Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 2901Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktas�� TT olan
f(x)=x2−4x+mf(x) = x^2 - 4x + m
parabolü veriliyor.

TT noktasının orijine olan uzaklığı 252\sqrt{5} birim olduğuna göre, mm gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

m gerçel say��sının alabileceği pozitif değer 8'dir.
Parabolün tepe noktasının apsisi r=2r = 2 ve ordinatı k=m−4k = m - 4'tür. T(2,m−4)T(2, m-4) noktasının orijine olan uzaklığı 252\sqrt{5} birim olduğundan 22+(m−4)2=(25)2  ⟹  4+(m−4)2=20  ⟹  (m−4)2=162^2 + (m-4)^2 = (2\sqrt{5})^2 \implies 4 + (m-4)^2 = 20 \implies (m-4)^2 = 16 olur. Buradan mm pozitif değeri için m−4=4  ⟹  m=8m-4 = 4 \implies m = 8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının apsisinin (r) bulunması
r=2r = 2
Tepe noktasının apsisi r=−b2ar = -\frac{b}{2a} formülü kullanılarak bulunur.
2
Tepe noktasının ordinatının (k) m cinsinden bulunması
k=m−4k = m - 4
Apsis değeri parabol denkleminde yerine yazılarak ordinat hesaplanır.
3
Tepe noktasının orijine olan uzaklığının formüle edilmesi
4+(m−4)2=25\sqrt{4 + (m-4)^2} = 2\sqrt{5}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak verilen uzaklık değerine eşitlenir.
4
Denklemin çözülmesi ve pozitif m değerinin belirlenmesi
m=8m = 8
(m−4)2=16(m-4)^2 = 16 eşitliğinden gelen m=8m=8 ve m=0m=0 köklerinden pozitif olanı seçilir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası koordinatları ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü

Alternatif Yöntem

Parabolün denklemi tam kareye tamamlama yöntemi kullanılarak f(x)=(x−2)2+m−4f(x) = (x-2)^2 + m - 4 biçiminde yazılabilir. Bu gösterimden tepe noktasının koordinatları doğrudan T(2,m−4)T(2, m-4) olarak okunur. Sonrasında orijine olan uzaklık bağıntısı yazılarak sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2902Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a4+a10+a16=36a_4 + a_{10} + a_{16} = 36
a7+a9=a5+14a_7 + a_9 = a_5 + 14

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan a20a_{20} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Dizinin 20. terimi olan a_{20} değeri 32'dir.
Aritmetik dizinin indis özellikleri kullanılarak önce a10=12a_{10} = 12 bulunur, ardından ortak fark r=2r = 2 olarak elde edilir ve a20=a10+10ra_{20} = a_{10} + 10r formülüyle 3232 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin indis özelliklerini kullanarak a_{10} terimini bulma
a_{10} = 12
Aritmetik dizilerde indis toplamları eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir. 4+16=2⋅104 + 16 = 2 \cdot 10 olduğundan a4+a16=2a10a_4 + a_{16} = 2a_{10} yazılabilir. Denklemde yerine yazıldığında 3a10=36  ⟹  a10=123a_{10} = 36 \implies a_{10} = 12 bulunur.
2
Dizinin terimlerini ortak fark (r) cinsinden ifade edip r değerini bulma
r = 2
a5=a10−5r=12−5ra_5 = a_{10} - 5r = 12 - 5r, a7=a10−3r=12−3ra_7 = a_{10} - 3r = 12 - 3r ve a9=a10−r=12−ra_9 = a_{10} - r = 12 - r eşitlikleri a7+a9=a5+14a_7 + a_9 = a_5 + 14 denklemine yazılır. Buradan 24−4r=26−5r  ⟹  r=224 - 4r = 26 - 5r \implies r = 2 elde edilir.
3
a_{20} terimini hesaplama
a_{20} = 32
a20=a10+10ra_{20} = a_{10} + 10r bağıntısı kullanılarak a20=12+10⋅2=32a_{20} = 12 + 10 \cdot 2 = 32 bulunur.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis özellikleri ve genel terim bağıntısı
Soru 2903Soru →
[3,7][3, 7] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(2x+1) dx\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx
belirli integralinde u=2x+1u = 2x + 1 dönü��ümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫3712f(u) du\int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du

Cevap

doğru dönüşüm sonucunda elde edilen \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du ifadesidir.
Belirli integralde u=2x+1u = 2x + 1 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=12 dudu = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=3u=3 ve x=3x=3 için u=7u=7 olarak güncellenir. Bu ifadeler yerine yazıldığında doğru dönüşüm ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlaması ve diferansiyel hesabı yapılır.
u=2x+1u = 2x + 1 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2 dx  ⟹  dx=12 dudu = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki ifadeyi tek bir değişken cinsinden yazmak ve diferansiyel bağıntısını kurmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene (uu) göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=2(1)+1=3x = 1 \implies u = 2(1) + 1 = 3 ve üst sınır için x=3  ⟹  u=2(3)+1=7x = 3 \implies u = 2(3) + 1 = 7 olarak bulunur.
İntegrasyon değişkeni x'ten u'ya geçtiği için sınır değerlerinin de u değişkenine göre hesaplanması gerekir.
3
Dönüşümler ve yeni sınırlar orijinal integralde yerine yazılarak integral düzenlenir.
∫13f(2x+1) dx=∫37f(u)⋅12 du=∫3712f(u) du\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx = \int_{3}^{7} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du elde edilir.
Değişken değiştirme işlemini tamamlayarak integralin eşdeğerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2904Soru →

Sürtünmelerin önemsiz olduğu bir düzenekte; merkezleri çakışık, birlikte dönebilen 3r3r ve rr yarıçaplı silindirlerden oluşan bir çıkrık sistemi kurulmuştur. Yarıçapı 3r3r olan silindire saat yönünde, yarıçapı rr olan silindire ise saat yönünün tersine sarılmış olan aynı ipin uçları, ağırlığı PP olan sürtünmesiz hareketli makaraya bağlanmış ve makaraya 5P5P ağırlıklı bir yük asılmıştır.

Sistemi dengede tutmak için çıkrık miline bağlı R=5rR = 5r uzunluğundaki kola uygulanması gereken en küçük kuvvetin büyüklüğü kaç PP olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 65\frac{6}{5}

Cevap

Sistemi dengede tutmak için kola uygulanması gereken en küçük kuvvetin büyüklüğü 6/5 P olmalıdır.
Denge durumunda hareketli makarayı yukarı çeken iki ipteki gerilme kuvveti eşit olup T=3PT = 3P değerine sahiptir. Eş merkezli silindirlerde ipler zıt yönlerde sarıldığı için torkları zıt işaretlidir ve net tork 2Tr=6Pr2Tr = 6Pr olarak bulunur. Bu tork, uzunluğu 5r5r olan kol üzerindeki FF kuvveti ile dengelendiğinde F=6/5PF = 6/5 P elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Hareketli makara üzerindeki kuvvet dengesini yazarak ipteki gerilme kuvvetini bulunuz.
Makarayı yukarı çeken iki ipteki gerilme kuvveti TT olup, aşağı çeken yük 5P5P ve makara ağırlığı PP ile dengelenir: 2T=5P+P  ⟹  T=3P2T = 5P + P \implies T = 3P.
Sürtünmesiz ve serbestçe dönebilen hareketli makara etrafından geçen tek bir ip olduğundan, makaranın her iki yanındaki ip gerilme kuvvetleri birbirine eşit (TT) olur.
2
Eş merkezli silindirler üzerindeki iplerin oluşturduğu net torku silindirlerin dönme merkezine göre hesaplayınız.
3r3r yarıçaplı silindire sarılı ip saat yönünde tork oluştururken, rr yarıçaplı silindire ters yönde sarılı ip zıt yönde tork oluşturur. Net tork: τnet=T⋅3r−T⋅r=2Tr\tau_{net} = T \cdot 3r - T \cdot r = 2Tr. T=3PT = 3P değeri yerine yazıldığında, τnet=2⋅(3P)⋅r=6Pr\tau_{net} = 2 \cdot (3P) \cdot r = 6Pr bulunur.
İpler silindirlere zıt yönlerde sarıldığı için oluşturdukları torklar zıt yönlüdür ve net tork bulunurken birbirinden çıkarılmalıdır.
3
Kuvvet kolunun oluşturduğu torku net torka eşitleyerek gereken kuvveti hesaplayınız.
F⋅R=τnet  ⟹  F⋅5r=6Pr  ⟹  F=65P=1,2PF \cdot R = \tau_{net} \implies F \cdot 5r = 6Pr \implies F = \frac{6}{5}P = 1,2P.
Sistemin dengede kalabilmesi için kola uygulanılan kuvvetin oluşturduğu torkun, iplerin oluşturduğu net torku dengelemesi gerekir.

Anahtar Kavram

Eş merkezli çıkrık sistemlerinde zıt yönlü sarılmış iplerin tork dengesi ve hareketli makaralarda kuvvet analizi.
Soru 2905Soru →

Bir aktar, bitki çayları için hazırladığı birbirinden farklı 33 nane kavanozu ve birbirinden farklı 44 kekik kavanozunu tek bir sıra hâlinde yan yana dizecektir.

Nane kavanozlarının herhangi ikisinin yan yana gelmemesi koşuluyla bu kavanozlar kaç farklı şekilde dizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14401440

Cevap

Nane kavanozlarının herhangi ikisinin yan yana gelmemesi koşuluyla toplam dizilim sayısı 14401440 olarak bulunur.
Kekik kavanozlarının yan yana dizilimi 4!=244! = 24 farklı şekilde yapılır. Yan yana gelmeme kuralı nedeniyle nane kavanozları, kekik kavanozlarının oluşturduğu 55 boşluktan (başta, aralarda ve sonda) seçilen 33 boşluğa yerleştirilir. Bu seçim (53)=10\binom{5}{3} = 10 yolla yapılır. Nane kavanozları farklı olduğundan kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanırlar. Çarpım kuralına göre toplam dizilim sayısı 24×10×6=144024 \times 10 \times 6 = 1440 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Öncelikle 44 farklı kekik kavanozunun kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplarız.
4!=244! = 24 farklı dizilim elde edilir.
Kekik kavanozlarının yerleri nane kavanozları için ayırıcı bölgeler oluşturacaktır.
2
Kekik kavanozlarının oluşturduğu boşluklardan nane kavanozları için uygun yerleri seçeriz.
Kekik kavanozlarının arasında ve uçlarında toplam 55 boşluk bulunur. Bu 55 boşluktan 33 tanesi (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir.
Nane kavanozlarının yan yana gelmemesi için her bir boşluğa en fazla bir nane kavanozu yerleştirilmelidir.
3
Seçilen boşluklara nane kavanozlarının yerleştirilme ve kendi aralarındaki dizilim sayısını hesaplarız.
33 farklı nane kavanozu seçilen yerlere 3!=63! = 6 farklı şekilde dizilir.
Nane kavanozları birbirinden farklı olduğu için kendi aralarındaki sıralamaları da hesaba katılır.
4
Tüm durumların çarpımı ile toplam dizilim sayısını buluruz.
24×10×6=144024 \times 10 \times 6 = 1440 bulunur.
Çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince bu bağımsız adımların sonuçları çarpılır.

Anahtar Kavram

Permütasyon ve koşullu sıralama

Alternatif Yöntem

Kekik kavanozları yerleştirildikten sonra (4!4!), ilk nane kavanozu için 55 boşluktan biri, ikincisi için kalan 44 boşluktan biri, üçüncüsü için ise kalan 33 boşluktan biri seçilebilir. Bu da doğrudan 4!×5×4×3=24×60=14404! \times 5 \times 4 \times 3 = 24 \times 60 = 1440 sonucunu verir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2906Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=2f(0) = 2
f(12)=8f\left(\frac{1}{2}\right) = 8
f(π6)=5f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫0π/6cos⁡(x)⋅f′(sin⁡(x)) dx\int_{0}^{\pi/6} \cos(x) \cdot f'(\sin(x)) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
İntegral u=sin⁡(x)u = \sin(x) değişken değiştirmesiyle sınırları [0,1/2][0, 1/2] olan ∫01/2f′(u) du\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du integraline dönüşür. Bu integralin sonucu f(1/2)−f(0)=8−2=6f(1/2) - f(0) = 8 - 2 = 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemini uygulamak için uygun bir dönüşüm belirlenir.
u=sin⁡(x)u = \sin(x) dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx elde edilir.
İntegral içindeki cos⁡(x) dx\cos(x) \, dx ifadesini dudu cinsinden yazarak integrali basitleştirmek amacıyla bu dönüşüm gereklidir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡(0)=0x = 0 \implies u = \sin(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/6  ⟹  u=sin⁡(π/6)=12x = \pi/6 \implies u = \sin(\pi/6) = \frac{1}{2} olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınırlarla integral uu değişkenine bağlı olarak yazılır ve hesaplanır.
∫01/2f′(u) du=[f(u)]01/2=f(12)−f(0)\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1/2} = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0) elde edilir. Değerler yerine yazıldığında: 8−2=68 - 2 = 6 bulunur.
Türevi f′(u)f'(u) olan fonksiyon f(u)f(u)'dur. Belirli integralin temel teoremine göre sınır değerleri fonksiyonda yerine yazılarak farkı alınır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Soru 2907Soru →

Ağırlığı önemsiz, eşit bölmeli yatay bir çubuk, sol ucundaki destek etrafında serbestçe dönebilmektedir. Çubuğa destekten 11 bölme uzaklıkta GG ağırlıklı bir yük asılmış ve çubuk, destekten 22 bölme uzaklıktaki diğer ucuna uygulanan düşey yukarı yönlü FF kuvvetiyle yatay dengede tutulmaktadır.

Buna göre, desteğin çubuğa uyguladığı tepki kuvvetinin büyüklüğü kaç GG'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12\frac{1}{2}

Cevap

Desteğin çubuğa uyguladığı tepki kuvvetinin büyüklüğü yarım GG olmalıdır.
Desteğe göre yazılan tork dengesinden uygulanan kuvvet yarım GG olarak elde edilir. Düşey doğrultudaki net kuvvet dengesi yazıldığında, yukarı yönlü olan desteğin tepki kuvveti ile uygulanan kuvvetin toplamı, aşağı yönlü yükün ağırlığına eşit olmalıdır. Buradan desteğin tepki kuvveti de yarım GG olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Desteğin bulunduğu sol uca göre tork dengesi denklemini yazarak uygulanan FF kuvvetini bulmak.
G×1=F×2  ⟹  F=12GG \times 1 = F \times 2 \implies F = \frac{1}{2}G
Çubuğun dönmeden dengede kalabilmesi için dönme ekseni olarak seçilen destek noktasına göre toplam tork sıfır olmalıdır.
2
Çubuğa etki eden düşey doğrultudaki net kuvveti sıfıra eşitleyerek desteğin tepki kuvvetini (NN) hesaplamak.
N+F−G=0  ⟹  N+12G−G=0  ⟹  N=12GN + F - G = 0 \implies N + \frac{1}{2}G - G = 0 \implies N = \frac{1}{2}G
Çubuğun düşey doğrultuda hareket etmemesi için yukarı yönlü kuvvetlerin toplamı, aşağı yönlü kuvvetlerin toplamına eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kaldıraçlarda tork ve kuvvet dengesi prensipleri
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2908Soru →
log⁡23=a\log_2 3 = a
log⁡35=b\log_3 5 = b

olduğuna göre, log⁡2045\log_{20} 45 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a(b+2)ab+2\frac{a(b+2)}{ab+2}

Cevap

a(b+2)/(ab+2)
Verilen logaritma ifadelerinde taban değiştirme kuralı ve logaritma özellikleri kullanılır. Öncelikle \log_2 5 ifadesinin değerini bulmak için zincir kuralı uygulanır: \log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b. Daha sonra \log_{20} 45 ifadesi 2 tabanında yazılır: \log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}. Pay ve paydadaki sayılar asal çarpanlarına ayrılıp çarpım kuralıyla toplam şeklinde açıldığında pay 2a + ab, payda ise 2 + ab olur. Bu değerler oranlandığında ve pay kısmı a parantezine alındığında \frac{a(b+2)}{ab+2} ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
log_2 5 ifadesini verilen a ve b cinsinden elde etmek için zincir kuralı uygulanır.
log⁡25=log⁡23⋅log⁡35=a⋅b\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = a \cdot b
Verilen logaritma tabanlarını ortak bir tabanda (2 tabanında) birleştirmek için.
2
log_{20} 45 ifadesini 2 tabanında yazarak taban değiştirme kuralı uygulanır.
log⁡2045=log⁡245log⁡220\log_{20} 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 20}
Soruda verilen a ve b değişkenleri sırasıyla 2 ve 3 tabanlarına bağlı olduğu için ifadeyi 2 tabanına taşımak kolaylık sağlar.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri asal çarpanlarına ayırıp logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak açalım.
log⁡245=log⁡2(32⋅5)=2log⁡23+log⁡25=2a+ab\log_2 45 = \log_2(3^2 \cdot 5) = 2\log_2 3 + \log_2 5 = 2a + ab ve log⁡220=log⁡2(22⋅5)=2log⁡22+log⁡25=2+ab\log_2 20 = \log_2(2^2 \cdot 5) = 2\log_2 2 + \log_2 5 = 2 + ab
Çarpımın logaritmasını toplamın logaritmasına dönüştürerek a ve b cinsinden yazabilmek için.
4
Elde edilen ifadeleri oranlayıp ortak paranteze alarak sonucu bulalım.
log⁡2045=2a+abab+2=a(b+2)ab+2\log_{20} 45 = \frac{2a + ab}{ab + 2} = \frac{a(b+2)}{ab + 2}
Sadeleştirilmiş en son cebirsel biçimi elde etmek için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım/bölüm özellikleri yardımıyla değişken dönüşümü yapma.
Soru 2909Soru →
İnsan kulağının duyarlı olduğu en düşük ses şiddeti (referans ses şiddeti) I0=10−12 W/m2I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2 olarak kabul edilir. Bir ses kaynağının ses şiddeti II (W/m2\text{W/m}^2 cinsinden) olmak üzere, bu kaynağın oluşturduğu ses düzeyi LL (desibel, dB cinsinden)
L=10⋅log⁡(II0)L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)
formülü ile hesaplanır.

Bir iş yerinde çalışan bir makinenin tek başına çalışırken çıkardığı sesin şiddeti I1I_1 W/m2\text{W/m}^2 olup bu makinenin oluşturduğu ses düzeyi 75 dB75\text{ dB} olarak ölçülmüştür. Bu iş yerine aynı makineden 3 tane daha getirilerek toplamda 4 özdeş makine aynı anda çalıştırılmaya başlanmıştır.

Buna göre, 4 makine aynı anda çalıştırıldığında iş yerindeki toplam ses düzeyi kaç desibel (dB) olur?
(Logaritma tabanını 10 olarak alınız ve log⁡2≈0.3\log 2 \approx 0.3 kabul ediniz.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81

Cevap

Yeni ses düzeyi 81 dB olarak bulunur.
Tek bir makinenin ses şiddeti I1I_1 iken ses düzeyi 75 dB75\text{ dB}'dir. 4 makine aynı anda çalıştığında toplam ses şiddeti 4I14I_1 olur. Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak ses düzeyi formülünü açtığımızda, yeni ses düzeyi L2=10log⁡4+10log⁡(I1/I0)=20log⁡2+75L_2 = 10 \log 4 + 10 \log(I_1/I_0) = 20 \log 2 + 75 halini alır. Verilen log⁡2≈0.3\log 2 \approx 0.3 değeri yerine yazıldığında toplam ses düzeyi 81 dB81\text{ dB} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir makinenin ses düzeyini veren formülden yararlanarak log⁡(I1/I0)\log(I_1 / I_0) değerini belirlemek.
10⋅log⁡(I1/I0)=7510 \cdot \log(I_1 / I_0) = 75 olduğu için log⁡(I1/I0)=7.5\log(I_1 / I_0) = 7.5 olarak bulunur.
4 makinenin toplam ses şiddeti hesaplanırken bu değeri kullanmak gerekmektedir.
2
4 özdeş makinenin toplam ses şiddeti 4I14I_1 olacağından, yeni ses düzeyi formülünü yazmak.
L2=10⋅log⁡(4I1/I0)L_2 = 10 \cdot \log(4I_1 / I_0) elde edilir.
Toplam ses şiddetinin 4 katına çıkması nedeniyle yeni toplam ses düzeyini hesaplamak gerekmektedir.
3
Logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi açmak ve verilen log⁡2≈0.3\log 2 \approx 0.3 değerini yerine koymak.
L2=10⋅log⁡4+10⋅log⁡(I1/I0)=20⋅log⁡2+75=20⋅(0.3)+75=81 dBL_2 = 10 \cdot \log 4 + 10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 20 \cdot \log 2 + 75 = 20 \cdot (0.3) + 75 = 81\text{ dB} bulunur.
Matematiksel işlemleri tamamlayarak nihai ses düzeyine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat uygulamalarındaki modellenmesi ve logaritma özelliklerinin kullanılması.
Soru 2910Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan 3 kg3\text{ kg} kütleli bir tahta bloğa, 0,1 kg0,1\text{ kg} kütleli bir mermi yatay doğrultuda fırlatılıyor. Mermi bloğun içinden geçip bloğu terk ettiğinde hızı 100 m/s100\text{ m/s} oluyor. Blok ise çarpışmadan hemen sonra girdiği sürtünmeli bölgede 6 m6\text{ m} yol alarak duruyor. Blok ile zemin arasındaki sürtünme katsayısı 0,30,3 olduğuna göre, merminin bloğa çarpmadan hemen önceki hızı kaç m/s\text{m/s}'dir? (Yer çekimi ivmesini g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 280

Cevap

Merminin bloğa çarpmadan hemen önceki hızı 280 m/s280\text{ m/s}'dir.
Çarpışma anında çizgisel momentum korunduğu için ilk momentum son momentuma eşitlenir. Bloğun çarpışmadan hemen sonraki hızı ise sürtünmeli yüzeyde yaptığı hareketin kinetiğinden (iş-enerji teoremi veya ivmeli hareket denklemleri yardımıyla) 6 m/s6\text{ m/s} olarak hesaplanır. Momentumun korunumu denkleminden merminin ilk hızı 280 m/s280\text{ m/s} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bloğun sürtünmeli bölgedeki ivmesini hesaplama
a=3 m/s2a = 3\text{ m/s}^2
Sürtünmeli yüzeyde bloğa etki eden net kuvvet sürtünme kuvvetidir (Fs=μkMgF_s = \mu_k M g). Newton'ın ikinci hareket yasasından yavaşlama ivmesi a=FsM=μkga = \frac{F_s}{M} = \mu_k g olarak bulunur.
2
Çarpışma sonrasında bloğun ilk hızını hesaplama
vblok=6 m/sv_{\text{blok}} = 6\text{ m/s}
Blok sabit ivmeli yavaşlayan hareket yaparak d=6 md = 6\text{ m} yol sonunda durduğuna göre, zamansız hız formülü (vf2=vi2−2adv_f^2 = v_i^2 - 2ad) kullanılarak çarpışmadan hemen sonraki hızı bulunur.
3
Çizgisel momentumun korunumunu uygulayarak merminin ilk hızını bulma
v0=280 m/sv_0 = 280\text{ m/s}
Çarpışma sürecinde dış kuvvetlerin etkisi ihmal edilebilir düzeyde olduğundan çizgisel momentum korunur. Merminin ilk momentumu, merminin son momentumu ile bloğun çarpışma sonrası momentumunun vektörel toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Çizgisel Momentumun Korunumu ve Sürtünmeli Yüzeyde Hareket
Soru 2911Soru →

Yatay ve sürtünmeli bir yolda durmakta olan bir sandık, yatay doğrultuda uygulanan sabit F⃗\vec{F} kuvvetinin etkisiyle harekete geçiyor ve bir süre sonra sabit hızlı hareket yapmaya başlıyor.

Sandığın sabit hızlı hareket ettiği bu süreçte;
I. Sandığa etki eden kütle çekim kuvveti (ağırlık) ile zeminin sandığa uyguladığı normal kuvvet,
II. Sandığı çeken F⃗\vec{F} kuvveti ile zeminin sandığa uyguladığı sürtünme kuvveti,
III. Sandığın zemine uyguladığı sürtünme kuvveti ile zeminin sandığa uyguladığı sürtünme kuvveti

kuvvet çiftlerinden hangileri Newton'ın üçüncü yasasında tanımlanan etki-tepki kuvvet çiftidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız III

Cevap

Yalnız III
Newton'ın üçüncü yasasına göre, etki ve tepki kuvvetleri her zaman farklı cisimler üzerinde oluşur. Sandığın zemine uyguladığı sürtünme kuvveti zemine etki ederken, zeminin sandığa uyguladığı sürtünme kuvveti sandığa etki eder. Bu kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yönlü olduğundan etki-tepki çiftidir.

Adım Adım Çözüm

1
Etki-tepki kuvvet çiftlerinin temel özelliğini belirleme
Etki-tepki kuvvet çiftleri her zaman farklı iki cisim arasında gerçekleşir ve aynı cisme uygulanamaz.
Newton'ın ü��üncü yasasının doğru yorumlanabilmesi için kuvvetlerin uygulama noktalarının farklı cisimler üzerinde olması şarttır.
2
Birinci ve ikinci öncüllerdeki kuvvetlerin uygulama noktalarını inceleme
Ağırlık ve normal kuvvet sandığa etki eder. Benzer şekilde, çeken F kuvveti ve sürtünme kuvveti de sandığa etki eder.
Aynı cisme etki eden kuvvetler birbirini dengeleyebilir fakat etki-tepki çifti oluşturamazlar.
3
Üçüncü öncüldeki kuvvetlerin uygulama noktalarını ve ilişkisini inceleme
Sandığın zemine uyguladığı sürtünme kuvveti zemine etki ederken, zeminin sandığa uyguladığı sürtünme kuvveti sandığa etki eder. Bu kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yönlüdür.
Farklı cisimlere uygulanan bu karşılıklı kuvvetler Newton'ın üçüncü yasasına göre tam bir etki-tepki kuvvet çiftidir.

Anahtar Kavram

Newton'ın Üçüncü Hareket Yasası (Etki-Tepki Yasası)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2912Soru →

Bir turizm şirketi, düzenleyeceği bir kültür turu için kişi başı ücreti 3000 TL3000 \text{ TL} olarak belirlemiştir. Bu tura en fazla 150 kişi katılabilmektedir. Tura katılan kişi sayısı 80'den fazla olduğunda, 80'in üzerindeki her bir kişi için tüm katılımcılara ki��i başı 15 TL15 \text{ TL} indirim yapılacaktır.

Buna göre, bu tura kaç kişi katılırsa şirketin elde edeceği toplam gelir en fazla olur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 140

Cevap

Toplam gelirin en fazla olması için tura 140 kişi katılmalıdır.
Toplam geliri modelleyen R(x)=4200x−15x2R(x) = 4200x - 15x^2 fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde elde edilen 140140 değeri, şirkete en yüksek geliri sağlayan katılımcı sayısıdır. Bu değer turun kapasite sınırı olan 150 değerini aşmadığından geçerli çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Katılımcı sayısına bağlı olarak kişi başı bilet fiyatını veren cebirsel ifadeyi oluşturun.
Tura katılan kişi sayısı xx olsun (80<x≤15080 < x \le 150). 80'in üzerindeki katılımcı sayısı x−80x - 80 olur. Bu durumda kişi başı bilet fiyatı 3000−15(x−80)=4200−15x TL3000 - 15(x - 80) = 4200 - 15x \text{ TL} olarak belirlenir.
Toplam geliri bulmak için öncelikle bilet fiyatının katılımcı sayısına bağlı denklemini yazmamız gerekir.
2
Toplam gelir fonksiyonunu (R(x)R(x)) kurun.
R(x)=x⋅(4200−15x)=4200x−15x2R(x) = x \cdot (4200 - 15x) = 4200x - 15x^2 elde edilir.
Toplam gelir, toplam katılımcı sayısı ile kişi başı bilet fiyatının çarpılmasına eşittir.
3
Gelir fonksiyonunun türevini alarak kritik noktayı hesaplayın.
R′(x)=4200−30xR'(x) = 4200 - 30x olur. Türevi sıfıra eşitlediğimizde 4200−30x=0  ⟹  30x=4200  ⟹  x=1404200 - 30x = 0 \implies 30x = 4200 \implies x = 140 bulunur.
Fonksiyonun yerel maksimum değerini araştırmak için türevin sıfır olduğu kritik noktayı bulmalıyız.
4
Bulunan kritik noktanın sınır koşullarını sağladığını ve geliri maksimum yaptığını doğrulayın.
x=140x = 140 değeri 80<x≤15080 < x \le 150 tanım aralığındadır. R′′(x)=−30<0R''(x) = -30 < 0 olduğundan bu noktada fonksiyon maksimum değerini alır.
Kritik noktanın fiziksel sınırları aşmadığından ve yerel maksimum noktası olduğundan emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum-minimum problemlerinin modellenmesi ve çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Türev kullanmak yerine, elde edilen R(x)=−15x2+4200xR(x) = -15x^2 + 4200x fonksiyonunun kolları aşağı doğru olan bir parabol belirttiği görülebilir. Bu fonksiyonun maksimum değeri tepe noktasının apsisinde (rr) gerçekleşir. Buradan r=−b2a=−42002⋅(−15)=140r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4200}{2 \cdot (-15)} = 140 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2913Soru →

Bir göldeki su derinliğine bağlı olarak ışık şiddetinin değişimi araştırılmaktadır. Göle ulaşan güneş ışığının su yüzeyindeki şiddeti I0I_0 lümen olmak üzere, su yüzeyinden itibaren dd metre derinlikteki ışık şiddeti I(d)I(d) lümen değeri

I(d)=I0⋅e−0,2dI(d) = I_0 \cdot e^{-0,2d}

formülüyle modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinlik, metre cinsinden aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5ln⁡25 \ln 2

Cevap

Beş çarpı elen iki
Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin yarısına düştüğü derinliği bulmak için I(d)=0,5I0I(d) = 0,5 I_0 eşitliği kurulur. Burada I0I_0 sadeleştirilerek e−0,2d=0,5e^{-0,2d} = 0,5 denklemine ulaşılır. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında −0,2d=ln⁡(0,5)-0,2d = \ln(0,5) olur. ln⁡(0,5)=−ln⁡2\ln(0,5) = -\ln 2 eşitliği kullanılarak −0,2d=−ln⁡2-0,2d = -\ln 2 yani 0,2d=ln⁡20,2d = \ln 2 elde edilir. Son olarak 0,2=150,2 = \frac{1}{5} katsayısı karşıya çarpım olarak aktarıldığında derinlik 5ln⁡25 \ln 2 metre olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Işık şiddeti modelini, yüzeydeki şiddetin yarısına eşit olacak şekilde denklem halinde yazın.
I0⋅e−0,2d=0,5⋅I0I_0 \cdot e^{-0,2d} = 0,5 \cdot I_0
Işık şiddetinin yüzeydeki değerinin (I0I_0) yarısına düştü��ü derinliği bulmak için I(d)=0,5I0I(d) = 0,5 I_0 eşitliği kurulur.
2
Her iki taraftaki I0I_0 terimlerini sadeleştirip üstel denklemi yalnız bırakın ve her iki tarafın doğal logaritmasını (ln⁡\ln) alın.
e−0,2d=0,5  ⟹  −0,2d=ln⁡(0,5)e^{-0,2d} = 0,5 \implies -0,2d = \ln(0,5)
Üstel ifadenin tabanı ee olduğundan, dd değişkenini çekebilmek için doğal logaritma fonksiyonu kullanılır.
3
Logaritma özelliklerini kullanarak negatif terimleri sadeleştirin ve dd derinlik değerini bulun.
−0,2d=−ln⁡2  ⟹  0,2d=ln⁡2  ⟹  d=5ln⁡2-0,2d = -\ln 2 \implies 0,2d = \ln 2 \implies d = 5 \ln 2
ln⁡(0,5)=ln⁡(2−1)=−ln⁡2\ln(0,5) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2 özelliği yardımıyla denklem sadeleştirilir. 0,2=150,2 = \frac{1}{5} olduğundan, içler dışlar çarpımıyla d=5ln⁡2d = 5 \ln 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Üstel azalış modellerinde üstel denklemi logaritmaya çevirerek bilinmeyen değişkeni yalnız bırakma
Soru 2914Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f(x)=mx+df(x) = mx + d doğrusal fonksiyonu veriliyor. Ortak farkı pozitif olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri için her nn pozitif tam sayısı için an=f(n)a_n = f(n) eşitliği sağlanmaktadır.

f(a3)−f(a1)=18f(a_3) - f(a_1) = 18
a2+a8=16a_2 + a_8 = 16

olduğuna göre, a12a_{12} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 29

Cevap

29
Ortak farkı pozitif olan aritmetik dizinin ortak farkı r=3r = 3 ve beşinci terimi a5=8a_5 = 8 olarak hesaplandığında, on ikinci terim a5+7r=8+21=29a_5 + 7r = 8 + 21 = 29 şeklinde doğru olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal fonksiyon ile aritmetik dizi arasındaki ilişkiyi kurma.
f(x)=mx+df(x) = mx + d fonksiyonu için an=f(n)=mn+da_n = f(n) = mn + d olduğundan, dizinin ortak farkı r=mr = m olur.
Doğrusal fonksiyonun n değişkenine göre değişim oranı sabittir ve bu oran aritmetik dizinin ortak farkına eşittir.
2
f(a3)−f(a1)=18f(a_3) - f(a_1) = 18 eşitliğini kullanarak ortak farkı (rr) bulma.
f(a3)−f(a1)=m(a3−a1)=r(2r)=2r2=18  ⟹  r2=9f(a_3) - f(a_1) = m(a_3 - a_1) = r(2r) = 2r^2 = 18 \implies r^2 = 9 elde edilir. Ortak fark pozitif olduğundan r=3r = 3 bulunur.
Aritmetik dizide terimler arasındaki fark indisler farkının ortak fark ile çarpımına eşittir (a3−a1=2ra_3 - a_1 = 2r).
3
a2+a8=16a_2 + a_8 = 16 eşitliğinden yararlanarak beşinci terimi bulma.
a2+a8=2a5=16  ⟹  a5=8a_2 + a_8 = 2a_5 = 16 \implies a_5 = 8 bulunur.
Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan terimlerin toplamı birbirine eşittir.
4
Bulunan değerler yardımıyla a12a_{12} terimini hesaplama.
a12=a5+7r=8+7(3)=29a_{12} = a_5 + 7r = 8 + 7(3) = 29 bulunur.
Bir terimi ve ortak farkı bilinen aritmetik dizinin genel terim özelliği kullanılarak istenen terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde doğrusal fonksiyon ilişkisi, ortak fark ve indis özellikleri.
Soru 2915Soru →

Bir madeni para ardı ardına havaya atılmaktadır. Bu atış işlemi, üst üste iki kez aynı sonuç (yazı-yazı veya tura-tura) elde edildiğinde sonlandırılmaktadır.

Buna göre, bu işlemin en fazla 5 atış sonunda sonlanmış olma olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} rasyonel sayısı olarak yazıldığında a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

İşlemin en fazla 5 atış sonunda sonlanmış olma olasılığı 15/16 olduğundan, pay ve paydanın toplamı 31'dir.
Tüm olası 5'li atış serilerinden (32 adet), oyunun 5. atışta henüz sonlanmadığı ardışık alternasyon durumları olan Y-T-Y-T-Y ve T-Y-T-Y-T (2 adet) çıkarıldığında, geriye kalan 30 durumda oyun en geç 5. atışta veya daha öncesinde sonlanmış olur. Bu olasılık 30/32 = 15/16'dır. En sade haliyle pay ve payda toplamı 15 + 16 = 31 olur.

Adım Adım Çözüm

1
5 madeni para atışında oluşabilecek tüm olası durumların sayısını hesaplamak
25=322^5 = 32 farklı durum
Her bir atış için 2 olası sonuç (Yazı veya Tura) bulunduğundan, 5 bağımsız atışın toplam durum sayısı çarpım kuralı ile bulunur.
2
İşlemin 5 atı�� sonunda sonlanmadığı (yani oyunun devam ettiği) durumları belirlemek
{Y-T-Y-T-Y, T-Y-T-Y-T} olmak üzere 2 durum
Oyunun 5 atış sonunda sonlanmaması için hiçbir ardışık iki atışın aynı sonucu vermemesi, yani sonuçların sürekli dalgalanması gerekir.
3
İşlemin en fazla 5 atışta sonlanma olasılığını tüm durumlardan sonlanmama durumunu çıkararak hesaplamak
1−232=1−116=15161 - \frac{2}{32} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
İstenen olayın olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) istenmeyen olayın (sonlanmama) olasılığının çıkarılmasıyla pratik bir şekilde bulunur.
4
En sade kesir biçimindeki aa ve bb değerlerini bulup toplamak
a=15a = 15, b=16b = 16 ve a+b=31a + b = 31
1516\frac{15}{16} kesri sadeleştirilemediğinden a=15a=15 ve b=16b=16 alınır.

Anahtar Kavram

Bir olayın tümleyeninin olasılığını kullanarak basit olayların olasılığını hesaplama.
Soru 2916Soru →

log⁡35=a\log_3 5 = a ve log⁡52=b\log_5 2 = b olduğuna göre, log⁡1524\log_{15} 24 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3ab+1a+1\frac{3ab + 1}{a + 1}

Cevap

3ab+1a+1\frac{3ab + 1}{a + 1}
İstenen log⁡1524\log_{15} 24 ifadesi 5 tabanına göre yazıldığında log⁡524log⁡515\frac{\log_5 24}{\log_5 15} elde edilir. Pay kısmındaki log⁡524\log_5 24 ifadesi 3log⁡52+log⁡533\log_5 2 + \log_5 3 şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında 3ab+1a\frac{3ab + 1}{a} olur. Payda kısmındaki log⁡515\log_5 15 ifadesi ise log⁡55+log⁡53\log_5 5 + \log_5 3 şeklinde açılıp değerler yerine yazıldığında a+1a\frac{a+1}{a} olur. Bu iki değerin birbirine oranlanmasıyla aranan doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritma ifadelerinin tabanlarını incelemek ve uygun bir ortak taban seçmek.
Soruda verilen log⁡35=a\log_3 5 = a ve log⁡52=b\log_5 2 = b ifadelerinden ortak olan sayı 5'tir. Bu nedenle log⁡1524\log_{15} 24 ifadesini taban değiştirme kuralı yardımıyla 5 tabanında yazmak kolaylık sağlayacaktır.
Taban değiştirme kuralı olan log⁡xy=log⁡zylog⁡zx\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x} özelliğini uygulamak için ortak taban belirlenir.
2
Verilen ifadeleri 5 tabanına göre düzenlemek.
log⁡35=a  ⟹  log⁡53=1a\log_3 5 = a \implies \log_5 3 = \frac{1}{a} olur. Diğer taraftan log⁡52=b\log_5 2 = b olarak kalır.
log⁡xy=1log⁡yx\log_x y = \frac{1}{\log_y x} özelliği kullanılarak bilinen değerler 5 tabanına dönüştürülür.
3
log⁡1524\log_{15} 24 ifadesine 5 tabanına göre taban değiştirme kuralı uygulamak.
log⁡1524=log⁡524log⁡515\log_{15} 24 = \frac{\log_5 24}{\log_5 15} elde edilir.
İstenen ifadeyi bilinen tabana dönüştürerek sadeleştirmek hedeflenir.
4
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak logaritmanın özelliklerini uygulamak.
Pay için: log⁡524=log⁡5(23⋅3)=log⁡5(23)+log⁡53=3log⁡52+log⁡53=3b+1a=3ab+1a\log_5 24 = \log_5 (2^3 \cdot 3) = \log_5 (2^3) + \log_5 3 = 3\log_5 2 + \log_5 3 = 3b + \frac{1}{a} = \frac{3ab + 1}{a} olur.
Payda için: log⁡515=log⁡5(5⋅3)=log⁡55+log⁡53=1+1a=a+1a\log_5 15 = \log_5 (5 \cdot 3) = \log_5 5 + \log_5 3 = 1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a} olur.
Logaritmanın çarpım özelliği (log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log (xy) = \log x + \log y) ve üs özelliği (log⁡xn=nlog⁡x\log x^n = n \log x) uygulanır.
5
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime getirmek.
log⁡1524=3ab+1aa+1a=3ab+1a⋅aa+1=3ab+1a+1\log_{15} 24 = \frac{\frac{3ab + 1}{a}}{\frac{a + 1}{a}} = \frac{3ab + 1}{a} \cdot \frac{a}{a + 1} = \frac{3ab + 1}{a + 1} bulunur.
Bölme işlemi tamamlanarak ifade aa ve bb cinsinden en sade haline getirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunda Taban Değiştirme ve Çarpım Özelliği
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2917Soru →

Sürtünmelerin önemsenmediği bir eğik düzlem üzerinde, ağırlığı 20 N20\text{ N} olan hareketli makaraya bağlı 80 N80\text{ N} ağırlığındaki K cismi şekildeki gibi dengelenmiştir. Eğik düzlemin yatay ile yaptığı açı 30∘30^\circ olup, makarayı çevreleyen ipin uçları eğik düzlem yüzeyine paraleldir.

Buna göre, sistemi bu konumda dengede tutan FF kuvvetinin büyüklüğü kaç N\text{N}'dur?
(sin⁡30∘=0,5\sin 30^\circ = 0,5)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25 \text{ N}

Cevap

Sistemi bu konumda dengede tutan FF kuvvetinin büyüklüğü 25 N25\text{ N}'dur.
Sistemi dengede tutan kuvveti bulmak için K cisminin ve hareketli makaranın ağırlıklarının eğik düzleme paralel bileşenleri toplanır. Bu toplam kuvvet, hareketli makarayı taşıyan iki paralel ip kolu tarafından eşit olarak paylaştırılır. Toplam paralel kuvvet (80+20)⋅sin⁡30∘=50 N(80 + 20) \cdot \sin 30^\circ = 50\text{ N}'dur. İp kollarındaki gerilme kuvveti F=50/2=25 NF = 50 / 2 = 25\text{ N} olur.

Adım Adım Çözüm

1
K cisminin ve hareketli makaranın ağırlıklarının eğik düzleme paralel bileşenleri hesaplanır.
K cismi için: Gx=G⋅sin⁡30∘=80⋅0,5=40 NG_x = G \cdot \sin 30^\circ = 80 \cdot 0,5 = 40\text{ N}.
Hareketli makara için: Pmx=Pm⋅sin⁡30∘=20⋅0,5=10 NP_{mx} = P_m \cdot \sin 30^\circ = 20 \cdot 0,5 = 10\text{ N}.
Eğik düzlem üzerindeki cisimlerin aşağı doğru kayma eğilimini yaratan kuvvet, ağırlıklarının eğik düzlem yüzeyine paralel olan bileşenidir.
2
Eğik düzlem üzerinde aşağı doğru olan toplam paralel kuvvet belirlenir.
Ftoplam=Gx+Pmx=40+10=50 NF_{\text{toplam}} = G_x + P_{mx} = 40 + 10 = 50\text{ N}.
K cismi hareketli makaraya asılı olduğu için her iki ağırlığın eğik düzleme paralel bileşenleri aynı doğrultuda aşağı yönlüdür ve doğrudan toplanır.
3
Hareketli makara prensibi kullanılarak denge şartından FF kuvveti hesaplanır.
2F=Ftoplam  ⟹  2F=50  ⟹  F=25 N2F = F_{\text{toplam}} \implies 2F = 50 \implies F = 25\text{ N}.
Hareketli makarayı çevreleyen ipin her iki ucu da eğik düzleme paralel olduğu için aşağı yönlü toplam kuvvet, ipin iki kolu tarafından eşit olarak paylaşılır.

Anahtar Kavram

Eğik düzlem ve hareketli makara sistemlerinde kuvvet dengesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2918Soru →

Hava direncinin ihmal edildiği düşey kesiti verilen ortamda, yerdeki KK noktasından bir cisim yerle 53∘53^\circ lik açı yapacak şekilde v1=25 m/sv_1 = 25\text{ m/s} büyüklüğündeki ilk hızla eğik olarak fırlatılıyor. Aynı anda, KK noktasından yatay doğrultuda dd uzaklığında ve hh yüksekli��inde bulunan LL noktasından başka bir cisim v2=10 m/sv_2 = 10\text{ m/s} büyüklüğündeki yatay hızla KK cismine doğru fırlatılıyor. Cisimler havada, KK cisminin yörüngesinin tepe noktasında çarpıştığına göre, LL cisminin fırlatıldığı yükseklik (hh) kaç metredir?

(Yer çekimi ivmesini g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 alınız; sin⁡53∘=08\sin 53^\circ = 0{}8, cos⁡53∘=06\cos 53^\circ = 0{}6)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

L cisminin fırlatıldığı yükseklik 40 metredir.
K cisminin düşey hız bileşeni 20 m/s20\text{ m/s} olup, yerçekimi ivmesi 10 m/s210\text{ m/s}^2 olduğundan maksimum yüksekliğe 2 s2\text{ s}'de ulaşır. Bu esnada düşeyde 20 m20\text{ m} yükselir. L cismi yatay doğrultuda fırlatıldığı için düşeyde serbest düşme hareketi yapar ve 2 s2\text{ s}'de 20 m20\text{ m} aşağı düşer. Cisimlerin havada çarpışabilmeleri için düşey konumlarının eşit olması gerektiğinden, L cisminin başlangıç yüksekliği bu iki mesafenin toplamı olan 40 m40\text{ m} olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
K cisminin ilk hızının yatay ve düşey bileşenleri bulunur.
v1x=25×cos⁡53∘=15 m/sv_{1x} = 25 \times \cos 53^\circ = 15\text{ m/s} ve v1y=25×sin⁡53∘=20 m/sv_{1y} = 25 \times \sin 53^\circ = 20\text{ m/s}
İki boyutta hareketi yatay ve düşey doğrultularda ayrı ayrı incelemek için hız bileşenlerini belirlememiz gerekir.
2
K cisminin yörüngesinin tepe noktasına ulaşma süresi hesaplanır.
t=v1yg=2010=2 st = \frac{v_{1y}}{g} = \frac{20}{10} = 2\text{ s}
Cisimler havada K'nin maksimum yüksekliğe ulaştığı anda çarpıştığı için çarpışma anı bu süreye eşittir.
3
Cisimlerin düşey doğrultudaki hareket denklemleri yazılarak çarpışma yüksekliği ve L'nin başlangıç yüksekliği (hh) bulunur.
K cisminin tepe noktasındaki yüksekliği: yK=v1yt−12gt2=20(2)−5(2)2=20 my_K = v_{1y} t - \frac{1}{2}gt^2 = 20(2) - 5(2)^2 = 20\text{ m}. L cismi yatay atıldığı için düşeyde serbest düşme yapar. 2 s2\text{ s} süresince düşeyde aldığı yol: hdu¨s\cu¨s\c=12gt2=5(2)2=20 mh_{düşüş} = \frac{1}{2}gt^2 = 5(2)^2 = 20\text{ m}. Dolayısıyla L cisminin başlangıç yüksekliği: h=yK+hdu¨s\cu¨s\c=20+20=40 mh = y_K + h_{düşüş} = 20 + 20 = 40\text{ m} olur.
Her iki cismin çarpışma anında aynı konumda olması gerektiğinden düşey konumları eşitlenerek başlangıç yüksekliği hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki boyutta sabit ivmeli hareket yapan cisimlerin bağıl hareketi ve düşey doğrultudaki serbest düşme ile eğik atış hareketlerinin birleşimi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2919Soru →

Ortak çarpanı pozitif bir gerçel sayı olan (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6−S3=7⋅a4S_6 - S_3 = 7 \cdot a_4

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2'dir.
İlk 6 terim toplamından ilk 3 terim toplamı çıkarıldığında geriye a4+a5+a6a_4 + a_5 + a_6 kalır. Bu ifade a4a_4 cinsinden yazıldığında a4(1+r+r2)a_4(1 + r + r^2) olur. Soruda bu farkın 7a47a_4 değerine eşit olduğu belirtilmiştir. a4a_4 terimleri sadeleştirildiğinde 1+r+r2=71 + r + r^2 = 7 denklemi, buradan da r2+r−6=0r^2 + r - 6 = 0 elde edilir. Çarpanlara ayırma yöntemiyle kökler r=2r = 2 ve r=−3r = -3 olarak bulunur. Ortak çarpanın pozitif bir gerçel sayı olduğu belirtildiğinden doğru değer 2 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 6 terim toplamı ile ilk 3 terim toplamı arasındaki farkı dizi terimleri cinsinden ifade edin.
S6−S3=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)−(a1+a2+a3)=a4+a5+a6S_6 - S_3 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) - (a_1 + a_2 + a_3) = a_4 + a_5 + a_6
İlk nn terim toplamının tanımına göre, ilk 6 terimin toplamından ilk 3 terimin toplamı çıkarıldığında geriye 4., 5. ve 6. terimler kalır.
2
Elde edilen terimleri geometrik dizinin ortak çarpanı olan rr türünden a4a_4 ortak parantezinde yazın.
a5=a4⋅ra_5 = a_4 \cdot r ve a6=a4⋅r2a_6 = a_4 \cdot r^2 olduğundan S6−S3=a4+a4⋅r+a4⋅r2=a4(1+r+r2)S_6 - S_3 = a_4 + a_4 \cdot r + a_4 \cdot r^2 = a_4(1 + r + r^2) olur.
Denklemdeki bilinmeyen sayısını azaltarak ortak çarpanı yalnız bırakabilmek için terimleri ortak bir çarpan parantezine almak gerekir.
3
Bulunan ifadeyi verilen eşitlikte yerine yazarak ortak çarpanı bulun.
a4(1+r+r2)=7⋅a4a_4(1 + r + r^2) = 7 \cdot a_4 eşitliğinde terimleri pozitif olan dizide a4≠0a_4 \neq 0 olduğundan sadeleştirme yapılırsa 1+r+r2=7  ⟹  r2+r−6=01 + r + r^2 = 7 \implies r^2 + r - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (r+3)(r−2)=0(r+3)(r-2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpan pozitif bir gerçel sayı olduğundan r=2r = 2 bulunur.
İkinci dereceden denklemi çözüp sorudaki pozitiflik şartını sağlayan ortak çarpan değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplamı ile ardışık terimler arasındaki ilişkiyi kurma.
Soru 2920Soru →

Sürtünmelerin ve basit makine ağırlıklarının önemsenmediği aşağıdaki üç farklı basit makine düzeneğinde, özdeş GG ağırlıklı yükler sırasıyla F1F_1, F2F_2 ve F3F_3 büyüklüğündeki kuvvetlerle dengelenmiştir.

I. Eğik düzlem: Eğik düzlem boyu 4L4L, yüksekliği ise LL'dir. Yük, eğik düzlem yüzeyine paralel F1F_1 kuvveti ile dengelenmiştir.
II. Kaldıraç: Desteğin arada olduğu kaldıraçta, desteğin yüke olan uzaklığı dd, F2F_2 kuvvetinin uygulandığı noktaya olan uzaklığı ise 3d3d'dir.
III. Çıkrık: Çıkrık kolunun uzunluğu 5r5r, yükün asılı olduğu silindirin yarıçapı rr'dir. Yük, çıkrık kolunun ucuna dik olarak uygulanan F3F_3 kuvveti ile dengelenmiştir.

Buna göre; bu basit makinelerin sağladığı kuvvet kazançlarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Kuvvet kazançlarının büyükten küçüğe doğru doğru sıralaması Çıkrık (III) > Eğik düzlem (I) > Kaldıraç (II) şeklindedir.
Doğru sıralama olan Çıkrık > Eğik düzlem > Kaldıraç sırasında, her bir düzeneğin kuvvet kazancı sırasıyla 5, 4 ve 3 olarak hesaplanır. Dolayısıyla en büyük kuvvet kazancı çıkrıkta, en küçüğü ise kaldıraçtadır.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir düzenek için denge denklemini yazarak uygulanan kuvvetleri yük (GG) cinsinden belirlemek.
F1=G/4F_1 = G/4, F2=G/3F_2 = G/3 ve F3=G/5F_3 = G/5 olarak elde edilir.
Kuvvet kazancını hesaplayabilmek için öncelikle kuvvetlerin yüke oranını bulmamız gerekir.
2
Her bir düzenek için kuvvet kazancını (K=GFK = \frac{G}{F}) hesaplamak.
K1=4K_1 = 4, K2=3K_2 = 3 ve K3=5K_3 = 5 değerleri bulunur.
Kuvvet kazancı, yükün uygulanan kuvvete oranı olarak tanımlanır.
3
Bulunan kuvvet kazancı değerlerini karşılaştırarak büyükten küçüğe doğru sıralamak.
5>4>35 > 4 > 3 olduğundan sıralama III > I > II şeklindedir.
Elde edilen sayısal kuvvet kazancı değerlerinin büyüklük sıralaması istenmektedir.

Anahtar Kavram

Basit makinelerde kuvvet kazancı, yükün uygulanan kuvvete (veya kuvvet kolunun yük koluna) oranı ile belirlenir ve sürtünmesiz sistemlerde yoldan kayıp oranına eşittir.
ÖncekiSayfa 146 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin