Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1341Soru →

Analitik düzlemde, y=x2−2x−2y = x^2 - 2x - 2 parabolü ile y=2x+my = 2x + m doğrusunun kesişim noktaları AA ve BB olarak adlandırılıyor.

Koordinat sisteminin başlangıç noktası O(0,0)O(0, 0) olmak üzere, OA⊥OBOA \perp OB olduğuna göre, mm gerçek sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak çözüm denkleminin kökleri ve diklik şartı kullanılarak elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde m gerçek sayısının alabileceği pozitif değer 2 olarak bulunur.
Ortak çözüm denkleminden elde edilen apsisler ve ordinatlar arasındaki diklik şartı (x1x2+y1y2=0x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0) uygulandığında m2+3m−10=0m^2 + 3m - 10 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü olan 2 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenerek ortak çözüm denklemi oluşturulur.
x2−4x−(m+2)=0x^2 - 4x - (m+2) = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının apsislerini veren denklemi bulmak için ortak çözüm yapılır.
2
Ortak çözüm denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımı Vieta formülleriyle ifade edilir.
x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve x1x2=−m−2x_1 x_2 = -m - 2
Noktaların apsisleri arasındaki cebirsel ilişkileri doğrudan bulabilmek amacıyla kökler toplamı ve çarpımı kullanılır.
3
Kesişim noktalarının ordinatları (y1y_1 ve y2y_2), noktalar doğrunun üzerinde olduğu için doğru denkleminde yerine yazılarak apsisler cinsinden ifade edilir.
y1=2x1+my_1 = 2x_1 + m ve y2=2x2+my_2 = 2x_2 + m
Koordinatlar arasında tek bir değişken türünden ilişki kurabilmek için ordinat değerleri doğrunun denklemine yerleştirilir.
4
OA⊥OBOA \perp OB diklik şartı koordinatlar cinsinden x1x2+y1y2=0x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 olarak kurulur.
x1x2+(2x1+m)(2x2+m)=0  ⟹  5x1x2+2m(x1+x2)+m2=0x_1 x_2 + (2x_1 + m)(2x_2 + m) = 0 \implies 5x_1 x_2 + 2m(x_1 + x_2) + m^2 = 0 denklemi elde edilir.
İki vektörün dik olması, analitik düzlemde bu vektörlerin bileşenlerinin iç çarpımının sıfır olması şartına bağlıdır.
5
Kökler toplamı ve çarpımı değerleri diklik denkleminde yerine yazılır ve oluşan mm'ye bağlı denklem çözülür.
m2+3m−10=0  ⟹  (m+5)(m−2)=0  ⟹  m=2m^2 + 3m - 10 = 0 \implies (m+5)(m-2) = 0 \implies m = 2 veya m=−5m = -5
m parametresinin alabileceği değerleri bulmak için denklem m cinsinden tek değişkene indirgenir.
6
Bulunan mm değerlerinin parabol ve doğrunun kesişmesini sağlayıp sağlamadığı diskriminant kontrolüyle test edilir ve pozitif olan kök seçilir.
Δ=4m+24>0\Delta = 4m + 24 > 0 eşitsizliğinden m>−6m > -6 olmalıdır. Hem 2 hem de -5 bu şartı sağlar. Pozitif değer istendiğinden m=2m = 2 seçilir.
Kesişim noktalarının reel koordinatlara sahip olabilmesi için ortak çözümün diskriminantı pozitif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun ortak çözüm denkleminin kökleri ile kesişim noktalarının analitik diklik şartı arasındaki ilişki.
Soru 1342Soru →
P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c ve Q(x)=dx2+ex+fQ(x) = dx^2 + ex + f başkatsayıları sırasıyla aa ve dd olan ikinci dereceden gerçel katsayılı iki polinomdur. Bu polinomların diskriminantları sırasıyla Δ1\Delta_1 ve Δ2\Delta_2 olmak üzere, Δ1>0\Delta_1 > 0 ve Δ2>0\Delta_2 > 0 olduğu bilinmektedir. Buna göre, her x∈Rx \in \mathbb{R} için P(x)⋅Q(x)≥0P(x) \cdot Q(x) \ge 0 eşitsizliğinin sağlanması durumunda P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının kök kümelerinin aynı olması zorunludur.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Her x∈Rx \in \mathbb{R} için P(x)⋅Q(x)≥0P(x) \cdot Q(x) \ge 0 eşitsizliğinin sağlanması durumunda P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının kök kümelerinin aynı olması zorunludur ifadesi doğrudur.
Çarpım fonksiyonunun her xx gerçel sayısı için negatif olmaması (sıfırdan büyük veya eşit olması), işaret tablosunda tek katlı kök bulunmadığını gösterir. P(x)P(x)'in iki farklı gerçel kökü olduğu için, bu köklerin çarpımda çift katlı köke dönüşmesi amacıyla Q(x)Q(x)'in de aynı köklere sahip olması gerekir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliklerde işaret değişim kuralını hatırlayınız.
Bir polinom çarpımının veya bölümünün işaret tablosunda, tek katlı köklerden geçilirken işaret değişir, çift katlı köklerden geçilirken ise işaret değişmez.
Çarpımın daima sıfırdan büyük veya eşit kalabilmesi için işaret tablosunda hiçbir kökte işaret değişimi gerçekleşmemelidir.
2
P(x)P(x) polinomunun kök karakterini analiz ediniz.
Δ1>0\Delta_1 > 0 olduğundan, P(x)P(x) polinomunun iki farklı reel kökü (x1x_1 ve x2x_2) vardır ve bunlar P(x)P(x) için tek katlı köklerdir.
Köklerin tek katlı olması, tek başına P(x)P(x)'in bu noktalarda işaret değiştireceği anlamına gelir.
3
P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) çarpımının işaret değiştirmeme koşulunu inceleyiniz.
Çarpım fonksiyonunun x1x_1 ve x2x_2 noktalarında işaret değiştirmemesi için, bu noktaların P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) çarpım polinomunun çift katlı kökleri olması gerekir. Bu da ancak x1x_1 ve x2x_2 değerlerinin aynı zamanda Q(x)Q(x)'in de kökleri olmasıyla mümkündür.
Tek katlı köklerin çarpım altında çift katlı köke dönüşmesi için her iki polinomda da ortak olarak bulunmaları zorunludur.
4
Q(x)Q(x) polinomunun derecesini ve kök sayısını kontrol ederek sonucu elde ediniz.
Q(x)Q(x) ikinci dereceden bir polinom olduğundan en fazla iki köke sahip olabilir. Bu kökler x1x_1 ve x2x_2 olmak zorundadır. Dolayısıyla P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının kök kümeleri aynıdır.
Q(x)Q(x)'in derecesi 2 olduğundan başka bir kökü olamaz, bu yüzden kök kümeleri birebir eşleşir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerde köklerin katlılık durumuna göre işaret tablosunda işaret değişiminin incelenmesi
Soru 1343Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 fonksiyonu veriliyor. ff fonksiyonunun grafiğinin yy-eksenine göre simetriği alındıktan sonra, elde edilen grafik xx-ekseni boyunca sağa 3 birim, yy-ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelenerek gg fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2−2x+4x^2 - 2x + 4

Cevap

g(x) = x^2 - 2x + 4
Doğru seçenekteki x2−2x+4x^2 - 2x + 4 ifadesi, sırasıyla uygulanan yy-eksenine göre yansıma (x→−xx \rightarrow -x), sağa 3 birim öteleme (x→x−3x \rightarrow x-3) and yukarı 2 birim öteleme (y→y+2y \rightarrow y+2) adımlarının doğru şekilde işletilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun y-eksenine göre simetriğini bulmak için fonksiyonda x yerine -x yazılır.
f(−x)=(−x)2−4(−x)+5=x2+4x+5f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) + 5 = x^2 + 4x + 5 elde edilir.
Bir fonksiyonun grafiğinin y-eksenine göre simetriği f(-x) dönüşümü ile bulunur.
2
Elde edilen grafiği x-ekseni boyunca sağa 3 birim ötelemek için x yerine x-3 yazılır.
f(−(x−3))=(x−3)2+4(x−3)+5=x2−6x+9+4x−12+5=x2−2x+2f(-(x-3)) = (x-3)^2 + 4(x-3) + 5 = x^2 - 6x + 9 + 4x - 12 + 5 = x^2 - 2x + 2 elde edilir.
Yatay doğrultuda sa��a doğru a birimlik öteleme, fonksiyonda x yerine x-a yazılarak gerçekleştirilir.
3
Bulunan fonksiyon grafiğini y-ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelemek için fonksiyona 2 eklenir.
g(x)=(x2−2x+2)+2=x2−2x+4g(x) = (x^2 - 2x + 2) + 2 = x^2 - 2x + 4 elde edilir.
Dikey doğrultuda yukarı doğru b birimlik öteleme, fonksiyona b birim eklenerek gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda y-eksenine göre simetri (yansıma) ve yatay/dikey öteleme dönüşümlerinin cebirsel olarak uygulanması.

Alternatif Yöntem

Dönüşümleri doğrudan fonksiyonun tepe noktası üzerinden gerçekleştirebiliriz. f(x)=(x−2)2+1f(x) = (x-2)^2 + 1 parabolünün tepe noktası T(2,1)T(2, 1)'dir. yy-eksenine göre simetri alındığında tepe noktası T′(−2,1)T'(-2, 1) olur. Sağa 3 ve yukarı 2 birim ötelendiğinde yeni tepe noktası T′′(1,3)T''(1, 3) olur. Başkatsayı değişmediği için yeni fonksiyon g(x)=(x−1)2+3=x2−2x+4g(x) = (x-1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 4 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1344Soru →

Bir ABCABC üçgeninde, BCBC kenarının uzunluğu 12 cm12\text{ cm} ve AA açısının sinüs değeri sin⁡(A^)=04\sin(\widehat{A}) = 0{}4 olarak verilmiştir. Buna göre, ABCABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Çevrel çemberin yarıçapı 15 cm'dir.
Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende 2R=asin⁡(A^)2R = \frac{a}{\sin(\widehat{A})} bağıntısı geçerlidir. Verilen a=12a = 12 ve sin⁡(A^)=04\sin(\widehat{A}) = 0{}4 değerleri formülde yerine yazıldığında 2R=1204=302R = \frac{12}{0{}4} = 30 bulunur. Buradan yarıçap R=15 cmR = 15\text{ cm} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi bağıntısını yazıp verilen değerleri yerine yerleştirmek.
2R=asin⁡(A^)2R = \frac{a}{\sin(\widehat{A})} formülünde a=12a = 12 ve sin⁡(A^)=04\sin(\widehat{A}) = 0{}4 yazılır.
Sinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunluğu ile o kenarın karşısındaki açının sinüs değeri arasındaki oranı çevrel çemberin çapına eşitler.
2
Çap değerini (2R) hesaplamak.
2R=1204=302R = \frac{12}{0{}4} = 30 elde edilir.
Kenar uzunluğu sinüs değerine bölünerek çap bulunur.
3
Çapı ikiye bölerek yarıçapı bulmak.
R=15R = 15 bulunur.
Soruda bizden çemberin çapı değil, yarıçapı (RR) istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi yardımıyla çevrel çemberin yarıçapının bulunması.
Soru 1345Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çembere A(1,0)A(1,0) noktasında teğet olan x=1x = 1 doğrusu çizilmiştir. Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir PP noktası için [OP][OP] yarıçap doğrusunun pozitif xx-ekseni ile yaptığı yönlü açının ölçüsü θ\theta'dır.

PP noktasından çembere çizilen teğet doğrusu, x=1x = 1 doğrusunu K(1,−2)K(1, -2) noktasında kesmektedir.

Buna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.8

Cevap

Birim çember üzerindeki noktanın ordinatı -0.8 değerine eşittir.
Teğet doğrusunun denklemi kurulup verilen kesişim noktası yerine yazıldıktan sonra elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, noktanın üçüncü bölgede yer alması nedeniyle ordinat değeri negatif olan -0.8 olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini yazma
xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 doğrusu elde edilir.
Birim çember üzerindeki herhangi bir (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x\cos\theta + y\sin\theta = 1 şeklindedir.
2
K(1, -2) noktasını doğru denkleminde yerine yazma
cos⁡θ−2sin⁡θ=1\cos\theta - 2\sin\theta = 1 bağıntısı elde edilir.
Teğet doğrusu K(1,−2)K(1, -2) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.
3
Trigonometrik özdeşliği kullanarak tek bilinmeyenli denklem elde etme
5sin⁡2θ+4sin⁡θ=05\sin^2\theta + 4\sin\theta = 0 denklemi elde edilir.
cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 özdeşliğinde cos⁡θ=1+2sin⁡θ\cos\theta = 1 + 2\sin\theta yazılarak ortak çözüm yapılır.
4
Bölge şartına göre ordinat değerini belirleme
sin⁡θ=−0.8\sin\theta = -0.8 olarak bulunur.
Denklemin kökleri 0 ve -0.8'dir. Nokta üçüncü bölgede yer aldığından koordinatları negatif olmalıdır, bu yüzden sıfır değeri elenir.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları ve teğet doğrusunun analitik denklemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1346Soru →

Analitik düzlemde, f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x) fonksiyonunun grafiği yatay doğrultuda sağa doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, g(x)g(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: sin⁡(2x)\sin(2x)

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni fonksiyon sin⁡(2x)\sin(2x) şeklindedir.
Verilen fonksiyon grafiğini yatay doğrultuda sağa doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelemek için xx yerine x−π4x - \frac{\pi}{4} yazılır. Buradan g(x)=cos⁡(2(x−π4))=cos⁡(2x−π2)g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) elde edilir. Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliği (cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta)) kullanılarak ifade cos⁡(π2−2x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) şeklinde yazılabilir. π2\frac{\pi}{2} cinsinden yapılan indirgemelerde isim değişerek sinüse döner ve birinci bölgede işaret pozitif olduğundan sonuç sin⁡(2x)\sin(2x) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Yatay doğrultuda sağa öteleme için bağımsız değişkene uygulanacak dönüşümü belirleme.
Sağa doğru π4\frac{\pi}{4} birimlik öteleme için fonksiyondaki xx değişkeni yerine x−π4x - \frac{\pi}{4} yazılmalıdır.
Bir fonksiyonun grafiği sağa ötelendiğinde, girdilerin aynı çıktıları daha geç vermesi için bağımsız değişkenden öteleme miktarı çıkarılır.
2
f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x) kuralında dönüşümü yerine yazarak yeni fonksiyon kuralını elde etme.
g(x)=cos⁡(2(x−π4))=cos⁡(2x−π2)g(x) = \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)
Öteleme dönüşümü doğrudan bağımsız değişkene uygulanmalı ve parantez içi katsayı ile çarpılarak dağıtılmalıdır.
3
Elde edilen ifadeyi kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirme.
g(x)=cos⁡(−(π2−2x))=cos⁡(π2−2x)=sin⁡(2x)g(x) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x)
Her θ\theta için cos⁡(−θ)=cos⁡(θ)\cos(-\theta) = \cos(\theta) ve birbirini 90∘90^\circ ye tamamlayan (tümler) açıların kosinüsü sinüsüne eşittir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonlarda yatay öteleme dönüşümü ve indirgeme formülleri.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1347Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta
f(x)=x2−2x−8 f(x) = x^2 - 2x - 8
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
f(x−2)⋅(x−1)3−x≥0 \frac{f(x-2) \cdot (x-1)}{3-x} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan xx tam say��larının toplamı 16'dır.
Eşitsizlik tablosu oluşturulduğunda çözüm kümesi [0,1]∪(3,6][0, 1] \cup (3, 6] aralığı olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,4,50, 1, 4, 5 ve 66 olup toplamları 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−2x−8f(x) = x^2 - 2x - 8 fonksiyonunun köklerini bulalım.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 denkleminden kökler x=4x = 4 ve x=−2x = -2 olarak bulunur.
f(x−2)f(x-2) ifadesinin köklerini elde etmek için öncelikle f(x)f(x)'in köklerini belirlememiz gerekir.
2
f(x−2)f(x-2) ifadesinin köklerini bulalım.
f(x)f(x)'in köklerini 2 birim sağa öteleyerek x1=−2+2=0x_1 = -2 + 2 = 0 ve x2=4+2=6x_2 = 4 + 2 = 6 köklerini elde ederiz. Yani f(x−2)=x(x−6)f(x-2) = x(x-6) olur.
Yatay öteleme kuralına göre, f(x−c)f(x-c) ifadesinin kökleri, f(x)f(x)'in köklerinin cc birim sağa ötelenmiş halidir.
3
Eşitsizliği oluşturan tüm çarpanların köklerini ve paydanın kökünü belirleyelim.
Eşitsizlik: x(x−6)(x−1)3−x≥0\frac{x(x-6)(x-1)}{3-x} \geq 0 şekline dönüşür. Payın kökleri x=0x = 0, x=1x = 1, x=6x = 6 (dahil) ve paydanın kökü x=3x = 3 (dahil değil) olarak bulunur.
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için pay ve paydadaki tüm çarpanların köklerini bulmalıyız.
4
Kökleri tabloya yerleştirip işaret incelemesi yapalım.
Sıralı kökler: 0,1,3,60, 1, 3, 6. En sağdaki aralıkta derecesi en büyük olan terimlerin katsayılarının işareti (+)⋅(+)⋅(+)(−)=(−)\frac{(+)\cdot(+)\cdot(+)}{(-)} = (-) olduğu için tabloya en sağdan (−-) ile başlanır. İşaret tablosu şu şekildedir:

xx−∞-\infty00113366∞\infty
g(x)g(x)−-00++00−-∥\Vert++00−-
İşaret tablosu sayesinde eşitsizliğin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar tespit edilir.
5
Eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulup toplayalım.
Çözüm kümesi [0,1]∪(3,6][0, 1] \cup (3, 6] aralığıdır. Buradaki tam sayılar 0,1,4,5,60, 1, 4, 5, 6 olup toplamları 0+1+4+5+6=160 + 1 + 4 + 5 + 6 = 16 olur.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği çözmek için f(x-2) fonksiyonunu bulmak yerine f(x) fonksiyonunun köklerini bulup bu kökleri 2 birim sağa öteleyerek f(x-2)'nin köklerini doğrudan elde edebiliriz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1348Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=12\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} = \frac{1}{2}
olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −255-\frac{2\sqrt{5}}{5}

Cevap

Kosinüs değerinin eksi iki kök beş bölü beş olması
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde tanjant değeri bir bölü iki olarak bulunur. Açının üçüncü bölgede yer aldığı belirtildiğinden, bu bölgedeki kosinüs değerinin işareti negatif olmalıdır. Karşı kenarı bir, komşu kenarı iki olan dik üçgende hipotenüs kök beş birimdir. Kosinüs tanımı gereği komşu bölü hipotenüsten değer eksi iki kök beş bölü beş olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım a��ı formüllerini kullanarak pay ve paydadaki sabit sayıları sadeleştirelim.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ve cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formüllerini kullanalım. Ayrıca sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yazalım.
Pay kısmı: 1−(1−2sin⁡2x)+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x1 - (1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\sin x \cos x
Payda kısmı: 1+(2cos⁡2x−1)+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x1 + (2\cos^2 x - 1) + 2\sin x \cos x = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x halini alır.
İfadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmeye uygun hale getirmek.
2
Elde edilen kesirli ifadeyi ortak paranteze alıp sadeleştirelim ve verilen değere eşitleyelim.
2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
Buradan, tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} elde edilir.
İfadenin en sade halini bularak trigonometrik oranlardan birine ulaşmak.
3
Açının bölgesini dikkate alarak dik üçgen yardımıyla kosinüs değerini bulalım.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan açı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
Karşı kenarı 1, komşu kenarı 2 olan bir dik üçgende hipotenüs 12+22=5\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} olur.
Bu durumda, cos⁡x=−Koms¸uHipotenu¨s=−25=−255\cos x = -\frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} bulunur.
Tanjant değerinden yararlanıp uygun bölge işareti ile kosinüs oranını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Soru 1349Soru →

Analitik düzlemde, A(1,3)A(1, 3) noktasından geçen ve eğimi mm olan bir doğru, y=x2−4x+8y = x^2 - 4x + 8 parabolünü kesmemektedir. Buna göre, mm gerçek sayısının alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Doğrunun parabolü kesmemesini sağlayan mm tam sayılarının toplamı −10-10 olmalıdır.
Ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan küçük olması koşulundan elde edilen −2−22<m<−2+22-2 - 2\sqrt{2} < m < -2 + 2\sqrt{2} aralığındaki tam sayılar −4,−3,−2,−1,0-4, -3, -2, -1, 0 değerleridir. Bu değerlerin toplamı −10-10 yaptığı için doğru cevap bu seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru denklemini yazma
A(1,3)A(1, 3) noktasından geçen ve eğimi mm olan doğrunun denklemi: y−3=m(x−1)  ⟹  y=mx−m+3y - 3 = m(x - 1) \implies y = mx - m + 3 olarak elde edilir.
Parabol ile ortak çözüm yapabilmek için do��runun cebirsel ifadesini oluşturmamız gerekir.
2
Ortak çözüm denklemini elde etme
x2−4x+8=mx−m+3  ⟹  x2−(4+m)x+(m+5)=0x^2 - 4x + 8 = mx - m + 3 \implies x^2 - (4 + m)x + (m + 5) = 0 denklemi elde edilir.
Doğru ile parabolün kesişim noktalarını bulmak amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleriz.
3
Kesişmeme koşulu için diskriminant incelemesi
Δ=[−(4+m)]2−4⋅1⋅(m+5)<0  ⟹  m2+8m+16−4m−20<0  ⟹  m2+4m−4<0\Delta = [-(4 + m)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 5) < 0 \implies m^2 + 8m + 16 - 4m - 20 < 0 \implies m^2 + 4m - 4 < 0 eşitsizliği bulunur.
Doğrunun parabolü kesmemesi, ortak çözüm denkleminin gerçel kökünün olmaması, yani diskriminantının sıfırdan küçük olmasıyla mümkündür.
4
Eşitsizlik sınır değerlerini (kökleri) bulma
m2+4m−4=0  ⟹  m=−2±22m^2 + 4m - 4 = 0 \implies m = -2 \pm 2\sqrt{2} kökleri elde edilir. Yaklaşık olarak 22≈2,82\sqrt{2} \approx 2,8 olduğundan, sınır kökler m1≈−4,8m_1 \approx -4,8 ve m2≈0,8m_2 \approx 0,8 olarak hesaplanır. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−2−22,−2+22)(-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2}) aralığıdır.
Eşitsizliğin çözüm aralığını belirlemek amacıyla ilgili ikinci dereceden denklemin sınır köklerini bulmamız gerekir.
5
Tam sayı değerlerini belirleme ve toplama
Belirlenen aralıktaki mm tam sayı değerleri {−4,−3,−2,−1,0}\{-4, -3, -2, -1, 0\} olup, bu değerlerin toplamı (−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0=−10(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 = -10 olarak hesaplanır.
Bulunan aralıkta yer alan mm tam sayılarının toplamına ulaşmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun ortak noktalarının olmaması (kesişmemeleri) durumu, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan küçük (Δ<0\Delta < 0) olması koşuluna bağlıdır.
Soru 1350Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

sin⁡x+cos⁡x=15\sin x + \cos x = \frac{1}{5}

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −725-\frac{7}{25}

Cevap

−725-\frac{7}{25}
Verilen toplamın karesi alınarak sin⁡(2x)=−24/25\sin(2x) = -24/25 bulunur. Ardından cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 özdeşliğinden cos⁡(2x)=±7/25\cos(2x) = \pm 7/25 elde edilir. xx açısının ikinci bölgede olması ve toplamlarının pozitif olması nedeniyle x<3π/4x < 3\pi/4 olduğu anlaşılır. Böylece 2x2x açısı üçüncü bölgede yer alır ve bu bölgede kosinüs negatif olduğundan doğru cevap −725-\frac{7}{25} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin her iki tarafının karesini alarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini bulunuz.
(sin⁡x+cos⁡x)2=(15)2(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2

sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=125\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}

1+sin⁡(2x)=125  ⟹  sin⁡(2x)=−24251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} \implies \sin(2x) = -\frac{24}{25}
sin⁡(2x)\sin(2x) yarım açı formülünü elde etmek ve diğer trigonometrik fonksiyon değerlerine geçiş yapmak için.
2
sin⁡2(2x)+cos⁡2(2x)=1\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 özdeşliğini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin mutlak değerini bulunuz.
cos⁡2(2x)=1−sin⁡2(2x)\cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x)

cos⁡2(2x)=1−(−2425)2=1−576625=49625\cos^2(2x) = 1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}

∣cos⁡(2x)∣=725|\cos(2x)| = \frac{7}{25}
Kosinüs yarım açı değerinin sayısal büyüklüğünü belirlemek için.
3
Açının tanım aralığını kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin işaretini belirleyiniz ve sonucu yazınız.
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığında sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 dır.

sin⁡x+cos⁡x=15>0  ⟹  sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x + \cos x = \frac{1}{5} > 0 \implies \sin x > |\cos x|

Bu durum, xx açısının ikinci bölgenin ilk yarısında yani x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğunu gösterir.

Buradan, ikiyle çarptığımızda 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) elde edilir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif olduğundan:

cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25}
Doğru işareti tespit edip kesin sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve Sinüs Yarım Açı Formülleri ile Trigonometrik Bölge İşaret Analizi
Soru 1351Soru →
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2θ)−1+sin⁡(2θ)=65\sqrt{1 - \sin(2\theta)} - \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{6}{5}
olduğuna göre, sin⁡(4θ)\sin(4\theta) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 336625\frac{336}{625}

Cevap

Üç yüz otuz altı bölü altı yüz yirmi beş
Kareköklü ifadelerin tam kareye açılımı yapılıp verilen bölgede sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin\theta + \cos\theta > 0 olduğu tespit edilerek mutlak değerden doğru çıkarıldığında cos⁡θ=−35\cos\theta = -\frac{3}{5} bulunur. Buradan iki kez yarım açı formülü uygulanarak ulaşılan üç yüz otuz altı bölü altı yüz yirmi beş değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadelerin içini tam kare formuna dönüştürün.
1−sin⁡(2θ)=sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=(sin⁡θ−cos⁡θ)21 - \sin(2\theta) = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (\sin\theta - \cos\theta)^2 ve 1+sin⁡(2θ)=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)21 + \sin(2\theta) = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^2 elde edilir. Buradan ifade (sinθ−cos⁡θ)2−(sin⁡θ+cos⁡θ)2=65\sqrt{(\\sin\theta - \cos\theta)^2} - \sqrt{(\sin\theta + \cos\theta)^2} = \frac{6}{5} halini alır.
1=sin⁡2θ+cos⁡2θ1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta özdeşliği ve sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta kullanılarak ifadeler düzenlenir.
2
Açının bulunduğu aralığı dikkate alarak ifadeleri mutlak değer dışına çıkarın.
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında sin⁡θ>0\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 olur ve mutlak değer dışına aynen çıkar: sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta. Aynı aralıkta sin⁡θ>∣cos⁡θ∣\sin\theta > |\cos\theta| olduğundan sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin\theta + \cos\theta > 0 olur ve dışarı aynen çıkar: sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta + \cos\theta.
Kareköklü ifadelerin derecesi çift olduğundan dışarıya mutlak değer içinde çıkarlar ve işaret analizi yapılması gerekir.
3
Denklemi sadeleştirip cos⁡θ\cos\theta değerini çekin.
(sin⁡θ−cos⁡θ)−(sin⁡θ+cos⁡θ)=65  ⟹  −2cos⁡θ=65  ⟹  cos⁡θ=−35(\sin\theta - \cos\theta) - (\sin\theta + \cos\theta) = \frac{6}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{6}{5} \implies \cos\theta = -\frac{3}{5} bulunur.
Mutlak değerden çıkarılan terimler denklemde yerine yazılarak sin⁡θ\sin\theta terimleri sadeleştirilir.
4
sin⁡θ\sin\theta değerini hesaplayın.
θ\theta ikinci bölgede olduğundan sinüs değeri pozitiftir. Dik üçgen yardımıyla veya sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğinden sin⁡θ=45\sin\theta = \frac{4}{5} bulunur.
2θ2\theta açısının yarım açı açılımı için hem sinüs hem de kosinüs değerlerine ihtiyaç vardır.
5
2θ2\theta açısının trigonometrik değerlerini yarım açı formülleriyle hesaplayın.
sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅(45)⋅(−35)=−2425\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} ve cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1=2⋅(−35)2−1=−725\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{25} bulunur.
sin⁡(4θ)\sin(4\theta) değerini hesaplamak için sin⁡(2θ)\sin(2\theta) ve cos⁡(2θ)\cos(2\theta) değerleri gereklidir.
6
sin⁡(4θ)\sin(4\theta) değerini bulmak için yarım açı formülünü tekrar uygulayın.
sin⁡(4θ)=2sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=2⋅(−2425)⋅(−725)=336625\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) = 2 \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{336}{625} elde edilir.
4θ4\theta açısı 2θ2\theta cinsinden yazılıp sinüs yarım açı açılımı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kareköklü trigonometrik ifadelerin sınır değerlerine göre mutlak değer dışına çıkarılması ve ardışık yarım açı formüllerinin uygulanması.
Soru 1352Soru →
Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çember üzerindeki bir PP noktası üçüncü bölgededir. Bu PP noktasının koordinatları P(x,−53)P\left(x, -\frac{\sqrt{5}}{3}\right) olarak verilmiştir. PP noktasını orijine birleştiren doğrunun pozitif yönlü xx ekseniyle yaptığı açı θ\theta olmak üzere, cos⁡(π+θ)−tan⁡(3π2−θ)\cos(\pi + \theta) - \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10−6515\frac{10 - 6\sqrt{5}}{15}

Cevap

İfadenin değeri \frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} olarak bulunur.
İndirgeme formüllerine göre cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta ve tan⁡(3π2−θ)=cot⁡θ\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta eşitlikleri geçerlidir. Birim çember üzerinde üçüncü bölgede koordinatları P(−23,−53)P\left(-\frac{2}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3}\right) olan nokta için cos⁡θ=−23\cos\theta = -\frac{2}{3} ve cot⁡θ=255\cot\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5} değerleri hesaplanır. Bu değerler −cos⁡θ−cot⁡θ-\cos\theta - \cot\theta ifadesinde yerine yazıldığında 10−6515\frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P noktasının apsisini bulmak için birim çember denklemini uygulayın.
P(x,y)P(x, y) noktası birim çember üzerinde olduğundan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 eşitliği sağlan��r. Buradan x2+(−53)2=1  ⟹  x2+59=1  ⟹  x2=49x^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 \implies x^2 + \frac{5}{9} = 1 \implies x^2 = \frac{4}{9} elde edilir. PP noktası üçüncü bölgede olduğundan apsisi negatif olmalıdır, yani x=−23x = -\frac{2}{3} olur.
Trigonometrik değerlerin hesaplanabilmesi için birim çember üzerindeki noktanın eksik olan koordinatını belirlemek gerekir.
2
Açının kosinüs ve kotanjant değerlerini belirleyin.
PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olduğundan cos⁡θ=−23\cos\theta = -\frac{2}{3} ve sin⁡θ=−53\sin\theta = -\frac{\sqrt{5}}{3} bulunur. Buradan kotanjant değeri cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2/3−5/3=25=255\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} olarak hesaplanır.
İndirgenmiş ifadede yerlerine yazılacak olan temel trigonometrik değerleri elde etmek için.
3
İfadeyi indirgeme formülleriyle sadeleştirip değerleri yerlerine yazın.
cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta ve tan⁡(3π2−θ)=cot⁡θ\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta eşitlikleri kullanılarak ifade −cos⁡θ−cot⁡θ-\cos\theta - \cot\theta haline getirilir. Değerler yerine yazıldığında −(−23)−255=23−255=10−6515-\left(-\frac{2}{3}\right) - \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{3} - \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} elde edilir.
İndirgeme formüllerini doğru uygulayarak ifadenin en sade halinin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki ve trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi.
Soru 1353Soru →
Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa, bb ve cc birimdir. Bu üçgenin kenarları arasında
a2−b2=c2+bca^2 - b^2 = c^2 + bc
bağıntısı bulunmaktadır.

AA köşesinden çizilen iç açıortay doğrusunun uzunluğu 3011\frac{30}{11} birim ve b⋅c=30b \cdot c = 30 olduğuna göre, aa kenarının uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 91\sqrt{91}

Cevap

akenarınınuzunlug˘u91birimdir.a kenarının uzunluğu \sqrt{91} birimdir.
Verilen bağıntı kosinüs teoremi ile karşılaştırıldığında tepe açısının 120∘120^\circ olduğu anlaşılır. Üçgenin alanlarının toplamı prensibinden iç açıortay uzunluk formülü nA=bcb+cn_A = \frac{bc}{b+c} olarak elde edilir. Bu formülde verilen değerler yerine konulduğunda b+c=11b+c = 11 bulunur. (b+c)2=b2+c2+2bc(b+c)^2 = b^2+c^2+2bc özdeşliğinden yararlanılarak b2+c2=61b^2+c^2 = 61 hesaplanır. Son olarak, baştaki bağıntıda değerler yerine yazıldığında a=91a = \sqrt{91} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kenar bağıntısını kosinüs teoremi ile karşılaştırarak A açısını belirlemek.
a2=b2+c2+bca^2 = b^2 + c^2 + bc elde edilir. Kosinüs teoremi formülü olan a2=b2+c2−2bccos⁡(A)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A) ifadesi ile karşılaştırıldığında −2cos⁡(A)=1  ⟹  cos⁡(A)=−1/2-2\cos(A) = 1 \implies \cos(A) = -1/2 bulunur. Buradan A=120∘A = 120^\circ elde edilir.
Üçgenin tepe açısının trigonometrik değerini saptamak.
2
Açıortay uzunluğu ile kenarlar arasındaki ilişkiyi alan paylaşımı yoluyla türetmek.
Alan(ABC)=Alan(ABD)+Alan(ACD)  ⟹  12bcsin⁡(120∘)=12b⋅nAsin⁡(60∘)+12c⋅nAsin⁡(60∘)\text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(ABD) + \text{Alan}(ACD) \implies \frac{1}{2}bc\sin(120^\circ) = \frac{1}{2}b \cdot n_A \sin(60^\circ) + \frac{1}{2}c \cdot n_A \sin(60^\circ) yazılır. sin⁡(120∘)=sin⁡(60∘)\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) olduğundan sadeleşme ile bc=nA(b+c)  ⟹  nA=bcb+cbc = n_A(b+c) \implies n_A = \frac{bc}{b+c} bağıntısı bulunur.
Açıortay doğrusunun böldüğü alanlar üzerinden kenarlar arasında bir bağıntı kurmak.
3
Verilen değerleri yerine yazarak b + c toplamını hesaplamak.
bc=30bc = 30 ve nA=3011n_A = \frac{30}{11} değerleri yerleştirildiğinde 3011=30b+c  ⟹  b+c=11\frac{30}{11} = \frac{30}{b+c} \implies b+c = 11 bulunur.
Kenarların toplam değerini elde ederek kareler toplamına geçiş yapmak.
4
Tam kare açılımı kullanarak b2+c2b^2+c^2 değerini bulmak.
(b+c)2=b2+c2+2bc  ⟹  112=b2+c2+2(30)  ⟹  121=b2+c2+60  ⟹  b2+c2=61(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc \implies 11^2 = b^2 + c^2 + 2(30) \implies 121 = b^2 + c^2 + 60 \implies b^2 + c^2 = 61 elde edilir.
Kosinüs teoremi bağıntısında kullanılacak kareler toplamını hesaplamak.
5
Bulunan değerleri ilk adımdaki bağıntıda yerine yazarak a değerini hesaplamak.
a2=b2+c2+bc  ⟹  a2=61+30=91  ⟹  a=91a^2 = b^2 + c^2 + bc \implies a^2 = 61 + 30 = 91 \implies a = \sqrt{91} birim bulunur.
İstenen kenar uzunluğuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kosinüs Teoremi, Üçgende Alan Paylaşımı ve İç Açıortay İlişkisi
Soru 1354Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çembere ikinci bölgedeki bir PP noktasından çizilen teğet doğrusu, xx-eksenini A(−1.25,0)A(-1.25, 0) noktasında kesmektedir. Buna göre, PP noktasının ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

P noktasının ordinatı 0.6 olarak bulunur.
Teğet doğrusunun denklemi yardımıyla PP noktasının apsis değeri cos⁡θ=−0.8\cos\theta = -0.8 olarak bulunur. PP noktası ikinci bölgede olduğundan ordinat değeri olan sin⁡θ\sin\theta pozitif olmalıdır. Buradan sin⁡θ=1−(−0.8)2=0.6\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini birim çember üzerindeki nokta cinsinden ifade etmek.
Teğet doğrusu x⋅cos⁡θ+y⋅sin⁡θ=1x \cdot \cos\theta + y \cdot \sin\theta = 1 olarak kurulur.
Birim çember üzerindeki P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta) noktasından çizilen teğetin denklemini elde etmek için.
2
Teğet doğrusunun xx-eksenini kestiği A noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazmak.
−1.25⋅cos⁡θ=1  ⟹  cos⁡θ=−0.8-1.25 \cdot \cos\theta = 1 \implies \cos\theta = -0.8 elde edilir.
Verilen A noktasının doğru üzerinde olması şartını kullanarak cos⁡θ\cos\theta değerini bulmak için.
3
Trigonometrik özdeşlik ve bölge işareti yard��mıyla sinüs değerini hesaplamak.
sin⁡θ=0.6\sin\theta = 0.6 bulunur.
İkinci bölgede yer alan P noktasının ordinatı (sin⁡θ\sin\theta) pozitif olduğundan sin⁡θ=1−(−0.8)2=0.6\sin\theta = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = 0.6 hesabını yapmak için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin özellikleri ve trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri.

Alternatif Yöntem

OPA dik üçgeni oluşturulur. Burada OP=1OP = 1 birim (yarıçap) ve OA=1.25OA = 1.25 birimdir. Pisagor teoreminden teğet uzunluğu AP=0.75AP = 0.75 birim bulunur. Öklid bağıntısı veya alan formülünden PP noktasının x-eksenine olan uzaklığı (yüksekliği) h=1⋅0.751.25=0.6h = \frac{1 \cdot 0.75}{1.25} = 0.6 birim olarak hesaplanır. İkinci bölgede ordinat pozitif olduğundan cevap 0.6'dır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1355Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=3cos⁡(2x−π)+1f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1 fonksiyonunun grafiği, g(x)=3sin⁡(2x)+1g(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun grafi��inin yatay doğrultuda sola doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelenmesiyle elde edilmektedir. Bu ifade doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Öteleme sonucunda elde edilen fonksiyon 3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 iken, f(x)f(x) fonksiyonu −3cos⁡(2x)+1-3\cos(2x) + 1 olarak sadeleşir; bu iki fonksiyonun grafikleri farklıdır.
Yapılan öteleme işlemi sonucunda oluşan fonksiyon 3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 iken, f(x)f(x) fonksiyonunun sadeleşmiş biçimi −3cos⁡(2x)+1-3\cos(2x) + 1 şeklindedir. Bu iki fonksiyon özdeş olmadığından grafikler çakışmaz ve ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=3sin⁡(2x)+1g(x) = 3\sin(2x) + 1 fonksiyonunun grafiğinin sola doğru π4\frac{\pi}{4} birim ötelenmesiyle oluşan yeni fonksiyon yazılır.
g(x+π4)=3sin⁡(2(x+π4))+1=3sin⁡(2x+π2)+1g\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 3\sin\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1 = 3\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1
Bir fonksiyonun grafiğini sola doğru aa birim ötelemek, fonksiyonda xx yerine x+ax+a yazmak demektir.
2
Elde edilen 3sin⁡(2x+π2)+13\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + 1 ifadesi indirgeme formülü kullanılarak sadeleştirilir.
3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1
sin⁡(θ+π2)=cos⁡(θ)\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\theta) özdeşliği uyarınca, birinci bölgede veya eksen geçişlerinde sinüs kosinüse dönüşür ve ikinci bölgede sinüs pozitif olduğundan işaret değişmez.
3
f(x)=3cos⁡(2x−π)+1f(x) = 3\cos(2x - \pi) + 1 fonksiyonunun ifadesi indirgeme formülü ile sadeleştirilir.
f(x)=−3cos⁡(2x)+1f(x) = -3\cos(2x) + 1
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(2x−π)=cos⁡(π−2x)\cos(2x - \pi) = \cos(\pi - 2x) olur. İndirgeme formüllerine göre cos⁡(π−θ)=−cos⁡(θ)\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta) olduğundan, ifade −3cos⁡(2x)+1-3\cos(2x) + 1 biçimini alır.
4
Öteleme sonucu oluşan 3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 fonksiyonu ile f(x)=−3cos⁡(2x)+1f(x) = -3\cos(2x) + 1 fonksiyonu karşılaştırılır.
3cos⁡(2x)+1≠−3cos⁡(2x)+13\cos(2x) + 1 \neq -3\cos(2x) + 1
Fonksiyonların katsayıları farklı olduğundan grafikler aynı değildir ve verilen ifade yanlıştır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonlarda Yatay Öteleme ve İndirgeme Formülleri

Alternatif Yöntem

Öteleme ve sadeleştirme işlemlerini cebirsel olarak yapmak yerine, her iki fonksiyonda da x=0x = 0 değeri yerine yazılarak grafiklerin y-eksenini kestiği noktalar karşılaştırılabilir. g(x)g(x) sola π4\frac{\pi}{4} ötelenirse x=0x=0 noktasındaki değeri g(π4)=3sin⁡(π2)+1=4g(\frac{\pi}{4}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = 4 olur. Diğer yandan f(0)=3cos⁡(−π)+1=3(−1)+1=−2f(0) = 3\cos(-\pi) + 1 = 3(-1) + 1 = -2 olur. 4≠−24 \neq -2 olduğundan grafiklerin çakışması mümkün değildir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1356Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x2−4x+3)⋅(2−x)x2−5x−6≥0 \frac{(x^2 - 4x + 3) \cdot (2 - x)}{x^2 - 5x - 6} \ge 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayının toplamı -1'dir.
Eşitsizlik tablosu incelendiğinde eşitsizliği sağlayan çözüm kümesinin (−∞,−1)∪[1,2]∪[3,6)(-\infty, -1) \cup [1, 2] \cup [3, 6) olduğu görülür. Bu kümedeki en büyük negatif tam sayı −2-2 (−1-1 tanımsızlık nedeniyle hariç tutulmuştur) ve en küçük pozitif tam sayı 11'dir. İkisinin toplamı −2+1=−1-2 + 1 = -1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
Payın çarpanları:
x2−4x+3=(x−1)(x−3)=0  ⟹  x=1x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1 ve x=3x = 3
2−x=0  ⟹  x=22 - x = 0 \implies x = 2
Payın kökleri: 1, 2 ve 3'tür.

Paydanın çarpanları:
x2−5x−6=(x−6)(x+1)=0  ⟹  x=−1x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=6x = 6
Paydanın kökleri: -1 ve 6'dır.
İşaret tablosu oluşturmak amacıyla tüm sınır değerleri (kökleri) tespit etmek için bu adım uygulanır.
2
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturun ve aralıkların işaretlerini belirleyin.
Köklerin sıralaması: −1<1<2<3<6-1 < 1 < 2 < 3 < 6
Baş katsayıların işareti:
- x2−4x+3x^2 - 4x + 3 için ++
- 2−x2 - x için −-
- x2−5x−6x^2 - 5x - 6 için ++
Toplam işaret: (+)⋅(−)+=−\frac{(+) \cdot (-)}{+} = -

Bu nedenle tablonun en sağından (6'nın sağından) eksi (−-) işareti ile başlanır ve her kökten geçildiğinde işaret değiştirilir:
- x>6x > 6 için −-
- 3<x<63 < x < 6 için ++
- 2<x<32 < x < 3 için −-
- 1<x<21 < x < 2 için ++
- −1<x<1-1 < x < 1 için −-
- x<−1x < -1 için ++

Paydanın kökleri olan −1-1 ve 66 ifadeyi tanımsız yaptığından çözüm kümesine dahil edilmez. Eşitsizlik ≥0\ge 0 şeklinde olduğundan payın kökleri (1,2,31, 2, 3) dahil edilir. Çözüm kümesi: (−∞,−1)∪[1,2]∪[3,6)(-\infty, -1) \cup [1, 2] \cup [3, 6)
Eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu bölgeleri (pozitif bölgeleri) tespit etmek için.
3
Çözüm kümesindeki en büyük negatif tam sayı ile en küçük pozitif tam sayıyı belirleyip toplayın.
Çözüm kümesindeki negatif sayılar (−∞,−1)(-\infty, -1) aralığındadır. Bu aralıktaki en büyük negatif tam sayı −2-2'dir (−1-1 paydayı sıfır yaptığı için dahil edilemez).

Çözüm kümesindeki pozitif sayılar [1,2]∪[3,6)[1, 2] \cup [3, 6) aralıklarındadır. Bu aralıklardaki en küçük pozitif tam sayı 11'dir.

İki değerin toplamı: (−2)+1=−1(-2) + 1 = -1 bulunur.
Soruda istenen nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözümünde pay ve paydadaki ifadelerin tüm kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur. Paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine dahil edilmez.
Soru 1357Soru →
Bir xx dar açısı için 0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} ve cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Kosinüs yarım açı form��lleri kullanılarak tan⁡x\tan x değeri 0.50.5 (veya 12\frac{1}{2}) olarak hesaplanır.
Verilen cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} eşitliğinde cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 yarım açı formülü uygulandığında cos⁡2x=45\cos^2 x = \frac{4}{5} bulunur. Birinci bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡x=25\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}} ve buradan sin⁡x=15\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} elde edilir. Tanjant tanımı gereği tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=12=0.5\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{2} = 0.5 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüsün yarım açı formülünü yazma
cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1
2x2x açısının trigonometrik oranından yararlanarak xx açısına geçiş yapabilmek.
2
Elde edilen denklemden cos⁡x\cos x değerini çekme
cos⁡x=25\cos x = \frac{2}{\sqrt{5}}
0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4} aralığında kosinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir.
3
sin⁡x\sin x değerini bulup tan⁡x\tan x oranını hesaplama
sin⁡x=15  ⟹  tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=0.5\sin x = \frac{1}{\sqrt{5}} \implies \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 0.5
İstenen tan⁡x\tan x değerini elde etmek için temel trigonometrik özdeşlikleri uygulamak.

Anahtar Kavram

Kosinüsün yarım açı formülü yardımıyla bir açının iki katının değerinden açının kendisine ait trigonometrik oranların hesaplanması.
Soru 1358Soru →
Pozitif bir kk gerçel sayısı için f(x)=5cot⁡(kx+π3)f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right) fonksiyonunun esas periyodu π4\frac{\pi}{4} radyandır.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen fonksiyonun esas periyodu 4'tür.
Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle bulunur. Burada xx'in katsayısı a=ka=k olup, k>0k > 0 olduğu için periyot πk\frac{\pi}{k} olur. Soruda periyot π4\frac{\pi}{4} olarak verildiğinden πk=π4\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4} eşitliğinden k=4k = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kotanjant fonksiyonunun esas periyot formülünü yazma
g(x)=c⋅cot⁡(ax+b)g(x) = c \cdot \cot(ax + b) biçimindeki fonksiyonların esas periyodu T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle hesaplanır.
Kotanjant fonksiyonunun grafiği her π\pi radyanda bir kendini tekrar ettiği için esas periyodu bulurken tanım kümesindeki yatay daralma/genişleme katsayısı olan aa değerine bölme yapılır.
2
Periyot denklemini kurarak k değerini hesaplama
f(x)=5cot⁡(kx+π3)f(x) = 5\cot\left(k x + \frac{\pi}{3}\right) fonksiyonunda xx'in katsayısı kk olduğundan periyot T=π∣k∣T = \frac{\pi}{|k|} olur. k>0k > 0 olarak verildiğinden ∣k∣=k|k| = k alınır. Buradan πk=π4  ⟹  k=4\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4} \implies k = 4 elde edilir.
Fonksiyonun esas periyodunun π4\frac{\pi}{4} olduğu soruda verildiği için bu iki değer birbirine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarında xx'in katsayısı olan aa değeri için esas periyot T=π∣a∣T = \frac{\pi}{|a|} formülüyle elde edilir.
Soru 1359Soru →
f:R→R+olmak u¨zeref: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \quad \text{olmak üzere}
f(x)=(a−37−a)xf(x) = \left(\frac{a - 3}{7 - a}\right)^x
fonksiyonu tanımlanıyor.

Bu fonksiyonun bir üstel fonksiyon olduğu bilindiğine göre, aa parametresinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçt��r?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

a parametresinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Üstel fonksiyon tanımına göre taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. (a - 3)/(7 - a) ifadesini pozitif yapan a tam sayıları 4, 5 ve 6'dır. Ancak a = 5 değeri için taban 1 olduğundan, bu değer alınamaz. Dolayısıyla a'nın alabileceği tam sayı değerleri 4 ve 6 olup, toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanımına göre taban koşullarını belirleme.
f(x)=bxf(x) = b^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için taban b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olmalıdır. Bu soruda taban ifadesi b=a−37−ab = \frac{a - 3}{7 - a} şeklindedir.
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının pozitif bir gerçek sayı ve 1'den farklı olması zorunludur.
2
Tabanın pozitif olması (b>0b > 0) koşulunu inceleme.
a−37−a>0\frac{a - 3}{7 - a} > 0 eşitsizliğinin kökleri a=3a = 3 ve a=7a = 7 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde, bu eşitsizliği sağlayan aralık (3,7)(3, 7) açık aralığı olarak bulunur.
Taban değerinin pozitif olması gereken aralığı tespit etmek amacıyla eşitsizlik çözülmüştür.
3
Tabanın 1'den farklı olması (b≠1b \neq 1) koşulunu inceleme.
a−37−a≠1  ⟹  a−3≠7−a  ⟹  2a≠10  ⟹  a≠5\frac{a - 3}{7 - a} \neq 1 \implies a - 3 \neq 7 - a \implies 2a \neq 10 \implies a \neq 5 elde edilir.
Tabanın 1 olması durumunda fonksiyonun üstel fonksiyon olma özelliğini yitirmesini engellemek için.
4
Koşulları sağlayan aa tam sayılarını belirleyip toplama.
(3,7)(3, 7) açık aralığındaki tam sayılar 4,5,64, 5, 6 sayılarıdır. a≠5a \neq 5 olması gerektiğinden aa değeri 44 veya 66 olabilir. Bu değerlerin toplamı: 4+6=104 + 6 = 10 bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonun tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
Soru 1360Soru →

Dik koordinat düzleminde, [−6,12][-6, 12] kapalı aralığında tanımlı, grafiği doğrusal parçalardan oluşan ve xx-ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin alanı 3636 birimkare olan bir ff fonksiyonu verilmiştir.

aa ve bb pozitif gerçek sayılar olmak üzere,
g(x)=a⋅f(b⋅x)g(x) = a \cdot f(b \cdot x)
fonksiyonunun tanım kümesi [−2,4][-2, 4] ve xx-ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin alanı 9696 birimkaredir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

a + b toplamının değeri 11'dir.
g(x) = a * f(b * x) dönüşümünde, tanım kümesi [-6/b, 12/b] = [-2, 4] eşitliğinden b = 3 bulunur. Alan ise dikey esneme ve yatay sıkışma sonucu a/b oranında değişir. 36 * (a/3) = 96 eşitliğinden a = 8 bulunur. Toplamları 8 + 3 = 11 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi dönüşümünü analiz ederek b katsayısını belirleme
b = 3
f(x) fonksiyonunun tanım kümesi [-6, 12] iken g(x) = a * f(b * x) fonksiyonunun tanım kümesi [-2, 4] olarak verilmiştir. Tanım kümesinin sınırları b kat daraldığı için b = 3 olmalıdır.
2
Alan değişimini analiz ederek a katsayısını belirleme
a = 8
Yatay olarak b = 3 oranında sıkışan grafiğin alanı 1/3 katına iner. Dikey olarak a oranında esnetilen grafiğin alanı a katına çıkar. Toplam alan (a/3) katına çıkacağından 96 = (a/3) * 36 eşitliğinden a = 8 elde edilir.
3
Bulunan katsayıların toplamını hesaplama
11
a = 8 ve b = 3 değerlerinin toplamı sorulduğu için 8 + 3 = 11 bulunur.

Anahtar Kavram

Fonksiyonlarda yatay esnetme/sıkıştırma dönüşümü f(b*x) tanım kümesini 1/b oranında değiştirirken, dikey esnetme/sıkıştırma a*f(x) görüntü kümesini a katına çıkarır. Bu iki dönüşümün alanı etkileme oranı a/b olur.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 68 / 437Sonraki