Tabakalı Rastgele Örnekleme Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir çevre sağlığı enstitüsü, büyük bir göl havzasındaki su kalitesini incelemek için havzayı coğrafi özelliklerine göre 5 farklı alt bölgeye (tabakaya) ayırmıştır. Her bir alt bölgedeki potansiyel numune alma noktası sayıları sırasıyla $N_1 = 400$ , $N_2 = 300$ , $N_3 = 500$ , $N_4 = 200$ ve $N_5 = 100$ olarak belirlenmiştir. Toplamda $n = 150$ adet su numunesi alınması planlanmaktadır.

Buna göre, araştırmacıların eşit dağıtım (equal allocation) yöntemini kullanması durumunda 4. alt bölgeden alması gereken numune sayısı kaçtır ve bu yöntemin orantılı dağıtıma (proportional allocation) tercih edilmesinin en temel teorik nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

30 ; Her bir alt bölge (tabaka) için yapılacak tahminlerin eşit hassasiyete (güvenilirlikte) olmasının hedeflenmesi

20 ; Tabakaların evren içindeki temsil oranlarının örneklemde de birebir korunmak istenmesi

30 ; Tabaka içi değişimi (varyansı) yüksek olan bölgelerden daha fazla numune alınarak genel hata payının düşürülmesi

40 ; Alt bölgelerin heterojenlik düzeylerinin birbirinden farklı olması sebebiyle tabaka örneklem büyüklüklerinin kitle büyüklüğü ile ters orantılı belirlenmesi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30 ; Her bir alt bölge (tabaka) için yapılacak tahminlerin eşit hassasiyete (güvenilirlikte) olmasının hedeflenmesi

Cevap

4. alt bölgeden 30 numune alınmalıdır ve tercih nedeni her tabaka için eşit hassasiyette tahmin elde etmektir.

Eşit dağıtım (equal allocation) yönteminde, toplam örneklem hacmi (

n

) tabaka sayısına (

L

) eşit olarak bölünür. Formül

n_h = \frac{n}{L}

şeklindedir. Dolayısıyla 4. tabakadan alınacak numune sayısı

n_4 = \frac{150}{5} = 30

olmalıdır. Bu yöntemin en temel teorik kullanılma nedeni, her bir alt grubun (tabakanın) kendi istatistiksel sonuçlarının kitle büyüklüğünden bağımsız olarak aynı hata payına (eşit hassasiyete) sahip olmasının hedeflenmesidir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kitle parametrelerini ve örneklem değerlerini belirleme

Kitle büyüklüğü

N = 400+300+500+200+100 = 1500

, örneklem hacmi

n = 150

, tabaka sayısı

L = 5

ve 4. tabaka büyüklüğü

N_4 = 200

olarak belirlenir.

Hangi dağıtım formülünün kullanılacağını seçmek için değişkenlerin listelenmesi gerekir.

2

Eşit dağıtım (equal allocation) formülünü uygulama

n_h = \frac{n}{L}

formülünden

n_4 = \frac{150}{5} = 30

olarak hesaplanır.

Eşit dağıtımda her tabakadan kitledeki büyüklüklerine bakılmaksızın eşit sayıda numune çekilir.

3

Orantılı dağıtım değeriyle karşılaştırma yapma

Eğer orantılı dağıtım kullanılsaydı:

n_4 = n \times \frac{N_4}{N} = 150 \times \frac{200}{1500} = 20

bulunacaktı.

Çeldirici seçeneklerde yer alan 20 değerinin hangi formülden geldiğini teyit etmek.

4

Yöntemin teorik tercih nedenini tanımlama

Eşit dağıtımın amacı, kitle ortalamasını minimum varyansla tahmin etmekten ziyade, her bir tabakanın (alt bölgenin) kendi bağımsız tahminini eşit güvenilirlikte (hassasiyette) yapabilmektir.

Küçük tabakaların (örneğin 5. bölge) örneklemde yetersiz temsil edilip yüksek varyanslı tahminler üretmesinin önüne geçilmek istenir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede eşit dağıtım hesaplaması ve teorik uygulama amacı

Soru 82Soru →

Bir il sağlık müdürlüğü, il genelindeki aile sağlığı merkezlerinde (ASM) bulunan kullanılmamış aşı sayısının toplamını tahmin etmek istemektedir. Aile sağlığı merkezleri, hizmet kapasitelerine göre "A Tipi" ve "B Tipi" olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Bu tabakalara ilişkin kitle büyüklükleri ( $N_h$ ), rastgele seçilen örneklem hacimleri ( $n_h$ ), örneklem ortalamaları ( $\bar{y}_h$ ) ve örneklem varyansları ( $s_h^2$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	$N_h$	$n_h$	$\bar{y}_h$	$s_h^2$
A Tipi	40	10	150	400
B Tipi	160	20	50	100

Buna göre, ildeki toplam kullanılmamış aşı sayısına ilişkin tahmin edicinin varyansı ( $\hat{V}(\hat{\tau}_{st})$ ) kaçtır?

4

1.900

14.000

160.000

192.000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $160.000$

Cevap

İldeki toplam kullanılmamış aşı sayısına ilişkin tahmin edicinin varyansı

160.000

'dir.

Tabakalı rastgele örneklemede kitle toplamının varyansını tahmin etmek için her tabakanın varyans katkısı hesaplanır ve toplanır. Formül

\hat{V}(\hat{\tau}_{st}) = \sum N_h^2 (1 - \frac{n_h}{N_h}) \frac{s_h^2}{n_h}

şeklindedir. A Tipi için bu değer

1600 \times 0.75 \times 40 = 48.000

; B Tipi için

25600 \times 0.875 \times 5 = 112.000

olarak bulunur. Bu iki tabakanın katkılarının toplamı olan

160.000

, aranan toplam varyanstır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabakalı örneklemede kitle toplamının varyansı formülünü belirleme

\hat{V}(\hat{\tau}_{st}) = \sum_{h=1}^L N_h^2 (1 - f_h) \frac{s_h^2}{n_h}

formülü kullanılacaktır. Burada

f_h = \frac{n_h}{N_h}

örnekleme kesridir.

Kitle toplamı varyansını hesaplamak için tabaka büyüklükleri, örneklem hacimleri, tabaka varyansları ve SKD çarpanı birlikte değerlendirilmelidir.

2

A Tipi tabaka için varyans katkısını hesaplama

N_1=40

,

n_1=10

için

f_1=10/40=0.25

ve

SKD=0.75

'tir. Birinci tabakanın varyansa katkısı:

40^2 \times 0.75 \times (400/10) = 1600 \times 0.75 \times 40 = 48.000

bulunur.

Genel varyansa ulaşmak için öncelikle A Tipi tabakanın bireysel varyans katkısının hesaplanması gerekir.

3

B Tipi tabaka için varyans katkısını hesaplama

N_2=160

,

n_2=20

için

f_2=20/160=0.125

ve

SKD=0.875

'tir. İkinci tabakanın varyansa katkısı:

160^2 \times 0.875 \times (100/20) = 25600 \times 0.875 \times 5 = 112.000

bulunur.

Genel varyansa ulaşmak için B Tipi tabakanın da bireysel varyans katkısının hesaplanması gerekir.

4

Tabaka katkılarını toplayarak kitle toplamı varyansını bulma

\hat{V}(\hat{\tau}_{st}) = 48.000 + 112.000 = 160.000

olarak elde edilir.

Tabakalar birbirinden bağımsız olarak oluşturulduğundan, tabaka varyansları toplanarak tüm kitle için tahmini toplam varyansa ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tabakalı Rastgele Örneklemede Kitle Toplamının Tahmini ve Varyansı

Soru 83Soru →

Ulusal çapta bir sağlık araştırması planlayan bir istatistikçi, ülkedeki illeri sosyo-ekonomik gelişmişlik düzeylerine göre alt gruplara (tabakalara) ayırmış ve her bir tabakadan bağımsız olarak rastgele örneklem çekerek tabakalı rastgele örnekleme tasarımını uygulamıştır.

Tabakalı rastgele örnekleme yönteminin teorik temelleri ve uygulanışı ile ilgili olarak verilen;

I. Tabaka oluşturma aşamasında, her bir tabakanın kendi içinde olabildiğince heterojen, tabakalar arasındaki farklılıkların ise asgari düzeyde (homojen) olması ilkesine uyulmalıdır.
II. Tabakalı örneklemede hesaplanan örnekleme hatası (standart hata); temel olarak gözlem birimlerinin eksik listelenmesi, cevaplayıcı hataları veya ölçüm farklılıklarından kaynaklanan rassal olmayan bir hatadır.
III. İlgilenilen değişken bakımından kitledeki toplam değişimin (varyansın) büyük bir bölümü tabakalar arasındaki farklılıklardan kaynaklanıyorsa, bu yöntem basit rastgele örneklemeye kıyasla daha kesin (düşük varyanslı) tahminler sağlar.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

Yalnız III

I ve II

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnızca III numaralı öncülün yer aldığı seçenek doğrudur.

Verilen öncüller incelendiğinde; tabakalı örneklemenin temel kuralı tabaka içinin homojen, tabakalar arasının heterojen olmasıdır (I. öncül yanlış). Çerçeve ve ölçüm hataları örnekleme hatası değil, 'örnekleme dışı hatalar'dır (II. öncül yanlış). Tabakalı örneklemede tahminleyicinin varyansında tabakalar arası varyansın etkisi sıfırlandığı için, toplam varyansın büyük kısmının tabakalar arası farklılıktan gelmesi yöntemin basit rastgele örneklemeye göre etkinliğini (efficiency) büyük ölçüde artırır. Dolayısıyla sadece III numaralı öncül doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

I numaralı öncülün değerlendirilmesi

I numaralı öncül yanlıştır.

Tabakalı örneklemenin temel mantığı, kitleyi kendi içinde olabildiğince birbirine benzeyen (homojen) ve birbirinden olabildiğince farklı (heterojen) tabakalara ayırmaktır. Öncülde bu ilke tam tersi şekilde (içi heterojen, arası homojen) ifade edilmiştir.

2

II numaralı öncülün değerlendirilmesi

II numaralı öncül yanlıştır.

Örnekleme hatası (standart hata), kitle yerine sadece bir örneklem kullanılmasından (rassallıktan) kaynaklanan varyanstır. Öncülde sayılan eksik listeleme, cevaplayıcı ve ölçüm hataları ise örneklemeye özgü olmayan 'örnekleme dışı hatalar' (non-sampling errors) sınıfına girer.

3

III numaralı öncülün değerlendirilmesi

III numaralı öncül doğrudur.

Tabakalı örneklemede kitle ortalamasının varyansı hesaplanırken sadece tabaka içi varyanslar (

S_h^2

) hesaba katılır. Kitledeki toplam varyansın büyük kısmı tabakalar arasındaki farklılıktan kaynaklanıyorsa, bu farklılık varyans hesaplamasının dışında kalacağı için tabakalı örnekleme basit rastgele örneklemeye göre çok daha kesin ve düşük varyanslı bir tahmin sağlar.

Anahtar Kavram

Tabakalı Rastgele Örneklemenin Temel Kavramları ve Etkinlik Koşulları

Soru 84Soru →

Bir ulusal sağlık kurumu araştırmacısı, belirli bir kronik hastalığa sahip hastaların yıllık ortalama tedavi maliyetlerini ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanacaktır. Kitledeki toplam maliyet varyansı $S^2 = 1200$ birimkaredir.

Araştırmacı, kitleyi tabakalara ayırmak için üç farklı aday değişken ( $X_1, X_2, X_3$ ) belirlemiş ve her bir değişken kullanıldığında kitlenin tabaka içi varyans ( $S^2_W$ ) ve tabakalar arası varyans ( $S^2_B$ ) bileşenlerinin nasıl dağılacağını aşağıdaki gibi hesaplamıştır:

Tabakalama Değişkeni	Tabaka İçi Varyans ( $S^2_W$ )	Tabakalar Arası Varyans ( $S^2_B$ )
$X_1$ : Coğrafi Bölge	900	300
$X_2$ : Hastalık Evresi	150	1050
$X_3$ : Kan Grubu	1150	50

Tabakalı rastgele örneklemenin temel ilkeleri göz önüne alındığında, tahminleyicinin varyansını en aza indirmek (etkinliği maksimize etmek) için araştırmacının hangi değişkeni tabakalama ölçütü olarak kullanması en uygundur ve bu seçimin istatistiksel gerekçesi nedir?

X_2

ölçütü kullanılmalıdır; çünkü bu değişken kullanıldığında tabakalar kendi içinde olabildiğince homojen, tabakalar arasında ise olabildiğince heterojen hale gelerek tahminin duyarlılığı artmıştır.

X_3

ölçütü kullanılmalıdır; çünkü tabaka içi varyansın yüksek olması, her tabakanın kitledeki tüm çeşitliliği kendi içinde tam olarak yansıtmasını (tabaka içi heterojenlik) sağlayarak örneklem temsilini güçlendirir.

X_2

ölçütü kullanılmalıdır; çünkü tabakalar arası varyansın en yüksek değere ulaşması, kitle parametreleri ile hesaplanan örneklem istatistikleri arasındaki farkın teorik olarak kapanmasını garanti eder.

X_1

ölçütü kullanılmalıdır; çünkü tabaka içi varyans ile tabakalar arası varyansın dengeli dağılımı, örnekleme hataları ile örnekleme dışı hataların birbirini sönümlemesini sağlayarak yansız bir tahmin üretir.

X_3

ölçütü kullanılmalıdır; çünkü tabakalar arası varyansın minimum olması, tabakaların birbirine çok benzemesini sağlayarak (tabakalar arası homojenlik) tabakalı örneklemenin temel amacını gerçekleştirir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_2$ ölçütü kullanılmalıdır; çünkü bu değişken kullanıldığında tabakalar kendi içinde olabildiğince homojen, tabakalar arasında ise olabildiğince heterojen hale gelerek tahminin duyarlılığı artmıştır.

Cevap

Araştırmacı, tabaka içi varyansı en küçük olan hastalık evresi değişkenini kullanmalıdır. Bu sayede tabakalar kendi içinde homojen, kendi aralarında ise heterojen olur.

Tabakalı rastgele örneklemede temel amaç, popülasyonu alt gruplara ayırarak kitle ortalaması tahmini için varyansı en aza indirmektir. Bu ancak tabakaların kendi içlerinde birbirine çok benzeyen (homojen,

S^2_W

düşük) ve tabakalar arasında birbirinden oldukça farklı (heterojen,

S^2_B

yüksek) birimlerden oluşmasıyla mümkündür. Verilen tabloda tabaka içi varyansı 150 birimkareye kadar düşüren

X_2

değişkeni, bu homojenlik ve heterojenlik koşullarını en iyi sağlayan ölçüttür.

Adım Adım Çözüm

1

Tabakalı örneklemede toplam varyansın parçalanmasını analiz et.

Toplam varyans, tabaka içi varyans (

S^2_W

) ile tabakalar arası varyansın (

S^2_B

) toplamından oluşur.

Hangi varyans bileşeninin hedeflenmesi gerektiğini belirlemek.

2

Tabakalı örneklemenin varyans küçültme stratejisini hatırla.

Tahmin edicinin varyansı temel olarak

S^2_W

bileşenine dayanır.

S^2_W

ne kadar küçükse, örneklem o kadar duyarlı (etkin) olur.

Tabaka oluşturma ilkelerinin temel felsefesini matematiksel hedefe bağlamak.

3

Tablodaki verileri kıyasla ve en uygun değişkeni seç.

X_2

değişkeni (150) en düşük

S^2_W

değerine ve dolayısıyla en yüksek

S^2_B

(1050) değerine sahiptir.

Kavramsal hedefi veriler üzerinde doğrulamak.

4

İstatistikteki homojenlik ve heterojenlik terimlerini bu sonuçla eşleştir.

Düşük

S^2_W

tabakaların 'içi homojen', yüksek

S^2_B

ise tabakaların 'arası heterojen' anlamına gelir.

Doğru seçeneğin hem sayısal analizi hem de teorik gerekçeyi doğru yansıttığından emin olmak.

Anahtar Kavram

Tabaka Oluşturma İlkeleri ve Kriterleri (Homojenlik/Heterojenlik)

Soru 85Soru →

Bir Bölge Gümrük Müdürlüğü, ithalat beyannamelerinin incelenme sürelerini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yapacaktır. Beyannameler risk düzeylerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Geçmiş çalışmalardan elde edilen bilgilere göre, her bir tabakadaki beyanname sayısı ( $N_h$ ) ve inceleme sürelerinin standart sapmaları ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Risk Düzeyi	Beyanname Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	Düşük Risk	6000	10
2	Orta Risk	4000	15
3	Yüksek Risk	2000	20

Kurum, maliyetleri ve uygulama kolaylığını göz önünde bulundurarak toplam $n = 360$ hacmindeki bir örneklemi tabakalara orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemiyle dağıtmaya karar vermiştir.

Buna göre, sırasıyla düşük, orta ve yüksek risk tabakalarından seçilecek örneklem hacimleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

180, \ 120, \ 60

135, \ 135, \ 90

120, \ 120, \ 120

80, \ 120, \ 160

60, \ 120, \ 180

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $180, \ 120, \ 60$

Cevap

Sırasıyla düşük, orta ve yüksek risk tabakalarından 180, 120 ve 60 beyanname seçilmelidir.

Orantılı dağıtım yönteminde, örneklem hacmi tabakaların kitle içindeki büyüklükleriyle (

N_h

) orantılı olarak dağıtılır. Verilen standart sapma (

S_h

) değerleri, bu yöntemde formüle dahil edilmeyen çeldirici verilerdir. Formül

n_h = n \times \frac{N_h}{N}

şeklindedir. Toplam kitle hacmi

N = 12000

olarak bulunduktan sonra, her tabaka için

360 \times (N_h / 12000)

işlemi uygulandığında sırasıyla 180, 120 ve 60 değerlerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitledeki toplam beyanname sayısını (

N

) hesaplama

N = 6000 + 4000 + 2000 = 12000

Orantılı dağıtım formülünde her bir tabakanın kitle içindeki ağırlığını (oranını) bulmak için toplam kitle hacmine ihtiyaç vardır.

2

Orantılı dağıtım formülünü kullanarak Düşük Risk (1. Tabaka) için örneklem hacmini (

n_1

) hesaplama

n_1 = n \times \frac{N_1}{N} = 360 \times \frac{6000}{12000} = 360 \times 0.5 = 180

Örneklem hacmi, tabakanın kitledeki büyüklüğü ile orantılı olarak dağıtılır.

3

Orta Risk (2. Tabaka) için örneklem hacmini (

n_2

) hesaplama

n_2 = 360 \times \frac{4000}{12000} = 360 \times \frac{1}{3} = 120

Orta risk tabakasının kitledeki ağırlığına göre payı belirlenir.

4

Yüksek Risk (3. Tabaka) için örneklem hacmini (

n_3

) hesaplama ve toplamı kontrol etme

n_3 = 360 \times \frac{2000}{12000} = 360 \times \frac{1}{6} = 60

. Toplam:

180 + 120 + 60 = 360

.

Yüksek risk tabakasının payı bulunur ve hesaplanan hacimlerin toplam örneklem hacmine (

n=360

) eşit olduğu teyit edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede, örneklem hacminin tabakaların kitle içindeki ağırlıkları (

W_h = N_h/N

) oranında dağıtılmasıdır. Standart sapma (

S_h

) gibi diğer değişkenler bu dağıtımda dikkate alınmaz.

Soru 86Soru →

Bir ildeki vergi dairesi, mükelleflerin yıllık beyan ettikleri matrahları incelemek üzere tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle bir araştırma planlamaktadır. Mükellefler, tabi oldukları vergi türüne göre üç tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ait mükellef sayıları ( $N_h$ ) ve ön çalışmadan elde edilen standart sapma tahminleri ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Vergi Türü	Mükellef Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	Kurumlar Vergisi	1500	20
2	Gelir Vergisi	4500	20
3	Basit Usul	3000	10

Bu araştırmada toplam örneklem hacmi $n = 300$ olarak belirlenmiştir. Araştırmacı, tabaka standart sapmalarının farklılık gösterdiğini bilmesine rağmen, örneklem hacmini tabakalara dağıtırken orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, her bir tabakadan seçilecek örneklem hacimleri ( $n_1, \ n_2, \ n_3$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

n_1 = 50, \ n_2 = 150, \ n_3 = 100

n_1 = 60, \ n_2 = 180, \ n_3 = 60

n_1 = 100, \ n_2 = 100, \ n_3 = 100

n_1 = 120, \ n_2 = 120, \ n_3 = 60

n_1 = 125, \ n_2 = 75, \ n_3 = 100

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n_1 = 50, \ n_2 = 150, \ n_3 = 100$

Cevap

Her bir tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacimleri sırasıyla 50, 150 ve 100 olmalıdır.

Doğru seçenekte, orantılı dağıtım kuralı (

n_h = n \cdot \frac{N_h}{N}

) eksiksiz uygulanmıştır. Toplam nüfus

N = 9000

'dir. Birinci tabaka için

300 \cdot (1500/9000) = 50

, ikinci tabaka için

300 \cdot (4500/9000) = 150

ve üçüncü tabaka için

300 \cdot (3000/9000) = 100

bulunmuştur. Hesaplanan bu değerler doğrudan doğru cevabı oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

Kitledeki toplam eleman sayısını (

N

) hesapla.

N = N_1 + N_2 + N_3 = 1500 + 4500 + 3000 = 9000

mükellef.

Orantılı dağıtımda, her tabakanın kitle içindeki ağırlığını (oranını) bulmak için öncelikle toplam kitle büyüklüğü bilinmelidir.

2

Her tabakanın kitle içindeki ağırlığını (

W_h = N_h / N

) belirle.

W_1 = 1500 / 9000 = 1/6

W_2 = 4500 / 9000 = 1/2

W_3 = 3000 / 9000 = 1/3

Orantılı dağıtımın temel mantığı, tabakaların örneklemdeki temsil oranının, kitledeki temsil oranına tam olarak eşit (

w_h = W_h

) olmasıdır.

3

Orantılı dağıtım formülünü (

n_h = n \cdot W_h

) uygulayarak tabaka örneklem hacimlerini hesapla.

n_1 = 300 \cdot (1/6) = 50

n_2 = 300 \cdot (1/2) = 150

n_3 = 300 \cdot (1/3) = 100

Toplam

n=300

birimlik örneklem, hesaplanan ağırlıklara göre dağıtılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Orantılı dağıtımda (proportional allocation), örneklem büyüklüğü tabakalara sadece tabakaların kitle içindeki büyüklükleriyle (

N_h

) orantılı olarak dağıtılır; tabaka varyansları (

S_h^2

) veya standart sapmaları hesaba katılmaz.

Soru 87Soru →

Bir tarım il müdürlüğü, il genelindeki tarımsal işletmelerin yıllık gübre harcamalarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanacaktır. İşletmeler büyüklüklerine göre "Büyük" ve "Küçük" olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ilişkin kitle büyüklükleri ( $N_h$ ), standart sapmalar ( $S_h$ ) ve her bir tabakadan birim veri derleme maliyetleri ( $c_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	$N_h$	$S_h$	$c_h$ (TL)
1 (Büyük)	4000	12	16
2 (Küçük)	6000	10	4

Maliyet kısıtı altında kitle ortalamasının varyansını minimum yapmak amacıyla toplam 630 işletmelik bir örneklem hacmi belirlenmiştir.

**Buna göre, optimum dağıtım yöntemi kullanıldığında 1. tabakadan (Büyük İşletmeler) seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_1$ ) aşağıdakilerden hangisidir?**

105

252

180

280

450

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Optimum dağıtım yöntemi formülü uygulandığında 1. tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacmi 180'dir.

Doğru sonuca ulaşmak için maliyet kısıtı altında optimum dağıtım formülü olan

n_h = n \frac{N_h S_h / \sqrt{c_h}}{\sum (N_h S_h / \sqrt{c_h})}

kullanılmalıdır. 1. tabaka için

4000 \times 12 / \sqrt{16} = 12000

, 2. tabaka için

6000 \times 10 / \sqrt{4} = 30000

değerleri elde edilir. Toplam 42000 ağırlık üzerinden 1. tabakanın payı

12000/42000 = 2/7

'dir. Toplam örneklem hacmi 630 ile çarpıldığında

630 \times 2/7 = 180

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Optimum dağıtım (maliyet kısıtı altında) formülünü belirle.

n_h = n \frac{N_h S_h / \sqrt{c_h}}{\sum (N_h S_h / \sqrt{c_h})}

Maliyet ve varyansların farklı olduğu durumlarda örneklem hacmini tabakalara dağıtırken maliyetin karekökü ile ters orantılı, kitle büyüklüğü ve standart sapma ile doğru orantılı dağıtım yapılır.

2

1. Tabaka (Büyük İşletmeler) için dağıtım ağırlığı payını hesapla.

N_1 S_1 / \sqrt{c_1} = (4000 \times 12) / \sqrt{16} = 48000 / 4 = 12000

Formülün pay kısmındaki değeri birinci tabaka verileriyle bulmak gereklidir.

3

2. Tabaka (Küçük İşletmeler) için dağıtım ağırlığı payını hesapla.

N_2 S_2 / \sqrt{c_2} = (6000 \times 10) / \sqrt{4} = 60000 / 2 = 30000

Formülün paydasındaki toplamı bulabilmek için ikinci tabakanın da ağırlık payı hesaplanmalıdır.

4

Toplam ağırlığı bul ve 1. tabakanın örneklem hacmini (

n_1

) hesapla.

Toplam

= 12000 + 30000 = 42000

. Buna göre

n_1 = 630 \times (12000 / 42000) = 630 \times (2/7) = 180

.

Genel örneklem hacmi (

n=630

), birinci tabakanın toplam içindeki payı ile çarpılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Maliyet Kısıtı Altında Optimum Dağıtım

Soru 88Soru →

Enerji Piyasası Düzenleme Kurumu (EPDK), bir elektrik dağıtım bölgesindeki akıllı sayaçların okuma hata paylarını incelemek üzere bir denetim çalışması planlamaktadır. Bölgedeki aboneler kullanım türlerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Araştırmada kullanılmak üzere, geçmiş verilere dayanılarak her tabaka için okuma hatalarının varyansları ( $S_h^2$ ) tahmin edilmiştir.

Araştırmada birim maliyetlerin tabakalar arasında eşit olduğu varsayılmış olup, toplam $n = 500$ akıllı sayaçtan oluşan bir örneklem seçilecektir.

Aşağıdaki tabloda her bir tabakadaki abone sayıları ( $N_h$ ) ve tahmin edilen tabaka varyansları ( $S_h^2$ ) verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Kullanım Türü	Abone Sayısı ( $N_h$ )	Tabaka Varyansı ( $S_h^2$ )
1	Mesken	39.000	100
2	Ticarethane	10.000	1.681
3	Sanayi	1.000	40.000

Buna göre, optimum (Neyman) dağıtımı kullanıldığında Ticarethane (Tabaka 2) grubundan seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_2$ ) kaçtır?

82

100

138

195

205

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 205

Cevap

Ticarethane grubu için seçilmesi gereken örneklem hacmi 205'tir.

Ticarethane grubu için doğru örneklem hacmi 205'tir. Neyman dağıtımında

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

formülü kullanılır. Öncelikle varyans değerlerinin (

S_h^2

) karekökü alınarak standart sapmalar (

S_h

) 10, 41 ve 200 olarak bulunmalıdır. Tabaka büyüklükleri ile çarpıldığında Ticarethane için

10.000 \times 41 = 410.000

, toplam payda ise

1.000.000

olur. Toplam

n=500

hacim bu orana göre dağıtıldığında Ticarethane payı

500 \times 0,41 = 205

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Neyman dağıtımı formülünde kullanılacak olan standart sapma (

S_h

) değerlerini elde etmek için tabloda verilen varyans (

S_h^2

) değerlerinin karekökü alınır.

S_1 = \sqrt{100} = 10

,

S_2 = \sqrt{1.681} = 41

,

S_3 = \sqrt{40.000} = 200

Neyman dağıtımı formülü varyans ile değil, standart sapma ile çalışır.

2

Her bir tabaka için tabaka büyüklüğü (

N_h

) ile standart sapma (

S_h

) çarpılarak

N_h S_h

değerleri bulunur.

Mesken:

39.000 \times 10 = 390.000

Ticarethane:

10.000 \times 41 = 410.000

Sanayi:

1.000 \times 200 = 200.000

Dağıtım ağırlıkları bu çarpımların sonucuna göre belirlenir.

3

Tüm tabakaların

N_h S_h

çarpımları toplanarak payda hesaplanır (

\sum N_h S_h

).

\sum N_h S_h = 390.000 + 410.000 + 200.000 = 1.000.000

Her tabakanın oransal payını bulmak için toplam değere ihtiyaç vardır.

4

Ticarethane (Tabaka 2) için Neyman dağıtımı formülü (

n_2 = n \times \frac{N_2 S_2}{\sum N_h S_h}

) uygulanır.

n_2 = 500 \times \frac{410.000}{1.000.000} = 500 \times 0,41 = 205

İstenen tabakaya düşen örneklem payı kesin olarak hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

Neyman dağıtımında örneklem hacminin, tabakaların büyüklüğü (

N_h

) ve standart sapmalarıyla (

S_h

) doğru orantılı olarak dağıtılması.

Soru 89Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) uzmanları, ülkedeki işletmelerin yenilikçilik kapasitelerini ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme tasarımı planlamaktadır. Kitle, işletme büyüklüklerine göre $L$ adet tabakaya ayrılmış ve her tabakadaki işletme sayısı ( $N_h$ ) birbirinden farklı bulunmuştur ( $N_1 \neq N_2 \neq \dots \neq N_L$ ).

Maliyetlerin her tabakada eşit olduğu varsayımı altında, uzmanlar toplam $n$ hacimli örneklemi tabakalara eşit dağıtım ( $n_h = \frac{n}{L}$ ) yöntemiyle paylaştırmıştır. Araştırma sonucunda, seçilen bu eşit dağıtım yönteminin kitle ortalamasını tahmin etmede optimum dağıtım (Neyman dağıtımı) ile tamamen aynı varyansı ürettiği ve maksimum etkinliğe ulaştığı matematiksel olarak ispatlanmıştır.

Buna göre, bu kitledeki tabaka varyansları ( $S_h^2$ ) ile tabaka büyüklükleri ( $N_h$ ) arasındaki teorik ilişki aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?

Tabaka varyansları, tabaka büyüklüklerinin karesi ile ters orantılıdır.

Tabaka varyansları, tüm tabakalarda birbirine eşittir.

Tabaka varyansları, tabaka büyüklükleri ile doğru orantılıdır.

Tabaka varyansları, tabaka büyüklükleri ile ters orantılıdır.

Tabaka standart sapmaları, tabaka büyüklükleri ile doğru orantılıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tabaka varyansları, tabaka büyüklüklerinin karesi ile ters orantılıdır.

Cevap

Tabaka varyanslarının, tabaka büyüklüklerinin karesi ile ters orantılı olduğu ifade

Neyman (optimum) dağıtımında örneklem, tabaka büyüklüğü ve tabaka standart sapmasının çarpımı (

N_h S_h

) ile orantılı olarak dağıtılır. Eşit dağıtımın optimum olabilmesi için bu çarpımın tüm tabakalarda birbirine eşit (sabit) olması zorunludur.

N_h S_h = C

denkleminden

S_h = C / N_h

elde edilir. İki tarafın karesi alındığında tabaka varyansının (

S_h^2

), tabaka büyüklüğünün karesi (

N_h^2

) ile ters orantılı olduğu açıkça görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Neyman dağıtımı (maliyetlerin eşit olduğu optimum dağıtım) formülünü yaz

n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_i S_i}

Soruda eşit dağıtımın Neyman dağıtımı ile aynı sonucu verdiği belirtilmiştir.

2

Eşit dağıtım formülünü yaz

n_h = \frac{n}{L}

Eşit dağıtımda toplam örneklem hacmi tabaka sayısına (L) bölünür.

3

İki formülü birbirine eşitleyerek ilişkiyi kur

n \frac{N_h S_h}{\sum N_i S_i} = \frac{n}{L} \implies N_h S_h = \frac{\sum N_i S_i}{L}

İki yöntemin aynı örneklem dağılımını vermesi için n_h değerlerinin birbirine eşit olması gerekir.

4

Elde edilen eşitliği analiz et

N_h S_h = \text{Sabit (C)}

\implies

S_h = \frac{C}{N_h}

Eşitliğin sağ tarafı belirli bir kitle için h indisinden bağımsız bir sabittir. Bu, tabaka standart sapmasının tabaka büyüklüğü ile ters orantılı olduğunu gösterir.

5

Standart sapma ilişkisini varyansa dönüştür

S_h^2 = \frac{C^2}{N_h^2} \implies S_h^2 \propto \frac{1}{N_h^2}

Soru tabaka varyansları (

S_h^2

) ile tabaka büyüklükleri (

N_h

) arasındaki ilişkiyi sormaktadır. Her iki tarafın karesi alındığında varyansın, büyüklüğün karesiyle ters orantılı olduğu bulunur.

Anahtar Kavram

Optimum (Neyman) Dağıtım ve Eşit Dağıtım İlişkisi

Soru 90Soru →

Bir kamu araştırma enstitüsü, Türkiye genelindeki KOBİ'lerin (Küçük ve Orta Büyüklükteki İşletmeler) yıllık Ar-Ge harcamalarının kitle ortalamasını ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme tasarımı uygulamayı planlamaktadır. Uzmanlar, kitleyi tabakalara ayırmak için üç farklı yardımcı değişken ( $X_1, X_2, X_3$ ) önermiştir.

Bu değişkenlerin her biri için kitlenin toplam varyansı ( $S^2$ ), 'tabaka içi varyans' ( $S_w^2$ ) ve 'tabakalar arası varyans' ( $S_b^2$ ) bileşenlerine ayrıştırılarak aşağıdaki bulgular elde edilmiştir:

I. $X_1$ değişkenine göre oluşturulan tabakalama yapısında, toplam varyansın çok büyük bir kısmı tabaka içi varyans ( $S_w^2$ ) bileşeninden kaynaklanmaktadır.
II. $X_2$ değişkenine göre oluşturulan tabakalama yapısında, tabakalar arası varyans ( $S_b^2$ ) bileşeni maksimum değere ulaşmış olup, tabaka içi varyanslar nispeten çok küçüktür.
III. $X_3$ değişkenine göre oluşturulan tabakalama yapısında ise tabakalar kendi içlerinde kitleye benzer şekilde yüksek varyasyona (heterojen yapıya) sahiptir ve her bir tabakanın ortalaması kitle ortalamasına çok yakındır.

Tabakalı örneklemede tasarımın etkinliğini (hassasiyetini) maksimize etmek isteyen bir araştırmacının hangi değişkeni seçmesi gerektiği ve bunun teorik gerekçesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

X_2

değişkeni seçilmelidir; çünkü tabakalı örneklemede tahmin edicinin varyansı tabaka içi varyanslara (

S_w^2

) bağlıdır ve tabakalar arası heterojenliğin (

S_b^2

) maksimize edilmesi tabaka içi homojenliği artırarak etkinliği yükseltir.

X_3

değişkeni seçilmelidir; çünkü her bir tabakanın kitlenin küçük bir modeli gibi kendi içinde heterojen olması, örneklemin kitleyi temsil gücünü artırarak örnekleme hatasını en aza indirir.

X_1

değişkeni seçilmelidir; çünkü kitle varyansının büyük kısmının tabaka içi varyansla (

S_w^2

) açıklanması, tabakalama işlemi sayesinde kitlenin tüm varyasyonunun korunduğunu ve yansızlığın sağlandığını gösterir.

X_2

değişkeni seçilmelidir; ancak bunun temel amacı tabakalar arası varyansı (

S_b^2

) artırarak tasarım etkisini (deff) 1'den büyük hale getirmek ve böylece basit rastgele örneklemeye göre örneklem hacminden tasarruf etmektir.

X_1

değişkeni seçilmelidir; çünkü toplam varyansın tabaka içine (

S_w^2

) kayması, örneklem istatistiklerinin kitle parametrelerinden sapmasını engelleyerek ölçüm ve çerçeve gibi örnekleme dışı hataları ortadan kaldırır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_2$ değişkeni seçilmelidir; çünkü tabakalı örneklemede tahmin edicinin varyansı tabaka içi varyanslara ( $S_w^2$ ) bağlıdır ve tabakalar arası heterojenliğin ( $S_b^2$ ) maksimize edilmesi tabaka içi homojenliği artırarak etkinliği yükseltir.

Cevap

X_2

değişkeni seçilmelidir. Gerekçe olarak, tabaka içi varyansların minimize edilip tabakalar arası varyansın maksimize edilmesinin tabaka içi homojenliği sağlayarak tahmin edici varyansını düşürmesi gösterilmelidir.

Tabakalı örneklemede temel amaç, tabaka içi homojenliği (düşük

S_w^2

) ve tabakalar arası heterojenliği (yüksek

S_b^2

) sağlamaktır. Tahmin edicinin varyansı

V(\bar{y}_{st})

doğrudan tabakaların kendi içindeki varyanslarına (

S_h^2

) bağlıdır. Toplam varyans (

S^2

) sabit kabul edildiğinde, varyansın tabakalar arası bileşene (

S_b^2

) kaydırılması (maksimize edilmesi), doğal olarak tabaka içi varyansı minimize edecektir. Bu teorik altyapıyı eksiksiz sağlayan değişken

X_2

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Tabakalı örneklemede etkinliği artıran temel matematiksel prensibi belirle.

Tabakalı örneklemede kitle ortalamasının tahmin edicisinin varyansı

V(\bar{y}_{st})

, tabakaların kendi içindeki varyanslarının (

S_h^2

) ağırlıklı bir fonksiyonudur.

Varyansı minimize etmek için tabaka içi varyansların mümkün olduğunca küçük olması gerekir.

2

Kitle varyansının bileşenlere ayrışımını (ANOVA mantığı) analiz et.

Toplam varyans sabit bir değerdir ve yaklaşık olarak tabaka içi varyans (

S_w^2

) ile tabakalar arası varyansın (

S_b^2

) toplamına eşittir (

S^2 \approx S_w^2 + S_b^2

).

S_w^2

değerini minimize etmek, matematiksel olarak

S_b^2

değerini maksimize etmekle mümkündür.

3

Verilen üç değişkenin (

X_1, X_2, X_3

) varyans ayrışımını değerlendir.

X_1

yüksek

S_w^2

'ye,

X_3

her biri kitleye benzeyen (yüksek varyanslı) tabakalara,

X_2

ise düşük

S_w^2

ve yüksek

S_b^2

'ye sahiptir.

Tabaka oluşturma ilkelerine (tabaka içi homojenlik, tabakalar arası heterojenlik) en uygun değişkeni tespit etmek için.

4

Tasarım etkisi (Design Effect - deff) kavramını kontrol et.

Etkin bir tabakalı örneklemede varyans, basit rastgele örneklemeden düşük olacağı için deff < 1 olmalıdır.

Seçeneklerdeki yanıltıcı gerekçeleri (deff > 1) elemek için.

5

Doğru değişkeni ve teorik gerekçesini birleştir.

Maksimum etkinlik için

S_b^2

'yi maksimize edip

S_w^2

'yi minimize eden

X_2

seçilmeli ve deff < 1 hedeflenmelidir.

En uygun stratejiyi nihai cevaba dönüştürmek için.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Varyans Ayrışımı ve Homojenlik İlkesi

Soru 91Soru →

Bir liman işletme müdürlüğü, envanterinde bulunan araç ve makinelerin yeni iş sağlığı ve güvenliği protokollerine uyum oranını tahmin etmek istemektedir. Araçlar kapasitelerine göre iki tabakaya ayrılmış ve tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Elde edilen veriler aşağıda verilmiştir:

* 1. Tabaka (Ağır Yük Vinçleri): Toplam $N_1 = 75$ adet araçtan $n_1 = 25$ adet araç seçilmiş ve bu araçlardan $a_1 = 10$ tanesinin protokole uyumlu olduğu gözlenmiştir.
* 2. Tabaka (Mobil İş Makineleri): Toplam $N_2 = 50$ adet araçtan $n_2 = 10$ adet araç seçilmiş ve bu araçlardan $a_2 = 1$ tanesinin protokole uyumlu olduğu gözlenmiştir.

*(Not: Tabaka içi örneklem varyansı hesaplanırken $s_{p_h}^2 = \frac{p_h q_h}{n_h - 1}$ formülü kullanılacaktır.)*

Buna göre, tüm liman envanteri için protokole uyum oranının tahmini ( $p_{st}$ ) ve bu tahmin edicinin varyansı ( $v(p_{st})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0.280

ve

0.00520

0.250

ve

0.00520

0.280

ve

0.00368

0.250

ve

0.00368

0.280

ve

0.01000

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0.280$ ve $0.00368$

Cevap

Doğru seçenek tahmini oranın

0.280

ve varyansın

0.00368

olduğu seçenektir.

Tabakalı örneklemede kitle oranının tahmini, tabaka oranlarının tabaka ağırlıkları ile çarpılmasıyla (

W_1 p_1 + W_2 p_2

) bulunur. Tahmin edicinin varyansı ise her tabakanın ağırlığının karesi, Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) ve tabaka varyansının çarpımlarının toplamı ile hesaplanır. Tüm formül adımları doğru uygulandığında tahmin 0.280, varyans ise 0.00368 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tabaka ağırlıklarının (

W_h

) ve örneklem oranlarının (

p_h

) hesaplanması.

Kitle hacmi

N = 75 + 50 = 125

. Ağırlıklar:

W_1 = 75/125 = 0.6

,

W_2 = 50/125 = 0.4

. Örneklem oranları:

p_1 = 10/25 = 0.4

,

p_2 = 1/10 = 0.1

.

Kitle oranın tahmini için her tabakanın kitledeki ağırlığı ve kendi içindeki uyum oranı bulunmalıdır.

2

Kitle oranının noktasal tahmininin (

p_{st}

) hesaplanması.

p_{st} = W_1 p_1 + W_2 p_2 = (0.6 \times 0.4) + (0.4 \times 0.1) = 0.24 + 0.04 = 0.280

.

Tabakalı örneklemede kitle oranı, tabaka oranlarının ağırlıklandırılmış ortalaması alınarak tahmin edilir.

3

Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanlarının (SKD) hesaplanması.

SKD_1 = 1 - (25/75) = 1 - 1/3 = 2/3

.

SKD_2 = 1 - (10/50) = 1 - 1/5 = 4/5

.

Örneklem çekim oranları (

f_h

) ihmal edilemeyecek kadar büyük olduğu için varyans hesabında SKD kullanılmalıdır.

4

Tabaka içi örneklem varyanslarının (

s_{p_h}^2

) hesaplanması.

s_{p_1}^2 = \frac{0.4 \times 0.6}{24} = \frac{0.24}{24} = 0.01

.

s_{p_2}^2 = \frac{0.1 \times 0.9}{9} = \frac{0.09}{9} = 0.01

.

Her bir tabakadaki örneklem oranının varyansı verilen formüle göre hesaplanmalıdır.

5

Tahmin edicinin varyansının (

v(p_{st})

) hesaplanması.

v(p_{st}) = (0.6)^2 \times \frac{2}{3} \times 0.01 + (0.4)^2 \times \frac{4}{5} \times 0.01 = (0.36 \times \frac{2}{3} \times 0.01) + (0.16 \times \frac{4}{5} \times 0.01) = 0.0024 + 0.00128 = 0.00368

.

Tabakalı varyans formülü, tabaka varyanslarının SKD ve ağırlıkların karesiyle çarpılıp toplanmasını gerektirir.

Anahtar Kavram

Tabakalı Rastgele Örneklemede Kitle Oranının Tahmini ve Varyansı

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 92Soru →

Bir araştırmacı, ilgilenilen özellik bakımından yüksek değişkenlik gösteren bir kitle üzerinde çalışırken tabakalı rastgele örnekleme tasarımını kullanmaya karar vermiştir.

Bu örnekleme tasarımının istatistiksel özellikleri ve pratik uygulamaları dikkate alındığında;

I. Tabakalama işlemi sonucunda, her bir tabakanın kendi içinde olabildiğince heterojen, tabakalar arasında ise olabildiğince homojen bir yapı sergilemesi sağlanarak yöntemin istatistiksel etkinliği maksimize edilir.
II. Kitledeki toplam değişkenliğin büyük bir kısmının tabaka ortalamaları arasındaki farklılıklardan (tabakalar arası varyanstan) kaynaklandığı durumlarda, tabakalı rastgele örneklemenin basit rastgele örneklemeye göre sağladığı varyans azalışı (etkinlik kazancı) artar.
III. Kitle ortalamasının yansız bir tahminleyicisi elde edilirken, tabaka büyüklükleri (hacimleri) kitle içinde farklılık gösterse dahi, her bir tabakadan hesaplanan örneklem ortalamalarının kitle ağırlıklarına ( $W_h$ ) bakılmaksızın basit aritmetik ortalaması alınır.

ifadelerinden hangisi veya hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Doğru cevap yalnızca II. öncülün yer aldığı seçenektir.

Yalnız II ifadesini içeren seçenek doğrudur. Tabakalı rastgele örneklemede kitledeki toplam değişkenliğin (varyansın) büyük bir bölümü tabakalar arasındaki farklılıklardan (tabakalar arası varyans) kaynaklanıyorsa, bu durum tabaka içindeki gözlemlerin birbirine oldukça benzer (homojen) olduğunu gösterir. Tabaka içi varyans ne kadar küçükse, yöntemin hesaplanan tahmin varyansı da o kadar küçük olur ve basit rastgele örneklemeye kıyasla sağlanan istatistiksel etkinlik kazancı (deff) maksimize edilir. I. öncül tabaka oluşturma mantığını ters verdiği, III. öncül ise ağırlıklı ortalama kuralını ihlal ettiği için yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncülün doğruluğunu değerlendirmek.

I. öncül yanlıştır.

Tabakalı örneklemenin temel ilkesi, tabaka içi (within-strata) homojenliği ve tabakalar arası (between-strata) heterojenliği sağlamaktır. Öncülde bu kural kümeli örnekleme (cluster sampling) mantığıyla karıştırılarak tam tersi şekilde ifade edilmiştir.

2

II. öncülün doğruluğunu değerlendirmek.

II. öncül doğrudur.

Toplam kitle varyansı, yaklaşık olarak tabaka içi ve tabakalar arası varyansların toplamından oluşur. Tabakalar arası farklılıklar ne kadar yüksekse (heterojenite tabakalar arasına itilmişse), tabaka içi varyans o kadar düşük kalır. Tabakalı örneklemenin hata varyansı doğrudan tabaka içi varyanslara bağlı olduğundan, bu durum tahminlerin kesinliğini artırır ve yöntemi basit rastgele örneklemeye göre çok daha etkin kılar.

3

III. öncülün doğruluğunu değerlendirmek.

III. öncül yanlıştır.

Tabakalı örneklemede kitle ortalamasının yansız tahmini (

\bar{y}_{st}

), her tabakadan elde edilen örneklem ortalamalarının (

\bar{y}_h

) basit aritmetik ortalamasıyla değil, tabakaların kitle içindeki ağırlıkları (

W_h = N_h/N

) kullanılarak hesaplanan ağırlıklı ortalamasıyla (

\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h

) bulunur.

Anahtar Kavram

Tabakalı Rastgele Örneklemenin Etkinliği ve Temel Özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 93Soru →

Milli Eğitim Bakanlığı (MEB), lise öğrencilerinin haftalık ortalama kitap okuma sürelerini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle bir araştırma planlamaktadır. Liseler, okul türlerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ait kitledeki öğrenci sayıları ( $N_h$ ) ve önceki pilot çalışmadan elde edilen standart sapma ( $S_h$ ) değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Okul Türü	Kitle Hacmi ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	Anadolu Lisesi	5000	2
2	Mesleki Lise	3000	4
3	Fen Lisesi	2000	4

Araştırma için toplam örneklem hacmi $n = 600$ öğrenci olarak belirlenmiştir.

Araştırmacı, her bir tabakadan seçilecek örneklem hacmini belirlerken orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, sırasıyla 1., 2. ve 3. tabakalardan seçilmesi gereken örneklem hacimleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

200, \ 240, \ 160

400, \ 120, \ 80

300, \ 180, \ 120

120, \ 240, \ 240

200, \ 200, \ 200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $300, \ 180, \ 120$

Cevap

Orantılı dağıtımda örneklem hacimleri, her tabakanın kitledeki ağırlığı (

W_h = N_h/N

) kullanılarak sırasıyla 300, 180 ve 120 olarak hesaplanır.

Orantılı dağıtım yönteminde, her bir tabakadan alınacak örneklem hacmi (

n_h

), sadece o tabakanın kitledeki ağırlığı (

W_h = N_h/N

) dikkate alınarak belirlenir. Toplam kitle hacmi

N = 10000

'dir. Birinci tabaka için

n_1 = 600 \times (5000 / 10000) = 300

, ikinci tabaka için

n_2 = 600 \times (3000 / 10000) = 180

ve üçüncü tabaka için

n_3 = 600 \times (2000 / 10000) = 120

olarak bulunur. Soru metninde verilen standart sapma (

S_h

) değerleri, orantılı dağıtımda kullanılmaz; bu değerler Neyman veya optimum dağıtım yöntemleri sorulduğunda gereklidir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) hesapla.

N = 5000 + 3000 + 2000 = 10000

Orantılı dağıtımda her tabakanın kitle içindeki ağırlığını bulmak için toplam kitle büyüklüğüne (

N

) ihtiyaç vardır.

2

Birinci tabaka (Anadolu Lisesi) için örneklem hacmini hesapla.

n_1 = 600 \times \frac{5000}{10000} = 600 \times 0.50 = 300

Toplam örneklem hacmi (

n

), birinci tabakanın ağırlığı (

W_1

) ile çarpılır.

3

İkinci tabaka (Mesleki Lise) için örneklem hacmini hesapla.

n_2 = 600 \times \frac{3000}{10000} = 600 \times 0.30 = 180

Toplam örneklem hacmi, ikinci tabakanın ağırlığı (

W_2

) ile çarpılır.

4

Üçüncü tabaka (Fen Lisesi) için örneklem hacmini hesapla.

n_3 = 600 \times \frac{2000}{10000} = 600 \times 0.20 = 120

Toplam örneklem hacmi, üçüncü tabakanın ağırlığı (

W_3

) ile çarpılır.

Anahtar Kavram

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım (Proportional Allocation) yöntemi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 94Soru →

Bir e-ticaret altyapı sağlayıcısı, sistemini kullanan 1000 farklı işletmenin günlük ortalama işlem hacimlerini incelemek istemektedir. İşletmeler büyüklüklerine göre 3 tabakaya ayrılmış ve tabakalı rastgele örnekleme yöntemi ile seçilen örneklemlerden aşağıdaki veriler elde edilmiştir:

Tabaka	Kitle Hacmi ( $N_h$ )	Örneklem Hacmi ( $n_h$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )	Örneklem Varyansı ( $s_h^2$ )
1	500	50	10	100
2	400	80	25	200
3	100	50	100	400

Buna göre, tüm işletmeler için günlük ortalama işlem hacminin tabakalı tahmin edicisi ( $\bar{y}_{st}$ ) ve bu tahmin edicinin varyansı ( $v(\bar{y}_{st})$ ) aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

\bar{y}_{st} = 25

;

v(\bar{y}_{st}) = 0.81

\bar{y}_{st} = 25

;

v(\bar{y}_{st}) = 0.98

\bar{y}_{st} = 25

;

v(\bar{y}_{st}) = 2.10

\bar{y}_{st} = 45

;

v(\bar{y}_{st}) = 0.81

\bar{y}_{st} = 45

;

v(\bar{y}_{st}) = 0.98

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\bar{y}_{st} = 25$ ; $v(\bar{y}_{st}) = 0.81$

Cevap

Ortalama tahmin edicisi 25 ve varyans 0.81 olarak hesaplanmalıdır.

Tabakalı rastgele örneklemede kitle ortalaması tahmini

\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h

formülü ile bulunur. Tabaka ağırlıkları sırasıyla

0.5, 0.4

ve

0.1

'dir. Buna göre ortalama

0.5(10) + 0.4(25) + 0.1(100) = 25

olur. Ortalamanın varyansı ise

v(\bar{y}_{st}) = \sum W_h^2 \frac{s_h^2}{n_h} (1 - f_h)

formülüyle hesaplanır. SKD değerleri sırasıyla

0.9, 0.8

ve

0.5

'tir. Formül uygulandığında varyans

0.45 + 0.32 + 0.04 = 0.81

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle hacmi (

N

) ve tabaka ağırlıklarını (

W_h = N_h/N

) hesapla.

N = 500 + 400 + 100 = 1000

. Ağırlıklar:

W_1 = 0.5

,

W_2 = 0.4

,

W_3 = 0.1

.

Tabakalı tahmin edicilerde her tabakanın kitledeki temsil oranı (ağırlığı) kullanılmalıdır.

2

Kitle ortalamasının tabakalı tahmin edicisini (

\bar{y}_{st}

) hesapla.

\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h = (0.5 \times 10) + (0.4 \times 25) + (0.1 \times 100) = 5 + 10 + 10 = 25

.

Tabaka ortalamaları, tabakaların ağırlıkları ile çarpılarak kitle ortalaması tahmin edilir.

3

Her tabaka için örnekleme kesrini (

f_h = n_h/N_h

) ve SKD'yi (

1-f_h

) bul.

f_1 = 50/500 = 0.1 \Rightarrow 1-f_1 = 0.9

f_2 = 80/400 = 0.2 \Rightarrow 1-f_2 = 0.8

f_3 = 50/100 = 0.5 \Rightarrow 1-f_3 = 0.5

.

Örneklem hacimleri kitleye göre büyük olduğu için (>

5\%

) varyans formülünde Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı uygulanmalıdır.

4

Tabakalı ortalama varyansını (

v(\bar{y}_{st})

) hesapla.

v(\bar{y}_{st}) = \sum W_h^2 \frac{s_h^2}{n_h} (1 - f_h) = (0.5^2 \times \frac{100}{50} \times 0.9) + (0.4^2 \times \frac{200}{80} \times 0.8) + (0.1^2 \times \frac{400}{50} \times 0.5) = (0.25 \times 2 \times 0.9) + (0.16 \times 2.5 \times 0.8) + (0.01 \times 8 \times 0.5) = 0.45 + 0.32 + 0.04 = 0.81

.

Ortalamanın varyansı, tabaka varyanslarının tabaka ağırlıklarının karesi, örneklem hacmi ve SKD ile düzeltilmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Ortalama ve Varyans Tahmini

Soru 95Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, sınırları içerisindeki sanayi tesislerinin aylık ortalama su tüketimini (ton) tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmıştır. Tesisler, üretim kapasitelerine göre 'Düşük', 'Orta' ve 'Yüksek' olmak üzere üç tabakaya ayrılmıştır.

Bu tabakalara ilişkin kitle hacimleri ( $N_h$ ), örneklem hacimleri ( $n_h$ ), örneklem ortalamaları ( $\bar{y}_h$ ) ve örneklem varyansları ( $s_h^2$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Kapasite	$N_h$	$n_h$	$\bar{y}_h$	$s_h^2$
1	Düşük	500	50	100	220
2	Orta	300	30	150	300
3	Yüksek	200	20	200	500

Buna göre, kitle ortalamasının tahmin edicisi ( $\bar{y}_{st}$ ) ve bu tahmin edicinin varyansı ( $v(\bar{y}_{st})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? (Varyans sonucunu iki ondalık basamaklı olarak dikkate alınız.)

135 ; 2,70

150 ; 2,70

135 ; 3,00

150 ; 3,00

135 ; 9,18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 135 ; 2,70

Cevap

Kitle ortalamasının tahmin edicisi 135 ve bu tahmin edicinin varyansı 2,70 olarak bulunur.

Tabakalı örneklemede kitle ortalaması tahmin edicisi, tabaka ortalamalarının tabaka ağırlıkları (

W_h

) ile çarpılıp toplanmasıyla elde edilir. Ağırlıklar

W_1=0,5

,

W_2=0,3

ve

W_3=0,2

olduğundan ortalama

0,5(100)+0,3(150)+0,2(200)=135

bulunur. Varyans hesaplanırken, örnekleme oranı (

f_h=0,1

) %5'ten büyük olduğu için Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanı olan

(1-f_h)=0,9

dikkate alınmalıdır. Formül

v(\bar{y}_{st}) = \sum W_h^2 \frac{s_h^2}{n_h} (1-f_h)

uygulanarak varyans

(1,10 + 0,90 + 1,00) \times 0,9 = 2,70

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle büyüklüğünü (

N

) ve tabaka ağırlıklarını (

W_h

) hesaplamak

N = 500 + 300 + 200 = 1000

,

W_1 = 0,5

,

W_2 = 0,3

,

W_3 = 0,2

Tabakalı ortalama ve varyans formüllerinde kullanmak için tabakaların kitle içindeki oranlarına ihtiyaç vardır.

2

Kitle ortalamasının tahmin edicisini (

\bar{y}_{st}

) hesaplamak

\bar{y}_{st} = (0,5 \times 100) + (0,3 \times 150) + (0,2 \times 200) = 50 + 45 + 40 = 135

Tabaka ortalamaları, ait oldukları tabakanın kitledeki ağırlığıyla çarpılarak toplanmalıdır.

3

Örnekleme oranlarını (

f_h

) hesaplamak ve Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanını belirlemek

f_1 = 50/500 = 0,1

,

f_2 = 30/300 = 0,1

,

f_3 = 20/200 = 0,1

. Her tabaka için SKD =

1 - 0,1 = 0,9

Örneklem hacmi, kitle hacminin %5'inden büyük olduğu için varyans hesabında SKD kullanılmalıdır.

4

Kitle ortalamasının tahmin edicisinin varyansını (

v(\bar{y}_{st})

) hesaplamak

v(\bar{y}_{st}) = [ (0,5)^2 \frac{220}{50} + (0,3)^2 \frac{300}{30} + (0,2)^2 \frac{500}{20} ] \times 0,9 = [0,25(4,4) + 0,09(10) + 0,04(25)] \times 0,9 = (1,10 + 0,90 + 1,00) \times 0,9 = 3,00 \times 0,9 = 2,70

Tabakalı varyans, tabaka varyanslarının ağırlıkların karesi (

W_h^2

) ile çarpılıp örneklem hacmine bölünmesi ve SKD ile düzeltilmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı Rastgele Örneklemede Kitle Ortalamasının ve Varyansının Tahmini

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 96Soru →

Bir tarım ekonomisi çalışmasında, belirli bir bölgedeki tarımsal işletmelerin yıllık gübre kullanım miktarlarının kitle ortalamasının tahmin edilmesi planlanmaktadır. Bu amaçla bölgedeki işletmeler, sahip oldukları işlenebilir arazi büyüklüklerine göre farklı gruplara ayrılarak tabakalı rastgele örnekleme tasarımı oluşturulmuştur.

Uygulanacak bu örnekleme stratejisi ve kitle varyansının yapısı dikkate alındığında, aşağıdaki önermelerden hangisi veya hangileri doğrudur?

I. Gübre kullanım miktarlarındaki toplam kitle varyansının ( $S^2$ ) büyük bir bölümünün, arazi büyüklüklerine göre oluşturulan gruplar *arasındaki* farklardan ileri gelmesi, bu tasarımın basit rastgele örneklemeye göre daha etkin (daha küçük standart hatalı) tahminler üretmesini sağlar.
II. Tahminlerin standart hatasını küçültmek için, aynı arazi büyüklüğü grubunda (aynı tabakada) yer alan işletmelerin gübre kullanım miktarları bakımından kendi içinde olabildiğince birbirinden farklı (heterojen) bir yapıya sahip olması hedeflenmelidir.
III. Kitleyi alt gruplara ayırarak yapılan bu işlem; güncel olmayan çiftçi kayıt sisteminden veya veri derleme aşamasındaki ölçüm problemlerinden kaynaklanabilecek örnekleme dışı hataları (çerçeve hatası vb.) istatistiksel olarak telafi eder.

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnızca I numaralı önerme doğrudur.

Varyans analizi (ANOVA) kuralına göre, bir kitledeki toplam değişkenlik 'tabakalar içi' ve 'tabakalar arası' değişkenlik olarak ikiye ayrılır. Toplam varyansın büyük kısmının tabakalar arasındaki farklardan oluşması, tabaka içindeki birimlerin birbirine benzediğini (homojen olduğunu) ve tabaka içi varyansların düşük olduğunu matematiksel olarak gösterir. Tabakalı örneklemenin varyans formülü doğrudan tabaka içi varyanslara dayandığından, bu durum tahmin edicinin standart hatasını düşürür ve yöntemi basit rastgele örneklemeye göre çok daha etkin (precision yüksek) hale getirir. Bu nedenle yalnızca birinci önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

I. önermenin varyans analizi (ANOVA) prensibiyle değerlendirilmesi

Toplam varyans, 'tabakalar içi' ve 'tabakalar arası' varyansın toplamıdır. Toplam varyansın tabakalar arası farklılıktan kaynaklanması, tabaka içi varyansların düşük olduğunu gösterir. Bu durum tabakalı örneklemenin standart hatasını küçülterek etkinliğini artırır. I. önerme doğrudur.

Tabakalı örneklemede standart hata doğrudan tabaka içi varyansların ağırlıklı ortalamasına bağlıdır.

2

II. önermenin tabaka oluşturma ilkeleri açısından incelenmesi

Tabakaların kendi içinde heterojen değil, homojen (birbirine benzer) olması hedeflenir. Heterojenlik ilkesi tabakalar 'arası' için geçerlidir. II. önerme yanlıştır.

Tabaka içi varyansın (heterojenliğin) düşük olması standart hatayı küçültür.

3

III. önermenin hata türleri bağlamında analiz edilmesi

Tabakalama işlemi varyansı (örnekleme hatasını) düşürür, ancak çerçeve eksikliği veya ölçüm gibi örnekleme dışı hataları çözemez. III. önerme yanlıştır.

Örnekleme tasarımı rassal hataları (seçim şansını) kontrol eder, veri derleme sürecinden kaynaklanan sistematik/örnekleme dışı hataları değil.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Varyans Parçalanması ve Etkinlik

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 97Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, 4 farklı coğrafi bölgedeki (tabaka) öğretmenlerin haftalık mesleki gelişim faaliyetlerine ayırdıkları ortalama süreyi tahmin etmek istemektedir. Bölgelerdeki öğretmen sayıları sırasıyla $N_1 = 1000$ , $N_2 = 2000$ , $N_3 = 3000$ ve $N_4 = 4000$ olarak belirlenmiştir.

Araştırmacı, her bir bölge için eşit düzeyde güvenilir (eşit duyarlılıkta) tahminler elde etmek amacıyla, toplam $n = 240$ öğretmenden oluşan örneklemini eşit dağıtım (equal allocation) yöntemiyle tabakalara dağıtmıştır.

Yapılan araştırma sonucunda bölgelerdeki öğretmenlerin haftalık ortalama mesleki gelişim süreleri sırasıyla $\bar{y}_1 = 40$ , $\bar{y}_2 = 30$ , $\bar{y}_3 = 50$ ve $\bar{y}_4 = 20$ saat olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, 4. bölgeden seçilen örneklem hacmi ( $n_4$ ) ve tüm kitle için mesleki gelişim süresi ortalamasının yansız tahmini ( $\bar{y}_{st}$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

n_4 = 60 \quad ; \quad \bar{y}_{st} = 33

n_4 = 60 \quad ; \quad \bar{y}_{st} = 35

n_4 = 96 \quad ; \quad \bar{y}_{st} = 33

n_4 = 96 \quad ; \quad \bar{y}_{st} = 35

n_4 = 60 \quad ; \quad \bar{y}_{st} = 140

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n_4 = 60 \quad ; \quad \bar{y}_{st} = 33$

Cevap

4. bölgeden seçilen örneklem hacmi 60 ve kitle ortalamasının yansız tahmini 33 saat olarak hesaplanır.

Soruda eşit dağıtım yapıldığı belirtildiği için, her tabakadan alınacak örneklem hacmi toplam örneklem hacminin tabaka sayısına bölümüdür (

240/4 = 60

). Kitle ortalamasının tahmini için ise tabakaların kitledeki gerçek ağırlıkları (

1000/10000 = 0.1

, vb.) ile tabaka ortalamaları çarpılarak toplanmalıdır. Bu işlem

(0.1 \times 40) + (0.2 \times 30) + (0.3 \times 50) + (0.4 \times 20)

şeklinde yapıldığında sonuç 33 çıkar.

Adım Adım Çözüm

1

Eşit dağıtım (equal allocation) yöntemine göre 4. tabakadan (bölgeden) seçilecek örneklem hacmini hesaplayın.

n_h = \frac{n}{L}

formülünden

n_4 = \frac{240}{4} = 60

olarak bulunur.

Soruda eşit duyarlılık sağlamak amacıyla eşit dağıtım yapıldığı açıkça belirtilmiştir. Bu yöntemde toplam örneklem hacmi tabaka sayısına eşit bölünür.

2

Her bir tabakanın kitle içindeki ağırlığını (

W_h

) hesaplayın.

Toplam kitle

N = 1000+2000+3000+4000 = 10000

. Ağırlıklar:

W_1 = 0.1

,

W_2 = 0.2

,

W_3 = 0.3

,

W_4 = 0.4

olarak bulunur.

Tabakalı örneklemede kitle ortalamasının yansız tahmini için her tabaka ortalamasının, o tabakanın kitledeki ağırlığı ile çarpılması gerekir.

3

Kitle ortalamasının yansız tahminini (

\bar{y}_{st}

) hesaplayın.

\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h = (0.1 \times 40) + (0.2 \times 30) + (0.3 \times 50) + (0.4 \times 20) = 4 + 6 + 15 + 8 = 33

elde edilir.

Örneklem eşit dağıtılmış olsa bile (her tabakadan 60 kişi), tabakaların kitledeki büyüklükleri farklı olduğu için elde edilen örneklem kendi kendine ağırlıklandıran (self-weighting) bir yapıda değildir. Bu nedenle basit aritmetik ortalama kullanılamaz.

Anahtar Kavram

Tabakalı rastgele örneklemede eşit dağıtım (Equal Allocation) kavramı ve ağırlıklandırılmış kitle ortalaması tahmini.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 98Soru →

Bir fizik tedavi ve rehabilitasyon merkezinde, hastaların uygulanan bir tedavi protokolüne yanıt verme sürelerini (iyileşme gün sayısını) tahmin etmek amacıyla bir araştırma planlanmaktadır. Hastalar yaş gruplarına göre tabakalara ayrılacak ve orantılı dağıtım yöntemiyle tabakalı rastgele örnekleme uygulanacaktır.

Yapılan ön analizlerde, iyileşme sürelerine ilişkin kitledeki toplam varyansın $\%40$ 'ının yaş grupları arasındaki (tabakalar arası) farklılıklardan, $\%60$ 'ının ise aynı yaş grubundaki hastaların kendi aralarındaki (tabaka içi) farklılıklardan kaynaklandığı saptanmıştır.

Araştırmacı, basit rastgele örnekleme yöntemi kullanıldığında hedeflenen hata payına ulaşabilmek için $600$ hastanın örnekleme seçilmesi gerektiğini hesaplamıştır.

Buna göre, sonlu kitle düzeltme çarpanı ihmal edildiğinde, aynı hata payına tabakalı rastgele örnekleme ile ulaşabilmek için gereken örneklem hacmi ve bu araştırmanın tasarım etkisi ( $deff$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

360

ve

0,60

240

ve

0,40

1000

ve

1,67

1500

ve

2,50

360

ve

1,67

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $360$ ve $0,60$

Cevap

Doğru yanıt, gereken örneklem hacminin

360

ve tasarım etkisinin (Deff)

0,60

olduğunu belirten seçenektir.

Basit rastgele örneklemeye göre tabakalı örneklemenin (orantılı dağıtımla) tasarım etkisi (Deff), tabaka içi varyansın toplam varyansa oranına eşittir. Verilen problemde tabaka içi varyans

\%60

olduğu için

Deff = 0,60

'tır. Aynı hassasiyete ulaşmak için gereken örneklem hacmi, basit rastgele örneklem hacminin tasarım etkisi ile çarpımıyla hesaplanır:

600 \times 0,60 = 360

.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle varyans bileşenlerini analiz etme

Tabaka İçi Varyans = Toplam Varyansın %60'ı. Tabakalar Arası Varyans = Toplam Varyansın %40'ı.

Tabakalı örneklemede (orantılı dağıtımla) örnekleme varyansı doğrudan tabaka içi varyansların büyüklüğüne bağlıdır.

2

Tasarım etkisini (Deff) hesaplama

Deff = V_{tab}(n) / V_{bro}(n) = 0,60

Aynı örneklem hacminde tabakalı örneklemenin varyansı, basit rastgele örneklemenin varyansının tabaka içi varyans yüzdesi kadarıdır. Bu oran doğrudan tasarım etkisini verir.

3

Gereken örneklem hacmini hesaplama

n_{tab} = n_{bro} \times Deff = 600 \times 0,60 = 360

Eşit hassasiyet düzeyine (aynı varyansa) ulaşabilmek için, hedeflenen basit rastgele örneklem hacmi tasarım etkisi (Deff) ile çarpılarak tabakalı örneklem hacmi elde edilir.

Anahtar Kavram

Tasarım Etkisi (Design Effect) ve Örneklem Hacmi İlişkisi

Soru 99Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım planlama birimi, paylaşımlı elektrikli skuter kullanıcılarının günlük ortalama seyahat mesafesini tahmin etmek amacıyla bir araştırma yürütmektedir. Uzmanlar, kullanıcıları abonelik tiplerine (günlük, aylık, yıllık) göre tabakalara ayırarak tabakalı rastgele örnekleme (TRÖ) yöntemini uygulamıştır.

Aynı örneklem hacmi için basit rastgele örnekleme (BRÖ) kullanılsaydı ortalama tahmininin varyansı $V(\bar{y}_{BR\ddot{O}}) = 144$ olarak elde edilecekti. Ancak abonelik tipine göre yapılan tabakalı rastgele örnekleme sonucunda ortalama tahmininin varyansı $V(\bar{y}_{TR\ddot{O}}) = 90$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, araştırmanın tasarım etkisi (Deff) ve tabakalama işleminin etkinliği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Tasarım etkisi

0,625

'tir; tabaka içi birimlerin homojen, tabakalar arası farklılıkların ise heterojen olması sayesinde basit rastgele örneklemeye göre hassasiyet kazancı sağlanmıştır.

Tasarım etkisi

0,625

'tir; elde edilen bu etkinlik artışı, tabakaların kendi içinde olabildiğince heterojen, tabakalar arasında ise homojen olacak biçimde oluşturulmasından kaynaklanmaktadır.

Tasarım etkisi

1,60

'tır; bu değer, tabakalı örneklemden hesaplanan istatistiğin kitle parametresinden saptığını ve tasarımın etkinsiz olduğunu gösterir.

Tasarım etkisi

0,625

'tir; varyanstaki bu düşüş, tabakalı rastgele örnekleme kullanılması sayesinde örnekleme dışı hataların (çerçeve, ölçüm vb.) azaltıldığını gösterir.

Tasarım etkisi tahmin edilirken tabaka ağırlıkları ihmal edildiği için varyans

90

olarak bulunmuştur; tabaka ortalamaları ağırlıklandırılsaydı tasarım etkisi

1

'e eşit çıkardı.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tasarım etkisi $0,625$ 'tir; tabaka içi birimlerin homojen, tabakalar arası farklılıkların ise heterojen olması sayesinde basit rastgele örneklemeye göre hassasiyet kazancı sağlanmıştır.

Cevap

Araştırmanın tasarım etkisi

0,625

'tir ve bu etkinlik, tabakaların kendi içinde homojen, tabakalar arasında ise heterojen yapıda olmasından kaynaklanmıştır.

Tasarım etkisi (Deff), karmaşık bir örnekleme tasarımının varyansının, aynı örneklem hacmindeki basit rastgele örneklemenin varyansına oranıdır. Formülü:

Deff = V(\bar{y}_{TR\ddot{O}}) / V(\bar{y}_{BR\ddot{O}})

şeklindedir. Soruda verilen değerlere göre

Deff = 90 / 144 = 0,625

olarak hesaplanır. Deff değerinin

1

'den küçük olması, tabakalı rastgele örneklemenin basit rastgele örneklemeye göre daha etkin olduğunu (daha düşük varyans ürettiğini) gösterir. Teorik olarak bu hassasiyet kazancının sağlanabilmesi için tabakaların kendi içlerinde benzer özelliklere sahip birimlerden (homojen) oluşması ve tabakalar arasındaki farklılıkların (heterojenlik) yüksek olması gerekir. Bu nedenle, tasarım etkisinin

0,625

olduğunu ve etkinliğin tabaka içi homojenlikten kaynaklandığını ifade eden seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım Etkisi (Deff) formülünü belirleme

Deff = \frac{V(\bar{y}_{TR\ddot{O}})}{V(\bar{y}_{BR\ddot{O}})}

formülü kullanılır.

Deff, karmaşık bir tasarımın varyansının, aynı hacimdeki BRÖ varyansına oranı olarak tanımlanır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyma

Deff = \frac{90}{144} = 0,625

olarak hesaplanır.

Varyans değerlerinin doğru sırayla oranlanması tasarım etkisini verir.

3

Deff değerini yorumlama

Deff < 1

olduğundan, tabakalı rastgele örnekleme basit rastgele örneklemeye göre daha etkindir ve hassasiyet kazancı sağlamıştır.

1

'den küçük bir Deff değeri, hedeflenen kitle tahmininde örnekleme hatasının azaldığı anlamına gelir.

4

Etkinliğin teorik nedenini değerlendirme

Tabakalı örneklemede varyansın düşmesi (etkinlik), tabaka içi varyansların düşük (homojen) ve tabakalar arası ortalama farklılıklarının yüksek (heterojen) olmasına bağlıdır.

Tabakalama ilkelerinin temel amacı, kitle içindeki değişkenliği olabildiğince tabakalar arası farklılıklara kaydırarak tabaka içi örnekleme varyansını minimize etmektir.

Anahtar Kavram

Tasarım Etkisi (Design Effect) ve Tabakalı Örneklemenin Etkinlik Koşulları

Soru 100Soru →

Büyük ölçekli bir kitle üzerinde araştırma yürüten bir istatistikçi, kitleyi alt gruplara (tabakalara) ayırarak tabakalı rastgele örnekleme (TRÖ) tasarımı uygulamayı planlamaktadır. İstatistikçi, bu tasarımın teorik altyapısını ve basit rastgele örneklemeye (BRÖ) göre sağlayacağı etkinlik (efficiency) kazancını değerlendirmektedir.

Bu bağlamda, TRÖ'nün kavramsal temelleri ve özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

I. Tabaka oluşturma sürecinde, ilgilenilen değişken bakımından tabakaların kendi içinde olabildiğince heterojen, tabakalar arasında ise olabildiğince homojen bir yapı kurulması etkinliği maksimize eder.
II. Örnekleme çerçevesinin eksik veya güncel olmamasından kaynaklanan sistematik sapmalar, TRÖ tasarımında tabaka örneklem hacimlerinin yeterince artırılmasıyla tamamen ortadan kaldırılabilen bir örnekleme hatası türüdür.
III. Bu tasarımda tabakaların kendisi örneklem seçiminin doğrudan yapıldığı "örnekleme birimi" değil, kitleyi önceden gruplandıran alt kısımlardır; örnekleme birimleri ise doğrudan tabakaların içinden rassal olarak seçilen elemanlardır.
IV. İlgilenilen değişkenin kitledeki toplam varyansı sabit kabul edildiğinde, varyansın tabakalar arası bileşeninin ( $S_b^2$ ) büyük olması, TRÖ'nün BRÖ'ye kıyasla daha kesin (küçük varyanslı) tahminler üretmesini sağlar.

III ve IV

I ve IV

II ve IV

I, II ve III

Yalnız IV

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: III ve IV

Cevap

Yalnızca III ve IV numaralı ifadeler doğrudur.

I ve II numaralı ifadeler istatistiksel tasarım ilkelerine ve hata terminolojisine aykırı iken; III numaralı ifade 'örnekleme birimi' kavramını, IV numaralı ifade ise tabakalı örneklemenin varyans analizi (ANOVA) bağlamındaki en temel etkinlik koşulunu kusursuz bir şekilde açıklamaktadır. Bu nedenle yalnızca III ve IV numaralı öncülleri içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncülün teorik doğruluğunu kontrol et.

I. öncül yanlıştır.

Tabakalı örneklemede etkinlik kazanmak için tabaka içi varyansın küçük (elemanların birbirine benzer/homojen), tabakalar arası varyansın büyük (tabakaların birbirinden farklı/heterojen) olması gerekir. Öncül bu durumu ters vermiştir.

2

II. öncülün hata terminolojisine uygunluğunu değerlendir.

II. öncül yanlıştır.

Çerçeve eksikliği veya güncel olmama durumu bir 'örnekleme dışı hata'dır (sistematik hata). Örneklem hacmini (

n

) artırmak yalnızca 'örnekleme hatasını' (varyansı) düşürür, örnekleme dışı hatalardan kaynaklanan yanlılığı (bias) sıfırlamaz.

3

III. öncüldeki örnekleme birimi tanımını analiz et.

III. öncül doğrudur.

Tabakalı örneklemede, tabakaların kendileri birinci aşama seçim birimi değildir (eğer öyle olsaydı bu bir küme örneklemesi olurdu). Tabakalar sadece kitleyi bölen katmanlardır, örnekleme birimleri bu katmanların içinden seçilen asıl elemanlardır.

4

IV. öncüldeki ANOVA (varyans parçalanması) mantığını incele.

IV. öncül doğrudur.

Toplam Varyans = Tabaka İçi Varyans (

S_w^2

) + Tabakalar Arası Varyans (

S_b^2

) formülünde, Tabakalı Örnekleme tabakalar arası varyansı örnekleme hatasından izole eder. Dolayısıyla

S_b^2

ne kadar büyükse, Basit Rastgele Örneklemeye (BRÖ) göre elde edilen etkinlik kazancı o kadar fazla olur.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Etkinlik Şartları ve Temel Kavramlar

Tahmini Süre:2m 0s

Tabakalı Rastgele Örnekleme

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram