Tüm alıştırma soruları

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - ax + 3

parabolünün

x = 2

apsisli noktasındaki teğet doğrusu,

g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2

eğrisinin

x = 1

apsisli noktasındaki teğet doğrusuna diktir.

Buna göre, $a$ gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a = 5 gerçel sayısıdır.

Parabolün ve eğrinin ilgili noktalardaki türevleri teğet doğrularının eğimlerini verir. Bu doğrular birbirine dik olduğundan eğimlerin çarpımı -1'e eşitlenerek a = 5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - ax + 3

parabolünün

x = 2

noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla ifade etmek.

f'(x) = 2x - a

olduğundan

x = 2

noktasındaki teğetin eğimi

m_1 = f'(2) = 4 - a

olarak bulunur.

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.

2

g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2

eğrisinin

x = 1

noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla bulmak.

g'(x) = 3x^2 - 6x + 4

olduğundan

x = 1

noktasındaki teğetin eğimi

m_2 = g'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 1

olarak bulunur.

Eğrinin

x = 1

noktasındaki teğetinin eğimi,

g(x)

fonksiyonunun bu noktadaki türevidir.

3

Teğet doğrularının birbirine dik olması şartını kullanarak

a

değerini hesaplamak.

m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (4 - a) \cdot 1 = -1 \implies 4 - a = -1 \implies a = 5

elde edilir.

Dik kesişen iki doğrunun eğimleri çarpımı

-1

'dir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu ve dik doğruların eğimleri ilişkisi

Soru 2362Soru →

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax - 8}{x - 4}, & x < 4 \\ bx - 2, & 4 \leq x < 7 \\ \log_2(x - 3) + c, & x \geq 7 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde süreklidir.

Buna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

6

8

14

12

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14

Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olması için kritik noktaları olan

x = 4

ve

x = 7

noktalarında da sürekli olması gerekir.

x = 4

noktasındaki sol limitin var olması için payda sıfırken payın da sıfır olması gerektiğinden

a = 2

bulunur. Sadeleşen limit değeri 6'dır. Süreklilik için sağ limit de 6 olmalıdır, buradan

b = 2

elde edilir.

x = 7

noktasındaki sol limit

7(2) - 2 = 12

olur. Sağ limitin de 12 olması için

\log_2(4) + c = 12 \implies 2 + c = 12 \implies c = 10

bulunur. Değerlerin toplamı 14 yapar.

Adım Adım Çözüm

1

x = 4

noktasındaki sol limitin varlığını incelemek

a = 2

ve

\lim_{x \to 4^-} f(x) = 6

x < 4

için tanımsızlık olmaması ve limitin reel sayı çıkması için pay sıfır olmalıdır. Buradan

16 - 4a - 8 = 0 \implies a = 2

bulunur. İfade sadeleştirildiğinde

\frac{(x-4)(x+2)}{x-4} = x + 2

olur ve limit

4 + 2 = 6

çıkar.

2

x = 4

noktasındaki süreklilik şartını uygulamak

b = 2

Sol limit ile sağ limit eşit olmalıdır:

\lim_{x \to 4^+} (bx - 2) = 4b - 2 = 6 \implies b = 2

bulunur.

3

x = 7

noktasındaki süreklilik şartını uygulamak

c = 10

Sol limit ile sağ limit eşit olmalıdır:

\lim_{x \to 7^-} (2x - 2) = 12

ve

\lim_{x \to 7^+} (\log_2(x-3) + c) = \log_2(4) + c = 2 + c

. Buradan

2 + c = 12 \implies c = 10

elde edilir.

4

a + b + c

toplamını hesaplamak

2 + 2 + 10 = 14

Bulunan parametrelerin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limiti, sol limiti ve fonksiyon değeri tanımlı ve birbirine eşit olmalıdır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2363Soru →

Sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 8

\int_{1}^{3} f(x-1) \, dx = 6

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{2}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

2

6

8

10

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10 değerini içeren seçenek doğrudur.

Verilen integrallerde gerekli değişken değiştirmeleri yapılıp sınırlar doğru şekilde güncellendiğinde sırasıyla

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

ve

\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6

değerleri elde edilir. İstenen integral, bu iki integralin farkı olan

\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 16 - 6 = 10

değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.

u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

ve sınırlar

x=0 \implies u=0

,

x=2 \implies u=4

olur. İntegral:

\int_{0}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

olarak bulunur.

Verilen integrali f(x) cinsinden ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi kullanılır.

2

İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.

t = x-1 \implies dt = dx

ve sınırlar

x=1 \implies t=0

,

x=3 \implies t=2

olur. İntegral:

\int_{0}^{2} f(t) \, dt = 6 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6

olarak bulunur.

İkinci integral ifadesini f(x) cinsinden sadeleştirmek için değişken değiştirme yapılır.

3

Elde edilen integral alanlarını sınır parçalama özelliğine göre birleştirmek.

\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 16 - 6 = 10

bulunur.

İstenen integralin sınırları olan [2, 4] aralığı, [0, 4] ve [0, 2] aralıklarının farkı şeklinde ifade edilebilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi ve belirli integralin toplamsal/parçalama özelliğinin kullanılması.

Soru 2364Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları için

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L_1

\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L_2

limitleri birer gerçel sayıya eşittir.

Buna göre,
I. $\lim_{x \to a} f(x)$ limiti bir gerçel sayıya eşittir.
II. $\lim_{x \to a} [f^2(x) + g^2(x)]$ limiti bir gerçel sayıya eşittir.
III. $L_1^2 \geq 4L_2$ dir.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü öncüllerin yer aldığı seçenek doğrudur.

Toplam ve çarpım limitleri bilindiğinde, limit özellikleri kullanılarak kareler toplamı olan ifadenin limiti doğrudan hesaplanabilir. Ayrıca reel sayıların karesel özellikleri limit koruma teoremiyle birleştiğinde üçüncü öncüldeki eşitsizlik her zaman sağlanır. Ancak bireysel fonksiyonların limitlerinin bulunması zorunlu değildir.

Adım Adım Çözüm

1

f^2(x) + g^2(x)

ifadesini limitleri bilinen toplam ve çarpım fonksiyonları cinsinden düzenleyin.

f^2(x) + g^2(x) = (f(x) + g(x))^2 - 2f(x)g(x)

özdeşliği elde edilir. Limit özellikleri gereği, bu ifadenin limiti

L_1^2 - 2L_2

olarak hesaplanır ve bu da bir gerçel sayıdır.

Limit toplama, çıkarma, çarpma ve kuvvet özelliklerini uygulayabilmek için ifadeyi limit değerleri bilinen ifadelere dönüştürmek gerekir.

2

Gerçel sayılarda her zaman geçerli olan

(f(x) - g(x))^2 \geq 0

eşitsizliğini kullanarak limitlerin sınırlarını belirleyin.

(f(x)+g(x))^2 - 4f(x)g(x) \geq 0

eşitsizliğine ulaşılır. Her iki tarafın limiti alındığında

L_1^2 - 4L_2 \geq 0

yani

L_1^2 \geq 4L_2

elde edilir.

Limitin eşitsizlikleri koruma özelliğini kullanarak limit değerleri arasındaki ilişkiyi bulmak amaçlanır.

3

Bireysel limitlerin varlığını sorgulamak için sağ ve sol limitleri farklı olan ancak toplam ve çarpımları limitli olan bir karşıt örnek kurgulayın.

f(x)

ve

g(x)

fonksiyonlarının

x \to a

limitleri mevcut olmasa bile toplam ve çarpımlarının limitlerinin mevcut olabileceği gösterilir.

Birinci öncülün her zaman doğru olmadığını ispatlamak için limit varlık koşulu olan sağ ve sol limit eşitliğini kullanan bir örnek gerekir.

Anahtar Kavram

Limit özellikleri, limitin aritmetik işlemleri ve limit koruma teoremi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2365Soru →

Gerçel sayılar kümesinin

\mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}

alt kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(x) = \int \frac{x^4 - 4x^2 + 3}{x^2 - 3} \, dx

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(3) = 10$ olduğuna göre, $f(0)$ değeri kaçtır?

0

-2

4

10

-14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap, doğru integral alma kuralları ve başlangıç koşulu kullanılarak elde edilen 4 değeridir.

Verilen rasyonel ifade çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde

x^2 - 1

elde edilir. Bu ifadenin integral kurallarına göre integrali

\frac{x^3}{3} - x + C

şeklindedir.

f(3) = 10

eşitliği kullanılarak

6 + C = 10

denkleminden integral sabiti

C = 4

olarak bulunur. Fonksiyonda

x

yerine

0

yazıldığında

f(0) = C

olduğundan, aranan değer 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

İntegrali alınacak rasyonel ifadenin pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapmak.

x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 3)(x^2 - 1)

olduğu için,

x^2 \neq 3

koşulu altında ifade

\frac{(x^2 - 3)(x^2 - 1)}{x^2 - 3} = x^2 - 1

biçiminde sadeleşir.

İntegral işlemini daha kolay gerçekleştirebilmek amacıyla ifadeyi polinom haline getirmek.

2

Elde edilen sadeleşmiş ifadenin belirsiz integralini hesaplamak.

f(x) = \int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C

olarak bulunur.

Belirsiz integral alma kuralları yardımıyla fonksiyonun genel kuralını integral sabitiyle birlikte belirlemek.

3

Verilen

f(3) = 10

başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti

C

değerini bulmak.

f(3) = \frac{3^3}{3} - 3 + C = 9 - 3 + C = 6 + C = 10 \implies C = 4

elde edilir.

Belirsiz integral sonucundaki belirsizliği verilen bir nokta yardımıyla ortadan kaldırmak.

4

Bulunan

f(x) = \frac{x^3}{3} - x + 4

fonksiyonunda

x = 0

yazarak

f(0)

değerini hesaplamak.

f(0) = \frac{0^3}{3} - 0 + 4 = 4

bulunur.

Soru kökünde bizden istenen hedef değere ulaşmak.

Anahtar Kavram

Polinom tipindeki ifadelerin belirsiz integral alma kuralları kullanılarak entegre edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2366Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesinin elemanlarından rastgele seçilen iki farklı sayının toplamının çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

Seçilen iki farklı sayının toplamının çift sayı olma olasılığı 0.4'tür.

Kümedeki 6 elemandan seçilen iki sayının toplamının çift sayı olması için iki sayının da tek ya da iki sayının da çift olması gerekir. Tüm durumların sayısı 15, istenen durumların sayısı ise 6'dır. Olasılık bu iki değerin birbirine oranı olan 0.4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm olası seçim durumlarının sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplama.

Tüm durumların sayısı 15'tir.

6 elemanlı bir kümeden sırasız bir şekilde seçilen 2 elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak.

2

Toplamı çift sayı yapan eleman çiftlerinin sayısını hesaplama.

İstenen durumların sayısı 6'dır.

İki sayının toplamının çift olması için sayıların ya ikisinin de tek (3 tek sayıdan 2'sinin seçimi) ya da ikisinin de çift (3 çift sayıdan 2'sinin seçimi) olması gerekliliği.

3

İstenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlayarak olasılık değerine ulaşma.

Olasılık değeri 0.4'tür.

Olasılık tanımı gereği istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesi gerekmektedir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı

Soru 2367Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6

ve

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 4

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{2} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

2

4

8

10

-2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İntegralin değeri 4'tür.

Dönüşümler yapıldığında

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12

ve

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8

değerleri bulunur. Belirli integralin sınırları bölme özelliği kullanılarak

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12 - 8 = 4

elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci integralde değişken de��iştirme yöntemini uygulayalım.

u = 2x - 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde;

x = 1 \implies u = 1

ve

x = 3 \implies u = 5

elde edilir. Buradan,

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12

bulunur.

Verilen ilk integral ifadesini sadeleştirmek ve standart

f(x)

formuyla ifade edebilmek için değişken değiştirme uygulanır.

2

İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.

v = x^2 + 1 \implies dv = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dv}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde;

x = 1 \implies v = 2

ve

x = 2 \implies v = 5

elde edilir. Buradan,

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(v) \frac{dv}{2} = 4 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8

bulunur.

İkinci integral ifadesini standart

f(x)

integraline dönüştürmek için

x^2+1

ifadesine yeni bir değişken atanır.

3

Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanalım.

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx

Elde ettiğimiz değerleri yerine yazarsak;

12 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4

bulunur.

Sınırları

[1, 5]

olan integral,

[1, 2]

ve

[2, 5]

aralıklarında iki ayrı integralin toplamı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve integralin sınırları bölme özelliği

Soru 2368Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = 3x^2 - 12x$ parabolü ile $x$ -ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

16

-32

32

160

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

32

Parabolün kökleri olan 0 ve 4 sınırları arasında kalan bölge x-ekseninin altında yer alır. Bu nedenle alan, integral değerinin eksi işaretiyle çarpılmasıyla elde edilir. İntegral işlemi yapıldığında sonuç 32 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün x-eksenini kestiği noktaları belirlemek için fonksiyon sıfıra eşitlenir.

3x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0

denklemi çözüldüğünde sınırlar

x = 0

ve

x = 4

olarak bulunur.

Eksenler arasında kalan sınırlı bölgenin başlangıç ve bitiş sınırlarını (integral sınırlarını) tespit etmek için.

2

İntegral alınacak aralıktaki fonksiyonun işaretini belirleyerek alan formülü kurulur.

x \in (0, 4)

aralığı için

f(x) < 0

olduğundan alan formülü

\text{Alan} = -\int_{0}^{4} (3x^2 - 12x) \,dx

olarak yazılır.

x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken belirli integralin değeri negatif çıkacağından önüne eksi işareti konmalıdır.

3

Belirli integral hesaplanır.

-\left[ x^3 - 6x^2 \right]_0^4 = -((4^3 - 6 \cdot 4^2) - 0) = -(64 - 96) = 32

birimkare bulunur.

Sınırlar yerine yazılarak net alan değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Eğrinin x-ekseninin altında kaldığı aralıklarda belirli integral değerinin negatif çıkması ve alan hesabı yapılırken bu değerin mutlak değerinin (veya önüne eksi işareti getirilerek) kullanılması gerektiği.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2369Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

g

fonksiyonu için

\begin{aligned} g(2) &= 2 \\ g'(2) &= 3 \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

f(x) = \frac{g(x)}{x^2 + g(x)}

biçiminde tanımlanan

f

fonksiyonunun

x = 2

noktasındaki türevi olan

f'(2)

değeri kaçtır?

\frac{1}{9}

\frac{8}{9}

\frac{5}{18}

\frac{3}{7}

-\frac{1}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{9}$

Cevap

Türevin doğru değeri

\frac{1}{9}

olarak bulunur.

Bölümün türevi kuralı

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

doğru bir şekilde uygulanıp

x=2

için verilen

g(2)=2

ve

g'(2)=3

değerleri yerine konulduğunda sonuç

\frac{1}{9}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bölüm kuralını uygulayarak

f(x)

fonksiyonunun türev ifadesini yazalım.

f'(x) = \frac{g'(x) \cdot (x^2 + g(x)) - g(x) \cdot (2x + g'(x))}{(x^2 + g(x))^2}

Bölümün türevi formülü

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

şeklindedir.

2

Türev ifadesinde

x = 2

yazalım.

f'(2) = \frac{g'(2) \cdot (2^2 + g(2)) - g(2) \cdot (2(2) + g'(2))}{(2^2 + g(2))^2}

x = 2

noktasındaki türev değerini bulmak için değişken yerine 2 yazarız.

3

Verilen

g(2) = 2

ve

g'(2) = 3

değerlerini yerleştirip işlemleri yapalım.

f'(2) = \frac{3 \cdot (4 + 2) - 2 \cdot (4 + 3)}{(4 + 2)^2} = \frac{18 - 14}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

Sayısal değerleri yerine koyarak sadeleştirme yaparız.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı

Soru 2370Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen sayma problemlerini, sağ sütunda verilen doğru matematiksel hesaplama ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Eşleştirmeler sırasıyla: Birinci problem için

2 \times 13 + 12 \times 8

, ikinci problem için

5 \times 5 \times 4

, üçüncü problem için

4 \times 3 \times 2 - 2^3

ve dördüncü problem için

3 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 3

şeklindedir.

Verilen problemlerın her biri toplama ve çarpma yoluyla sayma ilkelerinin doğru uygulanmasıyla çözülür. Eşleştirmelerde her bir probleme ait doğru matematiksel ifade verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci problemde gidiş yolları doğrudan (

2

yol) ve

B

üzerinden (

12

yol) olmak üzere ikiye ayrılır. Dönüşte kullanılan yol parçalarının tekrar kullanılamaması koşulundan hareketle, doğrudan gidiş durumunda dönüş için

13

yol; dolaylı gidiş durumunda dönüş için

8

yol kaldığı hesaplanır.

Gidiş-dönüş yolları

2 \times 13 + 12 \times 8 = 122

farklı şekilde seçilir.

Toplama ve çarpma yoluyla sayma kuralları ayrık durumlar için toplanarak, ardışık adımlar için çarpılarak uygulanır.

2

İkinci problemde en az iki basamaktaki rakamın toplamının çift olması için en az iki rakamın aynı paritede olması gerektiği saptanır. 3 basamaklı bir sayıda iki parite türü (tek/çift) bulunduğünden, her durumda en az iki rakam aynı paritededir ve toplamları çifttir.

Koşulu sağlayan sayıların sayısı, kümedeki rakamlarla yazılabilecek tüm rakamları farklı 3 basamaklı sayıların sayısına eşittir ve miktarı

5 \times 5 \times 4 = 100

adettir.

Koşulun tüm rakamları farklı 3 basamaklı sayılar için daima sağlandığı gösterilir.

3

Üçüncü problemde tüm olası yerleşimlerin sayısından, istenmeyen durumların (yeşil ve sarı kartın yan yana geldiği durumlar) sayısı çıkarılır.

Yerleşim sayısı

4 \times 3 \times 2 - 2^3 = 16

olarak hesaplanır.

İstenen durumları bulmak için tüm durumlardan tüm istenmeyen durumları çıkarmak daha kolay ve hatasız bir yöntemdir.

4

Dördüncü problemde en az iki yemek grubundan sipariş verme koşulu; tüm grupların seçilmesi (Çorba-Yemek-Tatlı) ile ikili grup seçimlerinin (Çorba-Yemek, Çorba-Tatlı, Yemek-Tatlı) durum sayılarının toplanmasıyla elde edilir.

Toplam sipariş seçeneği sayısı

3 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 3 + 4 \times 3 = 69

olur.

Birbirinden bağımsız durumlar toplanarak genel toplam elde edilir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma İlkeleri ve Koşullu Sayma Problemleri

Alternatif Yöntem

İkinci problemde parite mantığını kullanmak yerine, tüm basamakların farklı paritede olma durumunu (yani bir basamağın çift, diğerlerinin tek veya tam tersi) inceleyerek de hiçbir durumun bu şartı bozmadığını doğrudan görebiliriz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 2371Soru →

Yatay ve sürtünmeli bir yüzeyde durmakta olan $4\text{ kg}$ kütleli bir cisme yatay doğrultuda $18\text{ N}$ büyüklüğünde bir kuvvet uygulanmaktadır. Cisim ile yüzey arasındaki kinetik sürtünme katsayısı $0{}25$ olduğuna göre, cismin ivmesinin büyüklüğü kaç $\text{m/s}^2$ olur? (Yer çekimi ivmesini $g = 10\text{ m/s}^2$ alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Cismin ivmesinin büyüklüğü

2\text{ m/s}^2

olarak bulunur.

Cisme etki eden kinetik sürtünme kuvveti

10\text{ N}

olup hareket yönüne terstir. Net kuvvet

18 - 10 = 8\text{ N}

ve cismin kütlesi

4\text{ kg}

olduğundan ivme

2\text{ m/s}^2

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kinetik sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü hesaplamak.

f_s = 10\text{ N}

Sürtünmeli yüzeyde hareket eden cisimlerin ivmesini bulmak için öncelikle harekete ters yöndeki sürtünme kuvvetinin bulunması gerekir.

2

Cisme etki eden net yatay kuvveti bulmak.

F_{\text{net}} = 8\text{ N}

İvme, cisme etki eden net kuvvet doğrultusunda ve bu kuvvetle doğru orantılıdır.

3

Newton'ın ikinci yasasını kullanarak ivmeyi hesaplamak.

a = 2\text{ m/s}^2

F_{\text{net}} = m \cdot a

bağıntısına göre ivme, net kuvvetin kütleye oranıdır.

Anahtar Kavram

Newton'ın İkinci Hareket Yasası ve Sürtünme Kuvveti

Soru 2372Soru →

Bir tiyatro oyununun sahne duruşu provasında, boyları birbirinden farklı $3$ kız ve $4$ erkek oyuncu yan yana sıralanacaktır. Bu sıralama ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- Kız oyuncular kendi aralarında soldan sağa doğru kısadan uzuna do��ru sıralanacaktır.
- Erkek oyuncular kendi aralarında soldan sağa doğru uzundan kısaya doğru sıralanacaktır.
- En kısa kız oyuncu ile en uzun erkek oyuncu yan yana duracaktır.

Buna göre, bu $7$ oyuncu sahne üzerinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

10

15

20

30

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$

Cevap

Doğru cevap 20'dir.

En kısa kız (

K_1

) ve en uzun erkeğin (

E_1

) kendi gruplarının en solundaki elemanlar olması sebebiyle oluşturdukları blok sadece ilk iki sırada yer alabilir. Bu durumda kalan 5 yere diğer 5 oyuncu, kendi içlerindeki sıralamaları sabit olduğundan

\binom{5}{2} = 10

farklı şekilde yerleşir. Bloğun kendi içindeki 2 farklı durumu ile bu sayı çarpıldığında doğru sonuç olan 20 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Oyuncuları ve boy sıralaması kurallarını sembolik olarak ifade etme

Kız oyuncular boylarına göre kısadan uzuna

K_1, K_2, K_3

ve erkek oyuncular uzundan kısaya

E_1, E_2, E_3, E_4

olarak adlandırılır. Bu durumda sıralamadaki konumları açısından

pos(K_1) < pos(K_2) < pos(K_3)

ve

pos(E_1) < pos(E_2) < pos(E_3) < pos(E_4)

olmalıdır. En kısa kız

K_1

, en uzun erkek ise

E_1

olur.

Sıralama kısıtlarını matematiksel olarak analiz edebilmek için her bir oyuncuyu tanımlamak gerekir.

2

K_1

ve

E_1

oyuncularının oluşturduğu bloğun konumunu belirleme

K_1

ve

E_1

yan yana duracağından bir blok oluştururlar.

K_1

tüm kızların en solunda yer almalı,

E_1

ise tüm erkeklerin en solunda yer almalıdır. Dolayısıyla bu bloğun solunda hiçbir oyuncu bulunamaz. Bu durum bloğun ancak ilk iki sırada (

1

ve

2

. pozisyonlar) yer alabileceğini gösterir.

Eğer blok daha sağda olsaydı, solundaki yerleri dolduracak hiçbir oyuncu sıralama şartını bozmadan yerleştirilemezdi.

3

Kalan pozisyonlara diğer oyuncuların yerleşim sayısını hesaplama

İlk iki pozisyon blok tarafından doldurulduktan sonra geriye

3, 4, 5, 6, 7

numaralı

5

pozisyon kalır. Bu

5

pozisyona yerleştirilecek oyuncular

\{K_2, K_3\}

ve

\{E_2, E_3, E_4\}

gruplarıdır. Kalan

2

kız oyuncu için bu

5

pozisyondan

2

tanesi

\binom{5}{2} = 10

farklı şekilde seçilebilir. Seçim yapıldıktan sonra kızlar kendi içinde, kalan

3

yere yerleşen erkekler de kendi içinde tek şekilde sıralanmak zorundadır.

Relative (bağıl) sıralaması sabit olan elemanların yerleşimi kombinasyon seçimiyle benzersiz şekilde belirlenir.

4

Bloğun kendi içindeki dizilim durumlarını hesaba katarak toplam sonucu bulma

Blok,

K_1E_1

veya

E_1K_1

şeklinde

2

farklı sıralamaya sahip olabilir. Buradan toplam durum sayısı

2 \times 10 = 20

olarak bulunur.

Blok içindeki iki farklı elemanın kendi arasındaki yer değişimi bağımsız bir çarpım durumudur.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyonda elemanların bağıl (relative) sıralamasının sabit olduğu durumlarda kombinasyon kullanarak sıralama hesaplama

Soru 2373Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12

\int_{3}^{5} (f(x) - 2x) \, dx = -8

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{3} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 4 olarak bulunur.

İkinci denklem belirli integralin lineerlik özelliği ile parçalandığında elde edilen

\int_{3}^{5} 2x \, dx

integralinin değeri

16

olur. Buradan

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8

olarak bulunur. İlk denklemde verilen

[1, 5]

aralığı belirli integralin aralık bölme özelliğiyle

[1, 3]

ve

[3, 5]

olarak ikiye ayrıldığında,

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx

bağıntısı elde edilir. Sayısal değerler yerine konduğunda

12 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8

eşitliğinden aranan integralin değeri 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İkinci integral ifadesini belirli integralin lineerlik özelliğini kullanarak parçalamak

\int_{3}^{5} f(x) \, dx - \int_{3}^{5} 2x \, dx = -8

İntegrali sadeleştirip

\int_{3}^{5} f(x) \, dx

terimini yalnız bırakabilmek için belirli integralin çıkarma özelliğini uyguladık.

2

\int_{3}^{5} 2x \, dx

integralini hesaplamak

\int_{3}^{5} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{3}^{5} = 25 - 9 = 16

2x

fonksiyonunun integralinin

x^2

olduğunu bilerek sınır değerlerini yerine koyduk.

3

\int_{3}^{5} f(x) \, dx

değerini bulmak

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 8

\int_{3}^{5} f(x) \, dx - 16 = -8

eşitliğinden bilinmeyen integral değerini çektik.

4

Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini uygulamak

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx

[1, 5]

aralığını

3

noktasına göre iki alt aralığa bölerek integral değerleri arasındaki ilişkiyi kurduk.

5

Verilen ve bulunan değerleri denklemde yerine koyup sonuca ulaşmak

12 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4

Bilinen değerleri yerine yazarak bizden istenen aralıktaki integral değerini hesapladık.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralin Lineerlik ve Aralık Bölme Özellikleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2374Soru →

Tanım kümesi

\mathbb{R} \setminus \{3\}

olan

f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 3}

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi

9

'dur.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

0

3

36

-6

-9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Yerel maksimum noktas��nın koordinatları toplamı

0

'dır.

Fonksiyonun türevi alınıp yerel minimum noktasının apsisi olan

9

yerine yazıldığında

a = 9

bulunur. Buradan türevin diğer kökü olan yerel maksimum noktasının apsisi

x = -3

olarak elde edilir. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında yerel maksimum noktasının koordinatları

(-3, 3)

olur. Bu koordinatların toplamı

-3 + 3 = 0

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Bölümün türevi kuralını uygulayarak fonksiyonun türevi olan

f'(x)

ifadesini elde ederiz.

f'(x) = \frac{(2x+a)(x-3) - (x^2+ax)}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 3a}{(x-3)^2}

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türev fonksiyonunun işaretini incelememiz gerekir.

2

Yerel minimum noktasının apsisi

9

olduğuna göre, bu noktada türev sıfıra eşit olmalıdır (

f'(9) = 0

).

9^2 - 6(9) - 3a = 0 \implies 81 - 54 - 3a = 0 \implies 3a = 27 \implies a = 9

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevi sıf��rdır.

3

a = 9

değerini türev fonksiyonunda yerine yazıp türevi sıfır yapan diğer kritik noktayı buluruz.

f'(x) = \frac{x^2 - 6x - 27}{(x-3)^2} = \frac{(x-9)(x+3)}{(x-3)^2} = 0 \implies x = 9 \text{ veya } x = -3

Türevin işaret değiştirdiği noktaları belirlemek için türevin tüm köklerini bulmamız gerekir.

4

f'(x)

türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum noktasını tespit ederiz.

x < -3

için

f'(x) > 0

(artan),

-3 < x < 3

için

f'(x) < 0

(azalan),

3 < x < 9

için

f'(x) < 0

(azalan) ve

x > 9

için

f'(x) > 0

(artan). Buna göre,

x = -3

noktası yerel maksimum noktasıdır.

Türevin işareti pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.

5

Yerel maksimum noktasının ordinatını ve koordinatları toplamını hesaplarız.

y = f(-3) = \frac{(-3)^2 + 9(-3)}{-3 - 3} = \frac{-18}{-6} = 3

olur. Koordinatlar toplamı:

x + y = -3 + 3 = 0

bulunur.

Bizden yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı istendiği için apsis ve elde ettiğimiz ordinat değerini toplarız.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi yardımıyla yerel ekstremum noktalarının bulunması ve koordinat analizi.

Soru 2375Soru →

Türevlenebilir

g

fonksiyonu ve

x \neq 0

olmak üzere,

f

fonksiyonu

f(x) = x \cdot g(x) - \frac{g(x)}{x}

kuralıyla verilmiştir.

$g(2) = 4$ ve $g'(2) = 6$ olduğuna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Çarpım ve bölüm türev kuralları uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında doğru yanıt 14 olarak bulunur.

Çarpım ve bölüm türevi kuralları sırasıyla uygulanıp türev fonksiyonunda

x = 2

yazıldığında ve verilen

g(2) = 4

,

g'(2) = 6

değerleri yerleştirildiğinde

f'(2)

değeri

14

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x \cdot g(x) - \frac{g(x)}{x}

fonksiyonunun türevini alalım.

f'(x) = [g(x) + x \cdot g'(x)] - \frac{g'(x) \cdot x - g(x)}{x^2}

İlk terimde çarpım kuralı, ikinci terimde ise bölüm kuralı uygulanmıştır.

2

Elde edilen türev fonksiyonunda

x = 2

yazalım.

f'(2) = [g(2) + 2 \cdot g'(2)] - \frac{2 \cdot g'(2) - g(2)}{4}

f'(2)

değerini hesaplamak için

x

yerine

2

yazılır.

3

g(2) = 4

ve

g'(2) = 6

değerlerini yerleştirip işlemi tamamlayalım.

f'(2) = [4 + 2(6)] - \frac{2(6) - 4}{4} = 16 - 2 = 14

Verilen sayısal değerler yerine konulur ve temel aritmetik işlemler yapılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Türev Kuralları

Soru 2376Soru →

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

\left(ax - \frac{2}{ax^2}\right)^4

ifadesinin

x

'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki

x^4

lü terimin katsayısı

A

,

x

li terimin katsayısı

B

ve

x^{-2}

li terimin katsayısı

C

dir.

8A + 13B + 12C = 0

olduğuna göre, $a$ 'nın alabileceği pozitif gerçel sayı değerlerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

5

6

9

13

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Pozitif gerçel sayı değerlerinin toplamı 5'tir.

Genel terim formülüyle elde edilen

A = a^4

,

B = -8a^2

ve

C = 24

değerleri verilen denklemde yerine konulduğunda

a^4 - 13a^2 + 36 = 0

biquadratik denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif gerçel kökleri

2

ve

3

olduğundan, toplamları

5

değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Genel terim formülü yazılır.

ifadenin açılımındaki genel terim:

T_{r+1} = \binom{4}{r} (ax)^{4-r} \left(-\frac{2}{ax^2}\right)^r = \binom{4}{r} (-2)^r a^{4-2r} x^{4-3r}

şeklinde elde edilir.

İstenen terimlerin katsayılarını bulabilmek için genel terim ifadesine ihtiyaç duyulur.

2

x^4

,

x

ve

x^{-2}

terimleri için

r

değerleri belirlenir.

x^4

için

4-3r = 4 \implies r=0

,

x^1

için

4-3r = 1 \implies r=1

ve

x^{-2}

için

4-3r = -2 \implies r=2

olarak bulunur.

Katsayıları hesaplamak üzere her bir terimin açılımdaki konumunu (yani

r

değerini) tespit etmek gerekir.

3

A

,

B

ve

C

katsayıları hesaplanır.

A = \binom{4}{0} (-2)^0 a^{4} = a^4

,

B = \binom{4}{1} (-2)^1 a^{2} = -8a^2

ve

C = \binom{4}{2} (-2)^2 a^{0} = 24

olarak elde edilir.

Verilen denklemde yerine koymak üzere katsayılar

a

parametresi cinsinden ifade edilir.

4

Katsayılar

8A + 13B + 12C = 0

denklemine yerleştirilir.

8(a^4) + 13(-8a^2) + 12(24) = 0 \implies 8a^4 - 104a^2 + 288 = 0

denklemi elde edilir.

Soruda verilen katsayı ilişkisi kullanılarak

a

değerini belirleyecek denklem kurulur.

5

Denklem sadeleştirilir ve çözülür.

Denklemin her iki tarafı 8'e bölündüğünde

a^4 - 13a^2 + 36 = 0

elde edilir.

u = a^2

dönüşümü yapılırsa,

u^2 - 13u + 36 = 0 \implies (u-4)(u-9) = 0

olur. Buradan

u = 4

veya

u = 9

bulunur. Dolayısıyla

a^2 = 4 \implies a = \pm 2

ve

a^2 = 9 \implies a = \pm 3

elde edilir.

Biquadratik denklemin kökleri değişken değiştirme yöntemiyle çözülür.

6

Pozitif

a

değerlerinin toplamı bulunur.

Pozitif değerler

2

ve

3

olup, toplamları

2 + 3 = 5

olarak bulunur.

Soruda istenen pozitif gerçel sayı değerlerinin toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı ve terimlerin bulunması

Soru 2377Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu yalnızca $x = a$ noktasında süreksiz ise $|f|$ fonksiyonu da $x = a$ noktasında kesinlikle süreksizdir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır.

x = a

noktasında süreksiz olan bir fonksiyonun mutlak değerinin fonksiyonu o noktada sürekli olabilir.

İfade yanlıştır çünkü

x = a

noktasında sıçrama tipi süreksizliğe sahip bir fonksiyonun mutlak değeri alındığında, sağ ve sol limitlerin mutlak değerleri birbirine eşit olabilir ve bu durum sürekliliği sağlayabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Süreklilik tanımını hatırlayalım.

f

fonksiyonunun

x = a

noktasında sürekli olması için

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

��artının sağlanması gerekir. Eğer bu şart sağlanmıyorsa fonksiyon süreksizdir.

Süreksizliğin hangi koşullarda gerçekleştiğini belirlemek.

2

Mutlak değer fonksiyonu

|f(x)|

için süreklilik durumunu inceleyelim.

|f(x)|

fonksiyonunun

x = a

noktasındaki limitleri

\lim_{x \to a^-} |f(x)| = |\lim_{x \to a^-} f(x)|

ve

\lim_{x \to a^+} |f(x)| = |\lim_{x \to a^+} f(x)|

olur.

Mutlak değer limitinin özelliklerini uygulamak.

3

Karşıt bir örnek (aksine örnek) kuralım.

f(x) = \begin{cases} 3, & x \geq 1 \\ -3, & x < 1 \end{cases}

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun

x = 1

noktasında sağ limiti

3

, sol limiti

-3

olduğundan limiti yoktur ve süreksizdir. Ancak

|f(x)| = 3

sabit fonksiyonu elde edilir ve bu fonksiyon her

x

gerçel sayısı için süreklidir.

İfadenin her zaman doğru olmadığını kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada süreksiz olması, o noktanın mutlak değer fonksiyonu için de süreksizlik noktası olmasını gerektirmez.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2378Soru →

Dik koordinat düzleminde, $x = 3y^2 - 3y - 6$ ve $x = 6 + 3y - 3y^2$ parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 27 birimkaredir.

Kesişim noktaları

y = -1

ve

y = 2

olarak bulunduktan sonra,

[-1, 2]

aralığında sağda olan

x = 6 + 3y - 3y^2

eğrisinden solda olan

x = 3y^2 - 3y - 6

eğrisi çıkarılarak elde edilen

12 + 6y - 6y^2

ifadesinin bu aralıktaki belirli integrali hesaplandığında alan 27 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabollerin kesişim noktalar��nın y koordinatlarını bulmak için denklemler eşitlenir.

y = -1

ve

y = 2

İntegral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları hesaplanmalıdır.

2

Sınırlar arasında hangi eğrinin sağda olduğunu belirlemek için aralıktan bir değer seçilerek kontrol edilir.

x = 6 + 3y - 3y^2

parabolü sağdadır.

Alan hesabında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.

3

Alan hesabı için belirli integral kurulur.

\text{Alan} = \int_{-1}^{2} (12 + 6y - 6y^2) \, dy

İki eğri arasında kalan alan, sağdaki eğrinin denkleminden soldakinin çıkarılmasıyla elde edilen ifadenin integralidir.

4

İntegral alınır ve sınırlar yerine konarak alan hesaplanır.

Alan = 27

Belirli integral kuralları uygulanarak alanın sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını y eksenine göre integral alarak hesaplama.

Soru 2379Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

çift fonksiyonu için

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18

ve

\int_{1}^{2} f(2x) \, dx = 4

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

\int_{0}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

8

10

11

13

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

13

İkinci integralde yapılan değişken değiştirme ile

[2, 4]

aralığındaki integral değeri 8 bulunur. İlk integral

[ -2, 2 ]

ve

[ 2, 4 ]

olarak parçalandığında,

[-2, 2]

aralığının değeri 10 olur.

f

çift fonksiyon olduğundan

[0, 2]

aralığının değeri 5 olarak elde edilir. İstenen integral de

[0, 2]

ve

[2, 4]

olarak parçalanıp toplandığında 13 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İkinci integralde

u = 2x

değişken değiştirmesi yapılması

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde:

x = 1 \implies u = 2

ve

x = 2 \implies u = 4

elde edilir. Bu durumda

\int_{2}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 4 \implies \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8

bulunur.

f(2x)

ifadesini standart

f(x)

formuna getirerek integral aralığını belirlemek.

2

İlk integralin aralık parçalama özelliği kullanılarak bölünmesi

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 18

olur. Birinci adımda bulunan değer yerine yazıldığında:

\int_{-2}^{2} f(x) \, dx + 8 = 18 \implies \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 10

elde edilir.

Tanımlı

[ -2, 4 ]

integralini bilinen ve simetrik olan alt aralıklara ayırmak.

3

f

fonksiyonunun çift olmasından yararlanılarak simetrik sınır özelliğinin uygulanması

f

çift fonksiyon olduğundan

\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} f(x) \, dx

olur. Buradan

2 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 10 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 5

bulunur.

Simetrik

[-2, 2]

aralığındaki integral değerini

[0, 2]

aralığına indirgemek.

4

İstenen integralin parçalanarak hesaplanması

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx

şeklinde parçalanır. Değerler yerine yazıldığında:

5 + 8 = 13

elde edilir.

Elde edilen

[0, 2]

ve

[2, 4]

integral değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralin değişken değiştirme, aralık parçalama ve simetrik sınırlarda çift fonksiyon integral özellikleri

Soru 2380Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan $y = 9 - x^2$ parabolü üzerindeki bir $P(t, 9-t^2)$ noktasından parabole bir teğet doğrusu çiziliyor. Bu teğet doğrusunun koordinat eksenleriyle sınırladığı birinci bölgedeki dik üçgenin alanı en az kaç birimkaredir?

3\sqrt{3}

12\sqrt{3}

24\sqrt{3}

25

27

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $12\sqrt{3}$

Cevap

12\sqrt{3}

Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar türev yardımıyla belirlenip alan fonksiyonu oluşturulduğunda, alanın minimum değeri

12\sqrt{3}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol üzerindeki genel bir teğet noktasını belirleme ve türev yardımıyla teğetin eğimini bulma.

P(t, 9-t^2)

noktası için teğetin eğimi

m = f'(t) = -2t

olur.

Teğet doğrusunun denklemini yazabilmek için teğet noktasındaki türev değerine yani eğime ihtiyaç vardır.

2

Noktası ve eğimi bilinen teğet doğrusunun denklemini oluşturma.

y - (9-t^2) = -2t(x-t) \implies y = -2tx + t^2 + 9

doğrusu elde edilir.

Eksenleri kesen noktaları bulmak için teğet doğrusunun genel denklemi yazılmalıdır.

3

Teğet doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaların koordinatlarını hesaplama.

x=0

için

B(0, t^2+9)

ve

y=0

için

A\left(\frac{t^2+9}{2t}, 0\right)

noktaları bulunur.

Eksenlerle oluşturulan dik üçgenin dik kenar uzunluklarını belirlemek için kesim noktaları gereklidir.

4

Üçgenin alan fonksiyonunu

t

değişkenine bağlı olarak yazma ve sadeleştirme.

S(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2+9}{2t} \cdot (t^2+9) = \frac{1}{4}t^3 + \frac{9}{2}t + \frac{81}{4t}

fonksiyonu elde edilir.

Minimum alan değerini bulmak i��in optimize edilecek tek değişkenli alan fonksiyonu kurulmalıdır.

5

Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulma.

S'(t) = \frac{3}{4}t^2 + \frac{9}{2} - \frac{81}{4}t^{-2} = 0 \implies 3t^4 + 18t^2 - 81 = 0 \implies t^4 + 6t^2 - 27 = 0 \implies t = \sqrt{3}

bulunur.

Fonksiyonun yerel minimum noktasını veren

t

değerini saptamak için türevin kökü bulunur.

6

Bulunan kritik

t

değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak minimum alanı hesaplama.

S(\sqrt{3}) = \frac{(3+9)^2}{4\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}

birimkare bulunur.

Problemde istenen en küçük alan değerine ulaşmak için kritik nokta fonksiyonda yerine konur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü, teğet doğrusu denklemi ve geometrik optimizasyon.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm