Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2781Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3+a7=16a_3 + a_7 = 16
a2+a10=22a_2 + a_{10} = 22
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplam�� olan a1+a15a_1 + a_{15} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Dizinin ilk terimi ile 15. teriminin toplamı olan 34 değeri
Dizinin terimleri arasındaki indis özelliklerinden a3+a7=2a5=16  ⟹  a5=8a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 ve a2+a10=2a6=22  ⟹  a6=11a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11 elde edilir. Buradan ortak fark r=a6−a5=3r = a_6 - a_5 = 3 bulunur. İlk terim a1=a5−4r=−4a_1 = a_5 - 4r = -4 ve 15. terim a15=a1+14r=38a_{15} = a_1 + 14r = 38 olup, bu iki terimin toplamı 34 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki indis ilişkilerini kullanarak a5a_5 ve a6a_6 terimlerini bulun.
a3+a7=2a5=16  ⟹  a5=8a_3 + a_7 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 ve a2+a10=2a6=22  ⟹  a6=11a_2 + a_{10} = 2a_6 = 22 \implies a_6 = 11
Bir aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (ap+aq=2a(p+q)/2a_p + a_q = 2a_{(p+q)/2}).
2
Ardışık iki terim arasındaki farkı hesaplayarak dizinin ortak farkını (rr) bulun.
r=a6−a5=11−8=3r = a_6 - a_5 = 11 - 8 = 3
Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki fark sabittir ve ortak farkı verir.
3
Dizinin ilk terimini (a1a_1) ve 15. terimini (a15a_{15}) hesaplayıp toplayın.
a1=a5−4r=8−12=−4a_1 = a_5 - 4r = 8 - 12 = -4 ve a15=a6+9r=11+27=38a_{15} = a_6 + 9r = 11 + 27 = 38. Buradan a1+a15=−4+38=34a_1 + a_{15} = -4 + 38 = 34 elde edilir.
Genel terim formülü an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r kullanılarak dizinin istenen terimleri bulunur ve toplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ortak fark ve genel terim bağıntısı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2782Soru →

Eğim açısı 53∘53^\circ olan sürtünmeli bir eğik düzlem üzerinde bulunan 4 kg4\text{ kg} kütleli bir blok, eğik düzlem yüzeyine paralel doğrultuda uygulanan FF büyüklüğündeki bir kuvvet yardımıyla dengede tutulmaktadır. Blok ile eğik düzlem yüzeyi arasındaki statik sürtünme katsayısı μs=0,5\mu_s = 0,5 olduğuna göre, bloğun hareketsiz kalmasını sağlayan FF kuvvetinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaç N\text{N}'dur?

(g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2; sin⁡53∘=0,8\sin 53^\circ = 0,8; cos⁡53∘=0,6\cos 53^\circ = 0,6 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Bloğun dengede kalmasını sağlayan kuvvet değerleri arasındaki fark 24 N'dur.
Dengede kalma durumunda statik sürtünme kuvveti, cismin aşağı kayma eğiliminde yukarı yönde, yukarı kayma eğiliminde ise aşağı yönde etki eder. Bu iki sınır durum arasındaki kuvvet farkı, maksimum statik sürtünme kuvvetinin iki katına (2⋅fs,max⁡2 \cdot f_{s,\max}) eşittir. Buradan fark 2⋅12=24 N2 \cdot 12 = 24\text{ N} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bloğun ağırlık kuvvetini (G=mgG = mg) ve bu kuvvetin eğik düzleme paralel (G∥G_{\parallel}) ve dik (G⊥G_{\perp}) bileşenlerini hesaplayın.
G=4⋅10=40 NG = 4 \cdot 10 = 40\text{ N}, G∥=G⋅sin⁡53∘=40⋅0,8=32 NG_{\parallel} = G \cdot \sin 53^\circ = 40 \cdot 0,8 = 32\text{ N}, G⊥=G⋅cos⁡53∘=40⋅0,6=24 NG_{\perp} = G \cdot \cos 53^\circ = 40 \cdot 0,6 = 24\text{ N}.
Eğik düzlem üzerindeki kuvvet analizini gerçekleştirebilmek amacıyla ağırlık kuvvetini yüzeye paralel ve dik bileşenlerine ayırırız.
2
Eğik düzlemin bloğa uyguladığı tepki kuvvetini (NN) ve ardından maksimum statik sürtünme kuvvetini (fs,max⁡f_{s,\max}) hesaplayın.
N=G⊥=24 NN = G_{\perp} = 24\text{ N}, fs,max⁡=μs⋅N=0,5⋅24=12 Nf_{s,\max} = \mu_s \cdot N = 0,5 \cdot 24 = 12\text{ N}.
Statik sürtünme kuvvetinin alabileceği en büyük değer, bloğun kaymaya başlayacağı kritik sınırları belirler.
3
Blok için minimum ve maksimum dengede tutma kuvvetlerini belirleyin.
Minimum kuvvet (Fmin⁡F_{\min}) durumunda blok aşağı kaymak ister, sürtünme yukarı yönlüdür: Fmin⁡+fs,max⁡=G∥  ⟹  Fmin⁡+12=32  ⟹  Fmin⁡=20 NF_{\min} + f_{s,\max} = G_{\parallel} \implies F_{\min} + 12 = 32 \implies F_{\min} = 20\text{ N}. Maksimum kuvvet (Fmax⁡F_{\max}) durumunda blok yukarı kaymak ister, sürtünme aşağı yönlüdür: Fmax⁡=G∥+fs,max⁡  ⟹  Fmax⁡=32+12=44 NF_{\max} = G_{\parallel} + f_{s,\max} \implies F_{\max} = 32 + 12 = 44\text{ N}.
Statik sürtünme kuvveti hareketi veya hareket eğilimini engelleyecek yönde oluştuğundan, cismin sınır hareket eğilimlerine göre iki farklı denge durumu ortaya çıkar.
4
Maksimum ve minimum kuvvetler arasındaki farkı bulun.
Fmax⁡−Fmin⁡=44−20=24 NF_{\max} - F_{\min} = 44 - 20 = 24\text{ N}.
Soruda istenen farkı bulmak için iki sınır değeri birbirinden çıkarırız.

Anahtar Kavram

Newton'ın Hareket Yasaları ve Statik Sürtünme Kuvveti Dengesi
Soru 2783Soru →
271log⁡23+161log⁡32−52log⁡2527^{\frac{1}{\log_2 3}} + 16^{\frac{1}{\log_3 2}} - 5^{\frac{2}{\log_2 5}} ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 85

Cevap

Verilen logaritmik ifadenin sadeleştirilmiş değeri 85 olarak bulunur.
İfadedeki terimler tek tek taban değiştirme kuralı (1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a) kullanılarak düzenlenmiştir. Düzenlenen terimler sırasıyla 3log⁡383^{\log_3 8}, 2log⁡2812^{\log_2 81} ve 5log⁡545^{\log_5 4} haline getirilmiş, ardından alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b kuralıyla 8+81−4=858 + 81 - 4 = 85 sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritmalı terimleri pay kısmına geçirin.
1log⁡23=log⁡32\frac{1}{\log_2 3} = \log_3 2, 1log⁡32=log⁡23\frac{1}{\log_3 2} = \log_2 3 ve 1log⁡25=log⁡52\frac{1}{\log_2 5} = \log_5 2
1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a özelliği gereği taban ve argüman yer değiştirir.
2
Elde edilen ifadeleri yerlerine yazarak üslü tabanları logaritma tabanları cinsinden kuvvet olarak ifade edin.
(33)log⁡32+(24)log⁡23−52log⁡52(3^3)^{\log_3 2} + (2^4)^{\log_2 3} - 5^{2\log_5 2}
27=3327 = 3^3 ve 16=2416 = 2^4 yazarak sadeleşmeyi kolaylaştırmak hedeflenir.
3
Kuvvetlerin çarp��mı özelliğini ve k⋅log⁡ab=log⁡abkk \cdot \log_a b = \log_a b^k özelliğini kullanarak ifadeleri sadeleştirin.
3log⁡38+2log⁡281−5log⁡543^{\log_3 8} + 2^{\log_2 81} - 5^{\log_5 4}
(xm)n=xm⋅n(x^m)^n = x^{m \cdot n} ve logaritma katsayı kuralı uygulanmıştır.
4
alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b özelliğini kullanarak her bir terimin değerini hesaplayın ve işlemi tamamlayın.
8+81−4=858 + 81 - 4 = 85
Logaritmik üslerin temel sadeleşme kuralı uygulanarak tam sayı değerleri elde edilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritmada taban değiştirme ve üslü sayı özellikleri ile ilişkilendirilmesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a} özelliği doğrudan kullanılabilir:
- 27log⁡32=2log⁡327=23=827^{\log_3 2} = 2^{\log_3 27} = 2^3 = 8
- 16log⁡23=3log⁡216=34=8116^{\log_2 3} = 3^{\log_2 16} = 3^4 = 81
- 52log⁡52=5log⁡54=4log⁡55=41=45^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 4} = 4^{\log_5 5} = 4^1 = 4
Buradan 8+81−4=858 + 81 - 4 = 85 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2784Soru →

Bir robot, analitik düzlemin (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına hareket edecektir. Bu robot her bir adımında;
- 11 birim sağa,
- 11 birim yukarı ya da
- 11 birim sağa ve 11 birim yukarı (çapraz)
gidebilmektedir.

Bu robotun hareketi boyunca tam olarak 22 kez çapraz adım attığı ve (2,3)(2,3) noktasından geçtiği bilinmektedir.

Buna göre, robot bu koşullara uygun olarak (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına kaç farklı yoldan gidebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 204

Cevap

Robotun (2,3)(2,3) noktasından geçerek ve tam olarak 22 çapraz adım atarak (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına gidebileceği toplam yol sayısı 204204'tür.
Doğru cevap olan 204204 değeri, geçiş noktasından önce kullanılan çapraz adım sayısına (0,10, 1 veya 22) göre tüm durumların tekrarlı permütasyon formülüyle ayrı ayrı hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Koordinat değişimleri ile adım sayıları arasındaki ilişkileri belirlemek.
Robotun (0,0)(0,0) noktasından (5,5)(5,5) noktasına giderken attığı sağa adım sayısı xx, yukarı adım sayısı yy ve çapraz adım sayısı zz olsun. Bu durumda x+z=5x + z = 5 ve y+z=5y + z = 5 olmalıdır. Toplam çapraz adım sayısı z=2z = 2 olarak verildiğinden, x=3x = 3 sağa adım ve y=3y = 3 yukarı adım atılmalıdır.
Hareketlerin koordinatlar üzerindeki etkilerini matematiksel denklemlerle ifade etmek için.
2
Robotun (0,0)(0,0) ile (2,3)(2,3) arasındaki hareketini analiz ederek durumları belirlemek.
(0,0)(0,0) noktasından (2,3)(2,3) noktasına giderken atılan sağa adım sayısı x1x_1, yukarı adım sayısı y1y_1 ve çapraz adım sayısı z1z_1 olsun. Buradan x1+z1=2x_1 + z_1 = 2 ve y1+z1=3y_1 + z_1 = 3 elde edilir. Adım sayıları negatif olamayacağından z1z_1 değeri 0,10, 1 veya 22 olabilir.
Geçiş noktasına ulaşana kadar atılabilecek çapraz adım senaryolarını gruplandırmak için.
3
Belirlenen z1z_1 durumlarına göre tekrarlı permütasyon hesaplamalarını yapmak.
Durum 1 (z1=0z_1 = 0): (0,0)→(2,3)(0,0) \rightarrow (2,3) için x1=2,y1=3x_1=2, y_1=3 (toplam 5 adım) ⇒5!2!3!=10\Rightarrow \frac{5!}{2!3!} = 10 yol. Bu durumda kalan yol (2,3)→(5,5)(2,3) \rightarrow (5,5) için z2=2z_2 = 2 çapraz adım olmalıdır. Buradan x2=1,y2=0x_2 = 1, y_2 = 0 (toplam 3 adım) ⇒3!1!2!=3\Rightarrow \frac{3!}{1!2!} = 3 yol. Bu durumdaki toplam yol sayısı: 10×3=3010 \times 3 = 30. Durum 2 (z1=1z_1 = 1): (0,0)→(2,3)(0,0) \rightarrow (2,3) için x1=1,y1=2,z1=1x_1=1, y_1=2, z_1=1 (toplam 4 adım) ⇒4!1!2!1!=12\Rightarrow \frac{4!}{1!2!1!} = 12 yol. Kalan yol (2,3)→(5,5)(2,3) \rightarrow (5,5) için z2=1z_2 = 1 çapraz adım olmalıdır. Buradan x2=2,y2=1,z2=1x_2 = 2, y_2 = 1, z_2=1 (toplam 4 adım) ⇒4!2!1!1!=12\Rightarrow \frac{4!}{2!1!1!} = 12 yol. Bu durumdaki toplam yol sayısı: 12×12=14412 \times 12 = 144. Durum 3 (z1=2z_1 = 2): (0,0)→(2,3)(0,0) \rightarrow (2,3) için x1=0,y1=1,z1=2x_1=0, y_1=1, z_1=2 (toplam 3 adım) ⇒3!1!2!=3\Rightarrow \frac{3!}{1!2!} = 3 yol. Kalan yol (2,3)→(5,5)(2,3) \rightarrow (5,5) için z2=0z_2 = 0 çapraz adım olmalıdır. Buradan x2=3,y2=2,z2=0x_2 = 3, y_2 = 2, z_2=0 (toplam 5 adım) ⇒5!3!2!=10\Rightarrow \frac{5!}{3!2!} = 10 yol. Bu durumdaki toplam yol sayısı: 3×10=303 \times 10 = 30.
Her bir çapraz adım dağılımı senaryosu için tekrarlı permütasyon kuralını uygulamak ve yolları çarparak birleştirmek için.
4
Tüm durumların sonuçlarını toplayarak toplam yol sayısını bulmak.
Toplam yol sayısı: 30+144+30=20430 + 144 + 30 = 204 olarak bulunur.
Ayrık durumların yol sayılarını toplama yoluyla sayma kuralına göre birleştirmek için.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon kullanarak kısıtlı ızgara (grid) yollarını hesaplama ve adım durumlarını ayrık durumlara bölerek inceleme.
Soru 2785Soru →

Düşey doğrultuda ve yukarı yönde sabit v0v_0 hızıyla yükselmekte olan bir sıcak hava balonu, yerden hh yükseklikteyken balondan bir cisim balona göre serbest bırakılıyor. Cisim bırakıldıktan t0t_0 süre sonra maksimum yüksekliğe ulaşıyor ve bırakıldığı andan itibaren toplam 3t03t_0 sürede yere çarpıyor.

Cisim bırakıldığı anda balon da yukarı yönde aa büyüklüğünde sabit ivmeyle hızlanmaya başlıyor. Cisim yere çarptığı anda balonun yerden yüksekliği 6h6h oldu��una göre, balonun ivmesi aa kaç gg'dir?
(Hava direnci önemsizdir. Yer çekimi ivmesi gg sabittir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Balonun ivmesi 1g1g büyüklüğündedir.
Cismin tepe noktasına ulaşma süresinden ilk hızının v0=gt0v_0 = g t_0 olduğu ve 3t03t_0 sürede yere çarpmasından başlangıç yüksekliğiyle ilişkisinin gt02=23hg t_0^2 = \frac{2}{3} h olduğu bulunur. Balonun 3t03t_0 süre sonundaki konumu 6h6h olarak tanımlandığı için ivmeli hareket denkleminden at02=23ha t_0^2 = \frac{2}{3} h elde edilir. Bu iki bağıntı karşılaştırıldığında balonun ivmesinin yer çekimi ivmesine eşit yani 11 olduğu anlaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Cismin balonun yükselme hızıyla olan ilişkisini belirlemek.
Cisim balona göre serbest bırakıldığında, yerdeki bir gözlemciye göre yukarı doğru v0v_0 ilk hızıyla düşey atış hareketi yapar. Maksimum yüksekliğe ulaşma süresi t0t_0 olduğundan, tepe noktasında hızı sıfır olur: v(t0)=v0−gt0=0  ⟹  v0=gt0v(t_0) = v_0 - g t_0 = 0 \implies v_0 = g t_0.
Cismin başlangıçtaki hareket denklemini kurmak için ilk hızı yer çekimi ivmesi cinsinden ifade edilmelidir.
2
Cismin yere düşme süresini kullanarak başlangıç yüksekliği hh ile gg ve t0t_0 arasındaki bağıntıyı bulmak.
Cisim 3t03t_0 sürede yere çarptığına göre y(3t0)=0y(3t_0) = 0 olur: ycisim(t)=h+v0t−12gt2  ⟹  0=h+3v0t0−92gt02y_{\text{cisim}}(t) = h + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \implies 0 = h + 3 v_0 t_0 - \frac{9}{2} g t_0^2. Burada v0=gt0v_0 = g t_0 yazılırsa: h+3gt02−4.5gt02=0  ⟹  h=1.5gt02  ⟹  gt02=23hh + 3 g t_0^2 - 4.5 g t_0^2 = 0 \implies h = 1.5 g t_0^2 \implies g t_0^2 = \frac{2}{3} h bulunur.
Cismin uçuş süresinden yararlanarak yükseklik ile zaman parametresi arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
3
Balonun hareket denklemini kurarak ivmesini hesaplamak.
Balon hh yüksekliğinden başlayarak v0=gt0v_0 = g t_0 ilk hızıyla yukarı doğru aa ivmesiyle hızlanır. 3t03t_0 süre sonra yüksekliği 6h6h olur: ybalon(3t0)=h+v0(3t0)+12a(3t0)2=6h  ⟹  h+3gt02+4.5at02=6hy_{\text{balon}}(3t_0) = h + v_0 (3t_0) + \frac{1}{2} a (3t_0)^2 = 6h \implies h + 3 g t_0^2 + 4.5 a t_0^2 = 6h. gt02=23hg t_0^2 = \frac{2}{3} h değeri yerine yazılırsa: h+2h+4.5at02=6h  ⟹  3h+4.5at02=6h  ⟹  4.5at02=3h  ⟹  at02=23hh + 2h + 4.5 a t_0^2 = 6h \implies 3h + 4.5 a t_0^2 = 6h \implies 4.5 a t_0^2 = 3h \implies a t_0^2 = \frac{2}{3} h bulunur.
Balonun ivmeli hareket bağıntısını zaman ve konum değerleriyle eşleştirmek gerekir.
4
Cisim ve balon için elde edilen bağıntıları oranlamak.
gt02=23hg t_0^2 = \frac{2}{3} h ve at02=23ha t_0^2 = \frac{2}{3} h eşitliklerinden a=ga = g sonucu elde edilir.
Balonun ivmesini yer çekimi ivmesi cinsinden bulmak için bağıntılar karşılaştırılmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir boyutta sabit ivmeli hareket yapan cisimlerin hareket denklemlerinin başlangıç koşulları ve yön vektörleri dikkate alınarak analiz edilmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2786Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ortak farkı rr olmak üzere, r>0r > 0 olduğu bilinmektedir.

Bu dizinin terimleri arasında
a2+a5+a8=24a_2 + a_5 + a_8 = 24
a1⋅a9=−80a_1 \cdot a_9 = -80

eşitlikleri sağlandığına göre, bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

Dizinin 12. teriminin değeri 29'dur.
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak a2+a8=2a5a_2 + a_8 = 2a_5 bağıntısından a5=8a_5 = 8 bulunur. Ardından a1=8−4ra_1 = 8 - 4r ve a9=8+4ra_9 = 8 + 4r terimleri yerine yazıldığında, (8−4r)(8+4r)=−80(8-4r)(8+4r) = -80 eşitliğiyle r2=9r^2 = 9 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan r=3r = 3'tür. Son adımda a12=a5+7r=8+21=29a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 21 = 29 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizideki terimlerin indis özelliklerini kullanarak a5a_5 terimini bulmak.
a5=8a_5 = 8
Aritmetik dizilerde indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı ortadaki terimin iki katına eşittir (a2+a8=2a5a_2 + a_8 = 2a_5).
2
a1a_1 ve a9a_9 terimlerini a5a_5 ve rr cinsinden yazarak ortak fark rr değerini bulmak.
r=3r = 3
a1=8−4ra_1 = 8 - 4r ve a9=8+4ra_9 = 8 + 4r ifadelerinin çarpımı 64−16r2=−8064 - 16r^2 = -80 denklemine yol açar. Buradan r2=9r^2 = 9 ve r>0r > 0 olduğu için r=3r = 3 elde edilir.
3
a12a_{12} terimini a5a_5 ve rr kullanarak hesaplamak.
a12=29a_{12} = 29
a12=a5+7ra_{12} = a_5 + 7r formülünde a5=8a_5 = 8 ve r=3r = 3 değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide terimler arası doğrusal ilişkiler, indis özellikleri ve ortak farkın bulunması.
Soru 2787Soru →

Bir kütüphanedeki dijital emanet dolaplarının şifreleri aşağıdaki kurallara göre belirlenmektedir:

- Şifreler 44 haneli olup, ilk iki hanesi sesli harflerden, son iki hanesi ise rakamlardan oluşmaktadır.
- Şifrede kullanılan harfler birbirinden farklı olmalıdır.
- Şifrede kullanılan rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
- Harfler A={A,E,I,O}A = \{A, E, I, O\} kümesinden, rakamlar ise B={1,2,3,4,5}B = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinden seçilecektir.
- Şifrenin en az bir rakamı tek sayı olmalıdır.

Buna göre, bu kurallara uygun kaç farklı dolap şifresi oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 216

Cevap

İstenen kurallara uygun olarak oluşturulabilecek farklı dolap şifresi sayısı 216'dır.
Şifrenin ilk iki hanesi için seçilecek harfler AA kümesinden ve birbirinden farklı olmalıdır. Bu durumda ilk hane için 4, ikinci hane için 3 farklı seçenek bulunur ve harfler için 4×3=124 \times 3 = 12 farklı dizilim elde edilir. Son iki hanedeki rakamlar ise BB kümesinden ve birbirinden farklı olmalıdır. Tüm farklı rakam çiftlerinin sayısı 5×4=205 \times 4 = 20 olup, her iki rakamın da çift olduğu durum sayısı {2,4}\{2, 4\} kümesinden seçilen farklı rakamlarla 2×1=22 \times 1 = 2 tanedir. Dolayısıyla en az bir rakamı tek olan farklı rakam çiftlerinin sayısı 20−2=1820 - 2 = 18 olur. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre toplam şifre sayısı 12×18=21612 \times 18 = 216 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Harf hanelerinin seçimi ve sıralanması hesaplanır.
4×3=124 \times 3 = 12 farklı harf çifti oluşturulabilir.
Harfler A={A,E,I,O}A = \{A, E, I, O\} kümesinden seçilecektir ve şifredeki harfler birbirinden farklı olmalıdır. İlk hane için 4, ikinci hane için 3 seçenek vardır.
2
Rakam haneleri için tüm olası farklı rakam çifti sayısı hesaplanır.
5×4=205 \times 4 = 20 farklı rakam çifti.
Rakamlar B={1,2,3,4,5}B = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesinden seçilecektir ve rakamlar birbirinden farklı olmalıdır. İlk rakam hanesi için 5, ikinci rakam hanesi için 4 seçenek vardır.
3
En az bir tek rakam bulunması şartına uymayan durumlar (tüm rakamların çift olduğu durumlar) belirlenir.
Çift rakamlar {2,4}\{2, 4\} kümesinden seçilerek 2×1=22 \times 1 = 2 farklı rakam çifti oluşturulabilir.
İstenmeyen durum, şifrenin son iki hanesindeki rakamların her ikisinin de çift sayı olmasıdır. Bu durumda en az bir tek rakam koşulu sağlanmaz.
4
En az bir rakamı tek olan farklı rakam çifti sayısı bulunur.
20−2=1820 - 2 = 18 farklı durum.
Tüm farklı rakam çifti sayısından, her ikisinin de çift olduğu istenmeyen durumların sayısı çıkarılır.
5
Çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanarak toplam şifre sayısı hesaplanır.
12×18=21612 \times 18 = 216 farklı şifre.
Harf ve rakam seçimleri ardışık ve bağımsız işlemler olduğundan, her iki aşamanın durum sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2788Soru →

Yatay ve sürtünmeli bir zemin üzerinde yan yana durmakta olan, kütleleri sırasıyla 3 kg3\text{ kg} ve 2 kg2\text{ kg} olan KK ve LL kutuları şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Kutular ile zemin arasındaki statik sürtünme katsayısı μs=0,5\mu_s = 0,5, kinetik sürtünme katsayısı ise μk=0,4\mu_k = 0,4 olup her iki kutu için de özdeştir. KK kutusuna yatay doğrultuda ve sağa doğru bir FF kuvveti uygulanmaktadır. Yerçekimi ivmesinin g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 olduğu bu ortamda; I. F=20 NF = 20\text{ N} büyüklüğünde uygulandığında, zemin tarafından LL kutusuna uygulanan sürtünme kuvvetinin büyüklüğü 5 N5\text{ N} olur. II. F=30 NF = 30\text{ N} büyüklüğünde uygulandığında, KK kutusunun LL kutusuna uyguladığı temas kuvveti, LL kutusunun KK kutusuna uyguladığı temas kuvvetine eşittir. III. F=30 NF = 30\text{ N} büyüklüğünde uygulandığında, kutuların ivmesinin büyüklüğü 2 m/s22\text{ m/s}^2 olur. yargılarından hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadeleri doğrudur.
I ve III öncülleri doğrudur. Sistem durgunken (F=20 NF = 20\text{ N}) KK kutusu 15 N15\text{ N} statik sürtünme sınırını aşan 5 N5\text{ N}'lik kuvveti LL'ye iletir, LL de zeminle arasındaki statik sürtünme ile bu 5 N5\text{ N}'i dengeler. Sistem hareket ederken (F=30 NF = 30\text{ N}) kinetik sürtünme kuvveti (20 N20\text{ N}) çıkarılarak net kuvvet 10 N10\text{ N} bulunur ve ivme 2 m/s22\text{ m/s}^2 hesaplanır. II. öncüldeki kuvvetler ise zıt yönlü olduğundan vektörel olarak eşit değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Kutuların zeminle olan maksimum statik sürtünme kuvvetlerini hesaplama
fs,Kmax=μsmKg=0,5⋅3⋅10=15 Nf_{s,K}^{max} = \mu_s m_K g = 0,5 \cdot 3 \cdot 10 = 15\text{ N} ve fs,Lmax=μsmLg=0,5⋅2⋅10=10 Nf_{s,L}^{max} = \mu_s m_L g = 0,5 \cdot 2 \cdot 10 = 10\text{ N}. Sistemin toplam maksimum statik sürtünme sınırı: fs,topmax=15+10=25 Nf_{s,top}^{max} = 15 + 10 = 25\text{ N}'dir.
Sistemin uygulanan kuvvet karşısında harekete geçip geçmeyeceğini belirlemek için sınır değerleri bulmamız gerekir.
2
F = 20 N durumu için statik denge analizi yapma (I. Öncül)
F=20 N<25 NF = 20\text{ N} < 25\text{ N} olduğundan sistem hareket etmez. Kuvvet KK'ye uygulandığı için KK kutusu limit değeri olan 15 N15\text{ N} sürtünme kuvvetiyle direnir. Kalan 20−15=5 N20 - 15 = 5\text{ N}'lik kuvvet temas yüzeyinden LL kutusuna etki olarak aktarılır. LL kutusunu dengede tutan statik sürtünme kuvveti de bu etkiyi dengelemek için zıt yönde 5 N5\text{ N} olur.
Kutuların hareketsiz kaldığı durumda statik sürtünme kuvvetinin uygulanan net etkiye göre dağılımını belirlemek gerekir.
3
Etki-tepki kuvvetlerinin vektörel özelliklerini analiz etme (II. Öncül)
KK ve LL kutularının birbirine uyguladığı temas kuvvetleri etki-tepki kuvvet çiftidir. Büyüklükleri eşit (14 N14\text{ N}) olmasına rağmen, biri sağa diğeri sola doğru yöneldiğinden vektörel olarak birbirine eşit değildir (F⃗KL=−F⃗LK\vec{F}_{KL} = -\vec{F}_{LK}).
Newton'ın üçüncü yasasına göre etki ve tepki kuvvetlerinin vektörel yön ilişkisini test etmek gerekir.
4
F = 30 N durumu için ivme hesabı yapma (III. Öncül)
F=30 N>25 NF = 30\text{ N} > 25\text{ N} olduğundan sistem harekete geçer. Hareket halindeyken kinetik sürtünme etki eder: fk,top=μk(mK+mL)g=0,4⋅5⋅10=20 Nf_{k,top} = \mu_k (m_K + m_L) g = 0,4 \cdot 5 \cdot 10 = 20\text{ N}. Net kuvvet: Fnet=30−20=10 NF_{net} = 30 - 20 = 10\text{ N}. İvme: a=10 N5 kg=2 m/s2a = \frac{10\text{ N}}{5\text{ kg}} = 2\text{ m/s}^2 bulunur.
Hareket başladıktan sonra kinetik sürtünme katsayısı kullanılarak net kuvvet ve ivme değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Statik ve kinetik sürtünme kuvvetlerinin farkı, etki-tepki kuvvetlerinin vektörel doğası ve ivmeli hareket analizi.
Soru 2789Soru →

Aşağıdaki tabloda, bir maratona katılan 350 koşucunun yaş gruplarına ve maratonu tamamlama durumlarına göre dağılımı verilmiştir:

Yaş GrubuMaratonu TamamlayanlarMaratonu Yarıda Bırakanlar
Genç (18-35)12030
Yetişkin (36-50)9040
Kıdemli (51 ve üzeri)4030

Bu maratona katılan ko��ucular arasından rastgele seçilen birinin maratonu tamamladığı veya 18-35 yaş grubunda olduğu bilindiğine göre, bu kişinin 36-50 yaş grubunda olup maratonu tamamlayan bir koşucu olma olasıl��ğı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 928\frac{9}{28}

Cevap

Seçilen kişinin 36-50 yaş grubunda olup maratonu tamamlayan bir koşucu olma olasılığı 928\frac{9}{28}'dir.
Koşullu olasılık tanımına göre örnek uzay, 'maratonu tamamlayanlar veya 18-35 yaş grubunda olanlar' kümesi olarak daraltılır. Bu birleşim kümesinde 280 kişi bulunmaktadır. Bu daraltılmış örnek uzay içinde istenen durum olan '36-50 yaş grubunda olup maratonu tamamlayan' kişi sayısı 90'dır. Bu iki değerin oranı olan 928\frac{9}{28} doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul kümesini tanımlama ve eleman sayısını belirleme.
Maratonu tamamlayanlar kümesi TT ve 18-35 yaş grubundakiler kümesi GG olsun. Bizden istenen koşul T∪GT \cup G kümesidir. Bu kümenin eleman sayısı tablodaki ilgili hücreler doğrudan toplanarak veya birleşim formülüyle bulunabilir: s(T)=120+90+40=250s(T) = 120 + 90 + 40 = 250, s(G)=120+30=150s(G) = 120 + 30 = 150, s(T∩G)=120s(T \cap G) = 120'dir. Buradan s(T∪G)=s(T)+s(G)−s(T∩G)=250+150−120=280s(T \cup G) = s(T) + s(G) - s(T \cap G) = 250 + 150 - 120 = 280 bulunur. (Alternatif olarak tablodan: 120+30+90+40=280120 + 30 + 90 + 40 = 280)
Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşul kümesiyle sınırlanır.
2
İstenen durumun eleman sayısını belirleme.
İstenen olay, seçilen kişinin hem 36-50 yaş grubunda (Yetişkin) olması hem de maratonu tamamlamış olmasıdır. Tablodan bu kesişime karşılık gelen kişi sayısı 9090 olarak belirlenir.
İstenen durumun daraltılmış örnek uzay içindeki eleman sayısını bulmak için.
3
Koşullu olasılığı hesaplama.
Olasılık değeri, istenen durumun eleman sayısının koşullu örnek uzayın eleman sayısına oranıdır: P=90280=928P = \frac{90}{280} = \frac{9}{28} bulunur.
Koşullu olasılık tanımını uygulamak ve kesri en sade haline getirmek için.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2790Soru →
log⁡12(11−xx−1)≥−1\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{11 - x}{x - 1}\right) \geq -1

e��itsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 45'tir.
Logaritmanın tanım kümesi olan (1, 11) aralığı ile tabanın 1/2 olmasından dolayı yön değiştiren cebirsel eşitsizliğin çözüm kümesi olan (-inf, 1) U [13/3, inf) aralığı kesiştirildiğinde [13/3, 11) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, 7, 8, 9, 10 olup toplamları 45'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek.
1 < x < 11
Logaritmanın tanımlı olması için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritma tabanına göre eşitsizliği düzenlemek.
(11 - x) / (x - 1) <= 2
Logaritmanın tabanı (1/2) 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.
3
Eşitsizliği sıfıra eşitleyip kökleri bulmak ve işaret incelemesi yapmak.
x < 1 veya x >= 13/3
(11 - x)/(x - 1) - 2 <= 0 ifadesi düzenlendiğinde (13 - 3x)/(x - 1) <= 0 elde edilir. Payın kök�� 13/3, paydanın kökü 1'dir. İşaret tablosu ile çözüm aralığı belirlenir.
4
Çözüm kümesi ile tanım kümesinin kesişimini bulmak.
[13/3, 11)
Bulunan çözümlerin logaritma tanımını da sağlaması gerektiğinden iki kümenin kesişimi alınır.
5
Aralıktaki tam sayıları bulup toplamak.
45
13/3 yaklaşık 4.33 olduğundan bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, 7, 8, 9 ve 10'dur. Toplamları 45 yapar.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Soru 2791Soru →

Düşey doğrultuda hareket edebilen 4 kg4\text{ kg} kütleli bir yük, bir elektrik motoru tarafından sabit 2 m/s22\text{ m/s}^2 büyüklüğünde ivmeyle durgun halden başlayarak yukarı doğru çekilmektedir.

Yer çekimi ivmesi g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 olduğuna göre, hareketin başladığı andan itibaren 3 s3\text{ s} sonra motorun yüke aktardığı anlık güç kaç W\text{W} (watt) olur? (Hava sürtünmesi önemsizdir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Motorun 3. saniye sonundaki anlık gücü 288 watt olur.
Motorun yüke uyguladığı kuvvet ile yükün o andaki hızının çarpımı anlık gücü verir. Net kuvvet ve ağırlık dikkate alınarak motor kuvveti 48 N48\text{ N}, hız ise 6 m/s6\text{ m/s} olarak bulunduğundan, anlık güç 48⋅6=288 W48 \cdot 6 = 288\text{ W} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Yüke etki eden kuvvetlerin belirlenmesi ve motorun uyguladığı kuvvetin (ip gerilmesi) hesaplanması.
Newton'ın ikinci hareket yasasına göre: Fnet=m⋅a  ⟹  F−m⋅g=m⋅aF_{\text{net}} = m \cdot a \implies F - m \cdot g = m \cdot a yazılır. Değerler yerine konulduğunda: F−4⋅10=4⋅2  ⟹  F−40=8  ⟹  F=48 NF - 4 \cdot 10 = 4 \cdot 2 \implies F - 40 = 8 \implies F = 48\text{ N} bulunur.
Motorun yükü yukarı doğru ivmelendirebilmesi için uygulaması gereken kuvveti bulmak amacıyla.
2
3 s3\text{ s} sonundaki anlık hızın hesaplanması.
Durgun halden başlayan yükün t=3 st = 3\text{ s} sonundaki hızı: v=a⋅t=2⋅3=6 m/sv = a \cdot t = 2 \cdot 3 = 6\text{ m/s} olarak bulunur.
Anlık gücü hesaplayabilmek için o andaki hız değerine ihtiyaç duyulması.
3
Motorun aktardığı anlık gücün hesaplanması.
P=F⋅v=48⋅6=288 WP = F \cdot v = 48 \cdot 6 = 288\text{ W} olarak hesaplanır.
Güç formülü olan P=F⋅vP = F \cdot v bağıntısının uygulanması.

Anahtar Kavram

İş, Güç ve Enerji ilişkisi çerçevesinde, ivmeli hareket eden cisimlerde uygulanan kuvvetin yaptığı işin zamana göre değişim hızı olan anlık güç kavramı.
Soru 2792Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫0ln⁡2f(x) dx=4\int_{0}^{\ln 2} f(x) \, dx = 4
ve
∫12f(x) dx=10\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫0ln⁡2ex⋅f(ex) dx\int_{0}^{\ln 2} e^x \cdot f(e^x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Doğru cevap, u=exu = e^x dönüşümü yapılarak sınırların güncellenmesiyle elde edilen ifadedir. x=0x = 0 için u=1u = 1 ve x=ln⁡2x = \ln 2 için u=2u = 2 sınırları elde edilir. Böylece integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du şekline dönüşür ve bu değer soruda 10 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulamak için dönüşüm tanımlanır.
u=exu = e^x dönüşümü seçilir ve her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=ex dxdu = e^x \, dx elde edilir.
İntegral içindeki ex dxe^x \, dx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır: x=0  ⟹  u=e0=1x = 0 \implies u = e^0 = 1. Üst sınır: x=ln⁡2  ⟹  u=eln⁡2=2x = \ln 2 \implies u = e^{\ln 2} = 2.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre değiştirilmesi gerektiği için.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen bilgi kullanılarak sonuç hesaplanır.
∫0ln⁡2ex⋅f(ex) dx=∫12f(u) du=10\int_{0}^{\ln 2} e^x \cdot f(e^x) \, dx = \int_{1}^{2} f(u) \, du = 10
Dönüşüm sonrasında integralin ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx ifadesine eşit olduğu görülür ve bu değer soruda 10 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesinin hem de integral sınırlarının doğru bir şekilde güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2793Soru →
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında
a5+a15=20a_5 + a_{15} = 20
eşitliği verilmektedir.

f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 doğrusal fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,
f(a1)+f(a2)+⋯+f(a19)f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19})
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 494

Cevap

İstenen toplamın değeri 494'tür.
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşit olduğundan a1+a19=a5+a15=20a_1 + a_{19} = a_5 + a_{15} = 20 olur. Dizinin ilk 19 teriminin toplamı S19=192(a1+a19)=190S_{19} = \frac{19}{2}(a_1 + a_{19}) = 190 olarak bulunur. Fonksiyonel toplam 3⋅S19−19⋅43 \cdot S_{19} - 19 \cdot 4 şeklinde düzenlendiğinde 3⋅190−76=4943 \cdot 190 - 76 = 494 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
a1+a19a_1 + a_{19} toplamını bulmak için indis özelliğini uygulamak.
a1+a19=20a_1 + a_{19} = 20
Aritmetik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir (1+19=5+15=201 + 19 = 5 + 15 = 20).
2
(an)(a_n) dizisinin ilk 19 teriminin toplamını (S19S_{19}) hesaplamak.
S19=190S_{19} = 190
Aritmetik dizide ilk nn terim toplamı form��lü Sn=n2(a1+an)S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) şeklindedir. Buradan S19=192⋅20=190S_{19} = \frac{19}{2} \cdot 20 = 190 elde edilir.
3
f(a1)+f(a2)+⋯+f(a19)f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_{19}) toplamını düzenleyip hesaplamak.
494
f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 doğrusal fonksiyonunu her terim için yerine yazarak toplamı 3(a1+a2+⋯+a19)−19⋅43(a_1 + a_2 + \dots + a_{19}) - 19 \cdot 4 şeklinde yazarız. Bulunan değerler yerine koyulduğunda 3⋅190−76=4943 \cdot 190 - 76 = 494 elde edilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, ilk n terim toplamı ve doğrusal dönüşümlerin toplam üzerindeki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2794Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=8\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8
∫37f(x) dx=18\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫24(3f(2x−3)−f(2x−1)) dx\int_{2}^{4} \Big( 3f(2x-3) - f(2x-1) \Big) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İntegralin doğru değeri 3'tür.
İntegral doğrusallık özelliği kullanılarak iki parçaya ayrılır. Her bir parçada ayrı ayrı değişken değiştirme uygulanır. Birinci terimde u=2x−3u = 2x-3 dönüşümüyle sınırlar 11 ve 55 olur; diferansiyel katsayısı 12\frac{1}{2} gelir. İkinci terimde v=2x−1v = 2x-1 dönüşümüyle sınırlar 33 ve 77 olur; diferansiyel katsayısı 12\frac{1}{2} gelir. Verilen integral değerleri yerine yazıldığında sonuç 12−9=312 - 9 = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusallık özelliğini kullanarak iki ayrı integral olarak yazalım.
∫24(3f(2x−3)−f(2x−1)) dx=3∫24f(2x−3) dx−∫24f(2x−1) dx\int_{2}^{4} \Big( 3f(2x-3) - f(2x-1) \Big) \, dx = 3 \int_{2}^{4} f(2x-3) \, dx - \int_{2}^{4} f(2x-1) \, dx
İntegral içindeki çıkarma ve sabit kat sayıları dışarı çıkarma özelliklerini uygulamak işlemleri kolaylaştırır.
2
Birinci integral olan ∫24f(2x−3) dx\int_{2}^{4} f(2x-3) \, dx ifadesinde u=2x−3u = 2x-3 dönüşümü yapalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  u=2(2)−3=1x=2 \implies u=2(2)-3=1 ve x=4  ⟹  u=2(4)−3=5x=4 \implies u=2(4)-3=5 olarak güncellenir. Böylece integral 12∫15f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du haline gelir.
İntegral sınırlarını yeni değişken cinsinden güncellemek belirli integralde değişken değiştirmenin temel kuralıdır.
3
İkinci integral olan ∫24f(2x−1) dx\int_{2}^{4} f(2x-1) \, dx ifadesinde v=2x−1v = 2x-1 dönüşümü yapalım.
dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  v=2(2)−1=3x=2 \implies v=2(2)-1=3 ve x=4  ⟹  v=2(4)−1=7x=4 \implies v=2(4)-1=7 olarak güncellenir. Böylece integral 12∫37f(v) dv\frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv haline gelir.
Bu terim için de sınırları yeni değişken vv cinsinden güncelleriz.
4
Elde edilen yeni integrallerde verilen değerleri yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
3⋅(12∫15f(u) du)−(12∫37f(v) dv)=3⋅(12⋅8)−(12⋅18)=12−9=33 \cdot \left( \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du \right) - \left( \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv \right) = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 8 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 18 \right) = 12 - 9 = 3 bulunur.
Verilen ∫15f(x) dx=8\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8 ve ∫37f(x) dx=18\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18 değerlerini yerleştirmek nihai sonuca ulaştırır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Doğrusallık
Soru 2795Soru →

Düzgün bir altıgenin köşeleri olan 6 noktadan rastgele 3 tanesi seçilerek köşeleri bu noktalar olan bir üçgen oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu üçgenin bir dik üçgen olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\dfrac{3}{5}

Cevap

Oluşturulan üçgenin dik üçgen olma olasılığı 3/5'tir.
Düzgün altıgenin köşelerinden seçilen 3 nokta ile oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı (63)=20\binom{6}{3} = 20'dir. Bir dik üçgen oluşturabilmek için seçilen noktalardan ikisinin altıgenin merkezinden geçen bir ana köşegen (çap) olması gerekir. Altıgende 3 adet ana köşegen bulunur ve her ana köşegen için geriye kalan 4 köşeden biri seçilerek dik açılı köşe oluşturulur. Bu şekilde 3×4=123 \times 4 = 12 farklı dik üçgen elde edilir. İstenen olasılık ise 1220=35\frac{12}{20} = \frac{3}{5} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası üçgenlerin sayısını (örnek uzayın eleman sayısını) hesaplamak.
(63)=20\dbinom{6}{3} = 20
Düzgün altıgenin 6 köşesinden herhangi 3 tanesi seçilerek bir üçgen oluşturulmaktadır. Köşelerden herhangi üçü doğrusal olmadığından her seçim bir üçgen belirtir.
2
İstenen durum olan dik üçgenlerin sayısını belirlemek.
12
Düzgün altıgenin köşelerinden seçilen üç noktanın bir dik üçgen oluşturması için, bu noktalardan ikisinin altıgenin çevrel çemberinin çapı (yani altıgenin ana köşegeni) olması gerekir. Altıgende 3 adet ana köşegen vardır. Her bir köşegen için kalan 4 köşeden herhangi biri seçildiğinde bir dik üçgen oluşur. Dolayısıyla 3×4=123 \times 4 = 12 tane dik üçgen vardır.
3
İstenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlayarak olasılığı bulmak.
1220=35\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}
Basit bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının örnek uzayın eleman sayısına oranıdır.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı

Alternatif Yöntem

İlk nokta rastgele seçildikten sonra, ikinci noktanın bu noktanın karşısındaki köşe (ana köşegen) olma olasılığı 15\frac{1}{5}'tir. Bu durumda, üçüncü nokta ne seçilirse seçilsin (kalan 4 noktadan biri) dik üçgen oluşur. Buradan gelen olasılık 15×1=15\frac{1}{5} \times 1 = \frac{1}{5} olur. İkinci noktanın karşısındaki köşe olmama olasılığı 45\frac{4}{5}'tir. Bu durumda dik üçgen oluşması için üçüncü noktanın, ilk iki noktadan birinin karşısındaki köşe olması gerekir. Kalan 4 noktadan bu şartı sağlayan 2 nokta olduğundan olasılık 24=12\frac{2}{4} = \frac{1}{2} olur. Buradan gelen olasılık 45×12=25\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} olur. Toplam olasılık: 15+25=35\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2796Soru →

Sürtünmesiz yatay bir yolda 8 m/s8\text{ m/s} sabit hızla hareket etmekte olan 3 kg3\text{ kg} kütleli bir oyuncak arabaya, arabanın hareket yönüne zıt doğrultuda 2 m/s2\text{ m/s} hızla fırlatılan 2 kg2\text{ kg} kütleli bir çamur parçası çarparak yapışıyor.

Buna göre, çamur arabaya yap��ştıktan sonra ortak kütlenin hızı kaç m/s\text{m/s} olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Çamur arabaya yapıştıktan sonra ortak kütlenin hızı 4 m/s olur.
Sistemin ilk momentumu, oyuncak arabanın momentumu ile çamurun momentumunun vektörel toplamıdır. Arabanın momentumu hareket yönünde 3⋅8=24 kg⋅m/s3 \cdot 8 = 24\text{ kg}\cdot\text{m/s}, çamurun momentumu ise zıt yönde 2⋅2=4 kg⋅m/s2 \cdot 2 = 4\text{ kg}\cdot\text{m/s}'dir. Net ilk momentum arabanın yönünde 24−4=20 kg⋅m/s24 - 4 = 20\text{ kg}\cdot\text{m/s} olur. Çarpışmadan sonra ortak kütle 5 kg5\text{ kg} olduğuna göre, momentumun korunumundan ortak hız 20/5=4 m/s20 / 5 = 4\text{ m/s} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sistemin çarpışmadan önceki toplam momentumunu vektörel olarak hesaplayın.
Pilk=m1⋅v1−m2⋅v2=3⋅8−2⋅2=24−4=20 kg⋅m/sP_{\text{ilk}} = m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2 = 3 \cdot 8 - 2 \cdot 2 = 24 - 4 = 20\text{ kg}\cdot\text{m/s} (arabanın hareket yönünde)
Momentum vektörel bir büyüklük olduğundan, arabanın hareket yönü pozitif seçildiğinde zıt yönde hareket eden çamurun momentumu işleme eksi işaretiyle dahil edilir.
2
Çarpışmadan sonraki toplam kütleyi belirleyin.
mtoplam=m1+m2=3+2=5 kgm_{\text{toplam}} = m_1 + m_2 = 3 + 2 = 5\text{ kg}
Çarpışma tamamen esnek olmayan (yapışan) türde olduğu için cisimler kenetlenerek ortak bir kütle oluşturur.
3
Çizgisel momentumun korunumu ilkesini uygulayarak ortak hızı hesaplayın.
Pilk=Pson⇒20=mtoplam⋅vortak⇒20=5⋅vortak⇒vortak=4 m/sP_{\text{ilk}} = P_{\text{son}} \Rightarrow 20 = m_{\text{toplam}} \cdot v_{\text{ortak}} \Rightarrow 20 = 5 \cdot v_{\text{ortak}} \Rightarrow v_{\text{ortak}} = 4\text{ m/s}
Sürtünmesiz yatay düzlemde sisteme etki eden net bir dış kuvvet bulunmadığı için toplam çizgisel momentum korunmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Çizgisel Momentumun Korunumu
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2797Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk üç terimi sırasıyla x−1x - 1, x+3x + 3 ve 3x+13x + 1 olduğuna göre, bu dizinin 5. terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

64
Ardışık üç terimi sırasıyla x−1x-1, x+3x+3 ve 3x+13x+1 olan geometrik dizide ortadaki terimin karesi diğer iki terimin çarpımına eşittir. Buradan (x+3)2=(x−1)(3x+1)(x+3)^2 = (x-1)(3x+1) denklemi çözüldüğünde x=5x=5 veya x=−1x=-1 bulunur. Seçeneklerde yer alan değerleri bulmak adına x=5x=5 durumu incelenirse; dizinin ilk terimi a1=4a_1=4, ikinci terimi a2=8a_2=8 ve ortak çarpanı r=2r=2 olur. Buradan dizinin 5. terimi a5=a1⋅r4=4⋅16=64a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 16 = 64 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizi tanımına göre ardışık üç terim arasındaki ilişkiyi kurma
(x+3)2=(x−1)(3x+1)(x + 3)^2 = (x - 1)(3x + 1)
Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir (a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3).
2
Elde edilen denklemi açıp düzenleyerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturma
x2+6x+9=3x2−2x−1⇒2x2−8x−10=0⇒x2−4x−5=0x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1 \Rightarrow 2x^2 - 8x - 10 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0
Kökleri bulabilmek için tüm terimleri bir tarafa toplayıp sadeleştirme yapmamız gerekir.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak x değerlerini bulma
(x−5)(x+1)=0⇒x=5(x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 5 veya x=−1x = -1
Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemi sağlayan x değerlerini elde ederiz.
4
x=5x = 5 değeri için dizinin ilk üç terimini ve ortak çarpanı hesaplama
a1=4a_1 = 4, a2=8a_2 = 8, a3=16a_3 = 16 ve ortak çarpan r=a2a1=2r = \frac{a_2}{a_1} = 2
Bulunan x değerini yerine yazarak dizinin terimlerine ve ortak çarpanına ulaşırız.
5
Genel terim formülüyle dizinin 5. terimini bulma
a5=a1⋅r4=4⋅24=4⋅16=64a_5 = a_1 \cdot r^4 = 4 \cdot 2^4 = 4 \cdot 16 = 64
Geometrik dizilerde an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülü kullanılarak 5. terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide ardışık terimler arasındaki ilişki (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}) ve genel terim formülü (an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1})
Soru 2798Soru →

Bir AA kentinden BB kentine 3 farklı yol, BB kentinden CC kentine 4 farklı yol bulunmaktadır. Ayrıca AA kentinden CC kentine, BB kentine uğramadan gidilebilen 2 farklı direkt yol vardır.

Buna göre, AA kentinden CC kentine gidip tekrar AA kentine dönecek olan bir kişi, giderken kullandığı yol parçalarından hiçbirini dönüşte kullanmamak şartıyla kaç farklı rotadan gidip dönebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 122

Cevap

Gidiş ve dönüş rotalarında kullanılan yol parçalarının tekrarlanmaması şartıyla toplam 122 farklı rota bulunur.
AA'dan CC'ye gidiş yolları BB üzerinden (1212 yol) ve direkt (22 yol) olmak üzere ikiye ayrılır. BB üzerinden gidildiğinde kullanılan yol parçaları dönüşte kullanılamayacağından dönüş için 88 yol kalır ve bu durumdan 9696 rota elde edilir. Direkt gidildiğinde ise kullanılan direkt yol dönüşte kullanılamayacağından dönüş için 1313 yol kalır ve buradan 2626 rota elde edilir. Toplamda 122122 farklı rota bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kentinden CC kentine gidiş yollarını ve bu yolların sayılarını belirleme.
Gidiş için iki ana durum vardır:
1) BB üzerinden gitmek: 3×4=123 \times 4 = 12 yol.
2) Direkt gitmek: 22 yol.
Toplam gidiş yolu 12+2=1412 + 2 = 14'tür.
Gidişte hangi yol tipinin seçildiği dönüşteki seçenek sayısını etkileyeceğinden durumları ayrı ayrı incelemeliyiz.
2
BB üzerinden gidilmesi durumunda dönüş rotalarını hesaplama.
Gidişte BB üzerinden bir güzergah seçilirse (1212 seçenek):
- Dönüşte yine BB üzerinden dönülürse: Kalan yollarla (4−1)×(3−1)=6(4 - 1) \times (3 - 1) = 6 yol.
- Dönüşte direkt yollar kullanılırsa: 22 yol.
Bu durumda toplam dönüş yolu 6+2=86 + 2 = 8 olur.
Bu seçeneğin toplam gidiş-dönüş rota sayısı: 12×8=9612 \times 8 = 96 bulunur.
Giderken kullanılan iki yol parçasının dönüşte kullanılamayacağı kısıtını uygulamak.
3
Direkt yoldan gidilmesi durumunda dönüş rotalarını hesaplama.
Gidişte direkt yol seçilirse (22 seçenek):
- Dönüşte BB üzerinden dönülürse: 4×3=124 \times 3 = 12 yol.
- Dönüşte yine direkt yoldan dönülürse: Kalan 2−1=12 - 1 = 1 yol.
Bu durumda toplam dönüş yolu 12+1=1312 + 1 = 13 olur.
Bu seçeneğin toplam gidiş-dönüş rota sayısı: 2×13=262 \times 13 = 26 bulunur.
Direkt gidildiğinde sadece kullanılan o direkt yolun dönüşte kullanılamayacağı kısıtını uygulamak.
4
Ayrık durumların sonuçlarını toplama.
Toplam rota sayısı: 96+26=12296 + 26 = 122 olarak bulunur.
Toplama yoluyla sayma prensibi gereği farklı gidiş senaryolarından elde edilen sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Alternatif Yöntem

Matematiksel olarak tüm durumları formüle döküp ağaç şeması çizerek de her bir gidiş senaryosuna karşılık gelen dönüş dallarını tek tek sayarak aynı sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2799Soru →

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−ax+5f(x) = x^2 - ax + 5

parabolünün üzerindeki x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eksenleri kestiği noktalar AA ve BB dir.

Köşeleri koordinat başlangıcı (OO), AA ve BB noktaları olan OABOAB üçgeninde ∣OA∣=2∣OB∣|OA| = 2|OB| olduğuna göre, aa sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru cevap 6 değeridir.
Doğru cevap olan 6 değeri için, normal doğrusunun eğimi 1/2 olur ve bu doğru eksenleri (8,0) ve (0,-4) noktalarında keser. Bu durumda üçgenin dik kenar uzunlukları 8 birim ve 4 birim olduğundan |OA| = 2|OB| eşitliği sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak teğet doğrusunun eğimini bulunuz.
f'(x) = 2x - a olduğundan x = 2 noktasındaki teğet eğimi m_t = 4 - a olur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet ve normal doğrularının dikliği ilişkisini kullanarak normal doğrusunun eğimini belirleyiniz.
m_t * m_n = -1 bağıntısından m_n = 1 / (a - 4) elde edilir.
Teğet doğrusu ile normal doğrusu birbirine diktir ve dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.
3
Eksenleri kesen bir doğrunun eksen kestiği noktaların orijine uzaklıkları oranı ile eğimi arasındaki ilişkiyi kurunuz.
y = mx + d doğrusu için |OA| = |d/m| ve |OB| = |d| olur. Buradan |OA| = 2|OB| eşitliği |d/m| = 2|d| yazılırsa, doğrunun orijinden geçmediği bilindiğinden (d ≠ 0) |m_n| = 1/2 bulunur.
Doğrunun eksenleri kestiği noktaların uzunluk oranları, doğrunun eğiminin mutlak değerinin çarpmaya göre tersi ile ilişkilidir.
4
Elde edilen eğim değerini a parametresine eşitleyerek olası a değerlerini hesaplayınız.
m_n = 1/2 için 1/(a-4) = 1/2 ise a = 6; m_n = -1/2 için 1/(a-4) = -1/2 ise a = 2 bulunur. a = 6 değeri seçeneklerde mevcuttur.
Eğimin mutlak değeri 1/2 olduğundan normal doğrusunun eğimi 1/2 veya -1/2 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğiminin negatif tersidir ve doğrunun eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik oran doğrunun eğimini belirler.
Soru 2800Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2mx+3f(x) = x^2 - 2mx + 3
g(x)=x2−2nx+19g(x) = x^2 - 2nx + 19
parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2 noktalarıdır.

Bu iki parabol A(2,11)A(2, 11) noktasında kesiştiğine göre, T1T_1 ve T2T_2 noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Tepe noktalarından geçen doğrunun eğimi 22 dir.
Doğru cevabın elde edilmesi için öncelikle her iki parabolün kesişim noktası olan (2,11)(2, 11) koordinatları denklemlerde yerine yazılarak bilinmeyen parametreler m=−1m = -1 ve n=3n = 3 olarak bulunur. Ardından elde edilen f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 ve g(x)=x2−6x+19g(x) = x^2 - 6x + 19 parabollerinin tepe noktaları sırasıyla T1(−1,2)T_1(-1, 2) ve T2(3,10)T_2(3, 10) olarak hesaplanır. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi ise ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla 10−23−(−1)=2\frac{10-2}{3-(-1)} = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A(2,11)A(2, 11) noktası f(x)=x2−2mx+3f(x) = x^2 - 2mx + 3 parabolü üzerinde olduğundan, bu noktanın koordinatları parabolün denklemini sağlar. x=2x = 2 yazılarak denklem 1111'e eşitlenir ve mm değeri bulunur.
22−2m(2)+3=11  ⟹  7−4m=11  ⟹  4m=−4  ⟹  m=−12^2 - 2m(2) + 3 = 11 \implies 7 - 4m = 11 \implies 4m = -4 \implies m = -1
mm parametresini bularak f(x)f(x) parabolünün denklemini tam olarak elde etmek.
2
A(2,11)A(2, 11) noktası g(x)=x2−2nx+19g(x) = x^2 - 2nx + 19 parabolü üzerinde olduğundan, x=2x = 2 yazılarak denklem 1111'e eşitlenir ve nn değeri bulunur.
22−2n(2)+19=11  ⟹  23−4n=11  ⟹  4n=12  ⟹  n=32^2 - 2n(2) + 19 = 11 \implies 23 - 4n = 11 \implies 4n = 12 \implies n = 3
nn parametresini bularak g(x)g(x) parabolünün denklemini tam olarak elde etmek.
3
f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 parabolünün tepe noktası T1(r1,k1)T_1(r_1, k_1) koordinatları r1=−b2ar_1 = -\frac{b}{2a} ve k1=f(r1)k_1 = f(r_1) formülleriyle hesaplanır.
r1=−22=−1r_1 = -\frac{2}{2} = -1 ve k1=f(−1)=(−1)2+2(−1)+3=2k_1 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 2, yani T1(−1,2)T_1(-1, 2)
İlk parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemek.
4
g(x)=x2−6x+19g(x) = x^2 - 6x + 19 parabolünün tepe noktası T2(r2,k2)T_2(r_2, k_2) koordinatları r2=−b2ar_2 = -\frac{b}{2a} ve k2=g(r2)k_2 = g(r_2) formülleriyle hesaplanır.
r2=−−62=3r_2 = -\frac{-6}{2} = 3 ve k2=g(3)=32−6(3)+19=10k_2 = g(3) = 3^2 - 6(3) + 19 = 10, yani T2(3,10)T_2(3, 10)
İkinci parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemek.
5
T1(−1,2)T_1(-1, 2) ve T2(3,10)T_2(3, 10) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} formülüyle hesaplanır.
m=10−23−(−1)=84=2m = \frac{10 - 2}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2
İki tepe noktasından geçen doğrunun eğimini bulmak.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının bulunması ve iki noktadan geçen doğrunun eğiminin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

İki parabolün başkatsayıları eşit olduğundan (a=1a=1), tepe noktalarının koordinatları arasındaki farklar doğrudan x-eksenindeki öteleme miktarı ve parabollerin sabit terimleri arasındaki ilişki kullanılarak da türetilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 140 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin