Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2761Soru →

Bir teknoloji ��irketi, yeni piyasaya sürdüğü bir akıllı cihazın haftalık satış adetlerini incelemektedir. Cihazın satışa sunulduğu ilk hafta belirli sayıda satış yapılmış ve sonraki her hafta satılan cihaz sayısı bir önceki haftaya göre sabit bir oranda artarak geometrik bir dizi oluşturmuştur. Bu cihazın ilk 4 haftada satılan toplam adedi, ilk 2 haftada satılan toplam adedinin 10 katıdır. Cihazın 5. haftadaki satış adedi, ilk haftadaki satış adedinden 2400 fazla olduğuna göre, bu cihaz ilk hafta kaç adet satılmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Cihazın ilk hafta satılan adedi 30'dur.
Cihazın haftalık satışları geometrik bir dizi oluşturduğu için ilk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satışa oranı kullanılarak ortak çarpan r=3r = 3 olarak belirlenir. Daha sonra, 5. hafta ile 1. hafta arasındaki fark denkleminde ortak çarpan yerine yazıldığında ilk hafta satılan cihaz sayısı a1=30a_1 = 30 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizinin genel terim ve ilk nn terim toplamı formüllerini tanımlamak.
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ve an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Problemi çözmek için haftalık toplam satışları ve belirli bir haftadaki satışı matematiksel olarak ifade etmek gerekir.
2
İlk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satış��n 10 katı olduğu bilgisini denkleme dökmek.
a1⋅r4−1r−1=10⋅a1⋅r2−1r−1a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} = 10 \cdot a_1 \cdot \frac{r^2 - 1}{r - 1}
Ortak çarpan rr değerini belirleyebilmek için toplam terim formüllerini oranlamak gerekir.
3
Elde edilen denklemi sadeleştirip iki kare farkı özdeşliği kullanarak ortak çarpanı çözmek.
r2+1=10⇒r2=9⇒r=3r^2 + 1 = 10 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3
a1a_1 ve r−1r-1 terimleri sadeleştirildikten sonra r4−1r^4-1 ifadesi (r2−1)(r2+1)(r^2-1)(r^2+1) şeklinde açılarak rr değeri kolayca bulunur.
4
5. hafta satışı ile 1. hafta satışı arasındaki farkı kullanarak ilk terimi veren denklemi kurmak.
a5−a1=2400⇒a1(r4−1)=2400a_5 - a_1 = 2400 \Rightarrow a_1(r^4 - 1) = 2400
İlk hafta satılan cihaz miktarını (a1a_1) bulmak için verilen fark bilgisinden yararlanılır.
5
r=3r = 3 değerini yerine yazarak ilk terimi hesaplamak.
80⋅a1=2400⇒a1=3080 \cdot a_1 = 2400 \Rightarrow a_1 = 30
Bulunan ortak çarpan denklemde yerine yazılarak bilinmeyen ilk terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizi toplamı ve terimleri arasındaki ilişki ile gerçek hayat problemlerinin modellenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2762Soru →

Bir yazılımcı, geliştirdiği bir güvenlik sistemi için 1,1,1,2,2,3,31, 1, 1, 2, 2, 3, 3 rakamlarının tamamını kullanarak 7 haneli bir şifre oluşturacaktır. Sistem güvenliği açısından şifrede bulunan aynı rakamların hiçbirinin yan yana gelmemesi gerekmektedir. Buna göre, bu yazılımcı belirtilen koşula uygun kaç farklı şifre oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Koşullara uygun oluşturulabilecek farklı şifre sayısı 38'dir.
Şifredeki hiçbir aynı rakamın yan yana gelmemesi koşulu için önce 11 rakamları dışındaki 2,2,3,32, 2, 3, 3 rakamları sıralanıp, oluşan boşluklara 11 rakamları yerleştirilerek 11'lerin yan yana gelmediği tüm durumlar (60 durum) bulunur. Daha sonra bu durumlar arasından yan yana gelen 22'ler ve 33'ler içerme-dışarma prensibiyle elenerek doğru sonuç olan 38'e ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
11 dışındaki 2,2,3,32, 2, 3, 3 rakamlarının tekrarlı permütasyon sayısını hesaplama
6 farklı sıralama elde edilir.
Önce 11 dışındaki elemanları yerleştirerek boşluklar elde etmek.
2
11 rakamlarının yan yana gelmeyeceği şekilde boşluklara yerleştirilme sayısını hesaplama
Toplam 6×(53)=606 \times \binom{5}{3} = 60 durum elde edilir.
Hiçbir 11 rakamının yan yana gelmediği şifre sayısını belirlemek.
3
Aynı olan diğer rakamların (22 veya 33) yan yana geldiği istenmeyen durumları hesaplama
İki 22'nin yan yana geldiği durum sayısı 1212, iki 33'ün yan yana geldiği durum sayısı da 1212'dir.
İçerme-dışarma prensibini uygulamak üzere tekli istenmeyen durum kümelerini bulmak.
4
Hem iki 22'nin hem de iki 33'ün aynı anda yan yana geldiği durum sayısını hesaplama
2 durum elde edilir.
İçerme-dışarma prensibindeki kesişim kümesini bulmak.
5
İstenmeyen durumların toplam sayısını bulup tüm durumlardan çıkarma
60−(12+12−2)=3860 - (12 + 12 - 2) = 38 olarak bulunur.
Koşulları tam olarak sağlayan şifre sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde boşluk (gap) yöntemi ve içerme-dışarma prensibinin entegrasyonu.
Soru 2763Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−3x+af(x) = x^2 - 3x + a
parabolüne üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktadan çizilen teğet doğrusu,
g(x)=x3−bx2+1g(x) = x^3 - bx^2 + 1
eğrisine üzerindeki x=1x = 1 apsisli noktada teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Ortak teğet doğrusunun denkleminin yazılması ve her iki fonksiyonun teğet noktalarındaki türev değerlerinin eğime eşitlenmesiyle elde edilen parametreler toplamı 5'tir.
Verilen fonksiyonların teğet oldukları noktalardaki türevleri ortak teğet doğrusunun eğimine (m = 1) eşittir. Bu eğim kullanılarak b = 1 değeri bulunur. Elde edilen teğet noktası (1, 1) yardımıyla ortak teğet doğrusunun denklemi y = x olarak yazılır. Diğer teğet noktası da bu denklemi sağlamak zorunda olduğundan a = 4 ve dolayısıyla a + b = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimini türev yardımıyla bulmak.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3 türev fonksiyonu elde edilir. x=2x = 2 için f′(2)=2(2)−3=1f'(2) = 2(2) - 3 = 1 olur. Teğet doğrusunun eğimi m=1m = 1'dir.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
g(x)g(x) fonksiyonuna x=1x = 1 noktasında teğet olan doğrunun eğimini kullanarak bb parametresini bulmak.
g′(x)=3x2−2bxg'(x) = 3x^2 - 2bx türev fonksiyonu elde edilir. x=1x = 1 için g′(1)=3−2bg'(1) = 3 - 2b olur. Ortak teğet doğrusunun eğimi 1 olduğundan, 3−2b=13 - 2b = 1 ise b=1b = 1 bulunur.
Aynı teğet doğrusu g(x)g(x) e��risine de teğet olduğundan, g(x)g(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi de teğet doğrusunun eğimi olan 1'e eşit olmalıdır.
3
Teğet noktasının koordinatlarını belirlemek ve ortak teğet doğrusunun denklemini yazmak.
b=1b = 1 için g(x)=x3−x2+1g(x) = x^3 - x^2 + 1 olur. g(1)=1g(1) = 1 olduğundan teğet noktası (1,1)(1, 1)'dir. Eğimi m=1m = 1 olan ve (1,1)(1, 1) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi y−1=1(x−1)y - 1 = 1(x - 1) yani y=xy = x olarak bulunur.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak ortak teğet doğrusunun denklemi elde edilir.
4
f(x)f(x) parabolü üzerindeki teğet noktasını bulup teğet doğrusu üzerinde olduğunu kullanarak aa parametresini ve ardından a+ba + b toplamını hesaplamak.
f(x)f(x) parabolü üzerindeki teğet noktası (2,f(2))(2, f(2))'dir. f(2)=22−3(2)+a=a−2f(2) = 2^2 - 3(2) + a = a - 2 olur. Bu nokta y=xy = x doğrusu üzerinde olduğundan a−2=2a - 2 = 2 ise a=4a = 4 bulunur. Buradan a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5 elde edilir.
Eğri üzerindeki teğet noktası aynı zamanda teğet doğrusunun da üzerinde yer almak zorundadır.

Anahtar Kavram

İki farklı fonksiyona teğet olan ortak doğrunun eğiminin türev yardımıyla hesaplanması ve teğet noktalarının doğru denklemini sağlaması prensibi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2764Soru →
log⁡312=a\log_3 12 = a
log⁡25=b\log_2 5 = b

olduğuna göre, log⁡1524\log_{15} 24 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3a−1ab−b+2\frac{3a-1}{ab-b+2}

Cevap

3a−1ab−b+2\frac{3a-1}{ab-b+2}
İstenen ifade taban değiştirme kuralı ile 2 tabanına çevrildiğinde 3+log⁡23log⁡23+log⁡25\frac{3 + \log_2 3}{\log_2 3 + \log_2 5} elde edilir. log⁡312=a\log_3 12 = a eşitliğinden bulunan log⁡23=2a−1\log_2 3 = \frac{2}{a-1} ve log⁡25=b\log_2 5 = b değerleri yerlerine yazılıp sadeleştirildiğinde 3a−1ab−b+2\frac{3a-1}{ab-b+2} ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen log⁡312=a\log_3 12 = a eşitliğini logaritma özelliklerini kullanarak sadeleştirelim.
log⁡312=log⁡3(3⋅4)=log⁡33+log⁡3(22)=1+2log⁡32=a\log_3 12 = \log_3 (3 \cdot 4) = \log_3 3 + \log_3 (2^2) = 1 + 2\log_3 2 = a Buradan, 2log⁡32=a−1  ⟹  log⁡32=a−122\log_3 2 = a - 1 \implies \log_3 2 = \frac{a-1}{2} bulunur.
Verilen ifadeyi daha basit logaritmik terimlere indirgemek.
2
Elde edilen ifadeden taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡23\log_2 3 değerini elde edelim.
log⁡23=1log⁡32=2a−1\log_2 3 = \frac{1}{\log_3 2} = \frac{2}{a-1} olarak bulunur.
Diğer verilen değer olan log⁡25=b\log_2 5 = b ifadesinin tabanı 2 olduğundan, tüm terimleri 2 tabanında yazabilmek.
3
İstenen log⁡1524\log_{15} 24 ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 2 tabanında yazalım.
log⁡1524=log⁡224log⁡215=log⁡2(23⋅3)log⁡2(3⋅5)=3+log⁡23log⁡23+log⁡25\log_{15} 24 = \frac{\log_2 24}{\log_2 15} = \frac{\log_2 (2^3 \cdot 3)}{\log_2 (3 \cdot 5)} = \frac{3 + \log_2 3}{\log_2 3 + \log_2 5} elde edilir.
İstenen ifadeyi bilinen değişkenlerin tabanında (2 tabanında) ifade etmek.
4
Bulduğumuz log⁡23=2a−1\log_2 3 = \frac{2}{a-1} ve log⁡25=b\log_2 5 = b değerlerini formülde yerine yazarak düzenleyelim.
log⁡1524=3+2a−12a−1+b=3a−3+2a−12+ab−ba−1=3a−1ab−b+2\log_{15} 24 = \frac{3 + \frac{2}{a-1}}{\frac{2}{a-1} + b} = \frac{\frac{3a-3+2}{a-1}}{\frac{2+ab-b}{a-1}} = \frac{3a-1}{ab-b+2} elde edilir.
Rasyonel ifadelerde payda eşitleme ve sadeleştirme işlemlerini yaparak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Soru 2765Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8
ve
∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2+1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İntegralin doğru değeri 6'dır.
Değişken değiştirme yöntemiyle u=x2+1u = x^2 + 1 seçildiğinde x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=5u=5 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du şekline dönüşür. Verilen ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 bilgisi kullanılarak sonuç 12⋅12=6\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen integralde değişken değiştirme uygulamak için uygun dönüşümü belirleyin.
u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir. Buradan x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du bulunur.
İntegral içerisindeki x2+1x^2 + 1 ifadesinin türevi olan 2x2x ifadesi (sabit katsayı farkıyla) integralin içinde çarpan olarak bulunmaktadır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni de��işken olan uu'ya göre güncelleyin.
Alt sınır için: x=1⇒u=12+1=2x = 1 \Rightarrow u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için: x=2⇒u=22+1=5x = 2 \Rightarrow u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene uyarlanması gerekir.
3
Dönüşümü integralde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
∫12x⋅f(x2+1) dx=∫25f(u)⋅12 du=12∫25f(u) du\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du elde edilir. Verilen ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 değeri yerine yazıldığında: 12⋅12=6\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 bulunur.
Elde edilen yeni belirli integral, verilen ikinci integralin değerine bağlıdır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Soru 2766Soru →

Yatay bir düzlem üzerinde durmakta olan 5 kg5\text{ kg} kütleli bir bloğa, yatayla 37∘37^\circ lik açı yapacak şekilde yukarı doğru yönelmiş 50 N50\text{ N} büyüklüğünde sabit bir FF kuvveti uygulanmaktadır. Blok ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı 0,50,5 olduğuna göre, bloğun ivmesinin büyüklüğü kaç m/s2\text{m/s}^2 olur?
(g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2; sin⁡37∘=0,6\sin 37^\circ = 0,6; cos⁡37∘=0,8\cos 37^\circ = 0,8 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Bloğun ivmesinin büyüklüğü 6 m/s26\text{ m/s}^2 olarak bulunur.
Kuvvetin yatay bileşeni (40 N40\text{ N}) sürtünme kuvvetinden (10 N10\text{ N}) büyüktür ve net kuvvet yatayda 30 N30\text{ N} olur. Newton'ın İkinci Yasası uygulandığında ivme 6 m/s26\text{ m/s}^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Uygulanan kuvvetin yatay ve düşey bileşenleri hesaplanır.
Fx=40 NF_x = 40\text{ N} ve Fy=30 NF_y = 30\text{ N}
Kuvvet yatayla açı yaptığı için hareketi sağlayan yatay bileşen ile yüzeye olan dik baskıyı azaltan düşey bileşen belirlenmelidir.
2
Yüzeyin cisme uyguladığı normal (tepki) kuvveti hesaplanır.
N=20 NN = 20\text{ N}
Uygulanan kuvvetin düşey bileşeni yukarı yönlü olduğundan, cismin ağırlığının oluşturduğu baskıyı azaltır: N=mg−FyN = mg - F_y.
3
Cisme etki eden sürtünme kuvveti hesaplanır.
fs=10 Nf_s = 10\text{ N}
Sürtünme kuvveti, sürtünme katsayısı ile normal kuvvetin çarpımına eşittir: fs=μ⋅Nf_s = \mu \cdot N.
4
Cisme etki eden net yatay kuvvet ve cismin ivmesi hesaplanır.
Fnet=30 NF_{net} = 30\text{ N} ve a=6 m/s2a = 6\text{ m/s}^2
Net yatay kuvvet, uygulanan kuvvetin yatay bileşeni ile sürtünme kuvvetinin farkıdır. İvme ise Newton'ın İkinci Yasası gereği a=Fnet/ma = F_{net}/m formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Newton'ın İkinci Hareket Yasası ve Sürtünme Kuvveti Analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2767Soru →

Bir satranç turnuvasında AA, BB ve CC oyuncuları mücadele etmektedir. Turnuva kuralları şu şekildedir:
- Her turda yalnızca iki oyuncu karşılaşır. Mağlup olan oyuncu elenmez ancak bir sonraki turda dinlenir (yani o tur oynamayan oyuncu ile bir önceki turun galibi karşılaşır).
- Turnuvadaki hiçbir maçta beraberlik yaşanmamaktadır.
- 1. turda AA ile BB karşılaşmıştır.
- Turnuva süresince oyuncuların birbirlerini yenme olasılıkları sabittir. AA'nın BB'yi yenme olasılığı 23\frac{2}{3}, AA'nın CC'yi yenme olasılığı 12\frac{1}{2} ve BB'nin CC'yi yenme olasılığı ise 35\frac{3}{5}'tir.

Buna göre, 3. turdaki maçı AA oyuncusunun kazandığı bilindiğine göre, 2. turdaki maçı BB oyuncusunun kazanmış olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 619\frac{6}{19}

Cevap

İstenen koşullu olasılık değeri 619\frac{6}{19}'dur.
3. turdaki maçı A oyuncusunun kazandığı bilindiğine göre örnek uzayımız A'nın 3. turda kazandığı üç farklı durumun olasılıkları toplamı olan 1945\frac{19}{45} değerine indirgenir. Bu durumlardan yalnızca 1. turu B'nin kazanıp, 2. turda B'nin C'yi yenmesi ve ardından 3. turda A'nın B'yi yenmesi durumunda 2. turu B kazanmış olur. Bu özel yolun olasılığı 215\frac{2}{15} olduğuna göre, koşullu olasılık değeri 2/1519/45=619\frac{2/15}{19/45} = \frac{6}{19} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Turların eşleşmelerini ve olası sonuç dallarını belirleme
1. Tur: A - B maçı yapılır. İki olasılık vardır:
- A kazanır (Olasılık: 23\frac{2}{3}): Bu durumda 2. Tur C - A olur (B dinlenir).
- B kazanır (Olasılık: 13\frac{1}{3}): Bu durumda 2. Tur C - B olur (A dinlenir).
Olay akışını sistematik olarak takip edebilmek için ağaç diyagramı başlangıcı oluşturulur.
2
2. ve 3. tur sonuçlarına göre A'nın 3. turu kazandığı yolları analiz etme
Yol 1: A (1. turu kazanır) -> A (2. turda C'yi yener) -> A (3. turda B'yi yener)
Olasılık: 23×12×23=29\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}

Yol 2: B (1. turu kazanır) -> B (2. turda C'yi yener) -> A (3. turda B'yi yener)
Olasılık: 13×35×23=215\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{15}

Yol 3: B (1. turu kazanır) -> C (2. turda B'yi yener) -> A (3. turda C'yi yener)
Olasılık: 13×25×12=115\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{15}

Not: 1. turu A kazanıp 2. turu C kazansaydı, 3. tur B ile C arasında oynanacaktı ve A'nın 3. turu kazanma olasılığı 0 olacaktı.
Koşullu olasılıkta payda kısmını oluşturan 'A'nın 3. turu kazanması' koşuluna uygun tüm durumları belirlemek gerekir.
3
Koşulun gerçekleşme olasılığını (A'nın 3. turu kazanma olasılığı) hesaplama
P(A3)=29+215+115=29+315=29+15=10+945=1945P(A_3) = \frac{2}{9} + \frac{2}{15} + \frac{1}{15} = \frac{2}{9} + \frac{3}{15} = \frac{2}{9} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 9}{45} = \frac{19}{45}
Koşulun toplam olasılığını bularak örnek uzayı bu değere daraltacağız.
4
2. turu B'nin kazandığı ve A'nın 3. turu kazandığı ortak durumu bulup koşullu olasılığı hesaplama
2. turu B'nin kazandığı ve 3. turu A'nın kazandığı tek yol Yol 2'dir. Bu yolun olasılığı 215\frac{2}{15}'tir.
Koşullu Olasılık = P(Yol 2)P(A3)=2151945=215×4519=619\frac{P(\text{Yol 2})}{P(A_3)} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{19}{45}} = \frac{2}{15} \times \frac{45}{19} = \frac{6}{19}
Koşullu olasılık tanımı gereği P(X∣Y)=P(X∩Y)P(Y)P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)} formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta, verilen bir koşulun gerçekleştiği bilindiğinde, ��rnek uzay sadece bu koşulu sağlayan çıktılara daraltılır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2768Soru →

Bir bisiklet firması, müşterilerine kendi bisikletlerini tasarlayabilmeleri için internet sitesinde bir modül sunmaktadır. Bu modülde bir bisiklet tasarımı oluşturmak isteyen bir müşteri sırasıyla;
- 33 farklı kadro tipi (K1,K2,K3K_1, K_2, K_3),
- 44 farklı gidon tipi (G1,G2,G3,G4G_1, G_2, G_3, G_4),
- 33 farklı sele tipi (S1,S2,S3S_1, S_2, S_3)
arasından seçim yapacaktır. Ancak üretimdeki teknik kısıtlamalardan dolayı;
- K1K_1 kadro tipi seçildiğinde G3G_3 gidon tipi,
- S1S_1 sele tipi seçildiğinde G4G_4 gidon tipi
kullanılamamaktadır.

Buna göre, bir müşteri bu kısıtlamalara uygun olarak kaç farklı bisiklet tasarımı yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Teknik kısıtlamalara uygun olarak yapılabilecek toplam bisiklet tasarımı sayısı 30'dur.
Kısıtlamasız tüm durumların sayısı olan 36'dan, kısıtlamaları ihlal eden ve kesişimleri boş olan iki ayrık durum grubunun (3 ve 3 olmak üzere toplam 6 durum) çıkarılmasıyla doğru cevap 30 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtlama olmadan yapılabilecek tüm tasarımların sayısını hesaplama
3×4×3=363 \times 4 \times 3 = 36
Çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca, ardışık yapılan bağımsız seçimlerin seçenek sayıları çarpılır.
2
K1K_1 kadro ve G3G_3 gidon kombinasyonunun kullanıldığı geçersiz durumları bulma
1×1×3=31 \times 1 \times 3 = 3
Kadro K1K_1 ve gidon G3G_3 olarak seçildiğinde, sele için 3 farklı seçenek (S1,S2,S3S_1, S_2, S_3) kullanılabilir.
3
S1S_1 sele ve G4G_4 gidon kombinasyonunun kullanıldığı geçersiz durumları bulma
3×1×1=33 \times 1 \times 1 = 3
Sele S1S_1 ve gidon G4G_4 olarak seçildiğinde, kadro için 3 farklı seçenek (K1,K2,K3K_1, K_2, K_3) kullanılabilir.
4
Geçersiz durumların ortak elemanı (kesişimi) olup olmadığını kontrol etme ve toplam geçersiz durumları bulma
3+3=63 + 3 = 6
Bir bisiklet tasarımında yalnızca bir gidon seçilebildiği için, bir tasarımda aynı anda hem G3G_3 hem de G4G_4 bulunamaz. Bu nedenle iki geçersiz durum kümesi ayrıktır ve eleman sayıları toplanır.
5
Geçerli tasarımların sayısını bulma
36−6=3036 - 6 = 30
Tüm olası durumlardan geçersiz durumların çıkarılması (tümleyen yöntemi) ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpma ve Toplama Yoluyla Sayma İlkeleri ile Tüm Durumlardan İstenmeyen Durumların Çıkarılması
Soru 2769Soru →

Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x2−2ax+a2−3a+2f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 2

parabolünün tepe noktası olan TT noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesindedir.

Bu parabolün simetri ekseni ile y=xy = x doğrusunun kesişim noktası PP olmak üzere, TT ve PP noktaları arasındaki uzaklık 66 birimdir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

a = 2
Tepe noktası T(a,−3a+2)T(a, -3a+2) dördüncü bölgede olduğu için a>2/3a > 2/3 olmalıdır. Simetri ekseni olan x=ax = a doğrusu ile y=xy = x doğrusunun kesişim noktası P(a,a)P(a, a) olur. İki nokta arasındaki uzaklık ∣4a−2∣=6|4a - 2| = 6 denklemini verir. Buradan a=2a = 2 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
T(a,−3a+2)T(a, -3a + 2)
Parabolün tepe noktasının apsisi r=−b2acoeff=−−2a2=ar = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{-2a}{2} = a formülüyle bulunur. Ordinatı ise k=f(a)=a2−2a2+a2−3a+2=−3a+2k = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - 3a + 2 = -3a + 2 olarak elde edilir.
2
Simetri eksenini belirlemek ve kesişim noktasını bulmak.
P(a,a)P(a, a)
Parabolün simetri ekseni x=rx = r doğrusudur, yani x=ax = a doğrusudur. Bu doğrunun y=xy = x doğrusuyla kesişim noktası P(a,a)P(a, a) olur.
3
T ve P noktaları arasındaki uzaklık denklemini yazmak.
∣4a−2∣=6|4a - 2| = 6
Apsisleri aynı olan iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir: ∣a−(−3a+2)∣=∣4a−2∣=6|a - (-3a + 2)| = |4a - 2| = 6.
4
Dördüncü bölge koşulunu uygulayarak a değerini belirlemek.
a=2a = 2
T(a,−3a+2)T(a, -3a + 2) dördüncü bölgede olduğundan apsisi pozitif (a>0a > 0), ordinatı negatif (−3a+2<0  ⟹  a>2/3-3a + 2 < 0 \implies a > 2/3) olmalıdır. ∣4a−2∣=6|4a - 2| = 6 denkleminin çözümlerinden a=2a = 2 bu koşulu sağlar, a=−1a = -1 ise sağlamaz.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları, simetri ekseni ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık ilişkisi
Soru 2770Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası yy ekseni üzerinde olan
f(x)=(a−3)x2+(a2−9)x+12−2af(x) = (a-3)x^2 + (a^2-9)x + 12 - 2a
parabolü verilmiştir.

Buna göre, bu parabolün eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18318\sqrt{3}

Cevap

Parabolün eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı 18318\sqrt{3} birimkaredir.
Doğru olan seçenekteki alan değeri, parabolün tepe noktasının yy ekseni üzerinde olma koşulundan elde edilen f(x)=−6x2+18f(x) = -6x^2 + 18 denkleminin eksenleri kestiği noktalar olan (−3,0)(-\sqrt{3}, 0), (3,0)(\sqrt{3}, 0) ve (0,18)(0, 18) koordinatlarının oluşturduğu üçgenin alanıdır. Taban uzunluğu 232\sqrt{3} birim ve yüksekliği 1818 birim olan bu üçgenin alanı 12⋅23⋅18=183\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 18 = 18\sqrt{3} birimkare olarak doğru hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının yy ekseni üzerinde olması şartını uygulayarak aa parametresini belirlemek.
a2−9=0  ⟹  a=3a^2 - 9 = 0 \implies a = 3 veya a=−3a = -3 bulunur. İkinci dereceden fonksiyon tanımı gereği başkatsayı sıfır olamaz: a−3≠0  ⟹  a≠3a - 3 \neq 0 \implies a \neq 3 olmalıdır. Buradan a=−3a = -3 olarak belirlenir.
Bir parabolün tepe noktası yy ekseni üzerinde ise simetri ekseni r=−b2a=0r = -\frac{b}{2a} = 0 olmalıdır, bu da xx teriminin katsayısının sıfır olmasını gerektirir.
2
Bulunan aa değerini yerine yazarak parabol denklemini elde etmek ve yy eksenini kestiği noktayı belirlemek.
f(x)=−6x2+18f(x) = -6x^2 + 18 denklemi elde edilir. x=0x = 0 için y=18y = 18 olduğundan, yy eksenini kestiği nokta (0,18)(0, 18) olarak bulunur.
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulmak için öncelikle fonksiyonun tam kuralı ortaya çıkarılmalıdır.
3
Parabolün xx eksenini kestiği noktaları belirlemek.
f(x)=0  ⟹  −6x2+18=0  ⟹  x2=3  ⟹  x=±3f(x) = 0 \implies -6x^2 + 18 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} bulunur. Dolayısıyla kesim noktaları (−3,0)(-\sqrt{3}, 0) ve (3,0)(\sqrt{3}, 0) noktalarıdır.
Bir fonksiyonun grafiğinin xx eksenini kestiği noktaların apsisleri, fonksiyonu sıfır yapan kök değerleridir.
4
Belirlenen üç kesim noktasını köşe kabul eden üçgenin alanını hesaplamak.
Taban uzunluğu 232\sqrt{3} birim ve yüksekliği 1818 birim olan üçgenin alanı 12⋅23⋅18=183\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 18 = 18\sqrt{3} birimkare olarak bulunur.
Köşeleri (−3,0)(-\sqrt{3}, 0), (3,0)(\sqrt{3}, 0) ve (0,18)(0, 18) olan üçgenin tabanı xx ekseni üzerinde 232\sqrt{3} birim uzunluğunda, bu tabana ait yüksekliği ise yy ekseni üzerinde 1818 birim uzunluğundadır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların bulunması ve tepe noktasının eksenler üzerindeki konumunun katsayılarla ilişkisi.
Soru 2771Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x3−3x2−6x+2f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 2

eğrisinin teğetlerinden eğimi en küçük olan teğet doğrusunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğriye çizilen teğetler arasında eğimi en küçük olan doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı 3'tür.
Verilen fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x−6f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 olarak bulunur. Bu fonksiyon teğetlerin eğimini temsil eden kolları yukarı doğru bir paraboldür ve minimum değerini tepe noktasında yani x=1x = 1 noktasında alır. x=1x = 1 için teğet noktası (1,−6)(1, -6) ve bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi m=−9m = -9 olur. Denklemi yazıldığında y−(−6)=−9(x−1)  ⟹  y=−9x+3y - (-6) = -9(x - 1) \implies y = -9x + 3 doğrusu elde edilir. Bu doğrunun yy eksenini kestiği noktanın ordinatı ise 3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrinin teğetlerinin eğimini veren türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=3x2−6x−6f'(x) = 3x^2 - 6x - 6
Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
2
Türev fonksiyonunun minimum değerini aldığı x apsis değerini tepe noktası formülüyle belirleyin.
x=1x = 1
f′(x)f'(x) fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiği için minimum değerini tepe noktasında (r=−b/2ar = -b / 2a) alır.
3
Teğet noktasının koordinatlarını ve teğet doğrusunun eğimini hesaplayın.
Teğet noktası (1,−6)(1, -6) ve teğet doğrusunun eğimi m=−9m = -9
Teğet noktasının y koordinatı orijinal fonksiyonda x=1x = 1 yazılarak, eğim ise türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazılarak bulunur.
4
Teğet doğrusunun denklemini oluşturun ve y eksenini kestiği ordinat değerini bulun.
Doğru denklemi y=−9x+3y = -9x + 3 ve y eksenini kestiği ordinat 33
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Bu denklemde x=0x = 0 yazıldığında doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı bulunur.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin üzerindeki bir noktadaki teğetinin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevidir. ��kinci dereceden türev fonksiyonunun en küçük değerini aldığı nokta tepe noktası yardımıyla bulunarak minimum eğimli teğet doğrusu belirlenir.
Soru 2772Soru →

Bir sanayi bölgesinde üretim yapan A ve B fabrikalarının yıllık üretim miktarlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A fabrikasının yıllık üretim miktarı bir aritmetik dizinin, B fabrikasının yıllık üretim miktarı ise bir geometrik dizinin terimleriyle modellenmektedir.
* Her iki fabrikanın da 1. yıldaki üretim miktarları birbirine e��it ve 6464 bin adettir.
* A fabrikasının 2. yıldaki üretim miktarı ile B fabrikasının 2. yıldaki üretim miktarı birbirine eşittir.
* A fabrikasının 5. yıldaki üretim miktarı ile B fabrikasının 3. yıldaki üretim miktarı birbirine eşittir.

Buna göre, B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı, A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarından kaç bin adet fazladır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 704

Cevap

704
Doğru seçenekte belirtilen değer, B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı (17281728 bin adet) ile A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarı (10241024 bin adet) arasındaki net fark olan 704704 bin adeti ifade etmektedir. Kurulan aritmetik ve geometrik dizi denklemleri çözüldüğünde dizilerin parametreleri tek anlamlı şekilde r=3r=3 ve d=128d=128 olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik ve geometrik dizilerin genel terim formülleri yazılır.
Aritmetik dizi için an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ve geometrik dizi için bn=b1⋅rn−1b_n = b_1 \cdot r^{n-1} formülleri kullanılır. Burada a1=b1=64a_1 = b_1 = 64 olarak verilmiştir.
Dizilerin sonraki terimlerini ilk terim cinsinden ifade edebilmek için.
2
Fabrikaların üretim miktarlarındaki eşitliklerden denklem sistemi kurulur.
a2=b2  ⟹  64+d=64r  ⟹  d=64(r−1)a_2 = b_2 \implies 64 + d = 64r \implies d = 64(r-1) ve a5=b3  ⟹  64+4d=64r2a_5 = b_3 \implies 64 + 4d = 64r^2 denklemleri elde edilir.
Soruda verilen ikinci ve üçüncü yıl eşitliklerini matematiksel ifadelere dönüştürmek için.
3
Birinci denklemdeki dd değeri ikinci denklemde yerine yazılarak ortak çarpan rr çözülür.
64+4(64(r−1))=64r2  ⟹  1+4r−4=r2  ⟹  r2−4r+3=064 + 4(64(r-1)) = 64r^2 \implies 1 + 4r - 4 = r^2 \implies r^2 - 4r + 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları (r−3)(r−1)=0(r-3)(r-1) = 0 olup, diziler sabit olmadığından (r≠1r \neq 1) ortak çarpan r=3r = 3 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyene indirgeyerek çözmek için.
4
Dizinin ortak farkı dd hesaplanır.
d=64(3−1)=128d = 64(3-1) = 128 olarak bulunur.
Aritmetik dizinin terimlerini ve toplamını hesaplamak için gerekli olan ortak fark değerini bulmak amacıyla.
5
B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı ile A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarı hesaplanır.
B'nin 4. yıl üretimi: b4=64⋅33=1728b_4 = 64 \cdot 3^3 = 1728 bin adet. A'nın ilk 4 yıldaki toplam üretimi: S4=42[2(64)+3(128)]=2[128+384]=1024S_4 = \frac{4}{2}[2(64) + 3(128)] = 2[128 + 384] = 1024 bin adet.
İstenen farkı hesaplamak amacıyla her iki değerin büyüklüğünü belirlemek için.
6
Hesaplanan üretim değerleri arasındaki fark bulunur.
1728−1024=7041728 - 1024 = 704 bin adet olarak fark elde edilir.
Soruda istenen nihai fazlalık miktarını bulmak için.

Anahtar Kavram

Gerçek hayat problemlerinde aritmetik ve geometrik dizi modellerinin kurulması, terim ilişkilerinin saptanması ve dizi toplam formüllerinin doğru uygulanması.

Alternatif Yöntem

Formül kullanmaksızın terimler tek tek yazılabilir. a1=64a_1 = 64 ve d=128d = 128 bulunduktan sonra A fabrikasının ilk 4 yıl üretimi sırasıyla 6464, 192192, 320320 ve 448448 olur. Bunların toplamı doğrudan 64+192+320+448=102464 + 192 + 320 + 448 = 1024 olarak toplanabilir. Benzer şekilde geometrik dizinin 4. terimi de adım adım b1=64  ⟹  b2=192  ⟹  b3=576  ⟹  b4=1728b_1 = 64 \implies b_2 = 192 \implies b_3 = 576 \implies b_4 = 1728 şeklinde ardışık olarak 3 ile çarpılarak bulunabilir. Buradan fark 1728−1024=7041728 - 1024 = 704 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2773Soru →
f:[1,2]→Rf: [1, 2] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫128x2⋅f(2x) dx\int_{1}^{2} \frac{8}{x^2} \cdot f\left(\frac{2}{x}\right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

İntegralin değeri 48 olarak bulunur.
Dönüşüm kurallarına göre u=2xu = \frac{2}{x} seçildiğinde integral sınırları 22 ve 11 olur. Diferansiyel ifadesindeki eksi işareti sınırların sırasını tersine çevirmek için kullanıldığında integral pozitif 4 katına çıkar ve verilen değerle çarpılarak 48 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=2xu = \frac{2}{x} dönüşümü seçilir.
İntegral içindeki ff fonksiyonunun argümanını sadeleştirmek için bu dönüşüm gereklidir.
2
Dönü��ümün diferansiyeli hesaplanır.
du=−2x2 dx  ⟹  1x2 dx=−12 dudu = -\frac{2}{x^2} \, dx \implies \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegraldeki 1x2 dx\frac{1}{x^2} \, dx ifadesinin yerine uu cinsinden ne yazılacağını bulmak için diferansiyel alınır.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=1  ⟹  u=21=2x = 1 \implies u = \frac{2}{1} = 2 ve x=2  ⟹  u=22=1x = 2 \implies u = \frac{2}{2} = 1 olur.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
4
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılır ve hesaplanır.
∫128x2⋅f(2x) dx=8∫21f(u)⋅(−12 du)=−4∫21f(u) du=4∫12f(u) du\int_{1}^{2} \frac{8}{x^2} \cdot f\left(\frac{2}{x}\right) \, dx = 8 \int_{2}^{1} f(u) \cdot \left(-\frac{1}{2} \, du\right) = -4 \int_{2}^{1} f(u) \, du = 4 \int_{1}^{2} f(u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarının yer değiştirmesi integralin işaretini değiştirir.
5
Verilen integral değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.
4∫12f(u) du=4⋅12=484 \int_{1}^{2} f(u) \, du = 4 \cdot 12 = 48 bulunur.
Soruda verilen ∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12 eşitliği kullanılarak nihai değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2774Soru →

Yatay ve hareketsiz bir zemin üzerinde durmakta olan bir kutuya ait bazı kuvvet tanımlamalar�� aşağıda verilmiştir:

* Kutunun ağırlığı: G⃗\vec{G}
* Zeminin kutuya uyguladığı normal kuvvet: N⃗\vec{N}
* Kutunun zemine uyguladığı dik kuvvet: F⃗kutu\vec{F}_{\text{kutu}}

Buna g��re, Newton'ın Hareket Yasaları göz önüne alındığında;

I. G⃗\vec{G} ile N⃗\vec{N} kuvvetleri etki-tepki kuvvet çiftidir.
II. N⃗\vec{N} ile F⃗kutu\vec{F}_{\text{kutu}} kuvvetleri etki-tepki kuvvet çiftidir.
III. G⃗\vec{G} kuvvetinin tepki kuvveti, kutunun Dünya'ya uyguladığı kütle çekim kuvvetidir.

yargılarından hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III ifadeleri doğrudur.
Newton'ın üçüncü hareket yasasına göre, her etkiye karşı eşit büyüklükte ve zıt yönde bir tepki oluşur. Etki-tepki kuvvet çiftleri farklı cisimler üzerine etki etmelidir. Zeminin kutuya uyguladığı normal kuvvet ile kutunun zemine uyguladığı dik kuvvet farklı cisimlere etki eden etki-tepki kuvvet çiftidir. Aynı şekilde, Dünya'nın kutuya uyguladığı kütle çekim kuvvetinin (ağırlık) tepki eşi, kutunun Dünya'ya uyguladığı kütle çekim kuvvetidir. Dolayısıyla ikinci ve üçüncü öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kutunun üzerindeki kuvvetleri ve bu kuvvetlerin hangi cisimler tarafından uygulandığını belirleyin.
Kutunun ağırlığı G⃗\vec{G} (Dünya tarafından kutuya uygulanır) ve normal kuvvet N⃗\vec{N} (zemin tarafından kutuya uygulanır) kutunun üzerine etki eden kuvvetlerdir. Kutunun zemine uyguladığı kuvvet ise F⃗kutu\vec{F}_{\text{kutu}} (kutu tarafından zemine uygulanır).
Etki-tepki kuvvet çiftlerinin tanımlanabilmesi için kuvvetlerin hangi cisimler arasında ve hangi yönlerde gerçekleştiğinin bilinmesi gerekir.
2
I. öncülü etki-tepki çifti tanımına göre analiz edin.
G⃗\vec{G} ve N⃗\vec{N} kuvvetlerinin her ikisi de aynı cisme (kutuya) etki etmektedir. Newton'ın üçüncü yasasına göre etki-tepki kuvvet çiftleri zıt yönlü ve eşit büyüklükte olsa da asla aynı cisme etki edemezler. Bu nedenle I. öncül yanlıştır.
Bir kuvvet çiftinin etki-tepki olabilmesi için farklı cisimlere etki etmesi şartt��r.
3
II. ve III. öncülleri etki-tepki çifti tanımına göre analiz edin.
Normal kuvvet N⃗\vec{N} zeminden kutuya doğrudur; kutunun zemine uyguladığı kuvvet F⃗kutu\vec{F}_{\text{kutu}} ise kutudan zemine doğrudur. Bu iki kuvvet farklı cisimlere etki eder, büyüklükleri eşit ve yönleri zıttır. Dolayısıyla II. öncül doğrudur. Benzer şekilde, kutunun ağırlığı G⃗\vec{G} Dünya'nın kutuyu çekmesidir; bunun tepkisi ise kutunun Dünya'yı çekmesidir (Dünya'nın merkezine etki eder). Bu nedenle III. öncül de doğrudur.
Farklı cisimler arasındaki karşılıklı etkileşimlerin etki-tepki çifti oluşturduğunu doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Newton'ın üçüncü hareket yasası (Etki-Tepki Yasası) ve etki-tepki kuvvet çiftlerinin özellikleri.
Soru 2775Soru →

Bir torbada 11'den 66'ya kadar numaralandırılmış 66 kırmızı ve 11'den 66'ya kadar numaralandırılmış 66 mavi top bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki top çekiliyor.

Çekilen topların renklerinin farklı veya üzerindeki sayıların toplamının 77 olma olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} kesri olarak yazıldığında a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Renklerin farklı veya üzerindeki sayıların toplamının 77 olma olasılığı en sade biçimde 711\frac{7}{11} olup, pay ile paydanın toplamı 1818'dir.
Toplam 1212 top arasından rastgele 22 top (122)=66\binom{12}{2} = 66 farklı şekilde çekilebilir. Çekilen topların farklı renkte olduğu 3636 durum, üzerindeki sayıların toplamının 77 olduğu 1212 durum vardır. Hem farklı renkte hem de toplamları 77 olan 66 ortak durum bulunduğundan, istenen koşulu sağlayan toplam durum sayısı 36+12−6=4236 + 12 - 6 = 42 olur. Olasılık değeri ise 4266=711\frac{42}{66} = \frac{7}{11} olarak elde edilir. En sade biçimdeki bu kesir için pay (77) ile paydanın (1111) toplamı 1818 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Torbada bulunan toplam top sayısını ve bu toplardan aynı anda çekilebilecek tüm iki top kombinasyonlarının sayısını hesaplama.
Toplam top sayısı 6+6=126 + 6 = 12'dir. Bu 12 toptan 2 tanesi (122)=12×112=66\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 farklı şekilde çekilebilir.
İstenen olayın olasılığını hesaplamak için örnek uzayın (tüm olası durumların) eleman sayısını belirlemek gerekir.
2
Çekilen topların farklı renkte olma durumunun (A olayı) eleman sayısını bulma.
66 kırmızı toptan 11 tane ve 66 mavi toptan 11 tane seçilmelidir. Bu durumun eleman sayısı s(A)=(61)×(61)=6×6=36s(A) = \binom{6}{1} \times \binom{6}{1} = 6 \times 6 = 36 olarak bulunur.
Farklı renklerdeki iki topun çekilme sayısın�� belirlemek için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.
3
Çekilen topların üzerindeki sayıların toplamının 77 olma durumunun (B olayı) eleman sayısını bulma.
Toplamları 77 olan sayı çiftleri {1,6}\{1, 6\}, {2,5}\{2, 5\} ve {3,4}\{3, 4\}'tür. Her bir çift için seçilebilecek top kombinasyonları şunlardır: İkisi de kırmızı (1 durum), ikisi de mavi (1 durum) ya da biri kırmızı diğeri mavi (2 durum). Dolayısıyla her çift için 44 durum vardır ve toplam durum sayısı s(B)=3×4=12s(B) = 3 \times 4 = 12 olur.
Üzerindeki sayıların toplamı 77 olan tüm top çifti kombinasyonlarını eksiksiz belirlemek gerekir.
4
Hem renkleri farklı hem de sayıların toplamı 77 olan ortak durumların (A∩BA \cap B olayı) eleman sayısını bulma.
Toplamları 77 olan 3 sayı çiftinin her biri için renklerin farklı olduğu 22 durum vardır (örneğin 1R,6B1_R, 6_B ve 1B,6R1_B, 6_R). Dolayısıyla ortak durumların sayısı s(A∩B)=3×2=6s(A \cap B) = 3 \times 2 = 6 olur.
Kesişim kümesinin eleman sayısını belirleyerek, hem renklerin farklı hem de toplamın 77 olduğu durumların iki kez sayılmasını önlemek gerekir.
5
Birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplama ve olasılık değerini en sade rasyonel biçimde ifade etme.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=36+12−6=42s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 36 + 12 - 6 = 42 bulunur. Olasılık değeri ise P(A∪B)=4266=711P(A \cup B) = \frac{42}{66} = \frac{7}{11} olur.
Renklerin farklı veya toplamın 77 olması olayının olasılığını bulmak için birleşim formülü uygulanır.
6
En sade haldeki pay ve paydanın toplamını bulma.
En sade haldeki kesir 711\frac{7}{11} olduğundan a=7a = 7 ve b=11b = 11 olur. Buradan a+b=7+11=18a + b = 7 + 11 = 18 elde edilir.
Soruda istenen a+ba + b değerine ulaşmak için pay ve paydayı toplamak gerekir.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Kümelerde Birleşim Kuralı
Soru 2776Soru →
Bir ff fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu bilinmektedir.
∫−13f(x) dx=8\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 8
ve
∫13(f(x)−f(2−x)) dx=10\int_{1}^{3} \big(f(x) - f(2-x)\big) \, dx = 10
olduğuna göre, ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integralinin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İstenen belirli integralin değeri -1 olarak bulunur.
Verilen birinci integral aralık bölme özelliğiyle ∫−13f(x) dx=∫−11f(x) dx+∫13f(x) dx=8\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 şeklinde yazılır. İkinci integralde bulunan ∫13f(2−x) dx\int_{1}^{3} f(2-x) \, dx terimi, u=2−xu = 2-x dönüşümü yapıldığında sınırların ters dönmesi ve du=−dxdu = -dx eşitliğindeki eksinin sınırları düzeltmesiyle ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integraline eşit olur. Bu iki bağıntı ortak çözüldüğünde istenen integralin sonucu -1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanarak sınırları [−1,1][-1, 1] ve [1,3][1, 3] olarak ayıralım.
A=∫−11f(x) dxA = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx ve B=∫13f(x) dxB = \int_{1}^{3} f(x) \, dx olmak üzere A+B=8A + B = 8 denklemi elde edilir.
İntegrali verilen diğer sınırlarla ilişkilendirmek ve istenen [−1,1][-1, 1] aralığını ortaya çıkarmak için parçalama yapılır.
2
İkinci denklemdeki integralde lineerlik özelliğini kullanalım ve değişken değiştirme uygulayalım.
B−∫13f(2−x) dx=10B - \int_{1}^{3} f(2-x) \, dx = 10 olur. Burada u=2−xu = 2-x dönüşümüyle integral ∫−11f(x) dx=A\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = A biçimine gelir ve B−A=10B - A = 10 denklemi bulunur.
Parantez içindeki 2−x2-x ifadesini sadeleştirmek ve sınırları [−1,1][-1, 1] aralığına taşımak amacıyla değişken değiştirilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.
A+B=8A + B = 8 ve B−A=10B - A = 10 denklemlerinden A=−1A = -1 olarak hesaplanır.
Ortak çözüm yapılarak doğrudan aranan integralin sayısal değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde aralık bölme ve değişken değiştirme yöntemiyle sınırların güncellenmesi.
Soru 2777Soru →
log⁡12(x−3x+1)≥−1\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x-3}{x+1}\right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı -1'dir.
Logaritmik eşitsizlik doğru çözüldüğünde ve logaritmanın tanımlı olma şartı (x−3x+1>0\frac{x-3}{x+1} > 0) uygulandığında çözüm kümesi (−∞,−5]∪(3,∞)(-\infty, -5] \cup (3, \infty) olarak bulunur. Bu aralıktaki en büyük negatif tam sayı −5-5, en küçük pozitif tam sayı ise 44'tür. Toplamları ise −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x−3x+1>0\frac{x-3}{x+1} > 0 olmalıdır. Bu rasyonel ifadenin kökleri x=3x = 3 ve x=−1x = -1'dir. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi T=(−∞,−1)∪(3,∞)T = (-\infty, -1) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliğin çözülmesi
log⁡12(x−3x+1)≥−1\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x-3}{x+1}\right) \geq -1 eşitsizliğinde taban 12\frac{1}{2} (0<12<10 < \frac{1}{2} < 1) olduğundan logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir: x−3x+1≤(12)−1⇒x−3x+1≤2\frac{x-3}{x+1} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \Rightarrow \frac{x-3}{x+1} \leq 2 elde edilir.
Logaritma tabanı basit kesir (0 ile 1 arasında) olduğunda azalan fonksiyon özelliğinden dolayı eşitsizlik yön değiştirir.
3
Rasyonel eşitsizliğin çözülmesi ve köklerin bulunması
x−3x+1−2≤0⇒x−3−2(x+1)x+1≤0⇒−x−5x+1≤0\frac{x-3}{x+1} - 2 \leq 0 \Rightarrow \frac{x-3-2(x+1)}{x+1} \leq 0 \Rightarrow \frac{-x-5}{x+1} \leq 0 elde edilir. Payı −1-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: x+5x+1≥0\frac{x+5}{x+1} \geq 0 olur. Kökler x=−5x = -5 (pay kökü) ve x=−1x = -1 (payda kökü) şeklindedir. İşaret tablosundan eşitsizliğin çözüm aralığı C1=(−∞,−5]∪(−1,∞)C_1 = (-\infty, -5] \cup (-1, \infty) olarak bulunur.
Eşitsizlik tablosu oluşturarak cebirsel çözüm kümesini belirlemek için tüm terimler tek bir tarafta toplanır ve payda eşitlenir.
4
Tanım kümesi ile çözüm kümesinin kesiştirilmesi
Tanım kümesi T=(−∞,−1)∪(3,∞)T = (-\infty, -1) \cup (3, \infty) ile rasyonel eşitsizlik çözümü C1=(−∞,−5]∪(−1,∞)C_1 = (-\infty, -5] \cup (-1, \infty) kesiştirilir: C=T∩C1=(−∞,−5]∪(3,∞)C = T \cap C_1 = (-\infty, -5] \cup (3, \infty) elde edilir.
Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda logaritmanın tanım kümesinde yer alması zorunludur.
5
İstenen tam sayı değerlerinin bulunması ve toplanması
Çözüm kümesindeki en büyük negatif tam sayı x=−5x = -5'tir. En küçük pozitif tam sayı ise x=4x = 4'tür. Bu iki değerin toplamı: −5+4=−1-5 + 4 = -1 olarak hesaplanır.
Soru kökünde istenen koşulları sağlayan sınır tam sayı değerleri belirlenip toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin çözüm kümesine dahil edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2778Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için f(2)=5f(2) = 5 ve g(2)=2g(2) = 2 olmak üzere,
lim⁡x→2f(x)−3x−2=4\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} = 4
lim⁡x→2g(x)+1x2−4=3\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x^2 - 4} = 3
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
lim⁡x→2f(x)⋅g(x)+3x−2\lim_{x \to 2} \frac{f(x) \cdot g(x) + 3}{x - 2}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Limit değeri 32'dir.
Soruda istenen limit ifadesinin pay kısmı, verilen limitlerin paylarındaki f(x)−3f(x) - 3 ve g(x)+1g(x) + 1 ifadeleri elde edilecek şekilde düzenlenmelidir. Bu cebirsel düzenleme sonucunda limit özellikleri doğrudan uygulanabilir hale gelir. x→2x \to 2 için f(x)f(x) ve g(x)g(x) limit değerleri sırasıyla 33 ve −1-1 olur. Ayrıca kare farkı açılımıyla lim⁡x→2g(x)+1x−2=12\lim_{x \to 2} \frac{g(x)+1}{x-2} = 12 olarak hesaplanır. Bu değerler yerlerine konduğunda limit değeri 3232 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limit ifadelerinden f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının x→2x \to 2 iken limit değerlerini bulma
lim⁡x→2f(x)=3\lim_{x \to 2} f(x) = 3 ve lim⁡x→2g(x)=−1\lim_{x \to 2} g(x) = -1
x→2x \to 2 iken limitlerin paydaları sıfır olmaktadır. Limit değerleri birer gerçek sayı olduğuna göre, 0/00/0 belirsizliğinin oluşabilmesi için pay kısımlarının limitleri de sıfır olmalıdır. Buradan lim⁡x→2(f(x)−3)=0  ⟹  lim⁡x→2f(x)=3\lim_{x \to 2} (f(x) - 3) = 0 \implies \lim_{x \to 2} f(x) = 3 ve lim⁡x→2(g(x)+1)=0  ⟹  lim⁡x→2g(x)=−1\lim_{x \to 2} (g(x) + 1) = 0 \implies \lim_{x \to 2} g(x) = -1 elde edilir.
2
İkinci limit ifadesindeki payda çarpanlarına ayrılarak gerekli sadeleştirme limitinin değerini bulma
lim⁡x→2g(x)+1x−2=12\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} = 12
x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) olduğundan, verilen ikinci limit ifadesi lim⁡x→2(g(x)+1x−2⋅1x+2)=3\lim_{x \to 2} \left( \frac{g(x) + 1}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 2} \right) = 3 şeklinde yazılabilir. Limit ��zelliklerinden, lim⁡x→2g(x)+1x−2⋅lim⁡x→21x+2=3  ⟹  lim⁡x→2g(x)+1x−2⋅14=3\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} \cdot \lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 2} = 3 \implies \lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} \cdot \frac{1}{4} = 3 olur. Buradan içler dışlar çarpımı ile lim⁡x→2g(x)+1x−2=12\lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} = 12 bulunur.
3
İstenen limit ifadesini, elde edilen bilinen limitleri kullanacak biçimde düzenleme
f(x)g(x)+3x−2=g(x)⋅f(x)−3x−2+3⋅g(x)+1x−2\frac{f(x)g(x) + 3}{x - 2} = g(x) \cdot \frac{f(x) - 3}{x - 2} + 3 \cdot \frac{g(x) + 1}{x - 2}
İstenen ifadenin payına 3g(x)3g(x) eklenip çıkarılarak gruplandırma yapılır: f(x)g(x)−3g(x)+3g(x)+3=g(x)(f(x)−3)+3(g(x)+1)f(x)g(x) - 3g(x) + 3g(x) + 3 = g(x)(f(x) - 3) + 3(g(x) + 1) şeklinde yazılır. Terimler paydaya bölünerek ayrı limitler halinde yazılmaya hazır hale getirilir.
4
Limit özelliklerini uygulayarak sonucu hesaplama
Limit değeri 32'dir.
Toplama ve çarpma limit özelliklerinden yararlanılarak limit dağıtılır: lim⁡x→2g(x)⋅lim⁡x→2f(x)−3x−2+3⋅lim⁡x→2g(x)+1x−2\lim_{x \to 2} g(x) \cdot \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 3}{x - 2} + 3 \cdot \lim_{x \to 2} \frac{g(x) + 1}{x - 2} ifadesi elde edilir. Değerler yerine yazıldığında, (−1)⋅4+3⋅12=−4+36=32(-1) \cdot 4 + 3 \cdot 12 = -4 + 36 = 32 bulunur.

Anahtar Kavram

Limit özellikleri ve belirsizlik durumlarının cebirsel sadeleştirme yöntemleriyle çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2779Soru →

Dik koordinat düzleminde, A(5,0)A(5, 0) noktası ile y=2xy = \sqrt{2x} eğrisi üzerindeki bir P(x,y)P(x, y) noktası veriliyor.

Buna göre, PP ile AA noktaları arasındaki uzaklığın alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

En küçük uzaklık değeri 3 birimdir.
Uzaklık fonksiyonunu veren ifadenin karekökünün içi en küçük değerini x=4x = 4 noktasında alır ve bu noktadaki uzaklık 42−8(4)+25=3\sqrt{4^2 - 8(4) + 25} = 3 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri üzerindeki keyfi bir P(x,y)P(x, y) noktasının A(5,0)A(5, 0) noktasına olan uzaklık formülünü yazınız.
d=(x−5)2+y2d = \sqrt{(x-5)^2 + y^2}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} şeklindedir.
2
y=2xy = \sqrt{2x} bağıntısını kullanarak uzaklık formülünü tek bir değişkene bağlı hale getiriniz.
d(x)=(x−5)2+2x=x2−10x+25+2x=x2−8x+25d(x) = \sqrt{(x-5)^2 + 2x} = \sqrt{x^2 - 10x + 25 + 2x} = \sqrt{x^2 - 8x + 25}
Türev alabilmek için fonksiyonun tek bir değişkene (xx'e) bağlı olması gerekir.
3
Uzaklık fonksiyonunu minimum yapmak için karekökün içindeki ifadenin türevini alıp sıfıra eşitleyiniz.
f(x)=x2−8x+25  ⟹  f′(x)=2x−8=0  ⟹  x=4f(x) = x^2 - 8x + 25 \implies f'(x) = 2x - 8 = 0 \implies x = 4
Karekök fonksiyonu artan olduğundan, fonksiyonun en küçük değeri içindeki ifadenin en küçük olduğu noktada gerçekleşir.
4
Bulunan x=4x = 4 değerini uzaklık formülünde yerine yazarak en küçük uzaklığı hesaplayınız.
d(4)=42−8(4)+25=16−32+25=9=3d(4) = \sqrt{4^2 - 8(4) + 25} = \sqrt{16 - 32 + 25} = \sqrt{9} = 3 birim
Minimum değeri veren xx noktasındaki fonksiyon değerini bulmak için yerine koyma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık formülü yardımıyla tek değişkene indirgenen fonksiyonun türevi kullanılarak minimum değerinin bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2780Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin terimleri pozitif gerçek sayılardır ve bu dizi artandır. Dizinin terimleri arasında,

a4⋅a8=1600a_4 \cdot a_8 = 1600
1a5+1a7=116\frac{1}{a_5} + \frac{1}{a_7} = \frac{1}{16}

bağıntıları bulunmaktadır. Buna göre, bu dizinin üçüncü terimi (a3a_3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Dizinin üçüncü terimi 5'tir.
Dizi terimlerinin indis ilişkisinden a5⋅a7=1600a_5 \cdot a_7 = 1600 bulunur. Rasyonel denklemde payda eşitlendiğinde a5+a7=100a_5 + a_7 = 100 elde edilir. Bu iki eşitlikten, dizinin artan olduğu da dikkate alınarak a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80 olarak bulunur. Buradan ortak çarpan r=2r = 2 ve üçüncü terim a3=5a_3 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin indis ilişkisini kullanarak a5⋅a7a_5 \cdot a_7 çarpımını bulma.
a5⋅a7=1600a_5 \cdot a_7 = 1600
Geometrik dizilerde i+j=k+li+j=k+l ise ai⋅aj=ak⋅ala_i \cdot a_j = a_k \cdot a_l özelliğinden dolayı 4+8=5+7=124+8 = 5+7 = 12 olup a5⋅a7=a4⋅a8=1600a_5 \cdot a_7 = a_4 \cdot a_8 = 1600 olur.
2
Verilen rasyonel denklemi düzenleyerek terimlerin toplam��nı bulma.
a5+a7=100a_5 + a_7 = 100
Payda eşitleme yapıldığında a5+a7a5⋅a7=116\frac{a_5 + a_7}{a_5 \cdot a_7} = \frac{1}{16} elde edilir. Çarpım yerine 16001600 yazıldığında toplam 100100 olarak bulunur.
3
Toplamları ve çarpımları bilinen terimleri bulmak için ikinci dereceden denklem çözme.
a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80
Kökleri a5a_5 ve a7a_7 olan denklem x2−100x+1600=0x^2 - 100x + 1600 = 0 şeklindedir. Çarpanlara ayırma ile (x−20)(x−80)=0(x-20)(x-80) = 0 elde edilir. Dizi artan olduğundan a5=20a_5 = 20 ve a7=80a_7 = 80 olmalıdır.
4
Dizinin ortak çarpanını (rr) bulma.
r=2r = 2
a7=a5⋅r2a_7 = a_5 \cdot r^2 eşitliğinden 80=20⋅r2  ⟹  r2=480 = 20 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 ve terimler pozitif olduğu için r=2r = 2 bulunur.
5
Dizinin üçüncü terimini (a3a_3) hesaplama.
a3=5a_3 = 5
a5=a3⋅r2a_5 = a_3 \cdot r^2 eşitliğinde değerler yerine yazıldığında 20=a3⋅4  ⟹  a3=520 = a_3 \cdot 4 \implies a_3 = 5 elde edilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve terimler arası ilişkiler.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 139 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin