Examkin

Tüm alıştırma soruları

852 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 161Soru →
cos⁡4(π8)−sin⁡4(π8)sin⁡(π8)⋅cos⁡(π8)\frac{\cos^4\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^4\left(\frac{\pi}{8}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen trigonometrik ifadenin sadeleştirilmesi ve özel açı değerlerinin yerine konulması sonucunda elde edilen değer 2'dir.
Pay kısmında yer alan iki kare farkı açılımı yapıldığında cos⁡2(π/8)−sin⁡2(π/8)\cos^2(\pi/8) - \sin^2(\pi/8) çarpanı elde edilir ve bu ifade kosinüsün yarım açı formülünden cos⁡(π/4)\cos(\pi/4)'e eşittir. Paydadaki sin⁡(π/8)cos⁡(π/8)\sin(\pi/8)\cos(\pi/8) çarpımı ise sinüsün yarım açı formülünden 12sin⁡(π/4)\frac{1}{2}\sin(\pi/4)'e eşittir. İki değerin birbirine oranı ise cot⁡(π/4)=1\cot(\pi/4) = 1 değerinin iki katı olan 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ve kosinüs yarım açı formülü ile sadeleştirmek
cos⁡(π4)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
a4−b4=(a2−b2)(a2+b2)a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) özdeşliği ve cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ile cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x yarım açı formülü birlikte kullanılmıştır.
2
Payda kısmındaki ifadeyi sinüs yarım açı formülü ile düzenlemek
12sin⁡(π4)\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yarım açı formülünden yararlanılmıştır.
3
Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda oranını hesaplamak
22
cos⁡(π/4)12sin⁡(π/4)=2cot⁡(π/4)\frac{\cos(\pi/4)}{\frac{1}{2}\sin(\pi/4)} = 2\cot(\pi/4) elde edilir. cot⁡(π/4)=1\cot(\pi/4) = 1 olduğundan sonuç 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Kosinüs ve sinüs yarım açı formüllerini kullanarak trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 162Soru →

Bir ABCDABCD yamuğunda [AB]∥[DC][AB] \parallel [DC] dir. ∣AB∣=10 birim|AB| = 10\text{ birim}, ∣DC∣=4 birim|DC| = 4\text{ birim}, ∣AD∣=5 birim|AD| = 5\text{ birim} ve ∣BC∣=7 birim|BC| = 7\text{ birim} olduğuna göre, ACAC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Köşegen uzunluğu 7 birimdir.
Yamuğun üst köşesinden yan kenara çizilen paralel doğru sayesinde elde edilen üçgende Kosinüs Teoremi uygulanarak açının kosinüsü bir bölü beş bulunur. Yamuktaki ardışık açıların bütünler olmasından yola çıkılarak geniş açının kosinüsü eksi bir bölü beş olarak belirlenir. Son olarak üstteki üçgende tekrar Kosinüs Teoremi uygulanmasıyla köşegen uzunluğu net bir şekilde yedi birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
[CE]∥[AD][CE] \parallel [AD] olacak şekilde EE noktası [AB][AB] üzerinde belirlenir.
AECDAECD paralelkenarı ve CEBCEB üçgeni oluşur. Buradan ∣AE∣=4 birim|AE| = 4\text{ birim}, ∣CE∣=5 birim|CE| = 5\text{ birim} ve ∣EB∣=6 birim|EB| = 6\text{ birim} bulunur.
Yamuk sorularında paralel kenar çizmek, Kosinüs Teoremini uygulayabileceğimiz bir üçgen elde etmemizi sağlar.
2
CEBCEB üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanır.
72=52+62−2⋅5⋅6⋅cos⁡(CEB^)7^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(\widehat{CEB}) denkleminden cos⁡(CEB^)=15\cos(\widehat{CEB}) = \frac{1}{5} bulunur.
Üç kenarı bilinen bir üçgende açının kosinüs değerini belirlemek için Kosinüs Teoremi en uygun yöntemdir.
3
ADCADC açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(ADC^)=cos⁡(180∘−CEB^)=−cos⁡(CEB^)=−15\cos(\widehat{ADC}) = \cos(180^\circ - \widehat{CEB}) = -\cos(\widehat{CEB}) = -\frac{1}{5} elde edilir.
Yamuğun paralel kenarları arasındaki ardışık açılar bütünler olduğundan açılardan birinin kosinüsü diğerinin kosinüsünün zıt işaretlisine eşittir.
4
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanır.
∣AC∣2=52+42−2⋅5⋅4⋅(−15)=25+16+8=49|AC|^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = 25 + 16 + 8 = 49, buradan ∣AC∣=7 birim|AC| = 7\text{ birim} bulunur.
İki kenarı ve aralarındaki açının kosinüsü bilinen ADCADC üçgeninde bilinmeyen üçüncü kenarı bulmak hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Yamuk içinde paralel doğru yardımıyla üçgen oluşturma ve bütünler açıların kosinüs ilişkisini Kosinüs Teoremi ile birleştirme.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 163Soru →
x2+y2−4x−6y=3x2−4x−y=−3\begin{aligned} x^2 + y^2 - 4x - 6y &= 3 \\ x^2 - 4x - y &= -3 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımlarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Denklem sistemini sağlayan tüm gerçek sayı ikililerinin bileşenleri çarpımının toplamı 22'dir.
Denklem sistemi çözüldüğünde elde edilen üç gerçek sayı ikilisinin bileşenleri çarpımları sırasıyla 6x16x_1, 6x26x_2 ve −2-2'dir. Burada x1x_1 ve x2x_2 değerleri x2−4x−3=0x^2 - 4x - 3 = 0 denkleminin kökleri olup toplamları Vieta formülüne göre 44'tür. Dolayısıyla çarpımların toplamı 6(x1+x2)−2=6(4)−2=226(x_1 + x_2) - 2 = 6(4) - 2 = 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemden x2−4xx^2 - 4x ifadesini yy cinsinden çekin.
x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3
Birinci denklemde ortak olan x2−4xx^2 - 4x teriminin yerine yazarak değişken sayısını teke düşürmek için.
2
x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3 ifadesini birinci denklemde yerine yazın ve denklemi düzenleyin.
y2−5y−6=0y^2 - 5y - 6 = 0
yy değişkenine bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde etmek için.
3
y2−5y−6=0y^2 - 5y - 6 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak yy değerlerini bulun.
y1=6y_1 = 6 ve y2=−1y_2 = -1
Denklem sistemini sağlayan yy koordinatlarını belirlemek için.
4
Bulunan yy değerlerini x2−4x=y−3x^2 - 4x = y - 3 eşitliğinde yerine yazarak her bir duruma karşılık gelen xx değerlerini veya bu değerlerin ilişkisini bulun.
y=6  ⟹  x2−4x−3=0y = 6 \implies x^2 - 4x - 3 = 0 (kökler x1x_1 ve x2x_2 olup x1+x2=4x_1+x_2 = 4); y=−1  ⟹  x2−4x+4=0  ⟹  x3=2y = -1 \implies x^2 - 4x + 4 = 0 \implies x_3 = 2
Çözüm kümesindeki gerçek sayı ikililerinin xx bileşenlerini belirlemek veya kökler toplamı ilişkisini kullanmak için.
5
Elde edilen (x,y)(x, y) ikililerinin çarpımlarının toplamını hesaplayın.
x1⋅6+x2⋅6+2⋅(−1)=6(x1+x2)−2=6(4)−2=22x_1 \cdot 6 + x_2 \cdot 6 + 2 \cdot (-1) = 6(x_1 + x_2) - 2 = 6(4) - 2 = 22
Soruda istenen çarpımların toplamı değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme ve yerine koyma metotları ile Vieta formüllerinin (kökler toplamı) birlikte uygulanması.
Soru 164Soru →
f(x)=log⁡3(6x−x2−5)f(x) = \log_{3}(6x - x^2 - 5)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 9'dur.
Logaritma tanımı gereğince 6x−x2−5>06x - x^2 - 5 > 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (1,5)(1, 5) açık aralığıdır. Taban olan 3 değeri sabit ve tanım şartına uygun olduğundan tanım kümesi (1,5)(1, 5) aralığı olur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı da 2+3+4=92+3+4=9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritması alınan ifadenin pozitif olma koşulunun çözülmesi
x∈(1,5)x \in (1, 5)
Logaritma tanımına göre log⁡a(b)\log_a(b) ifadesinde b>0b > 0 olmalıdır.
2
Taban kontrolü
Taban 3'tür, pozitif ve 1'den farklıdır.
Taban a>0a > 0 ve a≠1a \neq 1 şartlarını sağlamalıdır.
3
Tanım kümesindeki tam sayıların belirlenmesi ve toplanması
2, 3, 4 tam sayılarının toplamı 9'dur.
(1,5)(1, 5) aralığında bulunan tam sayıların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken, logaritması alınan ifadenin pozitif olma koşulu ile tabanın pozitif ve 1'den farklı olma koşulu birlikte değerlendirilir.
Soru 165Soru →

Analitik düzlemde, tepe noktası TT olan y=−x2+4xy = -x^2 + 4x parabolü ile y=x+cy = x + c doğrusu iki farklı AA ve BB noktasında kesişmektedir.

TABTAB üçgeninin alanı 1515 birimkare olduğuna göre, cc gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Doğru cevap −4-4 olarak bulunur.
Parabolün tepe noktası T(2,4)T(2, 4) olarak belirlenir. Parabol ile doğrunun kesişim noktaları A(x1,x1+c)A(x_1, x_1+c) ve B(x2,x2+c)B(x_2, x_2+c) dir. Bu üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı 12∣2−c∣9−4c\frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c} formülüyle elde edilir. Alan 1515 birimkareye eşitlendiğinde ve Δ>0\Delta > 0 şartı gözetildiğinde tek reel çözüm c=−4c = -4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.
T(2,4)T(2, 4)
y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c parabolünün tepe noktasının apsisi r=−b/(2a)r = -b/(2a) ve ordinatı k=f(r)k = f(r) formülü ile hesaplanır.
2
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının apsislerini veren ortak denklemi oluşturmak.
x2−3x+c=0x^2 - 3x + c = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olur.
Kesişim noktalar��nı bulmak için parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenir.
3
TABTAB üçgeninin alan formülünü cc parametresi cinsinden ifade etmek.
Alan(TAB)=12∣2−c∣9−4c\text{Alan}(TAB) = \frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c}
[AB][AB] taban uzunluğu ∣x2−x1∣2=2(9−4c)|x_2 - x_1|\sqrt{2} = \sqrt{2(9-4c)} ile T(2,4)T(2,4) noktasının x−y+c=0x-y+c=0 doğrusuna olan dik uzaklığı (yükseklik h=∣c−2∣/2h = |c-2|/\sqrt{2}) çarpılıp ikiye bölündüğünde bu alan ifadesine ulaşılır.
4
Alan ifadesini 1515 değerine eşitleyerek cc parametresini çözmek.
c=−4c = -4
12∣2−c∣9−4c=15⇒(2−c)2(9−4c)=900\frac{1}{2}|2-c|\sqrt{9-4c} = 15 \Rightarrow (2-c)^2(9-4c) = 900 denklemini sağlayan ve parabol ile do��runun iki farklı noktada kesişmesi için gerekli olan Δ=9−4c>0\Delta = 9-4c > 0 (c<2.25c < 2.25) şartına uyan tek reel sayı c=−4c = -4 değeridir.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktalarının bulunması ve bu noktaların analitik düzlemde geometrik uygulamaları.

Alternatif Yöntem

Kesişim noktaları AA ve BB arasındaki uzaklık [AB][AB] taban uzunluğu olarak alınabilir. T(2,4)T(2,4) noktasının x−y+c=0x-y+c=0 doğrusuna olan dik uzaklığı ise yükseklik (hh) olarak hesaplanır. Taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı 1515 birimkareye eşitlenerek cc değeri bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 166Soru →

arctan⁡(x−2)=π4\arctan(x - 2) = \frac{\pi}{4} olduğuna göre, xx değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemi sağlayan xx değeri 3'tür.
Ters tanjant fonksiyonunun tanımı gereği arctan⁡(x−2)=π4\arctan(x - 2) = \frac{\pi}{4} ifadesi x−2=tan⁡(π4)x - 2 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) eşitliğine denktir. tan⁡(π4)=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 olduğu bilindiğinden, x−2=1x - 2 = 1 denkleminden x=3x = 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ters tanjant fonksiyonunun tanımını uygulayarak denklemi tanjant fonksiyonu cinsinden ifade edin.
x−2=tan⁡(π4)x - 2 = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)
arctan⁡(u)=v  ⟺  tan⁡(v)=u\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u temel tanımı gereğidir.
2
Bilinen özel açının tanjant değerini denklemde yerine yazın.
x−2=1x - 2 = 1
π4\frac{\pi}{4} radyanlık (45∘45^\circ) açının tanjant değeri 1'e eşittir.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek bilinmeyeni yalnız bırakın.
x=3x = 3
x−2=1x - 2 = 1 denkleminde −2-2 eşitliğin karşı tarafına +2+2 olarak geçirilerek xx değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı
Soru 167Soru →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası yy-ekseni üzerinde olan ve denklemi y=12−x2y = 12 - x^2 olan parabol verilmiştir. Bu parabol ile xx-ekseni arasında kalan bölgeye; tabanı xx-ekseni üzerinde, diğer iki köşesi ise parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen çiziliyor. Buna göre, çizilebilecek bu dikdörtgenin çevresi en fazla kaç birim olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Çizilebilecek dikdörtgenin çevresi en fazla 26 birimdir.
Parabolün simetri ekseni yy-ekseni olduğundan, içerisine çizilen dikdörtgen de yy-eksenine göre simetriktir. Taban köşeleri (−x,0)(-x, 0) ve (x,0)(x, 0) alındığında taban uzunluğu 2x2x, yüksekliği ise parabol üzerindeki noktaların ordinatı olan 12−x212 - x^2 olur. Bu durumda çevre fonksiyonu C(x)=−2x2+4x+24C(x) = -2x^2 + 4x + 24 biçiminde kurulur. Kolları aşağı doğru olan bu parabolün en büyük değeri tepe noktasının ordinatıdır. Apsis r=1r = 1 iken ordinat C(1)=26C(1) = 26 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını bir değişken cinsinden ifade etmek.
Dikdörtgenin xx-ekseni üzerindeki köşeleri (−x,0)(-x, 0) ve (x,0)(x, 0) olsun (x>0x > 0). Bu durumda dikdörtgenin taban uzunluğu 2x2x birim olur. Diğer iki köşesi parabol üzerinde yer aldığından, bu köşelerin koordinatları (−x,12−x2)(-x, 12 - x^2) ve (x,12−x2)(x, 12 - x^2) olur. Dolayısıyla dikdörtgenin yüksekliği 12−x212 - x^2 birimdir.
Çevre fonksiyonunu oluşturabilmek için kenar uzunluklarını tek bir bilinmeyen cinsinden yazmamız gerekir.
2
Dikdörtgenin çevresini veren fonksiyonu oluşturmak.
Çevre fonksiyonu C(x)=2⋅(Taban+Yu¨kseklik)=2⋅(2x+12−x2)=−2x2+4x+24C(x) = 2 \cdot (\text{Taban} + \text{Yükseklik}) = 2 \cdot (2x + 12 - x^2) = -2x^2 + 4x + 24 olarak elde edilir.
En büyük çevre de��erini bulmak için çevre uzunluğunu temsil eden ikinci dereceden fonksiyonu tanımlamamız gerekir.
3
İkinci dereceden çevre fonksiyonunun maksimum değerini hesaplamak.
Baş katsayısı negatif olan C(x)=−2x2+4x+24C(x) = -2x^2 + 4x + 24 parabolü en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−42(−2)=1r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1 olur. Bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak en büyük çevre değeri C(1)=−2(1)2+4(1)+24=26C(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 24 = 26 birim olarak hesaplanır.
Bir parabolün alabileceği en büyük değer, tepe noktasının ordinatıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik optimizasyon problemlerinde istenen büyüklük (çevre, alan vb.) tek bir değişken cinsinden modellenerek ikinci dereceden bir fonksiyon elde edilir. Bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri tepe noktasının ordinatı yardımıyla bulunur.
Soru 168Soru →
0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} olmak üzere,
cos⁡(2x)=1725\cos(2x) = \frac{17}{25}
olduğuna göre, sin⁡x\sin x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.4

Cevap

0,4
Kosinüsün yarım açı açılımı olan cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x eşitliğinde cos⁡(2x)=17/25\cos(2x) = 17/25 yazıldığında sin⁡2x=4/25\sin^2 x = 4/25 bulunur. Birinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif olduğundan sin⁡x=2/5=0,4\sin x = 2/5 = 0,4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs yarım açı formülünü yazmak
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
Bilinen cos⁡(2x)\cos(2x) değeri üzerinden aranan sin⁡x\sin x değerini bulabilmek için uygun olan yarım açı formülü seçilir.
2
Denklemde verilen değeri yerine yerleştirmek ve çözmek
1725=1−2sin⁡2x  ⟹  2sin⁡2x=1−1725=825  ⟹  sin⁡2x=425\frac{17}{25} = 1 - 2\sin^2 x \implies 2\sin^2 x = 1 - \frac{17}{25} = \frac{8}{25} \implies \sin^2 x = \frac{4}{25}
sin⁡x\sin x değerini elde etmek amacıyla sin⁡2x\sin^2 x ifadesi yalnız bırakılır.
3
Açının bulunduğu bölgeye göre doğru işareti belirlemek
0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} aralığında sin⁡x\sin x pozitif olduğundan sin⁡x=25=0,4\sin x = \frac{2}{5} = 0,4 bulunur.
Birinci bölgede sinüs fonksiyonunun değeri pozitiftir.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 169Soru →

İki veya daha fazla fonksiyonun çarpımı veya bölümü şeklinde verilen eşitsizlikler çözülürken her bir çarpanın kökleri bulunur ve işaret tablosu oluşturulur.

Buna göre,
(9−x2)⋅(x−2)3(x2−2x−3)⋅∣x−4∣≥0 \frac{(9 - x^2) \cdot (x - 2)^3}{(x^2 - 2x - 3) \cdot |x - 4|} \ge 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının [−5,5][-5, 5] kapalı aralığındaki toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Verilen eşitsizliği [−5,5][-5, 5] kapalı aralığında sağlayan tam sayıların toplamı -9'dur.
Verilen eşitsizlik rasyonel bir ifadedir. Pay ve payda çarpanlara ayrılarak kökler bulunur. Paydadaki ∣x−4∣|x-4| ifadesi x=4x = 4 noktasında çift katlı kök oluştururken paydayı sıfır yaptığı için tanımsızlığa sebep olur. x=3x = 3 değeri ise hem pay hem de paydada yer alıp sadeleşse de paydayı sıfır yaptığı için tanım kümesinden hariç tutulmalıdır. İşaret tablosu çıkarıldığında ifadenin pozitif veya sıfır olduğu aralıklar (−∞,−3]∪(−1,2](-\infty, -3] \cup (-1, 2] olarak bulunur. Bu aralıktaki [−5,5][-5, 5] kapsamındaki tam sayılar −5,−4,−3,0,1,2-5, -4, -3, 0, 1, 2 olup toplamları −9-9 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki çarpanların köklerini belirleme.
Payın kökleri: x=−3,3,2x = -3, 3, 2; Paydanın kökleri: x=−1,3x = -1, 3 ve çift katlı kök x=4x = 4.
İşaret incelemesi için kritik noktaların ve tan��msızlık yapan değerlerin bulunması gerekir.
2
Payda sıfırlayan kökleri tanım kümesinden hariç tutma.
x≠−1x \neq -1, x≠3x \neq 3 ve x≠4x \neq 4 şartları elde edilir.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler tanımsızlığa yol açar.
3
Ortak çarpanları sadeleştirme ve işaret tablosu yönünü belirleme.
(x+3)(x−2)3(x+1)∣x−4∣≤0\frac{(x+3)(x-2)^3}{(x+1)|x-4|} \le 0 eşitsizliğine ulaşılır.
9−x29-x^2 ifadesi −(x−3)(x+3)-(x-3)(x+3) şeklinde yazılarak paydadaki (x−3)(x-3) ile sadeleştirilir ve negatif katsayı eşitsizliğin yönünü değiştirir.
4
İşaret tablosu yardımıyla eşitsizliğin sağlandığı aralığı bulma.
x∈(−∞,−3]∪(−1,2]x \in (-\infty, -3] \cup (-1, 2] aralığı elde edilir.
Sadeleşen ifadenin kökleri üzerinden yapılan işaret incelemesinde negatif bölgeler belirlenir.
5
Elde edilen çözüm kümesindeki tam sayıları [−5,5][-5, 5] aralığına göre sınırlayarak toplama.
(−5)+(−4)+(−3)+0+1+2=−9(-5) + (-4) + (-3) + 0 + 1 + 2 = -9
Koşulları sağlayan tam sayılar belirlenerek toplam işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin İşaret Tablosu ile Çözümü
Soru 170Soru →
f(x)=arcsin⁡(2x1+x2)+arccos⁡(1−x21+x2)f(x) = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

3π[f(2−3)+f(3)]\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right]

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İfadenin sayısal değeri 4'tür.
Tanım ve değer aralıklarına dikkat edilerek yapılan hesaplamalarda, f(2−3)=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} ve f(3)=πf(\sqrt{3}) = \pi olarak bulunur. Bu değerlerin toplamının 3π\frac{3}{\pi} katı alındığında sonuç 4 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
x=2−3x = 2-\sqrt{3} değerini 2x1+x2\frac{2x}{1+x^2} ve 1−x21+x2\frac{1-x^2}{1+x^2} ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.
x2=(2−3)2=7−43x^2 = (2-\sqrt{3})^2 = 7-4\sqrt{3}

2x1+x2=2(2−3)1+7−43=4−238−43=12\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{1+7-4\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}

1−x21+x2=1−(7−43)8−43=−6+438−43=23(2−3)4(2−3)=32\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-(7-4\sqrt{3})}{8-4\sqrt{3}} = \frac{-6+4\sqrt{3}}{8-4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Ters trigonometrik fonksiyonların içindeki cebirsel argümanları hesaplamak için.
2
f(2−3)f(2-\sqrt{3}) değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirelim.
f(2−3)=arcsin⁡(12)+arccos⁡(32)f(2-\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

arcsin⁡(12)=π6vearccos⁡(32)=π6\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{ve} \quad \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}

f(2−3)=π6+π6=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}
arcsin⁡\arcsin ve arccos⁡\arccos fonksiyonlarının [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] ve [0,π][0, \pi] değer aralıklarındaki karşılıklarını bulmak için.
3
x=3x = \sqrt{3} değerini 2x1+x2\frac{2x}{1+x^2} ve 1−x21+x2\frac{1-x^2}{1+x^2} ifadelerinde yerine yazıp sadeleştirelim.
2x1+x2=231+3=32\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2\sqrt{3}}{1+3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

1−x21+x2=1−31+3=−12\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-3}{1+3} = -\frac{1}{2}
x=3x = \sqrt{3} noktası için fonksiyonun argümanlarını belirlemek için.
4
f(3)f(\sqrt{3}) değerini bulmak için hesaplanan argümanları fonksiyonda yerleştirip ters trigonometrik fonksiyonların temel değer aralıklarına göre hesaplayalım.
f(3)=arcsin⁡(32)+arccos⁡(−12)f(\sqrt{3}) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)

arcsin⁡(32)=π3\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}

arccos⁡(−12)=π−π3=2π3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

f(3)=π3+2π3=πf(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi
arccos⁡(y)\arccos(y) fonksiyonunun değer kümesi [0,π][0, \pi] olduğundan, kosinüsü −1/2-1/2 olan açı 2π3\frac{2\pi}{3} olmalıdır.
5
Elde edilen f(2−3)=π3f(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} ve f(3)=πf(\sqrt{3}) = \pi değerlerini ana ifadede yerine koyalım.
3π[f(2−3)+f(3)]=3π(π3+π)=3π⋅4π3=4\frac{3}{\pi} \left[ f(2-\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \right] = \frac{3}{\pi} \left( \frac{\pi}{3} + \pi \right) = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{3} = 4
İstenen cebirsel ifadenin nihai sayısal sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıkları (özellikle arccos⁡\arccos ve arcsin⁡\arcsin sınırları)
Soru 171Soru →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
2+2+2cos⁡(8x)cos⁡(2x)=3tan⁡(2x)\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos(8x)}}}{\cos(2x)} = 3\tan(2x)
olduğuna göre, 13sin⁡(4x)13\sin(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İfadenin değeri 12 olarak bulunur.
Verilen aralıkta kosinüs değerleri pozitif olduğundan, kareköklü ifadeler mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar. Sadeleştirmeler sonucunda tan⁡(2x)=2/3\tan(2x) = 2/3 bulunur. Sinüsün yarım açı formülü kullanılarak sin⁡(4x)=12/13\sin(4x) = 12/13 elde edilir ve buradan 13sin⁡(4x)=1213\sin(4x) = 12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
En içteki kareköklü ifadeyi yarım açı formülü kullanarak basitleştirme
2+2cos⁡(8x)=2cos⁡(4x)\sqrt{2 + 2\cos(8x)} = 2\cos(4x)
1+cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta özdeşliği ve x∈(0,π/8)x \in (0, \pi/8) için 4x∈(0,π/2)4x \in (0, \pi/2) olduğundan cos⁡(4x)>0\cos(4x) > 0 olması.
2
Dıştaki kareköklü ifadeyi basitleştirme
2+2cos⁡(4x)=2cos⁡(2x)\sqrt{2 + 2\cos(4x)} = 2\cos(2x)
1+cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)1 + \cos(4x) = 2\cos^2(2x) özdeşliği ve 2x∈(0,π/4)2x \in (0, \pi/4) aralığında cos⁡(2x)>0\cos(2x) > 0 olması.
3
Elde edilen ifadeyi denklemde yerine yazarak tan⁡(2x)\tan(2x) değerini bulma
tan⁡(2x)=23\tan(2x) = \frac{2}{3}
cos⁡(2x)≠0\cos(2x) \neq 0 olduğundan pay ve paydadaki cos⁡(2x)\cos(2x) terimlerinin sadeleşmesi.
4
sin⁡(4x)\sin(4x) değerini yarım açı formülüyle tan⁡(2x)\tan(2x) cinsinden hesaplama
sin⁡(4x)=1213\sin(4x) = \frac{12}{13}
sin⁡(2θ)=2tan⁡θ1+tan⁡2θ\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} formülünde θ=2x\theta = 2x yazılması.
5
13sin⁡(4x)13\sin(4x) değerini hesaplama
12
13⋅1213=1213 \cdot \frac{12}{13} = 12 işleminin yapılması.

Anahtar Kavram

Kosinüs yarım açı formülleri ile kareköklü ifadelerin sadeleştirilmesi ve sinüs yarım açı formüllerinin uygulanması.
Soru 172Soru →
(x+3)2(x2−5x+6)x2−4≤0\frac{(x + 3)^2 (x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 4} \leq 0
x2−x−6(x−1)2≤0\frac{x^2 - x - 6}{(x - 1)^2} \leq 0
yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 2'dir.
Eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizlik ayrı ayrı çözülüp kesiştirildiğinde, paydayı sıfır yapan ve sadeleşen köklerin (x=2x = 2, x=−2x = -2, x=1x = 1) elenmesi ve çift katlı köklerin (x=−3x = -3) her iki eşitsizliği de sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir. Bu işlemler yapıldığında ortak sağlayan tam sayıların yalnızca −1,0,3-1, 0, 3 olduğu görülür ve bu sayıların toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma
S1=(−2,2)∪(2,3]∪{−3}S_1 = (-2, 2) \cup (2, 3] \cup \{-3\}
(x+3)2(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)≤0\frac{(x+3)^2(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} \leq 0 ifadesinde x−2x-2 terimleri sadeleştiğinde x≠2x \neq 2 koşulu eklenir. Paydanın kökü x=−2x = -2 ve payın kökleri x=−3x = -3 (çift katlı) ile x=3x = 3 (tek katlı) kullanılarak işaret tablosu oluşturulur.
2
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini bulma
S2=[−2,3]∖{1}S_2 = [-2, 3] \setminus \{1\}
(x−3)(x+2)(x−1)2≤0\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)^2} \leq 0 eşitsizliğinde payın kökleri x=3x = 3 ve x=−2x = -2 (tek katlı), paydanın kökü ise x=1x = 1 (çift katlı) olup paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesinden atılır.
3
Çözüm kümelerini kesiştirerek ortak kökleri bulma
x∈{−1,0,3}x \in \{-1, 0, 3\}
Her iki eşitsizliği de sağlayan ortak tam sayılar belirlenir. x=−3x = -3 ikinci eşitsizliği, x=−2x = -2 ve x=2x = 2 birinci eşitsizliği tanımsız yaptığı için ortak çözüm kümesine dahil edilmez. x=1x = 1 ise ikinci eşitsizlikte paydayı sıfır yaptığı için dahil edilmez.
4
Ortak tam sayı değerlerinin toplamını hesaplama
2
Bulunan x=−1x = -1, x=0x = 0 ve x=3x = 3 tam say��larının toplamı (−1)+0+3=2(-1) + 0 + 3 = 2 olarak elde edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizlik sistemlerinde sadeleştirme hatası yapmamak, payda köklerini ve çift katlı kökleri doğru değerlendirmek.
Soru 173Soru →

Dik koordinat düzleminde, merkezil birim çember üzerindeki bir P(a,b)P(a, b) noktası koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. PP noktasının yy-eksenine olan uzaklığı, xx-eksenine olan uzaklığının 33 katı olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -0.3

Cevap

İkinci bölgedeki noktanın eksenlere olan uzaklıkları oranından elde edilen koordinat ilişkisi ve birim çember denklemi kullanılarak koordinatların çarpımı -0.3 olarak bulunur.
P(a, b) noktası ikinci bölgede olduğundan a < 0 ve b > 0'dır. Y-eksenine olan uzaklık |a| = -a ve x-eksenine olan uzaklık |b| = b olup aralarındaki ilişki -a = 3b şeklindedir. Birim çember denklemi olan a^2 + b^2 = 1 eşitliğinde a yerine -3b yazıldığında 10b^2 = 1 ve b^2 = 0.1 bulunur. Buradan a.b = -3b^2 = -0.3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Noktanın işaretlerini belirleme
a<0a < 0 ve b>0b > 0
P(a,b)P(a, b) noktası ikinci bölgede yer aldığı için apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.
2
Eksenlere olan uzaklık ilişkisini kurma
a=−3ba = -3b
Y-eksenine uzaklık ∣a∣|a|, x-eksenine uzaklık ∣b∣|b| olup ∣a∣=3∣b∣|a| = 3|b| eşitliğinden −a=3b-a = 3b elde edilir.
3
Birim çember denklemini kullanarak değişkenlerin değerini bulma
b2=0.1b^2 = 0.1
Nokta birim çember üzerinde olduğundan a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 eşitliği sağlanmalıdır.
4
Koordinatlar çarpımını hesaplama
a⋅b=−0.3a \cdot b = -0.3
a⋅b=−3b2a \cdot b = -3b^2 ifadesinde b2=0.1b^2 = 0.1 yazılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ve eksenlere olan uzaklıkları
Soru 174Soru →
f(x)=(12a2−4a+7)xf(x) = \left(\frac{12}{a^2 - 4a + 7}\right)^x fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı artan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, aa parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Doğru cevap 10'dur. Artan bir üstel fonksiyon elde etmek için taban ifadesi 1'den büyük olmalıdır. Buradan elde edilen −1<a<5-1 < a < 5 aralığındaki tam sayıların toplamı 10 yapar.
Verilen fonksiyonun artan bir üstel fonksiyon olması için tabanının 1'den büyük olması şarttır. Eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen −1<a<5-1 < a < 5 aralığındaki tam sayı değerlerinin toplamı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun artan olma koşulunu yazmak.
b=12a2−4a+7>1b = \frac{12}{a^2 - 4a + 7} > 1 koşulu sağlanmalıdır.
f(x)=bxf(x) = b^x biçimindeki bir üstel fonksiyonun artan olması için tabanının 1'den büyük olması gerekmektedir.
2
Eşitsizliği çözmek.
−1<a<5-1 < a < 5
a2−4a+7=(a−2)2+3a^2 - 4a + 7 = (a-2)^2 + 3 ifadesi her aa gerçel sayısı için daima pozitiftir. Bu nedenle eşitsizliğin her iki tarafı payda ile çarpılabilir: 12>a2−4a+7⇒a2−4a−5<0⇒(a−5)(a+1)<012 > a^2 - 4a + 7 \Rightarrow a^2 - 4a - 5 < 0 \Rightarrow (a-5)(a+1) < 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−1,5)(-1, 5) aralığıdır.
3
Aralıktaki tam sayı değerlerini belirlemek ve toplamak.
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
−1<a<5-1 < a < 5 açık aralığındaki aa tam sayıları 0,1,2,30, 1, 2, 3 ve 44 değerleridir. Bu değerlerin toplamı 10'dur.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır; artanlık için ise taban 1'den büyük olmalıdır.
Soru 175Soru →

Tanım kümeleri gerçel sayılar kümesi olan ff ve gg fonksiyonlarından; ff fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre simetrik, gg fonksiyonunun grafiği ise yy-eksenine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için
f(x)+(x−1)⋅g(x)=3x3−x2+5x−2f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
koşulu sağlandığına göre, f(2)−g(3)f(2) - g(3) farkı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İstenen farkın değeri 11'dir.
Fonksiyonların tek ve çift fonksiyon tanımları gereği f(-x) = -f(x) ve g(-x) = g(x) eşitlikleri kullanılır. Eşitlikte x yerine -x yazılıp taraf tarafa toplandığında g(x) = x^2 + 2 ve f(x) = 2x^3 + 3x elde edilir. Buradan f(2) = 22 ve g(3) = 11 bulunarak farkları 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Grafik simetrilerinden fonksiyonların cebirsel kurallarını belirleme.
ff fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur ve her xx gerçel sayısı için f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) eşitliğini sağlar. gg fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur ve her xx gerçel sayısı için g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) eşitliğini sağlar.
Fonksiyonların tek veya çift olma durumları grafiklerinin koordinat sistemindeki simetrileriyle tanımlanır.
2
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazarak yeni bir denklem sistemi kurma.
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazıldığında:
f(−x)+(−x−1)⋅g(−x)=3(−x)3−(−x)2+5(−x)−2f(-x) + (-x - 1) \cdot g(-x) = 3(-x)^3 - (-x)^2 + 5(-x) - 2
Simetri özellikleri (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) ve g(−x)=g(x)g(-x) = g(x)) uygulandığında denklem:
−f(x)−(x+1)⋅g(x)=−3x3−x2−5x−2-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2
halini alır.
Aynı bilinmeyen fonksiyonları içeren ikinci bir bağımsız eşitlik elde edilerek denklem sistemi oluşturulur.
3
İki denklemi taraf tarafa toplayarak g(x)g(x) fonksiyonunu yalnız bırakma.
Eldeki iki denklem taraf tarafa toplanır:
1) f(x)+(x−1)⋅g(x)=3x3−x2+5x−2f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
2) −f(x)−(x+1)⋅g(x)=−3x3−x2−5x−2-f(x) - (x + 1) \cdot g(x) = -3x^3 - x^2 - 5x - 2

Toplama işlemi sonucunda:
[f(x)−f(x)]+[(x−1)⋅g(x)−(x+1)⋅g(x)]=(3x3−3x3)+(−x2−x2)+(5x−5x)+(−2−2)[f(x) - f(x)] + [(x - 1) \cdot g(x) - (x + 1) \cdot g(x)] = (3x^3 - 3x^3) + (-x^2 - x^2) + (5x - 5x) + (-2 - 2)
−2⋅g(x)=−2x2−4  ⟹  g(x)=x2+2-2 \cdot g(x) = -2x^2 - 4 \implies g(x) = x^2 + 2
bulunur.
f(x)f(x) terimi elenerek doğrudan g(x)g(x) kuralına ulaşılır.
4
g(x)g(x) ifadesini ilk denklemde yerine koyup f(x)f(x) fonksiyonunu çözme.
f(x)+(x−1)(x2+2)=3x3−x2+5x−2f(x) + (x - 1)(x^2 + 2) = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
f(x)+x3−x2+2x−2=3x3−x2+5x−2f(x) + x^3 - x^2 + 2x - 2 = 3x^3 - x^2 + 5x - 2
f(x)=2x3+3xf(x) = 2x^3 + 3x
bulunur.
Bilinmeyenlerden biri bulunduktan sonra diğeri yerine yazma yöntemiyle çözülür.
5
f(2)f(2) ve g(3)g(3) değerlerini hesaplayıp farklarını alma.
f(2)=2(23)+3(2)=16+6=22f(2) = 2(2^3) + 3(2) = 16 + 6 = 22
g(3)=32+2=9+2=11g(3) = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11
f(2)−g(3)=22−11=11f(2) - g(3) = 22 - 11 = 11
bulunur.
Bulunan genel fonksiyon kuralları üzerinde istenen noktalardaki değerler hesaplanıp işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Simetri özellikleri yardımıyla fonksiyon denklemlerini çözme ve değer hesaplama.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 176Soru →
θ=arcsin⁡(−513)\theta = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right) olduğuna göre, 13⋅cos⁡θ13 \cdot \cos\theta ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12'dir.
Ters sinüsün tanımından sin⁡θ=−5/13\sin\theta = -5/13 elde edilir. Değer aralığı [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] olduğundan açı dördüncü bölgededir. Dördüncü bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡θ=12/13\cos\theta = 12/13 olur. Dolayısıyla 13⋅cos⁡θ=1213 \cdot \cos\theta = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ters trigonometrik fonksiyon tanımından açının sinüs değerini bulma
sin⁡θ=−513\sin\theta = -\frac{5}{13} ve θ∈[−π2,π2]\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arcsin⁡(x)=y  ⟺  sin⁡(y)=x\arcsin(x) = y \iff \sin(y) = x tanımı gereği.
2
Açının değer aralığına göre bölgesini ve kosinüsün işaretini belirleme
θ\theta açısı dördüncü bölgededir, dolayısıyla cos⁡θ>0\cos\theta > 0 olur.
Sinüs değeri negatif ve θ∈[−π/2,π/2]\theta \in [-\pi/2, \pi/2] olduğundan açı dördüncü bölgededir.
3
Kosinüs de��erini hesaplama
cos⁡θ=1213\cos\theta = \frac{12}{13}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 temel trigonometrik özdeşliğinden.
4
Nihai değeri hesaplama
13⋅cos⁡θ=1213 \cdot \cos\theta = 12
Bulunan kosinüs değerinin 13 ile çarpılması istenmiştir.

Anahtar Kavram

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıkları ve temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla değer hesaplama.

Alternatif Yöntem

Dik kenarları 5 ve 12, hipotenüsü 13 olan bir dik üçgen yardımıyla da doğrudan oran bulunabilir, bölge analiziyle işaret teyit edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 177Soru →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)sin⁡(2x)−sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3\frac{\sin(4x)}{\sin(2x) - \sin(2x)\cos(2x)} = 3
olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Verilen ifade sadeleştirildiğinde cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5} denklemine ulaşılır. Bu değerden yarım açı formülü yardımıyla, belirtilen aralıkta tan⁡x\tan x değeri 0.50.5 olarak bulunur.
Verilen denklemde pay sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) şeklinde açılıp payda sin⁡(2x)\sin(2x) parantezine alındığında, sin⁡(2x)\sin(2x) terimleri sadeleşerek 2cos⁡(2x)1−cos⁡(2x)=3\frac{2\cos(2x)}{1-\cos(2x)} = 3 denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunur. x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) aralığı için cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x} özdeşliği kullanılarak tan⁡x=0.5\tan x = 0.5 değeri tek olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Payda bulunan sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine yarım açı formülünü uygulamak
2sin⁡(2x)cos⁡(2x)2\sin(2x)\cos(2x)
Değişkenlerin derecesini düşürmek ve paydadaki terimlerle sadeleştirme yapabilmek için yarım açı formülü kullanılmıştır.
2
Paydayı ortak çarpan parantezine almak
sin⁡(2x)(1−cos⁡(2x))\sin(2x)(1 - \cos(2x))
Payda kısmındaki ortak sin⁡(2x)\sin(2x) terimlerini gruplayarak sadeleştirmeye hazır hale getirmek hedeflenmiştir.
3
İfadeyi sadeleştirmek ve içler dışlar çarpımı yapmak
cos⁡(2x)=35\cos(2x) = \frac{3}{5}
Pay ve paydadaki sin⁡(2x)\sin(2x) terimleri sadeleştirilerek elde edilen basit rasyonel denklem çözülmüştür.
4
Kosinüs yarım açı formülü yardımıyla tanjant değerine geçiş yapmak
tan⁡x=0.5\tan x = 0.5
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} formülü uygulanıp x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) bölge koşulu dikkate alınarak pozitif kök bulunmuştur.

Anahtar Kavram

Yarım açı formülleri yardımıyla trigonometrik denklemleri sadeleştirme ve çözme.
Soru 178Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
sin⁡x−cos⁡x=0,6\sin x - \cos x = 0,6
olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.64

Cevap

0,64
sin⁡x−cos⁡x=0,6\sin x - \cos x = 0,6 eşitliğinin her iki tarafının karesi alındığında sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=0,36\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36 elde edilir. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) özdeşlikleri kullanılarak denklem 1−sin⁡(2x)=0,361 - \sin(2x) = 0,36 şekline dönüştürülür. Buradan sin⁡(2x)=0,64\sin(2x) = 0,64 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alma
sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=0,36\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 0,36
sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x çarpım terimini ortaya çıkarmak için karesini alma işlemi uygulanır.
2
Temel trigonometrik özdeşliği yerine koyma
1−2sin⁡xcos⁡x=0,361 - 2\sin x\cos x = 0,36
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliği kullanılır.
3
Yarım açı formülünü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini hesaplama
sin⁡(2x)=0,64\sin(2x) = 0,64
2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) yarım açı formülü yerine yazılır ve 1−sin⁡(2x)=0,361 - \sin(2x) = 0,36 denkleminden sin⁡(2x)=0,64\sin(2x) = 0,64 elde edilir.

Anahtar Kavram

Sinüs Yarım Açı Formülü
Soru 179Soru →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5

fonksiyonunun [a,b][a, b] kapalı aralığındaki en küçük değeri −4-4, en büyük değeri ise 1212'dir.

Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en büyük değer ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

a + b toplamının alabileceği en büyük değer 10'dur.
Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan en küçük değer tepe noktası olan r=3r=3 apsisli noktada alınır ve bu değer f(3)=−4f(3)=-4'tür. Dolayısıyla a≤3≤ba \leq 3 \leq b olmalıdır. En büyük değer 1212 olduğuna göre uç noktalardan en az biri f(x)=12f(x)=12 denkleminin kökleri olan −1-1 veya 77 değerlerinden birine eşit olmalıdır. a+ba+b toplamını en büyük yapmak için b=7b=7 ve a=3a=3 seçilmelidir, bu durumda en büyük toplam 1010 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasını bulmak ve en küçük değer koşuluyla aralık sınırlarını belirlemek.
a≤3≤ba \leq 3 \leq b
Parabolün kolları yukarı doğrudur ve en küçük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=3r = 3 ve bu noktadaki değeri f(3)=−4f(3) = -4 oldu��undan tepe noktası [a,b][a, b] aralığına dahil olmalıdır.
2
Fonksiyonun en büyük değeri olan 1212'ye ulaştığı xx değerlerini bulmak.
x=−1x = -1 veya x=7x = 7
Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük değeri uç noktalardan birinde gerçekleşir. f(x)=12f(x) = 12 denklemi çözülerek bu noktalar belirlenir.
3
a≤3≤ba \leq 3 \leq b ve max⁡(f(a),f(b))=12\max(f(a), f(b)) = 12 koşulları altında a+ba + b toplamını en büyük yapmak.
a=3a = 3 ve b=7b = 7 seçilerek en büyük toplam 1010 bulunur.
bb değerini en fazla 77 seçebiliriz (çünkü b>7b > 7 olursa en büyük değer 1212'yi aşar). Bu durumda aa değeri tepe noktasını aralıkta tutmak için en fazla 33 olabilir. Dolayısıyla en büyük toplam 3+7=103 + 7 = 10'dur.

Anahtar Kavram

Parabolün belirli bir kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri tepe noktasında veya aralığın uç noktalarında gerçekleşir.

Alternatif Yöntem

Bu soru türev yardımıyla da çözülebilir. Fonksiyonun yerel minimum noktası f′(x)=2x−6=0f'(x) = 2x - 6 = 0 eşitliğinden x=3x = 3 olarak bulunur. Bu noktadaki minimum değer f(3)=−4f(3) = -4'tür. Aralık sınırları için fonksiyonun türevi işaret değiştirmediğinden, en büyük değer sınır noktalarında aranır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 180Soru →
f(x)=log⁡7(5x−x2)f(x) = \log_{7}(5x - x^2) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 10'dur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için içi kesinlikle pozitif olmalıdır. 5x−x2>05x - x^2 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (0,5)(0, 5) açık aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların (1,2,3,41, 2, 3, 4) toplamı 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi şartını uygulamak
5x−x2>05x - x^2 > 0 olmalıdır.
log⁡a(g(x))\log_a(g(x)) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için g(x)>0g(x) > 0 olmalıdır. Taban olan 7 sayısı zaten pozitif ve 1'den farklı olduğu için sadece bu koşulu incelemek yeterlidir.
2
Eşitsizliğin köklerini bulup en geniş tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi (0,5)(0, 5) açık aralığıdır.
5x−x2=0  ⟹  x(5−x)=05x - x^2 = 0 \implies x(5 - x) = 0 eşitliğinden kökler x=0x = 0 ve x=5x = 5 bulunur. x2x^2 teriminin katsayısı negatif olduğu için işaret tablosuna sağdan eksi ile başlanır ve kökler arasında artı değer elde edilir. Bu nedenle pozitif bölge olan (0,5)(0, 5) aralığı seçilir.
3
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak
1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10
(0,5)(0, 5) açık aralığında bulunan tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44'tür.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
ÖncekiSayfa 9 / 43Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin