Basit Doğrusal Regresyon Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir araştırmacı, $n = 17$ firmadan oluşan bir örneklem kullanarak yıllık Ar-Ge harcamaları ( $X$ ) ile net kâr marjı ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon analizi ile incelemiştir. Analiz sonucunda elde edilen varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Değişim Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F
Regresyon	$1$	$450$	$?$	$?$
Hata (Artık)	$?$	$?$	$?$
Toplam	$?$	$750$

Buna göre, regresyon modelinin genel anlamlılığını test etmek için kullanılan hesaplanmış $F$ istatistiği değeri kaçtır?

21,0

22,5

24,0

25,5

1,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $22,5$

Cevap

Hesaplanmış

F

istatistiği değeri

22,5

olarak bulunur.

Varyans analizi tablosunda

F

istatistiği, regresyon kareler ortalamasının (

RKO

) hata kareler ortalamasına (

HKO

) bölünmesiyle elde edilir. Verilen bilgilerden

HKT = 750 - 450 = 300

ve hata serbestlik derecesi

SD_{hata} = 17 - 2 = 15

olarak hesaplanır. Buradan

HKO = 300 / 15 = 20

ve

RKO = 450 / 1 = 450

değerleri bulunur. Sonuç olarak

F = 450 / 20 = 22,5

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamı'nın (HKT) hesaplanması

HKT = TKT - RKT = 750 - 450 = 300

Toplam varyasyonun (TKT), regresyon tarafından açıklanan (RKT) ve açıklanamayan (HKT) kısımların toplamı olması kuralı gereği.

2

Serbestlik derecelerinin (SD) belirlenmesi

SD_{reg} = 1

;

SD_{hata} = n - 2 = 17 - 2 = 15

;

SD_{toplam} = n - 1 = 16

Basit doğrusal regresyonda bir bağımsız değişken olduğu için regresyon SD 1'dir; hata SD ise gözlem sayısından tahmin edilen parametre sayısının (sabit ve eğim) çıkarılmasıyla (

n-2

) bulunur.

3

Kareler Ortalamalarının (KO) hesaplanması

RKO = RKT / SD_{reg} = 450 / 1 = 450

;

HKO = HKT / SD_{hata} = 300 / 15 = 20

Kareler ortalaması, kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

Hesaplanmış

F

istatistiğinin bulunması

F = RKO / HKO = 450 / 20 = 22,5

F

testi, modelin anlamlılığını test etmek amacıyla regresyon kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosu ve F-İstatistiği Hesaplaması

Daha Fazla Pratik

ANOVA tablosundaki değerleri kullanarak belirtme katsayısını (

R^2

) hesaplayarak modelin açıklayıcılık gücünü yorumlayınız.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 22Soru →

Bir araştırmacı, hanehalkı geliri ( $X$ ) ile gıda harcamaları ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi $n = 30$ gözlem kullanarak basit doğrusal regresyon analizi ile incelemektedir. Analiz sonucunda hata teriminin varyans tahmini ( $s_e^2$ ) $16$ olarak belirlenmiştir. Belirli bir $X_0$ gelir düzeyinde, ortalama gıda harcamasının ( $\mu_{Y|X_0}$ ) güven aralığını oluşturmak için kullanılan standart hata değeri $3$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, aynı $X_0$ gelir düzeyine sahip münferit (bireysel) bir hanehalkının gıda harcaması ( $Y_0$ ) için oluşturulacak kestirim aralığının standart hatası kaçtır?

3

4

5

7

25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Bireysel bir değerin kestirim aralığı için standart hata 5 olarak hesaplanır.

Bireysel bir değerin kestiriminde standart hata, hem regresyon doğrusunun konumundaki belirsizliği (ortalama değerin standart hatası) hem de bireysel gözlemlerin bu doğru etrafındaki dağılımını (hata varyansı) kapsamalıdır. Formül gereği

s_{ind} = \sqrt{s_e^2 + s_{\hat{Y}_0}^2}

olduğu için

\sqrt{16 + 9} = 5

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerlerin belirlenmesi

s_e^2 = 16

(hata varyansı) ve

s_{\hat{Y}_0} = 3

(ortalama değerin standart hatası).

Hesaplama için gerekli olan varyans bileşenlerini ayrıştırmak gerekir.

2

Bireysel kestirim varyans formülünün uygulanması

s_{ind}^2 = s_e^2 + s_{\hat{Y}_0}^2 = 16 + 3^2 = 16 + 9 = 25

.

Bireysel kestirim, hem model parametrelerindeki tahmin belirsizliğini hem de modelin açıklayamadığı rassal hata terimini içerdiği için iki varyans toplanır.

3

Standart hatanın hesaplanması

s_{ind} = \sqrt{25} = 5

.

Varyansın karekökü alınarak standart hata değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bireysel kestirim aralığı, hata teriminin varyansını (

s_e^2

) da içerdiği için her zaman ortalama değerin güven aralığından daha geniştir.

Soru 23Soru →

Bir işletmenin reklam harcamaları ( $X$ ) ile satış gelirleri ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla 22 gözlem kullanılarak basit doğrusal regresyon analizi yapılmıştır. Tahmin sonuçlarının bir kısmı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Değişken	Katsayı ( $\hat{\beta}$ )	Standart Hata ( $se$ )
Sabit ( $\hat{\beta}_0$ )	15,20	3,10
Reklam ( $\hat{\beta}_1$ )	0,80	0,20

%5 anlamlılık düzeyinde ( $\alpha = 0,05$ ) reklam harcamalarının satışlar üzerindeki etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını test etmek için hesaplanması gereken test istatistiği değeri ve test sonucu aşağıdakilerden hangisidir? (Kritik değer: $t_{0,025; 20} = 2,086$ )

t_{hesap} = 4,00

; katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

t_{hesap} = 4,00

; ancak serbestlik derecesi 21 alınması gerektiğinden sonuç hatalıdır.

t_{hesap} = 0,25

; katsayı istatistiksel olarak anlamsızdır.

t_{hesap} = 4,00

; hesaplanan değer kritik değerden büyük olduğu için

H_0

hipotezi kabul edilir.

Bireysel parametre anlamlılığı için t-testi yerine sadece F-testi sonuçları kullanılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_{hesap} = 4,00$ ; katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

Cevap

Hesaplanan t-istatistiği değeri 4,00'dır ve kritik değer olan 2,086'dan büyük olduğu için reklam harcamaları katsayısı %95 güven düzeyinde istatistiksel olarak anlamlıdır.

Hesaplanan t-istatistiği

t = 0,80 / 0,20 = 4,00

olarak bulunur. Serbestlik derecesi

22 - 2 = 20

olduğundan, verilen kritik değer

2,086

ile karşılaştırıldığında

4,00 > 2,086

olduğu görülür. Bu durum, eğim katsayısının sıfırdan farklı olduğunu, yani istatistiksel olarak anlamlı olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecesini belirle

sd = n - 2 = 22 - 2 = 20

Basit doğrusal regresyonda hata varyansı ve katsayı testleri için serbestlik derecesi gözlem sayısından parametre sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

2

Test istatistiğini (t-hesap) hesapla

t_{hesap} = \frac{\hat{\beta}_1}{se(\hat{\beta}_1)} = \frac{0,80}{0,20} = 4,00

Katsayının sıfıra eşit olup olmadığını (

H_0: \beta_1 = 0

) test etmek için katsayı tahmini kendi standart hatasına bölünür.

3

Kritik değerle karşılaştır ve karar ver

|4,00| > 2,086

olduğu için

H_0

reddedilir.

Hesaplanan değer tablo (kritik) değerinden büyük olduğunda bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerinde istatistiksel olarak anlamlı bir etkisi olduğu sonucuna varılır.

Anahtar Kavram

Regresyon katsayılarının anlamlılık testi (t-testi)

İpuçları

1

t-istatistiğini hesaplamak için katsayıyı standart hataya bölmeniz gerekir.

2

Basit doğrusal regresyonda serbestlik derecesinin n-2 olduğunu ve bu soruda 20'ye eşit olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Güven aralığı hesaplaması yaparak katsayının hangi sınırlar arasında değişebileceğini bulmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 24Soru →

Bir araştırmacı, bağımsız değişkenin ( $X$ ) değeri sıfır olduğunda bağımlı değişkenin ( $Y$ ) de sıfır olması gerektiği varsayımından hareketle $Y_i = \beta X_i + u_i$ regresyon modelini kurmuştur. Bu modelin istatistiksel özelliklerine ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hata terimi varyansının (

\sigma^2

) yansız tahmincisini elde etmek için kalıntı kareler toplamı

n-1

serbestlik derecesine bölünür.

Modelden elde edilen kalıntıların (artıkların) toplamı (

\sum e_i

) her zaman sıfıra eşittir.

Belirtme katsayısı (

R^2

), sabit terimli model ile aynı formülle hesaplanır ve bu iki modelin başarısı doğrudan kıyaslanabilir.

Tahmin edilen regresyon doğrusu her zaman örneklem ortalamalarından (

\bar{X}, \bar{Y}

) geçer.

Hata varyansının tahmini için kullanılan serbestlik derecesi, basit doğrusal regresyon modellerinde standart olan

n-2

değerine eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hata terimi varyansının ( $\sigma^2$ ) yansız tahmincisini elde etmek için kalıntı kareler toplamı $n-1$ serbestlik derecesine bölünür.

Cevap

Hata terimi varyansının yansız tahmincisi hesaplanırken, kalıntı kareler toplamı

n-1

serbestlik derecesine bölünür.

Orijinden geçen regresyon modelinde (

Y_i = \beta X_i + u_i

) sadece bir adet parametre (

\beta

) tahmin edilmektedir. İstatistiksel olarak hata varyansının (

\sigma^2

) yansız bir tahmincisini elde etmek için kalıntı kareler toplamının (

HKT

) serbestlik derecesine bölünmesi gerekir. Bu modelde serbestlik derecesi gözlem sayısı eksi tahmin edilen parametre sayısı (

n-1

) olduğu için doğru ifade varyansın bu değer üzerinden hesaplanmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin parametre sayısının belirlenmesi

k = 1

(Sadece

\beta

parametresi)

Orijinden geçen modelde sabit terim (

\beta_0

) sıfıra eşitlendiği için tahmin edilmesi gereken tek bir katsayı vardır.

2

Serbestlik derecesinin hesaplanması

sd = n - k = n - 1

Varyans tahmininde serbestlik derecesi, gözlem sayısından tahmin edilen parametre sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

3

Varyans tahmincisinin formüle edilmesi

\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum e_i^2}{n-1}

Hata kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesi yansız bir tahminci (

MSE

) sağlar.

Anahtar Kavram

Orijinden Geçen Regresyonda Serbestlik Derecesi ve Kalıntı Özellikleri

Daha Fazla Pratik

Orijinden geçen modelde hesaplanan

R^2

değerinin neden negatif çıkabileceğini ve ham

R^2

tanımını inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 25Soru →

Bir üretim tesisinde çalışma süresi ( $X$ ) ile üretim miktarı ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla $n = 25$ gözlem kullanılarak basit doğrusal regresyon modeli tahmin edilmiştir. Elde edilen analiz sonuçları şu şekildedir:

* Bağımsız değişkenin ortalaması: $\bar{X} = 50$
* Bağımsız değişkenin toplam kareler toplamı: $\sum (X_i - \bar{X})^2 = 1000$
* Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ): 100

Bu verilere göre, $X_0 = 70$ değeri için yeni bir gözlemin alacağı tekil (bireysel) değerin kestirimine ait standart hata kaçtır?

12,0

6,63

10,0

144,0

1,2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12,0

Cevap

Tekil değerin kestirimine ait standart hata 12,0'dır.

Verilen verilerle tekil değer kestirim hatası formülü uygulandığında, karekök içindeki terim

1 + 0,04 + 0,4 = 1,44

olarak bulunur. Regresyonun standart hatası olan

10

ile

\sqrt{1,44} = 1,2

çarpıldığında sonuç

12,0

çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Regresyonun standart hatasını (

s_e

) hesapla.

s_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{100} = 10

Kestirim standart hatası formülünde temel bileşen regresyonun standart hatasıdır.

2

Tekil değer için kestirim standart hatası formülünü belirle.

s_{pred} = s_e \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_0 - \bar{X})^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}}

Tekil değer tahmini, ortalama değer tahminine ek olarak modelin hata teriminin varyansını (

1

çarpanı olarak) da içerir.

3

Verilen değerleri formülde yerine koy ve hesapla.

s_{pred} = 10 \sqrt{1 + \frac{1}{25} + \frac{(70 - 50)^2}{1000}} = 10 \sqrt{1 + 0,04 + \frac{400}{1000}} = 10 \sqrt{1 + 0,04 + 0,4} = 10 \sqrt{1,44} = 10 \times 1,2 = 12

Karekök içindeki değerlerin toplamı 1,44 olup, bunun karekökü 1,2'dir; bu değerin regresyon standart hatası olan 10 ile çarpımı nihai sonucu verir.

Anahtar Kavram

Basit doğrusal regresyonda tekil bir gözlem için kestirim standart hatası, ortalama değerin kestirim hatasından her zaman daha büyüktür çünkü modeldeki rastsal hata bileşenini de hesaba katar.

Soru 26Soru →

Bir ziraat mühendisi, kullanılan gübre miktarı ( $X$ ) ile elde edilen ürün verimi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi belirlemek amacıyla $27$ farklı parselden veri toplamıştır. Yapılan basit doğrusal regresyon analizi sonucunda elde edilen veriler şu şekildedir:

Değişken	Katsayı ( $\hat{\beta}$ )	Standart Hata ( $se$ )
Eğim ( $X$ )	$0,80$	$0,20$

$\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde $H_0: \beta_1 = 0$ hipotezini test etmek için hesaplanan $t$ istatistiği, serbestlik derecesi ( $sd$ ) ve test sonucu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? ( $t_{0,025; 25} = 2,060$ )

t_{hesap} = 4,00

;

sd = 25

;

H_0

reddedilir, katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

t_{hesap} = 4,00

;

sd = 26

;

H_0

reddedilir, katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

t_{hesap} = 0,25

;

sd = 25

;

H_0

reddedilemez, katsayı istatistiksel olarak anlamlı değildir.

t_{hesap} = 4,00

;

sd = 27

;

H_0

reddedilir, katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

Eğim katsayısının bireysel anlamlılığı t-testi ile değil, sadece modelin bütünsel anlamlılığını test eden F-testi ile belirlenebilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_{hesap} = 4,00$ ; $sd = 25$ ; $H_0$ reddedilir, katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

Cevap

Hesaplanan t istatistiğinin 4,00, serbestlik derecesinin 25 olması ve bu değerin tablo değerinden büyük olması nedeniyle katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır.

Hesaplanan t istatistiğinin

4,00

, serbestlik derecesinin

25

olması ve bu değerin tablo değerinden büyük olduğu için katsayının anlamlı bulunması doğru yaklaşımdır.

Adım Adım Çözüm

1

t istatistiğinin hesaplanması

t_{hesap} = \frac{\hat{\beta}_1}{se(\hat{\beta}_1)} = \frac{0,80}{0,20} = 4,00

Eğim katsayısının anlamlılığını test etmek için katsayının kendi standart hatasına bölünmesi gerekir.

2

Serbestlik derecesinin (sd) belirlenmesi

sd = n - 2 = 27 - 2 = 25

Basit doğrusal regresyonda hata varyansının tahmini için serbestlik derecesi gözlem sayısından parametre sayısının (sabit ve eğim) çıkarılmasıyla bulunur.

3

Karar verme

|t_{hesap}| = 4,00 > t_{tablo} = 2,060

olduğu için

H_0

reddedilir.

Hesaplanan t değeri kritik tablo değerinden büyük olduğu için eğim katsayısının sıfırdan farklı (anlamlı) olduğu sonucuna varılır.

Anahtar Kavram

Basit doğrusal regresyonda eğim katsayısının anlamlılığı için t-testi uygulanır ve serbestlik derecesi n-2'dir.

Soru 27Soru →

Bir araştırmacı, bir yerleşim bölgesindeki konut sayısı ( $X$ ) ile aylık toplam su tüketimi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi $n = 18$ gözlem kullanarak basit doğrusal regresyon analizi ile incelemiştir. Yapılan analiz sonucunda Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ ) $256$ olarak hesaplanmıştır. Belirli bir $X_0$ konut sayısı değeri için ortalama su tüketiminin kestirimine ait varyans değeri ( $Var(\hat{Y}_{ort})$ ) $9$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, aynı $X_0$ değeri için tekil (bireysel) bir konutun su tüketim değerine ilişkin oluşturulacak öngörü aralığının hesaplanmasında kullanılacak standart hata kaçtır?

5

16

25

4

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Bireysel değerin kestirimine ilişkin standart hata 5 birimdir.

Doğru yanıt olan beş değeri, modelin hata varyansı (16) ile ortalama kestirim varyansının (9) toplamının kareköküdür. Bireysel öngörü aralıkları hesaplanırken hem regresyon doğrusunun konumundaki belirsizlik hem de modelin açıklayamadığı rastsal hata payı dikkate alınır.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin hata varyansını (

s_e^2

) hesapla

s_e^2 = \frac{HKT}{n-2} = \frac{256}{18-2} = \frac{256}{16} = 16

Basit doğrusal regresyonda hata varyansı tahmini için serbestlik derecesi

n-2

kullanılır.

2

Bireysel değerin kestirim varyansını formüle et

Var(\hat{Y}_{bireysel}) = s_e^2 + Var(\hat{Y}_{ort}) = 16 + 9 = 25

Bireysel kestirim hatası, ortalama kestirim hatasına modelin rastsal hata bileşeninin (hata varyansının) eklenmesiyle bulunur.

3

Kestirim standart hatasını bul

s_{\hat{Y}_0} = \sqrt{25} = 5

Varyansın karekökü standart hatayı verir.

Anahtar Kavram

Bireysel değer kestirim aralıkları, ortalama değer güven aralıklarından her zaman daha geniştir çünkü bireysel değerlerde modelin hata teriminden (

e

) kaynaklanan belirsizlik de eklenir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 28Soru →

Bir banka, müşterilerin kredi skoru ( $X$ ) ile kredi geri ödeme süresi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla $n = 25$ gözlem kullanarak basit doğrusal regresyon modeli tahmin etmiştir. Modele ilişkin elde edilen istatistiksel bulgular şu şekildedir:

\bar{X} = 50, \quad \sum (X_i - \bar{X})^2 = 250, \quad s_e = 10

Burada $s_e$ hata teriminin standart hatasını ifade etmektedir. Buna göre, kredi skoru $X_0 = 60$ olan belirli bir müşterinin geri ödeme süresine ilişkin yapılacak kestirim için kullanılacak olan bireysel kestirim standart hatası kaçtır?

12

2\sqrt{11}

10

\sqrt{104}

\sqrt{140}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Bireysel kestirim standart hatası 12'dir.

Doğru cevap, bireysel kestirim standart hatası formülü olan

s_{ind} = s_e \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_0 - \bar{X})^2}{\sum(X_i - \bar{X})^2}}

ifadesinde verilen değerlerin (

s_e=10, n=25, X_0=60, \bar{X}=50

ve kareler toplamı

250

) yerine konulmasıyla elde edilen 12 değeridir. Hesaplamada kök içindeki ifade

1 + 0,04 + 0,4 = 1,44

çıkmakta ve bu değerin karekökü 1,2 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Kestirim standart hatası için gerekli bileşenleri belirleyin.

n = 25

,

s_e = 10

,

(X_0 - \bar{X})^2 = (60 - 50)^2 = 100

,

\sum(X_i - \bar{X})^2 = 250

Formülde yerine koyulacak değerlerin önceden hesaplanması işlem kolaylığı sağlar.

2

Kaldıraç (leverage) değerini ve bireysel varyans payını hesaplayın.

h_{00} = \frac{1}{25} + \frac{100}{250} = 0,04 + 0,4 = 0,44

Bireysel kestirim hatası, ortalama değerin hatasına ek olarak gözlemin kendi varyansını (

1

) da içerir.

3

Bireysel kestirim standart hatası formülünü uygulayın.

s_{ind} = 10 \times \sqrt{1 + 0,44} = 10 \times \sqrt{1,44} = 10 \times 1,2 = 12

Bireysel değer tahmini, modelin ortalama tahminindeki belirsizlik ile bireysel gözlemin hata terimi varyansının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Basit doğrusal regresyonda bireysel kestirim (tahmin) aralığının standart hatası, ortalama değerin güven aralığının standart hatasından her zaman daha büyüktür çünkü modeldeki belirsizliğe ek olarak

s_e^2

kadar bir varyans bileşeni daha eklenir.

Daha Fazla Pratik

Kestirim aralığı ile güven aralığı arasındaki genişlik farkının nedenlerini ve hangi durumda bu aralıkların birbirine en yakın (dar) olacağını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 29Soru →

Bir enerji dağıtım şirketi, aylık ortalama sıcaklık ( $X$ ) ile konutlardaki aylık elektrik tüketimi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi analiz etmek amacıyla 42 farklı haneden veri toplamıştır. Bu verilerle oluşturulan basit doğrusal regresyon modelinde Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ ) $1000$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu model için hesaplanan regresyonun standart hatası ( $s_e$ ) kaçtır?

5

25

\sqrt{\frac{1000}{42}}

\sqrt{\frac{1000}{41}}

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Regresyonun standart hatası 5'tir.

Verilen modelde

n=42

gözlem bulunmaktadır. Basit doğrusal regresyonda hata varyansının yansız tahmin edicisi (

s^2

), Hata Kareler Toplamı'nın (

HKT

)

n-2

serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur. Burada

s^2 = 1000 / (42-2) = 25

olur. Regresyonun standart hatası ise bu varyansın kareköküdür, yani

\sqrt{25} = 5

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgileri ve serbestlik derecesini belirleyin.

n = 42

ve

HKT = 1000

. Basit doğrusal regresyonda serbestlik derecesi

sd = n - 2 = 42 - 2 = 40

'dır.

Hata varyansının yansız tahmin edicisi için HKT'nin modeldeki parametre sayısı çıkarılmış gözlem sayısına bölünmesi gerekir.

2

Hata varyansının tahminini (

s^2

) hesaplayın.

s^2 = \frac{HKT}{n-2} = \frac{1000}{40} = 25

.

Hata varyansı, hata kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilen ortalama hata kareleridir.

3

Regresyonun standart hatasını (

s_e

) bulun.

s_e = \sqrt{s^2} = \sqrt{25} = 5

.

Standart hata, varyansın pozitif karekökü alınarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit doğrusal regresyonda hata varyansının yansız tahmini için paydada

n-2

serbestlik derecesi kullanılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 30Soru →

Klasik doğrusal regresyon analizinde, hata terimlerinin ( $\epsilon_i$ ) normal dağılım gösterdiği varsayımı ( $\epsilon \sim N(0, \sigma^2)$ ), aşağıdakilerden hangisinin gerçekleştirilebilmesi için temel bir ön koşuldur?

Parametrelere ilişkin hipotez testlerinin ve güven aralıklarının geçerli bir şekilde oluşturulması

En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin sapmasız (unbiased) olması

Tahmin edilen regresyon katsayılarının doğrusal bir formda elde edilmesi

Hata terimleri arasında otokorelasyon probleminin bulunmaması

EKK tahmin edicilerinin minimum varyanslı (etkin) tahmin ediciler olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Parametrelere ilişkin hipotez testlerinin ve güven aralıklarının geçerli bir şekilde oluşturulması

Cevap

Hata terimlerinin normal dağılması varsayımı, parametreler için hipotez testlerinin ve güven aralıklarının oluşturulabilmesi için gereklidir.

Klasik doğrusal regresyon modelinde, katsayı tahmin edicileri üzerinde anlamlılık testleri (

t

testi) ve modelin genel başarısı için varyans analizi (

F

testi) yapılabilmesi için hata terimlerinin normal dağılması gerekir. Bu varsayım sağlandığında, tahmin ediciler de normal dağılım gösterir ve bu sayede parametreler için güven aralıkları hesaplanabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Gauss-Markov varsayımları ile Normallik varsayımı arasındaki farkı belirle.

Gauss-Markov varsayımları (sıfır ortalama, sabit varyans, otokorelasyon yokluğu) EKK tahmin edicilerinin BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici) olmasını sağlar.

EKK tahmin edicilerinin sapmasızlık ve minimum varyans özelliklerini kazanması için normal dağılım zorunlu değildir.

2

Normallik varsayımının çıkarımsal istatistik üzerindeki etkisini analiz et.

Hata terimleri normal dağıldığında, regresyon katsayıları da normal dağılım gösterir ve bu sayede

t

ve

F

test istatistikleri oluşturulabilir.

Güven aralıkları ve anlamlılık testleri, bu istatistiklerin bilinen teorik dağılımlara uymasına dayanır.

Anahtar Kavram

Regresyonda Normallik Varsayımı ve Çıkarımsal İstatistik

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 31Soru →

Bir tarım uzmanı, $n = 27$ farklı parselde kullanılan gübre miktarı ( $X$ ) ile alınan mahsul verimi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi basit doğrusal regresyon analizi ile incelemiştir. Yapılan analiz sonucunda elde edilen varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Değişim Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )	Kareler Ortalaması ( $KO$ )	$F$
Regresyon	$1$	$500$	$?$	$?$
Hata	$?$	$?$	$?$
Toplam	$?$	$900$

Bu tablo verilerine göre, regresyon modelinin genel anlamlılığını test etmek için kullanılan $F$ hesap istatistiğinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1,25

31,25

32,50

33,75

34,62

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $31,25$

Cevap

Regresyon modelinin genel anlamlılığını test eden

F

istatistiği

31,25

olarak hesaplanmıştır.

Varyans analizi tablosunda

F

değeri hesaplanırken öncelikle hata kareler toplamı

900 - 500 = 400

olarak bulunur. Ardından

n=27

gözlem için hata serbestlik derecesi

27-2=25

olarak hesaplanır. Hata kareler ortalaması

400 / 25 = 16

ve regresyon kareler ortalaması

500 / 1 = 500

bulunur. Bu iki değerin birbirine oranı olan

500 / 16 = 31,25

doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamını (

HKT

) hesapla

HKT = TKT - RKT = 900 - 500 = 400

Toplam varyans, regresyon tarafından açıklanan ve açıklanamayan (hata) kısımların toplamına eşittir.

2

Hata serbestlik derecesini (

sd_{hata}

) belirle

sd_{hata} = n - 2 = 27 - 2 = 25

Basit doğrusal regresyonda iki parametre (

\beta_0

ve

\beta_1

) tahmin edildiği için hata serbestlik derecesi

n-2

olur.

3

Kareler Ortalaması (

KO

) değerlerini hesapla

RKO = 500 / 1 = 500

ve

HKO = 400 / 25 = 16

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

F

hesap istatistiğini bul

F = RKO / HKO = 500 / 16 = 31,25

F

istatistiği, regresyonun hata payına oranla ne kadar anlamlı bir açıklama yaptığını gösteren orandır.

Anahtar Kavram

Varyans Analizi (ANOVA) tablosunda

F

istatistiği, Regresyon Kareler Ortalamasının Hata Kareler Ortalamasına oranıdır ve modelin genel anlamlılığını test eder.

Daha Fazla Pratik

Modelin anlamlılığına dair karar vermek için bu

F

değerini tablo değeri (

F_{1, 25; \alpha}

) ile karşılaştırmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eğer belirtme katsayısı (

R^2

) verilmiş olsaydı,

F = \frac{R^2 / 1}{(1 - R^2) / (n - 2)}

formülü de kullanılabilirdi. Bu soruda

R^2 = 500 / 900 = 5/9

olduğundan aynı sonuca ulaşılırdı.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 32Soru →

Klasik Doğrusal Regresyon Modeli varsayımları altında, En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicileri "En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici" (BLUE) özelliğini taşımaktadır. Gauss-Markov Teoremi ile kanıtlanan bu özellikler bütününde yer alan "En İyi" (Best) kavramı, aşağıdakilerden hangisini doğrudan temsil eder?

Tahmin edicinin, tüm doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler sınıfı içinde en küçük varyansa sahip olması

Tahmin edicinin beklenen değerinin, tahmin edilmek istenen gerçek kitle parametresine eşit olması

Hata terimlerinin normal dağılım göstermesi sonucunda tahmin edicinin parametreleri en yüksek güvenilirlikle belirlemesi

Örneklem hacmi sonsuza doğru arttıkça tahmin edicinin değerinin gerçek parametre değerine yaklaşması

Modeldeki bağımsız değişkenlerin, bağımlı değişkende meydana gelen değişimi açıklama gücünün maksimum olması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin edicinin, tüm doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler sınıfı içinde en küçük varyansa sahip olması

Cevap

Gauss-Markov Teoremi bağlamında 'En İyi' (Best) ifadesi, tahmin edicinin tüm doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler arasında en düşük varyansa sahip olması (etkinlik) anlamına gelir.

Gauss-Markov Teoremi'ne göre, klasik varsayımlar altında EKK tahmin edicileri, tüm doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler kümesi içinde en küçük varyansa sahiptir. Bu durum istatistiksel olarak 'etkinlik' olarak adlandırılır ve BLUE kısaltmasındaki 'Best' (En İyi) ifadesine karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1

BLUE kavramını bileşenlerine ayırın.

B (Best - En İyi), L (Linear - Doğrusal), U (Unbiased - Sapmasız), E (Estimator - Tahmin Edici).

Teoremin her bir harfinin temsil ettiği istatistiksel özelliği belirlemek gerekir.

2

Doğrusallık ve Sapmasızlık özelliklerinin rolünü tanımlayın.

Doğrusallık, tahmin edicinin bağımlı değişkenin doğrusal kombinasyonu olduğunu; Sapmasızlık ise hatanın sistematik olmadığını (

E[\hat{\beta}] = \beta

) gösterir.

'En İyi' olma durumu ancak bu iki ön koşul sağlandıktan sonra değerlendirilir.

3

'En İyi' sıfatının istatistiksel karşılığını belirleyin.

Minimum varyans = Etkinlik.

İstatistikte iki sapmasız tahmin ediciden varyansı küçük olan, parametreyi daha kesin (hassas) tahmin ettiği için 'daha iyi' kabul edilir.

Anahtar Kavram

Gauss-Markov Teoremi ve Etkinlik (Efficiency)

Daha Fazla Pratik

Değişen varyans (heteroskedastisite) durumunda EKK tahmin edicilerinin neden hala sapmasız kaldığını ancak neden artık BLUE olmadığını inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 33Soru →

Basit doğrusal regresyon analizinde, klasik model varsayımlarından biri olan 'hata terimlerinin varyansının tüm gözlemler için sabit olması' ( $Var(\epsilon_i) = \sigma^2$ ) durumu homoskedastisite olarak tanımlanır. Bu varsayımın ihlal edildiği (değişen varyans/heteroskedastisite) bir durumda, En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

Tahmin ediciler sapmalı (biased) hale gelir ve parametre değerlerini sistematik olarak yanlış tahmin eder.

Tahmin ediciler tutarsız (inconsistent) hale gelir, bu nedenle örneklem hacmi artsa bile gerçek parametre değerine yaklaşmaz.

Tahmin ediciler sapmasız ve tutarlı kalmaya devam eder, ancak 'en iyi' (minimum varyanslı) olma özelliğini kaybeder.

Hata terimlerindeki varyans değişimini tespit etmek amacıyla Durbin-Watson test istatistiği kullanılarak modelin güvenilirliği artırılmalıdır.

Tahmin ediciler doğrusal (linear) olma özelliğini kaybeder ve model artık katsayılar açısından doğrusal bir formda ifade edilemez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin ediciler sapmasız ve tutarlı kalmaya devam eder, ancak 'en iyi' (minimum varyanslı) olma özelliğini kaybeder.

Cevap

Tahmin edicilerin sapmasızlık ve tutarlılık özelliklerini korurken, minimum varyanslı (en iyi/etkin) olma özelliğini kaybetmesi

Basit doğrusal regresyon modelinde değişen varyans (heteroskedastisite) olması durumunda, EKK tahmin edicileri sapmasızlık ve tutarlılık özelliklerini korurlar. Ancak, Gauss-Markov teoreminin 'sabit varyans' şartı sağlanmadığı için, bu tahmin ediciler artık en küçük varyanslı (etkin) değildir ve BLUE özelliğini kaybederler. Bu durum, standart hataların yanlış hesaplanmasına ve dolayısıyla t ile F testlerinin güvenilmez hale gelmesine neden olur.

Adım Adım Çözüm

1

Gauss-Markov varsayımlarını değerlendir.

EKK tahmin edicilerinin BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici) olabilmesi için homoskedastisite (sabit varyans) ve otokorelasyon olmaması varsayımları gereklidir.

Bu varsayımlar tahmin edicinin varyansının minimum olmasını garanti eder.

2

Varsayım ihlalinin (Heteroskedastisite) sonuçlarını analiz et.

Değişen varyans durumunda EKK tahmin edicileri hala sapmasız (unbiased) ve tutarlıdır (consistent).

Sapmasızlık için

E(\epsilon)=0

ve

X

ile

\epsilon

arasında ilişki olmaması yeterlidir; varyansın yapısı sapmayı etkilemez.

3

Etkinlik (Efficiency) özelliğini kontrol et.

Varyans artık minimum değildir (

Var(\hat{\beta})

artar).

Sabit varyans varsayımı bozulduğunda EKK artık 'En İyi' (Best) olma özelliğini yitirir, yani etkin değildir.

Anahtar Kavram

Gauss-Markov Teoremi ve BLUE Özelliği

Soru 34Soru →

Bir iktisadi araştırmada, hanehalkı harcamaları ( $Y$ ) ile hanehalkı geliri ( $X$ ) arasındaki ilişkiyi analiz etmek amacıyla 10 gözlemden oluşan bir veri seti toplanmıştır. Yapılan hesaplamalar sonucunda aşağıdaki özet istatistiklere ulaşılmıştır:

* $n = 10$
* $\sum X_i = 40$
* $\sum Y_i = 80$
* $\sum X_i^2 = 210$
* $\sum Y_i^2 = 700$
* $\sum X_i Y_i = 360$

Bu verilere dayanarak, En Küçük Kareler (EKK) yöntemi ile elde edilen regresyon denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

\hat{Y} = 4,8 + 0,8X

\hat{Y} = 3,0 + 1,25X

\hat{Y} = 8,0 + 0,8X

\hat{Y} = 0,8 + 4,8X

\hat{Y} = 11,2 - 0,8X

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{Y} = 4,8 + 0,8X$

Cevap

Regresyon denklemi

\hat{Y} = 4,8 + 0,8X

şeklindedir.

Verilen özet istatistikler kullanılarak hesaplanan eğim katsayısı 0,8 ve sabit terim 4,8 olarak bulunmuştur. Bu değerler regresyon denklemine yerleştirildiğinde

\hat{Y} = 4,8 + 0,8X

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin ortalamalarını hesaplayınız.

\bar{X} = \frac{40}{10} = 4

ve

\bar{Y} = \frac{80}{10} = 8

EKK tahmincileri ortalamalar üzerinden hesaplanan sapmalar yardımıyla bulunur.

2

Kareler ve çarpımlar toplamını (

S_{XX}

ve

S_{XY}

) hesaplayınız.

S_{XX} = \sum X_i^2 - n\bar{X}^2 = 210 - 10(4^2) = 50

ve

S_{XY} = \sum X_i Y_i - n\bar{X}\bar{Y} = 360 - 10(4)(8) = 40

Eğim katsayısı formülü için bu ara değerlere ihtiyaç duyulur.

3

Eğim katsayısını (

\hat{\beta}_1

) tahmin ediniz.

\hat{\beta}_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{40}{50} = 0,8

EKK yönteminde eğim, kovaryansın bağımsız değişkenin varyansına oranına eşittir.

4

Sabit terimi (

\hat{\beta}_0

) tahmin ediniz.

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 8 - (0,8 \times 4) = 8 - 3,2 = 4,8

Regresyon doğrusu mutlaka ortalamalar noktasından

(\bar{X}, \bar{Y})

geçmek zorundadır.

5

Tahmin edilen katsayıları model formuna yerleştiriniz.

\hat{Y} = 4,8 + 0,8X

Basit doğrusal regresyon modeli

\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X

yapısındadır.

Anahtar Kavram

Basit Doğrusal Regresyonda EKK Parametre Tahmini

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 35Soru →

Uygulamalı bir ekonometrik çalışmada, kuramsal beklentiler doğrultusunda regresyon doğrusunun başlangıç noktasından geçmesi gerektiği öngörülerek $Y_i = \beta_1 X_i + u_i$ biçiminde bir model kurulmuştur. Bu modelin En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmesine ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hata terimi varyansının yansız tahmincisini (

s^2

) elde etmek için kullanılan serbestlik derecesi

n-1

olarak belirlenir.

Modelden elde edilen kalıntıların toplamı (

\sum e_i

) her zaman sıfıra eşittir.

Bu model için hesaplanan belirtme katsayısı (

R^2

), sabit terimli bir modelin

R^2

değeri ile doğrudan kıyaslanabilir.

\sum e_i X_i = 0

biçimindeki normal denklem bu model tipi için geçerliliğini kaybeder.

Model katsayısının anlamlılık testinde kullanılacak t-istatistiği

n-2

serbestlik derecesine sahiptir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hata terimi varyansının yansız tahmincisini ( $s^2$ ) elde etmek için kullanılan serbestlik derecesi $n-1$ olarak belirlenir.

Cevap

Hata terimi varyansının yansız tahmincisini elde etmek için kullanılan serbestlik derecesinin

n-1

olması ifadesi doğrudur.

Orijinden geçen regresyon modelinde sadece eğim katsayısı (

\beta_1

) tahmin edildiği için, hata varyansının yansız tahmin edicisi

s^2 = \frac{\sum e_i^2}{n-1}

formülü ile bulunur. Bu durumda serbestlik derecesi

n-1

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Modeldeki parametre sayısını belirleyin.

Model

Y_i = \beta_1 X_i + u_i

şeklinde olup sadece eğim katsayısı (

\beta_1

) tahmin edilmektedir; parametre sayısı

k=1

'dir.

Serbestlik derecesi gözlem sayısı ile tahmin edilen parametre sayısı arasındaki farka bağlıdır.

2

Hata varyansının serbestlik derecesini hesaplayın.

df = n - k = n - 1

.

EKK tahmininde yansız bir varyans tahmini için Hata Kareler Toplamı (HKT), serbestlik derecesine bölünmelidir.

3

Modelin kalıntı özelliklerini analiz edin.

Modelde sabit terim (

\beta_0

) bulunmadığı için

\sum e_i = 0

olma zorunluluğu ortadan kalkar.

Kalıntı toplamının sıfır olması, modelin sabit terime göre türevinin alınmasıyla elde edilen bir özelliktir.

Anahtar Kavram

Orijinden Geçen Regresyonun İstatistiksel Özellikleri

Daha Fazla Pratik

Orijinden geçen modellerde R² değerinin neden negatif çıkabileceğini ve ham R² (raw R²) kavramını inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 36Soru →

Klasik Doğrusal Regresyon Modeli (KDRM) varsayımları çerçevesinde 'doğrusallık' ilkesi, modelin değişkenlerinden ziyade parametreleri ( $\beta$ ) üzerinden tanımlanmaktadır. Bu kapsamda, aşağıdaki regresyon modellerinden hangisi parametreleri açısından 'doğrusal' bir model olarak kabul edilir?

Y_i = \beta_0 + \beta_1^2 X_i + \epsilon_i

Y_i = \beta_0 + e^{\beta_1} X_i + \epsilon_i

Y_i = \beta_0 + \frac{1}{\beta_1} X_i + \epsilon_i

Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i^2 + \epsilon_i

Y_i = \beta_0 + \sqrt{\beta_1} X_i + \epsilon_i

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i^2 + \epsilon_i$

Cevap

Bağımsız değişkenin karesinin alındığı ancak katsayıların doğrusal olduğu

Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i^2 + \epsilon_i

modeli parametreler açısından doğrusaldır.

Klasik Doğrusal Regresyon Modeli'nde (KDRM) varsayılan doğrusallık, modelin katsayıları (parametreleri) üzerinedir. Bağımsız değişkenin karesinin alındığı modelde

\beta_1

katsayısı hala birinci dereceden ve toplamsal bir formda olduğu için bu model KDRM kapsamındaki doğrusallık varsayımını tam olarak sağlar.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrusallık varsayımını hatırla.

KDRM'de doğrusallık, değişkenlerin (

X, Y

) değil, parametrelerin (

\beta

) birinci dereceden olmasıdır.

Regresyon katsayılarını En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edebilmek için modelin parametreler açısından doğrusal olması temel şarttır.

2

Bağımsız değişkenlerin (

X

) formunu incele.

X^2

,

\ln(X)

veya

\sqrt{X}

gibi dönüşümler değişken doğrusallığını bozsa da parametre doğrusallığını etkilemez.

Değişken dönüşümleri yapılmış modeller, yeni bir değişken tanımlamasıyla (

Z = X^2

gibi) kolayca doğrusal forma getirilebilir.

3

Seçeneklerdeki parametre formlarını kontrol et.

Karesi alınan (

\beta_1^2

), üstel olan (

e^{\beta_1}

), paydada olan (

1/\beta_1

) veya kök içinde olan (

\sqrt{\beta_1}

) katsayılar doğrusal değildir.

Bu tür formlar EKK tahmin edicilerinin türetilmesini imkansız kılan 'doğrusal olmayan regresyon' kategorisine girer.

4

Doğru modeli seç.

Parametreleri sadece toplamsal ve birinci dereceden olan model tespit edilir.

Doğru cevapta sadece değişken (

X

) doğrusal değildir, parametreler klasik varsayımlara uygundur.

Anahtar Kavram

Parametrelere Göre Doğrusallık Varsayımı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 37Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan $n = 26$ personelin günlük çalışma saatleri ( $X$ ) ile günlük tamamladıkları işlem sayısı ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi inceleyen basit doğrusal regresyon analizi sonucunda elde edilen ANOVA tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )	Kareler Ortalaması ( $KO$ )	$F$
Regresyon	$1$	$240$	?	?
Hata	?	$120$	?
Genel	?	$360$

Buna göre, regresyon modelinin genel anlamlılığını test etmek için kullanılan hesaplanmış $F$ istatistiği değeri kaçtır?

48

50

52

5

0,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Hesaplanmış

F

istatistiği değeri 48'dir.

Basit doğrusal regresyonda

F

istatistiği, açıklanan varyansın (

RKO

) açıklanamayan varyansa (

HKO

) oranıdır.

n = 26

gözlem için hata serbestlik derecesi

24

olarak hesaplanır. Buradan

HKO = 120 / 24 = 5

bulunur. Regresyon serbestlik derecesi

1

olduğu için

RKO = 240 / 1 = 240

olur. Sonuç olarak

F = 240 / 5 = 48

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Hata terimi için serbestlik derecesini (

sd_{hata}

) belirle.

sd_{hata} = n - 2 = 26 - 2 = 24

Basit doğrusal regresyonda hata serbestlik derecesi, gözlem sayısından tahmin edilen parametre sayısının (sabit ve eğim) çıkarılmasıyla bulunur.

2

Regresyon Kareler Ortalaması (

RKO

) değerini hesapla.

RKO = RKT / sd_{reg} = 240 / 1 = 240

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

3

Hata Kareler Ortalaması (

HKO

) değerini hesapla.

HKO = HKT / sd_{hata} = 120 / 24 = 5

Hata varyansının bir tahmini olan

HKO

, hata kareler toplamının hata serbestlik derecesine bölünmesidir.

4

Hesaplanmış

F

istatistiği değerini (

F_{hesap}

) bul.

F = RKO / HKO = 240 / 5 = 48

Modelin genel anlamlılığı için payda açıklanan varyans (

RKO

), paydada ise açıklanamayan varyans (

HKO

) oranlanır.

Anahtar Kavram

Regresyon ANOVA Tablosu ve F-Testi

Soru 38Soru →

Bir tarımsal araştırma kapsamında, kullanılan gübre miktarı ( $X$ ) ile elde edilen ürün verimi ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi analiz etmek amacıyla 10 farklı parselden veri toplanmıştır. Yapılan ön hesaplamalar sonucunda aşağıdaki özet istatistikler elde edilmiştir:

İstatistik	Değer
$n$	$10$
$\sum X_i$	$60$
$\sum Y_i$	$120$
$\sum X_i^2$	$460$
$\sum X_i Y_i$	$840$

Bu verilere dayanarak, En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilen basit doğrusal regresyon modelinin eğim ( $\hat{\beta}_1$ ) ve sabit terim ( $\hat{\beta}_0$ ) parametre tahminleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\hat{\beta}_1 = 1,2

ve

\hat{\beta}_0 = 4,8

\hat{\beta}_1 = 0,83

ve

\hat{\beta}_0 = 7,02

\hat{\beta}_1 = 1,2

ve

\hat{\beta}_0 = 12,0

\hat{\beta}_1 = 1,8

ve

\hat{\beta}_0 = 1,2

\hat{\beta}_1 = 1,2

ve

\hat{\beta}_0 = -4,8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{\beta}_1 = 1,2$ ve $\hat{\beta}_0 = 4,8$

Cevap

Eğim katsayısı

\hat{\beta}_1 = 1,2

ve sabit terim

\hat{\beta}_0 = 4,8

olarak hesaplanır.

Verilen özet istatistikler kullanılarak önce değişkenlerin ortalamaları (6 ve 12) hesaplanır. Ardından

S_{xx} = 100

ve

S_{xy} = 120

değerleri bulunur. Bu değerlerin oranı eğim katsayısını (

1,2

) verir. Sabit terim ise ortalamalar ve eğim kullanılarak

4,8

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin ortalamalarını hesaplayın.

\bar{X} = \frac{60}{10} = 6

ve

\bar{Y} = \frac{120}{10} = 12

Parametre tahmin formüllerinde ortalamalar kullanılır.

2

Kareler toplamı (

S_{xx}

) ve çarpımlar toplamını (

S_{xy}

) hesaplayın.

S_{xx} = 460 - 10(6^2) = 100

ve

S_{xy} = 840 - 10(6)(12) = 120

Eğim katsayısı bu değerlerin oranına eşittir.

3

Eğim katsayısını (

\hat{\beta}_1

) hesaplayın.

\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{120}{100} = 1,2

EKK tahmincisi, bağımsız değişkendeki bir birimlik değişimin bağımlı değişken üzerindeki ortalama etkisini gösterir.

4

Sabit terimi (

\hat{\beta}_0

) hesaplayın.

\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 12 - (1,2 \times 6) = 12 - 7,2 = 4,8

Regresyon doğrusu

(\bar{X}, \bar{Y})

noktasından geçmek zorundadır.

Anahtar Kavram

Basit doğrusal regresyonda En Küçük Kareler (EKK) tahmincileri, hata kareler toplamını minimize ederek elde edilir ve Gauss-Markov varsayımları altında En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edicidir (BLUE).

İpuçları

1

Öncelikle

X

ve

Y

değişkenlerinin aritmetik ortalamalarını hesaplayarak başlayın.

2

Eğim katsayısı

\hat{\beta}_1

için

\frac{\sum X_i Y_i - n\bar{X}\bar{Y}}{\sum X_i^2 - n\bar{X}^2}

formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Tahmin edilen bu modelin hata varyansını hesaplayarak parametrelerin standart hatalarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 39Soru →

İktisadi bir kuram gereği bağımsız değişken ( $X$ ) sıfır olduğunda bağımlı değişkenin ( $Y$ ) de sıfır olması gerektiği varsayılarak $Y_i = \beta X_i + u_i$ şeklinde bir regresyon modeli kurulmuştur.

Bu modelin özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Modelden elde edilen kalıntıların (artıkların) toplamı (

\sum e_i

) her zaman sıfıra eşittir.

Hata terimi varyansının (

\sigma^2

) yansız tahmini için kullanılan serbestlik derecesi

n-1

olarak alınır.

Hesaplanan belirtme katsayısı (

R^2

), sabit terimli bir modelden elde edilen

R^2

değeri ile doğrudan kıyaslanabilir.

Regresyon doğrusu her zaman örneklem ortalamalarından (

\bar{X}, \bar{Y}

) geçer.

Eğim katsayısının (

\beta

) En Küçük Kareler (EKK) tahmincisi

\frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}

formülü ile hesaplanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hata terimi varyansının ( $\sigma^2$ ) yansız tahmini için kullanılan serbestlik derecesi $n-1$ olarak alınır.

Cevap

Hata terimi varyansının yansız tahmini için kullanılan serbestlik derecesi

n-1

olarak alınması ifadesi doğrudur.

Hata varyansının (

\sigma^2

) yansız bir tahmin edicisi olan

\hat{\sigma}^2 = \frac{HKT}{n-k}

formülünde, orijinden geçen modelde sadece bir adet parametre (

k=1

) tahmin edildiği için serbestlik derecesi

n-1

olur. Sabit terimli basit regresyonda bu değer

n-2

iken burada bir serbestlik derecesi kazanılır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametre sayısını belirle.

Tahmin edilen sadece 1 parametre (

\beta

) vardır.

Orijinden geçen modelde sabit terim (

\beta_0

) sıfıra eşitlenmiştir.

2

Serbestlik derecesini hesapla.

n - 1

Serbestlik derecesi, gözlem sayısı eksi tahmin edilen parametre sayısıdır (

n-k

).

3

Diğer özellikleri kontrol et.

Kalıntı toplamı sıfır değildir, ortalamalardan geçmez,

R^2

tanımı farklıdır.

Sabit terim modelden çıkarıldığında normal denklemler değişir ve bu standart özellikler kaybolur.

Anahtar Kavram

Orijinden geçen regresyon modelinde sadece eğim katsayısı tahmin edildiği için serbestlik derecesi

n-1

'dir ve standart EKK özelliklerinin çoğu (kalıntı toplamının sıfır olması gibi) değişir.

Daha Fazla Pratik

Orijinden geçen modellerde

R^2

değerinin neden negatif çıkabileceğini ve yazılımların bu durumu nasıl raporladığını inceleyiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 40Soru →

Bir araştırmacı, 26 gözlem birimi kullanarak gerçekleştirdiği basit doğrusal regresyon analizinde, eğim katsayısını ( $\hat{\beta}_1$ ) $2,40$ ve bu katsayıya ilişkin standart hatayı ( $S_{\hat{\beta}_1}$ ) $0,40$ olarak hesaplamıştır. Bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin anlamlılığını test etmek amacıyla kurulan $H_0: \beta_1 = 0$ hipotezi için hesaplanması gereken $t$ istatistiği ( $t_{hesap}$ ) değeri ve bu istatistiğin karşılaştırılacağı tablo değerine ait serbestlik derecesi (sd) aşağıdakilerden hangisidir?

t_{hesap} = 6,00

;

sd = 24

t_{hesap} = 6,00

;

sd = 25

t_{hesap} = 6,00

;

sd = 26

t_{hesap} = 15,00

;

sd = 24

F_{hesap} = 36,00

;

sd = (1, 24)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $t_{hesap} = 6,00$ ; $sd = 24$

Cevap

Hesaplanan t istatistiği

6,00

ve serbestlik derecesi

24

olan seçenek doğrudur.

Eğim katsayısının istatistiksel anlamlılığı test edilirken hesaplanan

t

istatistiği, tahmin edilen katsayı değerinin o katsayıya ait standart hataya bölünmesiyle bulunur (

2,40 / 0,40 = 6,00

). Basit doğrusal regresyon analizinde serbestlik derecesi, gözlem sayısından tahmin edilen parametre sayısının (sabit terim ve eğim katsayısı olmak üzere 2 adet) çıkarılmasıyla elde edilir (

26 - 2 = 24

). Dolayısıyla her iki değerin de doğru verildiği seçenek uygun cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen değerleri tanımlayın.

n = 26

,

\hat{\beta}_1 = 2,40

ve

S_{\hat{\beta}_1} = 0,40

.

Test istatistiği ve serbestlik derecesini hesaplamak için gerekli parametreleri belirlemek gerekir.

2

t test istatistiğini hesaplayın.

t_{hesap} = \frac{\hat{\beta}_1}{S_{\hat{\beta}_1}} = \frac{2,40}{0,40} = 6,00

.

Katsayının anlamlılık testi için hesaplanması gereken temel istatistiktir.

3

Serbestlik derecesini (sd) hesaplayın.

sd = n - 2 = 26 - 2 = 24

.

Basit doğrusal regresyonda iki parametre (

\beta_0

ve

\beta_1

) tahmin edildiği için serbestlik derecesi

n-2

olur.

Anahtar Kavram

Eğim katsayısı için t-testi istatistiği ve serbestlik derecesi hesabı.

Tahmini Süre:1m 30s

Basit Doğrusal Regresyon Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm