Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2741Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen sayma problemlerini, sağ sütunda verilen matematiksel sayma ifadeleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Bir kütüphanede yan yana duran iki raftan birincisinde 44 farklı bilimkurgu romanı, ikincisinde ise 55 farklı tarih kitabı bulunmaktadır. Bu raflardan sadece bir adet kitap seçmek isteyen bir öğrencinin yapabileceği farklı seçimlerin sayısı
Bir poligonda atış yapacak olan bir sporcunun önünde 44 farklı kısa namlulu ve 55 farklı uzun namlulu tüfek bulunmaktadır. Sporcu, bir adet kısa namlulu ve bir adet uzun namlulu tüfek seçerek birer atış yapacaktır. Bu tüfeklerin seçimlerinin sayısı
Bir öğretmen; 44 kız ve 55 erkek öğrenciden oluşan bir gruptan ya sadece 11 öğrenci seçecektir ya da biri kız diğeri erkek olmak üzere 22 kişilik bir çalışma ekibi kuracaktır. Bu seçimin yapılabilece��i farklı durumların sayısı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci raftan veya ikinci raftan sadece bir kitap seçme durumu 4+54 + 5 ifadesiyle, bir kısa ve bir uzun namlulu tüfek seçme durumu 4×54 \times 5 ifadesiyle, 1 öğrenci veya biri kız diğeri erkek 2 öğrenci seçme durumu ise 4+5+(4×5)4 + 5 + (4 \times 5) ifadesiyle eşleşir.
Soruda verilen durumlar incelendiğinde; birinci durum ayrık iki kümeden tek bir seçim yapılmasını gerektirdiğinden toplama ilkesine karşılık gelir. İkinci durum iki farklı gruptan birer elemanın birlikte seçilmesini gerektirdiğinden çarpma ilkesine karşılık gelir. Üçüncü durum ise bu iki durumun alternatifli olarak bir arada bulunmasından dolayı hem toplama hem de çarpma ilkelerinin birleşimine karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci durumdaki tekli kitap seçimini analiz etme
4+54 + 5
İki ayrı raftan yalnızca bir kitap seçilecektir. Ayrık olayların gerçekleşme sayısını bulmak için toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır.
2
İkinci durumdaki ardışık tüfek seçimini analiz etme
4×54 \times 5
Bir kısa ve bir uzun tüfeğin birlikte seçilmesi gerektiğinden, ardışık bağımlı olayların sayısını bulmak için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.
3
Üçüncü durumdaki alternatifli öğrenci grubu seçimini analiz etme
4+5+(4×5)4 + 5 + (4 \times 5)
Seçim ya tek kişi (4+54 + 5 durum) ya da iki kişi (4×54 \times 5 durum) şeklinde yapılabilir. Bu iki farklı alternatif durumun toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Prensipleri
Soru 2742Soru →

Fotosentez yapan bir bitki hücresinde, kloroplast organelinin stromasında gerçekleşen ışıktan bağımsız reaksiyonlar (Calvin döngüsü) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Karbondioksit (CO2CO_2) molekülleri tüketilerek organik besin sentezi gerçekleştirilir.

Cevap

Işıktan bağımsız reaksiyonlarda karbondioksit tüketilerek organik madde sentezlenir.
Işıktan bağımsız reaksiyonlar (Calvin döngüsü), kloroplastın stroma sıvısında gerçekleşir. Bu evrede, ışığa bağımlı evreden gelen ATPATP ve NADPHNADPH molekülleri kullanılarak atmosferden alınan CO2CO_2 molekülleri organik besin (PGAL) yapısına katılır. Bu sürece karbon özümlemesi (fiksasyonu) denir.

Adım Adım Çözüm

1
Fotosentezin iki evresini (ışığa bağımlı ve ışıktan bağımsız) karşılaştırın.
Işığa bağımlı evre granumlarda gerçekleşirken, ışıktan bağımsız evre (Calvin döngüsü) stromada gerçekleşir.
Soruda stromada gerçekleşen olaylar sorulmaktadır.
2
Calvin döngüsüne giren ve çıkan maddeleri belirleyin.
Döngüye CO2CO_2, ATPATP ve NADPHNADPH girer; organik besin (şeker), ADPADP ve NADP+NADP^+ çıkar.
Enerji ve karbon kaynağı kullanılarak biyosentez yapılmaktadır.
3
Seçenekleri bu bilgilerle değerlendirin.
Karbondioksit tüketimi ve besin sentezi stromadaki reaksiyonların temel özelliğidir.
Diğer seçeneklerde belirtilen fotoliz, fotofosforilasyon ve ışık soğurulması gibi olaylar granumlardaki ışığa bağımlı evreye aittir.

Anahtar Kavram

Calvin Döngüsü Girdileri ve Çıktıları

Daha Fazla Pratik

Işığa bağımlı ve ışıktan bağımsız reaksiyonların birbirine bağımlılığını (NADPH/NADP+ ve ATP/ADP döngüsü) gösteren bir şema çizerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 2743Soru →

Aslı ve Banu, aynı gün birer birikim hesabı açarak para biriktirmeye başlamışlardır.

* Aslı, ilk ay hesabına 100 TL100\text{ TL} yatırmış ve takip eden her ay, bir önceki ay yatırdığı miktardan 20 TL20\text{ TL} daha fazla para yatırmıştır.
* Banu, ilk ay hesabına 10 TL10\text{ TL} yatırmış ve takip eden her ay, bir önceki ay yatırdığı miktarın 22 katı kadar para yatırmıştır.

Buna göre, her iki arkadaşın hesaplarında biriken toplam para miktarı göz önüne alındığında, kaçıncı ayın sonunda Banu'nun hesabındaki toplam para miktarı ilk kez Aslı'nınkinden fazla olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Banu'nun biriken parasının Aslı'nın biriken parasını ilk kez geçtiği ay 7. aydır.
Yapılan hesaplamalarda Aslı'nın biriken toplam parası 10n2+90n10n^2 + 90n, Banu'nun biriken toplam parası ise 10(2n−1)10(2^n - 1) olarak bulunmuştur. n=7n = 7 değeri için Banu'nun toplam parası (1270 TL1270\text{ TL}), Aslı'nın toplam parasından (1120 TL1120\text{ TL}) ilk kez daha fazla olmaktadır. Bu yüzden 7 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Aslı'nın her ay yatırdığı para miktarlarının oluşturduğu aritmetik dizinin genel terimini ve nn ay sonunda biriken toplam para miktarını veren SA(n)S_A(n) formülünü yazınız.
Aslı'nın ödemeleri ilk terimi a1=100a_1 = 100 ve ortak farkı d=20d = 20 olan bir aritmetik dizidir. nn. terim: an=100+(n−1)20=20n+80a_n = 100 + (n-1)20 = 20n + 80. İlk nn terim toplamı: SA(n)=n2(a1+an)=n2(100+20n+80)=10n2+90nS_A(n) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(100 + 20n + 80) = 10n^2 + 90n.
Toplam birikimi bulabilmek için aritmetik dizi toplam formülünün oluşturulması gerekir.
2
Banu'nun her ay yatırdığı para miktarlarının oluşturduğu geometrik dizinin genel terimini ve nn ay sonunda biriken toplam para miktarını veren SB(n)S_B(n) formülünü yazınız.
Banu'nun ödemeleri ilk terimi b1=10b_1 = 10 ve ortak çarpanı r=2r = 2 olan bir geometrik dizidir. İlk nn terim toplamı: SB(n)=b1rn−1r−1=102n−12−1=10(2n−1)S_B(n) = b_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} = 10 \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 10(2^n - 1).
Banu'nun toplam birikimini ifade etmek için geometrik dizi toplam formülü kullanılmalıdır.
3
Banu'nun birikiminin Aslı'nın birikiminden fazla olmasını sağlayan en küçük nn pozitif tam sayısını belirlemek için SB(n)>SA(n)S_B(n) > S_A(n) eşitsizliğini çözünüz.
10(2n−1)>10n2+90n  ⟹  2n−1>n2+9n10(2^n - 1) > 10n^2 + 90n \implies 2^n - 1 > n^2 + 9n. Değerleri denersek: n=6n = 6 için 26−1=632^6 - 1 = 63 ve 62+9(6)=906^2 + 9(6) = 90 olup 63>9063 > 90 sağlanmaz. n=7n = 7 için 27−1=1272^7 - 1 = 127 ve 72+9(7)=1127^2 + 9(7) = 112 olup 127>112127 > 112 sağlanır.
Eşitsizliğin her iki tarafı sadeleştirilerek deneme yöntemiyle en küçük nn tam sayısı tespit edilir.

Anahtar Kavram

Gerçek hayat problemlerinde aritmetik ve geometrik dizilerin ilk n terim toplamı formüllerinin uygulanması ve karşılaştırılması.
Soru 2744Soru →
Bir teknoloji firması ürettiği xx adet akıllı cihaz için toplam maliyet fonksiyonunu (bin TL cinsinden)
C(x)=x3−5x2+12x+10C(x) = x^3 - 5x^2 + 12x + 10
ve bu cihazların adet başına satış fiyatını (bin TL cinsinden)
P(x)=36−2xP(x) = 36 - 2x
olarak belirlemiştir.

Buna göre, bu firmanın elde edebileceği maksimum kâr kaç bin TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

Maksimum kâr 70 bin TL'dir.
Toplam kâr fonksiyonu K(x)=−x3+3x2+24x−10K(x) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 10 olarak elde edilir. Bu fonksiyonun maksimum değerini bulmak için türevi alınır: K′(x)=−3x2+6x+24K'(x) = -3x^2 + 6x + 24. Türevin kökleri incelendiğinde x=4x = 4 (pozitif ürün miktarı) maksimum noktasıdır. x=4x = 4 değeri kâr fonksiyonunda yerine yazıldığında maksimum kâr 70 bin TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kâr fonksiyonunu (K(x)K(x)) oluşturmak için toplam gelir fonksiyonundan (R(x)R(x)) toplam maliyet fonksiyonu (C(x)C(x)) çıkarılır.
R(x)=x⋅P(x)=x(36−2x)=36x−2x2R(x) = x \cdot P(x) = x(36 - 2x) = 36x - 2x^2 bin TL.
K(x)=R(x)−C(x)=(36x−2x2)−(x3−5x2+12x+10)=−x3+3x2+24x−10K(x) = R(x) - C(x) = (36x - 2x^2) - (x^3 - 5x^2 + 12x + 10) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 10 olur.
Kâr, toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla hesaplanır.
2
Kâr fonksiyonunun türevi alınır ve sıfıra eşitlenerek kritik noktalar bulunur.
K′(x)=−3x2+6x+24=0K'(x) = -3x^2 + 6x + 24 = 0 denkleminden −3(x2−2x−8)=0-3(x^2 - 2x - 8) = 0 ve buradan −3(x−4)(x+2)=0-3(x-4)(x+2) = 0 elde edilir.
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevinin kökleri incelenmelidir.
3
Fiziksel kısıtlar göz önüne alınarak uygun kritik nokta belirlenir ve maksimum kâr hesaplanır.
Ürün miktarı x≥0x \ge 0 olmalıdır, bu nedenle x=4x = 4 kritik noktası seçilir. Maksimum kâr: K(4)=−(4)3+3(4)2+24(4)−10=−64+48+96−10=70K(4) = -(4)^3 + 3(4)^2 + 24(4) - 10 = -64 + 48 + 96 - 10 = 70 bin TL olarak bulunur.
Birinci türevin işaret tablosunda x=4x = 4 noktasında türev artıdan eksiye geçtiği için bu nokta yerel maksimum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Maksimum ve Minimum Problemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2745Soru →

Düşey kesiti şekildeki gibi olan, yatayla 37∘37^\circ lik açı yapan ve sağa doğru yükselen sürtünmeli eğik düzleme sahip bir kama verilmiştir. Kama, yatay düzlemde sola doğru sabit aa ivmesiyle hızlandırılmaktadır. Kamanın eğik yüzeyinde bulunan m=2 kgm = 2\text{ kg} kütleli cisim ile yüzey arasındaki statik sürtünme katsayısı μs=0,5\mu_s = 0,5'tir. Cismin eğik düzlem üzerinde kaymadan kama ile birlikte hareket edebilmesi için kamanın ivmesi aa'nın alabileceği en büyük değer kaç m/s2\text{m/s}^2 olmalıdır? (g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2; sin⁡37∘=0,6\sin 37^\circ = 0,6; cos⁡37∘=0,8\cos 37^\circ = 0,8)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Cismin eğik düzlem üzerinde yukarı doğru kaymadan kama ile birlikte hareket edebileceği maksimum ivme 20 m/s220\text{ m/s}^2'dir.
Cismin eğik düzlem üzerinde yukarı doğru kaymaya başlamadan hemen önceki sınır durumunda, statik sürtünme kuvveti maksimum değerine (fs=μsNf_s = \mu_s N) ulaşır ve eğik düzlem boyunca aşağı yönlüdür. Yatay ve düşey doğrultulardaki net kuvvet denklemleri çözüldüğünde ivmenin en büyük değeri 20 m/s220\text{ m/s}^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Serbest cisim diyagramını çizerek cisme etki eden kuvvetleri belirleyin.
Cisme etki eden kuvvetler: aşağı yönlü yerçekimi kuvveti (mgmg), eğik düzleme dik normal kuvvet (NN) ve maksimum ivme sınırında eğik düzlemden aşağı yönlü statik sürtünme kuvveti (fs=μsNf_s = \mu_s N).
Cismin hareket sınırlarını belirlemek ve Newton'ın hareket yasalarını uygulamak için üzerindeki net kuvvetlerin yönlerini tayin etmek gerekir.
2
Kuvvetleri yatay ve düşey doğrultularda bileşenlerine ayırarak denklemleri kurun.
Yatay doğrultuda net kuvvet: Nsin⁡37∘+fscos⁡37∘=maN \sin 37^\circ + f_s \cos 37^\circ = ma. Düşey doğrultuda net kuvvet: Ncos⁡37∘−fssin⁡37∘=mgN \cos 37^\circ - f_s \sin 37^\circ = mg.
Cisim düşeyde dengede olup yatayda sola doğru aa ivmesiyle hareket etmektedir.
3
fs=0,5Nf_s = 0,5 N ve trigonometrik değerleri yerine yazarak denklemleri çözün.
N(0,6+0,5×0,8)=ma  ⟹  N=maN(0,6 + 0,5 \times 0,8) = ma \implies N = ma ve N(0,8−0,5×0,6)=mg  ⟹  0,5N=mgN(0,8 - 0,5 \times 0,6) = mg \implies 0,5 N = mg elde edilir. Buradan 0,5ma=mg  ⟹  a=2g=20 m/s20,5 ma = mg \implies a = 2g = 20\text{ m/s}^2 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek kütleden bağımsız olan maksimum ivme değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İvmeli referans sistemlerinde sürtünmeli eğik düzlem üzerindeki cisimlerin hareket analizi ve Newton'ın ikinci yasası.
Soru 2746Soru →

Yatay bir masanın üzerinde duran 3 kg3\text{ kg} kütleli tahta bir blok, yatay doğrultuda uygulanan 12 N12\text{ N} büyüklüğündeki bir kuvvetle çekilmektedir. Blok ile masa yüzeyi arasındaki statik sürtünme katsayısı μs=0,5\mu_s = 0,5, kinetik s��rtünme katsayısı ise μk=0,3\mu_k = 0,3 olarak ölçülmüştür.

Buna göre, yerçekimi ivmesinin g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 olduğu bu sistemde;

I. Blok ile masa arasındaki sürtünme kuvvetinin büyüklüğü 12 N12\text{ N}'dur.
II. Bloğa etki eden yerçekimi kuvveti ile masanın bloğa uyguladığı normal kuvvet etki-tepki kuvvet çiftidir.
III. Masanın bloğa uyguladığı bileşke kuvvetin büyüklüğü 42 N42\text{ N}'dur.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I
Yalnızca birinci öncül doğrudur. Masanın bloğa uygulayabileceği maksimum statik sürtünme kuvveti 15 N15\text{ N}'dur. Uygulanan 12 N12\text{ N}'luk yatay kuvvet bu sınırı aşamadığı için blok hareketsiz kalır ve bu durumda etki eden sürtünme kuvveti tam olarak uygulanan yatay kuvvete (12 N12\text{ N}) eşit olur. İkinci öncül yanlıştır çünkü etki ve tepki kuvvetleri farklı cisimler üzerinde olmalıdır; yerçekimi kuvveti de normal kuvvet de aynı blok üzerinedir. Üçüncü öncül yanlıştır çünkü masanın bloğa uyguladığı dikey normal kuvvet (30 N30\text{ N}) ile yatay sürtünme kuvveti (12 N12\text{ N}) birbirine diktir ve bileşkeleri skaler toplama ile değil, vektörel toplama (Pisagor teoremi) ile hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Maksimum statik sürtünme kuvvetinin hesaplanması
fs,max⁡=μs⋅N=0,5⋅30 N=15 Nf_{s,\max} = \mu_s \cdot N = 0,5 \cdot 30\text{ N} = 15\text{ N}
Bloğun harekete geçip geçmeyeceğini belirlemek için yüzeyin uygulayabileceği en büyük statik sürtünme kuvveti sınırını bulmamız gerekir.
2
Bloğun hareket durumunun belirlenmesi ve sürtünme kuvvetinin bulunması
Blok hareket etmez (a=0a = 0), sürtünme kuvveti fs=F=12 Nf_s = F = 12\text{ N} olur.
Uygulanan 12 N12\text{ N}'luk yatay kuvvet, maksimum statik sürtünme sınırı olan 15 N15\text{ N}'dan küçük olduğu için blok dengede kalır. Statik dengedeki bir cisme etki eden net kuvvet sıfır olacağından, sürtünme kuvveti uygulanan kuvvete eşit büyüklükte olmalıdır.
3
Etki-tepki kuvvet çiftlerinin analiz edilmesi
Ağırlık ve normal kuvvet etki-tepki çifti değildir.
Newton'ın üçüncü yasasına göre etki-tepki kuvvet çiftleri her zaman farklı iki cisim arasında gerçekleşir. Bloğa etki eden yerçekimi kuvveti (Dünya tarafından bloğa) ve normal kuvvet (masa tarafından bloğa) aynı cisim üzerine etki ettiğinden etki-tepki çifti oluşturamazlar.
4
Masanın cisme uyguladığı bileşke kuvvetin bulunması
R=N2+fs2=302+122=1044 N≈32,3 NR = \sqrt{N^2 + f_s^2} = \sqrt{30^2 + 12^2} = \sqrt{1044}\text{ N} \approx 32,3\text{ N}
Masanın cisme uyguladığı iki kuvvet vardır: düşey normal kuvvet (30 N30\text{ N}) ve yatay sürtünme kuvveti (12 N12\text{ N}). Bu kuvvetler birbirine dik olduğundan bileşke kuvvet vektörel toplam (Pisagor bağıntısı) ile bulunur, skaler olarak toplanamaz (30+12≠4230 + 12 \neq 42).

Anahtar Kavram

Newton'ın Hareket Yasaları ve sürtünme kuvveti analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2747Soru →

Ortak farkı rr olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk terimi a1a_1'dir. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)=r⋅x+a1f(x) = r \cdot x + a_1 doğrusal fonksiyonu için her nn pozitif tam sayısı adına

f(n)=an+4f(n) = a_n + 4

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin terimleri arasında

a3+a9=30a_3 + a_9 = 30

bağıntısı olduğuna göre, dizinin ilk terimi olan a1a_1 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Dizinin ilk terimi olan a1a_1 değeri −5-5'tir.
Ortak fark r=4r = 4 olarak belirlendikten sonra, a3+a9=2a1+10r=30a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30 denkleminde yerine yazıldığında 2a1+40=30  ⟹  2a1=−10  ⟹  a1=−52a_1 + 40 = 30 \implies 2a_1 = -10 \implies a_1 = -5 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(n)f(n) fonksiyonu ile ana_n dizisi arasındaki ilişkiyi yazarak ortak fark rr'yi belirleme.
r=4r = 4
an=a1+(n−1)r=rn+a1−ra_n = a_1 + (n - 1)r = rn + a_1 - r genel terimi f(n)=rn+a1f(n) = rn + a_1 ifadesinde yerine yazıldığında, f(n)−an=rf(n) - a_n = r elde edilir. Soruda f(n)=an+4f(n) = a_n + 4 olarak verildiğinden r=4r = 4 bulunur.
2
a3+a9=30a_3 + a_9 = 30 indis özelliğini kullanarak a1a_1 ve rr cinsinden bir denklem elde etme.
a1+5r=15a_1 + 5r = 15
Aritmetik dizide a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r ve a9=a1+8ra_9 = a_1 + 8r olduğundan, bu terimlerin toplamı a3+a9=2a1+10r=30a_3 + a_9 = 2a_1 + 10r = 30 olur. Her iki taraf 2'ye bölündüğünde a1+5r=15a_1 + 5r = 15 denklemi bulunur.
3
Bulunan r=4r = 4 değerini denklemde yerine yazarak a1a_1 değerini hesaplama.
a1=−5a_1 = -5
a1+5(4)=15  ⟹  a1+20=15  ⟹  a1=−5a_1 + 5(4) = 15 \implies a_1 + 20 = 15 \implies a_1 = -5 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terimi, ortak farkı ve doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi
Soru 2748Soru →

Matematik öğretmeni Selim Bey, tahtaya dört farklı ikinci dereceden fonksiyon tanımlamış ve öğrencilerinden bu fonksiyonların grafiklerinin koordinat eksenleriyle olan kesişim durumlarını incelemelerini istemiştir.

Buna göre, sol sütunda verilen parabol fonksiyonları ile sağ sütundaki eksenleri kesme özelliklerini doğru olacak şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9
h(x)=2x2+4x−6h(x) = 2x^2 + 4x - 6
k(x)=x2−2x+5k(x) = x^2 - 2x + 5

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

f(x) fonksiyonu x-eksenini (1, 0) ve (3, 0) noktalarında, y-eksenini ise (0, 3) noktasında keser. g(x) fonksiyonu x-eksenine x = 3 apsisli noktada teğettir ve y-eksenini (0, -9) noktasında keser. h(x) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktalar aras��ndaki uzaklık 4 birimdir ve y-eksenini (0, -6) noktasında keser. k(x) fonksiyonu koordinat eksenlerini sadece bir noktada keser ve bu kesim noktası (0, 5)'tir.
Verilen fonksiyonların her biri için x=0x=0 yazıldığında y-eksenini kestiği koordinatlar; y=0y=0 yazılıp çarpanlara ayrıldığında ise x-eksenini kestiği noktalar (veya teğetlik durumları) belirlenir. Hesaplamalar sonucunda: f(x) fonksiyonu eksenleri (0,3), (1,0) ve (3,0) noktalarında keser; g(x) fonksiyonu x-eksenine x=3'te teğet olup y-eksenini (0,-9)'da keser; h(x) fonksiyonu x-eksenini -3 ve 1 apsisli noktalarda (aralarındaki uzaklık 4 birim) ve y-eksenini (0,-6)'da keser; k(x) fonksiyonu ise reel kökü olmadığı için x-eksenini kesmeyip koordinat eksenlerini sadece (0,5) noktasında keser.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için f(0)=3f(0) = 3 yani (0,3)(0,3)'tür. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için x2−4x+3=0  ⟹  (x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1x^2-4x+3=0 \implies (x-1)(x-3)=0 \implies x=1 ve x=3x=3 yani (1,0)(1,0) ile (3,0)(3,0)'dır.
Eksen kesişimleri x=0x=0 ve y=0y=0 yazılarak belirlenir.
2
g(x)=−x2+6x−9g(x) = -x^2 + 6x - 9 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için g(0)=−9g(0) = -9 yani (0,−9)(0,-9)'dur. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için −(x−3)2=0  ⟹  x=3-(x-3)^2=0 \implies x=3 çift katlı köküdür. Bu, parabolün (3,0)(3,0) noktasında x-eksenine teğet olduğunu gösterir.
Çift katlı kök varlığı teğet olma durumunu ifade eder.
3
h(x)=2x2+4x−6h(x) = 2x^2 + 4x - 6 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları ve kesişim noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için h(0)=−6h(0) = -6 yani (0,−6)(0,-6)'dır. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için 2(x2+2x−3)=0  ⟹  2(x+3)(x−1)=0  ⟹  x=−32(x^2+2x-3)=0 \implies 2(x+3)(x-1)=0 \implies x=-3 ve x=1x=1'dir. Kesişim noktaları arasındaki uzaklık ∣1−(−3)∣=4|1 - (-3)| = 4 birimdir.
x-eksenini kestiği iki nokta arasındaki uzaklık, kökler farkının mutlak değeridir.
4
k(x)=x2−2x+5k(x) = x^2 - 2x + 5 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları belirleyelim.
y-eksenini kestiği nokta x=0x=0 için k(0)=5k(0) = 5 yani (0,5)(0,5)'tir. x-eksenini kestiği noktalar y=0y=0 için x2−2x+5=0x^2-2x+5=0 denkleminin diskriminantı Δ=(−2)2−4(1)(5)=−16<0\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = -16 < 0 olduğundan reel kökü yoktur. Grafik x-eksenini kesmez.
Negatif diskriminant reel kök olmadığını ve dolayısıyla x-ekseninin kesilmediğini gösterir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) y-eksenini kestiği noktanın (0,f(0))(0, f(0)) olması, x-eksenini kestiği noktaların ise fonksiyonun reel kökleri (veya teğetlik durumu) ve diskriminant ilişkisi ile bulunması.
Soru 2749Soru →
1'den farklı aa, bb ve cc pozitif gerçel sayıları için,
log⁡a(b⋅c)=2\log_a(b \cdot c) = 2
log⁡b(a⋅c)=5\log_b(a \cdot c) = 5
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İfadenin değeri 1'dir.
Taban değiştirme kuralı yardımıyla tüm logaritmik ifadeler ortak bir tabana çevrildiğinde elde edilen doğrusal denklem sistemi çözülerek değişkenler arasındaki oranlar bulunur. Bu oranlar istenen ifadede yerine yazıldığında sadeleşme gerçekleşir ve sonuç 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak log⁡a(b⋅c)=2\log_a(b \cdot c) = 2 ve log⁡b(a⋅c)=5\log_b(a \cdot c) = 5 ifadelerini açın.
log⁡ab+log⁡ac=2\log_a b + \log_a c = 2 ve log⁡ba+log⁡bc=5\log_b a + \log_b c = 5 denklemleri elde edilir.
Çarpımın logaritmasını toplam şeklinde yazarak değişkenleri ayırmak için.
2
Taban değiştirme kuralını uygulayarak tüm ifadeleri doğal logaritma (ln) tabanına dönüştürün ve ln⁡a=x\ln a = x, ln⁡b=y\ln b = y, ln⁡c=z\ln c = z değişkenlerini tanımlayın.
y+z=2xy + z = 2x ve x+z=5yx + z = 5y denklem sistemi elde edilir.
Farklı tabanlardaki logaritmik ifadeleri ortak bir tabanda birleştirip doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.
3
İkinci denklemden zz'yi çekip birinci denklemde yerine yazarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi bulun.
z=5y−x  ⟹  y+(5y−x)=2x  ⟹  6y=3x  ⟹  x=2yz = 5y - x \implies y + (5y - x) = 2x \implies 6y = 3x \implies x = 2y bulunur. Buradan z=3yz = 3y elde edilir.
Denklem sistemini çözerek tüm değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek için.
4
İstenen log⁡c(a⋅b)\log_c(a \cdot b) ifadesini ln tabanına dönüştürün ve bulduğunuz x=2yx = 2y ile z=3yz = 3y değerlerini yerine yazın.
log⁡c(a⋅b)=ln⁡a+ln⁡bln⁡c=x+yz=2y+y3y=1\log_c(a \cdot b) = \frac{\ln a + \ln b}{\ln c} = \frac{x + y}{z} = \frac{2y + y}{3y} = 1 bulunur.
Aranan ifadenin sayısal değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun çarpım ve taban değiştirme özellikleri
Soru 2750Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫24f(2x−3) dx=8\int_{2}^{4} f(2x - 3) \, dx = 8
ve
∫12f(3x−2) dx=5\int_{1}^{2} f(3x - 2) \, dx = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫45f(x) dx\int_{4}^{5} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Doğru seçenekte, her iki integral için de değişken değiştirme kuralları tam uygulanmış, sınırlar yeni değişkene göre doğru hesaplanmış ve integralin parçalanabilirliği kullanılarak 1 değeri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
u=2x−3  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x - 3 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} sınırları güncellersek; x=2  ⟹  u=1x = 2 \implies u = 1 ve x=4  ⟹  u=5x = 4 \implies u = 5 olur. Bu durumda, ∫15f(u)du2=8  ⟹  ∫15f(x) dx=16\int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 16 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) cinsinden yazarak sınırları belirlemek için.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
v=3x−2  ⟹  dv=3 dx  ⟹  dx=dv3v = 3x - 2 \implies dv = 3 \, dx \implies dx = \frac{dv}{3} sınırları güncellersek; x=1  ⟹  v=1x = 1 \implies v = 1 ve x=2  ⟹  v=4x = 2 \implies v = 4 olur. Bu durumda, ∫14f(v)dv3=5  ⟹  ∫14f(x) dx=15\int_{1}^{4} f(v) \frac{dv}{3} = 5 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 15 elde edilir.
İkinci integrali de f(x)f(x) cinsinden yazarak sınırları belirlemek için.
3
Elde edilen belirli integralleri kullanarak istenen integral değerini hesaplamak.
∫15f(x) dx=∫14f(x) dx+∫45f(x) dx \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx olduğundan, 16=15+∫45f(x) dx  ⟹  ∫45f(x) dx=1 16 = 15 + \int_{4}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{4}^{5} f(x) \, dx = 1 bulunur.
Belirli integralin aralık parçalama özelliğini kullanarak hedeflenen integrali bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2751Soru →

Bir peyzaj mimarı, yarıçapı 66 metre olan yarım daire biçimindeki bir park alanının içine dikdörtgen şeklinde bir yeşil alan tasarlayacaktır. Bu dikdörtgenin bir kenarı yarım dairenin çapı üzerinde, diğer iki köşesi ise yarım daire yayı üzerindedir. Buna göre, bu yeşil alanın alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36; 36 metrekare

Cevap

Tasarlanabilecek yeşil alanın alanı en fazla 36 metrekare olabilir.
Yarım daire içine yerleştirilen dikdörtgenin alanı A(x)=2x36−x2A(x) = 2x\sqrt{36-x^2} fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun türevinin sıfır olduğu nokta x=32x = 3\sqrt{2} değeridir ve bu noktadaki alan en büyük değerine ulaşarak 3636 metrekare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin boyutlarını yarım dairenin yarıçapı cinsinden ifade etmek için bir koordinat sistemi kurun veya değişkenleri belirleyin.
Yarım dairenin yarıçapı R=6R = 6 metredir. Dikdörtgenin merkezini orijin kabul edersek, dikdörtgenin yatay kenarının yarısı xx olsun. Bu durumda dikdörtgenin taban köşeleri (−x,0)(-x, 0) ve (x,0)(x, 0) noktalarında olur. Dikdörtgenin yüksekliği ise yarım dairenin sınır eğrisi olan y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} fonksiyonu ile belirlenir.
Dikdörtgenin alanını tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazabilmek amacıyla değişken tanımlaması yapılır.
2
Dikdörtgenin alan fonksiyonunu xx değişkenine bağlı olarak yazın.
Dikdörtgenin taban uzunluğu 2x2x ve yüksekliği y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} olduğundan, alan fonksiyonu A(x)=2x⋅36−x2A(x) = 2x \cdot \sqrt{36 - x^2} olarak elde edilir.
Maksimum değeri bulabilmek amacıyla türevi alınacak alan fonksiyonunu oluşturmak gerekir.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulun.
Alan fonksiyonunun karesini alarak veya doğrudan çarpımın türevi kuralını uygulayarak türevi alabiliriz. Doğrudan türev alırsak: A′(x)=236−x2+2x⋅−2x236−x2=236−x2−2x236−x2=2(36−x2)−2x236−x2=72−4x236−x2A'(x) = 2\sqrt{36-x^2} + 2x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{36-x^2}} = 2\sqrt{36-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{36-x^2}} = \frac{2(36-x^2) - 2x^2}{\sqrt{36-x^2}} = \frac{72 - 4x^2}{\sqrt{36-x^2}} bulunur. Türevi sıfır yapan değer için pay sıfır olmalıdır: 72−4x2=0  ⟹  x2=18  ⟹  x=3272 - 4x^2 = 0 \implies x^2 = 18 \implies x = 3\sqrt{2} metre (genişlik pozitif olmalıdır).
Bir fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktalarda (yerel ekstremum) birinci türevi sıfırdır.
4
Bulunan xx değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı hesaplayın.
A(32)=2(32)36−(32)2=6218=62⋅32=36A(3\sqrt{2}) = 2(3\sqrt{2})\sqrt{36 - (3\sqrt{2})^2} = 6\sqrt{2}\sqrt{18} = 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 36 metrekare olarak bulunur.
Soruda istenen en büyük alan değerini elde etmek için kritik nokta fonksiyonda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması
Soru 2752Soru →
f(x)=∣cos⁡(2x)+cos⁡x∣2cos⁡2x−cos⁡xf(x) = \frac{|\cos(2x) + \cos x|}{2\cos^2x - \cos x}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

lim⁡x→π3+f(x)−lim⁡x→π3−f(x)\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} f(x) - \lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-} f(x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Sağdan limit değeri olan -3 ile soldan limit değeri olan 3'ün farkı alındığında sonuç -6 olarak bulunur.
Sağdan limit incelenirken kosinüs fonksiyonunun azalan olması nedeniyle mutlak değerin içi negatif olur ve ifade dışarıya işaret değiştirerek çıkar. Sadeleştirme sonucunda sağdan limit -3 bulunur. Soldan limit incelenirken kosinüsün değeri 1/2'den büyük olacağı için mutlak değer içi pozitif kalır ve limit 3 olarak hesaplanır. Bu iki limit değerinin farkı -3 - 3 = -6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak pay kısmındaki ifadeyi kosinüs cinsinden yazın.
cos⁡(2x)+cos⁡x=(2cos⁡2x−1)+cos⁡x=2cos⁡2x+cos⁡x−1\cos(2x) + \cos x = (2\cos^2x - 1) + \cos x = 2\cos^2x + \cos x - 1
Pay ve paydadaki ortak çarpanları belirlemek için ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırın.
Pay: (2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)(2\cos x - 1)(\cos x + 1), Payda: cos⁡x(2cos⁡x−1)\cos x(2\cos x - 1)
Belirsizliğe yol açan ortak çarpanı sadeleştirmek amacıyla çarpanlara ayırma işlemi uygulanır.
3
x, pi/3 değerine sağdan yaklaşırken limit değerini hesaplayın.
lim⁡x→π3+f(x)=−3\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} f(x) = -3
x>π3x > \frac{\pi}{3} iken, birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan cos⁡x<12\cos x < \frac{1}{2} olur. Dolayısıyla 2cos⁡x−1<02\cos x - 1 < 0'dır. Mutlak değerin içi negatif olduğundan işaret değiştirerek çıkar ve sadeleşme sonrası limit −3-3 bulunur.
4
x, pi/3 değerine soldan yaklaşırken limit değerini hesaplayın.
lim⁡x→π3−f(x)=3\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-} f(x) = 3
x<π3x < \frac{\pi}{3} iken cos⁡x>12\cos x > \frac{1}{2} olur. Dolayısıyla 2cos⁡x−1>02\cos x - 1 > 0'dır. Mutlak değerin içi pozitif olduğundan aynen çıkar ve sadeleşme sonrası limit 33 bulunur.
5
Sağdan ve soldan limitlerin farkını bulun.
lim⁡x→π3+f(x)−lim⁡x→π3−f(x)=−3−3=−6\lim_{x \to \frac{\pi}{3}^+} f(x) - \lim_{x \to \frac{\pi}{3}^-} f(x) = -3 - 3 = -6
Soruda istenen fark ifadesini hesaplamak için elde edilen limit değerleri yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik limit hesaplama, mutlak değerli limitler ve sağdan/soldan limit kavramlarının analizi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2753Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan telefonların %60\%60'ı A markası, geri kalanı ise B markasıdır. Bu mağazadan satın alınan telefonların garanti süresi içinde arızalanma durumları incelenmiş ve şu sonuçlar elde edilmiştir:

* A markası telefonların arızalanma olasılığı, B markası telefonların arızalanma olasılığının 2 katıdır.
* Mağazadan rastgele seçilen bir telefonun garanti süresi içinde arızalanmadığı bilindiğine göre, bu telefonun A markası olma olasılığı %50\%50'dir.

Buna göre, B markası bir telefonun garanti süresi içinde arızalanma olasılığı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

B markası bir telefonun garanti süresi içinde arızalanma olasılığı %25'tir.
B markasının arızalanma olasılığı pp seçildiğinde, A markasının arızalanma olasılığı 2p2p olur. Arızasız telefonların toplam olasılığı 1−1,6p1 - 1,6p ve arızasız A marka telefon olasılığı 0,60(1−2p)0,60(1-2p) olarak bulunur. Koşullu olasılık formülünden 0,60(1−2p)1−1,6p=12\frac{0,60(1-2p)}{1-1,6p} = \frac{1}{2} denklemi çözüldüğünde p=0,25p = 0,25 yani %25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B marka telefonların oranlarını ve arızalanma olasılıklarını değişkenler cinsinden yazın.
A marka oranı: P(A)=0,60P(A) = 0,60, B marka oranı: P(B)=0,40P(B) = 0,40. B markasının ar��zalanma olasılığı P(Arızalı∣B)=pP(\text{Arızalı} | B) = p ise A markasının arızalanma olasılığı P(Arızalı∣A)=2pP(\text{Arızalı} | A) = 2p olur.
Problemi cebirsel olarak ifade edebilmek için.
2
Telefonların arızalanmama olasılıklarını belirleyin.
P(Arızasız∣B)=1−pP(\text{Arızasız} | B) = 1 - p ve P(Arızasız∣A)=1−2pP(\text{Arızasız} | A) = 1 - 2p olur.
Koşul arızalanmama durumu üzerinden verildiği için.
3
Rastgele seçilen bir telefonun arızasız olma toplam olasılığını (P(Arızasız)P(\text{Arızasız})) hesaplayın.
P(Arızasız)=P(A)⋅P(Arızasız∣A)+P(B)⋅P(Arızasız∣B)=0,60(1−2p)+0,40(1−p)=1−1,6pP(\text{Arızasız}) = P(A) \cdot P(\text{Arızasız} | A) + P(B) \cdot P(\text{Arızasız} | B) = 0,60(1 - 2p) + 0,40(1 - p) = 1 - 1,6p olur.
Koşullu olasılığın paydasını oluşturmak için.
4
Arızasız olduğu bilinen telefonun A markası olma koşullu olasılığını yazıp verilen değere eşitleyin.
P(A∣Arızasız)=P(A∩Arızasız)P(Arızasız)=0,60(1−2p)1−1,6p=0,50⇒0,60(1−2p)=0,50(1−1,6p)⇒0,6−1,2p=0,5−0,8p⇒0,1=0,4p⇒p=0,25P(A | \text{Arızasız}) = \frac{P(A \cap \text{Arızasız})}{P(\text{Arızasız})} = \frac{0,60(1-2p)}{1 - 1,6p} = 0,50 \Rightarrow 0,60(1-2p) = 0,50(1-1,6p) \Rightarrow 0,6 - 1,2p = 0,5 - 0,8p \Rightarrow 0,1 = 0,4p \Rightarrow p = 0,25 yani %25\%25 bulunur.
B markasının arızalanma olasılığı olan pp'yi bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi uygulamaları
Soru 2754Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(6−x)=6x−x2f(x) + f(6-x) = 6x - x^2
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫15f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 463\frac{46}{3}

Cevap

İntegralin doğru değeri olan 463\frac{46}{3} ifadesidir.
Değişken değiştirme yapılarak integral sınırları uyuşturulur ve ∫15f(x) dx=∫15f(6−x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(6-x) \, dx eşitliği elde edilir. Bu iki integral toplandığında integralin içi f(x)+f(6−x)=6x−x2f(x) + f(6-x) = 6x - x^2 olur. Belirli integralin değeri hesaplanıp ikiye bölündüğünde 463\frac{46}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralde u=6−xu = 6 - x değişken değiştirmesi yapılır.
dx=−dudx = -du olur. Sınırlar ise x=1⇒u=5x = 1 \Rightarrow u = 5 ve x=5⇒u=1x = 5 \Rightarrow u = 1 olarak güncellenir.
f(6−x)f(6-x) terimini elde etmek ve integral sınırlarının değişimini görmek için.
2
Yeni değişkenlerle integral yeniden yazılır ve sınırlar��n yönü düzenlenir.
∫15f(x) dx=∫51f(6−u) (−du)=∫15f(6−x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{5}^{1} f(6-u) \, (-du) = \int_{1}^{5} f(6-x) \, dx elde edilir.
Belirli integralin sınırlarının yer değiştirmesi durumunda işaret değiştirmesi özelliğini kullanmak için.
3
Elde edilen iki integral toplanır ve verilen fonksiyonel denklem yerine yaz��lır.
2∫15f(x) dx=∫15[f(x)+f(6−x)] dx=∫15(6x−x2) dx2 \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} [f(x) + f(6-x)] \, dx = \int_{1}^{5} (6x - x^2) \, dx olur.
f(x)+f(6−x)f(x) + f(6-x) ifadesinin cebirsel değerini integrale dahil edebilmek için.
4
Polinom integral hesabı yapılarak sınırlar yerine konur.
∫15(6x−x2) dx=[3x2−x33]15=1003−83=923\int_{1}^{5} (6x - x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{5} = \frac{100}{3} - \frac{8}{3} = \frac{92}{3} bulunur.
Belirli integralin sayısal değerini hesaplamak için.
5
Nihai integral değeri için her iki taraf ikiye bölünür.
∫15f(x) dx=463\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \frac{46}{3} elde edilir.
Toplam integralin iki katından tekil integral değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yardımıyla sınırlar güncellenerek fonksiyonel simetri özelliklerinin kullanılması.
Soru 2755Soru →
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a7=a5+6a3a_7 = a_5 + 6a_3
a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2\sqrt{2}

Cevap

2\sqrt{2}
Dizinin terimleri an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} şeklinde yazıldığında, birinci denklemden r2=3r^2 = 3 elde edilir. İkinci denklemdeki a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 ifadesi, geometrik dizi özelliği gereği a32=18a_3^2 = 18 eşitliğini verir. Buradan pozitif terimli dizi için a3=32a_3 = 3\sqrt{2} olur. Son olarak a1=a3/r2a_1 = a_3 / r^2 bağıntısından a1=2a_1 = \sqrt{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk verilen eşitliği ortak çarpan (rr) cinsinden yazalım.
a7=a5+6a3  ⟹  a1r6=a1r4+6a1r2a_7 = a_5 + 6a_3 \implies a_1 r^6 = a_1 r^4 + 6 a_1 r^2
Dizinin terimlerini ilk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) cinsinden ifade ederek ortak çarpanı bulmak.
2
Elde edilen denklemi sadeleştirip rr değerini bulalım.
a1>0a_1 > 0 ve r>0r > 0 olduğundan denklemin her iki tarafını a1r2a_1 r^2 ile bölebiliriz:
r4=r2+6  ⟹  r4−r2−6=0r^4 = r^2 + 6 \implies r^4 - r^2 - 6 = 0
Bu denklem (r2−3)(r2+2)=0(r^2 - 3)(r^2 + 2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Terimler pozitif gerçel sayılar olduğundan r2>0r^2 > 0 olmalıdır. Buradan r2=3r^2 = 3 bulunur.
Ortak çarpanın karesini (r2r^2) belirlemek.
3
İkinci eşitliği kullanarak üçüncü terimi (a3a_3) bulalım.
Geometrik dizide ardışık terimlerin özelliğinden a2⋅a4=a32a_2 \cdot a_4 = a_3^2 olur. Verilen a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 eşitliğinden:
a32=18  ⟹  a3=18=32a_3^2 = 18 \implies a_3 = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
(Dizinin terimleri pozitif olduğundan pozitif kök alınır.)
İkinci denklemden dizinin üçüncü terimini elde etmek.
4
İlk terimi (a1a_1) hesaplayalım.
a3=a1⋅r2  ⟹  32=a1⋅3  ⟹  a1=2a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 3\sqrt{2} = a_1 \cdot 3 \implies a_1 = \sqrt{2}
Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki ilişkiyi kullanarak a1a_1 değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide her terim kendisinden eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasıdır (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}) ve genel terim an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle bulunur.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ikinci denklemdeki a2⋅a4=18a_2 \cdot a_4 = 18 ifadesi doğrudan a1r⋅a1r3=a12r4=18a_1 r \cdot a_1 r^3 = a_1^2 r^4 = 18 şeklinde yazılabilir. İlk denklemden elde edilen r2=3r^2 = 3 değeri burada yerine konulursa: a12⋅32=18  ⟹  9a12=18  ⟹  a12=2a_1^2 \cdot 3^2 = 18 \implies 9 a_1^2 = 18 \implies a_1^2 = 2 olur. Dizi pozitif terimli olduğundan a1=2a_1 = \sqrt{2} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2756Soru →

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} kümesinden rastgele iki farklı sayı seçiliyor. Seçilen bu sayılardan biri taban, di��eri üs olacak şekilde bir üslü sayı oluşturuluyor. Buna göre, oluşturulan bu üslü sayının bir tam kare sayı olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2945\dfrac{29}{45}

Cevap

Oluşturulan üslü sayının bir tam kare sayı olma olasılığı 29/45'tir.
Üslü sayının tam kare olması için üssün çift olması veya tabanın bir tam kare sayı olması gerekir. Olası tüm 90 durumdan 58 tanesi bu şartı sağladığı için doğru olasılık değeri 29/45'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını belirlemek
Tüm durumlar��n sayısı 90'dır.
10 elemanlı kümeden 2 farklı sayı seçilip biri taban diğeri üs yapılacaktır. Bu durum, kümeden sırayla 2 farklı sayı seçmeye eş değerdir. Tüm durumlar P(10, 2) = 10 x 9 = 90 olarak bulunur.
2
İstenen durumları (elde edilen sayının tam kare olması) iki ayrı grupta incelemek
İstenen durumların toplam sayısı 45 + 13 = 58'dir.
1. grupta üssün çift olması durumları incelenir: Üs çift sayılardan (2, 4, 6, 8, 10) biri olduğunda taban kalan 9 sayıdan biri olabilir. Buradan 5 x 9 = 45 durum gelir. 2. grupta üssün tek olması durumları incelenir: Üs tek iken taban tam kare (1, 4, 9) olmalıdır. Taban 1 ise üs 1 dışındaki 4 tek sayı olabilir; taban 4 ise üs 5 tek sayı olabilir; taban 9 ise üs 9 dışındaki 4 tek sayı olabilir. Buradan 4 + 5 + 4 = 13 durum gelir.
3
Olasılık değerini hesaplamak
Olasılık 29/45 olarak elde edilir.
Olasılık = İstenen Durum Sayısı / Tüm Durumların Sayısı formülünden 58/90 = 29/45 bulunur.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Soru 2757Soru →
Dik koordinat düzleminde, mm bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2mx+m2−2m+4f(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 2m + 4
parabollerinin tepe noktalarının oluşturduğu geometrik yer doğrusu dd doğrusudur.

Bu parabollerden, tepe noktası dd doğrusunun koordinat eksenlerini kestiği noktaların oluşturduğu doğru parçasının orta noktasında olan parabolün tepe noktası TT ve yy eksenini kestiği nokta CC olarak belirleniyor.

Buna göre, köşeleri orijin (OO), TT ve CC noktaları olan OTCOTC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

Köşeleri orijin, parabolün tepe noktası ve y eksenini kestiği nokta olan üçgenin alanı 3/2 birimkaredir.
Doğru olan seçenekteki alan değeri, parabolün tepe noktasının geometrik yerinin doğru şekilde belirlenmesi, orta noktanın doğru hesaplanması (m=1m = 1), bu mm değerine karşılık gelen parabolün yy eksenini kestiği noktanın C(0,3)C(0, 3) olarak bulunması ve köşeleri O(0,0)O(0,0), T(1,2)T(1,2), C(0,3)C(0,3) olan üçgenin alanının 3×12=32\frac{3 \times 1}{2} = \frac{3}{2} birimkare olarak elde edilmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını mm parametresi cinsinden bulun.
T(m,−2m+4)T(m, -2m+4)
Tepe noktasının apsisi r=−b/(2a)=−(−2m)/2=mr = -b/(2a) = -(-2m)/2 = m ve ordinatı ise k=f(r)=f(m)=m2−2m2+m2−2m+4=−2m+4k = f(r) = f(m) = m^2 - 2m^2 + m^2 - 2m + 4 = -2m+4 olarak hesaplanır.
2
Tepe noktasının oluşturduğu geometrik yer doğrusunun denklemini elde edin ve bu doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirleyin.
Doğru denklemi d:y=−2x+4d: y = -2x + 4 olup eksenleri kestiği noktalar A(2,0)A(2, 0) ve B(0,4)B(0, 4)'tür.
x=mx = m ve y=−2m+4y = -2m+4 eşitliklerinden mm yok edilerek y=−2x+4y = -2x+4 doğrusu elde edilir. Eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x=0x=0 ve y=0y=0 değerleri verilir.
3
Eksenleri kestiği noktaların oluşturduğu doğru parçasının orta noktasını hesaplayın ve bu noktayı tepe noktası yapan mm değerini bulun.
Orta nokta M(1,2)M(1, 2) ve bu durumda m=1m = 1 olur.
Orta nokta koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır: M=((2+0)/2,(0+4)/2)=(1,2)M = ((2+0)/2, (0+4)/2) = (1, 2). Parabolün tepe noktası bu orta nokta olduğundan T(m,−2m+4)=(1,2)  ⟹  m=1T(m, -2m+4) = (1, 2) \implies m = 1 elde edilir.
4
m=1m=1 için parabolün denklemini yazıp yy eksenini kestiği CC noktasını bulun.
Parabol denklemi f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 ve C(0,3)C(0, 3) olur.
Fonksiyonun yy eksenini kestiği noktanın apsisi sıfırdır, bu yüzden f(0)=02−2(0)+3=3f(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3 değeri hesaplanır.
5
Köşeleri O(0,0)O(0, 0), T(1,2)T(1, 2) ve C(0,3)C(0, 3) olan OTCOTC üçgeninin alanını hesaplayın.
Alan = 3/23/2 birimkare
Üçgenin tabanı yy ekseni üzerinde [OC][OC] doğru parçası olup uzunluğu 33 birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise T(1,2)T(1, 2) noktasının yy eksenine olan uzaklığı, yani apsisinin mutlak değeri olan 11 birimdir. Alan formülünden Alan=3×12=32\text{Alan} = \frac{3 \times 1}{2} = \frac{3}{2} bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2758Soru →
Terimleri gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a2+a10=16a_2 + a_{10} = 16
a5⋅a7=60a_5 \cdot a_7 = 60

eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, a1⋅a11a_1 \cdot a_{11} çarpımının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -36

Cevap

Dizinin birinci terimi ile on birinci teriminin çarpımı -36'dır.
Dizinin terimlerinin indis simetrisi kullanılarak 6. terim a6=8a_6 = 8 ve ortak farkın karesi r2=4r^2 = 4 olarak elde edilir. İstenen a1⋅a11a_1 \cdot a_{11} çarpım ifadesi de 6. terime göre simetrik yazılıp iki kare farkı uygulandığında a62−25r2a_6^2 - 25r^2 ifadesine ulaşılır. Değerler yerine yazıldığında sonuç −36-36 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a2+a10=16a_2 + a_{10} = 16 toplamı üzerinden dizinin 6. terimini (a6a_6) belirlemek.
a6=8a_6 = 8
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. 2+10=6+62 + 10 = 6 + 6 olduğundan a2+a10=2a6a_2 + a_{10} = 2a_6 eşitliği geçerlidir.
2
a5⋅a7=60a_5 \cdot a_7 = 60 çarpım eşitliğinden yararlanarak dizinin ortak farkının karesini (r2r^2) bulmak.
r2=4r^2 = 4
a5=a6−ra_5 = a_6 - r ve a7=a6+ra_7 = a_6 + r olarak yazıldığında, çarpımları iki kare farkı oluşturur: (a6−r)(a6+r)=a62−r2(a_6 - r)(a_6 + r) = a_6^2 - r^2. Değerler yerine konduğunda 82−r2=60  ⟹  64−r2=608^2 - r^2 = 60 \implies 64 - r^2 = 60 elde edilir.
3
İstenen a1⋅a11a_1 \cdot a_{11} çarpım ifadesini a6a_6 ve rr cinsinden yazmak.
a1⋅a11=a62−25r2a_1 \cdot a_{11} = a_6^2 - 25r^2
a1=a6−5ra_1 = a_6 - 5r ve a11=a6+5ra_{11} = a_6 + 5r ifadelerinin çarpımı iki kare farkı özdeşliği gereği a62−(5r)2=a62−25r2a_6^2 - (5r)^2 = a_6^2 - 25r^2 sonucunu verir.
4
Elde edilen a6=8a_6 = 8 ve r2=4r^2 = 4 değerlerini son ifadede yerine yazıp hesaplama yapmak.
−36-36
a1⋅a11=82−25⋅4=64−100=−36a_1 \cdot a_{11} = 8^2 - 25 \cdot 4 = 64 - 100 = -36 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özelliklerine göre simetrik olarak ifade edilmesi ve iki kare farkı özdeşliği uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Tüm terimleri birinci terim a1a_1 ve ortak fark rr cinsinden yazıp iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak da çözüme ulaşılabilir. Ancak bu yöntem daha fazla işlem adımı ve zaman gerektirir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2759Soru →

Bir üniversite öğrencisi, haftalık ders programını oluşturmak amacıyla birer ders seçmek üzere Pazartesi ve Çarşamba günlerinde açılan seçmeli ders listelerini incelemektedir.

- Pazartesi günü için: 33 farklı fen bilimleri ve 22 farklı sosyal bilimler dersi,
- Çarşamba günü için: 22 farklı fen bilimleri ve 44 farklı sosyal bilimler dersi

açılmıştır. Bu öğrenci, biri Pazartesi diğeri Çarşamba günü olmak üzere toplam 22 ders seçecektir. Seçtiği bu iki dersin farklı alanlardan (biri fen bilimleri, diğeri sosyal bilimler) olmasını istemektedir.

Buna göre, bu öğrenci ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1616

Cevap

16
Öğrencinin biri Pazartesi diğeri Çarşamba günü olmak üzere seçeceği iki dersin farklı alanlardan olması için iki ayrık durum vardır: Pazartesi günü fen bilimleri ve Çarşamba günü sosyal bilimler seçilmesi (3×4=123 \times 4 = 12 durum) ya da Pazartesi günü sosyal bilimler ve Çarşamba günü fen bilimleri seçilmesi (2×2=42 \times 2 = 4 durum). Bu ayrık durumlar toplandığında toplam 12+4=1612 + 4 = 16 farklı seçim yapılabileceği görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Pazartesi gününden fen bilimleri, Çarşamba gününden sosyal bilimler dersi seçilme durumunu hesaplamak
3×4=123 \times 4 = 12 farklı durum
Pazartesi günü için 33 farklı fen bilimleri dersi ve Çarşamba günü için 44 farklı sosyal bilimler dersi olduğundan, çarpma kuralı gereği bu iki seçimin birlikte yapılma sayısı çarpılarak bulunur.
2
Pazartesi gününden sosyal bilimler, Çarşamba gününden fen bilimleri dersi seçilme durumunu hesaplamak
2×2=42 \times 2 = 4 farklı durum
Pazartesi günü için 22 farklı sosyal bilimler dersi ve Çarşamba günü için 22 farklı fen bilimleri dersi olduğundan, çarpma kuralı gereği bu iki seçimin birlikte yapılma sayısı çarpılarak bulunur.
3
Elde edilen bu iki ayrık durumun toplamını bulmak
12+4=1612 + 4 = 16 farklı durum
Seçimler farklı gün ve alan koşulunu sağlayan ayrık durumlar oluşturduğundan, toplama kuralı uygulanarak toplam seçim sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Çarpma ve Toplama Yoluyla Sayma kurallarının koşullu durumlarda birlikte uygulanması
Soru 2760Soru →

Bir torbada 44 kırmızı ve 66 beyaz top bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen bu top torbaya geri konulmayıp, yerine diğer renkten 22 top torbaya ekleniyor. Daha sonra torbadan rastgele ikinci bir top çekiliyor.

İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre, ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

İlk çekilen topun beyaz olma olasılığı 0,75'tir.
İkinci çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğinden, örnek uzay sadece ikinci topun kırmızı geldiği durumlara kısıtlanır. İlk topun beyaz ve ikinci topun kırmızı gelme olasılığının (36/110), ikinci topun kırmızı gelme toplam olasılığına (48/110) oranı bize koşullu olasılığı 3/4 = 0,75 olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk çekimde kırmızı top gelme durumunu ve sonrasındaki torba içeriğini analiz etme.
İlk çekimde kırmızı gelme olasılığı P(K1)=410P(K_1) = \frac{4}{10}'dur. Kırmızı top geri atılmayıp yerine 22 beyaz top konulduğunda torbada 33 kırmızı, 88 beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı P(K2∣K1)=311P(K_2|K_1) = \frac{3}{11} olur. İkisinin birlikte gerçekleşme olasılığı P(K1∩K2)=410×311=12110P(K_1 \cap K_2) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{11} = \frac{12}{110}'dur.
Bayes teoreminde kullanılacak olan ilk durumun kesişim olasılığını bulmak.
2
İlk çekimde beyaz top gelme durumunu ve sonrasındaki torba içeriğini analiz etme.
İlk çekimde beyaz gelme olasılığı P(B1)=610P(B_1) = \frac{6}{10}'dur. Beyaz top geri atılmayıp yerine 22 kırmızı top konulduğunda torbada 66 kırmızı, 55 beyaz top kalır. Bu durumda ikinci çekimde kırmızı gelme olasılığı P(K2∣B1)=611P(K_2|B_1) = \frac{6}{11} olur. İkisinin birlikte gerçekleşme olasılığı P(B1∩K2)=610×611=36110P(B_1 \cap K_2) = \frac{6}{10} \times \frac{6}{11} = \frac{36}{110}'dur.
Bayes teoreminde kullanılacak olan ikinci durumun kesişim olasılığını bulmak.
3
İkinci çekilen topun kırmızı olma toplam olasılığını hesaplama.
P(K2)=P(K1∩K2)+P(B1∩K2)=12110+36110=48110P(K_2) = P(K_1 \cap K_2) + P(B_1 \cap K_2) = \frac{12}{110} + \frac{36}{110} = \frac{48}{110}'dur.
Koşullu olasılık formülünün paydasını (kısıtlanmış örnek uzayın olasılığını) bulmak.
4
İkinci topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ilk topun beyaz olma olasılığını hesaplama.
P(B1∣K2)=P(B1∩K2)P(K2)=36/11048/110=3648=34=0,75P(B_1|K_2) = \frac{P(B_1 \cap K_2)}{P(K_2)} = \frac{36/110}{48/110} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4} = 0,75'tir.
Koşullu olasılık tanımını uygulayarak istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi
ÖncekiSayfa 138 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin