Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1141Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(x−π2)=35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

olduğuna göre,

sin⁡(3π+x)+cos⁡(5π2−x)−tan⁡(x−7π2)\sin(3\pi + x) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34\frac{3}{4}

Cevap

Üç bölü dört
İfade indirgeme formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde birinci ve ikinci terim birbirini götürür. Üçüncü terim ise kotanjant fonksiyonuna dönüşür. Başlangıçta verilen eşitlikten açının kosinüs değeri negatif olarak elde edilir. Açının üçüncü bölgede olduğu bilgisi kullanılarak hesaplanan kotanjant değeri pozitif olup üç bölü dört sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde sin⁡(x−π2)=35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} ifadesini indirgeme formülü kullanarak sadeleştirip cos⁡(x)\cos(x) değerini bulunuz.
sin⁡(x−π2)=−sin⁡(π2−x)=−cos⁡(x)=35  ⟹  cos⁡(x)=−35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) = \frac{3}{5} \implies \cos(x) = -\frac{3}{5} olarak bulunur.
Açının esas bölgesindeki trigonometrik değerini belirlemek ve diğer trigonometrik oranları hesaplayabilmek için.
2
Açının üçüncü bölgede (x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)) olduğunu dikkate alarak sin⁡(x)\sin(x) ve cot⁡(x)\cot(x) değerlerini hesaplayınız.
Üçüncü bölgede sinüs negatif olduğundan sin⁡(x)=−1−cos⁡2(x)=−45\sin(x) = -\sqrt{1 - \cos^2(x)} = -\frac{4}{5} olur. Cotangent ise pozitif olup cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)=−3/5−4/5=34\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} olarak bulunur.
İstenen ifadedeki terimleri sayısal olarak hesaplamak için gerekli olan temel trigonometrik değerleri elde etmek amacıyla.
3
İstenen sin⁡(3π+x)+cos⁡(5π2−x)−tan⁡(x−7π2)\sin(3\pi + x) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) ifadesindeki her bir terimi indirgeme formülleriyle sadeleştiriniz.
sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)

cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)

−tan⁡(x−7π2)=−tan⁡(x+π2)=−(−cot⁡(x))=cot⁡(x)-\tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) = -\tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -(-\cot(x)) = \cot(x) elde edilir.
İfadeyi en sade haline getirerek hesaplamayı kolaylaştırmak için.
4
Sadeleştirilmiş terimleri toplayıp elde edilen sonucu hesaplayınız.
A=−sin⁡(x)+sin⁡(x)+cot⁡(x)=cot⁡(x)=34A = -\sin(x) + \sin(x) + \cot(x) = \cot(x) = \frac{3}{4} bulunur.
İfadenin nihai değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri bulunduktan sonra eksenlere göre indirgenmesi ve bölgelerine göre işaret analizi yapılması.

Alternatif Yöntem

İndirgeme formüllerini uygulamak yerine birim çember üzerinde açıların bitim kenarlarının koordinat eksenlerindeki izdüşümleri düşünülerek de bölgelere göre işaret ve isim değişiklikleri belirlenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1142Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)f(x) parabolünün tepe noktası T(3,1)T(3, 1)'dir. aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere, f(x)f(x) parabolünün grafiği;

* xx-ekseni boyunca pozitif yönde aa birim, yy-ekseni boyunca pozitif yönde bb birim ötelendiğinde f1(x)f_1(x) parabolü,
* xx-ekseni boyunca pozitif yönde bb birim, yy-ekseni boyunca negatif yönde aa birim ötelendiğinde f2(x)f_2(x) parabolü,
* xx-ekseni boyunca negatif yönde aa birim, yy-ekseni boyunca negatif yönde bb birim ötelendiğinde f3(x)f_3(x) parabolü,
* xx-ekseni boyunca negatif yönde bb birim, yy-ekseni boyunca pozitif yönde aa birim ötelendiğinde f4(x)f_4(x) parabolü

elde ediliyor.

Bu dört parabolün tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı 5252 birimkaredir.

f1(x)f_1(x) parabolünün tepe noktası y=2x−2y = 2x - 2 doğrusu üzerinde olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Çarpımın değeri 5 olmalıdır.
Doğru öteleme adımları izlendiğinde T1(3+a,1+b)T_1(3+a, 1+b) noktası elde edilir. Bu noktanın doğru üzerindeki yerleşimi ile b=2a+3b = 2a + 3 bağıntısı bulunur. Köşelerin oluşturduğu karenin alanı 2(a2+b2)=522(a^2 + b^2) = 52 olduğundan a2+b2=26a^2 + b^2 = 26 denklemi çözülerek a=1a=1 ve b=5b=5 değerlerine ulaşılır. Bu iki sayının çarpımı 5 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Öteleme kurallarına göre yeni tepe noktalarını yazma
T1(3+a,1+b)T_1(3+a, 1+b), T2(3+b,1−a)T_2(3+b, 1-a), T3(3−a,1−b)T_3(3-a, 1-b) ve T4(3−b,1+a)T_4(3-b, 1+a) koordinatları elde edilir.
Fonksiyonların yatay ötelemesinde sağa öteleme apsise eklenirken sola öteleme apsisten çıkarılır. Dikey ötelemede yukarı öteleme ordinata eklenirken aşağı öteleme ordinatten çıkarılır.
2
Tepe noktalarının oluşturduğu dörtgenin geometrik türünü belirleme ve alan bağıntısını kurma
Dörtgenin köşeleri olan noktalar, merkezi T(3,1)T(3,1) olan ve kenar uzunluğu 2(a2+b2)\sqrt{2(a^2 + b^2)} birim olan bir karedir. Karenin alanı Alan=2(a2+b2)=52  ⟹  a2+b2=26\text{Alan} = 2(a^2 + b^2) = 52 \implies a^2 + b^2 = 26 olarak bulunur.
Karşılıklı ve komşu tepe noktaları arasındaki uzaklıkların eşitliği ve köşegenlerin birbirine dik olması, bu şeklin bir kare olduğunu gösterir.
3
T1T_1 noktasının doğru denklemini sağlama koşulunu uygulama
1+b=2(3+a)−2  ⟹  b=2a+31 + b = 2(3 + a) - 2 \implies b = 2a + 3 bağıntısı elde edilir.
T1(3+a,1+b)T_1(3+a, 1+b) noktası y=2x−2y = 2x - 2 doğrusu üzerinde yer aldığından koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.
4
Elde edilen denklem sistemini çözme
a2+(2a+3)2=26  ⟹  5a2+12a−17=0a^2 + (2a + 3)^2 = 26 \implies 5a^2 + 12a - 17 = 0 denkleminin pozitif kökü a=1a = 1 olarak bulunur. Buradan b=5b = 5 elde edilir.
aa ve bb değerleri pozitif gerçel sayılar olmak zorundadır.
5
a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplama
a⋅b=1⋅5=5a \cdot b = 1 \cdot 5 = 5 bulunur.
Soruda bizden istenen çarpım değerine ulaşmaktır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey öteleme kurallarının koordinat düzleminde noktaların taşınmasına uygulanması ve geometrik yorumu.
Soru 1143Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız:

a=cos⁡(310∘)a = \cos(310^\circ)
b=sin⁡(200∘)b = \sin(200^\circ)
c=tan⁡(220∘)c = \tan(220^\circ)

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik değerlerin küçükten büyü��e doğru sıralanışı b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde b=−sin⁡(20∘)<0b = -\sin(20^\circ) < 0 en küçük değer olur. Pozitif olan a=sin⁡(40∘)a = \sin(40^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerlerinden ise tanjant değeri sinüs değerinden büyük olduğu için a<ca < c sıralaması elde edilir. Böylelikle doğru sıralama b<a<cb < a < c olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen açıların hangi bölgede olduğunu belirleyip trigonometrik değerleri dar açı cinsinden yazınız.
a=cos⁡(310∘)=cos⁡(360∘−50∘)=cos⁡(50∘)>0a = \cos(310^\circ) = \cos(360^\circ - 50^\circ) = \cos(50^\circ) > 0
b=sin⁡(200∘)=sin⁡(180∘+20∘)=−sin⁡(20∘)<0b = \sin(200^\circ) = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) < 0
c=tan⁡(220∘)=tan⁡(180∘+40∘)=tan⁡(40∘)>0c = \tan(220^\circ) = \tan(180^\circ + 40^\circ) = \tan(40^\circ) > 0
Trigonometrik fonksiyonların büyüklüklerini karşılaştırabilmek için değerleri birinci bölgedeki dar açılara indirgemek ve işaretlerini belirlemek gerekir.
2
Negatif olan değeri en küçük değer olarak belirleyiniz.
b<0b < 0 ve a,c>0a, c > 0 olduğundan en küçük değer bb olarak bulunur.
Negatif reel sayılar daima pozitif reel sayılardan küçüktür.
3
Pozitif olan aa ve cc değerlerini karşılaştırınız.
a=cos⁡(50∘)=sin⁡(40∘)a = \cos(50^\circ) = \sin(40^\circ) ve c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerleri karşılaştırıldığında, birinci bölgedeki her θ∈(0,90∘)\theta \in (0, 90^\circ) açısı için tan⁡θ>sin⁡θ\tan\theta > \sin\theta eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla tan⁡(40∘)>sin⁡(40∘)\tan(40^\circ) > \sin(40^\circ) olduğundan c>ac > a olur.
Birinci bölgedeki bir dar açının tanjantı, aynı açının sinüs değerinden büyüktür.
4
Tüm adımlardaki sonuçları birleştirerek sıralamayı tamamlayınız.
b<a<cb < a < c
bb negatif, aa ve cc pozitif olup cc değeri aa'dan büyük olduğu için küçükten büyüğe sıralama bu şekildedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve sıralanması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1144Soru →
Analitik düzlemde,
y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5
parabol��nün y=2x−7y = 2x - 7 doğrusuna en yakın noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Parabolün doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı 1'dir.
Parabolün doğruya en yakın noktasını bulmak için aralarındaki dikey uzaklığı veren x2−8x+12x^2 - 8x + 12 fonksiyonunun minimum noktası olan tepe noktası bulunur. Bu fonksiyonun tepe noktası apsisi r=4r = 4 olup parabol üzerindeki karşılık gelen nokta (4,−3)(4, -3)'tür. Bu koordinatların toplamı ise 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir noktanın koordinatlarını tanımlama.
Nokta A(x,x2−6x+5)A(x, x^2 - 6x + 5) şeklinde yazılır.
Parabol üzerindeki her nokta parabol denklemini sağlamak zorundadır.
2
Parabol ile doğru arasındaki düşey uzaklığı temsil eden fonksiyonu kurma ve minimum yapan apsis değerini hesaplama.
Uzaklık fonksiyonu d(x)=x2−8x+12d(x) = x^2 - 8x + 12 elde edilir. Bu fonksiyonun tepe noktası apsisi r=−−82(1)=4r = -\frac{-8}{2(1)} = 4 olarak bulunur.
Bir parabol ile doğru arasındaki en kısa mesafe, aralarındaki dikey uzaklığı minimum yapan noktada (yani aralarındaki fark fonksiyonunun tepe noktasında) gerçekleşir.
3
Bulunan apsis değerini kullanarak en yakın noktanın ordinatını hesaplama.
Ordinat y=42−6(4)+5=−3y = 4^2 - 6(4) + 5 = -3 olarak bulunur.
En yakın nokta parabolün üzerinde olduğundan, parabol denkleminde x=4x = 4 yazılarak ordinat değeri elde edilir.
4
Elde edilen koordinatların toplamını bulma.
Toplam 4+(−3)=14 + (-3) = 1 bulunur.
Soru kökünde bizden en yakın noktanın koordinatlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parabolün bir doğruya en yakın noktasını, aralarındaki düşey uzaklığı veren ikinci dereceden fonksiyonun en küçük değerini (tepe noktasını) bularak hesaplama.
Soru 1145Soru →

Birim çember üzerinde apsisi 060{}6 olan ve koordinat düzleminin dördüncü bölgesinde yer alan bir noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Birim çember üzerinde apsisi 060{}6 olan ve dördüncü bölgede yer alan noktanın ordinatı −08-0{}8 olarak bulunur.
Birim çemberin x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 bağıntısından ve noktanın dördüncü bölgede bulunmasından dolayı ordinat değeri negatif olmalıdır. Apsis 060{}6 iken (06)2+y2=1(0{}6)^2 + y^2 = 1 eşitliğinden y2=064y^2 = 0{}64 ve dördüncü bölgede y<0y < 0 olduğundan y=−08y = -0{}8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çemberin temel denklemini yazma
x2+y2=1x^2 + y^2 = 1
Birim çember üzerindeki her noktanın koordinatları bu denklemi sağlamalıdır.
2
Verilen apsis değerini yerine yazarak ordinatın mutlak değerini bulma
y2=064  ⟹  ∣y∣=08y^2 = 0{}64 \implies |y| = 0{}8
x=06x = 0{}6 değeri denklemde yerine yazılır: (06)2+y2=1  ⟹  036+y2=1  ⟹  y2=064(0{}6)^2 + y^2 = 1 \implies 0{}36 + y^2 = 1 \implies y^2 = 0{}64 olur.
3
Bölge bilgisini kullanarak ordinatın işaretini belirleme ve sonucu bulma
y=−08y = -0{}8
Koordinat düzleminin dördüncü bölgesinde apsis (xx) pozitif, ordinat (yy) negatiftir. Bu nedenle yy değeri negatif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlar ve bölgelere göre koordinat işaretleri değişir.
Tahmini Süre:45s
Soru 1146Soru →
x−6x+3≤0 \frac{x - 6}{x + 3} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük ve en büyük xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı 4'tür.
Eşitsizliğin çözüm kümesi (−3,6](-3, 6] yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan en küçük tam sayı −2-2, en büyük tam sayı ise 66 olup, bu iki değerin toplamı 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadelerin kökleri belirlenir.
Payın kökü x=6x = 6, paydanın kökü x=−3x = -3 olarak bulunur.
Kritik noktaları belirleyerek işaret tablosu oluşturmak için kökleri bulmamız gerekir.
2
İşaret tablosu yapılarak eşitsizliğin çözüm kümesi bulunur.
Çözüm kümesi (−3,6](-3, 6] aralığı olarak elde edilir.
Paydayı sıfır yapan x=−3x = -3 değeri tanımsızlık oluşturduğu için açık bırakılır, payı sıfır yapan x=6x = 6 değeri ise dahil edilir.
3
Ç��züm aralığındaki en küçük ve en büyük tam sayı değerleri toplanır.
En küçük tam sayı −2-2, en büyük tam sayı 66 olup toplamları −2+6=4-2 + 6 = 4 bulunur.
Soru kökündeki toplam ifadesine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın kökünün hiçbir zaman çözüm kümesine dahil edilmemesi.
Soru 1147Soru →

Dik koordinat düzleminde y≥x2−2x−3y \geq x^2 - 2x - 3 ve y<−x+3y < -x + 3 eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgede yer alan ve koordinatları tam sayı olan tüm (x,y)(x, y) noktaları için x+yx + y toplamının alabileceği en küçük değer −3-3'tür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Verilen eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayı koordinatlı noktalar incelendiğinde x+yx+y toplamının en küçük değeri −3-3 olarak elde edilir.
Belirlenen sınır koşulları altında eşitsizlik sistemini sağlayan tüm tam sayı noktaları arasından seçilen (0, -3) ve (1, -4) noktaları en küçük toplam değerini (-3) vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınır eğrilerinin denklemlerini yazıp kesişim noktalarını bulunuz.
x2−2x−3=−x+3  ⟹  x2−x−6=0  ⟹  x=−2x^2 - 2x - 3 = -x + 3 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies x = -2 ve x=3x = 3 kesişim noktalarının apsisleridir.
Bölgenin xx ekseni üzerindeki sınırlarını belirlemek ve tam sayı apsisleri daraltmak için kesişim noktaları gereklidir.
2
Eşitsizliklerin yönlerine ve sınırların dahil olup olmama durumuna dikkat ederek bölgedeki olası tam sayı apsisleri (xx) belirleyiniz.
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm bölgesi için −2<x<3-2 < x < 3 olmalıdır. Dolayısıyla alabileceğimiz tam sayı apsisler x∈{−1,0,1,2}x \in \{-1, 0, 1, 2\} değerleridir.
Ortak bölgede yer alan noktaların apsisleri kesişim noktalarının arasında kalmalıdır.
3
Her bir tam sayı apsis için x2−2x−3≤y<−x+3x^2 - 2x - 3 \leq y < -x + 3 koşulunu sağlayan tam sayı ordinatları (yy) bulunuz.
x=−1x = -1 için 0≤y<4  ⟹  y∈{0,1,2,3}0 \leq y < 4 \implies y \in \{0, 1, 2, 3\}
x=0x = 0 için −3≤y<3  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0,1,2}-3 \leq y < 3 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}
x=1x = 1 için −4≤y<2  ⟹  y∈{−4,−3,−2,−1,0,1}-4 \leq y < 2 \implies y \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}
x=2x = 2 için −3≤y<1  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0}-3 \leq y < 1 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0\}
Bölgedeki tüm tam sayı noktaları tespit etmek için her xx değerine karşılık gelen yy sınırları hesaplanır.
4
Elde edilen tüm (x,y)(x, y) ikilileri için x+yx + y değerlerini hesaplayıp en küçüğünü bulunuz.
(0,−3)(0, -3) noktası için 0+(−3)=−30 + (-3) = -3 ve (1,−4)(1, -4) noktası için 1+(−4)=−31 + (-4) = -3 en küçük toplam değerini verir.
Tüm aday noktalar arasında toplamı minimize eden noktalar belirlenir.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde gösterimi ve sınır çizgilerinin dahil olma (düz çizgi) / olmama (kesikli çizgi) durumlarının analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1148Soru →

Analitik düzlemde başlangıç kenarı OxOx ekseninin pozitif kısmı olan ve pozitif yönde saniyede 13π18\frac{13\pi}{18} radyanlık sabit hızla dönen bir ibre, başlangıçta I. bölgedeki açıortay doğrusu üzerinde bulunmaktadır.

Buna göre, 'Bu ibre 15 saniye boyunca döndükten sonra durduğunda, ibrenin son konumda oluşturduğu yönlü açının esas ölçüsü 195∘195^\circ olur.' ifadesi doğru bir önerme midir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İbre 15 saniye döndükten sonra son konumda oluşturduğu yönlü açının esas ��lçüsü 195∘195^\circ olur ifadesi doğrudur.
İbre pozitif yönde döndüğü için başlangıç açısına geçen süredeki dönme açısı eklenir. Yapılan hesaplamalar sonucunda son konumdaki açının esas ölçüsü 195∘195^\circ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç konumundaki açıyı radyan cinsinden belirleyin.
Başlangıç açısı θ0=45∘=π4\theta_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4} radyan.
I. bölgenin açıortay doğrusu (y=xy = x, x>0x > 0), başlangıç kenarı olan pozitif xx ekseniyle 45∘45^\circ lik açı yapar.
2
15 saniyede taranan toplam açıyı hesaplayın.
θtarama=15×13π18=5×13π6=65π6\theta_{tarama} = 15 \times \frac{13\pi}{18} = \frac{5 \times 13\pi}{6} = \frac{65\pi}{6} radyan.
Sabit açısal hız ile geçen sürenin çarpımı toplam taranan yönlü açıyı verir.
3
Son konumdaki toplam açıyı bulun.
θson=θ0+θtarama=π4+65π6=3π+130π12=133π12\theta_{son} = \theta_0 + \theta_{tarama} = \frac{\pi}{4} + \frac{65\pi}{6} = \frac{3\pi + 130\pi}{12} = \frac{133\pi}{12} radyan.
İbre pozitif yönde döndüğü için taranan açı başlangıç açısına eklenir.
4
Son konumdaki açının esas ölçüsünü radyan cinsinden hesaplayın.
Esas ölçü =13π12= \frac{13\pi}{12} radyan.
133π12\frac{133\pi}{12} ifadesinde pay olan 133133, paydanın iki katı olan 2424'e bölünür. 133=5×24+13133 = 5 \times 24 + 13 olduğundan kalan 1313 tür. Dolayısıyla esas ölçü 13π12\frac{13\pi}{12} radyandır.
5
Bulunan radyan değerini dereceye çevirin.
13π12 radyan=13×180∘12=13×15∘=195∘\frac{13\pi}{12} \text{ radyan} = \frac{13 \times 180^\circ}{12} = 13 \times 15^\circ = 195^\circ.
Radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çevirmek için π\pi yerine 180∘180^\circ yazılır.

Anahtar Kavram

Yönlü açılar, derece-radyan dönüşümü ve radyan cinsinden esas ölçü bulma işlemleri.

Alternatif Yöntem

Açıları en baştan dereceye çevirerek işlem yapabilirsiniz. Başlangıç açısı 45∘45^\circ, saniyedeki dönme hızı 13×180∘18=130∘\frac{13 \times 180^\circ}{18} = 130^\circ olur. 15 saniyede taranan açı 15×130∘=1950∘15 \times 130^\circ = 1950^\circ dir. Son konumdaki açı 45∘+1950∘=1995∘45^\circ + 1950^\circ = 1995^\circ olur. 19951995 sayısının 360360'a bölümünden kalan 195195 olduğu için esas ölçü 195∘195^\circ olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1149Soru →

θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=cos⁡(11π2+θ)a = \cos\left(\frac{11\pi}{2} + \theta\right)
b=sin⁡(7π2−θ)b = \sin\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right)
c=cot⁡(9π2−θ)c = \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir. İkinci bölgedeki θ\theta açısı için tanjant değeri negatif olduğundan c=tan⁡θc = \tan\theta en küçük değerdir. Pozitif olan a=sin⁡θa = \sin\theta ve b=−cos⁡θb = -\cos\theta değerleri karşılaştırıldığında, θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡θ>−cos⁡θ\sin\theta > -\cos\theta olduğu görülür, bu nedenle en büyük değer aa olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulup indirgeme formüllerini uygulayarak aa, bb ve cc ifadelerini θ\theta cinsinden yazalım.
a=cos⁡(3π2+θ)=sin⁡θa = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta, b=sin⁡(3π2−θ)=−cos⁡θb = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta ve c=cot⁡(π2−θ)=tan⁡θc = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta elde edilir.
İfadeleri tek bir açı cinsinden yazarak karşılaştırmayı kolaylaştırmak amacıyla indirgeme kuralları uygulanır.
2
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığına göre (yani 90∘<θ<135∘90^\circ < \theta < 135^\circ aralığı) elde ettiğimiz trigonometrik değerlerin işaretlerini inceleyelim.
a=sin⁡θ>0a = \sin\theta > 0, b=−cos⁡θ>0b = -\cos\theta > 0 ve c=tan⁡θ<0c = \tan\theta < 0 olur.
İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatif ve tanjant negatif olduğu için işaret analiziyle negatif olan cc değerinin en küçük olduğu belirlenir.
3
Pozitif olan aa ve bb değerlerini karşılaştıralım. θ=90∘+x\theta = 90^\circ + x (burada 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ) dönüşümü yapalım.
a=sin⁡(90∘+x)=cos⁡xa = \sin(90^\circ + x) = \cos x ve b=−cos⁡(90∘+x)=sin⁡xb = -\cos(90^\circ + x) = \sin x olur. 0∘<x<45∘0^\circ < x < 45^\circ aralığında cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x olduğundan a>ba > b sonucuna ulaşılır.
Aynı bölgede yer alan pozitif değerli trigonometrik büyüklükleri birbirleriyle kıyaslamak için dar açı dönüşümünden yararlanılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki karşılıklarının bulunması ve belirli bir aralıkta işaret/büyüklük analizi yapılarak sıralanması.
Soru 1150Soru →
Bir cismin yerden havaya fırlatıldıktan sonra tt. saniyede ulaştığı yükseklik (metre cinsinden)
h(t)=−t2+8t+5h(t) = -t^2 + 8t + 5
fonksiyonu ile modellenmektedir.
Buna göre, bu cismin ulaşabileceği en büyük yükseklik kaç metredir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Cismin ulaşabileceği en büyük yükseklik 21 metredir.
Maksimum yükseklik parabolün tepe noktasının ordinatıdır. h(t)=−t2+8t+5h(t) = -t^2 + 8t + 5 fonksiyonunun tepe noktasının apsisi r=−b2a=−82(−1)=4r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4 ve ordinatı k=h(4)=21k = h(4) = 21 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisi (rr) hesaplanır.
r=4r = 4
Tepe noktasının apsisi, fonksiyonun maksimum değerine ulaştığı zamanı temsil eder.
2
Bulunan t=4t = 4 değeri h(t)h(t) fonksiyonunda yerine yazılır.
h(4)=21h(4) = 21
Tepe noktasının ordinatı (k=f(r)k = f(r)) parabolün alabileceği en büyük değeri verir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının ordinatı (k=f(r)k = f(r)) en büyük veya en küçük değeri temsil eder. Baş katsayı negatif (a<0a < 0) olduğundan parabolün kolları aşağı doğrudur ve tepe noktasında en büyük değerini alır.
Soru 1151Soru →
y=x2−4x+1y = x^2 - 4x + 1
y=x−3y = x - 3

Yukarıda verilen denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en küçük değer −1-1 olur.
Denklem sisteminde y değerleri eşitlendiğinde elde edilen x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 denkleminin kökleri x=4x = 4 ve x=1x = 1 olarak bulunur. Bu x değerlerine karşılık gelen y değerleri sırasıyla 11 ve −2-2 olup, elde edilen (x,y)(x,y) ikililerinin toplamları 4+1=54+1 = 5 ve 1+(−2)=−11+(-2) = -1 şeklindedir. Dolayısıyla en küçük toplam değeri −1-1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
y ifadelerini eşitleme
x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 denklemi elde edilir.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için y değişkenini yok ederek x cinsinden bir denklem elde etmek gerekir.
2
x değerlerini bulma
x=4x = 4 ve x=1x = 1 bulunur.
x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 denklemi (x−4)(x−1)=0(x-4)(x-1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
3
y değerlerini bulma
(4,1)(4, 1) ve (1,−2)(1, -2) çözüm ikilileri elde edilir.
Bulunan her bir x değerini y=x−3y = x - 3 denkleminde yerine yazarak karşılık gelen y değerleri hesaplanır.
4
Toplamları karşılaştırma
En küçük toplam −1-1 olarak belirlenir.
(4,1)(4, 1) için toplam 55, (1,−2)(1, -2) için toplam −1-1 olup en küçük değer istenir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi ve elde edilen çözüm kümelerinin analizi.
Soru 1152Soru →

Avrupa sanayi ürünlerinin Osmanlı pazarına girmesiyle birlikte Bolu-Gerede yöresindeki yerli dokuma esnafının yaşadığı iktisadi buhranı, ağalık ve tüccarlık düzeninin sömürüsünü ve bu sömürüye karşı köylülerin giriştiği kolektif direnişi konu edinen; başkarakteri Hasan’ın şahsında sömürü çarkına karşı çıkışı simgeleyen yapıt, Türk edebiyatında toplumcu gerçekçiliğin ilk bilinçli örneklerinden kabul edilir.

Bu parçada sözü edilen yapıt ve yazarı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: *Çıkrıklar Durunca* - Sadri Ertem

Cevap

Çıkrıklar Durunca - Sadri Ertem
Parçada bahsedilen Bolu-Gerede yöresindeki dokuma esnafının fabrikasyon üretime karşı mücadelesini anlatan yapıt Sadri Ertem'in yazmış olduğu *Çıkrıklar Durunca* adlı romandır. Bu eser edebiyatımızda sanayileşmenin yerel üretime etkisi ve ağalık sömürüsünü ele alan ilk toplumcu gerçekçi romanlardan biri olduğu için doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Metindeki anahtar kelimeleri ve olay örgüsünü çözümleme
Avrupa sanayi ürünlerinin gelişiyle Bolu-Gerede yöresinde dokumacılık yapan yerel halkın yaşadığı ekonomik zorluklar, sömürü düzeni ve Hasan adlı karakterin önderliğindeki başkaldırı ögeleri tespit edilmiştir.
Romanın konusunu, mekânını ve başkarakterini belirlemek doğru esere ulaşmanın ilk adımıdır.
2
Eserin edebi dönemini ve tarzını belirleme
Metinde eserin 'Türk edebiyatında toplumcu gerçekçiliğin ilk bilinçli örneklerinden biri' olduğu bilgisine ulaşılmıştır.
Seçeneklerdeki diğer edebi eğilimleri (bireyin iç dünyası, millî-dini duyarlılık vb.) eleyebilmek için eserin toplumcu gerçekçi niteliği göz önünde bulundurulmalıdır.
3
Eser-yazar eşleştirmesini doğrulama
Bolu-Gerede'deki dokuma esnafının sanayileşmeye ve tüccarlara karşı direnişini, Hasan ve Sıddıkzade karakterleri üzerinden anlatan ve toplumcu gerçekçi ilk roman kabul edilen eserin Sadri Ertem imzalı *Çıkrıklar Durunca* olduğu netleştirilmiştir.
Seçeneklerde yer alan diğer toplumcu gerçekçi eserlerin (örneğin Sarı Traktör) konularını ve yörelerini ayırt ederek doğru şık belirlenir.

Anahtar Kavram

Cumhuriyet Dönemi toplumcu gerçekçi romanlarında sanayileşme, ithalat ve yerel esnafın çatışması konusu ile Sadri Ertem'in eserleri.
Soru 1153Soru →

Analitik düzlemde, y=x2+4x+ky = x^2 + 4x + k parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğet doğruları birbirine diktir. Bu teğet doğrularının parabole değme noktalarından geçen doğrunun yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8.5

Cevap

Teğet doğrularının parabole değme noktalarından geçen doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 8,5'tir.
Doğruların parabole teğet olması ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfır olmasını gerektirir. Teğetlerin dikliği ise eğimler çarpımının -1 olmasını gerektirir. Bu iki temel koşul birleştirildiğinde k değeri 17/4 olarak bulunur. Değme noktalarından geçen doğrunun denklemi y = 4x + 2k şeklinde kurulur ve x = 0 için y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2k = 8,5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinden geçen teğet doğrularının denklemini belirleme.
Teğetlerin denklemleri y=mxy = mx biçimindedir.
Başlangıç noktasından (orijinden) geçen doğruların y-kesimi sıfırdır.
2
Parabol ile teğet doğrusunun ortak çözüm denklemini oluşturma.
x2+(4−m)x+k=0x^2 + (4-m)x + k = 0
Kesişim ve teğetlik noktalarını bulmak için iki fonksiyonun kuralları birbirine eşitlenir.
3
Teğetlik şartını uygulayarak eğimler denklemine ulaşma.
Δ=(4−m)2−4k=0⇒m2−8m+16−4k=0\Delta = (4-m)^2 - 4k = 0 \Rightarrow m^2 - 8m + 16 - 4k = 0
Bir doğrunun bir parabole teğet olması için ortak çözüm denkleminin çakışık iki kökü olmalıdır, bu da diskriminantın sıfır olmasını gerektirir.
4
Teğetlerin birbirine dik olması koşulunu kullanarak kk değerini bulma.
m1⋅m2=−1⇒16−4k=−1⇒k=174m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow 16 - 4k = -1 \Rightarrow k = \frac{17}{4}
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1 değerine eşittir. Burada kökler çarpımı formülü uygulanmıştır.
5
Değme noktalarının koordinatlarını eğimler cinsinden bulma.
A(m1−42,m12−4m12)A\left(\frac{m_1-4}{2}, \frac{m_1^2-4m_1}{2}\right) ve B(m2−42,m22−4m22)B\left(\frac{m_2-4}{2}, \frac{m_2^2-4m_2}{2}\right)
Ortak çözüm denkleminde teğet noktalarının apsisleri kökler olup x=−b/(2a)x = -b/(2a) yardımıyla tek bir değere sahip olur.
6
Değme noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplama.
Eğim a=m1+m2−4a = m_1 + m_2 - 4. Eğimler denkleminde kökler toplamı m1+m2=8m_1 + m_2 = 8 olduğundan eğim a=4a = 4 bulunur.
İki noktadan geçen doğrunun eğim formülü uygulanarak kökler toplamı cinsinden ifade edilir.
7
Doğru denklemini kurup yy-eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplama.
y=4x+2ky = 4x + 2k doğrusu elde edilir. Buradan yy-kesimi 2k=2⋅174=8.52k = 2 \cdot \frac{17}{4} = 8.5 olarak bulunur.
Değme noktalarından geçen doğrunun denklemi düzenlenerek x=0x=0 için ordinat değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları, teğetlik koşulu (diskriminantın sıfır olması) ve dik doğruların eğim ilişkisi.
Soru 1154Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen trigonometrik ifadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı c<b<ac < b < a şeklindedir.
Verilen ifadeler dar açıya indirgendiğinde aa pozitif çıkarken, bb ve cc negatif çıkmaktadır. Negatif değerler karşılaştırıldığında, dar açılarda tanjant değeri sinüsten büyük olduğu için negatifleri alındığında tanjantlı terim en küçük olur. Bu da c<b<ac < b < a sıralamasını verir.

Adım Adım Çözüm

1
a=sin⁡(160∘)a = \sin(160^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
a=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡(20∘)a = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ) (Pozitif)
160∘160^\circ açısı ikinci bölgede olup sinüs fonksiyonu bu bölgede artı işaretlidir.
2
b=cos⁡(250∘)b = \cos(250^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
b=cos⁡(180∘+70∘)=−cos⁡(70∘)=−sin⁡(20∘)b = \cos(180^\circ + 70^\circ) = -\cos(70^\circ) = -\sin(20^\circ) (Negatif)
250∘250^\circ açısı üçüncü bölgede olup kosin��s fonksiyonu bu bölgede eksi işaretlidir.
3
c=tan⁡(340∘)c = \tan(340^\circ) değerini dar açı cinsinden yazma.
c=tan⁡(360∘−20∘)=−tan⁡(20∘)c = \tan(360^\circ - 20^\circ) = -\tan(20^\circ) (Negatif)
340∘340^\circ açısı dördüncü bölgede olup tanjant fonksiyonu bu bölgede eksi işaretlidir.
4
Elde edilen değerleri işaret ve büyüklüklerine göre sıralama.
c<b<ac < b < a
aa değeri pozitif olduğundan en büyüktür. Negatif olan bb ve cc değerleri için, 20∘20^\circ dar açısında tan⁡(20∘)>sin⁡(20∘)\tan(20^\circ) > \sin(20^\circ) olduğu bilindiğinden, negatif işaretle çarpıldığında −tan⁡(20∘)<−sin⁡(20∘)-\tan(20^\circ) < -\sin(20^\circ) olur. Bu durumda c<bc < b elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açı cinsinden yazılması (indirgeme formülleri).
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1155Soru →

Aşağıda sol sütunda verilen iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerini, sağ sütunda analitik düzlemde belirttikleri bölgelerin özellikleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y≥x2−1y \ge x^2 - 1
y<x+1y < x + 1
y<1−x2y < 1 - x^2
y≥x−1y \ge x - 1
y≥x2−1y \ge x^2 - 1
y≥x+1y \ge x + 1

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci eşitsizlik sistemi birinci bölge tanımıyla, ikinci eşitsizlik sistemi ikinci bölge tanımıyla, üçüncü eşitsizlik sistemi ise üçüncü bölge tanımıyla eşleşir.
Her bir eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgeler, parabol kollarının yönü, sınır çizgisi dahil/hariç durumu (düz veya kesikli çizgi) ve test noktalarının doğruluğu kontrol edilerek karşılık gelen sözel grafik tanımlarıyla eşleştirilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizlik sistemindeki sınır eğrilerini ve eşitsizlik yönlerini analiz etme.
y≥x2−1y \ge x^2 - 1 ifadesi kolları yukarı doğru olan parabolün üst bölgesini (sınır dahil), y<x+1y < x + 1 ifadesi ise doğrunun alt bölgesini (sınır hariç) belirtir. (0,0)(0,0) noktası bu eşitsizlikleri sağladığı için bu sistem birinci tanım ile eşleşir.
Eşitsizliklerin belirttiği bölgeleri tespit edebilmek için sınır eğrilerinin grafikleri ve sınırların dahil olup olmadığı incelenmelidir.
2
İkinci eşitsizlik sistemindeki sınır eğrilerini ve eşitsizlik yönlerini analiz etme.
y<1−x2y < 1 - x^2 ifadesi kolları aşağı doğru olan y=−x2+1y = -x^2 + 1 parabolünün alt bölgesini (sınır hariç), y≥x−1y \ge x - 1 ifadesi ise y=x−1y = x - 1 doğrusunun üst bölgesini (sınır dahil) belirtir. (0,0)(0,0) noktası bu sistemi de sağladığı için bu sistem ikinci tanım ile eşleşir.
Kolları aşağı doğru olan parabolün iç kısmının taranma durumu ve sınır çizgisi doğrulanmalıdır.
3
Üçüncü eşitsizlik sistemindeki sınır eğrilerini ve eşitsizlik yönlerini analiz etme.
y≥x2−1y \ge x^2 - 1 ifadesi parabolün üst bölgesini (sınır dahil), y≥x+1y \ge x + 1 ifadesi ise doğrunun üst bölgesini (sınır dahil) belirtir. (0,0)(0,0) noktası bu sistemi sağlamazken, (0,2)(0,2) noktası sistemi sağlar. Bu nedenle üçüncü tanım ile eşleşir.
Eşitsizlik yönleri ve test noktaları yardımıyla doğru eşleştirme tamamlanır.

Anahtar Kavram

İki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde boyalı bölge olarak gösterimi, sınır çizgilerinin kesikli veya düz çizgi olmasının belirlenmesi ve bölgenin içindeki test noktalarının kullanımı.
Soru 1156Soru →

Kartezyen koordinat sisteminde, birinci bölgedeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 çemberine çizilen teğet doğrusu, koordinat eksenlerini AA ve BB noktalarında kesmektedir. PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü HH noktası olup ABAB doğru parçasının orta noktası CC olarak belirleniyor.

OHCOHC üçgeninin alanı 0,1250,125 birimkare olduğuna göre, sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.8

Cevap

İstenen sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değeri 0,80,8 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaların ordinat ve apsis ilişkileri kullanılarak CC orta noktasının koordinatları belirlenir. Tabanı OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve yüksekliği yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} olan OHCOHC üçgeninin alanı cot⁡θ4\frac{\cot\theta}{4} olarak elde edilir. Alanın 0,1250,125 birimkareye eşitlenmesiyle cot⁡θ=0,5\cot\theta = 0,5 bulunur. Buradan sin⁡(2θ)=0,8\sin(2\theta) = 0,8 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasındaki teğet doğrusunun denkleminin yazılmas��
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini elde etmek için.
2
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği AA ve BB noktalarının koordinatlarının belirlenmesi
A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta)
Teğet denkleminde sırasıyla y=0y=0 ve x=0x=0 verilerek eksen kesim noktaları bulunur.
3
ABAB doğru parçasının orta noktası olan CC'nin koordinatlarının bulunması
C(sec⁡θ2,csc⁡θ2)C\left(\frac{\sec\theta}{2}, \frac{\csc\theta}{2}\right)
AA ve BB noktalarının aritmetik ortalaması alınarak orta nokta koordinatları bulunur.
4
PP noktasının apsis ekseni üzerindeki dik izdüşümü olan HH noktasının koordinatlarının belirlenmesi
H(cos⁡θ,0)H(\cos\theta, 0)
P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasının ordinatının sıfırlanmasıyla xx-eksenindeki izdüşüm noktası bulunur.
5
OHCOHC üçgeninin alanının θ\theta cinsinden formüle edilmesi
Alan(OHC)=cot⁡θ4\text{Alan}(OHC) = \frac{\cot\theta}{4}
Taban OH=cos⁡θOH = \cos\theta ve bu tabana ait yükseklik yC=csc⁡θ2y_C = \frac{\csc\theta}{2} alınarak Alan=12⋅taban⋅yu¨kseklik\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} formülü uygulanır.
6
Verilen alan değeri kullanılarak cot⁡θ\cot\theta değerinin hesaplanması
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2}
cot⁡θ4=0,125=18\frac{\cot\theta}{4} = 0,125 = \frac{1}{8} eşitliği çözülerek cot⁡θ\cot\theta değerine ulaşılır.
7
cot⁡θ=12\cot\theta = \frac{1}{2} bilgisinden yararlanılarak sin⁡(2θ)\sin(2\theta) değerinin bulunması
0,80,8
tan⁡θ=2\tan\theta = 2 olup, yarım açı formülü sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} kullanılarak değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Birim çemberde teğet doğrusu özellikleri, koordinat eksenlerinin kesim noktaları, orta nokta koordinatları ve trigonometrik alan uygulamaları.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1157Soru →

Dik koordinat düzleminde, bitiş kenarı birim çemberi üçüncü bölgede yer alan K(k,−1213)K\left(k, -\frac{12}{13}\right) noktasında kesen yönlü açının kosinüs değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −513-\frac{5}{13}

Cevap

−513-\frac{5}{13}
Birim çember denklemi olan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 kullanılarak k2+(−12/13)2=1k^2 + (-12/13)^2 = 1 eşitliğinden k2=25/169k^2 = 25/169 bulunur. Nokta üçüncü bölgede yer aldığı için apsis (xx) değeri negatif olmalıdır. Buradan k=−5/13k = -5/13 elde edilir. Yönlü açının kosinüs değeri kestiği noktanın apsis değerine eşit olduğundan cevap negatif beş bölü on üç olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki her P(x,y)P(x, y) noktası için x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 eşitliğinin sağlandığını belirlemek.
k2+(−1213)2=1k^2 + \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 denklemi elde edilir.
Birim çemberin genel denklemi x2+y2=1x^2 + y^2 = 1'dir ve çember üzerindeki her nokta bu denklemi sağlamak zorundadır.
2
Elde edilen denklemde bilinmeyen kk değerinin karesini yalnız bırakmak.
k2+144169=1⇒k2=1−144169=25169k^2 + \frac{144}{169} = 1 \Rightarrow k^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} bulunur.
kk değerinin büyüklüğünü hesaplamak için kare değerini bulmamız gerekir.
3
Noktanın bulunduğu bölgeye göre kk değerinin işaretini belirlemek.
Üçüncü bölgede apsis (xx) değeri negatif olduğundan k=−513k = -\frac{5}{13} olur.
Üçüncü bölgede hem xx hem de yy koordinatları negatiftir.
4
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisinin, bu noktayı belirleyen yönlü açının kosinüs değerine eşit olduğunu kullanmak.
Açının kosinüs değeri cos⁡θ=k=−513\cos\theta = k = -\frac{5}{13} olarak bulunur.
Birim çember üzerinde tanımlanan bir açının bitiş kenarının çemberi kestiği noktanın xx koordinatı kosinüs değerini verir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki ve bölgelere göre işaret tayini.
Soru 1158Soru →
x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \leq 0
(x−1)2x−2≥0\frac{(x-1)^2}{x-2} \geq 0

Yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 4'tür.
Doğru cevap olan 4 değeri; birinci eşitsizliğin çözüm kümesi olan [−2,3][-2, 3] ile ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi olan (2,∞)∪{1}(2, \infty) \cup \{1\} kümelerinin kesişim kümesindeki 11 ve 33 tam sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin köklerini bulma ve çözüm aralığını belirleme.
x2−x−6≤0⇒(x−3)(x+2)≤0x^2 - x - 6 \leq 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) \leq 0 ifadesinden kökler x1=−2x_1 = -2 ve x2=3x_2 = 3 olarak bulunur. Başkatsayı pozitif olduğundan işaret tablosunda +,−,++ , - , + sıralamasıyla, çözüm aralığı [−2,3][-2, 3] olarak belirlenir.
Eşitsizlik sistemini oluşturan ilk ifadenin ç��züm kümesini bulmak için.
2
İkinci eşitsizliğin köklerini bulma ve çözüm aralığını belirleme.
(x−1)2x−2≥0\frac{(x-1)^2}{x-2} \geq 0 ifadesinde payın kökü x=1x = 1 (çift katlı kök), paydanın kökü ise x=2x = 2 (tek katlı kök) değeridir. Payda sıfır olamayacağından x≠2x \neq 2 olmalıdır. (x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0 ifadesi her reel sayı için sıfır veya pozitif olduğundan, ifadenin işareti paydanın işaretine bağlıdır. Bu durumda x>2x > 2 olmalıdır. Ayrıca x=1x = 1 değeri payı sıfır yaparak eşitsizliği sağladığından çözüm kümesi (2,∞)∪{1}(2, \infty) \cup \{1\} olarak bulunur.
Eşitsizlik sistemini oluşturan ikinci ifadenin çözüm kümesini bulmak için.
3
Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesini bulma ve tam sayı değerlerini toplama.
İki çözüm kümesinin kesişimi [−2,3]∩((2,∞)∪{1})=(2,3]∪{1}[-2, 3] \cap ((2, \infty) \cup \{1\}) = (2, 3] \cup \{1\} olur. Bu aralıktaki tam sayılar 11 ve 33'tür. Toplamları ise 1+3=41 + 3 = 4 bulunur.
Sistemi sağlayan ortak xx tam sayılar��nı belirleyip toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu yardımıyla ortak çözüm kümesinin bulunması.
Soru 1159Soru →

Dik koordinat düzlemindeki birim çember üzerinde, üçüncü bölgede bulunan bir P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çembere çizilen teğet doğrusu; x=−1x = -1 doğrusunu KK noktasında, y=−1y = -1 doğrusunu ise LL noktasında kesmektedir.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklığın θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)

Cevap

−(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)
Doğru yanıt olan −(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)-(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta) ifadesi, üçüncü bölgedeki sin⁡θ\sin\theta ve cos⁡θ\cos\theta değerlerinin negatif işaretleri ve bu işaretlerin toplamının −1-1'den küçük olması dolayısıyla mutlak değer dışına çıkarma kurallarının eksiksiz uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini yazma
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Birim çember üzerindeki P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi xx0+yy0=1x x_0 + y y_0 = 1 formülü ile bulunur.
2
KK noktasının koordinatlar��nı bulma
K(−1,1+cos⁡θsin⁡θ)K\left(-1, \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)
Teğet doğrusu ile x=−1x = -1 doğrusunun kesişim noktasını bulmak için teğet denkleminde x=−1x = -1 yazılır.
3
LL noktasının koordinatlarını bulma
L(1+sin⁡θcos⁡θ,−1)L\left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}, -1\right)
Teğet doğrusu ile y=−1y = -1 doğrusunun kesişim noktasını bulmak için teğet denkleminde y=−1y = -1 yazılır.
4
KK ve LL noktaları arasındaki uzaklığın karesini hesaplama
KL2=(1+sin⁡θ+cos⁡θ)2sin⁡2θcos⁡2θKL^2 = \frac{(1+\sin\theta+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta\cos^2\theta}
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d2=(xK−xL)2+(yK−yL)2d^2 = (x_K - x_L)^2 + (y_K - y_L)^2 uygulanarak ortak payda parantezine alınır.
5
Mutlak değer dışına çıkarma ve sadeleştirme
KL=−1+sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θcos⁡θ=−(sec⁡θ+csc⁡θ+sec⁡θcsc⁡θ)KL = -\frac{1+\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = -(\sec\theta + \csc\theta + \sec\theta\csc\theta)
θ\theta üçüncü bölgede olduğundan sin⁡θ<0\sin\theta < 0, cos⁡θ<0\cos\theta < 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ<−1\sin\theta + \cos\theta < -1 olur. Dolayısıyla 1+sin⁡θ+cos⁡θ<01+\sin\theta+\cos\theta < 0 ve sin⁡θcos⁡θ>0\sin\theta\cos\theta > 0 olduğu için mutlak değer dışına çıkarırken işaret değişimi yapılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenlerine paralel doğrularla kesişim noktaları ve bu noktaların trigonometrik ifadelerle bölgelere göre analizi.
Soru 1160Soru →
xx bir dar açı olmak üzere,
\frac{\cos(x - 5\pi) \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \sin(3\pi + x) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}{\cot\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) \cdot \cot(11\pi + x)} + \cos^2\left\(\frac{13\pi}{2} - x\right) + \cos^2(x - 7\pi)

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin en sade şekli 2'dir.
İfade adım adım indirgendiğinde rasyonel kısmın payı cos^2(x) + sin^2(x) = 1, paydası tan(x) * cot(x) = 1 olarak bulunur. Böylece rasyonel kısım 1 değerine eşit olur. Yan taraftaki kareli terimlerin toplamı da sin^2(x) + cos^2(x) = 1 olduğundan, tüm ifadenin en sade şekli 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel ifadenin payındaki terimleri esas ölçü ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirelim.
cos⁡(x−5π)=cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(x - 5\pi) = \cos(5\pi - x) = -\cos(x)
sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)
Çarpımları: (−cos⁡(x))⋅(−cos⁡(x))=cos⁡2(x)(-\cos(x)) \cdot (-\cos(x)) = \cos^2(x)

sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)
cos⁡(5π2+x)=cos⁡(π2+x)=−sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)
Çarpımları: (−sin⁡(x))⋅(−sin⁡(x))=sin⁡2(x)(-\sin(x)) \cdot (-\sin(x)) = \sin^2(x)

Payın toplamı: cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 olur.
Pay kısmındaki her bir trigonometrik fonksiyonun hangi bölgede yer aldığını belirleyip işaretlerini ve isim değiştirip değiştirmeyeceklerini saptamak için.
2
Rasyonel ifadenin paydasındaki terimleri esas ölçü ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirelim.
cot⁡(9π2−x)=cot⁡(π2−x)=tan⁡(x)\cot\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)
cot⁡(11π+x)=cot⁡(π+x)=cot⁡(x)\cot(11\pi + x) = \cot(\pi + x) = \cot(x)
Çarpımları: tan⁡(x)⋅cot⁡(x)=1\tan(x) \cdot \cot(x) = 1 olur.

Böylece rasyonel ifade: 11=1\frac{1}{1} = 1 bulunur.
Payda kısmındaki trigonometrik çarpımın sade halini bulmak ve rasyonel ifadenin değerini belirlemek için.
3
Rasyonel ifadenin sağında bulunan kareli terimleri indirgeyip toplam ifadenin sonucunu hesaplayalım.
cos⁡(13π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)  ⟹  cos⁡2(13π2−x)=sin⁡2(x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) \implies \cos^2\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \sin^2(x)
cos⁡(x−7π)=cos⁡(7π−x)=−cos⁡(x)  ⟹  cos⁡2(x−7π)=(−cos⁡(x))2=cos⁡2(x)\cos(x - 7\pi) = \cos(7\pi - x) = -\cos(x) \implies \cos^2(x - 7\pi) = (-\cos(x))^2 = \cos^2(x)
Kareleri toplamı: sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olur.

Tüm ifadenin değeri: 1+1=21 + 1 = 2 olarak bulunur.
Kalan terimlerin değerlerini esas ölçü ve trigonometrik kimlikler yardımıyla bulup rasyonel ifadenin sonucuna eklemek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 58 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin