Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1101Soru →

Baş katsayısı 11 olan ikinci dereceden bir f(x)f(x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] ve grafiğinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 22'dir.

Bu fonksiyonun grafiği mm birim sağa ve nn birim yukarı ötelendiğinde; g(x)=0g(x) = 0 denkleminin kökleri y-eksenine göre simetrik olan ve y-eksenini −3-3 ordinatlı noktada kesen bir g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, m+nm + n toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Doğru cevap 1'dir.
Verilen bilgilere göre f(x) fonksiyonunun tepe noktası (3, -7) olarak bulunur. g(x) fonksiyonunun köklerinin y-eksenine göre simetrik olması, tepe noktasının y-ekseni üzerinde olmasını gerektirir. Bu durum, tepe noktasının apsisinin 0 olması anlamına gelir. Dolayısıyla fonksiyon 3 birim sola ötelenmiştir, yani m = -3'tür. Ötelenmiş fonksiyon g(x) = f(x+3) + n = x^2 - 7 + n biçimindedir. y-eksenini kesen noktanın ordinatı -3 olduğundan g(0) = -3 eşitliğinden n = 4 elde edilir. Buradan m + n = -3 + 4 = 1 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun denklemini belirleyelim.
f(x)=(x−3)2−7f(x) = (x-3)^2 - 7
Baş katsayısı 1 olan parabolün azalan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] ise tepe noktasının apsisi r=3r = 3'tür. Parabolün denklemi f(x)=(x−3)2+kf(x) = (x-3)^2 + k şeklindedir. y-keseni 2 olduğundan f(0)=9+k=2  ⟹  k=−7f(0) = 9 + k = 2 \implies k = -7 bulunur.
2
g(x) fonksiyonunun yatay öteleme miktarı olan m değerini bulalım.
m=−3m = -3
g(x)=0g(x) = 0 denkleminin kökleri y-eksenine göre simetrik ise g(x)g(x) parabolünün tepe noktası y-ekseni üzerinde olmalıdır, yani tepe noktasının apsisi 0 olmalıdır. f(x)f(x)'in tepe noktası apsisi 3 olduğuna göre, tepe noktasını 0 yapmak için grafik 3 birim sola ötelenmelidir. mm birim sağa öteleme yapıldığından m=−3m = -3 olmalıdır.
3
g(x) fonksiyonunu tanımlayıp n değerini bulalım.
n=4n = 4
g(x)=f(x−m)+n=f(x+3)+ng(x) = f(x - m) + n = f(x + 3) + n olur. Buradan g(x)=((x+3)−3)2−7+n=x2−7+ng(x) = ((x+3)-3)^2 - 7 + n = x^2 - 7 + n elde edilir. g(x)g(x) fonksiyonunun y-keseni −3-3 olduğundan g(0)=−7+n=−3  ⟹  n=4g(0) = -7 + n = -3 \implies n = 4 bulunur.
4
m + n toplamını hesaplayalım.
m+n=−3+4=1m + n = -3 + 4 = 1
İstenen toplamı bulmak için elde edilen m ve n değerlerini toplarız.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonlarda artanlık/azalanlık sınırının simetri eksenini belirlemesi ve yatay/dikey ötelemelerin tepe noktası üzerindeki etkisi.
Soru 1102Soru →

Dar açılı bir ABCABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri AA, BB ve CC radyandır.

Buna göre, tanımlı olduğu değerler için

sin⁡(A+B)−cos⁡(3π2−C)sin⁡(5π2+C)−cos⁡(π−C) \frac{\sin(A+B) - \cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right)}{\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) - \cos(\pi - C)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡C\tan C

Cevap

Verilen ifadenin en sade hali tanjant C olarak bulunur.
Dar açılı bir üçgende A+B+C=πA + B + C = \pi olduğundan A+B=π−CA + B = \pi - C olur ve sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(A + B) = \sin(\pi - C) = \sin C elde edilir. Diğer ifadeler indirgendiğinde, cos⁡(3π2−C)=−sin⁡C\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) = -\sin C, sin⁡(5π2+C)=sin⁡(π2+C)=cos⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + C\right) = \cos C ve cos⁡(π−C)=−cos⁡C\cos(\pi - C) = -\cos C bulunur. Bu değerler verilen kesirde yerine yazıldığında pay 2sin⁡C2\sin C, payda 2cos⁡C2\cos C olur. Bölümün sonucu ise tanjant C olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılarının toplamı ilişkisini kullanarak A+BA+B açısını CC cinsinden yazıp sin⁡(A+B)\sin(A+B) ifadesini indirgeyin.
A+B+C=π  ⟹  A+B=π−CA+B+C = \pi \implies A+B = \pi - C olur. Buradan sin⁡(A+B)=sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C elde edilir.
ABCABC üçgeninin iç açıları toplamı π\pi radyandır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan sin⁡(π−C)=sin⁡C\sin(\pi-C) = \sin C olur.
2
Paydaki cos⁡(3π2−C)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) ifadesini indirgeyip payı düzenleyin.
cos⁡(3π2−C)=−sin⁡C\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right) = -\sin C olur. Pay kısmı ise sin⁡C−(−sin⁡C)=2sin⁡C\sin C - (-\sin C) = 2\sin C haline gelir.
Açı üçüncü bölgededir. Üçüncü b��lgede kosinüs fonksiyonu negatif işaretlidir ve düşey eksende (270∘270^\circ) isim değiştirerek sinüse dönüşür.
3
Paydadaki sin⁡(5π2+C)\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) ve cos⁡(π−C)\cos(\pi - C) ifadelerini indirgeyin.
sin⁡(5π2+C)=sin⁡(π2+C)=cos⁡C\sin\left(\frac{5\pi}{2} + C\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + C\right) = \cos C ve cos⁡(π−C)=−cos⁡C\cos(\pi - C) = -\cos C olur. Payda kısmı ise cos⁡C−(−cos⁡C)=2cos⁡C\cos C - (-\cos C) = 2\cos C haline gelir.
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve isim değiştirerek kosinüse dönüşür. π−C\pi - C açısı ikinci bölgededir, bu bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirmez.
4
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime ulaşın.
2sin⁡C2cos⁡C=sin⁡Ccos⁡C=tan⁡C\frac{2\sin C}{2\cos C} = \frac{\sin C}{\cos C} = \tan C elde edilir.
Aynı açının sinüs değerinin kosinüs değerine oranı tanjant fonksiyonunu verir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1103Soru →
x−212−3x≥0\frac{x - 2}{12 - 3x} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 5'tir.
Çözüm kümesi [2,4)[2, 4) yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar yalnızca 22 ve 33 değerleridir. Bu sayıların toplamı 2+3=52 + 3 = 5 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki pay ve paydanın köklerini belirleme.
Payın kökü x=2x = 2 ve paydanın kökü x=4x = 4 olarak bulunur.
Eşitsizliğin işaret değiştirme noktalarını saptamak için payı ve paydayı sıfır yapan değerler hesaplanır.
2
İşaret tablosunun genel işaretini belirleme ve tabloyu oluşturma.
Sistemin genel işareti negatiftir. İşaret tablosu en sağdan eksi ile başlar ve sola doğru −-, ++, −- şeklinde ilerler.
Payın baş katsayısı +1+1 (pozitif) ve paydanın baş katsayısı −3-3 (negatif) olduğundan, bölümleri negatif bir işaret üretir.
3
Eşitsizliği sağlayan çözüm aralığını belirleme.
Çözüm kümesi [2,4)[2, 4) yarı açık aralığıdır.
İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması istendiği için pozitif bölge alınır. Paydanın kökü (x=4x=4) tanımsızlık yarattığı için açık parantezle dışarıda tutulurken, payın kökü (x=2x=2) köşeli parantezle dahil edilir.
4
Aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyip toplama.
Aralıktaki tam sayılar 22 ve 33 olup, toplamları 2+3=52 + 3 = 5 bulunur.
Soru kökünde eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde işaret tablosunun kurulması ve paydanın kökünün çözüm kümesine dahil edilmemesi.
Soru 1104Soru →
f(x)=(x2−4x−12)⋅(x−1)3 f(x) = (x^2 - 4x - 12) \cdot (x - 1)^3

olmak üzere,

f(x−3)⋅(x2−9)f(x+1)⋅(x2−4x+4)≤0 \frac{f(x-3) \cdot (x^2 - 9)}{f(x+1) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 38'dir.
Eşitsizlik tablosu oluşturulurken pay ve payda kökleri doğru bir şekilde tespit edilip, çift katlı köklerde işaretin korunacağı ve payda köklerinin tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesine dahil edilmeyeceği göz önünde bulundurulduğunda, negatif veya sıfır olan bölgelerin (0,1]∪[3,4]∪(5,9](0, 1] \cup [3, 4] \cup (5, 9] olduğu görülür. Bu aralıklardaki tam sayıların toplamı 38'dir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun çarpanlara ayrılması
f(x)=(x−6)(x+2)(x−1)3f(x) = (x-6)(x+2)(x-1)^3
f(x−3)f(x-3) ve f(x+1)f(x+1) ifadelerinin çarpanlarını doğrudan elde edebilmek için temel fonksiyonu çarpanlarına ayırırız.
2
f(x-3) ve f(x+1) ifadelerinin oluşturulması
f(x−3)=(x−9)(x−1)(x−4)3f(x-3) = (x-9)(x-1)(x-4)^3 ve f(x+1)=(x−5)(x+3)x3f(x+1) = (x-5)(x+3)x^3
Ana fonksiyondaki xx değişkeninin yerine sırasıyla (x−3)(x-3) ve (x+1)(x+1) yazarak ötelenmiş fonksiyonları buluruz.
3
Eşitsizlik ifadesinin çarpanlar cinsinden düzenlenmesi
E(x)=(x−9)(x−1)(x−4)3⋅(x−3)(x+3)(x−5)(x+3)x3⋅(x−2)2≤0 E(x) = \frac{(x-9)(x-1)(x-4)^3 \cdot (x-3)(x+3)}{(x-5)(x+3)x^3 \cdot (x-2)^2} \leq 0
Eşitsizliğin tüm pay ve payda çarpanlarını bir araya getirerek kök analizi yapmaya hazır hale getiririz.
4
Köklerin ve katlarının belirlenmesi
Kökler küçükten büyüğe: −3,0,1,2,3,4,5,9-3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9. Köklerin katları: x=−3x = -3 (çift katl��, tanımsız), x=0x = 0 (tek katlı, tanımsız), x=1x = 1 (tek katlı, tanımlı), x=2x = 2 (çift katlı, tanımsız), x=3x = 3 (tek katlı, tanımlı), x=4x = 4 (tek katlı, tanımlı), x=5x = 5 (tek katlı, tanımsız), x=9x = 9 (tek katlı, tanımlı).
Payda kökleri tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine alınamaz. x=−3x = -3 hem pay hem paydada yer aldığından sadeleşir fakat paydayı sıfır yaptığı için tanımsızdır. x=2x = 2 ise çift katlı payda köküdür.
5
İşaret tablosunun oluşturulması ve aralıkların belirlenmesi
İşaret tablosu en sağda ++ ile başlar. İşaretler sırasıyla: x>9x > 9 için ++, (5,9](5, 9] için −-, [4,5)[4, 5) için ++, [3,4][3, 4] için −-, (2,3](2, 3] için ++, [1,2)[1, 2) için ++, (0,1](0, 1] için −-, (−3,0)(-3, 0) için ++, x<−3x < -3 için ++. Eşitsizliği sağlayan aralıklar: (0,1]∪[3,4]∪(5,9](0, 1] \cup [3, 4] \cup (5, 9] olarak bulunur.
En büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için tabloya ++ ile başlanır. Tek katlı köklerde işaret değiştirilir, çift katlı köklerde (x=2x = 2 ve sadeleşen x=−3x = -3) işaret değiştirilmez.
6
Tam sayı çözümlerinin belirlenmesi ve toplamın hesaplanması
xx tam sayıları: 11 (ilk aralıktan); 3,43, 4 (ikinci aralıktan); 6,7,8,96, 7, 8, 9 (üçüncü aralıktan). Toplam: 1+3+4+6+7+8+9=381 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 = 38.
Aralıklardaki dahil olan sınır değerleri ve aralarındaki tam sayılar belirlenerek toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Kök Analizi, Çift Katlı Kökler ve Tanımsızlık Koşulları

Alternatif Yöntem

Grafiksel yorumlama yöntemiyle, f(x)f(x) fonksiyonunun kabataslak grafiği çizilerek veya köklerin xx eksenini kestiği yerlerdeki işaret durumları kontrol edilerek f(x−3)f(x-3) ve f(x+1)f(x+1) fonksiyonlarının davranışları doğrudan incelenebilir. Ancak cebirsel olarak çarpanlara ayırma yöntemi hata payını en aza indiren en güvenli yöntemdir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1105Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonunun grafiği aa birim sağa ve bb birim aşağı ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir. f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının grafiklerinin tepe noktaları sırasıyla T1T_1 ve T2T_2’dir. Orijinden geçen bir dd doğrusunun hem T1T_1 hem de T2T_2 noktasından geçtiği ve bu iki grafiğin yy ekseni üzerinde kesiştiği bilinmektedir. Buna göre, köşe noktaları T1T_1, T2T_2 ve bu iki grafiğin kesişim noktası olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Köşe noktaları T1(1,−4)T_1(1, -4), T2(3,−12)T_2(3, -12) ve kesişim noktası P(0,−3)P(0, -3) olan üçgenin alanı 3 birimkaredir.
Tepe noktaları T1(1,−4)T_1(1, -4) ve T2(3,−12)T_2(3, -12) ile kesişim noktası P(0,−3)P(0, -3) olarak doğru şekilde belirlenip üçgenin alan formülü uygulandığında alan 3 birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 fonksiyonunun tepe noktası T1(r1,s1)T_1(r_1, s_1) koordinatlarını bulalım.
r1=−−22=1r_1 = -\frac{-2}{2} = 1 ve s1=f(1)=12−2(1)−3=−4s_1 = f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4 olduğundan T1(1,−4)T_1(1, -4) olur.
Ötelenen fonksiyonun tepe noktasını takip edebilmek için öncelikle orijinal fonksiyonun tepe noktasını bulmamız gerekir.
2
Orijinden ve T1(1,−4)T_1(1, -4) noktasından geçen dd doğrusunun denklemini yazalım ve T2T_2 tepe noktasının koordinatları arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
dd doğrusunun eğimi m=−4−01−0=−4m = \frac{-4-0}{1-0} = -4 olup denklemi y=−4xy = -4x şeklindedir. f(x)f(x) fonksiyonu aa birim sağa ve bb birim aşağı ötelendiğinde T2(1+a,−4−b)T_2(1+a, -4-b) noktası elde edilir. Bu nokta y=−4xy = -4x doğrusu üzerinde olduğundan −4−b=−4(1+a)  ⟹  b=4a-4-b = -4(1+a) \implies b = 4a elde edilir.
Öteleme miktarları aa ve bb arasındaki ilk ilişkiyi bulmak için tepe noktalarının doğrusal olma özelliğini kullanırız.
3
Grafiklerin yy ekseni üzerinde kesiştiği bilgisini kullanarak aa ve bb arasındaki ikinci ilişkiyi bulalım ve a,ba, b değerlerini çözelim.
Kesişim noktası yy ekseni üzerinde olduğundan x=0x=0 için f(0)=g(0)f(0) = g(0) olmalıdır. f(0)=−3f(0) = -3 ve g(0)=f(−a)−b=a2+2a−3−bg(0) = f(-a) - b = a^2 + 2a - 3 - b yazılır. Buradan a2+2a−3−b=−3  ⟹  b=a2+2aa^2 + 2a - 3 - b = -3 \implies b = a^2 + 2a bulunur. b=4ab = 4a eşitliğini yerine yazarsak a2+2a=4a  ⟹  a2−2a=0a^2 + 2a = 4a \implies a^2 - 2a = 0 olur. a>0a > 0 olduğundan a=2a = 2 ve b=8b = 8 bulunur.
İki eğrinin kesişim noktası yardımıyla aa ve bb değerlerini tek türlü belirlemek için bu denklemi kurarız.
4
Köşe noktaları T1(1,−4)T_1(1, -4), T2(3,−12)T_2(3, -12) ve kesişim noktası P(0,−3)P(0, -3) olan üçgenin alanını hesaplayalım.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alan formülünden: Alan=12∣0(−4−(−12))+1(−12−(−3))+3(−3−(−4))∣=12∣−9+3∣=3\text{Alan} = \frac{1}{2} |0(-4 - (-12)) + 1(-12 - (-3)) + 3(-3 - (-4))| = \frac{1}{2} |-9 + 3| = 3 birimkare bulunur.
İstenen üçgenin alanını bulmak için köşe noktalarının koordinatlarını alan formülünde yerine koyarız.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyon grafiğinin yatay ve dikey ötelenmesiyle tepe noktasının ve fonksiyon denkleminin değişim kuralları.
Soru 1106Soru →

θ=20∘\theta = 20^\circ olmak üzere,

A=cos⁡(1240∘)⋅sin⁡(−430∘)sin⁡(200∘)⋅cos⁡(340∘)A = \frac{\cos(1240^\circ) \cdot \sin(-430^\circ)}{\sin(200^\circ) \cdot \cos(340^\circ)}
B=cos⁡(13π2−θ)sin⁡(5π+θ)⋅cot⁡(12π−θ)tan⁡(7π2+θ)B = \frac{\cos\left(\frac{13\pi}{2} - \theta\right)}{\sin(5\pi + \theta)} \cdot \frac{\cot(12\pi - \theta)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right)}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: cot⁡(20∘)\cot(20^\circ)

Cevap

İfadelerin doğru şekilde sadeleştirilmesiyle elde edilen A⋅BA \cdot B çarpımı cot⁡(20∘)\cot(20^\circ) değerine eşittir.
İndirgemeler doğru yapıldığında, birinci ifadeden eksi işaretli kotanjant yirmi derece, ikinci ifadeden ise eksi bir değeri elde edilir. Bu iki ifadenin çarpımı pozitif işaretli kotanjant yirmi dereceye eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ifadesindeki her bir trigonometrik fonksiyonu 20∘20^\circ cinsinden dar açıya indirgeyiniz.
A=(−cos⁡(20∘))⋅(−cos⁡(20∘))(−sin⁡(20∘))⋅cos⁡(20∘)=−cot⁡(20∘)A = \frac{(-\cos(20^\circ)) \cdot (-\cos(20^\circ))}{(-\sin(20^\circ)) \cdot \cos(20^\circ)} = -\cot(20^\circ) elde edilir.
1240∘=3⋅360∘+160∘1240^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 160^\circ olup 2. bölgededir. cos⁡(160∘)=−cos⁡(20∘)\cos(160^\circ) = -\cos(20^\circ) olur. −430∘=−430∘+720∘=290∘-430^\circ = -430^\circ + 720^\circ = 290^\circ olup 4. bölgededir. sin⁡(290∘)=sin⁡(270∘+20∘)=−cos⁡(20∘)\sin(290^\circ) = \sin(270^\circ + 20^\circ) = -\cos(20^\circ) olur. 200∘200^\circ açısı 3. bölgededir. sin⁡(200∘)=sin⁡(180∘+20∘)=−sin⁡(20∘)\sin(200^\circ) = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) olur. 340∘340^\circ açısı 4. bölgededir. cos⁡(340∘)=cos⁡(360∘−20∘)=cos⁡(20∘)\cos(340^\circ) = \cos(360^\circ - 20^\circ) = \cos(20^\circ) olur.
2
BB ifadesindeki radyan cinsinden verilen açıları θ=20∘\theta = 20^\circ için indirgeyiniz.
B=sin⁡(20∘)−sin⁡(20∘)⋅−cot⁡(20∘)−cot⁡(20∘)=(−1)⋅1=−1B = \frac{\sin(20^\circ)}{-\sin(20^\circ)} \cdot \frac{-\cot(20^\circ)}{-\cot(20^\circ)} = (-1) \cdot 1 = -1 elde edilir.
cos⁡(13π2−θ)=cos⁡(6π+π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡(θ)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(6\pi + \frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin(\theta) (1. bölge). sin⁡(5π+θ)=sin⁡(π+θ)=−sin⁡(θ)\sin(5\pi + \theta) = \sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta) (3. bölge). cot⁡(12π−θ)=cot⁡(−θ)=−cot⁡(θ)\cot(12\pi - \theta) = \cot(-\theta) = -\cot(\theta). tan⁡(7π2+θ)=tan⁡(2π+3π2+θ)=tan⁡(3π2+θ)=−cot⁡(θ)\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) = \tan\left(2\pi + \frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = -\cot(\theta) (4. bölge).
3
Elde edilen AA ve BB değerlerini çarparak sonuca ulaşınız.
A⋅B=(−cot⁡(20∘))⋅(−1)=cot⁡(20∘)A \cdot B = (-\cot(20^\circ)) \cdot (-1) = \cot(20^\circ) bulunur.
AA ifadesinin sadeleşmiş hali olan −cot⁡(20∘)-\cot(20^\circ) ile BB ifadesinin sadeleşmiş hali olan −1-1 çarpılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki yönlü açılarda, 90∘90^\circ (π/2\pi/2) ve 270∘270^\circ (3π/23\pi/2) katları kullanıldığında fonksiyon isim değiştirirken (sin ↔\leftrightarrow cos, tan ↔\leftrightarrow cot), 180∘180^\circ (π\pi) ve 360∘360^\circ (2π2\pi) katlarında isim değişmez. İşaret belirlemede her zaman orijinal fonksiyonun o bölgedeki işareti dikkate alınmalıdır.

Alternatif Yöntem

İfadelerin her birinde yer alan büyük veya negatif açıları, birim çember üzerinde esas ölçülerini bularak pozitif yönlü dar açılara dönüştürmek işlem karmaşasını azaltır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1107Soru →

α∈(π,5π4)\alpha \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=sin⁡(7π−α)a = \sin(7\pi - \alpha)
b=cos⁡(5π−α)b = \cos(5\pi - \alpha)
c=tan⁡(7π2−α)c = \tan \left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)
d=cot⁡(α−13π2)d = \cot\left(\alpha - \frac{13\pi}{2} \right)

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.
Verilen açının üçüncü bölgedeki konumu dikkate alınarak tüm ifadeler birinci bölgedeki dar açı cinsinden yazıldığında, negatif olanlar kendi aralarında (tanjantın sinüsten büyük olması nedeniyle -tan < -sin), pozitif olanlar kendi aralarında (kosinüsün 1'den küçük, kotanjantın ise 1'den büyük olması nedeniyle cos < cot) sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının aralığını belirleme ve kolaylık sağlamak için yardımcı bir dar açı tanımlama.
α=π+θ\alpha = \pi + \theta tanımlanır, burada θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığ��nda bir dar açıdır.
Bölgelere göre indirgeme yaparken dar açılar üzerinden kıyaslama yapmak kolaylık sağlar.
2
Verilen dört trigonometrik ifadeyi indirgeme formülleriyle θ\theta cinsinden yazma.
a=−sin⁡θa = -\sin\theta, b=cos⁡θb = \cos\theta, c=cot⁡θc = \cot\theta, d=−tan⁡θd = -\tan\theta elde edilir.
Her ifadenin esas ölçü ve bölge dönüşümlerini yaparak karşılaştırılabilir ortak bir değişken elde etmek için.
3
Elde edilen ifadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etme.
dd ve aa negatif; bb ve cc pozitif değerlerdir. 0<sin⁡θ<tan⁡θ<10 < \sin\theta < \tan\theta < 1 olduğundan −tan⁡θ<−sin⁡θ-\tan\theta < -\sin\theta, yani d<ad < a olur. Ayrıca cos⁡θ<1<cot⁡θ\cos\theta < 1 < \cot\theta olduğundan b<cb < c olur.
Trigonometrik fonksiyonların birinci bölgedeki büyüklük ilişkilerini kullanarak kesin sıralamayı oluşturmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve dar açı dönüşümleri kullanılarak sıralanması.

Alternatif Yöntem

Aralığa uygun olacak şekilde α=210∘\alpha = 210^\circ değeri seçilebilir. Bu durumda a=sin⁡(150∘)=0.5a = \sin(150^\circ) = 0.5 gibi görünse de esas formüllerden indirgeme yapıldığında değerler doğrudan hesaplanıp kıyaslanabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1108Soru →

Bir dikdörtgenin komşu iki kenarının uzunlukları sırasıyla x cmx\text{ cm} ve (12−x) cm(12 - x)\text{ cm} olarak verilmiştir.

Buna göre, bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değer kaç santimetrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

En büyük alan değeri 36 santimetrekaredir.
Dikdörtgenin alanı A(x)=−x2+12xA(x) = -x^2 + 12x fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyon başkatsayısı negatif olan bir parabol belirttiği için en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=−122⋅(−1)=6r = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6 ve bu noktadaki alan değeri A(6)=36A(6) = 36 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin alan fonksiyonunu oluşturun.
A(x)=x⋅(12−x)=−x2+12xA(x) = x \cdot (12 - x) = -x^2 + 12x
Dikdörtgenin alanı, komşu iki kenarının uzunluklarının çarpımına eşittir.
2
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulun.
r=−b2a=−122⋅(−1)=6r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = 6
Kolları aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
3
Tepe noktasının ordinatını (kk) hesaplayarak maksimum alanı bulun.
k=A(6)=−(6)2+12⋅6=−36+72=36k = A(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 = -36 + 72 = 36
Bulunan x=6x = 6 değeri alan fonksiyonunda yerine yazılarak en büyük alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının ordinatı (kk), fonksiyonun alabileceği en büyük veya en küçük değeri verir.

Alternatif Yöntem

Türev yardımıyla da bu problemi çözebiliriz. Alan fonksiyonu olan A(x)=−x2+12xA(x) = -x^2 + 12x ifadesinin türevi alınarak sıfıra eşitlenir: A′(x)=−2x+12=0  ⟹  x=6A'(x) = -2x + 12 = 0 \implies x = 6 olur. Bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında en büyük alan A(6)=36A(6) = 36 olarak elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1109Soru →

Analitik düzlemde, y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü ile xx ekseni arasında kalan bölgede; bir kenarı xx ekseni üzerinde, di��er iki köşesi ise bu parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen çiziliyor.

Buna göre, çizilebilecek bu dikdörtgenin çevresi en çok kaç birim olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Çizilebilecek dikdörtgenin çevresi en çok 26 birimdir.
Parabolün altında kalan dikdörtgenin çevre uzunluğu C(x)=−2x2+4x+24C(x) = -2x^2 + 4x + 24 fonksiyonu ile modellenir. Bu fonksiyonun tepe noktasının apsisi r=1r = 1 olup, en büyük çevre değeri C(1)=26C(1) = 26 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün altında kalan dikdörtgenin köşelerini değişkenler cinsinden tanımlama.
Dikdörtgenin parabol üzerindeki köşeleri P(x,12−x2)P(x, 12 - x^2) ve Q(−x,12−x2)Q(-x, 12 - x^2), xx ekseni üzerindeki köşeleri ise P′(x,0)P'(x, 0) ve Q′(−x,0)Q'(-x, 0) olarak belirlenir.
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirlemek için köşe koordinatlarının yazılması gerekir.
2
Kenar uzunluklarını belirleme ve çevre fonksiyonunu oluşturma.
Yatay kenar 2x2x birim, dikey kenar 12−x212 - x^2 birimdir. Çevre fonksiyonu C(x)=2(2x+12−x2)=−2x2+4x+24C(x) = 2(2x + 12 - x^2) = -2x^2 + 4x + 24 olarak elde edilir.
Dikdörtgenin çevresini xx deği��kenine bağlı ikinci dereceden bir fonksiyon olarak modellemek için.
3
Çevre fonksiyonunun tepe noktasının apsisini (en büyük değeri veren xx değerini) bulma.
r=−b2a=−42(−2)=1r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1 bulunur.
Kollar aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında alır.
4
Maksimum çevre değerini hesaplama.
x=1x = 1 için C(1)=−2(1)2+4(1)+24=26C(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 24 = 26 birim elde edilir.
Maksimum çevre uzunluğuna ulaşmak için xx yerine tepe noktasının apsis değerini yazmak gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktasının koordinatlarının kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1110Soru →

f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 fonksiyonunun grafiği;
* xx ekseni boyunca pozitif yönde aa birim (a>0a > 0),
* yy ekseni boyunca negatif yönde bb birim (b>0b > 0)
ötelenerek bir g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Bu öteleme sonucunda elde edilen g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2T_2, f(x)f(x) parabolünün tepe noktası ise T1T_1 olmaktadır.

T1T_1 ve T2T_2 noktalarından geçen doğrunun eğimi −075-0{}75 ve bu iki nokta arasındaki uzaklık 1010 birim olduğuna göre, g(0)g(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 111

Cevap

Öteleme miktarları doğru bir şekilde belirlenip fonksiyon kuralları uygulandığında g(0)g(0) değeri 111 olarak bulunur.
Verilen parabolün tepe noktası T1(3,−4)T_1(3, -4) olarak hesaplanır. Sağa aa ve aşağı bb birimlik öteleme, tepe noktasını T2(3+a,−4−b)T_2(3+a, -4-b) noktasına taşır. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi −ba=−34-\frac{b}{a} = -\frac{3}{4} bağıntısını verir. İki nokta arasındaki uzaklık ise a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 eşitliğini sağlar. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=8a = 8 ve b=6b = 6 değerlerine ulaşılır. Böylece yeni fonksiyon g(x)=f(x−8)−6g(x) = f(x-8) - 6 olarak tanımlanır. g(0)=f(−8)−6g(0) = f(-8) - 6 ifadesinde f(−8)=117f(-8) = 117 değeri yerine yazıldığında sonuç 111 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk parabolün tepe noktasını bulma
T1(3,−4)T_1(3, -4)
f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 parabolünde tepe noktasının apsisi r=−−62=3r = -\frac{-6}{2} = 3 ve ordinatı k=f(3)=32−6(3)+5=−4k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = -4 olur.
2
Ötelenmiş parabolün tepe noktasını tanımlama
T2(3+a,−4−b)T_2(3+a, -4-b)
Grafik sağa (pozitif yönde) aa birim ve aşağı (negatif yönde) bb birim ötelendiği için tepe noktasının yeni koordinatları bu şekilde değişir.
3
Eğim ve uzaklık ilişkisini kullanarak aa ve bb değerlerini çözme
a=8a = 8 ve b=6b = 6
Eğim m=−ba=−075=−34  ⟹  b=34am = \frac{-b}{a} = -0{}75 = -\frac{3}{4} \implies b = \frac{3}{4}a olur. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden a2+b2=102  ⟹  a2+916a2=100  ⟹  2516a2=100  ⟹  a2=64  ⟹  a=8a^2 + b^2 = 10^2 \implies a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 100 \implies \frac{25}{16}a^2 = 100 \implies a^2 = 64 \implies a = 8 ve b=6b = 6 bulunur.
4
g(x)g(x) kuralını yazıp g(0)g(0) değerini hesaplama
g(0)=111g(0) = 111
g(x)=f(x−8)−6g(x) = f(x - 8) - 6 olur. Buradan g(0)=f(−8)−6g(0) = f(-8) - 6 elde edilir. f(−8)=(−8)2−6(−8)+5=117f(-8) = (-8)^2 - 6(-8) + 5 = 117 olduğundan g(0)=117−6=111g(0) = 117 - 6 = 111 bulunur.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonlarda dikey ve yatay öteleme kuralları, ötelemenin tepe noktasına etkisi ile analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık ve eğim kavramlarının koordinat takibi ile birleştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1111Soru →

Aşağıdaki sol sütunda verilen iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerini, sağ sütundaki analitik düzlemde belirttikleri boyalı bölgelerin sınırsal ve geometrik özellikleri ile eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

{y≥x2−1y<−x+1\begin{cases} y \ge x^2 - 1 \\ y < -x + 1 \end{cases}
{y≤−x2+1y>x−1\begin{cases} y \le -x^2 + 1 \\ y > x - 1 \end{cases}
{y>x2−1y≤x+1\begin{cases} y > x^2 - 1 \\ y \le x + 1 \end{cases}

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İlk sistem birinci açıklama ile, ikinci sistem ikinci açıklama ile, üçüncü sistem ise üçüncü açıklama ile eşleşmektedir.
Verilen eşitsizlik sistemlerindeki her bir eşitsizliğin sınır eğrisi (parabol veya doğru), dahillik sembolüne (düz veya kesikli çizgi) ve eşitsizlik yönüne (grafiğin üstü veya altı) göre analiz edildiğinde, her bir sistem sağ sütundaki tam tanımlayıcı geometrik ifadelerle birebir eşleşmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliklerdeki eşitlik durumlarını inceleyerek sınır çizgilerinin karakterini belirlemek.
Küçük-eşit (≤\le) veya büyük-eşit (≥\ge) sembolleri içeren sınırlar düz çizgiyle, küçüktür (<<) veya büyüktür (>>) sembolleri içeren sınırlar kesikli çizgiyle gösterilir.
Sınır çizgilerinin dahil olup olmadığını ayırt etmek için.
2
Parabollerin kollarının yönünü belirlemek.
y=x2−1y = x^2 - 1 parabolünde x2x^2'li terimin katsayısı pozitif olduğundan kollar yukarı doğrudur. y=−x2+1y = -x^2 + 1 parabolünde ise katsayı negatif olduğundan kollar aşağı doğrudur.
Parabollerin analitik düzlemdeki temel duruşunu anlamak için.
3
Eşitsizliklerin yönlerine göre taralı bölgelerin sınır eğrilerine göre konumunu analiz etmek.
y>y > veya y≥y \ge durumunda eğrinin veya doğrunun üst bölgesi, y<y < veya y≤y \le durumunda ise alt bölgesi taranır. Bu kurallarla ortak kesişim bölgeleri belirlenir ve tanımlarla eşleştirilir.
Çözüm kümesinin geometrik sınırlarını netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Eşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1112Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Bu fonksiyonun grafiğinin yy eksenine göre simetriği alındığında elde edilen yeni grafiğin tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−2,−4)(-2, -4)

Cevap

(−2,−4)(-2, -4) noktası
Doğru cevap olan (−2,−4)(-2, -4) noktası, orijinal fonksiyonun tepe noktası olan T(2,−4)T(2, -4) noktasının yy eksenine göre simetriği alınarak elde edilir. yy eksenine göre simetri dönüşümünde noktaların ordinatları değişmezken, apsisleri işaret değiştirir. Dolayısıyla (2,−4)(2, -4) noktası (−2,−4)(-2, -4) noktasına dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1
Orijinal f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x parabolünün tepe noktasının (T(r,k)T(r,k)) koordinatlarını bulun.
r=−b2a=−−42⋅1=2r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ve k=f(2)=22−4(2)=−4k = f(2) = 2^2 - 4(2) = -4 olduğundan tepe noktası T(2,−4)T(2, -4) olur.
Simetri dönüşümünü uygulamak için öncelikle orijinal grafiğin tepe noktasını belirlememiz gerekir.
2
yy eksenine göre simetri dönüşümünü tepe noktasına uygulayın.
yy eksenine göre simetride her (x,y)(x, y) noktası (−x,y)(-x, y) noktasına dönüşür. Bu durumda T(2,−4)T(2, -4) noktası T′(−2,−4)T'(-2, -4) olur.
Bir fonksiyonun grafiğinin yy eksenine göre simetriği alındığında, grafikteki tüm noktaların apsislerinin işareti değişirken ordinatları aynı kalır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların y eksenine göre simetri dönüşümünde g(x)=f(−x)g(x) = f(-x) kuralı uygulanır ve bu dönüşüm grafik üzerindeki her (x,y)(x,y) noktasını (−x,y)(-x,y) noktasına taşır.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, fonksiyonun yy eksenine göre simetriği olan yeni fonksiyon g(x)=f(−x)g(x) = f(-x) olarak yazılabilir. g(x)=(−x)2−4(−x)=x2+4xg(x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x parabolünün tepe noktası hesaplandığında; apsis r=−42=−2r = -\frac{4}{2} = -2 ve ordinat k=g(−2)=(−2)2+4(−2)=−4k = g(-2) = (-2)^2 + 4(-2) = -4 bulunur. Buradan da tepe noktası (−2,−4)(-2, -4) olarak elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1113Soru →

Analitik düzlemde, AA ve BB hareketlileri sırasıyla yy ve xx eksenleri üzerinde hareket etmektedir.

AA hareketlisi t=0t = 0 anında (0,9)(0, 9) noktasından başlayarak yy-ekseninin negatif yönünde saniyede 1 birim hızla, BB hareketlisi ise t=0t = 0 anında (−3,0)(-3, 0) noktasından başlayarak xx-ekseninin pozitif yönünde saniyede 2 birim hızla hareket etmektedir.

Bu iki hareketli arasındaki mesafe, hareketin başladığı andan itibaren ilk 2 saniye boyunca izleniyor.

Buna göre, bu izleme süresi boyunca iki hareketli arasındaki mesafenin alabileceği en küçük değer kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 525\sqrt{2}

Cevap

İki hareketli arasındaki mesafenin alabileceği en küçük değer 525\sqrt{2} birimdir.
Doğru olan 525\sqrt{2} birimlik mesafe, hareketlilerin zamanla değişen konumları arasındaki uzaklığın karesini veren d2(t)=5t2−30t+90d^2(t) = 5t^2 - 30t + 90 fonksiyonunun [0,2][0, 2] kapalı aralığında incelenmesiyle elde edilir. Parabolün tepe noktası t=3t=3 aralık dışında kaldığı ve fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında sürekli azaldığı için, minimum değer sınır değeri olan t=2t=2 anında gerçekleşir ve g(2)=50=52\sqrt{g(2)} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
tt saniye sonra hareketlilerin konumlarını belirleme.
tt. saniyede AA hareketlisinin konumu (0,9−t)(0, 9 - t), BB hareketlisinin konumu ise (−3+2t,0)(-3 + 2t, 0) olur.
AA hareketlisi (0,9)(0, 9) noktasından başlayarak saniyede 1 birim hızla aşağı yönde, BB hareketlisi ise (−3,0)(-3, 0) noktasından başlayarak saniyede 2 birim hızla sağa yönde gitmektedir.
2
İki hareketli arasındaki mesafenin karesini veren fonksiyonu yazma.
d2(t)=(2t−3)2+(9−t)2=5t2−30t+90d^2(t) = (2t - 3)^2 + (9 - t)^2 = 5t^2 - 30t + 90 fonksiyonu elde edilir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü (d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) uygulanmıştır.
3
Elde edilen parabolün tepe noktasını bulma ve aralık kontrolü yapma.
Tepe noktasının apsisi r=−−302⋅5=3r = -\frac{-30}{2 \cdot 5} = 3 olarak bulunur. Ancak 33 değeri, tanımlanan [0,2][0, 2] aralığına ait değildir (3∉[0,2]3 \notin [0, 2]).
Parabolün en küçük değerini alabileceği yerel ekstremum noktasını saptamak için tepe noktası incelenir.
4
[0,2][0, 2] kapalı aralığındaki en küçük değeri belirleme.
Fonksiyonun başkatsayısı pozitif (a=5>0a = 5 > 0) olup tepe noktası r=3r = 3 aralığın sağında kaldığı için, fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalandır. Bu nedenle en küçük değer t=2t = 2 anında gerçekleşir: d2(2)=5(2)2−30(2)+90=50⇒d(2)=50=52d^2(2) = 5(2)^2 - 30(2) + 90 = 50 \Rightarrow d(2) = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} birimdir.
Tepe noktası aralık dışındayken kapalı bir aralıkta sürekli azalan bir fonksiyonun en küçük değeri sağ sınırda elde edilir.

Anahtar Kavram

Tanımlı bir kapalı aralıkta parabolün en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının apsisinin (r) aralıkta olup olmadığı incelenir. Eğer tepe noktası aralık dışındaysa, parabolün aralıktaki artanlık/azalanlık durumu veya uç noktalarindeki değerler değerlendirilir.
Soru 1114Soru →

Analitik düzlemde verilen birim çember üzerinde başlangıç noktaları sırasıyla P0(1,0)P_0(1, 0) ve Q0(0,1)Q_0(0, 1) olan iki hareketli bulunmaktadır. Pozitif yönlü hareket eden PP hareketlisi, saniyede 13π30\frac{13\pi}{30} radyanlık sabit açısal hızla; negatif yönlü hareket eden QQ hareketlisi ise saniyede 54∘54^\circ lik sabit açısal hızla dönmektedir. Bu iki hareketli aynı anda harekete başladıktan 35 saniye sonra durmaktadır. Buna göre, hareketlilerin durdukları andaki konumlarıyla ilgili;

I. PP noktasının konumuna karşılık gelen açının esas ölçüsü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır.
II. QQ noktasının konumu koordinat düzleminin IV. bölgesindedir.
III. PP ve QQ noktaları arasındaki en kısa çember yayı uzunluğunun ölçüsü 150∘150^\circ dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.
Pozitif yönlü hareket eden birinci noktanın taradığı açının esas ölçüsü yedi pi bölü altı radyan olarak doğru bulunmuştur. Negatif yönlü hareket eden ikinci noktanın ulaştığı son nokta olan bir sıfır noktası koordinat ekseni üzerinde olduğundan dördüncü bölgede yer almaz. İki nokta arasındaki en kısa çember yayı uzunluğu ise yüz elli derecedir. Bu nedenle birinci ve üçüncü öncüller doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
PP hareketlisinin 35 saniyede taradığı toplam açıyı radyan cinsinden bulalım.
θP=35×13π30=7×13π6=91π6\theta_P = 35 \times \frac{13\pi}{30} = \frac{7 \times 13\pi}{6} = \frac{91\pi}{6} radyan.
Geçen süre ile saniyedeki açısal hızı çarparak toplam dönme miktarını elde etmek için.
2
PP noktasının son konumunun esas ölçüsünü hesaplayalım.
91π6\frac{91\pi}{6} ifadesinde payı (9191), paydanın iki katı olan 1212'ye böleriz. Kalan 77 olduğundan, esas ölçü 7π6\frac{7\pi}{6} radyandır. Dolayısıyla birinci öncül doğrudur.
Açının içindeki 2π2\pi tam turlarını çıkararak esas yönlü açıyı belirlemek için.
3
QQ hareketlisinin 35 saniyede taradığı toplam açıyı ve ulaştığı konumu derece cinsinden bulalım.
QQ hareketlisi negatif yönde (saat yönünde) hareket ettiğinden, taradığı açı −35×54∘=−1890∘-35 \times 54^\circ = -1890^\circ olur. Başlangıç noktası Q0(0,1)Q_0(0,1) noktası standart pozisyonda 90∘90^\circ'ye karşılık geldiğinden, son konumu 90∘−1890∘=−1800∘90^\circ - 1890^\circ = -1800^\circ olur.
Başlangıç açısına negatif yöndeki tarama miktarını ekleyerek yönlü açının son değerini bulmak için.
4
QQ noktasının son konumunun esas ölçüsünü bulalım ve koordinat bölgesini inceleyelim.
−1800∘-1800^\circ açısına 360∘360^\circ'nin katı olan 1800∘1800^\circ eklenirse esas ölçü 0∘0^\circ bulunur. Bu konum (1,0)(1,0) noktası olup, eksen üzerindedir ve herhangi bir bölgeye ait değildir. Dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.
Eksen üzerindeki sınır noktalarının koordinat bölgelerine (bölge I, II, III veya IV) dahil edilmeyeceğini görmek için.
5
PP ve QQ noktaları arasındaki en kısa çember yayı uzunluğunu hesaplayalım.
PP noktası 210∘210^\circ (7π6\frac{7\pi}{6} radyan) konumunda, QQ noktası ise 0∘0^\circ konumundadır. İki nokta arasındaki açısal fark 210∘−0∘=210∘210^\circ - 0^\circ = 210^\circ dir. En kısa yay ise saat yönünde ölçülen 360∘−210∘=150∘360^\circ - 210^\circ = 150^\circ lik yaydır. Dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.
Çember üzerindeki iki nokta arasındaki mesafenin her zaman en kısa yolla ölçüleceğini göz önüne almak için.

Anahtar Kavram

Yönlü Açılar ve Açı Ölçü Birimleri
Soru 1115Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3
fonksiyonunun her tt gerçel sayısı için [t,t+2][t, t+2] kapalı aralığındaki en büyük değeri M(t)M(t), en küçük değeri ise m(t)m(t) olarak tanımlanıyor.

Buna göre, g(t)=M(t)−m(t)g(t) = M(t) - m(t) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

g(t) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 1'dir.
g(t) fonksiyonunu en küçük yapmak için parabolün [t, t+2] aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri arasındaki farkı minimize etmeliyiz. f(x) fonksiyonunun tepe noktası x = 1'dir. Aralığın tepe noktasını ortaladığı durum olan t = 0 için aralık [0, 2] olur. Bu aralıkta tepe noktası x = 1 tam ortadadır. Dolayısıyla x = 0 ve x = 2 noktalarındaki fonksiyon değerleri birbirine eşit ve en büyük değer olan 3'tür. En küçük değer ise tepe noktasındaki 2 değeridir. Aradaki fark 3 - 2 = 1 olur ve bu g(t)'nin alabileceği en küçük değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.
f(x) = x^2 - 2x + 3 fonksiyonunda a = 1, b = -2 ve c = 3'tür. Tepe noktasının apsisi r = -b / (2a) = -(-2) / 2 = 1 ve ordinatı k = f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2 olur. Yani tepe noktası T(1, 2) noktasıdır.
Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için öncelikle tepe noktasının koordinatlarını belirlemeliyiz.
2
[t, t+2] aralığının uzunluğunu ve tepe noktasının bu aralığa göre konumunu analiz edelim.
Aralığın uzunluğu (t+2) - t = 2 birimdir. Tepe noktası olan x = 1 noktasının aralığa göre konumunu üç farklı duruma göre incelememiz gerekir: t < -1, -1 <= t <= 1 ve t > 1.
Tepe noktasının aralığın içinde olup olmaması, fonksiyonun alacağı en büyük ve en küçük değerlerin yerini belirler.
3
-1 <= t <= 1 durumunu inceleyelim.
Bu durumda x = 1 (tepe noktası) aralığın içindedir. Dolayısıyla fonksiyonun bu aralıktaki en küçük değeri tepe noktasındaki değeridir: m(t) = f(1) = 2. En büyük değer ise aralığın uç noktalarından hangisi tepe noktasına daha uzaksa orada alınır. Aralığın orta noktası t+1'dir. Eğer -1 <= t < 0 ise, orta nokta 1'in solunda olduğundan sol uç nokta t tepe noktasına daha uzaktır ve M(t) = f(t) = t^2 - 2t + 3 olur. Buradan g(t) = M(t) - m(t) = (t-1)^2 elde edilir. Eğer 0 <= t <= 1 ise, orta nokta 1'in sağında veya üzerinde olduğundan sağ uç nokta t+2 tepe noktasına daha uzaktır ve M(t) = f(t+2) = t^2 + 2t + 3 olur. Buradan g(t) = M(t) - m(t) = (t+1)^2 elde edilir. Bu iki durum birleştirildiğinde, [-1, 1] aralığında g(t) fonksiyonunun en küçük değeri t = 0 için (0+1)^2 = 1 olur.
Tepe noktasının aralık içinde olduğu durumlarda en küçük değer sabittir ve en büyük değer tepe noktasına olan uzaklığa göre değişir.
4
t < -1 ve t > 1 durumlarını inceleyelim.
t < -1 ise x = 1 noktası aralığın sağındadır ve fonksiyon azalandır. g(t) = f(t) - f(t+2) = -4t olur. t < -1 için g(t) > 4 elde edilir. t > 1 ise x = 1 noktası aralığın solundadır ve fonksiyon artandır. g(t) = f(t+2) - f(t) = 4t olur. t > 1 için g(t) > 4 elde edilir. Tüm durumlar birleştirildiğinde, g(t) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer 1 olarak bulunur.
Tepe noktasının aralık dışında olduğu durumlarda fonksiyon monoton olduğundan en büyük ve en küçük değerler daima uç noktalarda alınır.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralığa göre konumunun analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1116Soru →

Ölçüsü −1600∘-1600^\circ olan yönlü bir açının esas ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 200

Cevap

Ölçüsü −1600∘-1600^\circ olan yönlü açının esas ölçüsü 200∘200^\circ dir.
−1600∘-1600^\circ açısının esas ölçüsünü bulmak için açıya 360∘360^\circ nin katları eklenerek [0∘,360∘)[0^\circ, 360^\circ) aralığında bir değer elde edilmelidir. En küçük pozitif açıyı elde etmek için açının üzerine 5×360∘=1800∘5 \times 360^\circ = 1800^\circ eklenir: −1600∘+1800∘=200∘-1600^\circ + 1800^\circ = 200^\circ bulunur. Bu değer aralık şartını sağladığından doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının mutlak değerini 360∘360^\circ ye bölerek kalan açıyı bulun.
1600=4×360+1601600 = 4 \times 360 + 160 olduğundan kalan 160∘160^\circ dir. Açı negatif yönlü olduğu için bu değer −160∘-160^\circ olarak ifade edilir.
Yönlü açılarda esas ölçü bulunurken açının 360∘360^\circ ye bölümünden kalan incelenir.
2
Elde edilen negatif açıyı pozitif esas ölçü aralığı olan [0∘,360∘)[0^\circ, 360^\circ) içerisine taşımak için üzerine 360∘360^\circ ekleyin.
−160∘+360∘=200∘-160^\circ + 360^\circ = 200^\circ bulunur.
Esas ölçü negatif bir değer olamayacağından negatif yönlü açının kalanı 360∘360^\circ ile toplanarak pozitif değere dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Negatif Yönlü Açıların Esas Ölçüsü
Soru 1117Soru →

θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere, aşağıda verilen xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin doğru sıralanışı x<y<zx < y < z şeklindedir.
Verilen açı aralığında indirgenmiş ifadelerin değer aralıkları hesaplandığında x∈(0,22)x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), y∈(22,1)y \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) ve z∈(1,∞)z \in (1, \infty) olarak bulunur. Bu aralıkların kesişimi olmadığı için kesin bir şekilde x<y<zx < y < z sıralaması geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
xx ifadesini indirgeyiniz.
x=−cos⁡θx = -\cos\theta
3π2\frac{3\pi}{2} açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirir. 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta açısı üçüncü bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede sinüsün işareti negatiftir.
2
yy ifadesini indirgeyiniz.
y=sin⁡θy = \sin\theta
3π2\frac{3\pi}{2} açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirir. 3π2+θ\frac{3\pi}{2} + \theta açısı dördüncü bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede kosinüsün işareti pozitiftir.
3
zz ifadesini indirgeyiniz.
z=−tan⁡θz = -\tan\theta
π\pi açısına göre dönüşüm yapıldığından fonksiyon isim değiştirmez. π−θ\pi - \theta açısı ikinci bölgeye karşılık gelir ve bu bölgede tanjantın işareti negatiftir.
4
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığına göre elde edilen değerlerin büyüklük sıralamasını yapınız.
x<y<zx < y < z
Verilen aralıkta cos⁡θ∈(−22,0)\cos\theta \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) olduğundan x∈(0,22)x \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) olur. Aynı aralıkta sin⁡θ∈(22,1)\sin\theta \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olduğundan y∈(22,1)y \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olur. tan⁡θ∈(−∞,−1)\tan\theta \in (-\infty, -1) olduğundan z∈(1,∞)z \in (1, \infty) olur. Bu durumda sıralama x<y<zx < y < z olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Soru 1118Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(π−x)cos⁡(π2+x)\frac{\sin(\pi - x)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

Doğru cevap −1-1 değerine sahip seçenektir.
Verilen ifade sadeleştirildiğinde pay sin⁡x\sin x değerine, payda ise −sin⁡x-\sin x değerine eşit olur. Bu iki değerin birbirine oranı ise −1-1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki sin⁡(π−x)\sin(\pi - x) ifadesinin indirgemesini yapın.
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x
π−x\pi - x açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif (+) olup, yatay eksen (π\pi) kullanıldığı için fonksiyonun adı değişmez.
2
Payda kısmındaki cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) ifadesinin indirgemesini yapın.
cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x
π2+x\frac{\pi}{2} + x açısı ikinci bölgededir. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif (-) olup, düşey eksen (π2\frac{\pi}{2}) kullanıldığı için fonksiyon adı sinüse dönüşür.
3
Elde edilen değerleri kesirde yerine koyarak ifadeyi sadeleştirin.
sin⁡x−sin⁡x=−1\frac{\sin x}{-\sin x} = -1
Bulunan indirgenmiş ifadeler oranlandığında ortak sin⁡x\sin x çarpanları sadeleşir ve sonuç −1-1 olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların dar açı cinsinden bölgelere göre indirgenmesi
Tahmini Süre:45s
Soru 1119Soru →

π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} olmak üzere;

a=sin⁡(3π2+x)a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)
b=cos⁡(π2−x)b = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
c=tan⁡(3π2−x)c = \tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)
d=cot⁡(π−x)d = \cot\left(\pi - x\right)

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Trigonometrik ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralaması d < b < a < c şeklindedir.
İndirgenen değerler sırasıyla incelendiğinde; dd ifadesi −1-1'den küçük, bb ifadesi −1-1 ile 00 arasında (negatif), aa ifadesi 00 ile 11 arasında (pozitif) ve cc ifadesi 11'den büyüktür. Bu aralıklar birbirini kesmediğinden sıralama kesin olarak en küçükten en büyüğe doğru d<b<a<cd < b < a < c biçimindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirin.
a=−cos⁡(x)a = -\cos(x), b=sin⁡(x)b = \sin(x), c=cot⁡(x)c = \cot(x) ve d=−cot⁡(x)d = -\cot(x) olarak bulunur.
Değerlerin karşılaştırılabilmesi için tüm ifadelerin aynı açı (xx) cinsinden yazılması gerekir.
2
Açının bulunduğu (π,5π4)\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığına göre temel trigonometrik fonksiyonların alabileceği değer sınırlarını belirleyin.
Üçüncü bölgedeki bu aralıkta sin⁡(x)∈(−22,0)\sin(x) \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right), cos⁡(x)∈(−1,−22)\cos(x) \in \left(-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ve cot⁡(x)∈(1,∞)\cot(x) \in (1, \infty) olur.
Bölgelere göre fonksiyonların işaretleri ve birim çember üzerindeki sınır değerleri sıralamanın temelini oluşturur.
3
Elde edilen sınırları indirgenmiş ifadelere uygulayarak a,b,c,da, b, c, d değerlerini kıyaslayın.
d<−1d < -1, −0.707<b<0-0.707 < b < 0, 0.707<a<10.707 < a < 1 ve c>1c > 1 eşitsizlikleri elde edilir. Buradan d<b<a<cd < b < a < c sıralamasına ulaşılır.
Aralıkların hiçbir ortak elemanı olmadığı için sıralama kesin ve benzersizdir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre indirgenmesi ve birim çember üzerinde değer aralıklarının belirlenerek sıralanması
Soru 1120Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonunun grafiği yy eksenine göre simetriktir.

f(2)=5f(2) = 5

olduğuna göre, g(x)=−f(x)+3g(x) = -f(x) + 3 biçiminde tanımlanan gg fonksiyonu için g(−2)g(-2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

-2
Çift fonksiyon tanımından dolayı f(−2)=f(2)=5f(-2) = f(2) = 5 olur. Dönüşüm denkleminde yerine yazıldığında g(−2)=−f(−2)+3=−5+3=−2g(-2) = -f(-2) + 3 = -5 + 3 = -2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği yy eksenine göre simetrik olduğundan ff bir çift fonksiyondur. Dolayısıyla her xx gerçel sayısı için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği sağlanır ve buradan f(−2)=f(2)=5f(-2) = f(2) = 5 bulunur.
Y eksenine göre simetriklik, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir.
2
g(−2)g(-2) değerini hesaplamak için dönüşüm tanımını yazma.
g(−2)=−f(−2)+3g(-2) = -f(-2) + 3 ifadesi elde edilir.
g(x)=−f(x)+3g(x) = -f(x) + 3 denkleminde xx yerine −2-2 yazılmıştır.
3
f(−2)f(-2) değerini yerine koyarak sonucu hesaplama.
g(−2)=−5+3=−2g(-2) = -5 + 3 = -2 bulunur.
Bulunan f(−2)=5f(-2) = 5 değeri denklemde yerine yazılarak toplama işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların y eksenine göre simetrisi (çift fonksiyonlar) ve dikey yansıma ile öteleme dönüşümleri.
ÖncekiSayfa 56 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin