Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1321Soru →

Analitik düzlemde, f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x) fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)

Cevap

g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)
Bir fonksiyonun grafiği sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim ötelendiğinde tanım kümesindeki elemanlar x−π2x - \frac{\pi}{2} şeklinde değişir. Buradan g(x)=cos⁡(x−π2)g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) elde edilir. Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından dolayı cos⁡(x−π2)=cos⁡(π2−x)\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) yazılabilir. Son olarak, tümler açıların trigonometrik oranları ilişkisinden cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) eşitliği bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay öteleme kuralını uygulayarak ötelenmiş fonksiyonun ifadesini yazma.
g(x)=cos⁡(x−π2)g(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)
Bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği sağa doğru aa birim ötelendiğinde f(x−a)f(x-a) fonksiyonu elde edilir. Burada sağa doğru π2\frac{\pi}{2} birim öteleme yapıldığı için xx yerine x−π2x - \frac{\pi}{2} yazılır.
2
Elde edilen fonksiyonu kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini kullanarak düzenleme.
g(x)=cos⁡(π2−x)g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta) eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla cos⁡(x−π2)=cos⁡(−(π2−x))=cos⁡(π2−x)\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \cos\left(-(\frac{\pi}{2} - x)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) olur.
3
Trigonometrik indirgeme (tümler açı) kuralını uygulayarak fonksiyonu sadeleştirme.
g(x)=sin⁡(x)g(x) = \sin(x)
Birbirini 90∘90^\circ ye (yani π2\frac{\pi}{2} radyana) tamamlayan açılardan birinin kosinüsü, diğerinin sinüsüne eşittir. Bu nedenle cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların yatay ötelemesi ve indirgeme formülleri
Soru 1322Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 725\frac{7}{25}

Cevap

Yedi b��lü yirmi beş
Kosinüs yarım açı formüllerinden biri cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x şeklindedir. Verilen sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5} değeri bu formüle yazıldığında, 1−2(35)2=1−1825=7251 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün bilinen sinüs değerini kullanan yarım açı formülünü seçme.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
Verilen sin⁡x\sin x değerini doğrudan kullanabilmek için bu yarım açı formülü tercih edilir.
2
Soruda verilen sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5} değerini formülde yerine yazma.
cos⁡(2x)=1−2(35)2\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2
Bilinenden bilinmeyene ulaşmak için sayısal değer yerine yerleştirilir.
3
Üslü işlemi yapıp rasyonel çıkarma işlemini tamamlama.
cos⁡(2x)=1−2⋅925=1−1825=725\cos(2x) = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}
Dört işlem basamakları uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formüllerini kullanarak bilinen bir trigonometrik değerden çift açının kosinüs değerini hesaplama.

Alternatif Yöntem

Verilen sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5} değerine uygun bir dik üçgen çizilerek komşu dik kenar 44 bulunur ve cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5} elde edilir. Ardından cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülü kullanılarak (45)2−(35)2=1625−925=725\left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1323Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta α\alpha ve β\beta gerçel sayıları için,
α−β=3π2\alpha - \beta = \frac{3\pi}{2}
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
sin⁡(3π−α)+cos⁡(β−π)sin⁡(α+π2)−cos⁡(3π2−β)\frac{\sin(3\pi - \alpha) + \cos(\beta - \pi)}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right)}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡(α)\tan(\alpha)

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş hali tan⁡(α)\tan(\alpha) olarak bulunur.
İfadenin pay kısmı −2cos⁡(β)-2\cos(\beta), payda kısmı ise 2sin⁡(β)2\sin(\beta) olarak indirgenir. Oranlandığında −cot⁡(β)-\cot(\beta) ifadesi elde edilir. β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2} ilişkisi yerine yazılıp cotangent fonksiyonunun tekliği ve üçüncü bölgedeki indirgeme kuralı uygulandığında sonuç tan⁡(α)\tan(\alpha) olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikten açılar arasındaki geçiş bağıntısını elde etme
α=β+3π2\alpha = \beta + \frac{3\pi}{2} veya β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2}
İfadedeki farklı açılı trigonometrik fonksiyonları tek bir değişken cinsinden yazabilmek için.
2
Pay kısmında yer alan terimleri indirgeme formülleriyle β\beta cinsinden yazma
sin⁡(3π−α)=sin⁡(π−α)=sin⁡(α)=sin⁡(β+3π2)=−cos⁡(β)\sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) = \sin\left(\beta + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(\beta) ve cos⁡(β−π)=cos⁡(π−β)=−cos⁡(β)\cos(\beta - \pi) = \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta) olup, Pay = −2cos⁡(β)-2\cos(\beta)
Pay kısmını sadeleştirmek amacıyla esas ölçü ve bölge işaret kurallarını uygulamak için.
3
Payda kısmında yer alan terimleri indirgeme formülleriyle β\beta cinsinden yazma
sin⁡(α+π2)=sin⁡(β+3π2+π2)=sin⁡(β+2π)=sin⁡(β)\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\beta + \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\beta + 2\pi) = \sin(\beta) ve cos⁡(3π2−β)=−sin⁡(β)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right) = -\sin(\beta) olup, Payda = sin⁡(β)−(−sin⁡(β))=2sin⁡(β)\sin(\beta) - (-\sin(\beta)) = 2\sin(\beta)
Payda kısmını sadeleştirmek amacıyla esas ölçü ve bölge işaret kurallarını uygulamak için.
4
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayıp α\alpha cinsinden karşılığını bulma
Oran: −2cos⁡(β)2sin⁡(β)=−cot⁡(β)\frac{-2\cos(\beta)}{2\sin(\beta)} = -\cot(\beta). β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2} yazılırsa: −cot⁡(α−3π2)=cot⁡(3π2−α)=tan⁡(α)-\cot\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \tan(\alpha)
Sonucu seçeneklerde verilen α\alpha değişkeni türünden ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin analizi, co-fonksiyon (isim değiştirme) kuralları ve periyodik özellikler kullanılarak indirgenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1324Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere üzerindeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini AA noktasında ve yy-eksenini BB noktasında kesmektedir. PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) ve θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğuna göre, AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamının θ\theta türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sec⁡θ+csc⁡θ\sec\theta + \csc\theta

Cevap

sec(theta) + csc(theta) ifadesidir.
Birim çembere P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından teğet olan doğrunun denklemi xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 şeklindedir. Doğrunun eksenleri kestiği noktaların koordinatları A(sec⁡θ,0)A(\sec\theta, 0) ve B(0,csc⁡θ)B(0, \csc\theta) olarak hesaplanır. Buradan AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamı sec⁡θ+csc⁡θ\sec\theta + \csc\theta olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun denklemini kuralım.
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1
Merkezil birim çember üzerindeki bir P(x0,y0)P(x_0, y_0) noktasından çembere çizilen teğet doğrusunun denklemi x⋅x0+y⋅y0=1x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = 1 formülüyle belirlenir.
2
Teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği AA noktasının apsisini bulalım.
xA=sec⁡θx_A = \sec\theta
xx-eksenini kesim noktasını bulmak için teğet denkleminde y=0y = 0 yazılır. Buradan xcos⁡θ=1  ⟹  x=1cos⁡θ=sec⁡θx\cos\theta = 1 \implies x = \frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta elde edilir.
3
Teğet doğrusunun yy-eksenini kestiği BB noktasının ordinatını bulalım.
yB=csc⁡θy_B = \csc\theta
yy-eksenini kesim noktasını bulmak için teğet denkleminde x=0x = 0 yazılır. Buradan ysin⁡θ=1  ⟹  y=1sin⁡θ=csc⁡θy\sin\theta = 1 \implies y = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta elde edilir.
4
Bulunan apsis ve ordinat değerlerini toplayalım.
xA+yB=sec⁡θ+csc⁡θx_A + y_B = \sec\theta + \csc\theta
AA noktasının apsisi ile BB noktasının ordinatının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eksen kesim noktalarının koordinatlarının bulunması.
Soru 1325Soru →
a=sin⁡(190∘)a = \sin(190^\circ)
b=cos⁡(280∘)b = \cos(280^\circ)
c=tan⁡(100∘)c = \tan(100^\circ)

olmak üzere; aa, bb ve cc değerlerinin küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Açıların bölgelerine göre işaretleri belirlendiğinde; 280∘280^\circ IV. bölgede olduğundan kosinüs değeri pozitif (b>0b > 0), 190∘190^\circ III. bölgede olduğundan sinüs değeri negatif (a<0a < 0) ve 100∘100^\circ II. bölgede olduğundan tanjant değeri negatif (c<0c < 0) olur. Negatif olan iki değer karşılaştırıldığında, tan⁡(100∘)=−tan⁡(80∘)<−1\tan(100^\circ) = -\tan(80^\circ) < -1 iken sin⁡(190∘)=−sin⁡(10∘)>−1\sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ) > -1 olduğundan c<ac < a elde edilir. Pozitif olan bb değeri ise en büyüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c<a<bc < a < b olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik değerlerin açılarının hangi bölgelerde olduğunu belirleme.
190∘190^\circ açısı III. bölgededir. 280∘280^\circ açısı IV. bölgededir. 100∘100^\circ açısı II. bölgededir.
Sıralama yapabilmek için öncelikle açıların koordinat düzlemindeki bölgelerini saptamamız gerekir.
2
Belirlenen bölgelere göre her bir trigonometrik değerin işaretini bulma.
a=sin⁡(190∘)<0a = \sin(190^\circ) < 0 (III. bölgede sinüs negatiftir).
b=cos⁡(280∘)>0b = \cos(280^\circ) > 0 (IV. bölgede kosinüs pozitiftir).
c=tan⁡(100∘)<0c = \tan(100^\circ) < 0 (II. bölgede tanjant negatiftir).
İşaretler sayesinde pozitif olan değerin en büyük olduğunu doğrudan belirleyebiliriz. Bu durumda en büyük değer bb olacaktır.
3
Negatif olan aa ve cc değerlerini kendi aralarında karşılaştırma.
a=sin⁡(190∘)=−sin⁡(10∘)a = \sin(190^\circ) = -\sin(10^\circ) olup sıfıra oldukça yakındır (−1<a<0-1 < a < 0).
c=tan⁡(100∘)=−tan⁡(80∘)c = \tan(100^\circ) = -\tan(80^\circ) olup −1-1'den çok daha küçüktür (c<−1c < -1).
Buradan c<ac < a elde edilir.
Negatif değerlerin sıfıra olan uzaklıkları karşılaştırılarak hangisinin daha küçük olduğu bulunur.
4
Tüm değerleri birleştirerek küçükten büyüğe sıralama.
c<a<bc < a < b sıralaması elde edilir.
Elde edilen tüm eşitsizlikler birleştirilerek nihai sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve değerlerinin karşılaştırılması
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1326Soru →

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Negatif değere sahip olan b=tan⁡(−27π/8)b = \tan(-27\pi/8) ifadesi en küçüktür. Pozitif olan aa ve cc değerleri indirgendiğinde sırasıyla a=cos⁡(36∘)a = \cos(36^\circ) ve c=cos⁡(18∘)c = \cos(18^\circ) elde edilir. 1. bölgede kosinüs fonksiyonunun azalan karakteri nedeniyle cos⁡(18∘)>cos⁡(36∘)\cos(18^\circ) > \cos(36^\circ) olduğundan c>ac > a sıralaması bulunur. Böylece en küçükten büyüğe sıralama b<a<cb < a < c olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların esas ölçülerini bulunuz.
aa için 19π5−2π=9π5\frac{19\pi}{5} - 2\pi = \frac{9\pi}{5}, bb için −27π8+4π=5π8-\frac{27\pi}{8} + 4\pi = \frac{5\pi}{8} ve cc için 12π5−2π=2π5\frac{12\pi}{5} - 2\pi = \frac{2\pi}{5} esas ölçüleri elde edilir.
Trigonometrik oranları karşılaştırmak için öncelikle açıların [0,2π)[0, 2\pi) aralığındaki karşılıklarını bulmamız gerekir.
2
Esas ölçüsü bulunan açıların bölgelerini ve işaretlerini belirleyiniz.
9π5\frac{9\pi}{5} açısı 4. bölgededir ve kosinüs bu bölgede pozitiftir (a>0a > 0). 5π8\frac{5\pi}{8} açısı 2. bölgededir ve tanjant bu bölgede negatiftir (b<0b < 0). 2π5\frac{2\pi}{5} açısı 1. bölgededir ve sinüs bu bölgede pozitiftir (c>0c > 0). Bu durumda bb en küçük değerdir.
Bölgelere göre işaret analizi yapmak, negatif ve pozitif değerleri birbirinden ayırarak sıralamayı kolaylaştırır.
3
Pozitif olan aa ve cc değerlerini aynı cinsten ifade ederek karşılaştırınız.
a=cos⁡(36∘)a = \cos(36^\circ) ve c=sin⁡(72∘)=cos⁡(18∘)c = \sin(72^\circ) = \cos(18^\circ) olarak yazılır. 1. bölgede açı büyüdükçe kosinüs değeri küçüldüğünden (azalan fonksiyon) cos⁡(18∘)>cos⁡(36∘)\cos(18^\circ) > \cos(36^\circ) yani c>ac > a olur.
1. bölgeye indirgenen pozitif trigonometrik değerler, aynı fonksiyon türüne dönüştürülerek açı büyüklüklerine göre sıralanabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin esas ölçü yardımıyla bölgelere göre indirgenmesi ve 1. bölgedeki değişim aralıklarına göre sıralanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1327Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=3 birim|AB| = 3\text{ birim}, ∣AC∣=6 birim|AC| = 6\text{ birim} ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. Bu üçgende AA açısının iç açıortay doğrusu BCBC kenarını DD noktasında kesmektedir. Buna göre, ADAD açıortay doğrusunun uzunluğu (∣AD∣|AD|) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Açıortay doğrusunun uzunluğu 2 birimdir.
İç açıortay teoremi ile taban bölme oranları belirlendikten sonra, büyük üçgende 120∘120^\circ kullanılarak Kosinüs teoremiyle kenar uzunlukları tam olarak bulunur. Ardından ABDABD ve ADCADC üçgenlerinde 60∘60^\circ açıları kullanılarak Kosinüs teoremi yardımıyla ortak uzunluk olan 2 birim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıortay teoremini kullanarak tabandaki parçaların oranını bulunuz.
∣BD∣=k|BD| = k ve ∣DC∣=2k|DC| = 2k (∣BC∣=3k|BC| = 3k)
İç açıortay doğrusu, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.
2
ABCABC üçgeninde AA açısına göre Kosinüs teoremi uygulayarak kk değerini hesaplayınız.
9k2=9+36−36⋅cos⁡(120∘)  ⟹  9k2=63  ⟹  k=79k^2 = 9 + 36 - 36 \cdot \cos(120^\circ) \implies 9k^2 = 63 \implies k = \sqrt{7}
BCBC kenar uzunluğunu ve buna bağlı olarak tabandaki parçaların gerçek uzunluklarını bulmak için Kosinüs teoremi gereklidir.
3
ABDABD üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak ∣AD∣=x|AD| = x için bir denklem elde ediniz.
x2−3x+2=0  ⟹  x=1x^2 - 3x + 2 = 0 \implies x = 1 veya x=2x = 2
ADAD açıortayı açıyı 60∘−60∘60^\circ - 60^\circ olarak ikiye böler, bu durum ABDABD üçgeninde Kosinüs teoremi yazmayı sağlar.
4
ADCADC üçgeninde Kosinüs teoremini kullanarak elde edilen xx değerlerini doğrulayınız.
x2−6x+8=0  ⟹  x=2x^2 - 6x + 8 = 0 \implies x = 2 veya x=4x = 4. Ortak kök x=2x = 2 olarak bulunur.
Farklı iki üçgende de geçerli olan tek bir fiziksel uzunluk değeri bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi ve İç Açıortay Teoremi İlişkisi
Soru 1328Soru →

f(x)=tan⁡(3x−π4)f(x) = \tan\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) fonksiyonunun esas periyodu π3\frac{\pi}{3} olup, bu fonksiyon (−π12,π4)\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right) açık aralığında artandır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur. Fonksiyonun esas periyodu π3\frac{\pi}{3}'tür ve (−π12,π4)\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right) açık aralığında daima artandır.
Doğru seçenekte belirtildiği üzere, tanjant fonksiyonunun katsayısına bağlı olarak periyodu π3\frac{\pi}{3} bulunur ve ardışık asimptotları olan −π12-\frac{\pi}{12} ile π4\frac{\pi}{4} arasında fonksiyon grafiği daima yukarı doğru yöneldiğinden artandır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
Esas periyot T=π∣3∣=π3T = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3} olarak hesaplanır.
y=tan⁡(ax+b)y = \tan(ax+b) fonksiyonunun esas periyot formülü T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} şeklindedir.
2
Fonksiyonun ardışık iki asimptotunu (tanımsızlık noktasını) tespit ediniz.
x=−π12x = -\frac{\pi}{12} ve x=π4x = \frac{\pi}{4} doğruları asimptotlardır.
Tanjant fonksiyonu, açısının π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) olduğu durumlarda tanımsızdır. En yakın iki asimptot için 3x−π4=−π2  ⟹  x=−π123x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} \implies x = -\frac{\pi}{12} ve 3x−π4=π2  ⟹  x=π43x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} eşitlikleri çözülür.
3
Asimptotlar arasında kalan bölgede artanlık/azalanlık durumunu değerlendiriniz.
(−π12,π4)\left(-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right) aralığı iki ardışık asimptot arası olduğundan fonksiyon bu aralıkta daima artandır.
Tanjant fonksiyonu tanımlı olduğu her bir açık periyot aralığında sürekli olarak artış gösterir.

Anahtar Kavram

Tanjant fonksiyonunun esas periyodu, asimptotları ve monotonluk aralığı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1329Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, m(ABC^)=30∘m(\widehat{ABC}) = 30^\circ, m(ACB^)=45∘m(\widehat{ACB}) = 45^\circ ve ∣AC∣=6 cm|AC| = 6\text{ cm}'dir.

Buna göre, ∣AB∣|AB| uzunluğunun santimetre cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 626\sqrt{2}

Cevap

626\sqrt{2}
Sinüs Teoremi'ne göre ∣AC∣sin⁡(ABC^)=∣AB∣sin⁡(ACB^)\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})} bağıntısı vardır. Burada ∣AC∣=6|AC| = 6, m(ABC^)=30∘m(\widehat{ABC}) = 30^\circ ve m(ACB^)=45∘m(\widehat{ACB}) = 45^\circ değerleri yerine konulduğunda 6sin⁡30∘=∣AB∣sin⁡45∘\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{|AB|}{\sin 45^\circ} elde edilir. sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2 ve sin⁡45∘=2/2\sin 45^\circ = \sqrt{2}/2 değerleri kullanılarak denklem çözüldüğünde ∣AB∣=62|AB| = 6\sqrt{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi formülünü ABCABC üçgeni için yazın.
∣AC∣sin⁡(ABC^)=∣AB∣sin⁡(ACB^)\frac{|AC|}{\sin(\widehat{ABC})} = \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})}
Bir üçgende kenar uzunlukları, karşılarındaki açıların sinüsleriyle orantılıdır.
2
Bilinen ∣AC∣=6|AC| = 6, m(ABC^)=30∘m(\widehat{ABC}) = 30^\circ ve m(ACB^)=45∘m(\widehat{ACB}) = 45^\circ değerlerini formülde yerine yerleştirin.
6sin⁡30∘=∣AB∣sin⁡45∘\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{|AB|}{\sin 45^\circ}
Bilinmeyen ∣AB∣|AB| değerini bulmak için verilen verileri teorem denklemine uygularız.
3
sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2} ve sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} değerlerini yazarak denklemi çözün.
612=∣AB∣22  ⟹  12=2∣AB∣2  ⟹  ∣AB∣=62 cm\frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \implies 12 = \frac{2|AB|}{\sqrt{2}} \implies |AB| = 6\sqrt{2}\text{ cm}
Trigonometrik değerleri yerine koyup içler dışlar çarpımı yaparak ∣AB∣|AB| uzunluğunu yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi
Soru 1330Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−(m+2)x+2my = x^2 - (m+2)x + 2m parabolü ile y=mx−1y = mx - 1 doğrusu iki farklı AA ve BB noktasında kesişmektedir.

Buna göre, [AB][AB] kirişinin orta noktasının koordinatları toplamı 33 olduğuna göre, mm gerçek sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −3-3

Cevap

−3-3
Ortak çözüm denkleminden elde edilen kesişim noktalarının apsislerinin ortalaması orta noktanın apsisini verir. Bu apsis değeri doğru denkleminde yerine yazıldığında ordinat bulunur. Koordinatların toplamı 33'e eşitlendiğinde elde edilen m2+2m−3=0m^2+2m-3=0 denkleminin kökleri çarpımı −3-3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarının apsislerini bulmak için parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenir.
x2−(m+2)x+2m=mx−1  ⟹  x2−(2m+2)x+(2m+1)=0x^2 - (m+2)x + 2m = mx - 1 \implies x^2 - (2m+2)x + (2m+1) = 0 ortak çözüm denklemi elde edilir.
Parabol ile doğrunun ortak noktalarının apsisleri, bu ortak çözüm denkleminin kökleridir.
2
Kesişimin iki farklı noktada gerçekleştiği belirtildiğinden, diskriminant kontrolü yapılır.
Δ=[−(2m+2)]2−4(1)(2m+1)=4m2+8m+4−8m−4=4m2>0  ⟹  m≠0\Delta = [-(2m+2)]^2 - 4(1)(2m+1) = 4m^2 + 8m + 4 - 8m - 4 = 4m^2 > 0 \implies m \neq 0 elde edilir.
İki farklı kesim noktasının varlığı ortak çözüm denkleminin iki farklı gerçek kökünün olmasını gerektirir.
3
[AB][AB] kirişinin orta noktasının apsisi (x0x_0), kesim noktalarının apsisleri toplamının yarısı olarak hesaplanır.
x0=x1+x22=−(−(2m+2))2⋅1=m+1x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-( -(2m+2) )}{2 \cdot 1} = m + 1 bulunur.
Kirişin orta noktası, uç noktalarının aritmetik ortalamasıdır.
4
Orta nokta doğrunun üzerinde yer alacağından, bulunan x0x_0 değeri doğru denkleminde yerine yazılarak ordinat (y0y_0) hesaplanır.
y0=m⋅x0−1  ⟹  y0=m(m+1)−1=m2+m−1y_0 = m \cdot x_0 - 1 \implies y_0 = m(m+1) - 1 = m^2 + m - 1 bulunur.
Orta nokta, kesişim noktalarını birleştiren doğru segmentinin üzerinde olduğundan doğru denklemini sağlamak zorundadır.
5
Orta noktanın koordinatları toplamı 33'e eşitlenerek mm değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem çözülür.
x0+y0=(m+1)+(m2+m−1)=3  ⟹  m2+2m=3  ⟹  m2+2m−3=0x_0 + y_0 = (m+1) + (m^2+m-1) = 3 \implies m^2 + 2m = 3 \implies m^2 + 2m - 3 = 0 denklemi elde edilir.
Orta noktanın koordinatları toplamı soruda 33 olarak verilmiştir.
6
Elde edilen denklemden mm'in alabileceği değerlerin çarpımı kökler çarpımı formülü kullanılarak bulunur.
m2+2m−3=0m^2 + 2m - 3 = 0 denkleminde kökler çarpımı ca=−31=−3\frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3 olarak bulunur. (m=−3m = -3 ve m=1m = 1 değerlerinin ikisi de m≠0m \neq 0 koşulunu sağlamaktadır.)
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin çarpımı sabitin başkatsayıya oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını birleştiren kirişin orta noktasının bulunması ve analitik özellikleri
Soru 1331Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x=55\sin x = \frac{\sqrt{5}}{5}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

Doğru cevap 0.6'dır.
Verilen sin⁡x\sin x değerinin karesi alınarak sin⁡2x=0.2\sin^2 x = 0.2 bulunur. cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x yarım açı formülünde bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç 0.6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sin⁡x\sin x değerini kullanarak sin⁡2x\sin^2 x ifadesini hesaplayın.
sin⁡2x=(55)2=525=0.2\sin^2 x = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{5}{25} = 0.2
Kosinüsün yarım açı formülünde sin⁡2x\sin^2 x terimi yer almaktadır.
2
Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x eşitliğini uygulayın.
cos⁡(2x)=1−2(0.2)=1−0.4=0.6\cos(2x) = 1 - 2(0.2) = 1 - 0.4 = 0.6
cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değerini doğrudan sin⁡x\sin x cinsinden bulmak için bu yarım açı formülü tercih edilir.

Anahtar Kavram

Kosinüs Yarım Açı Formülü
Soru 1332Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun esas periyodu π\pi radyandır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin esas periyodu π\pi radyan olduğundan ifade doğrudur.
Verilen f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun periyodu hesaplanırken tek dereceli sinüs fonksiyonunun periyot formülü olan T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} kullanılır. xx değişkeninin katsayısı b=2b=2 olduğundan periyot π\pi olur ve ifade doğru kabul edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun periyodunu belirleyen katsayıları tespit edin.
f(x)=3sin⁡(2x)+1f(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunda esas periyodu etkileyen tek parametre xx'in katsayısı olan b=2b = 2 değeridir.
Trigonometrik fonksiyonlarda dikey yönlü esnetmeler, daraltmalar ve dikey ötelemeler periyodu etkilemez; periyot sadece yatay yöndeki değişimlere bağlıdır.
2
Sinüs fonksiyonunun derece özelliğine göre periyot formülünü uygulayın.
Sinüsün kuvveti tek (11) olduğundan esas periyot formülü T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} olur. Buradan T=2π∣2∣=πT = \frac{2\pi}{|2|} = \pi elde edilir.
Esas periyot, fonksiyonun kendini en küçük hangi aralıkta tekrar ettiğini bulmak amacıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonlarda Esas Periyot Bulma
Soru 1333Soru →

Dik koordinat düzleminde, eksenleri A(0,8)A(0, 8) ve B(6,0)B(6, 0) noktalarında kesen ABAB doğrusu ile koordinat eksenleri arasında kalan dik üçgensel bölgenin içerisine; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi ABAB doğru parçası üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen yerleştiriliyor. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En büyük dikdörtgen alanı 12 birimkaredir.
Doğru cevap 12'dir. Dikdörtgenin kenarlarından biri xx ekseni üzerinde xx birim, diğeri yy ekseni üzerinde yy birim uzunluğunda olup köşesi ABAB doğrusu üzerinde olduğundan y=8−43xy = 8 - \frac{4}{3}x ilişkisi mevcuttur. Alan fonksiyonu olan A(x)=−43x2+8xA(x) = -\frac{4}{3}x^2 + 8x parabolünün tepe noktası x=3x = 3 olup en büyük alan değeri 12 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Do��ru denklemini oluşturmak ve y değişkenini x cinsinden ifade etmek.
Eksenleri kestiği noktalar A(0,8)A(0, 8) ve B(6,0)B(6, 0) olan doğrunun denklemi x6+y8=1\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1 olup, buradan y=8−43xy = 8 - \frac{4}{3}x elde edilir.
Dikdörtgenin bir köşesi bu doğru üzerinde bulunduğundan, kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kurmak gerekir.
2
Dikdörtgenin alanını tek değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazmak.
A(x)=x⋅y=x(8−43x)=−43x2+8xA(x) = x \cdot y = x \left(8 - \frac{4}{3}x\right) = -\frac{4}{3}x^2 + 8x
Alanı en büyük yapacak değeri bulmak amacıyla ikinci dereceden bir parabol fonksiyonu elde edilir.
3
Elde edilen parabol fonksiyonunun tepe noktasını bulup maksimum alanı hesaplamak.
Tepe noktasının apsisi r=−82⋅(−43)=3r = -\frac{8}{2 \cdot (-\frac{4}{3})} = 3 ve bu değer için maksimum alan A(3)=12A(3) = 12 birimkaredir.
Baş katsayısı negatif olan ikinci dereceden fonksiyonlar en büyük değerini tepe noktasında (rr apsisinde) alır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasında en büyük veya en küçük değerini alması.
Soru 1334Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3sin⁡(2x−π4)+1f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 fonksiyonunun grafiği x=3π8x = \frac{3\pi}{8} düşey doğrusuna göre simetriktir ve ff fonksiyonunun [3π8,7π8]\left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right] aralığındaki grafiği azalandır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen fonksiyonun maksimum noktasından geçen x=3π8x = \frac{3\pi}{8} doğrusu simetri eksenidir ve fonksiyonun girdisi tanımlanan aralıkta sinüsün azalan olduğu bölgede yer almaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri eksenini belirlemek için fonksiyonun maksimum değerini aldığı noktayı bulun.
3sin⁡(2x−π4)+13\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 fonksiyonunun maksimum değeri alması için sin⁡(2x−π4)=1\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 olmalıdır. Buradan 2x−π4=π2  ⟹  2x=3π4  ⟹  x=3π82x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies 2x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \frac{3\pi}{8} bulunur.
Sinüs fonksiyonunun grafiği, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarından geçen düşey doğrulara göre simetriktir.
2
Verilen x∈[3π8,7π8]x \in \left[\frac{3\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\right] aralığı için argümanın değer aralığını belirleyin.
x≥3π8  ⟹  2x−π4≥π2x \ge \frac{3\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \ge \frac{\pi}{2} ve x≤7π8  ⟹  2x−π4≤3π2x \le \frac{7\pi}{8} \implies 2x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} olur. Dolayısıyla argüman [π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındadır.
Bileşke fonksiyonun davranışını incelemek için içteki doğrusal ifadenin görüntü kümesi bulunur.
3
Elde edilen açı aralığında sinüs fonksiyonunun artanlık/azalanlık durumunu inceleyin.
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] aralığı birim çemberde II. ve III. bölgelere karşılık gelir. Bu aralıkta sinüs fonksiyonu 1'den -1'e sürekli azalır. Katsayı pozitif (3>03 > 0) olduğundan f(x)f(x) fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
Pozitif katsayı ile çarpma ve dikey öteleme işlemleri fonksiyonun artanlık/azalanlık yönünü değiştirmez.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde simetri eksenleri ve monotonluk (artanlık-azalanlık) analizi.
Soru 1335Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−5x+7y = x^2 - 5x + 7 parabolü üzerindeki bir noktanın y=x−5y = x - 5 doğrusuna olan uzaklığı en az kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 322\frac{3\sqrt{2}}{2}

Cevap

Parabolün doğruya olan en kısa uzaklığı 322\frac{3\sqrt{2}}{2} birimdir.
Parabol üzerindeki genel bir P(a,a2−5a+7)P(a, a^2 - 5a + 7) noktasının x−y−5=0x - y - 5 = 0 doğrusuna olan dik uzaklığı formülle kurulduğunda pay kısmında ∣−a2+6a−12∣|-a^2 + 6a - 12| ifadesi elde edilir. Bu ifadenin tepe noktasında alabileceği minimum mutlak değer 3'tür. Formüldeki payda değeri olan 2\sqrt{2}'ye bölündüğünde en kısa uzaklık 322\frac{3\sqrt{2}}{2} birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol üzerindeki genel bir nokta tanımlanır.
Nokta P(a,a2−5a+7)P(a, a^2 - 5a + 7) olarak ifade edilir.
En yakın noktanın koordinatlarını tek bir değişkene bağlı olarak yazmak için.
2
Noktanın doğruya olan uzaklık formülü uygulanır.
Uzaklık d=∣a−(a2−5a+7)−5∣12+(−1)2=∣−a2+6a−12∣2d = \frac{|a - (a^2 - 5a + 7) - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-a^2 + 6a - 12|}{\sqrt{2}} olarak elde edilir.
Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığını hesaplamak için.
3
Mutlak değerin içindeki ikinci dereceden ifadenin alabileceği en büyük değer tepe noktası yardımıyla bulunur.
−a2+6a−12-a^2 + 6a - 12 ifadesinin tepe noktasının apsisi r=−62(−1)=3r = \frac{-6}{2(-1)} = 3 olur. Bu değer yerine yazıldığında en büyük değer −32+6(3)−12=−3-3^2 + 6(3) - 12 = -3 olarak bulunur. İfade daima negatif değerler aldığı için mutlak değeri en az ∣−3∣=3|-3| = 3 olur.
Uzaklık fonksiyonunu en küçük yapan değeri belirlemek için.
4
En küçük uzaklık hesaplanarak payda rasyonel hale getirilir.
dmin=32=322d_{\text{min}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} birimdir.
Köklü ifadenin eşleniği ile çarpılarak nihai sonucun bulunması için.

Anahtar Kavram

Bir parabol üzerindeki bir noktanın bir doğruya olan en kısa uzaklığının ikinci dereceden fonksiyonların en büyük/en küçük değeri yardımıyla bulunması.

Alternatif Yöntem

Parabolün doğruya en yakın olduğu noktadaki teğetinin eğimi, doğrunun eğimine eşit olmalıdır. y=x−5y = x - 5 doğrusunun eğimi 11 olduğundan, parabolün türevi olan y′=2x−5y' = 2x - 5 ifadesi 11'e eşitlenir. Buradan 2x−5=1  ⟹  x=32x - 5 = 1 \implies x = 3 bulunur. Noktanın parabol üzerindeki ordinatı ise y=32−5(3)+7=1y = 3^2 - 5(3) + 7 = 1 olur. Böylece en yakın nokta P(3,1)P(3, 1) olarak elde edilir. Bu noktanın x−y−5=0x - y - 5 = 0 doğrusuna olan uzaklığı ∣3−1−5∣12+(−1)2=32=322\frac{|3 - 1 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} birim olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1336Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere D(−1,0)D(-1,0) noktasında teğet olan x=−1x = -1 doğrusu ile C(0,−1)C(0,-1) noktasında teğet olan y=−1y = -1 doğrusu çizilmiştir. Orijinden geçen ve pozitif xx-ekseniyle saat yönünün tersine θ\theta açısı yapan bir ışın, bu iki teğet doğrusunu sırasıyla TT ve KK noktalarında kesmektedir. θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğuna göre; x=−1x = -1 doğrusu, y=−1y = -1 doğrusu ve bu ışın arasında kalan sınırlı bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta}

Cevap

Dik kenar uzunluklarının doğru mutlak değer analiziyle hesaplanıp çarpılması sonucu elde edilen ve sadeleştirilmiş biçimi (sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta} olan seçenektir.
Köşe koordinatları belirlenen dik üçgenin dik kenar uzunlukları doğru işaret analiziyle mutlak değer dışına çıkarılarak çarpılmış ve yarısı alınmıştır. Elde edilen cebirsel ifade sinüs ve kosinüs cinsinden yazılıp payda eşitlendiğinde, pay kısmı (sin⁡θ−cos⁡θ)2(\sin\theta - \cos\theta)^2 tam kare ifadesine eşit olur ve alan (sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta} olarak sadeleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Işının denklemini belirleme
Orijinden geçen ve pozitif xx-ekseniyle θ\theta açısı yapan ışının denklemi y=(tan⁡θ)xy = (\tan\theta)x olarak bulunur.
Işın üzerindeki noktaların koordinatlarını teğet doğruları üzerindeki izdüşümleriyle ilişkilendirmek için denklem gereklidir.
2
Kesişim noktalarının koordinatlarını hesaplama
TT noktasının koordinatları T(−1,−tan⁡θ)T(-1, -\tan\theta) ve KK noktasının koordinatlar�� K(−cot⁡θ,−1)K(-\cot\theta, -1) olarak elde edilir.
Sınırlı bölgeyi oluşturan üçgenin köşe noktalarını belirlemek için ışın ile teğet doğrularının kesişim noktaları bulunur.
3
Dik kenar uzunluklarını bulma
Üçüncü bölgede θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında tan⁡θ>0\tan\theta > 0 ve cot⁡θ>0\cot\theta > 0 olduğundan; dikey kenar ∣ST∣=∣−tan⁡θ−(−1)∣=∣tan⁡θ−1∣|ST| = |-\tan\theta - (-1)| = |\tan\theta - 1| ve yatay kenar ∣SK∣=∣−cot⁡θ−(−1)∣=∣cot⁡θ−1∣|SK| = |-\cot\theta - (-1)| = |\cot\theta - 1| olur.
Dik üçgenin alanını hesaplayabilmek için kenar uzunluklarının mutlak değerce doğru uzunluklarını belirlemek gerekir.
4
Alan formülünü uygulama ve sadeleştirme
Alan = 12∣tan⁡θ−1∣∣cot⁡θ−1∣=tan⁡θ+cot⁡θ−22\frac{1}{2} |\tan\theta - 1| |\cot\theta - 1| = \frac{\tan\theta + \cot\theta - 2}{2} elde edilir.
Kenarlar çarpılıp ikiye bölünür. tan⁡θ+cot⁡θ≥2\tan\theta + \cot\theta \ge 2 olduğundan mutlak değer dışına pozitif olarak çıkarılır.
5
İfadeyi sinüs ve kosinüs cinsinden yazma
Alan = sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ−22=sin⁡2θ+cos⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ2sin⁡θcos⁡θ=(sin⁡θ−cos⁡θ)22sin⁡θcos⁡θ\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - 2}{2} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{(\sin\theta - \cos\theta)^2}{2\sin\theta\cos\theta} bulunur.
Seçeneklerdeki trigonometrik biçime ulaşmak için payda eşitleme ve tam kare özdeşliği uygulanır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki teğet doğruları ve trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaret analizi ile geometrik uzunluk hesabı

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, köşe noktaları S(−1,−1)S(-1,-1), T(−1,−tan⁡θ)T(-1, -\tan\theta) ve K(−cot⁡θ,−1)K(-\cot\theta, -1) olan dik üçgenin alanı, koordinat düzleminde SS köşesindeki diklik dikkate alınarak doğrudan ∣xS−xK∣⋅∣yS−yT∣/2|x_S - x_K| \cdot |y_S - y_T| / 2 formülüyle hesaplanabilir ve ardından tan⁡θ=s/c\tan\theta = s/c, cot⁡θ=c/s\cot\theta = c/s dönüşümleriyle seçeneklerdeki forma getirilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1337Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(x)f(x) fonksiyonuna sırasıyla aşağıdaki öteleme işlemleri uygulanıyor:

* f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği xx ekseni boyunca sağa doğru 44 birim ötelenerek g(x)g(x) fonksiyonu,
* f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği yy ekseni boyunca yukarı doğru 22 birim ötelenerek h(x)h(x) fonksiyonu

elde ediliyor. Buna göre, dik koordinat düzleminde

g(x)≤y≤h(x)g(x) \le y \le h(x)
y≤6y \le 6

eşitsizlik sisteminin sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Sınırları belirlenen kapalı bölgenin alanı 27 birimkaredir.
Ötelemeler sonucunda oluşan g(x)=∣x−4∣g(x) = |x-4| ve h(x)=∣x∣+2h(x) = |x| + 2 fonksiyonları ile y=6y = 6 doğrusu arasında kalan bölge, köşeleri (1,3)(1,3), (4,6)(4,6), (10,6)(10,6) ve (4,0)(4,0) olan bir dörtgendir. Bu dörtgen x=4x=4 doğrusu boyunca bölündüğünde tabanı ortak ve 66 birim olan iki üçgene ayrılır. Bu üçgenlerin alanları toplamı 9+18=279 + 18 = 27 birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ötelenen fonksiyonların denklemlerini yazma
g(x)=∣x−4∣g(x) = |x-4| ve h(x)=∣x∣+2h(x) = |x| + 2
xx ekseninde sağa 44 birim öteleme f(x−4)f(x-4) dönüşümüne, yy ekseninde yukarı 22 birim öteleme ise f(x)+2f(x)+2 dönüşümüne karşılık gelir.
2
İki fonksiyonun kesişim noktasını bulma
x=1x = 1 için y=3y = 3 noktası
Bölgenin sol sınırını bulmak için g(x)=h(x)g(x) = h(x) eşitliği çözülür. ∣x−4∣=∣x∣+2|x-4| = |x| + 2 denkleminden x≥0x \ge 0 bölgesinde 4−x=x+2  ⟹  2x=2  ⟹  x=14-x = x+2 \implies 2x = 2 \implies x = 1 elde edilir. Bu noktada y=g(1)=3y = g(1) = 3 olur.
3
Üst sınır doğrusu ile kesişim noktalarını belirleme
h(x)=6  ⟹  x=4h(x) = 6 \implies x = 4 ve g(x)=6  ⟹  x=10g(x) = 6 \implies x = 10
y≤6y \le 6 üst sınırının fonksiyonları kestiği noktalar alan sınırlarını belirler. x≥0x \ge 0 için x+2=6  ⟹  x=4x+2 = 6 \implies x = 4 ve x≥4x \ge 4 için x−4=6  ⟹  x=10x-4 = 6 \implies x = 10 bulunur.
4
Kapalı bölgeyi iki parçaya ayırarak alanı hesaplama
9+18=279 + 18 = 27 birimkare
Bölge x=4x=4 dikey doğrusuyla ikiye bölünür. x=4x=4 doğrusu üzerinde bölgenin yüksekliği 6−g(4)=6−0=66 - g(4) = 6 - 0 = 6 birimdir. Sol taraftaki üçgenin tabanı 66 ve yüksekliği 4−1=34-1=3 birim olup alanı 6×32=9\frac{6 \times 3}{2} = 9 birimkaredir. Sağ taraftaki dik üçgenin tabanı 66 ve yüksekliği 10−4=610-4=6 birim olup alanı 6×62=18\frac{6 \times 6}{2} = 18 birimkaredir. Toplam alan 9+18=279 + 18 = 27 birimkaredir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer fonksiyonlarının yatay ve dikey ötelenmesiyle oluşan grafiklerin analitik düzlemde alan hesabı
Soru 1338Soru →

Aşağıda üç farklı trigonometrik ifade verilmiştir:

x=cos⁡(17π6)x = \cos\left(\frac{17\pi}{6}\right)
y=sin⁡(−675∘)y = \sin\left(-675^\circ\right)
z=cot⁡(1020∘)z = \cot\left(1020^\circ\right)

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama x<z<yx < z < y şeklindedir.
Verilen ifadelerin esas ölçüleri bulunup indirgeme kuralları uygulandığında x=−32x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2} ve z=−33z = -\frac{\sqrt{3}}{3} değerleri elde edilir. Bu değerler karşılaştırıldığında en küçük değer xx, sonra zz, en büyük değer ise yy olur.

Adım Adım Çözüm

1
x=cos⁡(17π6)x = \cos\left(\frac{17\pi}{6}\right) ifadesinin değerini hesaplayın.
x=−32x = -\frac{\sqrt{3}}{2}
17π6\frac{17\pi}{6} açısının esas ölçüsü 17π6−2π=5π6\frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6} radyandır. İkinci bölgedeki kosinüsün işareti negatif olduğundan cos⁡(5π6)=−cos⁡(π6)=−32\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
2
y=sin⁡(−675∘)y = \sin\left(-675^\circ\right) ifadesinin değerini hesaplayın.
y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2}
−675∘-675^\circ açısına 2×360∘=720∘2 \times 360^\circ = 720^\circ eklendiğinde esas ölçü 45∘45^\circ bulunur. Birinci bölgede sinüsün işareti pozitif olduğundan sin⁡(45∘)=22\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} elde edilir.
3
z=cot⁡(1020∘)z = \cot\left(1020^\circ\right) ifadesinin değerini hesaplayın.
z=−33z = -\frac{\sqrt{3}}{3}
1020∘1020^\circ açısının 360∘360^\circ ile bölümünden kalan (esas ölçü) 300∘300^\circ derecedir. Dördüncü bölgedeki kotanjantın işareti negatif olduğundan cot⁡(300∘)=−cot⁡(60∘)=−33\cot(300^\circ) = -\cot(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} elde edilir.
4
Elde edilen değerleri sayı doğrusunda karşılaştırın.
x<z<yx < z < y
−32≈−0.866-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866, −33≈−0.577-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577 ve 22≈0.707\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 olduğundan küçükten büyüğe sıralama x<z<yx < z < y olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik oranların esas ölçü kullanılarak birinci bölgeye indirgenmesi ve bölgelere göre işaret analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1339Soru →
(x2−x−6)⋅(x−1)2x2−4≤0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x - 1)^2}{x^2 - 4} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıların toplamı 4'tür.
Çözüm kümesi {1}∪(2,3]\{1\} \cup (2, 3] olarak bulunur. Bu kümedeki tam sayılar 11 ve 33 olup, toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırın.
Pay kısmındaki x2−x−6x^2 - x - 6 ifadesi (x−3)(x+2)(x - 3)(x + 2) olarak, paydadaki x2−4x^2 - 4 ifadesi ise (x−2)(x+2)(x - 2)(x + 2) olarak yazılır. Eşitsizlik (x−3)(x+2)⋅(x−1)2(x−2)(x+2)≤0 \frac{(x - 3)(x + 2) \cdot (x - 1)^2}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 haline gelir.
Çarpanlara ayırma yöntemi, eşitsizliğin köklerini belirlemeyi ve sadeleştirmeleri yapmayı sağlar.
2
Tanımsızlık koşullarını belirleyerek sadeleştirme yapın.
Paydanın sıfır olmaması gerektiğinden x≠2x \neq 2 ve x≠−2x \neq -2 olmalıdır. Bu koşul altında pay ve paydadaki (x+2)(x + 2) çarpanları sadeleştirilir. Eşitsizlik (x−3)(x−1)2x−2≤0(x≠−2) \frac{(x - 3)(x - 1)^2}{x - 2} \leq 0 \quad (x \neq -2) haline gelir.
Paydanın kökleri paydayı sıfır yaparak ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Sadeleşmiş eşitsizliğin köklerini bularak işaret tablosunu hazırlayın.
Payın kökleri x=3x = 3 (tek katlı kök) ve x=1x = 1 (çift katlı kök) olarak bulunur. Paydanın kökü ise x=2x = 2 (tek katlı kök) olarak elde edilir. İşaret tablosunda kökler −2,1,2,3-2, 1, 2, 3 sırasıyla dizilir. En sağ aralıkta (x>3x > 3 için) ifadenin işareti (+) ile başlar.
Eşitsizlik sisteminin çözüm aralıklarını belirlemek için her kökün katı ve ifadenin baş katsayı işareti kullanılarak işaret tablosu oluşturulur.
4
İ��aret tablosuna göre çözüm kümesini belirleyin.
İşaretler sağdan sola sırasıyla: x>3x > 3 için (+), 2<x<32 < x < 3 için (-), 1<x<21 < x < 2 için (+), −2<x<1-2 < x < 1 için (+), x<−2x < -2 için (+) olur. Eşitsizlik ≤0\leq 0 durumunu aradığı için çözüm kümesi {1}∪(2,3]\{1\} \cup (2, 3] olarak belirlenir. Tanımsızlık noktası olan x=−2x = -2 bu aralıkların dışındadır.
Eşitsizliğin negatif veya sıfır olduğu bölgeler ile payın sıfır olduğu noktalar çözüm kümesini oluşturur.
5
Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini toplayın.
Belirlenen {1}∪(2,3]\{1\} \cup (2, 3] kümesindeki tam sayılar sadece 11 ve 33'tür (22 değeri payda kökü olduğundan açık aralıktadır ve dahil edilmez). Bu tam sayıların toplamı 1+3=41 + 3 = 4 olur.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamına ulaşmak için çözüm kümesindeki tüm tam sayılar tespit edilir ve toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Çift Katlı Kökler ve Tanımsızlık Noktalarının İncelenmesi

Alternatif Yöntem

İşaret tablosu oluşturmak yerine, kritik noktaların belirlediği aralıklardan temsilci tam sayı değerleri seçilerek (örneğin x = 0, x = 1.5, x = 2.5 vb.) eşitsizlikte yerine yazılır ve hangi aralıkların eşitsizliği sağladığı doğrudan kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1340Soru →

Birim çember üzerinde, pozitif yönlü bir θ\theta açısının bitim kenarının çemberi kestiği nokta A(a,b)A(a, b)'dir. θ\theta açısı analitik düzlemin dördüncü bölgesinde olmak üzere, a−b=1.4a - b = 1.4 ve a>∣b∣a > |b| olduğuna göre, bb değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.6

Cevap

İstenen ordinat değeri olan b sayısı -0.6 olarak bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının kareleri a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 bağıntısını sağlar. Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 eşitliğinden yararlanarak elde edilen b2+1.4b+0.48=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 denkleminin kökleri -0.6 ve -0.8 değerleridir. a>∣b∣a > |b| koşulu yalnızca b=−0.6b = -0.6 ve a=0.8a = 0.8 için sağlandığından doğru cevap -0.6 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim çember tanımını ve verilen denklemi kullanarak bir denklem sistemi oluşturma.
a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 ve a−b=1.4a - b = 1.4 denklem sistemi elde edilir.
Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlamak zorundadır.
2
aa değişkenini bb cinsinden yazıp birinci denklemde yerine koyarak bb değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemi çözme.
b2+1.4b+0.48=0  ⟹  (b+0.6)(b+0.8)=0b^2 + 1.4b + 0.48 = 0 \implies (b + 0.6)(b + 0.8) = 0 denkleminden b=−0.6b = -0.6 veya b=−0.8b = -0.8 bulunur.
Sistemdeki ortak çözümü sağlayan olası ordinat değerlerini bulmak için.
3
Dördüncü bölge koşulu ile a>∣b∣a > |b| eşitsizliğini kontrol ederek doğru bb değerini seçme.
b=−0.6b = -0.6 için a=0.8a = 0.8 olur ve 0.8>0.60.8 > 0.6 şartı sağlanır. Diğer kök bu şartı sağlamaz.
Soruda verilen bölge ve büyüklük sınırlandırmalarını sağlayan tek bir doğru çözümün tespiti için.

Anahtar Kavram

Birim çember tanımı ve trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri ile büyüklük ilişkileri.

Alternatif Yöntem

Verilen a−b=1.4a - b = 1.4 denkleminin her iki tarafının karesi alınarak (a−b)2=a2−2ab+b2=1.96(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1.96 yazılabilir. a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 olduğu bilindiğinden 1−2ab=1.96  ⟹  2ab=−0.96  ⟹  ab=−0.481 - 2ab = 1.96 \implies 2ab = -0.96 \implies ab = -0.48 elde edilir. Toplamları a+(−b)=1.4a + (-b) = 1.4 ve çarpımları a(−b)=0.48a(-b) = 0.48 olan iki sayı 0.80.8 ve 0.60.6'dır. a>0a > 0 ve b<0b < 0 olduğundan aa ve −b-b pozitif sayılardır. a>∣b∣  ⟹  a>−ba > |b| \implies a > -b olduğu için a=0.8a = 0.8 ve −b=0.6  ⟹  b=−0.6-b = 0.6 \implies b = -0.6 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 67 / 437Sonraki