Tüm alıştırma soruları

Soru 3021Soru →

Tepe noktası $T(r, k)$ olan $f(x) = ax^2 + bx + c$ parabolünün simetri ekseni $x = 3$ doğrusudur. Bu parabolün tepe noktası $y = 3x - 5$ doğrusu üzerinde olup parabol $y$ eksenini $(0, 13)$ noktasında kesmektedir. Buna göre, $f(1)$ değeri kaçtır?

20

34

8

16

2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Parabolün x = 1 noktasındaki değeri 8'dir.

Simetri ekseni

x = 3

doğrusu olduğundan tepe noktasının apsisi

r = 3

olarak belirlenir. Tepe noktası

y = 3x - 5

doğrusu üzerinde bulunduğundan ordinat değeri

k = 3(3) - 5 = 4

olarak hesaplanır. Tepe noktası

T(3, 4)

olan parabolün denklemi

f(x) = a(x - 3)^2 + 4

biçiminde kurulur. Parabolün

(0, 13)

noktasından geçtiği bilgisi kullanılarak

a(0 - 3)^2 + 4 = 13 \implies 9a = 9 \implies a = 1

başkatsayısına ulaşılır. Son olarak

f(x) = (x - 3)^2 + 4

fonksiyonunda

x = 1

yazıldığında

f(1) = 8

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Simetri eksenini belirleme

r = 3

Parabolün simetri ekseni

x = r

doğrusudur. Soruda simetri ekseni

x = 3

olarak verildiğinden tepe noktasının apsisi

r = 3

olur.

2

Tepe noktasının ordinatını bulma

k = 4

Tepe noktası

T(3, k)

noktası

y = 3x - 5

doğrusu üzerinde olduğundan doğrunun denklemini sağlar:

k = 3(3) - 5 = 4

bulunur.

3

Tepe noktası formunda parabol denklemini kurma

f(x) = a(x - 3)^2 + 4

Tepe noktası

T(r, k)

olan parabolün standart denklemi

f(x) = a(x - r)^2 + k

şeklindedir.

4

Başkatsayıyı bulma

a = 1

Parabol

y

eksenini

(0, 13)

noktasında kestiği için

f(0) = 13

olmalıd��r. Buradan

a(0 - 3)^2 + 4 = 13 \implies 9a = 9 \implies a = 1

elde edilir.

5

İstenen değeri hesaplama

f(1) = 8

Elde edilen

f(x) = (x - 3)^2 + 4

denkleminde

x = 1

yazılarak

f(1) = (1 - 3)^2 + 4 = 4 + 4 = 8

bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası ve simetri ekseninin koordinatlar ve parabol denklemi üzerindeki etkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3022Soru →

Yatayla $53^\circ$ lik açı yapacak şekilde $v_0$ ilk hızıyla eğik atılan $3m$ kütleli bir cisim, yörüngesinin maksimum yükseklik noktasındayken bir iç patlama sonucu $m$ ve $2m$ kütleli iki parçaya ayrılıyor.

Patlamadan hemen sonra $m$ kütleli parça serbest düşme hareketi yaptığına göre, $2m$ kütleli parçanın patlamadan hemen sonraki hızının büyüklüğü kaç $v_0$ olur?

(Hava sürtünmesi önemsizdir. $\sin 53^\circ = 0,8$ ; $\cos 53^\circ = 0,6$ )

0,3

0,9

1,2

1,5

1,8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,9$

Cevap

Patlamadan hemen sonra iki m kütleli parçanın hızının büyüklüğü sıfır virgül dokuz v_0 olur.

Maksimum yükseklikte cismin yalnızca yatay hız bileşeni vardır ve bu hız sıfır virgül altı v_0 değerine eşittir. Patlama öncesi momentum bir virgül sekiz m v_0 olur. m kütleli parçanın serbest düşme hareketi yapması ilk hızının sıfır olduğunu gösterir. Çizgisel momentumun korunumu gereği, patlama öncesi momentum patlama sonrası momentuma eşit olmalıdır. Buradan bir virgül sekiz m v_0 eşittir iki m çarpı v_2 eşitliği yazılarak kalan parçanın hızı sıfır virgül dokuz v_0 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Maksimum yükseklikteki hızı bulma

v_x = v_0 \cos 53^\circ = 0,6v_0

Eğik atı�� hareketinde maksimum yükseklikte düşey hız sıfırdır, cismin sadece yatay hız bileşeni vardır.

2

Patlama öncesindeki toplam momentumu hesaplama

P_{önce} = 3m \cdot 0,6v_0 = 1,8mv_0

(yatay doğrultuda)

Patlama anında dış kuvvetlerin etkisi ihmal edildiğinden çizgisel momentum korunur.

3

Patlamadan sonraki parçaların hızlarını belirleme

v_1 = 0

(serbest düşme)

m kütleli parçanın serbest düşme yapması, patlamadan hemen sonra ilk hızının sıfır olduğunu gösterir.

4

Momentum korunumunu uygulayarak kalan parçanın hızını hesaplama

P_{önce} = P_{sonra} \Rightarrow 1,8mv_0 = m \cdot 0 + 2m \cdot v_2 \Rightarrow v_2 = 0,9v_0

Yatay doğrultudaki momentum korunumu denklemi çözülerek iki m kütleli parçanın hızı bulunur.

Anahtar Kavram

İç patlamalarda dış kuvvetlerin etkisi ihmal edilebilir olduğundan sistemin çizgisel momentumu korunur. Eğik atışta maksimum yükseklikte sadece yatay hız bileşeni mevcuttur.

Soru 3023Soru →

Sürtünmelerin ve yer çekiminin önemsenmediği yalıtkan yatay düzlem üzerindeki K noktasında $+2q$ , L noktasında $-q$ noktasal yükleri sabit tutulmaktadır. K ve L noktaları birbirine dik iki doğrultu üzerinde olup, M köşesine olan uzaklıkları eşit ve $d$ kadardır.

Bu yüklerin M noktasında oluşturdukları toplam elektriksel potansiyel $V$ 'dir.

Buna göre, sonsuzda bulunan $+q$ yüklü noktasal bir cismi M noktasına getirmek için elektriksel kuvvetlere karşı yapılması gereken iş kaç $qV$ 'dir?

-3

-1

1

3

\sqrt{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

Sonsuzdan M noktasına

+q

yükünü getirmek için elektriksel kuvvetlere karşı yapılması gereken iş

1 qV

olur.

Elektriksel potansiyel skaler bir büyüklük olduğundan, M noktasındaki toplam potansiyel yüklerin işaretleri dikkate alınarak cebirsel olarak toplanır:

V_M = k\frac{2q}{d} + k\frac{-q}{d} = \frac{kq}{d}

. Soruda bu değer

V

olarak verilmiştir. Sonsuzdaki potansiyel sıfır (

V_{\infty} = 0

) kabul edildiğinden, sonsuzdan M noktasına

+q

yükünü getirmek için elektriksel kuvvetlere karşı yapılan iş

W = q(V_M - V_{\infty}) = q(V - 0) = 1 qV

olur. Bu nedenle doğru cevap 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1

K ve L noktalarındaki yüklerin M noktasında oluşturduğu toplam elektriksel potansiyel ifadesi yazılır.

V_M = k\frac{2q}{d} + k\frac{-q}{d} = \frac{kq}{d}

Elektriksel potansiyel skaler bir büyüklüktür ve noktadaki toplam potansiyel, her bir yükün oluşturduğu potansiyellerin cebirsel toplamına eşittir.

2

Soruda verilen M noktasındaki toplam potansiyelin

V

olduğu bilgisi kullanılarak potansiyel tanımlanır.

V = \frac{kq}{d}

Hesaplanan potansiyel değeri soruda tanımlanan

V

cinsinden ifade edilmelidir.

3

Sonsuzdan M noktasına

+q

yükünü getirmek için yapılan iş hesaplanır.

W = q \cdot (V_M - V_{\infty}) = q \cdot (V - 0) = 1 qV

Elektriksel kuvvetlere karşı yapılan iş, taşınan yük ile taşındığı noktalar arasındaki potansiyel farkının çarpımına eşittir. Sonsuzdaki potansiyel sıfır kabul edilir.

Anahtar Kavram

Elektriksel potansiyel skaler bir büyüklüktür ve elektriksel kuvvetlere karşı yapılan iş, taşınan yük ile iki nokta arasındaki potansiyel farkının çarpımına eşittir (

W = q\Delta V

).

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 3024Soru →

Giriş (primer) bobininin sarım sayısı $N_1 = 500$ , çıkış (sekonder) bobininin sarım sayısı $N_2 = 1500$ olan ideal bir transformatörün girişine $V_1 = 12\text{ V}$ gerilime sahip iç direnci önemsiz doğru akım (DA) üreteci şekildeki gibi bağlanmıştır.

Buna göre, transformatörün sekonder (çıkış) ucundaki gerilim kaç $\text{ V}$ olur?

0

4

12

36

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0$

Cevap

Sıfır

Transformatörler elektromanyetik indüksiyon ilkesine göre çalışır ve sekonder bobinde gerilim oluşması için primer bobindeki akımın (ve dolayısıyla manyetik akının) zamanla değişmesi şarttır. Girişe doğru akım (DA) kaynağı bağlandığında manyetik akı sabit kalır ve akı değişimi gerçekleşmediği için çıkış gerilimi sıfır olur. Bu nedenle doğru cevap sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1

Giriş akımının türünün belirlenmesi

Doğru akım (DA) kaynağı bağlanmıştır.

Transformatörün çalışma prensibini analiz etmek için girişine bağlanan kaynağın alternatif akım (AA) mı yoksa doğru akım (DA) mı olduğunu belirlemek gerekir.

2

Transformatörün doğru akım altındaki davranışının analizi

V_2 = 0\text{ V}

Transformatörler elektromanyetik indüksiyon prensibiyle çalışır. Primer bobindeki akım sabit olduğunda (doğru akım), demir çekirdekte oluşan manyetik alan ve dolayısıyla sekonder bobinden geçen manyetik akı (Phi) sabittir. Faraday Yasası'na göre indüksiyon emk'si akı değişimiyle oluşur. Akı değişimi sıfır olduğu için çıkış gerilimi sıfır olur.

Anahtar Kavram

Transformatörlerin doğru akım (DA) ile sürekli gerilim üretememesi ve çalışması için alternatif akım (AA) gerekmesi.

Soru 3025Soru →

"KELEBEK" kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır. Buna göre, tüm E harflerinin yan yana olduğu fakat hiçbir K harfinin yan yana olmadığı kaç farklı kelime yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Tüm E harflerinin yan yana olup K harflerinin yan yana olmadığı 36 farklı kelime yazılabilir.

Tüm E harfleri (EEE) şeklinde tek bir blok olarak kabul edildiğinde K, K, L, B ve (EEE) olmak üzere 5 elemanın tekrarlı permütasyonu 5! / 2! = 60'tır. Hem E hem de K harflerinin yan yana olduğu durumlar ise (KK), L, B ve (EEE) olmak üzere 4 farklı elemanın permütasyonu olan 4! = 24'tür. Tüm durumlardan bu istenmeyen durum çıkarıldığında 60 - 24 = 36 farklı kelime yazılabileceği elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

E harflerini tek bir grup halinde birleştirip toplam eleman sayısını ve bu elemanların diziliş sayısını hesaplama.

E

harfleri

(EEE)

şeklinde tek eleman olarak düşünülürse dizilecek elemanlar

K, K, L, B, (EEE)

olmak üzere 5 adettir. Bu elemanların diziliş sayısı:

\frac{5!}{2!} = 60

olarak bulunur.

Tüm

E

harflerinin yan yana olması koşulunu sağlamak için onları bir bütün olarak ele almamız gerekir.

2

Hem E harflerinin hem de K harflerinin yan yana olduğu durum sayısını hesaplama.

K

harfleri de yan yana olacak şekilde

(KK)

grubu oluşturulursa dizilecek elemanlar

(KK), L, B, (EEE)

olmak üzere 4 adet olur. Bunların diziliş sayısı:

4! = 24

olarak bulunur.

K

harflerinin yan yana olduğu durumları bulup tüm durumlardan çıkarmak için bu adımı gerçekleştiririz.

3

İstenmeyen durumları tüm durumlardan çıkarma.

60 - 24 = 36

Tüm

E

harflerinin yan yana olduğu durumlardan,

K

harflerinin de yan yana olduğu durumları çıkararak hiçbir

K

harfinin yan yana gelmediği durum sayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon hesaplamalarında koşullu gruplama ve tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması.

Alternatif Yöntem

Boşluk yerleştirme (yuva) yöntemi kullanılabilir: Önce E harfleri tek bir blok (EEE) olarak alınır. K harfleri dışındaki diğer elemanlar olan L, B ve (EEE) kendi aralarında 3! = 6 farklı şekilde dizilir. Bu dizilişlerin oluşturduğu _ L _ B _ (EEE) _ yapısındaki 4 boşluktan 2 tanesi seçilerek buralara özdeş K harfleri yerleştirilir. Seçim C(4,2) = 6 farklı şekilde yapılır. Böylece toplam durum sayısı 3! * C(4,2) = 6 * 6 = 36 olarak bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3026Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = 3x^2 - 6x$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. $f$ fonksiyonunun grafiğinin $x$ -ekseni boyunca sağa $1$ birim ötelenmesiyle $g$ fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre; $g$ eğrisi, $x$ -ekseni, $x = 0$ ve $x = 4$ doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

4

8

12

24

56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

��telenen fonksiyonun bölgelere göre alanları toplamı 12 birimkaredir.

Doğru cevap olan 12 değeri, sağa ötelenmiş fonksiyon olan g(x) ifadesinin sıfır ile dört aralığında x-ekseniyle sınırladığı üç farklı bölgenin alanlarının tek tek mutlak değerce hesaplanıp toplanmasıyla elde edilir. Fonksiyonun x-ekseninin altında kalan [1, 3] aralığındaki integral değeri negatif olduğundan, bu bölgenin alanı integral değerinin önüne eksi işareti konularak pozitif olarak hesaba katılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Ötelenen fonksiyonun denklemini bulma

g(x) = f(x-1) = 3(x-1)^2 - 6(x-1) = 3x^2 - 12x + 9

f(x)

fonksiyonunun

x

-ekseni boyunca sağa

1

birim ötelenmesiyle

f(x-1)

fonksiyonu elde edilir.

2

Fonksiyonun

x

-eksenini kestiği noktaları (köklerini) belirleme

x = 1

ve

x = 3

Alan sınırlarını belirlemek amacıyla

g(x) = 0

denklemi çözülür:

3(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies 3(x-1)(x-3) = 0

.

3

İntegral sınırlarını belirleme ve bölgelerin işaretlerini inceleme

[0, 1]

aralığında

g(x) \ge 0

,

[1, 3]

aralığında

g(x) \le 0

,

[3, 4]

aralığında

g(x) \ge 0

x=1

ve

x=3

kökleri

[0, 4]

aralığında yer aldığı için alan integralini bu noktalarda parçalamamız gerekir.

4

Bölgelerin alanlarını integral yardımıyla ayrı ayrı hesaplama

A_1 = 4

,

A_2 = 4

,

A_3 = 4

g(x)

fonksiyonunun belirsiz integrali

G(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

şeklindedir. Buna göre:
-

A_1 = \int_0^1 g(x) dx = G(1) - G(0) = 4 - 0 = 4

-

A_2 = \int_1^3 -g(x) dx = -(G(3) - G(1)) = -(0 - 4) = 4

-

A_3 = \int_3^4 g(x) dx = G(4) - G(3) = 4 - 0 = 4

5

Toplam alanı hesaplama

Toplam Alan

= A_1 + A_2 + A_3 = 4 + 4 + 4 = 12

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı, her bir alt aralıktaki alanların mutlak de��erlerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanılarak eğri ile x-ekseni arasında kalan alanların hesaplanması.

Soru 3027Soru →

Doğrusal bir yolda $30\text{ m/s}$ sabit hızla hareket etmekte olan bir otomobilin sürücüsü, frene basarak aracın düzgün yavaşlayıp durmasını sağlıyor. Otomobil yavaşlamaya başladıktan duruncaya kadar geçen sürede $90\text{ m}$ yol aldığına göre, fren yapıldığı andan itibaren otomobilin duruncaya kadar geçen süredeki son $2\text{ s}$ içinde aldığı yol kaç metredir?

5

10

15

20

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $10$

Cevap

Otomobilin durmadan önceki son 2 saniyede aldığı yol 10 metredir.

Otomobilin ortalama hızı

15\text{ m/s}

olduğundan

90\text{ m}

yolu

6\text{ s}

sürede tamamlar. Buradan yavaşlama ivmesi

5\text{ m/s}^2

bulunur. Zamanın tersinirliği gereğince, yavaşlayıp duran bir aracın son 2 saniyede aldığı yol, durgun halden

5\text{ m/s}^2

ivmeyle hızlanan bir aracın ilk 2 saniyede aldığı yola eşit olup

10\text{ m}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Otomobilin duruncaya kadar geçen toplam süresini ve ivmesini hesaplamak amacıyla ortalama hız formülü kullanılır.

Düzgün yavaşlayan hareketlinin ortalama hızı

v_{ort} = \frac{v_{ilk} + v_{son}}{2} = \frac{30 + 0}{2} = 15\text{ m/s}

olur. Buradan durma süresi

t = \frac{x}{v_{ort}} = \frac{90}{15} = 6\text{ s}

ve yavaşlama ivmesinin büyüklüğ��

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{30}{6} = 5\text{ m/s}^2

olarak bulunur.

Son 2 saniyedeki yer değiştirmeyi hesaplamak için öncelikle hareketin ivmesinin belirlenmesi gerekir.

2

Zamanın tersinirliği ilkesinden (yavaşlayıp duran bir cismin son saniyelerdeki hareketi, duruştan başlayan ve aynı ivmeyle hızlanan bir cismin ilk saniyelerdeki hareketine simetriktir) faydalanarak son 2 saniyede alınan yol hesaplanır.

x_{son} = \frac{1}{2} a t_{son}^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2^2 = 10\text{ m}

elde edilir.

Bu simetri, karmaşık integral veya denklem sistemleri yerine hızlı ve pratik bir çözüm sağlar.

Anahtar Kavram

Sabit ivmeli harekette yer değiştirme, ortalama hız ve zamanın tersinirliği ilişkileri.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3028Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası

T(r, k)

olan

f(x) = a(x - r)^2 + k

parabolünün simetri ekseni

x = 4

doğrusudur.

Bu parabolün $y$ eksenini kestiği nokta $A(0, 6)$ 'dır. Parabolün üzerinde bulunan bir $B$ noktasının apsisi $6$ olup, $A$ ve $B$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $-1$ 'dir.

Buna göre, bu parabolün tepe noktasının ordinatı ( $k$ ) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı -2'dir.

Simetri ekseni

x = 4

doğrusu olduğundan parabolün tepe noktasının apsisi

r = 4

'tür ve denklem

f(x) = a(x - 4)^2 + k

şeklinde kurulur. Parabolün üzerindeki

A(0, 6)

noktası denklemde yerine yazıldığında

16a + k = 6

elde edilir.

A(0, 6)

ve

B(6, y_B)

noktalarından geçen doğrunun eğimi

-1

olduğundan

y_B = 0

bulunur.

B(6, 0)

noktası da parabolün üzerinde olduğundan denklemde yerine yazıldığında

4a + k = 0

bağıntısına ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

a = 1/2

ve tepe noktasının ordinatı olan

k

değeri

-2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Simetri ekseni bilgisini kullanarak parabolün tepe noktası formundaki denklemini yazma

f(x) = a(x - 4)^2 + k

Parabolün simetri ekseni

x = r

doğrusu olduğundan,

x = 4

doğrusu parabolün tepe noktasının apsisinin

r = 4

olduğunu gösterir.

2

Parabolün

y

eksenini kestiği

A(0, 6)

noktasını denklemde yerine yazarak birinci bağıntıyı elde etme

16a + k = 6

A(0, 6)

noktası parabolün üzerinde olduğundan parabol denklemini sağlamak zorundadır.

3

Eğim bilgisini kullanarak

B

noktasının ordinatını hesaplama

B(6, 0)

A(0, 6)

ve

B(6, y_B)

noktalarından geçen doğrunun eğimi

-1

olarak verildiği için eğim formülünden

y_B = 0

bulunur.

4

B(6, 0)

noktasını parabol denkleminde yerine yazarak ikinci bağıntıyı elde etme

4a + k = 0

B(6, 0)

noktası parabol üzerinde olduğundan denklemde

x = 6

yazıldığında sonuç

0

olmalıdır.

5

Elde edilen denklem sistemini çözerek

k

değerini bulma

a = 1/2

ve

k = -2

16a + k = 6

ve

4a + k = 0

denklemlerinin ortak çözümünden

k

parametresi

-2

olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni yardımıyla tepe noktası formunda (

f(x) = a(x-r)^2 + k

) yazılması ve parabol üzerindeki noktaların denklemde yerine yazılarak bilinmeyen katsayıların bulunması.

Alternatif Yöntem

Parabolün simetri ekseni

x = 4

olduğundan,

x = 0

apsisli

A(0, 6)

noktasının simetri eksenine göre simetriği olan

C(8, 6)

noktası da bu parabolün üzerindedir. Parabolün genel denklemi

f(x) = ax^2 + bx + c

biçiminde düşünülürse, y-keseninden dolayı

c = 6

olur. Simetri ekseni

r = -b/(2a) = 4 \implies b = -8a

bağıntısı bulunur. Buradan parabol denklemi

f(x) = ax^2 - 8ax + 6

olur. Eğim bilgisinden yola çıkarak elde edilen

B(6, 0)

noktası parabol denkleminde yerine yazılırsa:

f(6) = 36a - 48a + 6 = 0 \implies -12a = -6 \implies a = 1/2

elde edilir.

a = 1/2

ise

b = -4

olur. Tepe noktasının ordinatı olan

k

değeri, parabolün tepe noktasındaki değeri olduğundan

k = f(4) = (1/2)(16) - 4(4) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2

olarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3029Soru →

Sürtünmelerin ve basit makine ağırlıklarının önemsenmediği ideal ortamlarda kurulan üç farklı basit makine düzeneğine ait bilgiler aşağıda verilmiştir:

- Düzenek I: Desteğin arada olduğu, kuvvet kolunun yük koluna oranının $3$ olduğu kaldıraç düzeneği.
- Düzenek II: Eğik düzlem boyunun yüksekliğine oranının $2,5$ olduğu eğik düzlem düzeneği.
- Düzenek III: Kuvvet kolunun silindir yarıçapına oranının $4$ olduğu çıkrık düzeneği.

Buna göre, bu düzeneklerin kuvvet kazançlarını en büyükten en küçüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Düzeneklerin kuvvet kazançları en büyükten en küçüğe doğru sırasıyla Düzenek III, Düzenek I ve Düzenek II şeklindedir.

Sürtünmesiz ve ideal basit makine düzeneklerinde kuvvet kazancı, yükün uygulanan kuvvete oranına (

P/F

) eşittir. Tork ve iş prensipleri uygulandığında; kaldıraçta kuvvet kazancı kuvvet kolu/yük kolu =

3

, eğik düzlemde boy/yükseklik =

2,5

, çıkrıkta ise kuvvet kolu/silindir yarıçapı =

4

olarak bulunur. Sayısal değerler karşılaştırıldığında en büyük kuvvet kazancı Düzenek III'te, en küçük ise Düzenek II'de elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Düzenek I için kaldıraçtaki kuvvet kazancını belirleme.

Kuvvet kazancı =

\frac{\text{Kuvvet Kolu}}{\text{Yük Kolu}} = 3

olarak hesaplanır.

İdeal kaldıraçlarda tork prensibine göre kuvvet kazancı, kuvvet kolunun yük koluna oranına eşittir.

2

Düzenek II için eğik düzlemdeki kuvvet kazancını belirleme.

Kuvvet kazancı =

\frac{\text{Eğik Düzlem Boyu}}{\text{Yükseklik}} = 2,5

olarak hesaplanır.

İdeal eğik düzlemlerde iş prensibi gereği kuvvet kazancı, eğik düzlem boyunun yüksekliğe oranına eşittir.

3

Düzenek III için çıkrıktaki kuvvet kazancını belirleme.

Kuvvet kazancı =

\frac{\text{Kuvvet Kolu}}{\text{Silindir Yarıçapı}} = 4

olarak hesaplanır.

İdeal çıkrıklarda tork dengesi yazıldığında kuvvet kazancı, kuvvet kolunun silindir yarıçapına oranına eşit olur.

4

Hesaplanan kuvvet kazançlarını karşılaştırarak en büyükten en küçüğe doğru sıralama.

4 > 3 > 2,5

olduğundan sıralama Düzenek III > Düzenek I > Düzenek II şeklindedir.

Kuvvet kazançlarının büyüklük değerleri doğrudan karşılaştırılarak sıralama yapılır.

Anahtar Kavram

Basit makinelerde kuvvet kazancı (mekanik avantaj) tanımı ve kaldıraç, eğik düzlem ile çıkrık sistemlerinde kuvvet kazancı hesabı.

Soru 3030Soru →

1'den farklı

x

ve

y

pozitif gerçel sayıları için,

\log_2 x + \log_2 y = 5

\log_x 2 + \log_y 2 = \frac{5}{6}

olduğuna göre,

6(\log_x y + \log_y x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Verilen denklem sisteminden taban değiştirme ve değişken değiştirme yöntemleriyle

u = \log_2 x

ve

v = \log_2 y

için

u+v=5

ve

u\cdot v=6

elde edilir. İstenen

6(\log_x y + \log_y x)

ifadesi

6\left(\frac{u^2+v^2}{uv}\right)

şeklinde yazılabilir.

u^2+v^2 = (u+v)^2-2uv = 25-12=13

olduğundan, ifadenin değeri

6\cdot \frac{13}{6} = 13

bulunur.

Logaritmanın taban değiştirme özelliği kullanılarak verilen denklemler ortak tabana dönüştürüldüğünde, değişkenler arasında

u+v=5

ve

uv=6

ilişkileri bulunur. İstenen ifade de taban değiştirme kuralı ile

u

ve

v

cinsinden yazıldığında, iki kare toplamı özdeşliği yardımıyla ifadenin değerinin 13 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

Taban değiştirme özelliğini uygulama

\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}

ve

\log_y 2 = \frac{1}{\log_2 y}

eşitlikleri elde edilir.

Denklemleri ortak tabanda (taban 2) ifade etmek için.

2

Değişken tanımlama

u = \log_2 x

ve

v = \log_2 y

tanımlaması ile

u + v = 5

ve

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{5}{6}

denklemleri yazılır.

Cebirsel işlemleri sadeleştirmek ve çözümü kolaylaştırmak için.

3

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözme

u \cdot v = 6

elde edilir.

\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u+v}{uv}

ifadesinde

u+v=5

yazılarak çarpım değerini bulmak için.

4

İstenen ifadeyi yeni değişkenler cinsinden yazma ve özdeşlik kullanma

6(\log_x y + \log_y x) = 6\left(\frac{u^2+v^2}{uv}\right) = 6\left(\frac{(u+v)^2-2uv}{uv}\right)

elde edilir.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla istenen ifadeyi

u

ve

v

cinsinden ifade edip özdeşlikler yardımıyla değerini hesaplamak için.

5

Değerleri yerine koyarak sonucu hesaplama

İfadenin değeri 13 olarak bulunur.

u+v=5

ve

uv=6

değerlerini formülde yerine yazarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme Özelliği ve Özdeşlikler

Soru 3031Soru →

Bir alternatif akım kaynağına seri bağlı direnç, ideal bobin ve sığaçtan oluşan devrede elemanların uçları arasındaki etkin potansiyel farkları sırasıyla $V_R = 12\text{ V}$ , $V_L = 11\text{ V}$ ve $V_C = 20\text{ V}$ olarak ölçülmektedir.

Buna göre, bu devre ile ilgili;

I. Kaynağın etkin gerilimi $15\text{ V}$ 'tur.
II. Devre kapasitif özellik göstermektedir.
III. Kaynağın frekansı bir miktar artırılırsa devrenin empedansı azalır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

Verilen alternatif akım devresiyle ilgili olarak; kaynağın etkin geriliminin 15 V olduğu, devrenin kapasitif davranış sergilediği ve frekansın bir miktar artırılmasının empedansı azaltacağı yönündeki üç öncül de doğrudur.

Kaynağın etkin gerilimi fazör diyagramı yardımıyla vektörel olarak toplandığında 15 V bulunur. Kondansatörün gerilimi bobininkinden büyük olduğu için devre kapasitif özellik gösterir. Frekansın artmasıyla kapasitif reaktans azalırken indüktif reaktans artar; bu da aralarındaki farkı azaltarak devrenin empedansını düşürür. Dolayısıyla her üç öncülün de doğru olduğu seçenek doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Kaynağın etkin gerilimini fazör toplamı kullanarak hesaplayın.

V_{\text{etkin}} = \sqrt{V_R^2 + (V_C - V_L)^2} = \sqrt{12^2 + (20 - 11)^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\text{ V}

bulunur.

Alternatif akım devrelerinde seri bağlı elemanların gerilimleri skaler olarak değil, aralarındaki faz farkından dolayı vektörel (fazör) olarak toplanır.

2

Devrenin elektriksel karakterini (indüktif veya kapasitif) belirleyin.

V_C > V_L

olduğu için

X_C > X_L

olur. Bu durum devrenin kapasitif karakterde olduğunu gösterir.

Seri devreden geçen akım her eleman için aynı olduğundan, uçlarındaki gerilim doğrudan reaktanslar ile orantılıdır.

3

Frekans artışının reaktanslar ve empedans üzerindeki etkisini analiz edin.

Frekans (

f

) artırıldığında

X_C = \frac{1}{2\pi f C}

azalır,

X_L = 2\pi f L

artar. Başlangıçta

X_C > X_L

olduğundan, aralarındaki fark (

X_C - X_L

) küçülür ve empedans (

Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}

) azalır.

Kapasitif reaktans frekansla ters orantılı, indüktif reaktans ise doğru orantılıdır. Aralarındaki farkın azalması empedansı minimum değerine (rezonans durumuna) doğru yaklaştırır.

Anahtar Kavram

Alternatif akım devrelerinde fazör analizi, empedans hesabı ve frekansın reaktanslar üzerindeki etkisi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3032Soru →

Yarıçapları sırasıyla $r$ ve $3r$ olan K ve L dişli çarkları, merkezlerinden geçen sabit miller etrafında serbestçe dönebilmektedir. K dişlisi dışarıdan uygulanan bir tork yardımıyla döndürüldüğünde, dişlilerin temas noktasında birbirine uyguladığı kuvvetler oluşur ve L dişlisi de dönmeye başlar.

Buna göre, dişlilerin birbirine temas ettiği noktalarda oluşan etkileşim kuvvetleriyle ilgili;

I. K dişlisinin L dişlisine uyguladığı kuvvetin büyüklüğü, L'nin K'ye uyguladığı kuvvetin büyüklüğüne eşittir.
II. Bu temas kuvvetleri bir etki-tepki çifti olduğundan, kuvvetlerin bileşkesi sıf��rdır ve dişliler üzerinde net tork oluşturmazlar.
III. L dişlisinin yarıçapı K'ninkinden daha büyük olduğu için, L dişlisinin temas noktasında uyguladığı kuvvetin büyüklüğü daha fazladır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız II

I ve II

Yalnız I

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız I

Cevap

Yalnız I ifadesini içeren seçenek doğrudur. Dişlilerin birbirine uyguladığı temas kuvvetleri etki-tepki kuvvet çifti oluşturur ve büyüklükleri eşittir. Bu kuvvetler farklı cisimler üzerinde etkili olduğundan bileşkeleri alınamaz.

Doğru olan ifadeye göre, K dişlisinin L dişlisine uyguladığı temas kuvvetinin büyüklüğü L dişlisinin K'ye uyguladığı kuvvetin büyüklüğüne eşittir. Bu durum Newton'ın üçüncü yasası (etki-tepki) gereğidir.

Adım Adım Çözüm

1

Etki-tepki kuvvet çiftlerinin doğasını belirleyin.

K dişlisinin L dişlisine uyguladığı temas kuvveti ile L dişlisinin K dişlisine uyguladığı temas kuvveti bir etki-tepki çiftidir.

Temas halinde olan iki cismin birbirine uyguladığı kuvvetler Newton'ın üçüncü yasasına göre her zaman etki-tepki çifti oluşturur.

2

Kuvvetlerin büyüklüklerini ve yarıçap ilişkisini karşılaştırın.

Kuvvetlerin büyüklükleri birbirine eşittir, yarıçapların farklı olması kuvvet büyüklüğünü etkilemez.

Etki-tepki kuvvetlerinin büyüklükleri cisimlerin boyutlarından veya yarıçaplarından bağımsız olarak her zaman birbirine eşittir.

3

Kuvvetlerin bileşkesini ve tork etkisini değerlendirin.

Kuvvetler farklı cisimlere etki ettiği için bileşkeleri sıfır değildir ve her bir dişli üzerinde kendi ekseni etrafında tork oluştururlar.

Etki ve tepki kuvvetleri aynı cisme uygulanmadığı için vektörel olarak toplanıp bileşkeleri alınamaz. K üzerindeki kuvvet K'yi, L üzerindeki kuvvet L'yi döndürmeye yönelik tork oluşturur.

Anahtar Kavram

Newton'ın Üçüncü Hareket Yasası (Etki-Tepki) ve Dişli Çarklarda Kuvvet Aktarımı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3033Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \cdot \sec^2(x) \cdot f'(\tan^2(x)) \, dx

integrali veriliyor. Bu integralde

u = \tan^2(x)

değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du

\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(u) \, du

\int_{0}^{1} f'(u) \, du

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(u) \, du

\int_{0}^{1} u \cdot f'(u) \, du

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du$

Cevap

Önünde bir bölü iki katsayısı bulunan, sıfırdan bire f türev u du integralidir.

Verilen integralde

u = \tan^2(x)

dönüşümü uygulandığında, diferansiyel

du = 2\tan(x)\sec^2(x)\,dx

olur ve buradan

\tan(x)\sec^2(x)\,dx = \frac{1}{2}\,du

elde edilir. İntegral sınırları ise

x=0

için

u=0

ve

x=\frac{\pi}{4}

için

u=1

olarak güncellenir. Bu değerler yerlerine yazıldığında integralin eş değeri önünde bir bölü iki katsayısı bulunan sıfırdan bire f türev u du şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme

u = \tan^2(x)

olarak seçildiğinde diferansiyel alınırsa

du = 2 \tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx

elde edilir. Buradan

\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \, du

bulunur.

İntegral içindeki ifadenin

u

cinsinden yazılabilmesi için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.

2

Belirli integral sınırlarını güncelleme

Alt sınır için

x = 0

iken

u = \tan^2(0) = 0

olur. Üst sınır için

x = \frac{\pi}{4}

iken

u = \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^2 = 1

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.

3

Dönüşümleri integralde yerine yazma

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(\tan^2(x)) \cdot \left(\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx\right) = \int_{0}^{1} f'(u) \cdot \left(\frac{1}{2} \, du\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du

elde edilir.

Bulunan diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak

u

cinsinden eş değer integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Soru 3034Soru →

Aşağıdaki grafikte, $f(x) = (x-1)^3$ fonksiyonunun eğrisi ile koordinat eksenleri ve $x = 3$ doğrusu arasında kalan iki farkl�� sınırlı bölge boyanarak gösterilmiştir.

Buna göre, boyalı bölgelerin alanlarının toplamı kaç birimkaredir?

\frac{15}{4}

\frac{9}{2}

\frac{17}{4}

\frac{69}{4}

\frac{75}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{17}{4}$

Cevap

Boyalı bölgelerin alanlarının toplamı 17/4 birimkaredir.

Toplam alan, fonksiyonun x-ekseninin altında kalan [0, 1] aralığındaki kısmının integralinin negatifi ile x-ekseninin üstünde kalan [1, 3] aralığındaki kısmının integralinin toplamına eşittir. Bu iki alan sırasıyla 1/4 ve 4 birimkare olup, toplamları 17/4 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

Eğrinin

x

-eksenini kestiği noktayı ve işaret durumunu belirleme

x = 1

kökü bulunur. Fonksiyon

[0, 1]

aralığında negatif (

f(x) \le 0

),

[1, 3]

aralığında ise pozitif (

f(x) \ge 0

) değerler alır.

Alan hesabında

x

-ekseninin altında kalan bölgelerin integralinin önüne eksi işareti koyulması gerektiğinden, fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları bulmak gerekir.

2

Bölgelerin alanlarını integral cinsinden ifade etme

Toplam Alan =

S_1 + S_2 = \int_0^1 -(x-1)^3 \, dx + \int_1^3 (x-1)^3 \, dx

Eğri ile

x

-ekseni arasındaki alan formülünü parçalı olarak uygulamak için.

3

Belirli integralleri ayrı ayrı hesaplama

S_1 = \frac{1}{4}

ve

S_2 = 4

bulunur.

u = x-1 \implies du = dx

değişken değiştirmesi uygulanarak integral değerleri hesaplanır.

4

Bölge alanlarını toplayarak sonuca ulaşma

Toplam Alan =

\frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}

Elde edilen alt alanların toplanmasıyla toplam boyalı alan bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanarak eğri altında kalan alanların hesabı ve x-ekseninin altında kalan alanlar için integral değerinin işaretine dikkat edilmesi

Soru 3035Soru →

Bir cep telefonu şarj aletinin içinde bulunan ideal bir transformatör, evlerdeki $220\text{ V}$ 'luk alternatif gerilimi telefonun şarj olması için uygun olan $5\text{ V}$ değerine düşürmektedir. Transformatörün giriş (primer) bobininin sarım sayısı $4400$ olduğuna göre, çıkış (sekonder) bobininin sarım sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

Sekonder bobininin sarım sayısı

100

olmalıdır.

İdeal bir transformatörde, giriş (primer) ve çıkış (sekonder) gerilimlerinin oranı, bobinlerin sarım sayılarının oranına eşittir (

V_P / V_S = N_P / N_S

). Soruda verilen değerleri (

V_P = 220\text{ V}

,

V_S = 5\text{ V}

,

N_P = 4400

) formüle yerleştirdiğimizde;

220 / 5 = 4400 / N_S

bağıntısından

44 = 4400 / N_S

elde edilir. Bu eşitliği çözdüğümüzde sekonder bobininin sarım sayısı

N_S = 100

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Primer ve sekonder gerilimleri ile sarım sayıları arasındaki ilişkiyi belirten formülü yazın.

V_P / V_S = N_P / N_S

İdeal bir transformatörde gerilimler oranı, sarım sayıları oranı ile doğrudan orantılıdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyun.

220 / 5 = 4400 / N_S

Giriş gerilimi

V_P = 220\text{ V}

, çıkış gerilimi

V_S = 5\text{ V}

ve primer sarım sayısı

N_P = 4400

olarak verilmiştir.

3

N_S değerini bulmak için gerekli matematiksel sadeleştirmeleri ve işlemleri yapın.

N_S = 100

220 / 5 = 44

olduğundan,

4400 / N_S = 44

eşitliğinden

N_S = 100

elde edilir.

Anahtar Kavram

İdeal bir transformatörün çıkış geriliminin giriş gerilimine oranı, sekonder sarım sayısının primer sarım sayısına oranına eşittir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3036Soru →

Sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx

integrali veriliyor.

Buna göre, bu integral aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(x) \, dx

\int_{0}^{21} f(x) \, dx

\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

\frac{1}{2} \int_{8}^{29} f(x) \, dx

\int_{2}^{5} f(x) \, dx

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx$

Cevap

\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

İntegralde

u = x^2 - 4

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

x \, dx = \frac{1}{2} \, du

olur. Sınırlar ise

x=2

için

u=0

ve

x=5

için

u=21

değerlerine güncellenir. Bu ifadeler yerine koyulup düzenlendiğinde, doğru integral ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel hesaplanır.

u = x^2 - 4

dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

ve buradan

x \, dx = \frac{1}{2} \, du

elde edilir.

İntegral içerisindeki

x \, dx

ifadesini yeni değişken

u

türünden yazabilmek için.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 - 4 = 0

olur. Üst sınır için

x = 5 \implies u = 5^2 - 4 = 21

olur.

Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.

3

Bulunan ifadeler integralde yerine yazılır.

\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx = \int_{0}^{21} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(u) \, du

elde edilir. Belirli integralde değişkenin ismi sonucu etkilemediği için bu ifade

\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

şeklinde yazılabilir.

İntegralin değerini en sade biçimde ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi

Soru 3037Soru →

Sığaları sırasıyla $C$ ve $2C$ olan boşluklu (hava ortamında) iki paralel levhalı sığaç, gerilimi $V$ olan bir üretece seri bağlanarak yükleniyor. S��ğaçlar üreteçten ayrıldıktan sonra, yüklerini kaybetmeden, aynı işaretli levhaları birbirine temas edecek şekilde birbirine paralel bağlanıyor.

Son durumda sığaçlar birbirine paralel bağlıyken, sığası $C$ olan sığacın levhaları arasına dielektrik katsayısı havanınkinden daha büyük olan yalıtkan bir madde yerleştiriliyor.

Buna göre, sığacın levhaları arasına yalıtkan madde yerleştirilmesi sürecinde;

I. Sığası $C$ olan sığacın levhaları arasındaki potansiyel fark azalır.
II. Sığası $2C$ olan sığaçta depolanan elektriksel yük miktarı artar.
III. Sistemin toplam elektriksel potansiyel enerjisi azalır.

yargılarından hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız III

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III yargılarının yer aldığı seçenek doğrudur. Sığası C olan sığacın levhaları arasına dielektrik katsayısı daha büyük bir madde yerleştirildi��inde ortak potansiyel fark azalır ve toplam potansiyel enerji de azalır.

Sığası

C

olan kondansatörün levhaları arasına dielektrik madde yerleştirildiğinde bu kondansatörün sığası artar, bu da paralel bağlı sistemin toplam eşdeğer sığasını artırır. Toplam yük korunduğu için (

Q_{top} = C_{eş} \cdot V_{ortak}

), eşdeğer sığanın artması ortak potansiyel farkın azalmasına neden olur. Bu durum sığası

C

olan kondansatörün potansiyel farkını azalttığı için birinci yargı doğrudur. Sığası

2C

olan diğer kondansatörün sığası sabit kalıp potansiyel farkı azaldığından yükü azalır, bu nedenle ikinci yargı yanlıştır. Son olarak, toplam yük sabitken eşdeğer sığanın artması sistemin toplam enerjisini (

E = Q_{top}^2 / 2C_{eş}

) azaltacağından üçüncü yargı da doğrudur. Dolayısıyla doğru yanıt I ve III yargılarını içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Seri bağlı sığaçların ilk yüklerini ve devredeki toplam y��kü bulma.

C_1 = C

ve

C_2 = 2C

sığaçları seri bağlıyken yükleri eşit olup

Q_0 = \frac{2}{3}CV

kadardır. Üreteç ayrılıp paralel bağlandıklarında toplam yük

Q_{top} = Q_1 + Q_2 = \frac{4}{3}CV

olur.

Sığaçlar paralel bağlandığında yük korunumu yasası gereği toplam yük bu iki sığacın yüklerinin toplamına eşit olacaktır.

2

Sığası

C

olan sığacın levhaları arasına dielektrik madde konulduğunda sığadaki değişimi ve yeni ortak potansiyeli belirleme.

C_1

sığasının değeri

C_1' = \kappa C

(burada

\kappa > 1

) olur. Paralel bağlı sığaçların yeni ortak potansiyeli

V_{ort} = \frac{Q_{top}}{C_1' + C_2} = \frac{Q_{top}}{\kappa C + 2C}

olur. Sığa arttığından ortak potansiyel fark azalır. Dolayısıyla sığası

C

olan sığacın potansiyel farkı azalır (I. yargı doğru).

Dielektrik madde yerleştirilmesi sığanın değerini artırır. Toplam yük sabitken eşdeğer sığanın artması, sığaçların uçları arasındaki potansiyel farkı düşürür.

3

Sığası

2C

olan sığacın yük değişimini analiz etme.

C_2 = 2C

sığacının uçları arasındaki potansiyel fark

V_{ort}

azaldığı için üzerindeki yük miktarı

Q_2' = 2C \cdot V_{ort}

azalır (II. yargı yanlış).

Sığası değişmeyen bir sığacın yükü, uçları arasındaki potansiyel fark ile doğru orantılıdır.

4

Sistemin toplam elektriksel potansiyel enerjindeki değişimi belirleme.

Sistemin toplam enerjisi

E_{top} = \frac{Q_{top}^2}{2C_{eş}}

formülüyle hesaplanabilir. Toplam yük

Q_{top}

sabitken, eşdeğer sığa

C_{eş} = \kappa C + 2C

arttığından toplam elektriksel potansiyel enerji azalır (III. yargı doğru).

Dışarıdan bir müdahale olmadan (üreteç bağlı değilken) dielektrik maddenin levhalar arasına girmesi elektriksel kuvvetlerin iş yapmasıyla gerçekleşir ve bu durum sistemin potansiyel enerjisini azaltır.

Anahtar Kavram

Paralel bağlı kondansatörlerde yük paylaşımı, dielektrik madde eklenmesinin sığa, potansiyel fark ve depolanan enerjiye etkileri.

Soru 3038Soru →

Hava direncinin ve sürtünmelerin önemsiz olduğu bir ortamda, boyu $L$ olan esnemeyen bir ipin ucuna bağlı $m$ kütleli cisimle oluşturulan basit sarkacın küçük açılı salınımlarının periyodu $T$ olarak öl��ülüyor.

Aynı ortamda sarkacın ip boyu $4L$ , ucuna bağlanan cismin kütlesi ise $2m$ yapılırsa, sarkacın küçük açılı salınımlarının periyodu kaç $T$ olur?

\frac{1}{2}

1

\sqrt{2}

2

2\sqrt{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $2$

Cevap

Yeni periyot ilk periyodun 2 katı olur.

Basit sarkacın periyodu

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

formülüyle hesaplanır. Formülden görüleceği üzere periyot, cismin kütlesine bağlı değildir. İpin boyu

L

'den

4L

'ye çıkarıldığında, boyun karekökü alınacağı için periyot 2 katına çıkar ve iki katı değerine ulaşır.

Adım Adım Çözüm

1

Basit sarkacın periyot formülünün yazılması

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

Periyodun hangi değişkenlere bağlı olduğunu belirlemek amacıyla basit sarkacın periyot formülü hatırlanmalıdır.

2

Kütlenin basit sarkaç periyoduna etkisinin analiz edilmesi

Kütle (

m

), basit sarkacın periyodunu etkilemez.

Formülde kütle terimi yer almadığından, cismin kütlesinin

m

'den

2m

'ye çıkarılması periyot üzerinde bir değişikliğe yol açmaz.

3

İp boyunun değişimiyle yeni periyodun hesaplanması

T' = 2\pi \sqrt{\frac{4L}{g}} = 2 \left(2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\right) = 2T

İpin boyu

L

'den

4L

'ye çıkarıldığında, periyot ip boyunun kareköküyle doğru orantılı olarak artar ve ilk periyodun 2 katına ulaşır.

Anahtar Kavram

Basit sarkacın periyodu yalnızca ipin boyuna ve yerçekimi ivmesine bağlıdır; sarkaç ucundaki cismin kütlesine bağlı değildir.

Alternatif Yöntem

Formül kullanmadan boyutsal analiz veya orantı mantığıyla da çözülebilir. Basit sarkaçta periyot ipin boyunun kareköküyle (

T \propto \sqrt{L}

) doğru orantılıdır. Boy 4 katına çıkarsa, periyot

\sqrt{4} = 2

katına çıkar. Kütlenin periyoda bir etkisi olmadığı bilinmelidir.

Tahmini Süre:45s

Soru 3039Soru →

Bir öğrenci, yaz tatilinde okuduğu bir kitabın ilk gününden itibaren her gün bir önceki güne göre sabit sayıda sayfa fazla okuyarak bir aritmetik dizi oluşturmuştur. Öğrencinin bu kitaptan 4. gün ve 10. gün okuduğu toplam sayfa sayısı $24$ 'tür. Bu öğrenci ilk 8 günde toplam $76$ sayfa okuduğuna göre, kitabın ilk günü okuduğu sayfa sayısı aşağ��dakilerden hangisidir?

3

5

6

7

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Kitabın ilk günü okunan sayfa sayısı 6'dır.

Doğru cevap olan 6 değeri, aritmetik dizinin genel terim ve ilk n terim toplam formüllerinin doğru bir şekilde kurulup iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözülmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Aritmetik dizinin genel terim formülünü (

a_n = a_1 + (n-1)d

) kullanarak 4. ve 10. terimleri

a_1

(ilk terim) ve

d

(ortak fark) cinsinden yazalım.

a_4 = a_1 + 3d

ve

a_{10} = a_1 + 9d

olur. Buradan

a_4 + a_{10} = 2a_1 + 12d = 24

ve sadeleştirildiğinde

a_1 + 6d = 12

denklemi elde edilir.

Verilen günlerdeki sayfa sayılarını dizinin ortak parametreleri cinsinden ifade etmek.

2

Aritmetik dizinin ilk

n

terim toplamı formülünü (

S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

) kullanarak ilk 8 günün toplamını yazalım.

S_8 = \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) = 4(2a_1 + 7d) = 76 \implies 2a_1 + 7d = 19

denklemi elde edilir.

Toplam sayfa sayısı bilgisini

a_1

ve

d

parametrelerine bağlı ikinci bir denkleme dönüştürmek.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim.

Birinci denklem

2

ile çarpılırsa

2a_1 + 12d = 24

olur. Bu denklemden

2a_1 + 7d = 19

denklemi çıkarıldığında

5d = 5 \implies d = 1

bulunur.

d = 1

değeri

a_1 + 6d = 12

denkleminde yerine yazıldığında

a_1 + 6 = 12 \implies a_1 = 6

elde edilir.

İlk gün okunan sayfa sayısı olan

a_1

değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerine uygulanması

Alternatif Yöntem

Aritmetik ortalama özelliğini kullanarak

a_4 + a_{10} = 2a_7 = 24 \implies a_7 = 12

doğrudan bulunabilir. İlk 8 terimin toplamı

S_8 = 4(a_1 + a_8) = 76 \implies a_1 + a_8 = 19

olur.

a_8 = a_7 + d = 12 + d

olduğundan

a_1 + d = 7

elde edilir.

a_7 = a_1 + 6d = 12

denklemi ile ortak çözülerek

a_1 = 6

değerine ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3040Soru →

Yatay ve pürüzsüz bir masa üzerinde doğu yönünde $5\text{ m/s}$ süratle kaymakta olan $2\text{ kg}$ kütleli bir blok, masaya sabitlenmiş bir engele çarparak yön değiştiriyor. Çarpmadan hemen sonra blok, kuzey yönünde $12\text{ m/s}$ süratle hareketine devam ediyor. Buna göre, çarpışma esnasında engelin bloğa uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç $\text{N}\cdot\text{s}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Çarpışma esnasında engelin bloğa uyguladığı itmenin büyüklüğü

26\text{ N}\cdot\text{s}

'dir.

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir (

\vec{I} = \Delta\vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i

). Doğu yönündeki ilk momentum

\vec{p}_i = 10\text{ kg}\cdot\text{m/s}

ve kuzey yönündeki son momentum

\vec{p}_f = 24\text{ kg}\cdot\text{m/s}

büyüklüğündedir. Bu iki doğrultu birbirine dik olduğundan, momentum değişiminin büyüklüğü Pisagor bağıntısı (

I = \sqrt{p_i^2 + p_f^2}

) kullanılarak

\sqrt{100 + 576} = 26\text{ N}\cdot\text{s}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

İlk momentumun büyüklüğünü ve yönünü hesaplama

p_i = 10\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(Doğu)

İtme hesabı için ilk çizgisel momentumun vektörel değeri gereklidir.

2

Son momentumun büyüklüğünü ve yönünü hesaplama

p_f = 24\text{ kg}\cdot\text{m/s}

(Kuzey)

İtme hesabı için son çizgisel momentumun vektörel değeri gereklidir.

3

Momentum değişimini vektörel olarak ç��karma

\vec{I} = \vec{p}_f - \vec{p}_i

İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir.

4

Dik bileşenlerin bileşke büyüklüğünü Pisagor bağıntısı ile hesaplama

I = 26\text{ N}\cdot\text{s}

Doğu ve Kuzey yönleri birbirine dik olduğu için bileşke momentum değişimi Pisagor teoremi ile bulunur.

Anahtar Kavram

İtme (impulse) ve çizgisel momentum değişimi arasındaki vektörel ilişki.

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar