Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1121Soru →

Analitik düzlemde verilen birim çember üzerindeki bir PP noktası, başlangıç kenarı pozitif xx ekseni olan θ\theta yönlü açısının bitiş kenarı üzerindedir.

π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi

olmak üzere, PP noktasından xx eksenine indirilen dikmenin ayağı HH noktasıdır.

Buna göre, OHOH uzunluğunun θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −cos⁡θ-\cos\theta

Cevap

−cos⁡θ-\cos\theta ifadesi doğru cevaptır.
Birim çember üzerinde θ\theta açısına karşılık gelen noktanın koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) şeklindedir. Bu noktanın xx ekseni üzerindeki dik izdüşümü H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0) olup, orijine olan uzaklığı ∣cos⁡θ∣|\cos\theta| değerine eşittir. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan, bu uzunluk dışarıya önüne eksi alarak −cos⁡θ-\cos\theta olarak çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
P noktasının birim çember üzerindeki koordinatlarını tanımlayın.
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta)
Birim çember ��zerindeki herhangi bir noktanın koordinatları, o noktayı belirleyen açının kosinüs ve sinüs değerlerine eşittir.
2
H noktasının koordinatlarını belirleyin.
H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
H noktası, P noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümüdür.
3
OH segmentinin uzunluğunu mutlak değer cinsinden yazın.
OH=∣cos⁡θ∣OH = |\cos\theta|
Bir noktanın orijine olan uzaklığı koordinatının mutlak değerine eşittir ve uzunluk her zaman pozitif olmalıdır.
4
Açının bulunduğu bölgeye göre kosinüs fonksiyonunun işaretini inceleyin.
İkinci bölgede (π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi) cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olur.
İkinci bölgede birim çember üzerindeki noktaların apsisleri negatiftir.
5
Mutlak değer ifadesini dışarı çıkararak uzunluğu elde edin.
OH=∣cos⁡θ∣=−cos⁡θOH = |\cos\theta| = -\cos\theta
İçerisi negatif olan bir mutlak değer ifadesi, dışarıya önüne eksi işareti alarak çıkar.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların koordinat karşılıkları ve bölgelere göre işaretleri
Soru 1122Soru →

Tanımlı olduğu aralıktaki xx gerçel sayıları için,

cos⁡(5π2−x)−sin⁡(3π+x)sin⁡(11π2−x)+cos⁡(7π+x)\frac{\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \sin(3\pi + x)}{\sin\left(\frac{11\pi}{2} - x\right) + \cos(7\pi + x)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −tan⁡(x)-\tan(x)

Cevap

−tan⁡(x)-\tan(x)
İfadedeki tüm trigonometrik terimlerin esas ölçüleri ve bulundukları bölgeler tespit edildikten sonra indirgeme formülleri uygulanmıştır. Pay kısmından 2sin⁡(x)2\sin(x), payda kısmından ise −2cos⁡(x)-2\cos(x) elde edilmiştir. Bu iki değerin birbirine oranı −tan⁡(x)-\tan(x) sonucunu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki terimlerin esas ölçüleri bulunarak bölgelere göre indirgenmesi gerçekleştirilir.
cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)
sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)

Buradan pay ifadesi:
sin⁡(x)−(−sin⁡(x))=2sin⁡(x)\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x) olarak bulunur.
Payı oluşturan ifadeleri en sade biçime getirmek için.
2
Payda kısmındaki terimlerin esas ölçüleri bulunarak bölgelere göre indirgenmesi gerçekleştirilir.
sin⁡(11π2−x)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{11\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x)
cos⁡(7π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)\cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos(x)

Buradan payda ifadesi:
(−cos⁡(x))+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)(-\cos(x)) + (-\cos(x)) = -2\cos(x) olarak bulunur.
Paydayı oluşturan ifadeleri en sade biçime getirmek için.
3
Bulunan pay ve payda değerleri birbirine oranlanarak ifade sadeleştirilir.
2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)=−tan⁡(x)\frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)
İfadenin en sade şeklini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve açıların bölgelerine göre işaret/fonksiyon değişimi kurallarının uygulanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1123Soru →
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
sin⁡(3π2−x)+cos⁡(π+x)cos⁡(π2+x)\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cos(\pi + x)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2cot⁡x2\cot x

Cevap

İfadenin en sade şekli 2cot⁡x2\cot x olur.
Verilen rasyonel ifadedeki terimler tek tek indirgendiğinde; pay kısmında sin⁡(3π2−x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x ve cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x elde edilir, böylece pay −2cos⁡x-2\cos x olur. Paydadaki cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ise −sin⁡x-\sin x olarak indirgenir. Bu iki ifadenin birbirine bölünmesiyle −2cos⁡x−sin⁡x=2cot⁡x\frac{-2\cos x}{-\sin x} = 2\cot x cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki sin⁡(3π2−x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) ifadesinin indirgenmesi
−cos⁡x-\cos x
Açı 3. bölgededir. 3. bölgede sinüsün işareti negatif (−-) olduğundan ve 3π2\frac{3\pi}{2} kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek kosinüse döner.
2
Pay kısmındaki cos⁡(π+x)\cos(\pi + x) ifadesinin indirgenmesi
−cos⁡x-\cos x
Açı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüsün işareti negatif (−-) olduğundan ve π\pi kullanıldığı için fonksiyonun ismi değişmez.
3
Payda kısmındaki cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesinin indirgenmesi
−sin⁡x-\sin x
Açı 2. bölgededir. 2. bölgede kosinüsün işareti negatif (−-) olduğundan ve π2\frac{\pi}{2} kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek sinüse döner.
4
Elde edilen ifadelerin ana kesirde yerine yazılarak sadeleştirilmesi
2cot⁡x2\cot x
Pay kısmı −cos⁡x+(−cos⁡x)=−2cos⁡x-\cos x + (-\cos x) = -2\cos x olur. Payda ise −sin⁡x-\sin x olduğundan, ifadenin oranı −2cos⁡x−sin⁡x=2cot⁡x\frac{-2\cos x}{-\sin x} = 2\cot x olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesinde işaret tayini ve isim değiştirme kuralları.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1124Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

a<c<ba < c < b
Verilen ifadelerin esas ölçüleri ve bölge analizleri yapıldığında; bb değeri birinci bölgede pozitif bir sinüs değerine (b=sin⁡(20∘)>0b = \sin(20^\circ) > 0), aa ve cc değerleri ise sırasıyla ikinci ve dördüncü bölgelerde negatif değerlere (a=−cos⁡(20∘)<0a = -\cos(20^\circ) < 0 ve c=−tan⁡(20∘)<0c = -\tan(20^\circ) < 0) eşittir. Negatif değerler karşılaştırılırken, 0<20∘<45∘0 < 20^\circ < 45^\circ aralığında tan⁡(20∘)<cos⁡(20∘)\tan(20^\circ) < \cos(20^\circ) eşitsizliği geçerlidir. Negatif işaretli hallerinde ise eşitsizlik yön değiştirerek −cos⁡(20∘)<−tan⁡(20∘)-\cos(20^\circ) < -\tan(20^\circ) yani a<ca < c olur. Pozitif olan bb değeri ise en büyüktür. Bu durumda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulma
1240∘1240^\circ açısın��n esas ölçüsü 160∘160^\circ, −340∘-340^\circ açısının esas ölçüsü 20∘20^\circ ve 700∘700^\circ açısının esas ölçüsü 340∘340^\circ olarak bulunur.
Bölgelere göre indirgeme ve karşılaştırma yapabilmek için öncelikle açıların [0,360∘)[0, 360^\circ) aralığındaki esas ölçülerinin bulunması gerekir.
2
Trigonometrik ifadelerin bölgelerine göre işaretlerini belirleme ve dar açı cinsinden yazma
a=cos⁡(160∘)=−cos⁡(20∘)a = \cos(160^\circ) = -\cos(20^\circ) (negatif), b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ) (pozitif) ve c=tan⁡(340∘)=−tan⁡(20∘)c = \tan(340^\circ) = -\tan(20^\circ) (negatif) olarak belirlenir.
İfadelerin hangi bölgede yer aldığını saptayarak işaretlerini ve birinci bölgedeki karşılıklarını belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.
3
Bulunan değerleri büyüklüklerine göre karşılaştırma
bb pozitif olduğu için en büyüktür. aa ve cc negatif değerlerdir. 0<20∘<45∘0 < 20^\circ < 45^\circ aralığında tan⁡(20∘)<cos⁡(20∘)\tan(20^\circ) < \cos(20^\circ) olduğundan, her iki tarafı −1-1 ile çarptığımızda −cos⁡(20∘)<−tan⁡(20∘)-\cos(20^\circ) < -\tan(20^\circ) yani a<ca < c elde edilir. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.
Birinci bölgedeki dar açılı trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini kullanarak nihai sıralamaya ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması, bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1125Soru →
Bir tarım kooperatifi, ürettiği organik gübrenin xx tonunun satışından elde edeceği kârı (bin TL cinsinden)
K(x)=−x2+10x−13K(x) = -x^2 + 10x - 13
fonksiyonu ile modellemektedir. Depolama ve nakliye koşullarından dolayı kooperatif bir sezonda en az 11 ton, en fazla 44 ton gübre satabilmektedir.

Buna göre, bu kooperatifin bir sezonda elde edebileceği en fazla kâr kaç bin TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Kooperatifin elde edebileceği en fazla kâr 11 bin TL'dir.
Kâr fonksiyonu olan K(x)=−x2+10x−13K(x) = -x^2 + 10x - 13 parabolünün tepe noktasının apsisi r=5r = 5 olup, bu değer [1,4][1, 4] satış aralığının dışındadır. Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan fonksiyon tepe noktasına kadar artandır. Dolayısıyla, [1,4][1, 4] aralığında fonksiyon sürekli artar ve en büyük değerini aralığın sağ sınır noktası olan x=4x = 4 için alır. Bu noktadaki kâr K(4)=11K(4) = 11 bin TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (r) bulun.
r=−b2a=−102(−1)=5r = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5
Parabolün yön değiştirdiği ve simetri ekseninin bulunduğu noktayı belirlemek için.
2
Tepe noktasının apsisinin verilen tanım aralığında [1, 4] olup olmadığını kontrol edin.
5∉[1,4]5 \notin [1, 4]
Eğer tepe noktası tanım aralığının dışındaysa, en büyük/en küçük değerler aralığın uç noktalarında aranmalıdır.
3
Fonksiyonun bu aralıktaki artan/azalanlık durumunu inceleyerek en büyük değeri hesaplayın.
a=−1<0a = -1 < 0 olduğundan parabol kolları aşağı doğrudur ve x<5x < 5 için fonksiyon artandır. [1,4][1, 4] aralığında fonksiyon sürekli arttığı için en büyük değer x=4x = 4 noktasında oluşur: K(4)=−(4)2+10(4)−13=−16+40−13=11K(4) = -(4)^2 + 10(4) - 13 = -16 + 40 - 13 = 11.
Aral��ktaki sınır değerlerini analiz ederek en yüksek kâr değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı aralıktaki en büyük ve en k��çük değerlerini bulma
Soru 1126Soru →

Birim çember üzerinde, başlangıç kenarı pozitif xx ekseni olan 240∘240^\circ lik yönlü açının bitiş kenarının birim çemberi kestiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Cevap

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) olarak bulunur.
Birim çember üzerinde θ\theta açısına karşılık gelen noktanın koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olarak tanımlanır. 240∘240^\circ lik açı üçüncü bölgede yer alır. Bu bölgede hem kosinüs hem de sinüs fonksiyonlarının değerleri negatiftir. cos⁡(240∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} ve sin⁡(240∘)=−sin⁡(60∘)=−32\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olduğundan, aranan nokta (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının hangi bölgede olduğunu belirleyin.
240∘240^\circ lik açı, 180∘180^\circ ile 270∘270^\circ arasında olduğundan koordinat sisteminin üçüncü bölgesindedir.
Trigonometrik değerlerin işaretlerini doğru tayin edebilmek için açının bulunduğu bölgeyi bilmemiz gerekir.
2
Birim çember üzerindeki noktanın genel koordinat formülünü uygulayın.
Birim çember üzerinde bitim kenarı θ\theta olan açının kesim noktası (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) koordinatlarına sahiptir. Burada θ=240∘\theta = 240^\circ olduğundan koordinatlar (cos⁡(240∘),sin⁡(240∘))(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ)) olur.
Birim çember tanımına göre çember üzerindeki herhangi bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
3
Açının kosinüs ve sinüs değerlerini hesaplayın.
Üçüncü bölgede kosinüs ve sinüs negatiftir. İndirgeme formülleri kullanılarak; cos⁡(240∘)=cos⁡(180∘+60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} ve sin⁡(240∘)=sin⁡(180∘+60∘)=−sin⁡(60∘)=−32\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Açıyı birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade ederek değerleri hesaplamak kolaylık sağlar.
4
Elde edilen değerleri koordinat ikilisi olarak yazın.
Noktanın koordinatları (−12,−32)\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) şeklinde elde edilir.
Apsis ve ordinat değerleri bir araya getirilerek nihai nokta oluşturulur.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarının kosinüs ve sinüs fonksiyonları cinsinden tanımlanması ve bölgelere göre işaret tayini.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1127Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=x2−2ax+a2−4af(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 4a
fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığındaki en küçük de��eri g(a)g(a) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, a∈[−1,6]a \in [-1, 6] için g(a)g(a) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

g(a) fonksiyonunun alabilece��i en büyük değer 5'tir.
Doğru olan 5 değeri; tepe noktasının apsisi olan aa parametresinin [0,3][0, 3] aralığının solunda kaldığı (a<0a < 0) durum analiz edilerek elde edilir. Bu durumda g(a)=a2−4ag(a) = a^2 - 4a fonksiyonu geçerlidir ve a=−1a = -1 için bu ifade 5 değerine ulaşarak [−1,6][-1, 6] aralığındaki en büyük değeri verir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunu tam kareye tamamlayarak tepe noktasının konumunu belirleme.
f(x)=(x−a)2−4af(x) = (x - a)^2 - 4a parabolünün tepe noktasının apsisi r=ar = a ve ordinatı k=−4ak = -4a olarak elde edilir.
Kolları yukarı doğru olan bu parabolün [0,3][0, 3] aralığındaki en küçük değerinin nerede oluştuğunu belirlemek için tepe noktası apsisi olan aa'nın aralığa göre konumunu incelemeliyiz.
2
aa tepe noktası apsisinin [0,3][0, 3] aralığının solunda (a<0a < 0) olması durumunu inceleme.
a<0a < 0 ise tepe noktası [0,3][0, 3] aralığının solundadır. Parabol bu aralıkta artan olduğundan, en küçük değerini sol uçta (x=0x = 0) alır: g(a)=f(0)=a2−4ag(a) = f(0) = a^2 - 4a.
Tepe noktası aralığın dışındayken fonksiyon aralık boyunca monoton artandır, dolayısıyla minimum değer sol sınırda oluşur.
3
aa tepe noktası apsisinin [0,3][0, 3] aralığının içinde (0≤a≤30 \le a \le 3) olması durumunu inceleme.
0≤a≤30 \le a \le 3 ise tepe noktası aralığın içindedir. Parabol en küçük değerini tepe noktasında alır: g(a)=f(a)=−4ag(a) = f(a) = -4a.
Kolları yukarı bakan bir parabol, tepe noktası tanımlı olduğu aralıkta kaldığında en küçük değerini tepe noktasının ordinatında alır.
4
aa tepe noktası apsisinin [0,3][0, 3] aralığının sağında (a>3a > 3) olması durumunu inceleme.
a>3a > 3 ise tepe noktası [0,3][0, 3] aralığının sağındadır. Parabol bu aralıkta azalan olduğundan, en küçük değerini sağ uçta (x=3x = 3) alır: g(a)=f(3)=32−2a(3)+a2−4a=a2−10a+9g(a) = f(3) = 3^2 - 2a(3) + a^2 - 4a = a^2 - 10a + 9.
Tepe noktası aralığın sağında kaldığında parabol bu aralıkta monoton azalandır, bu yüzden en küçük değerini sağ sınırda alır.
5
g(a)g(a) parçalı fonksiyonunun [−1,6][-1, 6] aralığındaki maksimum değerini hesaplama.
Bölgeleri ayrı ayrı inceleriz:
1) a∈[−1,0)a \in [-1, 0) için g(a)=a2−4ag(a) = a^2 - 4a azalandır. En büyük değer a=−1a = -1 için g(−1)=1+4=5g(-1) = 1 + 4 = 5 olur.
2) a∈[0,3]a \in [0, 3] için g(a)=−4ag(a) = -4a azalandır. En büyük değer a=0a = 0 için g(0)=0g(0) = 0 olur.
3) a∈(3,6]a \in (3, 6] için g(a)=a2−10a+9g(a) = a^2 - 10a + 9 parabolünün tepe noktası a=5a = 5'tedir (burada g(5)=−16g(5) = -16 minimumdur). Uç noktalara bakıldığında g(3)=−12g(3) = -12 ve g(6)=−15g(6) = -15 olur. Bu aralıktaki değerler [−16,−12)[-16, -12) aralığındadır.
Tüm aralıklar karşılaştırıldığında, en büyük değer 5 olarak bulunur.
Parçalı tanımlanmış g(a)g(a) fonksiyonunun her bir bölgedeki maksimum değerlerini karşılaştırarak mutlak maksimum değeri elde ederiz.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı aralıktaki minimum değerinin tepe noktası konumuna göre değişimi ve parçalı fonksiyonlarda maksimum değer analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1128Soru →
(∣x−2∣−3)(x2−4x−5)(3−x)3(x2+x+1)≥0 \frac{(|x - 2| - 3)(x^2 - 4x - 5)}{(3 - x)^3(x^2 + x + 1)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 8'dir.
Eşitsizliğin pay kısmındaki çarpanların kökleri x=−1x = -1 ve x=5x = 5 olup, her iki kök de çift katlı köktür. Paydadaki kök ise x=3x = 3 (tek katlı) olup ifadeyi tanımsız yapar. Pay kısmı daima negatif olmayan değerler aldığından, ifadenin genel işaretini payda belirler. Dolayısıyla eşitsizlik x<3x < 3 için sağlanır. Ayrıca payı sıfır yapan x=−1x = -1 ve x=5x = 5 değerleri de çözüme dahildir. Böylece çözüm kümesi (−∞,3)∪{5}(-\infty, 3) \cup \{5\} olur. Bu kümedeki pozitif tam sayılar 1,21, 2 ve 55'tir. Bunların toplamı ise 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadelerin köklerini bulalım.
Pay kısmındaki ∣x−2∣−3=0|x - 2| - 3 = 0 denkleminin kökleri x=5x = 5 ve x=−1x = -1 olarak bulunur. Diğer çarpan olan x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0 denkleminin kökleri de (x−5)(x+1)=0(x - 5)(x + 1) = 0 bağıntısından x=5x = 5 ve x=−1x = -1 olur. Paydadaki (3−x)3=0(3 - x)^3 = 0 denkleminin kökü x=3x = 3 (tek katlı kök) olur. x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=−3<0\Delta = -3 < 0 olduğundan reel kökü yoktur.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için tüm çarpanların reel köklerini tespit etmemiz gerekir.
2
Köklerin katlılık durumunu inceleyelim.
x=5x = 5 ve x=−1x = -1 kökleri hem mutlak değerli ifadeden hem de ikinci dereceden üçterimliden geldiği için ikişer kez bulunurlar. Bu nedenle her iki kök de çift katlı köktür. x2+x+1x^2 + x + 1 ifadesi ise Δ<0\Delta < 0 ve başkatsayısı pozitif olduğundan daima pozitiftir.
Çift katlı köklerde eşitsizlik tablosunda işaret değişimi yapılmayacaktır.
3
Eşitsizlik tablosunu kuralım ve çözüm kümesini yazalım.
Tabloda kökler sırasıyla −1-1 (çift katlı), 33 (tek katlı, paydayı tanımsız yapar) ve 55 (çift katlı) olarak yerleştirilir. En sağdan (5'ten büyük değerler için) eksi (−-) işareti ile başlanır. 5 çift katlı kök olduğundan solunda yine (−-) olur. 3 tek katlı kök olduğundan solunda artı (++) olur. −1-1 çift katlı kök olduğundan solunda yine (++) olur. Eşitsizliğin ≥0\geq 0 olduğu bölge x<3x < 3 aralığıdır. Ayrıca payı sıfır yapan x=5x = 5 ve x=−1x = -1 değerleri de çözüm kümesindedir. Böylece çözüm kümesi (−∞,3)∪{5}(-\infty, 3) \cup \{5\} olur.
Eşitsizlik yönüne (≥0\geq 0) ve paydanın sıfır olamayacağına dikkat ederek çözüm kümesini belirlemek için işaret incelemesi yapılır.
4
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları belirleyip toplayalım.
Çözüm kümesi (−∞,3)∪{5}(-\infty, 3) \cup \{5\} olduğuna göre, bu kümedeki pozitif tam sayılar 1,21, 2 ve 55 olur (3 sayısı paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilemez). Bu sayıların toplamı 1+2+5=81 + 2 + 5 = 8 olarak elde edilir.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1129Soru →

Dik koordinat düzleminde, birim çember üzerindeki bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktası ikinci bölgededir. PP noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini AA noktasında kesmektedir. Birim çembere C(0,1)C(0,1) noktasında teğet olan y=1y = 1 doğrusu ise PP noktasındaki teğet doğrusu ile DD noktasında kesişmektedir. Buna göre, OCDOCD üçgeninin alanının OAPOAP üçgeninin alanına oranının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: csc⁡θ−1\csc\theta - 1

Cevap

Doğru cevap cosec(theta) - 1 ifadesidir.
Doğru cevap, OCD üçgeninin alanının OAP üçgeninin alanına oranının cosec(theta) - 1 olduğunu gösteren ifadedir. İkinci bölgedeki işaretler dikkate alınarak yapılan alan hesaplamaları bu sonucu vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından birim çembere çizilen teğet doğrusunun denklemini yazalım.
Teğet doğrusunun denklemi (cos⁡θ)x+(sin⁡θ)y=1(\cos\theta)x + (\sin\theta)y = 1 şeklindedir.
Birim çember üzerindeki bir (x0,y0)(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi x0x+y0y=1x_0 x + y_0 y = 1 formülü ile belirlenir.
2
AA ve DD noktalarının koordinatlarını bulalım.
AA noktası teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği yerdir (y=0y=0). Buradan xA=1cos⁡θ=sec⁡θx_A = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta olup A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) olur. DD noktası ise teğet doğrusu ile y=1y=1 doğrusunun kesişim noktasıdır. Denklemde y=1y=1 yazılırsa (cos⁡θ)x+sin⁡θ=1  ⟹  xD=1−sin⁡θcos⁡θ(\cos\theta)x + \sin\theta = 1 \implies x_D = \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} olup D(1−sin⁡θcos⁡θ,1)D\left(\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}, 1\right) elde edilir.
Eksenleri kestikleri veya kesiştikleri noktaları bulmak için denklem sistemleri çözülür.
3
θ\theta açısı ikinci bölgede (π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi) olduğundan trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleyip OAOA ve CDCD uzunluklarını pozitif olarak ifade edelim.
İkinci bölgede sin⁡θ>0\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan: OA=∣sec⁡θ∣=−sec⁡θ=−1cos⁡θOA = |\sec\theta| = -\sec\theta = -\frac{1}{\cos\theta} birimdir. CDCD uzunluğu için C(0,1)C(0,1) ve D(xD,1)D(x_D, 1) noktaları arasındaki mesafe ∣xD∣=∣1−sin⁡θcos⁡θ∣|x_D| = \left|\frac{1-\sin\theta}{\cos\theta}\right| şeklindedir. İkinci bölgede sin⁡θ<1  ⟹  1−sin⁡θ>0\sin\theta < 1 \implies 1-\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan CD=sin⁡θ−1cos⁡θCD = \frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta} birim olarak bulunur.
Geometrik uzunluk değerleri her zaman pozitif olmalıdır. Bölgelere göre işaret tespiti bu yüzden önemlidir.
4
OAPOAP ve OCDOCD üçgenlerinin alanlarını hesaplayalım.
OAPOAP üçgeninin yüksekliği PP noktasının yy koordinatı olan sin⁡θ\sin\theta (pozitif) ve tabanı OA=−1cos⁡θOA = -\frac{1}{\cos\theta} birimdir. Buradan Alan(OAP)=12⋅OA⋅yP=−sin⁡θ2cos⁡θ\text{Alan}(OAP) = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot y_P = -\frac{\sin\theta}{2\cos\theta} olur. OCDOCD dik üçgeninin dik kenarları ise OC=1OC = 1 ve CD=sin⁡θ−1cos⁡θCD = \frac{\sin\theta-1}{\cos\theta} birimdir. Buradan Alan(OCD)=12⋅OC⋅CD=sin⁡θ−12cos⁡θ\text{Alan}(OCD) = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot CD = \frac{\sin\theta-1}{2\cos\theta} elde edilir.
Üçgenin alan formülü Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} kullanılarak alanlar ifade edilir.
5
OCDOCD üçgeninin alanının OAPOAP üçgeninin alanına oranını bulup sadeleştirelim.
Oran=Alan(OCD)Alan(OAP)=sin⁡θ−12cos⁡θ−sin⁡θ2cos⁡θ=sin⁡θ−1−sin⁡θ=1−sin⁡θsin⁡θ=1sin⁡θ−1=csc⁡θ−1\text{Oran} = \frac{\text{Alan}(OCD)}{\text{Alan}(OAP)} = \frac{\frac{\sin\theta-1}{2\cos\theta}}{-\frac{\sin\theta}{2\cos\theta}} = \frac{\sin\theta-1}{-\sin\theta} = \frac{1-\sin\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta} - 1 = \csc\theta - 1 elde edilir.
İki alan ifadesi birbirine oranlanarak sadeleştirme işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların geometrik temsili ve bölgelere göre işaret analizi.
Soru 1130Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=(x+2)⋅(x−3)2⋅(x−5) f(x) = (x + 2) \cdot (x - 3)^2 \cdot (x - 5)
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
f(x−1)x2−5x+6≤0 \frac{f(x - 1)}{x^2 - 5x + 6} \leq 0
eşitsizliğini sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 16'dır.
Eşitsizliği sağlayan aralıklar [−1,2)[-1, 2) ve (3,6](3, 6] olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 4, 5 ve 6 olup, bunların toplamı 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x−1)f(x - 1) ifadesinin köklerini belirlemek için f(x)f(x) fonksiyonunun köklerini tespit ederiz ve öteleme uygularız.
f(x)f(x) fonksiyonunun kökleri x=−2x = -2, x=3x = 3 (çift katlı kök) ve x=5x = 5 olarak bulunur. f(x−1)f(x - 1) fonksiyonu, f(x)f(x) fonksiyonunun grafiğinin 1 birim sağa ötelenmiş hali olduğundan kökleri de 1 artar. Bu durumda f(x−1)f(x - 1) fonksiyonunun kökleri x=−1x = -1, x=4x = 4 (çift katlı kök) ve x=6x = 6 olur.
Eşitsizliğin pay kısmını oluşturan çarpanların köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını belirlemek için öteleme kuralı uygulanmalıdır.
2
Paydadaki x2−5x+6x^2 - 5x + 6 ifadesinin köklerini buluruz.
x2−5x+6=(x−2)⋅(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x=2x = 2 ve x=3x = 3 olarak elde edilir. Bu kökler paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesine dahil edilemez.
Eşitsizliğin payda kısmını sıfır yapan tanımsızlık noktalarını belirlemek ve bunları çözüm kümesinden hariç tutmak gerekir.
3
Elde edilen tüm kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlarız.
Sıralı kökler: −1-1 (payın tek katlı kökü), 22 (paydanın tek katlı kökü), 33 (paydanın tek katlı kökü), 44 (payın çift katlı kökü) ve 66 (payın tek katlı kökü).
Eşitsizliğin farklı aralıklardaki işaret değişimlerini sistematik bir şekilde incelemek için tablo oluşturulmalıdır.
4
Eşitsizlik ifadesinin en sağdaki aralıktaki işaretini belirleyip tabloya yerleştiririz.
Hem payın hem de paydanın baş katsayıları pozitif olduğundan, tablonun en sağ bölgesi (x>6x > 6 aralığı) ++ işaretiyle başlar.
İşaret tablosunun yönünü ve başlangıç işaretini belirlemek için en yüksek dereceli terimlerin katsayıları incelenir.
5
Köklerin katlılık durumuna göre işaretleri sağdan sola doğru yerleştiririz.
İşaretlerin aralıklara göre dağılımı şu şekildedir:
- x>6x > 6 için ++
- (4,6)(4, 6) için −- (6 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
- (3,4)(3, 4) için −- (4 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez)
- (2,3)(2, 3) için ++ (3 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
- (−1,2)(-1, 2) için −- (2 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
- x<−1x < -1 için ++ (-1 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
Çift katlı köklerde işaretin değişmediği, tek katlı köklerde ise işaretin değiştiği kuralını uygulayarak tüm aralıkların işaretlerini belirlemek gerekir.
6
≤0\leq 0 koşulunu sağlayan çözüm kümesini yazarız.
Çözüm kümesi: S=[−1,2)∪(3,6]S = [-1, 2) \cup (3, 6] olarak bulunur. Payın kökleri olan −1,4,6-1, 4, 6 kümeye dahil edilirken, paydanın kökleri olan 22 ve 33 açık sınır olarak bırakılır.
İfadenin negatif veya sıfır olduğu bölgeleri seçerken, payda köklerinin tanımsızlık yaratması sebebiyle dahil edilmediğinden emin olunmalıdır.
7
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayı değerlerini belirler ve toplarız.
[−1,2)[-1, 2) aralığındaki pozitif tam sayı 11 değeridir.
(3,6](3, 6] aralığındaki pozitif tam sayılar ise 44, 55 ve 66 değerleridir.
Toplam: 1+4+5+6=161 + 4 + 5 + 6 = 16 bulunur.
Soru kökünde istenen pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için uygun aralıklardaki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözüm kümesini bulmak için fonksiyon ötelemesi, çift katlı kökler ve payda köklerinin tanım kümesi üzerindeki etkileri birlikte analiz edilir.
Soru 1131Soru →
θ∈(5π6,π)\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) olmak üzere,
x=cos⁡(θ−7π2)x = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right)
y=tan⁡(θ−3π)y = \tan\left(\theta - 3\pi\right)
z=sin⁡(9π2+θ)z = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta\right)

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen ifadeler indirgendiğinde ve aralık analizi yapıldığında doğru sıralama z < y < x şeklindedir.
Verilen açılar esas ölçülerine getirilip indirgeme formülleriyle sadeleştirildiğinde x=−sin⁡θx = -\sin\theta, y=tan⁡θy = \tan\theta ve z=cos⁡θz = \cos\theta elde edilir. θ\theta açısı ikinci bölgede olduğundan bu üç değer de negatiftir. θ=π−α\theta = \pi - \alpha dönüşümüyle dar açıya geçildiğinde x=−sin⁡αx = -\sin\alpha, y=−tan⁡αy = -\tan\alpha ve z=−cos⁡αz = -\cos\alpha olur. 0<α<30∘0 < \alpha < 30^\circ aralığında mutlak değerce en büyük olan cos⁡α\cos\alpha, en küçük olan ise sin⁡α\sin\alpha olduğundan, negatif işaretliler sıralandığında en küçük değer z, en büyük değer ise x olur.

Adım Adım Çözüm

1
x, y ve z ifadelerine indirgeme formüllerini uygulayarak en sade trigonometrik biçimlerini bulalım.
x=cos⁡(θ−7π2+4π)=cos⁡(θ+π2)=−sin⁡θx = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2} + 4\pi\right) = \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta

y=tan⁡(θ−3π)=tan⁡θy = \tan\left(\theta - 3\pi\right) = \tan\theta (tanjant fonksiyonunun periyodu π\pi olduğundan)

z=sin⁡(9π2+θ−4π)=sin⁡(π2+θ)=cos⁡θz = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta - 4\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta
Bölgelere göre indirgeme kurallarını ve esas ölçü kavramını uygulamak için.
2
Açı aralığını ve bu aralıktaki işaretleri belirleyelim.
θ∈(5π6,π)\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığı ikinci bölgededir (150° ile 180° arası). İkinci bölgede:
- sin⁡θ>0⇒x=−sin⁡θ<0\sin\theta > 0 \Rightarrow x = -\sin\theta < 0
- tan⁡θ<0⇒y=tan⁡θ<0\tan\theta < 0 \Rightarrow y = \tan\theta < 0
- cos⁡θ<0⇒z=cos⁡θ<0\cos\theta < 0 \Rightarrow z = \cos\theta < 0
Her üç değer de negatiftir.
Değerlerin hangi bölgede yer aldığını belirleyip işaret analizi yapmak için.
3
İfadeleri kıyaslamak için dar açı cinsinden yazalım.
θ=π−α\theta = \pi - \alpha dönüşümü yapalım. Buradan α∈(0,π6)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) olur (yani 0° ile 30° arası). Bu durumda:
- x=−sin⁡(π−α)=−sin⁡αx = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha
- y=tan⁡(π−α)=−tan⁡αy = \tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha
- z=cos⁡(π−α)=−cos⁡αz = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha
Dar açılarda büyüklük kıyaslaması daha kolay yapıldığı için.
4
Dar açı aralığı olan (0, 30°) için fonksiyonların mutlak büyüklüklerini kıyaslayalım.
α∈(0,π6)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) için:
- 0<sin⁡α<tan⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha her zaman doğrudur çünkü bu aralıkta cos⁡α<1\cos\alpha < 1 olduğundan tan⁡α=sin⁡αcos⁡α>sin⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > \sin\alpha olur.
- α<30∘\alpha < 30^\circ iken tan⁡α<tan⁡(30∘)=33≈0.577\tan\alpha < \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 ve cos⁡α>cos⁡(30∘)=32≈0.866\cos\alpha > \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 olduğundan tan⁡α<cos⁡α\tan\alpha < \cos\alpha olur.
- Buradan 0<sin⁡α<tan⁡α<cos⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha elde edilir.
Fonksiyonların dar açı değer aralıklarını netleştirerek kıyaslamak için.
5
Elde edilen eşitsizliği negatif işaretlerle çarparak x, y ve z değerlerini sıralayalım.
0<sin⁡α<tan⁡α<cos⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha eşitsizliği −1-1 ile çarpılırsa yön değiştirir:

−cos⁡α<−tan⁡α<−sin⁡α-\cos\alpha < -\tan\alpha < -\sin\alpha

Bu da bizi doğrudan z<y<xz < y < x sıralamasına götürür.
Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan sayının daha küçük olması kuralını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi ve Sıralanması
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1132Soru →
(x2−5x+4)(x+2)(x−2)2(x−2)(x−3)2≤0 \frac{(x^2 - 5x + 4)(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x - 3)^2} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 2'dir.
Eşitsizliğin çözüm kümesi [−2,1]∪(2,3)∪(3,4][-2, 1] \cup (2, 3) \cup (3, 4] olarak bulunur. Bu aralıkta yer alan tam sayılar −2,−1,0,1-2, -1, 0, 1 ve 44 olduğundan, toplamları 22 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımsızlık oluşturan payda köklerini belirleme
Paydadaki x−2=0  ⟹  x=2x - 2 = 0 \implies x = 2 ve (x−3)2=0  ⟹  x=3(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 değerleri çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kıldığından hiçbir koşulda çözüm kümesine dahil edilemez.
2
İfadeyi sadeleştirme ve çarpanlarına ayırma
x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 için, eşitsizlik (x−4)(x−1)(x+2)(x−2)2(x−2)(x−3)2≤0  ⟹  (x−4)(x−1)(x+2)(x−2)(x−3)2≤0\frac{(x - 4)(x - 1)(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x - 3)^2} \leq 0 \implies \frac{(x - 4)(x - 1)(x + 2)(x - 2)}{(x - 3)^2} \leq 0 şekline dönüşür.
Eşitsizlik tablosunu daha kolay oluşturmak amacıyla pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirilir.
3
İşaret tablosunu oluşturma
Kökler: x=−2x = -2 (tek katlı), x=1x = 1 (tek katlı), x=2x = 2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı, payda kökü), x=4x = 4 (tek katlı). İşaret dizilimi en sağdan ++ ile başlar: (4,∞)(4, \infty) için ++, (3,4)(3, 4) için −-, (2,3)(2, 3) için −-, (1,2)(1, 2) için ++, (−2,1)(-2, 1) için −-, (−∞,−2)(-\infty, -2) için ++.
Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret tablosu oluşturulurken baş katsayıların çarpımının işaretiyle en sağdan başlanır ve her tek katlı kökte işaret değiştirilir, çift katlı köklerde ise işaret değişmez.
4
Çözüm kümesini yazma ve tam sayıları toplama
Eşitsizliği sağlayan aralıklar [−2,1]∪(2,3)∪(3,4][-2, 1] \cup (2, 3) \cup (3, 4] olup bu aralıktaki tam sayılar −2,−1,0,1,4-2, -1, 0, 1, 4 değerleridir. Toplamları: (−2)+(−1)+0+1+4=2(-2) + (-1) + 0 + 1 + 4 = 2 olur.
Negatif ve sıfıra eşit olan aralıklardan payda kökleri (22 ve 33) çıkarılarak sağlayan tam sayılar bulunur ve toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözümü
Soru 1133Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11
parabolünün tepe noktası TfT_f olarak belirleniyor.
aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere;
g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x - a) + b
h(x)=f(x+b)−ah(x) = f(x + b) - a
fonksiyonları tanımlanıyor.

g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T1T_1, h(x)h(x) parabolünün tepe noktası T2T_2 olmak üzere, T1T_1 ile T2T_2 noktaları arasındaki uzaklık 626\sqrt{2} birimdir.

TfT_f, T1T_1 ve T2T_2 noktalarını köşe kabul eden üçgenin alanı 1212 birimkare olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap, a⋅ba \cdot b çarpım��nın değerinin 5 olduğunu belirten seçenektir.
Doğru cevap olan 5 değeri, parabolün orijinal tepe noktası Tf(3,2)T_f(3,2) referans alınarak öteleme kuralları uygulandığında bulunur. g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x-a)+b fonksiyonu T1(3+a,2+b)T_1(3+a, 2+b) noktasına, h(x)=f(x+b)−ah(x) = f(x+b)-a fonksiyonu ise T2(3−b,2−a)T_2(3-b, 2-a) noktasına ötelenir. İki nokta arasındaki uzaklıktan a+b=6a+b=6 ve bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanından ∣b2−a2∣=24|b^2-a^2|=24 denklemleri elde edilir. Buradan ∣b−a∣=4|b-a|=4 bulunur. İki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden a⋅b=5a \cdot b = 5 sonucuna doğru bir şekilde ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11 parabolünün tepe noktasını bulalım.
r=−−62(1)=3r = -\frac{-6}{2(1)} = 3 ve k=f(3)=32−6(3)+11=2k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 11 = 2 olduğundan Tf(3,2)T_f(3, 2) elde edilir.
Ötelenen fonksiyonların tepe noktalarını belirlemek için öncelikle orijinal parabolün tepe noktasını bulmamız gerekir.
2
Yatay ve dikey öteleme kurallarını uygulayarak T1T_1 ve T2T_2 tepe noktalarının koordinatlarını aa ve bb cinsinden yazal��m.
g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x-a) + b fonksiyonunun grafiği, f(x)f(x) grafiğinin aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelenmesiyle elde edildiğinden T1(3+a,2+b)T_1(3+a, 2+b) olur. h(x)=f(x+b)−ah(x) = f(x+b) - a fonksiyonunun grafiği, f(x)f(x) grafiğinin bb birim sola ve aa birim aşağı ötelenmesiyle elde edildiğinden T2(3−b,2−a)T_2(3-b, 2-a) olur.
Fonksiyon dönüşümlerinde f(x−u)+vf(x-u)+v ifadesi grafiğin yatayda uu birim sağa, dikeyde vv birim yukarı ötelenmesini sağlar.
3
T1T_1 ile T2T_2 noktaları arasındaki uzaklık bağıntısını kullanarak a+ba+b değerini bulalım.
T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklık:
d(T1,T2)=((3+a)−(3−b))2+((2+b)−(2−a))2=(a+b)2+(a+b)2=(a+b)2d(T_1, T_2) = \sqrt{((3+a) - (3-b))^2 + ((2+b) - (2-a))^2} = \sqrt{(a+b)^2 + (a+b)^2} = (a+b)\sqrt{2}
Verilen uzaklık 626\sqrt{2} birim olduğuna göre, (a+b)2=62  ⟹  a+b=6(a+b)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \implies a+b = 6 elde edilir.
Öteleme parametreleri arasındaki ilk doğrusal ilişkiyi kurmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılır.
4
TfT_f, T1T_1 ve T2T_2 noktalarını köşe kabul eden üçgenin alan formülünü uygulayarak ∣b2−a2∣|b^2 - a^2| bağıntısını bulalım.
Tf(3,2)T_f(3,2) noktası orijin (0,0)(0,0) konumuna ötelenecek şekilde koordinat sistemi kaydırılırsa, tepe noktaları sırasıyla Tf′(0,0)T_f'(0,0), T1′(a,b)T_1'(a,b) ve T2′(−b,−a)T_2'(-b,-a) olur. Bu üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı:
Alan=12∣a(−a)−b(−b)∣=12∣b2−a2∣\text{Alan} = \frac{1}{2} |a(-a) - b(-b)| = \frac{1}{2} |b^2 - a^2|
Alan 1212 birimkare verildiğinden, 12∣b2−a2∣=12  ⟹  ∣b2−a2∣=24\frac{1}{2} |b^2 - a^2| = 12 \implies |b^2 - a^2| = 24 bulunur.
Üçgenin alanını koordinat düzlemindeki determinant yöntemiyle pratik bir şekilde hesaplamak için referans noktasını orijine taşırız.
5
a+b=6a+b = 6 ve ∣b2−a2∣=24|b^2 - a^2| = 24 denklemlerini ortak çözerek a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplayalım.
∣b2−a2∣=∣b−a∣(b+a)=24  ⟹  ∣b−a∣⋅6=24  ⟹  ∣b−a∣=4|b^2 - a^2| = |b-a|(b+a) = 24 \implies |b-a| \cdot 6 = 24 \implies |b-a| = 4 olur.
(a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab özdeşliğinde değerleri yerine yazarsak:
62−42=4ab  ⟹  36−16=4ab  ⟹  20=4ab  ⟹  ab=56^2 - 4^2 = 4ab \implies 36 - 16 = 4ab \implies 20 = 4ab \implies ab = 5 elde edilir.
Elde edilen toplam ve fark denklemleri yardımıyla iki bilinmeyenli cebirsel denklem çözülerek istenen çarpım değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların tepe noktalarının yatay (f(x±u)f(x \pm u)) ve dikey (f(x)±vf(x) \pm v) öteleme kurallarına göre koordinat takibinin yapılması.
Soru 1134Soru →
(x−4)2⋅(x+1)x−2≤0 \frac{(x - 4)^2 \cdot (x + 1)}{x - 2} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan xx doğal sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan doğal sayıların toplamı 5'tir.
Eşitsizliği sağlayan doğal sayılar 0, 1 ve 4'tür. Bu sayıların toplamı 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki çarpanların köklerini bulma.
Pay kısmındaki kökler x=4x = 4 (çift katlı kök) ve x=−1x = -1 (tek katlı kök) olarak bulunur. Payda kısmındaki kök ise x=2x = 2 (tek katlı kök) olarak elde edilir.
Eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm çarpanların köklerini ve bu köklerin katlarını belirlemeliyiz.
2
İşaret tablosunu oluşturma ve bölgelerin işaretlerini belirleme.
En sağdaki aralıkta (x>4x > 4 için) ifadenin işareti pozitif (+)(+) ile başlar. x=4x = 4 çift katlı kök olduğu için işaret değişmez, (+)(+) olarak kalır. x=2x = 2 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir ve negatif (−)(-) olur. x=−1x = -1 tek katlı kökünden geçerken işaret tekrar değişir ve pozitif (+)(+) olur.
Eşitsizlikteki terimlerin en büyük dereceli terimlerinin katsayılarının işaretleri çarpımı pozitif olduğundan tabloya en sağdan ++ ile başlanır ve köklerin tek veya çift katlı olma durumuna göre işaretler belirlenir.
3
Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini yazma.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit (≤0)(\leq 0) olduğu aralık [−1,2)[-1, 2) yarı açık aralığıdır. Ayrıca payı sıfır yapan x=4x = 4 değeri de eşitsizliği sağladığı için çözüm kümesine eklenir. Dolayısıyla çözüm kümesi [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} olur. Paydanın kökü olan x=2x = 2 ise paydayı sıfır yapıp tanımsızlığa yol açtığı için dahil edilmez.
Negatif olan bölgeler ile ifadeyi sıfır yapan ve tanımsız yapmayan kökler birleştirilerek en geniş çözüm kümesi oluşturulur.
4
Çözüm kümesindeki doğal sayıları belirleme ve toplama.
[−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} kümesindeki doğal sayılar 0,10, 1 ve 44 olarak belirlenir. Bu sayıların toplamı 0+1+4=50 + 1 + 4 = 5 olur.
Sadece doğal sayı (negatif olmayan tam sayı) olan çözümler seçilerek toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözüm kümelerinin işaret tablosu yardımıyla bulunması, paydanın köklerinin hariç tutulması ve çift katlı köklerin incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1135Soru →

Dik koordinat düzleminde tanımlı bir y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun yerel minimum noktası A(−3,−2)A(-3, -2) ve yerel maksimum noktası B(1,4)B(1, 4) olarak verilmiştir.

f(x)f(x) fonksiyonunun ötelenmesiyle elde edilen g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x - a) + b fonksiyonunun yerel minimum noktası orijin (0,0)(0,0) üzerindedir.

Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı 10'dur.
Grafiğin yerel minimum noktası A(−3,−2)A(-3, -2)'den orijine (0,0)(0,0) ötelendiğinde yatayda 3 birim sağa ve dikeyde 2 birim yukarı kaydırıldığı belirlenir. Bu öteleme kuralları yerel maksimum noktası olan B(1,4)B(1, 4)'e uygulandığında yeni maksimum noktası (1+3,4+2)=(4,6)(1 + 3, 4 + 2) = (4, 6) olarak bulunur. Bu noktanın koordinatları toplamı 4+6=104 + 6 = 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Öteleme kurallarını belirlemek.
g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x - a) + b dönüşümünde, f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelenir.
Yatay ve dikey öteleme kurallarına göre x−ax - a ifadesi sağa ötelemeyi, +b+b ifadesi ise yukarı ötelemeyi temsil eder.
2
Minimum noktalarının koordinatlarını karşılaştırarak öteleme miktarlarını bulmak.
f(x)f(x)'in yerel minimum noktası A(−3,−2)A(-3, -2) iken g(x)g(x)'in minimum noktası (0,0)(0, 0) olmuştur. Buradan −3+a=0  ⟹  a=3-3 + a = 0 \implies a = 3 ve −2+b=0  ⟹  b=2-2 + b = 0 \implies b = 2 elde edilir.
Grafik üzerindeki tüm noktalar aynı öteleme miktarı kadar kaydırılır.
3
Bulunan öteleme değerlerini yerel maksimum noktasına uygulamak.
f(x)f(x)'in yerel maksimum noktası B(1,4)B(1, 4) olduğundan, g(x)g(x)'in yerel maksimum noktası C(1+3,4+2)=C(4,6)C(1 + 3, 4 + 2) = C(4, 6) olur.
Aynı öteleme kuralları maksimum noktası için de geçerlidir.
4
Maksimum noktasının koordinatları toplamını hesaplamak.
4+6=104 + 6 = 10 bulunur.
Soruda yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların Yatay ve Dikey Ötelenmesi
Soru 1136Soru →
x,y∈(0,π2)x, y \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve x>yx > y olmak üzere,
sin⁡(x−3π)⋅cos⁡(y−7π2)−cos⁡(5π−x)⋅sin⁡(9π2+y)=32\sin(x - 3\pi) \cdot \cos\left(y - \frac{7\pi}{2}\right) - \cos(5\pi - x) \cdot \sin\left(\frac{9\pi}{2} + y\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
tan⁡(11π2−(x+y))=33\tan\left(\frac{11\pi}{2} - (x + y)\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

cos⁡(5x+9y−29π4)\cos\left(5x + 9y - \frac{29\pi}{4}\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −22-\frac{\sqrt{2}}{2}

Cevap

−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
Verilen iki trigonometrik denklem indirgeme formülleriyle sadeleştirildiğinde, x−y=π6x - y = \frac{\pi}{6} ve x+y=π3x + y = \frac{\pi}{3} doğrusal denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde x=π4x = \frac{\pi}{4} ve y=π12y = \frac{\pi}{12} değerlerine ulaşılır. Bu değerler sorulan cos⁡(5x+9y−29π4)\cos\left(5x + 9y - \frac{29\pi}{4}\right) ifadesinde yerine yazıldığında, açı 2π−29π4=−21π42\pi - \frac{29\pi}{4} = -\frac{21\pi}{4} olur. Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından dolayı bu ifade cos⁡(21π4)\cos\left(\frac{21\pi}{4}\right) değerine eşittir. Bu açının esas ölçüsü 5π4\frac{5\pi}{4} olup, üçüncü bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan sonuç −cos⁡(π4)=−22-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde verilen trigonometrik ifadeleri bölgelere göre indirgeyerek sadeleştirin.
sin⁡(x−3π)=−sin⁡(3π−x)=−sin⁡(π−x)=−sin⁡(x)\sin(x - 3\pi) = -\sin(3\pi - x) = -\sin(\pi - x) = -\sin(x)

cos⁡(y−7π2)=cos⁡(7π2−y)=−sin⁡(y)\cos\left(y - \frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{2} - y\right) = -\sin(y)

cos⁡(5π−x)=cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = \cos(\pi - x) = -\cos(x)

sin⁡(9π2+y)=sin⁡(π2+y)=cos⁡(y)\sin\left(\frac{9\pi}{2} + y\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = \cos(y)

Bu değerler denklemde yerine yazıldığında:

(−sin⁡(x))⋅(−sin⁡(y))−(−cos⁡(x))⋅cos⁡(y)=sin⁡(x)sin⁡(y)+cos⁡(x)cos⁡(y)=cos⁡(x−y)=32(-\sin(x)) \cdot (-\sin(y)) - (-\cos(x)) \cdot \cos(y) = \sin(x)\sin(y) + \cos(x)\cos(y) = \cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Negatif ve büyük açıları indirgeme formülleriyle basitleştirip toplam-fark formülüne ulaştırmak için.
2
İkinci denklemdeki tanjant ifadesini indirgeme formülüyle sadeleştirin.
tan⁡(11π2−(x+y))=tan⁡(3π2−(x+y))=cot⁡(x+y)=33\tan\left(\frac{11\pi}{2} - (x + y)\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} - (x + y)\right) = \cot(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{3} elde edilir.
Açıyı 3π2\frac{3\pi}{2} katı cinsinden yazarak fonksiyon adını değiştirmek ve sade bir ifadeye ulaşmak için.
3
xx ve yy değerlerinin dar açı olması ve x>yx > y koşulunu kullanarak elde edilen doğrusal denklem sistemini çözün.
cos⁡(x−y)=32  ⟹  x−y=π6\cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x - y = \frac{\pi}{6}

cot⁡(x+y)=33  ⟹  x+y=π3\cot(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x + y = \frac{\pi}{3}

Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2x=π2  ⟹  x=π42x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} ve y=π12y = \frac{\pi}{12} bulunur.
xx ve yy bilinmeyenlerini tek tek bularak hedef ifadede yerine koyabilmek için.
4
Bulunan xx ve yy değerlerini hedef kosinüs ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
5x+9y=5(π4)+9(π12)=5π4+3π4=2π5x + 9y = 5\left(\frac{\pi}{4}\right) + 9\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi

Buradan hedef ifade:

cos⁡(2π−29π4)=cos⁡(−21π4)=cos⁡(21π4)\cos\left(2\pi - \frac{29\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{21\pi}{4}\right)

Esas ölçü alındığında:

21π4=4π+5π4  ⟹  cos⁡(21π4)=cos⁡(5π4)=cos⁡(π+π4)=−cos⁡(π4)=−22\frac{21\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4} \implies \cos\left(\frac{21\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} bulunur.
Bulunan açıları yerine koyup esas ölçü ve bölge indirgeme kuralları ile nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1137Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun grafiği;
* xx ekseni boyunca pozitif yönde aa birim ve yy ekseni boyunca pozitif yönde bb birim ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği,
* xx ekseni boyunca negatif yönde bb birim ve yy ekseni boyunca negatif yönde aa birim ötelendiğinde h(x)h(x) fonksiyonunun grafiği
elde ediliyor (aa ve bb pozitif gerçel sayılardır).

g(x)g(x) ve h(x)h(x) fonksiyonlarının tepe noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine ve bu tepe noktaları arasındaki uzaklık 525\sqrt{2} birim olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Öteleme miktarlarının çarpımı 4'tür.
Doğru cevap olan 4 değeri; orijinal tepe noktası T(2,−1)T(2, -1) olan parabolün ötelemeler altındaki yeni tepe noktaları T1(2+a,−1+b)T_1(2+a, -1+b) ve T2(2−b,−1−a)T_2(2-b, -1-a)'nın orijinle doğrusal olmasından b−a=3b-a=3 denkleminin, aralarındaki uzaklığın 525\sqrt{2} olmasından ise a+b=5a+b=5 denkleminin elde edilip ortak çözülmesiyle a=1,b=4a=1, b=4 bulunarak a⋅b=4a \cdot b = 4 şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
Tepe noktası T(r,k)T(r, k) olmak üzere; r=−−42=2r = -\frac{-4}{2} = 2 ve k=f(2)=22−4(2)+3=−1k = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1 bulunur. Yani orijinal tepe noktası T(2,−1)T(2, -1)'dir.
Parabolün öteleme hareketlerini tepe noktasının koordinatları üzerinden takip etmek kolaylık sağlar.
2
Öteleme kurallarını uygulayarak g(x)g(x) ve h(x)h(x) fonksiyonlarının tepe noktalarını (T1T_1 ve T2T_2) aa ve bb cinsinden yazmak.
g(x)g(x) için aa birim sağa ve bb birim yukarı öteleme yapıldığından T1(2+a,−1+b)T_1(2 + a, -1 + b) olur. h(x)h(x) için bb birim sola ve aa birim aşağı öteleme yapıldığından T2(2−b,−1−a)T_2(2 - b, -1 - a) olur.
Grafik üzerinde sağa ve yukarı ötelemeler koordinat değerlerini artırırken, sola ve aşağı ötelemeler koordinat değerlerini azaltır.
3
Tepe noktalarından geçen doğrunun orijinden geçmesi şartını kullanmak.
Orijin (0,0)(0,0), T1(2+a,−1+b)T_1(2+a, -1+b) ve T2(2−b,−1−a)T_2(2-b, -1-a) noktaları doğrusal olduğundan, bu noktaların eğimleri eşit olmalıdır: b−1a+2=−a−12−b  ⟹  b−1a+2=a+1b−2\frac{b-1}{a+2} = \frac{-a-1}{2-b} \implies \frac{b-1}{a+2} = \frac{a+1}{b-2} elde edilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında (b−1)(b−2)=(a+1)(a+2)  ⟹  b2−3b+2=a2+3a+2  ⟹  b2−a2−3(a+b)=0  ⟹  (b−a)(b+a)−3(a+b)=0(b-1)(b-2) = (a+1)(a+2) \implies b^2 - 3b + 2 = a^2 + 3a + 2 \implies b^2 - a^2 - 3(a+b) = 0 \implies (b-a)(b+a) - 3(a+b) = 0 bulunur. a,b>0a, b > 0 olduğundan a+b>0a+b > 0'dır. Her iki taraf a+ba+b ile bölünürse b−a=3b - a = 3 bağıntısı elde edilir.
Orijinden geçen bir doğru üzerindeki noktaların ordinatlarının apsislerine oranı doğrunun eğimini verir ve bu oran sabittir.
4
Tepe noktaları arasındaki uzaklığı 525\sqrt{2} birim yapan a+ba+b değerini bulmak.
T1T2=((2+a)−(2−b))2+((−1+b)−(−1−a))2=(a+b)2+(b+a)2=(a+b)2T_1T_2 = \sqrt{((2+a) - (2-b))^2 + ((-1+b) - (-1-a))^2} = \sqrt{(a+b)^2 + (b+a)^2} = (a+b)\sqrt{2} olur. Bu uzaklık 525\sqrt{2} birim verildiğinden (a+b)2=52  ⟹  a+b=5(a+b)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \implies a+b = 5 elde edilir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak a+ba+b toplamına ulaşılır.
5
b−a=3b - a = 3 ve b+a=5b + a = 5 denklem sistemini çözerek a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplamak.
Denklemler taraf tarafa toplanırsa 2b=8  ⟹  b=42b = 8 \implies b = 4 ve buradan a=1a = 1 bulunur. İstenen çarpım değeri a⋅b=1⋅4=4a \cdot b = 1 \cdot 4 = 4 olarak elde edilir.
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümüyle öteleme miktarları belirlenir.

Anahtar Kavram

Fonksiyon grafiğinin yatay ve dikey ötelenmesiyle grafik üzerindeki koordinatların değişimi ve iki nokta arasındaki uzaklık ile doğrusallık ilişkilerinin koordinat düzleminde analizi.
Soru 1138Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=x2−4x−12 f(x) = x^2 - 4x - 12
g(x)=x2−1 g(x) = x^2 - 1
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre,
f(x−2)⋅(x2−2x−3)3(x2−4)⋅g(x+1)≤0 \frac{f(x-2) \cdot (x^2 - 2x - 3)^3}{(x^2 - 4) \cdot g(x+1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı 3434'tür.
İfade çarpanlarına ayrıldığında pay ve paydadaki ortak çarpanlar belirlenir. x=0x = 0 ve x=−2x = -2 değerleri çift katlı kök olup paydada yer aldıklarından çözüm kümesine dahil edilmezler. İşaret tablosu yapılıp ≤0\leq 0 koşulunu sağlayan pozitif tam sayılar 1,3,4,5,6,7,81, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olarak bulunur. Bu sayıların toplamı 3434'tür.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x−12f(x) = x^2 - 4x - 12 ve g(x)=x2−1g(x) = x^2 - 1 fonksiyonlarının kökleri çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunur.
f(x)=(x−6)(x+2)=0  ⟹  x=6f(x) = (x-6)(x+2) = 0 \implies x = 6 ve x=−2x = -2 olur. g(x)=(x−1)(x+1)=0  ⟹  x=1g(x) = (x-1)(x+1) = 0 \implies x = 1 ve x=−1x = -1 olur.
Ötelenmiş fonksiyonların köklerini bulabilmek için temel fonksiyonların köklerini bilmemiz gerekir.
2
f(x−2)f(x-2) ve g(x+1)g(x+1) fonksiyonlarının kökleri belirlenir.
f(x−2)=0  ⟹  x−2=6  ⟹  x=8f(x-2) = 0 \implies x-2 = 6 \implies x = 8 ve x−2=−2  ⟹  x=0x-2 = -2 \implies x = 0 olur. g(x+1)=0  ⟹  x+1=1  ⟹  x=0g(x+1) = 0 \implies x+1 = 1 \implies x = 0 ve x+1=−1  ⟹  x=−2x+1 = -1 \implies x = -2 olur.
Eşitsizlik tablosunda yer alacak kritik noktaları elde etmek için bu adımı uygulamalıyız.
3
Eşitsizlikteki tüm çarpanların kökleri ve katlılık durumları listelenir.
Paydaki terimlerin kökleri: f(x−2)f(x-2)'den x=0x = 0 ve x=8x = 8; (x2−2x−3)3=(x−3)3(x+1)3(x^2-2x-3)^3 = (x-3)^3(x+1)^3'den x=3x = 3 (üçüncü dereceden tek katlı) ve x=−1x = -1 (üçüncü dereceden tek katlı). Paydadaki terimlerin kökleri: x2−4x^2-4'ten x=2x = 2 ve x=−2x = -2; g(x+1)g(x+1)'den x=0x = 0 ve x=−2x = -2. Toplamda köklerin katları: x=−2x = -2 (hem paydada 2 adet   ⟹  \implies çift katlı), x=−1x = -1 (payda 3 adet   ⟹  \implies tek katlı), x=0x = 0 (payda 1 adet ve paydada 1 adet   ⟹  \implies çift katlı), x=2x = 2 (paydada 1 adet   ⟹  \implies tek katlı), x=3x = 3 (payda 3 adet   ⟹  \implies tek katlı), x=8x = 8 (payda 1 adet   ⟹  \implies tek katlı). Denetlenen payda kökleri x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 çözüm kümesine dahil edilemez.
İşaret tablosunda işaretin değişip değişmeyeceğini ve hangi noktaların tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılacağını belirlemek için katlılık analizi şarttır.
4
Kritik noktalar küçükten büyüğe sıralanarak işaret tablosu oluşturulur.
Sıralama: −2,−1,0,2,3,8-2, -1, 0, 2, 3, 8. x>8x > 8 için ifadenin işareti pozitif olduğundan tablo sağdan ++ ile başlar. Çift katlı köklerde (x=0x = 0 ve x=−2x = -2) işaret değişmez, tek katlı köklerde değişir. İşaretler: x∈(8,∞)  ⟹  +x \in (8, \infty) \implies +, x∈[3,8]  ⟹  −x \in [3, 8] \implies -, x∈(2,3]  ⟹  +x \in (2, 3] \implies +, x∈(0,2)  ⟹  −x \in (0, 2) \implies -, x∈[−1,0)  ⟹  −x \in [-1, 0) \implies -, x∈(−2,−1]  ⟹  +x \in (-2, -1] \implies +, x∈(−∞,−2)  ⟹  +x \in (-\infty, -2) \implies +.
Eşitsizliğin negatif veya sıfır olduğu (≤0\leq 0) aralıkları bulmak için işaret incelemesi tamamlanır.
5
İşaret tablosundan ≤0\leq 0 olan aralıklar tespit edilerek bu aralıklardaki pozitif tam sayılar toplanır.
Eşitsizliği sağlayan aralıklar: [−1,0)∪(0,2)∪[3,8][-1, 0) \cup (0, 2) \cup [3, 8] şeklindedir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar: 1,3,4,5,6,7,81, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olup toplamları 1+3+4+5+6+7+8=341 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 34 olarak hesaplanır.
Soruda istenen pozitif tam sayı çözümlerinin toplamına ulaşmak için son hesaplama gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerin çözümü, çift katlı kök analizi ve payda köklerinin hariç tutulması.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, eşitsizliği sağlayan tam sayıları tek tek değer vererek de test edebiliriz. Ancak bu yöntem zaman alıcı ve hata payı yüksek olduğundan işaret tablosu yöntemi tercih edilmelidir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1139Soru →

Bir teknoloji firması, geliştirdiği yeni bir mobil uygulamanın günlük kârını (bin TL cinsinden) lansmandan sonraki xx. günde elde edilen verilerle f(x)=−x2+10x+11f(x) = -x^2 + 10x + 11 fonksiyonu ile modellemektedir. Ancak operasyonel gecikmeler nedeniyle firmanın fiili günlük kâr grafiği, bu teorik kâr grafiğinin 2 gün sağa ötelenmiş hali olan g(x)=f(x−2)g(x) = f(x - 2) fonksiyonu ile gerçekleşmektedir.

Buna göre, bu firmanın lansmandan sonraki [6,9][6, 9] kapalı zaman aralığında (gün olarak) elde edebileceği fiili günlük kârın en büyük değeri kaç bin TL'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Fiili günlük kârın en büyük değeri 36 bin TL'dir.
Fiili kâr fonksiyonu g(x) = f(x-2) olduğundan, f(x) parabolü 2 birim sağa ötelenmiştir. f(x)'in tepe noktasının apsisi 5 olduğundan, g(x)'in tepe noktasının apsisi 7 olur. Bu tepe noktası [6, 9] kapalı aralığında yer aldığı için g(x) fonksiyonu en büyük değerini x = 7 noktasında alır ve bu değer 36 bin TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Teorik kâr fonksiyonunun tepe noktasını bulma
f(x)=−x2+10x+11f(x) = -x^2 + 10x + 11 fonksiyonunda a=−1a = -1, b=10b = 10 ve c=11c = 11 dir. Tepe noktasının apsisi rf=−b2a=−102(−1)=5r_f = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5 olarak bulunur. En büyük değer ise f(5)=−52+10(5)+11=36f(5) = -5^2 + 10(5) + 11 = 36 olur.
Öteleme dönüşümünün tepe noktasını nereye taşıyacağını belirlemek için referans noktası gereklidir.
2
Fiili kâr fonksiyonunun tepe noktasını öteleme kuralları ile belirleme
g(x)=f(x−2)g(x) = f(x-2) fonksiyonu, f(x)f(x) grafiğinin 2 birim sağa ötelenmiş halidir. Yatay ötelemede tepe noktasının ordinatı değişmez, apsisi ise 2 birim artar. Dolayısıyla g(x)g(x) fonksiyonunun tepe noktasının apsisi rg=5+2=7r_g = 5 + 2 = 7 olur. Bu tepe noktasındaki maksimum değer yine 36'dır.
Yatay eksende yapılan f(x−k)f(x-k) dönüşümü, grafiği k>0k > 0 için sağa doğru kk birim öteler.
3
Tepe noktasının tanımlı aralıkta olup olmadığını kontrol etme ve en büyük değeri hesaplama
Belirlenen [6,9][6, 9] aralığı incelendiğinde, g(x)g(x) fonksiyonunun tepe noktasının apsisi olan 77 değerinin bu aralıkta olduğu görülür (7∈[6,9]7 \in [6, 9]). Kollar aşağı doğru olan bu parabol, bu aralıktaki en büyük değerini tepe noktasında alır. Dolayısıyla en büyük değer g(7)=f(5)=36g(7) = f(5) = 36 bin TL olarak bulunur.
Kollar aşağı doğru olan bir parabol, tepe noktasının apsisi incelenen kapalı aralığın içinde yer alıyorsa en büyük değerini tepe noktasında alır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük veya en küçük değeri bulunurken tepe noktasının apsisinin (r) verilen aralığın içinde olup olmadığı kontrol edilir. Eğer tepe noktası aralığın içindeyse en büyük/en küçük değer tepe noktasında; aralığın dışındaysa aralığın uç noktalarında oluşur.
Soru 1140Soru →

Bir tarım kooperatifi, üyelerine dağıtılacak yeni bir gübre karışımı geliştirmiştir. Bu karışımdaki azot oranı yüzde xx olmak üzere, elde edilen ürün verimi (ton/hektar)

V(x)=−x2+8x+12V(x) = -x^2 + 8x + 12

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Karışımdaki azot oranının en az %2\%2, en fazla %7\%7 olması gerektiği bilindiğine göre, bu gübre kullanımıyla elde edilebilecek en yüksek ürün verimi kaç tondur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Maksimum ürün verimi 28 tondur.
Ürün verimi fonksiyonu V(x)=−x2+8x+12V(x) = -x^2 + 8x + 12 şeklinde kolları aşağı doğru olan bir parabol belirtir. Bu parabolün en büyük değeri tepe noktasında elde edilir. Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−82(−1)=4r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4 olarak hesaplanır. 44 değeri verilen [2,7][2, 7] tanım aralığında yer aldığından, en yüksek ürün verimi bu noktadaki değer olan V(4)=−(4)2+8(4)+12=28V(4) = -(4)^2 + 8(4) + 12 = 28 ton olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım aralığını belirleme.
Azot oranının yüzde xx sınırları %2\%2 ile %7\%7 arasında olduğundan, tanım aralığı [2,7][2, 7] kapalı aralığıdır.
Problemdeki fiziksel sınırlandırmalar tanım kümesini belirler.
2
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama.
r=−b2a=−82(−1)=4r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4 olarak bulunur.
Kolları aşağı doğru olan parabolün maksimum değeri tepe noktasında oluşur.
3
Bulunan tepe noktasının tanım aralığında olup olmadığını kontrol etme ve en büyük değeri hesaplama.
r=4r = 4 değeri [2,7][2, 7] aralığına ait olduğu için maksimum verim V(4)=−(4)2+8(4)+12=−16+32+12=28V(4) = -(4)^2 + 8(4) + 12 = -16 + 32 + 12 = 28 tondur.
Tepe noktası tanım kümesinin içinde kaldığı için en büyük değer doğrudan bu noktadaki fonksiyondur.

Anahtar Kavram

Kolları aşağı doğru olan bir parabolün kapalı bir aralıktaki maksimum değerini tepe noktası ve sınır değerlerini inceleyerek bulma.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 57 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin