Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 641Soru →
Bir iletişim kanalının maksimum veri iletim kapasitesi CC (bit/saniye) ve bu kanalın frekans genişliği BB (Hertz) olmak üzere, sinyal gücünün gürültü gücüne oranı olan sinyal-gürültü oranı (S/NS/N) ile kapasite arasındaki ilişki
C=B⋅log⁡2(1+SN)C = B \cdot \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right)
formülüyle modellenmektedir.

Frekans genişliği B=3000 HzB = 3000\text{ Hz} olan bir iletişim kanalında, sinyal-gürültü oranı SN=15\frac{S}{N} = 15 iken veri iletim kapasitesi C1C_1 bit/saniyedir. Sinyal-gürültü oranı xx değerine çıkarıldığında veri iletim kapasitesi C2C_2 olmakta ve C2−C1=6000C_2 - C_1 = 6000 bit/saniye eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Sinyal-gürültü oranının yeni değeri olan xx, 63 olmalıdır.
Verilen Shannon-Hartley formülüne göre ilk durumdaki kapasite C1=3000⋅log⁡2(1+15)=12000C_1 = 3000 \cdot \log_2(1+15) = 12000 olarak hesaplanır. Kapasitedeki 6000'lik artışla C2=18000C_2 = 18000 elde edilir. Buradan 18000=3000⋅log⁡2(1+x)18000 = 3000 \cdot \log_2(1+x) denklemi kurularak log⁡2(1+x)=6\log_2(1+x) = 6 ve dolayısıyla 1+x=641+x = 64 sonucundan x=63x=63 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki C1C_1 veri iletim kapasitesini hesaplama
C1=12000C_1 = 12000 bit/saniye
Verilen B=3000B = 3000 ve SN=15\frac{S}{N} = 15 değerlerini formülde yerine koyarak başlangıçtaki kapasiteyi bulmak.
2
İkinci durumdaki C2C_2 veri iletim kapasitesini bulma
C2=18000C_2 = 18000 bit/saniye
Kapasiteler arasındaki farkın 6000 bit/saniye olduğu bilgisini kullanarak yeni kapasiteyi belirlemek.
3
Yeni sinyal-gürültü oranı olan xx değerini çözme
x=63x = 63
C2C_2 kapasitesini formüle eşitleyerek logaritma tanımı yardımıyla bilinmeyen xx oranına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat problemlerine (bilgi teorisi ve veri iletim hızı) uygulanması ve logaritma özelliklerinin kullanılarak üstel denklemlerin çözülmesi.
Soru 642Soru →

Bir mobil oyunda bir oyuncu sırasıyla 1. ve 2. seviyeleri oynayacaktır. Oyuncunun 1. seviyeyi geçme olasılığı 23\frac{2}{3}'tür. Oyuncu 1. seviyeyi geçerse, edindiği tecrübeyle 2. seviyeyi geçme olasılığı 34\frac{3}{4} olmaktadır. Eğer 1. seviyeyi geçemezse, moral bozukluğu nedeniyle 2. seviyeyi geçme olasılığ�� 14\frac{1}{4}'e düşmektedir. Buna göre, bu oyuncunun bu iki seviyeden en az birini geçme olasılığı yüzde kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Oyuncunun bu iki seviyeden en az birini geçme olasılığı %75'tir.
Oyuncunun iki seviyeden en az birini geçme olasılığı, hiçbirini geçememe olasılığının tümleyenidir. İlk seviyeyi geçememe olasılığı 13\frac{1}{3}, bu durumda ikinciyi de geçememe olasılığı 34\frac{3}{4} olup, birlikte gerçekleşme olasılıkları 14\frac{1}{4}'tür. 1'den çıkarıldığında cevap %75 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci seviyeyi geçememe olasılığının hesaplanması
P(A′)=1−23=13P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, kesin olay olasılığı olan 1'den gerçekleşme olasılığının çıkarılmasıyla bulunur.
2
Birinci seviye geçilemediğinde ikinci seviyenin de geçilememe olasılığının hesaplanması
P(B′∣A′)=1−14=34P(B'|A') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
Oyuncu birinci seviyeyi geçemediğinde ikinci seviyeyi geçme olasılığı 14\frac{1}{4} olduğuna göre, geçememe olasılığı tümleyen kuralı gereği 1−14=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} olur.
3
Her iki seviyenin de geçilememe olasılığının hesaplanması
P(A′∩B′)=P(A′)×P(B′∣A′)=13×34=14P(A' \cap B') = P(A') \times P(B'|A') = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
Bağımlı olaylarda iki olayın ardışık gerçekleşme olasılığı, ilk olayın olasılığı ile ilkinin gerçekleştiği koşul altındaki ikinci olayın olasılığının çarpımıdır.
4
En az bir seviyeyi geçme olasılığının bulunması
1−P(A′∩B′)=1−14=34=%751 - P(A' \cap B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = \%75
En az bir seviyeyi geçme olayı, hiçbir seviyeyi geçememe olayının tümleyenidir. Dolayısıyla 1'den tüm başarısızlık olasılığı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Bağımlı olayların olasılığı, koşullu olasılık ve tümleyen olay ilişkisi.
Soru 643Soru →

Kütlesi m=4 kgm = 4\text{ kg} olan bir blok, eğim açısı θ=37∘\theta = 37^\circ olan s��rtünmeli bir eğik düzlem üzerinde bulunmaktadır. Blok ile eğik düzlem yüzeyi arasındaki kinetik sürtünme katsayısı k=025k = 0{}25'tir. Bloğa eğik düzleme paralel ve yukarı yönde F=40 NF = 40\text{ N} büyüklüğünde bir kuvvet uygulanmaktadır. Buna göre, bloğun ivmesinin büyüklüğü kaç m/s2\text{m/s}^2 olur? (g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2, sin⁡37∘=06\sin 37^\circ = 0{}6, cos⁡37∘=08\cos 37^\circ = 0{}8 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Bloğun ivmesinin büyüklüğü 2 m/s22\text{ m/s}^2 olur.
Ciske etki eden yerçekimi kuvvetinin eğik düzleme paralel bileşeni (24 N24\text{ N}) ile kinetik sürtünme kuvveti (8 N8\text{ N}) eğik düzlem boyunca aşağı yöndedir. Yukarı yöndeki 40 N40\text{ N}'luk çekme kuvvetinin etkisiyle net kuvvet 40−24−8=8 N40 - 24 - 8 = 8\text{ N} olarak bulunur. Newton'ın ikinci hareket yasasına göre (Fnet=m⋅aF_{\text{net}} = m \cdot a) ivme a=8/4=2 m/s2a = 8 / 4 = 2\text{ m/s}^2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ağırlık kuvvetinin eğik düzleme paralel ve dik bileşenlerini hesaplama.
G∥=24 NG_{\parallel} = 24\text{ N} ve G⊥=32 NG_{\perp} = 32\text{ N}
Eğik düzlem üzerindeki kuvvetlerin hareket doğrultusuna göre analiz edilmesi gerekir.
2
Normal tepki kuvvetini ve kinetik sürtünme kuvvetini hesaplama.
N=32 NN = 32\text{ N} ve fk=8 Nf_k = 8\text{ N}
Harekete karşı koyan sürtünme kuvvetini belirlemek amacıyla yüzey tepki kuvveti kullanılır.
3
Eğik düzlem üzerindeki net kuvveti belirleme.
Fnet=8 NF_{\text{net}} = 8\text{ N}
Net kuvvet, bloğu yukarı çeken kuvvet ile aşağı çeken yerçekimi bileşeni ve sürtünme kuvvetinin farkıdır.
4
Newton'ın ikinci hareket yasasıyla ivmeyi bulma.
a=2 m/s2a = 2\text{ m/s}^2
Net kuvvetin kütleye bölünmesi ivmenin büyüklüğünü verir.

Anahtar Kavram

Eğik d��zlemde kinetik sürtünme ve Newton'ın ikinci yasası yardımıyla ivme hesabı
Soru 644Soru →
Dik koordinat düzleminde, tepe noktası TT olan
f(x)=x2−4x+cf(x) = x^2 - 4x + c
parabolünün xx eksenini kestiği noktalar AA ve BB'dir.

TABTAB üçgeninin alanı 2727 birimkare olduğuna göre, cc gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

c ger��el sayısı -5'tir.
Parabolün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusudur. Bu doğru, xx eksenini kesen AA ve BB noktalarının tam ortasından geçer. Köklerin simetri eksenine olan uzaklığı dd ise, kökler 2−d2-d ve 2+d2+d olup taban uzunluğu 2d2d olur. Fonksiyonda yerine yazıldığında d=4−cd = \sqrt{4-c} bulunur. Yükseklik ise tepe noktasının ordinatının mutlak değeri olan 4−c4-c birimdir. Üçgenin alanı 24−c⋅(4−c)2=27  ⟹  (4−c)3/2=27  ⟹  4−c=9  ⟹  c=−5\frac{2\sqrt{4-c} \cdot (4-c)}{2} = 27 \implies (4-c)^{3/2} = 27 \implies 4-c = 9 \implies c = -5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulma
T(2,c−4)T(2, c-4)
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−42=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2 formülüyle bulunur. Ordinatı ise k=f(r)=f(2)=22−4(2)+c=c−4k = f(r) = f(2) = 2^2 - 4(2) + c = c-4 olarak elde edilir.
2
Simetri ekseni yardımıyla kökler arasındaki uzaklığı ifade etme
∣AB∣=24−c|AB| = 2\sqrt{4-c}
Parabolün simetri ekseni x=2x=2 doğrusudur. Köklerin simetri eksenine olan uzaklığı dd birim ise kökler x1=2−dx_1 = 2-d ve x2=2+dx_2 = 2+d olur. Taban uzunluğu ∣AB∣=∣x2−x1∣=2d|AB| = |x_2 - x_1| = 2d birimdir. Kök denklemi sağladığından f(2+d)=(2+d)2−4(2+d)+c=0  ⟹  d2−4+c=0  ⟹  d=4−cf(2+d) = (2+d)^2 - 4(2+d) + c = 0 \implies d^2 - 4 + c = 0 \implies d = \sqrt{4-c} elde edilir.
3
Üçgenin yüksekliğini belirleme
h=4−ch = 4-c
Parabol xx eksenini iki farklı noktada kestiği için tepe noktasının ordinatı negatif olmalıdır (c−4<0c-4 < 0). TABTAB üçgeninde [AB][AB] tabanına ait yükseklik, tepe noktasının xx eksenine olan uzaklığıdır: h=∣c−4∣=4−ch = |c-4| = 4-c olur.
4
Alan formülünü uygulayarak c değerini hesaplama
c=−5c = -5
Üçgenin alanı Alan(TAB)=∣AB∣⋅h2=24−c⋅(4−c)2=(4−c)3/2=27\text{Alan}(TAB) = \frac{|AB| \cdot h}{2} = \frac{2\sqrt{4-c} \cdot (4-c)}{2} = (4-c)^{3/2} = 27 olarak verilmiştir. Buradan 4−c=272/3=9  ⟹  c=−54-c = 27^{2/3} = 9 \implies c = -5 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası, simetri ekseni ve eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik ilişkiler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 645Soru →
Ortak farkı sıfırdan farklı ve terimleri sıfırdan farklı olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinde,
a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen oran 2'dir.
Verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 denkleminde her terim a1a_1 ve rr cinsinden yazıldığında, denklemin sol tarafı a12+5a1r+6r2a_1^2 + 5a_1r + 6r^2, sağ tarafı ise a12+7a1ra_1^2 + 7a_1r olur. Buradan a12a_1^2 terimleri sadeleşir ve 6r2=2a1r6r^2 = 2a_1r kalır. Dizinin ortak farkı sıfırdan farklı olduğu için bu eşitlikten a1=3ra_1 = 3r bulunur. İstenen a6a2\frac{a_6}{a_2} oranı ise a1+5ra1+r\frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} şeklindedir. Burada a1a_1 yerine 3r3r yazılırsa oran 8r4r=2\frac{8r}{4r} = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin terimlerini birinci terim (a1a_1) ve ortak fark (rr) cinsinden yazın.
a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r ve a8=a1+7ra_8 = a_1 + 7r olarak ifade edilir.
Tüm bilinmeyen terimleri aynı iki temel değişken cinsinden ifade ederek ortak bir denklem çözümü elde etmek.
2
Bu terimleri verilen a3⋅a4=a1⋅a8a_3 \cdot a_4 = a_1 \cdot a_8 eşitliğinde yerine yazın ve denklemi sadeleştirin.
(a1+2r)(a1+3r)=a1(a1+7r)⇒a12+5a1r+6r2=a12+7a1r⇒6r2=2a1r(a_1 + 2r)(a_1 + 3r) = a_1(a_1 + 7r) \Rightarrow a_1^2 + 5a_1r + 6r^2 = a_1^2 + 7a_1r \Rightarrow 6r^2 = 2a_1r elde edilir.
Terimlerin çarpımını dağıtarak benzer terimleri sadeleştirmek ve sade bir bağıntıya ulaşmak.
3
Ortak farkın sıfırdan farklı olduğunu kullanarak birinci terim ile ortak fark arasındaki ilişkiyi bulun.
a1=3ra_1 = 3r olarak bulunur.
r≠0r \neq 0 olduğundan eşitliğin her iki tarafını 2r2r ile bölmekte bir sakınca yoktur.
4
Bulunan a1=3ra_1 = 3r eşitliğini kullanarak a6a2\frac{a_6}{a_2} oranını hesaplayın.
a6a2=a1+5ra1+r=3r+5r3r+r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{a_1 + 5r}{a_1 + r} = \frac{3r + 5r}{3r + r} = 2 bulunur.
İstenen oranı tek bir değişken cinsinden yazıp sadeleştirerek sayısal sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin terimlerinin genel terim formülü kullanılarak cebirsel olarak ifade edilmesi ve çözülmesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, tüm terimleri a2a_2 ve rr cinsinden yazabiliriz. a1=a2−ra_1 = a_2 - r, a3=a2+ra_3 = a_2 + r, a4=a2+2ra_4 = a_2 + 2r ve a8=a2+6ra_8 = a_2 + 6r ifadeleri denklemde yerine yazıldığında (a2+r)(a2+2r)=(a2−r)(a2+6r)⇒a22+3a2r+2r2=a22+5a2r−6r2⇒8r2=2a2r(a_2+r)(a_2+2r) = (a_2-r)(a_2+6r) \Rightarrow a_2^2 + 3a_2r + 2r^2 = a_2^2 + 5a_2r - 6r^2 \Rightarrow 8r^2 = 2a_2r olur. r≠0r \neq 0 olduğundan a2=4ra_2 = 4r bulunur. Bu durumda a6=a2+4r=8ra_6 = a_2 + 4r = 8r olacağından a6a2=8r4r=2\frac{a_6}{a_2} = \frac{8r}{4r} = 2 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 646Soru →

Sürtünmesiz yatay düzlemde 10 m/s10\text{ m/s} sabit hızla hareket etmekte olan 2 kg2\text{ kg} kütleli KK cismi, durmakta olan 3 kg3\text{ kg} kütleli LL cismi ile merkezi ve esnek olarak çarpışmaktadır. Çarpışmadan hemen sonra LL cismi, bir ucu düşey duvara sabitlenmiş yatay duran hafif (kütlesi önemsiz) bir yayı sıkıştırıp tekrar geri fırlamaktadır. Buna göre, LL cisminin yayla teması başladığı andan yaydan ayrıldığı ana kadar geçen sürede, duvarın yaya uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç N⋅s\text{N}\cdot\text{s}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

Duvarın yaya uyguladığı itmenin büyüklüğü 48 N⋅s48\text{ N}\cdot\text{s}'dir.
Çarpışma sonrası L cisminin hızı esnek çarpışma denklemlerinden 8 m/s8\text{ m/s} olarak bulunur. Yayın L cismine uyguladığı itme, L cisminin çizgisel momentumundaki değişime eşittir: IL=ΔpL=mL⋅(vson−vilk)=3⋅(−8−8)=−48 N⋅sI_L = \Delta p_L = m_L \cdot (v_{son} - v_{ilk}) = 3 \cdot (-8 - 8) = -48\text{ N}\cdot\text{s}. Kütlesiz yay kuvveti aynen ilettiğinden duvarın yaya uyguladığı itmenin büyüklüğü de L cisminin çizgisel momentumundaki değişimin büyüklüğü olan 48 N⋅s48\text{ N}\cdot\text{s} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpışma öncesi ve sonrası momentum korunumu ile hız ilişkisi denklemleri yazılır.
20=2vK′+3vL′20 = 2v_K' + 3v_L' ve 10+vK′=vL′10 + v_K' = v_L' denklemleri elde edilir.
Esnek çarpışmalarda hem çizgisel momentum hem de kinetik enerji korunur.
2
Elde edilen denklemler ortak çözülerek L cisminin çarpışmadan hemen sonraki hızı (vL′v_L') bulunur.
vL′=8 m/sv_L' = 8\text{ m/s} olarak bulunur.
L cisminin yayla etkileşime girmeden önceki ilk hızını belirlemek için.
3
L cisminin yayla etkileşimi boyunca çizgisel momentumundaki değişim hesaplanır.
ΔpL=−24−24=−48 kg⋅m/s\Delta p_L = -24 - 24 = -48\text{ kg}\cdot\text{m/s}
Sürtünmesiz ortamda yayda enerji kaybı olmadığından L cismi yaydan aynı süratle (8 m/s8\text{ m/s}) fakat zıt yönde ayrılır.
4
Etki-tepki yasası ve kütlesiz yay prensibi uygulanarak duvarın yaya uyguladığı itme bulunur.
Duvarın yaya uyguladığı itmenin büyüklüğü 48 N⋅s48\text{ N}\cdot\text{s}'dir.
Kütlesiz bir yayda net kuvvet sıfır olduğundan, yayın iki ucuna uygulanan kuvvetler eşit büyüklüktedir. Dolayısıyla duvarın yaya uyguladığı itme, L cisminin momentum değişiminin büyüklüğüne eşittir.

Anahtar Kavram

Esnek çarpışmalar, çizgisel momentumun korunumu, itme ve çizgisel momentum değişimi ilişkisi, kütlesiz yaylarda kuvvet iletimi.
Soru 647Soru →

Bir kutuda 5 mavi ve 3 kırmızı kart bulunmaktadır. Bu kutudan rastgele iki kart art arda ve geri bırakılmaksızın çekiliyor.

Çekilen kartlardan en az birinin mavi olduğu bilindiğine göre, ilk çekilen kartın mavi olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.7

Cevap

Çekilen kartlardan en az birinin mavi olduğu bilindiğinde, ilk çekilen kartın mavi olma olasılığı 0,7'dir.
Verilen koşul (en az bir kartın mavi olması) örnek uzayı kısıtlar. Tüm durumların olasılığından iki kırmızı çekilmesi durumu çıkarıldığında koşul uzayının olasılığı 25/28 bulunur. İlk kartın mavi olması bu koşulu zaten kapsadığından kesişim olasılığı 5/8'dir. Bu iki değerin oranı 0,7 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşul olarak verilen 'en az bir mavi kart çekilmesi' durumunun olasılığını hesaplamak.
En az bir mavi kart çekilme olasılığı 25/28'dir.
En az bir mavi çekilmesi durumunun olasılığı, tüm durumlardan (1) iki kartın da kırmızı çekilme olasılığının (3/28) çıkarılmasıyla pratik şekilde hesaplanır.
2
İstenen olayın koşul olayı ile kesişiminin olasılığını bulmak.
Kesişim olayının olasılığı 5/8'dir.
İlk kartın mavi olması durumu, en az bir kartın mavi olması durumunu kendiliğinden sağladığı için bu iki olayın kesişimi doğrudan ilk kartın mavi olması durumuna eşittir.
3
Koşullu olasılık oranını kurarak nihai olasılık değerini hesaplamak.
Koşullu olasılık değeri 0,7'dir.
Koşullu olasılık tanımına göre kesişim olayının olasılığı, koşul olayının olasılığına bölünür.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılık problemlerinde, gerçekleştiği bilinen koşul olayı örnek uzayı kısıtlar ve aranan olasılık bu kısıtlanmış örnek uzay üzerinden hesaplanır.
Soru 648Soru →
log⁡2x−2log⁡x8=5 \log_2 x - 2\log_x 8 = 5 eşitliğini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı 32'dir.
Verilen denklemde taban değiştirme kuralı uygulanıp log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yapıldığında t2−5t−6=0t^2 - 5t - 6 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri t=6t = 6 ve t=−1t = -1 olduğundan, xx değerleri sırasıyla 26=642^6 = 64 ve 2−1=1/22^{-1} = 1/2 olur. Bu iki değerin çarpımı bize 32 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın üs ve taban değiştirme özelliklerini uygulayarak denklemi tek bir değişken cinsinden ifade etmek.
log⁡2x−6log⁡2x=5\log_2 x - \frac{6}{\log_2 x} = 5
log⁡x8=3log⁡x2\log_x 8 = 3\log_x 2 eşitliği ve taban değiştirme kuralı olan log⁡x2=1log⁡2x\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} bağıntısı kullanılarak ortak bir log⁡2x\log_2 x terimi elde edilmiştir.
2
log⁡2x=t\log_2 x = t dönüşümü yaparak ikinci dereceden denklemi kurmak ve çözmek.
t2−5t−6=0  ⟹  t1=6,t2=−1t^2 - 5t - 6 = 0 \implies t_1 = 6, \quad t_2 = -1
Denklemi çözülebilir bir polinom formuna getirmek ve kök değerlerini saptamak amacıyla bu dönü��üm yapılmıştır.
3
Kökleri orijinal değişkene dönüştürmek, tanımlılık kontrolü yapmak ve köklerin çarpımını bulmak.
x1=64,x2=12  ⟹  x1⋅x2=32x_1 = 64, \quad x_2 = \frac{1}{2} \implies x_1 \cdot x_2 = 32
tt değerleri yerine yazılarak xx değerleri bulunmuş ve bu değerlerin çarpımı elde edilmiştir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Alternatif Yöntem

Denklemde taban değiştirme kuralı doğrudan uygulanmadan her iki taraf log⁡2x\log_2 x ile çarpılarak (log⁡2x)2−5log⁡2x−6=0(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x - 6 = 0 biçiminde de yazılabilir. Bu durumda doğrudan log⁡2x\log_2 x ifadesine bağlı çarpanlara ayırma yapılarak kökler bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 649Soru →

Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S3=26S_3 = 26
S6=728S_6 = 728

olduğuna göre, bu dizinin ilk 44 teriminin toplamı (S4S_4) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Dizinin ilk 4 teriminin toplamı 80'dir.
Verilen geometrik dizide ilk 6 terimin toplamının ilk 3 terimin toplamına oranı, ortak çarpanın küpünün 1 fazlasını vermektedir. Bu orandan ortak çarpan 3, dizinin ilk terimi ise 2 olarak hesaplanır. İlk 4 terimin toplam formülü olan S_4 uygulanarak 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk 6 terim toplamının ilk 3 terim toplamına oranını yazarak ortak çarpan ile ilişkisini kurmak.
S_6 / S_3 = r^3 + 1
Geometrik dizi toplam formülü oranlandığında a_1 ve r - 1 çarpanları sadeleşir, geriye iki kare farkından r^3 + 1 kalır.
2
Oran değerini eşitleyerek dizinin ortak çarpanını hesaplamak.
r = 3
728 / 26 = 28 olduğundan r^3 + 1 = 28 eşitliği elde edilir, bu da r^3 = 27 ve r = 3 sonucunu verir.
3
İlk 3 terimin toplamını kullanarak dizinin ilk terimini bulmak.
a_1 = 2
S_3 = a_1 * (3^3 - 1) / (3 - 1) = 13 * a_1 = 26 denkleminden ilk terim bulunur.
4
Bulunan ilk terim ve ortak çarpanı toplam formülünde yerine koyarak S_4 değerini hesaplamak.
S_4 = 80
S_4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 80 işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve terimler arası oran bağıntıları.
Soru 650Soru →

Sürtünmesiz eğrisel bir rayın h=7,2 mh = 7,2\text{ m} yüksekliğindeki tepe noktasından serbest bırakılan m=2 kgm = 2\text{ kg} kütleli bir cisim, rayın alt ucundaki yatay ve sürtünmesiz düzlemde durmakta olan M=6 kgM = 6\text{ kg} kütleli cisim ile merkezi olarak çarpışıp kenetleniyor. Ortak kütle, yatay düzleme sabitlenmiş ve yay sabiti k=200 N/mk = 200\text{ N/m} olan kütlesi önemsiz bir yayı sıkıştırıyor. Yer çekimi ivmesi g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 olduğuna göre, yayda meydana gelen maksimum sıkışma miktarı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Yayda meydana gelen maksimum sıkışma miktarı 60 santimetredir.
Ortak kütlenin kazandığı kinetik enerjinin tamamı yaya aktarılarak yayı 0,6 metre yani 60 santimetre sıkıştırır. Bu değer momentum korunumu ve enerji dönüşümü ilkeleriyle doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
m kütleli cismin eğrisel raydan aşağı kayarak yatay düzleme ulaştığı andaki hızını mekanik enerjinin korunumu yasasıyla hesaplama.
v=12 m/sv = 12\text{ m/s}
Sürtünmesiz ortamda başlangıçtaki yer çekimi potansiyel enerjisi (mghmgh), rayın alt ucunda tamamen kinetik enerjiye (12mv2\frac{1}{2}mv^2) dönüşür.
2
Çarpışma anında yatay doğrultuda dış kuvvetlerin bileşkesi sıfır olduğu için çizgisel momentumun korunumunu uygulama.
vortak=3 m/sv_{\text{ortak}} = 3\text{ m/s}
Tamamen esnek olmayan çarpışmalarda cisimler kenetlenir ve toplam çizgisel momentum korunur (m⋅v+M⋅0=(m+M)⋅vortakm \cdot v + M \cdot 0 = (m+M) \cdot v_{\text{ortak}}).
3
Çarpışmadan hemen sonraki toplam kinetik enerjiyi yayın maksimum sıkışma anındaki esneklik potansiyel enerjisine eşitleme.
x=0,6 mx = 0,6\text{ m}
Yay maksimum sıkıştığı anda ortak kütle anlık olarak durur, böylece ortak kinetik enerjinin tamamı yayda esneklik potansiyel enerjisine (12kx2\frac{1}{2}kx^2) dönüşür.
4
Metre cinsinden hesaplanan maksimum sıkışma miktarını soru köküne uygun olarak santimetreye dönüştürme.
x=60 cmx = 60\text{ cm}
Uzunluk birimi dönüşüm kuralına göre 1 metre=100 santimetre1\text{ metre} = 100\text{ santimetre} olduğundan 0,6 m0,6\text{ m} değeri 60 cm60\text{ cm}'ye eşittir.

Anahtar Kavram

İtme ve çizgisel momentumun korunumu ile mekanik enerjinin korunumu ilkelerinin ardışık olarak uygulanması.
Soru 651Soru →

Düşey kesiti verilen sürtünmeli yatay tavana, m=2 kgm = 2\text{ kg} kütleli bir blok yatayla 53∘53^\circ açı yapacak şekilde uygulanan F=50 NF = 50\text{ N} büyüklüğündeki kuvvetle bastırılmaktadır.

Blok ile tavan arasındaki kinetik sürtünme katsayısı μk=0,5\mu_k = 0,5 olduğuna göre, bloğun yatay doğrultudaki ivmesinin büyüklüğü kaç m/s2\text{m/s}^2 olur?

(g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2, sin⁡(53∘)=0,8\sin(53^\circ) = 0,8 ve cos⁡(53∘)=0,6\cos(53^\circ) = 0,6 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Bloğun yatay doğrultudaki ivmesinin büyüklüğü 10 m/s210\text{ m/s}^2 olarak bulunur.
Uygulanan F=50 NF = 50\text{ N} kuvvetinin düşey bileşeni olan Fy=40 NF_y = 40\text{ N}, bloğun 20 N20\text{ N} ağırlığını aşarak tavana doğru sıkıştırır. Bu durumda tavanın tepki kuvveti N=20 NN = 20\text{ N} olur. Sürtünme kuvveti fk=μk⋅N=10 Nf_k = \mu_k \cdot N = 10\text{ N} hesaplanır. Yatay bileşen Fx=30 NF_x = 30\text{ N} olduğundan, yataydaki net kuvvet Fnet=30−10=20 NF_{\text{net}} = 30 - 10 = 20\text{ N} olur. Fnet=m⋅aF_{\text{net}} = m \cdot a eşitliğinden ivme 10 m/s210\text{ m/s}^2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kuvvet bileşenlerinin hesaplanması
Fx=30 NF_x = 30\text{ N} ve Fy=40 NF_y = 40\text{ N}
Bloğu yatayda hareket ettiren ve tavana bastıran kuvvetleri ayrı ayrı bulmak için uygulanan kuvvetin bileşenleri hesaplanır.
2
Normal kuvvetin bulunması
N=20 NN = 20\text{ N}
Tavanın bloğa uyguladığı tepki (normal) kuvvetini bulmak için düşey doğrultudaki kuvvet dengesi kullanılır.
3
Sürtünme kuvvetinin bulunması
fk=10 Nf_k = 10\text{ N}
Bloğun hareketine zıt yönde etki eden sürtünme kuvveti, kinetik sürtünme katsayısı ve normal kuvvet çarpılarak hesaplanır.
4
Net kuvvet ve ivmenin hesaplanması
a=10 m/s2a = 10\text{ m/s}^2
Yatay doğrultudaki net kuvvet belirlendikten sonra Newton'ın ikinci hareket yasası (Fnet=m⋅aF_{\text{net}} = m \cdot a) kullanılarak ivme hesaplanır.

Anahtar Kavram

Newton'ın İkinci Hareket Yasası, bileşke kuvvet analizi ve sürtünme kuvvetinin normal kuvvetle ilişkisi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 652Soru →

Bir spor okulunda tenis oynayanların %60\%60'ı, yüzme sporunu yapanların ise %30\%30'u lisanslı sporcudur. Bu okulda tenis oynayanların sayısı, yüzme sporunu yapanların sayısının 22 katıdır. Her öğrenci bu iki spordan yalnız birini yapmaktadır. Buna göre, bu okuldan rastgele seçilen bir öğrencinin lisanslı olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin tenis oynayan biri olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

Seçilen öğrencinin tenis oynama olasılığı 0,8'dir.
Seçilen öğrencinin lisanslı olduğu bilindiği için örnek uzayımız lisanslı sporcular kümesi (1,5x1,5x) ile sınırlanır. Bu gruptaki tenis oynayanların sayısı 1,2x1,2x olduğundan, koşullu olasılık 1,2x1,5x=0,8\frac{1,2x}{1,5x} = 0,8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Yüzme ve tenis oynayan öğrenci sayılarını değişken cinsinden belirleme
Yüzme oynayan öğrenci sayısı xx ise tenis oynayan öğrenci sayısı 2x2x olur.
Tenis oynayanların sayısının yüzme oynayanların 2 katı olduğu bilgisine dayanarak oran kurmak için.
2
Branşlarına göre lisanslı sporcu sayılarını hesaplama
Lisanslı tenisçiler 2x×0,60=1,2x2x \times 0,60 = 1,2x, lisanslı yüzücüler x×0,30=0,3xx \times 0,30 = 0,3x olur.
Koşullu olasılıkta kullanılacak olan kesişim kümelerinin eleman sayılarını bulmak için.
3
Toplam lisanslı sporcu sayısını bulma
Toplam lisanslı sporcu sayısı 1,2x+0,3x=1,5x1,2x + 0,3x = 1,5x olur.
Verilen koşula göre örnek uzayımızı lisanslı sporcular kümesine daraltmak için.
4
Koşullu olasılık formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
Olasılık = 1,2x1,5x=0,8\frac{1,2x}{1,5x} = 0,8 bulunur.
Lisanslı olduğu bilinen sporcular arasından tenis oynayanların oranını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık
Soru 653Soru →

Ortak farkı sıfırdan farklı ve ilk terimine eşit olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisi veriliyor.

x2−(a4+9)x+a2⋅a5=0x^2 - (a_4 + 9)x + a_2 \cdot a_5 = 0

ikinci dereceden denkleminin kökleri bu dizinin a2a_2 ve a5a_5 terimleridir.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Sekizinci terim (a8a_8) 24'tür.
İkinci dereceden denklemin kökler toplamı kuralından köklerin toplamı olan a2+a5a_2 + a_5 ifadesi, a4+9a_4 + 9'a eşit olur. Dizinin ilk terimi ortak farkına eşit olduğundan (a1=ra_1 = r), terimler a2=2ra_2 = 2r, a4=4ra_4 = 4r ve a5=5ra_5 = 5r şeklinde yazılır. Buradan 2r+5r=4r+9  ⟹  3r=9  ⟹  r=32r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3 elde edilir. İlk terim a1=3a_1 = 3 olup, sekizinci terim a8=a1+7r=3+21=24a_8 = a_1 + 7r = 3 + 21 = 24 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terimlerini ortak fark rr cinsinden ifade edin.
a1=ra_1 = r, a2=2ra_2 = 2r, a4=4ra_4 = 4r, a5=5ra_5 = 5r
İlk terimin ortak farka eşit olduğu (a1=ra_1 = r) belirtilmiştir.
2
İkinci dereceden denklemin kökler toplamı bağıntısını yazın.
a2+a5=a4+9a_2 + a_5 = a_4 + 9
x2−Bx+C=0x^2 - Bx + C = 0 biçimindeki bir denklemde kökler toplamı BB katsayısına eşittir.
3
Elde edilen denklemde terimlerin rr cinsinden değerlerini yerine yazarak ortak farkı hesaplayın.
2r+5r=4r+9  ⟹  3r=9  ⟹  r=32r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3
Ortak farkı bulmak, dizinin tüm terimlerini belirlememizi sağlar.
4
Bulunan değerler yardımıyla dizinin sekizinci terimini hesaplayın.
a8=a1+7r=3+7⋅3=24a_8 = a_1 + 7r = 3 + 7 \cdot 3 = 24
Bir aritmetik dizide genel terim formülü an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r şeklindedir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin temel terim özellikleri ve ikinci dereceden denklemlerde kökler toplamı (Vieta) ilişkisinin birlikte kullanımı.
Soru 654Soru →
1'den büyük xx ve yy gerçel sayıları için,
log⁡x(y⋅x2)+log⁡y(x9y2) \log_x (y \cdot x^2) + \log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right)
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.
Verilen ifade logaritma özellikleri yardımıyla sadeleştirildiğinde log⁡xy+9log⁡yx\log_x y + 9\log_y x ifadesine ulaşılır. log⁡xy=t\log_x y = t değişken değiştirmesi yapıldığında, x>1x > 1 ve y>1y > 1 koşullarından ötürü t>0t > 0 olur. Bu durumda ifade t+9tt + \frac{9}{t} biçimini alır. Pozitif sayılar için Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (a+b≥2aba + b \ge 2\sqrt{ab}) uygulandığında t+9t≥2t⋅9t=6t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6 elde edilir. Dolayısıyla ifadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın çarpım ve bölüm özelliklerini uygulayarak terimleri ayırın.
log⁡x(y⋅x2)=log⁡xy+2\log_x (y \cdot x^2) = \log_x y + 2 ve log⁡y(x9y2)=9log⁡yx−2\log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right) = 9\log_y x - 2 elde edilir.
Çarpım durumundaki argümanlar toplam, bölüm durumundakiler ise fark olarak yazılabilir.
2
Terimleri toplayarak ifadeyi sadeleştirin.
log⁡xy+9log⁡yx\log_x y + 9\log_y x
Sabit terimler olan +2+2 ve −2-2 birbirini götürür.
3
Taban değiştirme özelliğini uygulayarak değişken değiştirme yapın.
log⁡xy=t\log_x y = t dersek, log⁡yx=1t\log_y x = \frac{1}{t} olur. İfade t+9tt + \frac{9}{t} haline gelir. x>1x > 1 ve y>1y > 1 olduğu için t>0t > 0'dır.
log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} özelliği taban değiştirmede temel bir kuraldır.
4
Aritmetik ve Geometrik Ortalama eşitsizliğini (AGO) uygulayarak en küçük değeri bulun.
t+9t≥2t⋅9t=6t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6
Pozitif gerçel sayılar için aritmetik ortalama her zaman geometrik ortalamadan büyük veya eşittir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun çarpım, bölüm ve taban değiştirme özelliklerinin aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ile birleştirilmesi.
Soru 655Soru →

Bir hasta; 3 adedi özdeş sarı, 2 adedi özdeş mavi ve 1 adedi kırmızı olan toplam 6 ilacı, 6 gün boyunca her gün bir adet içecektir.

Mavi ilaçları ardışık günlerde içmek istemeyen bu hasta, bu ilaçların tamamını kaç farklı sıralamayla içebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Hasta bu ilaçları mavi ilaçlar ardışık günlerde olmayacak şekilde 40 farklı sıralamayla i��ebilir.
Toplam 6 ilacın (3 özdeş sarı, 2 özdeş mavi, 1 kırmızı) hiçbir koşul olmadan sıralanma sayısı 6!3!⋅2!=60\frac{6!}{3! \cdot 2!} = 60'tır. Mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği durumlar için iki mavi ilaç tek bir eleman (MM)(MM) kabul edilir ve geriye kalan 3 sarı ile 1 kırmızı ilaçla birlikte {S, S, S, (MM), K} şeklinde 5!3!=20\frac{5!}{3!} = 20 farklı dizilim oluşturur. İstenen koşula uymayan bu 20 durum tüm durumlardan çıkarıldığında geriye kalan 40 durumda mavi ilaçlar hiçbir zaman ardışık günlerde içilmemiş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası sıralamaların sayısını hesaplama
Tüm durumlar = 60
Elimizde 3 özdeş sarı (S), 2 özdeş mavi (M) ve 1 kırmızı (K) olmak üzere toplam 6 ilaç vardır. Herhangi bir kısıtlama olmaksızın bu ilaçların sıralanma sayısı tekrarlı permütasyon ile 6!3!⋅2!⋅1!=7206⋅2=60\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{720}{6 \cdot 2} = 60 olarak bulunur.
2
Mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği durumların sayısını hesaplama
Mavi ilaçların yan yana olduğu durumlar = 20
Mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği durumları bulmak için iki mavi ilacı birbirine ba��lı tek bir eleman (MM)(MM) olarak kabul ederiz. Bu durumda sıralanacak elemanlar {S, S, S, (MM), K} olur. Burada 3 adet özdeş S, 1 adet (MM) grubu ve 1 adet K olmak üzere toplam 5 eleman vardır. Bu elemanların dizilim sayısı tekrarlı permütasyon ile 5!3!⋅1!⋅1!=1206=20\frac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{6} = 20 olur.
3
İstenen durumların sayısını bulma
İstenen durum sayısı = 40
Tüm durumlardan, mavi ilaçların ardışık günlerde içildiği istenmeyen durumları çıkartarak sonuca ulaşırız: 60−20=4060 - 20 = 40.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması (tümleme yöntemi).
Soru 656Soru →

Sürtünmesiz yatay bir yolda 10 m/s10\text{ m/s} sabit hızla hareket etmekte olan 2 kg2\text{ kg} kütleli bir blok, yalnızca 4,5 m4,5\text{ m} uzunluğundaki bölümü pürüzlü (sürtünmeli) olan bir yola giriyor. Blok ile sürtünmeli yol arasındaki sürtünme katsayısı μ=0,4\mu = 0,4 olup blok bu bölümü geçtikten hemen sonra karşıdaki dik duvara çarparak 4 m/s4\text{ m/s} hızla geri dönüyor.

Buna göre, çarpışma esnasında duvarın bloğa uyguladığı itmenin büyüklüğü kaç N⋅s\text{N}\cdot\text{s}'dir?
(g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Duvarın bloğa uyguladığı itmenin büyüklüğü 24 N⋅s24\text{ N}\cdot\text{s}'dir.
Duvarın uyguladığı itme, bloğun momentumundaki değişime eşittir. Sürtünmeli yolda yavaşlayan bloğun duvara çarpmadan hemen önceki hızı 8 m/s8\text{ m/s}'dir. Duvara çarpıp zıt yönde 4 m/s4\text{ m/s} hızla geri döndüğünden, momentum değişimi yönler hesaba katılarak Δp⃗=mv⃗son−mv⃗ilk=2⋅(−4)−2⋅8=−24 kg⋅m/s\Delta \vec{p} = m \vec{v}_{son} - m \vec{v}_{ilk} = 2 \cdot (-4) - 2 \cdot 8 = -24\text{ kg}\cdot\text{m/s} olarak hesaplanır. Bu da itmenin büyüklüğünün 24 N⋅s24\text{ N}\cdot\text{s} olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Sürtünmeli bölgede bloğa etki eden sürtünme kuvvetinin hesaplanması
fs=8 Nf_s = 8\text{ N}
Sürtünme kuvveti fs=μ⋅N=μ⋅m⋅gf_s = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g bağıntısı ile bulunur. Buradan fs=0,4⋅2⋅10=8 Nf_s = 0,4 \cdot 2 \cdot 10 = 8\text{ N} elde edilir.
2
İş-enerji teoremi yardımıyla bloğun sürtünmeli bölge sonundaki (duvara çarpmadan hemen önceki) hızının bulunması
v1=8 m/sv_1 = 8\text{ m/s}
Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş kinetik enerjideki değişime eşittir: Eilk−Wsu¨r=Eson  ⟹  12mv02−fs⋅d=12mv12E_{ilk} - W_{sür} = E_{son} \implies \frac{1}{2}m v_0^2 - f_s \cdot d = \frac{1}{2}m v_1^2. Değerler yazıldığında 12⋅2⋅102−8⋅4,5=12⋅2⋅v12  ⟹  100−36=v12  ⟹  v1=8 m/s\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10^2 - 8 \cdot 4,5 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v_1^2 \implies 100 - 36 = v_1^2 \implies v_1 = 8\text{ m/s} bulunur.
3
Duvarın bloğa uyguladığı itmenin momentum değişimi formülü ile hesaplanması
I=24 N⋅sI = 24\text{ N}\cdot\text{s}
İtme, çizgisel momentumdaki değişime eşittir (I⃗=Δp⃗=p⃗son−p⃗ilk\vec{I} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_{son} - \vec{p}_{ilk}). Başlangıçtaki hareket yönü pozitif (+) kabul edilirse, duvara çarpma hızı v1=+8 m/sv_1 = +8\text{ m/s} ve yansıma hızı v2=−4 m/sv_2 = -4\text{ m/s} olur. Buradan I⃗=m⋅v2−m⋅v1=2⋅(−4)−2⋅8=−24 N⋅s\vec{I} = m \cdot v_2 - m \cdot v_1 = 2 \cdot (-4) - 2 \cdot 8 = -24\text{ N}\cdot\text{s} elde edilir. Büyüklük sorulduğu için cevap 2424 olur.

Anahtar Kavram

İtme ve Çizgisel Momentum Değişimi İlişkisi ile İş-Enerji Teoreminin Birlikte Uygulanması

Alternatif Yöntem

Sürtünmeli yoldaki yavaşlama süresi bulunarak ivmeli hareket denklemleriyle de son hız hesaplanabilir. Bloğun ivmesi a=μ⋅g=4 m/s2a = \mu \cdot g = 4\text{ m/s}^2 olur. Zamansız hız formülü v2=v02−2adv^2 = v_0^2 - 2ad kullanılarak duvara çarpma hızı v2=102−2⋅4⋅4,5=64  ⟹  v=8 m/sv^2 = 10^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4,5 = 64 \implies v = 8\text{ m/s} olarak doğrudan elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 657Soru →

Bir dijital içerik üreticisi, kanalında her hafta bir önceki haftadan daha fazla video yayınlamayı planlamaktadır. İlk hafta 44 video yayınlayan bu üretici, takip eden her hafta yayınladığı video sayısını bir önceki haftaya göre sabit bir sayıda artırmıştır.

Bu üreticinin ilk 66 haftada yayınladığı toplam video sayısı, ilk 33 haftada yayınladığı toplam video sayısının 33 katından 1212 fazladır.

Buna göre, üreticinin 1010. haftada yayınladığı video sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Üreticinin 10. haftada yayınladığı video sayısı 40'tır.
Dizinin ilk terimi a1=4a_1 = 4 ve ortak farkı dd olarak alındığında, ilk 66 ve ilk 33 haftadaki toplam video sayıları sırasıyla S6=24+15dS_6 = 24 + 15d ve S3=12+3dS_3 = 12 + 3d olur. S6=3S3+12S_6 = 3S_3 + 12 eşitliğinden d=4d = 4 bulunur. Buradan 10. haftadaki video sayısı a10=4+9(4)=40a_{10} = 4 + 9(4) = 40 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Adım 1: Haftalık yayınlanan video sayısının bir aritmetik dizi oluşturduğunu belirleme.
Sonuç: İlk terim a1=4a_1 = 4 ve ortak fark dd olarak alınır. Genel terim an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ve ilk nn terim toplamı Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] şeklindedir.
Neden: Her hafta yayınlanan video sayısı bir önceki haftaya göre sabit bir miktarda artmaktadır.
2
Adım 2: İlk 66 ve ilk 33 haftadaki toplam video sayılarını ortak fark dd cinsinden yazma.
Sonuç: S6=3(8+5d)=24+15dS_6 = 3(8 + 5d) = 24 + 15d ve S3=32(8+2d)=12+3dS_3 = \frac{3}{2}(8 + 2d) = 12 + 3d elde edilir.
Neden: Soruda verilen toplam video sayıları arasındaki ilişkiyi kullanarak dd bilinmeyenini bulmak hedeflenmektedir.
3
Adım 3: Verilen bağıntıyı kullanarak dd ortak farkını bulma.
Sonuç: 24+15d=3(12+3d)+12  ⟹  24+15d=48+9d  ⟹  6d=24  ⟹  d=424 + 15d = 3(12 + 3d) + 12 \implies 24 + 15d = 48 + 9d \implies 6d = 24 \implies d = 4 bulunur.
Neden: İlk 66 haftalık toplamın, ilk 33 haftalık toplamın 33 katından 1212 fazla olduğu bilgisi eşitlik olarak kurulur.
4
Adım 4: 10. haftada yayınlanan video sayısını (a10a_{10}) hesaplama.
Sonuç: a10=a1+9d=4+9(4)=40a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 9(4) = 40 olarak elde edilir.
Neden: Üreticinin sadece 10. haftada yayınladığı video sayısı dizinin 10. terimi olan a10a_{10}'a eşittir.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerinde uygulanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 658Soru →

Bir nükleer reaktördeki güvenlik kalkanının kalınlığı xx santimetre olup, bu kalkandan dışarı sızan radyasyon miktarı R(x)R(x) (milisievert/saat) olmak üzere,

R(x)=R0⋅e−k⋅xR(x) = R_0 \cdot e^{-k \cdot x}

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu formülde R0R_0 başlangıçtaki radyasyon miktarını, kk ise kalkanın yapıldığı malzemenin radyasyon soğurma katsayısını göstermektedir.

Bir güvenlik duvarı için k=005 cm−1k = 0{}05 \text{ cm}^{-1} olan bir yalıtım malzemesi kullanılmıştır.

Buna göre, kalkan dışına sızan radyasyon miktarının başlangıçtaki radyasyon miktarına göre %80\%80 oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı kaç santimetre olmalıdır?

(ln⁡5≈16\ln 5 \approx 1{}6 alınız.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Radyasyon miktarının başlangıçtaki değerine göre %80 oranında azaltılması için kalkanın kalınlığı 32 santimetre olmalıdır.
Kalkan dışına sızan radyasyon miktarının %80 azaltılması, geriye başlangıçtaki radyasyonun %20'sinin kalması anlamına gelir. Bu durumda R(x)=02⋅R0R(x) = 0{}2 \cdot R_0 olur. Formülde yerine yazıp sadeleştirdiğimizde e−005x=02e^{-0{}05 x} = 0{}2 elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritmasını aldığımızda 005x=ln⁡50{}05 x = \ln 5 olur. ln⁡5≈16\ln 5 \approx 1{}6 alındığında, 005x=16⇒x=320{}05 x = 1{}6 \Rightarrow x = 32 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kalan radyasyon oranını belirleme.
Geriye kalan radyasyon miktarı başlangıç değerinin %20'sidir (R(x)=020⋅R0R(x) = 0{}20 \cdot R_0).
Soruda radyasyonun %80 oranında azaltılması istendiği için geriye kalan radyasyon miktarı %20 olmalıdır.
2
Model denkleminde verileri yerine yazma.
020⋅R0=R0⋅e−005⋅x0{}20 \cdot R_0 = R_0 \cdot e^{-0{}05 \cdot x}
Radyasyon miktarı R(x)R(x) ve soğurma katsayısı k=005k = 0{}05 formüle yerleştirilir.
3
Denklemi sadeleştirme ve e tabanında logaritma alma.
5−1=e−005⋅x⇒−ln⁡5=−005⋅x5^{-1} = e^{-0{}05 \cdot x} \Rightarrow -\ln 5 = -0{}05 \cdot x
R_0 terimleri sadeleştirilir, 020=5−10{}20 = 5^{-1} olarak yazılır ve her iki tarafın doğal logaritması alınır.
4
Kalınlık değerini hesaplama.
x=32x = 32
ln⁡5≈16\ln 5 \approx 1{}6 değeri yerine yazıldığında 16=005⋅x1{}6 = 0{}05 \cdot x elde edilir, buradan x=32x = 32 bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların logaritma yardımıyla çözülmesi ve gerçek hayat problemlerine uygulanması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, 02=e−005x0{}2 = e^{-0{}05 x} denklemi 5=e005x5 = e^{0{}05 x} biçiminde yazılabilir. Her iki tarafın doğal logaritma tanımı kullanılarak doğrudan 005x=ln⁡50{}05 x = \ln 5 eşitliğine ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 659Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−(2m−4)x+m2−5f(x) = x^2 - (2m - 4)x + m^2 - 5
parabolünün tepe noktası T(r,k)T(r, k)'dir.
Bu parabolün simetri ekseni x=2x = 2 doğrusu olduğuna göre, TT noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Parabolün tepe noktasının koordinatları çarpımı 14'tür.
Simetri ekseni x=2x = 2 doğrusu olduğundan tepe noktasının apsisi r=2r = 2'dir. r=−b2ar = -\frac{b}{2a} bağıntısından m=4m = 4 elde edilir. Parabol denkleminde mm yerine yazıldığında f(x)=x2−4x+11f(x) = x^2 - 4x + 11 bulunur. Tepe noktasının ordinatı k=f(2)=7k = f(2) = 7 olarak hesaplanır. Dolayısıyla, tepe noktasının koordinatları çarpımı 2×7=142 \times 7 = 14'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün simetri ekseni formülünü uygulamak.
r=m−2=2  ⟹  m=4r = m - 2 = 2 \implies m = 4
Simetri ekseni x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a} doğrusudur. Burada b=−(2m−4)b = -(2m - 4) ve a=1a = 1 olduğu için r=m−2r = m - 2 olur.
2
mm değerini fonksiyonda yerine yazarak parabol denklemini belirlemek.
f(x)=x2−4x+11f(x) = x^2 - 4x + 11
Tepe noktasının ordinatını bulmak için öncelikle fonksiyonun tam denklemini elde etmemiz gerekir.
3
Tepe noktasının ordinatı olan kk değerini bulmak.
k=f(2)=7k = f(2) = 7
Tepe noktasının yy koordinatı kk, fonksiyonda xx yerine simetri ekseni değeri olan r=2r = 2 yazılarak bulunur.
4
Tepe noktasının koordinatları çarpımını hesaplamak.
r×k=2×7=14r \times k = 2 \times 7 = 14
Soru bizden tepe noktası T(r,k)T(r, k)'nin koordinatları çarpımını istemektedir.

Anahtar Kavram

Parabolün simetri ekseni x=r=−b2ax = r = -\frac{b}{2a} doğrusudur ve tepe noktası T(r,f(r))T(r, f(r)) koordinatlarına sahiptir.
Soru 660Soru →

Hava sürtünmelerinin önemsiz olduğu ve yer çekimi ivmesinin g=10 m/s2g = 10 \text{ m/s}^2 kabul edildiği bir ortamda, yatay düzlem üzerindeki bir noktadan eğik olarak fırlatılan bir cisim, hareketi sırasında aynı yükseklikten fırlatıldıktan 1 s1 \text{ s} ve 3 s3 \text{ s} sonra geçmektedir. Cismin fırlatıldıktan 1 s1 \text{ s} ve 3 s3 \text{ s} sonraki hız vektörleri birbirine dik olduğuna göre, cismin yatayda aldığı yol (menzili) kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Cismin yatayda aldığı yol (menzili) 40 m40 \text{ m}'dir.
Cismin 1 s1 \text{ s} ve 3 s3 \text{ s} anlarında aynı yükseklikte bulunması, hareketin tepe noktasına 2 s2 \text{ s}'de ulaştığını ve dolayısıyla ilk düşey hızının 20 m/s20 \text{ m/s} olduğunu gösterir. Bu anlardaki düşey hızlar sırasıyla +10 m/s+10 \text{ m/s} ve −10 m/s-10 \text{ m/s} olur. Hız vektörlerinin dikliği şartından (vx2−100=0v_x^2 - 100 = 0) yatay hız 10 m/s10 \text{ m/s} bulunur. Uçuş süresi 4 s4 \text{ s} olduğundan menzil 40 m40 \text{ m} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Uçuş süresi ve ilk düşey hız bileşeninin belirlenmesi
tuc¸us¸=4 st_{\text{uçuş}} = 4 \text{ s}, v0y=20 m/sv_{0y} = 20 \text{ m/s}
Eğik atış hareketinde cisim aynı yükseklikten yükselirken ve alçalırken geçer. Bu sürelerin aritmetik ortalaması tepe noktasına ulaşma süresini verir. Tepe noktasına ulaşma süresinden düşey hız bileşeni ve toplam uçuş süresi bulunur.
2
Belirtilen anlardaki düşey hız bileşenlerinin hesaplanması
vy(1s)=10 m/sv_{y}(1\text{s}) = 10 \text{ m/s} ve vy(3s)=−10 m/sv_{y}(3\text{s}) = -10 \text{ m/s}
Yer çekimi ivmesi nedeniyle düşey hız her saniye 10 m/s10 \text{ m/s} azalır. vy=v0y−gtv_y = v_{0y} - gt formülü kullanılarak hız bileşenleri bulunur.
3
Hız vektörlerinin diklik koşulundan yatay hızın bulunması
vx=10 m/sv_x = 10 \text{ m/s}
Yatay hız bileşeni hareket boyunca sabittir. İki vektörün birbirine dik olması, bu vektörlerin skaler çarpımının sıfır olmasını gerektirir: vx2+vy1⋅vy2=0v_x^2 + v_{y1} \cdot v_{y2} = 0.
4
Yatay menzilin hesaplanması
X=40 mX = 40 \text{ m}
Yatayda alınan yol, sabit yatay hız ile toplam uçuş süresinin çarpımına eşittir: X=vx⋅tuc¸us¸X = v_x \cdot t_{\text{uçuş}}.

Anahtar Kavram

Eğik atış hareketinde simetri, yatay ve düşey hız bileşenlerinin birbirinden bağımsızlığı ve dik vektörlerin skaler çarpımı.
ÖncekiSayfa 33 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin