Zaman Serileri Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 3

Soru 41Soru →

Bir kamu kurumu analisti, çeyreklik periyotlarla kaydedilen ve toplanabilir yapıdaki ( $Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t$ ) bir istihdam endeksini incelemektedir. Veri setinin, zamanla sabit miktarda artan doğrusal bir eğilime ( $T_t = \beta_0 + \beta_1 t$ ) ve her yıl kendini tam olarak tekrar eden sabit bir mevsimsel düzene sahip olduğu varsayılmaktadır.

Analist, eğilim ve mevsimsellik etkilerinden arındırma yapmak amacıyla orijinal seriye dört dönemlik (yıllık) fark alma operatörü ( $\Delta_4 Y_t = Y_t - Y_{t-4}$ ) uygular.

**Buna göre, elde edilen yeni $\Delta_4 Y_t$ serisinin analitik bileşen yapısı hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?**

Eğilim bileşeni

4\beta_1

gibi sabit bir değere dönüşürken, mevsimsellik tamamen sıfırlanır ve geriye döngüsel ile düzensiz bileşenlerin dört dönemlik değişimleri (

\Delta_4 C_t + \Delta_4 I_t

) kalır.

Eğilim ve mevsimsellik tamamen yok olur, seri yalnızca döngüsel ve düzensiz hareketlerin orijinal değerlerini (

C_t + I_t

) içeren durağan bir yapıya kavuşur.

Sadece döngüsel bileşen (

C_t

) elde edilir; çünkü toplanabilir modellerde ardışık fark alma işlemi, düzensiz hareketlerin (

I_t

) beklenen değerini sıfırlayarak yok eder.

İşlem sonucunda mevsimsel hareketler döngüsel hareketlere dönüşür ve serideki düzensiz dalgalanmalar tamamen pürüzsüzleşir.

Serideki döngüsel hareketler (

C_t

) mevsimsel fark alma ile arındırılırken, doğrusal eğilim olduğu gibi kalır ve düzensiz bileşen ön plana çıkar.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Eğilim bileşeni $4\beta_1$ gibi sabit bir değere dönüşürken, mevsimsellik tamamen sıfırlanır ve geriye döngüsel ile düzensiz bileşenlerin dört dönemlik değişimleri ( $\Delta_4 C_t + \Delta_4 I_t$ ) kalır.

Cevap

Toplanabilir modelde dört dönemlik fark alındığında; doğrusal eğilim sabit bir sayıya dönüşür, sabit mevsimsellik sıfırlanarak kaybolur, döngüsel ve düzensiz bileşenlerin ise dört dönemlik gecikmeleriyle olan farkları kalır.

Toplanabilir model mantığında

\Delta_4 Y_t

alındığında, her bir bileşenin

t

ve

t-4

anındaki farkları hesaplanır. Eğilim doğrusal olduğu için farkı sabit bir sayıya (

4\beta_1

) eşittir. Mevsimsellik 4 dönemde bir tam tekrar ettiği için farkı sıfırdır. Ancak döngüsel dalgalanmalar değişken süreli ve düzensiz hareketler rastgele olduğundan, bunların sadece 4 dönemlik farkları (

\Delta_4 C_t + \Delta_4 I_t

) kalıntı olarak seride yaşamaya devam eder.

Adım Adım Çözüm

1

Toplanabilir zaman serisi denklemine dört dönemlik fark operatörünü (

\Delta_4

) uygulamak.

\Delta_4 Y_t = (T_t - T_{t-4}) + (S_t - S_{t-4}) + (C_t - C_{t-4}) + (I_t - I_{t-4})

Toplanabilir modelde (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

), matematiksel çıkarma işlemi her bir bileşenin kendi gecikmeli değeriyle farkının alınması şeklinde dağılır.

2

Doğrusal eğilim (

T_t

) bileşeninin farkını hesaplamak.

T_t = \beta_0 + \beta_1 t

olduğundan,

T_t - T_{t-4} = (\beta_0 + \beta_1 t) - (\beta_0 + \beta_1(t-4)) = 4\beta_1

.

Doğrusal bir fonksiyonun sabit aralıklı farkı alındığında, sonuç zaman değişkeninden (

t

) bağımsız, eğim katsayısı ile fark aralığının çarpımından oluşan bir sabittir.

3

Mevsimsel (

S_t

) bileşenin farkını hesaplamak.

S_t

çeyreklik veride 4 dönemlik sabit bir periyoda sahip olduğundan

S_t = S_{t-4}

varsayılır. Dolayısıyla

S_t - S_{t-4} = 0

olur.

Sabit mevsimsellikte, bir çeyreğin etkisi tam bir yıl (4 çeyrek) önceki aynı çeyreğin etkisiyle birebir aynıdır, bu da mevsimselliğin fark alma ile yok olmasını sağlar.

4

Döngüsel (

C_t

) ve düzensiz (

I_t

) bileşenlerin durumunu analiz etmek.

\Delta_4 C_t

ve

\Delta_4 I_t

yapısal olarak seride varlığını sürdürür.

Döngüsel hareketler sabit periyotlu değildir (genellikle 1 yıldan uzun sürer) ve düzensiz hareketler rastgeledir. Bu nedenle kendilerini 4 dönemde bir tam olarak tekrar etmezler ve fark alma işlemiyle sıfırlanamazlar.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde bileşen ayrıştırma matematiği ve fark alma (differencing) işleminin bileşenler üzerindeki teorik etkileri.

Soru 42Soru →

Bir istatistik uzmanı, bir ülkenin sanayi üretim endeksindeki aylık değişimleri incelemektedir. Uzman, seriyi ortalamadan arındırdıktan sonra $Y_t$ serisi için $B$ gecikme (backshift) operatörünü ve $\varepsilon_t$ beyaz gürültü sürecini kullanarak aşağıdaki zaman serisi modelini tahmin etmiştir:

(1 - 1,2 B + 0,32 B^2) Y_t = (1 + 0,2 B - 0,48 B^2) \varepsilon_t

Bu modelin özellikleri ile otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının teorik davranışları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Model durağan ve tersine çevrilebilirdir; serinin hem ACF hem de PACF grafikleri teorik olarak sıfıra doğru sönümlenir.

Model durağandır ancak tersine çevrilebilir değildir; serinin ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF grafiği sönümlenir.

Model durağan değildir ancak tersine çevrilebilirdir; serinin ACF grafiği sönümlenirken, PACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilir.

Model hem durağan hem de tersine çevrilebilirdir; serinin ACF grafiği 2. gecikmeden sonra, PACF grafiği ise yine 2. gecikmeden sonra aniden kesilir.

Modelin otoregresif parametrelerinin toplamı

1

'den büyük olduğu için seri durağan değildir; bu nedenle ACF ve PACF grafikleri sönümlenme göstermez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağan ve tersine çevrilebilirdir; serinin hem ACF hem de PACF grafikleri teorik olarak sıfıra doğru sönümlenir.

Cevap

Modelin durağan ve tersine çevrilebilir olduğunu, ayrıca hem ACF hem de PACF grafiklerinin sönümlenme (tail off) davranışı göstereceğini belirten seçenektir.

Verilen ARMA(2,2) modeli için AR parametreleri

\phi_1 = 1,2

ve

\phi_2 = -0,32

'dir. Durağanlık şartları olan

\phi_1 + \phi_2 = 0,88 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 = -1,52 < 1

ve

|\phi_2| = 0,32 < 1

eşitsizlikleri sağlandığı için süreç durağandır. Benzer şekilde MA parametreleri

\theta_1 = -0,2

ve

\theta_2 = 0,48

'dir.

\theta_1 + \theta_2 = 0,28 < 1

,

\theta_2 - \theta_1 = 0,68 < 1

ve

|\theta_2| = 0,48 < 1

eşitsizlikleri sağlandığı için süreç tersine çevrilebilirdir. Bir ARMA sürecinde (AR ve MA derecesi sıfırdan büyükse), otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonları aniden kesilmek (cut off) yerine teorik olarak sönümlenme (tail off) davranışı gösterir. Bu nedenle sürecin özellikleri ve davranışları eksiksiz olarak ifade edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Modelin AR(2) kısmının durağanlık koşullarının incelenmesi.

AR polinomu

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)

formatındadır. Modelde

(1 - 1,2 B + 0,32 B^2)

olduğu için

\phi_1=1,2

ve

\phi_2=-0,32

bulunur.

\phi_1+\phi_2 = 0,88 < 1

,

\phi_2-\phi_1 = -1,52 < 1

ve

|\phi_2| = 0,32 < 1

eşitsizliklerinin üçü de sağlandığı için süreç durağandır.

AR süreçlerinin durağan olması için Box-Jenkins parametre koşullarının (veya köklerin mutlak değerce

1

'den büyük olma şartının) sağlanması zorunludur.

2

Modelin MA(2) kısmının tersine çevrilebilirlik koşullarının incelenmesi.

MA polinomu

(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)

formatındadır. Modelde

(1 + 0,2 B - 0,48 B^2)

olduğu için

\theta_1=-0,2

ve

\theta_2=0,48

bulunur.

\theta_1+\theta_2 = 0,28 < 1

,

\theta_2-\theta_1 = 0,68 < 1

ve

|\theta_2| = 0,48 < 1

eşitsizlikleri sağlandığı için süreç tersine çevrilebilirdir.

MA süreçlerinin tersine çevrilebilir olması için kendi karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında kalması (veya eşdeğer parametre kısıtlarını sağlaması) gerekir.

3

ARMA(2,2) süreci için ACF ve PACF fonksiyonlarının teorik özelliklerinin belirlenmesi.

Süreç karmaşık bir ARMA(p,q) modeli olduğundan, ne ACF ne de PACF grafikleri belirli bir gecikmeden sonra aniden kesilmez (cut off). Her ikisi de sıfıra doğru sönümlenme (tail off) davranışı gösterir.

ARMA modellerinin yapısı gereği, otoregresif ve hareketli ortalama bileşenleri birbirini etkileyerek otokorelasyonların teorik olarak sonsuza dek azalarak devam etmesine neden olur.

Anahtar Kavram

ARMA modellerinde durağanlık, tersine çevrilebilirlik koşulları ve ACF/PACF teorik davranışları

Alternatif Yöntem

AR ve MA kısımlarının karakteristik denklemlerinin (örneğin

1 - 1,2 x + 0,32 x^2 = 0

) doğrudan köklerini bulmak yerine,

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

,

|\phi_2| < 1

ve

\theta_1 + \theta_2 < 1

,

\theta_2 - \theta_1 < 1

,

|\theta_2| < 1

Box-Jenkins eşitsizlik sistemleri kullanılarak modelin durağanlık ve tersine çevrilebilirliği sınav koşullarında çok daha hızlı kontrol edilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 43Soru →

Bir il göç idaresi müdürlüğü, kuruma yapılan haftalık ikamet izni başvuru sayılarını tahmin etmek amacıyla üstel düzeltme (exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır. Tahmin modelinde düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) $0,4$ olarak belirlenmiştir.

Müdürlüğün mayıs ayının ilk iki haftasına ait başvuru verileri ve birinci hafta için yaptığı tahmin aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta	Gerçekleşen Başvuru ( $Y_t$ )	Tahmin Edilen Başvuru ( $F_t$ )
1. Hafta	450	400
2. Hafta	480	-

Buna göre, müdürlüğün mayıs ayının üçüncü haftası için yapacağı ikamet izni başvuru sayısı tahmini ( $F_3$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

432

460

444

465

492

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 444

Cevap

Mayıs ayının üçüncü haftası için yapılacak olan ikamet izni başvuru sayısı tahmini 444'tür.

Üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin tahmini, formüle göre ardışık olarak hesaplanır:

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

. Tablodaki verilere göre ilk olarak 2. haftanın tahmini bulunur:

F_2 = 400 + 0,4 \times (450 - 400) = 420

. Daha sonra bu yeni değer kullanılarak 3. haftanın tahmini hesaplanır:

F_3 = 420 + 0,4 \times (480 - 420) = 420 + 0,4 \times 60 = 444

. Doğru hesaplama sonucu 444 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İkinci hafta için tahmin değerinin (

F_2

) hesaplanması

F_2 = 420

Üstel düzeltme formülü

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

gereği, ilk olarak bilinen 1. hafta verileri kullanılarak 2. haftanın tahmini bulunmalıdır:

400 + 0,4 \times (450 - 400) = 420

.

2

Üçüncü hafta için tahmin değerinin (

F_3

) hesaplanması

F_3 = 444

Hesaplanan 2. hafta tahmini ve tabloda verilen 2. hafta gerçekleşen değeri formülde yerine konulur:

420 + 0,4 \times (480 - 420) = 444

.

Anahtar Kavram

Üstel Düzeltme Yöntemi ile Ardışık Öngörü

Soru 44Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğünde, haftalık olarak yapılan belirli bir işleme ait başvuru sayıları incelenmektedir. Müdürlük, 5. haftanın başvuru sayısını tahmin etmek için iki farklı yöntem kullanmış ve her iki yöntemde de aynı tahmin değerini elde etmiştir.

Kullanılan yöntemler şunlardır:
I. Yöntem: Son 3 haftanın verisine dayalı Basit Hareketli Ortalama.
II. Yöntem: Düzeltme katsayısı $\alpha = 0,5$ alınarak hesaplanan Basit Üstel Düzeltme.

İlk 4 haftaya ait gerçekleşen başvuru sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta ( $t$ )	Gerçekleşen Başvuru Sayısı ( $Y_t$ )
1	40
2	60
3	70
4	$X$

Basit üstel düzeltme yönteminde 2. hafta için başlangıç tahmini, 1. haftanın gerçekleşen değerine eşit alınmıştır ( $F_2 = Y_1 = 40$ ).

Buna göre, 4. haftada gerçekleşen başvuru sayısı ( $X$ ) kaçtır?

50

70

80

110

140

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

4. haftada gerçekleşen başvuru sayısı 80'dir.

Doğru cevap, 3 dönemlik basit hareketli ortalama (

F_5 = \frac{130 + X}{3}

) ile basit üstel düzeltme tahmininin (

F_5 = 30 + 0,5X

) birbirine eşitlenmesiyle elde edilen doğrusal denklemin çözümünden 80 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

Basit Hareketli Ortalama (BHO) yöntemiyle 5. hafta tahmininin (

F_5

)

X

cinsinden ifade edilmesi.

3 dönemlik BHO için son 3 veri (

Y_2, Y_3, Y_4

) kullanılır:

F_5 = \frac{60 + 70 + X}{3} = \frac{130 + X}{3}

Hareketli ortalama, tahmin edilecek dönemden hemen önceki n adet gözlemin aritmetik ortalamasıdır.

2

Basit Üstel Düzeltme yöntemiyle 5. hafta tahmininin (

F_5

) ardışık (iteratif) olarak hesaplanması.

F_2 = 40

F_3 = 40 + 0,5(60 - 40) = 50

F_4 = 50 + 0,5(70 - 50) = 60

F_5 = 60 + 0,5(X - 60) = 30 + 0,5X

Üstel düzeltme formülü

F_{t+1} = F_t + \alpha(Y_t - F_t)

olup, serideki her yeni bilgi eklendiğinde tahmin güncellenerek 5. döneme ulaşılmalıdır.

3

Elde edilen iki tahmin denkleminin birbirine eşitlenerek

X

değerinin bulunması.

\frac{130 + X}{3} = 30 + 0,5X \implies 130 + X = 90 + 1,5X \implies 40 = 0,5X \implies X = 80

Soruda 5. hafta için iki farklı yöntemle elde edilen tahmin değerlerinin birbirine eşit olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Zaman Serilerinde Düzeltme Yöntemlerinin Karşılaştırmalı Uygulaması

Soru 45Soru →

Bir istatistikçi, bir ülkenin yıllık sera gazı emisyon miktarlarını Box-Jenkins metodolojisi ile modellemektedir. Yapılan ön analizlerde serinin orijinal düzeyinde ve birinci farkında durağan olmadığı, ikinci farkı alındığında ise durağanlık koşulunu sağladığı görülmüştür. Durağanlaştırılan serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) yavaşça (üstel olarak) sönümlenirken, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) 1. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşmüştür (kesilmiştir).

İstatistikçi, belirlenen bu modele ait katsayıları tahmin etmiş ve elde edilen modelin artık (hata) serisine uyguladığı Ljung-Box testi sonucunda artıkların beyaz gürültü (white noise) varsayımını sağladığını tespit etmiştir.

Buna göre, istatistikçinin tanımladığı ARIMA modeli ve Box-Jenkins metodolojisinde bu adımdan sonra geçilmesi gereken son aşama aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

ARIMA(1,2,0)

ve Öngörü

ARIMA(0,2,1)

ve Öngörü

ARIMA(2,0,0)

ve Parametre Tahmini

ARIMA(1,2,0)

ve Tanısal Kontrol

ARIMA(1,1,0)(0,1,0)_{12}

ve Öngörü

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $ARIMA(1,2,0)$ ve Öngörü

Cevap

ARIMA(1,2,0)

modelini ve Öngörü aşamasını içeren seçenektir.

Verilen bilgiler doğrultusunda, seriyi durağanlaştırmak için 2 kez fark alınması ARIMA(p,d,q) gösteriminde d=2 olduğunu belirtir. Durağan seride PACF'nin 1. gecikmeden sonra aniden kesilmesi ve ACF'nin yavaşça sönümlenmesi serinin 1. dereceden Otoregresif sürece, yani AR(1)'e uygun olduğunu gösterir (p=1, q=0). Bu veriler ışığında uygun model

ARIMA(1,2,0)

'dır. Box-Jenkins metodolojisi sırasıyla Model Tanımlama, Parametre Tahmini, Tanısal Kontrol ve Öngörü aşamalarından oluşur. Metinde parametrelerin tahmin edildiği ve Ljung-Box testi ile modelin Tanısal Kontrol aşamasını geçtiği belirtilmiştir. Metodolojinin son adımı Öngörü (gelecekteki değerlerin tahmin edilmesi) aşamasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin durağanlık derecesini (d) belirleyin.

Orijinal düzey ve 1. fark durağan değil, 2. fark durağan. Bu nedenle bütünleşme derecesi

d = 2

'dir.

ARIMA(p,d,q) modelinde 'd' parametresi seriyi durağanlaştırmak için gereken fark alma sayısını ifade eder.

2

Otoregresif (p) ve Hareketli Ortalama (q) derecelerini belirleyin.

PACF 1. gecikmede kesiliyor, ACF sönümleniyor. Bu davranış Otoregresif (AR) modele aittir ve

p = 1, q = 0

olduğunu gösterir.

Eğer PACF aniden kesilip ACF yavaşça sönümleniyorsa süreç AR(p)'dir. Kesilme noktası 'p' derecesini verir.

3

Box-Jenkins aşamalarını analiz edin.

Ljung-Box testi ile artıkların beyaz gürültü sınaması yapılmıştır. Bu durum 'Tanısal Kontrol' aşamasının başarıyla bittiğini gösterir. Kalan tek aşama 'Öngörü'dür.

Box-Jenkins 4 aşamadan oluşur: Model Belirleme -> Parametre Tahmini -> Tanısal Kontrol -> Öngörü.

Anahtar Kavram

ARIMA Model Tanımlama ve Box-Jenkins Süreci

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 46Soru →

Bir veri analisti, ekonomik bir göstergeye ait durağan zaman serisinin yapısal özelliklerini belirlemek amacıyla korelogram analizi yapmaktadır. İnceleme sonucunda, serinin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) ilk üç gecikmede istatistiksel olarak sıfırdan farklı olduğu ve dördüncü gecikmeden itibaren aniden kesilerek (cut-off) güven sınırları içine girdiği görülmüştür. Aynı serinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ise sinüs dalgası şeklinde dalgalanarak yavaş yavaş sıfıra yaklaşmaktadır (tailing-off). Box-Jenkins modelleme yaklaşımına göre, bu serinin veri üretim süreci için tanımlanması gereken en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

Üçüncü dereceden hareketli ortalama süreci, MA(3)

Üçüncü dereceden otoregresif süreç, AR(3)

Üçüncü dereceden karma süreç, ARMA(3,3)

Birinci dereceden farkı alınmış üçüncü dereceden otoregresif süreç, ARIMA(3,1,0)

Üç periyotluk mevsimsel hareketli ortalama süreci, SMA(3)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Üçüncü dereceden hareketli ortalama süreci, MA(3)

Cevap

Box-Jenkins metodolojisine göre, otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) aniden kesilmesi ve kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) sönümlenmesi hareketli ortalama (MA) modellerinin özelliğidir. Kesilme 3. gecikmeden sonra olduğu için en uygun model Üçüncü dereceden hareketli ortalama süreci, MA(3)'tür.

Zaman serileri analizinde Box-Jenkins model tanımlama stratejisine göre, pür (saf) bir hareketli ortalama sürecinin (MA(q)) karakteristik teorik özelliği, otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) q'uncu gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olması (aniden kesilmesi) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise üssel veya sinüs dalgası şeklinde sönümlenerek sıfıra yaklaşmasıdır. Senaryoda ACF ilk 3 gecikmede anlamlı olup dördüncüden itibaren kesildiğinden, model derecesi q=3 olan bir MA(3) sürecidir.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin ACF grafiğinin davranışını incelemek.

ACF'nin 3. gecikmeden sonra aniden kesildiği (cut-off) belirlenir.

ACF grafiğinin aniden kesilmesi, sürecin bir Hareketli Ortalama (MA) süreci olduğunu ve kesilme noktasının modelin derecesini (q) verdiğini gösterir.

2

Serinin PACF grafiğinin davranışını incelemek.

PACF'nin sönümlenerek (tailing-off) sıfıra yaklaştığı belirlenir.

PACF'nin sönümlenmesi, ACF'nin kesilme bulgusunu doğrulayan teorik MA süreci özelliğidir.

3

Bulguları birleştirerek uygun modeli tanımlamak.

Modelin q=3 derecesine sahip bir MA(3) süreci olduğu sonucuna varılır.

Sadece q derecesindeki MA(q) modelleri, ACF'de q gecikmesinde kesilme ve PACF'de sönümlenme paterni sergiler.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Otokorelasyon Özellikleri

Soru 47Soru →

Bir gümrük müdürlüğünden aylık olarak geçen ticari araç sayıları (bin adet) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay	Gerçekleşen Değer ( $Y_t$ )
Ocak	$12$
Şubat	$15$
Mart	$14$

Bu gümrük kapısının bağlı olduğu bölge müdürlüğü, Nisan ayı ticari araç trafiğini öngörebilmek için iki farklı yaklaşımı karşılaştırmak istemektedir:

I. Yaklaşım: Ağırlıkları en yakın dönemden en uzak döneme doğru sırasıyla $0{}5$ , $0{}3$ ve $0{}2$ olarak belirlenen 3 dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama yöntemi.
II. Yaklaşım: Düzeltme parametresi $\alpha = 0{}4$ olan üstel düzeltme yöntemi (Mart ayı için bu yöntemle yapılmış olan öngörü değeri $13$ bin adettir).

Buna göre, I. ve II. yaklaşımlar kullanılarak Nisan ayı için hesaplanan öngörü değerleri (bin adet) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

13{}9

ve

13{}4

13{}9

ve

13{}6

13{}3

ve

13{}4

13{}3

ve

13{}6

13{}67

ve

13{}4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13{}9$ ve $13{}4$

Cevap

Nisan ayı için I. yaklaşımla

13{}9

, II. yaklaşımla ise

13{}4

öngörü değerleri bulunmuştur.

I. Yaklaşıma göre Nisan ayı öngörüsü, en yakın dönemden en uzak döneme doğru ağırlıklandırılarak

(0{}5 \times 14) + (0{}3 \times 15) + (0{}2 \times 12) = 13{}9

olarak bulunur. II. Yaklaşıma göre ise üstel düzeltme formülü kullanılarak

0{}4 \times 14 + 0{}6 \times 13 = 13{}4

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

I. Yaklaşım (Ağırlıklı Hareketli Ortalama) için ağırlıkları sırasıyla doğru aylara atayarak hesaplama yapın.

F_{\text{Nisan}} = (0{}5 \times 14) + (0{}3 \times 15) + (0{}2 \times 12)

= 7{}0 + 4{}5 + 2{}4 = 13{}9

Zaman serilerinde öngörü yapılırken, ağırlıklı hareketli ortalama yönteminde genellikle en yakın döneme (Mart) en yüksek ağırlık (

0{}5

), en uzak döneme (Ocak) en düşük ağırlık (

0{}2

) verilir.

2

II. Yaklaşım (Üstel Düzeltme) formülünü uygulayın.

F_{\text{Nisan}} = \alpha \times Y_{\text{Mart}} + (1 - \alpha) \times F_{\text{Mart}}

= 0{}4 \times 14 + (1 - 0{}4) \times 13

= 5{}6 + 0{}6 \times 13

= 5{}6 + 7{}8 = 13{}4

Üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin öngörüsü hesaplanırken; cari dönemin gerçekleşen değerine

\alpha

, cari dönemin öngörü değerine ise

(1-\alpha)

katsayısı uygulanarak toplanır.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde ağırlıklı hareketli ortalamalar ve üstel düzeltme (exponential smoothing) yöntemleri ile dönem tahmini.

Soru 48Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, işsizlik oranlarına ait aylık zaman serisi verilerini Box-Jenkins yöntemiyle analiz etmektedir. Uzman, analiz sürecinde aşağıdaki bulguları elde etmiştir:

• Orijinal serinin durağan olmadığı, ancak birinci dereceden farkı alındığında durağan hale geldiği birim kök testleriyle doğrulanmıştır.
• Durağanlaştırılmış seri üzerinden hesaplanan Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinin yavaşça sönümlendiği (azalarak sıfıra yaklaştığı), Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinin ise 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak anlamsızlaşarak aniden kesildiği gözlemlenmiştir.

Uzman, Box-Jenkins yönteminin 'Model Belirleme (Tanımlama)' aşamasını bu bulgularla tamamlamıştır.

Buna göre, analiz edilen zaman serisi için belirlenen uygun model ve uzmanın bu aşamadan hemen sonra geçmesi gereken Box-Jenkins aşaması aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

ARIMA(2,1,0)

ve Parametre Tahmini

ARIMA(0,1,2)

ve Parametre Tahmini

ARIMA(2,0,0)

ve Model Uygunluk Denetimi

SARIMA(2,0,0)(0,1,0)_{12}

ve Parametre Tahmini

ARIMA(2,1,0)

ve Serinin Bileşenlerine Ayrıştırılması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $ARIMA(2,1,0)$ ve Parametre Tahmini

Cevap

Zaman serisi için belirlenen uygun model

ARIMA(2,1,0)

'dır ve tanımlama aşamasından sonraki adım Parametre Tahmini aşamasıdır.

Zaman serisi birinci dereceden fark alındığında durağanlaştığı için modelin bütünleştirme derecesi

d=1

'dir. Durağan serinin ACF grafiği yavaşça sönümlenirken, PACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesiliyorsa, bu durum serinin sadece 2. dereceden Otoregresif (AR) bir sürece sahip olduğunu gösterir; yani

p=2

ve

q=0

'dır. Böylece uygun model

ARIMA(2,1,0)

olarak belirlenir. Box-Jenkins yönteminin dört temel aşaması sırasıyla; Model Belirleme (Tanımlama), Parametre Tahmini, Model Uygunluk Denetimi ve Öngörü'dür. Tanımlama aşaması tamamlandığı için analizde bir sonraki adım 'Parametre Tahmini' olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Serinin bütünleştirme derecesini (d) belirleme

Seri 1. dereceden fark alındığında durağanlaştığı için modele eklenecek fark alma derecesi

d=1

'dir.

Zaman serisi analizinde Box-Jenkins modellemesi için serinin durağanlaştırılması esastır ve alınan fark sayısı 'd' parametresini oluşturur.

2

ACF ve PACF grafiklerine göre AR (p) ve MA (q) derecelerini belirleme

PACF 2. gecikmede aniden kesildiği için

p=2

, ACF yavaşça sönümlendiği için

q=0

'dır. Böylece model

ARIMA(2,1,0)

olur.

Teorik olarak, salt Otoregresif (AR) süreçlerde PACF belirli bir gecikmeden sonra aniden kesilirken, ACF yavaşça sönümlenir.

3

Box-Jenkins aşamalarını sırasıyla takip etme

Tanımlama (Model Belirleme) aşamasından sonra 'Parametre Tahmini' aşamasına geçilmelidir.

Box-Jenkins yönteminin aşamaları sırasıyla; 1. Tanımlama, 2. Parametre Tahmini, 3. Model Uygunluk Denetimi ve 4. Öngörü şeklindedir.

Anahtar Kavram

ARIMA Modeli Tanımlama ve Box-Jenkins Aşamaları

Soru 49Soru →

Bir elektrik dağıtım şirketi, belirli bir bölgedeki haftalık trafo arıza bildirim sayılarını tahmin etmek için $3$ dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama yöntemini kullanmaktadır. Şirket, tahminlerinde en güncel döneme $0{}5$ , bir önceki döneme $0{}3$ ve en eski döneme $0{}2$ ağırlık vermektedir.

Aşağıdaki tabloda son dört haftaya ait arıza bildirim sayıları verilmiştir:

Hafta	Arıza Sayısı ( $Y_t$ )
1	200
2	240
3	210
4	270

Buna göre, 5. hafta için beklenen arıza bildirim sayısı kaçtır?

217

237

240

246

249

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 246

Cevap

5. hafta için beklenen arıza bildirim sayısı 246'dır.

3 dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama ile 5. dönemi tahmin etmek için 4., 3. ve 2. dönemin verileri kullanılır. En güncel veriye en yüksek ağırlık verilerek

F_5 = 0{}5 \times Y_4 + 0{}3 \times Y_3 + 0{}2 \times Y_2

denklemi kurulur. Verilen değerler yerine konduğunda sonuç

(0{}5 \times 270) + (0{}3 \times 210) + (0{}2 \times 240) = 135 + 63 + 48 = 246

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edilecek dönem için kullanılacak geçmiş verileri ve ağırlıklarını belirleme.

5. haftayı tahmin etmek için 4., 3. ve 2. hafta verileri kullanılacaktır. Ağırlıklar:

W_1 = 0{}5

(4. hafta),

W_2 = 0{}3

(3. hafta),

W_3 = 0{}2

(2. hafta).

3 dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama yönteminde, tahmin edilecek dönemden hemen önceki 3 dönem dikkate alınır.

2

Ağırlıklı hareketli ortalama formülünü uygulama.

F_5 = (0{}5 \times 270) + (0{}3 \times 210) + (0{}2 \times 240)

Her bir geçmiş dönem verisi, o döneme atanan ağırlık katsayısı ile çarpılarak toplanır.

3

Çarpma ve toplama işlemlerini gerçekleştirme.

F_5 = 135 + 63 + 48 = 246

Matematiksel işlemler sonucunda 5. dönemin öngörü değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Hareketli Ortalama

Soru 50Soru →

Bir üretim işletmesi, kritik bir ham maddenin haftalık tüketim miktarını (ton) iki farklı zaman serisi modeli (Model I ve Model II) kullanarak öngörmektedir. Dört haftalık bir test döneminde, gerçekleşen tüketim miktarları ile modellerin öngörü değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Model I	Model II
1	20	21	15
2	20	21	25
3	20	21	15
4	50	35	45

İşletme yönetimi, modellerin performansını Ortalama Mutlak Hata (MAE) ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) ölçütlerini kullanarak değerlendirecektir.

Buna göre, modellerin öngörü performansları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Hem MAE hem de MSE ölçütlerine göre Model I daha düşük hata değerine sahiptir.

Hem MAE hem de MSE ölçütlerine göre Model II daha düşük hata değerine sahiptir.

MAE ölçütüne göre Model I, MSE ölçütüne göre ise Model II daha düşük hata değerine sahiptir.

MSE ölçütüne göre Model I, MAE ölçütüne göre ise Model II daha düşük hata değerine sahiptir.

Modellerin MSE değerleri birbirine eşitken, MAE ölçütüne göre Model I daha düşük hata değerine sahiptir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: MAE ölçütüne göre Model I, MSE ölçütüne göre ise Model II daha düşük hata değerine sahiptir.

Cevap

MAE ölçütüne göre Model I, MSE ölçütüne göre ise Model II daha düşük hata değerine sahiptir.

Ortalama Mutlak Hata (MAE) hesaplandığında Model I'in toplam mutlak hatası 18 (ortalama 4.5), Model II'nin ise 20'dir (ortalama 5.0). Bu nedenle mutlak bazda Model I daha düşük hataya sahiptir. Ancak Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken hataların karesi alındığı için büyük hatalar aşırı derecede cezalandırılır. Model I'in 4. haftadaki 15 birimlik hatasının karesi 225 olduğundan MSE değeri 57'ye çıkmaktadır. Model II'nin hataları ise daha dengeli olduğu için MSE'si 25'tir. Bu doğrultuda, MAE ölçütünde Model I, MSE ölçütünde ise Model II daha başarılıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Her iki model için haftalık öngörü hatalarının (

e_t = Y_t - F_t

) bulunması

Model I hataları: -1, -1, -1, 15. Model II hataları: 5, -5, 5, 5.

Performans ölçütlerini hesaplamak için öncelikle gerçekleşen değer ile öngörülen değer arasındaki farkların bulunması gerekir.

2

Modellerin Ortalama Mutlak Hata (MAE) değerlerinin hesaplanması

Model I MAE = (|-1| + |-1| + |-1| + |15|) / 4 = 18 / 4 = 4.5. Model II MAE = (|5| + |-5| + |5| + |5|) / 4 = 20 / 4 = 5.0.

MAE, hataların mutlak değerlerinin ortalamasıdır. Bu ölçüte göre Model I (4.5), Model II'den (5.0) daha düşük hataya sahiptir.

3

Modellerin Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerlerinin hesaplanması

Model I MSE = ((-1)² + (-1)² + (-1)² + 15²) / 4 = (1 + 1 + 1 + 225) / 4 = 57. Model II MSE = (5² + (-5)² + 5² + 5²) / 4 = (25 + 25 + 25 + 25) / 4 = 25.

MSE, hataların karelerinin ortalamasıdır. 4. haftadaki büyük sapma nedeniyle Model I'in MSE değeri (57), Model II'den (25) çok daha yüksektir.

4

Sonuçların değerlendirilip karşılaştırılması

MAE değerinde Model I (4.5 < 5.0), MSE değerinde ise Model II (25 < 57) daha düşüktür.

Değerlendirme sonucunda, MAE bazında Model I daha başarılı iken, büyük hataları daha sert cezalandıran MSE bazında Model II'nin daha başarılı olduğu sonucuna varılır.

Anahtar Kavram

Hata Kareler Ortalaması'nın (MSE) hesaplamada karesel bir fonksiyon kullanması nedeniyle serideki aykırı değerlere (büyük hatalara) Ortalama Mutlak Hata'ya (MAE) kıyasla çok daha duyarlı olması.

Soru 51Soru →

Durağan bir zaman serisinin veri üretim sürecini belirlemek isteyen bir ekonometrist, serinin korelogramını incelediğinde aşağıdaki özellikleri saptamıştır:

* Otokorelasyon fonksiyonu (ACF) grafiğinde ilk iki gecikme (lag) değeri istatistiksel olarak sıfırdan farklı ve anlamlı iken, üçüncü gecikmeden itibaren katsayılar aniden sıfıra düşerek kesilme (cut-off) göstermektedir.
* Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafiğinde ise belirgin bir kesilme noktası bulunmamakta; katsayılar sinüs dalgası benzeri bir yapıda üstel olarak sönümlenerek (tailing-off) yavaş yavaş sıfıra yaklaşmaktadır.

Box-Jenkins yaklaşımına göre, bu korelogram özelliklerine sahip bir zaman serisi için teorik olarak tanımlanması gereken en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

Birinci dereceden Otoregresif ve Birinci dereceden Hareketli Ortalama - ARMA(1,1)

İkinci dereceden Hareketli Ortalama - MA(2)

İkinci dereceden Otoregresif - AR(2)

İkinci dereceden Bütünleşik Hareketli Ortalama - ARIMA(0,2,2)

Birinci dereceden Hareketli Ortalama - MA(1)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: İkinci dereceden Hareketli Ortalama - MA(2)

Cevap

İkinci dereceden Hareketli Ortalama - MA(2)

Box-Jenkins metodolojisine göre, saf Hareketli Ortalama (MA) süreçlerinin en belirgin teorik özelliği, Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) modelin derecesi olan 'q' gecikmesinden sonra sıfıra düşerek kesilmesidir. Eş zamanlı olarak Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) ise üstel olarak veya sinüs dalgası şeklinde sönümlenme eğilimi gösterir. Sorudaki senaryoda ACF 2. gecikmeden sonra kesildiği ve PACF sönümlendiği için uygun veri üretim süreci İkinci dereceden Hareketli Ortalama, yani MA(2) modelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinin davranışını analiz et.

ACF'nin 2. gecikmeden sonra aniden kesildiği (cut-off) görülmüştür.

ACF'nin aniden kesilmesi, serinin Otoregresif (AR) değil, saf bir Hareketli Ortalama (MA) sürecine sahip olduğunu ve kesilme noktasının q derecesini verdiğini kanıtlar (q=2).

2

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinin davranışını analiz et.

PACF'nin kesilmediği, yavaş yavaş sönümlendiği (tailing-off) görülmüştür.

PACF'nin sönümlenmesi, ACF'den elde edilen MA süreci teşhisini doğrular.

3

ACF ve PACF bulgularını birleştirerek Box-Jenkins modelini belirle.

Serinin yapısının MA(2) olduğu sonucuna varılır.

q=2 değerinde kesilen ACF ve sönümlenen PACF kombinasyonu teorik olarak sadece MA(2) sürecine aittir.

Anahtar Kavram

Zaman serilerinde model tanımlama (Identification); Hareketli Ortalama (MA) süreçlerinde ACF'nin kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi.

Soru 52Soru →

Bir il sağlık müdürlüğü, ilçelerdeki haftalık acil servis başvuru sayılarını (bin kişi) tahmin etmek için bir zaman serisi modeli geliştirmiştir. Modelin son 5 haftalık gerçekleşen ( $Y_t$ ) ve öngörülen ( $F_t$ ) değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörülen ( $F_t$ )
1	10	8
2	20	25
3	25	25
4	40	34
5	50	55

Bu modelin öngörü performansını değerlendirmek amacıyla Ortalama Mutlak Hata (MAE), Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE) ölçütleri hesaplanacaktır.

Buna göre, modelin sırasıyla MAE, MSE ve MAPE değerleri aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

MAE = 3,6 ; MSE = 18 ; MAPE = %14

MAE = 18 ; MSE = 90 ; MAPE = %70

MAE = 4,5 ; MSE = 22,5 ; MAPE = %17,5

MAE = -0,4 ; MSE = 18 ; MAPE = %14

MAE = 3,6 ; MSE = 90 ; MAPE = %14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: MAE = 3,6 ; MSE = 18 ; MAPE = %14

Cevap

Modelin öngörü performansı ölçütleri sırasıyla MAE = 3,6; MSE = 18; MAPE = %14 olarak bulunmuştur.

MAE (Ortalama Mutlak Hata) hesaplanırken hataların mutlak değerlerinin toplamı gözlem sayısına bölünür (18 / 5 = 3,6). MSE (Hata Kareler Ortalaması) hesaplanırken hataların karelerinin toplamı gözlem sayısına bölünür (90 / 5 = 18). MAPE (Ortalama Mutlak Yüzde Hata) ise her bir dönemin mutlak hatasının o dönemin gerçekleşen değerine oranlarının toplamının gözlem sayısına bölünmesiyle bulunur (0,70 / 5 = %14). Tüm metriklerin doğru hesaplandığı tek seçenek doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir dönem için öngörü hatalarının (

e_t = Y_t - F_t

), mutlak hataların (

|e_t|

), hata karelerinin (

e_t^2

) ve mutlak yüzde hataların (

|e_t|/Y_t

) hesaplanması.

t=1

:

e=2

,

|e|=2

,

e^2=4

,

|e|/Y=0,20

.

t=2

:

e=-5

,

|e|=5

,

e^2=25

,

|e|/Y=0,25

.

t=3

:

e=0

,

|e|=0

,

e^2=0

,

|e|/Y=0

.

t=4

:

e=6

,

|e|=6

,

e^2=36

,

|e|/Y=0,15

.

t=5

:

e=-5

,

|e|=5

,

e^2=25

,

|e|/Y=0,10

.

Tüm hata ölçütlerinin formülleri, tahminlerin gerçekleşen değerlerden sapmalarını (kalıntıları) temel alır.

2

Ortalama Mutlak Hata (MAE) değerinin hesaplanması.

\text{MAE} = \frac{\sum |e_t|}{n} = \frac{2 + 5 + 0 + 6 + 5}{5} = \frac{18}{5} = 3,6

MAE, mutlak hataların aritmetik ortalamasını vererek modelin ortalama sapmasını gösterir.

3

Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerinin hesaplanması.

\text{MSE} = \frac{\sum e_t^2}{n} = \frac{4 + 25 + 0 + 36 + 25}{5} = \frac{90}{5} = 18

MSE, büyük hataları daha fazla cezalandırmak için hata karelerinin ortalamasını alır.

4

Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE) değerinin hesaplanması.

\text{MAPE} = \frac{\sum (|e_t|/Y_t)}{n} \times 100 = \frac{0,20 + 0,25 + 0 + 0,15 + 0,10}{5} \times 100 = \frac{0,70}{5} \times 100 = \%14

MAPE, hataların gerçekleşen değerlere oranını yüzde cinsinden ifade ederek serinin ölçeğinden bağımsız bir hata metriği sunar.

Anahtar Kavram

Zaman Serilerinde Öngörü Hata Ölçütlerinin (MSE, MAE, MAPE) Hesaplanması

Soru 53Soru →

Bir liman işletmesinde aylık olarak elleçlenen konteyner sayıları (bin TEU) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen Değer ( $Y_t$ )
1	120
2	130
3	110
4	140
5	150

İşletme yönetimi, gelecek dönemin (6. ay) elleçleme miktarını tahmin etmek için $3$ dönemlik ağırlıklı hareketli ortalama yöntemini kullanmaya karar vermiştir. Tahmin modelinde kullanılacak ağırlıklar, en yakın dönemden en uzak döneme doğru sırasıyla $0{}5$ , $0{}3$ ve $0{}2$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, işletmenin 6. ay için beklediği konteyner elleçleme tahmini (bin TEU) aşağıdakilerden hangisidir?

127

129

133{}3

139

143

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $139$

Cevap

Hesaplamalar sonucunda işletmenin 6. ay için beklediği tahmini değer 139'dur.

Ağırlıklı hareketli ortalama yönteminde, tahmin edilecek döneme en yakın olan gözlemlere daha yüksek, uzak olanlara ise daha düşük ağırlık verilir.

6

. ayın tahmini için

3

dönemlik (

t=3, 4, 5

) veriler kullanılacaktır. Soruda verilen ağırlıklar en yakından en uzağa doğru sırasıyla

w_1 = 0{}5

,

w_2 = 0{}3

ve

w_3 = 0{}2

'dir. Formüle yerleştirdiğimizde:

F_6 = (w_1 \cdot Y_5) + (w_2 \cdot Y_4) + (w_3 \cdot Y_3)

F_6 = (0{}5 \cdot 150) + (0{}3 \cdot 140) + (0{}2 \cdot 110)

F_6 = 75 + 42 + 22 = 139

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tahminde kullanılacak en güncel

3

dönemin gerçekleşen değerlerini tespit etme.

Y_5 = 150

,

Y_4 = 140

,

Y_3 = 110

6

. ayı tahmin etmek için

3

dönemlik hareketli ortalama hesaplanacağından formüle

3.

,

4.

ve

5.

ay verileri dahil edilmelidir.

2

Verilen ağırlıkları ilgili dönemlerle eşleştirme.

w_1 = 0{}5

(

t=5

için),

w_2 = 0{}3

(

t=4

için),

w_3 = 0{}2

(

t=3

için)

Soruda belirtilen 'en yakın dönemden en uzak döneme doğru' kuralı gereği, en yakın geçmiş olan

5.

aya en yüksek ağırlık verilmelidir.

3

Ağırlıklı hareketli ortalama formülünü (

F_{t+1} = \sum w_i \cdot Y_{t-i+1}

) uygulama.

F_6 = (0{}5 \cdot 150) + (0{}3 \cdot 140) + (0{}2 \cdot 110) = 139

Belirlenen veriler ve ağırlıklar çarpılıp toplandığında

75 + 42 + 22 = 139

sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar (Weighted Moving Averages)

Soru 54Soru →

Bir araştırmacı, $Y_t$ makroekonomik zaman serisinin durağanlık özelliklerini incelemek amacıyla sabit terimli ve doğrusal trendli (kesmeli ve trendli) Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) sınamasını uygulamıştır. Tahmin edilen test denklemi aşağıda verilmiştir:

\Delta Y_t = \alpha_0 + \alpha_1 t + \gamma Y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \beta_i \Delta Y_{t-i} + u_t

Yapılan sınama sonucunda $\gamma$ katsayısına ait test istatistiği ( $\tau_{\tau}$ ) $-3,85$ olarak hesaplanmıştır. İlgili model için MacKinnon kritik değerleri %1, %5 ve %10 anlamlılık düzeyleri için sırasıyla $-3,96$ , $-3,41$ ve $-3,12$ 'dir. Ayrıca, durağanlık varsayımı altında zaman trendi katsayısının ( $\alpha_1$ ) istatistiksel olarak anlamlı olduğu tespit edilmiştir.

Buna göre, $Y_t$ serisinin yapısal sınıflandırması ve sahte regresyon (spurious regression) sorunundan kaçınmak için analizlerde uygulanması gereken veri dönüşümü aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak ifade edilmiştir?

Seri trend-durağan (TS) yapıdadır; birinci farkın alınması tersinir olmayan (non-invertible) yapay bir hareketli ortalama (MA) süreci yaratacağından, seri modele deterministik bir trend değişkeni eklenerek veya trendden arındırılarak kullanılmalıdır.

Seri, düzey değerlerinde deterministik bir trend etrafında durağandır; ancak uzun dönemli ekonometrik analizlerde kullanılabilmesi için trend bileşeninden bağımsız olarak her zaman birinci farkının alınması gerekir.

Test istatistiği

-3,85

değeriyle

\%1

anlamlılık düzeyindeki

-3,96

kritik değerinden matematiksel olarak daha büyük (

-3,85 > -3,96

) olduğu için seri tüm düzeylerde fark-durağan (DS) kabul edilir ve birinci farkı alınmalıdır.

ADF testinde temel hipotez (

H_0

) "seri durağandır" şeklinde kurulduğu ve test istatistiği bu hipotezi %5 düzeyinde reddettiği için, seriyi durağanlaştırmak amacıyla birinci farkı alınmalıdır.

Test istatistiği mutlak değerce %5 kritik değerinden (

|-3,85| > |-3,41|

) büyük olduğu için birim kök temel hipotezi reddedilemez; sahte regresyonu önlemek amacıyla serinin mutlaka ikinci farkı (

\Delta^2 Y_t

) alınmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Seri trend-durağan (TS) yapıdadır; birinci farkın alınması tersinir olmayan (non-invertible) yapay bir hareketli ortalama (MA) süreci yaratacağından, seri modele deterministik bir trend değişkeni eklenerek veya trendden arındırılarak kullanılmalıdır.

Cevap

Serinin trend-durağan (TS) yapıda olduğu ve birinci farkın alınmasının tersinir olmayan yapay bir hareketli ortalama süreci yaratacağından serinin deterministik bir trend değişkeniyle kullanılması gerektiğini belirten seçenektir.

Verilen soruda hesaplanan

\tau_{\tau}

istatistiği (

-3,85

), %5 anlamlılık düzeyindeki

-3,41

kritik değerinden daha küçük (daha negatif) olduğu için sol kuyruk test kuralına göre birim kök temel hipotezi (

H_0

) reddedilir. Bu durum serinin durağan olduğunu gösterir. Ancak analiz sabit ve trend içeren bir modelle yapıldığından ve trend katsayısı (

\alpha_1

) anlamlı olduğundan, seri ortalama etrafında değil, deterministik bir trend etrafında durağandır (Trend-Durağan / TS). TS yapıdaki bir zaman serisinin durağanlaştırılması amacıyla birinci farkının alınması, hata teriminde tersinir olmayan (kökü birim çember üzerinde olan) yapay bir MA(1) bileşeni oluşturarak 'aşırı fark alma (over-differencing)' sorununu ortaya çıkarır. Bu yüzden TS serilerde fark alma işlemi yerine, modele zaman trendi (

t

) dâhil edilmeli veya seri trend bileşeninden arındırılarak (detrending) kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

ADF testinin temel hipotezini (

H_0

) ve karar kuralını belirlemek.

H_0

:

\gamma = 0

(Seride birim kök vardır). Sol kuyruk testi kuralına göre, eğer test istatistiği kritik değerden daha küçükse (daha negatifse)

H_0

reddedilir.

Test istatistiğinin istatistiksel anlamlılığını doğru değerlendirebilmek için testin yönü ve hipotezi bilinmelidir.

2

Test istatistiği ile %5 anlamlılık düzeyindeki kritik değeri karşılaştırmak.

Hesaplanan test istatistiği

-3,85

, %5 kritik değeri olan

-3,41

'den daha küçüktür (

-3,85 < -3,41

). Bu nedenle %5 anlamlılık düzeyinde

H_0

hipotezi reddedilir.

Kritik değer aşıldığı için (sol kuyrukta) seride birim kök olmadığı sonucuna ulaşılır.

3

Serinin yapısal durağanlık sınıflandırmasını belirlemek.

Birim kök temel hipotezi reddedildiği ve modeldeki deterministik zaman trendi (

\alpha_1

) anlamlı olduğu için seri Trend-Durağan (TS) yapıdadır.

Zaman trendi içeren durağan seriler fark-durağan (DS) değil, trend-durağan (TS) olarak sınıflandırılır.

4

Trend-durağan bir seri için uygun veri dönüşümünü tespit etmek.

Trend-durağan serilerde durağanlığı sağlamak için birinci fark alınmaz. Fark alınması, serinin hata teriminde

\theta=1

olan tersinir olmayan (non-invertible) bir MA(1) süreci yaratır (Aşırı fark alma). Doğru işlem seriyi trendden arındırmak veya modele trend eklemektir.

Sahte regresyonu önlemek ve tutarlı tahminciler elde etmek için serinin yapısal özelliğine (TS vs DS) uygun dönüşüm uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Trend-Durağanlık (TS) ve Aşırı Fark Alma (Over-differencing)

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 55Soru →

Bir ülkenin çeyreklik bazda hesaplanan tarımsal üretim endeksi ( $Y_t$ ) analiz edilmektedir. Serinin durağanlaştırılması amacıyla hem birinci dereceden hem de mevsimsel ( $s=4$ ) fark alma işlemi uygulanmış ve $W_t = (1-B)(1-B^4)Y_t$ serisi elde edilmiştir.

$W_t$ serisine ait Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) grafikleri incelendiğinde şu bulgulara ulaşılmıştır:
- Mevsimsel olmayan gecikmelerde: ACF grafiğinde ilk iki gecikmede ( $k=1, 2$ ) anlamlı sivrilikler görülmüş ve ardından kesilme olmuştur. PACF grafiğinde ise sönümlenerek azalan bir yapı izlenmiştir.
- Mevsimsel gecikmelerde: PACF grafiğinde sadece birinci mevsimsel gecikmede ( $k=4$ ) anlamlı bir sivrilik varken, diğer mevsimsel gecikmelerde ( $k=8, 12, \dots$ ) kesilme olmuştur. ACF grafiğinde ise mevsimsel gecikmelerde yavaşça sönümlenen bir dalgalanma gözlenmiştir.

Buna göre, Box-Jenkins metodolojisi çerçevesinde söz konusu zaman serisi için belirlenen en uygun SARIMA modelinin kapalı form denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ( $B$ , geri kaydırma operatörünü ve $\varepsilon_t$ , beyaz gürültü sürecini ifade etmektedir.)

(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \Theta_1 B^4)\varepsilon_t

(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)(1 - \Theta_1 B^4)\varepsilon_t

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

(1 - \phi_1 B)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \Theta_1 B^4 - \Theta_2 B^8)\varepsilon_t

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t$

Cevap

Model, mevsimsel olmayan MA(2) ve mevsimsel AR(1) bileşenlerinden oluşur. Kapalı form denklemi

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

şeklindedir.

Doğru denklem, ACF ve PACF grafiklerindeki davranışlardan elde edilen parametrelerin SARIMA temel denklemine yerleştirilmesiyle oluşturulur. Mevsimsel olmayan kısımdaki ACF'nin 2. gecikmede kesilmesi

q=2

'yi (MA(2)), mevsimsel PACF'nin ilk mevsimsel gecikmede (

k=4

) kesilmesi ise

P=1

'i (Mevsimsel AR(1)) işaret eder. Durağanlaştırma için soruda verilen birinci ve mevsimsel farklar da

(1-B)(1-B^4)

olarak eşitliğin sol tarafında yer alır. Bu değerler formülde yerine konulduğunda doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Mevsimsel olmayan model bileşenlerinin derecelerinin belirlenmesi.

Mevsimsel olmayan model, 2. dereceden Hareketli Ortalama yani MA(2)'dir (

q=2

,

p=0

).

ACF grafiğinin mevsimsel olmayan 2. gecikmeden sonra kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi MA(q) sürecinin karakteristik özelliğidir.

2

Mevsimsel model bileşenlerinin derecelerinin belirlenmesi.

Mevsimsel model, 1. dereceden Otoregresif yani mevsimsel AR(1)'dir (

P=1

,

Q=0

).

PACF grafiğinin mevsimsel gecikmelerde sadece ilk periyotta (

k=4

) kesilmesi ve mevsimsel ACF'nin sönümlenmesi mevsimsel AR(P) sürecini işaret eder.

3

Durağanlaştırma ve fark alma işlemlerinin denkleme yansıtılması.

Soruda verilen

W_t = (1-B)(1-B^4)Y_t

eşitliği doğrudan denklemin sol tarafında yer almalıdır.

Uygulanan birinci (

d=1

) ve mevsimsel (

D=1

) fark işlemleri modelin bütünleşik yapısını oluşturur.

4

SARIMA kapalı form denkleminin standart notasyonla oluşturulması.

AR bileşenleri sol tarafa, MA bileşenleri sağ tarafa yazılarak

(1 - \Phi_1 B^4)(1 - B)(1 - B^4)Y_t = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2)\varepsilon_t

elde edilir.

Genel SARIMA denklemi

\Phi_P(B^s)\phi_p(B)(1-B)^d(1-B^s)^D Y_t = \Theta_Q(B^s)\theta_q(B)\varepsilon_t

formülüne dayanmaktadır.

Anahtar Kavram

SARIMA Modellerinde Grafiksel Yorumlama ve Kapalı Form Denklem Gösterimi

Soru 56Soru →

Bir hidroelektrik santralinin günlük enerji üretimindeki rastgele şokları inceleyen bir araştırmacı, serinin durağan olduğunu tespit etmiş ve otokorelasyon yapısını analiz etmiştir. Yapılan incelemede, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu ( $ACF$ ) grafiğinin $2.$ gecikmeden sonra istatistiksel olarak anlamsızlaşarak aniden kesildiği, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu ( $PACF$ ) grafiğinin ise üstel ve sinüzoidal dalgalanmalarla yavaşça sönümlendiği gözlemlenmiştir.

Buna göre, araştırmacının kuracağı zaman serisi modeli ve bu modelin teorik özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

PACF

grafiğinin üstel olarak sönümlenerek devam etmesi, durağanlık varsayımının ihlal edildiğini ve seride ayrıştırılamamış uzun dönemli döngüsel veya mevsimsel bileşenlerin bulunduğunu kanıtlar.

ACF

grafiğinin

2.

gecikmeden sonra aniden kesilmesi, serinin kendi geçmiş değerlerine doğrudan bağlı olduğunu gösterir ve bu durum serinin ikinci dereceden bir Otoregresif (

AR(2)

) süreç ile modellenmesini zorunlu kılar.

Gözlemlenen otokorelasyon yapısına göre seriye

MA(2)

modeli kurulmalıdır; ancak bu modelin her durumda durağan bir yapı sergilemeyeceği göz önüne alınarak serinin birinci dereceden farkının alınması matematiksel bir zorunluluktur.

Model olarak ikinci dereceden bir Hareketli Ortalama (

MA(2)

) süreci uygundur; bu model yapısı gereği her zaman durağandır ancak serinin sonsuz dereceli bir otoregresif süreç (

AR(\infty)

) olarak ifade edilebilmesi için tersinirlik koşullarını sağlaması gerekir.

ACF

grafiğinin

2.

gecikmede kesilmesi serinin bir

MA(1)

süreci olduğunu,

PACF

'nin sönümlenmesi ise modele bir

AR

terimi eklenerek sürecin

ARMA(1,1)

şeklinde tanımlanması gerektiğini gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model olarak ikinci dereceden bir Hareketli Ortalama ( $MA(2)$ ) süreci uygundur; bu model yapısı gereği her zaman durağandır ancak serinin sonsuz dereceli bir otoregresif süreç ( $AR(\infty)$ ) olarak ifade edilebilmesi için tersinirlik koşullarını sağlaması gerekir.

Cevap

Modelin

MA(2)

süreci olarak belirlenmesi, MA modellerinin her durumda durağan olması ve serinin

AR(\infty)

formunda yazılabilmesi için tersinirlik koşulunu sağlamasının gerekmesidir.

Zaman serileri analizinde, Otokorelasyon Fonksiyonu (

ACF

) grafiği

q

. gecikmeden sonra aniden kesiliyorsa ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (

PACF

) grafiği yavaşça sönümleniyorsa, bu seri

q

. dereceden bir Hareketli Ortalama (

MA

) süreci ile modellenir. Sorudaki

ACF

2. gecikmede kesildiği için en uygun model

MA(2)

'dir.

MA

modelleri sonlu sayıda geçmiş rastgele şokun (hata teriminin) doğrusal kombinasyonu olduğundan, özellikleri gereği her zaman durağandır ve durağanlaştırmak için fark alma işlemine ihtiyaç duymazlar. Ancak, bir

MA

modelinin geçmiş gözlem değerleri cinsinden (sonsuz dereceli bir

AR

modeli olarak) ifade edilebilmesi ve tahmin süreçlerinde anlamlı olarak kullanılabilmesi için modelin karakteristik denkleminin köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması, yani 'tersinirlik' (invertibility) koşullarını sağlaması zorunludur. Doğru seçenek,

MA

modellerinin bu temel teorik kısıtlarını eksiksiz şekilde ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1

ACF ve PACF grafiklerinin davranışını inceleyerek modelin türünü ve derecesini belirleme.

ACF

grafiğinin 2. gecikmede aniden kesilmesi ve

PACF

grafiğinin sönümlenmesi, sürecin ikinci dereceden bir Hareketli Ortalama (

MA(2)

) modeli olduğunu gösterir.

Zaman serilerinde

AR

modellerinin

PACF

grafikleri,

MA

modellerinin ise

ACF

grafikleri incelenen derece sonrasında aniden kesilme eğilimi gösterir.

2

MA

modellerinin durağanlık özelliğini değerlendirme.

Hareketli Ortalama (

MA

) modelleri, sonlu sayıdaki beyaz gürültü (white noise) hata terimlerinin doğrusal kombinasyonundan oluştuğu için yapıları gereği her zaman durağandır.

Durağanlık için serinin köklerinin incelenmesine veya fark alma işlemine ihtiyaç duyulmaz.

3

MA

modellerinin tersinirlik (invertibility) özelliğini değerlendirme.

Bir

MA

sürecinin benzersiz olması ve güncel şokların geçmiş gözlemler cinsinden sonsuz dereceli bir

AR

süreci (

AR(\infty)

) formunda yazılabilmesi için tersinirlik koşullarının sağlanması gerekir.

Tersinirlik koşulu (karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması) sağlanmadan süreç geçmiş gözlemlerle ifade edilemez ve anlamlı bir modele dönüştürülemez.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinin Durağanlık ve Tersinirlik Özellikleri ile ACF/PACF Davranışları

Soru 57Soru →

Yıllık frekansta gözlemlenen bir $Y_t$ finansal getiri serisinin durağanlık analizi için Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testi uygulanmıştır. Veri üretme sürecinde deterministik bir yönelim (trend) olduğu düşünüldüğünden, test denklemi hem sabit terim hem de doğrusal zaman trendi içerecek şekilde tahmin edilmiştir.

Test sonucunda, gecikmeli düzey değerinin katsayısına ait hesaplanan $\tau$ (tau) istatistiği $-2,10$ olarak bulunmuştur. İlgili model için %5 anlamlılık düzeyindeki MacKinnon tablo kritik değeri ise $-3,41$ olarak verilmiştir.

Bu bulgulara göre, serinin özellikleri ve uygulanacak dönüşüm işlemiyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Birim kök temel hipotezi reddedilemez; seri fark-durağan yapıda olduğundan durağanlık sağlamak amacıyla birinci fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Birim kök temel hipotezi reddedilir; seri trend-durağan bir yapıda olduğundan düzey değerleri üzerinden modellemeye geçilmelidir.

Birim kök temel hipotezi reddedilemez; seri deterministik trend etrafında durağanlaştığından analiz öncesinde seriden trend bileşeni arındırılmalıdır.

Birim kök temel hipotezi reddedilir; seri fark-durağan karakterde olduğundan ancak ikinci dereceden farkı alındığında durağan hale gelebilir.

Birim kök temel hipotezinin durumu bu değerlerle belirlenemez; durağanlık kararını kesinleştirmek için otokorelasyon (ACF) fonksiyonunun sönümlenme hızına bakılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birim kök temel hipotezi reddedilemez; seri fark-durağan yapıda olduğundan durağanlık sağlamak amacıyla birinci fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Cevap

Birim kök temel hipotezi reddedilemez; seri fark-durağan yapıda olduğundan durağanlık sağlamak amacıyla birinci fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testinde temel hipotez (

H_0

), serinin birim kök içerdiğini (durağan olmadığını) ileri sürer. Karar kuralına göre, hesaplanan test istatistiği tablo kritik değerinden daha negatif ise

H_0

reddedilir. Verilen durumda

-2,10

değeri,

-3,41

'den daha büyük olduğu için (sol kuyruğun dışında kaldığı için)

H_0

reddedilemez. Bu durum, serinin birim köke sahip olduğunu, stokastik bir trend taşıdığını ve yapısal olarak 'fark-durağan (Difference-Stationary, DS)' olduğunu gösterir. Fark-durağan süreçlerde seriyi durağan hale getirmenin matematiksel yolu birinci dereceden fark alma işlemidir.

Adım Adım Çözüm

1

ADF testi için hipotezlerin belirlenmesi.

Temel hipotez (

H_0

): Seride birim kök vardır (Seri durağan değildir). Alternatif hipotez (

H_1

): Seride birim kök yoktur (Seri durağan veya trend-durağandır).

Birim kök testlerinin tamamında başlangıç noktası, serinin durağan dışı olduğu varsayımıdır.

2

Hesaplanan test istatistiği ile kritik değerin karşılaştırılarak karar verilmesi.

Hesaplanan

\tau = -2,10

değeri, %5 anlamlılık düzeyindeki kritik değer olan

-3,41

'den daha büyük (sol kuyrukta daha sağda) olduğu için

H_0

hipotezi reddedilemez.

ADF testi tek yönlü bir sol kuyruk testidir. Red bölgesi kritik değerin solundadır (daha negatif değerler kümesidir).

3

Test sonucuna göre serinin özelliklerinin ve durağanlaştırma yönteminin belirlenmesi.

H_0

reddedilemediği için seride birim kök olduğu sonucuna varılır. Bu tür seriler stokastik trend içerir ve 'fark-durağan (DS)' olarak adlandırılır. Seriyi durağanlaştırmak için birinci mertebeden fark (

\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}

) alınmalıdır.

Birim köklü serilerin durağanlaştırılabilmesi için trend arındırması (detrending) değil, fark alma (differencing) işlemi yapılmalıdır.

Anahtar Kavram

Birim Kök Testlerinde Hipotez Kurulumu ve Karar Kuralı

Soru 58Soru →

Bir lojistik firmasının günlük kargo teslimat hacimleri ( $Y_t$ ) analiz edilmektedir. Seride gözlenen güçlü haftalık döngüselliği modellemek amacıyla Box-Jenkins yaklaşımı uygulanmıştır. Yapılan analizler sonucunda, seriyi en iyi temsil eden modelin kapalı form denklemi, geri kaydırma (backshift) operatörü ( $B$ ) kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilmiştir:

(1 - 0.45B - 0.25B^2)(1 - 0.80B^7)(1 - B)(1 - B^7)Y_t = (1 - 0.60B)(1 - 0.30B^7 + 0.15B^{14})\epsilon_t

Buna göre, tahmin edilen bu zaman serisi modelinin standart gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7

\text{SARIMA}(1,1,2)(2,1,1)_7

\text{SARIMA}(3,0,1)(2,0,2)_7

\text{SARIMA}(2,1,1)(7,1,14)_7

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,0,2)_7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7$

Cevap

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7

Verilen denklem standart

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

modelinin kapalı formunu temsil etmektedir. Eşitliğin sol tarafındaki

(1 - 0.45B - 0.25B^2)

ifadesi mevsimsel olmayan AR polinomudur ve en yüksek derecesi 2 olduğu için

p=2

'dir.

(1 - 0.80B^7)

ifadesi mevsimsel AR polinomudur ve

B^7

'nin 1. kuvveti yer aldığı için

P=1

'dir.

(1 - B)

terimi serinin mevsimsel olmayan birinci dereceden farkını (

d=1

),

(1 - B^7)

ise mevsimsel birinci dereceden farkını (

D=1

) göstermektedir. Eşitliğin sağ tarafındaki

(1 - 0.60B)

ifadesi mevsimsel olmayan MA polinomudur ve derecesi 1'dir (

q=1

). Son olarak

(1 - 0.30B^7 + 0.15B^{14})

ifadesi mevsimsel MA polinomudur,

B^7

'nin karesi olan

B^{14}

denklemde yer aldığı için mevsimsel MA derecesi 2'dir (

Q=2

). Serinin haftalık döngüselliği nedeniyle mevsimsellik periyodu

s=7

'dir. Tüm bileşenler

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

notasyonuyla birleştirildiğinde model

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7

olarak ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel olmayan AR ve fark alma bileşenlerini belirleme

(1 - 0.45B - 0.25B^2)

teriminden

p=2

,

(1 - B)

teriminden

d=1

bulunur.

Mevsimsel olmayan otoregresif polinomun derecesi

p

'yi, mevsimsel olmayan fark alma işleminin derecesi ise

d

'yi ifade eder.

2

Eşitliğin sol tarafındaki mevsimsel AR ve fark alma bileşenlerini belirleme

(1 - 0.80B^7)

teriminden

P=1

,

(1 - B^7)

teriminden

D=1

bulunur.

Mevsimsel otoregresif polinomun

B^s

(

s=7

) cinsinden derecesi

P

'yi, mevsimsel fark alma işleminin derecesi ise

D

'yi verir.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki hareketli ortalama (MA) bileşenlerini belirleme

(1 - 0.60B)

teriminden

q=1

,

(1 - 0.30B^7 + 0.15B^{14})

teriminden

Q=2

bulunur.

Mevsimsel olmayan MA polinomunun derecesi

q

'yu, mevsimsel MA polinomunun

B^s

cinsinden derecesi (ikinci kuvvet olan

B^{14}

yer aldığı için)

Q

'yu ifade eder.

4

Tüm parametreleri

\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s

standart formatında birleştirme

Haftalık veri olduğu için

s=7

'dir. Sonuç olarak model

\text{SARIMA}(2,1,1)(1,1,2)_7

şeklinde elde edilir.

Box-Jenkins yaklaşımında denklemin kapalı formu çözümlendikten sonra parametrelerin belirli bir sırada (AR, Fark, MA) yazılması standarttır.

Anahtar Kavram

Mevsimsel Zaman Serisi Modelleri (SARIMA) Denklem Gösterimi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 59Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, bölgesel su tüketim endeksini analiz etmek amacıyla aşağıdaki zaman serisi modelini tahmin etmiştir:

Y_t = 0.6 Y_{t-1} + 0.2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı bağımsız hata terimlerini (beyaz gürültü) temsil etmektedir.

Buna göre, tahmin edilen bu modelin durağanlık durumu ve teorik otokorelasyon (ACF) ile kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının davranışları hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Model durağandır; otokorelasyon fonksiyonu (ACF) sönümlenirken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olur.

Model durağandır; otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra sıfır olurken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) sönümlenir.

Katsayılar toplamı sıfırdan büyük olduğu için model durağan değildir, durağanlığı sağlamak için serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.

Model durağandır; hem otokorelasyon (ACF) hem de kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonları kesilme göstermez, yavaşça sönümlenerek sıfıra yaklaşır.

Katsayıların tümü pozitif olduğu için seride deterministik bir trend bileşeni bulunur, bu nedenle ACF grafiği periyodik dalgalanmalar gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model durağandır; otokorelasyon fonksiyonu (ACF) sönümlenirken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olur.

Cevap

Modelin durağanlık koşullarını sağladığı tespit edilir; teorik olarak AR(2) sürecinde ACF eksponansiyel olarak sönümlenirken PACF 2. gecikmeden sonra kesilerek sıfır olur.

Verilen model bir AR(2) modelidir. Durağanlık koşulları olan

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

eşitsizliklerinin üçü de (0.8 < 1, -0.4 < 1, 0.2 < 1) sağlandığı için model durağandır. Teorik zaman serisi analizinde, durağan otoregresif AR(p) modellerinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) asimptotik olarak sönümlenirken, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) modelin gecikme derecesi olan 'p' den sonra istatistiksel olarak anlamsızlaşır (sıfır olur). Model AR(2) olduğundan PACF 2. gecikmede kesilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tahmin edilen modelin derecesini ve türünü belirle.

Model, sadece Y'nin geçmiş değerlerine bağlı olduğu için ikinci dereceden otoregresif bir modeldir: AR(2). Katsayılar:

\phi_1 = 0.6

ve

\phi_2 = 0.2

.

Zaman serisi özelliklerini analiz etmek için öncelikle sürecin doğasını doğru tanımlamak gerekir.

2

AR(2) süreci için durağanlık koşullarını test et.

Koşullar:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

. Değerler yerine konduğunda:

0.6 + 0.2 = 0.8 < 1

,

0.2 - 0.6 = -0.4 < 1

ve

0.2 < 1

. Tüm koşullar sağlandığı için süreç durağandır.

Durağanlık, bir zaman serisinin analizi ve öngörüsü için temel varsayımdır; ACF ve PACF yorumları durağan seriler üzerinden yapılır.

3

AR(p) süreçleri için teorik otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) davranışlarını belirle.

AR(p) süreçlerinde otokorelasyon fonksiyonu (ACF) sıfıra doğru eksponansiyel veya dalgalı bir şekilde sönümlenir (tails off). Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ise 'p' inci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşit olur (cuts off). Model AR(2) olduğundan PACF, 2. gecikmeden sonra sıfır olur.

Model belirleme (Box-Jenkins) aşamasında, ACF ve PACF grafiklerinin teorik kesilme ve sönümlenme noktaları yol göstericidir.

Anahtar Kavram

AR(p) Modellerinde Durağanlık Koşulları ve ACF/PACF Davranışları

Soru 60Soru →

Bir e-ticaret platformunun müşteri hizmetleri merkezine ulaşan günlük iade talebi sayıları, basit üstel düzeltme (exponential smoothing) yöntemi kullanılarak tahmin edilmektedir. İlk üç güne ait gerçekleşen iade talepleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gün ( $t$ )	Gerçekleşen Talep ( $Y_t$ )
1	50
2	75
3	85

Sisteme kaydedilen verilere göre, 2. gün için yapılan başlangıç tahmini ( $F_2$ ) $50$ olarak alınmıştır.

Bu veriler kullanılarak 4. gün için yapılan iade talebi tahmini ( $F_4$ ) $70$ olarak hesaplandığına göre, tahmin modelinde kullanılan düzeltme katsayısı ( $\alpha$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0.25

0.40

0.50

0.60

0.80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.40

Cevap

Doğru katsayı 0.40'tır.

4. günün tahmin değerine (

F_4 = 70

) ulaşabilmek için formülü 3. ve 4. gün için adım adım uygulamak gerekir. Önce

F_3 = 50 + 25\alpha

bulunur. Ardından

F_4 = \alpha Y_3 + (1-\alpha)F_3

formülünde yerine konulduğunda

50 + 60\alpha - 25\alpha^2 = 70

ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 2 ve 0.40'tır. Katsayı

0 < \alpha < 1

sınırları içinde olması gerektiğinden doğru değer 0.40'tır.

Adım Adım Çözüm

1

Basit üstel düzeltme genel tahmin formülünü (

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1-\alpha) F_t

) hatırlamak.

Gelecek dönem tahmini için formül altyapısı kurulur.

Zaman serisi tahminlerinde güncel gözlem ile güncel tahminin ağırlıklı ortalaması alınarak iteratif bir yol izlenir.

2

3. gün için tahmin değerini (

F_3

) bilinmeyen

\alpha

cinsinden elde etmek.

F_3 = \alpha(75) + (1-\alpha)(50) = 50 + 25\alpha

denklemi bulunur.

4. günün tahminine ulaşmak için ardışık olarak bir önceki günün (3. gün) tahmininin hesaplanması zorunludur.

3

4. gün için tahmin değerini (

F_4

) formülize etmek ve verilen 70 sonucuna eşitlemek.

F_4 = \alpha(85) + (1-\alpha)(50 + 25\alpha) = 70

eşitliği kurulur.

Soruda 4. gün tahmini 70 olarak verildiği için, iteratif denklemi bu değere eşitleyerek

\alpha

katsayısını veren ana denkleme ulaşılır.

4

Elde edilen

50 + 60\alpha - 25\alpha^2 = 70

denklemini düzenleyip köklerini bulmak.

25\alpha^2 - 60\alpha + 20 = 0 \implies 5\alpha^2 - 12\alpha + 4 = 0

. Denklemin kökleri

\alpha = 2

ve

\alpha = 0.40

olarak hesaplanır.

Matematiksel çözümü tamamlayarak olası katsayı değerlerini tespit etmemiz gerekir.

5

Düzeltme katsayısının teorik sınırlarına (

0 < \alpha < 1

) uygun olan kökü seçmek.

\alpha = 2

değeri sınırlar dışında kaldığından, geçerli düzeltme katsayısı

\alpha = 0.40

olarak belirlenir.

Üstel düzeltme katsayısı

\alpha

daima 0 ile 1 arasında bir olasılık / ağırlık değeri almak zorundadır.

Anahtar Kavram

Basit Üstel Düzeltme Yöntemi ile İteratif Parametre Hesaplama

Tahmini Süre:2m 30s

Zaman Serileri Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm