Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2321Soru →

Köşeleri, bir düzgün sekizgenin köşeleri arasından seçilen üçgenlerden kaç tanesinin en az bir kenarı bu düzgün sekizgenin bir kenarıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

En az bir kenarı düzgün sekizgenin bir kenarı olan üçgenlerin sayısı 40'tır.
Soruda en az bir kenarı düzgün sekizgenin bir kenarı olan üçgenler istendiği için, tam olarak bir kenarı ortak olan 32 üçgen ile iki kenarı ortak olan 8 üçgen toplanarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Düzgün sekizgenin köşeleri kullanılarak oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısını hesaplama.
(83)=56\binom{8}{3} = 56 farklı üçgen.
Sekizgenin 8 köşesinden herhangi 3 tanesi seçilerek bir üçgen oluşturulabilir.
2
Yalnızca bir kenarı sekizgenin kenarı olan üçgenlerin sayısını hesaplama.
8×4=328 \times 4 = 32 adet üçgen.
Ortak olan 1 kenar 8 farklı şekilde seçilebilir. Üçgenin üçüncü köşesi, seçilen kenarın köşeleri ve bunlara komşu olan köşeler olamaz; aksi takdirde ortak kenar sayısı 2 olur. Bu nedenle üçüncü köşe için kalan 4 köşeden biri seçilmelidir.
3
İki kenarı sekizgenin kenarları olan üçgenlerin sayısını hesaplama.
8 adet üçgen.
İki kenarın ortak olması için köşelerin sekizgen üzerinde ardışık üç köşe olması gerekir. Sekizgende ardışık üçlülerden oluşan 8 farklı grup vardır (örneğin A-B-C, B-C-D, ...).
4
Toplam üçgen sayısını bulma.
32+8=4032 + 8 = 40 adet üçgen.
En az bir kenarı ortak olan üçgenlerin sayısı, 1 kenarı ortak olanlar ile 2 kenarı ortak olanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yöntemiyle durum analizi ve geometrik şekillerin sayılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2322Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonunun sadece bir tane yerel ekstremum noktası vardır ve bu noktanın apsisi −2-2'dir.

Buna göre, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x)
fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

f fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri çarpım�� 3'tür.
Bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı ile f′(x)=(2x−3)g′(x2−3x)f'(x) = (2x - 3)g'(x^2 - 3x) olarak bulunur. gg fonksiyonunun yerel ekstremum noktası yalnızca −2-2 olduğundan g′(−2)=0g'(-2) = 0 olur. Dolayısıyla f′(x)=0f'(x) = 0 denklemini sağlayan değerler 2x−3=0  ⟹  x=1,52x - 3 = 0 \implies x = 1,5 ile x2−3x=−2  ⟹  x=1x^2 - 3x = -2 \implies x = 1 ve x=2x = 2 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde bu üç değerin de tek katlı kök olduğu ve türevin işaretini değiştirdiği görülür. Bu nedenle her üçü de yerel ekstremum noktalarının apsisleridir. Çarpımları ise 1⋅1,5⋅2=31 \cdot 1,5 \cdot 2 = 3 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayın.
f′(x)=(2x−3)⋅g′(x2−3x)f'(x) = (2x - 3) \cdot g'(x^2 - 3x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (g(u))′=u′⋅g′(u)(g(u))' = u' \cdot g'(u) şeklindedir.
2
Türevi sıfır yapan kritik noktaları belirleyin.
2x−3=0  ⟹  x=322x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} ve g′(x2−3x)=0g'(x^2 - 3x) = 0 denklemleri elde edilir.
Yerel ekstremum noktaları türevi sıfır yapan veya türevin tanımlı olmadığı noktalarda aranır.
3
gg fonksiyonunun tek yerel ekstremum noktasının apsisi olan −2-2 değerini kullanarak g′(x2−3x)=0g'(x^2 - 3x) = 0 denklemini çözün.
x2−3x=−2  ⟹  x2−3x+2=0  ⟹  (x−1)(x−2)=0  ⟹  x=1x^2 - 3x = -2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2) = 0 \implies x = 1 veya x=2x = 2 elde edilir.
gg fonksiyonunun türevlenebilir olduğu ve tek yerel ekstremum noktasının apsisinin −2-2 olduğu bilgisi, g′(u)=0  ⟺  u=−2g'(u) = 0 \iff u = -2 olduğunu gösterir.
4
Kritik noktaların türevin işaretini değiştirip değiştirmediğini kontrol edin ve apsislerin çarpımını hesaplayın.
x=1x = 1, x=32x = \frac{3}{2} ve x=2x = 2 noktalarının her birinde f′(x)f'(x) işaret değiştirir. Apsisler çarpımı: 1⋅32⋅2=31 \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 bulunur.
Türevin tek katlı köklerinde fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanlıktan artanlığa geçişi gerçekleştiği için bu noktaların tümü yerel ekstremum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi ve yerel ekstremum noktalarının bulunması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2323Soru →

gg ve hh, x=2x = 2 noktasında türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere,

g(2)=5h(2)=6h′(2)=−1\begin{aligned} g(2) &= 5 \\ h(2) &= 6 \\ h'(2) &= -1 \end{aligned}

eşitlikleri verilmektedir.
f(x)=(x2−2x)⋅g(x)+h(x)xf(x) = (x^2 - 2x) \cdot g(x) + \frac{h(x)}{x}

şeklinde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Türevlenebilir iki fonksiyonun toplam, çarpım ve bölüm türev kuralları kullanılarak x = 2 noktasındaki türevi hesaplandığında sonuç 8 olarak bulunur.
Toplam, çarpım ve bölüm kuralları yardımıyla f'(x) türev fonksiyonu oluşturulup x = 2 değeri yazıldığında, g'(2) ifadesinin katsayısı 0 olduğundan bu terim elenir ve verilen diğer değerlerle f'(2) değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevini almak için toplam, çarpım ve bölüm kurallarını uygulayal��m.
f'(x) = (2x - 2) * g(x) + (x^2 - 2x) * g'(x) + (h'(x) * x - h(x)) / x^2
Toplamın türevi türevlerin toplamına eşittir. Birinci terim için çarpım kuralı (u * v)' = u' * v + u * v', ikinci terim için ise bölüm kuralı (u / v)' = (u' * v - u * v') / v^2 uygulanır.
2
Elde ettiğimiz türev fonksiyonunda x yerine 2 yazalım.
f'(2) = (2*2 - 2) * g(2) + (2^2 - 2*2) * g'(2) + (h'(2) * 2 - h(2)) / 2^2
f'(2) değerini elde etmek için türev fonksiyonunun kuralında x değişkeni yerine 2 sayısı yazılır.
3
Verilen g(2) = 5, h(2) = 6 ve h'(2) = -1 değerlerini yerine koyarak hesaplamayı tamamlayalım.
f'(2) = 2 * 5 + 0 * g'(2) + (-1 * 2 - 6) / 4 = 10 - 2 = 8
x = 2 noktasında x^2 - 2x ifadesi 0 değerini aldığından g'(2) değerine ihtiyaç duyulmaz. Bölüm türevi kısmından gelen terim -2, çarpım türevi kısmından gelen terim 10 olur ve toplamları 8'i verir.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları kullanılarak çarpım ve bölüm durumundaki fonksiyonların türevlerinin hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2324Soru →

Koordinat düzleminde x=2−y2x = 2 - y^2 eğrisi ile x+y=0x + y = 0 doğrusunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

Eğriler arasında kalan kapalı bölgenin alanı 4,5 birimkaredir.
Verilen parabol ile doğrunun y eksenine göre kesim noktaları y = -1 ve y = 2 olarak hesaplanır. Bu sınırlar arasında sağda kalan parabol denkleminden solda kalan doğru denklemi çıkarılıp integral alındığında alan 4,5 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını (integrasyon sınırlar��nı) belirlemek için denklemleri birbirine eşitleriz.
y2−y−2=0  ⟹  y=2y^2 - y - 2 = 0 \implies y = 2 ve y=−1y = -1 bulunur.
Bölgenin y ekseni boyunca sınırlarını bulmak için kesim noktalarının y koordinatlarına ihtiyacımız vardır.
2
Sağdaki eğriden soldaki eğriyi çıkararak alanı veren belirli integrali kurarız.
A=∫−12((2−y2)−(−y))dy=∫−12(2−y2+y)dyA = \int_{-1}^{2} \left( (2 - y^2) - (-y) \right) dy = \int_{-1}^{2} (2 - y^2 + y) dy elde edilir.
y eksenine göre alan hesaplanırken integral sınırları arasında sağda kalan fonksiyondan solda kalan fonksiyon çıkarılır.
3
İntegrali hesaplar ve sınırları yerine koyarak alanı buluruz.
A=[2y−y33+y22]−12=103−(−76)=276=4,5A = \left[ 2y - \frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} \right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = 4,5 birimkare.
Belirli integralin değerini hesaplayarak sınırlı bölgenin alanın�� bulmuş oluruz.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın y eksenine göre integral alınarak hesaplanması

Alternatif Yöntem

Bir parabol ile doğrunun kesim noktalarının y koordinatları y_1 ve y_2 ise, aralarında kalan alan pratik olarak A = (1/6) * |a| * (y_2 - y_1)^3 formülüyle hesaplanabilir. Burada a, parabolün y^2 teriminin katsayısıdır. Kökler farkı y_2 - y_1 = 2 - (-1) = 3 ve |a| = 1 olduğundan, Alan = (1/6) * 1 * 3^3 = 27/6 = 4,5 birimkare olarak saniyeler içinde bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2325Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−22f(x) dx=12\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 12
ve her xx gerçel sayısı için
f(x)−f(−x)=8x3−6xf(x) - f(-x) = 8x^3 - 6x
olduğuna göre,
∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İntegralin doğru değeri 16'dır.
Doğru cevap olan 16 değeri, belirli integralin parçalama özelliği ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin (A+B=12A + B = 12 ve B−A=20B - A = 20) doğru bir şekilde çözülmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin parçalama özelliğini kullanarak sınırları bölelim.
∫−22f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫02f(x) dx=12\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 12 denklemi elde edilir.
[−2,2][-2, 2] aralığındaki integrali simetri ekseni olan x=0x = 0 noktasına göre iki alt aralığa ayırmak çözümü kolaylaştırır.
2
Verilen f(x)−f(−x)=8x3−6xf(x) - f(-x) = 8x^3 - 6x eşitliğinin her iki tarafını [0,2][0, 2] aralığında integre edelim.
∫02f(x) dx−∫02f(−x) dx=∫02(8x3−6x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(-x) \, dx = \int_{0}^{2} (8x^3 - 6x) \, dx olur. Sağ tarafın integrali alındığında:
[2x4−3x2]02=(2⋅16−3⋅4)−0=20\left[ 2x^4 - 3x^2 \right]_{0}^{2} = (2 \cdot 16 - 3 \cdot 4) - 0 = 20 bulunur.
Verilen fonksiyonel ilişkiyi belirli integral sınırlarına taşıyarak iki farklı integral terimi arasında bir denklem elde etmek.
3
∫02f(−x) dx\int_{0}^{2} f(-x) \, dx integralinde değişken değiştirme uygulayalım.
u=−xu = -x dönüşümü yapılırsa du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar ise x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=2  ⟹  u=−2x = 2 \implies u = -2 olarak güncellenir. Bu durumda:
∫02f(−x) dx=∫0−2f(u)(−du)=∫−20f(u) du=∫−20f(x) dx\int_{0}^{2} f(-x) \, dx = \int_{0}^{-2} f(u) (-du) = \int_{-2}^{0} f(u) \, du = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx elde edilir.
f(−x)f(-x) terimini pozitif değişkenli f(x)f(x) cinsinden yazarak ilk adımda parçaladığımız integrallerle ilişkilendirmek.
4
Bulunan denklemleri bir araya getirerek denklem sistemini çözelim.
∫−20f(x) dx=A\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = A ve ∫02f(x) dx=B\int_{0}^{2} f(x) \, dx = B tanımlayalım. Birinci adımdan A+B=12A + B = 12 ve ikinci adımdan B−A=20B - A = 20 elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa topladığımızda:
2B=32  ⟹  B=162B = 32 \implies B = 16 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözerek bizden istenen ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx integralinin değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Belirli integralin sınır değiştirme ve parçalama özellikleri ile değişken değiştirme yöntemi.
Soru 2326Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3x2−6xf(x) = 3x^2 - 6x fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=3x = 3 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Toplam alan hesaplanırken fonksiyonun xx-ekseninin altında kaldığı [0,2][0, 2] aralığındaki integralinin negatifi alınarak alan değeri pozitif yapılır ve üstünde kaldığı [2,3][2, 3] aralığındaki integral değeri ile toplanır. Bu durumda toplam alan 4+4=84 + 4 = 8 birimkare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun xx-eksenini kestiği noktaları (köklerini) bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözeriz.
3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=03x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 denklemi çözüldüğünde x=0x = 0 ve x=2x = 2 kökleri elde edilir.
Fonksiyonun hangi aralıklarda xx-ekseninin altında (negatif) veya üstünde (pozitif) kaldığını belirlemek için kökleri bulmamız gerekir.
2
İntegral sınırlarını belirleriz.
[0,2][0, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan alan S1=∫02−f(x) dxS_1 = \int_{0}^{2} -f(x) \, dx olur. [2,3][2, 3] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan alan S2=∫23f(x) dxS_2 = \int_{2}^{3} f(x) \, dx olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken belirli integralin değeri negatif çıkacağı için önüne eksi işareti konulmalıdır.
3
Belirli integralleri ayrı ayrı hesaplarız.
S1=∫02(−3x2+6x) dx=[−x3+3x2]02=−8+12=4S_1 = \int_{0}^{2} (-3x^2 + 6x) \, dx = [-x^3 + 3x^2]_0^2 = -8 + 12 = 4 birimkare olarak bulunur. S2=∫23(3x2−6x) dx=[x3−3x2]23=(27−27)−(8−12)=4S_2 = \int_{2}^{3} (3x^2 - 6x) \, dx = [x^3 - 3x^2]_2^3 = (27 - 27) - (8 - 12) = 4 birimkare olarak bulunur.
Her bir alt aralıktaki alan değerini integral alma kurallarını uygulayarak hesaplarız.
4
Bulunan alan değerlerini toplayarak toplam alanı elde ederiz.
Toplam Alan = S1+S2=4+4=8S_1 + S_2 = 4 + 4 = 8 birimkare bulunur.
Toplam alan, her iki bölgenin alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplama.
Soru 2327Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede yer alan y=8xy = \frac{8}{x} eğrisine üzerindeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının uzunluğu en az kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Teğet doğrusunun koordinat eksenleri arasında kalan parçasının en kısa uzunluğu 8 birimdir.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uzunluğunu veren fonksiyon L(a)=4a2+256a2L(a) = \sqrt{4a^2 + \frac{256}{a^2}} şeklindedir. Bu fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen a=22a = 2\sqrt{2} değeri fonksiyonda yerine yazıldığında en kısa uzunluk 64=8\sqrt{64} = 8 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet noktasını belirleme ve türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini bulma
Teğet noktası P(a,8a)P(a, \frac{8}{a}) ve teğet doğrusunun eğimi m=−8a2m = -\frac{8}{a^2} olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemini oluşturabilmek için öncelikle eğrinin üzerindeki bir noktayı ve bu noktadaki türev değerini kullanarak eğimi bulmamız gerekir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazma
Doğru denklemi y=−8a2x+16ay = -\frac{8}{a^2}x + \frac{16}{a} şeklinde elde edilir.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü olan y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) kullanılarak teğetin denklemi oluşturulur.
3
Teğet doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulma
y-eksenini kestiği nokta A(0,16a)A(0, \frac{16}{a}) ve x-eksenini kestiği nokta B(2a,0)B(2a, 0) olarak bulunur.
Teğet doğrusunun eksenler arasında kalan parçasının uç noktalarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Eksenler arasında kalan parçanın uzunluk fonksiyonunu tanımlama
Uzunluğun karesi L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} olarak ifade edilir.
A ve B noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülü (Pisagor teoremi) uygulanır.
5
Uzunluk fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı bulma
8a−512a3=08a - \frac{512}{a^3} = 0 denklemi çözülerek a=22a = 2\sqrt{2} kritik noktası elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (maksimum/minimum) değerlerini bulmak için türevi sıfıra eşitlenir.
6
Kritik noktayı fonksiyon yerine yazarak en küçük uzunluk değerini hesaplama
L2=64  ⟹  L=8L^2 = 64 \implies L = 8 olarak hesaplanır.
Bulunan kritik değer fonksiyon yerine yazılarak en küçük uzunluk değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum problemlerinin çözümü ve türevin geometrik yorumu

Alternatif Yöntem

Aritmetik ve Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak türev almadan da bu problem çözülebilir. L2=4a2+256a2L^2 = 4a^2 + \frac{256}{a^2} ifadesinde terimlerin her ikisi de pozitif olduğundan AGO eşitsizliğine göre: 4a2+256a2≥24a2⋅256a2=21024=644a^2 + \frac{256}{a^2} \geq 2\sqrt{4a^2 \cdot \frac{256}{a^2}} = 2\sqrt{1024} = 64 olur. Buradan L2≥64  ⟹  L≥8L^2 \geq 64 \implies L \geq 8 bulunur. Eşitlik durumu 4a2=256a2  ⟹  a4=64  ⟹  a=224a^2 = \frac{256}{a^2} \implies a^4 = 64 \implies a = 2\sqrt{2} için sağlanır. Dolayısıyla en küçük uzunluk 8 birimdir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2328Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu için
g(1)=3g(1) = 3
g′(1)=−2g'(1) = -2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
f(x)=x2⋅g(x)x−2f(x) = \frac{x^2 \cdot g(x)}{x - 2}
biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için f′(1)f'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

-7
Verilen fonksiyonun türevini hesaplamak için bölüm türevi formülü uygulanır. Pay kısmındaki çarpım ifadesi için de çarpım türevi kuralı kullanılarak payın türevi 2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x) olarak belirlenir. x=1x = 1 noktasında bu ifadeler ve g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=−2g'(1) = -2 değerleri yerine yazıldığında payın türevi 44, paydanın türevi 11 ve paydanın kendisi −1-1 olur. Buradan bölüm türevi formülü uygulandığında doğru sonuç −7-7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak f′(x)f'(x) ifadesini genel formda yazalım.
f′(x)=[x2⋅g(x)]′⋅(x−2)−[x2⋅g(x)]⋅(x−2)′(x−2)2f'(x) = \frac{[x^2 \cdot g(x)]' \cdot (x - 2) - [x^2 \cdot g(x)] \cdot (x - 2)'}{(x - 2)^2}
Bölüm durumundaki fonksiyonların türevi alınırken (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} kuralı uygulanmalıdır.
2
Pay kısmında yer alan çarpım durumundaki x2⋅g(x)x^2 \cdot g(x) ifadesinin türevini çarpım kuralını kullanarak hesaplayalım.
[x2⋅g(x)]′=2x⋅g(x)+x2⋅g′(x)[x^2 \cdot g(x)]' = 2x \cdot g(x) + x^2 \cdot g'(x)
İki fonksiyonun çarpımının türevi (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv' kuralı ile bulunur.
3
Elde edilen türev ifadesinde x=1x = 1 değerini ve verilen g(1)=3g(1) = 3, g′(1)=−2g'(1) = -2 değerlerini yerine yazarak f′(1)f'(1) değerini hesaplayalım.
f′(1)=[2(1)g(1)+12g′(1)]⋅(1−2)−[12g(1)]⋅1(1−2)2=[2(3)+(−2)]⋅(−1)−3(−1)2=4⋅(−1)−31=−7f'(1) = \frac{[2(1)g(1) + 1^2 g'(1)] \cdot (1 - 2) - [1^2 g(1)] \cdot 1}{(1 - 2)^2} = \frac{[2(3) + (-2)] \cdot (-1) - 3}{(-1)^2} = \frac{4 \cdot (-1) - 3}{1} = -7
Tüm türev bileşenleri bulunduktan sonra aranan noktadaki türev değerine ulaşmak için değerler yerine yazılıp aritmetik işlemler tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bölüm ve Çarpım Türev Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2329Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′(x)f'(x) olmak üzere, x≠1x \neq 1 için
f′(x)=3x3−x2−2xx−1−2f'(x) = \frac{3x^3 - x^2 - 2x}{x-1} - 2
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

İstenen f(3)f(3) değeri 27 olarak bulunur.
Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde f′(x)=3x2+2x−2f'(x) = 3x^2 + 2x - 2 elde edilir. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=x3+x2−2x+Cf(x) = x^3 + x^2 - 2x + C fonksiyonuna ulaşılır. f(2)=5f(2) = 5 koşulu kullanıldığında integral sabiti C=−3C = -3 olarak bulunur. Fonksiyon kuralı f(x)=x3+x2−2x−3f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 3 olduğundan, f(3)f(3) değeri 2727 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapılması
f′(x)=3x2+2x−2f'(x) = 3x^2 + 2x - 2 (her x∈Rx \in \mathbb{R} için)
Belirsiz integral alma kurallarını uygulamadan önce türev fonksiyonunun kuralını daha basit bir biçime getirmek gerekir. 3x3−x2−2x=x(3x2−x−2)=x(3x+2)(x−1)3x^3 - x^2 - 2x = x(3x^2 - x - 2) = x(3x+2)(x-1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. x≠1x \neq 1 için paydadaki x−1x-1 ifadesi sadeleşir ve f′(x)=x(3x+2)−2=3x2+2x−2f'(x) = x(3x+2) - 2 = 3x^2 + 2x - 2 elde edilir. Fonksiyon gerçel sayılarda türevlenebilir olduğundan bu eşitlik tüm gerçel sayılar için geçerlidir.
2
Türev fonksiyonunun belirsiz integralinin alınarak genel fonksiyon kuralının elde edilmesi
f(x)=x3+x2−2x+Cf(x) = x^3 + x^2 - 2x + C
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için her iki tarafın belirsiz integrali alınır. İntegral alma kuralları gereğince ∫(3x2+2x−2)dx=x3+x2−2x+C\int (3x^2 + 2x - 2) dx = x^3 + x^2 - 2x + C elde edilir. Burada CC integral sabitidir.
3
f(2)=5f(2) = 5 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan CC değerinin bulunması
C=−3C = -3
Fonksiyonun kuralında x=2x = 2 yazılarak verilen değere eşitlenir: f(2)=23+22−2(2)+C=5  ⟹  8+4−4+C=5  ⟹  8+C=5f(2) = 2^3 + 2^2 - 2(2) + C = 5 \implies 8 + 4 - 4 + C = 5 \implies 8 + C = 5 elde edilir. Buradan C=−3C = -3 bulunur. Böylece fonksiyon f(x)=x3+x2−2x−3f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 3 olarak belirlenir.
4
Elde edilen fonksiyon kuralında x=3x = 3 yazılarak f(3)f(3) değerinin hesaplanması
f(3)=27f(3) = 27
Bulunan f(x)=x3+x2−2x−3f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 3 fonksiyonunda xx yerine 33 yazıldığında f(3)=33+32−2(3)−3=27+9−6−3=27f(3) = 3^3 + 3^2 - 2(3) - 3 = 27 + 9 - 6 - 3 = 27 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabiti kullanılarak fonksiyonun kendisini elde etme.
Soru 2330Soru →

Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele 4 top çekiliyor.

Çekilen topların üzerindeki sayılar küçükten büyüğe doğru aa, bb, cc ve dd olarak sıralandığında;
b−a≥2ved−c≥2b - a \geq 2 \quad \text{ve} \quad d - c \geq 2
koşullarını sağlayan kaç farklı {a,b,c,d}\{a, b, c, d\} kümesi seçilebilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

Koşulları sağlayan 70 farklı küme seçilebilir.
Seçilen sayıların farkları arasındaki koşulları temsil eden değişkenler oluşturularak problem, negatif olmayan tam sayı denkleminin çözüm sayısını bulma (ayraç yöntemi) problemine dönüştürülmüştür. Bu yöntemle (84)=70\binom{8}{4} = 70 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Seçilecek elemanları küçükten büyüğe a<b<c<da < b < c < d olarak sıralayarak aralarındaki farklar üzerinden yeni değişkenler tanımlamak.
x1=a−1≥0x_1 = a - 1 \geq 0, x2=b−a−1≥0x_2 = b - a - 1 \geq 0, x3=c−b−1≥0x_3 = c - b - 1 \geq 0, x4=d−c−1≥0x_4 = d - c - 1 \geq 0 ve x5=10−d≥0x_5 = 10 - d \geq 0.
Topların numaralarının 1 ile 10 arasında olmasını ve aralarındaki sıralamayı kontrol altında tutmak.
2
Tanımlanan fark değişkenlerinin toplamını hesaplamak.
x1+x2+x3+x4+x5=6x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 6.
Değişkenlerin toplamının sınır değerlere bağlı sabit bir sayı verdiğini göstermek.
3
b−a≥2b - a \geq 2 ve d−c≥2d - c \geq 2 koşullarını değişkenler cinsinden yazıp değişken dönüşümü uygulamak.
x2≥1x_2 \geq 1 ve x4≥1x_4 \geq 1 koşullarını sağlamak için y2=x2−1≥0y_2 = x_2 - 1 \geq 0 ve y4=x4−1≥0y_4 = x_4 - 1 \geq 0 dönüşümü yapılır. Yeni denklem: x1+y2+x3+y4+x5=4x_1 + y_2 + x_3 + y_4 + x_5 = 4 olur.
Denklemi tüm değişkenlerin negatif olmayan tam sayılar (doğal sayılar) olduğu standart forma indirgemek.
4
Elde edilen denklemin doğal sayılardaki çözüm sayısını ayraç (tekrarlı kombinasyon) yöntemi ile hesaplamak.
(4+5−15−1)=(84)=70\binom{4 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{8}{4} = 70.
n=4n=4 özdeş nesneyi r=5r=5 farklı kutuya dağıtma probleminin çözümünü bulmak.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ve Ayraç Yöntemi (Tekrarlı Kombinasyon)
Soru 2331Soru →

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları toplamı 3 ile tam bölünür ve elemanlarının çarpımı bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

Seçilen 4 elemanının toplamı 3 ile tam bölünen ve çarpımı bir çift sayı olan alt küme sayısı 160'tır.
Toplamı 3 ile tam bölünen tüm 4 elemanlı alt kümelerin sayısı 165'tir. Bu kümeler arasından elemanlarının tamamı tek sayılardan oluşan (ve dolayısıyla çarpımları tek sayı olan) 5 küme çıkarıldığında, geriye kalan 160 alt kümenin elemanları toplamı 3'e tam bölünür ve en az bir çift sayı içerdiklerinden çarpımları çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını 3 ile bölümünden kalanlarına göre R0={3,6,9,12}R_0 = \{3, 6, 9, 12\}, R1={1,4,7,10}R_1 = \{1, 4, 7, 10\} ve R2={2,5,8,11}R_2 = \{2, 5, 8, 11\} olmak üzere üç gruba ayırıp eleman sayılarını belirlemek.
Her grupta 4 eleman bulunur (∣R0∣=∣R1∣=∣R2∣=4|R_0| = |R_1| = |R_2| = 4).
Seçilecek sayıların toplamının 3 ile bölümünden kalanı, bu sayıların kendi kalanlarının toplamı üzerinden analiz etmek için.
2
Toplamı 3 ile tam bölünen 4 elemanlı seçimlerin durumlarını (a,b,c)(a, b, c) şeklinde (sırasıyla R0,R1,R2R_0, R_1, R_2 gruplarından seçilen eleman sayıları) analiz edip kombinasyonlarını toplamak.
1 + 96 + 36 + 16 + 16 = 165 farklı seçim belirlenir.
a+b+c=4a+b+c = 4 ve b+2c≡0(mod3)b+2c \equiv 0 \pmod 3 koşullarını sağlayan durumları tek tek bulup kombinasyon sayılarını hesaplamak için.
3
Çarpımı tek sayı olan (yani tamamı tek sayılardan oluşan) ve toplamları 3 ile bölünen alt kümelerin sayısını hesaplamak.
5 farklı istenmeyen seçim bulunur.
Çarpımın çift olması için en az bir çift sayının seçilmesi gerektiğinden, tüm elemanları tek olan istenmeyen durumları tüm durumlardan çıkarmak için.
4
Toplam durum sayısından, sadece tek sayılardan oluşan istenmeyen durum sayısını çıkarmak.
165 - 5 = 160.
İstenen koşulları sağlayan (toplamı 3'e bölünen ve en az bir çift sayı barındıran) alt küme sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Kalan Sınıfları Yardımıyla Sayma
Soru 2332Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarının her ikisi de x=ax = a noktasında süreksiz ise, (f+g)(f + g) toplam fonksiyonu da x=ax = a noktasında kesinlikle süreksizdir. Bu ifade matematiksel olarak doğru bir önerme midir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır (doğru bir önerme değildir).
Verilen önerme yanlıştır, çünkü bir noktada süreksiz olan iki fonksiyonun toplamı o noktada sürekli olabilir. Zıt yönlü sıçramalara sahip iki fonksiyonun toplamı bu sıçramaları birbirini sıfırlayacak şekilde nötrleyebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik ve süreksizlik tanımlarını belirlemek.
Bir fonksiyonun x=ax = a noktasında sürekli olması için o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Bu koşullardan en az birini sağlamayan fonksiyon süreksizdir.
Süreksiz iki fonksiyonun toplamının süreklilik durumunu incelemek için temel kriterleri belirlemek.
2
İfadenin her zaman doğru olmadığını göstermek için karşı örnek oluşturacak fonksiyonlar tasarlamak.
f(x)={1,x≥a−1,x<af(x) = \begin{cases} 1, & x \geq a \\ -1, & x < a \end{cases} ve g(x)={−1,x≥a1,x<ag(x) = \begin{cases} -1, & x \geq a \\ 1, & x < a \end{cases} fonksiyonları tanımlanır. Her iki fonksiyonun da x=ax = a noktasında sağ ve sol limitleri farklı olduğundan bu noktada süreksizdirler.
Her iki fonksiyonun da belirtilen noktada süreksiz olduğunu doğrulamak.
3
Bu iki fonksiyonun toplamını alarak toplam fonksiyonunun sürekliliğini incelemek.
(f+g)(x)=0(f+g)(x) = 0 sabit fonksiyonu elde edilir. Sabit fonksiyonlar tüm gerçek sayılar kümesinde sürekli olduğundan, toplam fonksiyonu x=ax = a noktasında süreklidir.
Süreksiz iki fonksiyonun toplamının sürekli olabileceğini göstererek önermenin yanlış olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Süreksiz iki fonksiyonun toplamının süreklilik durumu
Soru 2333Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 ve y=2−x2y = 2 - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölge, y=ax2y = ax^2 (a>1a > 1) parabolü ile eşit alanlı iki bölgeye ayrılmaktadır.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Doğru yanıt 7 değeridir.
Toplam alan 8/3 birimkare olarak bulunduktan sonra, iki bölgenin kesim noktası olan x=1/2x = 1/2 değeri kullanılarak alt bölgenin alanı toplam alanın yarısına (4/34/3) eşitlenir. Buradan parabolün katsayısı olan değer 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sınırlı bölgenin toplam alanını hesaplamak için iki parabolün kesim noktalarını buluruz.
x2=2−x2x^2 = 2 - x^2 denkleminden 2x2=22x^2 = 2 ve x=1x = 1 ile x=−1x = -1 sınır noktaları elde edilir.
İntegral sınırlarını belirlemek için sınır eğrilerinin kesişim noktaları bulunmalıdır.
2
Bu iki sınır arasında kalan toplam alanı belirli integral ile hesaplarız.
Toplam Alan (SS) = ∫−11((2−x2)−x2)dx=∫−11(2−2x2)dx=[2x−2x33]−11=83\int_{-1}^{1} ((2 - x^2) - x^2) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx = [2x - \frac{2x^3}{3}]_{-1}^{1} = \frac{8}{3} birimkare.
Bölgeyi ikiye bölen parabolün yapacağı alan paylaşımını bulabilmek için önce toplam alanın bilinmesi gerekir.
3
y = ax^2 parabolü ile y = 2 - x^2 parabolünün kesişim noktasın��n apsisini (x0x_0) buluruz.
ax02=2−x02ax_0^2 = 2 - x_0^2 denkleminden x0=2a+1x_0 = \sqrt{\frac{2}{a+1}} elde edilir.
Yeni parabolün bölgeyi hangi apsis değerinde kestiğini bularak integral sınırlarını güncellememiz gerekir.
4
Bölgenin simetrik yapısını kullanarak x=0x = 0 ile x=1x = 1 arasındaki alt bölgenin alanını toplam alanın yarısına (4/34/3) eşitleriz.
∫0x0(ax2−x2)dx+∫x01(2−2x2)dx=43\int_{0}^{x_0} (ax^2 - x^2) dx + \int_{x_0}^{1} (2 - 2x^2) dx = \frac{4}{3} denklemini kurarız.
y = ax^2 parabolü y = 2 - x^2 eğrisini x0x_0 noktasında kestiği için, bu noktadan sonra üst sınır y = 2 - x^2 eğrisi olur. Bu nedenle integral iki parça halinde yazılmalıdır.
5
İntegralleri hesaplayıp x0x_0 cinsinden ifade ederiz.
[(a−1)x33]0x0+[2x−2x33]x01=43⇒(a−1)x033+43−(2x0−2x033)=43⇒(a+1)x033−2x0+43=43[\frac{(a-1)x^3}{3}]_{0}^{x_0} + [2x - \frac{2x^3}{3}]_{x_0}^{1} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{(a-1)x_0^3}{3} + \frac{4}{3} - (2x_0 - \frac{2x_0^3}{3}) = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{(a+1)x_0^3}{3} - 2x_0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} elde edilir.
Alanı belirleyen cebirsel ifadeyi basitleştirmek.
6
x02=2a+1x_0^2 = \frac{2}{a+1} ilişkisini kullanarak denklemdeki aa değişkenini eleriz.
(a+1)x03=(a+1)x02⋅x0=2x0(a+1)x_0^3 = (a+1)x_0^2 \cdot x_0 = 2x_0 olur. Buradan 2x03−2x0+43=43⇒−4x03+43=43⇒x0=12\frac{2x_0}{3} - 2x_0 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow -\frac{4x_0}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow x_0 = \frac{1}{2} bulunur.
x0x_0 değerini doğrudan bulmak için aa ve x0x_0 arasındaki ilişkiyi yerine yazarız.
7
Bulduğumuz x0=1/2x_0 = 1/2 değerini kesişim denkleminde yerine yazıp aa değerini hesaplarız.
12=2a+1⇒14=2a+1⇒a+1=8⇒a=7\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{2}{a+1}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{2}{a+1} \Rightarrow a+1 = 8 \Rightarrow a = 7 elde edilir.
İstenen bilinmeyen katsayıyı bulmak.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Soru 2334Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
eşitliği verilmiştir.
Buna göre,
∫ee2f(ln⁡x)+f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x) + f(3 - \ln x)}{x} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen integral iki parçaya ayrılıp sırasıyla u=ln⁡xu = \ln x ve v=3−ln⁡xv = 3 - \ln x dönüşümleri yapıldığında, her iki integralin de sınırları güncellenerek ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx ifadesine dönüşür. Dolayısıyla her iki integralin değeri de 4 olur ve toplamları 8 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen integral ifadesini daha rahat incelemek için iki ayrı integralin toplamı şeklinde yazın.
∫ee2f(ln⁡x)x dx+∫ee2f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{f(3 - \ln x)}{x} \, dx elde edilir.
Her bir terimde yapılacak değişken değiştirme adımlarını bağımsız olarak yönetebilmek için.
2
Birinci integral olan ∫ee2f(ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} \, dx ifadesi için u=ln⁡xu = \ln x değişken değiştirmesini uygulayın.
du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur. Sınırlar ise x=ex = e için u=1u = 1 ve x=e2x = e^2 için u=2u = 2 olarak güncellenir. Bu durumda birinci integral ∫12f(u) du=4\int_{1}^{2} f(u) \, du = 4 haline gelir.
Logaritmik ifadeyi doğrusal bir değişkene dönüştürmek ve soruda verilen integral değerini kullanabilmek için.
3
İkinci integral olan ∫ee2f(3−ln⁡x)x dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(3 - \ln x)}{x} \, dx ifadesi için v=3−ln⁡xv = 3 - \ln x değişken değiştirmesini uygulayın.
dv=−1x dx⇒1x dx=−dvdv = -\frac{1}{x} \, dx \Rightarrow \frac{1}{x} \, dx = -dv olur. Sınırlar ise x=ex = e için v=3−1=2v = 3 - 1 = 2 ve x=e2x = e^2 için v=3−2=1v = 3 - 2 = 1 olarak güncellenir.
İkinci terimdeki bileşke fonksiyon yapısını çözerek integrali hesaplanabilir hale getirmek için.
4
Elde edilen yeni sınırları ve diferansiyeli ikinci integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayın.
∫21f(v) (−dv)=∫12f(v) dv=4\int_{2}^{1} f(v) \, (-dv) = \int_{1}^{2} f(v) \, dv = 4 olarak bulunur.
Belirli integralde sınırların yer değiştirmesinin integrali eksi ile çarptığı özelliğini kullanarak integral değerini bulmak için.
5
Bulunan iki integral değerini toplayarak toplam integralin sonucuna ulaşın.
4+4=84 + 4 = 8 elde edilir.
İntegral toplam özelliğine göre parçalanan kısımların toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi
Soru 2335Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu her xx gerçel sayısı için

2x−1≤f(x)≤x22x - 1 \leq f(x) \leq x^2

eşitsizliğini sağlamaktadır.

Buna göre,

lim⁡x→1f(x)−1x2−1\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 1}{x^2 - 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Limitin değeri 1'dir.
Verilen eşitsizlikten 1 çıkarılıp x2−1x^2-1 ifadesine bölündüğünde, x→1+x \to 1^+ ve x→1−x \to 1^- durumları için Sıkıştırma Teoremi uygulandığında limit 1 olarak bulunur. Dolayısıyla limit değeri 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Sıkıştırma Teoremi yardımıyla fonksiyonun x = 1 noktasındaki limitini belirlemek.
lim⁡x→1f(x)=1\lim_{x \to 1} f(x) = 1
Her xx için 2x−1≤f(x)≤x22x - 1 \leq f(x) \leq x^2 verildiğinden, x→1x \to 1 için limit alındığında lim⁡x→1(2x−1)=1\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 1 ve lim⁡x→1x2=1\lim_{x \to 1} x^2 = 1 olur. Bu durumda sıkıştırma teoremi gereği lim⁡x→1f(x)=1\lim_{x \to 1} f(x) = 1 olur. Dolayısıyla aranan limit ifadesinde 00\frac{0}{0} belirsizli��i vardır.
2
Eşitsizliği aranan limit ifadesinin pay kısmını elde edecek şekilde düzenlemek.
2(x−1)≤f(x)−1≤(x−1)(x+1)2(x - 1) \leq f(x) - 1 \leq (x - 1)(x + 1)
2x−1≤f(x)≤x22x - 1 \leq f(x) \leq x^2 eşitsizliğinin her tarafından 1 çıkarıldığında 2x−2≤f(x)−1≤x2−12x - 2 \leq f(x) - 1 \leq x^2 - 1 elde edilir. Çarpanlara ayırma yapıldığında 2(x−1)≤f(x)−1≤(x−1)(x+1)2(x - 1) \leq f(x) - 1 \leq (x - 1)(x + 1) yazılabilir.
3
x→1+x \to 1^+ ve x→1−x \to 1^- durumları için sağdan ve soldan limitleri incelemek.
Sağdan limit: lim⁡x→1+f(x)−1x2−1=1\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - 1}{x^2 - 1} = 1, Soldan limit: lim⁡x→1−f(x)−1x2−1=1\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - 1}{x^2 - 1} = 1
x→1+x \to 1^+ için x2−1>0x^2 - 1 > 0 olduğundan eşitsizlik her tarafı x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1) ile bölündüğünde yön değiştirmez ve 2x+1≤f(x)−1x2−1≤1\frac{2}{x+1} \leq \frac{f(x)-1}{x^2-1} \leq 1 olur; x→1+x \to 1^+ iken 2x+1→1\frac{2}{x+1} \to 1 olduğundan limit 1'dir. x→1−x \to 1^- için x2−1<0x^2 - 1 < 0 olduğundan bölme işleminde eşitsizlik yön değiştirir ve 1≤f(x)−1x2−1≤2x+11 \leq \frac{f(x)-1}{x^2-1} \leq \frac{2}{x+1} olur; x→1−x \to 1^- iken de limit 1'dir. Sağ ve sol limitler eşit olduğundan limit 1'dir.

Anahtar Kavram

Sıkıştırma (Sandviç) Teoremi ve limit hesaplama teknikleri
Soru 2336Soru →

Tüm gerçel sayılarda sürekli olan bir ff fonksiyonu

f(x)={3x2+1,x<12x+a,x≥1f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 1, & x < 1 \\ 2x + a, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

∫−12f(∣x∣) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Sürekli fonksiyonun kuralları ve mutlak değer özelliği kullan��larak hesaplanan belirli integralin değeri 9'dur.
Fonksiyonun sürekliliği kullanılarak a = 2 bulunur. Mutlak değer tanımından dolayı integral [-1, 0] ve [0, 2] aralıklarına bölünür. Bu aralıklarda fonksiyonun ilgili kuralları uygulanarak elde edilen integral değerleri toplanır ve doğru sonuç 9 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sürekliliğini kullanarak aa sabitini bulunuz.
a=2a = 2
ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan x=1x = 1 kritik noktasında da süreklidir. Bu nedenle sağdan ve soldan limitleri eşit olmalıdır: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)  ⟹  3(1)2+1=2(1)+a  ⟹  4=2+a  ⟹  a=2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 3(1)^2 + 1 = 2(1) + a \implies 4 = 2 + a \implies a = 2 elde edilir.
2
İntegrali mutlak değerin içi sıfır olan x=0x = 0 noktasına göre iki parçaya ayırınız.
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(−x) dx+∫02f(x) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(-x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx
x<0x < 0 için ∣x∣=−x|x| = -x ve x≥0x \ge 0 için ∣x∣=x|x| = x olduğundan integral bu kritik noktaya göre ikiye bölünür.
3
[−1,0][-1, 0] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫−10(3x2+1) dx=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = 2
x∈[−1,0]x \in [-1, 0] aralığında ∣x∣=−x|x| = -x olur. Bu durumda −x∈[0,1]-x \in [0, 1] olacağından fonksiyonun 11'den küçük değerler için geçerli olan kuralı kullanılır: f(−x)=3(−x)2+1=3x2+1f(-x) = 3(-x)^2 + 1 = 3x^2 + 1. İntegral hesaplandığında: ∫−10(3x2+1) dx=[x3+x]−10=0−(−1−1)=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = [x^3 + x]_{-1}^0 = 0 - (-1 - 1) = 2 bulunur.
4
[0,2][0, 2] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫02f(x) dx=7\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 7
x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığı, fonksiyonun kural değiştirdiği x=1x = 1 noktasına göre bölünür: ∫01(3x2+1) dx+∫12(2x+2) dx=[x3+x]01+[x2+2x]12=2+(8−3)=7\int_{0}^{1} (3x^2 + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (2x + 2) \, dx = [x^3 + x]_0^1 + [x^2 + 2x]_1^2 = 2 + (8 - 3) = 7 elde edilir.
5
Bulunan iki integral değerini toplayarak sonucu bulunuz.
9
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(∣x∣) dx+∫02f(∣x∣) dx=2+7=9\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(|x|) \, dx + \int_{0}^{2} f(|x|) \, dx = 2 + 7 = 9 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı sürekli fonksiyonlerin belirli integrali ve mutlak değer içeren integral özellikleri
Soru 2337Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| fonksiyonunun grafiği ile y=3y = 3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 8 birimkaredir.
Sınırlı bölgenin alanı, üstteki doğru olan y=3y = 3 ile alttaki eğri olan y=∣x2−1∣y = |x^2 - 1| arasındaki farkın [−2,2][-2, 2] aralığındaki belirli integraline eşittir. Bu integral simetri kullanılarak iki parçaya ayrılıp hesaplandığında sonuç 8 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarını bulma
x=−2x = -2 ve x=2x = 2
Entegrasyon sınırlarını belirlemek için ∣x2−1∣=3|x^2 - 1| = 3 denklemi çözülür. x2−1=3  ⟹  x2=4  ⟹  x=±2x^2 - 1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 elde edilir. Diğer durum olan x2−1=−3x^2 - 1 = -3 denkleminin gerçel kökü yoktur.
2
Simetriyi kullanarak integrali basitleştirme
Alan=2∫02(3−∣x2−1∣) dxAlan = 2 \int_{0}^{2} (3 - |x^2 - 1|) \, dx
f(x)=∣x2−1∣f(x) = |x^2 - 1| ve y=3y = 3 fonksiyonları çift fonksiyonlar olduğundan, grafikler yy-eksenine göre simetriktir. Bu yüzden alan [−2,2][-2, 2] aralığı yerine [0,2][0, 2] aralığında hesaplanıp 2 ile çarpılabilir.
3
İntegrali kritik noktaya göre parçalama
Alan=2(∫01(3−(1−x2)) dx+∫12(3−(x2−1)) dx)Alan = 2 \left( \int_{0}^{1} (3 - (1 - x^2)) \, dx + \int_{1}^{2} (3 - (x^2 - 1)) \, dx \right)
x2−1=0  ⟹  x=1x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 noktası mutlak değerin kritik noktasıdır. [0,1][0, 1] aralığında x2−1≤0x^2 - 1 \le 0 olduğundan ∣x2−1∣=1−x2|x^2 - 1| = 1 - x^2 olur. [1,2][1, 2] aralığında ise ∣x2−1∣=x2−1|x^2 - 1| = x^2 - 1 olur.
4
Belirli integralleri hesaplama
Birinci parça için 73\frac{7}{3}, ikinci parça için 53\frac{5}{3}
∫01(2+x2) dx=[2x+x33]01=73\int_{0}^{1} (2 + x^2) \, dx = \left[ 2x + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{7}{3} ve ∫12(4−x2) dx=[4x−x33]12=(8−83)−(4−13)=53\int_{1}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(4 - \frac{1}{3}\right) = \frac{5}{3} olarak hesaplanır.
5
Toplam alanı bulma
8
Alan=2×(73+53)=2×123=8Alan = 2 \times \left( \frac{7}{3} + \frac{5}{3} \right) = 2 \times \frac{12}{3} = 8 birimkare bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral alınır. Mutlak değerli ifadelerde integral sınırları kritik noktalara göre parçalanmalıdır.
Soru 2338Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=5\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 5
∫36f(x) dx=8\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫25[2f(x−1)−f(x+1)] dx\int_{2}^{5} [2f(x-1) - f(x+1)] \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İntegralin doğru değeri 2'dir.
Verilen integral, belirli integralin özellikleri ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak iki ayrı integrale bölünür. İlk kısımda yapılan dönüşümle sınırlar [1, 4] aralığına, ikinci kısımda ise [3, 6] aralığına taşınır. Bu aralıklardaki integral değerleri soruda sırasıyla 5 ve 8 olarak verilmiştir. Katsayılar ve çıkarma işlemi uygulandığında sonuç 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan ∫252f(x−1) dx\int_{2}^{5} 2f(x-1) \, dx integrali için değişken değiştirme uygulamak.
u=x−1u = x-1 dönüşümü yapılır. Buradan du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellenir: x=2x=2 için u=1u=1 ve x=5x=5 için u=4u=4 elde edilir. Böylece integral 2∫14f(u) du2 \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
2
İkinci terim olan ∫25f(x+1) dx\int_{2}^{5} f(x+1) \, dx integrali için değişken değiştirme uygulamak.
v=x+1v = x+1 dönüşümü yapılır. Buradan dv=dxdv = dx olur. Sınırlar güncellenir: x=2x=2 için v=3v=3 ve x=5x=5 için v=6v=6 elde edilir. Böylece integral ∫36f(v) dv\int_{3}^{6} f(v) \, dv haline gelir.
Belirli integralde sınırları ve diferansiyeli yeni değişkene göre ifade etmek integralin değerini bulmamızı sağlar.
3
Verilen integral değerlerini yerlerine yazarak sonucu hesaplamak.
∫14f(x) dx=5\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 5 olduğundan ilk kısım 2×5=102 \times 5 = 10 olur. ∫36f(x) dx=8\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 8 olduğundan ikinci kısım 88 olur. Sonuç olarak 10−8=210 - 8 = 2 elde edilir.
İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak terimlerin farkı alınır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve sınırların güncellenmesi.
Soru 2339Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu çift fonksiyon olup her xx gerçel sayısı için
f(x+4)=f(x)f(x+4) = f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(2x) dx=3\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = 3
∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4
olduğuna göre,
∫25f(3−2x) dx\int_{2}^{5} f(3-2x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin doğru değeri 8'dir.
Doğru cevap olan 8 değeri; öncelikle u=2xu = 2x dönüşümüyle ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 değerinin bulunması, ardından çiftlik ve periyot özellikleri yardımıyla [0,4][0,4] aralığındaki simetrik dağılımın ve tam periyot integralinin (12) hesaplanması, son olarak t=3−2xt = 3-2x dönüşümüyle elde edilen 12∫17f(t) dt\frac{1}{2} \int_{1}^{7} f(t) \, dt integralinde periyot kaydırma yapılarak sonucun 12×(12+4)=8\frac{1}{2} \times (12 + 4) = 8 olarak bulunmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} dönüşümü yapılır. Sınırlar x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 olarak güncellenir. Buradan, ∫01f(2x) dx=∫02f(u)du2=3  ⟹  ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = \int_{0}^{2} f(u) \frac{du}{2} = 3 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 elde edilir.
Verilen integral ifadesini sadeleştirmek ve [0,2][0, 2] aralığındaki integral değerini bulmak için.
2
Fonksiyonun çiftlik ve periyodiklik özelliklerini kullanarak alt aralıklardaki integralleri hesaplayalım.
ff fonksiyonu çift ve periyodu 4 olduğundan, f(2−x)=f(2+x)f(2-x) = f(2+x) simetrisi mevcuttur. Bu durum ∫02f(x) dx=∫24f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 olmasını gerektirir. Buradan tüm periyot boyunca integral ∫04f(x) dx=6+6=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 6 + 6 = 12 olur. ∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4 verildiğinden, ∫12f(x) dx=6−4=2\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6 - 4 = 2 olur. Simetriden dolayı ∫23f(x) dx=2\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 2 ve ∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4 bulunur.
[0,4][0, 4] periyodu içerisindeki farklı alt aralıkların integral değerlerini belirleyip hedef integralde kullanabilmek için.
3
Sorulan integralde değişken değiştirme uygulanır ve sınırlar güncellenir.
∫25f(3−2x) dx\int_{2}^{5} f(3-2x) \, dx integralinde t=3−2x  ⟹  dt=−2 dx  ⟹  dx=−dt2t = 3-2x \implies dt = -2 \, dx \implies dx = -\frac{dt}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  t=−1x = 2 \implies t = -1 ve x=5  ⟹  t=−7x = 5 \implies t = -7 olur. İntegral: ∫−1−7f(t)(−dt2)=12∫−7−1f(t) dt\int_{-1}^{-7} f(t) \left(-\frac{dt}{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{-7}^{-1} f(t) \, dt şeklini alır.
İntegrali ff fonksiyonunun tanım kümesindeki değişkenine indirgemek için.
4
Periyodiklik özelliğini kullanarak sınırları pozitif aralığa taşıyalım ve nihai değeri hesaplayalım.
Periyot 4 olduğundan sınırları 8 birim sağa kaydırabiliriz: ∫−7−1f(t) dt=∫17f(t) dt\int_{-7}^{-1} f(t) \, dt = \int_{1}^{7} f(t) \, dt olur. Bu integral ∫15f(t) dt+∫57f(t) dt\int_{1}^{5} f(t) \, dt + \int_{5}^{7} f(t) \, dt olarak ayrılır. [1,5][1, 5] aralığı tam bir periyot olduğundan integral değeri 12'dir. [5,7][5, 7] aralığı ise periyodiklikten dolayı [1,3][1, 3] aralığına denktir: ∫57f(t) dt=∫13f(t) dt=∫12f(t) dt+∫23f(t) dt=2+2=4\int_{5}^{7} f(t) \, dt = \int_{1}^{3} f(t) \, dt = \int_{1}^{2} f(t) \, dt + \int_{2}^{3} f(t) \, dt = 2 + 2 = 4 olur. Toplam integral 12+4=1612 + 4 = 16 olup, sonuç 12×16=8\frac{1}{2} \times 16 = 8 bulunur.
Sınırları bilinen ve tanımlı aralıklara indirgeyerek sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralin değişken değiştirme, periyodiklik ve tek/çift fonksiyon simetrisi özelliklerinin birlikte kullanımı.
Soru 2340Soru →

Mantık dersinde iki öğrenci arasında şu tartışma gerçekleşir:

Canan: "Özne veya yükleminde 've', 'ile' gibi bağlaçlar bulunduran her önerme mantıksal olarak bileşiktir. Çünkü bu bağlaçlar doğrudan birden fazla yargının bir araya getirildiğini gösterir."

Deniz: "Bu düşünce her zaman doğru değildir. Bazı önermeler dil bilgisel olarak bu bağlaçları içerse de tek bir yargı bildirdikleri için mantıksal açıdan basit önerme kabul edilir."

Buna göre Deniz, tezini kanıtlamak için aşağıdaki önermelerden hangisini örnek olarak gösterebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Platon ve Aristoteles, felsefe tarihinde hoca-öğrenci ilişkisi içindedir.

Cevap

Platon ve Aristoteles'in felsefe tarihinde hoca-öğrenci ilişkisi içinde olduğunu bildiren önerme
Platon ve Aristoteles'in hoca-öğrenci ilişkisi içinde olduğunu bildiren önerme, iki terim arasındaki tek bir bağıntıyı ifade etmektedir. Bu önerme 'Platon hoca-öğrenci ilişkisi içindedir' ve 'Aristoteles hoca-öğrenci ilişkisi içindedir' şeklinde iki ayrı yargıya bölünemez; çünkü bu şekilde bölündüğünde anlam bütünlüğü bozularak yargı niteliği kaybolur. Dolayısıyla bu önerme, dil bilgisel olarak bağlaç içerse de mantıksal olarak tek bir yargı bildiren basit (bağıntılı) bir önermedir ve Deniz'in tezini doğrular.

Adım Adım Çözüm

1
Önermelerin yargı sayısını belirlemek amacıyla bileşenlerine ayrılıp ayrılamayacağını kontrol etmek.
Bağlaç içeren önermelerin her birinin ayrı birer bağımsız yargı bildirip bildirmediği incelenir.
Klasik mantıkta basit önermeler tek bir yargı bildirirken, bileşik önermeler birden fazla yargı içerir.
2
İki özne arasındaki karşılıklı bağıntıyı (ilişkiyi) bildiren seçeneği tespit etmek.
Platon ve Aristoteles arasındaki hoca-öğrenci ilişkisinin iki ayrı yargıya bölünemez tek bir durumu ifade ettiği görülür.
Bağıntılı önermeler, özneler arasındaki bölünemez bir ilişkiyi bildirdiğinden mantıksal olarak basit önerme grubuna girer.

Anahtar Kavram

Basit ve Bileşik Önerme Ayrımı ile Bağıntılı Önermelerin Yapısı
ÖncekiSayfa 117 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin