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 64Soru →

Sürekli bir $X$ rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu $F(x)$ ile gösterilmektedir. Olasılık integral dönüşümü (probability integral transform) teoremine göre, $Y = F(X)$ olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Standart Normal Dağılım

(0, 1)

aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Parametresi

\lambda=1

olan Üstel Dağılım

(0, 1)

aralığında Kesikli Düzgün Dağılım

(-1, 1)

aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(0, 1)$ aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Cevap

(0, 1)

aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu (

F

) altındaki dönüşümü, parametrelerinden bağımsız olarak her zaman Standart Düzgün Dağılım (

U(0, 1)

) verir. Bunun nedeni,

P(F(X) \leq y)

olasılığının doğrudan

y

değerine eşit çıkmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Y = F(X)

rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (

G(y)

) tanımlayın.

G(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)

Bir rastgele değişkenin dağılımını belirlemenin en temel yolu onun birikimli dağılım fonksiyonunu bulmaktır.

2

F(x)

fonksiyonunun tersini alarak eşitsizliği

X

cinsinden ifade edin.

P(X \leq F^{-1}(y))

ve bu ifade

F(F^{-1}(y))

değerine eşittir.

Olasılık integral dönüşümünde

F(x)

monoton artan bir fonksiyon olduğu için tersi mevcuttur ve eşitsizliğin yönü değişmez.

3

Elde edilen birikimli dağılım değerini hesaplayın ve sonucu yorumlayın.

G(y) = y

(burada

0 < y < 1

)

G(y) = y

fonksiyonu,

(0, 1)

aralığındaki Sürekli Düzgün Dağılımın birikimli dağılım fonksiyonudur.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

İpuçları

1

Birikimli dağılım fonksiyonu

F(x)

'in alabileceği değer aralığını düşünün.

2

Y = F(X)

ise

P(Y \leq y)

olasılığını

P(X \leq F^{-1}(y))

şeklinde yazmayı deneyin.

Daha Fazla Pratik

Bu teoremin tersi olan 'Ters Dönüşüm Yöntemi'nin (Inverse Transform Sampling) simülasyonlarda nasıl kullanıldığını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Teoremi doğrudan hatırlamak en hızlı yoldur: Bir sürekli değişken kendi CDF'si ile dönüştürülürse sonuç her zaman

U(0,1)

olur.

Tahmini Süre:45s

Soru 65Soru →

Bir kamu kurumunda iki farklı işlem birimi ( $X$ ve $Y$ ) bulunmaktadır. Bu birimlerin belirli bir zaman aralığında tamamladıkları işlem sayıları birbirinden bağımsızdır ve olasılık kütle fonksiyonları aşağıda verilmiştir:

- $P(X=0) = 0,60$ ve $P(X=1) = 0,40$
- $P(Y=0) = 0,70$ ve $P(Y=1) = 0,30$

Buna göre, bu iki birimde tamamlanan toplam işlem sayısının tam olarak 1 olma olasılığı ( $P(X+Y=1)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,12

0,18

0,28

0,46

0,70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,46

Cevap

İki birimde tamamlanan toplam işlem sayısının tam olarak 1 olma olasılığı 0,46'dır.

Bağımsız

X

ve

Y

rastgele değişkenlerinin toplamı olan

Z = X + Y

için

P(Z=1)

olasılığı,

X

ve

Y

'nin toplamı 1'i veren tüm mümkün durumlarının bileşik olasılıklarının toplamıdır. Bu durumda

(X=0, Y=1)

ve

(X=1, Y=0)

durumları mevcuttur. Bağımsızlık nedeniyle bileşik olasılıklar çarpım şeklinde hesaplanır:

(0,60 \times 0,30) + (0,40 \times 0,70) = 0,18 + 0,28 = 0,46

.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam rastgele değişkenini tanımlama

Z = X + Y

ve hedef değer

Z = 1

olarak belirlenir.

Soruda iki bağımsız değişkenin toplamının belirli bir değer alma olasılığı sorulmaktadır.

2

Z = 1

sonucunu veren mümkün (X, Y) ikililerini listeleme

Z = 1

olması için ya

(X=0, Y=1)

ya da

(X=1, Y=0)

durumları gerçekleşmelidir.

Değişkenlerin tanımlı olduğu değerler 0 ve 1 olduğundan, toplamın 1 olması bu iki ayrık durumla sınırlıdır.

3

Bağımsızlık varsayımı ile bileşik olasılıkları hesaplama

P(X=0, Y=1) = 0,60 \times 0,30 = 0,18

ve

P(X=1, Y=0) = 0,40 \times 0,70 = 0,28

bulunur.

Değişkenler bağımsız olduğu için ortak olasılık fonksiyonu, marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.

4

Ayrık durumların olasılıklarını toplama

0,18 + 0,28 = 0,46

sonucuna ulaşılır.

Toplam değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (konvolüsyon), bu bileşik olasılıkların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bağımsız kesikli rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı, bu değişkenlerin olasılık kütle fonksiyonlarının evrişimi (convolution) ile elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 66Soru →

Bir yatırım fonunun günlük getiri oranındaki sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$0,20$	$0,50$	$0,30$

Fon yöneticisi, getirideki oynaklığı analiz etmek için $Y = X^2$ dönüşümünü kullanmaktadır. Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

P(Y=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = 0,50

P(Y=-1) = 0,20

,

P(Y=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = 0,30

P(Y=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = 0,30

P(Y=0) = 0,30

ve

P(Y=1) = 0,70

P(Y=1) = 1,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $P(Y=0) = 0,50$ ve $P(Y=1) = 0,50$

Cevap

P(Y=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = 0,50

değerlerini içeren dağılım doğrudur.

Doğru cevapta,

Y=X^2

dönüşümü sonucu

X=0

için

Y=0

elde edilirken,

X=-1

ve

X=1

için

Y=1

elde edilmektedir.

Y=1

olasılığı, bu iki durumun olasılıkları toplamı olan

0,20 + 0,30 = 0,50

olarak hesaplanır. Böylece

P(Y=0)=0,50

ve

P(Y=1)=0,50

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Y = X^2

dönüşümü için

Y

değişkeninin alabileceği değerleri (destek kümesini) belirleyin.

X \in \{-1, 0, 1\}

ise

Y \in \{(-1)^2, 0^2, 1^2\} = \{1, 0, 1\}

. Yani

Y

sadece

0

ve

1

değerlerini alabilir.

Dönüşüm fonksiyonu, bağımsız değişkenin her değerini yeni bir değer setine eşler.

2

Y

değişkeninin her bir değeri için karşılık gelen

X

değerlerinin olasılıklarını toplayın.

P(Y=0) = P(X=0) = 0,50

ve

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,20 + 0,30 = 0,50

.

Y=1

durumu hem

X=-1

hem de

X=1

durumunda gerçekleştiği için bu iki ayrık olayın olasılığı toplanmalıdır.

3

Elde edilen olasılıkların toplamının

1

olduğunu kontrol edin.

0,50 + 0,50 = 1,00

.

Geçerli bir olasılık kütle fonksiyonunun tüm değerler üzerindeki toplamı

1

olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler ve Olasılıkların Toplanması

Daha Fazla Pratik

Değişkenin tanım kümesi bire-bir olmayan bir fonksiyonla dönüştürüldüğünde (mutlak değer gibi), hangi değerlerin çakıştığına dikkat ederek soru çözmeye devam edin.

Tahmini Süre:45s

Soru 67Soru →

Bir lojistik firmasında çalışan iki bağımsız kuryenin ( $X$ ve $Y$ ), bir iş gününde teslim ettikleri paket sayılarına ilişkin olasılık dağılımları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Paket Sayısı ( $k$ )	$P(X=k)$	$P(Y=k)$
1	0,6	0,7
2	0,4	0,3

Buna göre, bu iki kuryenin bir gün içinde teslim ettikleri toplam paket sayısının tam olarak 3 olma olasılığı ( $P(X+Y=3)$ ) kaçtır?

0,12

0,18

0,28

0,42

0,46

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,46

Cevap

0,46

Toplamın 3 olması için iki farklı durum mümkündür: Birinci kuryenin 1 paket ve ikinci kuryenin 2 paket teslim etmesi (

0,6 \times 0,3 = 0,18

) veya birinci kuryenin 2 paket ve ikinci kuryenin 1 paket teslim etmesi (

0,4 \times 0,7 = 0,28

). Bu iki durum birbirinden ayrık olduğu için olasılıkları toplanır ve sonuç 0,46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplamın 3 olmasını sağlayan

(X, Y)

ikililerini belirle.

(1, 2)

ve

(2, 1)

durumları.

Kesikli rastgele değişkenlerin toplamında hedef değere ulaşan tüm kombinasyonlar dikkate alınmalıdır.

2

Bağımsızlık varsayımı altında her bir durumun ortak olasılığını hesapla.

P(X=1, Y=2) = 0,6 \times 0,3 = 0,18

ve

P(X=2, Y=1) = 0,4 \times 0,7 = 0,28

.

Değişkenler bağımsız olduğu için ortak olasılık, marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.

3

Hesaplanan olasılıkları topla (Konvolüsyon).

0,18 + 0,28 = 0,46

.

Ayrık durumların olasılıkları toplanarak toplam değişkenin olasılık kütle fonksiyonu elde edilir.

Anahtar Kavram

Bağımsız Kesikli Değişkenlerin Toplamı ve Ayrık Konvolüsyon

Alternatif Yöntem

Olasılıkları bir 2x2 matrise yerleştirerek tüm toplamları (2, 3, 4) ve olasılıklarını tek seferde görebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 68Soru →

Bir kamu kurumunda, bir teknik personelin günlük araç yakıt tüketimi $X$ (litre) sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f_X(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu personelin günlük toplam yakıt maliyet indeksi $Y = X^2 + 1$ fonksiyonu ile hesaplandığına göre, maliyet değişkeni $Y$ 'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 1 < y < 5

f_Y(y) = \frac{\sqrt{y-1}}{2}, \quad 1 < y < 5

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 0 < y < 4

f_Y(y) = y - 1, \quad 1 < y < 5

f_Y(y) = \frac{1}{2}, \quad 1 < y < 5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 1 < y < 5$

Cevap

Maliyet değişkeni

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu

1 < y < 5

aralığında

1/4

değerine eşittir.

Doğru çözümde

x = \sqrt{y-1}

ters dönüşümü yapılarak

|dx/dy| = 1/(2\sqrt{y-1})

Jakobiyen terimi hesaplanmıştır.

f_X(x)

fonksiyonunda

x

yerine

\sqrt{y-1}

yazılıp bu terimle çarpıldığında kareköklü ifadeler birbirini götürerek

1/4

sabit değeri elde edilir. Ayrıca

x

değerleri 0 ile 2 arasındayken

y

değerleri 1 ile 5 arasında değiştiği için doğru tanım aralığı da sağlanmış olur.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm fonksiyonunu belirleme

x = \sqrt{y-1}

Değişken değiştirme yönteminde

x

,

y

cinsinden ifade edilmelidir (

0 < x < 2

olduğu için pozitif kök alınır).

2

Jakobiyen (türev) terimini hesaplama

|J| = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2\sqrt{y-1}}

Yeni yoğunluk fonksiyonu, eski fonksiyonun türevsel değişim oranıyla ölçeklenmesini gerektirir.

3

Tanım aralığını (destek) dönüştürme

x=0 \Rightarrow y=1

ve

x=2 \Rightarrow y=5

x

'in sınırları

0 < x < 2

olduğu için

y

'nin sınırları

1 < y < 5

olarak güncellenmelidir.

4

Dönüşüm formülünü uygulama

f_Y(y) = f_X(\sqrt{y-1}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y-1}} = \frac{\sqrt{y-1}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y-1}} = \frac{1}{4}

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |(g^{-1})'(y)|

kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Tek Değişkenli Sürekli Rastgele Değişkenlerin Dönüşümü (Jakobiyen Yöntemi)

Soru 69Soru →

Bir kamu kurumunda personelin aylık dosya inceleme sayısının hedeflenen standarttan sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmiştir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-2$	$0$	$2$
$P(X=x)$	$0,25$	$0,40$	$0,35$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile tanımlanan $Y$ rastgele değişkeni için $P(Y=4)$ olasılığı kaçtır?

0,25

0,35

0,40

0,60

0,75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,60$

Cevap

P(Y=4) = 0,60

değeridir.

Doğru cevap olan

0,60

,

Y=X^2

fonksiyonunda

Y=4

sonucunu üreten

X=-2

(

0,25

) ve

X=2

(

0,35

) değerlerinin olasılıklarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Y = X^2

dönüşümünde

Y = 4

sonucunu veren

X

değerlerini belirleyin.

X^2 = 4 \implies X = -2

veya

X = 2

Kesikli bir değişkenin dönüşümünde, hedef değere karşılık gelen tüm kaynak değerlerin olasılıkları toplanmalıdır.

2

Belirlenen

X

değerlerinin olasılıklarını tablodan bulun ve toplayın.

P(Y = 4) = P(X = -2) + P(X = 2) = 0,25 + 0,35 = 0,60

-2

ve

2

değerleri ayrık olaylar olduğu için olasılık kütle fonksiyonunda bu değerlerin olasılıkları doğrudan toplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde bire-bir olmayan dönüşümlerde, aynı

y

değerine karşılık gelen tüm

x

değerlerinin olasılıkları toplanarak yeni olasılık kütle fonksiyonu oluşturulur.

Daha Fazla Pratik

Değişken dönüşümlerinde tanım kümesinin (destek kümesinin) nasıl değiştiğini pekiştirmek için

Y = |X|

gibi mutlak değer dönüşümlerini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 70Soru →

$X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilmiştir. $U = 4X$ ve $V = 2Y$ dönüşümleri tanımlandığına göre, $U$ ve $V$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2

h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 8, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2

h(u, v) = \frac{1}{4}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2$

Cevap

h(u, v) = \frac{1}{8}

değeri ile birlikte

0 < u < 4

ve

0 < v < 2

sınırlarını belirten seçenek doğrudur.

Verilen doğrusal dönüşümde ters fonksiyonlar

x=u/4

ve

y=v/2

şeklindedir. Kısmi türevlerden oluşan Jakobiyen determinantı

1/4 \times 1/2 = 1/8

olarak hesaplanır. Orijinal PDF değeri

1

olduğu için yeni PDF

1 \times 1/8 = 1/8

olur. Sınırlar ise

x

ve

y

'nin

0-1

aralığından sırasıyla

0-4

ve

0-2

aralığına genişler.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm denklemlerini belirle.

x = \frac{u}{4}

ve

y = \frac{v}{2}

Orijinal PDF'teki değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek gerekir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesapla.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{8}

Çok değişkenli dönüşümlerde olasılık kütlesinin korunması için bu çarpan gereklidir.

3

Yeni sınırları (destek bölgesini) hesapla.

0 < \frac{u}{4} < 1 \Rightarrow 0 < u < 4

ve

0 < \frac{v}{2} < 1 \Rightarrow 0 < v < 2

Dönüşüm sonrasında değişkenlerin hangi aralıkta tanımlı olduğu belirlenmelidir.

4

Dönüşüm formülünü uygulayarak ortak PDF'i yaz.

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}

h(u, v) = f(g_1^{-1}(u,v), g_2^{-1}(u,v)) \cdot |J|

kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

İki değişkenli bir dönüşümde yeni ortak yoğunluk fonksiyonu, orijinal fonksiyonun Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmasıyla elde edilir.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin toplamı gibi daha karmaşık bir dönüşüm (

U=X+Y

) için sınırların nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 71Soru →

Bir istatistiksel analizde kullanılan sürekli $X$ rastgele değişkeni, kendi birikimli dağılım fonksiyonu ( $F(x)$ ) yardımıyla $Y = F(X)$ şeklinde yeni bir değişkene dönüştürülmüştür.

Olasılık integral dönüşümü teoreminin temel özellikleri dikkate alındığında, elde edilen bu $Y$ değişkeninin $0,30 \leq Y \leq 0,70$ aralığında bir değer alma olasılığı kaçtır?

0,30

0,40

0,70

F(0,40)

Verilen bilgilerle hesaplanamaz;

X

değişkeninin hangi dağılıma sahip olduğunun bilinmesi gerekir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,40$

Cevap

Sürekli bir rastgele değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu ile yapılan dönüşüm sonucu elde edilen değişkenin aralık olasılığı

0,40

değerine eşittir.

Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, sürekli bir

X

rastgele değişkeni için

Y = F(X)

dönüşümü yapıldığında, elde edilen

Y

değişkeni her zaman

(0, 1)

aralığında sürekli düzgün dağılım (Uniform) gösterir. Standart düzgün dağılımda, herhangi bir

[a, b] \subseteq [0, 1]

aralığı için olasılık değeri

P(a \leq Y \leq b) = b - a

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

0,30

ve

0,70

sınırları için bu fark

0,70 - 0,30 = 0,40

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşüm sonrası yeni rastgele değişkenin dağılımını belirlemek.

Y = F(X)

rastgele değişkeni

[0, 1]

aralığında sürekli düzgün dağılıma (Uniform) sahiptir.

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremi, sürekli bir değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu altındaki görüntüsünün daima

U(0, 1)

olduğunu kanıtlar.

2

Belirlenen dağılım üzerinden istenen aralık için olasılık hesaplamak.

P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = 0,70 - 0,30 = 0,40

.

Sürekli düzgün dağılımda (Uniform), olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(y) = 1

olduğu için olasılık değeri doğrudan aralık uzunluğuna (

b-a

) eşittir.

Anahtar Kavram

Olasılık İntegral Dönüşümü ve Standart Düzgün Dağılım Özellikleri

Alternatif Yöntem

Sürekli düzgün dağılımın birikimli dağılım fonksiyonunun

F_Y(y) = y

olduğunu hatırlayarak,

P(0,30 \leq Y \leq 0,70) = F_Y(0,70) - F_Y(0,30) = 0,70 - 0,30

şeklinde doğrudan çözüm yapılabilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 72Soru →

Bir istatistiksel simülasyon çalışmasında kullanılan $X$ sürekli rastgele değişkeni, $(-1, 1)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahiptir. Bu değişkenin karesi alınarak $Y = X^2$ şeklinde yeni bir rastgele değişken tanımlanmıştır.

Buna göre, $Y$ değişkeninin $0 < y < 1$ aralığı için birikimli dağılım fonksiyonu $F_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

\sqrt{y}

\frac{\sqrt{y}}{2}

y

y^2

1 - \sqrt{y}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sqrt{y}$

Cevap

√y

fonksiyonu, verilen aralıkta

Y

değişkeninin birikimli dağılımını temsil eder.

Doğru cevap,

P(X^2 \leq y)

ifadesinin

-\sqrt{y}

ile

\sqrt{y}

aralığındaki

X

değerlerinin olasılığına eşit olduğu gerçeğine dayanır.

X

değişkeni

(-1, 1)

aralığında

1/2

yoğunlukla dağıldığı için bu aralıktaki toplam alan

\sqrt{y}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirle.

f_X(x) = \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}

(

-1 < x < 1

için).

Düzgün dağılımda yoğunluk fonksiyonu sabit olup

1/(\text{aralık boyu})

değerine eşittir.

2

Dönüşüm için olasılık tanımını yaz.

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y)

.

Birikimli dağılım fonksiyonu (CDF), değişkenin belirli bir değerden küçük veya eşit olma olasılığıdır.

3

X^2 \leq y

eşitsizliğini

X

cinsinden çöz.

-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}

.

Kareli bir ifade bir sayıdan küçükse, ifadenin kendisi o sayının negatif ve pozitif kökleri arasındadır.

4

X

için belirlenen aralıkta integral alarak olasılığı hesapla.

F_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} dx = [\frac{x}{2}]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{2} - (-\frac{\sqrt{y}}{2}) = \sqrt{y}

.

Belirlenen sınırlar

X

'in tanım aralığı olan

(-1, 1)

içerisinde kaldığından doğrudan integral uygulanır.

Anahtar Kavram

Dağılım Fonksiyonu Yöntemi (CDF Method)

Soru 73Soru →

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri için $U = 5X$ ve $V = 3Y + 4$ dönüşümleri tanımlanmıştır. Buna göre, $(U, V)$ rastgele değişken çiftinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7

h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7

h(u, v) = 15, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7

h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 5, \quad 0 < v < 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $h(u, v) = \frac{1}{15}, \quad 0 < u < 5, \quad 4 < v < 7$

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u, v) = \frac{1}{15}

olup tanım aralığı

0 < u < 5

ve

4 < v < 7

şeklindedir.

Verilen doğrusal dönüşümler sonucunda ters dönüşümler

x = u/5

ve

y = (v-4)/3

olarak bulunur. Bu dönüşümün Jakobiyen determinantı

1/15

olup, sabit olan orijinal yoğunluk fonksiyonu (1) ile çarpıldığında yeni yoğunluk

1/15

olur. Sınırlar ise

x

ve

y

'nin

(0, 1)

aralığında olması kuralına göre

u

için

(0, 5)

ve

v

için

(4, 7)

olarak güncellenir.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm denklemlerini yazınız.

X = \frac{U}{5}

ve

Y = \frac{V - 4}{3}

Orijinal değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek Jakobiyen hesabı için gereklidir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayınız.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/5 & 0 \\ 0 & 1/3 \end{vmatrix} = \frac{1}{15}

Çok değişkenli dönüşümlerde yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmalıdır.

3

Yeni yoğunluk fonksiyonunu (

h(u, v)

) oluşturunuz.

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{15}

Dönüşüm formülü gereği

h(u, v) = f(g_1^{-1}, g_2^{-1}) \cdot |J|

işlemi uygulanır.

4

Yeni değişkenlerin sınırlarını belirleyiniz.

0 < \frac{u}{5} < 1 \Rightarrow 0 < u < 5

ve

0 < \frac{v - 4}{3} < 1 \Rightarrow 4 < v < 7

Dönüşümün geçerli olduğu yeni bölgeyi belirlemek için orijinal sınırlar yeni değişkenler cinsinden yazılmalıdır.

Anahtar Kavram

Jakobiyen dönüşüm yöntemi, çok değişkenli sürekli rastgele değişkenlerin fonksiyonlarının olasılık yoğunluk fonksiyonlarını belirlemek için kullanılır.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin birbirine bağımlı olduğu (örneğin

U = X + Y

ve

V = X - Y

) durumlar için Jakobiyen yöntemini çalışarak karmaşık sınır geçişlerini pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 74Soru →

Bir kamu kurumunda iki bağımsız denetçi ( $X$ ve $Y$ ) tarafından kontrol edilen evraklardaki hata durumları incelenmektedir. Denetçilerin tek bir evrakta buldukları hata sayılarına ( $0$ veya $1$ ) ilişkin olasılık dağılımları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Denetçi	$P(\text{Hata} = 0)$	$P(\text{Hata} = 1)$
Denetçi $X$	$0,40$	$0,60$
Denetçi $Y$	$0,30$	$0,70$

Buna göre, bu iki denetçinin bulduğu toplam hata sayısının ( $Z = X + Y$ ) tam olarak $1$ olma olasılığı kaçtır?

0,12

0,28

0,42

0,46

0,88

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,46

Cevap

İki bağımsız denetçinin toplam hata sayısının tam olarak 1 olma olasılığı 0,46'dır.

İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının olasılığını bulmak için evrişim yöntemi uygulanır.

Z = X + Y = 1

olması durumu,

\{(0,1), (1,0)\}

olaylarının birleşimidir. Değişkenler bağımsız olduğundan, bu olayların olasılıkları

P(X=0)P(Y=1) = 0,28

ve

P(X=1)P(Y=0) = 0,18

olarak hesaplanır. Bu iki ayrık durumun toplamı olan

0,46

doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam hata sayısının (

Z = X + Y

) 1 olmasını sağlayan

(X, Y)

ikililerini belirleyin.

(0, 1)

ve

(1, 0)

durumları.

Z=1

olması için ya birinci denetçi

0

ikinci denetçi

1

hata bulmalı, ya da tam tersi gerçekleşmelidir.

2

Değişkenlerin bağımsızlığı ilkesini kullanarak bu durumların olasılıklarını hesaplayın.

P(X=0, Y=1) = 0,40 \times 0,70 = 0,28

ve

P(X=1, Y=0) = 0,60 \times 0,30 = 0,18

.

Bağımsız rastgele değişkenlerin ortak olasılığı, marjinal olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Belirlenen ayrık durumların olasılıklarını toplayın.

0,28 + 0,18 = 0,46

.

Evrişim (konvolüsyon) kuralı gereği, toplamın olasılığı bu toplamı veren tüm olası kombinasyonların olasılıkları toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bağımsız kesikli rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı (Konvolüsyon)

Tahmini Süre:45s

Soru 75Soru →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = 2, \quad 0 < x < y < 1

Bu değişkenler üzerinde $U = \frac{X}{Y}$ ve $V = Y$ dönüşümleri tanımlanmıştır. Buna göre, $U$ ve $V$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

h(u, v) = 2v, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 2, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = \frac{2}{v}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

h(u, v) = 2v, \quad 0 < u < v < 1

h(u, v) = v, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $h(u, v) = 2v, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u, v) = 2v

olup tanım aralığı

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

şeklindedir.

Verilen dönüşümde

x=uv

ve

y=v

olup Jakobiyen determinantı

v

olarak hesaplanır. Orijinal PDF değeri olan 2 ile bu Jakobiyen çarpıldığında

2v

elde edilir. Destek bölgesi ise

0 < uv < v < 1

kısıtlarından

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

kare bölgesine dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm denklemlerini belirleyin.

x = uv

ve

y = v

Orijinal değişkenleri (

x

ve

y

) yeni değişkenler (

u

ve

v

) cinsinden ifade etmek için gereklidir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v & u \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (v \cdot 1) - (u \cdot 0) = v

Çok değişkenli dönüşümlerde olasılık kütlesinin korunması için alan ölçekleme faktörü hesaplanmalıdır.

3

Yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunu formüle edin.

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 2 \cdot |v| = 2v

Orijinal PDF'de

x

ve

y

yerine

u, v

cinsinden karşılıkları yazılır ve Jakobiyen ile çarpılır.

4

Yeni tanım kümesini (destek bölgesi) elde edin.

0 < uv < v < 1

eşitsizliklerinden

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

bulunur.

Orijinal sınırlardaki (

0 < x < y < 1

) kısıtlamalar yeni değişkenler üzerine taşınmalıdır.

Anahtar Kavram

Jakobiyen yöntemi ile çok değişkenli rastgele değişken dönüşümleri

Daha Fazla Pratik

Bağımsız iki Üstel dağılımlı değişkenin toplamının (

U = X + Y

) dağılımını Jakobiyen yöntemiyle bulmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 76Soru →

Bir $X$ rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu $M_X(t) = e^{t + 0,5t^2}$ olarak tanımlanmıştır. $Y = 2X + 3$ dönüşümü yapıldığında, moment çıkaran fonksiyonların teklik (uniqueness) özelliği yardımıyla $Y$ değişkeninin dağılımı elde edilmektedir.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

5 ve 4

5 ve 2

2 ve 4

5 ve 1

1 ve 0,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5 ve 4

Cevap

Beklenen değeri 5 ve varyansı 4 olan seçenek doğrudur.

Doğru seçenek,

M_Y(t) = e^{3t} M_X(2t)

kuralı uygulandığında ortaya çıkan

e^{5t + 2t^2}

fonksiyonundan hareketle beklenen değerin 5 ve varyansın 4 (çünkü

4/2=2

) olduğunu doğru tespit etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)

genel kuralını kullanarak

Y = 2X + 3

için fonksiyonu kurmak.

M_Y(t) = e^{3t} M_X(2t)

Doğrusal dönüşümlerde moment çıkaran fonksiyonun temel özelliği budur.

2

M_X(2t)

ifadesini verilen

M_X(t) = e^{t + 0,5t^2}

fonksiyonunda

t

yerine

2t

yazarak hesaplamak.

M_X(2t) = e^{2t + 0,5(2t)^2} = e^{2t + 2t^2}

Fonksiyonel dönüşümün çekirdek kısmını belirlemek için parametre değişimi yapılır.

3

Elde edilen ifadeleri çarparak

M_Y(t)

fonksiyonunu sadeleştirmek.

M_Y(t) = e^{3t} \times e^{2t + 2t^2} = e^{5t + 2t^2}

Üslü sayıların çarpımı kuralıyla katsayılar birleştirilir.

4

Sonucu normal dağılımın

M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

genel formuyla karşılaştırıp parametreleri çekmek.

\mu = 5

ve

\sigma^2/2 = 2 \implies \sigma^2 = 4

MGF'nin teklik özelliği, elde edilen formun hangi parametrelere sahip normal dağılıma ait olduğunu belirler.

Anahtar Kavram

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşümü ve Teklik Özelliği

Tahmini Süre:45s

Soru 77Soru →

Bir kamu kurumunda personelin iş yükü endeksi $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x) = 2x, \quad 0 < x < 1$ olarak belirlenmiştir. Kurumdaki yeni bir düzenleme ile bu endeksin $Y = 3X$ şeklinde bir kapasite dönüşümüne uğraması planlanmaktadır. Buna göre, $Y$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 3

f_Y(y) = \frac{2}{3}y, \quad 0 < y < 3

f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 1

f_Y(y) = 2y, \quad 0 < y < 3

f_Y(y) = \frac{y}{3}, \quad 0 < y < 3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 3$

Cevap

f_Y(y) = \frac{2}{9}y, \quad 0 < y < 3

fonksiyonu doğru olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Verilen

f_X(x) = 2x

fonksiyonunda

x

yerine ters dönüşüm olan

y/3

yazılıp, bu ifadenin Jakobiyen değeri olan

1/3

ile çarpılması sonucunda

f_Y(y) = (2y/3) \times (1/3) = 2y/9

elde edilir. Sınırlar da

3

katına çıkarak

0 < y < 3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Ters dönüşüm fonksiyonunu belirle

x = \frac{y}{3}

y = 3x

olduğundan,

x

değişkenini

y

cinsinden ifade etmemiz gerekir.

2

Jakobiyen (türev) değerini hesapla

J = \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{3}

Değişken değiştirme yönteminde, ters fonksiyonun türevi olasılık yoğunluğunu ölçeklemek için gereklidir.

3

Yeni değişkenin sınırlarını (tanım aralığını) belirle

0 < y < 3

0 < x < 1

aralığı

y = 3x

dönüşümü altında

0 < y < 3

aralığına taşınır.

4

Değerleri formülde yerine koy

f_Y(y) = 2\left(\frac{y}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}y

f_Y(y) = f_X(w(y)) \cdot |J|

kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Tek değişkenli sürekli rastgele değişkenlerde,

y=g(x)

dönüşümü için olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)|

formülü ile bulunur.

Daha Fazla Pratik

Doğrusal olmayan dönüşümler (örneğin

Y=X^2

) için bölge analizi yapmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Önce birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) yöntemi kullanılabilir:

F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(3X \leq y) = P(X \leq y/3) = F_X(y/3)

. Ardından bu ifadenin türevi alınarak PDF bulunur:

f_Y(y) = F_Y'(y) = f_X(y/3) \cdot (1/3)

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 78Soru →

Bir kamu kurumunda veri giriş uzmanlarının günlük hata puanlarındaki değişim miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$0,3$	$0,4$	$0,3$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile elde edilen $Y$ rastgele değişkeni için $P(Y=1)$ olasılığı kaçtır?

0,30

0,40

0,60

0,70

1,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,60$

Cevap

Dönüşüm sonucunda

Y=1

olması için

X

değişkeninin

-1

veya

1

değerlerini alması gerekir; bu iki durumun olasılıkları toplamı

0,60

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan

0,60

değeri,

Y=X^2

dönüşümü altında

Y=1

sonucunu veren iki ayrı durumun (

X=-1

ve

X=1

) olasılıklarının toplamıdır.

P(X=-1) = 0,3

ve

P(X=1) = 0,3

olduğu için toplam olasılık

0,6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Y

değişkeninin alabileceği değerleri (destek kümesini) belirleyin.

Y = X^2

olduğunda,

X \in \{-1, 0, 1\}

için

Y \in \{(-1)^2, 0^2, 1^2\} = \{1, 0, 1\}

. Yani

Y \in \{0, 1\}

.

Dönüşümün hangi

X

değerlerini hangi

Y

değerlerine eşlediğini anlamak için gereklidir.

2

Y = 1

durumunu sağlayan

X

değerlerini tespit edin.

Y = 1

olması için

X^2 = 1

denklemi çözülür:

X = -1

veya

X = 1

.

Olasılık kütle fonksiyonunda hangi

X

değerlerinin olasılıklarının toplanacağını belirlemek için gereklidir.

3

P(Y=1)

olasılığını hesaplayın.

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,3 + 0,3 = 0,6

.

Kesikli değişkenlerde, bir

Y

değerine karşılık gelen tüm

X

değerlerinin olasılıkları toplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde dönüşüm yapılırken, yeni değişkenin bir değerine karşılık gelen tüm orijinal değişken değerlerinin olasılıkları toplanmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu

Y = |X|

veya

Y = (X-1)^2

dönüşümleri için çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 79Soru →

Bir araştırmacı, bir deneyden elde edilen $X$ sürekli rastgele değişkeninin $[0, 1]$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip olduğunu saptamıştır. Bu araştırmacı, elde edilen verileri $Y = 4X - 1$ dönüşümü ile standardize etmektedir. Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad -1 < y < 3

f_Y(y) = 1, \quad -1 < y < 3

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad 0 < y < 1

f_Y(y) = 4, \quad -1 < y < 3

f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad -1 < y < 4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $f_Y(y) = \frac{1}{4}, \quad -1 < y < 3$

Cevap

Y rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{1}{4}

olup

-1 < y < 3

aralığında tanımlıdır.

Verilen

X \sim U(0,1)

dağılımı için yoğunluk 1'dir.

Y=4X-1

dönüşümünde ters fonksiyon

X = (Y+1)/4

ve bu ifadenin

y

'ye göre türevi

1/4

olur. Sınırlar ise

x=0

için

y=-1

ve

x=1

için

y=3

olarak bulunur. Bu veriler birleştirildiğinde doğru yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

X

değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) ve sınırlarını belirleyin.

f_X(x) = 1, \quad 0 < x < 1

X

değişkeni

[0, 1]

aralığında düzgün dağılıma sahiptir.

2

Ters dönüşüm fonksiyonunu (

x = g^{-1}(y)

) bulun.

Y = 4X - 1 \Rightarrow X = \frac{Y+1}{4}

Tek değişkenli dönüşüm yönteminde

x

'i

y

cinsinden ifade etmek gerekir.

3

Jakobiyen değerini (ters dönüşümün türevinin mutlak değeri) hesaplayın.

|J| = |\frac{dx}{dy}| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}

Dönüşüm formülünde yoğunluğun ölçeklenmesi için Jakobiyen terimi gereklidir.

4

Y

değişkeninin tanım kümesini (sınırlarını) hesaplayın.

0 < x < 1 \Rightarrow 0 < \frac{y+1}{4} < 1 \Rightarrow 0 < y+1 < 4 \Rightarrow -1 < y < 3

Eski değişkenin sınırları, dönüşüm fonksiyonu aracılığıyla yeni değişkene taşınmalıdır.

5

Dönüşüm formülünü uygulayarak

f_Y(y)

fonksiyonunu yazın.

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

Tek değişkenli sürekli dönüşüm kuralı uygulanmıştır.

Anahtar Kavram

Tek Değişkenli Sürekli Dönüşüm Formülü

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 80Soru →

Bir kamu kurumunun lojistik ambarında, belirli bir yedek parçanın günlük stok seviyesindeki değişim $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (PMF) aşağıda verilmiştir:

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$0,20$	$0,50$	$0,30$

Buna göre, $Y = X^2$ dönüşümü ile tanımlanan $Y$ rastgele değişkeni için $P(Y = 1)$ olasılığı kaçtır?

0,20

0,30

0,50

0,70

0,80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,50$

Cevap

Dönüşüm fonksiyonu

Y = X^2

altında

Y=1

sonucunu veren

X

değerleri

\{-1, 1\}

olduğundan, bu değerlerin olasılıkları toplamı olan

0,50

doğru cevaptır.

Dönüşüm fonksiyonu

Y=X^2

olarak verildiğinde,

Y=1

olması için

X

değişkeninin ya

-1

ya da

1

değerini alması gerekir. Bu iki durum birbirinden ayrık olduğu için

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1)

şeklinde hesaplanır. Tablodaki değerlere göre

0,20 + 0,30 = 0,50

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Y = X^2

fonksiyonunda

Y=1

değerini üreten

X

değerlerini belirleyin.

X = -1

için

(-1)^2 = 1

ve

X = 1

için

(1)^2 = 1

olur. Yani

X \in \{-1, 1\}

.

Kesikli değişken dönüşümlerinde, hedef değerin olasılığı, o değeri üreten tüm kaynak değerlerin olasılıklarının toplamına eşittir.

2

Belirlenen

X

değerlerinin olasılıklarını toplayın.

P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,20 + 0,30 = 0,50

.

Ayrık olayların toplam olasılığı, tekil olasılıkların toplamı ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Fonksiyonel Dönüşüm

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi

Y = |X|

dönüşümü için çözerek destek kümesindeki değişimleri pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Rastgele Değişkenlerin Dönüşümleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram