Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2281Soru →

Bir okulun düzenleyeceği bilim şenliğine katılmak üzere 4 öğretmen ve 6 öğrenciden oluşan bir gruptan 4 kişilik bir proje ekibi seçilecektir.

Seçilecek ekipte en az 1 ��ğretmen ve en az 1 öğrenci bulunması zorunludur. Ancak, öğretmenlerden Ahmet Bey ve öğrencilerden Burak arasında bir anlaşmazlık olduğu için ikisi aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 166

Cevap

Proje ekibi 166 farklı şekilde oluşturulabilir.
Ekipte en az bir öğretmen ve bir öğrenci bulunma kuralına göre oluşturulabilecek tüm ekiplerin sayısı 80+90+24=19480 + 90 + 24 = 194 olarak bulunur. Ahmet Bey ve Burak'ın birlikte bulunduğu ve bu kuralı sağlayan ekiplerin sayısı ise kalan 8 kişiden 2 kişinin seçilmesiyle (82)=28\binom{8}{2} = 28 olarak hesaplanır. İstenmeyen durumlar tüm durumlardan çıkarıldığında geriye 166 farklı şekilde ekip oluşturulabileceği görülür.

Adım Adım Çözüm

1
En az 1 öğretmen ve en az 1 öğrenci bulunması koşuluna uygun tüm 4 kişilik ekiplerin sayısını hesaplayalım.
Toplam durum sayısı 194'tür.
4 öğretmen ve 6 öğrenci arasından seçilecek 4 kişilik ekipte öğretmen sayısı tt ve öğrenci sayısı o¨ö olmak üzere (t≥1t \ge 1 ve o¨≥1ö \ge 1):
- 1 öğretmen, 3 öğrenci: (41)×(63)=4×20=80\binom{4}{1} \times \binom{6}{3} = 4 \times 20 = 80
- 2 öğretmen, 2 öğrenci: (42)×(62)=6×15=90\binom{4}{2} \times \binom{6}{2} = 6 \times 15 = 90
- 3 öğretmen, 1 öğrenci: (43)×(61)=4×6=24\binom{4}{3} \times \binom{6}{1} = 4 \times 6 = 24
Toplam: 80+90+24=19480 + 90 + 24 = 194 durum bulunur.
2
Ahmet Bey ve Burak'ın aynı ekipte birlikte yer aldığı ve aynı zamanda 'en az 1 öğretmen ve 1 öğrenci' koşuluna uyan durumların sayısını hesaplayalım.
Birlikte bulundukları durum sayısı 28'dir.
Ahmet Bey (öğretmen) ve Burak (öğrenci) ekibe dahil edildiğinde, ekipte en az 1 öğretmen ve 1 öğrenci bulunma koşulu kendiliğinden sağlanır. Kalan 2 kişilik yer için geriye kalan 3 öğretmen ve 5 öğrenci (toplam 8 kişi) arasından seçim yapılmalıdır: (82)=28\binom{8}{2} = 28 durum.
3
Toplam geçerli durum sayısından istenmeyen durum sayısını çıkartarak sonuca ulaşalım.
İstenen durum sayısı 194−28=166194 - 28 = 166 olur.
Ahmet Bey ve Burak'ın birlikte bulunmadığı, koşula uygun ekiplerin sayısını bulmak için tüm durumlardan ikisinin bir arada olduğu durumları çıkarmamız gerekir.

Anahtar Kavram

Kısıtlar altında kombinasyon (seçme) hesaplamaları
Soru 2282Soru →

Aşağıda dik koordinat düzleminde sınırları verilen bölge tanımları ile bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral ifadelerini doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde x=y2x = y^2 parabolü ile x=y+2x = y + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
Birinci bölgede y=x2y = x^2 eğrisi, y=4−3xy = 4 - 3x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölge
Birinci bölgede y=8x2y = \frac{8}{x^2} eğrisi, y=xy = x doğrusu ve y=8y = 8 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge tanımı ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy integraliyle, ikinci bölge tanımı ∫01(4−y3−y) dy\int_{0}^{1} \left( \frac{4-y}{3} - \sqrt{y} \right) \, dy integraliyle, üçüncü bölge tanımı ise ∫28(y−8y) dy\int_{2}^{8} \left( y - \sqrt{\frac{8}{y}} \right) \, dy integraliyle eşleşir.
Bölge sınırları ve kesişim noktaları y-eksenine göre ifade edilip sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak doğru integral ifadelerine ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktaları y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olup alan integrali ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olarak elde edilir.
Kesişim noktalarını bulmak için iki ifadenin x değerleri eşitlenir: y2=y+2y^2 = y + 2. Buradan sınırlar [−1,2][-1, 2] bulunur. Doğru (x=y+2x = y+2), parabolün (x=y2x = y^2) sağında yer aldığı için fark fonksiyonu (y+2)−y2(y+2) - y^2 olur.
2
İkinci bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktası y=1y=1 olup alan integrali ∫01(4−y3−y) dy\int_{0}^{1} \left( \frac{4-y}{3} - \sqrt{y} \right) \, dy olarak elde edilir.
y=x2y = x^2 ve y=4−3xy = 4-3x eğrilerinin kesişimi birinci bölgede x=1x=1 (yani y=1y=1) noktasındadır. Bölge x-ekseniyle de sınırlandığı için y sınırları [0,1][0, 1] olur. x değerleri y cinsinden çekildiğinde sağda x=4−y3x = \frac{4-y}{3} doğrusu, solda x=yx = \sqrt{y} parabolü bulunur.
3
Üçüncü bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktası y=2y=2 olup alan integrali ∫28(y−8y) dy\int_{2}^{8} \left( y - \sqrt{\frac{8}{y}} \right) \, dy olarak elde edilir.
y=8x2y = \frac{8}{x^2} ve y=xy = x eğrilerinin kesişimi birinci bölgede x=2x=2 (yani y=2y=2) noktasındadır. Üst sınır y=8y=8 doğrusu olduğundan y sınırları [2,8][2, 8] olur. x değerleri y cinsinden yazıldığında sağda x=yx = y doğrusu, solda ise x=8yx = \sqrt{\frac{8}{y}} eğrisi bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını y-eksenine göre dilimleme (yatay dilimleme) yöntemiyle belirli integral kullanarak ifade etme.
Soru 2283Soru →

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun yerel minimum noktası A(3,4)A(3, 4) ve yerel maksimum noktası B(1,k)B(1, k) olarak verilmiştir.

f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

olduğuna göre, a+b+c+ka + b + c + k toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

a + b + c + k toplamı 15 olarak bulunur.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarında türevi sıfırdır. Bu kuraldan yararlanarak oluşturulan türev denklemlerinin ortak çözümünden a=−6a = -6 ve b=9b = 9 elde edilir. Verilen yerel minimum noktası A(3,4)A(3, 4) fonksiyon kuralında yerine yazılarak c=4c = 4 bulunur. Son olarak yerel maksimum noktası B(1,k)B(1, k) fonksiyon denkleminde yerine yazıldığında yerel maksimum değeri k=8k = 8 olarak hesaplanır. Bu dört değer toplandığında elde edilen sonuç 15 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alın.
f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b elde edilir.
Yerel ekstremum noktalarında türevin değerini incelemek için birinci türeve ihtiyaç vardır.
2
Yerel ekstremum noktalarında türevin sıfır olması koşulunu kullanarak a ve b değerlerini bulun.
f′(3)=0⇒27+6a+b=0⇒6a+b=−27f'(3) = 0 \Rightarrow 27 + 6a + b = 0 \Rightarrow 6a + b = -27 ve f′(1)=0⇒3+2a+b=0⇒2a+b=−3f'(1) = 0 \Rightarrow 3 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = -3 denklem sistemi çözüldüğünde a=−6a = -6 ve b=9b = 9 elde edilir.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir.
3
A(3, 4) noktasının fonksiyon denklemini sağladığı bilgisinden c sabitini hesaplayın.
f(3)=27+9a+3b+c=4⇒27+9(−6)+3(9)+c=4⇒27−54+27+c=4⇒c=4f(3) = 27 + 9a + 3b + c = 4 \Rightarrow 27 + 9(-6) + 3(9) + c = 4 \Rightarrow 27 - 54 + 27 + c = 4 \Rightarrow c = 4 bulunur.
Fonksiyon grafiği üzerindeki her nokta, fonksiyonun kuralını sağlamak zorundadır.
4
B(1, k) noktasını kullanarak k değerini hesaplayın.
f(1)=1+a+b+c=k⇒1−6+9+4=k⇒k=8f(1) = 1 + a + b + c = k \Rightarrow 1 - 6 + 9 + 4 = k \Rightarrow k = 8 bulunur.
Yerel maksimum noktası da fonksiyon grafiği üzerinde yer aldığından fonksiyon denklemini sağlar.
5
Bulunan a, b, c ve k değerlerini toplayarak sonuca ulaşın.
a+b+c+k=−6+9+4+8=15a + b + c + k = -6 + 9 + 4 + 8 = 15 elde edilir.
Soruda istenen toplam ifadesinin değerini bulmak için tüm değişkenler toplanır.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevinin sıfır olması ve bu noktaların fonksiyon denklemini sağlaması.
Soru 2284Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k fonksiyonunun grafiğine orijinden (başlangıç noktasından) çizilen teğet doğruları birbirine dik olduğuna göre, kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.25

Cevap

Teğet doğrularının birbirine dik olmasını sağlayan kk değeri 4,254,25 (veya 174\frac{17}{4}) olarak bulunur.
Orijinden çizilen teğet doğrularının değme noktaları A(x0,y0)A(x_0, y_0) olsun. Orijinden geçen doğruların denklemi y=mxy = mx formundadır. Bu doğrular parabol ile teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen teğet eğimleri çarpımının −1-1 olması koşuluyla k=4,25k = 4,25 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet değme noktasını A(x0,f(x0))A(x_0, f(x_0)) olarak tanımlayın.
Değme noktası A(x0,x02−4x0+k)A(x_0, x_0^2 - 4x_0 + k) olur.
Teğet denklemini türev yardımıyla kurabilmek için değme noktasını değişken cinsinden yazmamız gerekir.
2
Türev alarak değme noktasındaki teğetin eğimini bulun ve teğet doğrusunun denklemini yazın.
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 olduğundan teğet doğrusu y−(x02−4x0+k)=(2x0−4)(x−x0)y - (x_0^2 - 4x_0 + k) = (2x_0 - 4)(x - x_0) şeklindedir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet doğrusunun orijinden (0,0)(0,0) geçtiği bilgisini kullanarak değme noktalarının apsislerini belirleyin.
x02=kx_0^2 = k denklemi elde edilir, buradan x1=kx_1 = \sqrt{k} ve x2=−kx_2 = -\sqrt{k} bulunur.
Çizilen teğet doğruları orijinden geçtiği için orijin koordinatları teğet doğrusu denklemini sağlamalıdır.
4
Bulunan apsis değerlerini türevde yerine yazarak teğetlerin eğimlerini hesaplayın ve diklik koşulunu uygulayın.
m1⋅m2=−1  ⟹  (2k−4)(−2k−4)=−1  ⟹  4k−16=1  ⟹  k=4,25m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (2\sqrt{k} - 4)(-2\sqrt{k} - 4) = -1 \implies 4k - 16 = 1 \implies k = 4,25 elde edilir.
Birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemini bulma ve birbirine dik doğruların eğim ilişkisi
Soru 2285Soru →

Bir öğrenci, bir kütüphanede sergilenen ve tamamı birbirinden farklı olan 66 roman arasından okumak üzere 22 roman seçecektir.

Buna göre, bu öğrenci bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15 farklı şekilde yapabilir
Seçilen romanların sırası önemli olmayıp sadece gruplandırma (seçim) yapıldığı için kombinasyon hesabı kullanılır. 6 elemanlı bir kümeden 2 elemanlı alt kümelerin sayısı C(6, 2) = 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda sıranın önemli olup olmadığını belirleme
Romanların seçilme sırası önemli değildir, sadece hangi romanların seçildiği önemlidir. Bu nedenle kombinasyon kullanılmalıdır.
Kombinasyon (seçme), permütasyondan (sıralama) farklı olarak sıraya bakmaksızın alt küme oluşturma işlemidir.
2
Kombinasyon formülünü uygulama
C(6, 2) = \frac{6!}{2! \times (6 - 2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
6 farklı eleman arasından 2 eleman seçmek için C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) kavramı ve formülü

Alternatif Yöntem

Kombinasyon formülü yerine, seçilecek elemanları tek tek yazarak da kontrol edebilirsiniz. Örneğin elemanlar A, B, C, D, E, F olsun. Seçilebilecek ikililer: AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF olmak üzere toplam 15 tanedir.
Tahmini Süre:45s
Soru 2286Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−x2−2xf(x) = x^3 - x^2 - 2x eğrisi ile g(x)=2x2+2xg(x) = 2x^2 + 2x parabolü verilmiştir.

Buna göre, bu iki eğri arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1314\frac{131}{4}

Cevap

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı 1314\frac{131}{4} birimkaredir.
Doğru alan hesabı için iki eğrinin kesişim noktaları olan x=−1x = -1, x=0x = 0 ve x=4x = 4 apsisli noktaların doğru belirlenmesi ve bu sınırlar altında iki ayrı bölge halinde alan integrallerinin 34+32\frac{3}{4} + 32 şeklinde toplanması gerekir. Bu da bizi 1314\frac{131}{4} sonucuna ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
İki eğrinin kesim noktalarını bulmak için fonksiyon denklemlerini birbirine eşitleyelim.
x3−x2−2x=2x2+2x  ⟹  x3−3x2−4x=0  ⟹  x(x−4)(x+1)=0x^3 - x^2 - 2x = 2x^2 + 2x \implies x^3 - 3x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4)(x + 1) = 0 denklemi elde edilir. Buradan kesim noktalarının apsisleri x1=−1x_1 = -1, x2=0x_2 = 0 ve x3=4x_3 = 4 olarak bulunur.
Eğriler arasında kalan kapalı bölgelerin sınırlarını (integral sınırlarını) belirlemek için kesim noktalarını bulmamız gerekir.
2
Belirlenen aralıklarda hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirlemek için işaret incelemesi yapalım ve alan integrallerini yazalım.
[−1,0][-1, 0] aralığında f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) olduğundan bu bölgenin alanı A1=∫−10(f(x)−g(x)) dxA_1 = \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx olur. [0,4][0, 4] aralığında ise g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) olduğundan bu bölgenin alanı A2=∫04(g(x)−f(x)) dxA_2 = \int_{0}^{4} (g(x) - f(x)) \, dx olur.
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral kurulmalıdır.
3
[−1,0][-1, 0] aralığındaki birinci bölgenin alanı olan A1A_1 değerini hesaplayalım.
A1=∫−10(x3−3x2−4x) dx=[x44−x3−2x2]−10=0−(14+1−2)=34A_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - 3x^2 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 - 2x^2 \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} + 1 - 2 \right) = \frac{3}{4} birimkare bulunur.
İlk bölgenin alanını veren belirli integrali hesaplamak için.
4
[0,4][0, 4] aralığındaki ikinci bölgenin alanı olan A2A_2 değerini hesaplayalım.
A2=∫04(2x2+2x−(x3−x2−2x)) dx=∫04(3x2+4x−x3) dx=[x3+2x2−x44]04=(64+32−64)−0=32A_2 = \int_{0}^{4} (2x^2 + 2x - (x^3 - x^2 - 2x)) \, dx = \int_{0}^{4} (3x^2 + 4x - x^3) \, dx = \left[ x^3 + 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{4} = (64 + 32 - 64) - 0 = 32 birimkare bulunur.
İkinci bölgenin alanını veren belirli integrali hesaplamak için.
5
Bulunan iki alanı toplayarak toplam alanı elde edelim.
A=A1+A2=34+32=1314A = A_1 + A_2 = \frac{3}{4} + 32 = \frac{131}{4} birimkare elde edilir.
İki eğri arasında kalan tüm sınırlı bölgelerin toplam alanını bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesim noktaları sınır kabul edilerek, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denkleminin çıkarılmasıyla elde edilen fark fonksiyonunun belirli integrali ile hesaplanır.
Soru 2287Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=kx−3x2+2f(x) = \frac{kx - 3}{x^2 + 2}
kuralıyla tanımlanmıştır.
f′(1)=1f'(1) = 1
olduğuna göre, kk sabit sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k sabit sayısı 3'tür.
Fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralıyla f′(x)=k(x2+2)−2x(kx−3)(x2+2)2f'(x) = \frac{k(x^2 + 2) - 2x(kx - 3)}{(x^2 + 2)^2} olarak elde edilir. x=1x = 1 için türev değeri f′(1)=k+69f'(1) = \frac{k + 6}{9} olur. Soruda verilen f′(1)=1f'(1) = 1 bilgisi kullanıldığında k+69=1\frac{k + 6}{9} = 1 denklemi çözülerek k=3k = 3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=k(x2+2)−2x(kx−3)(x2+2)2f'(x) = \frac{k(x^2 + 2) - 2x(kx - 3)}{(x^2 + 2)^2}
f(x)=u(x)v(x)f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} biçimindeki bir bölümün türevi f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)(v(x))2f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} formülüyle hesaplanır.
2
x=1x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazınız.
f′(1)=k+69f'(1) = \frac{k + 6}{9}
Türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında f′(1)=k(12+2)−2(1)(k(1)−3)(12+2)2=3k−2k+69=k+69f'(1) = \frac{k(1^2 + 2) - 2(1)(k(1) - 3)}{(1^2 + 2)^2} = \frac{3k - 2k + 6}{9} = \frac{k + 6}{9} elde edilir.
3
f′(1)=1f'(1) = 1 eşitliğini çözerek kk değerini bulunuz.
k=3k = 3
k+69=1\frac{k + 6}{9} = 1 ise k+6=9k + 6 = 9 olur. Buradan k=3k = 3 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün Türev Kuralı
Soru 2288Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=12−2xy = \sqrt{12 - 2x} eğrisi üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktası; orijin O(0,0)O(0,0) ve pozitif xx-ekseni üzerindeki bir B(b,0)B(b, 0) noktası ile birleştirilerek tepe açısı PP olan bir OPBOPB dik üçgeni oluşturuluyor.

Pozitif aa ve bb tam sayıları için [OB][OB] hipotenüsünün uzunluğunun alabileceği en küçük değer a3−ba\sqrt{3} - b birim olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6; altı

Cevap

En küçük hipotenüs uzunluğu 43−24\sqrt{3} - 2 birim olup buradan a=4a = 4 ve b=2b = 2 bulunur. Dolayısıyla a+b=6a + b = 6'dır.
Dik üçgenin diklik şartından yola çıkarak hipotenüs uzunluğunu veren b(x)=x−2+12xb(x) = x - 2 + \frac{12}{x} fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde minimumu veren değer x=23x = 2\sqrt{3} olarak bulunur. Bu değer fonksiyona yazıldığında en küçük hipotenüs uzunluğu 43−24\sqrt{3} - 2 birim elde edilir. Buradan katsayılar a=4a = 4 ve b=2b = 2 olarak bulunup toplamları 66 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dik üçgenin köşe koordinatlarını belirleyip diklik şartını yazmak.
Orijin O(0,0)O(0,0), P(x,y)P(x, y) ve B(b,0)B(b,0) noktaları için OP⊥PBOP \perp PB olmalıd��r. Buradan eğimler çarpımı mOP⋅mPB=−1  ⟹  yx⋅−yb−x=−1  ⟹  y2=x(b−x)m_{OP} \cdot m_{PB} = -1 \implies \frac{y}{x} \cdot \frac{-y}{b-x} = -1 \implies y^2 = x(b-x) elde edilir.
OPBOPB üçgeninin tepe açısı PP olan bir dik üçgen olduğu belirtilmiştir.
2
Hipotenüs uzunluğu olan bb değişkenini xx cinsinden ifade etmek.
b−x=y2x  ⟹  b(x)=x+y2xb - x = \frac{y^2}{x} \implies b(x) = x + \frac{y^2}{x} bulunur. P(x,y)P(x,y) noktası y=12−2xy = \sqrt{12-2x} eğrisi üzerinde olduğundan y2=12−2xy^2 = 12-2x eşitliği yerine yazılır: b(x)=x+12−2xx=x−2+12xb(x) = x + \frac{12-2x}{x} = x - 2 + \frac{12}{x} elde edilir.
Elde edilen geometrik bağıntıyı tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon haline getirmek gerekir.
3
Türev yardımıyla fonksiyonu minimize etmek.
b′(x)=1−12x2b'(x) = 1 - \frac{12}{x^2} olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 1−12x2=0  ⟹  x2=12  ⟹  x=231 - \frac{12}{x^2} = 0 \implies x^2 = 12 \implies x = 2\sqrt{3} (birinci bölgede olduğundan x>0x > 0 alınır) kritik noktası elde edilir. Bu nokta yerel minimum noktasıdır.
Bir fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevinin işaret değiştirdiği kritik noktalar incelenir.
4
En küçük hipotenüs uzunluğunu hesaplamak ve istenen toplamı bulmak.
x=23x = 2\sqrt{3} değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük uzunluk b(23)=23−2+1223=43−2b(2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 2 + \frac{12}{2\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} - 2 birim olarak bulunur. a3−ba\sqrt{3} - b biçimiyle karşılaştırıldığında a=4a = 4 ve b=2b = 2 olup a+b=6a + b = 6 elde edilir.
Kritik değer fonksiyona yazılarak minimum uzunluk hesaplanır ve soru kökündeki katsayılar belirlenir.

Anahtar Kavram

Türevin maksimum ve minimum problemlerine uygulanması, geometrik optimizasyon.
Soru 2289Soru →

Dik koordinat düzleminde, A(1,−152)A\left(1, -\frac{15}{2}\right) noktasından f(x)=x2f(x) = x^2 parabolüne çizilen teğet doğrularının eğriye değme noktaları BB ve CC'dir.

Buna göre, bu parabolün BB ve CC noktalarındaki normal doğrularının kesim noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Normal doğrularının kesim noktasının ordinatı 12'dir.
Parabolün teğet noktalarındaki normal doğrularının kesişim noktasının ordinatı ortak çözümle y=t12+t1t2+t22+1/2y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + 1/2 olarak bulunur. Burada Vieta formülleri kullanılarak t1+t2=2t_1+t_2 = 2 ve t1t2=−15/2t_1 t_2 = -15/2 değerleri yerine yazıldığında ordinat 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini parametrik olarak ifade etme
Değme noktası T(t,t2)T(t, t^2) için teğet denklemi: y=2tx−t2y = 2tx - t^2
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=2xf'(x) = 2x ifadesi teğetin eğimini verir.
2
Verilen noktanın teğet denklemini sağlaması koşulunu uygulama
2t2−4t−15=02t^2 - 4t - 15 = 0 denklemi ve kök ilişkileri: t1+t2=2t_1 + t_2 = 2, t1t2=−152t_1 t_2 = -\frac{15}{2}
Teğet doğrusu dışarıdaki A(1,−15/2)A(1, -15/2) noktasından geçmektedir.
3
Değme noktalarındaki normal doğrularının denklemlerini bulma
y=−12t1x+t12+12y = -\frac{1}{2t_1}x + t_1^2 + \frac{1}{2} ve y=−12t2x+t22+12y = -\frac{1}{2t_2}x + t_2^2 + \frac{1}{2}
Teğet ve normal doğruları birbirine diktir, dolayısıyla eğimleri çarpımı −1-1'dir.
4
Normal doğrularının kesişim noktasının koordinat ilişkisini bulma
Kesişim noktasının apsisi x=−2t1t2(t1+t2)x = -2t_1 t_2(t_1 + t_2) ve ordinatı y=t12+t1t2+t22+12y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + \frac{1}{2}
İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözeriz.
5
Özdeşlikleri ve Vieta formüllerini kullanarak kesişim noktasının ordinatını hesaplama
y=12y = 12
t12+t1t2+t22=(t1+t2)2−t1t2t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - t_1 t_2 özdeşliğini ve elde edilen kök ilişkilerini yerine koyarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimiyle çarpıldığında -1 olur. Dışarıdaki bir noktadan çizilen teğetlerin kesim noktaları ve bu noktalardaki normallerin kesişim koordinatları Vieta formülleri (kök-katsayı ilişkileri) ile bulunabilir.
Soru 2290Soru →
lim⁡x→4xx−8x−2x\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Limit değeri 6 olarak bulunur.
Limit noktasında ortaya çıkan 0/00/0 belirsizliği, pay kısmındaki xx−8x\sqrt{x}-8 ifadesi (x)3−23(\sqrt{x})^3-2^3 şeklinde iki küp farkı olarak açılıp, paydadaki ifade de x\sqrt{x} parantezine alınarak sadeleştirildiğinde giderilmektedir. Kalan ifadenin limit değeri yerine koyma yöntemiyle 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktasını (x=4x = 4) ifadede yerine koyarak belirsizlik durumunu incelemek.
44−84−24=8−84−4=00\frac{4\sqrt{4} - 8}{4 - 2\sqrt{4}} = \frac{8 - 8}{4 - 4} = \frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limiti hesaplayabilmek için öncelikle belirsizliğin türünü belirlememiz gerekir.
2
Pay kısmındaki xx−8x\sqrt{x} - 8 ifadesini iki küp farkı özdeşliği (a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)) yardımıyla çarpanlarına ayırmak; payda kısmındaki x−2xx - 2\sqrt{x} ifadesini ise ortak çarpan parantezine almak.
Pay: xx−8=(x)3−23=(x−2)(x+2x+4)x\sqrt{x} - 8 = (\sqrt{x})^3 - 2^3 = (\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4) ve Payda: x−2x=x(x−2)x - 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Pay ve paydadaki belirsizliğe yol açan ortak (x−2)(\sqrt{x} - 2) çarpanını ortaya çıkarmak.
3
Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanlarını sadeleştirmek ve ardından limiti doğrudan hesaplamak.
lim⁡x→4(x−2)(x+2x+4)x(x−2)=lim⁡x→4x+2x+4x=4+24+44=4+4+42=6\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x + 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = \frac{4 + 2\sqrt{4} + 4}{\sqrt{4}} = \frac{4 + 4 + 4}{2} = 6 elde edilir.
x→4x \to 4 iken x≠4x \neq 4 olduğundan x−2≠0\sqrt{x} - 2 \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir. Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine koyma yöntemiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/00/0 belirsizliği durumunda, pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanlar sadeleştirilir.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemiyle de çözüm yapılabilir: x=t\sqrt{x} = t dönüşümü yapılırsa x=t2x = t^2 olur. x→4x \to 4 iken t→2t \to 2 olur. Limit ifadesi lim⁡t→2t3−8t2−2t\lim_{t \to 2} \frac{t^3 - 8}{t^2 - 2t} haline gelir. Bu ifade lim⁡t→2(t−2)(t2+2t+4)t(t−2)=lim⁡t→2t2+2t+4t=122=6\lim_{t \to 2} \frac{(t-2)(t^2+2t+4)}{t(t-2)} = \lim_{t \to 2} \frac{t^2+2t+4}{t} = \frac{12}{2} = 6 şeklinde çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2291Soru →
f:[0,4]→R,f(x)=x2−4x+6f: [0, 4] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonu veriliyor. [0,4][0, 4] kapalı aralığı, her birinin uzunluğu 11 birim olan 44 eş alt aralığa bölünüyor. Buna göre, bu bölüntüye ait Riemann alt toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Riemann alt toplamı 10 olarak bulunur.
Riemann alt toplamı, her bir alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerlerin, alt aralık genişliğiyle çarpılıp toplanmasıyla bulunur. Parabolün tepe noktası x=2x=2 apsisli noktada olup fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalan, [2,4][2, 4] aralığında ise artandır. Bu nedenle [0,1][0, 1] aralığındaki en küçük değer f(1)=3f(1)=3, [1,2][1, 2] aralığındaki en küçük değer f(2)=2f(2)=2, [2,3][2, 3] aralığındaki en küçük değer f(2)=2f(2)=2 ve [3,4][3, 4] aralığındaki en küçük değer f(3)=3f(3)=3 olur. Genişlik 11 birim olduğundan bu minimum değerlerin toplamı 3+2+2+3=103+2+2+3=10 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıkları ve aralık genişliğini belirleme
[0,4][0, 4] aralığı 4 eş parçaya bölündüğünde alt aralık genişliği Δx=4−04=1\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1 olur. Alt aralıklar sırasıyla [0,1][0, 1], [1,2][1, 2], [2,3][2, 3] ve [3,4][3, 4] şeklindedir.
Riemann toplamını oluşturacak dikdörtgenlerin taban uzunluğunu bulmak için aralık bölünür.
2
Her alt aralıktaki minimum fonksiyon değerlerini belirleme
Fonksiyonun tepe noktasının apsisi r=−−42(1)=2r = -\frac{-4}{2(1)} = 2 olduğundan, fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalan, [2,4][2, 4] aral��ğında ise artandır. Buna göre her alt aralıktaki minimum değerler:
- [0,1][0, 1] aralığında en küçük değer sağ uçta: f(1)=12−4(1)+6=3f(1) = 1^2 - 4(1) + 6 = 3
- [1,2][1, 2] aralığında en kü��ük değer sağ uçta: f(2)=22−4(2)+6=2f(2) = 2^2 - 4(2) + 6 = 2
- [2,3][2, 3] aralığında en küçük değer sol uçta: f(2)=2f(2) = 2
- [3,4][3, 4] aralığında en küçük değer sol uçta: f(3)=32−4(3)+6=3f(3) = 3^2 - 4(3) + 6 = 3 olur.
Riemann alt toplamını bulmak için her alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerler (yükseklikler) seçilmelidir.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
Riemann alt toplamı A=Δx⋅[f(1)+f(2)+f(2)+f(3)]=1⋅[3+2+2+3]=10A = \Delta x \cdot [f(1) + f(2) + f(2) + f(3)] = 1 \cdot [3 + 2 + 2 + 3] = 10 elde edilir.
Belirlenen yükseklikler ile taban genişliği çarpılarak alanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı hesaplanırken, fonksiyonun ilgili alt aralıklardaki minimum değerleri kullanıl��r. Fonksiyonun monoton olmadığı durumlarda minimum değerlerin hangi noktalarda gerçekleştiği, fonksiyonun tepe noktası ve artan/azalanlık aralıkları incelenerek bulunmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2292Soru →

Bir şirketin yönetim kurulunda bulunan 55 kişi, yan yana duran 55 sandalyeye oturacaktır. Bu kişilerden başkan ve başkan yardımcısının yan yana oturması koşuluyla, bu kişiler sandalyelere kaç farklı şekilde oturabilirler?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Başkan ve başkan yardımcısının yan yana oturduğu durumların sayısı 48'dir.
Başkan ve başkan yardımcısını tek bir kişi olarak grupladığımızda sıralanacak nesne sayısı 4'e düşer. Bu 4 nesne 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır. Yan yana olan iki kişi de kendi aralarında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebileceğinden, toplam sıralama sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula uygun gruplama yapılması
Başkan ve başkan yardımcısının yan yana oturması istendiğinden, bu iki kişi tek bir eleman (grup) olarak kabul edilir. Bu durumda geriye kalan 3 üye ile birlikte sıralanacak toplam eleman sayısı 4 olur.
Yan yana oturması istenen elemanlar birlikte hareket ettikleri için tek bir eleman gibi düşünülür.
2
Oluşan yeni grupların ve kişilerin yan yana sıralama sayısının hesaplanması
4 elemanın yan yana sıralanma sayısı 4!=244! = 24 olarak bulunur.
Farklı n eleman yan yana n!n! farklı şekilde sıralanabilir.
3
Grup içindeki elemanların yer değişiminin hesaplanması ve toplam sonucun bulunması
Başkan ve başkan yardımcısı kendi aralarında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Çarpma kuralı gereği toplam sıralama sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.
Hem ana grubun sıralanması hem de grup içi elemanların sıralanması bağımsız olaylar olduğundan çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon (belirli elemanların yan yana bulunması durumunda bloklama yöntemi kullanımı)
Soru 2293Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7,8}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}

kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, elemanların çarpımı 55 ile tam bölünürken 88 ile tam bölünmez?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Kümenin elemanlarının çarpımının 5 ile bölünüp 8 ile bölünmediği 4 elemanlı alt küme sayısı 13'tür.
Çarpımın 5 ile bölünebilmesi için kümede mutlaka 5 bulunmalıdır. 8 ile bölünmemesi için 8 kümede olmamalı ve kalan çift sayılardan 4 ile (2 veya 6) bir arada seçilmemelidir. Geriye kalan 6 elemandan seçilecek 3 eleman için (63)=20\binom{6}{3} = 20 durum vardır. Bu durumlardan 8 ile bölünen {2,4,x}\{2, 4, x\} (4 durum) ve {4,6,y}\{4, 6, y\} (3 durum) olmak üzere 7 durum çıkarıldığında geriye 13 adet küme kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara göre seçilecek eleman havuzunu belirleme
Seçilen alt kümede 5 elemanı bulunmalı, 8 elemanı ise bulunmamalıdır. Seçim yapılacak elemanlar {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesidir.
Çarpımın 5 ile tam bölünmesi için asal çarpan olarak 5'in bulunması zorunludur. 8 ile tam bölünmemesi için ise doğrudan 8 çarpanı bulunmamalıdır.
2
Kalan elemanlarla yapılabilecek tüm 3 elemanlı seçimlerin sayısını bulma
Toplam olası seçim say��sı (63)=20\binom{6}{3} = 20 adettir.
4 elemanlı kümenin 1 elemanı (5 sayısı) sabitlendiği için kalan 6 elemandan 3 eleman seçilerek kombinasyon oluşturulur.
3
Çarpımı 8'in katı yapan istenmeyen durumları hesaplama
İstenmeyen durum sayısı 4+3=74 + 3 = 7 adettir.
Seçilen elemanlar arasında 4 ile 2'nin veya 4 ile 6'nın bir arada bulunması çarpımı 8'e tam bölünür hale getirir.
4
İstenen durum sayısını hesaplama
İstenen alt küme sayısı 20−7=1320 - 7 = 13 adettir.
Tüm kombinasyonlardan istenmeyen durumların çıkarılması yöntemi kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesabı ile koşullu alt küme seçimi ve tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma prensibi.

Alternatif Yöntem

İkinci bir yol olarak, {1,2,3,4,6,7}\{1, 2, 3, 4, 6, 7\} kümesinden seçilecek 3 elemanı çift sayıların sayısına göre gruplandırarak seçebiliriz:
- Hiç çift sayı seçilmemesi (hepsi {1,3,7}\{1, 3, 7\} arasından): (33)=1\binom{3}{3} = 1 durum.
- Sadece bir çift sayı seçilmesi (2, 4 veya 6'dan biri): (31)×(32)=3×3=9\binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 3 \times 3 = 9 durum.
- İki çift sayı seçilmesi (çarpımın 8'e bölünmemesi için sadece {2,6}\{2, 6\} çifti seçilebilir): (11)×(31)=3\binom{1}{1} \times \binom{3}{1} = 3 durum.
Toplam durum: 1+9+3=131 + 9 + 3 = 13 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2294Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫24f(2x−1) dx=7\int_{2}^{4} f(2x - 1) \, dx = 7
∫13f(x+4) dx=6\int_{1}^{3} f(x + 4) \, dx = 6
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−11(x3⋅f(x2+1)+f(2x+3)−f(x+4)) dx\int_{-1}^{1} \left( x^3 \cdot f(x^2 + 1) + f(2x + 3) - f(x + 4) \right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2-2

Cevap

−2-2
Doğru cevap −2-2 değeridir. Belirli integralin lineerlik özelliği kullanılarak terimler ayrıştırıldığında, tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali sıfır olur. Diğer iki terimde değişken değiştirme yöntemi uygulanıp sınırlar güncellenerek verilen integral değerleriyle ilişkilendirildiğinde 6−8=−26 - 8 = -2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusal özelliklerini kullanarak terimlerine ayıralım.
∫−11x3⋅f(x2+1) dx+∫−11f(2x+3) dx−∫−11f(x+4) dx\int_{-1}^{1} x^3 \cdot f(x^2 + 1) \, dx + \int_{-1}^{1} f(2x + 3) \, dx - \int_{-1}^{1} f(x + 4) \, dx
Her bir terimi ayrı ayrı inceleyerek daha basit integraller elde etmek için.
2
İlk terimi oluşturan fonksiyonun tek/çift olma durumunu inceleyelim.
g(−x)=(−x)3⋅f((−x)2+1)=−x3⋅f(x2+1)=−g(x)g(-x) = (-x)^3 \cdot f((-x)^2 + 1) = -x^3 \cdot f(x^2 + 1) = -g(x) olduğundan fonksiyon tektir ve simetrik [−1,1][-1, 1] aralığındaki integralinin değeri 00'dır.
Simetrik sınırlarda tek fonksiyonların integralinin sıfıra eşit olması özelliğini kullanmak için.
3
İkinci terim için u=2x+3u = 2x + 3 değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}. Sınırlar: x=−1  ⟹  u=1x = -1 \implies u = 1 ve x=1  ⟹  u=5x = 1 \implies u = 5. İntegral değeri: 12∫15f(u) du=12⋅12=6\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 olur.
Belirli integral sınırlarını yeni değişken cinsinden güncelleyerek verilen ilk eşitliği kullanabilmek için.
4
Üçüncü terim için v=x+4v = x + 4 değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=dxdv = dx. Sınırlar: x=−1  ⟹  v=3x = -1 \implies v = 3 ve x=1  ⟹  v=5x = 1 \implies v = 5. İntegral değeri: ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx olur.
Belirli integral sınırlarını yeni değişken cinsinden yazıp aralık analizi yapabilmek için.
5
Verilen diğer iki integral eşitliğinden ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx değerini elde edelim.
∫24f(2x−1) dx=7  ⟹  ∫37f(w) dw=14\int_{2}^{4} f(2x - 1) \, dx = 7 \implies \int_{3}^{7} f(w) \, dw = 14 ve ∫13f(x+4) dx=6  ⟹  ∫57f(t) dt=6\int_{1}^{3} f(x + 4) \, dx = 6 \implies \int_{5}^{7} f(t) \, dt = 6 bulunur. Aralık bölme özelliğinden: ∫37f(x) dx=∫35f(x) dx+∫57f(x) dx  ⟹  14=∫35f(x) dx+6  ⟹  ∫35f(x) dx=8\int_{3}^{7} f(x) \, dx = \int_{3}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{7} f(x) \, dx \implies 14 = \int_{3}^{5} f(x) \, dx + 6 \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8 elde edilir.
Değişken değiştirme ve integralin aralık bölme özelliklerini birleştirerek istenen bilinmeyen aralıktaki integrali bulmak için.
6
Bulunan tüm terimlerin değerlerini ana ifadede birleştirelim.
0+6−8=−20 + 6 - 8 = -2
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralin değişken değiştirme, simetri (tek/çift fonksiyonlar) ve aralık bölme özellikleri.
Soru 2295Soru →
f(x)=x2+ax+1x2+2f(x) = \frac{x^2 + ax + 1}{x^2 + 2}

fonksiyonu için f′(1)=1f'(1) = 1 olduğuna göre, f′(0)f'(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Türev fonksiyonunda a = 7 değeri yerine yazılarak f'(0) değeri 3,5 olarak bulunur.
Bölümün türevi kuralı uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir. x = 1 yazılıp ifadenin değeri 1'e eşitlenerek a = 7 bulunur. Türev fonksiyonunda a yerine 7 ve x yerine 0 yazıldığında pay 14, payda ise 4 gelmekte olup f'(0) = 3,5 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralın�� uygulayarak f'(x) ifadesini elde edin.
f′(x)=(2x+a)(x2+2)−(x2+ax+1)(2x)(x2+2)2f'(x) = \frac{(2x + a)(x^2 + 2) - (x^2 + ax + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralı ile hesaplanır.
2
f'(1) = 1 eşitliğini kullanarak a değerini çözün.
a=7a = 7
x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazıp 1'e eşitleyerek a parametresi elde edilir.
3
a = 7 değerini yerine yazarak f'(0) değerini hesaplayın.
f′(0)=3,5f'(0) = 3,5
Türev fonksiyonunda a yerine 7 ve x yerine 0 yazarak f'(0) değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı
Soru 2296Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 parabolünün y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınarak bir eğri elde ediliyor. Bu eğri, xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelenerek yeni bir CC eğrisi oluşturuluyor.

Buna göre, f(x)f(x) parabolü ile CC eğrisi arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13\frac{1}{3}

Cevap

Parabol ile elde edilen eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 13\frac{1}{3} birimkaredir.
Parabolün y=xy=x doğrusuna göre simetriği x=4−y2x = 4-y^2 eğrisidir. Bu eğrinin xx-ekseninde negatif yönde 4 birim (x→x+4x \to x+4) ve yy-ekseninde pozitif yönde 4 birim (y→y−4y \to y-4) ötelenmesiyle x=−(y−4)2x = -(y-4)^2 denklemine sahip CC eğrisi elde edilir. Bu iki eğri x=0x = 0 ve x=−1x = -1 apsisli noktalarda kesişir. [−1,0][-1, 0] aralığında üstteki eğri y=4−x2y = 4-x^2 ve alttaki eğri y=4−−xy = 4-\sqrt{-x} olduğundan, aralarındaki farkın [−1,0][-1, 0] aralığındaki integrali alındığında alan 13\frac{1}{3} birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2 parabolünün y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınır.
x=4−y2x = 4 - y^2 eğrisi elde edilir.
Bir eğrinin y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınırken denklemdeki xx ve yy değişkenlerinin yerleri değiştirilir.
2
Elde edilen eğri, xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelenir.
x+4=4−(y−4)2  ⟹  x=−(y−4)2x + 4 = 4 - (y - 4)^2 \implies x = -(y - 4)^2 eğrisi elde edilir.
xx-ekseni boyunca negatif yönde 4 birim öteleme için xx yerine x+4x + 4, yy-ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim öteleme için yy yerine y−4y - 4 yazılır.
3
f(x)f(x) parabolü ile yeni oluşturulan CC eğrisinin kesim noktaları belirlenir.
x=−1x = -1 ve x=0x = 0 kesim noktalarıdır.
y=4−x2y = 4 - x^2 denklemi x=−(y−4)2x = -(y - 4)^2 denkleminde yerine yazılırsa: x=−((4−x2)−4)2  ⟹  x=−x4  ⟹  x4+x=0  ⟹  x(x3+1)=0x = -((4 - x^2) - 4)^2 \implies x = -x^4 \implies x^4 + x = 0 \implies x(x^3 + 1) = 0 bulunur. Gerçel kökler x=0x = 0 ve x=−1x = -1 olarak elde edilir.
4
[−1,0][-1, 0] aralığında sınırlandırılan bölgenin alanı için belirli integral kurulur ve hesaplanır.
Alan 13\frac{1}{3} birimkaredir.
[−1,0][-1, 0] aralığında x=−(y−4)2x = -(y - 4)^2 eğrisi düzenlendiğinde y=4−−xy = 4 - \sqrt{-x} elde edilir. Bu aralıkta 4−x2≥4−−x4 - x^2 \ge 4 - \sqrt{-x} olduğundan alan integrali: ∫−10((4−x2)−(4−−x))dx=∫−10(−x−x2)dx\int_{-1}^0 \left( (4 - x^2) - (4 - \sqrt{-x}) \right) dx = \int_{-1}^0 \left( \sqrt{-x} - x^2 \right) dx olur. u=−xu = -x dönüşümüyle integral ∫01(u−u2)du=[23u3/2−u33]01=23−13=13\int_0^1 (\sqrt{u} - u^2) du = \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki eğri arasında kalan alanın hesaplanması, yansıma ve öteleme dönüşümleri.

Alternatif Yöntem

Alanı y-eksenine göre integre ederek bulmak da mümkündür. İlgili aralık y∈[3,4]y \in [3, 4] olacaktır. Bu aralıkta sağdaki eğri x=−(y−4)2x = -(y-4)^2 ve soldaki eğri x=−4−yx = -\sqrt{4-y}'dir. Dolayısıyla alan integralimiz ∫34(−(y−4)2−(−4−y))dy=∫34(4−y−(y−4)2)dy\int_3^4 \left( -(y-4)^2 - (-\sqrt{4-y}) \right) dy = \int_3^4 \left( \sqrt{4-y} - (y-4)^2 \right) dy olarak kurulur ve aynı şekilde 13\frac{1}{3} sonucunu verir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2297Soru →

Şekilde y=(x−2)2−1y = (x-2)^2 - 1 parabolünün grafiği verilmiştir. Buna göre, parabol ile xx-ekseni arasında kalan boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 43\frac{4}{3} birimkaredir.
Parabolün xx-ekseninin altında kalan kısmının alanı, parabolün [1,3][1, 3] aralığındaki integralinin eksi ile çarpılmasına eşittir. Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak hesaplanan integral sonucunda alan 43\frac{4}{3} birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Boyalı bölgenin s��nırlarını belirleme ve alanı integral cinsinden ifade etme.
Bölge x=1x = 1 ile x=3x = 3 arasında ve xx-ekseninin altında yer aldığından, alan A=−∫13((x−2)2−1) dxA = -\int_1^3 ((x-2)^2 - 1) \, dx olarak yazılır.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin negatif çıkmasını önlemek için integralin önüne eksi işareti konur.
2
Belirli integrali hesaplamak için u=x−2u = x-2 değişken değiştirmesini yapma.
du=dxdu = dx olur. x=1x=1 için u=−1u=-1 ve x=3x=3 için u=1u=1 sınırları elde edilir. İntegral A=−∫−11(u2−1) duA = -\int_{-1}^1 (u^2 - 1) \, du şekline dönüşür.
Değişken değiştirme yöntemi integral hesabını kolaylaştırır.
3
İntegrali hesaplayıp alan değerini bulma.
A=∫−11(1−u2) du=[u−u33]−11=(1−13)−(−1+13)=23−(−23)=43A = \int_{-1}^1 (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} birimkaredir.
Sınırlar yerine yazılıp integral hesaplanarak alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin xx-ekseninin altında kalan kısmının sınırladığı bölgenin alanı, o aralıktaki belirli integralin mutlak değerine (veya integralin eksi ile çarpımına) eşittir.
Soru 2298Soru →
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} kümesinin 44 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı tek sayıdır ve en az bir asal sayı içerir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92

Cevap

Koşulları sağlayan alt küme sayısı 92'dir.
Toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı (100) ile hiç asal sayı barındırmayan ve toplamı tek olan alt kümelerin sayısı (8) arasındaki fark alınarak en az bir asal içeren ve toplamı tek olan küme sayısı 92 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını özelliklerine göre ayırın.
Asal sayılar: {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} (4 adet)
Asal olmayan sayılar: {1,4,6,8,9,10}\{1, 4, 6, 8, 9, 10\} (6 adet)
Tek sayılar: {1,3,5,7,9}\{1, 3, 5, 7, 9\} (5 adet)
Çift sayılar: {2,4,6,8,10}\{2, 4, 6, 8, 10\} (5 adet)
Kombinasyon seçimlerinde teklik-çiftlik ve asallık koşullarını ayrı ayrı uygulayabilmek için.
2
Toplamın tek sayı olma koşulunu analiz edin.
Toplamın tek olması için kümede tek sayıda tek sayı bulunmalıdır. 4 elemanlı küme için bu durumlar: (1 Tek, 3 Çift) veya (3 Tek, 1 Çift) şeklindedir.
Çift sayıda tek sayının toplamı çift, tek sayıda tek sayının toplamı tek olduğundan.
3
Koşulsuz olarak toplamı tek olan tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısını hesaplayın.
- 1 Tek ve 3 Çift seçimi: (51)×(53)=5×10=50\binom{5}{1} \times \binom{5}{3} = 5 \times 10 = 50
- 3 Tek ve 1 Çift seçimi: (53)×(51)=10×5=50\binom{5}{3} \times \binom{5}{1} = 10 \times 5 = 50
Toplam = 50+50=10050 + 50 = 100 durum.
Toplamı tek olan tüm olası durumları bulmak için.
4
Hiç asal sayı içermeyen ve toplamı tek olan alt kümeleri (istenmeyen durumları) hesaplayın.
Asal olmayan tek sayılar: {1,9}\{1, 9\} (2 adet)
Asal olmayan çift sayılar: {4,6,8,10}\{4, 6, 8, 10\} (4 adet)
- 1 Tek (asal olmayan) ve 3 Çift (asal olmayan) seçimi: (21)×(43)=2×4=8\binom{2}{1} \times \binom{4}{3} = 2 \times 4 = 8
- 3 Tek (asal olmayan) ve 1 Çift (asal olmayan) seçimi: (23)×(41)=0\binom{2}{3} \times \binom{4}{1} = 0
Toplam = 8+0=88 + 0 = 8 durum.
Tüm durumlardan bu istenmeyen durumları çıkararak en az bir asal sayı içerenleri bulmak için.
5
İstenen durum sayısını bulmak için çıkarma işlemini yapın.
100−8=92100 - 8 = 92
Tüm toplamı tek olan durumlardan, içinde hiç asal bulunmayan durumları çıkararak en az bir asal sayı içeren durumları bulmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (seçme) kullanarak belirli özelliklere (teklik/çiftlik, asallık) sahip alt kümelerin sayısını hesaplama.

Alternatif Yöntem

Doğrudan çözüm yöntemi: İstenen koşulu sağlayan durumları asal sayıların dağılımına göre gruplayarak toplayabiliriz. 1) Kümede sadece 2 (çift asal) olup tek olan asalların olmadığı durumlar, 2) Kümede tek olan asalların olup 2'nin olmadığı durumlar, 3) Hem 2'nin hem de tek asalların olduğu durumlar ayrı ayrı hesaplanıp toplanarak da 92 sonucuna ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2299Soru →
f:[−2,6]→Rf: [-2, 6] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5

fonksiyonunun mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Mutlak maksimum değeri ile mutlak minimum değerinin toplamı 37'dir.
Fonksiyonun verilen kapalı aralıktaki mutlak maksimum değeri uç nokta olan 6 için 59, mutlak minimum değeri ise kritik nokta olan 3 için -22 olup, bu değerlerin toplamı 37 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak kritik noktaları (türevin sıfır olduğu yerleri) bulunuz.
f′(x)=3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1)=0f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1) = 0 denkleminin kökleri x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Her iki nokta da [−2,6][-2, 6] tanım aralığındadır.
Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum adayları, türevin sıfır olduğu kritik noktalardır.
2
Kritik noktalardaki ve tanım aralığının uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplayınız.
Uç noktalardaki değerler:
f(−2)=(−2)3−3(−2)2−9(−2)+5=−8−12+18+5=3f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3
f(6)=63−3(62)−9(6)+5=216−108−54+5=59f(6) = 6^3 - 3(6^2) - 9(6) + 5 = 216 - 108 - 54 + 5 = 59

Kritik noktalardaki değerler:
f(−1)=(−1)3−3(−1)2−9(−1)+5=−1−3+9+5=10f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10
f(3)=33−3(32)−9(3)+5=27−27−27+5=−22f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22
olarak bulunur.
Sürekli bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerleri, yerel ekstremum noktalarında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
3
Hesaplanan değerleri karşılaştırarak mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini belirleyip toplayınız.
Hesaplanan değerler arasından en büyüğü 5959 (mutlak maksimum), en küçüğü ise −22-22 (mutlak minimum) olur. Bu değerlerin toplamı:
59+(−22)=3759 + (-22) = 37
olarak elde edilir.
Soru kökünde bizden mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak ekstremum değerlerini bulmak için, fonksiyonun aralıktaki kritik noktalarında aldığı değerler ile aralığın uç noktalarında aldığı değerler hesaplanıp karşılaştırılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2300Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+af(x) = x^2 - 3x + a
parabolüne üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusu,
g(x)=x3−2x2+bxg(x) = x^3 - 2x^2 + bx
eğrisine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktada da teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parametrelerin toplamı olan 6 değeri doğru cevaptır.
Parabolün teğet doğrusunun denklemi y=x+a−4y = x + a - 4 olarak elde edilir. Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğet eğimi olan b−1b - 1 değeri doğrunun eğimi olan 1'e eşitlenerek b=2b = 2 bulunur. Değme noktası (1,1)(1, 1) doğrunun üzerinde yerine yazılarak a=4a = 4 elde edilir. Buradan a+b=6a + b = 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün x=2x = 2 apsisli noktadaki teğetinin eğimini bulmak için fonksiyonun türevi alınır ve x=2x = 2 değeri yerine yazılır.
f′(x)=2x−3  ⟹  f′(2)=2(2)−3=1f'(x) = 2x - 3 \implies f'(2) = 2(2) - 3 = 1 olur. Teğet doğrusunun eğimi m=1m = 1'dir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Parabol üzerindeki teğet noktasının koordinatları belirlenir ve teğet doğrusunun denklemi yazılır.
x=2x = 2 için f(2)=22−3(2)+a=a−2f(2) = 2^2 - 3(2) + a = a - 2 olur. Nokta (2,a−2)(2, a - 2)'dir. Eğimi m=1m = 1 olan teğet doğrusunun denklemi: y−(a−2)=1⋅(x−2)  ⟹  y=x+a−4y - (a - 2) = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x + a - 4 olarak bulunur.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet doğrusu elde edilir.
3
Bu teğet doğrusu g(x)g(x) eğrisine x=1x = 1 noktasında da teğet olduğundan, g(x)g(x)'in x=1x = 1 noktasındaki türevi teğet doğrusunun eğimine eşitlenerek bb bulunur.
g′(x)=3x2−4x+b  ⟹  g′(1)=3(1)2−4(1)+b=b−1g'(x) = 3x^2 - 4x + b \implies g'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + b = b - 1 olur. Eğim 1 olduğundan b−1=1  ⟹  b=2b - 1 = 1 \implies b = 2 bulunur.
Aynı teğet doğrusunun eğimi her iki teğet noktasındaki türev değerine eşit olmalıdır.
4
Eğrinin teğet noktası teğet doğrusunu sağlamalıdır. Bu bilgi kullanılarak aa değeri bulunur.
b=2b = 2 için g(1)=13−2(1)2+2(1)=1g(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 2(1) = 1 olur. Değme noktası (1,1)(1, 1)'dir. Bu nokta y=x+a−4y = x + a - 4 doğrusu üzerinde olduğundan 1=1+a−4  ⟹  a=41 = 1 + a - 4 \implies a = 4 bulunur.
Teğet noktası hem eğri denklemini hem de teğet doğrusunun denklemini sağlamak zorundadır.
5
Bulunan aa ve bb değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.
a+b=4+2=6a + b = 4 + 2 = 6 olarak elde edilir.
Soru bizden bu iki parametrenin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Ortak teğet doğrusu problemlerinde eğimlerin eşitliği ve teğet noktalarının doğrunun denklemini sağlaması koşulları kullanılır.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 115 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin