Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2921Soru →

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizide ilk nn terim toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4

olduğuna ve bu dizinin üçüncü terimi 1212 olduğuna göre, dizinin ilk terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Dizinin ilk terimi 3'tür.
Verilen geometrik dizi toplam formülünden elde edilen r8−1=17(r4−1)r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) denkleminden ortak çarpan r=2r = 2 bulunur. Üçüncü terim a3=a1⋅r2=12a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12 olduğundan a1⋅4=12  ⟹  a1=3a_1 \cdot 4 = 12 \implies a_1 = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim toplamı formülünü S8S_8 ve S4S_4 için yazmak
S8=a1⋅r8−1r−1S_8 = a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} ve S4=a1⋅r4−1r−1S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1}
Verilen S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4 eşitliğinde ortak çarpan rr değerini bulabilmek için genel toplam formülünden yararlanılır.
2
S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4 eşitliğini çözerek ortak çarpan rr'yi bulmak
a1⋅r8−1r−1=17⋅a1⋅r4−1r−1  ⟹  r8−1=17(r4−1)  ⟹  (r4−1)(r4+1)=17(r4−1)a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} = 17 \cdot a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \implies r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) \implies (r^4 - 1)(r^4 + 1) = 17(r^4 - 1). r≠1r \neq 1 ve terimler pozitif olduğundan, r4+1=17  ⟹  r4=16  ⟹  r=2r^4 + 1 = 17 \implies r^4 = 16 \implies r = 2 elde edilir.
Ortak çarpan rr belirlenerek dizinin terimleri arasındaki geçiş sağlanır.
3
Dizinin üçüncü terimi a3=12a_3 = 12 bilgisini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulmak
a3=a1⋅r2  ⟹  12=a1⋅22  ⟹  12=4a1  ⟹  a1=3a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 12 = a_1 \cdot 2^2 \implies 12 = 4a_1 \implies a_1 = 3
Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 ilişkisi kullanılarak ilk terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} şeklinde tanımlanır. Bu formül kullanılarak farklı terim toplamları oranlanıp ortak çarpan rr elde edilebilir.
Soru 2922Soru →
1'den farklı aa, bb ve cc pozitif gerçel sayıları için,
log⁡ab=4\log_a b = 4
log⁡cb=6\log_c b = 6
olduğuna göre, log⁡a2⋅c(b2)\log_{a^2 \cdot c} (b^2) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.
Verilen ifadeler taban değiştirme kuralı kullanılarak ortak bir taban olan bb tabanında yazıldığında log⁡ba=1/4\log_b a = 1/4 ve log⁡bc=1/6\log_b c = 1/6 elde edilir. İstenen ifade de aynı tabana dönüştürülüp sadeleştirildiğinde değerinin 3 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritma ifadelerini taban değiştirme özelliğini kullanarak bb tabanına dönüştürün.
log⁡ba=14\log_b a = \frac{1}{4} ve log⁡bc=16\log_b c = \frac{1}{6} elde edilir.
İstenen ifadenin tabanındaki aa ve cc değişkenlerini ortak olan bb tabanında yazarak tek bir tabanda işlem yapabilmek için.
2
İstenen log⁡a2⋅c(b2)\log_{a^2 \cdot c} (b^2) ifadesine taban değiştirme kuralını uygulayarak ifadeyi bb tabanında yazın.
log⁡a2⋅c(b2)=log⁡b(b2)log⁡b(a2⋅c)\log_{a^2 \cdot c} (b^2) = \frac{\log_b (b^2)}{\log_b (a^2 \cdot c)} elde edilir.
Tüm terimleri aynı tabanda birleştirip sadeleştirebilmek için.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri logaritmanın çarpım ve üs özelliklerini kullanarak düzenleyin.
Pay kısmı log⁡b(b2)=2\log_b (b^2) = 2 olur. Payda kısmı ise log⁡b(a2⋅c)=log⁡b(a2)+log⁡bc=2log⁡ba+log⁡bc\log_b (a^2 \cdot c) = \log_b (a^2) + \log_b c = 2\log_b a + \log_b c şeklinde yazılır.
Çarpımın logaritması logaritmaların toplamına eşittir ve logaritması alınan sayının üssü başa katsayı olarak çarpan olarak geçer.
4
Birinci adımda elde edilen log⁡ba\log_b a ve log⁡bc\log_b c değerlerini yerlerine koyarak rasyonel işlemleri gerçekleştirin.
22⋅14+16=212+16=223=3\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3 bulunur.
İfadenin en sade sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı (log⁡xy=1log⁡yx\log_x y = \frac{1}{\log_y x} ve log⁡xy=log⁡zylog⁡zx\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}) ile çarpım ve üs özelliklerinin uygulanması.
Soru 2923Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫23(2x−3)⋅f(x2−3x+5) dx\int_{2}^{3} (2x - 3) \cdot f(x^2 - 3x + 5) \, dx
belirli integralinde u=x2−3x+5u = x^2 - 3x + 5 değişken değiştirmesi yapılıyor.

Buna göre, elde edilen yeni integral aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du

Cevap

Sınırları 3'ten 5'e olan f(u) du integrali
Verilen integralde u=x2−3x+5u = x^2 - 3x + 5 dönüşümü yapıldığında her iki tarafın diferansiyeli alınırsa du=(2x−3) dxdu = (2x - 3)\,dx elde edilir. Bu durum integral içindeki (2x−3) dx(2x - 3)\,dx ifadesinin doğrudan dudu ile yer değiştireceğini gösterir. Ardından sınırlar güncellenir: Alt sınır olan x=2x = 2 değeri dönüşüm denkleminde yerine yazıldığında u=3u = 3, üst sınır olan x=3x = 3 değeri yazıldığında ise u=5u = 5 bulunur. Böylece integral sınırları 3'ten 5'e olan f(u) duf(u)\,du integraline dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel ifadesini bulunuz.
u=x2−3x+5⇒du=(2x−3) dxu = x^2 - 3x + 5 \Rightarrow du = (2x - 3) \, dx
İntegral içerisindeki (2x−3) dx(2x-3)\,dx ifadesini yeni değişken cinsinden yazmak için diferansiyel hesabı yapılır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişkene göre güncelleyiniz.
Alt sınır için x=2⇒u=22−3(2)+5=3x = 2 \Rightarrow u = 2^2 - 3(2) + 5 = 3
Üst sınır için x=3⇒u=32−3(3)+5=5x = 3 \Rightarrow u = 3^2 - 3(3) + 5 = 5
Belirli integralde değişken değiştiğinde, sınır değerlerin de yeni değişkene göre karşılıklarının hesaplanması gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri orijinal integralde yerine yazınız.
∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du
Eski değişken xx cinsinden olan tüm terimler ve sınırlar, yeni değişken uu cinsinden olan karşılıklarıyla değiştirilerek nihai integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel dönüşümünün eksiksiz yapılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2924Soru →

Bir kütüphanede bulunan 120120 kitabın türlerine ve yazıldıkları dillere göre dağılımı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Kitap TürüTürkçeYabancı Dil
Roman4020
Şiir128
Tarih1822

Bu kütüphaneden rastgele seçilen bir kitabın Türkçe yazılmış veya şiir türünde olduğu bilindiğine göre, bu kitabın roman olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2039\frac{20}{39}

Cevap

2039\frac{20}{39}
Seçilen kitabın Türkçe veya şiir olması koşulu altındaki daraltılmış örnek uzay 78 kitaptan oluşur. Bu kitaplardan roman olanların sayısı 40'tır. Dolayısıyla olasılık 4078=2039\frac{40}{78} = \frac{20}{39} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul kümesini tanımlama ve eleman sayısını bulma
Türkçe yazılmış veya şiir türünde olan kitapların sayısı 7878'dir.
Koşullu olasılıkta, verilen koşul yeni örnek uzayımızı oluşturur. Türkçe yazılmış kitap sayısı 40+12+18=7040 + 12 + 18 = 70, şiir olan kitap sayısı 12+8=2012 + 8 = 20'dir. Hem Türkçe yazılmış hem de şiir olan kitap sayısı ise 1212'dir. Kümelerin birleşimi formülünden koşulu sağlayan kitap sayısı: 70+20−12=7870 + 20 - 12 = 78 olarak bulunur.
2
İstenen olayın koşul kümesi içindeki eleman sayısını bulma
Bu koşulu sağlayan romanların sayısı 4040'tır.
Bizden istenen durum, seçilen kitabın roman olmasıdır. Daraltılmış örnek uzayımızdaki kitaplardan sadece Türkçe yazılmış romanlar (40 kitap) bu gruptadır. Yabancı dilde yazılmış romanlar bu gruba dahil değildir çünkü onlar ne Türkçe yazılmıştır ne de şiirdir.
3
Koşullu olasılık değerini hesaplama
İstenen olasılık 4078=2039\frac{40}{78} = \frac{20}{39} olarak bulunur.
Koşullu olasılık formülüne göre olasılık değeri, istenen durum sayısının indirgenmiş örnek uzaydaki eleman sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık sorularında örnek uzay, verilen koşul doğrultusunda daraltılır. Olasılık değeri, istenen olayın bu daraltılmış örnek uzay içerisindeki eleman sayısının daraltılmış örnek uzayın toplam eleman sayısına oranıdır.
Soru 2925Soru →

Sürtünmesiz yatay bir düzlemde durmakta olan 2 kg2\text{ kg} kütleli bir cisme, yatay doğrultuda sabit 20 N20\text{ N} büyüklüğünde bir kuvvet uygulanmaktadır. Cismin hareket ettiği yatay yolun ilk 4 m4\text{ m}'lik bölümü sürtünmesiz olup, bu noktadan sonraki 6 m6\text{ m}'lik böl��mü ise kinetik sürtünme katsayısı μ=0,5\mu = 0,5 olan sürtünmeli bir yüzeydir.

Buna göre, cismin 10 m10\text{ m}'lik yolun sonundaki kinetik enerjisinin, yolun sürtünmeli bölümünde ısıya dönüşen toplam enerjiye oranı kaçtır?
(Yer çekimi ivmesini g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7/3

Cevap

7/3
Yol boyunca net kuvvetlerin yaptığı işler toplamı cismin kazandığı kinetik enerjiyi verir. İlk bölümde 80 J80\text{ J} net iş yapılırken, ikinci bölümde uygulanan kuvvetin yaptığı 120 J120\text{ J} işten sürtünmenin tükettiği 60 J60\text{ J} çıkarıldığında net 60 J60\text{ J} iş elde edilir. Toplam kinetik enerji 140 J140\text{ J}, ısıya dönüşen enerji ise 60 J60\text{ J} olur. Oranlandığında 73\frac{7}{3} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 4 metrelik sürtünmesiz bölümde yapılan işi hesaplamak.
W1=F⋅x1=20⋅4=80 JW_1 = F \cdot x_1 = 20 \cdot 4 = 80\text{ J}
Bu bölümde sürtünme olmadığından, uygulanan kuvvetin yaptığı iş doğrudan kinetik enerjiye dönüşür.
2
İkinci 6 metrelik sürtünmeli bölümde sürtünme kuvvetini ve ısıya dönüşen enerjiyi bulmak.
fk=μ⋅m⋅g=0,5⋅2⋅10=10 Nf_k = \mu \cdot m \cdot g = 0,5 \cdot 2 \cdot 10 = 10\text{ N} ve Eısı=fk⋅x2=10⋅6=60 JE_{\text{ısı}} = f_k \cdot x_2 = 10 \cdot 6 = 60\text{ J}
Sürtünmeli yolda ısıya dönüşen enerji, sürtünme kuvvetinin yaptığı işin büyüklüğüne eşittir.
3
Yolun sonundaki (10 m10\text{ m} sonundaki) kinetik enerjiyi bulmak.
Wtoplam=F⋅(x1+x2)=20⋅10=200 JW_{\text{toplam}} = F \cdot (x_1 + x_2) = 20 \cdot 10 = 200\text{ J} ve Ek=Wtoplam−Eısı=200−60=140 JE_k = W_{\text{toplam}} - E_{\text{ısı}} = 200 - 60 = 140\text{ J}
İş-enerji teoremine göre cismin kazandığı net iş, kinetik enerjideki değişime eşittir.
4
Son kinetik enerjiyi ısıya dönüşen toplam enerjiye oranlamak.
EkEısı=14060=73\frac{E_k}{E_{\text{ısı}}} = \frac{140}{60} = \frac{7}{3}
Soru kökünde istenen kinetik enerjinin ısı enerjisine oranıdır.

Anahtar Kavram

İş-Enerji Teoremi ve Sürtünme Kuvvetinin Yaptığı İş
Soru 2926Soru →
f(x)=x2−4mx+4m2−2m+5f(x) = x^2 - 4mx + 4m^2 - 2m + 5 parabolünün tepe noktası,
y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2
parabolünün üzerindedir.

Buna göre, mm gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Parabolün tepe noktası olan T(2m,−2m+5)T(2m, -2m+5) koordinatları y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2 denkleminde yerine yazıldığında 4m2−4m−3=04m^2 - 4m - 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı ise −(−4)/4=1-(-4)/4 = 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) koordinatlarını mm cinsinden belirleme.
r=−−4m2=2mr = -\frac{-4m}{2} = 2m ve k=f(2m)=(2m)2−4m(2m)+4m2−2m+5=−2m+5k = f(2m) = (2m)^2 - 4m(2m) + 4m^2 - 2m + 5 = -2m + 5 olarak bulunur. Dolayısıyla tepe noktası T(2m,−2m+5)T(2m, -2m+5) noktasıdır.
Bir parabolün tepe noktasının apsisi r=−b/(2a)r = -b/(2a) ve ordinatı k=f(r)k = f(r) formülleriyle hesaplanır.
2
T(2m,−2m+5)T(2m, -2m+5) noktasının y=x2−3x+2y = x^2 - 3x + 2 parabolü üzerinde olma koşulunu uygulama.
−2m+5=(2m)2−3(2m)+2  ⟹  −2m+5=4m2−6m+2  ⟹  4m2−4m−3=0-2m + 5 = (2m)^2 - 3(2m) + 2 \implies -2m + 5 = 4m^2 - 6m + 2 \implies 4m^2 - 4m - 3 = 0 denklemi elde edilir.
Bir nokta bir eğri üzerinde yer alıyorsa, noktanın koordinatları eğri denklemini sağlamak zorundadır.
3
4m2−4m−3=04m^2 - 4m - 3 = 0 denklemini sağlayan mm değerlerinin toplamını bulma.
İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökler toplamı −b/a-b/a formülüyle bulunur. Burada a=4a=4, b=−4b=-4 olduğundan kökler toplamı −−44=1-\frac{-4}{4} = 1 olur.
İstenen mm değerlerinin toplamı, elde edilen ikinci dereceden denklemin kökler toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının koordinatlarının bulunması ve bir noktanın fonksiyon denklemini sağlama koşulu.

Alternatif Yöntem

f(x)=x2−4mx+4m2−2m+5f(x) = x^2 - 4mx + 4m^2 - 2m + 5 ifadesi, tam kareye tamamlama yöntemiyle f(x)=(x−2m)2−2m+5f(x) = (x - 2m)^2 - 2m + 5 şeklinde yazılabilir. Parabolün tepe noktası formu y=a(x−r)2+ky = a(x - r)^2 + k olduğundan, buradan tepe noktası doğrudan T(2m,−2m+5)T(2m, -2m + 5) olarak okunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2927Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan M=3 kgM = 3\text{ kg} kütleli bir arabanın tavanına, L=06 mL = 0{}6\text{ m} uzunluğundaki hafif ve esnemez bir ipin ucuna bağlı m=1 kgm = 1\text{ kg} kütleli noktasal bir cisim asılmıştır. Cisim, ip düşey doğrultuyla 90∘90^\circ açı yapacak şekilde (yatay konumda) tutulurken serbest bırakılıyor.

Buna göre, cisim düşey konumdan (en alt noktadan) geçerken ipin arabaya uyguladığı yatay doğrultudaki itmenin (impulse) büyüklüğü kaç N⋅s\text{N}\cdot\text{s} olur? (g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İpin arabaya uyguladığı yatay doğrultudaki itmenin büyüklüğü 3 N·s'dir.
Yatay doğrultuda dış kuvvet olmadığından momentum korunumu geçerlidir. Cisim en alt noktaya ulaştığında, kaybettiği potansiyel enerji hem kendisinin hem de arabanın kinetik enerjisine dönüşür. Enerji ve momentum korunumu ortak çözüldüğünde arabanın son hızı 1 m/s1\text{ m/s} bulunur. İtme-momentum teoremi gereğince arabaya uygulanan yatay itme, arabanın momentumundaki değişime eşit olup 3 N⋅s3\text{ N}\cdot\text{s}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay doğrultudaki çizgisel momentumun korunumu denklemini yazınız.
mv−MV=0  ⟹  1⋅v=3⋅V  ⟹  v=3Vm v - M V = 0 \implies 1 \cdot v = 3 \cdot V \implies v = 3V
Sisteme yatay doğrultuda etki eden dış bir kuvvet olmadığından, yatay doğrultudaki çizgisel momentum korunur. Başlangıçta sistem durgun olduğu için ilk momentum sıfırdır. En alt noktada cismin hızı vv (sağa), arabanın hızı VV (sola) olarak kabul edilmiştir.
2
Sistem için mekanik enerjinin korunumu denklemini kurunuz.
mgL=12mv2+12MV2m g L = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} M V^2
Sürt��nmesiz sistemde mekanik enerji korunur. Cismin kaybettiği potansiyel enerji, cisim ve arabanın kazandığı kinetik enerjilerin toplamına eşit olur.
3
Elde edilen hız ilişkisini enerji denkleminde yerine yazarak arabanın son hızını bulunuz.
1⋅10⋅06=12⋅1⋅(3V)2+12⋅3⋅V2  ⟹  6=92V2+32V2  ⟹  6=6V2  ⟹  V=1 m/s1 \cdot 10 \cdot 0{}6 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (3V)^2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot V^2 \implies 6 = \frac{9}{2} V^2 + \frac{3}{2} V^2 \implies 6 = 6 V^2 \implies V = 1\text{ m/s}
Cismin hızını arabanın hızı cinsinden yazarak tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek ve arabanın son hızını hesaplamak için bu adım uygulanır.
4
İtme-momentum ilişkisini kullanarak arabaya etki eden yatay itmeyi hesaplayınız.
I=ΔParaba=MV−0=3⋅1=3 N⋅sI = \Delta P_{\text{araba}} = M V - 0 = 3 \cdot 1 = 3\text{ N}\cdot\text{s}
Bir cisme uygulanan net itme, o cismin momentumundaki değişime eşittir (I=ΔPI = \Delta P). Arabaya yatay doğrultuda etki eden tek kuvvet ip gerilmesinin yatay bileşeni olduğundan, ipin uyguladığı yatay itme doğrudan arabanın momentum değişimine eşittir.

Anahtar Kavram

İtme ile çizgisel momentum değişimi arasındaki ilişki ve yatay momentumun korunumu.
Soru 2928Soru →

Bir afiş tasarımında, afişin ortasındaki dikdörtgen biçimindeki baskı alanının 50 cm250 \text{ cm}^2 olması planlanmaktadır. Afişin üst ve alt kısmında dörder cm\text{cm}, sağ ve sol yanlarında ise ikişer cm\text{cm} boşluk bırakılacaktır. Baskı alanı da dikdörtgen şeklinde olduğuna göre, bu afişin toplam alanının en küçük değeri kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 162

Cevap

Afişin toplam alanının alabileceği en küçük değer 162 cm2162 \text{ cm}^2 dir.
Baskı alanının boyutları xx ve yy olup çarpımları 50'dir. Kenar boşlukları eklendiğinde afişin boyutları x+4x+4 ve y+8y+8 olur. Toplam alan fonksiyonu A(x)=8x+200x+82A(x) = 8x + \frac{200}{x} + 82 şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde x=5x = 5 elde edilir. x=5x = 5 değeri fonksiyona yazıldığında en küçük alan 162 cm2162 \text{ cm}^2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Baskı alanının kenar uzunluklarını değişkenler cinsinden ifade etme ve aralarındaki ilişkiyi yazma
Baskı alanı dikdörtgen şeklinde olup kenarları xx ve yy ise, x⋅y=50  ⟹  y=50xx \cdot y = 50 \implies y = \frac{50}{x} olur.
Toplam alan fonksiyonunu tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için kenarlar arasındaki ilişkiyi kurmamız gerekir.
2
Afişin toplam boyutlarını belirleme ve toplam alan fonksiyonunu oluşturma
Genişlik x+4x + 4, yükseklik y+8y + 8 olup toplam alan A(x)=(x+4)(50x+8)=8x+200x+82A(x) = (x + 4)\left(\frac{50}{x} + 8\right) = 8x + \frac{200}{x} + 82 olarak elde edilir.
Tasarım gereği kenarlarda bırakılan boşlukları baskı alanının boyutlarına ekleyerek afişin toplam alan formülünü oluşturmalıyız.
3
Alan fonksiyonunun türevini alıp kritik noktayı bulma
A′(x)=8−200x2=0  ⟹  x2=25  ⟹  x=5A'(x) = 8 - \frac{200}{x^2} = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = 5 bulunur.
Bir fonksiyonun yerel minimum değerini bulmak için türevinin köklerini (kritik noktaları) incelememiz gerekir.
4
Bulunan kritik değer için minimum alanı hesaplama
A(5)=8(5)+2005+82=162 cm2A(5) = 8(5) + \frac{200}{5} + 82 = 162 \text{ cm}^2 elde edilir.
Elde edilen kritik nokta olan x=5x = 5 değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak minimum alan değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum değerlerin bulunması ve optimizasyon problemlerinin çözümü

Alternatif Yöntem

Aritmetik-Geometrik Ortalama (AGO) eşitsizliği kullanılarak da çözülebilir. 8x>08x > 0 ve 200x>0\frac{200}{x} > 0 olduğundan, 8x+200x≥28x⋅200x=21600=808x + \frac{200}{x} \geq 2\sqrt{8x \cdot \frac{200}{x}} = 2\sqrt{1600} = 80 olur. Buradan toplam alan en az 80+82=162 cm280 + 82 = 162 \text{ cm}^2 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2929Soru →

1 atm1\text{ atm} dış basınçta hazırlanan aşağıdaki sulu çözeltilerin aynı ortamdaki kaynama noktalarını en düşükten en yükseğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Çözeltilerin kaynama noktaları en düşükten en yükseğe sırasıyla: 1 kg saf suda 1 mol glikoz çözeltisi, 1 kg saf suda 1 mol sodyum klorür çözeltisi, 1 kg saf suda 1 mol kalsiyum klorür çözeltisi şeklindedir.
Çözünen maddelerin mol sayıları ve çözücü kütleleri eşit olduğundan başlangıç molaliteleri 1 m1\text{ m}'dir. Ancak kaynama noktası yükselmesi toplam tanecik derişimiyle belirlenir. Glikoz moleküler çözünerek 1 m1\text{ m} tanecik verirken, NaCl suya 2 iyon vererek 2 m2\text{ m} iyon, CaCl2CaCl_2 ise suya 3 iyon vererek 3 m3\text{ m} iyon oluşturur. Toplam tanecik derişimi arttıkça kaynama noktası yükselmesi artacağından, kaynama noktaları glikoz < NaCl < CaCl2CaCl_2 şeklinde sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir çözeltideki çözünen maddelerin iyonlaşma durumunu belirleyin.
Glikoz moleküler çözünür (tanecik sayısı = 1). NaCl iki iyonlu (Na+Na^+ ve Cl−Cl^-) çözünür (tanecik sayısı = 2). CaCl2CaCl_2 üç iyonlu (Ca2+Ca^{2+} ve 2Cl−2Cl^-) çözünür (tanecik sayısı = 3).
Kaynama noktası yükselmesi ç��zeltideki toplam tanecik derişimi ile doğrudan ilişkilidir.
2
Çözeltilerin toplam tanecik molalitelerini hesaplayın.
Glikoz çözeltisi için 1 m×1=1 m1 \text{ m} \times 1 = 1 \text{ m} tanecik; NaCl çözeltisi için 1 m×2=2 m1 \text{ m} \times 2 = 2 \text{ m} tanecik; CaCl2CaCl_2 çözeltisi için 1 m×3=3 m1 \text{ m} \times 3 = 3 \text{ m} tanecik oluşur.
Çözünen mol sayısı ve çözücü kütlesi tüm çözeltilerde aynı (1 mol/1 kg=1 m1 \text{ mol} / 1 \text{ kg} = 1 \text{ m}) olduğundan, tanecik derişimi sadece tanecik sayısı (iyon sayısı) ile belirlenir.
3
Toplam tanecik derişimlerini karşılaştırarak kaynama noktalarını sıralayın.
Tanecik derişimi en az olan glikoz çözeltisinin kaynama noktası en düşük, en fazla olan CaCl2CaCl_2 çözeltisinin kaynama noktası en yüksektir. Sıralama glikoz < NaCl < CaCl2CaCl_2 şeklindedir.
Kaynama noktası yükselme miktarı (ΔTk\Delta T_k), çözeltideki toplam tanecik molal derişimi ile doğru orantılıdır.

Anahtar Kavram

Kaynama noktası yükselmesi (ebüliyoskopi), çözeltideki toplam tanecik derişimi ile doğru orantılıdır. Çözünen maddelerin iyonlaşma özellikleri toplam tanecik derişimini belirlemede kritik öneme sahiptir.
Soru 2930Soru →

Bir tiyatro oyununun sonunda sahneye çıkacak olan 33 kadın ve 44 erkek oyuncu, seyircileri selamlamak için yan yana tek sıra halinde dizilecektir. Kadın oyuncuların herhangi ikisinin yan yana gelmediği ve kadın oyunculardan biri olan Aslı'nın sıranın en solunda yer aldığı bilindiğine göre, bu oyuncular kaç farklı şekilde dizilebilirler?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Oyuncular sahne önünde 288 farklı şekilde dizilebilirler.
Doğru seçenekteki değer, erkek oyuncuların kendi aralarındaki 4!=244! = 24 sıralanışı ile kalan 22 kadın oyuncunun kalan 44 boşluğa (42)×2!=12\binom{4}{2} \times 2! = 12 farklı şekilde yerleştirilmesinin çarpılmasıyla (24×12=28824 \times 12 = 288) elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Erkek oyuncuların dizilimini hesaplama.
44 erkek oyuncu kendi aralarında 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanır.
Herhangi iki kadın oyuncunun yan yana gelmemesi için öncelikle erkek oyuncuları yerleştirip aralarında boşluklar oluşturmalıyız.
2
Erkek oyuncuların oluşturduğu boşlukları belirleme ve Aslı'yı yerleştirme.
44 erkek oyuncunun oluşturduğu 55 boşluktan en soldakine Aslı yerleştirilir (11 durum).
Aslı'nın sıranın en solunda yer alması gerektiğinden, erkeklerin solundaki ilk boşluğa yerleşmesi zorunludur.
3
Kalan kadın oyuncuların yerleştirilmesini hesaplama.
Geriye kalan 44 boşluktan 22'si seçilir ve kalan 22 kadın oyuncu buralara (42)×2!=6×2=12\binom{4}{2} \times 2! = 6 \times 2 = 12 farklı şekilde sıralanır.
Kadın oyuncuların yan yana gelmemesi için kalan 22 kadın oyuncu, Aslı'nın olmadığı diğer 44 boşluğa yerleştirilmeli ve kendi aralarında sıralanmalıdır.
4
Çarpma kuralı ile toplam dizilim sayısını bulma.
24×12=28824 \times 12 = 288 farklı dizilim elde edilir.
Tüm adımlardaki bağımsız seçimler çarpma yoluyla sayma kuralı uyarınca çarpılır.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyonda belirli elemanların yan yana gelmeme durumunun boşluk metodu ile çözülmesi ve sabit elemanın konumlandırılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2931Soru →

Sürtünmelerin önemsenmediği bir eğik düzlem düzeneğinde, GG ağırlığındaki bir kutu, eğik düzlem yüzeyine paralel ve FF büyüklüğündeki kuvvet yardımıyla sabit hızla yukarı doğru çekilmektedir. Eğik düzlemin yüksekliği hh, eğik düzlem yüzeyinin uzunluğu ise 3h3h olduğuna göre, bu eğik düzlem düzeneğinin kuvvet kazancı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Kuvvet kazancı 3'tür.
Kuvvet kazancı, yükün uygulanan kuvvete oranı (G/FG/F) olarak tanımlanır. Eğik düzlemde sürtünmeler önemsiz olduğunda ve cisim sabit hızla hareket ettiğinde, net kuvvet sıfırdır. Bu durumda eğik düzleme paralel olan kuvvet (FF), cismin ağırlığının eğik düzleme paralel bileşenine (G⋅sin⁡θG \cdot \sin\theta) eşit olur. Burada sin⁡θ=h3h=13\sin\theta = \frac{h}{3h} = \frac{1}{3} olduğundan, F=G⋅13=G3F = G \cdot \frac{1}{3} = \frac{G}{3} elde edilir. Buradan kuvvet kazancı GF=3\frac{G}{F} = 3 olarak bulunur. Dolayısıyla değeri 33 olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğik düzlem üzerindeki kuvvet dengesi yazılır.
Sabit hızla hareket eden kutu için net kuvvet sıfırdır. Eğik düzlem yüzeyine paralel yönlerdeki kuvvet dengesinden F=G⋅sin⁡θF = G \cdot \sin\theta elde edilir.
Sabit hızlı harekette ivme sıfırdır, bu yüzden net kuvvet sıfır olmalıdır.
2
Eğim açısının sinüsü geometrik olarak bulunur.
sin⁡θ=h3h=13\sin\theta = \frac{h}{3h} = \frac{1}{3}
E��ik düzlemin yüksekliği karşı kenar, uzunluğu ise hipotenüstür.
3
Kuvvet kazancı hesaplanır.
Kuvvet kazanc�� =GF=GG/3=3= \frac{G}{F} = \frac{G}{G/3} = 3 olarak bulunur.
Kuvvet kazancı, kaldırılan yükün uygulanan kuvvete oranıdır.

Anahtar Kavram

Eğik düzlemde kuvvet kazancı, e��ik düzlem boyunun yüksekliğe oranına eşittir (Lh\frac{L}{h}).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2932Soru →

Yatay bir masa üzerinde durgun hâlde durmakta olan bir kitap ve masa sistemiyle ilgili;

I. Dünya'nın kitaba uyguladığı kütle çekim kuvveti (G⃗DK\vec{G}_{DK}) ile masanın kitaba uyguladığı normal kuvvet (N⃗MK\vec{N}_{MK}), bir etki-tepki kuvvet çiftidir.
II. Kitabın Dünya'ya uyguladığı kütle çekim kuvveti (G⃗KD\vec{G}_{KD}) ile Dünya'nın kitaba uyguladığı kütle çekim kuvveti (G⃗DK\vec{G}_{DK}) bir etki-tepki kuvvet çiftidir.
III. Kitabın masaya uyguladığı dik kuvvet (N⃗KM\vec{N}_{KM}) ile masanın kitaba uyguladığı normal kuvvet (N⃗MK\vec{N}_{MK}) bir etki-tepki kuvvet çiftidir.

yargılarından hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III yargılarını içeren seçenek doğrudur. Çünkü etki-tepki kuvvet çiftleri hiçbir zaman aynı cisme etki edemez.
Doğru olan yargılar, etki-tepki kuvvetlerinin farklı cisimlere etki ettiğini doğru analiz eden ifadelerdir. Kitabın Dünya'ya uyguladığı yerçekimi kuvveti Dünya'ya etki ederken, Dünya'nın kitaba uyguladığı kuvvet kitaba etki eder; bu bir etki-tepki çiftidir. Aynı şekilde, kitabın masaya uyguladığı kuvvet masaya etki ederken, masanın kitaba uyguladığı normal kuvvet kitaba etki eder; bu da bir etki-tepki çiftidir.

Adım Adım Çözüm

1
Etki-tepki kuvvet çiftlerinin temel tanımını hatırlayın.
Newton'ın üçüncü yasasına göre, her etkiye karşı eşit büyüklükte ve zıt yönde bir tepki oluşur. En önemli kural, bu kuvvetlerin her zaman farklı iki cisim arasında karşılıklı olarak uygulanmasıdır.
Kuvvetlerin aynı cisme etki edip etmediğini belirlemek için.
2
Birinci yargıyı inceleyin: Dünya'nın kitaba uyguladığı kütle çekim kuvveti (G⃗DK\vec{G}_{DK}) ile masanın kitaba uyguladığı normal kuvvet (N⃗MK\vec{N}_{MK}).
Her iki kuvvet de kitap üzerine etki etmektedir. Bu nedenle bu iki kuvvet eşit büyüklükte ve zıt yönlü olmalarına rağmen bir etki-tepki çifti oluşturamazlar. Birinci yargı yanlıştır.
Aynı cisme etki eden kuvvetlerin etki-tepki çifti olamayacağı kuralını uygulamak için.
3
İkinci ve üçüncü yargıları inceleyin: Kütle çekim kuvvetleri ve temas kuvvetleri.
Kitabın Dünya'ya uyguladığı kütle çekim kuvveti Dünya'ya, Dünya'nın kitaba uyguladığı kütle çekim kuvveti ise kitaba etki eder. Farklı cisimlere etki eden bu kuvvetler etki-tepki çiftidir. Kitabın masaya uyguladığı dik kuvvet masaya, masanın kitaba uyguladığı normal kuvvet ise kitaba etki eder. Bu kuvvetler de farklı cisimlere etki ettiği için etki-tepki çiftidir. İkinci ve üçüncü yargılar doğrudur.
Karşılıklı etkileşim halindeki farklı cisimler üzerindeki kuvvet çiftlerini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Newton'ın Üçüncü Hareket Yasası (Etki-Tepki Yasası)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2933Soru →

Sürtünmelerin ve basit makine ağırlıklarının önemsenmediği ideal basit makine düzeneklerinde elde edilen kuvvet kazançları (yükün büyüklüğünün uygulanan kuvvete oranı) karşılaştırılacaktır.

Buna göre, aşağıda tanımlanan basit makine düzeneklerini kuvvet kazancı en küçük olandan en büyük olana doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Düzeneklerin kuvvet kazançları sırasıyla; eğik düzlem düzeneğinde 2, kaldıraç düzeneğinde 2,5 ve çıkrık düzeneğinde 3'tür. Bu durumda en küçükten en büyüğe doğru sıralama II - III - I (eğik düzlem - kaldıraç - çıkrık) şeklindedir.
Doğru sıralama eğik düzlem, kaldıraç ve çıkrık şeklindedir. Çünkü bu düzeneklerin kuvvet kazançları sırasıyla 2, 2,5 ve 3 olarak hesaplanmaktadır. 2 < 2,5 < 3 olduğu için sıralama bu şekilde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğik düzlem düzeneğinin kuvvet kazancını hesaplayınız.
Kuvvet kazancı = 1sin⁡(30∘)=2\frac{1}{\sin(30^\circ)} = 2.
Sürtünmesiz eğik düzlemde yükü sabit hızla çekmek için gereken kuvvet F=G⋅sin⁡(30∘)F = G \cdot \sin(30^\circ) şeklindedir. Kuvvet kazancı ise GF=1sin⁡(30∘)\frac{G}{F} = \frac{1}{\sin(30^\circ)} ile bulunur.
2
Kaldıraç düzeneğinin kuvvet kazancını hesaplayınız.
Kuvvet kazancı = 5d2d=25\frac{5d}{2d} = 2{}5.
Desteğe göre tork alındığında F⋅5d=G⋅2dF \cdot 5d = G \cdot 2d eşitliği yazılır. Buradan kuvvet kazancı GF=52=25\frac{G}{F} = \frac{5}{2} = 2{}5 bulunur.
3
Çıkrık düzeneğinin kuvvet kazancını hesaplayınız.
Kuvvet kazancı = 3rr=3\frac{3r}{r} = 3.
Çıkrık eksenine göre tork dengesinden F⋅R=G⋅rF \cdot R = G \cdot r yazılır. R=3rR = 3r olduğundan kuvvet kazancı GF=Rr=3\frac{G}{F} = \frac{R}{r} = 3 elde edilir.
4
Elde edilen kuvvet kazancı değerlerini karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayınız.
2 < 2,5 < 3 olduğundan sıralama eğik düzlem, kaldıraç ve çıkrık şeklindedir.
Kuvvet kazancı değerlerinin büyüklük ilişkisi en küçükten en büyüğe doğru sırayı belirler.

Anahtar Kavram

Basit makinelerde kuvvet kazancı, yükün kuvvete oranı olup sistemin geometrik boyutlarına bağlıdır. Kuvvet kolunun yük koluna oranı arttıkça kuvvet kazancı da artar.
Soru 2934Soru →
Bir iletişim kanalının maksimum veri iletim kapasitesi CC (bit/saniye) ve bu kanalın frekans genişliği BB (Hertz) olmak üzere, sinyal gücünün gürültü gücüne oranı olan sinyal-gürültü oranı (S/NS/N) ile kapasite arasındaki ilişki
C=B⋅log⁡2(1+SN)C = B \cdot \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right)
formülüyle modellenmektedir.

Frekans genişliği B=3000 HzB = 3000\text{ Hz} olan bir iletişim kanalında, sinyal-gürültü oranı SN=15\frac{S}{N} = 15 iken veri iletim kapasitesi C1C_1 bit/saniyedir. Sinyal-gürültü oranı xx değerine çıkarıldığında veri iletim kapasitesi C2C_2 olmakta ve C2−C1=6000C_2 - C_1 = 6000 bit/saniye eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Sinyal-gürültü oranının yeni değeri olan xx, 63 olmalıdır.
Verilen Shannon-Hartley formülüne göre ilk durumdaki kapasite C1=3000⋅log⁡2(1+15)=12000C_1 = 3000 \cdot \log_2(1+15) = 12000 olarak hesaplanır. Kapasitedeki 6000'lik artışla C2=18000C_2 = 18000 elde edilir. Buradan 18000=3000⋅log⁡2(1+x)18000 = 3000 \cdot \log_2(1+x) denklemi kurularak log⁡2(1+x)=6\log_2(1+x) = 6 ve dolayısıyla 1+x=641+x = 64 sonucundan x=63x=63 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki C1C_1 veri iletim kapasitesini hesaplama
C1=12000C_1 = 12000 bit/saniye
Verilen B=3000B = 3000 ve SN=15\frac{S}{N} = 15 değerlerini formülde yerine koyarak başlangıçtaki kapasiteyi bulmak.
2
İkinci durumdaki C2C_2 veri iletim kapasitesini bulma
C2=18000C_2 = 18000 bit/saniye
Kapasiteler arasındaki farkın 6000 bit/saniye olduğu bilgisini kullanarak yeni kapasiteyi belirlemek.
3
Yeni sinyal-gürültü oranı olan xx değerini çözme
x=63x = 63
C2C_2 kapasitesini formüle eşitleyerek logaritma tanımı yardımıyla bilinmeyen xx oranına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat problemlerine (bilgi teorisi ve veri iletim hızı) uygulanması ve logaritma özelliklerinin kullanılarak üstel denklemlerin çözülmesi.
Soru 2935Soru →

Sürtünmelerin ve basit makine ağırlıklarının önemsenmediği ideal düzeneklerde, iplerin uçları eşit miktarda (hh) çekilmektedir. Buna göre, düzeneklerdeki yüklerin yükselme miktarlarını (x1x_1, x2x_2 ve x3x_3) en büyükten en küçüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Yüklerin yükselme miktarları arasındaki ilişki en büyükten en küçüğe doğru x1>x2>x3x_1 > x_2 > x_3 şeklindedir.
Yüklerin yükselme miktarları sırasıyla x1=hx_1 = h, x2=0,5hx_2 = 0,5h ve x3=h3x_3 = \frac{h}{3} olarak hesaplanır. Bu değerler karşılaştırıldığında en büyük yer değiştirme sabit makarada, en küçük ise çıkrıkta gerçekleşir. Dolayısıyla doğru sıralama bir, iki, üç şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit makara düzeneğini analiz etmek
Sabit makarada kuvvetin yönü değişir ancak yoldan kazanç ya da kayıp yoktur. Dolayısıyla ipin ucu hh kadar çekildiğinde yük de hh kadar yükselir: x1=hx_1 = h.
Sabit makaralarda hareket iletimi doğrudan gerçekleşir.
2
Hareketli makara düzeneğini analiz etmek
Hareketli makarada kuvvetten 2 kat kazanç varken yoldan 2 kat kayıp vardır. Bu sebeple ipin ucu hh kadar çekildiğinde yük ipin çekilme miktarının yarısı kadar yükselir: x2=h2x_2 = \frac{h}{2}.
İpin hareketinin yarısı makarayı döndürmeye, yarısı ise yükseltmeye harcanır.
3
Çıkrık düzeneğini analiz etmek
Merkezleri çakışık silindirler aynı açıyla dönerler. Büyük silindirin yarıçapı 3r3r, küçük silindirin yarıçapı rr olduğundan, büyük silindirdeki ip hh kadar çekildiğinde sistem θ=h3r\theta = \frac{h}{3r} radyan döner. Bu dönme sonucunda küçük silindire bağlı yük x3=θ⋅r=h3x_3 = \theta \cdot r = \frac{h}{3} kadar yükselir.
Eş merkezli silindirlerin çizgisel yer değiştirmeleri yarıçaplarıyla doğru orantılıdır.
4
Elde edilen yükselme miktarlarını karşılaştırmak
x1=hx_1 = h, x2=0,5hx_2 = 0,5h, x3≈0,33hx_3 \approx 0,33h değerleri karşılaştırıldığında sıralama x1>x2>x3x_1 > x_2 > x_3 olarak bulunur.
Büyükten küçüğe sıralama yapılması istendiğinden en yüksek değerden en düşük değere doğru dizilim yapılır.

Anahtar Kavram

Basit makinelerde işten ve enerjiden kazanç sağlanamaz; kuvvetten kazanç oranında yoldan kayıp gerçekleşir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 2936Soru →

Bir mobil oyunda bir oyuncu sırasıyla 1. ve 2. seviyeleri oynayacaktır. Oyuncunun 1. seviyeyi geçme olasılığı 23\frac{2}{3}'tür. Oyuncu 1. seviyeyi geçerse, edindiği tecrübeyle 2. seviyeyi geçme olasılığı 34\frac{3}{4} olmaktadır. Eğer 1. seviyeyi geçemezse, moral bozukluğu nedeniyle 2. seviyeyi geçme olasılığ�� 14\frac{1}{4}'e düşmektedir. Buna göre, bu oyuncunun bu iki seviyeden en az birini geçme olasılığı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Oyuncunun bu iki seviyeden en az birini geçme olasılığı %75'tir.
Oyuncunun iki seviyeden en az birini geçme olasılığı, hiçbirini geçememe olasılığının tümleyenidir. İlk seviyeyi geçememe olasılığı 13\frac{1}{3}, bu durumda ikinciyi de geçememe olasılığı 34\frac{3}{4} olup, birlikte gerçekleşme olasılıkları 14\frac{1}{4}'tür. 1'den çıkarıldığında cevap %75 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci seviyeyi geçememe olasılığının hesaplanması
P(A′)=1−23=13P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, kesin olay olasılığı olan 1'den gerçekleşme olasılığının çıkarılmasıyla bulunur.
2
Birinci seviye geçilemediğinde ikinci seviyenin de geçilememe olasılığının hesaplanması
P(B′∣A′)=1−14=34P(B'|A') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
Oyuncu birinci seviyeyi geçemediğinde ikinci seviyeyi geçme olasılığı 14\frac{1}{4} olduğuna göre, geçememe olasılığı tümleyen kuralı gereği 1−14=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} olur.
3
Her iki seviyenin de geçilememe olasılığının hesaplanması
P(A′∩B′)=P(A′)×P(B′∣A′)=13×34=14P(A' \cap B') = P(A') \times P(B'|A') = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
Bağımlı olaylarda iki olayın ardışık gerçekleşme olasılığı, ilk olayın olasılığı ile ilkinin gerçekleştiği koşul altındaki ikinci olayın olasılığının çarpımıdır.
4
En az bir seviyeyi geçme olasılığının bulunması
1−P(A′∩B′)=1−14=34=%751 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = \%75
En az bir seviyeyi geçme olayı, hiçbir seviyeyi geçememe olayının tümleyenidir. Dolayısıyla 1'den tüm başarısızlık olasılığı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Bağımlı olayların olasılığı, koşullu olasılık ve tümleyen olay ilişkisi.
Soru 2937Soru →

Kütlesi m=4 kgm = 4\text{ kg} olan bir blok, eğim açısı θ=37∘\theta = 37^\circ olan s��rtünmeli bir eğik düzlem üzerinde bulunmaktadır. Blok ile eğik düzlem yüzeyi arasındaki kinetik sürtünme katsayısı k=025k = 0{}25'tir. Bloğa eğik düzleme paralel ve yukarı yönde F=40 NF = 40\text{ N} büyüklüğünde bir kuvvet uygulanmaktadır. Buna göre, bloğun ivmesinin büyüklüğü kaç m/s2\text{m/s}^2 olur? (g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2, sin⁡37∘=06\sin 37^\circ = 0{}6, cos⁡37∘=08\cos 37^\circ = 0{}8 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Bloğun ivmesinin büyüklüğü 2 m/s22\text{ m/s}^2 olur.
Ciske etki eden yerçekimi kuvvetinin eğik düzleme paralel bileşeni (24 N24\text{ N}) ile kinetik sürtünme kuvveti (8 N8\text{ N}) eğik düzlem boyunca aşağı yöndedir. Yukarı yöndeki 40 N40\text{ N}'luk çekme kuvvetinin etkisiyle net kuvvet 40−24−8=8 N40 - 24 - 8 = 8\text{ N} olarak bulunur. Newton'ın ikinci hareket yasasına göre (Fnet=m⋅aF_{\text{net}} = m \cdot a) ivme a=8/4=2 m/s2a = 8 / 4 = 2\text{ m/s}^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık kuvvetinin eğik düzleme paralel ve dik bileşenlerini hesaplama.
G∥=24 NG_{\parallel} = 24\text{ N} ve G⊥=32 NG_{\perp} = 32\text{ N}
Eğik düzlem üzerindeki kuvvetlerin hareket doğrultusuna göre analiz edilmesi gerekir.
2
Normal tepki kuvvetini ve kinetik sürtünme kuvvetini hesaplama.
N=32 NN = 32\text{ N} ve fk=8 Nf_k = 8\text{ N}
Harekete karşı koyan sürtünme kuvvetini belirlemek amacıyla yüzey tepki kuvveti kullanılır.
3
Eğik düzlem üzerindeki net kuvveti belirleme.
Fnet=8 NF_{\text{net}} = 8\text{ N}
Net kuvvet, bloğu yukarı çeken kuvvet ile aşağı çeken yerçekimi bileşeni ve sürtünme kuvvetinin farkıdır.
4
Newton'ın ikinci hareket yasasıyla ivmeyi bulma.
a=2 m/s2a = 2\text{ m/s}^2
Net kuvvetin kütleye bölünmesi ivmenin büyüklüğünü verir.

Anahtar Kavram

Eğik d��zlemde kinetik sürtünme ve Newton'ın ikinci yasası yardımıyla ivme hesabı
Soru 2938Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan
f(x)=x2−4x+cf(x) = x^2 - 4x + c
parabolünün xx eksenini kestiği noktalar AA ve BB'dir.

TABTAB üçgeninin alanı 2727 birimkare olduğuna göre, cc gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

c ger��el sayısı -5'tir.
Parabolün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur. Bu doğru, xx eksenini kesen AA ve BB noktalarının tam ortasından geçer. Köklerin simetri eksenine olan uzaklığı dd ise, kökler 2−d2-d ve 2+d2+d olup taban uzunluğu 2d2d olur. Fonksiyonda yerine yazıldığında d=4−cd = \sqrt{4-c} bulunur. Yükseklik ise tepe noktasının ordinatının mutlak değeri olan 4−c4-c birimdir. Üçgenin alanı 24−c⋅(4−c)2=27  ⟹  (4−c)3/2=27  ⟹  4−c=9  ⟹  c=−5\frac{2\sqrt{4-c} \cdot (4-c)}{2} = 27 \implies (4-c)^{3/2} = 27 \implies 4-c = 9 \implies c = -5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulma
T(2,c−4)T(2, c-4)
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−42=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2 formülüyle bulunur. Ordinatı ise k=f(r)=f(2)=22−4(2)+c=c−4k = f(r) = f(2) = 2^2 - 4(2) + c = c-4 olarak elde edilir.
2
Simetri ekseni yardımıyla kökler arasındaki uzaklığı ifade etme
∣AB∣=24−c|AB| = 2\sqrt{4-c}
Parabolün simetri ekseni x=2x=2 doğrusudur. Köklerin simetri eksenine olan uzaklığı dd birim ise kökler x1=2−dx_1 = 2-d ve x2=2+dx_2 = 2+d olur. Taban uzunluğu ∣AB∣=∣x2−x1∣=2d|AB| = |x_2 - x_1| = 2d birimdir. Kök denklemi sağladığından f(2+d)=(2+d)2−4(2+d)+c=0  ⟹  d2−4+c=0  ⟹  d=4−cf(2+d) = (2+d)^2 - 4(2+d) + c = 0 \implies d^2 - 4 + c = 0 \implies d = \sqrt{4-c} elde edilir.
3
Üçgenin yüksekliğini belirleme
h=4−ch = 4-c
Parabol xx eksenini iki farklı noktada kestiği için tepe noktasının ordinatı negatif olmalıdır (c−4<0c-4 < 0). TABTAB üçgeninde [AB][AB] tabanına ait yükseklik, tepe noktasının xx eksenine olan uzaklığıdır: h=∣c−4∣=4−ch = |c-4| = 4-c olur.
4
Alan formülünü uygulayarak c değerini hesaplama
c=−5c = -5
Üçgenin alanı Alan(TAB)=∣AB∣⋅h2=24−c⋅(4−c)2=(4−c)3/2=27\text{Alan}(TAB) = \frac{|AB| \cdot h}{2} = \frac{2\sqrt{4-c} \cdot (4-c)}{2} = (4-c)^{3/2} = 27 olarak verilmiştir. Buradan 4−c=272/3=9  ⟹  c=−54-c = 27^{2/3} = 9 \implies c = -5 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası, simetri ekseni ve eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik ilişkiler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2939Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=4f(1) = 4
f(2)=10f(2) = 10
f(4)=15f(4) = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫14f′(x)x dx\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Değişken değiştirme yöntemiyle integral 2∫12f′(u) du2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du biçimine dönüşür. Bu integralin değeri 2[f(2)−f(1)]=2(10−4)=122[f(2) - f(1)] = 2(10 - 4) = 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yap��lması ve diferansiyelinin bulunması.
du=12x dx  ⟹  dxx=2 dudu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du elde edilir.
İntegraldeki değişkenleri uu cinsinden ifade etmek için.
2
İntegral sınırlarının güncellenmesi.
Alt sınır x=1x=1 için u=1u=1 ve üst sınır x=4x=4 için u=2u=2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İntegralin yeni değişkenle hesaplanması ve değerinin bulunması.
∫14f′(x)x dx=2∫12f′(u) du=2[f(2)−f(1)]=2(10−4)=12\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du = 2[f(2) - f(1)] = 2(10 - 4) = 12 olarak hesaplanır.
İntegral değerini verilen fonksiyon değerleri cinsinden bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ile birlikte sınırların da güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2940Soru →
Ortak farkı sıfırdan farklı ve terimleri sıfırdan farklı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.
Verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 denkleminde her terim a1a_1 ve rr cinsinden yazıldığında, denklemin sol tarafı a12+5a1r+6r2a_1^2 + 5a_1r + 6r^2, sağ tarafı ise a12+7a1ra_1^2 + 7a_1r olur. Buradan a12a_1^2 terimleri sadeleşir ve 6r2=2a1r6r^2 = 2a_1r kalır. Dizinin ortak farkı sıfırdan farklı olduğu için bu eşitlikten a1=3ra_1 = 3r bulunur. İstenen a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı ise a1+5ra1+r\frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} şeklindedir. Burada a1a_1 yerine 3r3r yazılırsa oran 8r4r=2\frac{8r}{4r} = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin terimlerini birinci terim (a1a_1) ve ortak fark (rr) cinsinden yazın.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r ve a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r olarak ifade edilir.
Tüm bilinmeyen terimleri aynı iki temel değişken cinsinden ifade ederek ortak bir denklem çözümü elde etmek.
2
Bu terimleri verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 eşitliğinde yerine yazın ve denklemi sadeleştirin.
(a1+2r)(a1+3r)=a1(a1+7r)⇒a12+5a1r+6r2=a12+7a1r⇒6r2=2a1r(a_1 + 2r)(a_1 + 3r) = a_1(a_1 + 7r) \Rightarrow a_1^2 + 5a_1r + 6r^2 = a_1^2 + 7a_1r \Rightarrow 6r^2 = 2a_1r elde edilir.
Terimlerin çarpımını dağıtarak benzer terimleri sadeleştirmek ve sade bir bağıntıya ulaşmak.
3
Ortak farkın sıfırdan farklı olduğunu kullanarak birinci terim ile ortak fark arasındaki ilişkiyi bulun.
a1=3ra_1 = 3r olarak bulunur.
r≠0r \neq 0 olduğundan eşitliğin her iki tarafını 2r2r ile bölmekte bir sakınca yoktur.
4
Bulunan a1=3ra_1 = 3r eşitliğini kullanarak a6a2\frac{a_6}{a_2} oranını hesaplayın.
a6a2=a1+5ra1+r=3r+5r3r+r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} = \frac{3r + 5r}{3r + r} = 2 bulunur.
İstenen oranı tek bir değişken cinsinden yazıp sadeleştirerek sayısal sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin terimlerinin genel terim formülü kullanılarak cebirsel olarak ifade edilmesi ve çözülmesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm terimleri a2a_2 ve rr cinsinden yazabiliriz. a1=a2−ra_1 = a_2 - r, a3=a2+ra_3 = a_2 + r, a4=a2+2ra_4 = a_2 + 2r ve a8=a2+6ra_8 = a_2 + 6r ifadeleri denklemde yerine yazıldığında (a2+r)(a2+2r)=(a2−r)(a2+6r)⇒a22+3a2r+2r2=a22+5a2r−6r2⇒8r2=2a2r(a_2+r)(a_2+2r) = (a_2-r)(a_2+6r) \Rightarrow a_2^2 + 3a_2r + 2r^2 = a_2^2 + 5a_2r - 6r^2 \Rightarrow 8r^2 = 2a_2r olur. r≠0r \neq 0 olduğundan a2=4ra_2 = 4r bulunur. Bu durumda a6=a2+4r=8ra_6 = a_2 + 4r = 8r olacağından a6a2=8r4r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{8r}{4r} = 2 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 147 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin