Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2341Soru →

aa bir gerçel sayı parametresi olmak üzere,

f(x)={x2−9x−3,x<4ax−5,x≥4f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 4 \\ ax - 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan f(x)f(x) fonksiyonu yalnızca bir noktada süreksiz olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

a parametresinin değeri 3'tür.
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında tanımsız olmasından dolayı süreksiz olduğu belirlendikten sonra, yalnızca bir süreksizlik noktası olması için x=4x = 4 noktasında sürekli olması gerektiği görülür. x=4x = 4 noktasındaki sol ve sağ limitlerin eşitliğinden 4a−5=74a - 5 = 7 denklemi elde edilir ve buradan aa değeri 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk dal olan rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değeri belirleyin.
x=3x = 3 için payda sıfır olur. 3<43 < 4 olduğundan bu nokta fonksiyonun tanım kümesindedir ancak fonksiyon bu noktada tanımsızdır.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarının sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve dolayısıyla süreksizdir.
2
x=3x = 3 noktasındaki süreksizliği ve sorunun koşulunu analiz edin.
Fonksiyon x=3x = 3 noktasında kesinlikle süreksizdir. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması istendiğinden, diğer kritik nokta olan x=4x = 4 sınır noktasında sürekli olması gerekir.
Eğer x=4x = 4 noktasında da süreksizlik olsaydı, fonksiyonun süreksiz olduğu iki farklı nokta bulunurdu.
3
x=4x = 4 noktasında süreklilik şartını uygulayarak aa değerini bulun.
Sol limit: lim⁡x→4−x2−9x−3=16−94−3=7\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{16 - 9}{4 - 3} = 7
Sağ limit ve fonksiyon değeri: f(4)=4a−5f(4) = 4a - 5
Eşitlikten: 4a−5=7  ⟹  4a=12  ⟹  a=34a - 5 = 7 \implies 4a = 12 \implies a = 3 elde edilir.
Bir fonksiyonun sınır noktasında sürekli olması için o noktadaki sol limit, sağ limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapılsa bile paydayı sıfır yapan noktalar tanım kümesine dahil edilmediği için süreksizlik noktalarıdır.
Soru 2342Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=∫(3x+1)2 dx−∫(3x−1)2 dxf(x) = \int (3x+1)^2 \, dx - \int (3x-1)^2 \, dx
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=10f(1) = 10 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

28
İntegralin fark özelliği kullanılarak integralin içi (3x+1)2−(3x−1)2=12x(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = 12x şeklinde sadeleştirilir. 12x12x ifadesinin belirsiz integrali alındığında f(x)=6x2+Cf(x) = 6x^2 + C elde edilir. f(1)=10f(1) = 10 koşulu kullanılarak C=4C = 4 bulunur. Buradan fonksiyon f(x)=6x2+4f(x) = 6x^2 + 4 olarak elde edilir ve x=2x = 2 için f(2)=28f(2) = 28 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral işleminin doğrusallık özelliğini kullanarak iki ayrı integrali tek bir integral altında birleştirin.
f(x)=∫[(3x+1)2−(3x−1)2] dxf(x) = \int \left[ (3x+1)^2 - (3x-1)^2 \right] \, dx
Belirsiz integralde çıkarma işlemini tek bir integral altında toplamak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
İntegral içindeki ifadeyi iki kare farkı veya tam kare açılımı yardımıyla sadeleştirin.
(3x+1)2−(3x−1)2=(9x2+6x+1)−(9x2−6x+1)=12x(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = (9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - 6x + 1) = 12x olduğundan integral f(x)=∫12x dxf(x) = \int 12x \, dx hâline gelir.
İntegral alma kuralını uygulamadan önce integrali alınacak ifadeyi en sade biçime getirmek gerekir.
3
Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak integrali hesaplayın ve integral sabitini ekleyin.
f(x)=6x2+Cf(x) = 6x^2 + C (burada CC bir gerçel sayı sabitidir)
Belirsiz integralin genel tanımı gereği integral sabiti CC eklenmelidir.
4
Verilen f(1)=10f(1) = 10 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti CC'yi bulun.
f(1)=6(1)2+C=10  ⟹  6+C=10  ⟹  C=4f(1) = 6(1)^2 + C = 10 \implies 6 + C = 10 \implies C = 4 olarak bulunur. Dolayısıyla f(x)=6x2+4f(x) = 6x^2 + 4 olur.
Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla genel çözümden özel çözüme geçilir.
5
Bulunan f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine 22 yazarak f(2)f(2) değerini hesaplayın.
f(2)=6(2)2+4=6⋅4+4=28f(2) = 6(2)^2 + 4 = 6 \cdot 4 + 4 = 28 olarak bulunur.
Soruda istenen f(2)f(2) değerine ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Alternatif Yöntem

İntegralleri tek bir integral altında birleştirmek yerine, her bir integrali ayrı ayrı ∫(3x+1)2 dx=(3x+1)39+C1\int (3x+1)^2 \, dx = \frac{(3x+1)^3}{9} + C_1 ve ∫(3x−1)2 dx=(3x−1)39+C2\int (3x-1)^2 \, dx = \frac{(3x-1)^3}{9} + C_2 şeklinde hesaplayıp farklarını alarak da çözüme ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2343Soru →

Aynı düzlemde bulunan 8 doğrudan 4 tanesi birbirine paralel, geri kalanlardan 3 tanesi ise bir AA noktasından geçmektedir.

Buna göre, bu doğruların en çok kaç farklı kesişim noktası olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

En çok 20 farklı kesişim noktası olabilir.
Herhangi bir kısıtlama olmasaydı 8 doğru en çok 28 noktada kesişirdi. Paralel 4 doğrudan dolayı 6 nokta, tek noktada kesişen 3 doğrudan dolayı ise 2 nokta kaybedilir. Böylece en çok 28 - 6 - 2 = 20 kesişim noktası elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 20 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlamasız durumdaki maksimum kesişim sayısı hesaplanır.
(82)=8×72=28\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28
Herhangi iki doğru en çok bir noktada kesişebileceği için 8 doğrudan seçilecek her iki doğru bir kesişim noktası belirtir.
2
Paralel olan 4 doğrunun oluşturduğu kesişim kaybı hesaplanır.
(42)=6\binom{4}{2} = 6
Paralel doğrular birbirini kesmeyeceğinden, bu 4 doğrunun kendi arasındaki kesişim noktaları toplam sayıdan düşülmelidir.
3
A noktasından geçen 3 doğrunun oluşturduğu kesişim kaybı hesaplanır.
(32)−1=3−1=2\binom{3}{2} - 1 = 3 - 1 = 2
Aynı noktadan geçen 3 doğru normalde 3 farklı noktada kesişebilecekken sadece 1 noktada (A noktasında) kesişirler. Dolayısıyla kesişim kaybı 2 olur.
4
Kayıplar kısıtlamasız durumdan çıkarılarak net sonuç bulunur.
28−6−2=2028 - 6 - 2 = 20
Paralel doğruların kaybı (6) ve noktadaş doğruların kaybı (2) toplam olasılıktan çıkarılarak maksimum kesişim sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla doğruların kesişim noktası sayısının hesaplanması
Soru 2344Soru →

Kırmızı gül demet demet
Sevda yalan bir kıyamet
Gitti gelmedi o yiğit
Şu Muğla'ya emanet

Bize mesken oldu gurbet
Bize mesken oldu gurbet

Bu dizelerin nazım biçimi ve özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bent ve kavuştak (bağlantı) adı verilen iki bölümden oluşan, anonim halk edebiyatına ait bir türkü örneğidir.

Cevap

Bent ve kavuştak (bağlantı) adı verilen iki bölümden oluşan, anonim halk edebiyatına ait bir türkü örneğidir.
Verilen dizeler, asıl sözlerin yer aldığı bent ile tekrarlanan nakarat (bağlantı/kavuştak) bölümlerinden oluşmaktadır. Bu yapısal özellik ve anonim nitelik, şiirin halk edebiyatına ait bir türkü olduğunu göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Şiirin yapısal özelliklerini ve dize sayılarını incelemek.
Şiirde ilk kısımda dört dize (bent) bulunmakta, ardından gelen iki dize ise aynen tekrarlanan bir nakarat (kavuştak/bağlantı) görevi üstlenmektedir.
Halk edebiyatındaki nazım biçimlerini ayırt etmek için bent ve kavuştak yapısını tespit etmek gerekir.
2
Şiirin dil, üslup ve tema özelliklerini değerlendirmek.
Yalın bir Türkçe kullanılmış, hece ölçüsü tercih edilmiş, gurbet ve özlem (lirik) teması işlenmiştir.
Şiirin hangi edebiyat geleneğine ve nazım türüne ait olduğunu belirlemek için tema ve dil analizi şarttır.
3
Seçeneklerdeki nazım biçimleriyle karşılaştırma yapmak.
Bent ve bağlantı bölümlerine sahip olması, bu şiirin anonim halk edebiyatı nazım biçimlerinden 'türkü' olduğunu kesinleştirir.
Semai, mani veya ninni gibi diğer halk şiiri şekilleri bu spesifik bent-bağlantı yapısını göstermez.

Anahtar Kavram

Türkü Nazım Biçimi ve Yapısı (Bent ve Kavuştak)
Soru 2345Soru →

n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olmak üzere,

(2x+1x4)n\left(2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^n

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında baştan 3. terimin katsayısının baştan 4. terimin katsayısına oranı 32\frac{3}{2}'dir.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Sabit terim 60 olarak bulunur.
Verilen binomial ifadenin terim katsayıları oranından n=6n = 6 elde edilir. Bu değer ile sabit terimi veren rr değeri belirlendiğinde r=4r = 4 bulunur. Buradan sabit terim (64)26−4=60\binom{6}{4} 2^{6-4} = 60 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Baştan 3. ve 4. terimlerin katsayılarını belirleme
Baştan 3. terim (r=2r = 2 için): C3=(n2)2n−2C_3 = \binom{n}{2} 2^{n-2}
Baştan 4. terim (r=3r = 3 için): C4=(n3)2n−3C_4 = \binom{n}{3} 2^{n-3}
(a+b)n(a+b)^n açılımında baştan (r+1)(r+1). terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r formülüyle bulunur.
2
Katsayıların oranından nn değerini bulma
C3C4=(n2)2n−2(n3)2n−3=6n−2=32  ⟹  n=6\frac{C_3}{C_4} = \frac{\binom{n}{2} 2^{n-2}}{\binom{n}{3} 2^{n-3}} = \frac{6}{n-2} = \frac{3}{2} \implies n = 6
Soruda verilen oran kullanılarak açılımın derecesi olan nn sayısı elde edilir.
3
Sabit terimi veren rr değerini belirleme
x6−r2−r4=x0  ⟹  12−3r4=0  ⟹  r=4x^{\frac{6-r}{2} - \frac{r}{4}} = x^0 \implies \frac{12-3r}{4} = 0 \implies r = 4
Sabit terimde xx değişkeninin üssü 0 olmalıdır.
4
Sabit terimi hesaplama
(64)26−4=15×4=60\binom{6}{4} 2^{6-4} = 15 \times 4 = 60
n=6n = 6 ve r=4r = 4 değerleri genel terim formülünde yerine yazılarak katsayı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Katsayı Oranları ve Sabit Terim Hesabı
Soru 2346Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=2x3−3(a+2)x2+12ax+1f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax + 1
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 44 olduğuna göre, bu fonksiyonun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

Yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı 43'tür.
Türevin işaret tablosundan yerel minimum apsisinin 4 olması için parametrenin 4 olması gerektiği bulunur. Bu durumda yerel maksimum noktası (2, 41) olur ve koordinatları toplamı 43 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=6x2−6(a+2)x+12af'(x) = 6x^2 - 6(a+2)x + 12a
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaların�� bulmak için öncelikle fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
Türevi sıfıra eşitleyen kritik noktaları çarpanlara ayırarak bulalım.
6(x2−(a+2)x+2a)=0  ⟹  6(x−2)(x−a)=06(x^2 - (a+2)x + 2a) = 0 \implies 6(x-2)(x-a) = 0. Kökler x=2x = 2 ve x=ax = a olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan noktalar fonksiyonun yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyerek yerel minimum noktasının apsisini belirleyelim.
Soruda yerel minimum noktasının apsisi 44 olarak verilmiştir. Eğer a<2a < 2 olsaydı, yerel minimum noktası x=2x = 2 olurdu. Dolayısıyla a>2a > 2 olmalıdır ve yerel minimum noktası x=a=4x = a = 4 olur. Bu durumda yerel maksimum noktası x=2x = 2 apsisli noktadır.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır ve işaretin eksiye geçip sonra artıya döndüğü yer yerel minimumdur.
4
a=4a = 4 değerini fonksiyonda yerine yazarak fonksiyonun denklemini güncelleyelim.
f(x)=2x3−18x2+48x+1f(x) = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 1
Fonksiyonun yerel maksimum noktasının ordinatını hesaplayabilmek için fonksiyonun tam denklemini elde etmemiz gerekir.
5
Yerel maksimum noktasının ordinatını ve koordinatları toplamını bulalım.
Yerel maksimum apsisi x=2x = 2 olduğuna göre ordinat f(2)=2(8)−18(4)+48(2)+1=41f(2) = 2(8) - 18(4) + 48(2) + 1 = 41 olur. Koordinatlar toplamı ise 2+41=432 + 41 = 43 olarak hesaplanır.
Yerel maksimum noktasının koordinatları (2,41)(2, 41) şeklindedir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının bulunması ve türevin işaret tablosunun yorumlanması.
Soru 2347Soru →

Hinduizm'in toplumsal yapısını şekillendiren kast (varna) sistemine ait aşağıdaki tabakaları, geleneksel hiyerarşik düzene göre en üst (en saygın) sınıftan en alt sınıfa doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Geleneksel kast hiyerarşisinde do��ru sıralama yukarıdan aşağıya doğru Brahmanlar, Kşatriyalar, Vaişyalar ve Şudralar şeklindedir.
Hinduizm'in kutsal metinlerinden Rigveda'da geçen yaratılış anlatısına göre, kast sınıfları (varnalar) kozmik varlık Puruşa'nın bedeninden türemiştir: Ağzından Brahmanlar, kollarından Kşatriyalar, uyluklarından Vaişyalar ve ayaklarından Şudralar yaratılmıştır. Bu kutsal hiyerarşiye göre doğru sıralama Brahmanlar, Kşatriyalar, Vaişyalar ve Şudralar şeklinde yukarıdan aşağıya doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
En üst kast seviyesini belirleme
Brahmanlar (Din adamları)
Dini bilgiye ve kutsal ritüellere sahip olan rahipler, kast hiyerarşisinin en tepesinde yer alır.
2
İkinci sıradaki kast seviyesini belirleme
Kşatriyalar (Askerler ve yöneticiler)
Toplumu korumak ve yönetmekle görevli olan yöneticiler ve askerler, Brahmanlardan hemen sonra gelir.
3
Üçüncü sıradaki kast seviyesini belirleme
Vaişyalar (Tüccarlar ve toprak sahipleri)
Ekonomik faaliyetleri yürüten tüccarlar ve çiftçiler, yönetici sınıfın altında yer alan üçüncü tabakayı oluşturur.
4
En alt sıradaki kast seviyesini belirleme
Şudralar (İşçiler ve hizmetkarlar)
Üstteki üç kasta hizmet etmekle yükümlü olan işçiler, resmi kast hiyerarşisinin en altında konumlandırılmıştır.

Anahtar Kavram

Hinduizm Kast (Varna) Sisteminin Yapısı ve Tabakaları
Soru 2348Soru →

Dik koordinat düzleminde; y=x2−1y = x^2 - 1 eğrisi, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=2x = 2 doğruları arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 2 birimkaredir.
Doğru cevap olan 2 değeri, fonksiyonun x-eksenini kestiği x=1x = 1 noktasından itibaren aralığın ikiye bölünmesi ve x-ekseninin altında kalan [0,1][0, 1] aralığındaki integral değerinin negatif işaretlisinin alınmasıyla hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
x2−1=0⇒x=1x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 ve x=−1x = -1. [0,2][0, 2] aralığına düşen kesim noktası x=1x = 1'dir.
İntegral sınırları içerisindeki işaret değişim yerlerini belirlemek için.
2
Alan hesabı için [0,2][0, 2] aralığı, fonksiyonun negatif ve pozitif olduğu bölgelere göre [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] olarak iki alt aralığa ayrılır.
A=A1+A2=∫01∣x2−1∣ dx+∫12∣x2−1∣ dxA = A_1 + A_2 = \int_{0}^{1} |x^2 - 1| \, dx + \int_{1}^{2} |x^2 - 1| \, dx
x-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değeri negatif çıkacağı için alan hesaplanırken bu değerin mutlak değeri veya negatifi alınmalıdır.
3
[0,1][0, 1] aralığında x2−1≤0x^2 - 1 \leq 0 olduğundan bu aralıktaki alan hesaplanır.
A1=∫01(1−x2) dx=[x−x33]01=1−13=23A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} birimkare.
Negatif bölgedeki alanın pozitif değerini bulmak için.
4
[1,2][1, 2] aralığında x2−1≥0x^2 - 1 \geq 0 olduğundan bu aralıktaki alan hesaplanır.
A2=∫12(x2−1) dx=[x33−x]12=(83−2)−(13−1)=23−(−23)=43A_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} birimkare.
Pozitif bölgedeki alanı bulmak için.
5
Elde edilen iki alan değeri toplanır.
A=A1+A2=23+43=2A = A_1 + A_2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 birimkare.
Toplam sınırlı alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak eğri ile x-ekseni arasında kalan alanın hesabı.
Soru 2349Soru →
log⁡13(x2−2x)≥log⁡13(x+4)\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{3}}(x + 4)

eşitsizliğinin çözüm kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliğin çözüm kümesinde yer alan tam sayıların toplamı 6'dır.
Doğru yanıt 6 olan seçenektir. Taban basit kesir (1/31/3) olduğundan logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir ve x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4 elde edilir. Buradan x'in [−1,4][-1, 4] aralığında olması gerektiği bulunur. Ancak logaritmanın tanımlı olması için içlerinin pozitif olması koşuluyla kesişim alındığında geçerli tam sayılar yalnızca −1-1, 33 ve 44 olur. Bu değerlerin toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümesi kuralları uygulanır.
x2−2x>0x^2 - 2x > 0 ve x+4>0x + 4 > 0 olmalıdır. İlk eşitsizlikten x<0x < 0 veya x>2x > 2 elde edilir. İkinci eşitsizlikten x>−4x > -4 elde edilir. İki koşulun kesişimi alındığında tanım kümesi T=(−4,0)∪(2,∞)T = (-4, 0) \cup (2, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın içinin her zaman sıfırdan büyük olması gerektiğinden, çözüm kümesindeki elemanların bu aralıkta yer alması zorunludur.
2
Logaritma tabanına göre eşitsizlik çözülür.
Taban 13\frac{1}{3} (00 ile 11 arasında) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4.
Taban basit kesir olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır, bu yüzden eşitsizliğin yönü tersine döner.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizlik düzenlenerek çözülür.
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 elde edilir. Buradan kökler −1-1 ve 44 olup, eşitsizliğin çözüm aralığı [−1,4][-1, 4] olarak bulunur.
Cebirsel eşitsizliği sağlayan aralığı belirlemek için ikinci dereceden eşitsizlik çözümü yapılır.
4
Cebirsel çözüm aralığı ile logaritmanın tanım kümesi kesiştirilir.
[−1,4][-1, 4] aralığı ile (−4,0)∪(2,∞)(-4, 0) \cup (2, \infty) kümesinin kesişimi [−1,0)∪(2,4][-1, 0) \cup (2, 4] kümesini verir.
Hem cebirsel eşitsizliği sağlayan hem de logaritmayı tanımlı kılan ortak x değerlerini bulmak için kesişim al��nır.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı hesaplanır.
[−1,0)[-1, 0) aralığındaki tam sayı −1-1 ve (2,4](2, 4] aralığındaki tam sayılar 3,43, 4 olup, toplamları −1+3+4=6-1 + 3 + 4 = 6 bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulmak için seçeneklerdeki toplamları elde edebilecek olası küçük tam sayılar doğrudan eşitsizlikte ve tanım kümelerinde tek tek yerine yazılarak da kontrol edilebilir. Ancak bu yöntem zaman kaybettirebilir ve genel çözüm kümesini vermez.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2350Soru →
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin en büyük elemanı ile en küçük elemanının toplamı bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Koşulları sağlayan 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 100'dür.
Koşulları sağlayan alt kümelerin bulunması için tüm olası en küçük ve en büyük eleman çiftleri farklarına göre sınıflandırılmış ve aralarında kalan sayılardan yapılan kombinasyon seçimleri toplanarak 100 sonucu elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük ve en büyük elemanların belirlenmesi ve çift toplam koşulunun analiz edilmesi.
En küçük eleman x1x_1, en büyük eleman x4x_4 olmak üzere, x1+x4x_1 + x_4 toplamının çift olması için x4−x1x_4 - x_1 farkının çift olması gerektiği belirlenir.
İki sayının toplamının çift olması için paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) aynı olması gerekir.
2
Alt kümedeki eleman sayısı sınırlamasına göre en büyük ve en küçük elemanlar arasındaki farkın sınırlarının belirlenmesi.
Arada en az 2 eleman bulunması gerektiğinden x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır. Bu durumda çift farklar 4,64, 6 ve 88 olarak belirlenir.
Küçükten büyüğe sıralı 4 elemanlı kümede x1<x2<x3<x4x_1 < x_2 < x_3 < x_4 eşitsizliğinden dolayı x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olmalıdır.
3
Farkın 4 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=4x_4 - x_1 = 4 için 6 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (32)=3\binom{3}{2} = 3 seçim olmak üzere 6×3=186 \times 3 = 18 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 3 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
4
Farkın 6 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=6x_4 - x_1 = 6 için 4 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (52)=10\binom{5}{2} = 10 seçim olmak üzere 4×10=404 \times 10 = 40 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 5 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
5
Farkın 8 olduğu durum için alt küme sayısının hesaplanması.
x4−x1=8x_4 - x_1 = 8 için 2 farklı (x1,x4)(x_1, x_4) ikilisi ve her biri için (72)=21\binom{7}{2} = 21 seçim olmak üzere 2×21=422 \times 21 = 42 durum bulunur.
Seçilen uç noktaların arasında kalan 7 tam sayıdan 2'sinin seçilmesi gerekir.
6
Tüm durumların toplanması.
Toplam alt küme sayısı 18+40+42=10018 + 40 + 42 = 100 olarak hesaplanır.
Ayrık durumların toplamı, toplam seçim sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Alt Küme Oluşturma

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da çözüme ulaşabiliriz. 10 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı toplam alt küme sayısı (104)=210\binom{10}{4} = 210 tanedir. İstenmeyen durum, en büyük ve en küçük elemanın toplamının tek sayı olmasıdır. Bu durum, x4−x1x_4 - x_1 farkının tek sayı olması anlamına gelir. x4−x1≥3x_4 - x_1 \geq 3 olacağına göre fark 3,5,73, 5, 7 veya 99 olabilir. Bu farklar için olası durumlar hesaplanır:
- Fark 3 ise: 7 ikili ve (22)=1\binom{2}{2} = 1 seçimden 7×1=77 \times 1 = 7 durum.
- Fark 5 ise: 5 ikili ve (42)=6\binom{4}{2} = 6 seçimden 5×6=305 \times 6 = 30 durum.
- Fark 7 ise: 3 ikili ve (62)=15\binom{6}{2} = 15 seçimden 3×15=453 \times 15 = 45 durum.
- Fark 9 ise: 1 ikili ve (82)=28\binom{8}{2} = 28 seçimden 1×28=281 \times 28 = 28 durum.
İstenmeyen toplam durum sayısı 7+30+45+28=1107 + 30 + 45 + 28 = 110 olur. İstenen durum sayısı ise 210−110=100210 - 110 = 100 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2351Soru →
Her noktada sürekli olan bir ff fonksiyonu için
∫28f(x) dx=15\int_{2}^{8} f(x) \, dx = 15
ve
∫25f(10−x) dx=9\int_{2}^{5} f(10-x) \, dx = 9
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫12f(3x−1) dx\int_{1}^{2} f(3x-1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegralin değeri 2'dir.
Verilen belirli integral özellikleri ve değişken değiştirme yöntemleri sırasıyla uygulandığında integralin değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen integralde u = 10 - x değişken değiştirmesi yapılması
\int_{5}^{8} f(u) \, du = 9
İntegrali standart formda ifade ederek sınırları belirlemek amacıyla değişken değiştirme uygulanır.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliğinin kullanılması
\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 6
[2, 8] aralığındaki integral, [2, 5] ve [5, 8] aralıklarının toplamı olarak yazılır.
3
İstenen integralde t = 3x - 1 değişken değiştirmesi yapılarak sonucun hesaplanması
2
İstenen integral, elde edilen bilinen integral cinsine dönüştürülerek hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralin aralık bölme ve değişken değiştirme (ikame) özellikleri.
Soru 2352Soru →

Aykut, {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinin elemanlarını istendiği kadar kullanarak 4 haneli bir şifre oluşturacaktır. Oluşturulacak şifrenin hanelerindeki rakamlar için aşa��ıdaki kurallar belirlenmiştir:

* Şifrede yan yana bulunan herhangi iki hanedeki rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
* Şifreyi oluşturan tüm rakamların toplamı bir çift sayı olmalıdır.

Buna göre, Aykut bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 164

Cevap

164
Şifreyi oluşturan rakamların toplamının çift olması için kullanılan tek rakamların adedi çift sayıda olmalıdır. Buna göre şifrelerin parite dağılımları TTTT, ÇÇÇÇ veya 2T ve 2Ç rakam içeren 6 farklı dizilim (TTÇÇ, TÇTÇ, TÇÇT, ÇTTÇ, ÇTÇT, ÇÇTT) şeklinde olabilir. Her dizilim için çarpma yoluyla sayma uygulanıp yan yana aynı rakamın gelmeme koşulu yansıtıldığında sırasıyla 24, 2 ve 138 durum elde edilir. Bu durumların toplamı 164'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parite (Teklik-Çiftlik) durumlarının analizi
Dört rakamın toplamının çift olması için şifredeki tek rakamların (T) sayısı çift olmalıdır. Bu durumlar: 4 adet tek (TTTT), 0 adet tek (ÇÇÇÇ) ve 2 adet tek ile 2 adet çift (2T, 2Ç) şeklindedir. Kümedeki tek rakamlar {1,3,5}\{1, 3, 5\} (3 adet), çift rakamlar ise {2,4}\{2, 4\} (2 adet) tanedir.
Toplama yoluyla sayma yapabilmek için tüm olası durumları ayrık sınıflara ayırmamız gerekir.
2
TTTT (4 Tek Rakam) durumunun hesaplanması
3×2×2×2=243 \times 2 \times 2 \times 2 = 24 farklı şifre.
İlk hane için 3 tek rakamdan biri seçilir. Yan yana gelen rakamlar farklı olacağı için sonraki her hane için bir önceki hanede kullanılan rakam dışındaki 2 tek rakam seçilebilir.
3
ÇÇÇÇ (4 Çift Rakam) durumunun hesaplanması
2×1×1×1=22 \times 1 \times 1 \times 1 = 2 farklı şifre.
İlk hane için 2 çift rakamdan biri seçilir. Yan yana gelenler farklı olacağı için sonraki her haneye yalnızca bir önceki hanede kullanılmayan tek kalan çift rakam yazılabilir.
4
2 Tek (T) ve 2 Çift (Ç) Rakam Durumunun Dizilimlere Göre Hesaplanması
Dizilimler ve durum sayıları:
* TTÇÇ: 3×2×2×1=123 \times 2 \times 2 \times 1 = 12
* TÇTÇ: 3×2×3×2=363 \times 2 \times 3 \times 2 = 36
* TÇÇT: 3×2×1×3=183 \times 2 \times 1 \times 3 = 18
* ÇTTÇ: 2×3×2×2=242 \times 3 \times 2 \times 2 = 24
* ÇTÇT: 2×3×2×3=362 \times 3 \times 2 \times 3 = 36
* ÇÇTT: 2×1×3×2=122 \times 1 \times 3 \times 2 = 12

Bu durumların toplamı: 12+36+18+24+36+12=13812 + 36 + 18 + 24 + 36 + 12 = 138 farklı şifre.
Aynı paritedeki rakamlar yan yana geldiğinde bir önceki rakam hariç tutulurken, farklı pariteler yan yana geldiğinde kümedeki tüm elemanlar seçilebilir.
5
Toplam olası şifre sayısının bulunması
Toplam şifre sayısı: 24+2+138=16424 + 2 + 138 = 164 olur.
Ayrık durumların sayıları toplama yoluyla sayma kuralı gereği toplanır.

Anahtar Kavram

Koşullu durumlarda toplama ve çarpma yoluyla sayma prensiplerinin birlikte uygulanması.
Soru 2353Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2+1y = x^2 + 1 parabolü üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktasının A(3,1)A(3, 1) noktasına olan uzaklığı en küçük değerini almaktadır. Buna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

En yakın noktanın koordinatları toplamı 3'tür.
Uzaklık fonksiyonunun karesi olan f(x)=x4+x2−6x+9f(x) = x^4 + x^2 - 6x + 9 ifadesinin türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen 2x3+x−3=02x^3 + x - 3 = 0 denkleminin tek gerçel kökü olan x=1x=1 değeri, parabol üzerindeki en yakın noktanın apsisidir. Bu değer parabol denkleminde yerine yazıldığında ordinat y=2y=2 bulunur ve bu koordinatların toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki herhangi bir PP noktasını temsil eden koordinatları belirleme ve bu noktanın A(3,1)A(3, 1) noktasına olan uzaklık fonksiyonunu kurma.
P(x,x2+1)P(x, x^2 + 1) noktası için uzaklığın karesini veren fonksiyon: f(x)=(x−3)2+(x2+1−1)2=x4+x2−6x+9f(x) = (x - 3)^2 + (x^2 + 1 - 1)^2 = x^4 + x^2 - 6x + 9
Uzaklığı minimize etmek için öncelikle uzaklık (veya kolaylık olması açısından uzaklığın karesi) fonksiyonunun tek değişkene bağlı ifadesini elde etmeliyiz.
2
Uzaklık fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma.
f′(x)=4x3+2x−6=0  ⟹  2x3+x−3=0f'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 0 \implies 2x^3 + x - 3 = 0
Fonksiyonun yerel ekstremum (minimum) değerlerini bulmak için birinci türevinin sıfır olduğu noktaları belirlemeliyiz.
3
2x3+x−3=02x^3 + x - 3 = 0 denkleminin kökünü bulma ve tekliğini inceleme.
x=1x = 1 denklemin köküdür. g(x)=2x3+x−3g(x) = 2x^3 + x - 3 fonksiyonunun türevi g′(x)=6x2+1>0g'(x) = 6x^2 + 1 > 0 olduğundan fonksiyon daima artandır ve başka gerçel kökü yoktur.
Türevin sıfır olduğu tek gerçel noktanın x=1x = 1 olduğunu doğrulamak için.
4
En yakın noktanın koordinatlarını bulma ve koordinatlar toplamını hesaplama.
x=1x = 1 için y=12+1=2y = 1^2 + 1 = 2 olur. Nokta P(1,2)P(1, 2)'dir. Koordinatlar toplamı 1+2=31 + 2 = 3 bulunur.
Soruda bizden istenen en yakın noktanın koordinatları toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü ve geometrik optimizasyon.

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, parabol üzerindeki en yakın PP noktasından çizilen normal doğrusu (teğete dik olan doğru) A(3,1)A(3, 1) noktasından geçmek zorundadır. P(x0,x02+1)P(x_0, x_0^2 + 1) noktasındaki teğetin eğimi mt=2x0m_t = 2x_0 olduğundan, normalin eğimi mn=−12x0m_n = -\frac{1}{2x_0} olur. Normal doğrusunun denklemi y−(x02+1)=−12x0(x−x0)y - (x_0^2 + 1) = -\frac{1}{2x_0}(x - x_0) şeklindedir. Bu doğrunun A(3,1)A(3, 1) noktasından geçmesi gerektiğinden 1−x02−1=−12x0(3−x0)1 - x_0^2 - 1 = -\frac{1}{2x_0}(3 - x_0) yazılır ve düzenlendiğinde 2x03+x0−3=02x_0^3 + x_0 - 3 = 0 elde edilir. Buradan en yakın noktanın apsisi yine x0=1x_0 = 1 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2354Soru →
Orijinden geçen bir dd doğrusu,
f(x)=x2−2x+4f(x) = x^2 - 2x + 4
parabolüne üzerindeki bir A(x0,y0)A(x_0, y_0) noktasında teğettir.

Buna göre, AA noktasının koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

A noktasının koordinatları toplamı 6 olabilir.
Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemi y=mxy = mx şeklindedir. Teğet noktasındaki teğet eğimi türeve eşit olduğundan m=f′(x0)=2x0−2m = f'(x_0) = 2x_0 - 2 olur. y0=f(x0)y_0 = f(x_0) ve y0=m⋅x0y_0 = m \cdot x_0 eşitlikleri birleştirildiğinde x02=4x_0^2 = 4 elde edilir. Pozitif apsis değeri x0=2x_0 = 2 için teğet noktası ordinatı y0=4y_0 = 4 olur ve koordinatlar toplamı 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak teğet doğrusunun eğimini bulun.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan teğet noktasındaki eğim m=f′(x0)=2x0−2m = f'(x_0) = 2x_0 - 2 olur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemini yazın ve teğet noktasının koordinat ilişkisini kurun.
Orijinden geçen doğrunun denklemi y=mxy = mx olduğundan teğet noktası için y0=m⋅x0y_0 = m \cdot x_0 yani y0=(2x0−2)⋅x0y_0 = (2x_0 - 2) \cdot x_0 yazılır.
Teğet noktası hem parabolün hem de orijinden geçen teğet doğrusunun üzerinde yer alır.
3
Parabol denklemindeki y değerini teğet doğrusu denklemindeki y değeri ile eşitleyin.
x02−2x0+4=2x02−2x0⇒x02=4x_0^2 - 2x_0 + 4 = 2x_0^2 - 2x_0 \Rightarrow x_0^2 = 4 elde edilir. Buradan x0=2x_0 = 2 veya x0=−2x_0 = -2 bulunur.
Teğet noktasının koordinatlarını sağlayan ortak denklemi çözmek için.
4
Bulunan apsis değerleri için ordinat değerlerini hesaplayın ve koordinat toplamlarını bulun.
x0=2x_0 = 2 için y0=22−2(2)+4=4⇒y_0 = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 \Rightarrow Toplam: 2+4=62 + 4 = 6 olur. x0=−2x_0 = -2 için y0=(−2)2−2(−2)+4=12⇒y_0 = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 12 \Rightarrow Toplam: −2+12=10-2 + 12 = 10 olur.
İstenen koordinat toplamı alternatiflerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi ile türev arasındaki ilişki ve teğet denkleminin oluşturulması.

Alternatif Yöntem

Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemi y=mxy = mx şeklinde kurulup parabolün denklemi ile ortak çözülür. Ortak çözüm denklemi olan x2−2x+4=mx⇒x2−(m+2)x+4=0x^2 - 2x + 4 = mx \Rightarrow x^2 - (m+2)x + 4 = 0 denkleminin teğetlikten ötürü diskriminantı sıfıra eşitlenir: Δ=(m+2)2−16=0⇒m+2=±4⇒m=2\Delta = (m+2)^2 - 16 = 0 \Rightarrow m+2 = \pm 4 \Rightarrow m = 2 veya m=−6m = -6 bulunur. Bulunan eğim değerleri teğet noktasının apsis formülü olan x0=m+22x_0 = \frac{m+2}{2} ifadesinde yerine yazılarak teğet noktalarının apsisleri sırasıyla 2 ve -2 bulunur. Buradan da koordinat toplamlarına ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2355Soru →

Bir torbada renkleri dışında özdeş olan 33 kırmızı ve 55 beyaz bilye bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki bilye çekiliyor.

Buna göre, çekilen bilyelerin en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 914\frac{9}{14}

Cevap

Çekilen bilyelerin en az birinin kırmızı olma olasılığı 914\frac{9}{14}'tür.
En az bir kırmızı bilye çekilmesi olayının olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) hiç kırmızı bilye çekilmeme (her ikisinin de beyaz olması) olasılığı çıkarılarak bulunur. Toplam 8 bilyeden 2 bilye (82)=28\binom{8}{2} = 28 farklı şekilde seçilebilir. İki bilyenin de beyaz olma durumlarının sayısı (52)=10\binom{5}{2} = 10'dur. Buradan hiç kırmızı bilye çekilmeme olasılığı 1028=514\frac{10}{28} = \frac{5}{14} olur. İstenen olasılık ise 1−514=9141 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Torbadaki toplam bilye sayısını ve seçilecek bilye sayısını belirleyerek tüm olası durumların sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplayın.
Torbadaki toplam bilye sayısı: 3+5=83 + 5 = 8'dir. Bu bilyeler arasından rastgele iki bilye seçimi tüm olas�� durumların sayısını verir: (82)=8×72=28\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28.
Olasılık hesabında paydayı (örnek uzayın eleman sayısını) bulmak için tüm olası seçimlerin sayısını bilmemiz gerekir.
2
İstenen durumun tümleyeni olan 'hiç kırmızı bilye çekilmeme' (yani çekilen iki bilyenin de beyaz olması) durumunun sayısını hesaplayın.
Torbada 5 beyaz bilye bulunmaktadır. Çekilen iki bilyenin de beyaz olma durumlarının sayısı: (52)=5×42=10\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10.
'En az bir' ifadesi içeren olasılık sorularında tümleyen olayı (hiç olmama durumu) kullanmak çözümü kolaylaştırır.
3
Tümleyen olayın olasılığını bulup, bu değeri 1'den çıkararak istenen olasılığı elde edin.
Hiç kırmızı bilye çekilmeme olasılığı: 1028=514\frac{10}{28} = \frac{5}{14}'tür. En az bir kırmızı bilye çekilme olasılığı: 1−514=9141 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14} olarak bulunur.
Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Bir olayın olasılığı, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır. 'En az bir' koşulunu taşıyan olayların olasılığını hesaplarken, tüm durumların olasılığından (1), istenen özelliğin hiç gerçekleşmediği durumun (tümleyen olayın) olasılığını çıkarmak pratik bir yöntemdir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2356Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu dd olarak verilmiştir. ff fonksiyonunun grafiği ile dd doğrusu arasında kalan sınırlı bölge, yy-ekseni tarafından iki alt bölgeye ayrılmaktadır. Buna göre, solda kalan bölgenin alanının sağda kalan bölgenin alanına oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Soldaki bölgenin alanının sağdaki bölgenin alanına oranı 8'dir.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi bulunur. Teğet doğrusunun denklemi y=9x−16y = 9x - 16 olarak elde edilir. Ardından, eğri ile teğet doğrusunun kesişim noktaları x3−3x=9x−16x^3 - 3x = 9x - 16 denkleminin çözülmesiyle x=2x = 2 (teğetlik noktası, çift katlı kök) ve x=−4x = -4 olarak bulunur. Sınırlı bölge [−4,2][-4, 2] aralığındadır. Bu bölgeyi yy-ekseni (x=0x=0 doğrusu) ikiye ayırdığı için, soldaki alan [−4,0][-4, 0] aralığında, sağdaki alan ise [0,2][0, 2] aralığında integral alınarak hesaplanır. [−4,2][-4, 2] aralığında eğri teğet doğrusunun üzerinde kaldığından, integrali alınacak fark fonksiyonu (x3−3x)−(9x−16)=x3−12x+16(x^3 - 3x) - (9x - 16) = x^3 - 12x + 16 olur. Soldaki alan ∫−40(x3−12x+16)dx=96\int_{-4}^0 (x^3 - 12x + 16) dx = 96 ve sağdaki alan ∫02(x3−12x+16)dx=12\int_0^2 (x^3 - 12x + 16) dx = 12 olarak bulunur. Bu iki alanın oranı 96/12=896 / 12 = 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin e��imini ve teğet noktası koordinatlarını bulun.
f(2)=23−3(2)=2f(2) = 2^3 - 3(2) = 2 olduğundan teğet noktası (2,2)(2, 2)'dir. Türev fonksiyonu f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 olup, x=2x = 2 noktasındaki teğet eğimi m=f′(2)=3(22)−3=9m = f'(2) = 3(2^2) - 3 = 9 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasının koordinatlarına ve doğrunun eğimine ihtiyaç vardır.
2
Teğet doğrusu dd'nin denklemini yazın.
Teğet doğrusunun denklemi y−2=9(x−2)  ⟹  y=9x−16y - 2 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 16 olarak elde edilir.
Eğri ile teğet doğrusu arasında kalan bölgenin sınırlarını ve alanını belirlemek için doğrunun cebirsel ifadesi gereklidir.
3
f(x)f(x) eğrisi ile dd doğrusunun kesim noktalarını bulun.
x3−3x=9x−16  ⟹  x3−12x+16=0x^3 - 3x = 9x - 16 \implies x^3 - 12x + 16 = 0 denklemi çözülür. x=2x = 2 noktası teğet noktası olduğundan denklemin çift katlı köküdür. Dolayısıyla denklem (x−2)2(x+4)=0(x-2)^2(x+4) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kesim noktaları x=2x = 2 ve x=−4x = -4 olarak bulunur.
Eğri ve doğrunun sınırladığı bölgenin sol ve sağ uç sınırlarını tespit etmek için kesim noktaları bulunmalıdır.
4
yy-ekseninin solunda ve sağında kalan alanları belirli integral yardımıyla hesaplayın.
[−4,2][-4, 2] aralığında f(x)≥9x−16f(x) \ge 9x - 16 olduğundan fark fonksiyonu x3−12x+16x^3 - 12x + 16'dır. Soldaki alan S1=∫−40(x3−12x+16)dx=[x44−6x2+16x]−40=0−(64−96−64)=96S_1 = \int_{-4}^0 (x^3 - 12x + 16) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^0 = 0 - (64 - 96 - 64) = 96 birimkare bulunur. Sağdaki alan S2=∫02(x3−12x+16)dx=[x44−6x2+16x]02=(4−24+32)−0=12S_2 = \int_0^2 (x^3 - 12x + 16) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 16x \right]_0^2 = (4 - 24 + 32) - 0 = 12 birimkare bulunur.
yy-ekseni x=0x = 0 doğrusu olduğundan sınırlı bölgeyi [−4,0][-4, 0] ve [0,2][0, 2] olmak üzere iki alt aralığa böler. Her bir alt bölgenin alanı belirli integral ile hesaplanır.
5
Bulunan alanların oranını hesaplayın.
Soldaki alanın sağdaki alana oranı S1S2=9612=8\frac{S_1}{S_2} = \frac{96}{12} = 8 olarak elde edilir.
Soruda bizden istenen oran, sol bölgenin alanının sağ bölgenin alanına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla iki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

İntegral alırken x3−12x+16=(x−2)2(x+4)x^3 - 12x + 16 = (x-2)^2(x+4) biçiminde çarpanlarına ayrılan ifadenin integrali, değişken değiştirme veya doğrudan polinom integrali ile hesaplanabilir. Ayrıca pratik bir yol olarak, üçüncü dereceden bir fonksiyona teğet olan doğru ile fonksiyon arasında kalan toplam alan A=k12(x2−x1)4A = \frac{k}{12}(x_2 - x_1)^4 formülüyle de kontrol edilebilir (burada kk başkatsayıdır). Bu soruda toplam alan 112⋅(2−(−4))4=129612=108\frac{1}{12} \cdot (2 - (-4))^4 = \frac{1296}{12} = 108 olarak bulunur. Bölgelerin alanları sırasıyla 96 ve 12 olduğundan toplamı doğrular.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2357Soru →
aa bir gerçel sayı ve nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(x2+ax)n\left(x^2 + \frac{a}{x}\right)^n
ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımında:
- Sabit terim bulunmaktadır.
- x6x^6 lı terim, bu açılımdaki baştan 3. terimdir.
- x6x^6 lı terimin katsayısının, x3x^3 lü terimin katsayısına oranı 38\frac{3}{8}'dir.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

Sabit terim 240'tır.
Baştan 3. terimin r=2r=2 değerine karşılık geldiği bilinerek 2n−6=6  ⟹  n=62n-6=6 \implies n=6 bulunur. Ardından x6x^6 ve x3x^3 terimlerinin katsayıları sırasıyla 15a215a^2 ve 20a320a^3 olarak yazılır. Bu katsayıların oranı 34a=38\frac{3}{4a} = \frac{3}{8} eşitliğinden a=2a=2 bulunur. Son olarak sabit terimi veren r=4r=4 değeri için (64)a4=15⋅16=240\binom{6}{4} a^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Açılımdaki genel terim formülü yazılır ve baştan 3. terim kullanılarak n değeri bulunur.
Genel terim: Tr+1=(nr)(x2)n−r(ax)r=(nr)arx2n−3rT_{r+1} = \binom{n}{r} (x^2)^{n-r} \left(\frac{a}{x}\right)^r = \binom{n}{r} a^r x^{2n - 3r}. Baştan 3. terim için r=2r = 2 olur. Bu terim x6x^6 lı terim olduğuna göre, 2n−3(2)=6  ⟹  2n=12  ⟹  n=62n - 3(2) = 6 \implies 2n = 12 \implies n = 6 elde edilir.
n parametresini belirlemek, açılımın derecesini sabitlemek için gereklidir.
2
x6x^6 ve x3x^3 lü terimlerin katsayıları n = 6 değeri kullanılarak belirlenir.
x6x^6 lı terim için r=2r = 2 olup katsayısı (62)a2=15a2\binom{6}{2} a^2 = 15a^2 olur. x3x^3 lü terim için 12−3r=3  ⟹  r=312 - 3r = 3 \implies r = 3 olup katsayısı (63)a3=20a3\binom{6}{3} a^3 = 20a^3 olur.
Verilen katsayılar oranını kullanarak a değerini bulmak için terim katsayılarının açık ifadeleri gereklidir.
3
Katsayılar oranı eşitlenerek a değeri çözülür.
15a220a3=34a\frac{15a^2}{20a^3} = \frac{3}{4a} oranı 38\frac{3}{8} değerine eşitlenirse, 34a=38  ⟹  4a=8  ⟹  a=2\frac{3}{4a} = \frac{3}{8} \implies 4a = 8 \implies a = 2 bulunur.
Bilinmeyen a sabit sayısını bulmak için oran eşitliği çözülmelidir.
4
Sabit terim hesaplanır.
Sabit terim x0x^0 lı terimdir. 12−3r=0  ⟹  3r=12  ⟹  r=412 - 3r = 0 \implies 3r = 12 \implies r = 4 olur. Sabit terim: (64)a4=15⋅24=15⋅16=240\binom{6}{4} a^4 = 15 \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240 olarak hesaplanır.
Soruda istenen sabit terim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü kullanılarak belirli dereceli terimlerin katsayılarının ve sabit terimin hesaplanması.
Soru 2358Soru →

Bir çember üzerinde 6 farklı nokta ve bu çemberin tamamen dışındaki bir doğru üzerinde 4 farklı nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu 10 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 116

Cevap

Seçilebilecek tüm 3'lü noktaların sayısından doğrusal olan 3'lülerin sayısı çıkarıldığında 116 farklı üçgen oluşturulabilir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 10 noktadan normalde 120 üçgen oluşturulabilirdi. Ancak doğru üzerindeki 4 nokta doğrusal olduğundan, bu 4 noktadan seçilen 3'lü gruplar (4 adet) üçgen oluşturamaz. Bu yüzden 120'den 4 çıkarılarak 116 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısı üzerinden seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı hesaplanır.
120
10 noktadan herhangi 3'ünün seçimi C(10,3) kombinasyonu ile bulunur.
2
Aynı doğru üzerindeki noktaların doğrusal olmasından dolayı üçgen oluşturmayan seçimler hesaplanır.
4
Doğru üzerindeki 4 noktadan seçilen 3 noktanın tamamı doğrusal olduğundan üçgen belirtmez.
3
Toplam seçim sayısından doğrusal olan seçim sayısı çıkarılır.
116
Doğrusal olmayan her 3 nokta bir üçgen oluşturduğu için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olmayan noktalarla üçgen oluşturma kombinasyonları
Soru 2359Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−12f(x) dx=10\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 10
olduğuna göre,
∫01(6x⋅f(x2−1)+6f(2x)) dx\int_{0}^{1} \left( 6x \cdot f(x^2 - 1) + 6f(2x) \right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

İntegralin değeri 30'dur.
Verilen integral iki parçaya ayrılıp u=x2−1u = x^2 - 1 ve v=2xv = 2x değişken değiştirmeleri yapıldığında integral sınırları sırasıyla [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] olur. Bu iki integralin toplamı, belirli integralin aralık birleştirme kuralına göre [−1,2][-1, 2] aralığındaki integralin 3 katına eşit olur. Dolayısıyla doğru yanıt 3⋅10=303 \cdot 10 = 30 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali iki ayrı integralin toplamı biçiminde yazalım.
∫016x⋅f(x2−1) dx+∫016f(2x) dx\int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx + \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx
Her iki terim i��in farklı değişken değiştirme yöntemleri uygulanacaktır.
2
Birinci integral olan I1=∫016x⋅f(x2−1) dxI_1 = \int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx için u=x2−1u = x^2 - 1 değişken değiştirmesini uygulayalım.
I1=3∫−10f(u) duI_1 = 3 \int_{-1}^{0} f(u) \, du
u=x2−1u = x^2 - 1 ise du=2x dxdu = 2x \, dx olur. Buradan 6x dx=3 du6x \, dx = 3 \, du elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için u=−1u = -1 ve x=1x = 1 için u=0u = 0 olarak güncellenir.
3
İkinci integral olan I2=∫016f(2x) dxI_2 = \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx için v=2xv = 2x değişken değiştirmesini uygulayalım.
I2=3∫02f(v) dvI_2 = 3 \int_{0}^{2} f(v) \, dv
v=2xv = 2x ise dv=2 dxdv = 2 \, dx olur. Buradan 6 dx=3 dv6 \, dx = 3 \, dv elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için v=0v = 0 ve x=1x = 1 için v=2v = 2 olarak güncellenir.
4
Elde edilen I1I_1 ve I2I_2 integrallerini toplayarak ortak katsayı parantezine alalım ve integral aralıklarını birleştirelim.
I1+I2=3(∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx)=3∫−12f(x) dx=3⋅10=30I_1 + I_2 = 3 \left( \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right) = 3 \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 3 \cdot 10 = 30
Belirli integralin sınırları [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] birbirini tamamladığı için aralık bölme özelliği gereğince ∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx=∫−12f(x) dx\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve integral aralıklarının parçalanması/birleştirilmesi özellikleri
Soru 2360Soru →

Doğu-batı doğrultusundaki düz bir yolda hareket eden KK ve LL araçlarından KK aracı doğu yönünde 15 m/s15\text{ m/s} sabit hızla, LL aracı ise batı yönünde 10 m/s10\text{ m/s} sabit hızla gitmektedir.

Buna göre, KK aracında oturan bir gözlemciye göre LL aracının hareket yönü ve hızının büyüklüğü aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Batı yönünde 25 m/s25\text{ m/s}

Cevap

Batı yönünde 25 m/s25\text{ m/s}
Bağıl hız, gözlenen cismin hız vektöründen gözlemcinin hız vektörünün çıkarılmasıyla bulunur. Doğu yönü pozitif seçildiğinde, batı yönündeki LL aracının hızı −10 m/s-10\text{ m/s} ve doğu yönündeki KK aracının hızı +15 m/s+15\text{ m/s} olur. Formül uygulandığında, bağıl hız v⃗bag˘ıl=v⃗L−v⃗K=−10−15=−25 m/s\vec{v}_{\text{bağıl}} = \vec{v}_L - \vec{v}_K = -10 - 15 = -25\text{ m/s} bulunur. Bu sonuç, KK aracındaki gözlemcinin LL aracını batı yönünde 25 m/s25\text{ m/s} hızla gidiyormuş gibi göreceğini ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1
Doğu yönünü artı (++), batı yönünü eksi (−-) olarak tanımlayarak araçların hız vektörlerini belirleyin.
KK aracının hızı: v⃗K=+15 m/s\vec{v}_K = +15\text{ m/s}, LL aracının hızı: v⃗L=−10 m/s\vec{v}_L = -10\text{ m/s}
Bağıl hız hesaplamalarında yön tayinini kolaylaştırmak için koordinat sistemi tanımlanır.
2
Bağıl hız formülü olan v⃗bag˘ıl=v⃗go¨zlenen−v⃗go¨zlemci\vec{v}_{\text{bağıl}} = \vec{v}_{\text{gözlenen}} - \vec{v}_{\text{gözlemci}} bağıntısını uygulayın.
Burada gözlemci KK aracı, gözlenen ise LL aracıdır. Dolayısıyla formül v⃗bag˘ıl=v⃗L−v⃗K\vec{v}_{\text{bağıl}} = \vec{v}_L - \vec{v}_K şeklini alır.
Bir gözlemcinin diğer cismi nasıl gördü��ünü bulmak için gözlenenin hızından gözlemcinin hızı vektörel olarak çıkarılır.
3
Belirlenen hız değerlerini formülde yerine koyarak işlemi yapın.
v⃗bag˘ıl=(−10 m/s)−(+15 m/s)=−25 m/s\vec{v}_{\text{bağıl}} = (-10\text{ m/s}) - (+15\text{ m/s}) = -25\text{ m/s}
Vektörel çıkarma işlemi sonucunda elde edilen değer bağıl hız vektörüdür.
4
Elde edilen sonucun yönünü ve büyüklüğünü yorumlayın.
Sonucun eksi işaretli çıkması hareketin tanımlanan batı yönünde olduğunu, büyüklüğünün ise 25 m/s25\text{ m/s} olduğunu gösterir.
Seçilen koordinat sistemindeki yön tanımlaması sonucun fiziksel anlamını verir.

Anahtar Kavram

Bağıl hareket formülü v⃗bag˘ıl=v⃗go¨zlenen−v⃗go¨zlemci\vec{v}_{\text{bağıl}} = \vec{v}_{\text{gözlenen}} - \vec{v}_{\text{gözlemci}} kullanılarak tek boyutta bağıl hızın büyüklüğü ve yönü bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
ÖncekiSayfa 118 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin