Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 261Soru →
cos⁡(arcsin⁡(x)−arctan⁡(2))=255\cos\left(\arcsin(x) - \arctan(2)\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5} denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.6

Cevap

Denklemi sağlayan köklerin toplamı 1.6'dır.
Verilen denklemde ters trigonometrik fonksiyonlar açı dönüşümleriyle basitleştirilip kosinüs fark formülü uygulandığında 1−x2=2−2x\sqrt{1-x^2} = 2 - 2x cebirsel denklemine ulaşılır. Bu denklemin çözümü için x≤1x \le 1 şartı altında karesi alındığında 5x2−8x+3=05x^2 - 8x + 3 = 0 elde edilir. Çözüm kümesi {1,0.6}\{1, 0.6\} olup her iki değer de tanımlı aralıktadır. Bu köklerin toplamı 1.61.6 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yapılması
arcsin⁡(x)=a  ⟹  sin⁡(a)=x\arcsin(x) = a \implies \sin(a) = x ve arctan⁡(2)=b  ⟹  tan⁡(b)=2\arctan(2) = b \implies \tan(b) = 2
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlenebilir açılara dönüştürmek için.
2
Açıların diğer trigonometrik değerlerinin bulunması
cos⁡(a)=1−x2\cos(a) = \sqrt{1-x^2}, sin⁡(b)=25\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}} ve cos⁡(b)=15\cos(b) = \frac{1}{\sqrt{5}}
Kosinüs fark formülünde kullanılacak bileşenleri elde etmek için.
3
Kosinüs fark formülünün uygulanması
cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)=25\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) = \frac{2}{\sqrt{5}}
Verilen cos⁡(a−b)\cos(a-b) ifadesini açıp değeriyle eşitlemek için.
4
Cebirsel ifadenin sadeleştirilmesi ve denklemin kurulması
1−x2+2x=2  ⟹  1−x2=2−2x\sqrt{1-x^2} + 2x = 2 \implies \sqrt{1-x^2} = 2 - 2x
Kökleri bulabilmek amacıyla denklemi tek bir kareköklü ifadeye indirgemek için.
5
Karesinin alınması ve köklerin belirlenmesi
x1=1x_1 = 1 ve x2=0.6x_2 = 0.6 kökleri bulunur. Köklerin toplamı 1+0.6=1.61 + 0.6 = 1.6 elde edilir.
İkinci dereceden denklemi çözüp koşullara uygun kökleri toplamak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları ile toplam-fark formüllerinin birlikte uygulanması.
Soru 262Soru →

Koordinat düzleminde, ff fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için bu fonksiyonlar
f(x)−3⋅f(−x)+x2⋅g(−x)=x3−4x2−8f(x) - 3 \cdot f(-x) + x^2 \cdot g(-x) = x^3 - 4x^2 - 8
eqitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Fonksiyonların simetri özellikleri kullanılarak elde edilen f(2)+2g(2)=8f(2) + 2g(2) = 8 ve f(2)−2g(2)=16f(2) - 2g(2) = 16 denklem sistemi çözüldüğünde g(2)=−2g(2) = -2 bulunur.
Fonksiyonların simetri özellikleri kullanılarak elde edilen f(2)+2g(2)=8f(2) + 2g(2) = 8 ve f(2)−2g(2)=16f(2) - 2g(2) = 16 denklem sistemi çözüldüğünde g(2)=−2g(2) = -2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri özelliklerini tanımlama
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
ff fonksiyonunun ordinat eksenine göre simetrik olması onun çift, gg fonksiyonunun orijine göre simetrik olması ise tek fonksiyon olduğunu gösterir.
2
Verilen eşitliği basitleştirme
−2f(x)−x2g(x)=x3−4x2−8-2f(x) - x^2 g(x) = x^3 - 4x^2 - 8
f(−x)f(-x) yerine f(x)f(x) ve g(−x)g(-x) yerine −g(x)-g(x) yazarak ifadeyi düzenleriz.
3
x=2x = 2 yazarak birinci denklemi bulma
f(2)+2g(2)=8f(2) + 2g(2) = 8
x=2x=2 değeri denklemde yerine konur ve gerekli sadeleştirmeler yapılır.
4
x=−2x = -2 yazarak ikinci denklemi bulma
f(2)−2g(2)=16f(2) - 2g(2) = 16
x=−2x=-2 değeri denklemde yerine konur, f(−2)=f(2)f(-2)=f(2) ve g(−2)=−g(2)g(-2)=-g(2) eşitlikleri kullanılarak sadeleştirilir.
5
Denklem sistemini çözme
g(2)=−2g(2) = -2
Elde edilen iki denklem taraf tarafa çıkarılarak g(2)g(2) değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel tanımları ve simetri özellikleri
Soru 263Soru →
Genel terimi
an=n2−6n+kn+4a_n = \frac{n^2 - 6n + k}{n + 4}
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin en küçük terimi a3a_3 olduğuna göre, kk tam sayısı en az kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin en küçük teriminin a_3 olması için k tam sayısı en az 2 olmalıdır.
k = 2 değeri için dizinin terimleri a_2 = a_3 = -1 değerine ulaşır ve bu değer dizinin en küçük terimidir. Daha küçük k değerleri için a_2 terimi a_3'ten daha küçük olacağından en küçük terim a_3 olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük terim olma koşulunun belirlenmesi
a_3 \leq a_2 ve a_3 \leq a_4
Dizinin en küçük terimi a_3 ise, bu terim sağındaki ve solundaki komşu terimlerden küçük veya eşit olmalıdır.
2
Terimlerin k cinsinden ifadelerinin yaz��lması
a_2 = \frac{k - 8}{6}, a_3 = \frac{k - 9}{7}, a_4 = \frac{k - 8}{8}
Dizinin genel teriminde n yerine sırasıyla 2, 3 ve 4 değerleri yazılır.
3
a3≤a2es\citsizlig˘ininc\co¨zu¨lmesia_3 \leq a_2 eşitsizliğinin çözülmesi
k≥2k \geq 2
\frac{k - 9}{7} \leq \frac{k - 8}{6} eşitsizliğinde paydalar eşitlenerek k yalnız bırakılır.
4
a3≤a4es\citsizlig˘ininc\co¨zu¨lmesia_3 \leq a_4 eşitsizliğinin çözülmesi
k≤16k \leq 16
\frac{k - 9}{7} \leq \frac{k - 8}{8} eşitsizliğinde paydalar eşitlenerek k yalnız bırakılır.
5
Eşitsizliklerin birleştirilmesi ve en küçük k tam sayısının bulunması
2 \leq k \leq 16 aralığından k = 2 elde edilir.
k'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri alt sınırdan 2 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir dizinin en küçük veya en büyük terimini bulmak için, dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan komşu terimlerin kıyaslanması yöntemi kullanılır.
Soru 264Soru →

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=∣AC∣=7 birim|AB| = |AC| = 7\text{ birim}
∣AD∣=3 birim|AD| = 3\text{ birim}
∣BD∣=5 birim|BD| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

CD uzunluğu 8 birimdir.
Ardışık iki üçgende Kosinüs Teoremi uygulanıp, bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olduğu bilgisi doğru bir şekilde kullanıldığında ∣CD∣|CD| uzunluğu 88 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri hesaplanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(ADB^)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\widehat{ADB})
72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(ADB^)7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{ADB})
49=9+25−30cos⁡(ADB^)49 = 9 + 25 - 30 \cos(\widehat{ADB})
15=−30cos⁡(ADB^)  ⟹  cos⁡(ADB^)=−1215 = -30 \cos(\widehat{ADB}) \implies \cos(\widehat{ADB}) = -\frac{1}{2}
ABDABD üçgeninin tüm kenar uzunlukları bilindiği için ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri doğrudan belirlenebilir.
2
BB, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, bütünler açılar kuralı kullanılarak ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(ADC^)=cos⁡(180∘−ADB^)=−cos⁡(ADB^)=−(−12)=12\cos(\widehat{ADC}) = \cos(180^\circ - \widehat{ADB}) = -\cos(\widehat{ADB}) = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}
ADCADC üçgeninde işlem yapabilmek için bu üçgendeki ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri gereklidir.
3
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(ADC^)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\widehat{ADC})
72=32+x2−2⋅3⋅x⋅127^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2}
49=9+x2−3x49 = 9 + x^2 - 3x
x2−3x−40=0x^2 - 3x - 40 = 0
(x−8)(x+5)=0(x - 8)(x + 5) = 0
x=8 veya x=−5x = 8 \text{ veya } x = -5
Uzunluk negatif olamayacağı için x=8x = 8 değeri çözüm olarak kabul edilir.

Anahtar Kavram

Bir üçgende kenarlar arasındaki bağıntıyı kurmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüsleri birbirinin zıt işaretlisidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 265Soru →
sin⁡(3x)sin⁡(x)+cos⁡(3x)cos⁡(x)=1\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 1

denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kπk\pi radyandır.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin verilen aralıktaki gerçel köklerinin toplamı 4\pi radyan olup, k değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem payda eşitleme ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirildiğinde cos(2x) = 1/4 denklemine indirgenir. Paydayı sıfır yapan sin(2x) = 0 değerleri elendikten sonra, cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki 4 farklı kökü simetri yardımıyla toplandığında 4π elde edilir. Bu nedenle k değeri 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanımlı olduğu kümeyi ve paydaları sıfır yapan değerleri belirleyin.
sin(x) ≠ 0 ve cos(x) ≠ 0 olmalıdır. Bu durum sin(2x) ≠ 0 olmasını gerektirir. Dolayısıyla x ≠ π/2, x ≠ π ve x ≠ 3π/2 olmalıdır.
Tanımsızlığa yol açan x değerleri çözüm kümesinden dışlanmalıdır.
2
Sol taraftaki rasyonel ifadeyi payda eşitleyerek sadeleştirin.
Payda eşitleme sonucunda sol taraf [sin(3x)cos(x) + cos(3x)sin(x)] / [sin(x)cos(x)] haline gelir. Toplam formülünden pay sin(4x), yarım açı formülünden payda (1/2)sin(2x) olur. Denklem 2sin(4x) / sin(2x) = 1 biçimine dönüşür. sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) açılımı yapılıp sin(2x) ≠ 0 koşulu altında sadeleştirme uygulandığında 4cos(2x) = 1 elde edilir.
Trigonometrik toplam ve yarım açı formülleri kullanılarak denklem en sade biçimine getirilir.
3
cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki köklerini bulun.
2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında u ∈ (0, 4π) olur. cos(u) = 1/4 denkleminin bu aralıkta 4 kökü vardır: u₁ = θ, u₂ = 2π - θ, u₃ = 2π + θ, u₄ = 4π - θ (burada θ ∈ (0, π/2) ve cos(θ) = 1/4). Buradan x değerleri sırasıyla x₁ = θ/2, x₂ = π - θ/2, x₃ = π + θ/2, x₄ = 2π - θ/2 olarak bulunur. Bu değerlerin hiçbiri dışlanan değerlerle çakışmaz.
cos(2x) = 1/4 denklemini sağlayan açıların simetrik konumları belirlenir.
4
Kökleri toplayıp k değerini elde edin.
Köklerin toplamı (θ/2) + (π - θ/2) + (π + θ/2) + (2π - θ/2) = 4π radyandır. Buradan k = 4 bulunur.
Tüm geçerli köklerin toplamı alınarak kπ ifadesine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde payda sınırlamalarının kontrolü ve simetri yoluyla kökler toplamının bulunması
Soru 266Soru →
f(x)=log⁡6−x(x2−4xx2−7x+10)+x+3f(x) = \log_{6-x}\left(\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 7x + 10}\right) + \sqrt{x+3}

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

En geniş tanım kümesindeki farklı tam sayı değerlerinin toplamı -3'tür.
Kareköklü ifadenin tanımlı olması için x≥−3x \geq -3, logaritma tabanı için x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 olmalıdır. Rasyonel ifadenin pozitif olduğu aralıklar işaret tablosuyla (−∞,0)∪(2,4)∪(5,∞)(-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty) olarak bulunur. Tüm bu aralıkların kesişiminden en geniş tanım kümesi [−3,0)∪(2,4)∪(5,6)[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6) elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar −3,−2,−1-3, -2, -1 ve 33 olup toplamları −3-3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma aralığını bulma
x≥−3x \geq -3
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
2
Logaritma tabanının tanımlı olma şartlarını belirleme
x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5
Logaritma tabanının pozitif ve 1'den farklı olması gerekir: 6−x>06 - x > 0 ve 6−x≠16 - x \neq 1.
3
Logaritma argümanının pozitif olma şartını belirleme
x∈(−∞,0)∪(2,4)∪(5,∞)x \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (5, \infty)
Logaritmanın tanımlı olması için içerideki rasyonel ifadenin pozitif olması gerekir. x(x−4)(x−2)(x−5)>0\frac{x(x-4)}{(x-2)(x-5)} > 0 eşitsizliğinin kökleri 0,2,4,50, 2, 4, 5 olup işaret tablosunda sağdan sola doğru +,−,+,−,++ , - , + , - , + şeklinde dizilir.
4
Eşitsizliklerin kesişimini alma ve tam sayı değerlerini toplama
Tam sayılar: −3,−2,−1,3-3, -2, -1, 3. Toplam: −3-3
Bulunan tüm şartlar (x≥−3x \geq -3, x<6x < 6, x≠5x \neq 5 ve rasyonel ifadenin pozitif olduğu bölgeler) kesiştirilerek en geniş tanım kümesi [−3,0)∪(2,4)∪(5,6)[-3, 0) \cup (2, 4) \cup (5, 6) olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise pozitif olması gerekir. Eşitsizlik sistemlerinin çözümünde her bir şartın ortak kesişim kümesi alınır.
Soru 267Soru →
xlog⁡2x−3=16x^{\log_2 x - 3} = 16 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16.5

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayılarının toplamı 16,5'tir.
Verilen denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritması alındığında denklem (log⁡2x−3)⋅log⁡2x=4(\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4 biçimine dönüşür. Buradan log⁡2x=u\log_2 x = u dönüşümüyle u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri u=4u = 4 ve u=−1u = -1'dir. Bu değerlere karşılık gelen xx kökleri ise sırasıyla 1616 ve 0,50,5 olup toplamları 16,516,5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını almak.
log⁡2(xlog⁡2x−3)=log⁡216⇒(log⁡2x−3)⋅log⁡2x=4\log_2\left(x^{\log_2 x - 3}\right) = \log_2 16 \Rightarrow (\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4
Üstel değişkeni logaritma yardımıyla tabana indirgemek için.
2
log⁡2x=u\log_2 x = u dönüşümü uygulayarak denklemi ikinci dereceden bir denklem olarak yazmak ve çözmek.
u(u−3)=4⇒u2−3u−4=0⇒(u−4)(u+1)=0⇒u1=4 ve u2=−1u(u - 3) = 4 \Rightarrow u^2 - 3u - 4 = 0 \Rightarrow (u - 4)(u + 1) = 0 \Rightarrow u_1 = 4 \text{ ve } u_2 = -1
İkinci dereceden denklemin kök bulma yöntemlerini kullanabilmek için.
3
uu değerlerinden xx değerlerine geçiş yapmak ve bulunan kökleri toplamak.
log⁡2x=4⇒x1=24=16\log_2 x = 4 \Rightarrow x_1 = 2^4 = 16 ve log⁡2x=−1⇒x2=2−1=0,5\log_2 x = -1 \Rightarrow x_2 = 2^{-1} = 0,5. Kökler toplamı: 16+0,5=16,516 + 0,5 = 16,5
Logaritma tanımını uygulayarak orijinal değişkenin değerlerini bulmak ve soruda istenen toplam işlemini gerçekleştirmek için.

Anahtar Kavram

Üstel ifadelerin üssünde logaritma barındıran denklemleri her iki tarafın logaritmasını alarak ve değişken değiştirerek çözme yöntemi.
Soru 268Soru →
f(x)=log⁡x−1(x2−4)+log⁡9−x(36−x2)f(x) = \log_{x-1}(x^2 - 4) + \log_{9-x}(36 - x^2)

fonksiyonunu tanımlı yapan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonu tanımlı yapan x tam sayılarının toplamı 12'dir.
Fonksiyonun birinci terimi x>2x > 2 için, ikinci terimi ise −6<x<6-6 < x < 6 için tanımlıdır. Her iki aralığın kesişimi (2,6)(2, 6) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 3,43, 4 ve 55 olduğundan, toplamları 1212 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma terimi olan log⁡x−1(x2−4)\log_{x-1}(x^2 - 4) ifadesinin tanımlı olması için gereken şartları belirleyelim.
Taban şartı: x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve x−1≠1  ⟹  x≠2x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2.
Argüman şartı: x2−4>0  ⟹  (x−2)(x+2)>0  ⟹  x>2x^2 - 4 > 0 \implies (x - 2)(x + 2) > 0 \implies x > 2 veya x<−2x < -2.
Bu şartların kesişimi alındığında birinci terimin tanım aralığı (2,∞)(2, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci logaritma terimi olan log⁡9−x(36−x2)\log_{9-x}(36 - x^2) ifadesinin tanımlı olması için gereken şartları belirleyelim.
Taban şartı: 9−x>0  ⟹  x<99 - x > 0 \implies x < 9 ve 9−x≠1  ⟹  x≠89 - x \neq 1 \implies x \neq 8.
Argüman şartı: 36−x2>0  ⟹  (6−x)(6+x)>0  ⟹  −6<x<636 - x^2 > 0 \implies (6 - x)(6 + x) > 0 \implies -6 < x < 6.
Bu şartların kesişimi alındığında (çünkü (−6,6)(-6, 6) aralığı hem x<9x < 9 şartını sağlar hem de 88 değerini içermez) ikinci terimin tanım aralığı (−6,6)(-6, 6) olarak bulunur.
İlk adımda olduğu gibi taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Her iki terimin de aynı anda tanımlı olması için elde edilen tanım aralıklarının kesişimini alalım ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplayalım.
İki tanım kümesinin kesişimi: (2,∞)∩(−6,6)=(2,6)(2, \infty) \cap (-6, 6) = (2, 6) elde edilir.
Bu açık aralıktaki tam sayılar 3,43, 4 ve 55 sayılarıdır.
Bu sayıların toplamı: 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12 bulunur.
İki fonksiyonun toplamından oluşan bir fonksiyonun tanım kümesi, toplanan her bir fonksiyonun tanım kümelerinin ara kesitidir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi bulunurken hem tabanın hem de argümanın bağımsız olarak pozitif olma şartları incelenir; ayrıca taban 1'e eşit olamaz. Toplam biçimindeki fonksiyonlarda ise her bir terimin tanım kümelerinin kesişim kümesi alınır.
Soru 269Soru →
log⁡2(x2−x)−2log⁡x2−x2=1\log_2(x^2 - x) - 2\log_{x^2 - x} 2 = 1

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların çarpımı 2'dir.
Verilen denklemde log⁡2(x2−x)=t\log_2(x^2 - x) = t dönüşümü yapılarak elde edilen ikinci dereceden denklemin kökleri t=2t = 2 ve t=−1t = -1 bulunur. Buradan türetilen x2−x=4x^2 - x = 4 ve x2−x=12x^2 - x = \frac{1}{2} denklemlerinin tüm köklerinin logaritma tanım kümesini sağladığı görülür. Bu iki denklemin köklerinin çarpımları sırasıyla −4-4 ve −12-\frac{1}{2} olup, tüm köklerin çarpımı 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi koşullarının belirlenmesi
x2−x>0x^2 - x > 0 ve x2−x≠1x^2 - x \neq 1
Logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif, tabanın ise pozitif ve 1'den farklı olması gerekir.
2
Değişken değiştirme uygulanması
t−2t=1t - \frac{2}{t} = 1
log⁡2(x2−x)=t\log_2(x^2 - x) = t dönüşümü yapıldığında taban değiştirme özelliği gereği log⁡x2−x2=1t\log_{x^2 - x} 2 = \frac{1}{t} olur.
3
t değişkenine bağlı denklemin çözülmesi
t1=2t_1 = 2 veya t2=−1t_2 = -1
t2−t−2=0  ⟹  (t−2)(t+1)=0t^2 - t - 2 = 0 \implies (t - 2)(t + 1) = 0 denkleminden kökler elde edilir.
4
x değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemlerin oluşturulması
x2−x−4=0x^2 - x - 4 = 0 ve 2x2−2x−1=02x^2 - 2x - 1 = 0
log⁡2(x2−x)=2  ⟹  x2−x=4\log_2(x^2 - x) = 2 \implies x^2 - x = 4 ve log⁡2(x2−x)=−1  ⟹  x2−x=12\log_2(x^2 - x) = -1 \implies x^2 - x = \frac{1}{2} eşitlikleri düzenlenir.
5
Köklerin varlığı, tanımlılık kontrolü ve kökler çarpımının bulunması
Köklerin çarpımı 2'dir.
x2−x−4=0x^2 - x - 4 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=17>0\Delta = 17 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Bu kökler için x2−x=4x^2 - x = 4 olduğundan tanım koşulları sağlanır. Bu denklemin kökler çarpımı x1⋅x2=−4x_1 \cdot x_2 = -4'tür. 2x2−2x−1=02x^2 - 2x - 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=12>0\Delta = 12 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Bu kökler için x2−x=12x^2 - x = \frac{1}{2} olduğundan tanım koşulları sağlanır. Bu denklemin kökler çarpımı x3⋅x4=−12x_3 \cdot x_4 = -\frac{1}{2}'dir. Tüm köklerin çarpımı (−4)⋅(−12)=2(-4) \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritmik denklemlerde taban değiştirme özelliği, değişken değiştirme yöntemi ve köklerin tanım kümesine uygunluğunun denetlenmesi.
Soru 270Soru →
x+4(x−1)2(x−3)≥0 \frac{x+4}{(x-1)^2(x-3)} \ge 0
x2−2x−15≤0 x^2 - 2x - 15 \le 0

eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Verilen eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi (3, 5] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 4 ve 5 olup, toplamları 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturma
Kökler: payın kökü x = -4, paydanın kökleri x = 1 (çift katlı) ve x = 3'tür. Çözüm aralığı: (-\infty, -4] \cup (3, \infty)
Eşitsizlik sisteminin birinci kısmının çözüm kümesini belirlemek için pay ve paydadaki ifadelerin sıfır olduğu noktalar bulunmalı ve işaret incelenmelidir. x = 1 paydanın kökü olduğu için tanımsızlık yaratır ve çift katlı köktür.
2
İkinci eşitsizliğin köklerini bulup çözüm aralığını belirleme
Kökler: x = 5 ve x = -3'tür. Çözüm aralığı: [-3, 5]
x^2 - 2x - 15 <= 0 ifadesi (x - 5)(x + 3) <= 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kökler tabloya yerleştirilerek baş katsayı pozitif olduğundan +, -, + şeklinde işaretlenir ve negatif veya sıfır olan bölge seçilir.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma
Kesişim kümesi: (3, 5]
Sistemi sağlayan x değerleri, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerdir. Bu nedenle birinci ve ikinci adımlarda elde edilen aralıkların kesişimi alınır.
4
Kesişim kümesindeki tam sayıları bulup toplama
Tam sayılar: 4 ve 5. Toplam: 4 + 5 = 9
(3, 5] yarı açık aralığındaki tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu tam sayıların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 271Soru →
log⁡69+2log⁡26\log_{6} 9 + \frac{2}{\log_{2} 6}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritma ifadesi paya taşınmış, katsayı özelliği ile logaritma argümanının üssü olarak yazılmış ve logaritma toplama kuralı uygulanarak sonuç 2 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki logaritma ifadesine taban değiştirme kuralı uygulanır.
2log⁡26=2⋅log⁡62\frac{2}{\log_{2} 6} = 2 \cdot \log_{6} 2 elde edilir.
Toplama işlemini yapabilmek için tüm logaritma ifadelerinin tabanlarını eşitlemek gerekir.
2
Katsayı durumundaki 2 sayısı argümanın üzerine üs olarak taşınır.
2log⁡62=log⁡622=log⁡642\log_{6} 2 = \log_{6} 2^2 = \log_{6} 4 elde edilir.
Logaritma toplama özelliğini doğrudan uygulayabilmek için katsayıyı yok etmek gerekir.
3
Aynı tabana sahip logaritmaların toplama özelliği uygulanır.
log⁡69+log⁡64=log⁡6(9⋅4)=log⁡636\log_{6} 9 + \log_{6} 4 = \log_{6} (9 \cdot 4) = \log_{6} 36 elde edilir.
Toplama durumundaki iki logaritma ifadesini tek bir logaritma altında birleştirmek.
4
Elde edilen logaritma ifadesinin değeri hesaplanır.
log⁡636=log⁡662=2\log_{6} 36 = \log_{6} 6^2 = 2 bulunur.
Logaritmanın tanımı gereği taban ile argüman arasındaki kuvvet ilişkisini sadeleştirmek.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme ve toplama özellikleri
Soru 272Soru →
θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4
olduğuna göre, cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Soruda istenen cos⁡(4θ)\cos(4\theta) değeri 0,50,5 olarak bulunur.
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 eşitliğinden sin⁡(2θ)=1/2\sin(2\theta) = 1/2 elde edilir. Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2A)=1−2sin⁡2(A)\cos(2A) = 1 - 2\sin^2(A) bağıntısında A=2θA = 2\theta alınırsa, cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(1/2)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2(1/2)^2 = 0,5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
tan⁡θ+cot⁡θ=4\tan \theta + \cot \theta = 4 ifadesinde trigonometrik özdeşlikleri yazarak paydaları eşitleyin.
sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θ⋅cos⁡θ=4  ⟹  sin⁡θ⋅cos⁡θ=14\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} = 4 \implies \sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{4}
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpım durumuna getirmek için.
2
Elde edilen çarpımı 22 ile çarparak sinüs yarım açı formülünü uygulayın.
sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅14=12\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
Açıyı iki katına çıkarıp yarım açı formülünü elde etmek için.
3
cos⁡(4θ)\cos(4\theta) ifadesini yarım açı formülüyle sin⁡(2θ)\sin(2\theta) cinsinden açıp değeri yerine koyun.
cos⁡(4θ)=1−2sin⁡2(2θ)=1−2(12)2=0,5\cos(4\theta) = 1 - 2\sin^2(2\theta) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0,5
İstenen kosinüs değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda yarım açı formülleri (sinüs ve kosinüs iki kat açı formülleri)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 273Soru →
x2+3xy+y2=11x−y=1\begin{aligned} x^2 + 3xy + y^2 &= 11 \\ x - y &= 1 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Sistemi sağlayan tüm gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamının değeri 5'tir.
Denklem sisteminde birinci denklem (x−y)2+5xy=11(x-y)^2 + 5xy = 11 şeklinde yazılıp x−y=1x-y=1 eşitliği yerine konduğunda xy=2xy=2 bulunur. İstenen x2+y2x^2+y^2 toplamı ise (x−y)2+2xy(x-y)^2 + 2xy ifadesine eşit olup 12+2(2)=51^2 + 2(2) = 5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemdeki ifadeyi iki terimin farkının karesi özdeşliğini kullanacak şekilde düzenlemek.
x2+3xy+y2=(x−y)2+5xy=11x^2 + 3xy + y^2 = (x - y)^2 + 5xy = 11
Sistemde verilen x−yx-y ifadesini doğrudan kullanabilmek.
2
x−y=1x - y = 1 değerini yerine yazarak xyxy çarpımını hesaplamak.
1+5xy=11  ⟹  xy=21 + 5xy = 11 \implies xy = 2
Bilinmeyenlerin çarpım değerini elde etmek.
3
x2+y2x^2 + y^2 toplamını elde etmek için farkın karesi açılımını uygulamak.
x2+y2=(x−y)2+2xy=12+2(2)=5x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = 1^2 + 2(2) = 5
İstenen hedef ifadeyi hesaplamak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin cebirsel özdeşlikler yardımıyla çözülmesi.
Soru 274Soru →
Genel terimi
an=4n−18n+1a_n = \frac{4n - 18}{n + 1}
olan (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin kaç terimi negatiftir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin negatif olan terim sayısı 4'tür.
Dizinin genel terimini negatif yapan nn pozitif tam sayıları belirlendiğinde n<4,5n < 4,5 eşitsizliği elde edilir. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44 olduğundan dizinin tam olarak 4 tane terimi negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin negatif terimlerini bulmak için genel terimi sıfırdan küçük eşitleyin.
4n−18n+1<0\frac{4n - 18}{n + 1} < 0
Dizinin hangi terimlerinin negatif değerli olduğunu tespit etmek amacıyla an<0a_n < 0 eşitsizliğini çözmemiz gerekir.
2
Dizi tanım kümesi koşulunu kullanarak paydanın işaretini belirleyin.
Her n≥1n \ge 1 için n+1>0n + 1 > 0 olur.
Dizilerin indis kümesi pozitif tam sayılardan oluştuğu için nn daima en az 1 değerini alır ve payda her zaman pozitif kalır.
3
Eşitsizliği sadeleştirip nn için bir üst sınır bulun.
4n−18<0⇒n<4,54n - 18 < 0 \Rightarrow n < 4,5
Payda pozitif olduğundan, kesirli ifadenin negatif çıkabilmesi için pay kısmının negatif olması şarttır.
4
nn değerinin alabileceği pozitif tam sayı değerlerini listeleyin.
n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\} olup toplam 4 tanedir.
Dizi indisi nn sadece pozitif tam sayılar olabileceğinden, 4,5'ten küçük pozitif tam sayılar çözümü oluşturur.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi sınırlaması ve genel terim eşitsizlik çözümü

Alternatif Yöntem

Dizinin ilk birkaç terimi sırayla yazılıp işaretleri kontrol edilebilir: a1=4(1)−181+1=−7<0a_1 = \frac{4(1)-18}{1+1} = -7 < 0, a2=8−183=−103<0a_2 = \frac{8-18}{3} = -\frac{10}{3} < 0, a3=12−184=−1.5<0a_3 = \frac{12-18}{4} = -1.5 < 0, a4=16−185=−0.4<0a_4 = \frac{16-18}{5} = -0.4 < 0, a5=20−186=13>0a_5 = \frac{20-18}{6} = \frac{1}{3} > 0. Böylece sadece ilk 4 terimin negatif olduğu doğrudan görülür.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 275Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=arcsin⁡(2x−75)+arccot(116−x2)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x - 7}{5}\right) + \text{arccot}\left(\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 6'dır.
Fonksiyonun her iki teriminin tanımlılık şartları kesiştirildiğinde elde edilen tanım kümesi [1,4)[1, 4) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların (1, 2, 3) toplamı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
arcsin fonksiyonunun tanımlılık şartının uygulanması
1≤x≤61 \le x \le 6
arcsin⁡(u)\arcsin(u) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır. −1≤2x−75≤1⇒−5≤2x−7≤5⇒2≤2x≤12⇒1≤x≤6-1 \le \frac{2x-7}{5} \le 1 \Rightarrow -5 \le 2x - 7 \le 5 \Rightarrow 2 \le 2x \le 12 \Rightarrow 1 \le x \le 6 elde edilir.
2
Köklü ve rasyonel ifadenin tanımlılık şartının uygulanması
−4<x<4-4 < x < 4
Paydadaki kareköklü ifadenin tanımlı olması ve tanımsızlık yaratmaması için kök içinin sıfırdan kesinlikle büyük olması gerekir: 16−x2>0⇒x2<16⇒−4<x<416 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 elde edilir.
3
Tanım kümelerinin kesişiminin bulunması
[1,4)[1, 4)
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki terimin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu nedenle elde edilen aralıkların kesişimi alınır: [1,6]∩(−4,4)=[1,4)[1, 6] \cap (-4, 4) = [1, 4).
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplanması
6
[1,4)[1, 4) yarı açık aralığındaki tam sayı değerleri 1, 2 ve 3'tür. Bu değerlerin toplamı 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6 yapar.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım kümelerinin bulunması ve kesişim mantığı
Soru 276Soru →

Bir ABCDABCD paralelkenarında ∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}, ∣AD∣=6 birim|AD| = 6\text{ birim} ve m(BAD^)=120∘m(\widehat{BAD}) = 120^\circ dir.
[AB][AB] kenarı üzerinde ∣AE∣=3 birim|AE| = 3\text{ birim} olacak şekilde bir EE noktası, [AD][AD] kenarı üzerinde ise ∣AF∣=5 birim|AF| = 5\text{ birim} olacak şekilde bir FF noktası belirleniyor.

Buna göre, EE ve FF noktaları arasındaki uzaklık (∣EF∣|EF|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

E ve F noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
E ve F noktaları arasındaki uzaklık Kosinüs Teoremi kullanılarak 7 birim olarak bulunur. Geniş açının kosinüsü olan cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 değerinin işareti doğru uygulandığında ∣EF∣2=32+52−2(3)(5)(−1/2)=49|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)(-1/2) = 49 eşitliğinden doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AEFAEF üçgenindeki tepe açısının belirlenmesi
m(EAF^)=120∘m(\widehat{EAF}) = 120^\circ
EE ve FF noktaları sırasıyla [AB][AB] ve [AD][AD] kenarları üzerinde olduğundan EAF^\widehat{EAF} açısı, paralelkenarın BAD^\widehat{BAD} açısı ile aynıdır.
2
Kosinüs Teoremi formülünün yazılması ve değerlerin yerine konulması
∣EF∣2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(120∘)|EF|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)
Bir üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde karşı kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi uygulanır.
3
Hesaplamanın tamamlanarak ∣EF∣|EF| değerinin bulunması
∣EF∣=7|EF| = 7
cos⁡(120∘)=−12\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} değeri yerine yazılarak ∣EF∣2=49|EF|^2 = 49 elde edilir ve karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi yardımıyla iki kenarı ve aralarındaki açısı bilinen üçgende üçüncü kenar uzunluğunun hesaplanması.
Soru 277Soru →
log⁡12(x−2)+2log⁡2(9−x)−2≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 2}{\log_2(9 - x) - 2} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 28'dir.
Eşitsizliğin çözümü için logaritma tanım kuralları gereği 2<x<92 < x < 9 olmalıdır. Payın kökü x=6x = 6 ve paydanın kökü x=5x = 5'tir. İşaret tablosu yapıldığında 2<x<52 < x < 5 ve 6≤x<96 \leq x < 9 aralıklarında eşitsizlik sağlanır. Bu aralıklardaki tam sayılar 3,4,6,7,83, 4, 6, 7, 8 olup toplamları 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
2<x<92 < x < 9
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için logaritması alınan ifadelerin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Pay kısmının kökünü ve işaretini bulmak
Kök x=6x = 6, x<6x < 6 için pozitif, x>6x > 6 için negatif
Payı sıfır yapan değeri bulup, taban 00 ile 11 arasında olduğu için azalanlık özelliğine göre işaretini belirleriz.
3
Payda kısmının kökünü ve işaretini bulmak
Kök x=5x = 5, x<5x < 5 için pozitif, x>5x > 5 için negatif
Paydayı sıfır yapan değeri bulup, taban 11'den büyük olduğu için artanlık/azalanlık durumuna göre işaretini belirleriz.
4
İşaret tablosunu oluşturmak ve çözüm kümesini yazmak
Çözüm Kümesi = (2,5)∪[6,9)(2, 5) \cup [6, 9)
Pay ve paydanın işaretlerinin bölümünün pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri tanım kümesi sınırları içinde belirleriz.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplamak
3+4+6+7+8=283 + 4 + 6 + 7 + 8 = 28
Eşitsizliği sağlayan tüm tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesi sınırlarının çözüm kümesine etkisi.
Soru 278Soru →

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisidir.

an=1log⁡2(n2+4n+k)−3a_n = \frac{1}{\log_2(n^2 + 4n + k) - 3}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

k tam sayısının alabileceği en küçük değer -3'tür.
Dizi terimlerinin tanımlı olabilmesi için logaritmanın içi her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için pozitif olmalı ve payda sıfırdan farklı olmalıdır. Parabolün artanlığı analiz edilerek logaritmanın içi için k≥−4k \ge -4 koşulu bulunur. Ancak k=−4k = -4 değeri n=2n = 2 için paydayı sıfır yaptığından elenir ve en küçük uygun değerin −3-3 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanımlı olması için gerekli koşulları belirleme
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2+4n+k>0n^2 + 4n + k > 0 ve n2+4n+k≠8n^2 + 4n + k \neq 8 olmalıdır.
Gerçel sayı dizisinin her terimi tanımlı olmalıdır. Bu yüzden logaritmanın içi pozitif olmalı ve payda sıfırdan farklı olmalıdır.
2
Logaritmanın içi için tanımlılık sınırını bulma
k≥−4k \ge -4
n2+4n+kn^2 + 4n + k ifadesi n≥1n \ge 1 için artan olduğundan en küçük değerini n=1n = 1 noktasında alır. f(1)>0  ⟹  k>−5f(1) > 0 \implies k > -5 elde edilir.
3
Paydayı sıfır yapan durumları kontrol etme
k=−4k = -4 değeri için n=2n = 2 terimi paydayı sıfır yapar, bu yüzden k≥−3k \ge -3 olmalıdır.
n2+4n+k=8n^2 + 4n + k = 8 denkleminin pozitif tam sayılarda kökü bulunmamalıdır.
4
Koşulları sağlayan en küçük tam sayıyı belirleme
En küçük kk değeri −3-3 olarak bulunur.
k=−3k = -3 değeri hem logaritmanın içinin pozitif olmasını sağlar hem de paydayı sıfır yapmaz.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin genel terim belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesindeki her nn değeri için tanımlı bir gerçel sayıya karşılık gelmesi gerekir.
Soru 279Soru →

(an)(a_n) dizisi, genel terimi

an=k⋅n+123n+4a_n = \frac{k \cdot n + 12}{3n + 4}

olan bir sabit dizidir.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Sabit dizinin genel terimindeki pay ve payda kısımlarında bulunan terimlerin katsayıları oranlanarak kk değeri 9 olarak bulunur.
Genel terimi rasyonel fonksiyon şeklinde olan bir dizinin sabit dizi belirtebilmesi için pay ve paydasındaki aynı dereceli terimlerin katsayılarının oranı birbirine eşit olmalıdır. Tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan paydanın kökü olan −43-\frac{4}{3} değeri tanım kümesinde yer almaz ve dizi her nn pozitif tam sayısı için tanımlıdır. Bu doğrultuda paydaki nn'nin katsayısı olan kk'nin paydadaki nn'nin katsayısı olan 33'e oranı, paydaki sabit terim 1212'nin paydadaki sabit terim 44'e oranına eşit olmalıdır. Buradan k3=124⇒k3=3⇒k=9\frac{k}{3} = \frac{12}{4} \Rightarrow \frac{k}{3} = 3 \Rightarrow k = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki nn terimlerinin katsayıları oranı ile sabit terimlerin oranını birbirine eşitlemek.
k3=124\frac{k}{3} = \frac{12}{4}
Bir rasyonel ifadenin nn değişkeninin her pozitif tam sayı değeri için aynı sabit değere eşit olabilmesi için pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayılarının orantılı olması gerekir.
2
Elde edilen rasyonel denklemi çözmek.
k=9k = 9
124=3\frac{12}{4} = 3 olduğundan k3=3\frac{k}{3} = 3 eşitliği elde edilir ve buradan k=9k = 9 bulunur.

Anahtar Kavram

Rasyonel İfadeli Sabit Dizilerde Katsayılar Oranı
Soru 280Soru →

Bir aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamı Sn=2n2+nS_n = 2n^2 + n formülü ile veriliyor. Buna göre, bu dizinin 5.5. terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Dizinin 5. terimi 19'dur.
Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı S_n verildiğinde, n. terim a_n = S_n - S_{n-1} formülüyle hesaplanır. Bu bağıntıdan yararlanılarak S_5 ve S_4 değerleri hesaplanmış ve farkları alınarak 5. terim 19 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerde n. terim ile ilk n terim toplamı arasındaki a_n = S_n - S_{n-1} bağıntısını kullanarak a_5'i S_5 ve S_4 cinsinden ifade etmek.
a_5 = S_5 - S_4
Dizinin ilk 5 teriminin toplamından ilk 4 teriminin toplamı çıkarıldığında sadece 5. terim kalır.
2
S_n = 2n^2 + n formülünde n yerine 5 yazarak S_5 değerini hesaplamak.
S_5 = 2(5)^2 + 5 = 55
İlk 5 terimin toplamını elde etmek için.
3
S_n = 2n^2 + n formülünde n yerine 4 yazarak S_4 değerini hesaplamak.
S_4 = 2(4)^2 + 4 = 36
İlk 4 terimin toplamını elde etmek için.
4
Hesaplanan S_5 ve S_4 değerlerini a_5 = S_5 - S_4 eşitliğinde yerine yazmak.
a_5 = 55 - 36 = 19
5. terimin sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı S_n ile n. terim a_n arasındaki ilişki: a_n = S_n - S_{n-1}
ÖncekiSayfa 14 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin