Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1401Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerindeki bir P(a,b)P(a, b) noktası koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. PP noktasının yy-eksenine olan uzaklığı, xx-eksenine olan uzaklığının 33 katı olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.3

Cevap

İkinci bölgedeki noktanın eksenlere olan uzaklıkları oranından elde edilen koordinat ilişkisi ve birim çember denklemi kullanılarak koordinatların çarpımı -0.3 olarak bulunur.
P(a, b) noktası ikinci bölgede olduğundan a < 0 ve b > 0'dır. Y-eksenine olan uzaklık |a| = -a ve x-eksenine olan uzaklık |b| = b olup aralarındaki ilişki -a = 3b şeklindedir. Birim çember denklemi olan a^2 + b^2 = 1 eşitliğinde a yerine -3b yazıldığında 10b^2 = 1 ve b^2 = 0.1 bulunur. Buradan a.b = -3b^2 = -0.3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Noktanın işaretlerini belirleme
a<0a < 0 ve b>0b > 0
P(a,b)P(a, b) noktası ikinci bölgede yer aldığı için apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.
2
Eksenlere olan uzaklık ilişkisini kurma
a=−3ba = -3b
Y-eksenine uzaklık ∣a∣|a|, x-eksenine uzaklık ∣b∣|b| olup ∣a∣=3∣b∣|a| = 3|b| eşitliğinden −a=3b-a = 3b elde edilir.
3
Birim çember denklemini kullanarak değişkenlerin değerini bulma
b2=0.1b^2 = 0.1
Nokta birim çember üzerinde olduğundan a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 eşitliği sağlanmalıdır.
4
Koordinatlar çarpımını hesaplama
a⋅b=−0.3a \cdot b = -0.3
a⋅b=−3b2a \cdot b = -3b^2 ifadesinde b2=0.1b^2 = 0.1 yazılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ve eksenlere olan uzaklıkları
Soru 1402Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(4x)+sin⁡(4x)1+cos⁡(4x)+sin⁡(4x)=−247\frac{1 - \cos(4x) + \sin(4x)}{1 + \cos(4x) + \sin(4x)} = -\frac{24}{7}
olduğuna göre, tan⁡x\tan x ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Dört bölü ü�� (4/3)
Verilen ifade sadeleştirildiğinde tan⁡2x=−247\tan 2x = -\frac{24}{7} bulunur. Tanjant iki kat açı formülü kullanılarak elde edilen 12t2−7t−12=012t^2 - 7t - 12 = 0 denkleminin kökleri 43\frac{4}{3} ve −34-\frac{3}{4}'tür. x∈(π/4,π/2)x \in (\pi/4, \pi/2) aralığında tan⁡x>1\tan x > 1 olması gerektiğinden doğru değer 43\frac{4}{3} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki terimleri yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirin.
1−cos⁡4x=2sin⁡22x1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x ve 1+cos⁡4x=2cos⁡22x1 + \cos 4x = 2\cos^2 2x eşitlikleri ile sin⁡4x=2sin⁡2xcos⁡2x\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x özdeşliği yerine yazıldığında pay ifadesi 2sin⁡2x(sin⁡2x+cos⁡2x)2\sin 2x(\sin 2x + \cos 2x) ve payda ifadesi 2cos⁡2x(sin⁡2x+cos⁡2x)2\cos 2x(\sin 2x + \cos 2x) olur. Buradan ifade tan⁡2x\tan 2x olarak sadeleşir.
Trigonometrik denklemi daha basit bir formda çözebilmek için yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapılması gerekir.
2
Elde edilen tan⁡2x=−247\tan 2x = -\frac{24}{7} eşitliğini tanjant yarım aç�� formülünde yerine koyun.
tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=t\tan x = t yazılarak 2t1−t2=−247\frac{2t}{1 - t^2} = -\frac{24}{7} denklemi kurulur.
tan⁡2x\tan 2x değerinden tan⁡x\tan x değerine geçiş yapabilmek için tanjantın yarım açı (iki kat açı) formülü kullanılır.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi düzenleyin ve çözün.
t1−t2=−127  ⟹  12t2−7t−12=0\frac{t}{1 - t^2} = -\frac{12}{7} \implies 12t^2 - 7t - 12 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem çarpanlarına (4t+3)(3t−4)=0(4t + 3)(3t - 4) = 0 şeklinde ayrılır. Kökler t1=43t_1 = \frac{4}{3} ve t2=−34t_2 = -\frac{3}{4} olarak bulunur.
Rasyonel denklemi çözülebilir kılmak için içler dışlar çarpımı yapılarak ikinci dereceden denklem standart formuna getirilir.
4
Açının tanım kümesini kontrol ederek doğru tan⁡x\tan x değerini belirleyin.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında tanjant fonksiyonu pozitif değerler alır ve tan⁡x>1\tan x > 1 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan kök t=43t = \frac{4}{3}'tür.
Trigonometrik fonksiyonların değerleri bulunurken açının ait olduğu bölge (kadran) işaret ve büyüklük sınırlarını belirler.

Anahtar Kavram

Tanjant yarım açı formülü ve trigonometrik ifadelerin yarım açı formülleriyle sadeleştirilmesi
Soru 1403Soru →
Dik koordinat düzleminde, a>0a > 0, b>0b > 0 ve c∈[0,π)c \in [0, \pi) olmak üzere,
f(x)=acos⁡(bx+c)+df(x) = a \cos(bx + c) + d
fonksiyonunun grafiğiyle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- Grafiğin yy eksenini kestiği noktanın ordinatı 33'tür.
- Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 55, en küçük değer ise −1-1'dir.
- Fonksiyonun esas periyodu π\pi radyandır.

Buna göre, f(π12)f\left(\frac{\pi}{12}\right) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4+3−222\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}

Cevap

4+3−222\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}
Fonksiyonun en büyük değeri a+d=5a + d = 5 ve en küçük değeri −a+d=−1-a + d = -1 denklemlerinden a=3a = 3 ve d=2d = 2 bulunur. Periyodun π\pi olmasından b=2b = 2 elde edilir. Grafiğin yy eksenini kestiği nokta olan (0,3)(0, 3) değeri fonksiyonda yerine yazıldığında 3cos⁡(c)+2=3⇒cos⁡(c)=1/33\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = 1/3 bulunur. c∈[0,π)c \in [0, \pi) olduğundan sin⁡(c)=223\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3} olur. f(π/12)=3cos⁡(π/6+c)+2f(\pi/12) = 3\cos(\pi/6 + c) + 2 ifadesi kosinüs toplam formülü yardımıyla açıldığında 4+3−222\frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genlik ve düşey öteleme katsayılarını (aa ve dd) belirleme
a+d=5a + d = 5 ve −a+d=−1-a + d = -1 denklem sisteminden d=2d = 2 ve a=3a = 3 bulunur.
a>0a > 0 olduğu için cos⁡(bx+c)\cos(bx+c) ifadesinin maksimum değeri 11, minimum değeri −1-1 olur. Bu değerler fonksiyonu sırasıyla en büyük ve en küçük değerlerine ulaştırır.
2
Periyot katsayısını (bb) belirleme
2π∣b∣=π⇒b=2\frac{2\pi}{|b|} = \pi \Rightarrow b = 2 bulunur.
Kosinüs fonksiyonunun esas periyodu T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır ve soruda periyot π\pi olarak verilmiştir (b>0b > 0).
3
Yatay öteleme açısını (cc) belirleme
f(0)=3⇒3cos⁡(c)+2=3⇒cos⁡(c)=13f(0) = 3 \Rightarrow 3\cos(c) + 2 = 3 \Rightarrow \cos(c) = \frac{1}{3} bulunur. Buradan sin⁡(c)=223\sin(c) = \frac{2\sqrt{2}}{3} elde edilir.
Grafik yy eksenini (0,3)(0, 3) noktasında kesmektedir. c∈[0,π)c \in [0, \pi) aralığında kosinüsü pozitif olan açının sinüsü de pozitif olmalıdır.
4
f(π/12)f(\pi/12) değerini hesaplama
f(π/12)=3cos⁡(2⋅π12+c)+2=3cos⁡(π6+c)+2=4+3−222f(\pi/12) = 3\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12} + c\right) + 2 = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + c\right) + 2 = \frac{4 + \sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2} bulunur.
Kosinüs toplam formülü cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta kullanılarak cos⁡(π6+c)=32⋅13−12⋅223\cos(\frac{\pi}{6} + c) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri üzerindeki tepe noktaları, periyot ve öteleme parametreleri ile fonksiyonun katsayıları arasındaki ilişki.
Soru 1404Soru →

Bir xx dar açısı için,

cos⁡(13π2−x)−sin⁡(7π+x)sin⁡(x−9π2)+cos⁡(5π−x)\frac{\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) - \sin(7\pi + x)}{\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) + \cos(5\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −tan⁡(x)-\tan(x)

Cevap

İfadenin en sade biçimi −tan⁡(x)-\tan(x) olarak bulunur.
Verilen ifadede pay kısmındaki cos⁡(13π/2−x)=sin⁡(x)\cos(13\pi/2 - x) = \sin(x) ve sin⁡(7π+x)=−sin⁡(x)\sin(7\pi + x) = -\sin(x) olarak sadeleşir. Buradan pay sin⁡(x)−(−sin⁡(x))=2sin⁡(x)\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x) bulunur. Paydada ise sin⁡(x−9π/2)=sin⁡(3π/2+x)=−cos⁡(x)\sin(x - 9\pi/2) = \sin(3\pi/2 + x) = -\cos(x) ve cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = -\cos(x) olur. Buradan payda −cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x) elde edilir. Bu iki ifadenin birbirine oranı olan 2sin⁡(x)−2cos⁡(x)\frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} ifadesi sadeleştiğinde −tan⁡(x)-\tan(x) değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki ilk terim olan cos⁡(13π2−x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) ifadesini indirgeyelim.
cos⁡(13π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \sin(x)
13π2\frac{13\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. Birinci bölgede kosinüs pozitif değer alır ve açı π2\frac{\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür.
2
Paydaki ikinci terim olan sin⁡(7π+x)\sin(7\pi + x) ifadesini indirgeyelim.
sin⁡(7π+x)=−sin⁡(x)\sin(7\pi + x) = -\sin(x)
7π7\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. Üçüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı π\pi cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.
3
Paydadaki ilk terim olan sin⁡(x−9π2)\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) ifadesini indirgeyelim.
sin⁡(x−9π2)=−cos⁡(x)\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) = -\cos(x)
Açıya 6π6\pi eklenerek esas ölçü bulunur: x−9π2+12π2=3π2+xx - \frac{9\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + x. Dördüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.
4
Paydadaki ikinci terim olan cos⁡(5π−x)\cos(5\pi - x) ifadesini indirgeyelim.
cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = -\cos(x)
5π5\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır ve açı π\pi cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.
5
Elde edilen sonuçları ana kesirde yerine koyup sadeleştirelim.
sin⁡(x)−(−sin⁡(x))−cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=−tan⁡(x)\frac{\sin(x) - (-\sin(x))}{-\cos(x) + (-\cos(x))} = \frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} = -\tan(x)
Pay kısmında sin⁡(x)−(−sin⁡(x))=2sin⁡(x)\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x) ve paydada −cos⁡(x)−cos⁡(x)=−2cos⁡(x)-\cos(x) - \cos(x) = -2\cos(x) işlemleri yapılır. Sadeleştirme sonucunda oran −tan⁡(x)-\tan(x) olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri, bölgelere göre işaretleri ve eksen dönüşüm kuralları.
Soru 1405Soru →
f(x)=(∣a−3∣−25)xf(x) = \left(\frac{|a-3| - 2}{5}\right)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Üstel fonksiyonun azalan olması için taban değerinin 0 ile 1 aralığında bulunması zorunludur. Buradan hareketle elde edilen 2<∣a−3∣<72 < |a-3| < 7 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi (−4,1)∪(5,10)(-4, 1) \cup (5, 10) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,6,7,8,9}\{-3, -2, -1, 0, 6, 7, 8, 9\} olmak üzere 8 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun azalan olma koşulunu belirleme
0<∣a−3∣−25<10 < \frac{|a-3| - 2}{5} < 1 eşitsizliği elde edilir.
g(x)=bxg(x) = b^x biçimindeki bir üstel fonksiyonun azalan olması için tabanının sıfır ile bir arasında (0<b<10 < b < 1) olması gerekir.
2
Eşitsizliği sadeleştirme
0<∣a−3∣−2<5⇒2<∣a−3∣<70 < |a-3| - 2 < 5 \Rightarrow 2 < |a-3| < 7 eşitsizliği elde edilir.
Eşitsizliğin her tarafı pozitif bir sayı olan 5 ile çarpılır ve ardından her tarafa 2 eklenir.
3
Mutlak değerli eşitsizliği çözme
a∈(−4,1)∪(5,10)a \in (-4, 1) \cup (5, 10) aralığı elde edilir.
2<∣a−3∣<72 < |a-3| < 7 ifadesi iki durumda incelenir:
1) 2<a−3<7⇒5<a<102 < a-3 < 7 \Rightarrow 5 < a < 10
2) −7<a−3<−2⇒−4<a<1-7 < a-3 < -2 \Rightarrow -4 < a < 1
4
Tam sayı değerlerini bulup sayma
Toplam 8 tane tam sayı değeri vardır.
(−4,1)(-4, 1) aralığındaki tam sayılar {−3,−2,−1,0}\{-3, -2, -1, 0\} (4 adet) ve (5,10)(5, 10) aralığındaki tam sayılar {6,7,8,9}\{6, 7, 8, 9\} (4 adet) olmak üzere toplam 4+4=84 + 4 = 8 değer bulunur.

Anahtar Kavram

Bir üstel fonksiyonun azalan olabilmesi için tabanının sıfır ile bir açık aralığında bulunması gerekir.
Soru 1406Soru →
x+yx−y+x−yx+y=103x2+2xy+y2−x−y=12\begin{aligned} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} &= \frac{10}{3} \\ x^2 + 2xy + y^2 - x - y &= 12 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan ve koordinatları birer tam sayı olan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Tam sayı olan koordinat ikilileri için koordinatların çarpımının alabileceği en büyük değer 2'dir.
İkinci denklem (x+y−4)(x+y+3)=0(x+y-4)(x+y+3) = 0 şeklinde yazılıp x+yx+y için aday değerler belirlenir. Birinci denklemden gelen oranlar kullanılarak her iki durum için x−yx-y farkları hesaplanır. Ortaya çıkan üç farklı tam sayı koordinatlı çözüm ikilisinin koordinat çarpımları karşılaştırıldığında en büyük sonucun 2 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemi düzenleyip çarpanlarına ayırın.
(x+y)2−(x+y)−12=0  ⟹  (x+y−4)(x+y+3)=0(x+y)^2 - (x+y) - 12 = 0 \implies (x+y-4)(x+y+3) = 0 Buradan x+y=4x+y = 4 veya x+y=−3x+y = -3 elde edilir.
Sistemdeki x+yx+y ifadesinin alabileceği değerleri belirleyerek denklemi basitleştirmek amacıyla.
2
Birinci denklemde değişken değiştirme yöntemi uygulayın.
x+yx−y=u\frac{x+y}{x-y} = u dönüşümü yapılırsa denklem u+1u=103  ⟹  3u2−10u+3=0u + \frac{1}{u} = \frac{10}{3} \implies 3u^2 - 10u + 3 = 0 halini alır. Bu denklemin kökleri u=3u = 3 veya u=13u = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin çözümünü kolaylaştırmak ve x+yx+y ile x−yx-y aras��ndaki oranları tespit etmek amacıyla.
3
Bulunan x+yx+y değerleri ve uu oranları yardımıyla olası x−yx-y değerlerini hesaplayıp denklem sistemlerini çözün.
1. Durum (x+y=4x+y = 4):
- u=3  ⟹  x−y=4/3  ⟹  x=8/3,y=4/3u = 3 \implies x-y = 4/3 \implies x = 8/3, y = 4/3 (tam sayı değil).
- u=1/3  ⟹  x−y=12  ⟹  x=8,y=−4u = 1/3 \implies x-y = 12 \implies x = 8, y = -4 (tam sayı).

2. Durum (x+y=−3x+y = -3):
- u=3  ⟹  x−y=−1  ⟹  x=−2,y=−1u = 3 \implies x-y = -1 \implies x = -2, y = -1 (tam sayı).
- u=1/3  ⟹  x−y=−9  ⟹  x=−6,y=3u = 1/3 \implies x-y = -9 \implies x = -6, y = 3 (tam sayı).
Tüm olası (x,y)(x, y) gerçek sayı ikililerini bulmak ve bunlar arasından koordinatları tam sayı olanları seçmek amacıyla.
4
Elde edilen tam sayı koordinat ikililerinin çarpımlarını hesaplayıp karşılaştırın.
Tam sayı çözümlerin çarpımları:
- 8⋅(−4)=−328 \cdot (-4) = -32
- (−2)⋅(−1)=2(-2) \cdot (-1) = 2
- (−6)⋅3=−18(-6) \cdot 3 = -18
Bu değerlerden en büyüğü 2'dir.
Soru kökünde istenen en büyük çarpım değerini belirlemek amacıyla.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Alternatif Yöntem

Birinci denklemde paydalar eşitlenerek içler dışlar çarpımı yapıldığında 3(x+y)2+3(x−y)2=10(x2−y2)3(x+y)^2 + 3(x-y)^2 = 10(x^2-y^2) elde edilir. Bu ifade düzenlendiğinde 4x2−16y2=0  ⟹  x2=4y2  ⟹  x=2y4x^2 - 16y^2 = 0 \implies x^2 = 4y^2 \implies x = 2y veya x=−2yx = -2y bağıntılarına ulaşılır. Bu iki doğrusal bağıntı ikinci denklemde yerine yazılarak da aynı tam sayı ikililerine ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1407Soru →
f(x)=(12a2−4a+7)xf(x) = \left(\frac{12}{a^2 - 4a + 7}\right)^x fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı artan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Doğru cevap 10'dur. Artan bir üstel fonksiyon elde etmek için taban ifadesi 1'den büyük olmalıdır. Buradan elde edilen −1<a<5-1 < a < 5 aralığındaki tam sayıların toplamı 10 yapar.
Verilen fonksiyonun artan bir üstel fonksiyon olması için tabanının 1'den büyük olması şarttır. Eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen −1<a<5-1 < a < 5 aralığındaki tam sayı değerlerinin toplamı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun artan olma koşulunu yazmak.
b=12a2−4a+7>1b = \frac{12}{a^2 - 4a + 7} > 1 koşulu sağlanmalıdır.
f(x)=bxf(x) = b^x biçimindeki bir üstel fonksiyonun artan olması için tabanının 1'den büyük olması gerekmektedir.
2
Eşitsizliği çözmek.
−1<a<5-1 < a < 5
a2−4a+7=(a−2)2+3a^2 - 4a + 7 = (a-2)^2 + 3 ifadesi her aa gerçel sayısı için daima pozitiftir. Bu nedenle eşitsizliğin her iki tarafı payda ile çarpılabilir: 12>a2−4a+7⇒a2−4a−5<0⇒(a−5)(a+1)<012 > a^2 - 4a + 7 \Rightarrow a^2 - 4a - 5 < 0 \Rightarrow (a-5)(a+1) < 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−1,5)(-1, 5) aralığıdır.
3
Aralıktaki tam sayı değerlerini belirlemek ve toplamak.
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
−1<a<5-1 < a < 5 açık aralığındaki aa tam sayıları 0,1,2,30, 1, 2, 3 ve 44 değerleridir. Bu değerlerin toplamı 10'dur.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır; artanlık için ise taban 1'den büyük olmalıdır.
Soru 1408Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=4sin⁡(3x+π6)−1f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 fonksiyonunun esas periyodu 2π3\frac{2\pi}{3} olup, bu fonksiyonun grafiği yy-eksenini (0,1)(0, 1) noktasında keser.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ifade doğrudur çünkü f(x)=4sin⁡(3x+π6)−1f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 fonksiyonunun esas periyodu formül gereği 2π3\frac{2\pi}{3} olup, x=0x=0 yazıldığında elde edilen yy-kesim noktası (0,1)(0, 1) koordinatlarını tam olarak sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun esas periyodunun hesaplanması
Esas periyot T=2π3T = \frac{2\pi}{3} olarak bulunur.
f(x)=4sin⁡(3x+π6)−1f(x) = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 fonksiyonunda sinüsün kuvveti 11 (tek) ve xx'in katsayısı b=3b=3'tür. Tek kuvvetli sinüs fonksiyonlarında periyot T=2π∣b∣T = \frac{2\pi}{|b|} formülüyle hesaplanır. Buradan T=2π∣3∣=2π3T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3} elde edilir.
2
Fonksiyonun yy-eksenini kestiği noktanın hesaplanması
Grafiğin yy-eksenini kestiği nokta (0,1)(0, 1) olarak bulunur.
Bir fonksiyonun grafiğinin yy-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x=0x = 0 yazılır. f(0)=4sin⁡(3⋅0+π6)−1=4sin⁡(π6)−1f(0) = 4\sin\left(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - 1 olur. sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} değeri yerine yazıldığında f(0)=4⋅12−1=2−1=1f(0) = 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 - 1 = 1 elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların periyodu ve grafiğin eksenleri kestiği noktalar.
Soru 1409Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x∣x∣−4xf(x) = x|x| - 4x
fonksiyonu veriliyor.

ff fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği alınarak gg fonksiyonunun grafiği elde ediliyor. Daha sonra gg fonksiyonunun grafiği 22 birim sağa ve 11 birim aşağı ötelenerek hh fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, h(4)h(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Dönüşümler doğru uygulandığında h(4)h(4) değeri −5-5 olarak bulunur.
Doğru cevap −5-5'tir. Orijine göre simetri alındığında g(x)=−f(−x)=x∣x∣−4xg(x) = -f(-x) = x|x| - 4x fonksiyonu elde edilir. Bu grafik 22 birim sağa ve 11 birim aşağı ötelendiğinde h(x)=g(x−2)−1h(x) = g(x-2) - 1 fonksiyonuna ulaşılır. Buradan h(4)=g(2)−1=f(2)−1=−4−1=−5h(4) = g(2) - 1 = f(2) - 1 = -4 - 1 = -5 hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x∣x∣−4xf(x) = x|x| - 4x fonksiyonunun orijine göre simetriği olan g(x)g(x) fonksiyonunu belirlemek.
g(x)=x∣x∣−4xg(x) = x|x| - 4x
Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetriği g(x)=−f(−x)g(x) = -f(-x) dönüşümüyle elde edilir. f(−x)=(−x)∣−x∣−4(−x)=−x∣x∣+4xf(-x) = (-x)|-x| - 4(-x) = -x|x| + 4x olur. Buradan g(x)=−(−x∣x∣+4x)=x∣x∣−4xg(x) = -(-x|x| + 4x) = x|x| - 4x bulunur. (ff tek fonksiyon olduğu için orijine göre simetriği kendisine eşittir).
2
gg fonksiyonunun grafiğinin 22 birim sağa ve 11 birim aşağı ötelenmesiyle oluşan h(x)h(x) fonksiyonunu yazmak.
h(x)=g(x−2)−1h(x) = g(x-2) - 1
Yatayda aa birim sağa öteleme g(x−a)g(x-a) ile, dikeyde bb birim aşağı öteleme ise fonksiyondan bb çıkarılarak yapılır.
3
h(4)h(4) değerini hesaplamak.
h(4)=−5h(4) = -5
h(4)=g(4−2)−1=g(2)−1h(4) = g(4-2) - 1 = g(2) - 1 olur. g(2)=2∣2∣−4(2)=4−8=−4g(2) = 2|2| - 4(2) = 4 - 8 = -4 olduğuna göre, h(4)=−4−1=−5h(4) = -4 - 1 = -5 elde edilir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların eksenlere ve orijine göre simetri dönüşümleri ile yatay/dikey öteleme kuralları.
Soru 1410Soru →
Gerçek say��lar kümesinde tanımlı
(4−x2)⋅(x−3)2x2−5x+6≥0 \frac{(4 - x^2) \cdot (x - 3)^2}{x^2 - 5x + 6} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıların toplamı -2'dir.
Çözüm kümesi [−2,2)∪(2,3)[-2, 2) \cup (2, 3) aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların toplamı (-2) + (-1) + 0 + 1 = -2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırırız.
Pay kısm�� −(x−2)(x+2)(x−3)2-(x-2)(x+2)(x-3)^2, payda kısmı ise (x−2)(x−3)(x-2)(x-3) olarak çarpanlarına ayrılır. Eşitsizlik:
−(x−2)(x+2)(x−3)2(x−2)(x−3)≥0 \frac{-(x-2)(x+2)(x-3)^2}{(x-2)(x-3)} \geq 0
şeklini alır.
Eşitsizli��in köklerini bulmak ve işaret tablosunu oluşturmak için öncelikle çarpanlara ayırma yapılır.
2
Paydayı sıfır yapan tanımsızlık noktalarını belirleriz.
x2−5x+6≠0  ⟹  (x−2)(x−3)≠0  ⟹  x≠2x^2 - 5x + 6 \neq 0 \implies (x-2)(x-3) \neq 0 \implies x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır.
Paydayı sıfır yapan değerler rasyonel ifadeyi tanımsız kılacağından eşitsizlikte eşitlik sembolü olsa dahi çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Ortak çarpanları sadeleştirerek daha basit bir eşitsizlik elde ederiz.
x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 koşulları altında ortak (x−2)(x-2) ve (x−3)(x-3) çarpanları sadeleştirildiğinde eşitsizlik:
−(x+2)(x−3)≥0  ⟹  (x+2)(x−3)≤0 -(x+2)(x-3) \geq 0 \implies (x+2)(x-3) \leq 0
biçimine dönüşür.
İfadeyi sadeleştirmek tablo analizini kolaylaştırır, fakat başlangıçtaki paydayı sıfır yapan noktaların bilgisi tanımsızlık getirdiği için çözüm kümesinden elenmek üzere saklı tutulur.
4
Sadeleşmiş ifadenin işaret tablosunu oluştururuz.
İfadenin kökleri x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olup her ikisi de tek katlı köktür. Başkatsayı negatif olduğundan en sağdan eksi ile başlanır: x<−2x < -2 için (−)(-), −2<x<3-2 < x < 3 için (+)(+), x>3x > 3 için (−)(-) olur.
Eşitsizliğin sağlandığı pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri belirlemek için işaret incelemesi gerekir.
5
Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini bulur ve toplarız.
İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık [−2,3][-2, 3]'tür. Ancak x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır. Dolayısıyla çözüm kümesi [−2,2)∪(2,3)[-2, 2) \cup (2, 3) olur. Bu aralıktaki tam sayılar −2,−1,0,1-2, -1, 0, 1'dir. Toplamları ise:
(−2)+(−1)+0+1=−2 (-2) + (-1) + 0 + 1 = -2
olarak bulunur.
Bulunan aralıktan tanımsızlık noktaları çıkarılarak çözüm kümesindeki tam sayıların toplamına ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken tanımsızlık yapan köklerin çözüm kümesinden çıkarılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1411Soru →

Tanım kümeleri gerçel sayılar kümesi olan ff ve gg fonksiyonlarından; ff fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre simetrik, gg fonksiyonunun grafiği ise yy-eksenine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için
f(x)+(x−1)⋅g(x)=3x3−x2+5x−2f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
koşulu sağlandığına göre, f(2)−g(3)f(2) - g(3) farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İstenen farkın değeri 11'dir.
Fonksiyonların tek ve çift fonksiyon tanımları gereği f(-x) = -f(x) ve g(-x) = g(x) eşitlikleri kullanılır. Eşitlikte x yerine -x yazılıp taraf tarafa toplandığında g(x) = x^2 + 2 ve f(x) = 2x^3 + 3x elde edilir. Buradan f(2) = 22 ve g(3) = 11 bulunarak farkları 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Grafik simetrilerinden fonksiyonların cebirsel kurallarını belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur ve her xx gerçel sayısı için f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) eşitliğini sağlar. gg fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur ve her xx gerçel sayısı için g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) eşitliğini sağlar.
Fonksiyonların tek veya çift olma durumları grafiklerinin koordinat sistemindeki simetrileriyle tanımlanır.
2
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazarak yeni bir denklem sistemi kurma.
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazıldığında:
f(−x)+(−x−1)⋅g(−x)=3(−x)3−(−x)2+5(−x)−2f(-x) + (-x - 1) \cdot g(-x) = 3(-x)^3 - (-x)^2 + 5(-x) - 2
Simetri özellikleri (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) ve g(−x)=g(x)g(-x) = g(x)) uygulandığında denklem:
−f(x)−(x+1)⋅g(x)=−3x3−x2−5x−2-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2
halini alır.
Aynı bilinmeyen fonksiyonları içeren ikinci bir bağımsız eşitlik elde edilerek denklem sistemi oluşturulur.
3
İki denklemi taraf tarafa toplayarak g(x)g(x) fonksiyonunu yalnız bırakma.
Eldeki iki denklem taraf tarafa toplanır:
1) f(x)+(x−1)⋅g(x)=3x3−x2+5x−2f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
2) −f(x)−(x+1)⋅g(x)=−3x3−x2−5x−2-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2

Toplama işlemi sonucunda:
[f(x)−f(x)]+[(x−1)⋅g(x)−(x+1)⋅g(x)]=(3x3−3x3)+(−x2−x2)+(5x−5x)+(−2−2)[f(x) - f(x)] + [(x - 1) \cdot g(x) - (x + 1) \cdot g(x)] = (3x^3 - 3x^3) + (-x^2 - x^2) + (5x - 5x) + (-2 - 2)
−2⋅g(x)=−2x2−4  ⟹  g(x)=x2+2-2 \cdot g(x) = -2x^2 - 4 \implies g(x) = x^2 + 2
bulunur.
f(x)f(x) terimi elenerek doğrudan g(x)g(x) kuralına ulaşılır.
4
g(x)g(x) ifadesini ilk denklemde yerine koyup f(x)f(x) fonksiyonunu çözme.
f(x)+(x−1)(x2+2)=3x3−x2+5x−2f(x) + (x - 1)(x^2 + 2) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
f(x)+x3−x2+2x−2=3x3−x2+5x−2f(x) + x^3 - x^2 + 2x - 2 = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
f(x)=2x3+3xf(x) = 2x^3 + 3x
bulunur.
Bilinmeyenlerden biri bulunduktan sonra diğeri yerine yazma yöntemiyle çözülür.
5
f(2)f(2) ve g(3)g(3) değerlerini hesaplayıp farklarını alma.
f(2)=2(23)+3(2)=16+6=22f(2) = 2(2^3) + 3(2) = 16 + 6 = 22
g(3)=32+2=9+2=11g(3) = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11
f(2)−g(3)=22−11=11f(2) - g(3) = 22 - 11 = 11
bulunur.
Bulunan genel fonksiyon kuralları üzerinde istenen noktalardaki değerler hesaplanıp işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Simetri özellikleri yardımıyla fonksiyon denklemlerini çözme ve değer hesaplama.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1412Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡4x−cos⁡4xsin⁡x+cos⁡xa = \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin x + \cos x}
b=1+2sin⁡xcos⁡x−sin⁡xb = \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} - \sin x
c=tan⁡x1+tan⁡2xc = \frac{\tan x}{\sqrt{1 + \tan^2 x}}

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı c,b,ac, b, a şeklindedir.
Verilen aralıkta fonksiyonların işaretleri analiz edildiğinde aa ifadesinin pozitif, bb ve cc ifadelerinin ise negatif olduğu görülür. Negatif olan bb ve cc değerleri karşılaştırıldığında b>cb > c olduğu saptanır. Bu sayede doğru sıralama en küçükten en büyüğe sırasıyla cc, bb ve aa olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştiriniz.
a=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)sin⁡x+cos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡x+cos⁡x=sin⁡x−cos⁡xa = \frac{(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x} = \sin x - \cos x
Pay kısmında iki kare farkı özdeşliği uygulanmış ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 eşitliği kullanılmıştır.
2
bb ifadesini mutlak değer ve bölge özelliklerini dikkate alarak sadeleştiriniz.
b=(sin⁡x+cos⁡x)2−sin⁡x=∣sin⁡x+cos⁡x∣−sin⁡xb = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} - \sin x = |\sin x + \cos x| - \sin x İkinci bölgenin ikinci yarısında yani x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında sin⁡x<−cos⁡x\sin x < -\cos x olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur. Bu nedenle ifade kök dışına işaret değiştirerek çıkar:
b=−(sin⁡x+cos⁡x)−sin⁡x=−2sin⁡x−cos⁡xb = -(\sin x + \cos x) - \sin x = -2\sin x - \cos x
Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerle çıkması ve ikinci bölgede kosinüsün mutlak değerce sinüsten büyük olmasından dolayı toplamın negatif olması esastır.
3
cc ifadesini sadeleştirerek tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazınız.
1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x olduğundan
c=tan⁡xsec⁡2x=tan⁡x∣sec⁡x∣c = \frac{\tan x}{\sqrt{\sec^2 x}} = \frac{\tan x}{|\sec x|} olur. İkinci bölgede cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan sec⁡x<0\sec x < 0 dır. Dolayısıyla ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x olur:
c=tan⁡x−sec⁡x=sin⁡xcos⁡x−1cos⁡x=−sin⁡xc = \frac{\tan x}{-\sec x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{-\frac{1}{\cos x}} = -\sin x
Sekant fonksiyonunun ikinci bölgede negatif işaretli olması nedeniyle mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkarılması gerekir.
4
Elde edilen sadeleşmiş a,ba, b ve cc ifadelerini verilen aralıkta karşılaştırarak sıralayınız.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında:
- sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0 dır. Hatta a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) aralığındadır.
- bb ve cc ifadeleri ise negatif değerler alır. Bu iki ifadeyi karşılaştırmak için farklarına bakılır:
b−c=(−2sin⁡x−cos⁡x)−(−sin⁡x)=−sin⁡x−cos⁡xb - c = (-2\sin x - \cos x) - (-\sin x) = -\sin x - \cos x
Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olduğundan, −sin⁡x−cos⁡x>0-\sin x - \cos x > 0 olur. Dolayısıyla b−c>0  ⟹  b>cb - c > 0 \implies b > c elde edilir.
Bu bilgiler ışığında sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
İfadelerin işaretleri ve birbirleriyle olan farklarının pozitiflik/negatiflik durumları sıralamayı belirler.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve mutlak değerce büyüklüklerinin analizi
Soru 1413Soru →
θ=arcsin⁡(−513)\theta = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right) olduğuna göre, 13⋅cos⁡θ13 \cdot \cos\theta ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Ters sinüsün tanımından sin⁡θ=−5/13\sin\theta = -5/13 elde edilir. Değer aralığı [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] olduğundan açı dördüncü bölgededir. Dördüncü bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡θ=12/13\cos\theta = 12/13 olur. Dolayısıyla 13⋅cos⁡θ=1213 \cdot \cos\theta = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyon tanımından açının sinüs değerini bulma
sin⁡θ=−513\sin\theta = -\frac{5}{13} ve θ∈[−π2,π2]\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arcsin⁡(x)=y  ⟺  sin⁡(y)=x\arcsin(x) = y \iff \sin(y) = x tanımı gereği.
2
Açının değer aralığına göre bölgesini ve kosinüsün işaretini belirleme
θ\theta açısı dördüncü bölgededir, dolayısıyla cos⁡θ>0\cos\theta > 0 olur.
Sinüs değeri negatif ve θ∈[−π/2,π/2]\theta \in [-\pi/2, \pi/2] olduğundan açı dördüncü bölgededir.
3
Kosinüs de��erini hesaplama
cos⁡θ=1213\cos\theta = \frac{12}{13}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 temel trigonometrik özdeşliğinden.
4
Nihai değeri hesaplama
13⋅cos⁡θ=1213 \cdot \cos\theta = 12
Bulunan kosinüs değerinin 13 ile çarpılması istenmiştir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla değer hesaplama.

Alternatif Yöntem

Dik kenarları 5 ve 12, hipotenüsü 13 olan bir dik üçgen yardımıyla da doğrudan oran bulunabilir, bölge analiziyle işaret teyit edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1414Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)sin⁡(2x)−sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3\frac{\sin(4x)}{\sin(2x) - \sin(2x)\cos(2x)} = 3
olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Verilen ifade sadeleştirildiğinde cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} denklemine ulaşılır. Bu değerden yarım açı formülü yardımıyla, belirtilen aralıkta tan⁡x\tan x değeri 0.50.5 olarak bulunur.
Verilen denklemde pay sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) şeklinde açılıp payda sin⁡(2x)\sin(2x) parantezine alındığında, sin⁡(2x)\sin(2x) terimleri sadeleşerek 2cos⁡(2x)1−cos⁡(2x)=3\frac{2\cos(2x)}{1-\cos(2x)} = 3 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunur. x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) aralığı için cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x} özdeşliği kullanılarak tan⁡x=0.5\tan x = 0.5 değeri tek olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Payda bulunan sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine yarım açı formülünü uygulamak
2sin⁡(2x)cos⁡(2x)2\sin(2x)\cos(2x)
Değişkenlerin derecesini düşürmek ve paydadaki terimlerle sadeleştirme yapabilmek için yarım açı formülü kullanılmıştır.
2
Paydayı ortak çarpan parantezine almak
sin⁡(2x)(1−cos⁡(2x))\sin(2x)(1 - \cos(2x))
Payda kısmındaki ortak sin⁡(2x)\sin(2x) terimlerini gruplayarak sadeleştirmeye hazır hale getirmek hedeflenmiştir.
3
İfadeyi sadeleştirmek ve içler dışlar çarpımı yapmak
cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
Pay ve paydadaki sin⁡(2x)\sin(2x) terimleri sadeleştirilerek elde edilen basit rasyonel denklem çözülmüştür.
4
Kosinüs yarım açı formülü yardımıyla tanjant değerine geçiş yapmak
tan⁡x=0.5\tan x = 0.5
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} formülü uygulanıp x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) bölge koşulu dikkate alınarak pozitif kök bulunmuştur.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri yardımıyla trigonometrik denklemleri sadeleştirme ve çözme.
Soru 1415Soru →

Aşağıdaki şekilde ABCDABCD kirişler dörtgeni ve bu dörtgenin bazı kenar uzunlukları verilmiştir.

Buna g��re, ACAC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

AC köşegeninin uzunluğu 7 birimdir.
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180∘180^\circ olduğundan cos⁡(ADC^)=−cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{ADC}) = -\cos(\widehat{ABC}) olur. Her iki üçgende de Kosinüs Teoremi uygulanıp ortak AC2AC^2 ifadesi eşitlendiğinde cos⁡(ABC^)=−1/2\cos(\widehat{ABC}) = -1/2 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında AC2=49AC^2 = 49 ve AC=7AC = 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamının 180∘180^\circ olduğu özelliğini kullanarak a��ılar arasında ilişki kurma.
m(ABC^)=θm(\widehat{ABC}) = \theta ise m(ADC^)=180∘−θm(\widehat{ADC}) = 180^\circ - \theta olur. Dolayısıyla cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡(θ)\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta) eşitliği elde edilir.
Kosinüs teoremini iki farklı üçgende ortak olan ACAC kenarı için uygulayabilmek.
2
ABCABC ve ADCADC üçgenlerinde ACAC kenarı için Kosinüs Teoremi formüllerini yazma.
ABCABC üçgeninde: AC2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(θ)=34−30cos⁡(θ)AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\theta) = 34 - 30\cos(\theta)
ADCADC üçgeninde: AC2=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡(180∘−θ)=89+80cos⁡(θ)AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(180^\circ - \theta) = 89 + 80\cos(\theta)
AC2AC^2 ifadesini iki farklı şekilde ifade ederek cos⁡(θ)\cos(\theta) değerini bulmak.
3
Elde edilen iki denklemi birbirine eşitleyerek cos⁡(θ)\cos(\theta) değerini hesaplama.
34−30cos⁡(θ)=89+80cos⁡(θ)  ⟹  110cos⁡(θ)=−55  ⟹  cos⁡(θ)=−1/234 - 30\cos(\theta) = 89 + 80\cos(\theta) \implies 110\cos(\theta) = -55 \implies \cos(\theta) = -1/2
AC2AC^2 değerini bulmak için gerekli olan trigonometrik oranı elde etmek.
4
Bulunan cos⁡(θ)=−1/2\cos(\theta) = -1/2 değerini denklemlerden birinde yerine yazarak ACAC uzunluğunu hesaplama.
AC2=34−30⋅(−1/2)=34+15=49  ⟹  AC=7AC^2 = 34 - 30 \cdot (-1/2) = 34 + 15 = 49 \implies AC = 7 birim.
İstenen köşegen uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler (180∘180^\circ a tamamlayan) olması ve Kosinüs Teoremi ile indirgeme formüllerinin uygulanması.
Soru 1416Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
sin⁡x−cos⁡x=0,6\sin x - \cos x = 0,6
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.64

Cevap

0,64
sin⁡x−cos⁡x=0,6\sin x - \cos x = 0,6 eşitliğinin her iki tarafının karesi alındığında sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=0,36\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36 elde edilir. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) özdeşlikleri kullanılarak denklem 1−sin⁡(2x)=0,361 - \sin(2x) = 0,36 şekline dönüştürülür. Buradan sin⁡(2x)=0,64\sin(2x) = 0,64 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alma
sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=0,36\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36
sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x çarpım terimini ortaya çıkarmak için karesini alma işlemi uygulanır.
2
Temel trigonometrik özdeşliği yerine koyma
1−2sin⁡xcos⁡x=0,361 - 2\sin x\cos x = 0,36
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliği kullanılır.
3
Yarım açı formülünü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplama
sin⁡(2x)=0,64\sin(2x) = 0,64
2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) yarım açı formülü yerine yazılır ve 1−sin⁡(2x)=0,361 - \sin(2x) = 0,36 denkleminden sin⁡(2x)=0,64\sin(2x) = 0,64 elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Formülü
Soru 1417Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=−34\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} = -\frac{3}{4}
olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −247-\frac{24}{7}

Cevap

−247-\frac{24}{7}
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirildiğinde tan⁡x=−34\tan x = -\frac{3}{4} elde edilir. Tanjant iki kat açı formülü olan tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} ifadesinde bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç −247-\frac{24}{7} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadedeki yarım açı formüllerini uygulayarak sadeleştirme yapınız.
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x ve 1+cos⁡(2x)=2cos⁡2x1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x özdeşliklerini kullanalım. Ayrıca sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğunu biliyoruz. Bu durumda pay: 2sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x) olur. Payda ise: 2cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)2\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x) olur.
İfadeyi daha sade ve çözülebilir bir biçime getirmek için yarım açı formülleriyle terimleri ortak çarpan parantezine almak gerekir.
2
Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirerek tan⁡x\tan x değerini bulunuz.
İfade 2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x olarak sadeleşir. Bize bu ifadenin −34-\frac{3}{4} olduğu verildiğinden tan⁡x=−34\tan x = -\frac{3}{4} elde edilir.
Pay ve paydadaki (sin⁡x+cos⁡x)(\sin x + \cos x) ve 22 terimleri sadeleştiğinde geriye kalan oran tanjant fonksiyonunun tanımını verir.
3
Tanjant fonksiyonunun yarım açı formülünü kullanarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini hesaplayınız.
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} formülünde tan⁡x=−34\tan x = -\frac{3}{4} değerini yerine yazalım: tan⁡(2x)=2⋅(−34)1−(−34)2=−321−916=−32716=−32⋅167=−247\tan(2x) = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{24}{7} bulunur.
tan⁡x\tan x değeri bilindiğinde, iki kat açı formülüyle doğrudan tan⁡(2x)\tan(2x) değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tanjant ve kosinüs fonksiyonlarının yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve iki kat açının trigonometrik değerlerinin hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1418Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5

fonksiyonunun [a,b][a, b] kapalı aralığındaki en küçük değeri −4-4, en büyük değeri ise 1212'dir.

Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en büyük değer ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

a + b toplamının alabileceği en büyük değer 10'dur.
Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan en küçük değer tepe noktası olan r=3r=3 apsisli noktada alınır ve bu değer f(3)=−4f(3)=-4'tür. Dolayısıyla a≤3≤ba \leq 3 \leq b olmalıdır. En büyük değer 1212 olduğuna göre uç noktalardan en az biri f(x)=12f(x)=12 denkleminin kökleri olan −1-1 veya 77 değerlerinden birine eşit olmalıdır. a+ba+b toplamını en büyük yapmak için b=7b=7 ve a=3a=3 seçilmelidir, bu durumda en büyük toplam 1010 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını bulmak ve en küçük değer koşuluyla aralık sınırlarını belirlemek.
a≤3≤ba \leq 3 \leq b
Parabolün kolları yukarı doğrudur ve en küçük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=3r = 3 ve bu noktadaki değeri f(3)=−4f(3) = -4 oldu��undan tepe noktası [a,b][a, b] aralığına dahil olmalıdır.
2
Fonksiyonun en büyük değeri olan 1212'ye ulaştığı xx değerlerini bulmak.
x=−1x = -1 veya x=7x = 7
Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük değeri uç noktalardan birinde gerçekleşir. f(x)=12f(x) = 12 denklemi çözülerek bu noktalar belirlenir.
3
a≤3≤ba \leq 3 \leq b ve max⁡(f(a),f(b))=12\max(f(a), f(b)) = 12 koşulları altında a+ba + b toplamını en büyük yapmak.
a=3a = 3 ve b=7b = 7 seçilerek en büyük toplam 1010 bulunur.
bb değerini en fazla 77 seçebiliriz (çünkü b>7b > 7 olursa en büyük değer 1212'yi aşar). Bu durumda aa değeri tepe noktasını aralıkta tutmak için en fazla 33 olabilir. Dolayısıyla en büyük toplam 3+7=103 + 7 = 10'dur.

Anahtar Kavram

Parabolün belirli bir kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri tepe noktasında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.

Alternatif Yöntem

Bu soru türev yardımıyla da çözülebilir. Fonksiyonun yerel minimum noktası f′(x)=2x−6=0f'(x) = 2x - 6 = 0 eşitliğinden x=3x = 3 olarak bulunur. Bu noktadaki minimum değer f(3)=−4f(3) = -4'tür. Aralık sınırları için fonksiyonun türevi işaret değiştirmediğinden, en büyük değer sınır noktalarında aranır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1419Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktası TT dir.
- ff fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği alınarak g(x)=−f(−x)g(x) = -f(-x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor ve bu grafiğin tepe noktası AA olarak adlandırılıyor.
- ff fonksiyonunun grafiğine sırasıyla yy-eksenine göre simetri alma, xx-ekseni boyunca pozitif yönde 22 birim öteleme ve yy-ekseni boyunca pozitif yönde 22 birim öteleme dönüşümleri uygulanarak h(x)=f(2−x)+2h(x) = f(2-x) + 2 fonksiyonunun grafiği elde ediliyor ve bu grafiğin tepe noktası BB olarak adlandırılıyor.

Buna göre, AA ve BB noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4 olan seçenektir.
Doğru cevap olan 4 seçeneği, f(x)f(x) parabolünün tepe noktası olan (2,3)(2,3) noktasının dönüşümler altındaki görüntülerinin sırasıyla A(−2,−3)A(-2, -3) ve B(0,5)B(0, 5) olarak doğru belirlenmesi ve bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğiminin formülüne uygun şekilde hesaplanmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 parabolünün tepe noktasını bulalım.
f(x)=(x−2)2+3f(x) = (x-2)^2 + 3 olduğundan tepe noktası Tf(2,3)T_f(2, 3) olur.
Symmetry dönüşümlerini uygulamak için referans noktamız olan tepe noktasının koordinatlarını bulmamız gerekir.
2
g(x)=−f(−x)g(x) = -f(-x) fonksiyonunun tepe noktası olan AA noktasını belirleyelim.
A(−2,−3)A(-2, -3) olur.
g(x)=−f(−x)g(x) = -f(-x) dönüş��mü, grafiğin orijine göre simetriğinin alınması anlamına gelir. Bu durumda (x,y)(x, y) koordinatları (−x,−y)(-x, -y) olur.
3
h(x)=f(2−x)+2h(x) = f(2-x) + 2 fonksiyonunun tepe noktası olan BB noktasını belirleyelim.
B(0,5)B(0, 5) olur.
h(x)=f(−(x−2))+2h(x) = f(-(x-2)) + 2 olduğundan, tepe noktası Tf(2,3)T_f(2,3) önce yy-eksenine göre simetri ile (−2,3)(-2, 3) noktasına gelir, ardından xx-ekseni boyunca pozitif yönde 22 birim ötelenerek (0,3)(0, 3) olur ve son olarak yy-ekseni boyunca pozitif yönde 22 birim ötelenerek B(0,5)B(0, 5) noktasına ulaşır.
4
A(−2,−3)A(-2, -3) ve B(0,5)B(0, 5) noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.
m=5−(−3)0−(−2)=82=4m = \frac{5 - (-3)}{0 - (-2)} = \frac{8}{2} = 4 olur.
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} şeklinde uygulanır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların eksenlere ve orijine göre simetrileri ile öteleme dönüşümlerinin tepe noktası koordinatları üzerindeki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1420Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x⋅cos⁡x=310\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10}
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

İfadenin değeri üç bölü beş olarak bulunur.
Sinüs yarım açı özdeşliği olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x formülünde, soruda verilen sin⁡x⋅cos⁡x=310\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10} değeri yerine yazıldığında 2⋅310=352 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{5} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs yarım açı formülünü yazınız.
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x
sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesini verilen sin⁡x⋅cos⁡x\sin x \cdot \cos x çarpımı cinsinden açmak için bu özdeşlik kullanılır.
2
Verilen sin⁡x⋅cos⁡x=310\sin x \cdot \cos x = \frac{3}{10} değerini formülde yerine koyunuz.
sin⁡(2x)=2⋅(310)\sin(2x) = 2 \cdot \left(\frac{3}{10}\right)
Bilinmeyen ifadeyi sayısal değere dönüştürmek için verilen eşitlik yerleştirilir.
3
Çarpma işlemini tamamlayıp kesri sadeleştiriniz.
sin⁡(2x)=610=35\sin(2x) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
En sade rasyonel sonuca ulaşmak için pay ve payda sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Özdeşliği
Tahmini Süre:45s
ÖncekiSayfa 71 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin