Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 561Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S6=21⋅S2S_6 = 21 \cdot S_2

ve bu dizinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 olduğuna göre, dizinin ilk 55 teriminin toplamı (S5S_5) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 155

Cevap

Dizinin ilk 5 teriminin toplamı 155'tir.
Geometrik dizinin ilk nn terim toplamı formülü kullanılarak S6/S2S_6 / S_2 oranı sadeleştirilmiş, elde edilen r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0 denkleminden dizinin pozitif terimli olması şartıyla ortak çarpan r=2r = 2 olarak bulunmuştur. Daha sonra a1=5a_1 = 5 ve r=2r = 2 değerleri S5S_5 formülünde yerine yazılarak doğru sonuç olan 155 elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
S6S_6 ve S2S_2 toplamlarını geometrik dizi toplam formülüyle oranlama
S6S2=r4+r2+1\frac{S_6}{S_2} = r^4 + r^2 + 1
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1} formülünü uygulayarak ortak terimleri sadeleştirmek.
2
Verilen oranı kullanarak r2r^2 cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde etme
r4+r2−20=0r^4 + r^2 - 20 = 0
S6S2=21\frac{S_6}{S_2} = 21 eşitliğini denklemde yerine koymak.
3
Denklemi çözerek ortak çarpan rr'yi bulma
r=2r = 2
(r2−4)(r2+5)=0(r^2-4)(r^2+5)=0 çarpanlara ayırmasından r2=4r^2=4 ve pozitif terimli dizi şartından r=2r=2 elde edilir.
4
İlk terim a1=5a_1=5 ve r=2r=2 değerleriyle S5S_5 toplamını hesaplama
S5=155S_5 = 155
S5=a1⋅r5−1r−1S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5-1}{r-1} formülünü uygulamak.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve sadeleştirme yöntemleri
Soru 562Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar AA, BB ve CC olarak adlandırılıyor. AA noktası xx-ekseninin negatif kısmında, BB noktası ise xx-ekseninin pozitif kısmında yer almaktadır. AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları sırasıyla 22 birim ve 66 birimdir. Parabolün yy-eksenini kestiği CC noktasının koordinatları toplamı −12-12 olduğuna göre, parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -16

Cevap

Parabolün tepe noktasının ordinatı -16'dır.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar A(-2, 0) ve B(6, 0), y-eksenini kestiği nokta C(0, -12) olarak belirlendikten sonra denklem f(x) = (x+2)(x-6) olarak elde edilir. Bu denklemin tepe noktasının apsisi r = 2 olup, fonksiyonda yerine yazıldığında ordinat değeri k = -16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B noktalarının koordinatlarını belirleme
A(−2,0)A(-2, 0) ve B(6,0)B(6, 0)
AA noktası negatif, BB noktası pozitif xx-ekseninde yer almakta ve orijine uzaklıkları sırasıyla 22 ve 66 birim olarak verilmiştir.
2
C noktasının koordinatlarını belirleme
C(0,−12)C(0, -12)
CC noktası yy-ekseni üzerinde olduğundan apsisi sıfırdır. Koordinatları toplamı −12-12 olduğuna göre ordinatı −12-12 olmalıdır.
3
Parabolün genel denklemini yazma ve başkatsayıyı bulma
f(x)=x2−4x−12f(x) = x^2 - 4x - 12
Eksenleri kestiği noktalar bilinen parabolün genel denklemi f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) şeklindedir. x1=−2x_1 = -2 ve x2=6x_2 = 6 değerleri için f(x)=a(x+2)(x−6)f(x) = a(x+2)(x-6) elde edilir. C(0,−12)C(0, -12) noktasından geçtiği için f(0)=a(2)(−6)=−12⇒a=1f(0) = a(2)(-6) = -12 ⇒ a = 1 olur.
4
Tepe noktasının koordinatlarını hesaplama
Tepe noktasının ordinatı k=−16k = -16
Parabolün tepe noktasının apsisi köklerin ortalama değeridir: r=−2+62=2r = \frac{-2 + 6}{2} = 2. Ordinatı ise k=f(r)=f(2)=22−4(2)−12=−16k = f(r) = f(2) = 2^2 - 4(2) - 12 = -16 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün eksenleri kestiği noktalardan yararlanılarak denkleminin yazılması ve tepe noktasının bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 563Soru →
Bir cismin havaya fırlatıldıktan tt saniye sonra yerden yüksekliği metre cinsinden
h(t)=−t2+10t−9h(t) = -t^2 + 10t - 9
fonksiyonu ile modellenmektedir.
Buna göre, bu cismin yerden yüksekliğinin en az 1212 metre olduğu süre kaç saniyedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Cismin yerden yüksekliğinin en az 1212 metre olduğu süre 44 saniyedir.
Cismin yüksekliğini veren −t2+10t−9-t^2 + 10t - 9 ifadesinin 1212 metreden büyük ya da eşit olduğu zaman dilimi, ikinci dereceden t2−10t+21≤0t^2 - 10t + 21 \leq 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [3,7][3, 7] kapalı aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu 7−3=47 - 3 = 4 saniyedir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu belirten eşitsizliğin yazılması
−t2+10t−9≥12-t^2 + 10t - 9 \geq 12
Cismin yüksekliğinin en az 1212 metre olması istendiği için yükseklik fonksiyonu 1212'ye büyük veya eşit olmalıdır.
2
Eşitsizliğin sıfırla karşılaştırılacak biçimde düzenlenmesi
t2−10t+21≤0t^2 - 10t + 21 \leq 0
İkinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesini yapabilmek için ifadenin bir tarafı sıfır yapılmalıdır.
3
Köklerin bulunması ve çarpanlara ayırma
(t−3)(t−7)≤0  ⟹  t1=3, t2=7(t-3)(t-7) \leq 0 \implies t_1 = 3,\, t_2 = 7
Eşitsizlik tablosunda yer alacak sınır değerlerini bulmak amacıyla ifadenin kökleri hesaplanır.
4
İşaret tablosunun oluşturulması ve çözüm aralığının belirlenmesi
t∈[3,7]t \in [3, 7]
Başkatsayı pozitif olduğundan en sağdan '+' ile başlanır, köklerde işaret değiştirilerek '-' bölge taranır.
5
Geçen sürenin hesaplanması
7−3=47 - 3 = 4 saniye
Cismin [3,7][3, 7] saniye aralığında bu koşulu sağladığı görülür ve bu aralığın uzunluğu hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin sınır değerler analizi ve işaret tablosu yardımıyla çözümü.
Soru 564Soru →

Ortak çarpanı 11’den farklı olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Her n≥1n \ge 1 için
Sn+2−4Sn+1+3Sn=0S_{n+2} - 4S_{n+1} + 3S_n = 0

eşitliği sağlanmaktadır.

Bu dizinin üçüncü terimi a3=36a_3 = 36 olduğuna göre, dizinin ilk 44 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 160

Cevap

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı olan S4S_4 değeri 160'tır.
Verilen yinelemeli bağıntıda geometrik dizinin ilk nn terim toplam formülü yerine yazıldığında, ortak çarpan rr değerini belirleyen r2−4r+3=0r^2 - 4r + 3 = 0 denklemi elde edilir. r≠1r \neq 1 olduğu için r=3r = 3 bulunur. Ardından a3=36a_3 = 36 bilgisi kullanılarak ilk terim a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır. Son adımda S4S_4 formülüyle dizinin ilk 44 teriminin toplamı 160 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplam formülünü tanımlama
Sn=C(rn−1)S_n = C(r^n - 1) (burada C=a1r−1C = \frac{a_1}{r-1})
Verilen denklemde terim toplamlarını ortak çarpan cinsinden ifade etmek için
2
Formülü verilen yinelemeli bağıntıda yerine yazarak sadeleştirme yapma
C⋅rn(r2−4r+3)=0C \cdot r^n (r^2 - 4r + 3) = 0
Ortak çarpan rr değerini belirleyecek olan denklemi elde etmek için
3
Elde edilen denklemi çözerek ortak çarpanı bulma
r=3r = 3
r≠1r \neq 1 ve r≠0r \neq 0 koşullarını değerlendirerek doğru ortak çarpanı seçmek için
4
Verilen a3a_3 terimini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulma
a1=4a_1 = 4
Dizinin terimlerinin değerini belirlemek için
5
İlk 4 terim toplamı S4S_4'ü hesaplama
160
İstenen toplam değerine ulaşmak için

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} bağıntısı ve bu bağıntının cebirsel uygulamaları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 565Soru →
(an)(a_n) terimleri gerçel sayı olan sabit bir dizi olmak üzere, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için genel terimi
an=m⋅n2−(k−3)n+15n2−8n+pa_n = \frac{m \cdot n^2 - (k-3)n + 15}{n^2 - 8n + p}
biçiminde tanımlanıyor.

m,km, k ve pp birer tam sayı olduğuna göre, mm'nin alabileceği en büyük değer için k+pk + p toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 124

Cevap

m'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 15 olup, bu değer için k = 123 ve p = 1'dir. Buradan k + p toplamı 124 olarak bulunur.
Sabit dizi koşulu gereğince değişkenlerin katsayıları oranlanarak m, k, p arasındaki ilişkiler bulunur. Ayrıca dizinin her n pozitif tam sayısı için tanımlı olabilmesi amacıyla paydanın köklerinin pozitif tam sayı olmaması gerektiği tespit edilir. Bu koşulları sağlayan en büyük m tam sayısı 15 olarak belirlenir ve bu değer için k = 123, p = 1 bulunarak toplam 124 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sabit dizi tanımını kullanarak pay ve paydadaki terimlerin katsayılarını oranlama.
m1=−(k−3)−8=15p=C\frac{m}{1} = \frac{-(k-3)}{-8} = \frac{15}{p} = C eşitliği elde edilir. Buradan m=Cm = C, k=8m+3k = 8m + 3 ve p=15mp = \frac{15}{m} bağıntıları bulunur.
Bir rasyonel ifadenin sabit dizi belirtmesi için dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları oranının sabit bir gerçel sayıya eşit olması gerekir.
2
Tam sayı koşullarını inceleyerek m'nin alabileceği olası değerleri listeleme.
mm ve pp tam sayı olduğundan mm, 1515'in bir tam sayı böleni olmalıdır. O halde m∈{−15,−5,−3,−1,1,3,5,15}m \in \{-15, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 15\} olabilir.
p=15mp = \frac{15}{m} ifadesinde pp ve mm tam sayı olduğundan, mm değeri 1515'i tam bölmelidir.
3
Tanım kümesi koşulunu inceleyerek paydayı sıfır yapan pozitif tam sayıları belirleme.
Payda D(n)=n2−8n+pD(n) = n^2 - 8n + p ifadesidir. D(n)=0D(n) = 0 denkleminin kökleri pozitif tam sayılar ise, kökler toplamı n1+n2=8n_1 + n_2 = 8 ve kökler çarpımı n1n2=pn_1 n_2 = p olur. Bu koşulu sağlayan pozitif tam sayı kök çiftleri ve bunlara karşılık gelen pp değerleri şunlardır:
- n∈{1,7}  ⟹  p=7n \in \{1, 7\} \implies p = 7
- n∈{2,6}  ⟹  p=12n \in \{2, 6\} \implies p = 12
- n∈{3,5}  ⟹  p=15n \in \{3, 5\} \implies p = 15
- n∈{4,4}  ⟹  p=16n \in \{4, 4\} \implies p = 16
Dolayısıyla p∈{7,12,15,16}p \in \{7, 12, 15, 16\} durumlarında dizi bazı n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için tanımsız olur.
Dizinin terimlerinin birer gerçel sayı belirtebilmesi için paydanın hiçbir pozitif tam sayı nn değeri için sıfır olmaması gerekir.
4
Bulunan olası mm değerlerini kontrol etme ve en büyük geçerli mm'yi belirleme.
mm değerlerinin en büyüğü olan m=15m = 15 için p=1p = 1 olur. 1∉{7,12,15,16}1 \notin \{7, 12, 15, 16\} olduğundan m=15m = 15 geçerlidir. (Eğer en büyük bölen olarak m=1m = 1 seçilseydi p=15p = 15 olurdu ve bu durum diziyi n=3n=3 ile n=5n=5 değerlerinde tanımsız yapardı).
mm'nin alabileceği en büyük değeri bulmak için bölenler büyükten küçüğe doğru test edilir.
5
Seçilen m=15m = 15 değeri için kk ve pp değerlerini bulup toplamı hesaplama.
m=15m = 15 için:
p=1515=1p = \frac{15}{15} = 1
k=8(15)+3=123k = 8(15) + 3 = 123
Buradan k+p=123+1=124k + p = 123 + 1 = 124 elde edilir.
Soruda istenen k+pk + p toplamını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sabit dizilerde katsayılar oranı ve rasyonel dizilerde paydanın pozitif tam sayılar kümesinde sıfırdan farklı olması (tanımlılık) koşulu.
Soru 566Soru →
(2x2−1x)7\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7

ifadesinin xx'in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki x2x^2'li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 280

Cevap

Doğru cevap 280'dir.
Açılımın genel terimi yazılıp xx'in kuvveti 2'ye eşitlendiğinde r=4r=4 bulunur. Bu değer genel terimde yerine konduğunda katsayı 280 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülü kurulur.
Tr+1=(7r)(2x2)7−r(−1x)rT_{r+1} = \binom{7}{r} (2x^2)^{7-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r
İstenen terimin derecesini belirleyecek genel ifadeyi elde etmek için.
2
xx değişkenine ait üsler düzenlenerek birleştirilir.
Tr+1=(7r)27−r(−1)rx14−3rT_{r+1} = \binom{7}{r} 2^{7-r} (-1)^r x^{14-3r}
xx'in toplam derecesini netleştirerek denklem kurmayı kolaylaştırmak için.
3
x2x^2'li terimi bulmak için üs 2'ye eşitlenir ve rr değeri hesaplanır.
14−3r=2  ⟹  3r=12  ⟹  r=414 - 3r = 2 \implies 3r = 12 \implies r = 4
İstenen terimin açılımdaki yerini (indisini) belirlemek için.
4
r=4r = 4 değeri katsayı ifadesinde yerine yazılarak sonuç hesaplanır.
(74)27−4(−1)4=35⋅8⋅1=280\binom{7}{4} 2^{7-4} (-1)^4 = 35 \cdot 8 \cdot 1 = 280
x2x^2'li terimin katsayı değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı
Soru 567Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası analitik düzlemin birinci bölgesinde olan
f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
parabolünün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur.

Parabol, xx-eksenini farklı AA ve BB noktalarında kesmektedir. Parabolün tepe noktası TT olmak üzere, köşeleri TT, AA ve BB noktaları olan TABTAB üçgeni bir eşkenar üçgendir.

Parabolün yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı −1-1 olduğuna göre, f(−2)f(-2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -13

Cevap

Parabolün x = -2 noktasındaki değeri -13't��r.
Parabolün simetri ekseni x=2x=2 olduğundan tepe noktasının apsisi r=2r=2 olur. TABTAB eşkenar üçgeninin yüksekliği k=d3k = d\sqrt{3} bağıntısıyla ifade edilir. Köklerin simetri eksenine uzaklığı dd olduğundan f(2−d)=0f(2-d)=0 eşitliği k=−ad2k = -ad^2 sonucunu verir. Bu iki bağıntıdan d=−3ad = -\frac{\sqrt{3}}{a} ve k=−3ak = -\frac{3}{a} elde edilir. f(0)=−1f(0) = -1 bilgisi kullanılarak 4a−3a=−1  ⟹  4a2+a−3=04a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2+a-3=0 denklemi kurulur. Tepe noktası birinci bölgede olduğundan k>0k > 0 ve dolayısıyla a<0a < 0 olmalıdır. Bu şartı sağlayan a=−1a = -1 değeri kullanılarak parabol denklemi f(x)=−(x−2)2+3f(x) = -(x-2)^2 + 3 olarak bulunur. Burada x=−2x = -2 yazıldığında sonuç −13-13 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri ekseni kullanılarak tepe noktasının koordinatları belirlenir.
r=2r = 2 ve T(2,k)T(2, k) (k>0k > 0)
Simetri ekseni x=rx = r doğrusudur ve tepe noktası birinci bölgededir.
2
Eşkenar üçgen geometrisi ile tepe noktasının ordinatı ve köklerin simetri eksenine olan uzaklığı ilişkilendirilir.
k=d3k = d\sqrt{3}
Eşkenar üçgende yükseklik, tabanın yarısının 3\sqrt{3} katıdır.
3
Parabolün tepe noktası formundan yararlanılarak katsayılar arasındaki ilişki kurulur.
d=−3ad = -\frac{\sqrt{3}}{a} ve k=−3ak = -\frac{3}{a}
f(2−d)=0  ⟹  a⋅d2+k=0f(2-d) = 0 \implies a \cdot d^2 + k = 0 denkleminden elde edilir.
4
y-eksenini kestiği nokta kullanılarak başkatsayı aa değeri bulunur.
a=−1a = -1
f(0)=4a−3a=−1  ⟹  4a2+a−3=0  ⟹  a=−1f(0) = 4a - \frac{3}{a} = -1 \implies 4a^2 + a - 3 = 0 \implies a = -1 (kollar aşağı doğru olmalı ve tepe noktası birinci bölgede bulunmalıdır).
5
Parabol denklemi oluşturulur ve istenen değer hesaplanır.
f(−2)=−13f(-2) = -13
f(x)=−(x−2)2+3f(x) = -(x-2)^2 + 3 fonksiyonunda x=−2x = -2 yazılır.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni, tepe noktası ve köklerin simetrisi arasındaki geometrik ve cebirsel ilişkiler.
Soru 568Soru →
Dik koordinat düzleminde, aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−2af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a
parabolü veriliyor. Bu parabolün tepe noktasının orijine olan uzaklığı, parabolün simetri ekseni ile y=3x−2y = 3x - 2 doğrusunun kesişim noktasının orijine olan uzaklığına eşittir.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Parabolün tepe noktasının ve simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasının orijine olan uzaklıklarının eşitlenmesiyle elde edilen denklemin tam sayı kökü olan 2'dir.
Parabolün tepe noktası T(a,−2a)T(a, -2a) ve simetri ekseni x=ax = a doğrusudur. Kesişim noktası P(a,3a−2)P(a, 3a - 2)'dir. Bu iki noktanın apsisleri aynı olduğundan, orijine olan uzaklıklarının eşit olması ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasını gerektirir. Buradan ∣−2a∣=∣3a−2∣|-2a| = |3a - 2| eşitliği kurulur. Bu denklemin çözümlerinden elde edilen tam sayı kök 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleme
f(x)=x2−2ax+a2−2af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 2a parabolünün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olsun. r=−−2a2=ar = -\frac{-2a}{2} = a ve k=f(a)=a2−2a2+a2−2a=−2ak = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a = -2a olduğundan T(a,−2a)T(a, -2a) elde edilir.
Tepe noktasının koordinatları (r,f(r))(r, f(r)) formülü ile bulunur.
2
Tepe noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama
∣OT∣2=a2+(−2a)2=5a2|OT|^2 = a^2 + (-2a)^2 = 5a^2
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanmıştır.
3
Simetri ekseni ile doğrunun kesişim noktasını bulma
Parabolün simetri ekseni x=r  ⟹  x=ax = r \implies x = a doğrusudur. Bu doğrunun y=3x−2y = 3x - 2 doğrusuyla kesişim noktası P(a,3a−2)P(a, 3a - 2) olur.
Kesişim noktasının apsisi simetri ekseni üzerinde olduğu için aa'dır; ordinatı ise doğru denkleminde yerine yazılarak bulunur.
4
Kesişim noktasının orijine olan uzaklığının karesini hesaplama ve uzaklıkları eşitleme
∣OP∣2=a2+(3a−2)2|OP|^2 = a^2 + (3a-2)^2. Uzaklıkların eşitliğinden ∣OT∣2=∣OP∣2  ⟹  5a2=a2+(3a−2)2  ⟹  5a2=10a2−12a+4  ⟹  5a2−12a+4=0|OT|^2 = |OP|^2 \implies 5a^2 = a^2 + (3a-2)^2 \implies 5a^2 = 10a^2 - 12a + 4 \implies 5a^2 - 12a + 4 = 0 denklemi elde edilir.
Soruda her iki noktanın da orijine olan uzaklıklarının eşit olduğu belirtilmiştir.
5
İkinci dereceden denklemi çözüp tam sayı olan kökü seçme
5a2−12a+4=0  ⟹  (5a−2)(a−2)=05a^2 - 12a + 4 = 0 \implies (5a - 2)(a - 2) = 0 olur. Buradan a=25a = \frac{2}{5} veya a=2a = 2 bulunur. Tam sayı değeri istendiği için a=2a = 2 olarak elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemiyle denklemin kökleri bulunmuş ve tam sayı olan kök seçilmiştir.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) ve simetri ekseni x=rx = r doğrusudur. Parabol üzerindeki noktaların veya simetri ekseniyle ilişkili geometrik yapıların analitik incelenmesinde uzaklık formülü kullanılır.

Alternatif Yöntem

Tepe noktasının ve kesişim noktasının apsisleri aynı (x=ax = a) olduğundan, bu noktaların orijine olan uzaklıklarının eşit olması ancak ve ancak ordinatlarının mutlak değerce eşit olmasıyla mümkündür. Yani ∣−2a∣=∣3a−2∣|-2a| = |3a - 2| denklemi kurulabilir. Buradan −2a=−(3a−2)  ⟹  a=2-2a = -(3a - 2) \implies a = 2 veya −2a=3a−2  ⟹  a=2/5-2a = 3a - 2 \implies a = 2/5 hızlıca bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 569Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, pozitif bir xx gerçel sayısı için,
2log⁡3x+3log⁡2x−1log⁡12x=1\frac{2}{\log_3 x} + \frac{3}{\log_2 x} - \frac{1}{\log_{12} x} = 1

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Denklemi sağlayan x gerçel sayısı 6'dır.
Verilen denklemde taban değiştirme kuralı kullanılarak tüm logaritmalar x tabanına dönüştürülür. Katsayılar kuvvet olarak yazıldıktan sonra toplama ve çıkarma kuralları uygulanarak denklem log_x(6) = 1 biçimine sadeleştirilir. Buradan x = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban değiştirme özelliğini uygulama
2log⁡x3+3log⁡x2−log⁡x12=12\log_x 3 + 3\log_x 2 - \log_x 12 = 1
Logaritmik terimlerin tabanlarını eşitleyerek işlem yapabilmek için rasyonel ifadeleri taban değiştirme kuralı yardımıyla düzenleriz.
2
Logaritma katsayılarını kuvvete taşıma
log⁡x9+log⁡x8−log⁡x12=1\log_x 9 + \log_x 8 - \log_x 12 = 1
Logaritma önündeki katsayılar, logaritması alınan sayıların üzerine üs olarak yazılır.
3
Toplama ve çıkarma özelliklerini kullanarak birleştirme
log⁡x6=1\log_x 6 = 1
Aynı tabandaki logaritma ifadelerinin toplamı çarpım, farkı ise bölüm şeklinde tek bir logaritma altında birleştirilir.
4
Bilinmeyeni çözme
x=6x = 6
Logaritma tanımına göre log_x(a) = b ifadesi x^b = a anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritmanın temel özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 570Soru →
Birden büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
log⁡a(bc)+log⁡b(ac)=7\log_a(bc) + \log_b(ac) = 7
log⁡c(ab)=2\log_c(ab) = 2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin doğru değeri 4'tür.
Verilen iki denklem x=log⁡acx = \log_a c ve y=log⁡bcy = \log_b c dönüşümleriyle ortak bir tabana indirgendiğinde x+y=3x+y = 3 ve xy=3/2xy = 3/2 bağıntıları elde edilir. İstenen log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesi xy+yx=x2+y2xy\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2+y^2}{xy} olup, bu iki bağıntı yerine yazıldığında sonuç 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x=log⁡acx = \log_a c ve y=log⁡bcy = \log_b c değişken dönüşümlerini tanımlayınız.
Taban değiştirme kuralına göre log⁡ca=1x\log_c a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} elde edilir.
Verilen ifadeleri daha kolay işleyebilmek amacıyla tüm logaritma terimlerini cc tabanı ile ilişkilendirmek için.
2
İkinci denklemi tanımlanan değişkenler cinsinden ifade ediniz.
log⁡c(ab)=log⁡ca+log⁡cb=1x+1y=2  ⟹  x+yxy=2  ⟹  x+y=2xy\log_c(ab) = \log_c a + \log_c b = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2 \implies \frac{x+y}{xy} = 2 \implies x+y = 2xy bağıntısı elde edilir.
Logaritmanın çarpım özelliğini ve taban değiştirme sonucunu uygulamak için.
3
Birinci denklemi çarpım özelliğini kullanarak düzenleyiniz ve değişkenler cinsinden yazınız.
log⁡a(bc)+log⁡b(ac)=log⁡ab+log⁡ac+log⁡ba+log⁡bc=7\log_a(bc) + \log_b(ac) = \log_a b + \log_a c + \log_b a + \log_b c = 7 olur. log⁡ab=xy\log_a b = \frac{x}{y} ve log⁡ba=yx\log_b a = \frac{y}{x} olduğundan denklem xy+yx+x+y=7\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + x + y = 7 şekline gelir.
Denklemin terimlerini xx ve yy cinsinden ifade ederek tek bir cebirsel sistem oluşturmak için.
4
Cebirsel ifadeyi özdeşlikler yardımıyla düzenleyiniz.
x2+y2xy+(x+y)=7  ⟹  (x+y)2−2xyxy+(x+y)=7  ⟹  (x+y)2xy+(x+y)=9\frac{x^2+y^2}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} + (x+y) = 7 \implies \frac{(x+y)^2}{xy} + (x+y) = 9 elde edilir.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy özdeşliğini yerine yazarak ifadeyi x+yx+y ve xyxy cinsine dönüştürmek için.
5
xy=x+y2xy = \frac{x+y}{2} bağıntısını kullanarak x+yx+y değerini hesaplayınız.
(x+y)2x+y2+(x+y)=9  ⟹  2(x+y)+(x+y)=9  ⟹  3(x+y)=9  ⟹  x+y=3\frac{(x+y)^2}{\frac{x+y}{2}} + (x+y) = 9 \implies 2(x+y) + (x+y) = 9 \implies 3(x+y) = 9 \implies x+y = 3 bulunur. Buradan xy=32xy = \frac{3}{2} elde edilir.
xyxy terimini yok ederek denklemden doğrudan x+yx+y toplamına ulaşmak için.
6
İstenen log⁡ab+log⁡ba\log_a b + \log_b a ifadesini hesaplayınız.
log⁡ab+log⁡ba=x2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=32−2(3/2)3/2=63/2=4\log_a b + \log_b a = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{3^2 - 2(3/2)}{3/2} = \frac{6}{3/2} = 4 bulunur.
Elde edilen x+y=3x+y = 3 ve xy=3/2xy = 3/2 değerlerini nihai ifadede yerine yazmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme kuralı ve çarpım özelliğinin cebirsel özdeşliklerle ortak çözümü.
Soru 571Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için

∫12f(2x−1) dx=5\int_{1}^{2} f(2x-1) \, dx = 5
∫13x⋅f(x2) dx=8\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 8

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

∫39f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen integralin değeri 6'dır.
Soruda verilen iki integralde sırasıyla u=2x−1u = 2x-1 ve v=x2v = x^2 dönüşümleri yapıldığında ff fonksiyonunun [1,3][1, 3] ve [1,9][1, 9] aralıklarındaki belirli integral değerleri sırasıyla 10 ve 16 olarak elde edilir. Ardından, belirli integralin aralık bölme özelliği yardımıyla ∫39f(x) dx=∫19f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{1}^{9} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx bağıntısı kurulur. Bu bağıntıdan 16−10=616 - 10 = 6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde u=2x−1u = 2x-1 değişken değiştirmesi uygulamak.
∫13f(x) dx=10\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10
u=2x−1u = 2x-1 dönüşümüyle sınırlar xx değişkeninden uu değişkenine taşınarak ff fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki integral değeri hesaplanır.
2
İkinci integralde v=x2v = x^2 değişken değiştirmesi uygulamak.
∫19f(x) dx=16\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 16
v=x2v = x^2 dönüşümüyle x dxx\,dx ifadesi dv2\frac{dv}{2} şeklinde yazılır ve sınırlar [1,9][1, 9] aralığına güncellenerek bu aralıktaki integral değeri bulunur.
3
Belirli integralin aralık bölme özelliğini uygulamak.
∫39f(x) dx=6\int_{3}^{9} f(x) \, dx = 6
[1,9][1, 9] aralığındaki integral, [1,3][1, 3] ve [3,9][3, 9] alt aralıklarının toplamı olarak yazılabilir. Bu özellik sayesinde bilinen değerler yerine koyularak bilinmeyen integral hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integralin aralık bölme özelliği.
Soru 572Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere, bir xx pozitif gerçel sayısı için
log⁡2x⋅log⁡3x+log⁡3x⋅log⁡5x+log⁡5x⋅log⁡2x=log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x = \log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Doğru cevap 30'dur.
Verilen denklemde her iki taraf logaritmik çarpımlara bölündüğünde elde edilen rasyonel ifadeler, taban değiştirme kuralı yardımıyla log⁡x5+log⁡x2+log⁡x3=1\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1 biçimine dönüşür. Logaritma toplama özelliğinden log⁡x30=1\log_x 30 = 1 olur ve buradan x=30x = 30 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafını terimlerin çarpımı olan log⁡2x⋅log⁡3x⋅log⁡5x\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x ifadesine bölün.
1log⁡5x+1log⁡2x+1log⁡3x=1\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1
Logaritmik ifadeleri sadeleştirmek ve ortak tabana dönüştürülebilecek rasyonel terimler elde etmek için.
2
1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a taban değiştirme kuralını uygulayarak her terimi xx tabanında yeniden yazın.
log⁡x5+log⁡x2+log⁡x3=1\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1
Tüm logaritma terimlerini aynı tabanda (yani xx tabanında) bir araya getirerek işlem kolaylığı sağlamak için.
3
Aynı tabandaki logaritma toplamlarını tek bir logaritma altında çarpım kuralı (log⁡am+log⁡an+log⁡ak=log⁡a(m⋅n⋅k)\log_a m + \log_a n + \log_a k = \log_a(m \cdot n \cdot k)) ile birleştirin.
log⁡x(5⋅2⋅3)=1  ⟹  log⁡x30=1\log_x(5 \cdot 2 \cdot 3) = 1 \implies \log_x 30 = 1
Denklemi tek bir logaritmik ifadeye indirgeyerek çözüme ulaşmak için.
4
Logaritma tanımını kullanarak denklemi üstel biçimde yazın ve xx değerini bulun.
x1=30  ⟹  x=30x^1 = 30 \implies x = 30
Logaritma fonksiyonunu ortadan kaldırıp bilinmeyen olan xx gerçel sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Taban Değiştirme ve Logaritma Toplama Özelliği
Soru 573Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+4f(x) = x^2 - 2x + 4 parabolünün y=2x−5y = 2x - 5 doğrusuna en yakın noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Parabolün doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı 6'dır.
Parabolün doğruya en yakın noktası, o doğruya paralel olan teğetin değme noktasıdır. Doğrunun eğimi 22 olduğundan teğetin eğimi de 22'dir. Parabolün türevi f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 eğime eşitlendiğinde değme noktasının apsisi x=2x = 2 bulunur. Parabolde yerine yazıldığında ordinatı y=4y = 4 elde edilir. Bu noktanın koordinatları toplamı ise 2+4=62 + 4 = 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrunun eğimini belirleme
m=2m = 2
y=2x−5y = 2x - 5 doğrusunun eğimi xx'in katsayısı olan 22 sayısıdır. En yakın noktadaki teğet bu doğruya paralel olmalıdır.
2
Fonksiyonun türevini alma ve eğime eşitleme
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 ve x=2x = 2
Parabol üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi o noktadaki türev değerine eşittir. Eğim 22 olacağından 2x−2=22x - 2 = 2 denkleminden teğet noktasının apsisi x=2x = 2 olarak bulunur.
3
Teğet noktasının ordinatını bulma
y=4y = 4
Bulunan x=2x = 2 apsis değeri parabol denkleminde yerine yazılarak teğet noktas��nın ordinatı f(2)=22−2(2)+4=4f(2) = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 olarak elde edilir.
4
Koordinatlar toplamını hesaplama
66
En yakın nokta (2,4)(2, 4) olarak belirlenmiş olup koordinatlar toplamı 2+4=62 + 4 = 6 olur.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin bir doğruya en yakın noktasında çizilen teğet doğrusu, verilen doğruya paraleldir.
Soru 574Soru →

Özdeş 3 mavi ve özdeş 3 kırmızı oyuncak, 3 çocuk arasında paylaştırılacaktır.

Buna göre, her çocuğun en az bir oyuncak alması koşuluyla bu paylaştırma işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Her çocuğun en az bir oyuncak alması koşuluyla paylaştırma işlemi 55 farklı şekilde yapılabilir.
Tüm durumlar mavi oyuncakların çocuklara dağılımındaki sayı gruplarına göre analiz edilmiştir. Mavi oyuncaklar çocuklara (1,1,1), (2,1,0) veya (3,0,0) grupları şeklinde dağıtılabilir. Her bir grupta boşta kalan çocuklara kırmızı oyuncaklardan en az birer tane verilmesi garanti edilerek yapılan hesaplamaların toplamı 55 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Mavi oyuncakların 3 çocuğa dağıtılma durumlarının sayısını tekrarlı permütasyon (ayraç yöntemi) ile bulma
10 farklı durum
3 özdeş mavi oyuncak ve çocukları ayırmak için kullanılan 2 özdeş ayraç toplam 5 eleman oluşturur. Bu elemanların dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
2
Kırmızı oyuncakların 3 çocuğa dağıtılma durumlarının sayısını tekrarlı permütasyon ile bulma
10 farklı durum
Mavi oyuncaklarla aynı mantıkla, 3 özdeş kırmızı oyuncak ve 2 özdeş ayraç için dizilim sayısı 5!3!⋅2!=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 olur.
3
Hiçbir çocuğun oyuncaksız kalmaması koşulunu mavi oyuncakların dağılım durumlarına göre inceleme
3 farklı senaryonun toplamı: 10 + 36 + 9 = 55 durum
Mavi oyuncakların dağılımı (1, 1, 1), (2, 1, 0) veya (3, 0, 0) şeklinde olabilir. (1, 1, 1) dağılımında (1 yolla gerçekleşir) her çocukta zaten oyuncak olduğundan kırmızı oyuncaklar kısıtlamasız dağıtılır (1×10=101 \times 10 = 10 durum). (2, 1, 0) dağılımında (6 yolla gerçekleşir) mavi alamayan 1 çocuğa garanti 1 kırmızı oyuncak verilir, kalan 2 kırmızı oyuncak 3 çocuğa dağıtılır (6×(2+3−13−1)=366 \times \binom{2+3-1}{3-1} = 36 durum). (3, 0, 0) dağılımında (3 yolla gerçekleşir) mavi alamayan 2 çocuğa garanti 1'er kırmızı oyuncak verilir, kalan 1 kırmızı oyuncak 3 çocuğa dağıtılır (3×(1+3−13−1)=93 \times \binom{1+3-1}{3-1} = 9 durum).
4
Tüm senaryolardan elde edilen durum sayılarını toplama
55
Ayrık durumların toplamı bize genel kural gereği istenen tüm durumları verir.

Anahtar Kavram

Özdeş nesnelerin dağıtımında ayraç yöntemi kullanılarak tekrarlı permütasyon formülünün uygulanması ve koşullu durumların incelenmesi.
Soru 575Soru →

Bir kenar uzunluğu 32 cm32\text{ cm} olan kare biçimindeki bir kartonun kenar orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare elde ediliyor. Daha sonra elde edilen bu yeni karenin de kenar orta noktaları birleştirilerek bir sonraki kare elde ediliyor ve bu işlem benzer şekilde devam ettiriliyor.

Elde edilen nn. karenin çevresi CnC_n santimetre, alanı ise AnA_n santimetrekare ile gösterilmektedir.

Buna göre, Cn≥AnC_n \geq A_n koşulunu sağlayan en küçük nn pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Koşulu sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri 7'dir.
Soruda istenen Cn≥AnC_n \geq A_n koşulu, geometrik dizinin kuralları uygulanıp genel terimler çıkarıldığında 215−n2≥211−n2^{\frac{15-n}{2}} \geq 2^{11-n} eşitsizliğine indirgenir. Bu üslü eşitsizlik çözüldüğünde n≥7n \geq 7 elde edilir ve en küçük pozitif tam sayı değeri olan 7 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel kenar uzunluğu dizisini oluşturma
sn=211−n2s_n = 2^{\frac{11-n}{2}}
Karenin orta noktalarının birleştirilmesiyle elde edilen yeni karenin kenar uzunluğu her seferinde 22\frac{\sqrt{2}}{2} oranında azalır ve bu bir geometrik dizi belirtir.
2
CnC_n çevre dizisinin genel terimini bulma
Cn=215−n2C_n = 2^{\frac{15-n}{2}}
Karenin çevresi bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir.
3
AnA_n alan dizisinin genel terimini bulma
An=211−nA_n = 2^{11-n}
Karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
4
Cn≥AnC_n \geq A_n eşitsizliğini çözerek en küçük nn değerini bulma
n≥7n \geq 7 olduğundan en küçük n=7n = 7
Üslü eşitsizliğin tabanı 1'den büyük olduğu için üslerin eşitsizliği doğrudan çözülür.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerin genel terimlerinin gerçek hayat ve geometri problemlerinde modellenmesi ve üslü eşitsizlikler yardımıyla çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 576Soru →
log⁡0,2(x2−2x)≥log⁡0,2(x+4)\log_{0,2}(x^2 - 2x) \geq \log_{0,2}(x + 4)

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 6'dır.
Verilen logaritmik eşitsizlikte taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmanın içi yön değiştirerek x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4 olur ve buradan [−1,4][-1, 4] aralığı elde edilir. Logaritmanın tanım kümeleri olan x2−2x>0x^2 - 2x > 0 ve x+4>0x + 4 > 0 şartları birleştirildiğinde x∈(−4,0)∪(2,∞)x \in (-4, 0) \cup (2, \infty) bulunur. Bu iki kümenin kesişimi [−1,0)∪(2,4][-1, 0) \cup (2, 4] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar −1,3-1, 3 ve 44 olup toplamları 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin logaritmasız halini yazma
x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4
Logaritma tabanı olan 0,20,2 değeri 00 ile 11 arasında olduğundan, logaritma fonksiyonu azaland��r ve eşitsizlik yön değiştirir.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çözme
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0  ⟹  x∈[−1,4]x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]
Eşitsizliğin sınırlarını belirleyerek değişkenin alabileceği temel aralığı bulmak için.
3
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleme
x2−2x>0  ⟹  x<0x^2 - 2x > 0 \implies x < 0 veya x>2x > 2 ve x+4>0  ⟹  x>−4x + 4 > 0 \implies x > -4. Kesişimleri: x∈(−4,0)∪(2,∞)x \in (-4, 0) \cup (2, \infty)
Gerçek sayılarda logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması şarttır.
4
Çözüm aralığı ile tanım kümesini kesiştirme
[−1,4]∩((−4,0)∪(2,∞))=[−1,0)∪(2,4][-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]
Hem cebirsel eşitsizliği hem de logaritmanın tanım kümesini aynı anda sağlayan ortak bölgeyi bulmak için.
5
Aralıktaki tam sayıları belirleyip toplama
Tam sayılar: −1,3,4-1, 3, 4. Toplam: −1+3+4=6-1 + 3 + 4 = 6
Soruda istenen xx tam sayılarının toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (pozitiflik şartı) çözüm kümesiyle kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 577Soru →
1'den farklı aa ve bb pozitif tam sayıları için log⁡ab\log_a b bir tam sayıdır.
log⁡2a+log⁡4b=5\log_2 a + \log_4 b = 5
log⁡a2+log⁡b4=56\log_a 2 + \log_b 4 = \frac{5}{6}
olduğuna göre, log⁡ab\log_a b ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Logaritma taban değiştirme kuralları ve değişken dönüşümü uygulandığında, verilen koşulları sağlayan tek durum log⁡ab=3\log_a b = 3 değeridir.
Değişken dönüşümü yapılıp sistem çözüldüğünde elde edilen a=4a = 4 ve b=64b = 64 değerleri için log⁡464=3\log_4 64 = 3 tam sayı değerine ulaşılır. Diğer olası çözüm olan a=8a = 8 ve b=16b = 16 değerleri için log⁡816=4/3\log_8 16 = 4/3 tam sayı olmadığından elenir.

Adım Adım Çözüm

1
log⁡2a=x\log_2 a = x ve log⁡2b=y\log_2 b = y değişken dönüşümünü yapın ve birinci denklemi bu değişkenler cinsinden ifade edin.
x+12y=5  ⟹  y=10−2xx + \frac{1}{2}y = 5 \implies y = 10 - 2x elde edilir.
Birinci denklemi basitleştirerek değişkenler arasında bir bağıntı kurmak için.
2
İkinci denklemdeki terimleri taban değiştirme özelliklerini kullanarak xx ve yy cinsinden yazın.
log⁡a2=1x\log_a 2 = \frac{1}{x} ve log⁡b4=2y\log_b 4 = \frac{2}{y} olduğundan, 1x+2y=56\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{5}{6} elde edilir.
Tüm ifadeleri 2 tabanına indirgeyerek ortak bir denklem sistemi oluşturmak için.
3
y=10−2xy = 10 - 2x ifadesini ikinci denklemde yerine koyun ve oluşan ikinci dereceden denklemi çözün.
1x+15−x=56  ⟹  x2−5x+6=0  ⟹  (x−2)(x−3)=0  ⟹  x=2\frac{1}{x} + \frac{1}{5-x} = \frac{5}{6} \implies x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2 veya x=3x = 3 bulunur.
Bilinmeyen sayısını bire indirgeyerek denklemin köklerini bulmak için.
4
Bulunan xx değerlerine karşılık gelen yy değerlerini hesaplayın ve log⁡ab=yx\log_a b = \frac{y}{x} oranının tam sayı olma koşulunu inceleyin.
x=2x = 2 için y=6y = 6 ve log⁡ab=3\log_a b = 3 (tam sayı) olur. x=3x = 3 için y=4y = 4 ve log⁡ab=43\log_a b = \frac{4}{3} (tam sayı değil) olur.
Soruda verilen tam sayı olma koşulunu sağlayan tek durumu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Logaritma Taban Değiştirme ve Özellikleri
Soru 578Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında

a5+a9+a13=36a_5 + a_9 + a_{13} = 36

ve

a3⋅a15=108a_3 \cdot a_{15} = 108

bağıntıları vardır.

Bu dizinin ortak farkı pozitif bir tam sayı olduğuna göre, dizinin birinci terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin birinci terimi (a1a_1) 4 olarak bulunur.
Verilen aritmetik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkileri kullanılarak a3+a15=24a_3 + a_{15} = 24 toplamına ulaşılır. Çarpımları 108 ve toplamları 24 olan sayılar 6 ve 18'dir. Ortak fark pozitif olduğundan dizi artandır ve a3=6a_3 = 6, a15=18a_{15} = 18 olmalıdır. Buradan ortak fark r=1r = 1 ve birinci terim a1=4a_1 = 4 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin indis özelliklerini kullanarak a9a_9 ve a3+a15a_3 + a_{15} değerlerini bulunuz.
a9=12a_9 = 12 ve a3+a15=24a_3 + a_{15} = 24
Aritmetik dizide indis toplamları eşit olan terimlerin toplamları da eşittir. Buradan a5+a13=2a9a_5 + a_{13} = 2a_9 yazılabilir. Soru kökündeki ilk bağıntıdan a5+a9+a13=3a9=36  ⟹  a9=12a_5 + a_9 + a_{13} = 3a_9 = 36 \implies a_9 = 12 olur. Benzer şekilde a3+a15=2a9=24a_3 + a_{15} = 2a_9 = 24 elde edilir.
2
a3a_3 ve a15a_{15} terimlerinin toplam ve çarpım değerlerinden faydalanarak bu terimleri bulunuz.
a3=6a_3 = 6 ve a15=18a_{15} = 18
a3+a15=24a_3 + a_{15} = 24 ve a3⋅a15=108a_3 \cdot a_{15} = 108 bağıntılar��nı sağlayan sayılar x2−24x+108=0x^2 - 24x + 108 = 0 denkleminin kökleridir. Bu denklem çarpanlarına (x−6)(x−18)=0(x-6)(x-18) = 0 olarak ayrılır. Ortak farkı pozitif olan bir aritmetik dizi artan olacağından, küçük indisli terim daha küçük olmalıdır. Dolayısıyla a3=6a_3 = 6 ve a15=18a_{15} = 18 olur.
3
Dizinin ortak farkını (rr) ve birinci terimini (a1a_1) hesaplayınız.
r=1r = 1 ve a1=4a_1 = 4
Terimler arasındaki farktan ortak fark a15−a3=12r  ⟹  18−6=12r  ⟹  r=1a_{15} - a_3 = 12r \implies 18 - 6 = 12r \implies r = 1 olarak bulunur. Birinci terim ise a3=a1+2r  ⟹  6=a1+2(1)  ⟹  a1=4a_3 = a_1 + 2r \implies 6 = a_1 + 2(1) \implies a_1 = 4 şeklinde hesaplanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde indis kuralları, genel terim formülü ve ortak fark özellikleri
Soru 579Soru →

Bir şirketin yeni tasarladığı amblem, yan yana dizilmiş 5 kareden oluşmaktadır. Bu amblem; mavi, yeşil, sarı ve kırmızı renklerinden biriyle, aşağıdaki kurallara göre boyanacaktır:

* Her bir kare yalnızca bir renge boyanacaktır.
* Yan yana olan (ardışık) herhangi iki kare farklı renkte olacaktır.
* Amblemin en solundaki kare ile en sağındaki kare aynı renkte olacaktır.

Buna göre, bu amblem kaç farklı şekilde boyanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

Amblem toplam 84 farklı şekilde boyanabilir.
Amblem boyama işlemi iki ayrı duruma ayrılarak incelenir. İlk durumda ikinci ve dördüncü karelerin aynı renkte olduğu varsayılır ve çarpım kuralıyla 36 durum bulunur. İkinci durumda ise bu iki karenin farklı renklerde olduğu varsayılarak 48 durum elde edilir. Bu iki durum bağımsız ve ayrık olduğundan, toplama yoluyla sayma kuralı uygulanarak toplamda 84 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Karelerin adlandırılması ve durumların belirlenmesi
Kareler soldan sağa 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 olarak adlandırılır. 1.1. ve 5.5. karelerin renkleri aynı olmalıdır (c1=c5c_1 = c_5). Hesaplama, 2.2. ve 4.4. karelerin aynı renkte veya farklı renklerde olması durumlarına göre ikiye ayrılır.
Birbiriyle komşu olan karelerin renk seçimlerinin bağımlılığını yönetmek için durum analizi yapılmalıdır.
2
2.2. ve 4.4. karelerin aynı renkte olduğu durumun hesaplanması
4×3×1×3=364 \times 3 \times 1 \times 3 = 36 farklı durum.
1.1. kare için 44 renk, 2.2. kare için 33 renk seçilebilir. 4.4. kare 2.2. kare ile aynı olacağından 11 seçeneği vardır. 3.3. kare ise 2.2. kareden farklı olmalıdır (33 seçenek).
3
2.2. ve 4.4. karelerin farklı renklerde olduğu durumun hesaplanması
4×3×2×2=484 \times 3 \times 2 \times 2 = 48 farklı durum.
1.1. kare için 44, 2.2. kare için 33 renk seçilebilir. 4.4. kare hem 5.5. (yani 1.1.) kareden hem de 2.2. kareden farklı olacağından 22 seçeneğe sahiptir. 3.3. kare ise hem 2.2. hem de 4.4. kareden farklı olacağından 22 seçeneğe sahiptir.
4
Durumların toplanması
36+48=8436 + 48 = 84 farklı boyama.
İki durum birbirini dışlayan ayrık olaylar olduğundan, toplama yoluyla sayma ilkesi uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma İlkeleri
Soru 580Soru →

Tabanı kare, ��stü açık ve hacmi 48 m348\text{ m}^3 olan kare dik prizma biçimindeki bir su deposu inşa edilecektir. Bu deponun tabanını kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı 15 TL15\text{ TL}, yan yüzeylerini kaplamak için kullanılacak malzemenin metrekare fiyatı ise 10 TL10\text{ TL}'dir. Buna göre, bu deponun kaplama maliyeti en az kaç TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 720

Cevap

Deponun kaplama maliyeti en az 720 TL'dir.
Maliyet fonksiyonu M(x)=15x2+1920xM(x) = 15x^2 + \frac{1920}{x} olarak elde edildikten sonra türevi alınarak sıfıra eşitlendiğinde elde edilen x=4x = 4 değeri maliyeti minimum yapar. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en küçük maliyet 720 TL720\text{ TL} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Taban kenar uzunluğunu xx ve yüksekliği hh olarak tanımlayıp hacim formülünü oluşturun.
V=x2⋅h=48  ⟹  h=48x2V = x^2 \cdot h = 48 \implies h = \frac{48}{x^2}
Deponun hacmi 48 m348\text{ m}^3 olarak verilmiştir ve prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin ��arpımına eşittir.
2
Taban ve yan yüzeylerin alanlarını bulup birim fiyatlarla çarparak toplam maliyet fonksiyonunu xx cinsinden yazın.
M(x)=15⋅x2+10⋅(4xh)=15x2+40x(48x2)=15x2+1920xM(x) = 15 \cdot x^2 + 10 \cdot (4xh) = 15x^2 + 40x \left(\frac{48}{x^2}\right) = 15x^2 + \frac{1920}{x}
Taban alanı x2x^2 olup metrekare maliyeti 15 TL15\text{ TL}'dir. Üstü açık olduğu için sadece 4 adet yan yüzey (xhxh) kaplanacaktır ve yan yüzeylerin metrekare maliyeti 10 TL10\text{ TL}'dir.
3
Maliyet fonksiyonunun türevini alın.
M′(x)=30x−1920x2M'(x) = 30x - \frac{1920}{x^2}
Maliyeti minimum yapan noktayı bulmak için fonksiyonun birinci türevi sıfıra eşitlenmelidir.
4
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktayı bulun.
30x−1920x2=0  ⟹  30x3=1920  ⟹  x3=64  ⟹  x=430x - \frac{1920}{x^2} = 0 \implies 30x^3 = 1920 \implies x^3 = 64 \implies x = 4
Maliyetin minimum değeri, türevin sıfır olduğu yerel ekstremum noktasında gerçekleşir.
5
Bulunan x=4x = 4 değerini maliyet fonksiyonunda yerine yazarak minimum maliyeti hesaplayın.
M(4)=15(4)2+19204=240+480=720M(4) = 15(4)^2 + \frac{1920}{4} = 240 + 480 = 720
x=4x = 4 değeri için maliyet fonksiyonunun aldığı değer en küçük maliyeti verir.

Anahtar Kavram

Maksimum ve minimum problemlerinde, kısıt denklemi yardımıyla hedef fonksiyon tek değişkene indirgenir ve türevi alınarak ekstremum noktası bulunur.
ÖncekiSayfa 29 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin