Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2301Soru →

[a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve azalan bir ff fonksiyonunun bu aralıkta oluşturulan herhangi bir düzgün bölüntüsüne ait Riemann sol toplamı, ff fonksiyonunun bu aralıktaki belirli integralinin değerinden her zaman küçüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Azalan bir fonksiyonun Riemann sol toplamı, belirli integralin değerinden küçük değil, büyük veya eşittir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü azalan bir fonksiyonda Riemann sol toplamı, her bir alt aralıktaki maksimum değerleri kullandığı için bir üst toplam belirtir ve bu yüzden belirli integralin değerinden her zaman büyük veya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Riemann sol toplamın��n tanımını belirlemek.
Riemann sol toplamı, [a,b][a, b] aralığının her bir [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında yükseklik değeri olarak sol uç noktanın fonksiyon değeri olan f(xi−1)f(x_{i-1}) alınarak hesaplanır.
Riemann sol toplamının hangi noktalardaki değerleri kullandığını netleştirmek için.
2
Azalan fonksiyon özelliğini kullanarak fonksiyon değerlerini karşılaştırmak.
ff fonksiyonu azalan olduğundan, her x∈[xi−1,xi]x \in [x_{i-1}, x_i] için f(xi−1)≥f(x)f(x_{i-1}) \geq f(x) olur. Yani sol uç nokta, fonksiyonun o aralıktaki en büyük değerini verir.
Fonksiyonun azalan olmasının sol uç noktalardaki değerlerin büyüklüğüne etkisini incelemek için.
3
Riemann sol toplamı ile belirli integral arasındaki ilişkiyi kurmak.
Her bir alt aralıkta f(xi−1)≥f(x)f(x_{i-1}) \geq f(x) olduğundan, Riemann sol toplamı Riemann üst toplamına eşit olur. Bu yüzden Riemann sol toplamı, ∫abf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx integralinden büyük veya eşittir.
Sol toplamın integral alanı ile olan büyüklük ilişkisini kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Riemann sol toplamının azalan fonksiyonlardaki geometrik anlamı ve belirli integral ile ilişkisi.
Soru 2302Soru →

Bir bilim insanı, laboratuvarındaki 88 farklı deney tüpünden 33 tanesini seçerek bir deneyde kullanacaktır. Buna göre, bu bilim insanı bu seçim işlemini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

8 farklı deney tüpünden 3 tanesi sıraya bakılmaksızın 56 farklı şekilde seçilebilir.
Seçim işlemi sıraya bağlı olmaksızın yapıldığından kombinasyon formülü kullanılır. 8 farklı deney tüpünden 3 tanesi C(8, 3) = 56 farklı şekilde seçilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Seçim türünü belirleme
Kombinasyon (seçme) yöntemi kullanılmalıdır.
Tüplerin seçilme sırası önemsizdir.
2
Kombinasyon formülünü uygulama
C(8,3)C(8, 3) değeri hesaplanır.
88 farklı eleman arasından 33 eleman seçilmektedir.
3
Matematiksel işlemi yapma
C(8,3)=8×7×63×2×1=56C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
Pay ve payda sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon
Soru 2303Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı en geniş kümede
f(x)=x−2x2−ax+9f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - ax + 9}
fonksiyonu tanımlanıyor.

f(x)f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların sayısı 11 olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin çarp��mı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −36-36

Cevap

Süreksiz olduğu nokta sayısını 1 yapan farklı aa değerlerinin çarpımı −36-36 olur.
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar paydayı sıfır yapan değerlerdir. x2−ax+9=0x^2 - ax + 9 = 0 denkleminin tek bir gerçel kökü olması için diskriminantı sıfır olmalıdır (Δ=0\Delta = 0). Buradan a=6a = 6 veya a=−6a = -6 bulunur. Eğer a=13/2a = 13/2 seçilirse payda x=2x=2 için sıfır olur ve paydaki x−2x-2 ile sadeleşen bir çarpan içerir. Ancak sadeleşmeye rağmen fonksiyon başlangıçta x=2x=2 noktasında tanımsız olduğu için bu noktada süreksiz kalır ve diğer kök olan x=9/2x=9/2 ile birlikte toplamda 2 süreksizlik noktası oluşur. Dolayısıyla a=13/2a = 13/2 değeri koşulu sağlamaz. Bu durumda aa'nın alabileceği değerler çarpımı 6⋅(−6)=−366 \cdot (-6) = -36 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktaların tanımsızlık kaynaklı olduğunu belirleyin.
Fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, paydasını sıfır yapan x2−ax+9=0x^2 - ax + 9 = 0 denkleminin gerçel kökleridir.
Rasyonel fonksiyonlar tanımlı olmadıkları noktalarda süreksizdir.
2
Paydadaki denklemin tek gerçel kökünün olması koşulunu diskriminant yardımıyla inceleyin.
Δ=a2−4⋅1⋅9=a2−36=0  ⟹  a=6\Delta = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36 = 0 \implies a = 6 veya a=−6a = -6 bulunur.
İkinci dereceden bir denklemin tam olarak bir gerçel kökünün olması için diskriminantının sıfır olması gerekir.
3
Payı sıfır yapan x=2x=2 değerinin paydayı da sıfır yapması durumunu (sadeleşme ihtimalini) kontrol edin.
22−2a+9=0  ⟹  a=13/22^2 - 2a + 9 = 0 \implies a = 13/2 olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=x−212(2x−9)(x−2)f(x) = \frac{x-2}{\frac{1}{2}(2x-9)(x-2)} halini alır. Sadeleştirme yapılsa bile fonksiyon x=2x=2 noktasında başlangıçta tanımsız olduğundan bu noktada da süreksizdir. Dolayısıyla x=2x=2 ve x=9/2x=9/2 olmak üzere 2 süreksizlik noktası oluşur ve bu durum elenir.
Pay ile paydanın sadeleşmesi fonksiyonu o noktada sürekli kılmaz; fonksiyon o noktada tanımsız kalmaya devam eder.
4
Koşulu sağlayan aa değerlerinin çarpımını hesaplayın.
6⋅(−6)=−366 \cdot (-6) = -36 elde edilir.
Sadece a=6a = 6 ve a=−6a = -6 değerleri için fonksiyonun süreksiz olduğu nokta sayısı 1'dir.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun süreksizlik noktaları, paydasını sıfır yapan gerçel sayılardır. Pay ile paydanın sadeleşmesi, tanımsızlığı ortadan kaldırmaz ve o nokta süreksizlik noktası olmaya devam eder.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2304Soru →

Bir müzede sergilenecek olan 55 farklı kupa, yan yana duran 55 bölmeli bir rafa her bölmede bir kupa olacak şekilde dizilecektir. Bu kupalardan en değerli olan iki kupanın yan yana bölmelerde yer alması istenmektedir. Buna göre, bu kupalar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Kupaların rafa dizilebileceği farklı durumların sayısı 48'dir.
Yan yana gelmesi istenen en değerli iki kupa tek bir kupa olarak kabul edilir. Bu durumda rafta dizilmesi gereken nesne sayısı 4'e düşer. 4 nesne yan yana 4!=244! = 24 farklı şekilde dizilebilir. Ayrıca, tek bir kupa olarak kabul ettiğimiz bu iki kupa kendi arasında 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre, tüm koşulları sağlayan toplam dizilim sayısı 24×2=4824 \times 2 = 48 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yan yana durması istenen iki kupayı tek bir eleman olarak gruplandırın.
Bu iki kupa bir bütün olarak kabul edildiğinde, geriye kalan 3 kupa ile birlikte sıralanacak toplam eleman sayısı 4 olur.
Koşullu permütasyon sorularında yan yana olması istenen elemanlar tek bir nesne gibi düşünülerek işlem kolaylaştırılır.
2
Elde edilen 4 elemanın doğrusal bir rafa kaç farklı şekilde dizilebileceğini hesaplayın.
4!=244! = 24 farklı dizilim elde edilir.
Farklı n elemanın doğrusal bir sıra boyunca dizilimlerinin sayısı n! permütasyon formülü ile bulunur.
3
Grup içindeki iki kupanın kendi arasındaki yer değiştirme durumunu hesaplayın ve toplam durum sayısını bulun.
Grup içindeki kupalar kendi aralarında 2!=22! = 2 farklı şekilde sıralanabilir. Toplam dizilim sayısı ise 24×2=4824 \times 2 = 48 olur.
Çarpma yoluyla sayma kuralı gereğince, bağımsız olarak gerçekleşen bu iki sıralama durumunun çarpılması gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu Permütasyon

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm olası dizilimlerin sayısından (5!=1205! = 120), bu iki değerli kupanın yan yana OLMADIĞI durumların sayısını çıkarabiliriz. İki değerli kupanın yan yana olmadığı durumları bulmak için önce diğer 3 kupayı dizeriz (3!=63! = 6 durum). Bu 3 kupanın oluşturduğu 4 boşluğa 2 değerli kupayı yerleştiririz. İlk değerli kupa için 4 boşluk, ikincisi için 3 boşluk vardır (4×3=124 \times 3 = 12 durum). Buradan yan yana olmadıkları durumlar 6×12=726 \times 12 = 72 olur. Tüm durumlardan çıkarırsak 120−72=48120 - 72 = 48 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2305Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x ve g(x)=x2g(x) = x^2 eğrileri arasında kalan sınırlı bölge verilmiştir. Orijinden geçen y=mxy = mx (m>0m > 0) doğrusu, bu bölgeyi S1S_1 ve S2S_2 alanlarına sahip iki alt bölgeye ayırmaktadır. S1S_1 bölgesi y=mxy = mx doğrusunun üst tarafında kalan bölgeyi temsil etmek üzere, S1S2=115\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, mm gerçel sayısının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

m gerçel sayısının değeri 6'dır.
Toplam alan 643\frac{64}{3} birimkaredir. Alanlar oranı S1S2=115\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} olduğu için doğrunun üstünde kalan bölgenin alanı S1=43S_1 = \frac{4}{3} birimkaredir. Bu alan ∫08−m(−x2+(8−m)x)dx=(8−m)36\int_{0}^{8-m} (-x^2 + (8-m)x) dx = \frac{(8-m)^3}{6} integraline eşittir. (8−m)36=43\frac{(8-m)^3}{6} = \frac{4}{3} eşitliğinden 8−m=28-m = 2 ve m=6m=6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
−x2+8x=x2  ⟹  2x2−8x=0  ⟹  2x(x−4)=0  ⟹  x=0-x^2 + 8x = x^2 \implies 2x^2 - 8x = 0 \implies 2x(x - 4) = 0 \implies x = 0 ve x=4x = 4 kesişim noktalarıdır.
İntegral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları bulunmalıdır.
2
Eğriler arasında kalan toplam alanı (AA) veren integrali yazın ve hesaplayın.
A=∫04((−x2+8x)−x2)dx=∫04(−2x2+8x)dx=[−2x33+4x2]04=−1283+64=643A = \int_{0}^{4} ((-x^2 + 8x) - x^2) dx = \int_{0}^{4} (-2x^2 + 8x) dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 \right]_0^4 = -\frac{128}{3} + 64 = \frac{64}{3} birimkaredir.
Toplam alanı bulmak, oranlama yaparak alt bölgelerin alanlarını bulmayı sağlar.
3
S1S_1 alanını toplam alan türünden yazın.
S1S2=115  ⟹  S1=116A=116⋅643=43\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{15} \implies S_1 = \frac{1}{16} A = \frac{1}{16} \cdot \frac{64}{3} = \frac{4}{3} birimkare elde edilir.
S1S_1 ve S2S_2 bölgelerinin toplamı tüm alana eşit olduğundan, oran kullanılarak S1S_1 alanı hesaplanır.
4
y=mxy = mx doğrusunun f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x eğrisiyle kesişim noktasını bulun.
−x2+8x=mx  ⟹  x2+(m−8)x=0  ⟹  x=8−m-x^2 + 8x = mx \implies x^2 + (m - 8)x = 0 \implies x = 8 - m (çünkü x>0x > 0 olmalıdır).
S1S_1 bölgesinin sağ sınırını belirlemek için kesişim noktası hesaplanmalıdır.
5
S1S_1 alanını integral olarak ifade edip mm değerini çözün.
S1=∫08−m((−x2+8x)−mx)dx=∫08−m((8−m)x−x2)dx=[(8−m)x22−x33]08−m=(8−m)36S_1 = \int_{0}^{8 - m} ((-x^2 + 8x) - mx) dx = \int_{0}^{8 - m} ((8 - m)x - x^2) dx = \left[ \frac{(8 - m)x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{8 - m} = \frac{(8 - m)^3}{6} olur. Buradan (8−m)36=43  ⟹  (8−m)3=8  ⟹  8−m=2  ⟹  m=6\frac{(8 - m)^3}{6} = \frac{4}{3} \implies (8 - m)^3 = 8 \implies 8 - m = 2 \implies m = 6 bulunur.
S1S_1 alanının sayısal değerini integral sonucuna eşitleyerek bilinmeyen mm parametresi elde edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın integral yardımıyla hesaplanması ve alan paylaştırma problemleri.
Soru 2306Soru →

Genişliği 8 metre8\text{ metre} olan bir koridor, genişliği 27 metre27\text{ metre} olan başka bir koridorla dik kesişmektedir. Bu koridorların birleştiği köşeden yatay konumda tutularak geçebilecek en uzun demir borunun boyu kaç metredir? (Borunun kalınlığı ihmal edilecektir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 131313\sqrt{13}

Cevap

Demir borunun geçebileceği maksimum uzunluk 131313\sqrt{13} metredir.
Doğru yanıt olan 131313\sqrt{13} değeri, borunun geçiş geometrisinden elde edilen L(θ)=8csc⁡θ+27sec⁡θL(\theta) = 8\csc\theta + 27\sec\theta fonksiyonunun türevi alınıp minimum noktası hesaplandığında tan⁡θ=23\tan\theta = \frac{2}{3} değeri için doğrulanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Koridorların kesişim bölgesini dik koordinat düzlemine yerleştirelim.
Dikey koridorun dış duvarı yy ekseni (x=0x=0), yatay koridorun dış duvarı xx ekseni (y=0y=0) ve iç köşe K(8,27)K(8, 27) noktası olur.
Geometrik problemi analitik yöntemlerle modellemek için koordinat sistemi kurulur.
2
İç köşeden geçen borunun uçlarının eksenlerle yaptığı açıyı θ\theta olarak tanımlayalım ve boru boyunu veren fonksiyonu yazalım.
Borunun dikey koridorda kalan kısmı L1=8sin⁡θL_1 = \frac{8}{\sin\theta} ve yatay koridorda kalan kısmı L2=27cos⁡θL_2 = \frac{27}{\cos\theta} olup, toplam boru boyu L(θ)=8sin⁡θ+27cos⁡θL(\theta) = \frac{8}{\sin\theta} + \frac{27}{\cos\theta} şeklinde bir fonksiyon oluşturur.
Borunun köşeden geçebilmesi için bu uzunluğun alabileceği minimum değeri bulmamız gerekir.
3
Toplam uzunluk fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik açıyı belirleyelim.
L′(θ)=−8cos⁡θsin⁡2θ+27sin⁡θcos⁡2θ=0  ⟹  27sin⁡3θ=8cos⁡3θ  ⟹  tan⁡3θ=827  ⟹  tan⁡θ=23L'(\theta) = -\frac{8\cos\theta}{\sin^2\theta} + \frac{27\sin\theta}{\cos^2\theta} = 0 \implies 27\sin^3\theta = 8\cos^3\theta \implies \tan^3\theta = \frac{8}{27} \implies \tan\theta = \frac{2}{3} bulunur.
Fonksiyonun minimum değerine ulaştığı kritik nokta türevin sıfır olduğu yerde oluşur.
4
Elde edilen kritik açının trigonometrik oranlarını boru boyu fonksiyonunda yerine koyalım.
tan⁡θ=23\tan\theta = \frac{2}{3} ise sin⁡θ=213\sin\theta = \frac{2}{\sqrt{13}} ve cos⁡θ=313\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{13}} olur. Buradan Lmin=8213+27313=413+913=1313L_{min} = \frac{8}{\frac{2}{\sqrt{13}}} + \frac{27}{\frac{3}{\sqrt{13}}} = 4\sqrt{13} + 9\sqrt{13} = 13\sqrt{13} elde edilir.
Bulunan minimum geçiş uzunluğu, bu virajdan geçebilecek maksimum boru boyuna karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla trigonometrik maksimum ve minimum problemlerinin çözümü.
Soru 2307Soru →

Şekilde bir çember üzerinde 5 farklı nokta ve bu çemberi kesmeyen bir dd doğrusu üzerinde 4 farklı nokta işaretlenmiştir. Çember üzerindeki noktaların herhangi ikisinden geçen doğruların hiçbiri dd doğrusu üzerindeki işaretli noktalardan geçmemektedir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen ve en az iki köşesi çember üzerinde olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Toplamda 50 farklı üçgen çizilebilir.
İstenen koşula göre çizilecek üçgenlerin en az iki köşesi çember üzerinde olmalıdır. Bu durum iki alt grupta incelenir: Çemberden 2 nokta, dd doğrusundan 1 nokta seçilmesiyle (52)×(41)=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40 üçgen; veya çemberden 3 nokta seçilmesiyle (53)=10\binom{5}{3} = 10 üçgen elde edilir. Bu iki bağımsız durum toplandığında toplam 50 üçgen bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci durumu (2 köşesi çember üzerinde, 1 köşesi dd doğrusu üzerinde olan üçgenler) hesaplama.
Çember üzerindeki 5 noktadan 2'si (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde, dd doğrusu üzerindeki 4 noktadan 1'i (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı şekilde seçilir. Bu durumda 10×4=4010 \times 4 = 40 farklı üçgen oluşur.
En az iki köşesi çember üzerinde olması istendiğinden, tam olarak iki köşenin çember üzerinde olduğu durumu belirlemek gerekir.
2
İkinci durumu (3 köşesi de çember üzerinde olan üçgenler) hesaplama.
Çember üzerindeki 5 noktadan 3'ü (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir. Bu durumda 10 farklı üçgen oluşur.
En az iki köşesi çember üzerinde koşulu, 3 köşenin de çember üzerinde olması durumunu kapsar.
3
Tüm durumları toplama.
40+10=5040 + 10 = 50 farklı üçgen çizilebilir.
Birbirinden bağımsız bu iki durumun toplamı, istenen koşula uygun tüm üçgenlerin sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) kullanarak geometrik şekiller oluşturma ve koşullu durumları ayrı ayrı inceleme.

Alternatif Yöntem

Tüm olası üçgenlerin sayısından, istenmeyen durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı (93)−(43)=80\binom{9}{3} - \binom{4}{3} = 80'dir (çünkü doğrunun üzerindeki 4 noktadan üçgen oluşmaz). İstenmeyen durum ise çemberden 1 nokta ve dd doğrusundan 2 nokta seçilmesidir. Bu durumun sayısı (51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30'dur. Tüm durumlardan istenmeyeni çıkardığımızda: 80−30=5080 - 30 = 50 sonucuna ulaşırız.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2308Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x3−2x2f(x) = x^3 - 2x^2 fonksiyonunun grafiği ile g(x)=x2−2xg(x) = x^2 - 2x parabolü koordinat düzleminde kesişerek sınırlı bölgeler oluşturmaktadır. Buna göre, bu eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı \frac{1}{2} birimkaredir.
Eğriler x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=2x = 2 apsisli noktalarda kesişirler. [0,1][0, 1] aralığında üstte olan eğri ile alttaki eğrinin farkının integrali 14\frac{1}{4} birimkaredir. [1,2][1, 2] aralığında ise fonksiyonların konumu değiştiği için fark fonksiyonunun işareti ters çevrilerek alınan integral yine 14\frac{1}{4} birimkare değerini verir. Bu iki bölgenin alanları toplamı olan 12\frac{1}{2} birimkare doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleyelim.
x3−2x2=x2−2x  ⟹  x3−3x2+2x=0  ⟹  x(x−1)(x−2)=0x^3 - 2x^2 = x^2 - 2x \implies x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \implies x(x-1)(x-2) = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri x1=0x_1 = 0, x2=1x_2 = 1 ve x3=2x_3 = 2 olarak bulunur.
Eğrilerin sınırlarını ve kesişim noktalarını belirleyerek entegrasyon sınırlarını oluşturmak için bu adım gereklidir.
2
[0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] aralıklarında hangi fonksiyonun üstte oldu��unu belirleyelim.
x∈(0,1)x \in (0, 1) için f(x)>g(x)f(x) > g(x) olduğundan alan integral ifadesi ∫01(f(x)−g(x)) dx\int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx olur. x∈(1,2)x \in (1, 2) için g(x)>f(x)g(x) > f(x) olduğundan alan integral ifadesi ∫12(g(x)−f(x)) dx\int_{1}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx olur.
Alan hesabının pozitif değer vermesi için üstteki eğriden alttaki eğrinin çıkarılması gerekir.
3
Her iki aralıktaki alanları ayrı ayrı hesaplayarak toplayalım.
A1=∫01(x3−3x2+2x) dx=[x44−x3+x2]01=14A_1 = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} ve A2=∫12(−x3+3x2−2x) dx=[−x44+x3−x2]12=0−(−14)=14A_2 = \int_{1}^{2} (-x^3 + 3x^2 - 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 - x^2 \right]_{1}^{2} = 0 - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} bulunur. Toplam alan A1+A2=14+14=12A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} birimkaredir.
Sınırlanan iki farklı kapalı bölgenin alanlarının toplamını elde etmek için bu hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktaları arasındaki fark fonksiyonunun belirli integraliyle hesaplanır. Eğriler birbirini kestiğinde integral sınırları kesişim noktalarına göre parçalanmalıdır.
Soru 2309Soru →

Aşağıda sol sütunda koordinat düzleminde sınırları belirtilen bölgeler, sağ sütunda ise bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integraller verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki doğru integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Birinci bölgede; y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=x−2y = x - 2 doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
y=x2y = x^2 parabolü, bu parabole x=2x = 2 noktasından çizilen teğet doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölge
y=exy = e^x eğrisi, y=e−xy = e^{-x} eğrisi ve y=ey = e doğrusu arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölgedeki y=xy = \sqrt{x}, y=x−2y = x-2 ve yy ekseni arasındaki alan ∫−22(y+2) dy−∫02y2 dy\int_{-2}^{2} (y+2) \, dy - \int_{0}^{2} y^2 \, dy integrali ile; y=x2y = x^2, bu eğriye x=2x=2'de teğet olan doğru ve yy ekseni arasındaki alan ∫02(x−2)2 dx\int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx integrali ile; y=exy = e^x, y=e−xy = e^{-x} ve y=ey = e arasındaki alan ise ∫1e2ln⁡y dy\int_{1}^{e} 2\ln y \, dy integrali ile eşleşir.
Verilen her bir geometrik ve cebirsel tanım, alanın integralle ifadesi kuralları (üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonun çıkarılması veya yy ekseni boyunca sağdakinden soldakinin çıkarılması) kullanılarak integral ifadeleriyle birebir eşleşir. Özellikle birinci bölgede iki farklı integralin birleştirilmesiyle elde edilen integral, bölgenin toplam alanına tam olarak karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için sınırları ve kesişim noktalarını belirleme
y=xy = \sqrt{x} ile y=x−2y = x - 2 doğrularının kesişim noktası x=4x = 4, y=2y = 2'dir. yy ekseni sınır olduğundan yy değişkenine göre entegre edildiğinde, y∈[−2,0]y \in [-2, 0] için x=0x = 0 ve x=y+2x = y+2; y∈[0,2]y \in [0, 2] için x=y2x = y^2 ve x=y+2x = y+2 sınırları kullanılır.
Alan integralini tek bir değişkene bağlı olarak daha basit biçimde ifade edebilmek için.
2
Birinci bölgenin integral ifadesini oluşturma
A1=∫−20(y+2) dy+∫02(y+2−y2) dy=∫−22(y+2) dy−∫02y2 dyA_1 = \int_{-2}^{0} (y+2) \, dy + \int_{0}^{2} (y+2 - y^2) \, dy = \int_{-2}^{2} (y+2) \, dy - \int_{0}^{2} y^2 \, dy
İntegral sınırlarının birleştirilmesiyle sade bir gösterim elde etmek için.
3
İkinci bölge için teğet doğrusunu ve sınırları bulma
x=2x = 2 noktasında y=x2y = x^2 parabolüne çizilen teğet doğrusunun denklemi y=4x−4y = 4x - 4 olarak bulunur. Kesişim noktası teğet noktası olan x=2x=2 ve sol sınır x=0x=0'dır.
Sınırlı bölgenin alt sınırını oluşturan doğrunun denklemini elde etmek için.
4
İkinci bölgenin integral ifadesini yazma
A2=∫02(x2−(4x−4)) dx=∫02(x−2)2 dxA_2 = \int_{0}^{2} (x^2 - (4x-4)) \, dx = \int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx
İki eğri arasında kalan alanın üstteki eğriden alttaki eğrinin çıkarılmasıyla bulunması kuralını uygulamak için.
5
Üçüncü bölge için eğrileri yy cinsinden yazıp kesişim sınırlarını bulma
y=ex  ⟹  x=ln⁡yy = e^x \implies x = \ln y ve y=e−x  ⟹  x=−ln⁡yy = e^{-x} \implies x = -\ln y. Bu eğriler y=1y = 1 düzeyinde kesişirler ve üstten y=ey = e doğrusu ile sınırlıdırlar.
Alan integralini yy ekseni boyunca dilimleyerek kurmak için.
6
Üçüncü bölgenin integral ifadesini yazma
A3=∫1e(ln⁡y−(−ln⁡y)) dy=∫1e2ln⁡y dyA_3 = \int_{1}^{e} (\ln y - (-\ln y)) \, dy = \int_{1}^{e} 2\ln y \, dy
Sağdaki eğriden soldaki eğrinin çıkarılarak yy değişkenine göre belirli integralinin alınmasıyla alanı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının, uygun değişken (x veya y) seçilerek belirli integral yardımıyla ifade edilmesi ve hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Birinci bölge için alanı xx ekseni boyunca iki parçaya ayırarak hesaplayabiliriz: x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığında ∫02x dx\int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx ve x∈[2,4]x \in [2, 4] aralığında ∫24(x−(x−2)) dx\int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx integrallerinin toplamı da aynı alanı verir. Ancak bu biçim, sağ sütundaki tekil integral biçimlerinden daha karmaşık görünür.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2310Soru →

Bir düzlemde bulunan 66 doğrudan 33 tanesi sabit bir PP noktasından, diğer 33 tanesi ise PP noktasından farklı sabit bir RR noktasından geçmektedir.

Bu doğruların herhangi ikisi paralel değildir ve bu doğruların kesişim noktalarından, verilen 66 doğru üzerinde bulunanlar dışında, herhangi üçü doğrusal değildir.

Buna göre, bu doğruların kesişim noktaları köşe kabul edilerek kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 141

Cevap

141
Toplam 1111 kesişim noktası vardır (PP noktası, RR noktası ve bu iki noktadan çıkan doğruların kesişmesiyle oluşan 99 nokta). Bu 1111 noktadan seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısı (113)=165\binom{11}{3} = 165'tir. Ancak aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz. PP noktasından geçen 33 doğrunun her birinde ve RR noktasından geçen 33 doğrunun her birinde olmak üzere toplam 66 doğrunun her birinin üzerinde 44 adet nokta bulunmaktadır. Her bir doğru için bu 44 noktadan seçilecek üçlüler (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı doğrusal grup oluşturur. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 doğrusal üçlü grubu üçgen oluşturamayacağı için tüm durumlardan çıkarılır ve 165−24=141165 - 24 = 141 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarının toplam sayısını bulun.
Toplam 1111 kesişim noktası vardır.
PP ve RR noktalarının kendileri birer kesişim noktasıdır. Ayrıca, PP noktasından geçen 33 doğru ile RR noktasından geçen 33 doğru, paralel olmadıkları için 3×3=93 \times 3 = 9 farklı noktada kesişir. Buradan toplam nokta sayısı 1+1+9=111 + 1 + 9 = 11 olur.
2
Bu noktalar arasından seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısını hesaplayın.
(113)=165\binom{11}{3} = 165 farklı seçim yapılabilir.
Herhangi üç noktanın seçimi, sıranın önemsiz olduğu kombinasyon işlemiyle (113)=11×10×93×2×1=165\binom{11}{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 olarak bulunur.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan doğrusal nokta üçlülerinin sayısını hesaplayın.
Toplam 2424 doğrusal üçlü vardır.
PP noktasından geçen 33 doğrunun her biri üzerinde PP nokta ve diğer gruptaki doğrularla olan 33 kesişim noktası dahil olmak üzere toplam 44 nokta bulunur. Bir doğru üzerindeki 44 noktadan oluşturulabilecek doğrusal üçlü sayısı (43)=4\binom{4}{3} = 4'tür. PP'den geçen 33 doğru için 3×4=123 \times 4 = 12 doğrusal üçlü gelir. Benzer şekilde, RR noktasından geçen 33 doğrunun her birinin üzerinde de 44 nokta bulunur ve oradan da 3×4=123 \times 4 = 12 doğrusal üçlü gelir. Toplamda 12+12=2412 + 12 = 24 doğrusal üçlü elde edilir.
4
Oluşturulabilecek üçgen sayısını hesaplamak için tüm durumlardan doğrusal durumları çıkarın.
Toplam 141141 farklı üçgen oluşturulabilir.
Doğrusal üçlüler üçgen oluşturamayacağından, tüm durumlardan doğrusal durumlar çıkarılır: 165−24=141165 - 24 = 141.

Anahtar Kavram

Geometrik Kombinasyon ve Doğrusallık Analizi
Soru 2311Soru →

KAYIK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilen 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimelerin kaç tanesi A harfi ile başlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Kelimelerin A harfi ile başlaması istendiği için ilk sıraya A harfi yerleştirilir. Geriye kalan 4 boşluğa K, Y, I, K harfleri sıralanacaktır. Bu harflerden 2 tanesi K harfi olduğundan, tekrarlı permütasyon kurallarına göre sıralama sayısı 4! / 2! = 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşula uygun sabitleme yapılması
Kelimelerin A harfi ile başlaması istendiğinden, ilk harf A olarak sabitlenir: A _ _ _ _
Soruda belirtilen başlangıç harfi koşulunu sağlamak için
2
Kalan harflerin belirlenmesi ve tekrarların sayılması
Geriye kalan 4 harf K, Y, I, K harfleridir. Bu harflerden K harfi 2 kez tekrarlamaktadır.
Tekrarlı permütasyon uygulanacak kümenin elemanlarını ve tekrar edenleri belirlemek için
3
Tekrarlı permütasyon hesabı yapılması
4!2!=242=12\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12
Tekrar eden K harflerinin kendi aralarındaki yer değişiminin farklı bir kelime oluşturmayacağını hesaba katarak sıralama sayısını bulmak için

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon formülünde, belirli bir elemanın konumu sabitlendiğinde geriye kalan elemanların tekrar sayılarına göre sıralanması.
Soru 2312Soru →

Bir üniversitenin bilgisayar mühendisliği bölümünde a��ılan 88 farklı seçmeli dersten ikisi AA ve BB dersleridir. Bir öğrencinin bu derslerden seçim yaparken uyması gereken kurallar aşağıda verilmiştir:

* Öğrenci bu 88 dersten en az 33 tanesini seçmelidir.
* AA dersini seçen bir öğrenci, BB dersini de seçmek zorundadır.

Buna göre, bu öğrenci ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 162

Cevap

Ders seçiminin yapılabileceği toplam farklı durum sayısı 162'dir.
Ders seçimlerinin geçerli olabilmesi için öğrencinin en az 33 ders seçmesi ve AA dersini seçtiğinde BB dersini de seçmiş olması gerekir. Koşulsuz olarak 88 dersten en az 33 ders seçme durumlarının sayısı 219219'dur. Kuralı ihlal eden durumlar ise AA dersinin seçildiği ama BB dersinin seçilmediği durumlardır. Bu durumlarda AA dersi seçilmiş, BB dersi elenmiştir. Toplamda en az 33 ders seçilmesi gerektiğinden, geriye kalan 66 dersten en az 22 ders seçilmelidir. Bu da 5757 farklı duruma karşılık gelir. Tüm durumlardan geçersiz durumlar çıkarıldığında 219−57=162219 - 57 = 162 geçerli durum bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
88 dersten en az 33 dersin seçilebileceği tüm koşulsuz durumların sayısını hesaplamak.
∑k=38(8k)=28−(80)−(81)−(82)=256−1−8−28=219\sum_{k=3}^{8} \binom{8}{k} = 2^8 - \binom{8}{0} - \binom{8}{1} - \binom{8}{2} = 256 - 1 - 8 - 28 = 219
Derslerin kuralsız biçimde en az 33 tane seçilebileceği tüm evrensel durumların sayısını bulmak için.
2
AA dersinin seçildiği ancak BB dersinin seçilmediği istenmeyen (kural ihlali oluşturan) durumların sayısını hesaplamak.
∑j=26(6j)=26−(60)−(61)=64−1−6=57\sum_{j=2}^{6} \binom{6}{j} = 2^6 - \binom{6}{0} - \binom{6}{1} = 64 - 1 - 6 = 57
AA dersi seçilip BB dersi seçilmediğinde, AA seçildiği için toplamda en az 33 derse ulaşmak adına kalan 66 dersten en az 22 ders daha seçilmelidir.
3
Tüm durumlardan geçersiz olan istenmeyen durumları çıkarmak.
219−57=162219 - 57 = 162
Koşullara uygun geçerli tüm seçimlerin sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu kombinasyon hesaplamalarında tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması yöntemi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2313Soru →

(x+2)5(x + 2)^5 ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında x3x^3 lü terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4040

Cevap

Açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı 4040 olur.
Genel terim formülü olan (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r ifadesinde n=5n=5, a=xa=x, b=2b=2 ve r=2r=2 yazıldığında, terim (52)x322=10⋅4⋅x3=40x3\binom{5}{2} x^3 2^2 = 10 \cdot 4 \cdot x^3 = 40x^3 olur. Bu durumda katsayı 4040 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülünü belirleyelim.
(a+b)n(a + b)^n açılımında genel terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir.
İstenen terimin katsayısını bulmak için genel terim formülünü kullanırız.
2
Verilen (x+2)5(x + 2)^5 ifadesi için formüldeki terimleri yerleştirelim ve x3x^3 terimini elde etmek için rr değerini bulalım.
n=5n = 5, a=xa = x, b=2b = 2 yazıldığında genel terim (5r)x5−r2r\binom{5}{r} x^{5-r} 2^r olur. x3x^3 terimi için 5−r=3⇒r=25-r = 3 \Rightarrow r = 2 bulunur.
xx'in kuvvetinin 33 olmasını sağlayan terim sırasını (rr değerini) tespit etmek gerekir.
3
r=2r = 2 değerini genel terimde yerine yazarak terimin katsayısını hesaplayalım.
(52)x322=10⋅x3⋅4=40x3\binom{5}{2} x^3 2^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3 elde edilir. Katsayı 4040 olur.
İstenen terimin katsayısını bulmak için sayısal işlemleri tamamlarız.

Anahtar Kavram

Binom açılımında belirli bir terimin katsayısını bulma
Soru 2314Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi, x≠1x \neq 1 için
f′(x)=x4−xx−1−x2f'(x) = \frac{x^4 - x}{x - 1} - x^2
eşitliğini sağlamaktadır.

f(2)=8f(2) = 8 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2
Türev fonksiyonu çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde f′(x)=x3+xf'(x) = x^3 + x elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında f(x)=x44+x22+Cf(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C bulunur. f(2)=8f(2) = 8 koşulu kullanıldığında C=2C = 2 olarak elde edilir. İstenen f(0)f(0) değeri doğrudan CC sabitine eşit olduğundan doğru yanıt 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f′(x)f'(x) fonksiyonunu sadeleştirmek için pay kısmını ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirme yaparız.
f′(x)=x(x3−1)x−1−x2=x(x−1)(x2+x+1)x−1−x2=x3+x2+x−x2=x3+xf'(x) = \frac{x(x^3 - 1)}{x - 1} - x^2 = \frac{x(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} - x^2 = x^3 + x^2 + x - x^2 = x^3 + x
İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştiririz.
2
Sadeleştirilmiş türev fonksiyonunun belirsiz integralini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun genel kuralını buluruz.
f(x)=∫(x3+x) dx=x44+x22+Cf(x) = \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
3
f(2)=8f(2) = 8 başlangıç koşulunu yerine yazarak integral sabiti CC'yi hesaplarız.
f(2)=244+222+C=8  ⟹  4+2+C=8  ⟹  C=2f(2) = \frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} + C = 8 \implies 4 + 2 + C = 8 \implies C = 2
Başlangıç koşulu yardımıyla belirsiz integraldeki sabit sayı (CC) bulunur.
4
f(x)f(x) fonksiyonunda x=0x = 0 yazarak f(0)f(0) değerini hesaplarız.
f(0)=044+022+C=C=2f(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^2}{2} + C = C = 2
Elde edilen fonksiyonda istenen değer yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve başlangıç değer problemleri.

Alternatif Yöntem

Belirli integral tanımı ve Newton-Leibniz formülü kullanılarak da çözüm yapılabilir: ∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)\int_{0}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(0) yazılır. Sadeleştirilmiş f′(x)=x3+xf'(x) = x^3 + x fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığındaki belirli integrali ∫02(x3+x) dx=[x44+x22]02=(4+2)−0=6\int_{0}^{2} (x^3 + x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = (4 + 2) - 0 = 6 olarak bulunur. Buradan f(2)−f(0)=6  ⟹  8−f(0)=6  ⟹  f(0)=2f(2) - f(0) = 6 \implies 8 - f(0) = 6 \implies f(0) = 2 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2315Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+ax+1f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 1
fonksiyonunun grafiğine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen normal doğrusu, y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Aranan a değeri 1 olarak bulunur.
Fonksiyonun x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi türev yardımıyla f′(1)=a−3f'(1) = a - 3 olarak bulunur. Bu noktadaki normal doğrusunun eğimi ise mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3} olur. Normal doğrusunun dik olduğu belirtilen y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusunun eğimi −2-2 olduğundan, normal doğrusunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır. Buradan −1a−3=12  ⟹  a=1-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} \implies a = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türev kuralının bulunması
f′(x)=3x2−6x+af'(x) = 3x^2 - 6x + a
Teğet doğrusunun eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun birinci türevi alınır.
2
x=1x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun eğiminin (mtm_t) hesaplanması
mt=a−3m_t = a - 3
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet eğimi yardımıyla normal doğrusunun eğiminin (mnm_n) belirlenmesi
mn=−1a−3m_n = -\frac{1}{a - 3}
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine diktir. Eğimleri çarpımı −1-1 olduğundan mn=−1mtm_n = -\frac{1}{m_t} eşitliği kullanılır.
4
Verilen doğrunun eğiminden yararlanarak normal doğrusunun eğim değerinin bulunması
mn=12m_n = \frac{1}{2}
Normal doğrusu y=−2x+5y = -2x + 5 doğrusuna diktir. Eğimi −2-2 olan bir doğruya dik olan doğrunun eğimi 12\frac{1}{2} olmalıdır.
5
Elde edilen eğim değerlerinin eşitlenmesi ve aa parametresinin çözülmesi
a=1a = 1
−1a−3=12-\frac{1}{a - 3} = \frac{1}{2} denklemi çözülerek aa parametresinin değeri belirlenir.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal Doğrularının Eğimleri)
Soru 2316Soru →
f:[0,2]→R,f(x)=3xf: [0, 2] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = 3^x fonksiyonu veriliyor. [0,2][0, 2] kapalı aralığı, eşit uzunlukta 44 alt aralığa bölünerek bir PP düzgün bölüntüsü elde ediliyor.

ff fonksiyonunun PP bölüntüsüne ait Riemann üst toplamı UU ve Riemann alt toplamı AA olduğuna göre, U−AU - A farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark 4'tür.
Artan bir fonksiyonun Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki fark, fonksiyonun tanım kümesinin uç noktalarındaki değerlerinin farkı ile alt aralık genişliğinin çarpımıyla pratik olarak bulunur. Bu soruda fonksiyon f(x)=3xf(x) = 3^x sürekli artan olup, aralık [0,2][0, 2] ve parça sayısı 44 olduğundan aralık genişliği 0,50,5 birimdir. Formüle göre fark (f(2)−f(0))⋅0,5=(9−1)⋅0,5=4(f(2) - f(0)) \cdot 0,5 = (9 - 1) \cdot 0,5 = 4 şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralık genişliğini (\Delta x) hesaplama
Δx=2−04=0,5\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0,5
Bölüntünün eşit uzunluktaki alt aralıklarının taban uzunluğunu bulmak için toplam aralık uzunluğu alt aralık say��sına bölünür.
2
Bölüntü noktalarını ve fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini belirleme
Bölüntü noktaları: x0=0x_0 = 0, x1=0,5x_1 = 0,5, x2=1x_2 = 1, x3=1,5x_3 = 1,5, x4=2x_4 = 2 şeklindedir. f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında sürekli artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyon en küçük değerini sol uçta, en büyük de��erini ise sağ uçta alır.
Riemann alt toplamında alt aralıkların sol uç değerleri, üst toplamında ise sağ uç değerleri yükseklik olarak kullanılır.
3
Riemann üst ve alt toplamlarının farkını hesaplama
A=[f(0)+f(0,5)+f(1)+f(1,5)]⋅0,5A = [f(0) + f(0,5) + f(1) + f(1,5)] \cdot 0,5
U=[f(0,5)+f(1)+f(1,5)+f(2)]⋅0,5U = [f(0,5) + f(1) + f(1,5) + f(2)] \cdot 0,5
U−A=[f(2)−f(0)]⋅0,5=(32−30)⋅0,5=(9−1)⋅0,5=4U - A = [f(2) - f(0)] \cdot 0,5 = (3^2 - 3^0) \cdot 0,5 = (9 - 1) \cdot 0,5 = 4
Çıkarma işleminde ara noktalardaki fonksiyon değerleri birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca uç noktalardaki değerlerin farkı ile aralık genişliğinin çarpımı kalır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının farkının, monoton (artan veya azalan) fonksiyonlarda uç değerler ve alt aralık genişliğiyle olan ilişkisi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2317Soru →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→2cos⁡(πx)+acos⁡(π2x)+bsin⁡2(π2x)=3\lim_{x \to 2} \frac{\cos(\pi x) + a\cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) + b}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2} x\right)} = 3
eşitliği veriliyor. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
Limitin varlığı için pay ve paydanın 0/0 belirsizliği oluşturması gerekir. Buradan b = a - 1 bağıntısı elde edilir. Trigonometrik özdeşlikler kullanılıp belirsizlik sadeleştirildiğinde limit değeri (a - 4) / 2 olarak bulunur. Bu değer 3'e eşitlendiğinde a = 10 ve dolayısıyla b = 9 bulunur. Toplamları 19 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Payın limitinin 0 olması koşulunu belirleme
b = a - 1
x = 2 için paydanın limiti 0 olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın limitinin de 0 olması (0/0 belirsizliği) gerekir. cos(2*pi) + a*cos(pi) + b = 0 bağıntısından 1 - a + b = 0 elde edilir.
2
Yarım açı formülü ve değişken değiştirme uygulama
((t + 1)(2t - 2 + a)) / (1 - t^2)
cos(pi*x) = 2*cos^2(pi*x/2) - 1 ve sin^2(pi*x/2) = 1 - cos^2(pi*x/2) özdeşlikleri kullanılır. t = cos(pi*x/2) değişken değiştirmesi yapıldığında, x -> 2 iken t -> -1 olur. b = a - 1 yerine yazıldığında pay ifadesi 2t^2 + at + a - 2 = (t + 1)(2t - 2 + a) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
3
Belirsizliği giderme ve limiti hesaplama
a = 10
Pay ve paydadaki (t + 1) terimleri sadeleştirilerek belirsizlik giderilir. Kalan ifadenin t -> -1 iken limiti (a - 4) / 2 olur. Bu değer 3'e eşitlenerek a = 10 bulunur.
4
b değerini ve toplamı bulma
a + b = 19
b = a - 1 olduğundan b = 9 bulunur. Buradan a + b = 10 + 9 = 19 elde edilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda trigonometrik özdeşlikler ve çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılarak limit hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2318Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 parabolü ile bu parabolün y=5y = 5 doğrusuna göre simetriği olan g(x)g(x) parabolü verilmiştir. Bu iki parabolün kesim noktaları ile tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı AA birimkare, paraboller arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ise BB birimkaredir. Buna göre, B−AB - A farkı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 163\frac{16}{3}

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı ile bu parabollerin kesim ve tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanının farkı \frac{16}{3} birimkaredir.
Doğru seçenekte sunulan değer, simetrik parabol denklemlerinin doğru bulunması, kesim noktalarının doğru tespit edilmesi, köşegen uzunlukları 44 ve 88 olan eşkenar dörtgenin alanının 1616 olarak hesaplanması ve iki eğri arasında kalan alanın integral ile B=643B = \frac{64}{3} olarak bulunarak farklarının alınmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) parabolünün denklemini bulma.
g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1
f(x)=9−x2f(x) = 9 - x^2 parabolünün y=5y = 5 doğrusuna göre simetriği g(x)=2(5)−f(x)=10−(9−x2)=x2+1g(x) = 2(5) - f(x) = 10 - (9 - x^2) = x^2 + 1 olarak elde edilir.
2
Parabollerin kesim noktalarını bulma.
x=−2x = -2 ve x=2x = 2
Kesim noktalarını bulmak için iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleriz: 9−x2=x2+1⇒2x2=8⇒x2=4⇒x=±29 - x^2 = x^2 + 1 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2.
3
Köşeleri kesim noktaları ve tepe noktaları olan dörtgenin alanını (A) hesaplama.
A=16A = 16
Dörtgenin köşeleri P1(2,5)P_1(2, 5), P2(−2,5)P_2(-2, 5), T1(0,9)T_1(0, 9) ve T2(0,1)T_2(0, 1) noktalarıdır. Bu noktalar koordinat düzleminde bir eşkenar dörtgen oluşturur. Yatay köşegen uzunluğu ∣2−(−2)∣=4|2 - (-2)| = 4 birim, dikey köşegen uzunluğu ise ∣9−1∣=8|9 - 1| = 8 birimdir. Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısı olduğundan A=4×82=16A = \frac{4 \times 8}{2} = 16 birimkaredir.
4
Paraboller arasında kalan sınırl�� bölgenin alanını (B) belirli integral yardımıyla hesaplama.
B=643B = \frac{64}{3}
İntegral sınırları kesim noktaları olan −2-2 ve 22'dir. Bu aralıkta f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x) olduğundan alan B=∫−22(f(x)−g(x)) dx=∫−22(8−2x2) dxB = \int_{-2}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \, dx olur. Fonksiyon çift olduğundan B=2∫02(8−2x2) dx=2[8x−2x33]02=2(16−163)=643B = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx = 2 \left[ 8x - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( 16 - \frac{16}{3} \right) = \frac{64}{3} birimkare bulunur.
5
B - A farkını bulma.
163\frac{16}{3}
B−A=643−16=163B - A = \frac{64}{3} - 16 = \frac{16}{3} birimkaredir.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile iki eğri arasında kalan alanın hesabı, fonksiyonların simetri dönüşümleri ve geometrik alan ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Rhombus alanını integral kullanmadan koordinat geometrisi formülüyle bulmak ve iki parabol arasında kalan alanı Archimedes'in parabol kesmesi alan kuralını (Alan = 2/3 * taban * yükseklik) uygulayarak integral almadan pratik yoldan hesaplamak. Bu yöntemde paraboller arasındaki fark fonksiyonu h(x) = 8 - 2x^2 olup, kökleri -2 ve 2'dir. Taban uzunluğu 4 birim, tepe noktasındaki yükseklik 8 birimdir. Buradan Alan = 2/3 * 4 * 8 = 64/3 birimkare bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2319Soru →

22, 22, 33, 33, 55 rakamlarının tümü kullanılarak yazılabilecek beş basamaklı farklı doğal sayıların kaç tanesi tek sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

18
Beş basamaklı bir sayının tek sayı olması için birler basamağında 3 veya 5 bulunmalıdır. Birler basamağı 3 olduğunda kalan {2, 2, 3, 5} rakamları 4! / 2! = 12 farklı şekilde sıralanır. Birler basamağı 5 olduğunda kalan {2, 2, 3, 3} rakamları 4! / (2! * 2!) = 6 farklı şekilde sıralanır. Bu iki durumun toplamı 12 + 6 = 18 farklı sayı üretir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek sayı olma koşulunu belirleme ve durumları sınıflandırma.
Birler basamağı 3 veya 5 olmalıdır.
Bir sayının tek sayı olması için birler basamağındaki rakamın tek sayı olması gerekir.
2
Birler basamağında 3 rakamı bulunan sayıların adedini hesaplama.
Kalan {2, 2, 3, 5} rakamları ile 12 farklı dizilim oluşturulur.
Tekrarlayan iki adet 2 rakamı olduğu için tekrarlı permütasyon formülü (4! / 2!) uygulanır.
3
Birler basamağında 5 rakamı bulunan sayıların adedini hesaplama.
Kalan {2, 2, 3, 3} rakamları ile 6 farklı dizilim oluşturulur.
Tekrarlayan iki adet 2 ve iki adet 3 rakamı olduğu için tekrarlı perm��tasyon formülü (4! / (2! * 2!)) uygulanır.
4
Elde edilen durum sayılarını toplama.
12 + 6 = 18
Birler basamağının 3 veya 5 olması ayrık olaylar olduğundan toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon hesaplamalarında belirli basamak koşullarını (teklik/çiftlik) ayrı durumlar halinde inceleyerek hesaplama yapma.
Soru 2320Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=4f(2)=1f(3)=5f(32)=2\begin{aligned} f(1) &= 4 \\ f(2) &= 1 \\ f(3) &= 5 \\ f\left(\frac{3}{2}\right) &= 2 \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f′(3x)⋅f(3x)x2 dx\int_{1}^{2} \frac{f'\left(\frac{3}{x}\right) \cdot f\left(\frac{3}{x}\right)}{x^2} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

İntegralin doğru değeri yedi bölü iki olarak bulunur.
Doğru seçenekte sunulan yedi bölü iki değeri; u=3/xu = 3/x dönüşümü sonrasında sınırların alt sınır üç ve üst sınır üç bölü iki olarak güncellenmesi, diferansiyel hesabından gelen katsayıların integral dışına doğru aktarılması ve nihayetinde f(u)f′(u)f(u)f'(u) ifadesinin ters türevinin doğru hesaplanmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral ifadesinde değişken değiştirme uygulanır.
u=3xu = \frac{3}{x} dönüşümü seçildiğinde her iki tarafın diferansiyeli alınırsa du=−3x2 dx  ⟹  dxx2=−du3du = -\frac{3}{x^2} \, dx \implies \frac{dx}{x^2} = -\frac{du}{3} eşitliği elde edilir.
İntegral içindeki karmaşık rasyonel ifadeyi basitleştirmek ve integralin kurallara uygun biçimde alınmasını sağlamak için değişken değiştirme yöntemi tercih edilir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu değerlerine göre dönüştürülür.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=31=3x = 1 \implies u = \frac{3}{1} = 3 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=32x = 2 \implies u = \frac{3}{2} olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınır değerleri, değişkenler ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yazılır.
∫33/2f′(u)⋅f(u)⋅(−du3)=13∫3/23f(u)⋅f′(u) du\int_{3}^{3/2} f'(u) \cdot f(u) \cdot \left(-\frac{du}{3}\right) = \frac{1}{3} \int_{3/2}^{3} f(u) \cdot f'(u) \, du integral ifadesi elde edilir.
Diferansiyelden gelen eksi işareti, integralin alt ve üst sınırlarının yerini değiştirerek yönü düzeltmek amacıyla kullanılmıştır.
4
İntegral alma işlemi tamamlanır ve verilen fonksiyon değerleri yerlerine konularak sonuç hesaplanır.
v=f(u)  ⟹  dv=f′(u) duv = f(u) \implies dv = f'(u) \, du dönüşümü altında integral 13∫f(u)⋅f′(u) du=13⋅(f(u))22=(f(u))26\frac{1}{3} \int f(u) \cdot f'(u) \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{(f(u))^2}{2} = \frac{(f(u))^2}{6} haline gelir. Sınırlar yerine yazıldığında: 16[(f(3))2−(f(32))2]=16(52−22)=216=72\frac{1}{6} \left[ (f(3))^2 - \left(f\left(\frac{3}{2}\right)\right)^2 \right] = \frac{1}{6} (5^2 - 2^2) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} bulunur.
Bulunan ters türev ifadesinde üst sınır olan üç değeri ile alt sınır olan üç bölü iki değeri yerlerine yazılarak belirli integral hesabı tamamlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisindeki katsayıların doğru biçimde integral dışına taşınması gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 116 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin