Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 441Soru →

f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun [1,5][1, 5] kapal�� aralığı, her birinin uzunluğu eşit olan 44 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre ff fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki Riemann alt toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Riemann alt toplamı 50 olarak bulunur.
Fonksiyon artan olduğu için her alt aralıktaki en küçük değer sol uç noktalarda alınır. Bu noktaların fonksiyon altındaki görüntüleri ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamı olan 50 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini hesaplama
Genişlik (\Delta x) = 1
[1, 5] aralığı 4 eşit parçaya bölündüğü için aralık genişliği \Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1 olur.
2
Alt aralıkları belirleme
Aralıklar: [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]
Başlangıç noktası 1 olup, her adımda aralık genişliği kadar (1 birim) ilerlenerek alt aralıklar oluşturulur.
3
Her alt aralıktaki en küçük fonksiyon değerlerini bulma
f(1) = 3, f(2) = 8, f(3) = 15, f(4) = 24
f(x) = x^2 + 2x fonksiyonunun türevi f'(x) = 2x + 2 olup, [1, 5] aralığında pozitiftir. Fonksiyon artan olduğu için her alt aralıktaki en küçük değer sol uç noktalarda gerçekleşir.
4
Riemann alt toplamını hesaplama
Alt Toplam = 50
Her alt aralıktaki en küçük değer ile aralık genişliği ��arpılıp toplanır: Alt Toplam = 1 \cdot f(1) + 1 \cdot f(2) + 1 \cdot f(3) + 1 \cdot f(4) = 3 + 8 + 15 + 24 = 50.

Anahtar Kavram

Riemann Alt Toplamı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 442Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
g(x)=(x2−x+2)⋅f(x)g(x) = (x^2 - x + 2) \cdot f(x)
h(x)=f(x)x2−x+2h(x) = \frac{f(x)}{x^2 - x + 2}
fonksiyonları tanımlanıyor.
g′(1)=8g'(1) = 8
h′(1)=1h'(1) = 1

olduğuna göre, k(x)=f(x)⋅(x3+f(x))k(x) = f(x) \cdot (x^3 + f(x)) fonksiyonu için k′(1)k'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

k'(1) değeri 21'dir.
g(x) ve h(x) fonksiyonlarının türevleri sırasıyla çarpım ve bölüm kuralları uygulanarak alınır. Elde edilen g'(1) = f(1) + 2f'(1) = 8 ve h'(1) = (2f'(1) - f(1))/4 = 1 denklemlerinden f(1) = 2 ve f'(1) = 3 değerlerine ulaşılır. Sonrasında k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) fonksiyonunun türevi çarpım kuralı ile alınarak k'(1) = f'(1)(1 + f(1)) + f(1)(3 + f'(1)) = 3(3) + 2(6) = 21 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x) fonksiyonunun türevini çarpım kuralı ile alıp x = 1 yazarak ilk denklemi oluşturun.
f(1) + 2f'(1) = 8
Çarpım kuralına göre g'(x) = (2x - 1)f(x) + (x^2 - x + 2)f'(x) olur.
2
h(x) fonksiyonunun türevini bölüm kuralı ile alıp x = 1 yazarak ikinci denklemi oluşturun.
2f'(1) - f(1) = 4
Bölüm kuralına göre h'(x) = [f'(x)(x^2 - x + 2) - f(x)(2x - 1)] / (x^2 - x + 2)^2 olur.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek f(1) ve f'(1) değerlerini hesaplayın.
f(1) = 2 ve f'(1) = 3
Denklemleri taraf tarafa topladığımızda 4f'(1) = 12 elde edilir.
4
k(x) = f(x) * (x^3 + f(x)) ifadesinin türevini çarpım kuralı ile hesaplayıp x = 1 yazın.
k'(1) = 21
k'(x) = f'(x)(x^3 + f(x)) + f(x)(3x^2 + f'(x)) türevinde f(1) ve f'(1) değerlerini yerine koyarız.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları (çarpım ve bölüm kuralları)
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 443Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve çift bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(2−x)=f(x)f(2 - x) = f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3
olduğuna göre,
∫210(x−2)f(x) dx+∫08xf(x+2) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx + \int_{0}^{8} x f(x + 2) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192

Cevap

İstenen toplamın değeri 192'dir.
Verilen çiftlik ve simetri özellikleri fonksiyonun periyodunun 2 olduğunu gösterir. Bu periyodiklik ve integralde sınır öteleme/değişken değiştirme özellikleri kullanılarak, istenen ifade 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx biçimine indirgenir. Bu integral de periyot uzunluğu olan 2 birimlik aralıklara bölünerek ve her aralıkta değişken değiştirme yapılarak hesaplandığında toplam alan 96 bulunur ve 2 katı alınarak 192 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun periyodikliğini belirleme
f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) eşitliği elde edilir, yani fonksiyonun periyodu 2'dir.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliğinde xx yerine −x-x yazılırsa f(2+x)=f(−x)f(2+x) = f(-x) elde edilir. ff çift fonksiyon olduğundan f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olup, f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) bulunur.
2
∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx değerini hesaplama
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 olarak bulunur.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetrisinden dolayı [0,2][0, 2] aralığı x=1x=1 doğrusuna göre simetriktir. Bu yüzden ∫01f(x) dx=∫12f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 olur. Toplam integral değeri 3+3=63 + 3 = 6 bulunur.
3
Birinci integralde değişken değiştirme yapma
∫210(x−2)f(x) dx=∫08uf(u+2) du=∫08xf(x) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx = \int_{0}^{8} u f(u+2) \, du = \int_{0}^{8} x f(x) \, dx elde edilir.
u=x−2u = x - 2 dönüşümü yapılırsa dx=dudx = du olur. Alt sınır x=2x=2 için u=0u=0, üst sınır x=10x=10 için u=8u=8 olur. f(u+2)=f(u)f(u+2) = f(u) periyodikliği kullanılarak integral basitleştirilir.
4
İki integrali birleştirme
İstenen toplam 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx ifadesine eşit olur.
İkinci integral ∫08xf(x+2) dx\int_{0}^{8} x f(x+2) \, dx olup f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) olduğundan ∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx şeklindedir. İki integral aynı olduğundan katsayıları toplanır.
5
∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx integralini periyotlara bölme
∫08xf(x) dx=∑k=03(6+12k)\int_{0}^{8} x f(x) \, dx = \sum_{k=0}^{3} (6 + 12k) elde edilir.
[0,8][0, 8] aralığı [2k,2k+2][2k, 2k+2] şeklinde 4 periyoda bölünür. Her bir aralıkta x=t+2kx = t + 2k dönüşümü yapılırsa ∫2k2k+2xf(x) dx=∫02tf(t) dt+2k∫02f(t) dt\int_{2k}^{2k+2} x f(x) \, dx = \int_{0}^{2} t f(t) \, dt + 2k \int_{0}^{2} f(t) \, dt elde edilir. ∫02tf(t) dt\int_{0}^{2} t f(t) \, dt integralinde t=2−wt = 2 - w dönüşümü ile bu integralin ∫02f(t) dt=6\int_{0}^{2} f(t) \, dt = 6 değerine eşit olduğu görülür. Buradan her bir periyottaki integral 6+12k6 + 12k olur.
6
Toplamı hesaplama ve nihai sonucu bulma
Toplam integral değeri 96, nihai yanıt ise 192 olarak bulunur.
k=0,1,2,3k=0, 1, 2, 3 değerleri için toplam 6+18+30+42=966 + 18 + 30 + 42 = 96 olur. İstenen değer bu integralin 2 katı olduğundan 2×96=1922 \times 96 = 192 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin periyodiklik, simetri ve değişken değiştirme özellikleri
Soru 444Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=3x2y = 3x^2 parabolü ile y=3y = 3 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Sınırlı bölgenin alanı 4 birimkaredir.
Verilen parabol ile doğrunun kesişim noktaları x=−1x = -1 ve x=1x = 1 olarak bulunur. [−1,1][-1, 1] aralığında doğru (y=3y = 3) parabolün (y=3x2y = 3x^2) üstünde kaldığından, aradaki alan ∫−11(3−3x2) dx\int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx integrali ile hesaplanır. Bu integralin değeri 44 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
y=3x2y = 3x^2 parabolü ile y=3y = 3 doğrusunun kesişim noktalarını bulun.
3x2=3  ⟹  x2=1  ⟹  x=−13x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 ve x=1x = 1.
Kesişim noktaları integralin alt ve üst sınırlarını belirler.
2
Üstteki eğri olan y=3y = 3 doğrusundan alttaki eğri olan y=3x2y = 3x^2 parabolünü çıkararak alanı veren integral ifadesini yazın.
Alan=∫−11(3−3x2) dxAlan = \int_{-1}^{1} (3 - 3x^2) \, dx
İki eğri arasındaki alan, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak hesaplanır.
3
İntegrali hesaplayıp sınır değerlerini yerine yazın.
Alan=[3x−x3]−11=(3(1)−13)−(3(−1)−(−1)3)=2−(−2)=4Alan = \left[ 3x - x^3 \right]_{-1}^{1} = (3(1) - 1^3) - (3(-1) - (-1)^3) = 2 - (-2) = 4.
Belirli integralin değerini hesaplayarak alanı bulmak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 445Soru →

ff ve gg fonksiyonları, tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilir iki fonksiyondur.

f(2)=2f(2) = 2
f′(2)=1f'(2) = 1
g(2)=1g(2) = 1
g′(2)=2g'(2) = 2

olduğuna göre,

h(x)=f(x)⋅g(x)−x2f(x)+g(x)h(x) = \frac{f(x) \cdot g(x) - x^2}{f(x) + g(x)}

biçiminde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

h'(2) değeri 1'dir.
Bölüm ve çarpım kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerlerine yazıldığında, payın türevi 1, payda değeri 3, pay değeri -2 ve paydanın türevi 3 olarak bulunur. Bu değerlerin formülde yerine yazılmasıyla h′(2)h'(2) değeri 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bölüm türevi kuralının uygulanması
h′(x)=[f(x)⋅g(x)−x2]′⋅(f(x)+g(x))−(f(x)⋅g(x)−x2)⋅[f(x)+g(x)]′(f(x)+g(x))2h'(x) = \frac{[f(x) \cdot g(x) - x^2]' \cdot (f(x) + g(x)) - (f(x) \cdot g(x) - x^2) \cdot [f(x) + g(x)]'}{(f(x) + g(x))^2}
Bölüm biçimindeki bir ifadenin türevini almak için payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi kuralı uygulanır.
2
Çarpım türevi ve kuvvet kuralı yardımıyla pay ve paydanın türevlerinin bulunması
[f(x)⋅g(x)−x2]′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)−2x[f(x) \cdot g(x) - x^2]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) - 2x ve [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
Toplama, çıkarma ve çarpım durumundaki ifadelerin türevini almak için temel türev alma kuralları uygulanır.
3
x = 2 noktası için türev de��erlerinin hesaplanması
Payın türevinin değeri: 1⋅1+2⋅2−2(2)=11 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 2(2) = 1.
Paydanın türevinin değeri: 1+2=31 + 2 = 3.
Verilen f(2)f(2), f′(2)f'(2), g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerleri türev ifadelerinde yerine yazılır.
4
Elde edilen değerlerin bölüm türevi formülünde yerine yazılarak h'(2) değerinin bulunması
h′(2)=1⋅3−(2⋅1−22)⋅332=3−(−2)⋅39=99=1h'(2) = \frac{1 \cdot 3 - (2 \cdot 1 - 2^2) \cdot 3}{3^2} = \frac{3 - (-2) \cdot 3}{9} = \frac{9}{9} = 1
Bulunan tüm bileşenler bir araya getirilerek işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bölüm ve çarpım kuralları yardımıyla türev alma
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 446Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 parabolüne dışındaki P(0,−1)P(0, -1) noktasından çizilen teğet doğrularının parabole değme noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre; köşeleri PP, AA ve BB noktaları olan PABPAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan PABPAB üçgeninin alanı 16 birimkaredir.
Parabolün dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin değme noktaları, teğet doğrusu denkleminin P(0,−1)P(0, -1) noktasını sağlaması koşuluyla belirlenir. Bu koşuldan elde edilen A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları ile P(0,−1)P(0, -1) noktasının oluşturduğu üçgenin alanı koordinat geometrisi kurallarıyla hesaplandığında 1616 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet noktasındaki eğim ifadesini belirlemek.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan, T(x0,y0)T(x_0, y_0) noktasındaki teğet eğimi m=2x0−2m = 2x_0 - 2 olarak bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazmak ve dışarıdaki P(0,−1)P(0, -1) noktasını bu denklemde yerine koyarak değme noktalarının apsislerini bulmak.
x02=4x_0^2 = 4 denklemi elde edilir ve buradan x0=2x_0 = 2 veya x0=−2x_0 = -2 bulunur.
Teğet doğrusu P(0,−1)P(0, -1) noktasından geçti��i için bu noktanın koordinatları teğet denklemini sağlamalıdır.
3
Bulunan apsis değerlerini parabol denkleminde yerine yazarak değme noktaları olan AA ve BB noktalarının koordinatlarını belirlemek.
A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) noktaları elde edilir.
Değme noktaları parabolün üzerinde yer aldığı için parabol denklemini sağlar.
4
Köşeleri P(0,−1)P(0, -1), A(2,3)A(2, 3) ve B(−2,11)B(-2, 11) olan üçgenin alanını hesaplamak.
Alan 1616 birimkare olarak bulunur.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanı determinant yöntemi veya taban ve yükseklik hesaplanarak bulunabilir.

Anahtar Kavram

Türevin Geometrik Yorumu (Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetler)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 447Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2y = x^2 parabolü üzerindeki bir P(a,a2)P(a, a^2) noktasından çizilen teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta TT, normal doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta ise NN olarak adlandırılıyor.

PP noktası koordinat düzleminin birinci bölgesinde yer almaktadır.

TT ve NN noktaları arasındaki uzaklık 172\frac{17}{2} birim olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabol üzerindeki birinci bölgede bulunan noktanın apsisi 2'dir.
Doğru cevap 2'dir. y=x2y = x^2 parabolünün türevi y′=2xy' = 2x olduğundan teğet eğimi 2a2a, normal eğimi ise −12a-\frac{1}{2a} olur. Bu doğruların denkleminden yy-kesenleri sırasıyla T(0,−a2)T(0, -a^2) ve N(0,a2+12)N(0, a^2 + \frac{1}{2}) bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık 2a2+12=172  ⟹  2a2=8  ⟹  a2=42a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 elde edilir. Birinci bölgede a>0a > 0 olduğu için a=2a = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün türevini alarak teğet doğrusunun eğimini belirleyiniz.
y′=2x  ⟹  mt=2ay' = 2x \implies m_t = 2a
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
2
Teğet doğrusunun denklemini yazıp yy-eksenini kestiği TT noktasının koordinatlarını bulunuz.
y−a2=2a(x−a)  ⟹  y=2ax−a2  ⟹  T(0,−a2)y - a^2 = 2a(x - a) \implies y = 2ax - a^2 \implies T(0, -a^2)
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemi elde edilir. Doğrunun yy-eksenini kestiği noktayı bulmak için x=0x = 0 yazılır.
3
Normal doğrusunun eğimini ve denklemini bulup yy-eksenini kestiği NN noktasının koordinatlarını hesaplayınız.
mn=−12a  ⟹  y−a2=−12a(x−a)  ⟹  N(0,a2+12)m_n = -\frac{1}{2a} \implies y - a^2 = -\frac{1}{2a}(x - a) \implies N\left(0, a^2 + \frac{1}{2}\right)
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir. Buradan normal doğrusunun eğimi bulunarak denklem yazılır ve x=0x = 0 için yy-keseni belirlenir.
4
TT ve NN noktaları arasındaki uzaklığı veren denklemi kurarak aa değerini bulunuz.
∣yN−yT∣=2a2+12=172  ⟹  2a2=8  ⟹  a2=4  ⟹  a=2|y_N - y_T| = 2a^2 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2} \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = 2
yy-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir. PP noktası birinci bölgede yer aldığından a>0a > 0 olmalıdır, bu yüzden pozitif kök seçilir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu yardımıyla teğet ve normal doğrularının denklemlerinin yazılması ve bu doğruların eksenleri kestiği noktaların bulunması.
Soru 448Soru →
lim⁡x→−1x2+3+2xx3+1\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x^2 + 3} + 2x}{x^3 + 1}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Limitin değeri 1/2 (veya 0,5) olarak bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra fonksiyona doğrudan limit değeri yazıldığında pay kısmı 66, payda kısmı ise 1212 değerini alır. Bu iki değerin oranı bize limit değerini 1/21/2 olarak verir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktasını (x=−1x = -1) pay ve paydada yerine yazarak belirsizliği kontrol edin.
Pay: (−1)2+3+2(−1)=2−2=0\sqrt{(-1)^2 + 3} + 2(-1) = 2 - 2 = 0, Payda: (−1)3+1=0(-1)^3 + 1 = 0 olduğundan 0/00/0 belirsizliği vardır.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik durumunun varlığını doğrulamak gerekir.
2
Payı köklü ifadeden kurtarmak için limit ifadesinin pay ve paydasını payın eşleniği olan x2+3−2x\sqrt{x^2 + 3} - 2x ile çarpın.
(x2+3+2x)(x2+3−2x)(x3+1)(x2+3−2x)=(x2+3)−4x2(x3+1)(x2+3−2x)=3−3x2(x3+1)(x2+3−2x)\frac{(\sqrt{x^2 + 3} + 2x)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \frac{(x^2 + 3) - 4x^2}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \frac{3 - 3x^2}{(x^3 + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}
Köklü ifadelerde 0/00/0 belirsizliğini gidermek için genellikle eşlenik çarpımı yapılarak fark çarpanı oluşturulur.
3
Paydaki 3−3x23 - 3x^2 ifadesini ve paydadaki x3+1x^3 + 1 ifadesini çarpanlarına ayırın, ardından ortak olan x+1x + 1 terimlerini sadeleştirin.
Pay: 3(1−x2)=3(1−x)(1+x)3(1 - x^2) = 3(1 - x)(1 + x), Payda: x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) olduğundan limit ifadesi şuna dönüşür:
lim⁡x→−13(1−x)(1+x)(x+1)(x2−x+1)(x2+3−2x)=lim⁡x→−13(1−x)(x2−x+1)(x2+3−2x)\lim_{x \to -1} \frac{3(1 - x)(1 + x)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)} = \lim_{x \to -1} \frac{3(1 - x)}{(x^2 - x + 1)(\sqrt{x^2 + 3} - 2x)}
x→−1x \to -1 iken sıfır değerini alan ve belirsizliğe yol açan x+1x + 1 çarpanlarını yok etmek gerekir.
4
Sadeleşmiş ifadede xx yerine −1-1 yazarak limiti hesaplayın.
3(1−(−1))((−1)2−(−1)+1)((−1)2+3−2(−1))=3(2)(1+1+1)(4+2)=63×4=612=12\frac{3(1 - (-1))}{((-1)^2 - (-1) + 1)(\sqrt{(-1)^2 + 3} - 2(-1))} = \frac{3(2)}{(1 + 1 + 1)(\sqrt{4} + 2)} = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, yani 0.50.5 elde edilir.
Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle bulunur.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği içeren köklü ve rasyonel ifadelerde eşlenik çarpımı ve çarpanlara ayırma teknikleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.

Alternatif Yöntem

L'Hospital kuralı kullanılarak payın ve paydanın türevi ayrı ayrı alınabilir. Payın türevi: ddx(x2+3+2x)=xx2+3+2\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+3} + 2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} + 2, Paydanın türevi: ddx(x3+1)=3x2\frac{d}{dx}(x^3+1) = 3x^2 olur. x→−1x \to -1 için payın türevi −12+2=32\frac{-1}{2} + 2 = \frac{3}{2} ve paydanın türevi 3(−1)2=33(-1)^2 = 3 olur. Oranlandığında 3/23=12\frac{3/2}{3} = \frac{1}{2} elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 449Soru →

Doğrusal bir kıyı şeridine sahip bir denizde, kıyıdan 4 km4\text{ km} açıkta bulunan bir AA noktasındaki yüzücü, kıyı üzerinde yer alan ve kendisine en yakın kıyı noktasına 12 km12\text{ km} uzaklıktaki bir BB noktasına ulaşmak istemektedir. Yüzücünün sudaki hızı saatte 3 km3\text{ km}, kıyıdaki yürüyüş hızı ise saatte 5 km5\text{ km}'dir. Buna göre, yüzücünün BB noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe kaç km\text{km} olmalıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Yüzücünün kıyıya çıktıktan sonra karada yürümesi gereken mesafe 9 km'dir.
Yüzücünün A noktasından C noktasına yüzme süresi ile C noktasından B noktasına yürüme süresinin toplamını veren fonksiyon T(x)=x2+163+12−x5T(x) = \frac{\sqrt{x^2+16}}{3} + \frac{12-x}{5} şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde x=3x = 3 elde edilir. Yüzücünün karada yürümesi gereken mesafe ise 12−x=912 - x = 9 km olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yüzücünün kıyıya ulaştığı noktan��n en yakın kıyı noktasına olan uzaklığını xx olarak değişken tanımlayarak yolların uzunluklarını ifade etmek.
Denizde kat edilen mesafe AC=x2+16AC = \sqrt{x^2 + 16} km, karada kat edilen mesafe CB=12−xCB = 12 - x km'dir.
Yüzücünün toplam süresini tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazabilmek için.
2
Zaman = Yol / Hız formülünü kullanarak toplam süreyi veren T(x)T(x) fonksiyonunu oluşturmak.
T(x)=x2+163+12−x5T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 16}}{3} + \frac{12 - x}{5} saat.
Minimize etmek istediğimiz toplam süreyi matematiksel olarak modellemek.
3
Oluşturulan T(x)T(x) fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulmak.
T′(x)=x3x2+16−15=0  ⟹  5x=3x2+16  ⟹  x=3T'(x) = \frac{x}{3\sqrt{x^2+16}} - \frac{1}{5} = 0 \implies 5x = 3\sqrt{x^2+16} \implies x = 3 km.
Fonksiyonun yerel minimum noktasını türev yardımıyla tespit etmek.
4
Bulunan x=3x = 3 değerini kullanarak yüzücünün karada yürümesi gereken mesafeyi (12−x12 - x) hesaplamak.
12−3=912 - 3 = 9 km.
Soruda bizden yüzücünün kıyıya çıktığı noktadan itibaren karada yürümesi gereken mesafe istendiği için.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla maksimum ve minimum (optimizasyon) problemlerinin çözümü
Soru 450Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−3x2+5x−2f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2
eğrisinin A(1,f(1))A(1, f(1)) noktasındaki teğet doğrusu,
g(x)=−x2+bx−5g(x) = -x^2 + bx - 5
parabolüne BB noktasında teğettir.

Buna göre, b>0b > 0 olmak üzere, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklığın karesi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

A(1, 1) ve B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi 5'tir.
f(x) eğrisine x = 1 noktasında teğet olan doğru y = 2x - 1 doğrusudur. Bu doğrunun g(x) = -x^2 + bx - 5 parabolüne teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen b = 6 (b > 0 şartıyla) değeri için teğet noktası B(2, 3) olarak bulunur. A(1, 1) ile B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklığın karesi ise 5 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
A noktasının koordinatlarının belirlenmesi
A(1, 1)
Teğet doğrusunun değme noktasının y-koordinatını bulmak için f(1) hesaplanır.
2
Teğet doğrusunun eğiminin bulunması
m = 2
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki birinci türevi, o noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.
3
Teğet doğrusunun denkleminin kurulması
y = 2x - 1
Eğimi 2 olan ve A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi yazılır.
4
g(x) parabolü ile doğrunun teğetlik durumunun incelenmesi
b = 6
Doğru ile parabolün ortak çözüm denkleminin çift katlı kökü olmalıdır, bu yüzden diskriminant sıfıra eşitlenir. Pozitif b değeri seçilir.
5
Teğet noktası B'nin koordinatlarının bulunması
B(2, 3)
Ortak çözüm denkleminin kökü olan x = 2 değeri teğet doğrusunda yerine yazılarak y-koordinatı belirlenir.
6
Noktalar arasındaki uzaklığın karesinin hesaplanması
5
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak |AB|^2 değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ise ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.

Alternatif Yöntem

Teğet noktası B(x₀, y₀) noktasındaki türev yardımıyla da çözülebilir. g'(x) = -2x + b olup B noktasındaki teğet eğimi 2 olmalıdır. Buradan -2x₀ + b = 2 ve b = 2x₀ + 2 yazılır. B noktası hem parabolün hem de y = 2x - 1 doğrusunun üzerinde olduğundan, -x₀² + (2x₀ + 2)x₀ - 5 = 2x₀ - 1 denklemi elde edilir. Düzenlendiğinde x₀² = 4 bulunur. b > 0 olması için b = 2x₀ + 2 ifadesinden x₀ = 2 olmalıdır. Buradan B(2, 3) noktasına doğrudan ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 451Soru →
Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3x2−6x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 5 eğrisine çizilen ve y=3x+1y = 3x + 1 doğrusuna paralel olan teğet doğrularının yy-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Teğet doğrularının y-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 32 birimdir.
Teğet doğrularının eğimi, paralel oldukları y = 3x + 1 doğrusunun eğimi olan 3'tür. f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 3 denklemi çözüldüğünde teğet noktalarının apsisleri x = 3 ve x = -1 bulunur. Bu noktalardaki ordinatlar f(3) = -13 ve f(-1) = 7 olur. Bu noktalardan çizilen y = 3x + n formundaki teğetlerin y-kesenleri sırasıyla n = -22 ve n = 10 olarak bulunur. Bu iki y-keseni arasındaki uzaklık |10 - (-22)| = 32 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Paralel doğrunun eğimini belirleme
Teğet doğrularının eğimi m = 3'tür.
Teğet doğruları y = 3x + 1 doğrusuna paralel olduğundan eğimleri bu doğrunun eğimine eşittir.
2
Teğet noktalarının apsislerini bulma
Apsisler x = 3 ve x = -1 olarak bulunur.
Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. f'(x) = 3 denklemi çözülür.
3
Teğet noktalarının ordinatlarını hesaplama
Noktalar (3, -13) ve (-1, 7) olarak elde edilir.
Apsis değerleri f(x) fonksiyonunda yerine yazılarak ordinat değerleri bulunur.
4
Teğet doğrularının y-kesenlerini bulma
y-kesenleri -22 ve 10 olarak bulunur.
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülü kullanılarak teğet denklemleri yazılır ve x = 0 için y değerleri belirlenir.
5
y-kesenleri arasındaki uzaklığı hesaplama
Uzaklık 32 birimdir.
İki y-keseni arasındaki mutlak fark hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türevine eşittir. Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
Soru 452Soru →

(2x−y)5(2x - y)^5 ifadesinin açılımındaki x3y2x^3 y^2 teriminin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

İfadenin açılımındaki x3y2x^3 y^2 teriminin katsayısı 80'dir.
Genel terim formülü olan (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r ifadesinde n=5n=5, a=2xa=2x ve b=−yb=-y değerleri yerine konur. İstenen x3y2x^3 y^2 terimi için r=2r=2 olmalıdır. Buradan (52)(2x)3(−y)2=10⋅8x3⋅y2=80x3y2\binom{5}{2} (2x)^3 (-y)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot y^2 = 80 x^3 y^2 elde edilir. Dolayısıyla aranan katsayı 80 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülü kurulur.
(5r)(2x)5−r(−y)r\binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-y)^r
Binom açılımındaki terimleri bulmak amacıyla genel terim formülü oluşturulur.
2
İstenen terimin üslerine göre rr değeri belirlenir.
r=2r = 2
x3y2x^3 y^2 teriminde yy değişkeninin üssü 2 olduğu için genel formüldeki rr parametresi 2 olarak seçilir.
3
r=2r = 2 değeri formülde yerine yazılıp katsayı hesaplanır.
(52)(2)3(−1)2=10⋅8⋅1=80\binom{5}{2} (2)^3 (-1)^2 = 10 \cdot 8 \cdot 1 = 80
Seçilen rr değerine karşılık gelen katsayılar çarpılarak aranan terimin katsayısına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı Genel Terim Formülü
Soru 453Soru →

f(x)=4x2−2x+1f(x) = 4x^2 - 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı, eşit uzunlukta 3 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre ff fonksiyonunun Riemann orta toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 71

Cevap

Riemann orta toplamının değeri 71'dir.
Verilen f(x)=4x2−2x+1f(x) = 4x^2 - 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] aralığındaki 3 eşit alt aralığının orta noktaları olan 151{}5, 252{}5 ve 353{}5 noktalarındaki fonksiyon değerlerinin toplamı ile aralık genişliği olan 11 çarpıldığında doğru sonuç olan 71 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
[1, 4] aralığının 3 eşit alt aralığa bölüntüsündeki aralık genişliğini bulma
Δx=1\Delta x = 1
Her bir alt aralığın genişliği, aralığın toplam uzunluğunun alt aralık sayısına bölünmesiyle elde edilir.
2
Elde edilen alt aral��kların orta noktalarını belirleme
[1,2][1, 2] için c1=15c_1 = 1{}5, [2,3][2, 3] için c2=25c_2 = 2{}5, [3,4][3, 4] için c3=35c_3 = 3{}5
Riemann orta toplamı hesaplanırken, fonksiyonun her bir alt aralığın tam orta noktasındaki değeri kullanılır.
3
Orta noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(15)=7f(1{}5) = 7, f(25)=21f(2{}5) = 21, f(35)=43f(3{}5) = 43
Alt aralıkların orta noktaları fonksiyon kuralında yerine yazılarak Riemann dikdörtgenlerinin yükseklikleri bulunur.
4
Fonksiyon değerleri ile aralık genişliğini çarparak toplamı hesaplama
7171
Her bir dikdörtgenin alanı (yükseklik ile taban genişliğinin çarpımı) toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.

Anahtar Kavram

Riemann orta toplamı, tanımlı olduğu aralıkta alt aralıkların orta noktalarındaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamıdır.
Soru 454Soru →
f:[0,9]→Rf: [0, 9] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫−33(x3−5x+3)f(x2) dx=36\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x + 3) f(x^2) \, dx = 36
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫09f(x)x dx\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen integral ifadesi lineerlik özelliğiyle parçalandığında, ilk terim tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali olduğu için sıfır olur. İkinci terim ise çift fonksiyon simetrisinden dolayı [0,3][0,3] aralığındaki integralin iki katı olarak yazılıp integral değeri 6 olarak bulunur. İstenen integralde yapılan u=xu=\sqrt{x} değişken değiştirmesi sonucunda integralin sınırları [0,3][0,3] aralığına gelir ve integral 2∫03f(u2)du2 \int_{0}^{3} f(u^2) du biçimine dönüşerek 12 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusal özelliklerini kullanarak iki parçaya ayırma
∫−33(x3−5x)f(x2) dx+∫−333f(x2) dx=36\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx + \int_{-3}^{3} 3 f(x^2) \, dx = 36
Belirli integralin lineerlik özelliği gereği, parantez içindeki toplam ve fark durumundaki ifadeler ayrı ayrı integraller olarak yazılabilir.
2
Tek fonksiyon özelliğini kullanarak ilk integralin değerini belirleme
∫−33(x3−5x)f(x2) dx=0\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx = 0
h(x)=(x3−5x)f(x2)h(x) = (x^3 - 5x) f(x^2) fonksiyonunda h(−x)=−h(x)h(-x) = -h(x) sağlandığı için bu fonksiyon tektir. Simetrik [−a,a][-a, a] aralığında sürekli bir tek fonksiyonun belirli integrali her zaman sıfırdır.
3
Çift fonksiyon simetri özelliğini kullanarak ikinci integralin sınırlarını daraltma
∫03f(x2) dx=6\int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6
g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunda g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) olduğundan bu fonksiyon çifttir. Simetrik [−3,3][-3, 3] aralığında çift fonksiyonun integrali, [0,3][0, 3] aralığındaki integralinin iki katına eşittir. Buradan 3⋅[2∫03f(x2) dx]=36  ⟹  ∫03f(x2) dx=63 \cdot \left[ 2 \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx \right] = 36 \implies \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6 elde edilir.
4
Hesaplanması istenen integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) uygulama
∫09f(x)x dx=2∫03f(u2) du\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapıldığında x=u2x = u^2 ve diferansiyel dx=2u dudx = 2u \, du olur. Alt sınır x=0  ⟹  u=0x=0 \implies u=0 ve üst sınır x=9  ⟹  u=3x=9 \implies u=3 olarak güncellenir. Değerler yerine yazıldığında integral 2∫03f(u2) du2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du halini alır.
5
Elde edilen integral değerini yerine koyarak sonucu bulma
12
2∫03f(u2) du=2⋅6=122 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du = 2 \cdot 6 = 12

Anahtar Kavram

Belirli integralde tek-çift fonksiyon simetrisi ve değişken değiştirme yardımıyla sınırların güncellenmesi.
Soru 455Soru →

Bir okulun basketbol takımında bulunan 66 sporcu arasından 44 kişilik bir grup seçilecektir. Bu sporcular arasında yer alan takım kaptanı Can'ın seçilecek grupta kesinlikle bulunması gerektiğine göre, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Seçilecek grupta takım kaptanı Can kesinlikle bulunacağından, geriye kalan 5 sporcu arasından 3 sporcu seçilmelidir. Bu seçim (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde yapılır.
Grupta Can kesinlikle yer alacağı için geriye kalan 5 kişiden 3 kişinin seçilmesi gerekir. Bu da kombinasyon formülü ile hesaplandığında 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Grupta kesinlikle bulunacak olan takım kaptanı Can'ı gruba yerleştirmek.
Seçilmesi gereken sporcu sayısı 4−1=34 - 1 = 3 olur. Can dışındaki aday sayısı ise 6−1=56 - 1 = 5 olur.
Can zaten seçildiği için hem grup kontenjanı hem de aday sayısı 11 azalır.
2
Geriye kalan 55 aday arasından 33 kişiyi kombinasyon yöntemiyle seçmek.
Seçim sayısı (53)=10\binom{5}{3} = 10 olarak bulunur.
Sıralama önemli olmayıp sadece seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu kombinasyon (belirli elemanın bulunması durumu)
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 456Soru →

Dik koordinat düzleminde; y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=2−xy = 2 - x doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı AA birimkaredir.

Buna göre, 6A6A değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İstenen alanın 6 katı olan değer 5 olarak bulunur.
Verilen eğriler ve y ekseni arasındaki sınırlı bölgenin alanı integral yardımıyla 5/6 birimkare olarak hesaplanır. Bu alanın 6 katı alındığında sonuç 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasının belirlenmesi
x=1x = 1
y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=2−xy = 2 - x doğrusunun ortak çözümünden elde edilen x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 denkleminin x≤2x \le 2 koşulunu sağlayan kökü bulunur.
2
İntegral sınırlarının ve ifadesinin belirlenmesi
A=∫01(2−x−x) dxA = \int_{0}^{1} (2 - x - \sqrt{x}) \, dx
Bölge soldan yy ekseni (x=0x=0) ve sağdan kesişim noktası (x=1x=1) ile sınırlıdır. Bu aralıkta üstteki eğri y=2−xy = 2 - x, alttaki eğri ise y=xy = \sqrt{x} fonksiyonudur.
3
İntegralin hesaplanması ve alanın bulunması
A=56A = \frac{5}{6}
Belirli integralin ilkel fonksiyonu yardımıyla sınır değerleri yerine yazılarak alan değeri elde edilir.
4
6A6A değerinin hesaplanması
5
Bulunan alan değeri soru kökünde belirtilen katsayı olan 6 ile çarpılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Soru 457Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f(x)=x2−4x+kf(x) = x^2 - 4x + k fonksiyonunun grafiğine orijinden (başlangıç noktasından) çizilen teğet doğruları birbirine dik olduğuna göre, kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.25

Cevap

Teğet doğrularının birbirine dik olmasını sağlayan kk değeri 4,254,25 (veya 174\frac{17}{4}) olarak bulunur.
Orijinden çizilen teğet doğrularının değme noktaları A(x0,y0)A(x_0, y_0) olsun. Orijinden geçen doğruların denklemi y=mxy = mx formundadır. Bu doğrular parabol ile teğet olduğundan ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan elde edilen teğet eğimleri çarpımının −1-1 olması koşuluyla k=4,25k = 4,25 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet değme noktasını A(x0,f(x0))A(x_0, f(x_0)) olarak tanımlayın.
Değme noktası A(x0,x02−4x0+k)A(x_0, x_0^2 - 4x_0 + k) olur.
Teğet denklemini türev yardımıyla kurabilmek için değme noktasını değişken cinsinden yazmamız gerekir.
2
Türev alarak değme noktasındaki teğetin eğimini bulun ve teğet doğrusunun denklemini yazın.
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 olduğundan teğet doğrusu y−(x02−4x0+k)=(2x0−4)(x−x0)y - (x_0^2 - 4x_0 + k) = (2x_0 - 4)(x - x_0) şeklindedir.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
3
Teğet doğrusunun orijinden (0,0)(0,0) geçtiği bilgisini kullanarak değme noktalarının apsislerini belirleyin.
x02=kx_0^2 = k denklemi elde edilir, buradan x1=kx_1 = \sqrt{k} ve x2=−kx_2 = -\sqrt{k} bulunur.
Çizilen teğet doğruları orijinden geçtiği için orijin koordinatları teğet doğrusu denklemini sağlamalıdır.
4
Bulunan apsis değerlerini türevde yerine yazarak teğetlerin eğimlerini hesaplayın ve diklik koşulunu uygulayın.
m1⋅m2=−1  ⟹  (2k−4)(−2k−4)=−1  ⟹  4k−16=1  ⟹  k=4,25m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (2\sqrt{k} - 4)(-2\sqrt{k} - 4) = -1 \implies 4k - 16 = 1 \implies k = 4,25 elde edilir.
Birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Anahtar Kavram

Bir eğriye dışındaki bir noktadan çizilen teğetlerin denklemini bulma ve birbirine dik doğruların eğim ilişkisi
Soru 458Soru →
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=kx−3x2+2f(x) = \frac{kx - 3}{x^2 + 2}
kuralıyla tanımlanmıştır.
f′(1)=1f'(1) = 1
olduğuna göre, kk sabit sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k sabit sayısı 3'tür.
Fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralıyla f′(x)=k(x2+2)−2x(kx−3)(x2+2)2f'(x) = \frac{k(x^2 + 2) - 2x(kx - 3)}{(x^2 + 2)^2} olarak elde edilir. x=1x = 1 için türev değeri f′(1)=k+69f'(1) = \frac{k + 6}{9} olur. Soruda verilen f′(1)=1f'(1) = 1 bilgisi kullanıldığında k+69=1\frac{k + 6}{9} = 1 denklemi çözülerek k=3k = 3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=k(x2+2)−2x(kx−3)(x2+2)2f'(x) = \frac{k(x^2 + 2) - 2x(kx - 3)}{(x^2 + 2)^2}
f(x)=u(x)v(x)f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} biçimindeki bir bölümün türevi f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)(v(x))2f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} formülüyle hesaplanır.
2
x=1x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazınız.
f′(1)=k+69f'(1) = \frac{k + 6}{9}
Türev fonksiyonunda x=1x = 1 yazıldığında f′(1)=k(12+2)−2(1)(k(1)−3)(12+2)2=3k−2k+69=k+69f'(1) = \frac{k(1^2 + 2) - 2(1)(k(1) - 3)}{(1^2 + 2)^2} = \frac{3k - 2k + 6}{9} = \frac{k + 6}{9} elde edilir.
3
f′(1)=1f'(1) = 1 eşitliğini çözerek kk değerini bulunuz.
k=3k = 3
k+69=1\frac{k + 6}{9} = 1 ise k+6=9k + 6 = 9 olur. Buradan k=3k = 3 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bölümün Türev Kuralı
Soru 459Soru →

Dik koordinat düzleminde, A(1,−152)A\left(1, -\frac{15}{2}\right) noktasından f(x)=x2f(x) = x^2 parabolüne çizilen teğet doğrularının eğriye değme noktaları BB ve CC'dir.

Buna göre, bu parabolün BB ve CC noktalarındaki normal doğrularının kesim noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Normal doğrularının kesim noktasının ordinatı 12'dir.
Parabolün teğet noktalarındaki normal doğrularının kesişim noktasının ordinatı ortak çözümle y=t12+t1t2+t22+1/2y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + 1/2 olarak bulunur. Burada Vieta formülleri kullanılarak t1+t2=2t_1+t_2 = 2 ve t1t2=−15/2t_1 t_2 = -15/2 değerleri yerine yazıldığında ordinat 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini parametrik olarak ifade etme
Değme noktası T(t,t2)T(t, t^2) için teğet denklemi: y=2tx−t2y = 2tx - t^2
Fonksiyonun türevi olan f′(x)=2xf'(x) = 2x ifadesi teğetin eğimini verir.
2
Verilen noktanın teğet denklemini sağlaması koşulunu uygulama
2t2−4t−15=02t^2 - 4t - 15 = 0 denklemi ve kök ilişkileri: t1+t2=2t_1 + t_2 = 2, t1t2=−152t_1 t_2 = -\frac{15}{2}
Teğet doğrusu dışarıdaki A(1,−15/2)A(1, -15/2) noktasından geçmektedir.
3
Değme noktalarındaki normal doğrularının denklemlerini bulma
y=−12t1x+t12+12y = -\frac{1}{2t_1}x + t_1^2 + \frac{1}{2} ve y=−12t2x+t22+12y = -\frac{1}{2t_2}x + t_2^2 + \frac{1}{2}
Teğet ve normal doğruları birbirine diktir, dolayısıyla eğimleri çarpımı −1-1'dir.
4
Normal doğrularının kesişim noktasının koordinat ilişkisini bulma
Kesişim noktasının apsisi x=−2t1t2(t1+t2)x = -2t_1 t_2(t_1 + t_2) ve ordinatı y=t12+t1t2+t22+12y = t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 + \frac{1}{2}
İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklemleri ortak çözeriz.
5
Özdeşlikleri ve Vieta formüllerini kullanarak kesişim noktasının ordinatını hesaplama
y=12y = 12
t12+t1t2+t22=(t1+t2)2−t1t2t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - t_1 t_2 özdeşliğini ve elde edilen kök ilişkilerini yerine koyarak sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimiyle çarpıldığında -1 olur. Dışarıdaki bir noktadan çizilen teğetlerin kesim noktaları ve bu noktalardaki normallerin kesişim koordinatları Vieta formülleri (kök-katsayı ilişkileri) ile bulunabilir.
Soru 460Soru →
lim⁡x→4xx−8x−2x\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x} - 8}{x - 2\sqrt{x}}

limitinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Limit değeri 6 olarak bulunur.
Limit noktasında ortaya çıkan 0/00/0 belirsizliği, pay kısmındaki xx−8x\sqrt{x}-8 ifadesi (x)3−23(\sqrt{x})^3-2^3 şeklinde iki küp farkı olarak açılıp, paydadaki ifade de x\sqrt{x} parantezine alınarak sadeleştirildiğinde giderilmektedir. Kalan ifadenin limit değeri yerine koyma yöntemiyle 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktasını (x=4x = 4) ifadede yerine koyarak belirsizlik durumunu incelemek.
44−84−24=8−84−4=00\frac{4\sqrt{4} - 8}{4 - 2\sqrt{4}} = \frac{8 - 8}{4 - 4} = \frac{0}{0} belirsizliği elde edilir.
Limiti hesaplayabilmek için öncelikle belirsizliğin türünü belirlememiz gerekir.
2
Pay kısmındaki xx−8x\sqrt{x} - 8 ifadesini iki küp farkı özdeşliği (a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)) yardımıyla çarpanlarına ayırmak; payda kısmındaki x−2xx - 2\sqrt{x} ifadesini ise ortak çarpan parantezine almak.
Pay: xx−8=(x)3−23=(x−2)(x+2x+4)x\sqrt{x} - 8 = (\sqrt{x})^3 - 2^3 = (\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4) ve Payda: x−2x=x(x−2)x - 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Pay ve paydadaki belirsizliğe yol açan ortak (x−2)(\sqrt{x} - 2) çarpanını ortaya çıkarmak.
3
Belirsizliğe neden olan sıfır çarpanlarını sadeleştirmek ve ardından limiti doğrudan hesaplamak.
lim⁡x→4(x−2)(x+2x+4)x(x−2)=lim⁡x→4x+2x+4x=4+24+44=4+4+42=6\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(x + 2\sqrt{x} + 4)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x + 2\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = \frac{4 + 2\sqrt{4} + 4}{\sqrt{4}} = \frac{4 + 4 + 4}{2} = 6 elde edilir.
x→4x \to 4 iken x≠4x \neq 4 olduğundan x−2≠0\sqrt{x} - 2 \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir. Belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine koyma yöntemiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/00/0 belirsizliği durumunda, pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe neden olan ortak çarpanlar sadeleştirilir.

Alternatif Yöntem

Değişken değiştirme yöntemiyle de çözüm yapılabilir: x=t\sqrt{x} = t dönüşümü yapılırsa x=t2x = t^2 olur. x→4x \to 4 iken t→2t \to 2 olur. Limit ifadesi lim⁡t→2t3−8t2−2t\lim_{t \to 2} \frac{t^3 - 8}{t^2 - 2t} haline gelir. Bu ifade lim⁡t→2(t−2)(t2+2t+4)t(t−2)=lim⁡t→2t2+2t+4t=122=6\lim_{t \to 2} \frac{(t-2)(t^2+2t+4)}{t(t-2)} = \lim_{t \to 2} \frac{t^2+2t+4}{t} = \frac{12}{2} = 6 şeklinde çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 23 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin