Çoklu Doğrusal Regresyon Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6

Soru 101Soru →

Bir yerel yönetim uzmanı, şehir içi toplu taşıma hatlarındaki günlük ortalama yolcu sayısı ( $Y$ ), hatta düzenlenen günlük sefer sayısı ( $X_1$ ) ve hattın geçtiği güzergâhtaki nüfus yoğunluğu ( $X_2$ ) arasındaki ilişkileri analiz etmektedir.

Değişkenler arasındaki basit korelasyon katsayıları aşağıdaki gibi elde edilmiştir:
* $r_{Y1} = 0,80$
* $r_{Y2} = 0,60$
* $r_{12} = 0,60$

Buna göre, nüfus yoğunluğu ( $X_2$ ) değişkeninin etkisi kontrol altında tutulduğunda (sabitlendiğinde), günlük ortalama yolcu sayısı ile günlük sefer sayısı arasındaki kısmi korelasyon katsayısı ( $r_{Y1.2}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,25

0,36

0,44

0,55

0,6875

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,6875

Cevap

Doğru yanıt 0,6875 değerini içeren seçenektir.

Verilen problemde

X_2

değişkeninin (nüfus yoğunluğu) etkisi sabit tutulmak istenmektedir. Bu durum

r_{Y1.2}

simgesiyle gösterilir ve

r_{Y1.2} = \frac{r_{Y1} - r_{Y2}r_{12}}{\sqrt{1-r_{Y2}^2}\sqrt{1-r_{12}^2}}

formülü ile hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda pay

0,80 - 0,36 = 0,44

, payda ise

\sqrt{0,64} \times \sqrt{0,64} = 0,64

olarak hesaplanır. İki değerin birbirine bölümü olan

0,44 / 0,64

işlemi sonucunda katsayı

0,6875

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi korelasyon katsayısı formülünün belirlenmesi

r_{Y1.2} = \frac{r_{Y1} - r_{Y2}r_{12}}{\sqrt{1-r_{Y2}^2}\sqrt{1-r_{12}^2}}

formülü kullanılır.

Üçüncü bir değişkenin (

X_2

) etkisi arındırıldığında, kalan iki değişken (

Y

ve

X_1

) arasındaki net ilişkiyi bulmak için bu formüle ihtiyaç vardır.

2

Verilen değerlerin formülde pay kısmına yerleştirilmesi

Pay:

0,80 - (0,60 \times 0,60) = 0,80 - 0,36 = 0,44

Y

ile

X_1

arasındaki toplam ilişkiden,

X_2

'nin bu ikisi üzerinden yarattığı dolaylı ilişkinin çıkarılması gerekir.

3

Formülün payda kısmının hesaplanması

Payda:

\sqrt{1 - 0,60^2} \times \sqrt{1 - 0,60^2} = \sqrt{0,64} \times \sqrt{0,64} = 0,80 \times 0,80 = 0,64

Hesaplanan değerin bir korelasyon katsayısı formatına ([-1, 1] aralığına) standardize edilmesi için bağımsız varyans oranlarının kareköklerine bölünmesi şarttır.

4

Katsayının nihai değerinin bulunması

r_{Y1.2} = \frac{0,44}{0,64} = \frac{44}{64} = \frac{11}{16} = 0,6875

Pay değerinin payda değerine bölünmesiyle

X_2

'den arındırılmış net korelasyon elde edilir.

Anahtar Kavram

Kısmi Korelasyon Katsayısının Hesaplanması ve Kontrol Değişkeni Mantığı

Soru 102Soru →

Bir tarım ekonomisti, buğday rekoltesini ( $Y$ , ton/hektar) tahmin etmek amacıyla; yıllık ortalama yağış miktarı ( $X_1$ , mm), gübre kullanım miktarı ( $X_2$ , kg/hektar) ve ortalama sıcaklık ( $X_3$ , $^\circ\text{C}$ ) değişkenlerini kullanarak bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Çalışma, $n = 32$ farklı tarım bölgesinden elde edilen verilerle yürütülmüştür.

Kurulan model: $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \beta_3 X_{3i} + \varepsilon_i$ şeklindedir.

Gübre kullanım miktarının ( $X_2$ ) rekolte üzerindeki marjinal etkisini gösteren $\beta_2$ katsayısının En Küçük Kareler (EKK) tahmini $\hat{\beta}_2 = 4,25$ ve bu tahminin standart hatası $S_{\hat{\beta}_2} = 0,80$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, $\beta_2$ parametresi için $\%95$ güven düzeyinde oluşturulacak güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Tablo değerleri: $Z_{0,025} = 1,960$ ; $t_{0,05; 28} = 1,701$ ; $t_{0,025; 28} = 2,048$ ; $t_{0,025; 29} = 2,045$ ; $t_{0,025; 31} = 2,040$ )

[2,612 ; 5,888]

[2,682 ; 5,818]

[2,614 ; 5,886]

[2,618 ; 5,882]

[2,889 ; 5,611]

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $[2,612 ; 5,888]$

Cevap

Doğru güven aralığı

[2,612 ; 5,888]

sınırlarına sahiptir.

Çoklu doğrusal regresyonda katsayılar için güven aralığı hesaplanırken

\hat{\beta}_i \pm t_{\alpha/2; n-p} \times S_{\hat{\beta}_i}

formülü kullanılır. Burada gözlem sayısı

n=32

ve modeldeki toplam parametre sayısı (3 bağımsız değişken + 1 sabit)

p=4

'tür. Serbestlik derecesi

sd = 32 - 4 = 28

olarak bulunur.

\%95

güven aralığı için iki yönlü

t

değeri olan

t_{0,025; 28} = 2,048

seçilmelidir. Sınırlar

4,25 \pm 2,048 \times 0,80

işleminden

[2,6116 ; 5,8884]

elde edilir ve yuvarlanarak

[2,612 ; 5,888]

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Çoklu doğrusal regresyon modeli için hata varyansının serbestlik derecesini hesapla.

sd = n - p = 32 - 4 = 28

Çoklu regresyon modelinde güven aralığı hesaplanırken kullanılan t-istatistiğinin serbestlik derecesi, gözlem sayısından (

n

) tahmin edilen toplam parametre sayısının (

p

) çıkarılmasıyla bulunur. Modelde 3 bağımsız değişken ve 1 sabit terim olduğundan

p = 4

'tür.

2

Kritik t-tablo değerini belirle.

t_{\alpha/2; sd} = t_{0,025; 28} = 2,048

\%95

güven düzeyi için

\alpha = 0,05

'tir. Güven aralığı çift yönlü bir kestirim olduğundan, anlamlılık düzeyi ikiye bölünür (

\alpha/2 = 0,025

).

3

Güven aralığının alt ve üst sınırlarını hesapla.

Alt sınır:

4,25 - (2,048 \times 0,80) = 2,6116 \approx 2,612

. Üst sınır:

4,25 + (2,048 \times 0,80) = 5,8884 \approx 5,888

.

Güven aralığı genel formülü

\hat{\beta}_j \pm t_{kritik} \times S_{\hat{\beta}_j}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Çoklu Regresyonda Parametreler İçin Güven Aralıkları

Soru 103Soru →

Bir pazar analisti, bir zincir marketin şubelerinin aylık satış gelirlerini ( $Y$ , bin TL), o şubeye ait yerel reklam harcamaları ( $X_1$ , bin TL) ve şubenin bulunduğu caddedeki günlük ortalama yaya trafiği ( $X_2$ , bin kişi) değişkenlerini kullanarak modellemektedir. Analist, En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle aşağıdaki iki farklı regresyon modelini tahmin etmiştir:

Model 1 (Basit Regresyon):

\hat{Y} = 210 + 9.6 X_1

Model 2 (Çoklu Regresyon):

\hat{Y} = 165 + 4.1 X_1 + 5.8 X_2

Analist, reklam harcamalarının ( $X_1$ ) satış gelirleri ( $Y$ ) üzerindeki marjinal etkisinin Model 1'de yüksek ( $9.6$ ) iken, yaya trafiği değişkeninin ( $X_2$ ) sabit tutulduğu Model 2'de kısmi regresyon katsayısının belirgin şekilde daha düşük ( $4.1$ ) olduğunu gözlemlemiştir. Model 2'de $X_2$ 'nin kısmi etkisinin pozitif ( $5.8$ ) olduğu da bilinmektedir.

Çoklu doğrusal regresyon analizinde kısmi regresyon katsayılarının yorumlanması ilkeleri dikkate alındığında, $X_1$ 'in katsayısında gözlemlenen bu düşüşün temel istatistiksel nedeni aşağıdakilerden hangisiyle en doğru şekilde açıklanır?

X_1

ile

X_2

arasında negatif yönlü bir doğrusal ilişki bulunmaktadır; Model 2'de

X_2

'nin etkisinin yalıtılması,

X_1

'in

Y

üzerindeki bağımsız açıklama gücünü matematiksel olarak zayıflatmıştır.

Modele yeni bir bağımsız değişken (

X_2

) eklenmesi çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) problemi yaratmış ve bu durum

X_1

'in EKK tahmincisinde aşağı yönlü sistematik bir sapmaya yol açmıştır.

X_1

ile

X_2

arasında pozitif yönlü bir doğrusal ilişki vardır; Model 1'de

X_2

sabit tutulmadığı için, yaya trafiğinin satışlar üzerindeki pozitif etkisi reklam harcamalarına atfedilmiş ve katsayı yukarı yönlü sapmıştır.

Basit regresyon modelindeki katsayı değişkenler arasındaki nedensel ilişkiyi ifade ederken, çoklu modeldeki kısmi katsayı yalnızca istatistiksel birlikte değişimi yansıttığı için değerde azalma meydana gelmiştir.

X_2

'nin modele dahil edilmesi hata varyansını artırmış, bu durum

X_1

'in istatistiksel anlamlılığını düşürerek kısmi regresyon katsayısının mutlak değerinin küçülmesine neden olmuştur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_1$ ile $X_2$ arasında pozitif yönlü bir doğrusal ilişki vardır; Model 1'de $X_2$ sabit tutulmadığı için, yaya trafiğinin satışlar üzerindeki pozitif etkisi reklam harcamalarına atfedilmiş ve katsayı yukarı yönlü sapmıştır.

Cevap

Doğru yanıt, iki bağımsız değişken arasında pozitif yönlü doğrusal bir ilişki olduğunu ve Model 1'de yaya trafiğinin sabit tutulmaması nedeniyle etkisinin reklam harcamalarına atfedilerek katsayıyı yukarı yönlü saptırdığını belirten seçenektir.

Doğru olan seçenekte açıklandığı üzere, bir çoklu regresyon modelinde kısmi regresyon katsayısı, diğer değişkenlerin etkisinden arındırılmış net marjinal etkiyi ölçer. Model 1'de

X_2

dışlandığı için,

\hat{\alpha}_1 = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 \cdot \hat{\delta}_{21}

matematiksel ilişkisi gereği,

X_1

ile pozitif ilişkili olan ve bağımlı değişkeni pozitif etkileyen

X_2

'nin dolaylı etkisi

X_1

'in katsayısına eklenmiş (

9.6

), Model 2'de ise bu etki yalıtılarak gerçek kısmi etki (

4.1

) bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Basit regresyon katsayısı ile kısmi regresyon katsayısı arasındaki teorik eşitliği kurun.

\hat{\alpha}_1 = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 \cdot \hat{\delta}_{21}

denklemi yazılır (Burada

\hat{\delta}_{21}

,

X_2

'nin

X_1

'e regrese edilmesinden elde edilen eğimdir).

Basit regresyondaki katsayının, değişkenin kısmi (net) etkisini ve modele alınmayan diğer değişken üzerinden gelen dolaylı etkiyi birlikte içerdiğini matematiksel olarak göstermek için.

2

Verilen değerleri denkleme yerleştirerek dışlanan değişkenin

X_1

ile ilişkisini (

\hat{\delta}_{21}

) analiz edin.

9.6 = 4.1 + 5.8 \cdot \hat{\delta}_{21} \implies 5.5 = 5.8 \cdot \hat{\delta}_{21} \implies \hat{\delta}_{21} > 0

bulunur. Bu,

X_1

ile

X_2

arasında pozitif korelasyon olduğunu kanıtlar.

Dışlanan değişken sapmasının yönünü kesin olarak tespit etmek ve seçeneklerdeki nedensel korelasyon ifadelerini doğrulamak için.

3

Sonucu 'ceteris paribus' (diğer değişkenler sabitken) ilkesi bağlamında yorumlayın.

Model 1'de

X_2

modele dahil edilmediği (sabit tutulmadığı) için, yaya trafiği yoğunluğunun satışları artırıcı etkisi de reklam harcamalarının bir başarısı gibi görünmüş ve katsayı şişmiştir. Model 2'de kısmi katsayı (4.1) bu yanıltıcı etkiden arındırılmış net etkiyi vermiştir.

Kısmi regresyon katsayısının, diğer değişkenlerin modele dahil edilip edilmemesiyle nasıl değiştiğini kavramsal olarak açıklamak için.

Anahtar Kavram

Kısmi Regresyon Katsayısı ve Dışlanmış Değişken Sapması (Omitted Variable Bias)

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 104Soru →

$n$ adet gözlem ve (sabit terim hariç) $k$ adet bağımsız değişken içeren bir çoklu doğrusal regresyon modelinin matris gösterimi $Y = X\beta + u$ şeklindedir.

En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle elde edilen tahmin değerleri vektörü $\hat{Y}$ , bağımlı değişken vektörü $Y$ 'nin bir doğrusal dönüşümü olarak $\hat{Y} = HY$ eşitliği ile yazılabilir. Burada $H = X(X'X)^{-1}X'$ ifadesi "Şapka (Hat) Matrisi" olarak adlandırılır.

Buna göre, $H$ matrisinin boyutu ve ana köşegen üzerindeki elemanlarının toplamını ifade eden izi ( $Tr(H)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

n \times n

ve

k + 1

n \times n

ve

n - k - 1

(k+1) \times (k+1)

ve

k + 1

(k+1) \times (k+1)

ve

n - k - 1

n \times (k+1)

ve

n

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n \times n$ ve $k + 1$

Cevap

Şapka (Hat) matrisinin boyutu

n \times n

ve izi

k + 1

'dir.

Y = X\beta + u

modelinde, model tarafından üretilen

\hat{Y}

tahmin vektörü

n \times 1

boyutundadır.

\hat{Y} = HY

eşitliği kullanıldığında,

n \times 1

boyutunda bir sonuç vektörü elde etmek için

Y_{n \times 1}

vektörünün

n \times n

boyutunda bir kare matris ile çarpılması gerekir. Dolayısıyla,

H = X(X'X)^{-1}X'

matrisi

n \times n

boyutundadır. İzi ise matris cebirindeki yer değiştirme özelliğiyle (

Tr(ABC) = Tr(CAB)

) hesaplanır:

Tr(H) = Tr[X(X'X)^{-1}X'] = Tr[X'X(X'X)^{-1}]

. Bir matrisin tersi ile çarpımı birim matris üreteceğinden ifade

Tr(I)

olur. Burada

(X'X)

matrisi

(k+1) \times (k+1)

boyutunda olduğundan

I

birim matrisi de

(k+1) \times (k+1)

boyutundadır. Bu birim matrisin izi (ana köşegenindeki 1'lerin toplamı)

k+1

'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

H

matrisinin içindeki her bir alt matrisin boyutunu listeleme.

X

matrisi

n \times (k+1)

,

(X'X)^{-1}

matrisi

(k+1) \times (k+1)

ve

X'

matrisi

(k+1) \times n

boyutundadır.

Çarpım matrisinin boyutunu bulmak için matris çarpım kuralını (iç boyutların eşleşmesi, dış boyutların sonuç olması) uygulamak gerekir.

2

Uç matris boyutlarına bakarak

H

matrisinin son boyutunu hesaplama.

H = X_{n \times (k+1)} \times ((X'X)^{-1}X')_{(k+1) \times n} \implies n \times n

boyutunda bir kare matris elde edilir.

\hat{Y} = HY

işleminde

n \times 1

vektörü elde edilmesi için

H

'nin

n \times n

boyutunda olması teorik olarak da zorunludur.

3

İz (trace) operatörünün

Tr(AB) = Tr(BA)

özelliğini üçlü matris çarpımına uygulama.

Tr(X(X'X)^{-1}X') = Tr(X'X(X'X)^{-1}) = Tr(I_{k+1})

işlemine dönüşür.

İz işleminde çarpım sırası döngüsel olarak değiştirilebilir. Bu sayede karmaşık ters matris işlemi sadeleşerek birim matrisin izi problemine indirgenir.

4

Birim matrisin (

I_{k+1}

) izini hesaplama.

(k+1) \times (k+1)

boyutundaki birim matrisin köşegeninde

(k+1)

adet 1 bulunur. Toplamları

k+1

olur.

Kare matrisin izi, ana köşegen üzerindeki elemanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Şapka Matrisinin (Hat Matrix) Boyutu ve İz Özelliği

Soru 105Soru →

Bir kalkınma ajansı uzmanı, illerin yıllık kişi başına düşen sağlık harcamalarını ( $Y$ , TL) açıklamak amacıyla bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Modelde bağımsız değişken olarak, illerin kişi başına düşen milli geliri ( $X_1$ , bin TL) ve 65 yaş üstü nüfus oranı ( $X_2$ , yüzde) kullanılmıştır. En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle elde edilen tahmin denklemi şu şekildedir:

\hat{Y} = 1500 + 45 X_1 + 120 X_2

Yapılan analizler sonucunda modelin genel olarak anlamlı olduğu ( $p < 0.05$ ) bulunmuş, ancak bağımsız değişkenler ( $X_1$ ve $X_2$ ) arasında yüksek derecede çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) olduğu tespit edilmiştir.

Bu araştırma bulgularına ve tahmin edilen modele göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Modelde tespit edilen yüksek derecede çoklu doğrusal bağlantı,

X_2

değişkenine ait kısmi regresyon katsayısı olan 120'nin sapmalı (biased) bir tahmin edici olmasına yol açmıştır.

Model doğrusal formda olduğu için 120 katsayısı bir esneklik değeridir ve 65 yaş üstü nüfus oranındaki %1'lik artışın sağlık harcamalarında %120 oranında artış yaratacağını gösterir.

Kişi başına düşen milli gelir (

X_1

) sabit varsayıldığında, 65 yaş üstü nüfus oranındaki (

X_2

) 1 birimlik artışın, kişi başına düşen sağlık harcamalarında ortalama 120 TL'lik bir artış meydana getirmesi beklenir.

65 yaş üstü nüfus oranındaki 1 birimlik artış, modeldeki diğer değişkenlerin düzeyinden bağımsız olarak kişi başına düşen sağlık harcamalarını her koşulda tam olarak 120 TL artırır.

Modelin genel olarak anlamlı bulunması (

F

testinin anlamlılığı),

X_2

değişkenine ait kısmi regresyon katsayısının da

t

testine göre bireysel olarak kesinlikle anlamlı olduğunu gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kişi başına düşen milli gelir ( $X_1$ ) sabit varsayıldığında, 65 yaş üstü nüfus oranındaki ( $X_2$ ) 1 birimlik artışın, kişi başına düşen sağlık harcamalarında ortalama 120 TL'lik bir artış meydana getirmesi beklenir.

Cevap

Doğru seçenek, 120 katsayısının diğer değişken sabit tutulduğunda Y'de yaratacağı ortalama artışı ifade eden seçenektir.

Çoklu doğrusal regresyon modelinde yer alan bir kısmi eğim katsayısı, modele dahil edilen diğer bağımsız değişkenlerin değerleri sabit tutulduğunda ('ceteris paribus' varsayımı), ilgili bağımsız değişkendeki 1 birimlik artışın bağımlı değişkenin (Y) beklenen değerinde (ortalamasında) yaratacağı değişimi ölçer. Verilen denklemde

X_2

'nin katsayısı 120'dir; bu nedenle milli gelir (

X_1

) sabit varsayıldığında, 65 yaş üstü nüfus oranındaki (

X_2

) 1 birimlik artışın sağlık harcamalarında ortalama 120 TL'lik bir artış yaratması beklenir.

Adım Adım Çözüm

1

Model denklemini ve katsayıları tanımlama

Denklemdeki 120 değeri, X2 (65 yaş üstü nüfus oranı) değişkeninin kısmi regresyon (eğim) katsayısıdır.

Soruda istenen analizi yapabilmek için katsayının istatistiksel fonksiyonunu belirlemek gerekir.

2

Kısmi regresyon katsayısının kavramsal tanımını uygulama

Çoklu regresyonda herhangi bir X'in katsayısı, modeldeki diğer X'ler 'sabit' (ceteris paribus) varsayıldığında bağımlı değişkendeki (Y) 'ortalama' veya 'beklenen' değişimi ifade eder.

Kısmi kelimesi, diğer etkilerden arındırılmış net etkiyi bulduğumuzu gösterir.

3

Seçeneklerdeki çeldirici istatistiksel yanılgıları eleme

Çoklu bağlantının sapmaya yol açtığı (A), katsayının esneklik olduğu (B), ceteris paribus ve ortalama kavramlarını dışlayan deterministik yorum (D) ve F ile t testinin eşzamanlı anlamlılık zorunluluğu (E) elenir.

Özellikle çoklu bağlantı varyansı şişirip t testini bozarken, EKK'nın sapmasızlık özelliğini (Gauss-Markov) bozmaz.

Anahtar Kavram

Kısmi Regresyon Katsayısı ve Ceteris Paribus Varsayımı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 106Soru →

Bir istatistikçi, $n = 51$ gözlem içeren bir veri setinde bağımlı değişken ile ilgilendiği bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Bağımlı değişkene ait Genel Kareler Toplamı (GKT) $1000$ 'dir. İstatistikçi aşağıdaki iki modeli tahmin etmiştir:

- Model I: $2$ bağımsız değişken ( $k=2$ ) içeren bu modelde Hata Kareler Toplamı (HKT) $480$ 'dir.
- Model II: Model I'e $3$ yeni bağımsız değişken daha eklenerek kurulan $5$ bağımsız değişkenli ( $k=5$ ) bu yeni modelde Hata Kareler Toplamı (HKT) $472.5$ 'e gerilemiştir.

Bu iki modelin belirleme ( $R^2$ ) ve düzeltilmiş belirleme ( $\bar{R}^2$ ) katsayılarındaki değişim incelendiğinde, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

R^2

değeri

0.520

'den

0.5275

'e yükselmesine rağmen,

\bar{R}^2

değeri serbestlik derecesi kaybı nedeniyle

0.500

'den

0.475

'e düşmüştür.

Modele yeni bağımsız değişkenler eklendikçe açıklanan varyans payı zorunlu olarak artacağından,

\bar{R}^2

değeri de artış göstererek

0.5275

'e ulaşmıştır.

Hata varyansı tahmini için Hata Kareler Toplamı doğrudan gözlem sayısına bölündüğünden, her iki model için hesaplanan

\bar{R}^2

değerleri sırasıyla

0.520

ve

0.5275

olmuştur.

Sabit terimsiz modele geçildiğine dair bir bulgu olmamakla birlikte, Model II orijinden geçen regresyona dönüştürülseydi elde edilecek

\bar{R}^2

değeri, Model I ile güvenle kıyaslanabilirdi.

Modele açıklayıcılığı düşük değişkenlerin dâhil edilmesi EKK tahmincilerinde doğrudan sapmaya yol açtığı için, Model II'nin her iki katsayısı da Model I'in gerisinde kalmıştır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $R^2$ değeri $0.520$ 'den $0.5275$ 'e yükselmesine rağmen, $\bar{R}^2$ değeri serbestlik derecesi kaybı nedeniyle $0.500$ 'den $0.475$ 'e düşmüştür.

Cevap

Model II'de R² değeri artış göstermesine karşın, serbestlik derecesindeki azalmayı kompanse edecek kadar HKT düşmediğinden Düzeltilmiş R² değeri azalmıştır.

Doğru ifadede, R²'nin Model II'de 0.5275 değerine matematiksel olarak artmasına karşın, Düzeltilmiş R²'nin hesaplanmasında kullanılan serbestlik derecesinin Model I'de 48, Model II'de 45 olması sebebiyle, hata varyansı tahmininin (MSE) arttığı ve bu nedenle Düzeltilmiş R²'nin 0.475'e düştüğü doğru biçimde belirtilmiştir. Bu durum, eklenen yeni değişkenlerin modele anlamlı bir açıklayıcılık katmadığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki model için Belirleme Katsayısı (R²) değerlerini hesaplayın.

Model I: R² = 1 - (480 / 1000) = 0.520. Model II: R² = 1 - (472.5 / 1000) = 0.5275.

R² değeri, modelin açıkladığı varyans oranını gösterir ve HKT'nin GKT'ye oranının 1'den çıkarılmasıyla bulunur.

2

Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı (R̄²) formülünü hatırlayın.

R̄² = 1 - [ (HKT / (n - k - 1)) / (GKT / (n - 1)) ]

Düzeltilmiş R², modele eklenen her yeni bağımsız değişken için serbestlik derecesi üzerinden bir ceza uygulayarak model karmaşıklığını dengeler.

3

Genel Kareler Toplamı'nın varyans tahminini hesaplayın.

GKT / (n - 1) = 1000 / (51 - 1) = 1000 / 50 = 20.

Bu değer her iki modelin Düzeltilmiş R² hesabında ortak olan payda kısmıdır.

4

Model I için R̄² değerini hesaplayın.

Hata serbestlik derecesi = 51 - 2 - 1 = 48. R̄² = 1 - [ (480 / 48) / 20 ] = 1 - (10 / 20) = 1 - 0.500 = 0.500.

Model I'in açıklama gücünün serbestlik derecesi dikkate alınarak düzeltilmiş halini bulmak için.

5

Model II için R̄² değerini hesaplayın ve karşılaştırın.

Hata serbestlik derecesi = 51 - 5 - 1 = 45. R̄² = 1 - [ (472.5 / 45) / 20 ] = 1 - (10.5 / 20) = 1 - 0.525 = 0.475.

Yeni değişkenlerin eklenmesiyle R² artmasına rağmen, R̄² 0.500'den 0.475'e düşmüştür.

Anahtar Kavram

Çoklu regresyon modeline yeni değişken eklendiğinde R² daima artar veya sabit kalır. Ancak yeni değişkenin Hata Kareler Toplamını (HKT) düşürme oranı, kaybedilen serbestlik derecesinden daha az ise Düzeltilmiş R² (R̄²) düşer.

Soru 107Soru →

Bir perakende zinciri analisti, mağazaların aylık satış gelirleri ( $Y$ ), yerel reklam harcamaları ( $X_1$ ) ve mağazanın bulunduğu caddedeki yaya trafiği yoğunluğu ( $X_2$ ) arasındaki ilişkileri incelemektedir. Analistin elde ettiği ikili (basit) korelasyon katsayıları matrisi aşağıda verilmiştir:

Değişkenler	$Y$	$X_1$	$X_2$
$Y$	1,00	0,72	0,60
$X_1$	0,72	1,00	0,80
$X_2$	0,60	0,80	1,00

Buna göre, yaya trafiği yoğunluğunun ( $X_2$ ) etkisi sabit tutulduğunda (kontrol edildiğinde), satış gelirleri ( $Y$ ) ile reklam harcamaları ( $X_1$ ) arasındaki kısmi korelasyon katsayısı ( $r_{Y1.2}$ ) kaçtır?

0,24

0,25

0,50

0,60

0,72

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,50

Cevap

0,50

Kısmi korelasyon katsayısı (

r_{Y1.2}

), diğer bağımsız değişkenin (

X_2

) etkisi arındırıldıktan sonra

Y

ile

X_1

arasındaki net ilişkiyi ölçer. Formülü

r_{Y1.2} = \frac{r_{Y1} - r_{Y2}r_{12}}{\sqrt{1 - r_{Y2}^2}\sqrt{1 - r_{12}^2}}

şeklindedir. Veriler formülde yerine konulduğunda pay:

0,72 - (0,60 \times 0,80) = 0,24

ve payda:

\sqrt{1 - 0,60^2} \times \sqrt{1 - 0,80^2} = 0,80 \times 0,60 = 0,48

olarak hesaplanır. Sonuç

0,24 / 0,48 = 0,50

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi korelasyon formülünü yazma ve değerleri matristen belirleme.

r_{Y1.2} = \frac{r_{Y1} - r_{Y2}r_{12}}{\sqrt{1 - r_{Y2}^2} \sqrt{1 - r_{12}^2}}

formülü kullanılacaktır. Veriler:

r_{Y1}=0,72

,

r_{Y2}=0,60

,

r_{12}=0,80

.

Yaya trafiği (

X_2

) kontrol edildiği için

X_2

'ye göre birinci dereceden kısmi korelasyon hesaplanmalıdır.

2

Formülün pay kısmını hesaplama.

0,72 - (0,60 \times 0,80) = 0,72 - 0,48 = 0,24

X_1

ve

Y

'nin ortak varyansından,

X_2

'nin bu ikisiyle olan ilişkisinin (dolaylı etkinin) çıkarılması gerekir.

3

Formülün payda kısmını hesaplama.

\sqrt{1 - 0,60^2} \times \sqrt{1 - 0,80^2} = \sqrt{1 - 0,36} \times \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,64} \times \sqrt{0,36} = 0,80 \times 0,60 = 0,48

Bağımsız değişkenlerin, kontrol edilen

X_2

tarafından açıklanmayan (geriye kalan) standart sapma kısımları bulunmalıdır.

4

Kısmi korelasyon katsayısını elde etme.

r_{Y1.2} = \frac{0,24}{0,48} = 0,50

Pay kısmında bulunan arındırılmış kovaryans değeri, paydadaki standartlaştırılmış terime bölünerek net ilişki katsayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kısmi Korelasyon Katsayısı

Soru 108Soru →

Bir araştırmacı, $n$ birimlik bir örneklem üzerinden $k$ adet bağımsız değişken içeren $Y = X\beta + u$ çoklu doğrusal regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir.

Yapılan varsayım kontrollerinde; bağımsız değişkenlerin hata terimi ile ilişkisiz olduğu ( $E(u|X)=0$ ) ve hata terimleri arasında ardışık bağımlılık bulunmadığı ( $Cov(u_i, u_j|X)=0, i \neq j$ ) tespit edilmiştir. Ancak, modeldeki bağımsız değişkenlerden birinin değeri büyüdükçe, hata terimlerinin varyansının da sistematik olarak arttığı gözlemlenmiştir.

Gauss-Markov teoremi ve klasik regresyon varsayımları çerçevesinde, ortaya çıkan bu durumun EKK tahmin edicileri ( $\hat{\beta}$ ) ve istatistiksel sonuçlar üzerindeki etkisiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

EKK tahmin edicileri sapmasızlık (unbiasedness) özelliğini korur; ancak en küçük varyanslı (etkin) olma özelliğini yitirir ve tahmin edilen standart hatalar güvenilir olmayacağından istatistiksel testler (

t

ve

F

) geçersiz hale gelir.

Hata terimlerindeki bu sistematik varyans değişimi, tahmin edicilerin etkinlik özelliğini etkilemezken, katsayıların beklenen değerinin gerçek parametrelerden sapmasına (biased) neden olur.

Bu gözlem, bağımsız değişkenler arasında yüksek derecede çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) bulunduğunun kanıtıdır ve katsayı tahminlerinin sapmalı hesaplanmasına yol açar.

Değişen varyans varlığında EKK tahmin edicileri "En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici" (BLUE) olmaya devam eder, fakat bireysel katsayı testleri için

t

testi yerine

F

testinin kullanılması zorunlu olur.

Hata terimleri arasında ardışık bağımlılık (otokorelasyon) bulunmadığı bilindiğinden, değişen varyans tespit edilse dahi EKK tahmin edicileri minimum varyanslı (etkin) olma özelliğini kesinlikle sürdürür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: EKK tahmin edicileri sapmasızlık (unbiasedness) özelliğini korur; ancak en küçük varyanslı (etkin) olma özelliğini yitirir ve tahmin edilen standart hatalar güvenilir olmayacağından istatistiksel testler ( $t$ ve $F$ ) geçersiz hale gelir.

Cevap

EKK tahmin edicileri sapmasızlık özelliğini korur; ancak etkin olma özelliğini yitirir ve tahmin edilen standart hatalar güvenilir olmayacağından istatistiksel testler geçersiz hale gelir.

Soruda tanımlanan durum değişen varyans (heteroskedastisite) problemidir. Gauss-Markov teoremine göre,

E(u|X)=0

varsayımı sağlandığı sürece EKK tahmin edicileri sapmasızlık (unbiasedness) özelliğini korur. Ancak tahmin edicilerin, tüm doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahip (etkin/BLUE) olabilmesi için hata terimlerinin varyansının sabit olması zorunludur. Varyans değiştiğinde tahmin ediciler etkinliğini yitirir. Ayrıca, standart EKK standart hata formülleri sabit varyans varsayımına dayandığı için hesaplanan standart hatalar yanlış (sapmalı) olur; bu standart hataları kullanan

t

ve

F

istatistikleri de güvenilirliklerini yitirerek geçersiz hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Stemdeki varsayım ihlalinin istatistiksel adının tespit edilmesi.

Bağımsız değişkenin değeri arttıkça hata teriminin varyansının artması 'değişen varyans' (heteroskedastisite) problemi olduğunu gösterir.

Varyansın tüm gözlemler için sabit kalmaması (homoskedastisite varsayımının çiğnenmesi) bu şekilde tanımlanır.

2

Gauss-Markov teoremi varsayımlarının EKK özelliklerine etkilerinin hatırlanması.

Sapmasızlık için

E(u|X)=0

şartının sağlanması yeterlidir. Ancak en küçük varyanslı (etkin) olabilmek için varyansın sabit olması ve otokorelasyon bulunmaması gerekir.

Her bir özelliğin (sapmasızlık, etkinlik) dayandığı varsayımlar farklıdır.

3

Değişen varyansın EKK tahmin edicileri (

\hat{\beta}

) üzerindeki teorik etkisinin değerlendirilmesi.

E(u|X)=0

sağlandığı için tahmin ediciler hala sapmasızdır (

E(\hat{\beta})=\beta

). Fakat sabit varyans ihlal edildiğinden artık en küçük varyanslı (BLUE) değillerdir.

Etkinlik şartı ortadan kalktığı için varyans matrisi optimal (minimum) olmaktan çıkar.

4

Varsayım ihlalinin istatistiksel çıkarsamalara (

t

ve

F

testleri) etkisinin belirlenmesi.

Standart EKK varyans formülleri yanlış sonuç vereceği için standart hatalar sapmalı hesaplanır, bu nedenle bu hatalara dayanan

t

ve

F

testleri güvenilmez hale gelir.

Anlamlılık testlerinin geçerliliği, standart hataların doğru hesaplanmasına doğrudan bağlıdır.

Anahtar Kavram

Değişen Varyansın (Heteroskedastisite) EKK Tahmincilerine ve Çıkarsamalara Etkisi

Soru 109Soru →

Bir ekonometri araştırmacısı, $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + u$ şeklindeki çoklu doğrusal regresyon modelini $n=150$ gözlem kullanarak En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiş ve varsayımların geçerliliğini sınadığında şu bulguları elde etmiştir:

I. $X_1$ ve $X_2$ bağımsız değişkenleri arasında $r = 0,94$ düzeyinde yüksek bir doğrusal ilişki bulunmaktadır.
II. Hata terimlerinin varyansının sabit olmadığı ve $X_3$ değişkeninin değerlerine bağlı olarak sistematik biçimde değiştiği (değişen varyans) tespit edilmiştir.
III. Hata terimlerinin normal dağıldığına ilişkin sıfır hipotezi reddedilememiştir.

Bu bulgular ışığında, tahmin edilen modelin EKK tahmin edicileri ( $\hat{\beta}$ ) ve istatistiksel çıkarsamaları hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Tahmin edilen tüm katsayılar sapmasızlık özelliğini korur; ancak değişen varyans problemi nedeniyle EKK tahmin edicileri etkinliklerini kaybeder ve klasik standart hatalar kullanılarak yapılan hipotez testleri geçersiz hale gelir.

X_1

ile

X_2

arasındaki yüksek çoklu doğrusal bağlantı, bu değişkenlere ait katsayı tahminlerinin (

\hat{\beta}_1

ve

\hat{\beta}_2

) sapmalı (biased) ve tutarsız olmasına neden olur.

Hata terimlerinin normal dağılması Gauss-Markov teoreminin ön koşulunu sağladığından, değişen varyans bulunmasına rağmen EKK tahmin edicileri En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici (BLUE) özelliğini sürdürür.

Çoklu doğrusal bağlantı problemi modelin genel anlamlılığını sınayan F-testini geçersiz kılarken, katsayıların standart hatalarını küçülterek bireysel t-testlerinin güvenilirliğini artırır.

Çoklu bağlantı problemini çözmek için

X_1

veya

X_2

değişkenlerinden birinin modelden dışlanması, serbestlik derecesini artıracağı için düzeltilmiş belirleme katsayısının (

\bar{R}^2

) her koşulda artmasını sağlar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahmin edilen tüm katsayılar sapmasızlık özelliğini korur; ancak değişen varyans problemi nedeniyle EKK tahmin edicileri etkinliklerini kaybeder ve klasik standart hatalar kullanılarak yapılan hipotez testleri geçersiz hale gelir.

Cevap

EKK tahmin edicilerinin sapmasızlıklarını koruduğu, ancak değişen varyans nedeniyle etkinliklerini yitirerek klasik t ve F testlerinin geçersiz hale geldiği seçenektir.

Gauss-Markov teoremine göre, değişen varyans (heteroskedastisite) ve çoklu doğrusal bağlantı problemlerinin hiçbiri EKK tahmin edicilerinin sapmasızlığını (unbiasedness) ve tutarlılığını bozmaz. Modeldeki

X_1

ve

X_2

arasındaki yüksek korelasyon yalnızca katsayıların varyansını şişirir. Ancak, hata varyansının sabit olmaması (değişen varyans) EKK tahmin edicilerinin 'En İyi' (minimum varyanslı/etkin) olma özelliğini ortadan kaldırır. Değişen varyans durumunda, klasik EKK varyans-kovaryans matrisi formülü (

s^2(X'X)^{-1}

) gerçek varyansı yansıtmaz ve sapmalı hale gelir. Bu nedenle, yanlış hesaplanan standart hatalara dayanan klasik t ve F hipotez testleri istatistiksel olarak geçersiz (güvenilmez) olur.

Adım Adım Çözüm

1

Çoklu doğrusal bağlantının etkilerinin değerlendirilmesi

Katsayıların varyansı şişer ancak EKK tahmin edicileri sapmasız ve tutarlı kalmaya devam eder.

Çoklu doğrusal bağlantı, bağımsız değişkenler ile hata terimi arasındaki ilişkisizlik (

E(u|X)=0

) varsayımını ihlal etmez.

2

Değişen varyans (heteroskedastisite) probleminin etkilerinin incelenmesi

EKK tahmin edicileri sapmasız kalır ancak minimum varyanslı (En İyi - Etkin) olma özelliğini yitirir.

Sabit varyans varsayımı (

Var(u)=\sigma^2 I

) ihlal edildiğinde EKK, BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici) özelliğini kaybeder ve varyans matrisi değişir.

3

Standart hatalardaki sapmanın hipotez testlerine yansımasının belirlenmesi

Klasik formüllerle hesaplanan standart hatalar güvenilmez olduğundan, bunlara dayalı olarak yapılan t ve F testleri geçersiz olur.

Değişen varyans altında klasik

s^2(X'X)^{-1}

formülü gerçek varyansı yansıtmaz, bu nedenle hesaplanan t ve F istatistikleri doğru dağılıma uymaz.

4

Hata terimlerinin normal dağılması bulgusunun rolünün analizi

Normallik varsayımının sağlanması, değişen varyansın yarattığı problemleri ortadan kaldırmaz.

Normallik sadece küçük örneklemlerde küresel hatalar altındaki kesin test dağılımları için gereklidir; Gauss-Markov teoreminin sapmasızlık veya etkinlik garantisi için bir şart değildir.

Anahtar Kavram

Çoklu Doğrusal Regresyon Modelinde Varsayım İhlallerinin (Değişen Varyans ve Çoklu Bağlantı) EKK Tahmin Edicilerine Etkisi

Soru 110Soru →

Bir araştırmacı, hanehalkı harcamalarını ( $Y$ ) modellemek için gelir ( $X_1$ ) ve servet ( $X_2$ ) değişkenlerini kullanarak bir çoklu doğrusal regresyon analizi yürütmektedir. Analiz sonucunda, değişkenlerin bağımlı değişken üzerindeki göreli önemini belirlemek amacıyla standartlaştırılmış regresyon katsayıları (Beta - $\beta^*$ ) hesaplanmıştır.

Araştırmacı, gelir değişkenine ( $X_1$ ) ait standartlaştırılmış regresyon katsayısının $\beta_1^* = 1.35$ olduğunu bulmuştur. Basit doğrusal regresyonda doğrudan basit korelasyon katsayısına ( $r$ ) eşit olduğu için $[-1, 1]$ aralığında değer alan bu katsayının, kurulan çoklu modelde mutlak değerce $1$ 'den büyük çıkmasının temel istatistiksel nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

Bağımsız değişkenler (

X_1

ve

X_2

) arasında yüksek düzeyde bir korelasyon (çoklu doğrusal bağlantı) bulunması

Çoklu doğrusal bağlantı sorununun, En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin sapmasızlık özelliğini ortadan kaldırarak saptırma yaratması

Kısmi regresyon katsayısının hesaplanmasında, diğer bağımsız değişkenlerin sabit tutulması varsayımının ihlal edilerek basit etkinin yansıtılması

Modele teorik ilişkisi zayıf olan gereksiz değişkenlerin eklenmesiyle (aşırı belirleme) EKK tahmincilerinin sapmalı hâle gelmesi

Modelin orijinden geçen regresyon olarak kurulması nedeniyle Belirtme Katsayısı'nın (

R^2

) hatalı hesaplanarak katsayıları yukarı yönlü saptırması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bağımsız değişkenler ( $X_1$ ve $X_2$ ) arasında yüksek düzeyde bir korelasyon (çoklu doğrusal bağlantı) bulunması

Cevap

Çoklu modelde standartlaştırılmış regresyon katsayısının mutlak değerce 1'den büyük çıkmasının nedeni, bağımsız değişkenler arasında yüksek düzeyde korelasyon (çoklu doğrusal bağlantı) bulunmasıdır.

Basit doğrusal regresyonda standartlaştırılmış katsayı (

\beta^*

), bağımlı ve bağımsız değişken arasındaki korelasyon katsayısına (

r

) eşit olduğundan her zaman

[-1, 1]

aralığındadır. Ancak çoklu doğrusal regresyonda,

\beta_1^* = (r_{y1} - r_{y2}r_{12}) / (1 - r_{12}^2)

eşitliği ile hesaplanır. Bağımsız değişkenler arasında yüksek korelasyon (çoklu doğrusal bağlantı) olduğunda

r_{12}

değeri mutlak değerce 1'e çok yaklaşır. Bu durumda formülün paydası (

1 - r_{12}^2

) küçülerek sıfıra yaklaşır ve pay kısmı paydadan büyük kalarak standartlaştırılmış katsayının mutlak değerce 1'i aşmasına (şişmesine) neden olur. Bu durum istatistik literatüründe çoklu bağlantının veya bastırıcı (suppressor) değişken etkisinin matematiksel bir sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1

Standartlaştırılmış katsayıların (Beta) tanım sınırlarını değerlendir

Basit regresyonda Beta'nın her zaman korelasyon katsayısına eşit olduğu ve [-1, 1] aralığında yer aldığı hatırlanır.

Teorik sınırlar, çoklu modele geçişteki farkı anlamanın temelidir.

2

Çoklu regresyon için Beta hesaplama formülünü analiz et

İki bağımsız değişkenli modelde formülün

\beta_1^* = (r_{y1} - r_{y2}r_{12}) / (1 - r_{12}^2)

olduğu görülür.

Katsayının hangi koşullarda 1'i aşabileceğini matematiksel olarak tespit etmek için formül yapısına ihtiyaç vardır.

3

Korelasyonun (çoklu bağlantının) formül üzerindeki etkisini belirle

X_1

ve

X_2

arasındaki korelasyon (

r_{12}

) 1'e (veya -1'e) yaklaştıkça paydanın sıfıra yaklaştığı, bunun da katsayı değerini suni olarak şişirip mutlak değerce 1'in üzerine çıkardığı sonucuna varılır.

Bu durum, katsayının olağan dışı büyüklüğünün (1.35) doğrudan nedenidir.

Anahtar Kavram

Standartlaştırılmış Regresyon Katsayıları (Beta) ve Çoklu Doğrusal Bağlantı Etkisi

Soru 111Soru →

Sağlık Bakanlığı bünyesinde çalışan bir araştırmacı, belirli bir tedavi protokolünün uygulandığı hastaların iyileşme süresini ( $Y$ ); hastanın yaşı ( $X_1$ ), vücut kitle indeksi ( $X_2$ ) ve günlük uygulanan ilaç dozu ( $X_3$ ) değişkenleriyle açıklamak amacıyla bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur.

Modelin tahmini için rastgele seçilen $44$ hastaya ait veriler kullanılmıştır. Yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda, modelin Regresyon Kareler Toplamı (RKT) $450$ ve Genel (Toplam) Kareler Toplamı (GKT) $650$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kurulan çoklu doğrusal regresyon modelinin genel anlamlılığını test etmek için kullanılacak F istatistiğinin hesaplanan değeri ve test edilen sıfır hipotezi ( $H_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

F = 30

ve

H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0

F = 2,25

ve

H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0

F = 30

ve

H_0: \text{En az bir } \beta_i \neq 0 \ (i=1,2,3)

F = 30

ve

H_0: \beta_1 = 0

F = 30

ve

H_0: \beta_0 = \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = 30$ ve $H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0$

Cevap

Hesaplanan F değeri 30'dur ve genel anlamlılık için sıfır hipotezi eğim katsayılarının tümünün sıfıra eşit olduğu

H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0

şeklindedir.

Verilen

n=44

ve

k=3

değerleriyle ANOVA tablosu oluşturulduğunda; HKT = 650 - 450 = 200 olarak bulunur. Regresyon serbestlik derecesi

k=3

, hata serbestlik derecesi

n-k-1 = 40

'tır. Kareler ortalamaları sırasıyla RKO = 450/3 = 150 ve HKO = 200/40 = 5 olarak hesaplanır. Buradan F değeri 150/5 = 30 bulunur. Çoklu regresyonda genel anlamlılık testi (F testi), sadece modele eklenen bağımsız değişkenlerin (eğim katsayılarının) eş anlı sıfıra eşitliğini araştırır. Bu nedenle doğru sıfır hipotezi

H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamını (HKT) hesaplayın.

HKT = GKT - RKT = 650 - 450 = 200

Varyans analizinde Toplam Kareler Toplamı, Regresyon ve Hata Kareler Toplamının toplamına eşittir.

2

Regresyon ve Hata serbestlik derecelerini (sd) bulun.

Regresyon sd =

k = 3

. Hata sd =

n - k - 1 = 44 - 3 - 1 = 40

.

Modelde

k=3

bağımsız değişken vardır. Gözlem sayısı

n=44

'tür. Regresyon serbestlik derecesi bağımsız değişken sayısına, hata serbestlik derecesi ise

n - k - 1

formülüne bağlıdır.

3

Regresyon ve Hata Kareler Ortalamalarını (RKO ve HKO) hesaplayın.

RKO = 450 / 3 = 150

.

HKO = 200 / 40 = 5

.

Kareler ortalamaları, kareler toplamlarının ilgili serbestlik derecelerine bölünmesiyle elde edilir.

4

F istatistiğini hesaplayın.

F = RKO / HKO = 150 / 5 = 30

.

F test istatistiği, açıklanan varyansın açıklanamayan varyansa (hata) oranlanmasıyla bulunur.

5

Modelin genel anlamlılık testi için sıfır hipotezini (

H_0

) belirleyin.

H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0

Çoklu regresyonda F testi, modeldeki tüm bağımsız değişkenlerin (eğim katsayılarının) eşzamanlı olarak bağımlı değişken üzerinde anlamsız (sıfır) etkisinin olup olmadığını test eder. Sabit terim (

\beta_0

) bu hipoteze dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Modelin Genel Anlamlılık Testi (F Testi)

Soru 112Soru →

Ekonometrik analizlerde vektör uzayı yaklaşımı kullanılarak, $n$ gözlemden oluşan bağımlı değişken vektörü $Y$ , $X$ matrisinin oluşturduğu sütun uzayına ve bu uzaya dik olan (ortogonal) alt uzaya izdüşürülmektedir. $Y = X\beta + u$ standart çoklu doğrusal regresyon modelinde (sabit terim dâhil $p$ parametre içermektedir), $P = X(X'X)^{-1}X'$ matrisi $Y$ 'nin sütun uzayına izdüşümünü, $M = I - P$ ise dik uzaya izdüşümünü veren simetrik ve idempotent matrislerdir.

EKK tahmin süreci sonunda elde edilen kestirim vektörü $\hat{Y}$ ve artık vektörü $e$ dikkate alındığında, bu modelin matris özellikleri ve varyans-kovaryans yapıları hakkında aşağıda verilen analitik sonuçlardan hangisi doğrudur?

Kestirim değerleri vektörünün varyans-kovaryans matrisi

Var(\hat{Y}) = \sigma^2 P

yapısındadır ve bu izdüşüm matrisi

P

'nin izi (trace), modeldeki katsayı parametre sayısına (

p

) eşittir.

Artık vektörünün varyans-kovaryans matrisi

Var(e) = \sigma^2(X'X)^{-1}

olarak tanımlanır ve bu kare matrisin boyutu gözlem sayısına (

n \times n

) eşittir.

Kalan (Artık) matrisi

M

'nin izi (trace)

tr(M) = n-1

olduğundan, modeldeki hata varyansının sapmasız tahmincisi her zaman

s^2 = \frac{e'e}{n-1}

eşitliğiyle hesaplanır.

Parametre tahmin vektörü

\hat{\beta}

, katsayılar matrisi formülüne göre

\hat{\beta} = (X'Y)^{-1}(X'X)

matris işlemiyle elde edilir ve bu vektörün nihai boyutu

n \times 1

'dir.

Tasarım matrisi

X

'in sütunları arasında çoklu doğrusal bağlantı olduğunda

(X'X)

matrisi singüler hale yaklaşır ve bu durum EKK tahmincisi

\hat{\beta}

'nın sapmalı (biased) sonuçlar üretmesine neden olur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Kestirim değerleri vektörünün varyans-kovaryans matrisi $Var(\hat{Y}) = \sigma^2 P$ yapısındadır ve bu izdüşüm matrisi $P$ 'nin izi (trace), modeldeki katsayı parametre sayısına ( $p$ ) eşittir.

Cevap

Kestirim değerlerinin varyans-kovaryans matrisinin

\sigma^2 P

olduğunu ve izdüşüm matrisinin izinin parametre sayısı

p

'ye eşit olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Kestirim değerleri vektörünün (

\hat{Y}

) matrisel karşılığı

PY

'dir. Varyans operatörünün özelliklerinden

Var(PY) = P \cdot Var(Y) \cdot P'

elde edilir.

Var(Y) = \sigma^2 I_n

ve

P

matrisi simetrik ile idempotent (

P=P'

ve

P^2=P

) olduğundan bu işlem

\sigma^2 P

sonucunu verir. Ayrıca matris izi döngüsellik kuralına göre,

tr(X(X'X)^{-1}X') = tr((X'X)^{-1}X'X) = tr(I_p) = p

bulunur. İzdüşüm matrisinin izi modeldeki parametre sayısına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Kestirim değerleri vektörünün (

\hat{Y}

) varyans-kovaryans matrisinin türetilmesi.

\hat{Y} = PY

olduğundan,

Var(\hat{Y}) = Var(PY) = P \cdot Var(Y) \cdot P'

elde edilir.

Var(Y) = \sigma^2 I

ve

P

idempotent (

P=P'

ve

P^2=P

) olduğundan sonuç

\sigma^2 P

çıkar.

Kestirim değerlerinin varyans yapısını oluşturan matrisin izdüşüm matrisi

P

ile ilişkisini kanıtlamak.

2

İzdüşüm matrisi

P

'nin izinin (trace) matris cebiriyle hesaplanması.

tr(P) = tr(X(X'X)^{-1}X') = tr((X'X)^{-1}X'X) = tr(I_p) = p

bulunur.

İzdüşüm yapılan alt uzayın boyutunun modeldeki parametre sayısına (

p

) eşit olduğunu göstermek.

3

Artıkların varyans matrisi, boyutları ve hatalı seçeneklerin çürütülmesi.

Var(e) = \sigma^2 M

olup matris boyutu

n \times n

'dir. Buna karşın

(X'X)^{-1}

matrisi

p \times p

boyutludur. Artıkların serbestlik derecesi de matrisin izi olan

n-p

'ye eşittir.

Çeldiricilerde verilen hatalı matris boyutları, yanlış tahminci formülleri ve yanlış serbestlik derecelerini matematiksel olarak elemek.

Anahtar Kavram

İzdüşüm (Hat) ve Kalan Matrislerinin Özellikleri ile Boyutları

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 113Soru →

Bir ekonometri seminerinde, üç değişkenli bir evrensel regresyon modeli olan $Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + u$ denkleminin En Küçük Kareler (EKK) tahmincileri incelenmektedir.

Seminerin odak noktası, $\hat{\beta}_1$ kısmi regresyon katsayısının hem kavramsal yorumu hem de cebirsel elde ediliş sürecidir. Konuşmacı, $\hat{\beta}_1$ katsayısının $X_1$ 'in $Y$ üzerindeki "net" veya "arındırılmış" marjinal etkisini nasıl yakaladığını Frisch-Waugh-Lovell (FWL) teoremi bağlamında açıklamıştır.

Buna göre, seminerdeki açıklamalara paralel olarak $\hat{\beta}_1$ katsayısının elde edilişi ve yorumlanması ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

\hat{\beta}_1

,

X_1

'in

X_2

üzerine regresyonundan elde edilen artıkların,

Y

'nin

X_2

üzerine regresyonundan elde edilen artıkları açıklama gücünü gösteren basit doğrusal regresyon eğimidir ve

X_1

'in

X_2

'den arındırılmış net etkisini ölçer.

\hat{\beta}_1

,

X_1

değişkenindeki bir birimlik değişimin

Y

üzerinde yaratacağı toplam etkiyi ölçer; bu nedenle 'diğer değişkenler sabitken' varsayımına gerek duyulmadan basit regresyon katsayısı gibi yorumlanır.

Modelde

X_1

ve

X_2

arasında yüksek çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) bulunması halinde,

\hat{\beta}_1

katsayısı sapmalı (biased) değerler alacağından kısmi etkinin yönü yorumlanamaz.

\hat{\beta}_1

katsayısının

Y

üzerindeki kısmi etkisinin istatistiksel anlamlılığı, modelin ortak açıklayıcılık gücüne dayandığından t-testi yerine ANOVA tablosundaki genel F-testi ile değerlendirilmelidir.

Eğer

X_2

değişkeni modelden dışlanırsa, elde edilecek yeni

X_1

eğim katsayısı

\hat{\beta}_1

'e kıyasla her zaman sapmasız kalır ancak varyansı artarak etkinliğini (minimum varyans özelliğini) kaybeder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\hat{\beta}_1$ , $X_1$ 'in $X_2$ üzerine regresyonundan elde edilen artıkların, $Y$ 'nin $X_2$ üzerine regresyonundan elde edilen artıkları açıklama gücünü gösteren basit doğrusal regresyon eğimidir ve $X_1$ 'in $X_2$ 'den arındırılmış net etkisini ölçer.

Cevap

Doğru ifade,

\hat{\beta}_1

'in arındırılmış artıkların basit regresyon eğimi olduğunu ve net etkiyi ölçtüğünü belirten ifadedir.

Çoklu doğrusal regresyon analizinde bir bağımsız değişkenin kısmi regresyon katsayısı, diğer bağımsız değişkenlerin hem bağımlı değişken hem de incelenen bağımsız değişken üzerindeki doğrusal etkilerinden arındırılmış 'net' marjinal etkiyi ölçer. Frisch-Waugh-Lovell (FWL) teoremine göre bu katsayı matematiksel olarak; incelenen değişkenin (

X_1

) kontrol değişkenleri (

X_2

) üzerine regresyonundan elde edilen artık serisinin, bağımlı değişkenin (

Y

) kontrol değişkenleri (

X_2

) üzerine regresyonundan elde edilen artık serisini açıklama gücünü gösteren basit doğrusal regresyonun eğim katsayısına (

\hat{\beta}_1

) eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi regresyon katsayısının ekonometrik anlamını (ceteris paribus) tanımlamak.

Çoklu regresyon denklemindeki bir eğim katsayısı (örneğin

\hat{\beta}_1

), diğer bağımsız değişkenlerin (

X_2

) değerleri sabit tutulduğunda

X_1

'in

Y

üzerindeki marjinal (net) etkisini ölçer.

Bu, EKK'nın temel yorumlama kuralıdır ve basit modeldeki 'toplam etki'den farkını ortaya koyar.

2

Bu marjinal etkinin Frisch-Waugh-Lovell (FWL) teoremi ile nasıl elde edildiğini kurgulamak.

Teoreme göre

X_1

'in net etkisi, hem

X_1

'den hem de

Y

'den

X_2

'nin açıklayabildiği kısmın çıkarılmasıyla bulunur. Geriye kalan açıklanamayan parçalar (artıklar) birbiriyle basit regresyona tabi tutulduğunda eğim katsayısı tam olarak

\hat{\beta}_1

'i verir.

Teorem, ceteris paribus varsayımının cebirsel olarak karşılığının değişkenlerin doğrusal olarak birbirlerinden 'arındırılması' işlemi olduğunu ispatlar.

3

Diğer ifadelerdeki ekonometrik yanılgıları tespit etmek.

Çoklu bağlantının sapma (bias) yaratmadığı, t-testinin bireysel katsayılar için kullanıldığı ve modelden değişken atmanın (eksik belirlemenin) katsayıyı sapmalı hale getirdiği saptanır.

Sınav standardındaki zor sorular kavramsal ihlaller ile spesifikasyon hatalarını bir arada sorgular.

Anahtar Kavram

Kısmi Regresyon Katsayısı ve Frisch-Waugh-Lovell Teoremi

Alternatif Yöntem

Kısmi regresyon katsayısı, varyans-kovaryans matrisi elemanları üzerinden de cebirsel olarak ifade edilebilir. Üç değişkenli durumda eğim katsayısı şu formülle de elde edilebilir:

\hat{\beta}_1 = \frac{Cov(X_1,Y)Var(X_2) - Cov(X_2,Y)Cov(X_1,X_2)}{Var(X_1)Var(X_2) - [Cov(X_1,X_2)]^2}

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 114Soru →

Bir araştırmacı, $n=120$ gözlem kullanarak $Y$ bağımlı değişkenini $X_1$ , $X_2$ ve $X_3$ açıklayıcı değişkenleriyle modelleyen bir çoklu doğrusal regresyon denklemini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir. Araştırmacı, tanısal testleri uyguladıktan sonra araştırma raporuna şu notu düşmüştür:

*"Modeldeki açıklayıcı değişkenler arasında yüksek derecede çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) saptanmıştır. Bu problemin bir sonucu olarak, EKK tahmin edicileri sapmalı (biased) hâle gelmiş ve Gauss-Markov teoremine göre 'en iyi' (minimum varyanslı) tahmin edici olma özelliğini yitirmiştir."*

Araştırmacının bu değerlendirmesinin istatistiksel geçerliliği üzerine aşağıdaki yargılardan hangisi doğrudur?

Çoklu doğrusal bağlantı, EKK tahmin edicilerinin standart hatalarını büyüterek güven aralıklarını genişletse de; tahmin ediciler sapmasızlık özelliğini korur ve doğrusal sapmasız tahmin ediciler sınıfı içinde hâlâ en küçük varyansa (BLUE) sahip olmaya devam eder.

Araştırmacının tahmin edicilerin sapmalı hâle geldiği tespiti doğrudur; çünkü bağımsız değişkenler arasındaki yüksek korelasyon, modelde eksik değişken bırakılmış gibi davranarak hata terimi ile açıklayıcı değişkenler arasında bir ilişki yaratır.

Çoklu doğrusal bağlantı durumunda tahmin ediciler sapmasız kalsalar da, araştırmacının da belirttiği gibi varyansları minimum olma özelliğini yitirir ve Gauss-Markov teoreminin 'etkinlik' şartı kalıcı olarak ihlal edilmiş olur.

Araştırmacının ulaştığı sonuçlar kısmen hatalıdır; çoklu doğrusal bağlantı katsayıları sapmalı yapmaz ancak modelin genel anlamlılığını test eden F istatistiğini düşürürken, bireysel parametrelere ait t istatistiklerini yapay olarak yükseltir.

Çoklu doğrusal bağlantı durumunda EKK tahmin edicileri sapmasızdır, ancak varyanslarının hesaplanmasında kullanılan hata kareler ortalamasının serbestlik derecesi

n-k

yerine hatalı şekilde

n-1

olarak alınırsa araştırmacının iddia ettiği sapmalı sonuçlar elde edilir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Çoklu doğrusal bağlantı, EKK tahmin edicilerinin standart hatalarını büyüterek güven aralıklarını genişletse de; tahmin ediciler sapmasızlık özelliğini korur ve doğrusal sapmasız tahmin ediciler sınıfı içinde hâlâ en küçük varyansa (BLUE) sahip olmaya devam eder.

Cevap

Çoklu doğrusal bağlantının, EKK tahmin edicilerinin standart hatalarını büyüteceğini ancak sapmasızlıklarını bozmayacağını ve tahmin edicilerin hâlâ BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici) özelliğini koruduğunu belirten ifade doğrudur.

Çoklu doğrusal bağlantı problemi, açıklayıcı değişkenlerin kendi aralarındaki yüksek korelasyondan kaynaklanır. Bu durum Gauss-Markov varsayımlarından hiçbirini (özellikle hata terimlerine ilişkin olanları) ihlal etmez. Dolayısıyla EKK tahmin edicileri teorik olarak sapmasızlık özelliğini sürdürür. Standart hataların (varyansların) şişmesine rağmen, elde edilen bu varyanslar hâlâ doğrusal ve sapmasız tüm alternatif tahmin edicilerin varyanslarından daha küçüktür. Yani tahmin edici BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) olma vasfını korur.

Adım Adım Çözüm

1

Çoklu doğrusal bağlantının (multicollinearity) doğasını ve etkilediği bileşenleri incele.

Çoklu doğrusal bağlantı veri matrisi (

X

) içindeki sütunların birbiriyle yüksek korelasyonlu olması durumudur; hata teriminin (

\varepsilon

) özelliklerini bozmaz.

Gauss-Markov teoreminin temel varsayımları hata teriminin dağılımı ve beklenen değeri üzerine kuruludur. Bağımsız değişkenlerin kendi aralarındaki ilişkiler tam doğrusal (perfect collinearity) olmadığı sürece varsayımlar geçerlidir.

2

EKK tahmin edicilerinin sapmasızlık özelliğini değerlendir.

Hata teriminin beklenen değeri sıfır olduğu (

E(\varepsilon)=0

) varsayımı korunduğu için EKK tahmin edicileri sapmasız (unbiased) olmaya devam eder.

Matematiksel olarak

E(\hat{\beta}) = \beta + (X'X)^{-1}X'E(\varepsilon)

'dir. İçsellik yoksa bu beklenen değer parametrenin gerçek değerine eşittir.

3

EKK tahmin edicilerinin etkinlik ('en iyi' olma / BLUE) durumunu analiz et.

Tahmin edicilerin standart hataları büyür ancak hâlâ tüm doğrusal sapmasız tahmin ediciler arasında en düşük varyanslı olma özelliğini (BLUE) korurlar.

Varyansın şişmesi, varyansın artık 'minimum' olmadığı anlamına gelmez. Verilen elverişsiz veri yapısı (

X'X

matrisi) ile oluşturulabilecek doğrusal sapmasız tahmin ediciler içinde hâlâ en iyisi EKK'dır.

Anahtar Kavram

Çoklu Doğrusal Bağlantının Gauss-Markov Özelliklerine Etkisi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 115Soru →

Bir eğitim araştırmacısı, lise öğrencilerinin üniversiteye giriş sınavı başarı puanlarını ( $Y$ ) yordayan faktörleri incelemek amacıyla bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur.

Modele ilk olarak öğrencilerin günlük ortalama çalışma süreleri ( $X_1$ ) ve çözdükleri deneme sınavı sayıları ( $X_2$ ) dahil edilmiş ve bu iki değişkenin başarı puanındaki değişimin $\%64$ 'ünü açıkladığı ( $R_{Y.12}^2 = 0,64$ ) görülmüştür.

Daha sonra modele öğrencilerin uyku kalitesi puanı ( $X_3$ ) da eklendiğinde, üç değişkenin birlikte başarı puanındaki değişimi açıklama oranının $\%73$ 'e ( $R_{Y.123}^2 = 0,73$ ) yükseldiği tespit edilmiştir.

Buna göre, çalışma süresi ve deneme sınavı sayısı sabit tutulduğunda, uyku kalitesi puanı ile başarı puanı arasındaki kısmi korelasyon katsayısının mutlak değeri ( $|r_{Y3.12}|$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,09

0,25

0,30

0,50

0,85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,50

Cevap

Uyku kalitesi puanı ile başarı puanı arasındaki kısmi korelasyon katsayısının mutlak değeri 0,50'dir.

Kısmi korelasyon katsayısının karesi (kısmi belirleme katsayısı), modele yeni bir değişken eklendiğinde, mevcut değişkenlerin açıklayamadığı varyansın ne kadarının bu yeni değişken tarafından açıklandığını gösterir.

Bunun hesaplanmasında aşağıdaki formül kullanılır:

r_{Y3.12}^2 = \frac{R_{Y.123}^2 - R_{Y.12}^2}{1 - R_{Y.12}^2}

Verilen değerleri formülde yerine koyduğumuzda:

r_{Y3.12}^2 = \frac{0,73 - 0,64}{1 - 0,64} = \frac{0,09}{0,36} = 0,25

Bu değer kısmi belirleme katsayısıdır. Bizden kısmi korelasyon katsayısının mutlak değeri istendiği için elde edilen sonucun karekökü alınır:

|r_{Y3.12}| = \sqrt{0,25} = 0,50

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi belirleme katsayısının formülünü belirleme

r_{Y3.12}^2 = \frac{R_{Y.123}^2 - R_{Y.12}^2}{1 - R_{Y.12}^2}

Modele yeni eklenen bir değişkenin (

X_3

) kısmi korelasyonu, mevcut değişkenlerin (

X_1

ve

X_2

) açıklayamadığı varyansın ne kadarını yeni değişkenin açıkladığı ile ölçülür.

2

Değişkenin modele marjinal katkısını (pay kısmını) hesaplama

0,73 - 0,64 = 0,09

X_3

değişkeni eklendiğinde açıklanan toplam varyanstaki artış miktarıdır (yarı-kısmi korelasyonun karesi).

3

Önceki modelin açıklayamadığı varyansı (payda kısmını) hesaplama

1 - 0,64 = 0,36

Kısmi korelasyon bulunurken, yeni eklenen değişkenin katkısı tüm varyansa değil, önceki değişkenlerin açıklayamadığı (geriye kalan) varyansa oranlanmalıdır.

4

Kısmi belirleme katsayısını (

r^2

) bulma

r_{Y3.12}^2 = \frac{0,09}{0,36} = 0,25

Marjinal katkı, açıklanamayan varyansa bölünerek

X_3

'ün net açıklayıcılık gücü tespit edilir.

5

Kısmi korelasyon katsayısının mutlak değerini bulma

|r_{Y3.12}| = \sqrt{0,25} = 0,50

Soru bizden katsayının karesini (kısmi belirleme katsayısını) değil, korelasyon katsayısının mutlak değerini istediği için sonucun karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Kısmi ve Çoklu Korelasyon Katsayıları Arasındaki Matematiksel İlişki

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 116Soru →

Bir e-ticaret platformunun veri bilimi ekibi, müşterilerin yaşam boyu değerini ( $Y$ ) tahmin etmek amacıyla; müşterinin yaşı ( $X_1$ ), platformda geçirilen ortalama oturum süresi ( $X_2$ ), önceki satın alma sayısı ( $X_3$ ) ve müşteri hizmetleriyle etkileşim sayısı ( $X_4$ ) olmak üzere 4 bağımsız değişkenin yer aldığı bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur.

Modelin tahmini sonucunda aşağıdaki istatistikler elde edilmiştir:

$\cdot$ Gözlem sayısı ( $n$ ): $65$
$\cdot$ Genel Kareler Toplamı (GKT): $14000$
$\cdot$ Regresyonun Standart Hatası ( $s_e$ ): $10$

Buna göre, kurulan modelin genel anlamlılığını sınamak için hesaplanması gereken F test istatistiği değeri kaçtır?

19,25

19,75

20

80

200

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$

Cevap

Hesaplanması gereken F test istatistiği değeri

20

'dir.

Doğru yanıt, modelin F istatistiğini bulmak için ANOVA tablosu bileşenlerinin adım adım türetilmesini gerektirir. Regresyonun standart hatası

10

ise, Hata Kareler Ortalaması (HKO)

100

'dür.

4

bağımsız değişken ve

65

gözlem içeren bir modelde hata serbestlik derecesi

n-k-1 = 65-4-1 = 60

'tır. Hata Kareler Toplamı (HKT)

100 \times 60 = 6000

olarak bulunur. Genel Kareler Toplamı

14000

verildiğine göre, Regresyon Kareler Toplamı (RKT)

14000 - 6000 = 8000

'dir. RKT'nin serbestlik derecesi

k=4

olduğundan Regresyon Kareler Ortalaması (RKO)

8000 / 4 = 2000

'dir. F istatistiği ise

RKO / HKO = 2000 / 100 = 20

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Ortalamasını (HKO) hesaplayınız.

HKO = s_e^2 = 10^2 = 100

Regresyonun standart hatası (

s_e

), Hata Kareler Ortalamasının (MSE) kareköküdür. Varyansa geçmek için karesi alınmalıdır.

2

Hata serbestlik derecesini (sd) bulunuz ve Hata Kareler Toplamını (HKT) hesaplayınız.

sd_{hata} = n - k - 1 = 65 - 4 - 1 = 60

. Buradan

HKT = HKO \times sd_{hata} = 100 \times 60 = 6000

HKT değeri, HKO ile ona ait serbestlik derecesinin çarpımına eşittir.

3

Regresyon Kareler Toplamını (RKT) bulunuz.

RKT = GKT - HKT = 14000 - 6000 = 8000

Genel Kareler Toplamı (SST), Regresyon (SSR) ve Hata (SSE) kareler toplamlarının toplamından oluşur.

4

Regresyon Kareler Ortalamasını (RKO) ve F istatistiğini hesaplayınız.

RKO = \frac{RKT}{k} = \frac{8000}{4} = 2000

. Buradan

F = \frac{RKO}{HKO} = \frac{2000}{100} = 20

Genel anlamlılık F testi, Regresyon Kareler Ortalamasının Hata Kareler Ortalamasına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosu ve F Testi İstatistiğinin Hesaplanması

Soru 117Soru →

Ekonometrik bir çalışmada, $n$ gözlem ve (sabit terim dâhil) $p$ parametre içeren standart çoklu doğrusal regresyon modeli matris notasyonu ile $Y = X\beta + \varepsilon$ şeklinde tanımlanmıştır. Modelde En Küçük Kareler (EKK) tahmincisi $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ ve artıklar vektörü $e = Y - \hat{Y}$ olarak verilmiştir. $X$ matrisinin tam sütun rankına sahip olduğu varsayılmaktadır.

Modelin açıklayıcı gücünü değerlendirmek isteyen bir araştırmacı, Hata (Artık) Kareler Toplamı skaler değerini ( $e'e$ ) matris işlemleriyle hesaplamak istemektedir.

Buna göre, aşağıdaki matris çarpımlarından hangisi modelin Hata Kareler Toplamı'nı ( $e'e$ ) ifade etmez?

Y'Y - \hat{\beta}'X'Y

Y'[I - X(X'X)^{-1}X']Y

e'Y

Y'Y - \hat{\beta}'X'X\hat{\beta}

Y'X(X'X)^{-1}X'Y

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Y'X(X'X)^{-1}X'Y$

Cevap

Hata Kareler Toplamı'nı (HKT) vermeyen, aksine modelin açıkladığı varyans olan Regresyon Kareler Toplamı'nı (RKT) veren ifade Y'X(X'X)⁻¹X'Y matris çarpımıdır.

Doğru yanıt olan seçenek, Hata Kareler Toplamı'nı (HKT) değil, Regresyon Kareler Toplamı'nı (RKT) temsil eder.

Y'X(X'X)^{-1}X'Y

ifadesi, bağımlı değişken vektörünün (Y) tahmin uzayına izdüşüm matrisi (

H = X(X'X)^{-1}X'

) ile çarpılmasıdır ve

\hat{Y}'\hat{Y}

yani model tarafından açıklanan varyansı verir. HKT ise

Y'Y - \hat{Y}'\hat{Y}

işlemi ile bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Hata Kareler Toplamı'nın (HKT) temel matris tanımını yazın.

e'e = (Y - \hat{Y})'(Y - \hat{Y}) = (Y - X\hat{\beta})'(Y - X\hat{\beta})

Artıklar vektörü e'nin kendisiyle iç çarpımı HKT'yi verir.

2

Çarpım işlemini dağıtarak açın ve EKK normal denklemlerini uygulayın.

e'e = Y'Y - \hat{\beta}'X'Y - Y'X\hat{\beta} + \hat{\beta}'X'X\hat{\beta}

. Skaler ifadelerde transpoz kendisine eşit olduğundan

-2\hat{\beta}'X'Y

olur. EKK'da

X'X\hat{\beta} = X'Y

olduğundan denklem

e'e = Y'Y - \hat{\beta}'X'Y

şeklinde sadeleşir.

Bu sadeleştirme, HKT'nin Genel Kareler Toplamı (GKT) eksi Regresyon Kareler Toplamı (RKT) olduğu gerçeğinin matrisyel ispatıdır.

3

Seçeneklerdeki ifadelerin HKT'ye eşit olup olmadığını kontrol edin.

Doğru seçenek olan ifadede

Y'X(X'X)^{-1}X'Y = Y'H Y = \hat{Y}'\hat{Y}

elde edilir. Bu işlem RKT'yi (Açıklanan Kareler Toplamı) verir.

Y'nin izdüşüm matrisi (H) ile karesel formu, tahmin edilen değerlerin kareleri toplamını hesaplar.

Anahtar Kavram

Regresyon Modellerinde Kareler Toplamlarının Matris Formülasyonu

Soru 118Soru →

Bir araştırmacı, kesit verileri kullanarak tahmin ettiği $k$ bağımsız değişkenli bir çoklu doğrusal regresyon modeline (Model I), yeni bir $X_{k+1}$ açıklayıcı değişkeni ilave ederek Model II'yi tahmin etmiştir.

Yapılan istatistiksel değerlendirmede, yeni eklenen $X_{k+1}$ değişkenine ait kısmi eğim katsayısının anlamlılığını sınayan t-testi istatistiğinin mutlak değeri $|t| = 0,75$ olarak hesaplanmıştır. İki modelde de diğer tüm bağımsız değişkenler ve gözlem sayısı ( $n$ ) aynıdır.

Bu bilgilere göre, Model I ve Model II'ye ait belirtme ( $R^2$ ) ve düzeltilmiş belirtme ( $\bar{R}^2$ ) katsayılarının karşılaştırmasıyla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Model II'nin

R^2

değeri Model I'e göre artmış,

\bar{R}^2

değeri ise azalmıştır.

Model II'nin hem

R^2

hem de

\bar{R}^2

değeri Model I'e göre artmıştır.

Model II'nin hem

R^2

hem de

\bar{R}^2

değeri Model I'e göre azalmıştır.

Model II'nin

R^2

değeri Model I ile aynı kalmış,

\bar{R}^2

değeri ise artmıştır.

Eklenen değişken aşırı belirlemeye yol açtığı için tahminciler sapmalı hâle gelmiş ve katsayılar karşılaştırılamaz olmuştur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model II'nin $R^2$ değeri Model I'e göre artmış, $\bar{R}^2$ değeri ise azalmıştır.

Cevap

Model II'nin belirtme katsayısı (

R^2

) Model I'e göre daha büyüktür, ancak düzeltilmiş belirtme katsayısı (

\bar{R}^2

) daha küçüktür.

Çoklu doğrusal regresyonda, bir modele yeni bir bağımsız değişken eklendiğinde standart belirtme katsayısı (

R^2

) matematiksel bir zorunluluk olarak asla azalmaz (katsayı sıfır olmadığı için kesinlikle artar). Ancak düzeltilmiş belirtme katsayısı (

\bar{R}^2

), kaybedilen serbestlik derecesini cezalandırır. İleri düzey ekonometrik kanıtlar gösterir ki;

\bar{R}^2_{k+1} > \bar{R}^2_k

eşitsizliğinin sağlanabilmesi için ancak ve ancak eklenen değişkenin mutlak t-istatistiği değerinin 1'den büyük olması (

|t_{k+1}| > 1

) gerekir. Soruda t-değeri mutlak olarak 0,75 verildiği için

1

'den küçüktür; bu durumda serbestlik derecesi ceza yükü, açıklanan varyanstaki zayıf artıştan daha büyük olmuş ve sonuçta

\bar{R}^2

azalmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Belirtme katsayısının (

R^2

) modele yeni değişken eklendiğindeki davranışını analiz etmek.

En Küçük Kareler (EKK) yönteminde, modele yeni bir değişken ilave edildiğinde tahmin edilen eğim katsayısı tam olarak sıfır çıkmadığı sürece (soruda

|t| = 0,75 \neq 0

verilmiştir), Hata Kareler Toplamı (HKT) zorunlu olarak azalır. Bu nedenle Model II'nin

R^2

değeri, Model I'in

R^2

değerinden kesinlikle daha büyük olur.

R^2

katsayısının serbestlik derecesi kaybını cezalandırma mekanizmasına sahip olmadığını belirlemek.

2

Düzeltilmiş belirtme katsayısının (

\bar{R}^2

) artış koşulunu t-istatistiği üzerinden değerlendirmek.

Matematiksel bir kural olarak,

k

değişkenli bir modele eklenen

(k+1)

. değişkenin

\bar{R}^2

değerini artırabilmesi için tek ve gerekli koşul, bu yeni değişkene ait t-istatistiğinin mutlak değerinin 1'den büyük olmasıdır (

|t| > 1

).

Serbestlik derecesindeki kaybın, açıklanan varyanstaki kazançtan daha büyük olup olmadığını test etmek.

3

Verilen t değerini kurala uygulayarak nihai durumu saptamak.

Soruda

|t| = 0,75

verilmiştir.

0,75 < 1

olduğundan, eklenen değişkenin sağladığı açıklayıcılık katkısı, serbestlik derecesi kaybının yarattığı cezayı telafi edememiştir. Dolayısıyla Model II'nin

\bar{R}^2

değeri, Model I'den daha düşüktür.

Her iki katsayının yönünü kesin olarak belirleyip doğru seçeneğe ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir regresyon modeline değişken eklendiğinde

R^2

ve

\bar{R}^2

ilişkisi ile

|t| > 1

kuralı

Soru 119Soru →

Bir istatistik uzmanı, $n = 41$ gözlem içeren bir veri setinde bağımlı değişken ( $Y$ ) ile ilgilendiği açıklayıcı değişkenler arasındaki ilişkiyi modellemektedir. Bağımlı değişkene ait Toplam Kareler Toplamı ( $TKT$ ) $4000$ olarak hesaplanmıştır. Uzman, aynı veri setiyle iki farklı çoklu doğrusal regresyon modeli tahmin etmiş ve aşağıdaki Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ ) değerlerini elde etmiştir:

Model	Bağımsız Değişken Sayısı ( $k$ )	Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ )
Model I	4	1800
Model II	7	1716

Buna göre, Model I'den Model II'ye geçişte belirleme katsayısı ( $R^2$ ) ve düzeltilmiş belirleme katsayısındaki ( $\bar{R}^2$ ) değişim ile bu değişimin istatistiksel yorumu hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

R^2

değeri artarken,

\bar{R}^2

değeri

0.50

'den

0.48

'e düşmüştür. Bu durum, yeni eklenen değişkenlerin hata varyansında sağladığı azalışın, serbestlik derecesindeki kaybı telafi edemediğini gösterir.

R^2

değeri artarken,

\bar{R}^2

değeri

0.51

'den

0.49

'a düşmüştür. Çünkü hata varyansı hesaplanırken paydaya gözlem sayısından sadece değişken sayısı (

n-k

) çıkarılarak ulaşılır.

Hem

R^2

hem de

\bar{R}^2

değeri artmıştır. Modele eklenen yeni değişkenler

HKT

'yi azalttığı için, ceza katsayısına bakılmaksızın

\bar{R}^2

de normal

R^2

gibi daima artış gösterir.

R^2

değeri artarken,

\bar{R}^2

değeri

0.50

'den

0.48

'e düşmüştür. Bu düşüşün temel nedeni, modele fazladan değişken eklenmesinin (aşırı belirleme) EKK tahmincilerini sapmalı (biased) hâle getirmesidir.

Model I eksik belirlenmiş bir model olduğundan hata varyansı azalmış ve bu nedenle Model I'in

\bar{R}^2

değeri yanıltıcı biçimde Model II'den daha yüksek çıkarak

0.57

bulunmuştur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $R^2$ değeri artarken, $\bar{R}^2$ değeri $0.50$ 'den $0.48$ 'e düşmüştür. Bu durum, yeni eklenen değişkenlerin hata varyansında sağladığı azalışın, serbestlik derecesindeki kaybı telafi edemediğini gösterir.

Cevap

R^2

değeri artarken,

\bar{R}^2

değerinin

0.50

'den

0.48

'e düştüğünü ve bunun serbestlik derecesi kaybıyla açıklandığını belirten seçenektir.

Doğru seçenekte belirtildiği gibi, Model I'in

\bar{R}^2

değeri

1 - (1800/36)/(4000/40) = 0.50

iken, Model II'nin

\bar{R}^2

değeri

1 - (1716/33)/(4000/40) = 0.48

'dir.

R^2

değeri artmasına rağmen

\bar{R}^2

'nin düşmesinin nedeni, modele eklenen

3

yeni değişkenin

HKT

'de sağladığı azalışın, serbestlik derecesindeki

3

birimlik kaybı telafi edememiş olmasıdır. Hata varyansı

50

'den

52

'ye yükselmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam varyansın (modelden bağımsız) hesaplanması.

S_{yy} = \frac{TKT}{n-1} = \frac{4000}{41-1} = \frac{4000}{40} = 100

Düzeltilmiş belirleme katsayısı (

\bar{R}^2

) hesaplanırken, hata varyansının toplam varyansa oranı kullanılır.

2

Model I için

R^2

ve

\bar{R}^2

değerlerinin hesaplanması.

R^2_1 = 1 - \frac{1800}{4000} = 0.55

. Hata Varyansı

_1 = \frac{HKT_1}{n-k-1} = \frac{1800}{41-4-1} = \frac{1800}{36} = 50

.

\bar{R}^2_1 = 1 - \frac{50}{100} = 0.50

.

Model I'in açıklama gücünü ve serbestlik derecesi ile cezalandırılmış performansını bulmak.

3

Model II için

R^2

ve

\bar{R}^2

değerlerinin hesaplanması.

R^2_2 = 1 - \frac{1716}{4000} = 0.571

. Hata Varyansı

_2 = \frac{HKT_2}{n-k-1} = \frac{1716}{41-7-1} = \frac{1716}{33} = 52

.

\bar{R}^2_2 = 1 - \frac{52}{100} = 0.48

.

Yeni değişkenlerin eklenmesiyle elde edilen Model II'nin performansını Model I ile karşılaştırılabilir hale getirmek.

4

Sonuçların istatistiksel ve ekonometrik olarak yorumlanması.

R^2

artmış ancak

\bar{R}^2

düşmüştür. Tahminciler sapmasız kalmaya devam etmiş, ancak yeni değişkenlerin marjinal katkısı serbestlik derecesi kaybını yenememiştir.

Sadece sayısal hesaplama değil, değişken eklemenin ekonometrik etkilerini (sapmasızlık ve varyans cezası) doğru ayırt etmek.

Anahtar Kavram

Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı ve Serbestlik Derecesi Cezalandırması

Soru 120Soru →

Bir halk sağlığı epidemiyoloğu, belirli bir yaş grubundaki bireylerin sistolik kan basıncı değerleri ( $X_1$ ), günlük ortalama sodyum tüketimleri ( $X_2$ ) ve vücut kitle indeksleri (VKİ) ( $X_3$ ) arasındaki doğrusal ilişkileri araştırmaktadır. Yapılan ön analiz sonucunda bu değişkenler arasındaki basit (ikili) korelasyon katsayıları aşağıdaki gibi bulunmuştur:

* $X_1$ ile $X_2$ arasındaki korelasyon: $r_{12} = 0,72$
* $X_1$ ile $X_3$ arasındaki korelasyon: $r_{13} = 0,60$
* $X_2$ ile $X_3$ arasındaki korelasyon: $r_{23} = 0,80$

Bu verilere göre, vücut kitle indeksinin ( $X_3$ ) etkisi sabit tutulduğunda, sistolik kan basıncı ( $X_1$ ) ile sodyum tüketimi ( $X_2$ ) arasındaki kısmi korelasyon katsayısı ( $r_{12.3}$ ) kaçtır ve bu katsayının istatistiksel yorumu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

0,50 ;

X_3

'ün (VKİ)

X_1

(kan basıncı) üzerindeki doğrusal etkisi arındırıldıktan sonra,

X_1

'deki geriye kalan açıklanamayan varyansın %25'inin

X_2

(sodyum tüketimi) tarafından açıklandığını gösterir.

0,40 ;

X_3

değişkeni kontrol edildiğinde, modele

X_2

değişkeninin eklenmesinin çoklu modelin düzeltilmiş

R^2

değerini koşulsuz olarak artıracağını ifade eder.

0,50 ;

X_3

sabit tutulduğunda,

X_2

'deki artışların

X_1

üzerinde doğrudan ve kesin bir nedensel etki yarattığını kanıtlar.

0,24 ; Bu katsayı, modelin genel anlamlılığını test etmek için kullanılan F-istatistiğinin temelini oluşturur ve değişkenlerin ortak etkisini ölçer.

0,72 ; Çoklu doğrusal bağlantı altında

X_3

'ün modele dahil edilmesi ikili korelasyon yapısını bozmadığından, bu değer

X_2

'nin salt ve bağımsız etkisini temsil eder.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,50 ; $X_3$ 'ün (VKİ) $X_1$ (kan basıncı) üzerindeki doğrusal etkisi arındırıldıktan sonra, $X_1$ 'deki geriye kalan açıklanamayan varyansın %25'inin $X_2$ (sodyum tüketimi) tarafından açıklandığını gösterir.

Cevap

Doğru cevap 0,50 değerini veren ve varyans açıklama oranının %25 olduğunu belirten ifadedir.

Formül uygulandığında kısmi korelasyon katsayısı (

r_{12.3}

) tam olarak 0,50 bulunur. Kısmi korelasyon katsayısının karesi olan 0,25 değeri, kontrol değişkeni olan vücut kitle indeksinin (VKİ) etkisi çıkarıldıktan sonra, kan basıncında kalan açıklanamayan varyansın %25'inin sodyum tüketimi tarafından açıklandığını gösterir. İstatistiksel olarak en eksiksiz ve teorik olarak en doğru yorum budur.

Adım Adım Çözüm

1

Kısmi korelasyon katsayısı formülünü yazmak ve verilen basit korelasyon değerlerini yerine koymak.

r_{12.3} = \frac{r_{12} - r_{13} \cdot r_{23}}{\sqrt{1 - r_{13}^2} \cdot \sqrt{1 - r_{23}^2}}

Üç değişkenli bir yapıda, bir değişkenin (

X_3

) etkisi kontrol altında tutulduğunda diğer iki değişken (

X_1

ve

X_2

) arasındaki saf ilişkiyi bulmak için bu formül kullanılır.

2

Formülün pay kısmını (dolaylı etkinin arındırılması) hesaplamak.

0,72 - (0,60 \times 0,80) = 0,72 - 0,48 = 0,24

Ortak varyansın etkisini paydan çıkarmamız gerekir.

3

Formülün payda kısmını (standardizasyon faktörleri) hesaplamak.

\sqrt{1 - 0,60^2} \times \sqrt{1 - 0,80^2} = \sqrt{0,64} \times \sqrt{0,36} = 0,80 \times 0,60 = 0,48

Değişkenlerin varyanslarını kontrol değişkeninden arındırılmış hale getirmek için payda hesaplaması zorunludur.

4

Payı paydaya bölerek katsayıyı elde etmek ve kısmi belirleme katsayısı (r²) üzerinden yorumlamak.

0,24 / 0,48 = 0,50

. Kısmi korelasyon karesi

0,50^2 = 0,25

'tir. Bu da

X_3

'ün açıklayamadığı varyansın %25'inin

X_2

tarafından açıklandığı anlamına gelir.

Korelasyon katsayısının karesi her zaman açıklanan varyans oranını ifade eder; kısmi korelasyonun karesi de 'kalan/açıklanamayan' varyansın açıklanma yüzdesidir.

Anahtar Kavram

Kısmi Korelasyon Hesaplaması ve Yorumu

Çoklu Doğrusal Regresyon Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm