Tüm alıştırma soruları

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - (a-1)x^2 + 4x + 5

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktası olmadığına göre, $a$ gerçel sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

0

3

5

6

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 5'tir.

Doğru seçenekte belirtilen değer, fonksiyonun türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olmasını sağlayan diskriminant koşulunun doğru çözülmesi ve elde edilen

[-1, 3]

aralığındaki tam sayıların toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = x^2 - 2(a-1)x + 4

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının varlığı ve karakteri, türevinin işaret değiştirdiği noktalar incelenerek belirlenir.

2

Yerel ekstremum noktasının olmaması için gereken şartı belirleyin.

f'(x)

ifadesinin işaret değiştirmemesi gerekir. Başkatsayısı pozitif olan bu ikinci dereceden ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminant

\Delta \leq 0

olmalıdır.

Eğer türev fonksiyonu işaret değiştirirse, işaret değiştirdiği noktalarda yerel maksimum veya yerel minimum noktaları oluşur. İşaret değiştirmemesi için reel kökünün olmaması veya yalnızca çift katlı kökünün olması gerekir.

3

Diskriminant eşitsizliğini kurun ve çözün.

\Delta = [-2(a-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \leq 0 \implies 4(a-1)^2 - 16 \leq 0 \implies (a-1)^2 \leq 4 \implies -2 \leq a-1 \leq 2 \implies -1 \leq a \leq 3

Diskriminant formülü

\Delta = b^2 - 4ac

kullanılarak parametreye bağlı eşitsizlik elde edilir ve çözülür.

4

Parametrenin alabileceği tam sayı değerlerini belirleyip toplayın.

Alınabilecek tam sayı değerleri

-1, 0, 1, 2, 3

olup, toplamları

-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5

olur.

Bulunan

[-1, 3]

aralığındaki tam sayılar tespit edilerek toplamları hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin işaret değiştirmediği noktalarda yerel ekstremum noktası bulunmaz. İkinci dereceden bir fonksiyonun daima aynı işaretli kalması için diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit olması gerekir.

Soru 2242Soru →

Her

x > 1

gerçel sayısı için pozitif değerli ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları

f(x) \cdot g(x) = x^3 + 4

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x+1}{x-1}

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

-5

1

2

\frac{5}{2}

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

Aranan türev değeri

1

olarak bulunur.

Verilen fonksiyonların çarpım ve bölüm ilişkilerinden hareketle, çarpım ve bölüm türevi kuralları uygulanarak

x=2

noktasındaki türev değerleri için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur. Bu sistem çözüldüğünde türev değeri

1

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x = 2

noktasındaki

f(2)

ve

g(2)

değerlerini bulmak için verilen eşitlikleri kullanırız.

f(2) \cdot g(2) = 2^3 + 4 = 12

ve

\frac{f(2)}{g(2)} = \frac{2+1}{2-1} = 3

elde edilir. Buradan

f(2) = 3g(2)

yazılabilir. Çarpım eşitliğinde yerine yazıldığında

3[g(2)]^2 = 12 \implies [g(2)]^2 = 4

olur. Fonksiyonlar pozitif değerli olduğundan

g(2) = 2

ve

f(2) = 6

bulunur.

Türev kurallarını uyguladıktan sonra fonksiyonların o noktadaki değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır.

2

Çarpım eşitliğinin her iki tarafının türevini alırız.

(f(x) \cdot g(x))' = (x^3 + 4)' \implies f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2

olur.

x = 2

için

f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 12 \implies 2f'(2) + 6g'(2) = 12 \implies f'(2) + 3g'(2) = 6

denklemi elde edilir.

f'(2)

ve

g'(2)

değerleri arasında birinci bağıntıyı kurmak için.

3

Bölüm eşitliğinin her iki tarafının türevini alırız.

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)' \implies \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{1(x-1) - (x+1)1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}

olur.

x = 2

için

\frac{2f'(2) - 6g'(2)}{4} = -2 \implies f'(2) - 3g'(2) = -4

denklemi elde edilir.

f'(2)

ve

g'(2)

değerleri arasında ikinci bağıntıyı kurmak için.

4

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözeriz.

f'(2) + 3g'(2) = 6

ve

f'(2) - 3g'(2) = -4

denklemleri taraf tarafa toplandığında

2f'(2) = 2 \implies f'(2) = 1

bulunur.

f'(2)

değerini yalnız bırakıp sonucu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm kuralları kullanılarak türev alma ve türev değerlerini içeren denklem sistemlerini çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2243Soru →

Alt kısmı dikdörtgen, üst kısmı ise bu dikdörtgenin bir kenarını çap kabul eden yarım daire biçiminde tasarlanan bir pencerenin dış çevre uzunluğu $12$ metredir. Pencereden içeri giren ışık miktarının maksimum olması için pencerenin toplam alanının en büyük olması gerekmektedir. Buna göre, pencerenin alanını maksimum yapan yarım dairenin yarıçapı kaç metredir?

\frac{12}{8+\pi}

\frac{12}{4+\pi}

\frac{24}{4+\pi}

\frac{6}{2+\pi}

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{12}{4+\pi}$

Cevap

Pencerenin alanını maksimum yapan yarım dairenin yarıçapı \frac{12}{4+\pi} metredir.

Pencerenin alanını veren fonksiyon

A(r) = 12r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2

olarak kurulduğunda, bu fonksiyonun türevi

A'(r) = 12 - (4+\pi)r

olur. Türevi sıfıra eşitleyen yarıçap değeri ise doğrudan bölme işlemiyle bulunarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Pencerenin boyutlarını değişkenler cinsinden tanımlayalım.

Yarım dairenin yarıçapı

r

metre olsun. Bu durumda dairenin çapı ve dolayısıyla dikdörtgenin yatay kenar uzunluğu

2r

metre olur. Dikdörtgenin dikey kenar uzunluğunu ise

h

metre olarak belirleyelim.

Pencerenin dış çevre ve alan formüllerini tek bir değişken cinsinden ifade edebilmek için temel boyutları tanımlamamız gerekir.

2

Dış çevre uzunluğunu veren denklemi kuralım ve

h

değişkenini

r

cinsinden yazalım.

Pencerenin dış çevre uzunluğu, dikdörtgenin alt ve iki yan kenarı ile yarım dairenin yay uzunluğunun toplamıdır:

P = 2r + 2h + \pi r = 12

olur. Buradan

2h = 12 - (2+\pi)r \implies h = 6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r

elde edilir.

Çevre sınırlamasını kullanarak iki değişkenli alan fonksiyonunu tek değişkene indirgemek amacıyla

h

değerini

r

cinsinden ifade etmeliyiz.

3

Pencerenin toplam alan fonksiyonunu

r

cinsinden oluşturalım.

Toplam alan

A(r) = \text{Dikdörtgenin Alanı} + \text{Yarım Dairenin Alanı} = 2r \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2

olur.

h

yerine bulduğumuz ifadeyi yazarsak:

A(r) = 2r\left(6 - \left(1 + \frac{\pi}{2}\right)r\right) + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2 = 12r - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2

elde edilir.

Maksimum yapmak istediğimiz alan ifadesini tek bir değişken (

r

) cinsinden fonksiyon olarak tanımlamalıyız.

4

Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek maksimum alanı veren

r

değerini bulalım.

A'(r) = 12 - 2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r = 12 - (4+\pi)r = 0 \implies (4+\pi)r = 12 \implies r = \frac{12}{4+\pi}

bulunur.

Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum) noktasını bulmak için birinci türevinin kökünü hesaplamamız gerekir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü, geometrik şekillerin çevre ve alan ilişkilerinin modellenmesi.

Soru 2244Soru →

Aşağıda verilen sayma durumlar��nı, bu durumların gerçekleşebileceği farklı yolların sayılarını veren matematiksel ifadelerle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci durum toplama yoluyla sayma kuralı gereği

4 + 5 = 9

ifadesiyle, ikinci durum çarpma yoluyla sayma kuralı gereği

4 \times 5 = 20

ifadesiyle, üçüncü durum ise yine çarpma yoluyla sayma kuralı gereği

4 \times 5 \times 2 = 40

ifadesiyle eşleşir.

Doğru eşleştirmede; tek bir nesne seçilen ayrık durumlarda toplama yoluyla sayma, birden fazla nesnenin birlikte seçildiği bağımlı durumlarda ise çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Yalnız bir kitap seçimi için uygun sayma yöntemini belirleyin.

Seçim ya matematik ya da fizik kitabından yapılacağından ve bu olaylar ayrık olduğundan toplama yoluyla sayma yapılır:

4 + 5 = 9

.

Ayrık iki olaydan birinin veya diğerinin gerçekleşme sayısı toplanarak bulunur.

2

Bir matematik ve bir fizik kitabının birlikte seçimi için uygun sayma yöntemini belirleyin.

İki seçim birlikte ve art arda yapıldığından çarpma yoluyla sayma yapılır:

4 \times 5 = 20

.

Birbirine bağlı veya art arda gerçekleşen olayların toplam seçim sayısı çarpılarak bulunur.

3

Üç farklı yemek grubundan birer tane seçimi için uygun sayma yöntemini belirleyin.

Meze, ana yemek ve tatlı seçimleri art arda yapılan bağımlı olaylar olduğundan çarpma yoluyla sayma yapılır:

4 \times 5 \times 2 = 40

.

Çarpma kuralı ikiden fazla bağımlı olay için de geçerlidir ve seçenek sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Toplama ve çarpma yoluyla sayma prensiplerinin farkını anlamak ve uygun duruma göre uygulamak.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2245Soru →

Analitik düzlemde, $f(x) = x^2 - 4x$ ve $g(x) = 2x - x^2$ fonksiyonlarının grafikleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{20}{3}

\frac{13}{3}

9

\frac{7}{3}

\frac{41}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9

İki parabolün kesim noktaları

x=0

ve

x=3

olarak bulunur. Bu aralıkta

g(x) = 2x-x^2

parabolü üstte yer aldığından alan

\int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx = 9

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Eğrilerin kesim noktalarını belirlemek amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleyin.

x^2 - 4x = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0

denkleminden kesim noktalarının apsisleri

x = 0

ve

x = 3

olarak bulunur.

İki eğri arasında sınırlanan bölgenin x eksenindeki sınırlarını tespit etmek için kesim noktaları hesaplanmalıdır.

2

Bulunan

[0, 3]

aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu test edin.

x = 1

için

g(1) = 1

ve

f(1) = -3

olduğundan,

[0, 3]

aralığında

g(x) \ge f(x)

'dir.

Alan hesabında pozitif bir değer elde etmek için üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulmalıdır.

3

Eğriler arasında kalan alanı veren belirli integrali yazın.

A = \int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_0^3 (2x - x^2 - (x^2 - 4x)) \, dx = \int_0^3 (6x - 2x^2) \, dx

İki eğri arasındaki alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen farkın belirli integrali ile hesaplanır.

4

Belirli integrali hesaplayarak alan değerini bulun.

\int_0^3 (6x - 2x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^3 = \left( 3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3 \right) - 0 = (27 - 18) - 0 = 9

birimkare.

Newton-Leibniz kuralı gereğince ilkel fonksiyon bulunup sınırlar yerine yazılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral kullanılarak hesaplanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2246Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2$ parabolü ile $g(x) = 2x$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{4}{3}

\frac{5}{3}

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{3}$

Cevap

Sınırlandırılmış bölgenin alanı 4/3 birimkaredir.

Kesişim noktaları olan

x=0

ve

x=2

sınırları arasında, üstte yer alan

y=2x

doğrusu ile altta yer alan

y=x^2

parabolünün farkının integrali alındığında bölgenin alanı 4/3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için fonksiyonları birbirine eşitleyin.

x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0

İki eğri arasında kalan alanın sınırlarını (entegrasyon limitlerini) belirlemek amacıyla kesişim noktalarının apsisleri hesaplanır.

2

Kesişim noktalarını bulun.

x_1 = 0

ve

x_2 = 2

Elde edilen denklemin kökleri entegrasyonun alt ve üst sınırlarını oluşturur.

3

Belirlenen aralıkta hangi fonksiyonun üstte olduğunu tespit edin ve alanı veren belirli integrali yazın.

[0, 2]

aralığında

2x \geq x^2

olduğundan, Alan =

\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx

İki eğri arasındaki alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak entegre edilir.

4

Belirli integrali hesaplayarak alanı bulun.

S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

İntegral alma kuralları uygulanarak alanın sayısal değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktalarının belirlediği aralıkta üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen belirli integral ile hesaplanır.

Soru 2247Soru →

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin^3 x}{\cos^2 x}

limitinin değeri kaçtır?

-\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

1

\frac{3}{2}

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{2}$

Cevap

\frac{3}{2}

Verilen limit işleminde

x = \frac{\pi}{2}

yazıldığında

\frac{0}{0}

belirsizliği oluşur. Paydadaki

\cos^2 x

terimi

1 - \sin^2 x

şeklinde yazılıp iki kare farkı olarak, paydaki

1 - \sin^3 x

terimi ise iki küp farkı özdeşliği kullanılarak çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak

(1 - \sin x)

çarpanları sadeleştirildikten sonra belirsizlik ortadan kalkar ve kalan ifadede değişken yerine yazıldığında doğru limit değeri olan

\frac{3}{2}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Limit noktası olan

x = \frac{\pi}{2}

değeri ifadede yerine yazılarak belirsizlik durumu kontrol edilir.

x \to \frac{\pi}{2}

için

\sin x \to 1

ve

\cos x \to 0

olur. Dolayısıyla pay

1 - 1^3 = 0

ve payda

0^2 = 0

olup

\frac{0}{0}

belirsizliği mevcuttur.

Limit hesaplamasında ilk adım olarak belirsizliğin türünü tespit etmek gerekir.

2

Paydadaki

\cos^2 x

ifadesi yerine

\sin x

cinsinden eşiti olan

1 - \sin^2 x

yazılır, ardından pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılır.

Paydadaki ifade

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)

ve paydaki ifade

1 - \sin^3 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x + \sin^2 x)

şeklinde yazılır.

Belirsizliği yaratan ortak çarpanı (

1 - \sin x

) sadeleştirebilmek amacıyla çarpanlara ayırma yapılır.

3

Ortak olan

1 - \sin x

çarpanları sadeleştirilir ve geriye kalan ifadenin limit değeri hesaplanır.

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x + \sin^2 x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x + \sin^2 x}{1 + \sin x} = \frac{1 + 1 + 1^2}{1 + 1} = \frac{3}{2}

bulunur.

Sadeleşme sonrasında belirsizlik ortadan kalktığı için doğrudan yerine koyma yöntemi uygulanabilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren trigonometrik limitlerde, temel trigonometrik özdeşlikler kullanılarak tüm ifadeler aynı değişkene çevrilir ve cebirsel çarpanlara ayırma yöntemleriyle belirsizliğe yol açan ortak çarpanlar sadeleştirilir.

Soru 2248Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'

olmak üzere, her

x \neq 1

gerçel sayısı için

f'(x) = \frac{3x^3 - 3x^2 + 2x - 2}{x - 1}

eşitliği verilmiştir.

f(2) = 10

olduğuna göre,

f(1)

değeri kaçtır?

1

3

5

0

-1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1

Verilen rasyonel türev ifadesi sadeleştirildiğinde

f'(x) = 3x^2 + 2

elde edilir. Bu ifadenin integrali alındığında

f(x) = x^3 + 2x + C

olur.

f(2) = 10

sınır koşulu kullanılarak

C = -2

bulunur. Dolayısıyla

f(x) = x^3 + 2x - 2

fonksiyonunda

x=1

yazıldığında sonuç 1 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Türev ifadesini sadeleştirme

f'(x) = 3x^2 + 2

(

x \neq 1

için)

Rasyonel ifadenin payını

3x^2(x - 1) + 2(x - 1)

şeklinde gruplandırarak paydadaki

x - 1

terimi ile sadeleştiririz.

2

Belirsiz integral alarak f(x) fonksiyonunu bulma

f(x) = x^3 + 2x + C

Polinom fonksiyonların integral alma kuralı (

x^n

için

\frac{x^{n+1}}{n+1}

) uygulanır ve belirsiz integral sabiti olan

C

eklenir.

3

Sınır koşulunu kullanarak C integral sabitini hesaplama

C = -2

f(2) = 10

bilgisi fonksiyonda yerine yazılır:

2^3 + 2(2) + C = 10 \implies 12 + C = 10

eşitliğinden

C = -2

elde edilir.

4

f(1) değerini hesaplama

f(1) = 1

Bulunan

f(x) = x^3 + 2x - 2

fonksiyonunda

x = 1

yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral kuralları ve başlangıç değer koşulu yardımıyla kendisinin bulunması

Soru 2249Soru →

\mathbb{R} \setminus \{3\}

kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi her

x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}

için

f'(x) = \frac{(x-1)^2(x-5)}{x-3}

olarak verilmiştir.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

9

8

5

6

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5'tir.

Türev fonksiyonunun işaret tablosu incelendiğinde,

x = 5

noktasında türevin işareti negatiften pozitife dönmektedir ve fonksiyon bu noktada tanımlıdır. Bu nedenle

x = 5

noktası yerel minimum (yerel ekstremum) noktasıdır. Diğer taraftan,

x = 1

noktasında türev çift katlı köke sahip olduğundan işaret değiştirmemiştir;

x = 3

noktasında ise fonksiyon tanımlı değildir. Dolayısıyla, tek yerel ekstremum noktasının apsisi 5'tir ve apsisler toplamı da 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1

Türevin kritik noktalarını belirlemek için payı ve paydayı sıfır yapan noktaları bulalım.

Payın kökleri:

(x-1)^2 = 0 \implies x = 1

(çift katlı kök) ve

x-5 = 0 \implies x = 5

(tek katlı kök). Paydanın kökü:

x-3 = 0 \implies x = 3

(tek katlı kök, tanımsızlık noktası).

Yerel ekstremum noktaları türevin işaret değiştirdiği noktalarda oluşur; bu noktaları belirlemek için işaret tablosu oluşturulmalıdır.

2

Bulunan kritik noktalara göre türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturalım.

x < 1

için

f'(x) > 0

(fonksiyon artan),

1 < x < 3

için

f'(x) > 0

(fonksiyon artan),

3 < x < 5

için

f'(x) < 0

(fonksiyon azalan),

x > 5

için

f'(x) > 0

(fonksiyon artan).

İşaret tablosu yardımıyla türevin hangi noktalarda işaret değiştirdiğini belirleyebiliriz.

3

Türevin işaret değiştirdiği noktaları ve bu noktaların tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edelim.

x = 1

noktasında türev işaret değiştirmemiştir (

+

iken

+

kalmıştır), dolayısıyla bu nokta yerel ekstremum değildir.

x = 3

noktasında türev işaret değiştirmiştir ancak fonksiyon bu noktada tanımlı değildir (

3 \notin \mathbb{R} \setminus \{3\}

), bu yüzden bu nokta da yerel ekstremum olamaz.

x = 5

noktasında türev

-

işaretinden

+

işaretine geçerek işaret değiştirmiştir ve fonksiyon bu noktada tanımlıdır. Dolayısıyla

x = 5

noktası fonksiyonun yerel minimum (yerel ekstremum) noktasıdır.

Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için o noktada fonksiyonun tanımlı olması ve türevinin işaret değiştirmesi şarttır.

4

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamını bulalım.

Tek yerel ekstremum noktasının apsisi

x = 5

olduğundan, apsisler toplamı

5

olur.

Soruda istenen toplam değerini elde etmek için bulduğumuz apsis değerlerini toplarız.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Türevin çift katlı köklerinde veya fonksiyonun tanımsız olduğu noktalarda yerel ekstremum noktası bulunmaz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2250Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun yerel minimum noktası $(2, -5)$ 'tir.

f(x) = \int \frac{x^6 - 64}{x^4 + 4x^2 + 16} \, dx

olduğuna göre, $f(-1)$ değeri kaçtır?

\frac{11}{3}

-\frac{20}{3}

4

0

-2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İntegral sadeleştirilip hesaplandığında elde edilen fonksiyonun yerel minimum noktası yardımıyla integral sabiti

C = 1/3

bulunur. Bu durumda

f(-1)

değeri

4

olmalıdır.

İntegral içerisindeki ifade iki küp farkı özdeşliği ile sadeleştirildiğinde

f'(x) = x^2 - 4

olur. Buradan integral alındığında

f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + C

elde edilir. Türevin işaret tablosuna göre yerel minimum noktası

x=2

apsisinde gerçekleşir.

(2, -5)

noktası fonksiyon denkleminde yerine yazıldığında

C = 1/3

bulunur. Bu fonksiyon denkleminde

x = -1

yazıldığında sonuç

4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İntegral içindeki rasyonel ifadenin pay kısmını iki küp farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırma

x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16)

olarak yazılır.

Payda ile sadeleşme sağlayarak integrali daha basit bir polinom haline getirmek amaçlanır.

2

Rasyonel ifadeyi sadeleştirme ve integral alma işlemini gerçekleştirme

f(x) = \int \frac{(x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16)}{x^4 + 4x^2 + 16} \, dx = \int (x^2 - 4) \, dx = \frac{x^3}{3} - 4x + C

elde edilir.

Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel kuralı integral sabiti

C

ile birlikte bulunur.

3

Fonksiyonun türevi yardımıyla yerel minimum noktasının apsisini belirleme

f'(x) = x^2 - 4 = 0 \implies x = 2

veya

x = -2

. İşaret tablosuna göre türev

x = 2

noktasında negatiften pozitife geçtiği için bu nokta yerel minimum apsisidir.

Soruda verilen yerel minimum noktasının hangi

x

değerine karşılık geldiğini tespit etmek gerekir.

4

Yerel minimum noktasının koordinatlar��nı fonksiyonda yerine yazarak

C

sabitini hesaplama

f(2) = -5 \implies \frac{2^3}{3} - 4(2) + C = -5 \implies \frac{8}{3} - 8 + C = -5 \implies C = \frac{1}{3}

bulunur.

Fonksiyon grafiği üzerindeki bir nokta, fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.

5

f(-1)

değerini hesaplama

f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 4(-1) + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} + 4 + \frac{1}{3} = 4

bulunur.

Elde edilen tam fonksiyon denkleminde istenen girdi yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki küp farkı yardımıyla rasyonel ifadeleri sadeleştirerek belirsiz integral alma ve türevin yerel ekstremum özelliklerini kullanarak integral sabitini bulma.

Soru 2251Soru →

Doğrusal bir kıyı şeridine sahip bir denizde, kıyıdan $4\text{ km}$ açıkta bulunan bir $A$ noktasındaki yüzücü, kıyı üzerinde yer alan ve kendisine en yakın kıyı noktasına $12\text{ km}$ uzaklıktaki bir $B$ noktasına ulaşmak istemektedir. Yüzücünün sudaki hızı saatte $3\text{ km}$ , kıyıdaki yürüyüş hızı ise saatte $5\text{ km}$ 'dir. Buna göre, yüzücünün $B$ noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe kaç $\text{km}$ olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Yüzücünün kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe 9 km'dir.

Yüzücünün A noktasından C noktasına yüzme süresi ile C noktasından B noktasına yürüme süresinin toplamını veren fonksiyon

T(x) = \frac{\sqrt{x^2+16}}{3} + \frac{12-x}{5}

şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde

x = 3

elde edilir. Yüzücünün karada yürümesi gereken mesafe ise

12 - x = 9

km olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Yüzücünün kıyıya ulaştığı noktan��n en yakın kıyı noktasına olan uzaklığını

x

olarak değişken tanımlayarak yolların uzunluklarını ifade etmek.

Denizde kat edilen mesafe

AC = \sqrt{x^2 + 16}

km, karada kat edilen mesafe

CB = 12 - x

km'dir.

Yüzücünün toplam süresini tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazabilmek için.

2

Zaman = Yol / Hız formülünü kullanarak toplam süreyi veren

T(x)

fonksiyonunu oluşturmak.

T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{3} + \frac{12 - x}{5}

saat.

Minimize etmek istediğimiz toplam süreyi matematiksel olarak modellemek.

3

Oluşturulan

T(x)

fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulmak.

T'(x) = \frac{x}{3\sqrt{x^2+16}} - \frac{1}{5} = 0 \implies 5x = 3\sqrt{x^2+16} \implies x = 3

km.

Fonksiyonun yerel minimum noktasını türev yardımıyla tespit etmek.

4

Bulunan

x = 3

değerini kullanarak yüzücünün karada yürümesi gereken mesafeyi (

12 - x

) hesaplamak.

12 - 3 = 9

km.

Soruda bizden yüzücünün kıyıya çıktığı noktadan itibaren karada yürümesi gereken mesafe istendiği için.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum (optimizasyon) problemlerinin çözümü

Soru 2252Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2

eğrisinin

A(1, f(1))

noktasındaki teğet doğrusu,

g(x) = -x^2 + bx - 5

parabolüne

B

noktasında teğettir.

Buna göre, $b > 0$ olmak üzere, $A$ ve $B$ noktaları arasındaki uzaklığın karesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

A(1, 1) ve B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi 5'tir.

f(x) eğrisine x = 1 noktasında teğet olan doğru y = 2x - 1 doğrusudur. Bu doğrunun g(x) = -x^2 + bx - 5 parabolüne teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen b = 6 (b > 0 şartıyla) değeri için teğet noktası B(2, 3) olarak bulunur. A(1, 1) ile B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi ise 5 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

A noktasının koordinatlarının belirlenmesi

A(1, 1)

Teğet doğrusunun değme noktasının y-koordinatını bulmak için f(1) hesaplanır.

2

Teğet doğrusunun eğiminin bulunması

m = 2

Fonksiyonun x = 1 noktasındaki birinci türevi, o noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.

3

Teğet doğrusunun denkleminin kurulması

y = 2x - 1

Eğimi 2 olan ve A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi yazılır.

4

g(x) parabolü ile doğrunun teğetlik durumunun incelenmesi

b = 6

Doğru ile parabolün ortak çözüm denkleminin çift katlı kökü olmalıdır, bu yüzden diskriminant sıfıra eşitlenir. Pozitif b değeri seçilir.

5

Teğet noktası B'nin koordinatlarının bulunması

B(2, 3)

Ortak çözüm denkleminin kökü olan x = 2 değeri teğet doğrusunda yerine yazılarak y-koordinatı belirlenir.

6

Noktalar arasındaki uzaklığın karesinin hesaplanması

5

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak |AB|^2 değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ise ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.

Alternatif Yöntem

Teğet noktası B(x₀, y₀) noktasındaki türev yardımıyla da çözülebilir. g'(x) = -2x + b olup B noktasındaki teğet eğimi 2 olmalıdır. Buradan -2x₀ + b = 2 ve b = 2x₀ + 2 yazılır. B noktası hem parabolün hem de y = 2x - 1 doğrusunun üzerinde olduğundan, -x₀² + (2x₀ + 2)x₀ - 5 = 2x₀ - 1 denklemi elde edilir. Düzenlendiğinde x₀² = 4 bulunur. b > 0 olması için b = 2x₀ + 2 ifadesinden x₀ = 2 olmalıdır. Buradan B(2, 3) noktasına doğrudan ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2253Soru →

Diferansiyellenebilir bir $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu için $f(1) = 0$ ve $f(2) = \sqrt{3}$ eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,

\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x) \cdot f'(\ln x)}{x \sqrt{1 + f^2(\ln x)}} \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1

\sqrt{2} - 1

2

2\sqrt{2} - 2

\sqrt{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İntegralin değeri 1'dir.

İntegral sırasıyla

u = \ln x

ve

t = 1 + f^2(u)

değişken değiştirmeleriyle çözülür. İlk adımda sınırlar

[1, 2]

aralığına, ikinci adımda ise

[1, 4]

aralığına güncellenir. Diferansiyel geçişinde oluşan yarım katsayısı ile integralin integrali olan

2\sqrt{t}

terimi çarpıldığında

\sqrt{t}

elde edilir. Sınırlar yerine yazıldığında doğru sonuç 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İlk değişken değiştirmeyi uygulayalım.

u = \ln x

dönüşümü yapılırsa

du = \frac{1}{x} dx

olur.

İntegral içindeki

\ln x

ifadesini sadeleştirmek ve diferansiyel terimini elde etmek için.

2

��lk dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.

Alt sınır için

x = e \implies u = \ln(e) = 1

ve üst sınır için

x = e^2 \implies u = \ln(e^2) = 2

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

3

İntegrali yeni değişken cinsinden yeniden yazalım.

İntegralimiz

\int_{1}^{2} \frac{f(u) \cdot f'(u)}{\sqrt{1 + f^2(u)}} \, du

şekline dönüşür.

Elde edilen tüm terimleri yerine koymak için.

4

İkinci değişken değiştirmeyi uygulayalım.

t = 1 + f^2(u)

dönüşümü yapılırsa, diferansiyel

dt = 2f(u)f'(u)du \implies f(u)f'(u)du = \frac{1}{2} dt

olur.

Kareköklü ifadeyi ve pay kısmını sadeleştirmek için.

5

İkinci dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.

Alt sınır için

u = 1 \implies t = 1 + f^2(1) = 1 + 0^2 = 1

ve üst sınır için

u = 2 \implies t = 1 + f^2(2) = 1 + (\sqrt{3})^2 = 4

olur.

Yeni değişken

t

için sınırları belirlemek amacıyla.

6

İntegrali

t

değişkenine göre hesaplayalım.

\int_{1}^{4} \frac{\frac{1}{2} dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \left[ \sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1

bulunur.

Belirli integralin değerini nihai olarak hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde ardışık değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının her adımda doğru şekilde güncellenmesi.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 2254Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $g$ fonksiyonunun grafiğine $x = 1$ noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi $y = 6x - 2$ olarak verilmiştir.

Buna göre,

f(x) = \frac{g(x^2)}{x+1}

fonksiyonu için

f'(1)

değeri kaçt��r?

2

-3

5

7

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Türev kuralının doğru uygulanmasıyla elde edilen sonuç 5 sayısıdır.

Verilen teğet doğrusu yardımıyla

g(1) = 4

ve

g'(1) = 6

değerleri bulunur. Bölümün türevi ve zincir kuralları doğru bir biçimde uygulanarak elde edilen türev fonksiyonunda

x = 1

yazıldığında pay kısmındaki değer

20

, payda kısmındaki değer ise

4

olur. Bu iki değerin oranı bize doğru cevap olan 5 sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusunun denkleminden fonksiyonun o noktadaki değerini ve türevini bulunuz.

g(1) = 4

ve

g'(1) = 6

Teğet noktasının koordinatları teğet doğrusunu sağlar, dolayısıyla

x=1

için

g(1) = 6(1) - 2 = 4

olur. Teğet doğrusunun eğimi o noktadaki türev değerine eşit olduğundan

g'(1) = 6

elde edilir.

2

f(x)

fonksiyonunun türevini almak için bölüm türevi ve zincir kuralını uygulayınız.

f'(x) = \frac{2x \cdot g'(x^2) \cdot (x+1) - g(x^2)}{(x+1)^2}

Bölümün türevi kuralına göre payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi uygulanır. Paydaki

g(x^2)

fonksiyonunun türevi alınırken zincir kuralı gereği içinin türevi olan

2x

çarpanı başa gelir.

3

Türev ifadesinde

x = 1

yazarak hesaplamayı tamamlayınız.

f'(1) = 5

f'(1) = \frac{2(1) \cdot g'(1) \cdot (1+1) - g(1)}{(1+1)^2} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 2 - 4}{4} = \frac{24 - 4}{4} = 5

bulunur.

Anahtar Kavram

Bölüm türevi kuralı, zincir kuralı ve teğet eğimi-türev ilişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2255Soru →

k

pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

[0, 2]

kapalı aralığında tanımlı

f(x) = k(4 - x^2)

fonksiyonunun

[0, 2]

aralığı, her birinin uzunluğu

1

birim olan

2

eş alt aralığa bölünüyor.

Bu bölüntüye göre elde edilen Riemann üst toplamı ile $f$ fonksiyonunun $[0, 2]$ aral��ğındaki belirli integralinin değeri arasındaki fark $5$ birimkaredir.

Buna göre, $k$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{5}{3}

\frac{15}{7}

3

5

\frac{15}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

3

Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak

Ü = 7k

olarak hesaplanır. Fonksiyonun

[0, 2]

aralığındaki belirli integralinin değeri ise

I = \frac{16}{3}k

bulunur. Bu iki değer arasındaki fark olan

\frac{5}{3}k

ifadesi

5

'e eşitlendiğinde

k = 3

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

[0, 2]

aralığını

2

eş alt aralığa bölüp Riemann üst toplamını (

Ü

) ifade edelim.

Alt aralık uzunluğu

\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1

birimdir. Alt aralıklar

[0, 1]

ve

[1, 2]

olur.

f(x) = k(4-x^2)

fonksiyonu

[0, 2]

aralığında azalan olduğundan, her bir aralıktaki maksimum değer sol uç noktalarda elde edilir. Buradan Riemann üst toplamı:

Ü = \Delta x \cdot (f(0) + f(1)) = 1 \cdot (4k + 3k) = 7k

olarak bulunur.

Azalan fonksiyonlarda Riemann üst toplamını bulmak için alt aralıkların sol uç noktalarındaki fonksiyon değerleri kullanılır.

2

f(x)

fonksiyonunun

[0, 2]

aralı��ındaki belirli integralini (

I

) hesaplayalım.

I = \int_{0}^{2} k(4 - x^2) dx = k \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = k \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3}k

bulunur.

Eğrinin altında kalan net alanın değerini bulmak için belirli integral hesabı yapılır.

3

Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki farkı

5

'e eşitleyerek

k

değerini çözelim.

Ü - I = 7k - \frac{16}{3}k = \frac{5}{3}k

\frac{5}{3}k = 5 \implies k = 3

elde edilir.

Soruda verilen fark ilişkisi kullanılarak bilinmeyen

k

parametresi bulunur.

Anahtar Kavram

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2256Soru →

Bir öğrencinin dolabında birbirinden farklı 3 pantolon, 4 tişört ve 2 ceket bulunmaktadır. Bu öğrenci; bir pantolon, bir tişört ve bir ceket seçerek bir kombin oluşturmak istemektedir.

Ö��renci, belirli bir yeşil tişört ile belirli bir siyah ceketi aynı kombinde bir arada kullanmamak şartıyla bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?

9

18

21

23

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Öğrenci, yeşil tişört ile siyah ceketi bir arada kullanmamak şartıyla bu kombini 21 farklı şekilde oluşturabilir.

Toplamda kısıtlamasız 24 farklı seçim yapılabilir. Ancak yeşil tişört ile siyah ceketin aynı anda seçildiği durumlar istenmemektedir. Bu iki giysi sabitlendiğinde kalan 3 pantolondan biri seçilebileceği için 3 adet istenmeyen durum oluşur. Tüm durumlardan bu 3 durum çıkarıldığında geriye 21 geçerli seçenek kalır.

Adım Adım Çözüm

1

Kısıtlamasız tüm kombinasyonların sayısını hesaplama

3 \times 4 \times 2 = 24

Çarpma yoluyla sayma kuralına göre; 3 farklı pantolon, 4 farklı tişört ve 2 farklı ceket arasından birer tane seçildiğinde toplam seçim sayısı her bir grubun eleman sayısının çarpımıdır.

2

Yeşil tişört ve siyah ceketin birlikte kullanıldığı istenmeyen durumların sayısını hesaplama

3 \times 1 \times 1 = 3

Yeşil tişört ve siyah ceket kesin olarak seçildiğinde (1'er seçenek), pantolon için hâlâ 3 farklı seçenek mevcuttur. Bu nedenle istenmeyen durum sayısı 3'tür.

3

Geçerli kombin sayısını bulma

24 - 3 = 21

Tüm olası durumların sayısından, kısıtlamayı ihlal eden istenmeyen durumların sayısı çıkarılarak istenen durumların sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Çarpma Yoluyla Sayma ve Koşullu Sayma Durumları

Soru 2257Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 5

eğrisine çizilen ve

y = 3x + 1

doğrusuna paralel olan teğet doğrularının

y

-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Teğet doğrularının y-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 32 birimdir.

Teğet doğrularının eğimi, paralel oldukları y = 3x + 1 doğrusunun eğimi olan 3'tür. f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 3 denklemi çözüldüğünde teğet noktalarının apsisleri x = 3 ve x = -1 bulunur. Bu noktalardaki ordinatlar f(3) = -13 ve f(-1) = 7 olur. Bu noktalardan çizilen y = 3x + n formundaki teğetlerin y-kesenleri sırasıyla n = -22 ve n = 10 olarak bulunur. Bu iki y-keseni arasındaki uzaklık |10 - (-22)| = 32 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1

Paralel doğrunun eğimini belirleme

Teğet doğrularının eğimi m = 3'tür.

Teğet doğruları y = 3x + 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimleri bu doğrunun eğimine eşittir.

2

Teğet noktalarının apsislerini bulma

Apsisler x = 3 ve x = -1 olarak bulunur.

Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. f'(x) = 3 denklemi çözülür.

3

Teğet noktalarının ordinatlarını hesaplama

Noktalar (3, -13) ve (-1, 7) olarak elde edilir.

Apsis değerleri f(x) fonksiyonunda yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.

4

Teğet doğrularının y-kesenlerini bulma

y-kesenleri -22 ve 10 olarak bulunur.

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemleri yazılır ve x = 0 için y değerleri belirlenir.

5

y-kesenleri arasındaki uzaklığı hesaplama

Uzaklık 32 birimdir.

İki y-keseni arasındaki mutlak fark hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

Soru 2258Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ ve $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ limitleri geçerlidir. Buna göre, $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ limitinin sonucunun her zaman bir gerçel sayıya eşit olduğu iddiası doğru mudur?

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen iddia yanlıştır. Sıfır bölü sıfır belirsizliği durumunda limit her zaman bir gerçel sayıya eşit olmak zorunda değildir, limit mevcut olmayabilir.

İddia yanlıştır çünkü sıfır bölü sıfır belirsizliğinde limitin varlığı garanti edilmez. Karşıt örnekte gösterildiği gibi, limit mevcut olmayabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Belirsizlik durumunun analiz edilmesi

\lim_{x \to a} f(x) = 0

ve

\lim_{x \to a} g(x) = 0

limit değerleri pay ve paydanın sıfıra yaklaştığını gösterir, bu da bir

\frac{0}{0}

belirsizliğidir.

Belirsizlik durumunun türünü netleştirerek hangi limit kurallarının uygulanacağını belirlemek gerekir.

2

Belirsizliğin kesin bir gerçel sayı üretmediğini göstermek için karşıt örnek seçilmesi

f(x) = x

ve

g(x) = x^2

fonksiyonları ile

a = 0

noktası ele alınır.

\lim_{x \to 0} x = 0

ve

\lim_{x \to 0} x^2 = 0

koşulları sağlanır.

Genel bir iddianın yanlışlığını kanıtlamak için tek bir karşıt örnek yeterlidir.

3

Seçilen karşıt örnekte limitin hesaplanması

\lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}

elde edilir. Bu limitin sağdan değeri

+\infty

, soldan değeri ise

-\infty

olduğundan limit mevcut değildir.

Paydadaki sıfır yapan çarpanın derecesi paydakinden büyük olduğundan sadeleştirme sonrası ifade tanımsızlığa gider ve limit bir gerçel sayı olamaz.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren limitlerin değeri her zaman bir gerçel sayıya eşit olmak zorunda değildir; belirsizlik durumunda limit mevcut olmayabilir veya sonsuz değerler alabilir.

Soru 2259Soru →

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx

belirli integraline

u = 2x - 1

dönüşümü uygulandığında elde edilen yeni integral ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du

\frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(u) \, du

\int_{1}^{5} f(u) \, du

\int_{1}^{3} f(u) \, du

2 \int_{1}^{5} f(u) \, du

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du$

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni integral ifadesi ön katsayıs�� yarım olan ve 1 ile 5 sınırları arasında yer alan integraldir.

Verilen integralde u = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında, diferansiyel hesabı dx = du/2 sonucunu verir. İntegralin alt sınırı olan x = 1 değeri için u = 1, üst sınırı olan x = 3 değeri için u = 5 elde edilir. Bu değerler integralde yerine yazılıp 1/2 katsayısı integralin dışına alındığında, aranan yeni ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dönüşüm ifadesinin diferansiyeli alınır.

u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2 \, dx

elde edilir. Buradan

dx = \frac{du}{2}

bulunur.

İntegral içerisindeki dx ifadesini yeni değişken u cinsinden yazabilmek için.

2

Belirli integral sınırları güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \Rightarrow u = 2(1) - 1 = 1

olur. Üst sınır için

x = 3 \Rightarrow u = 2(3) - 1 = 5

olur.

Değişken değiştiği için entegrasyon sınırlarının da yeni u değişkenine göre ayarlanması gerekir.

3

Elde edilen veriler orijinal integralde yerine yazılır.

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du

elde edilir.

Tüm bileşenler yeni değişken u cinsine çevrilerek dönüşüm işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2260Soru →

Dik koordinat düzleminde, $y = x^2 - 4x$ eğrisi ile $x$ -ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

-\frac{32}{3}

\frac{160}{3}

\frac{32}{3}

\frac{32}{3} + C

\frac{56}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{32}{3}$

Cevap

İstenen alan

\frac{32}{3}

birimkaredir.

Parabolün

x

-eksenini kestiği noktalar

x=0

ve

x=4

olup bu aralıkta parabol

x

-ekseninin altındadır. Bu nedenle alan,

-\int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx

integraline eşittir ve sonucu

\frac{32}{3}

birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün

x

-eksenini kestiği noktaları belirlemek için denklemi sıfıra eşitleriz.

x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0 \implies x = 0

ve

x = 4

bulunur.

Bu noktalar belirli integralin alt ve üst sınırlarını oluşturur.

2

Parabolün

[0, 4]

aralığındaki konumunu belirleriz.

[0, 4]

aralığ��nda

y = x^2 - 4x

değerleri negatif olduğundan grafik

x

-ekseninin altındadır.

Eğrinin

x

-ekseninin altında kalması durumunda alan formülünde integralin önüne eksi işareti konulmalıdır.

3

Alan formülünü yazar ve integral hesabı gerçekleştiririz.

Alan = -\int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{0}^{4}

Alanı bulmak için integralin mutlak değerini alırız.

4

Sınır değerlerini yerine yazarak alanı buluruz.

Alan = -\left( \left(\frac{64}{3} - 32\right) - 0 \right) = -\left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3}

birimkare.

Sınır değerlerin farkı alınarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin

x

-ekseninin altında kalan bölgesinin alanı hesaplanırken integral değerinin önüne eksi işareti getirilir.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm