Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2221Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−3)(x−8)(x+1)f'(x) = (x-3)(x-8)(x+1)
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5'tir.
Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 5 olarak bulunmuştur. Zincir kuralı uygulandıktan sonra elde edilen türev fonksiyonunun tüm kökleri (x=1,3,−1,4,−2x = 1, 3, -1, 4, -2) tek katlı köklerdir. Dolayısıyla bu noktaların tamamında fonksiyonun türevi işaret değiştirir ve hepsi yerel ekstremum noktasıdır. Bu noktaların toplamı da 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplayın.
g′(x)=2(x−1)⋅f′(x2−2x)g'(x) = 2(x-1) \cdot f'(x^2 - 2x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması gerekir.
2
f′(x)f'(x) fonksiyonunun kuralını f′(x2−2x)f'(x^2 - 2x) ifadesinde yerine yazın ve çarpanlarına ayırın.
f′(x2−2x)=(x2−2x−3)(x2−2x−8)(x2−2x+1)=(x−3)(x+1)(x−4)(x+2)(x−1)2f'(x^2 - 2x) = (x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 8)(x^2 - 2x + 1) = (x-3)(x+1)(x-4)(x+2)(x-1)^2 elde edilir.
Türevin sıfır olduğu noktaları ve bu noktaların katlılık durumlarını belirlemek için çarpanlara ayırma yapılır.
3
g′(x)g'(x) fonksiyonunu tek bir çarpım şeklinde yazarak tüm kökleri ve katlılık derecelerini belirleyin.
g′(x)=2(x−1)3(x−3)(x+1)(x−4)(x+2)g'(x) = 2(x-1)^3 (x-3)(x+1)(x-4)(x+2) olup, kökler x=1x = 1 (3. dereceden tek katlı), x=3,−1,4,−2x = 3, -1, 4, -2 (1. dereceden tek katlı) olarak bulunur.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olması için türevin o noktada işaret değiştirmesi, yani kökün tek katlı olması gerekir.
4
Tek katlı köklerin apsislerini toplayın.
−2+(−1)+1+3+4=5-2 + (-1) + 1 + 3 + 4 = 5 bulunur.
Tüm kökler tek katlı olduğundan hepsi yerel ekstremum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi ve türevin işaret değiştirdiği tek katlı köklerde yerel ekstremum noktalarının bulunması.
Soru 2222Soru →

ff ve gg fonksiyonları, tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilir iki fonksiyondur.

f(2)=2f(2) = 2
f′(2)=1f'(2) = 1
g(2)=1g(2) = 1
g′(2)=2g'(2) = 2

olduğuna göre,

h(x)=f(x)⋅g(x)−x2f(x)+g(x)h(x) = \frac{f(x) \cdot g(x) - x^2}{f(x) + g(x)}

biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

h'(2) değeri 1'dir.
Bölüm ve çarpım kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerlerine yazıldığında, payın türevi 1, payda değeri 3, pay değeri -2 ve paydanın türevi 3 olarak bulunur. Bu değerlerin formülde yerine yazılmasıyla h′(2)h'(2) değeri 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralının uygulanması
h′(x)=[f(x)⋅g(x)−x2]′⋅(f(x)+g(x))−(f(x)⋅g(x)−x2)⋅[f(x)+g(x)]′(f(x)+g(x))2h'(x) = \frac{[f(x) \cdot g(x) - x^2]' \cdot (f(x) + g(x)) - (f(x) \cdot g(x) - x^2) \cdot [f(x) + g(x)]'}{(f(x) + g(x))^2}
Bölüm biçimindeki bir ifadenin türevini almak için payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralı uygulanır.
2
Çarpım türevi ve kuvvet kuralı yardımıyla pay ve paydanın türevlerinin bulunması
[f(x)⋅g(x)−x2]′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)−2x[f(x) \cdot g(x) - x^2]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) - 2x ve [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
Toplama, çıkarma ve çarpım durumundaki ifadelerin türevini almak için temel türev alma kuralları uygulanır.
3
x = 2 noktası için türev de��erlerinin hesaplanması
Payın türevinin değeri: 1⋅1+2⋅2−2(2)=11 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 2(2) = 1.
Paydanın türevinin değeri: 1+2=31 + 2 = 3.
Verilen f(2)f(2), f′(2)f'(2), g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerleri türev ifadelerinde yerine yazılır.
4
Elde edilen değerlerin bölüm türevi formülünde yerine yazılarak h'(2) değerinin bulunması
h′(2)=1⋅3−(2⋅1−22)⋅332=3−(−2)⋅39=99=1h'(2) = \frac{1 \cdot 3 - (2 \cdot 1 - 2^2) \cdot 3}{3^2} = \frac{3 - (-2) \cdot 3}{9} = \frac{9}{9} = 1
Bulunan tüm bileşenler bir araya getirilerek işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bölüm ve çarpım kuralları yardımıyla türev alma
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2223Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 parabolüne dışındaki P(0,−1)P(0, -1) noktasından çizilen teğet doğrularının parabole değme noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri PP, AA ve BB noktaları olan PABPAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan PABPAB üçgeninin alanı 16 birimkaredir.
Parabolün dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin değme noktaları, teğet doğrusu denkleminin P(0,−1)P(0, -1) noktasını sağlaması koşuluyla belirlenir. Bu koşuldan elde edilen A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları ile P(0,−1)P(0, -1) noktasının oluşturduğu üçgenin alanı koordinat geometrisi kurallarıyla hesaplandığında 1616 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğim ifadesini belirlemek.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan, T(x0,y0)T(x_0, y_0) noktasındaki teğet eğimi m=2x0−2m = 2x_0 - 2 olarak bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazmak ve dışarıdaki P(0,−1)P(0, -1) noktasını bu denklemde yerine koyarak değme noktalarının apsislerini bulmak.
x02=4x_0^2 = 4 denklemi elde edilir ve buradan x0=2x_0 = 2 veya x0=−2x_0 = -2 bulunur.
Teğet doğrusu P(0,−1)P(0, -1) noktasından geçti��i için bu noktanın koordinatları teğet denklemini sağlamalıdır.
3
Bulunan apsis değerlerini parabol denkleminde yerine yazarak değme noktaları olan AA ve BB noktalarının koordinatlarını belirlemek.
A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları elde edilir.
Değme noktaları parabolün üzerinde yer aldığı için parabol denklemini sağlar.
4
Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan üçgenin alanını hesaplamak.
Alan 1616 birimkare olarak bulunur.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı determinant yöntemi veya taban ve yükseklik hesaplanarak bulunabilir.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetler)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2224Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir P(a,a2)P(a, a^2) noktasından çizilen teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta TT, normal doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta ise NN olarak adlandırılıyor.

PP noktası koordinat düzleminin birinci bölgesinde yer almaktadır.

TT ve NN noktaları arasındaki uzaklık 172\frac{17}{2} birim olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabol üzerindeki birinci bölgede bulunan noktanın apsisi 2'dir.
Doğru cevap 2'dir. y=x2y = x^2 parabolünün türevi y′=2xy' = 2x olduğundan teğet eğimi 2a2a, normal eğimi ise −12a-\frac{1}{2a} olur. Bu doğruların denkleminden yy-kesenleri sırasıyla T(0,−a2)T(0, -a^2) ve N(0,a2+12)N(0, a^2 + \frac{1}{2}) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık 2a2+12=172  ⟹  2a2=8  ⟹  a2=42a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 elde edilir. Birinci bölgede a>0a > 0 olduğu için a=2a = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet doğrusunun eğimini belirleyiniz.
y′=2x  ⟹  mt=2ay' = 2x \implies m_t = 2a
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazıp yy-eksenini kestiği TT noktasının koordinatlarını bulunuz.
y−a2=2a(x−a)  ⟹  y=2ax−a2  ⟹  T(0,−a2)y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2 \implies T(0, -a^2)
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Doğrunun yy-eksenini kestiği noktayı bulmak için x=0x = 0 yazılır.
3
Normal doğrusunun eğimini ve denklemini bulup yy-eksenini kestiği NN noktasının koordinatlarını hesaplayınız.
mn=−12a  ⟹  y−a2=−12a(x−a)  ⟹  N(0,a2+12)m_n = -\frac{1}{2a} \implies y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) \implies N\left(0, a^2 + \frac{1}{2}\right)
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir. Buradan normal doğrusunun eğimi bulunarak denklem yazılır ve x=0x = 0 için yy-keseni belirlenir.
4
TT ve NN noktaları arasındaki uzaklığı veren denklemi kurarak aa değerini bulunuz.
∣yN−yT∣=2a2+12=172  ⟹  2a2=8  ⟹  a2=4  ⟹  a=2|y_N - y_T| = 2a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = 2
yy-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir. PP noktası birinci bölgede yer aldığından a>0a > 0 olmalıdır, bu yüzden pozitif kök seçilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu yardımıyla teğet ve normal doğrularının denklemlerinin yazılması ve bu doğruların eksenleri kestiği noktaların bulunması.
Soru 2225Soru →
Tanım kümesindeki her xx gerçel sayısı için sürekli olan bir ff fonksiyonu,
f(x)+f(8−x)=(x−4)2+mf(x) + f(8-x) = (x-4)^2 + m
eşitliğini sağlamaktadır.
∫17f(x) dx=24\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 24
olduğuna göre, mm sabit sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İntegral özellikleri ve değişken değiştirme kuralları doğru uygulandığında, aranan sabit sayı 5 olarak bulunur.
Verilen integral eşitliğinde her iki tarafın integrali alınıp sol tarafta değişken değiştirme (u=8−xu=8-x) yapıldığında sol kısım iki adet aynı integralin toplamına, yani 48'e eşit olur. Sağ taraftaki integraller hesaplandığında ise 18+6m18 + 6m elde edilir. Bu iki ifadenin eşitliğinden aranan sabit sayı 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının 1'den 7'ye belirli integrali alınır.
∫17[f(x)+f(8−x)] dx=∫17[(x−4)2+m] dx\int_{1}^{7} [f(x) + f(8-x)] \, dx = \int_{1}^{7} \left[ (x-4)^2 + m \right] \, dx integralin lineerlik özelliği kullanılarak ∫17f(x) dx+∫17f(8−x) dx=∫17(x−4)2 dx+∫17m dx\int_{1}^{7} f(x) \, dx + \int_{1}^{7} f(8-x) \, dx = \int_{1}^{7} (x-4)^2 \, dx + \int_{1}^{7} m \, dx şeklinde yazılır.
Eşitliğin her iki yanındaki fonksiyonların aynı sınırlar altındaki integral değerleri de birbirine eşit olmalıdır.
2
Sol taraftaki ikinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
u=8−x  ⟹  du=−dxu = 8-x \implies du = -dx dönüşümü yapılır. Sınırlar: x=1  ⟹  u=7x = 1 \implies u = 7 ve x=7  ⟹  u=1x = 7 \implies u = 1 olur. Buradan, ∫17f(8−x) dx=∫71f(u) (−du)=∫17f(u) du=∫17f(x) dx\int_{1}^{7} f(8-x) \, dx = \int_{7}^{1} f(u) \, (-du) = \int_{1}^{7} f(u) \, du = \int_{1}^{7} f(x) \, dx elde edilir. Dolayısıyla sol taraf 2∫17f(x) dx=2×24=482 \int_{1}^{7} f(x) \, dx = 2 \times 24 = 48 olur.
Belirli integralde sınırların yer değiştirmesi integralin işaretini değiştirir ve bu sayede sol taraf bilinen integral türünden ifade edilir.
3
Sağ taraftaki integral terimleri ayrı ayrı hesaplanır.
∫17(x−4)2 dx\int_{1}^{7} (x-4)^2 \, dx integrali için t=x−4  ⟹  dt=dxt = x-4 \implies dt = dx dönüşümü yapılırsa sınırlar t=−3t = -3 ve t=3t = 3 olur. Buradan, ∫−33t2 dt=[t33]−33=9−(−9)=18\int_{-3}^{3} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-3}^{3} = 9 - (-9) = 18 bulunur. Sabit sayının integrali ise ∫17m dx=m⋅(7−1)=6m\int_{1}^{7} m \, dx = m \cdot (7 - 1) = 6m olur.
Sağ taraftaki fonksiyonların integralleri standart yöntemlerle ve sınır değerleri yerine yazılarak hesaplanır.
4
Elde edilen sonuçlar ana denklemde yerine yazılarak m sabit sayısı çözülür.
48=18+6m  ⟹  6m=30  ⟹  m=548 = 18 + 6m \implies 6m = 30 \implies m = 5
Sol ve sağ taraftan elde edilen sayısal ifadeler birbirine eşitlenerek bilinmeyen sabit değer yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Sınırların Güncellenmesi

Alternatif Yöntem

İntegrali doğrudan simetri ekseni olan x=4x=4 noktasına göre kaydırarak da çözebiliriz. u=x−4u = x-4 dönüşümü yapıldığında integral sınırları [−3,3][-3, 3] aralığına taşınır. Bu durumda f(u+4)+f(4−u)=u2+mf(u+4) + f(4-u) = u^2 + m elde edilir. Bu eşitliği [−3,3][-3, 3] aralığında entegre ettiğimizde, tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri yardımıyla doğrudan çözüme ulaşabiliriz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2226Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→2x3−ax−2x2−4=b\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - ax - 2}{x^2 - 4} = b
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 214\frac{21}{4}

Cevap

Toplamın değeri 214\frac{21}{4}'tür.
Limitin gerçel sayı çıkması için paydanın sıfır olduğu noktada pay da sıfır olmalıdır. Buradan a=3a = 3 elde edilir. Payda bulunan x3−3x−2x^3 - 3x - 2 ifadesi (x−2)(x+1)2(x-2)(x+1)^2 şeklinde çarpanlarına ayrılarak paydadaki (x−2)(x-2) ile sadeleştirilir. Kalan ifadede x=2x=2 yazılarak limit değeri b=94b = \frac{9}{4} bulunur. Bu iki değer toplandığında 214\frac{21}{4} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleme ve belirsizlik durumunu belirleme
lim⁡x→2(x2−4)=0\lim_{x \to 2} (x^2 - 4) = 0 olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın limitinin de sıfır olması gerekir. Yani, lim⁡x→2(x3−ax−2)=0\lim_{x \to 2} (x^3 - ax - 2) = 0 olmalıdır.
0/00/0 belirsizliği oluşmalıdır, aksi takdirde limit gerçel bir sayı olamaz.
2
aa değerini bulma
23−a(2)−2=0  ⟹  8−2a−2=0  ⟹  6=2a  ⟹  a=32^3 - a(2) - 2 = 0 \implies 8 - 2a - 2 = 0 \implies 6 = 2a \implies a = 3 bulunur.
Polinomların limitinde doğrudan yerine yazma özelliği kullanılır.
3
Belirsizliği gidermek için payı çarpanlarına ayırma
a=3a = 3 için pay x3−3x−2x^3 - 3x - 2 olur. Bu polinomun bir kökü x=2x = 2 olduğundan (x−2)(x - 2) çarpanına tam bölünür. Polinom bölmesi yapıldığında x3−3x−2=(x−2)(x2+2x+1)=(x−2)(x+1)2x^3 - 3x - 2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 1) = (x - 2)(x + 1)^2 elde edilir.
Ortak çarpanları sadeleştirerek belirsizliği ortadan kaldırmak hedeflenir.
4
Limit değerini (bb) hesaplama
lim⁡x→2(x−2)(x+1)2(x−2)(x+2)=lim⁡x→2(x+1)2x+2=(2+1)22+2=94\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 1)^2}{x + 2} = \frac{(2 + 1)^2}{2 + 2} = \frac{9}{4} bulunur. Buradan b=94b = \frac{9}{4} olur.
Pay ve paydadaki (x−2)(x-2) çarpanları sadeleştikten sonra kalan ifadede x=2x = 2 yazılır.
5
a+ba + b toplamını hesaplama
a+b=3+94=12+94=214a + b = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12 + 9}{4} = \frac{21}{4} elde edilir.
İstenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliğinde, belirsizliğe yol açan çarpanlar sadeleştirilerek limit hesaplanır. Limitin gerçel sayı olması koşuluyla bilinmeyen parametreler belirlenir.
Soru 2227Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları tanımlanan aşağıdaki bölgeleri, bu bölgelerin alanlarını veren doğru belirli integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge I)
y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=x2y = x^2 parabolü arasında kalan sınırlı bölge (Bölge II)
y=4−x2y = 4 - x^2 parabolü ile y=x+2y = x + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge (Bölge III)

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Bölge I için integral ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx, Bölge II için integral ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx, Bölge III için integral ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx olmalıdır.
Her üç bölgenin de alan formülleri doğru bir şekilde kesişim noktaları alt ve üst sınır alınarak ve üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak oluşturulmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölgelerin sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktalarını bulunuz.
x2=2x  ⟹  x=0,2x^2 = 2x \implies x = 0, 2; x=x2  ⟹  x=0,1\sqrt{x} = x^2 \implies x = 0, 1 ve 4−x2=x+2  ⟹  x=−2,14-x^2 = x+2 \implies x = -2, 1 kesişim sınırları elde edilir.
Belirli integralin alt ve üst sınırlarını tespit etmek için sınır eğrilerinin kesim noktaları bulunmalıdır.
2
Her bir bölge için hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyiniz.
Bölge I'de y=2xy = 2x üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge II'de y=xy = \sqrt{x} üstte, y=x2y = x^2 alttadır; Bölge III'de y=4−x2y = 4-x^2 üstte, y=x+2y = x+2 alttadır.
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken integral içi ifade üstteki eğri eksi alttaki eğri olarak yazılır.
3
Elde edilen sınırları ve integral içi ifadeleri birleştirerek integral gösterimlerini oluşturunuz.
Bölge I alanı ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx; Bölge II alanı ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx; Bölge III alanı ∫−21(2−x−x2) dx\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx integralleri ile eşleşir.
Belirli integral tanımı gereği ∫ab[f(x)−g(x)] dx\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx ifadesi alanı verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla ifade edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2228Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(x)=∫(3x2−6x) dxf(x) = \int (3x^2 - 6x) \, dx
eşitliği veriliyor.

ff fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin çarpımı 55 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen integral ifadesinin kurallara uygun şekilde hesaplanmasıyla f(x)=x3−3x2+Cf(x) = x^3 - 3x^2 + C fonksiyonu elde edilir. Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevi sıfır yapan x=0x=0 ve x=2x=2 noktalarıdır. Bu noktalardaki değerler sırasıyla CC ve C−4C-4 olur. Bu değerlerin çarpımı olan C(C−4)=5C(C-4) = 5 denklemi çözüldüğünde C=5C = 5 veya C=−1C = -1 bulunur. f(0)=Cf(0) = C olduğundan, f(0)f(0) değeri 5 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak f(x) fonksiyonu genel biçimde yazılır.
f(x)=x3−3x2+Cf(x) = x^3 - 3x^2 + C (CC integral sabitidir.)
İntegral alma kuralları gereği, dereceler bir artırılarak katsayılara bölünür ve belirsiz integral sabiti eklenir.
2
Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için türevinin sıfır olduğu noktalar belirlenir.
f′(x)=3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=0  ⟹  x=0f'(x) = 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 ve x=2x = 2 noktaları elde edilir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, türevinin sıfır olduğu ve işaret değiştirdiği noktalardır.
3
Yerel ekstremum değerleri elde edilir ve çarpımları 5'e eşitlenerek C sabiti hesaplanır.
f(0)=Cf(0) = C ve f(2)=23−3(22)+C=C−4f(2) = 2^3 - 3(2^2) + C = C - 4 olur. Bu değerlerin çarpımı: C(C−4)=5  ⟹  C2−4C−5=0  ⟹  (C−5)(C+1)=0C(C - 4) = 5 \implies C^2 - 4C - 5 = 0 \implies (C - 5)(C + 1) = 0 denkleminden C=5C = 5 veya C=−1C = -1 bulunur. f(0)=Cf(0) = C olduğundan f(0)f(0) değeri 5 olabilir.
Soruda yerel ekstremum değerlerinin çarpımının 5 olduğu belirtilmiştir. Bu durum C'ye bağlı ikinci dereceden bir denklem oluşturur.

Anahtar Kavram

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2229Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={cos⁡x+a,x<0x2+bx+c,x≥0f(x) = \begin{cases} \cos x + a, & x < 0 \\ x^2 + bx + c, & x \ge 0 \end{cases}
fonksiyonu her x∈Rx \in \mathbb{R} için türevlenebilir olduğuna göre, a−c+ba - c + b ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İstenen ifadenin değeri -1 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevlenebilir olması için sürekli olması gerektiğinden a−c=−1a - c = -1 elde edilir. Kritik noktadaki sağ ve sol türevlerin eşitliğinden ise b=0b = 0 bulunur. Bu değerler toplandığında istenen ifade −1-1 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun her x∈Rx \in \mathbb{R} için türevlenebilir olması için kritik nokta olan x=0x = 0 noktasında sürekli olması gerekir. Bu nedenle x=0x = 0 noktasındaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri birbirine eşitlenir.
lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)  ⟹  cos⁡(0)+a=c  ⟹  1+a=c  ⟹  a−c=−1\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \implies \cos(0) + a = c \implies 1 + a = c \implies a - c = -1 elde edilir.
Türevlenebilir her fonksiyon tanımlı olduğu noktalarda sürekli olmak zorundadır.
2
Süreklilik sağlandıktan sonra, x=0x = 0 noktasındaki sağdan ve soldan türevler hesaplanarak birbirine eşitlenir.
x<0x < 0 için f′(x)=−sin⁡x  ⟹  f′(0−)=−sin⁡(0)=0f'(x) = -\sin x \implies f'(0^-) = -\sin(0) = 0 ve x>0x > 0 için f′(x)=2x+b  ⟹  f′(0+)=bf'(x) = 2x + b \implies f'(0^+) = b olur. Buradan sağ ve sol türevlerin eşitliğinden b=0b = 0 bulunur.
Bir fonksiyonun sürekli olduğu bir noktada türevli olması için o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin eşit olması gerekir.
3
Elde edilen a−c=−1a - c = -1 ve b=0b = 0 değerleri a−c+ba - c + b ifadesinde yerine yazılır.
a−c+b=−1+0=−1a - c + b = -1 + 0 = -1 bulunur.
Soruda bizden istenen ifadenin değerini hesaplamak için elde edilen parametre ilişkileri kullanılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Soru 2230Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 parabolünün tepe noktası TT ve bu parabolün yy-eksenini kestiği nokta AA olarak belirleniyor.

Buna göre, AA ve TT noktalarından geçen doğru ile f(x)f(x) parabolü arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

43\frac{4}{3} birimkare olan seçenek doğrudur.
Doğru cevap 43\frac{4}{3} birimkaredir. Parabolün tepe noktası formülüyle T(2,−1)T(2, -1) ve yy-eksenini kestiği nokta A(0,3)A(0, 3) bulunur. Bu iki noktadan geçen doğrunun denklemi y=−2x+3y = -2x + 3 olur. Doğru ile parabol x2−4x+3=−2x+3x^2 - 4x + 3 = -2x + 3 ortak çözümüyle x=0x = 0 ve x=2x = 2 apsisli noktalarda kesişir. [0,2][0, 2] aralığında doğru parabolün üst kısmında kaldığı için alan integralimiz ∫02[(−2x+3)−(x2−4x+3)] dx=∫02(−x2+2x) dx=43\int_{0}^{2} [(-2x+3) - (x^2-4x+3)] \, dx = \int_{0}^{2} (-x^2+2x) \, dx = \frac{4}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını (TT) ve yy-eksenini kestiği noktayı (AA) bulalım.
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 parabolü için tepe noktasının apsisi r=−−42(1)=2r = -\frac{-4}{2(1)} = 2 ve ordinatı k=f(2)=22−4(2)+3=−1k = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1 bulunur. Buradan T(2,−1)T(2, -1) elde edilir. yy-eksenini kestiği nokta için x=0x=0 yazıldığında f(0)=3f(0) = 3 olup A(0,3)A(0, 3) noktası elde edilir.
Parabolün üzerindeki bu iki özel noktayı belirleyerek aralarından geçecek olan doğrunun denklemini yazmak için koordinatlara ihtiyaç duyarız.
2
A(0,3)A(0, 3) ve T(2,−1)T(2, -1) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.
Doğrunun eğimi m=−1−32−0=−2m = \frac{-1 - 3}{2 - 0} = -2 olarak bulunur. yy-eksenini kestiği nokta 33 olduğundan, doğru denklemi y=−2x+3y = -2x + 3 şeklinde elde edilir.
Sınırlı bölgeyi üstten sınırlayan fonksiyonu analitik olarak tanımlamak için doğrunun denklemine ihtiyaç duyarız.
3
Doğru ile parabolün kesişim noktalarını (integral sınırlarını) ortak çözümle bulalım.
x2−4x+3=−2x+3  ⟹  x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0x^2 - 4x + 3 = -2x + 3 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 denklemi elde edilir. Buradan kesişim noktalarının apsisleri x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Alan hesabında kullanacağımız belirli integralin alt ve üst sınırlarını belirlemek amacıyla ortak noktaları hesaplarız.
4
Belirli integrali kurarak sınırlı bölgenin alanını hesaplayalım.
[0,2][0, 2] aralığında y=−2x+3y = -2x + 3 doğrusu, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 parabolünün üstünde yer alır. Alan S=∫02[(−2x+3)−(x2−4x+3)] dx=∫02(−x2+2x) dx=[−x33+x2]02=(−83+4)−0=43S = \int_{0}^{2} [(-2x + 3) - (x^2 - 4x + 3)] \, dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2} = \left(-\frac{8}{3} + 4\right) - 0 = \frac{4}{3} birimkare olarak hesaplanır.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla elde edilen fark fonksiyonunun sınırlar arasındaki belirli integraline eşittir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının, kesişim noktaları yardımıyla belirli integral kullanılarak hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Bir parabol ile onu iki farklı noktada kesen bir doğrunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı; kesim noktalarının apsisleri x1x_1 ve x2x_2 (x2>x1x_2 > x_1), parabolün başkatsayısı aa olmak üzere pratik olarak S=∣a∣6(x2−x1)3S = \frac{|a|}{6}(x_2 - x_1)^3 formülüyle hesaplanabilir. Bu soruda parabolün başkatsayısı a=1a = 1, kesim noktaları ise x1=0x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2 olduğundan alan S=∣1∣6(2−0)3=86=43S = \frac{|1|}{6}(2 - 0)^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} birimkare olarak saniyeler içinde elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2231Soru →

f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı, her birinin uzunluğu eşit olan 33 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre elde edilen Riemann üst toplamı ile bu fonksiyonun [1,4][1, 4] aralığındaki belirli integralinin değeri arasındaki fark kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 88

Cevap

Riemann üst toplamı ile belirli integralin değeri arasındaki fark 8'dir.
Riemann üst toplamını bulmak için aralık genişliği 1 olarak hesaplanır. Artan fonksiyonun sağ uç değerleri olan f(2)=6, f(3)=11 ve f(4)=18 kullanılarak Riemann üst toplamı 35 elde edilir. Belirli integralin değeri ise 27 olarak hesaplanır. Bu iki değer arasındaki fark 35 - 27 = 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
[1,4][1, 4] aralığı 3 eşit alt aralığa bölündüğünde her bir alt aral��ğın genişliği b−an\frac{b-a}{n} formülüyle hesaplanır.
Genişlik Δx=4−13=1\Delta x = \frac{4 - 1}{3} = 1 olur. Alt aralıklar [1,2][1, 2], [2,3][2, 3] ve [3,4][3, 4] olarak belirlenir.
Riemann toplamını hesaplamak için aralık genişliğini ve alt aralıkları bulmamız gerekir.
2
f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonu [1,4][1, 4] aralığında artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun maksimum değeri sağ uç noktalarda gerçekleşir. Bu sağ uç noktalardaki değerleri kullanarak Riemann üst toplamını (UU) hesaplayalım.
U=Δx⋅[f(2)+f(3)+f(4)]=1⋅[(22+2)+(32+2)+(42+2)]=1⋅[6+11+18]=35U = \Delta x \cdot [f(2) + f(3) + f(4)] = 1 \cdot [(2^2+2) + (3^2+2) + (4^2+2)] = 1 \cdot [6 + 11 + 18] = 35 olur.
Riemann üst toplamını bulmak için her alt aralıktaki maksimum değerler (sağ uç noktalar) kullanılır.
3
f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 fonksiyonunun [1,4][1, 4] aralı��ındaki belirli integralini hesaplayalım.
∫14(x2+2) dx=[x33+2x]14=(643+8)−(13+2)=633+6=21+6=27\int_{1}^{4} (x^2 + 2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{1}^{4} = \left( \frac{64}{3} + 8 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{63}{3} + 6 = 21 + 6 = 27 olur.
Riemann üst toplamı ile karşılaştırılacak olan gerçek alanı bulmak için belirli integral hesaplanır.
4
Riemann üst toplamı ile belirli integralin değeri arasındaki farkı bulalım.
U−∫14f(x) dx=35−27=8U - \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 35 - 27 = 8 olur.
Soruda istenen farkı bulmak için üst toplamdan integralin değerini çıkarırız.

Anahtar Kavram

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2232Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x+3)=f(x)+2f(x + 3) = f(x) + 2
eşitliği sağlanmaktadır.
∫03f(x) dx=5\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5
olduğuna göre,
∫17f(2x−1) dx\int_{1}^{7} f(2x - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Aranan belirli integralin değeri 32 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 32 değeri, 2x−1=u2x-1 = u değişken değiştirmesiyle integralin sınırlarının 1 ve 13 olarak güncellenmesi, ardından aralığın f(x+3)=f(x)+2f(x+3) = f(x)+2 kuralı uyarınca boyu 3 olan alt aralıklara bölünerek [1,4][1, 4] aralığına indirgenmesi ve nihayetinde ∫14f(x) dx=∫03f(x) dx+2=7\int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx + 2 = 7 eşitliğinin kullanılmasıyla elde edilen sonucun 12\frac{1}{2} ile çarpılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi uygulanır.
2x−1=u2x - 1 = u dönüşümü yapıldığında 2 dx=du  ⟹  dx=12 du2 \, dx = du \implies dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
��ntegrali temel f(u)f(u) fonksiyonunun integral kuralları cinsinden ifade edebilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=2(1)−1=1x = 1 \implies u = 2(1) - 1 = 1 ve üst sınır için x=7  ⟹  u=2(7)−1=13x = 7 \implies u = 2(7) - 1 = 13 bulunur. Böylece integral 12∫113f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{13} f(u) \, du hâline gelir.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da o değişkene göre ayarlanması gerektiği için.
3
İntegral aralığı, fonksiyonun her 3 birimde bir kendini tekrarlayan yapısı göz önüne alınarak boyu 3 olan alt aralıklara bölünür.
∫113f(u) du=∫14f(u) du+∫47f(u) du+∫710f(u) du+∫1013f(u) du\int_{1}^{13} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(u) \, du + \int_{4}^{7} f(u) \, du + \int_{7}^{10} f(u) \, du + \int_{10}^{13} f(u) \, du yazılır.
Fonksiyonun f(x+3)=f(x)+2f(x+3) = f(x)+2 dikey öteleme özelliğini uygulayarak tüm aralıkları [1,4][1, 4] aralığına indirgemek için.
4
Her bir alt aralıktaki integral, f(t+3k)=f(t)+2kf(t+3k) = f(t) + 2k özelliği kullanılarak [1,4][1, 4] aralığındaki integral cinsinden yazılır.
∫47f(u) du=∫14f(t) dt+6\int_{4}^{7} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 6,
∫710f(u) du=∫14f(t) dt+12\int_{7}^{10} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 12,
∫1013f(u) du=∫14f(t) dt+18\int_{10}^{13} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 18 elde edilir. Bu terimler toplandığında 4∫14f(u) du+364 \int_{1}^{4} f(u) \, du + 36 toplamına ulaşılır.
Her 3 birimlik kaydırmada fonksiyonun değerinin dikeyde 2 birim artması sebebiyle integral değerinin de 2×3=62 \times 3 = 6 birim artmasından dolayı.
5
∫14f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du değeri, verilen ∫03f(x) dx=5\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5 değeri yardımıyla hesaplanır.
∫14f(u) du=∫13f(u) du+∫34f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{3} f(u) \, du + \int_{3}^{4} f(u) \, du şeklinde yazılır. İkinci kısımda t=u−3t = u-3 dönüşümüyle ∫34f(u) du=∫01(f(t)+2) dt=∫01f(t) dt+2\int_{3}^{4} f(u) \, du = \int_{0}^{1} (f(t)+2) \, dt = \int_{0}^{1} f(t) \, dt + 2 bulunur. Dolayısıyla, ∫14f(u) du=∫03f(t) dt+2=5+2=7\int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{0}^{3} f(t) \, dt + 2 = 5 + 2 = 7 elde edilir.
Kaydırma özelliğini parçalı integraller üzerinde uygulayarak bilinmeyen bölgeyi bilinen [0,3][0,3] aralığına tamamlamak için.
6
Hesaplanan tüm değerler yerine yazılarak nihai integral sonucu bulunur.
∫113f(u) du=4(7)+36=64\int_{1}^{13} f(u) \, du = 4(7) + 36 = 64 olur. Yarısı alındığında aranan integral değeri 642=32\frac{64}{2} = 32 olarak bulunur.
1. adımda elde edilen 12\frac{1}{2} çarpanı ile toplam alan değerini çarparak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık kaydırma/öteleme özellikleri
Soru 2233Soru →
lim⁡x→−1x2+3+2xx3+1\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2x}{x^3 + 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Limitin değeri 1/2 (veya 0,5) olarak bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra fonksiyona doğrudan limit değeri yazıldığında pay kısmı 66, payda kısmı ise 1212 değerini alır. Bu iki değerin oranı bize limit değerini 1/21/2 olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktasını (x=−1x = -1) pay ve paydada yerine yazarak belirsizliği kontrol edin.
Pay: (−1)2+3+2(−1)=2−2=0\sqrt{(-1)^2 + 3} + 2(-1) = 2 - 2 = 0, Payda: (−1)3+1=0(-1)^3 + 1 = 0 olduğundan 0/00/0 belirsizliği vardır.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik durumunun varlığını doğrulamak gerekir.
2
Payı köklü ifadeden kurtarmak için limit ifadesinin pay ve paydasını payın eşleniği olan x2+3−2x\sqrt{x^2 + 3} - 2x ile çarpın.
(x2+3+2x)(x2+3−2x)(x3+1)(x2+3−2x)=(x2+3)−4x2(x3+1)(x2+3−2x)=3−3x2(x3+1)(x2+3−2x)\frac{(\sqrt{x^2 + 3} + 2x)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \frac{(x^2 + 3) - 4x^2}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \frac{3 - 3x^2}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}
Köklü ifadelerde 0/00/0 belirsizliğini gidermek için genellikle eşlenik çarpımı yapılarak fark çarpanı oluşturulur.
3
Paydaki 3−3x23 - 3x^2 ifadesini ve paydadaki x3+1x^3 + 1 ifadesini çarpanlarına ayırın, ardından ortak olan x+1x + 1 terimlerini sadeleştirin.
Pay: 3(1−x2)=3(1−x)(1+x)3(1 - x^2) = 3(1 - x)(1 + x), Payda: x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) olduğundan limit ifadesi şuna dönüşür:
lim⁡x→−13(1−x)(1+x)(x+1)(x2−x+1)(x2+3−2x)=lim⁡x→−13(1−x)(x2−x+1)(x2+3−2x)\lim_{x \to -1} \frac{3(1 - x)(1 + x)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \lim_{x \to -1} \frac{3(1 - x)}{(x^2 - x + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}
x→−1x \to -1 iken sıfır değerini alan ve belirsizliğe yol açan x+1x + 1 çarpanlarını yok etmek gerekir.
4
Sadeleşmiş ifadede xx yerine −1-1 yazarak limiti hesaplayın.
3(1−(−1))((−1)2−(−1)+1)((−1)2+3−2(−1))=3(2)(1+1+1)(4+2)=63×4=612=12\frac{3(1 - (-1))}{((-1)^2 - (-1) + 1)(\sqrt{(-1)^2 + 3} - 2(-1))} = \frac{3(2)}{(1 + 1 + 1)(\sqrt{4} + 2)} = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, yani 0.50.5 elde edilir.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle bulunur.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren köklü ve rasyonel ifadelerde eşlenik çarpımı ve çarpanlara ayırma teknikleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.

Alternatif Yöntem

L'Hospital kuralı kullanılarak payın ve paydanın türevi ayrı ayrı alınabilir. Payın türevi: ddx(x2+3+2x)=xx2+3+2\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+3} + 2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} + 2, Paydanın türevi: ddx(x3+1)=3x2\frac{d}{dx}(x^3+1) = 3x^2 olur. x→−1x \to -1 için payın türevi −12+2=32\frac{-1}{2} + 2 = \frac{3}{2} ve paydanın türevi 3(−1)2=33(-1)^2 = 3 olur. Oranlandığında 3/23=12\frac{3/2}{3} = \frac{1}{2} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2234Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2+af(x) = x^2 + a
g(x)=x3−3x2+4x+bg(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + b
eğrileri P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasında birbirine teğettir.

Bu eğrilerin ortak teğet doğrusunun denklemi y=4x−5y = 4x - 5 olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Ortak teğet noktası belirlenip fonksiyonlarda yerine yazıldığında a=−1a = -1 ve b=−1b = -1 bulunur, buradan a+b=−2a + b = -2 elde edilir.
Ortak teğet doğrusunun eğimi 44 olup, f′(x0)=4f'(x_0) = 4 eşitliğinden teğet noktasının apsisi x0=2x_0 = 2 olarak bulunur. Bu nokta teğet doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğruyu sağlar ve y0=3y_0 = 3 elde edilir. P(2,3)P(2,3) noktası her iki eğri denklemini de sağladığından a=−1a = -1 ve b=−1b = -1 bulunur, toplamları ise −2-2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak teğet doğrusunun eğimini belirleyip fonksiyonların teğet noktasındaki türevleriyle ilişkilendirelim.
Teğet doğrusu y=4x−5y = 4x - 5 olduğundan eğim m=4m = 4'tür. Dolayısıyla, f′(x0)=4f'(x_0) = 4 ve g′(x0)=4g'(x_0) = 4 olmalıdır.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak teğet noktasının apsisini (x0x_0) hesaplayalım.
f′(x)=2x⇒2x0=4⇒x0=2f'(x) = 2x \Rightarrow 2x_0 = 4 \Rightarrow x_0 = 2
Teğet noktasının apsisini bulmak için fonksiyonun türevini teğetin eğimine eşitleriz.
3
x0=2x_0 = 2 apsis değerinin g(x)g(x) eğrisi için de aynı eğimi verip vermediğini doğrulayalım.
g′(x)=3x2−6x+4⇒g′(2)=3(2)2−6(2)+4=12−12+4=4g'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \Rightarrow g'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 4 = 12 - 12 + 4 = 4
Eğriler aynı noktada birbirine teğet olduğu için bu noktada türev değerleri eşit olmalıdır.
4
Teğet noktasının ordinatını (y0y_0) bulmak için x0=2x_0 = 2 değerini ortak teğet doğrusunun denkleminde yerine yazalım.
y0=4(2)−5=3y_0 = 4(2) - 5 = 3
Teğet noktası ortak teğet doğrusu üzerinde yer aldığı için doğrunun denklemini sağlamalıdır.
5
P(2,3)P(2, 3) noktasının koordinatlarını f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarında yerine yazarak aa ve bb değerlerini bulalım.
f(2)=4+a=3⇒a=−1f(2) = 4 + a = 3 \Rightarrow a = -1 ve g(2)=8−12+8+b=3⇒4+b=3⇒b=−1g(2) = 8 - 12 + 8 + b = 3 \Rightarrow 4 + b = 3 \Rightarrow b = -1
Teğet noktası her iki eğrinin de üzerinde bulunduğundan eğri denklemlerini sağlamak zorundadır.
6
Bulunan aa ve bb değerlerini toplayarak sonucu bulalım.
a+b=(−1)+(−1)=−2a + b = (-1) + (-1) = -2
Soru bizden aa ve bb katsayılarının toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

İki eğrinin ortak teğet doğrusu yardımıyla teğet noktasının apsis ve ordinatının belirlenmesi ve türev-eğim ilişkisi.
Soru 2235Soru →

f:[0,4]→Rf: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R} tanımlı ve sürekli bir fonksiyondur. y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında;
- [0,2][0, 2] aralığında kalan bölgenin alanı 6 birimkare,
- [2,4][2, 4] aralığında kalan bölgenin alanı 8 birimkare
olarak verilmiştir.

∫04f(x) dx=−2\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -2

olduğuna göre,

∫12f(4−2x) dx+∫−20f(∣x∣+2) dx\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx + \int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

-5
Verilen alan değerlerinden integral değerlerinin mutlak değerleri elde edilir: [0,2][0, 2] aralığındaki integralin mutlak değeri 6, [2,4][2, 4] aralığındaki integralin mutlak değeri ise 8'dir. Bu iki integralin toplamı -2 olduğundan, birinci integral 6 ve ikinci integral -8 olmalıdır. Birinci integralde u=4−2xu = 4-2x ve ikinci integralde x≤0x \le 0 için ∣x∣=−x|x| = -x yazılarak v=2−xv = 2-x değişken değiştirmeleri yapıldığında, ifadelerin değerleri sırasıyla 3 ve -8 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı -5 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alan ve integral arasındaki ilişkiyi kurarak alt aralıklardaki integral değerlerini belirlemek.
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 ve ∫24f(x) dx=−8\int_{2}^{4} f(x) \, dx = -8
[0,2][0, 2] aralığındaki alan 66 ve [2,4][2, 4] aralığındaki alan 88 birimkaredir. Belirli integrallerin mutlak değerleri bu alanlara eşittir. Toplam integral ∫04f(x) dx=−2\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -2 olduğuna göre, ∫02f(x) dx+∫24f(x) dx=−2\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = -2 eşitliğini sağlayan tek durum birinci integralin pozitif (6), ikincisinin ise negatif (-8) olmasıdır.
2
Birinci integralde ∫12f(4−2x) dx\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx için değişken değiştirme uygulamak.
∫12f(4−2x) dx=3\int_{1}^{2} f(4 - 2x) \, dx = 3
u=4−2xu = 4 - 2x dönüşümü yapılırsa du=−2 dxdu = -2 \, dx olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=0u=0 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫02f(u) du=12(6)=3\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) \, du = \frac{1}{2} (6) = 3 haline gelir.
3
İkinci integralde ∫−20f(∣x∣+2) dx\int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx ifadesinde mutlak değeri aralığa göre açıp değişken değiştirme uygulamak.
∫−20f(∣x∣+2) dx=−8\int_{-2}^{0} f(|x| + 2) \, dx = -8
x∈[−2,0]x \in [-2, 0] aralığında olduğundan x≤0x \le 0 ve dolayısıyla ∣x∣=−x|x| = -x olur. İntegral ∫−20f(2−x) dx\int_{-2}^{0} f(2 - x) \, dx halini alır. v=2−xv = 2 - x dönüşümü yapılırsa dv=−dxdv = -dx olur. Sınırlar x=−2x=-2 için v=4v=4 ve x=0x=0 için v=2v=2 olur. İntegral ∫24f(v) dv=−8\int_{2}^{4} f(v) \, dv = -8 olarak hesaplanır.
4
Bulunan integral değerlerini toplamak.
3+(−8)=−53 + (-8) = -5
İstenen ifade iki integralin toplamı olduğundan elde edilen sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan arasındaki işaret ilişkisi ve belirli integralde değişken değiştirme yöntemi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2236Soru →

Başkatsayısı 1 olan ikinci dereceden bir g(x)g(x) polinom fonksiyonu (−∞,2](-\infty, 2] aralığında azalan, [2,∞)[2, \infty) aralığında artandır.

gg fonksiyonunun alabileceği en küçük değer −3-3 olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=∫(x3⋅g′′(x)+3x2⋅g′(x))dxf(x) = \int \left( x^3 \cdot g''(x) + 3x^2 \cdot g'(x) \right) dx
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.
Doğru cevap olan 5 değeri; g(x)g(x) polinomunun tepe noktası özellikleri kullanılarak türevlerinin bulunması, integralin hesaplanarak f(x)=2x4−4x3+Cf(x) = 2x^4 - 4x^3 + C biçiminde yazılması, f(1)=3f(1) = 3 koşulu ile integral sabitinin C=5C = 5 olarak elde edilmesi ve son olarak f(2)f(2) değerinin yerine yazılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun denklemini ve türevlerini belirleme
g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1, buradan g′(x)=2x−4g'(x) = 2x - 4 ve g′′(x)=2g''(x) = 2 bulunur.
Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden g(x)g(x) fonksiyonunun (−∞,2](-\infty, 2] aralığında azalan ve [2,∞)[2, \infty) aralığında artan olması, tepe noktasının apsisinin r=2r=2 olduğunu gösterir. En küçük değerinin −3-3 olması ise tepe noktasının ordinatının k=−3k=-3 olduğunu belirtir. Buradan g(x)=1⋅(x−2)2−3=x2−4x+1g(x) = 1 \cdot (x-2)^2 - 3 = x^2 - 4x + 1 denklemi elde edilir.
2
İntegrali hesaplayarak f(x)f(x) fonksiyonunu bulma
f(x)=2x4−4x3+Cf(x) = 2x^4 - 4x^3 + C elde edilir.
g′(x)g'(x) ve g′′(x)g''(x) ifadeleri integralde yerine yazılırsa: f(x)=∫(x3⋅2+3x2(2x−4)) dx=∫(8x3−12x2) dx=2x4−4x3+Cf(x) = \int (x^3 \cdot 2 + 3x^2(2x-4)) \, dx = \int (8x^3 - 12x^2) \, dx = 2x^4 - 4x^3 + C olur. (Alternatif olarak, integralin içi çarpımın türevi kuralından (x3⋅g′(x))′(x^3 \cdot g'(x))' ifadesine eşit olup doğrudan f(x)=x3⋅g′(x)+Cf(x) = x^3 \cdot g'(x) + C şeklinde de integre edilebilir.)
3
f(1)=3f(1) = 3 sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (CC) bulma
C=5C = 5 bulunur.
f(1)=2(1)4−4(1)3+C=3  ⟹  −2+C=3  ⟹  C=5f(1) = 2(1)^4 - 4(1)^3 + C = 3 \implies -2 + C = 3 \implies C = 5 elde edilir.
4
f(2)f(2) değerini hesaplama
f(2)=5f(2) = 5 bulunur.
f(x)=2x4−4x3+5f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 5 fonksiyonunda x=2x=2 yazıldığında f(2)=2(24)−4(23)+5=32−32+5=5f(2) = 2(2^4) - 4(2^3) + 5 = 32 - 32 + 5 = 5 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, türev ile integral ilişkisi ve polinom/parabol özelliklerinin birlikte uygulanması.
Soru 2237Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫14f(x) dx=18\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18
∫15f(x) dx=24\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 24
∫810f(x) dx=10\int_{8}^{10} f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫810f(x2) dx+∫45f(9−x) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{4}^{5} f(9-x) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Doğru seçenekte, her iki integralde de değişken değiştirme kuralları eksiksiz uygulanmıştır. İlk integralde u=x/2u = x/2 dönüşümüyle sınırlar [4, 5] aralığına güncellenmiş ve diferansiyelden gelen 2 çarpanı ile integral değeri 12 bulunmuştur. İkinci integralde v=9−xv = 9-x dönüşümüyle sınırlar [5, 4] olmuş, diferansiyeldeki eksi işareti sınırların sırasını düzelterek [4, 5] aralığında integral değeri olan 6'yı vermiştir. İki değerin toplamından 18 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral sınırlarını ilişkilendirmek için öncelikle verilen ilk iki integrali kullanarak [4, 5] aralığındaki integral değerini bulalım.
∫45f(x) dx=∫15f(x) dx−∫14f(x) dx=24−18=6\int_{4}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 24 - 18 = 6
Belirli integralin aralık ekleme özelliği kullanılarak [4, 5] aralığı elde edilmiştir.
2
Sorulan ifadedeki birinci integral olan ∫810f(x2) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx ifadesinde u=x2u = \frac{x}{2} değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=12dx  ⟹  dx=2 dudu = \frac{1}{2} dx \implies dx = 2 \, du
Sınırlar:
x=8  ⟹  u=4x = 8 \implies u = 4
x=10  ⟹  u=5x = 10 \implies u = 5
Yeni integral:
2∫45f(u) du=2⋅6=122 \int_{4}^{5} f(u) \, du = 2 \cdot 6 = 12
Değişken değiştirme yöntemi uygulanarak integral bilinen [4, 5] aralığına taşınmış ve diferansiyel ile sınırlar güncellenmiştir.
3
Sorulan ifadedeki ikinci integral olan ∫45f(9−x) dx\int_{4}^{5} f(9-x) \, dx ifadesinde v=9−xv = 9-x değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=−dx  ⟹  dx=−dvdv = -dx \implies dx = -dv
Sınırlar:
x=4  ⟹  v=5x = 4 \implies v = 5
x=5  ⟹  v=4x = 5 \implies v = 4
Yeni integral:
∫54f(v) (−dv)=∫45f(v) dv=6\int_{5}^{4} f(v) \, (-dv) = \int_{4}^{5} f(v) \, dv = 6
Eksi işareti integral sınırlarının yerini değiştirerek yönü düzeltir ve yine bilinen [4, 5] aralığındaki integral elde edilir.
4
Bulunan iki integral değerini toplayalım.
12+6=1812 + 6 = 18
İki integralin değerlerinin toplamı sorulan ifadenin nihai sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyelin doğru şekilde güncellenmesi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral aralıklarını ve dönüşümleri grafiksel veya alan kaydırma (öteleme/genişletme) mantığıyla da düşünebilirsiniz. Örneğin f(9−x)f(9-x) ifadesi f(x)f(x) fonksiyonunun x=4.5x = 4.5 doğrusuna göre simetriğidir, dolayısıyla [4, 5] aralığındaki integral değeri f(x)f(x)'in [4, 5] aralığındaki integral değerine eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2238Soru →

Dik koordinat düzleminde, aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x2−a2f(x) = x^2 - a^2
g(x)=a2−x2g(x) = a^2 - x^2

parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 7272 birimkaredir.

Buna göre, bu parabollerin kesim noktalarından çizilen teğet doğrularının oluşturduğu sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Parabollerin kesim noktalarındaki teğet doğrularının oluşturduğu sınırlı bölgenin alanı 108 birimkaredir.
Parabollerin kesişim noktaları x=±3x = \pm 3 olup, bu noktalardan çizilen teğet doğruları y=±6x±18y = \pm 6x \pm 18 denklemlerine sahiptir. Bu doğrular analitik düzlemde köşegen uzunlukları 6 ve 36 birim olan bir eşkenar dörtgen oluşturur. Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısı olduğundan, alan 108 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesim noktalarının apsislerini bulmak için f(x)=g(x)f(x) = g(x) ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2−a2=a2−x2⇒2x2=2a2⇒x=±ax^2 - a^2 = a^2 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2a^2 \Rightarrow x = \pm a (kesim noktalarının apsisleridir).
İntegral sınırlarını belirlemek ve alanı aa parametresine bağlı olarak ifade etmek amacıyla kesim noktaları bulunur.
2
İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla aa cinsinden hesaplayın.
S=∫−aa(g(x)−f(x)) dx=∫−aa(2a2−2x2) dx=[2a2x−23x3]−aa=83a3S = \int_{-a}^{a} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-a}^{a} (2a^2 - 2x^2) \, dx = \left[ 2a^2 x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-a}^{a} = \frac{8}{3}a^3
Sınırlar dahilinde üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak alan formüle edilir.
3
Hesaplanan alan ifadesini verilen alan değerine (7272) eşitleyerek aa sabitini bulun.
83a3=72⇒a3=27⇒a=3\frac{8}{3}a^3 = 72 \Rightarrow a^3 = 27 \Rightarrow a = 3
Parabollerin net denklemlerini yazabilmek ve teğet noktalarını saptayabilmek için aa değeri hesaplanmalıdır.
4
Parabollerin kesim noktalarını yazın ve bu noktalardaki teğet doğrularının eğimlerini türev yardımıyla hesaplayın.
Kesim noktaları A(−3,0)A(-3, 0) ve B(3,0)B(3, 0) olarak bulunur. Parabollerin türevleri f′(x)=2xf'(x) = 2x ve g′(x)=−2xg'(x) = -2x olup, x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimleri 66 ve −6-6, x=−3x = -3 noktasındaki teğet eğimleri ise −6-6 ve 66 olur.
Teğet doğrularının denklemlerini kurabilmek için teğet noktalarındaki türev değerleri (eğimler) belirlenmelidir.
5
Teğet doğrularının denklemlerini yazın ve kesişim noktalarından oluşan kapalı bölgeyi belirleyin.
Teğet doğrularının denklemleri y=±6(x±3)y = \pm 6(x \pm 3) yani y=±6x±18y = \pm 6x \pm 18 şeklindedir. Bu doğruların kesişim noktaları (0,18)(0, 18), (3,0)(3, 0), (0,−18)(0, -18) ve (−3,0)(-3, 0) olan bir eşkenar dörtgen oluşturur.
Oluşan geometrik şeklin sınırlarını ve köşegen uzunluklarını belirlemek için teğet doğrularının kesişim noktaları bulunur.
6
Eşkenar dörtgenin alanını köşegen uzunluklarını çarparak hesaplayın.
Yatay köşegen uzunluğu d1=6d_1 = 6 birim, dikey köşegen uzunluğu d2=36d_2 = 36 birimdir. Alan = d1⋅d22=6⋅362=108\frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 36}{2} = 108 birimkaredir.
Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesaplanması, türev ile teğet doğrusunun eğiminin bulunması ve analitik düzlemde teğetlerin oluşturduğu bölgenin alan hesabı.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, teğet doğrularının oluşturduğu şeklin birinci bölgedeki kısmının alanını hesaplayıp, şeklin x ve y eksenlerine göre simetrik olmasından faydalanarak bu alanı 4 ile çarpabilirsiniz. Birinci bölgedeki üçgenin köşeleri (0,0)(0,0), (3,0)(3,0) ve (0,18)(0,18) olmadığından, teğet doğrularının sınırladığı dik üçgenin alanı 12⋅3⋅18=27\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 18 = 27 birimkaredir. 4 eş üçgenin toplam alanı 27⋅4=10827 \cdot 4 = 108 birimkare olarak elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2239Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sürekli olması, bu noktada türevlenebilir olması için yeterli bir koşuldur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Süreklilik, türevlenebilme için gerekli bir koşul olsa da yeterli bir koşul değildir.
Süreklilik, türevlenebilme için sadece gerekli bir ön koşuldur; sürekli olan her fonksiyonun türevlenebilir olması gerekmediğinden (örneğin mutlak değer fonksiyonlarının köklerindeki kırılma noktaları) önerme yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilme ve süreklilik kavramları arasındaki mantıksal ilişkiyi kurun.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada kesinlikle süreklidir. Ancak bu önermenin karşıtı her zaman doğru değildir; yani süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli bir koşuldur fakat yeterli değildir.
Türevlenebilme kavramı sürekliliğe göre daha güçlü ve kısıtlayıcı bir yapıya sahiptir.
2
Sürekli olup türevlenemeyen bir fonksiyon örneği (karşı örnek) belirleyin.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki durumu incelendiğinde, lim⁡x→0f(x)=f(0)=0\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir. Ancak sağdan türevi 11, soldan türevi −1-1 olduğundan bu noktada türevi yoktur.
Grafikteki keskin kırılma (köşe) noktalarında limit ve süreklilik sağlanırken sağ ve sol türevler birbirinden farklı olur.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisi
Soru 2240Soru →

[a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir ff fonksiyonunun, bu aralığın eş alt aralıklara bölünmesiyle elde edilen herhangi bir düzgün bölüntüsüne göre hesaplanan sol Riemann toplamı, ff fonksiyonunun bu bölüntüye ait Riemann alt toplamına her zaman eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Sürekli ve artan bir fonksiyonun her alt aralıktaki en küçük değeri aralığın sol sınırında oluşur. Riemann alt toplamı bu minimum değerleri kullandığından, sol uç noktaları kullanan sol Riemann toplamı ile birebir aynı değeri verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıklardaki uç noktaların fonksiyon değerlerini analiz etme
ff fonksiyonu sürekli ve artan olduğundan, her bir [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında fonksiyonun minimum değeri sol uç noktada gerçekleşir, yani mi=f(xi−1)m_i = f(x_{i-1}) olur.
Artan fonksiyonlar��n tanımı gereği, aralıktaki daha küçük girdiler daha küçük çıktılar üretir.
2
Riemann alt toplamının formülünü yazma
nn alt aralıktan oluşan bir düzgün bölüntü için Riemann alt toplamı A=∑i=1nmiΔx=∑i=1nf(xi−1)ΔxA = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x şeklindedir.
Riemann alt toplamı, alt aralıkların genişliği ile o aralıktaki minimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
3
Sol Riemann toplamının formülünü yazıp karşılaştırma
Sol Riemann toplamı, her bir alt aralığın sol uç noktasındaki değer olan f(xi−1)f(x_{i-1}) ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamıdır: S=∑i=1nf(xi−1)ΔxS = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x. Buradan A=SA = S olduğu görülür.
Her iki toplam da aynı terimlerin toplamından oluştuğu için birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı ile sol Riemann toplamının özdeşliği
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 112 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin