Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 221Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡2(π8+x)−sin⁡2(π8−x)=3210\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{3\sqrt{2}}{10}
olduğuna göre, 25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} ve sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} değerleri kullanılarak, yarım açı formülü yardımıyla 25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) ifadesinin değeri 24 olarak bulunur.
Verilen ifade iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde cos⁡(2x)⋅cos⁡(π/4)=32/10\cos(2x) \cdot \cos(\pi/4) = 3\sqrt{2}/10 denklemi elde edilir. Buradan cos⁡(2x)=3/5\cos(2x) = 3/5 bulunur. Tanımlanan bölgede sin⁡(2x)=4/5\sin(2x) = 4/5 olup, yarım açı formülüyle sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=24/25\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 24/25 bulunur. Sonuç olarak 25⋅sin⁡(4x)=2425 \cdot \sin(4x) = 24 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi iki kare farkı ve toplam-fark özdeşlikleri kullanarak sadeleştirmek
cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
İfadedeki terimlerin açılımını yaparak cos⁡(2x)\cos(2x) değerine ulaşmak
2
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplamak
sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5}
Yarım açı formülünde kullanılacak olan sinüs değerini elde etmek
3
Sinüs yarım açı formülünü uygulayarak sin⁡(4x)\sin(4x) değerini hesaplamak
sin⁡(4x)=2425\sin(4x) = \frac{24}{25}
İstenen ifadenin çarpanı olan sin⁡(4x)\sin(4x) değerini bulmak
4
25⋅sin⁡(4x)25 \cdot \sin(4x) işlemini gerçekleştirmek
24
Soruda sorulan nihai sayısal değere ulaşmak

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerinin trigonometrik sadeleştirmelerde ve değer hesaplamalarında uygulanması

Alternatif Yöntem

İkinci bir yol olarak, cos⁡(π8+x)\cos\left(\frac{\pi}{8} + x\right) ve sin⁡(π8−x)\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right) ifadeleri toplam-fark formülleriyle açılarak kareleri alınabilir. Kareler alındığında çapraz çarpım terimleri birbirini götürür ve geriye (cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2π8−sin⁡2π8)=cos⁡(2x)cos⁡π4(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}) = \cos(2x)\cos\frac{\pi}{4} kalır. Buradan da aynı şekilde çözüme ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 222Soru →

Dik koordinat düzleminde, OO başlangıç noktası olmak üzere, merkezil birim çember üzerindeki bir PP noktası için [OP][OP] doğru parçası xx-ekseninin pozitif yönüyle θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} radyarlık açı yapmaktadır. y=3y = \sqrt{3} doğrusu üzerindeki bir QQ noktası için OO, PP ve QQ noktaları doğrusaldır. Buna göre, QQ noktasının apsisi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} açısı üçüncü bölgede yer alır. Bu açının tanjant değeri tan⁡(7π6)=13\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} olduğundan, orijinden geçen doğrunun denklemi y=13xy = \frac{1}{\sqrt{3}}x olur. Q(x,3)Q(x, \sqrt{3}) noktası bu doğru üzerinde bulunduğundan, yy yerine 3\sqrt{3} yazıldığında 3=13x\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}x denkleminden x=3x = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
PP noktasını belirleyen θ=7π6\theta = \frac{7\pi}{6} açısının tanjantını hesaplayarak OPOP doğrusunun eğimini bulmak.
Eğim m=tan⁡(7π6)=13m = \tan\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}
Merkezil birim çember üzerindeki bir noktanın orijinle birleştirilmesiyle oluşan doğrunun eğimi, bu doğrunun xx-ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjantına eşittir.
2
OO, PP ve QQ noktalarının doğrusallığını kullanarak Q(x,3)Q(x, \sqrt{3}) noktası için doğru denklemini kurmak.
Doğru denklemi: y=13xy = \frac{1}{\sqrt{3}}x
Orijinden geçen ve eğimi mm olan doğrunun denklemi y=mxy = mx formundadır.
3
QQ noktasının yy-koordinatını (3\sqrt{3}) doğru denkleminde yerine yazarak xx-koordinatını (apsisini) bulmak.
x=3x = 3
QQ noktası bu doğru üzerinde yer aldığından koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki geometrik yorumu, standart açıların indirgenmesi ve doğrunun analitik incelenmesi.

Alternatif Yöntem

PP ve QQ noktalarının koordinatları oranından benzerlik veya eğim eşitliği kullanılarak bulunabilir. PP noktası birim çember üzerinde θ=7π/6\theta = 7\pi/6 açısına karşılık geldiğinden koordinatları P(cos⁡(7π/6),sin⁡(7π/6))=P(−32,−12)P(\cos(7\pi/6), \sin(7\pi/6)) = P(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}) olur. OO, PP ve QQ noktaları doğrusal olduğundan yPxP=yQxQ  ⟹  −1/2−3/2=3x  ⟹  13=3x  ⟹  x=3\frac{y_P}{x_P} = \frac{y_Q}{x_Q} \implies \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{x} \implies x = 3 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 223Soru →

Analitik düzlemde, y=−x2+ax−3y = -x^2 + ax - 3 parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu birbirine teğettir.

Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olmasını sağlayan farklı aa değerlerinin çarpımı −12-12 olur.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşitlendiğinde elde edilen aa değerleri −2-2 ve 66 olup, bu değerlerin çarpımı −12-12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde etmek.
x2+(2−a)x+4=0x^2 + (2-a)x + 4 = 0
Doğru ve parabolün ortak noktalarını incelemek amacıyla iki denklem birbirine eşitlenir.
2
Ortak çözüm denkleminin diskriminantını sıfıra eşitlemek.
(2−a)2−16=0(2-a)^2 - 16 = 0
Bir doğru ile bir parabolün birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit (Δ=0\Delta = 0) olması anlamına gelir.
3
Elde edilen denklemi çözerek aa sayısının alabileceği değerleri belirlemek.
a=−2a = -2 ve a=6a = 6
(2−a)2=16(2-a)^2 = 16 eşitliğinden 2−a2-a ifadesi 44 veya −4-4 olabilir.
4
Bulunan aa değerlerinin çarpımını hesaplamak.
−12-12
Soru kökünde bizden aa sayısının alabileceği değerlerin çarpımı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun birbirine teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması (Δ=0\Delta = 0).
Soru 224Soru →
x2−xy−y2=5x−2y=1\begin{aligned} x^2 - xy - y^2 &= 5 \\ x - 2y &= 1 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer 28'dir.
Denklem sistemindeki birinci dereceden denklem kullanılarak x=2y+1x = 2y + 1 elde edilir. Bu değer ikinci dereceden denklemde yerine yazıldığında y2+3y−4=0y^2 + 3y - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali (y+4)(y−1)=0(y + 4)(y - 1) = 0 olup kökleri y=1y = 1 ve y=−4y = -4'tür. Karşılık gelen xx değerleri sırasıyla 33 ve −7-7 olur. Çözüm ikililerinin çarpımları 3⋅1=33 \cdot 1 = 3 ve (−7)⋅(−4)=28(-7) \cdot (-4) = 28 olarak bulunur. Bu değerlerin en büyüğü 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci dereceden denklemden değişken çekme
x=2y+1x = 2y + 1
Yerine koyma metodunu uygulamak amacıyla linear denklemden xx yalnız bırakılır.
2
xx ifadesini ikinci dereceden denklemde yerine koyma
(2y+1)2−(2y+1)y−y2=5(2y + 1)^2 - (2y + 1)y - y^2 = 5
İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyenli bir denklem haline getirmek için.
3
Denklemi açma ve standart forma getirme
y2+3y−4=0y^2 + 3y - 4 = 0
Çarpanlarına ayırarak kökleri bulabilmek için denklemi sadeleştirip düzenlemek gerekir.
4
İkinci dereceden denklemin köklerini bulma
y=1y = 1 veya y=−4y = -4
(y+4)(y−1)=0(y + 4)(y - 1) = 0 çarpanlarına ayrılan denklemin köklerini bulmak için.
5
Bulunan yy değerlerine karşılık gelen xx değerlerini hesaplama
(3,1)(3, 1) ve (−7,−4)(-7, -4) çözüm ikilileri
Her bir yy değeri x=2y+1x = 2y + 1 eşitliğinde yazılarak çözüm kümesindeki ikililer oluşturulur.
6
Çarpımları hesaplayıp en büyüğünü belirleme
3⋅1=33 \cdot 1 = 3 ve (−7)⋅(−4)=28(-7) \cdot (-4) = 28 değerlerinden en büyüğü 28'dir.
Soruda istenen en büyük çarpım değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi.
Soru 225Soru →
log⁡34⋅log⁡45⋅log⁡56⋯log⁡n−1n=4\log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdots \log_{n-1} n = 4

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Eşitliği sağlayan nn değeri 81'dir.
Verilen zincirleme çarpımda taban değiştirme kuralı uygulandığında iç terimler birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca ilk terimin tabanı ile son terimin argümanı kalır. Bu durum log⁡3n=4\log_3 n = 4 eşitliğini verir. Logaritma tanımından n=34=81n = 3^4 = 81 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma taban değiştirme özelliğini kullanarak çarpımı sadeleştirin.
log⁡3n=4\log_3 n = 4
log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c zincir kuralı gereğince ardışık taban ve argümanlar birbirini sadeleştirir.
2
Elde edilen logaritmik denklemi üstel fonksiyona dönüştürün.
n=34n = 3^4
log⁡ax=y⇔x=ay\log_a x = y \Leftrightarrow x = a^y tanımı gereğince logaritma tabanı karşı tarafa üs tabanı olarak geçer.
3
343^4 üslü ifadesinin değerini hesaplayın.
n=81n = 81
Dört adet 3 sayısının çarpımı (3⋅3⋅3⋅33 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) 81 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Logaritmada taban değiştirme özelliği ve zincir kuralı
Soru 226Soru →
f(x)=12πarctan⁡(x2−4x+5)f(x) = \frac{12}{\pi} \arctan(x^2 - 4x + 5)

fonksiyonunun g��rüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonun görüntü kümesinde yer alan tam sayıların toplamı 12'dir.
Fonksiyonun görüntü kümesi [3,6)[3, 6) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar 3, 4 ve 5 olup toplamları 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki fonksiyonun en küçük değerini ve değer aralığını belirleme.
x2−4x+5x^2 - 4x + 5 ifadesinin alabileceği en küçük değer 1'dir ve değer aralığı [1,∞)[1, \infty) olur.
Arctan fonksiyonunun argümanının sınırlarını belirlemek için parabolün tepe noktasını kullandık.
2
Arctan fonksiyonunun değer sınırlarını hesaplama.
arctan⁡(x2−4x+5)\arctan(x^2 - 4x + 5) ifadesinin değer aralığı [π4,π2)[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) olur.
Arctan fonksiyonunun artan özelliğini ve sonsuzdaki limit değerini kullanarak sınırları belirledik.
3
Fonksiyonun katsayısını uygulayarak görüntü kümesini ve tam sayıların toplamını bulma.
Görüntü kümesi [3,6)[3, 6) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 12'dir.
Görüntü kümesindeki tam sayıları (3, 4 ve 5) belirleyip toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve limit değerlerinin parabolün tepe noktası ile birleştirilerek fonksiyonun görüntü kümesinin bulunması.
Soru 227Soru →
f(x)=arcsin⁡(2x−15)+arctan⁡(x−1)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) + \arctan\left(\sqrt{x-1}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, bileşenlerinin tanım kümelerinin kesişimidir. arcsin teriminden -2 <= x <= 3 ve köklü terimden x >= 1 koşulları elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi olan [1, 3] aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3 olup, bunların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin⁡(2x−15)\arcsin\left(\frac{2x-1}{5}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
−2≤x≤3-2 \le x \le 3
arcsin⁡(u)\arcsin(u) fonksiyonunun tanım kümesi [−1,1][-1, 1] aralığıdır. Dolayısıyla −1≤2x−15≤1-1 \le \frac{2x-1}{5} \le 1 olmalıdır. Buradan −5≤2x−1≤5⇒−4≤2x≤6⇒−2≤x≤3-5 \le 2x - 1 \le 5 \Rightarrow -4 \le 2x \le 6 \Rightarrow -2 \le x \le 3 elde edilir.
2
arctan⁡(x−1)\arctan\left(\sqrt{x-1}\right) ifadesinin tanımlı olması için gerekli koşulu belirleme.
x≥1x \ge 1
arctan⁡(u)\arctan(u) fonksiyonu tüm gerçel sayılar için tanımlıdır. Ancak x−1\sqrt{x-1} ifadesinin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içinin negatif olmaması, yani x−1≥0⇒x≥1x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 olması gerekir.
3
İki ifadenin tanım kümelerinin kesişimini alarak f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulma.
1≤x≤31 \le x \le 3
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu yüzden −2≤x≤3-2 \le x \le 3 ve x≥1x \ge 1 eşitsizliklerinin kesişimi alınır.
4
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini belirleme.
1, 2 ve 3
[1,3][1, 3] kapalı aralığındaki tam sayılar 1, 2 ve 3'tür.
5
Belirlenen tam sayıların toplamını hesaplama.
6
1, 2 ve 3 sayılarının toplamı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 eder.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonlardan arcsin(x) fonksiyonunun tanım kümesinin [-1, 1] aralığı olması ve fonksiyonların en geniş tanım kümelerinin kesişim yöntemiyle bulunması.
Soru 228Soru →

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları a=5 birima = 5\text{ birim}, b=8 birimb = 8\text{ birim} ve üçgenin alanı 103 birimkare10\sqrt{3}\text{ birimkare} olarak verilmektedir.

m(ACB^)<90∘m(\widehat{ACB}) < 90^\circ ve bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olduğuna göre, R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri 7'dir.
Üçgenin sinüslü alan formülü kullanılarak CC açısının sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} bulunur. Açı dar açı olduğu için 60∘60^\circ olarak belirlenir. Ardından Kosinüs Teoremi ile cc kenarı 7 birim olarak hesaplanır. Son olarak Sinüs Teoremi kullanılarak 2R=csin⁡(C)2R = \frac{c}{\sin(C)} bağıntısından çevrel çemberin yarıçapı R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} elde edilir ve buradan R3=7R\sqrt{3} = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin alan formülünü uygulayarak CC açısının sinüs değerini hesaplama.
sin⁡(ACB^)=32\sin(\widehat{ACB}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
Bir üçgenin alanı, iki kenarı ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
2
CC açısının dar açı olma koşuluna göre açının ölçüsünü derece cinsinden bulma.
m(ACB^)=60∘m(\widehat{ACB}) = 60^\circ
0∘<ACB^<90∘0^\circ < \widehat{ACB} < 90^\circ aralığında sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.
3
Kosinüs Teoremini uygulayarak cc kenarının uzunluğunu bulma.
c=7c = 7 birim
c2=a2+b2−2abcos⁡(ACB^)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{ACB}) formülünde bilinenler yerine yazılarak c2=25+64−2(5)(8)cos⁡(60∘)=89−40=49c^2 = 25 + 64 - 2(5)(8)\cos(60^\circ) = 89 - 40 = 49 elde edilir.
4
Sinüs Teoremini uygulayarak çevrel çemberin yarıçapı RR değerini ve R3R\sqrt{3} ifadesini hesaplama.
R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} ve R3=7R\sqrt{3} = 7
Sinüs Teoremine göre csin⁡(ACB^)=2R\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})} = 2R bağıntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi, Kosinüs Teoremi ve Sinüslü Alan Formülünün bir arada kullanılması.
Soru 229Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cot⁡x−tan⁡x=32\cot x - \tan x = \frac{3}{2}
olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.96

Cevap

0,96
Verilen cot⁡x−tan⁡x=32\cot x - \tan x = \frac{3}{2} ifadesi payda eşitleme ve yarım açı dönüşümleriyle 2cot⁡(2x)=322\cot(2x) = \frac{3}{2} biçimine getirilir. Buradan cot⁡(2x)=34\cot(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. Tanımlanan bölgeye göre 2x2x açısı birinci bölgededir. Birinci bölgedeki bu açıya ait dik üçgen çizildiğinde sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} bulunur. Son olarak sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) yarım açı formülü uygulandığında sin⁡(4x)=2⋅45⋅35=0,96\sin(4x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0,96 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
cot⁡x−tan⁡x\cot x - \tan x ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak payda eşitleyin.
cot⁡x−tan⁡x=2cot⁡(2x)=32\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = \frac{3}{2}
cot⁡x−tan⁡x=cos⁡xsin⁡x−sin⁡xcos⁡x=cos⁡2x−sin⁡2xsin⁡xcos⁡x=cos⁡(2x)12sin⁡(2x)=2cot⁡(2x)\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2\cot(2x) özdeşliği geçerlidir.
2
Eşitlikten cot⁡(2x)\cot(2x) değerini yalnız bırakın.
cot⁡(2x)=34\cot(2x) = \frac{3}{4}
2cot⁡(2x)=322\cot(2x) = \frac{3}{2} eşitliğinin her iki tarafı 2'ye bölünür.
3
2x2x açısının aralığını ve bu bölgedeki trigonometrik fonksiyon değerlerini bulun.
sin⁡(2x)=45\sin(2x) = \frac{4}{5} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olduğundan 2x∈(0,π2)2x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olur. Birinci bölgede tüm trigonometrik oranlar pozitiftir. Kotanjantı 34\frac{3}{4} olan bir dik üçgende karşı kenar 4, komşu kenar 3 ve hipotenüs 5 birimdir.
4
sin⁡(4x)\sin(4x) değerini yarım açı formülüyle hesaplayın.
sin⁡(4x)=0,96\sin(4x) = 0,96
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=2⋅45⋅35=2425=0,96\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} = 0,96 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri

Alternatif Yöntem

sin⁡(4x)\sin(4x) değerini, tan⁡(2x)=43\tan(2x) = \frac{4}{3} değerini bulduktan sonra doğrudan sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} formülünü kullanarak da hesaplayabiliriz. Bu durumda sin⁡(4x)=2tan⁡(2x)1+tan⁡2(2x)=2⋅431+169=83259=2425=0,96\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{25}{9}} = \frac{24}{25} = 0,96 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 230Soru →
f(x)=log⁡∣x−3∣−1(18−3x−x2)f(x) = \log_{|x - 3| - 1}(18 - 3x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı −15-15 olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için taban ifadesi olan ∣x−3∣−1>0|x - 3| - 1 > 0 ve ∣x−3∣−1≠1|x - 3| - 1 \neq 1 olmalıdır. Buradan x<2x < 2 veya x>4x > 4 ile x≠1x \neq 1, x≠5x \neq 5 elde edilir. Ayrıca argüman ifadesi 18−3x−x2>018 - 3x - x^2 > 0 olmalıdır; bu ise (x+6)(x−3)<0(x + 6)(x - 3) < 0 yani −6<x<3-6 < x < 3 aralığını verir. Bu koşulların kesişiminden en geniş tanım kümesi (−6,2)∖{1}(-6, 2) \setminus \{1\} olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar {−5,−4,−3,−2,−1,0}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\} olup, toplamları −15-15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlı olma koşullarını (taban > 0 ve taban != 1) belirlemek.
x<2x < 2 veya x>4x > 4 ve aynı zamanda x≠1x \neq 1, x≠5x \neq 5.
Logaritma tanımı gereği taban daima pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Argümanın tanımlı olma koşulunu (argüman > 0) incelemek.
x∈(−6,3)x \in (-6, 3).
Logaritması alınan ifade daima pozitif olmalıdır.
3
Taban ve argüman koşullarının kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulmak.
T=(−6,2)∖{1}T = (-6, 2) \setminus \{1\}.
Fonksiyonun tanımlı olması için her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları belirlemek ve toplamlarını hesaplamak.
Tam sayılar: {−5,−4,−3,−2,−1,0}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\}; Toplamları: −15-15.
Kümedeki sınır değerleri ve çıkarılan 11 sayısı hariç tüm tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü.
Soru 231Soru →
aa ve bb dar açılar olmak üzere, a+b<π2a + b < \frac{\pi}{2} eşitsizliği sağlanmaktadır.
sin⁡a⋅cos⁡b=2cos⁡a⋅sin⁡b\sin a \cdot \cos b = 2 \cos a \cdot \sin b
tan⁡(a−b)=13\tan(a - b) = \frac{1}{3}
olduğuna göre, tan⁡(a+b)\tan(a + b) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Verilen oranlar kullanılarak elde edilen tan⁡a=2tan⁡b\tan a = 2\tan b bağıntısı fark formülünde yerine yazıldığında 2tan⁡2b−3tan⁡b+1=02\tan^2 b - 3\tan b + 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin köklerinden tan⁡b=1\tan b = 1 değeri a+b<π/2a+b < \pi/2 sınırını aştığından elenir ve tan⁡b=1/2\tan b = 1/2 ile tan⁡a=1\tan a = 1 değerleri seçilir. Bu değerlerle toplam formülü uygulandığında sonuç 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği tanjant cinsinden yazma
tan⁡a=2tan⁡b\tan a = 2 \tan b
Toplam-fark formüllerinde tanjant değerlerini kullanabilmek için verilen sinüslü ve kosinüslü ifadeyi tanjant oranlarına dönüştürmemiz gerekir.
2
Tanjant fark formülünü uygulama ve yerine yazma
tan⁡b1+2tan⁡2b=13\frac{\tan b}{1 + 2\tan^2 b} = \frac{1}{3}
tan⁡(a−b)\tan(a-b) fark formülünde tan⁡a\tan a yerine 2tan⁡b2\tan b yazarak tek değişkene bağlı bir rasyonel ifade elde ederiz.
3
İkinci dereceden denklemi çözme
tan⁡b=12\tan b = \frac{1}{2} veya tan⁡b=1\tan b = 1
Elde edilen içler dışlar çarpımıyla oluşan 2tan⁡2b−3tan⁡b+1=02\tan^2 b - 3\tan b + 1 = 0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle buluruz.
4
Dar açı ve bölge kontrolü yapma
tan⁡b=12\tan b = \frac{1}{2} ve tan⁡a=1\tan a = 1
a+b<π2a + b < \frac{\pi}{2} koşulunu sağlayan uygun tanjant değerlerini belirlemek için her iki durumu analiz ederiz. tan⁡b=1\tan b = 1 durumu bu koşulu ihlal eder.
5
Tanjant toplam formülü ile sonucu hesaplama
tan⁡(a+b)=3\tan(a+b) = 3
Bulunan tan⁡a\tan a ve tan⁡b\tan b değerlerini tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} formülünde yerine koyarak nihai sonucu elde ederiz.

Anahtar Kavram

İki açının toplam ve farkının tanjant formülleri ile bu formüllerin cebirsel denklemlerde uygulanması.
Soru 232Soru →

Bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olan düzgün ABCDEFABCDEF altıgeninde; KK noktası [AB][AB] kenarı üzerinde ∣AK∣=1 birim|AK| = 1\text{ birim} olacak şekilde, LL noktası ise [CD][CD] kenarı üzerinde ∣CL∣=3 birim|CL| = 3\text{ birim} olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklık (∣KL∣|KL|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

K ve L noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
Kosinüs Teoremi önce KBCKBC üçgeninde, ardından açılar arasındaki ilişki fark formülüyle düzenlenerek KCLKCL üçgeninde uygulandığında ∣KL∣2=49|KL|^2 = 49 elde edilir. Buradan uzaklık 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
K noktasının B köşesine olan uzaklığını bulma.
∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim}
Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olduğundan, ∣KB∣=∣AB∣−∣AK∣=4−1=3 birim|KB| = |AB| - |AK| = 4 - 1 = 3\text{ birim} elde edilir.
2
KBCKBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulayarak ∣KC∣2|KC|^2 değerini hesaplama.
∣KC∣2=37 birim2|KC|^2 = 37\text{ birim}^2
m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ, ∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim} ve ∣BC∣=4 birim|BC| = 4\text{ birim} değerleri için Kosinüs Teoremi uygulandığında cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 yazılır ve ∣KC∣2=37|KC|^2 = 37 bulunur.
3
KBCKBC üçgeninden cos⁡(KCB^)\cos(\widehat{KCB}) ve sin⁡(KCB^)\sin(\widehat{KCB}) değerlerini elde etme.
cos⁡(KCB^)=11237\cos(\widehat{KCB}) = \frac{11}{2\sqrt{37}} ve sin⁡(KCB^)=33237\sin(\widehat{KCB}) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}
KBCKBC üçgeninde [BC][BC] kenarına göre Kosinüs Teoremi kullanılarak açının kosinüsü çekilir, ardından sinüsü bulunur.
4
cos⁡(KCD^)\cos(\widehat{KCD}) değerini toplam-fark formülü kullanarak hesaplama.
cos⁡(KCD^)=−1237\cos(\widehat{KCD}) = -\frac{1}{2\sqrt{37}}
Altıgenin iç açısı 120∘120^\circ olduğundan KCD^=120∘−KCB^\widehat{KCD} = 120^\circ - \widehat{KCB} bağıntısı kullanılır.
5
KCLKCL üçgeninde Kosinüs Teoremi ile ∣KL∣|KL| uzunluğunu hesaplama.
∣KL∣=7 birim|KL| = 7\text{ birim}
∣KL∣2=∣KC∣2+∣CL∣2−2∣KC∣∣CL∣cos⁡(KCD^)|KL|^2 = |KC|^2 + |CL|^2 - 2|KC||CL|\cos(\widehat{KCD}) formülünde değerler yerine yazılıp karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Düzgün altıgenin açı ve kenar özellikleri ile Kosinüs Teoreminin üçgenlerde ardışık uygulanması.
Soru 233Soru →
f(x)=log⁡3(x2−6x−1625−x2)f(x) = \log_{3}\left(\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için argümanı olan rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir. Pay (x2−6x−16x^2 - 6x - 16) ve paydayı (25−x225 - x^2) sıfır yapan kökler bulunarak işaret tablosu oluşturulduğunda, ifadenin pozitif olduğu en geniş aralık (−5,−2)∪(5,8)(-5, -2) \cup (5, 8) olarak elde edilir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar −4,−3,6,7-4, -3, 6, 7 olup bunların toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım koşulunu belirleme
x2−6x−1625−x2>0\frac{x^2 - 6x - 16}{25 - x^2} > 0 eşitsizliği çözülmelidir.
Taban pozitif bir sabit (3) olduğundan, sadece argümanın pozitif olması koşulu incelenir.
2
Pay ve paydanın köklerini bulma
Payın kökleri: x=−2x = -2 ve x=8x = 8. Paydanın kökleri: x=−5x = -5 ve x=5x = 5.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için kritik noktaların (köklerin) bulunması gerekir.
3
İşaret tablosu hazırlama ve çözüm kümesini bulma
Çözüm kümesi: (−5,−2)∪(5,8)(-5, -2) \cup (5, 8)
Payın baş katsayısı pozitif (+), paydanın baş katsayısı negatif (-) olduğundan tablonun en sağ bölgesi eksi (-) ile başlar. Tek katlı köklerde işaret değiştirilerek pozitif bölgeler seçilir.
4
Tanım kümesindeki tam sayıları listeleme
Tam sayılar: {−4,−3,6,7}\{-4, -3, 6, 7\}
Açık aralıklardaki tam sayılar belirlenir. Sınır değerleri aralığa dahil edilmez.
5
Tam sayıların toplamını hesaplama
(−4)+(−3)+6+7=6(-4) + (-3) + 6 + 7 = 6
Soruda istenen tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının pozitif (>0>0) olması gerekir.
Soru 234Soru →
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2θ)+1+sin⁡(2θ)=85\sqrt{1 - \sin(2\theta)} + \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{8}{5}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İfadenin sadeleştirilmesi ve yarım açı formüllerinin uygulanmasıyla elde edilen sonuç 24'tür.
Verilen denklemde kareköklü ifadeler tam kare açılımları şeklinde düzenlenip mutlak değer dışına çıkarıldığında, sin⁡θ−cos⁡θ−sin⁡θ−cos⁡θ=−2cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta - \sin\theta - \cos\theta = -2\cos\theta elde edilir. Buradan cos⁡θ=−4/5\cos\theta = -4/5 bulunur. Üçüncü bölgede sinüs değeri negatif olacağından sin⁡θ=−3/5\sin\theta = -3/5 olarak belirlenir. Yarım açı formülünden sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=24/25\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 24/25 olur. Bu değer 25 ile çarpıldığında 24 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklerin içerisindeki ifadeleri tam kare formunda yazıp karekökten mutlak değerli olarak çıkarın.
1−sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ−cos⁡θ∣\sqrt{1 - \sin(2\theta)} = |\sin\theta - \cos\theta| ve 1+sin⁡(2θ)=∣sin⁡θ+cos⁡θ∣\sqrt{1 + \sin(2\theta)} = |\sin\theta + \cos\theta|
1=sin⁡2θ+cos⁡2θ1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta özdeşliği ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta yarım aç�� açılımı kullanıldığında kök içleri sırasıyla (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)^2 ve (sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 olur.
2
θ∈(π,5π4)\theta \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre trigonometrik değerlerin işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini analiz ederek mutlak değerleri sadeleştirin.
∣sin⁡θ−cos⁡θ∣=sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta - \cos\theta| = \sin\theta - \cos\theta ve ∣sin⁡θ+cos⁡θ∣=−sin⁡θ−cos⁡θ|\sin\theta + \cos\theta| = -\sin\theta - \cos\theta
Üçüncü bölgede sin⁡θ<0\sin\theta < 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olup, belirtilen alt aralıkta cos⁡θ<sin⁡θ\cos\theta < \sin\theta gerçekleşir. Bu nedenle sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ<0\sin\theta + \cos\theta < 0 olur.
3
Mutlak değerden çıkarılan ifadeleri toplayarak denklemi çözün ve cos⁡θ\cos\theta değerini bulun.
(sin⁡θ−cos⁡θ)+(−sin⁡θ−cos⁡θ)=85  ⟹  −2cos⁡θ=85  ⟹  cos⁡θ=−45(\sin\theta - \cos\theta) + (-\sin\theta - \cos\theta) = \frac{8}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{8}{5} \implies \cos\theta = -\frac{4}{5}
Sol taraf toplandığında sinüs terimleri sadeleşir ve sadece kosinüs terimi kalır.
4
cos⁡θ\cos\theta yardımıyla sin⁡θ\sin\theta değerini belirleyin ve yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerini hesaplayın.
sin⁡θ=−35\sin\theta = -\frac{3}{5} ve sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅(−35)⋅(−45)=2425\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğinden ve açının üçüncü bölgede olmasından dolayı sinüs değeri negatif seçilir. Ardından yarım açı formülü uygulanır.
5
İstenen 25⋅sin⁡(2θ)25 \cdot \sin(2\theta) ifadesinin değerini hesaplayın.
25⋅2425=2425 \cdot \frac{24}{25} = 24
Hesaplanan yarım açı değeri 25 katsayısı ile çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.
Soru 235Soru →
x2−xy+y2=7x2+y2−x−y=8\begin{aligned} x^2 - xy + y^2 &= 7 \\ x^2 + y^2 - x - y &= 8 \end{aligned} denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği pozitif değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx+y toplamının alabileceği pozitif değer 5'tir.
Denklem sisteminde x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapıldığında, x2−xy+y2=u2−3v=7x^2 - xy + y^2 = u^2 - 3v = 7 ve x2+y2−(x+y)=u2−2v−u=8x^2 + y^2 - (x+y) = u^2 - 2v - u = 8 denklemleri elde edilir. Buradan vv çekilip ikinci denklemde yerine yazıldığında elde edilen u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denkleminin kökleri 55 ve −2-2 olup, pozitif olan değer 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
x+y=ux+y = u ve x⋅y=vx \cdot y = v dönüşümleri yapılarak x2+y2x^2+y^2 ve x2−xy+y2x^2-xy+y^2 ifadeleri uu ve vv cinsinden yazılır.
x2+y2=u2−2vx^2+y^2 = u^2-2v ve x2−xy+y2=u2−3vx^2-xy+y^2 = u^2-3v elde edilir.
Denklem sistemini iki bilinmeyenli daha basit bir sisteme dönüştürmek için.
2
Elde edilen ifadeler denklem sisteminde yerine yazılır.
u2−3v=7u^2 - 3v = 7 ve u2−2v−u=8u^2 - 2v - u = 8 denklem sistemi elde edilir.
Sistemi çözmek için değişkenleri yerine koymak gerekir.
3
Birinci denklemden vv çekilerek ikinci denklemde yerine yazılır.
v=u2−73v = \frac{u^2-7}{3} ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında u2−2(u2−73)−u=8u^2 - 2\left(\frac{u^2-7}{3}\right) - u = 8 denklemi elde edilir.
Sistemden vv değişkenini yok edip tek değişkenli bir denklem elde etmek için.
4
Denklem paydadan kurtarılarak düzenlenir.
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Denklemi standart formda yazıp çözebilmek için.
5
u2−3u−10=0u^2 - 3u - 10 = 0 denklemi çarpanlarına ayrılır.
(u−5)(u+2)=0(u-5)(u+2) = 0 elde edilir, buradan u=5u = 5 veya u=−2u = -2 bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için.
6
u=x+yu = x+y olduğundan elde edilen uu değerleri incelenir.
x+yx+y toplamı 55 veya −2-2 olabilir. Pozitif değer sorulduğu için 55 seçilir.
Soruda bizden istenen pozitif x+yx+y değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin değişken değiştirme ve özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.
Soru 236Soru →
(x−3)2(x+1)x−3≤0\frac{(x - 3)^2(x + 1)}{x - 3} \le 0
x2−2x−15<0x^2 - 2x - 15 < 0

yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam say��larının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 2'dir.
Eşitsizlik sistemini oluşturan ifadeler ayrı ayrı çözüldüğünde; ilk eşitsizlikten x≠3x \neq 3 koşuluyla [−1,3)[-1, 3) aralığı, ikinci eşitsizlikten ise (−3,5)(-3, 5) aralığı elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi [−1,3)[-1, 3) aralığı olup, bu aralıktaki tam sayıların toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin tanım kümesini ve köklerini belirleme
x≠3x \neq 3 koşuluyla eşitsizlik (x−3)(x+1)≤0(x - 3)(x + 1) \le 0 biçimine sadeleşir ve çözüm kümesi [−1,3)[-1, 3) olur.
Rasyonel bir ifadede paydanın sıfır olamayacağı kuralını uygulamak ve sadeleştirme yaparken kök kaybını önlemek.
2
İkinci eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve köklerini bulma
(x−5)(x+3)<0(x - 5)(x + 3) < 0 eşitsizliğinden çözüm kümesi (−3,5)(-3, 5) olarak bulunur.
İkinci dereceden eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturmak için kökleri bulmak.
3
İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini elde etme
Ortak çözüm kümesi [−1,3)[-1, 3) yarı açık aralığıdır.
Eşitsizlik sisteminin her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerler kümesi olduğunu kullanmak.
4
Ortak çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplama
(−1)+0+1+2=2(-1) + 0 + 1 + 2 = 2
Soru kökünde istenen tam sayıların toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinde rasyonel ifadelerin payda köklerinin hariç tutulması ve ortak çözüm kümesinin bulunması.
Soru 237Soru →

Analitik düzlemde, y=x2+3x+8y = x^2 + 3x + 8 parabolüne A(0,−1)A(0, -1) noktasından çizilen teğet doğrulardan birinin parabole değme noktası koordinat düzleminin II. bölgesindedir. Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Teğet doğrunun eğimi -3'tür.
A(0, -1) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi y=mx−1y = mx - 1 şeklindedir. Parabol denklemi ile ortak çözülüp teğetlik şartı olan Δ=0\Delta = 0 uygulandığında m=−3m = -3 ve m=9m = 9 değerleri elde edilir. Değme noktası II. bölgede (apsisi negatif, ordinatı pozitif) olan doğru incelendiğinde m=−3m = -3 için değme noktasının T1(−3,8)T_1(-3, 8) olduğu görülür ve bu durum şartı sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
A(0, -1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemini yazma
y=mx−1y = mx - 1
Teğet doğrunun denklemini belirlemek için.
2
Parabol ile doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturma
x2+(3−m)x+9=0x^2 + (3 - m)x + 9 = 0
Kesişim noktalarını veya teğetlik şartını incelemek için.
3
Teğetlik şartı için diskriminantı sıfıra eşitleyip m değerlerini bulma
Δ=(3−m)2−36=0  ⟹  m=−3\Delta = (3 - m)^2 - 36 = 0 \implies m = -3 veya m=9m = 9
Doğru parabole teğet olduğundan ortak denklemin çift katlı kökü (tek ortak noktası) olmalıdır.
4
Bulunan m değerlerine göre değme noktalarının koordinatlarını kontrol etme
m=−3m = -3 için değme noktası T1(−3,8)T_1(-3, 8) (II. bölge), m=9m = 9 için değme noktası T2(3,26)T_2(3, 26) (I. bölge)
Soruda değme noktasının koordinat düzleminin II. bölgesinde olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşittir (Δ=0\Delta = 0).
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 238Soru →
f(x)=log⁡x−1(x2−4)+log⁡12−x(x2−8x+12x−4)f(x) = \log_{x-1}(x^2 - 4) + \log_{12-x}\left(\frac{x^2 - 8x + 12}{x - 4}\right) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 37'dir.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayılar, her iki logaritmik terimin de eş zamanlı olarak tanımlı olmasını sağlayan değerlerdir. Birinci logaritma teriminden gelen x>2x > 2 sınırlandırması ile ikinci logaritma teriminden gelen x<12x < 12, x≠11x \neq 11 ve x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty) koşulları kesiştirildiğinde elde edilen (2,4)∪(6,11)∪(11,12)(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12) kümesindeki tam sayıların (3,7,8,9,103, 7, 8, 9, 10) toplamı doğru sonucu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk logaritma teriminin tanım kümesini belirleme
x>2x > 2
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı, argümanı ise pozitif olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x-1>0 \implies x>1, x−1≠1  ⟹  x≠2x-1 \neq 1 \implies x \neq 2 ve x2−4>0  ⟹  x∈(−∞,−2)∪(2,∞)x^2-4>0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) elde edilir. Bu üç koşulun kesişimi x>2x > 2 aralığıdır.
2
İkinci logaritma teriminin taban koşullarını belirleme
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Logaritmanın tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Buradan 12−x>0  ⟹  x<1212-x > 0 \implies x < 12 ve 12−x≠1  ⟹  x≠1112-x \neq 1 \implies x \neq 11 elde edilir.
3
İkinci logaritma teriminin argüman koşulunu belirleme
x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty)
Argümanın pozitif olması gerekir. x2−8x+12x−4>0  ⟹  (x−2)(x−6)x−4>0\frac{x^2-8x+12}{x-4} > 0 \implies \frac{(x-2)(x-6)}{x-4} > 0 eşitsizliğinin kökleri 2,4,62, 4, 6'dır. İşer işaret tablosunda en sağdan ++ ile başlanarak sırasıyla −,+,−-, +, - şeklinde işaretler yerleştirilir. Buradan pozitif bölgeler (2,4)∪(6,∞)(2, 4) \cup (6, \infty) olarak belirlenir.
4
Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini oluşturma
x∈(2,4)∪(6,11)∪(11,12)x \in (2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12)
x>2x > 2 ile x∈(2,4)∪(6,∞)x \in (2, 4) \cup (6, \infty) aralıklarının kesişimi (2,4)∪(6,∞)(2, 4) \cup (6, \infty) olur. Bu kümenin x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11 koşullarıyla kesişimi ise (2,4)∪(6,11)∪(11,12)(2, 4) \cup (6, 11) \cup (11, 12) kümesini verir.
5
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini bulup toplama
37
(2,4)(2, 4) aralığındaki tek tam sayı 33'tür. (6,11)(6, 11) aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10'dur. (11,12)(11, 12) aralığında tam sayı yoktur. Tam sayıların toplamı: 3+7+8+9+10=373 + 7 + 8 + 9 + 10 = 37 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının (logaritması alınan ifadenin) ise sıfırdan büyük olması gerekir. Birden fazla logaritmik ifadenin toplamından oluşan fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, her bir ifadenin tanım kümelerinin kesişimidir.
Soru 239Soru →
log⁡2(x+1)=log⁡4(9)\log_2(x + 1) = \log_4(9)

denklemini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 2'dir.
Logaritmanın üs özellikleri kullanılarak log⁡4(9)\log_4(9) ifadesi log⁡2(3)\log_2(3) olarak sadeleştirilir. Tabanlar eşitlendikten sonra argümanların eşitliğinden x+1=3x + 1 = 3 denklemi çözülerek doğru sonuca (2) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sağ tarafında bulunan log⁡4(9)\log_4(9) ifadesini taban değiştirme ve üs kurallarını kullanarak sadeleştirin.
log⁡4(9)=log⁡22(32)=22log⁡2(3)=log⁡2(3)\log_4(9) = \log_{2^2}(3^2) = \frac{2}{2}\log_2(3) = \log_2(3) elde edilir.
Logaritmik denklemleri çözebilmek için her iki tarafın tabanlarını eşitlemek gerekir.
2
Sadeleştirilmiş ifadeyi denklemde yerine yazın ve logaritma fonksiyonunun bire bir özelliğini uygulayın.
log⁡2(x+1)=log⁡2(3)⇒x+1=3\log_2(x+1) = \log_2(3) \Rightarrow x + 1 = 3 olur.
Tabanları aynı olan iki logaritma ifadesi eşitse, argümanları da eşit olmalıdır.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözün ve bulunan değerin logaritmanın tanım kümesini sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=2x = 2 bulunur. x=2x = 2 için x+1=3>0x + 1 = 3 > 0 olduğundan bu değer tanım kümesini sağlar.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın sıfırdan büyük olması gerekir.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerin çözümünde taban eşitleme ve logaritma özelliklerinin uygulanması
Soru 240Soru →
log⁡224−1log⁡32\log_{2} 24 - \frac{1}{\log_{3} 2}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İşleminin sonucu 3'tür.
Verilen ifadede taban değiştirme özelliği kullanılarak ikinci terim log⁡23\log_{2} 3 olarak yazılır. Tabanları eşit olan iki logaritmanın farkı kuralı uygulandığında log⁡2(243)=log⁡28\log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8 elde edilir. 8=238 = 2^3 eşitliği kullanılarak sonuç 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini uygulama
1log⁡32=log⁡23\frac{1}{\log_{3} 2} = \log_{2} 3
Paydadaki logaritma ifadesini pay kısmına taşımak ve tabanları eşitlemek için 1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_{a} b} = \log_{b} a kuralı uygulanır.
2
Logaritma farkı özelliğini kullanarak ifadeleri birleştirme
log⁡224−log⁡23=log⁡2(243)=log⁡28\log_{2} 24 - \log_{2} 3 = \log_{2}\left(\frac{24}{3}\right) = \log_{2} 8
Aynı tabandaki iki logaritmanın farkı, argümanların bölümünün logaritmasına eşittir: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right).
3
Logaritma değerini hesaplama
log⁡28=log⁡2(23)=3\log_{2} 8 = \log_{2}(2^3) = 3
8 sayısı 2 tabanında üstel biçimde yazılır ve log⁡a(an)=n\log_{a}(a^n) = n özelliği kullanılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme ve logaritma fark kuralı kullanılarak ifadelerin sadeleştirilmesi.
ÖncekiSayfa 12 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin