Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2261Soru →
Türevlenebilir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu ve bir CC gerçel sayısı için
∫(x+1)⋅f′(x) dx=x3+12x2−2x+C\int (x + 1) \cdot f'(x) \, dx = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + C
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında (x+1)⋅f′(x)=3x2+x−2(x + 1) \cdot f'(x) = 3x^2 + x - 2 elde edilir. Sağ taraf çarpanlarına ayrıldığında (x+1)(3x−2)(x+1)(3x-2) elde edileceğinden, f′(x)=3x−2f'(x) = 3x - 2 olur. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=32x2−2x+C1f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C_1 bulunur. f(1)=3f(1) = 3 koşuluyla C1=72C_1 = \frac{7}{2} olarak hesaplanır. Buradan f(3)=32(9)−2(3)+72=11f(3) = \frac{3}{2}(9) - 2(3) + \frac{7}{2} = 11 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
(x+1)⋅f′(x)=3x2+x−2(x + 1) \cdot f'(x) = 3x^2 + x - 2
Belirsiz integralin t��revi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.
2
3x2+x−23x^2 + x - 2 ifadesi çarpanlarına ayrılır ve her iki taraf x+1x + 1 ile sadeleştirilir.
f′(x)=3x−2f'(x) = 3x - 2
3x2+x−2=(3x−2)(x+1)3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1) olduğundan, x≠−1x \neq -1 için f′(x)f'(x) yalnız bırakılır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak f(x)f(x) elde edilir.
f(x)=32x2−2x+C1f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C_1
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
4
f(1)=3f(1) = 3 eşitliği kullanılarak C1C_1 integral sabiti hesaplanır.
C1=72C_1 = \frac{7}{2}
f(1)=32(1)2−2(1)+C1=3  ⟹  C1=72f(1) = \frac{3}{2}(1)^2 - 2(1) + C_1 = 3 \implies C_1 = \frac{7}{2} elde edilir.
5
f(x)f(x) fonksiyonunda x=3x = 3 yazılarak sonuç hesaplanır.
f(3)=11f(3) = 11
f(3)=32(3)2−2(3)+72=272−6+72=11f(3) = \frac{3}{2}(3)^2 - 2(3) + \frac{7}{2} = \frac{27}{2} - 6 + \frac{7}{2} = 11 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve integral alma kuralları kullanılarak fonksiyonun kendisinin elde edilmesi.
Soru 2262Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

g(2)=4g(2) = 4
g′(2)=3g'(2) = 3
f′(2)=5f'(2) = 5

eşitlikleri verilmektedir.
h(x)=f(g(x)x)h(x) = f\left( \frac{g(x)}{x} \right)

biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52\frac{5}{2}

Cevap

Beş bölü iki
Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralı ve içteki fonksiyon için bölümün türev kuralı eksiksiz uygulandığında h′(2)=f′(2)⋅g′(2)⋅2−g(2)4h'(2) = f'(2) \cdot \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{4} ifadesine ulaşılır. Verilen değerler yerleştirildiğinde doğru değer beş bölü iki olur.

Adım Adım Çözüm

1
h(x)=f(g(x)x)h(x) = f\left( \frac{g(x)}{x} \right) fonksiyonunun türevi zincir kuralı yardımıyla yazılır.
h′(x)=f′(g(x)x)⋅(g(x)x)′h'(x) = f'\left( \frac{g(x)}{x} \right) \cdot \left( \frac{g(x)}{x} \right)' elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi alınarak içi aynen yazılır ve bu ifade içinin türevi ile çarpılır.
2
İçteki g(x)x\frac{g(x)}{x} ifadesinin türevi bölümün türev kuralı kullanılarak bulunur.
(g(x)x)′=g′(x)⋅x−g(x)⋅1x2\left( \frac{g(x)}{x} \right)' = \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot 1}{x^2} olur.
İki fonksiyonun bölümünün türevi alınırken payın türevi ile paydanın çarpımından, pay ile paydanın türevinin çarpımı çıkarılır ve sonuç paydanın karesine bölünür.
3
x=2x = 2 değeri türev denkleminde yerine yazılarak verilen fonksiyon ve türev değerleri yerine konur.
h′(2)=f′(g(2)2)⋅g′(2)⋅2−g(2)22h'(2) = f'\left( \frac{g(2)}{2} \right) \cdot \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{2^2} ifadesinde değerler yazıldığında h′(2)=f′(2)⋅3⋅2−44=5⋅24=52h'(2) = f'(2) \cdot \frac{3 \cdot 2 - 4}{4} = 5 \cdot \frac{2}{4} = \frac{5}{2} bulunur.
g(2)=4g(2) = 4, g′(2)=3g'(2) = 3 ve f′(2)=5f'(2) = 5 bilgileri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Bölüm Fonksiyonlarının Türev Kuralları
Soru 2263Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=y2−2x = y^2 - 2 parabolü ile x=yx = y doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

Sınırlıbo¨lgeninalanı92birimkaredir.Sınırlı bölgenin alanı \frac{9}{2} birimkaredir.
Eğrilerin kesim noktaları olan y=−1y = -1 ve y=2y = 2 sınırları arasında, sağda yer alan x=yx = y doğrusundan solda yer alan x=y2−2x = y^2 - 2 parabolü çıkarılarak integral alındığında alan 92\frac{9}{2} birimkare olarak bulunur. Bu durum sınırlı bölgenin alanını tam ve doğru şekilde verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
y2−2=y⇒y2−y−2=0⇒(y−2)(y+1)=0y^2 - 2 = y \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y - 2)(y + 1) = 0
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin hangi noktalarda kesiştiğini saptamak gerekir.
2
Kesişim noktalarından belirli integralin sınırlarını elde edin.
y1=−1y_1 = -1 ve y2=2y_2 = 2
Bu sınırlar, sınırlı bölgenin yy ekseni üzerindeki alt ve üst sınırlarını oluşturur.
3
[−1,2][-1, 2] aralığında hangi eğrinin sağda (daha büyük xx değerine sahip) olduğunu belirleyin.
y=0y = 0 için x=0x = 0 (doğru) ve x=−2x = -2 (parabol) olduğundan, doğru (x=yx = y) parabolün (x=y2−2x = y^2 - 2) sağındadır.
Alanı hesaplarken integral içinde sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.
4
Belirli integrali kurup hesaplayın.
A=∫−12[y−(y2−2)] dy=∫−12(−y2+y+2) dy=[−y33+y22+2y]−12=(−83+2+4)−(13+12−2)=103−(−76)=92A = \int_{-1}^{2} [y - (y^2 - 2)] \, dy = \int_{-1}^{2} (-y^2 + y + 2) \, dy = \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{-1}^{2} = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}
İki eğri arasında kalan alan, sağdaki eğrinin denkleminden soldakinin çıkarılmasıyla elde edilen farkın integraline eşittir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken, kesim noktaları bulunarak integral sınırları belirlenir. yy değişkenine göre entegrasyon yapıldığında sağdaki eğrinin denkleminden soldaki eğrinin denklemi çıkarılarak integral hesabı gerçekleştirilir.
Soru 2264Soru →

Bir spor kulübünde bulunan 7 sporcu arasından, bir turnuvaya katılmak üzere 5 kişilik bir takım seçilecektir.

Buna göre, bu takım kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Takım 21 farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen sporcuların kendi aralarında sıralanması önemsiz olduğundan, bu bir kombinasyon problemidir. 7 elemanlı bir kümeden 5 elemanlı alt kümelerin sayısı C(7,5)=C(7,2)=21C(7, 5) = C(7, 2) = 21 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Seçim problemini matematiksel olarak ifade etmek
7 sporcu arasından sırası önemsiz olacak şekilde 5 sporcu seçileceğinden kombinasyon kullanılmalıdır. Bu durum C(7,5)C(7, 5) ile gösterilir.
Gruptaki sporcuların kendi aralarındaki dizilişi veya rolleri belirtilmemiştir; sadece kimlerin gruba dahil olduğu önemlidir.
2
C(7,5)C(7, 5) kombinasyon değerini hesaplamak
C(7,5)=C(7,7−5)=C(7,2)C(7, 5) = C(7, 7-5) = C(7, 2) özelliğinden yararlanılarak işlem kolaylaştırılır:

C(7,2)=7×62×1=21C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
Kombinasyon hesaplama formülü C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} şeklindedir ve C(n,r)=C(n,n−r)C(n, r) = C(n, n-r) eşitliği hesaplamayı kolaylaştırır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) Hesaplaması
Tahmini Süre:45s
Soru 2265Soru →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,

lim⁡x→3x2−ax+6x2−2x−3=b\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - ax + 6}{x^2 - 2x - 3} = b

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, a+8ba + 8b toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen toplamın değeri 7'dir.
Limit değerinin bir gerçel sayıya eşit olması, paydanın limitinin sıfır olduğu durumda payın da limitinin sıfır olmasını gerektirir. Buradan a=5a = 5 bulunur. Fonksiyon çarpanlarına ayrılıp belirsizlik giderildiğinde limit değeri b=1/4b = 1/4 olarak hesaplanır. Bu durumda a+8ba + 8b toplamı 77 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini inceleyip belirsizlik durumunu belirlemek
Limit x→3x \to 3 için payda sıfıra yaklaşmaktadır (32−2(3)−3=03^2 - 2(3) - 3 = 0).
Payda sıfıra yaklaşırken limitin bir gerçel sayı (bb) olabilmesi için payın da sıfıra yaklaşması gerekir. Bu durum 0/00/0 belirsizliğidir.
2
Payın limitinin sıfır olmasından yararlanarak aa parametresini bulmak
32−a(3)+6=0  ⟹  15−3a=0  ⟹  a=53^2 - a(3) + 6 = 0 \implies 15 - 3a = 0 \implies a = 5 olarak bulunur.
Limitin var olması için payın x=3x=3 noktasındaki değeri sıfır olmalıdır.
3
a=5a = 5 değerini yerine yazarak limit ifadesini sadeleştirmek ve bb değerini hesaplamak
lim⁡x→3x2−5x+6x2−2x−3=lim⁡x→3(x−2)(x−3)(x−3)(x+1)=lim⁡x→3x−2x+1=3−23+1=14=b\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 2x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-2}{x+1} = \frac{3-2}{3+1} = \frac{1}{4} = b elde edilir.
0/00/0 belirsizliğini gidermek için pay ve payda çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe yol açan (x−3)(x-3) terimleri sadeleştirilir.
4
a+8ba + 8b ifadesinin değerini hesaplamak
a+8b=5+8⋅14=5+2=7a + 8b = 5 + 8 \cdot \frac{1}{4} = 5 + 2 = 7 bulunur.
Bulunan aa ve bb değerleri toplam formülünde yerine yazılır.

Anahtar Kavram

0/00/0 belirsizliği durumunda limitin varlığı için pay ve paydanın ortak çarpan barındırması gerekir. Bu belirsizlik çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilir.

Alternatif Yöntem

L'Hopital Kuralı kullanılarak pay ve paydanın limit noktasındaki türevleri alınabilir. lim⁡x→32x−a2x−2=b\lim_{x \to 3} \frac{2x - a}{2x - 2} = b eşitliğinde a=5a = 5 yazıldığında b=6−54=14b = \frac{6-5}{4} = \frac{1}{4} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2266Soru →

(2x−y)5(2x - y)^5 ifadesinin açılımındaki x3y2x^3 y^2 teriminin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

İfadenin açılımındaki x3y2x^3 y^2 teriminin katsayısı 80'dir.
Genel terim formülü olan (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r ifadesinde n=5n=5, a=2xa=2x ve b=−yb=-y değerleri yerine konur. İstenen x3y2x^3 y^2 terimi için r=2r=2 olmalıdır. Buradan (52)(2x)3(−y)2=10⋅8x3⋅y2=80x3y2\binom{5}{2} (2x)^3 (-y)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot y^2 = 80 x^3 y^2 elde edilir. Dolayısıyla aranan katsayı 80 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü kurulur.
(5r)(2x)5−r(−y)r\binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-y)^r
Binom açılımındaki terimleri bulmak amacıyla genel terim formülü oluşturulur.
2
İstenen terimin üslerine göre rr değeri belirlenir.
r=2r = 2
x3y2x^3 y^2 teriminde yy değişkeninin üssü 2 olduğu için genel formüldeki rr parametresi 2 olarak seçilir.
3
r=2r = 2 değeri formülde yerine yazılıp katsayı hesaplanır.
(52)(2)3(−1)2=10⋅8⋅1=80\binom{5}{2} (2)^3 (-1)^2 = 10 \cdot 8 \cdot 1 = 80
Seçilen rr değerine karşılık gelen katsayılar çarpılarak aranan terimin katsayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı Genel Terim Formülü
Soru 2267Soru →
Gerçel sayılar kümesinin x≠4x \neq 4 koşulunu sağlayan elemanları üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=x2−3xx−4f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, ff fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 8'dir.
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=x2−8x+12(x−4)2f'(x) = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2} ifadesini sıfır yapan ve fonksiyonun tanımlı olduğu noktaların apsisleri 22 ve 66 olup, bu noktaların her ikisinde de türev işaret değiştirmektedir. Bu nedenle yerel ekstremum apsisleri toplamı 2+6=82 + 6 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini bölümün türevi kuralını kullanarak hesaplayın.
f′(x)=(2x−3)(x−4)−(x2−3x)⋅1(x−4)2=x2−8x+12(x−4)2f'(x) = \frac{(2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2}
Yerel ekstremum noktalarının adaylarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun birinci türevini bulmamız gerekir.
2
Türevi sıfıra eşitleyen noktaları bulun.
x2−8x+12=0  ⟹  (x−2)(x−6)=0x^2 - 8x + 12 = 0 \implies (x - 2)(x - 6) = 0 denkleminden x=2x = 2 ve x=6x = 6 bulunur.
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Bulunan kritik noktaların tanım kümesinde olup olmadığını ve türevin bu noktalarda işaret değiştirip değiştirmediğini inceleyin.
x=2x = 2 ve x=6x = 6 noktaları tanım kümesindedir (2≠42 \neq 4 ve 6≠46 \neq 4). f′(x)f'(x)'in paydası (x−4)2>0(x-4)^2 > 0 olduğundan işaret değişimi sadece payın köklerinde olur. Tabloya göre x=2x = 2 yerel maksimum, x=6x = 6 ise yerel minimum noktasıdır.
Bir noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için fonksiyonun o noktada tanımlı olması ve türevinin o noktada işaret değiştirmesi şarttır.
4
Yerel ekstremum noktalarının apsislerini toplayın.
2+6=82 + 6 = 8 bulunur.
Bizden yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun türevi alınır, türevi sıfır yapan noktalar belirlenir ve bu noktalarda türevin işaret değiştirip değiştirmediği (ekstremum olma koşulu) kontrol edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2268Soru →
Bir ff fonksiyonu ve sıfırdan farklı her xx gerçel sayısı için tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu arasında
f′(x)=3x2⋅g(x)+x3⋅g′(x)f'(x) = 3x^2 \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x)
ilişkisi bulunmaktadır.
∫g(x)x4 dx=−2x+3x2+C\int \frac{g(x)}{x^4} \, dx = -\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + C
eşitliği verildiğine göre, f(1)=−1f(1) = -1 şartını sağlayan ff fonksiyonu için f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -29

Cevap

f(2) değeri -29 olarak bulunur.
Verilen integral eşitliğinin her iki tarafının türevi alındığında g(x) fonksiyonu 2x^2 - 6x olarak bulunur. f'(x) ifadesinin x^3 * g(x) çarpımının türevi olduğu görülür. Buradan integral alınarak f(x) = 2x^5 - 6x^4 + C elde edilir. f(1) = -1 koşulundan C = 3 bulunur. Son olarak f(2) = 2(32) - 6(16) + 3 = -29 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen integral eşitliğinin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
g(x)x4=ddx(−2x−1+3x−2)=2x−2−6x−3=2x2−6x3\frac{g(x)}{x^4} = \frac{d}{dx} \left( -2x^{-1} + 3x^{-2} \right) = 2x^{-2} - 6x^{-3} = \frac{2}{x^2} - \frac{6}{x^3}
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki ifadeye (integranda) e��ittir.
2
Elde edilen denklemde her iki taraf x^4 ile çarpılarak g(x) fonksiyonu yalnız bırakılır.
g(x)=x4⋅(2x2−6x3)=2x2−6xg(x) = x^4 \cdot \left( \frac{2}{x^2} - \frac{6}{x^3} \right) = 2x^2 - 6x
g(x) ifadesini elde etmek için cebirsel sadeleştirme yapılır.
3
f'(x) fonksiyonunun çarpımın türevi kuralından (x^3 * g(x))' ifadesine eşit olduğu fark edilir ve her iki tarafın belirsiz integrali alınarak f(x) fonksiyonu bulunur.
f(x)=∫f′(x) dx=∫(x3⋅g(x))′ dx=x3⋅g(x)+C1=x3(2x2−6x)+C1=2x5−6x4+C1f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x^3 \cdot g(x))' \, dx = x^3 \cdot g(x) + C_1 = x^3(2x^2 - 6x) + C_1 = 2x^5 - 6x^4 + C_1
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
4
f(1) = -1 başlangıç koşulu kullanılarak C_1 integral sabiti bulunur.
f(1)=2(1)5−6(1)4+C1=−1  ⟹  −4+C1=−1  ⟹  C1=3f(1) = 2(1)^5 - 6(1)^4 + C_1 = -1 \implies -4 + C_1 = -1 \implies C_1 = 3
Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri kullanılarak integral sabiti tek bir değere indirgenir.
5
f(x) = 2x^5 - 6x^4 + 3 fonksiyonunda x = 2 yazılarak f(2) değeri hesaplanır.
f(2)=2(2)5−6(2)4+3=64−96+3=−29f(2) = 2(2)^5 - 6(2)^4 + 3 = 64 - 96 + 3 = -29
Fonksiyonun istenen noktadaki değerini bulmak için x yerine 2 yazılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevi ile integrali arasındaki ilişki, çarpımın türevi kuralının integralde fark edilmesi ve integral sabiti kullanılarak fonksiyonun yeniden elde edilmesi.
Soru 2269Soru →

f(x)=4x2−2x+1f(x) = 4x^2 - 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı, eşit uzunlukta 3 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre ff fonksiyonunun Riemann orta toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 71

Cevap

Riemann orta toplamının değeri 71'dir.
Verilen f(x)=4x2−2x+1f(x) = 4x^2 - 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] aralığındaki 3 eşit alt aralığının orta noktaları olan 151{}5, 252{}5 ve 353{}5 noktalarındaki fonksiyon değerlerinin toplamı ile aralık genişliği olan 11 çarpıldığında doğru sonuç olan 71 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
[1, 4] aralığının 3 eşit alt aralığa bölüntüsündeki aralık genişliğini bulma
Δx=1\Delta x = 1
Her bir alt aralığın genişliği, aralığın toplam uzunluğunun alt aralık sayısına bölünmesiyle elde edilir.
2
Elde edilen alt aral��kların orta noktalarını belirleme
[1,2][1, 2] için c1=15c_1 = 1{}5, [2,3][2, 3] için c2=25c_2 = 2{}5, [3,4][3, 4] için c3=35c_3 = 3{}5
Riemann orta toplamı hesaplanırken, fonksiyonun her bir alt aralığın tam orta noktasındaki değeri kullanılır.
3
Orta noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(15)=7f(1{}5) = 7, f(25)=21f(2{}5) = 21, f(35)=43f(3{}5) = 43
Alt aralıkların orta noktaları fonksiyon kuralında yerine yazılarak Riemann dikdörtgenlerinin yükseklikleri bulunur.
4
Fonksiyon değerleri ile aralık genişliğini çarparak toplamı hesaplama
7171
Her bir dikdörtgenin alanı (yükseklik ile taban genişliğinin çarpımı) toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.

Anahtar Kavram

Riemann orta toplamı, tanımlı olduğu aralıkta alt aralıkların orta noktalarındaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamıdır.
Soru 2270Soru →
Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−x2−2xf(x) = x^3 - x^2 - 2x eğrisine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir AA noktasında kesmektedir. Buna göre, AA noktasından f(x)f(x) eğrisine çizilen normal doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −13-\frac{1}{3}

Cevap

Normal doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı −13-\frac{1}{3} olarak bulunur.
Doğru cevap olan −13-\frac{1}{3} değeri, belirtilen noktadan çizilen teğet doğrusu ile eğrinin ortak çözümü yapılarak kesim noktası olan koordinat düzlemindeki diğer noktanın bulunması ve ardından bu noktadaki normal doğrusunun eğimi kullanılarak yazılan normal denklemi yardımıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasındaki fonksiyon değerini ve türevini (teğet eğimini) bulunuz.
f(1)=−2f(1) = -2 ve f′(1)=−1f'(1) = -1 bulunur.
x=1x=1 apsisli noktadaki teğet doğrusunun denklemini yazmak için eğim ve geçtiği nokta gereklidir.
2
x=1x=1 noktasındaki teğet doğrusunun denklemini yazınız.
y−(−2)=−1(x−1)  ⟹  y=−x−1y - (-2) = -1(x-1) \implies y = -x - 1 doğrusu elde edilir.
Teğetin denklemi y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) formülüyle bulunur.
3
Teğet doğrusu ile f(x)f(x) eğrisinin kesişim noktalarını bulmak için ortak çözüm yapınız.
x3−x2−2x=−x−1  ⟹  (x−1)2(x+1)=0x^3 - x^2 - 2x = -x - 1 \implies (x-1)^2(x+1) = 0 denkleminden diğer kesişim noktası x=−1x = -1 apsisli A(−1,0)A(-1, 0) noktası olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eğriyi kestiği diğer noktayı bulmak için iki denklem birbirine eşitlenir.
4
A(−1,0)A(-1, 0) noktasındaki teğet ve normal doğrularının eğimlerini hesaplayınız.
f′(−1)=3f'(-1) = 3 olduğundan AA noktasındaki teğet eğimi mT=3m_T = 3 ve normal doğrusunun eğimi mN=−13m_N = -\frac{1}{3} olur.
Bir noktadaki normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimiyle çarpımı −1-1 olacak şekilde mN=−1mTm_N = -\frac{1}{m_T} formülüyle bulunur.
5
A(−1,0)A(-1, 0) noktasındaki normal doğrusunun denklemini yazıp yy eksenini kestiği noktayı bulunuz.
y−0=−13(x−(−1))  ⟹  y=−13x−13y - 0 = -\frac{1}{3}(x - (-1)) \implies y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3} doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı −13-\frac{1}{3} olarak elde edilir.
yy eksenini kestiği noktayı bulmak için normal doğrusunun denkleminde x=0x = 0 yazılır.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin negatif tersidir (mT⋅mN=−1m_T \cdot m_N = -1). Ayrıca teğet doğrusu ile eğrinin diğer kesim noktaları ortak çözüm yapılarak bulunur.
Soru 2271Soru →
f:[0,9]→Rf: [0, 9] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫−33(x3−5x+3)f(x2) dx=36\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x + 3) f(x^2) \, dx = 36
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫09f(x)x dx\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen integral ifadesi lineerlik özelliğiyle parçalandığında, ilk terim tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali olduğu için sıfır olur. İkinci terim ise çift fonksiyon simetrisinden dolayı [0,3][0,3] aralığındaki integralin iki katı olarak yazılıp integral değeri 6 olarak bulunur. İstenen integralde yapılan u=xu=\sqrt{x} değişken değiştirmesi sonucunda integralin sınırları [0,3][0,3] aralığına gelir ve integral 2∫03f(u2)du2 \int_{0}^{3} f(u^2) du biçimine dönüşerek 12 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusal özelliklerini kullanarak iki parçaya ayırma
∫−33(x3−5x)f(x2) dx+∫−333f(x2) dx=36\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx + \int_{-3}^{3} 3 f(x^2) \, dx = 36
Belirli integralin lineerlik özelliği gereği, parantez içindeki toplam ve fark durumundaki ifadeler ayrı ayrı integraller olarak yazılabilir.
2
Tek fonksiyon özelliğini kullanarak ilk integralin değerini belirleme
∫−33(x3−5x)f(x2) dx=0\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx = 0
h(x)=(x3−5x)f(x2)h(x) = (x^3 - 5x) f(x^2) fonksiyonunda h(−x)=−h(x)h(-x) = -h(x) sağlandığı için bu fonksiyon tektir. Simetrik [−a,a][-a, a] aralığında sürekli bir tek fonksiyonun belirli integrali her zaman sıfırdır.
3
Çift fonksiyon simetri özelliğini kullanarak ikinci integralin sınırlarını daraltma
∫03f(x2) dx=6\int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6
g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunda g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) olduğundan bu fonksiyon çifttir. Simetrik [−3,3][-3, 3] aralığında çift fonksiyonun integrali, [0,3][0, 3] aralığındaki integralinin iki katına eşittir. Buradan 3⋅[2∫03f(x2) dx]=36  ⟹  ∫03f(x2) dx=63 \cdot \left[ 2 \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx \right] = 36 \implies \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6 elde edilir.
4
Hesaplanması istenen integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) uygulama
∫09f(x)x dx=2∫03f(u2) du\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapıldığında x=u2x = u^2 ve diferansiyel dx=2u dudx = 2u \, du olur. Alt sınır x=0  ⟹  u=0x=0 \implies u=0 ve üst sınır x=9  ⟹  u=3x=9 \implies u=3 olarak güncellenir. Değerler yerine yazıldığında integral 2∫03f(u2) du2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du halini alır.
5
Elde edilen integral değerini yerine koyarak sonucu bulma
12
2∫03f(u2) du=2⋅6=122 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du = 2 \cdot 6 = 12

Anahtar Kavram

Belirli integralde tek-çift fonksiyon simetrisi ve değişken değiştirme yardımıyla sınırların güncellenmesi.
Soru 2272Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
g(x)=x2−8x+23g(x) = x^2 - 8x + 23

fonksiyonları veriliyor. f(x)f(x) parabolü üzerindeki bir A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasından çizilen teğet doğrusu, g(x)g(x) parabolünün tepe noktasından geçmektedir.

a<4a < 4 olduğuna göre, bu teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Teğet doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı -1 değeridir.
Doğru cevap -1 değeridir. f(x) fonksiyonuna x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y = 2x - 1 olup, y-eksenini -1 ordinatlı noktada keser.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) parabolünün tepe noktasını bulalım.
g(x) = x^2 - 8x + 23 parabolünde tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) = -(-8)/(2*1) = 4 olur. Bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak ordinat k = g(4) = 4^2 - 8(4) + 23 = 16 - 32 + 23 = 7 bulunur. Dolayısıyla tepe noktası T(4, 7) noktasıdır.
Teğet doğrusunun geçeceği noktayı belirlemek için.
2
f(x) eğrisine x = a noktasından ��izilen teğet doğrusunun denklemini kuralım.
Teğet noktası (a, a^2 - 2a + 3) ve teğetin eğimi m = f'(a) = 2a - 2 olur. Teğet doğrusunun denklemi: y - (a^2 - 2a + 3) = (2a - 2)(x - a) şeklinde yazılır.
Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla oluşturmak için.
3
Teğet doğrusu T(4, 7) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine yazarak a değerini bulalım.
7 - (a^2 - 2a + 3) = (2a - 2)(4 - a) ifadesinden 4 - a^2 + 2a = -2a^2 + 10a - 8 elde edilir. Denklemi düzenlediğimizde a^2 - 8a + 12 = 0 olur. Bu denklem çarpanlarına ayrılırsa (a - 2)(a - 6) = 0 elde edilir. Buradan a = 2 veya a = 6 bulunur.
Teğet doğrusunun geçtiği bilinen noktayı kullanarak teğet noktalarının apsislerini belirlemek için.
4
a < 4 koşuluna uyan a değerini seçip teğet doğrusunun denklemini yazalım.
Sorudaki a < 4 koşulundan dolayı a = 2 değeri seçilir. a = 2 için teğet noktası (2, 3) ve eğim m = 2(2) - 2 = 2 olur. Teğet doğrusunun denklemi y - 3 = 2(x - 2) veya düzenlenmiş haliyle y = 2x - 1 olarak bulunur.
Koşulu sağlayan doğru denklemini tam olarak belirlemek için.
5
Teğet doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatını bulalım.
y = 2x - 1 denkleminde x = 0 yazılırsa y = -1 bulunur.
Doğrunun y-eksenini kestiği noktaya ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
Soru 2273Soru →

Bir okulun basketbol takımında bulunan 66 sporcu arasından 44 kişilik bir grup seçilecektir. Bu sporcular arasında yer alan takım kaptanı Can'ın seçilecek grupta kesinlikle bulunması gerektiğine göre, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Seçilecek grupta takım kaptanı Can kesinlikle bulunacağından, geriye kalan 5 sporcu arasından 3 sporcu seçilmelidir. Bu seçim (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde yapılır.
Grupta Can kesinlikle yer alacağı için geriye kalan 5 kişiden 3 kişinin seçilmesi gerekir. Bu da kombinasyon formülü ile hesaplandığında 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Grupta kesinlikle bulunacak olan takım kaptanı Can'ı gruba yerleştirmek.
Seçilmesi gereken sporcu sayısı 4−1=34 - 1 = 3 olur. Can dışındaki aday sayısı ise 6−1=56 - 1 = 5 olur.
Can zaten seçildiği için hem grup kontenjanı hem de aday sayısı 11 azalır.
2
Geriye kalan 55 aday arasından 33 kişiyi kombinasyon yöntemiyle seçmek.
Seçim sayısı (53)=10\binom{5}{3} = 10 olarak bulunur.
Sıralama önemli olmayıp sadece seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu kombinasyon (belirli elemanın bulunması durumu)
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2274Soru →

Dik koordinat düzleminde; y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=2−xy = 2 - x doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı AA birimkaredir.

Buna göre, 6A6A değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İstenen alanın 6 katı olan değer 5 olarak bulunur.
Verilen eğriler ve y ekseni arasındaki sınırlı bölgenin alanı integral yardımıyla 5/6 birimkare olarak hesaplanır. Bu alanın 6 katı alındığında sonuç 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasının belirlenmesi
x=1x = 1
y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=2−xy = 2 - x doğrusunun ortak çözümünden elde edilen x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 denkleminin x≤2x \le 2 koşulunu sağlayan kökü bulunur.
2
İntegral sınırlarının ve ifadesinin belirlenmesi
A=∫01(2−x−x) dxA = \int_{0}^{1} (2 - x - \sqrt{x}) \, dx
Bölge soldan yy ekseni (x=0x=0) ve sağdan kesişim noktası (x=1x=1) ile sınırlıdır. Bu aralıkta üstteki eğri y=2−xy = 2 - x, alttaki eğri ise y=xy = \sqrt{x} fonksiyonudur.
3
İntegralin hesaplanması ve alanın bulunması
A=56A = \frac{5}{6}
Belirli integralin ilkel fonksiyonu yardımıyla sınır değerleri yerine yazılarak alan değeri elde edilir.
4
6A6A değerinin hesaplanması
5
Bulunan alan değeri soru kökünde belirtilen katsayı olan 6 ile çarpılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Soru 2275Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
A=∫12x3f(x2+1) dxA = \int_{1}^{\sqrt{2}} x^3 f(x^2 + 1) \, dx
eşitliği veriliyor.

Buna göre, AA ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \int_{2}^{3} \frac{x - 1}{2} f(x) \, dx

Cevap

∫23x−12f(x) dx\int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx ifadesidir.
Doğru seçenekte, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümüyle x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} ve x2=u−1x^2 = u - 1 eşitlikleri kullanılmış, integral sınırları da alt sınır 22 ve üst sınır 33 olacak şekilde güncellenerek ∫23x−12f(x) dx\int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx ifadesine ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır ve u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü seçilir.
du=2x dxdu = 2x \, dx diferansiyeli elde edilir ve buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} bulunur.
İntegral içindeki x3x^3 ifadesi, diferansiyel çarpanını elde etmek amacıyla x2⋅xx^2 \cdot x olarak parçalanır.
2
x2x^2 terimi uu cinsinden yazılır.
u=x2+1u = x^2 + 1 eşitliğinden x2=u−1x^2 = u - 1 elde edilir.
İntegral içindeki tüm değişkenlerin yeni değişken olan uu türünden ifade edilmesi zorunludur.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=(2)2+1=3x = \sqrt{2} \implies u = (\sqrt{2})^2 + 1 = 3 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Bulunan tüm ifadeler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak integral sadeleştirilir.
A=∫23(u−1)f(u)du2=∫23u−12f(u) duA = \int_{2}^{3} (u - 1) f(u) \frac{du}{2} = \int_{2}^{3} \frac{u - 1}{2} f(u) \, du elde edilir. Belirli integralde değişken ismi sonucu değiştirmediğinden uu yerine xx yazılarak A=∫23x−12f(x) dxA = \int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx bulunur.
Değişken değiştirme tamamlanarak integralin eşiti olan ifade belirlenmiş olur.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi
Soru 2276Soru →
Her xx gerçel sayısı için ikinci mertebeden türevi tanımlı olan bir ff fonksiyonu için
f′′(x)=6x−4f''(x) = 6x - 4
olduğu bilinmektedir.

y=f(x)y = f(x) eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasında bir yerel ekstremumu bulunmaktadır.

Eğri (1,3)(1, 3) noktasından geçtiğine göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen ikinci türev ifadesinin ardışık iki kez integrali alınarak ve yerel ekstremum (f′(1)=0f'(1) = 0) ile noktayı sağlama (f(1)=3f(1) = 3) koşulları uygulanarak integral sabitleri sırasıyla C1=1C_1 = 1 ve C2=3C_2 = 3 bulunur. Elde edilen f(x)=x3−2x2+x+3f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında sonuç 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci türevi verilen fonksiyonun belirsiz integrali alınarak birinci türev fonksiyonu genel olarak elde edilir.
f′(x)=3x2−4x+C1f'(x) = 3x^2 - 4x + C_1
İkinci türevin integrali birinci türevi verir: ∫(6x−4) dx=3x2−4x+C1\int (6x - 4) \, dx = 3x^2 - 4x + C_1.
2
Yerel ekstremum koşulu kullanılarak birinci integral sabiti (C1C_1) hesaplanır.
C1=1C_1 = 1 ve f′(x)=3x2−4x+1f'(x) = 3x^2 - 4x + 1
x=1x = 1 apsisli noktada yerel ekstremum olduğu için f′(1)=0f'(1) = 0 olmalıdır. Buradan 3(1)2−4(1)+C1=0  ⟹  C1=13(1)^2 - 4(1) + C_1 = 0 \implies C_1 = 1 bulunur.
3
Birinci türev fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak fonksiyonun kendisi (f(x)f(x)) elde edilir.
f(x)=x3−2x2+x+C2f(x) = x^3 - 2x^2 + x + C_2
Birinci türevin integrali fonksiyonun kendisini verir: ∫(3x2−4x+1) dx=x3−2x2+x+C2\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x + C_2.
4
Eğrinin geçtiği nokta kullanılarak ikinci integral sabiti (C2C_2) hesaplanır.
C2=3C_2 = 3 ve f(x)=x3−2x2+x+3f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3
Eğri (1,3)(1, 3) noktasından geçtiği için f(1)=3f(1) = 3 olmalıdır. Buradan 13−2(1)2+1+C2=3  ⟹  C2=31^3 - 2(1)^2 + 1 + C_2 = 3 \implies C_2 = 3 elde edilir.
5
Fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak istenen değer hesaplanır.
f(2)=5f(2) = 5
f(x)=x3−2x2+x+3f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında f(2)=23−2(2)2+2+3=8−8+2+3=5f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 + 3 = 8 - 8 + 2 + 3 = 5 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları kullanılarak türevleri verilen bir fonksiyonun kendisinin elde edilmesi ve sınır koşullarıyla integral sabitlerinin bulunması.
Soru 2277Soru →

Bir grafik tasarımcı, bilgisayarının masaüstündeki yatay menü çubuğuna 33 farklı tasarım programının ve 22 farklı oyunun simgesini yan yana sıralayacaktır.

Buna göre, oyun simgelerinin yan yana bulunması koşuluyla bu 55 simge menü çubuğuna kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Oyun simgelerinin bir blok kabul edilerek tasarım programlarıyla birlikte 4!4! ve oyun simgelerinin kendi arasında 2!2! sıralanmasıyla elde edilen 4848 değeri doğru cevaptır.
Oyun simgeleri tek bir blok olarak düşünüldüğünde, 3 tasarım simgesiyle birlikte toplam 4 nesne elde edilir. Bu 4 nesne 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanabilir. Oyun simgeleri de kendi arasında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebileceğinden, toplam dizilim sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Oyun simgelerini yan yana tutmak için onları tek bir eleman (blok) olarak kabul edin.
2 oyun simgesi tek bir blok (O1,O2)(O_1, O_2) haline getirilir. Geriye kalan 3 tasarım programı simgesi ile birlikte sıralanacak toplam nesne sayısı 1+3=41 + 3 = 4 olur.
Yan yana olması istenen elemanlar tek bir paket gibi düşünülmelidir.
2
Oluşan 4 nesnenin yan yana sıralanma sayısını hesaplayın.
4!=244! = 24 farklı dizilim elde edilir.
Farklı nesnelerin düz bir hatta sıralanma sayısı permütasyon formülü (n!n!) ile bulunur.
3
Blok içindeki oyun simgelerinin kendi aralarındaki yer değiştirme sayısını hesaplayın.
2!=22! = 2 farklı yer değişim durumu oluşur.
Aynı blok içindeki farklı nesneler de kendi aralarında sıralanabilir.
4
Toplam sıralama sayısını bulmak için elde edilen durumları çarpma yoluyla sayma kuralına göre çarpın.
24×2=4824 \times 2 = 48 farklı sıralama elde edilir.
Birbirine bağlı bağımsız adımların oluşturduğu toplam durum sayısı çarpılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Permütasyon (Elemanların yan yana olması durumu)
Soru 2278Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan 4 yazılımcı ve 5 tasarımcı arasından 4 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır. Kurulacak ekip ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Ekipte en az 2 yazılımcı yer almalıdır.
* Yazılımcılardan Can ile tasarımcılardan Deniz aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

Proje ekibi 66 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevap 66'dır. En az 2 yazılımcının yer aldığı tüm ekiplerin sayısı 81'dir. Bu ekiplerden Can ve Deniz'in birlikte yer aldığı 15 ekip çıkarıldığında, koşulları sağlayan 66 farklı ekip oluşturulabileceği görülür.

Adım Adım Çözüm

1
En az 2 yazılımcının bulunduğu tüm 4 kişilik ekip kombinasyonlarını hesaplayalım.
Toplam durum sayısı 60+20+1=8160 + 20 + 1 = 81 olur.
Ekipte en az 2 yazılımcı olması gerekti��inden; 2 yazılımcı ve 2 tasarımcı için (42)⋅(52)=6⋅10=60\binom{4}{2} \cdot \binom{5}{2} = 6 \cdot 10 = 60 durum, 3 yazılımcı ve 1 tasarımcı için (43)⋅(51)=4⋅5=20\binom{4}{3} \cdot \binom{5}{1} = 4 \cdot 5 = 20 durum veya 4 yazılımcı için (44)⋅(50)=1⋅1=1\binom{4}{4} \cdot \binom{5}{0} = 1 \cdot 1 = 1 durum oluşabilir.
2
Can ve Deniz'in aynı ekipte birlikte bulunduğu ve en az 2 yazılımcı barındıran durumları hesaplayalım.
İstenmeyen durum sayısı 12+3=1512 + 3 = 15 olur.
Can ve Deniz ekipte kesinlikle yer alacağından kalan 2 kişi seçilmelidir. Can zaten 1 yazılımcı olduğundan, ekibin en az 2 yazılımcı barındırması için kalan 2 kişiden en az 1'i yazılımcı olmalıdır. Bu durumlar; Can hariç 3 yazılımcı ve Deniz hariç 4 tasarımcı arasından 1 yazılımcı ve 1 tasarımcı seçilmesi (31)⋅(41)=3⋅4=12\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} = 3 \cdot 4 = 12 veya 2 yazılımcı seçilmesi (32)⋅(40)=3⋅1=3\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{0} = 3 \cdot 1 = 3 şeklindedir.
3
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak sonucu bulalım.
81−15=6681 - 15 = 66 farklı şekilde ekip kurulabilir.
Can ve Deniz'in birlikte bulunmadığı geçerli durumların sayısını bulmak için tüm geçerli durumlardan onların birlikte olduğu durumları çıkarmamız gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Tüm Durumlar Yöntemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2279Soru →

Dik koordinat düzleminin birinci b��lgesinde; y2=4xy^2 = 4x parabolü, x=4x = 4 doğrusu ve xx ekseni arasında kalan sınırlı bölge, y=mxy = mx doğrusu ile alanları oranı 1:311:31 olan iki bölgeye ayrılıyor. Buna göre, mm pozitif gerçel sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 112\frac{1}{12}

Cevap

Değerlerin çarpımı 1/12'dir.
Birinci bölgede parabol, x ekseni ve x = 4 doğrusu arasındaki toplam alan 32/3 birimkaredir. Alanlar oranı 1:31 olduğundan küçük bölgenin alanı 1/3 birimkare olmalıdır. Doğrunun eğimi m >= 1 olduğunda üstte kalan alan 8/(3m^3) formülüyle bulunur ve buradan m = 2 elde edilir. Doğrunun eğimi 0 < m <= 1 olduğunda altta oluşan üçgenin alanı 8m olur ve buradan m = 1/24 elde edilir. Bu iki pozitif gerçel sayının çarpımı ise 1/12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrularla sınırlanan bölgenin toplam alanını hesaplama
S=323S = \frac{32}{3} birimkare
Bölgenin sınırlarını belirleyip belirli integral kullanarak toplam alanı bulmak için.
2
Alanları oranı 1:311:31 olan iki bölgeden küçük olanın alanını belirleme
Küçük bölgenin alanı S1=132S=13S_1 = \frac{1}{32} S = \frac{1}{3} birimkare
Toplam alan 32 parçaya bölündüğünde küçük parçanın payına düşen miktarı bulmak için.
3
y=mxy = mx doğrusunun bölgeden çıkış noktasına göre birinci durumu inceleme (m≥1m \ge 1)
m=2m = 2 değeri elde edilir.
Doğrunun parabolü x≤4x \le 4 aralığında kesmesi durumundaki alanı hesaplamak için.
4
y=mxy = mx doğrusunun bölgeden çıkış noktasına göre ikinci durumu inceleme (0<m≤10 < m \le 1)
m=124m = \frac{1}{24} değeri elde edilir.
Doğrunun x=4x = 4 düşey doğrusunu kesmesi durumundaki üçgensel alanı hesaplamak için.
5
Bulunan mm değerlerinin çarpımını hesaplama
2×124=1122 \times \frac{1}{24} = \frac{1}{12}
Soruda istenen çarpım değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı ve Doğru ile Alan Bölme
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2280Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff fonksiyonu

f(x)={x2+ax+1,x<1bx3−2x,x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 1, & x < 1 \\ bx^3 - 2x, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

g(x)=f(x2+x−1)g(x) = f(x^2 + x - 1) olduğuna göre, g′(1)g'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

-6
Doğru cevap, süreklilik ve türevlenebilirlik şartlarının her ikisi de sağlanarak f′(1)=−2f'(1) = -2 bulunduktan sonra, zincir kuralı ile g′(1)=3⋅f′(1)=−6g'(1) = 3 \cdot f'(1) = -6 olarak hesaplanan değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında türevlenebilir olması için bu noktada sürekli olması gerekir. Sol ve sağ limitleri eşitleyerek aa ve bb arasındaki ilişkiyi bulalım.
a+2=b−2  ⟹  b−a=4a + 2 = b - 2 \implies b - a = 4
Türevlenebilir her fonksiyon tanımlı olduğu noktada sürekli olmak zorundadır.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki sol ve sağ türevlerini eşitleyerek aa ve bb arasındaki ikinci ilişkiyi bulalım.
a+2=3b−2  ⟹  3b−a=4a + 2 = 3b - 2 \implies 3b - a = 4
x=1x = 1 kritik noktasında türevin var olması için sağ ve sol türevlerin birbirine eşit olması gerekir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb değerlerini, ardından f′(1)f'(1) değerini bulalım.
b=0b = 0, a=−4a = -4 ve f′(1)=−2f'(1) = -2
Denklemleri ortak çözdüğümüzde 2b=0  ⟹  b=02b = 0 \implies b = 0 bulunur. Buradan a=−4a = -4 elde edilir. Sol veya sağ türev fonksiyonunda yerine yazarak f′(1)=−2f'(1) = -2 bulunur.
4
g(x)=f(x2+x−1)g(x) = f(x^2 + x - 1) fonksiyonunun türevini zincir kuralı yardımıyla alıp x=1x = 1 değerini yerine yazalım.
g′(1)=3⋅f′(1)=3⋅(−2)=−6g'(1) = 3 \cdot f'(1) = 3 \cdot (-2) = -6
Bileşke fonksiyon türevi kuralına göre g′(x)=f′(x2+x−1)⋅(2x+1)g'(x) = f'(x^2 + x - 1) \cdot (2x + 1) olur. x=1x = 1 için g′(1)=f′(1)⋅3g'(1) = f'(1) \cdot 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları, parçalı fonksiyonların türevlenebilirliği ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı)
ÖncekiSayfa 114 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin