Tüm alıştırma soruları

Soru 1941Soru →

Her $x$ gerçel sayısı için türevi var olan $f$ ve $g$ fonksiyonları için,

g(3) = 2

g'(3) = 4

f'(2) = 5

e��itlikleri sağlanmaktadır.

h(x) = (f \circ g)(x^2 - 1)

biçiminde tanımlanan $h(x)$ fonksiyonu için $h'(2)$ değeri kaça eşittir?

10

20

40

80

160

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralı uygulandığında,

h(x) = f(g(x^2 - 1))

ifadesinin türevi

h'(x) = f'(g(x^2 - 1)) \cdot g'(x^2 - 1) \cdot 2x

olarak bulunur. Burada sırasıyla verilen

x = 2

değeri yerine koyulduğunda

h'(2) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 4 = f'(2) \cdot 4 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 4 = 80

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türev kuralı ve zincir kuralı uygulanarak

h'(x)

türev ifadesi genel olarak elde edilir.

h'(x) = f'(g(x^2 - 1)) \cdot g'(x^2 - 1) \cdot 2x

Zincir kuralı gereğince

f(g(u(x)))

yapısındaki bir fonksiyonun türevi alınırken dıştan içe doğru türevler sıras��yla çarpılır.

2

Elde edilen

h'(x)

türev fonksiyonunda

x

yerine

2

yazılır.

h'(2) = f'(g(3)) \cdot g'(3) \cdot 4

h'(2)

değerini bulmak için türev ifadesindeki tüm

x

değişkenleri

2

ile değiştirilmelidir.

3

Verilen

g(3) = 2

,

g'(3) = 4

ve

f'(2) = 5

değerleri türev denkleminde yerine yazılır.

h'(2) = f'(2) \cdot 4 \cdot 4 = 5 \cdot 16 = 80

Bileşke fonksiyonun iç değerleri ve türev değerleri adım adım yerine konularak nihai sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda türev alırken zincir kuralı yardımıyla içteki fonksiyonların türevlerinin de çarpım olarak eklenmesi gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 1942Soru →

f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonunun grafiğine $x = 4$ apsisli noktas��ndan çizilen teğetin eğimi kaçtır?

4

6

-\frac{1}{4}

2

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $4$

Cevap

Teğet doğrusunun eğimi

4

olarak bulunur.

Doğru cevap olan seçenekte teğetin eğimi

4

olarak verilmiştir. Bir fonksiyona

x = x_0

noktasından çizilen teğetin eğimi

f'(x_0)

değerine eşittir.

f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 2x - 4

olup,

x = 4

noktasındaki teğet eğimi

f'(4) = 2(4) - 4 = 4

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 2x - 4

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir.

2

Türev fonksiyonunda

x = 4

değerini yerine yazarak eğimi hesaplayın.

f'(4) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4

Teğetin çizildi��i noktanın apsisi

x = 4

olduğundan, teğetin eğimi

m_t = f'(4)

olur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir (

m_t = f'(x_0)

).

Soru 1943Soru →

$t$ ve $u$ gerçel sayılar olmak üzere,

t = x^2 - x

u = t^2 - 3t

y = u^3 - 2u^2

eşitlikleri tanımlanıyor.

Buna göre, $\frac{dy}{dx}$ ifadesinin $x = 2$ için değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

İfadelerin birbirine bağlı türevleri zincir kuralı yardımıyla çarpıldığında x = 2 için türevin değeri 60 olarak elde edilir.

Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi alınırken dy/du, du/dt ve dt/dx türevleri sırasıyla hesaplanıp çarpılmalıdır. x = 2 noktası için t = 2 ve u = -2 değerleri bulunur. Bu noktalardaki türevlerin çarpımı 20 * 1 * 3 = 60 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Zincir kuralı ilişkisini belirleme

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}

y

değişkeni

u

ya,

u

değişkeni

t

ye,

t

değişkeni de

x

e bağlı olduğu için türev zincir kuralı ile hesaplanır.

2

x = 2

noktasındaki

t

ve

u

değerlerini hesaplama

t = 2^2 - 2 = 2

ve

u = 2^2 - 3(2) = -2

Türev fonksiyonlarının hangi noktalarda değerlendirileceğini bulmak için ara değişken değerleri hesaplanmalıdır.

3

Her bir ifadenin türevini alıp değerlerini yerine yazma

\frac{dt}{dx} = 2x - 1 \implies x = 2 \text{ için } 3

\frac{du}{dt} = 2t - 3 \implies t = 2 \text{ için } 1

\frac{dy}{du} = 3u^2 - 4u \implies u = -2 \text{ için } 3(-2)^2 - 4(-2) = 20

Zincir kuralı bileşenlerinin sayısal değerlerini bulmak için her aşamadaki türevler hesaplanır.

4

Türev değerlerini çarparak nihai sonucu elde etme

3 \cdot 1 \cdot 20 = 60

Elde edilen türev değerleri zincir kuralında çarpım durumundadır.

Anahtar Kavram

Zincir kuralı (Chain Rule) yardımıyla çok katmanlı bağlı değişkenlerin türevini alma

Soru 1944Soru →

1

ve

3

dışındaki tüm gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f

fonksiyonu

f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{|x - 3|} + k \cdot \frac{|x - 1|}{x - 1}

biçiminde veriliyor.

\lim_{x \to 3^-} f(x) = 5

olduğuna göre,

\lim_{x \to 1^-} f(x)

limitinin de��eri kaçtır?

-3

-5

3

-7

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

Limitin değeri -7'dir.

Limit x -> 3^- için x < 3 olduğundan |x-3| = -(x-3) ve x-1 > 0 olduğundan |x-1| = x-1 olur. Bu durumda limit -(x-1) + k ifadesinde x yerine 3 yazılmasıyla -2 + k = 5 olup k = 7 bulunur. Ardından x -> 1^- için x < 1 olduğundan |x-1| = -(x-1) ve |x-3| = -(x-3) olur. Limit x -> 1^- için -(x-1) - k ifadesinde x yerine 1 yazılmasıyla -k = -7 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

x, 3'e soldan yaklaşırken mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleme

x < 3 olduğundan |x - 3| = -(x - 3) olur. Ayrıca x, 3'e çok yakın ama 3'ten küçük bir değer olduğundan x - 1 > 0 olur ve |x - 1| = x - 1 olarak dışarı çıkar.

Limit hesaplaması yapabilmek için mutlak değer ifadelerini dışarı çıkarmamız gerekir.

2

x, 3'e soldan yaklaşırken limit değerini hesaplayarak k sabiti değerini bulma

f(x) = (x-3)(x-1)/(-(x-3)) + k * (x-1)/(x-1) = -(x-1) + k olur. Buradan limit x -> 3^- için -(3-1) + k = -2 + k = 5 eşitliğinden k = 7 bulunur.

0/0 belirsizliğini gidermek için sadeleştirme işlemi yapıl��r ve k sabiti çözülür.

3

x, 1'e soldan yaklaşırken mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleme ve limit değerini hesaplama

x < 1 olduğundan |x - 1| = -(x - 1) ve |x - 3| = -(x - 3) olur. Fonksiyon f(x) = -(x-1) - k halini alır. x -> 1^- için limit -(1-1) - k = 0 - k = -7 bulunur.

x'in 1'e soldan yaklaştığı durumdaki mutlak değerlerin işaret analizi yapılarak nihai limit hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerin limitini hesaplarken, limit noktasına hangi yönden yaklaşıldığı tespit edilerek mutlak değer içindeki ifadelerin işaret analizi yapılır. Pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilerek 0/0 belirsizliği giderilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1945Soru →

f(x) = \begin{cases} ax - 3, & x < 4 \\ 2x + 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Süreklilik şartını sağlayan

a

değeri 4'tür.

Fonksiyonun her noktada sürekli olabilmesi için parçalandığı

x = 4

sınır değerinde de sürekli olması şarttır.

x = 4

'teki soldan limit

4a - 3

, sağdan limit ve

f(4)

değeri ise 13'tür. Bu iki değerin birbirine eşitlenmesiyle

4a - 3 = 13

denklemi elde edilir ve buradan

a = 4

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Kritik noktada süreklilik şartını belirleme

\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)

olmalıdır.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.

2

x = 4

noktasındaki soldan limiti hesaplama

\lim_{x \to 4^-} (ax - 3) = 4a - 3

x < 4

için fonksiyon

ax - 3

kuralını kullanır.

3

x = 4

noktasındaki sağdan limiti ve fonksiyon değerini hesaplama

\lim_{x \to 4^+} (2x + 5) = f(4) = 13

x \geq 4

için fonksiyon

2x + 5

kuralını kullanır.

4

Elde edilen limit değerlerini eşitleyip

a

değerini çözme

4a - 3 = 13 \implies a = 4

Sürekliliğin sağlanması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktalarında limit ve süreklilik incelemesi

Soru 1946Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve

x = a

noktasında sürekli olan bir

f

fonksiyonu için

\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}

limitinin bir gerçel sayıya eşit olması,

f

fonksiyonunun

x = a

noktasında türevlenebilir olması için yeterlidir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır.

Verilen önerme yanlıştır çünkü süreklilik ve simetrik limitin varlığı, fonksiyonun o noktada türevlenebilir olmasını garanti etmez;

f(x) = |x|

fonksiyonunun

x = 0

noktasındaki durumu buna net bir karşıt örnektir.

Adım Adım Çözüm

1

Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki ilişkiyi ve verilen limit ifadesini analiz etme.

Türevlenebilir her fonksiyon süreklidir, ancak sürekli her fonksiyon türevlenebilir olmak zorunda değildir. Verilen limit, literatürde simetrik türev limiti olarak bilinir.

Önermenin doğruluğunu test etmek için bir karşı örnek aranmasına karar verilir.

2

Sürekli olduğu halde türevsiz olan en bilindik fonksiyonu (

f(x) = |x|

)

x = 0

(

a = 0

) noktası için inceleme.

f(x) = |x|

fonksiyonu

x = 0

noktasında süreklidir çünkü

\lim_{x \to 0} |x| = f(0) = 0

koşulu sağlanır.

Önermedeki ilk şart olan sürekli olma koşulunun sağlandığı teyit edilir.

3

Seçilen fonksiyon için

a = 0

noktasındaki limit ifadesinin değerini hesaplama.

\lim_{h \to 0} \frac{|0+h| - |0-h|}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - |h|}{2h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{2h} = 0

olarak bulunur. Dolayısıyla limit mevcuttur ve

0

gerçel sayısına eşittir.

Önermedeki ikinci şart olan limitin bir gerçel sayıya eşit olma koşulunun sağlandığı gösterilir.

4

Fonksiyonun ilgili noktadaki türevlenebilirliğini kontrol etme.

f(x) = |x|

fonksiyonunun

x = 0

noktasındaki sağdan türevi

1

, soldan türevi ise

-1

'dir. Sağdan ve soldan türevler eşit olmadığından, fonksiyon

x = 0

noktasında türevlenebilir değildir.

Önermenin sonucunun (türevlenebilir olması gerektiği iddiasının) yanlış olduğunu gösteren bir karşı örnek bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

Süreklilik türevlenebilirlik için gerekli bir koşuldur ancak yeterli bir koşul değildir. Bir noktada sürekli olan ve simetrik limit değeri var olan bir fonksiyon o noktada türevlenebilir olmak zorunda değildir.

Soru 1947Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu

f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + ax, & x < 1 \\ x^2 + bx + 1, & 1 \le x < 2 \\ \frac{|x^2 - 5x + 6|}{x - 2} + 3a - 2b, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

$f$ fonksiyonunun $x = 1$ ve $x = 2$ noktalarında limiti olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

12

16

20

24

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

20

Doğru seçenekte belirtilen 20 sayısı,

x=1

ve

x=2

noktalarındaki limit varlığı koşulundan elde edilen

a-b=4

ve

3a-4b=4

denklem sisteminin ortak çözümüyle bulunan

a=12

ve

b=8

değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1

x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitleri hesaplayarak eşitleyin.

x = 1 için sol limit:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + ax \right)

x \to 1^-

için

x < 1

olduğundan

x^2 - 1 < 0

olur ve ifade mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar:

\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x^2 - 1)}{x - 1} + ax = \lim_{x \to 1^-} -(x+1) + ax = -2 + a

x = 1 için sağ limit:

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + bx + 1) = 1 + b + 1 = b + 2

Limitin varlığı için bu iki limit birbirine eşit olmalıdır:

-2 + a = b + 2 \implies a - b = 4

(Denklem 1)

Parçalı fonksiyonların kritik noktalarında limitin bulunması için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması kuralını uygulamak.

2

x = 2 noktasındaki sağ ve sol limitleri hesaplayarak eşitleyin.

x = 2 için sol limit:

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + bx + 1) = 4 + 2b + 1 = 2b + 5

x = 2 için sağ limit:

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left( \frac{|x^2 - 5x + 6|}{x - 2} + 3a - 2b \right)

x \to 2^+

için

x > 2

ve

x

değeri 2'ye çok yakın olduğundan

x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)

ifadesinde

x-2 > 0

ve

x-3 < 0

olur. Çarpım negatif olacağından önüne eksi alarak çıkar:

\lim_{x \to 2^+} \frac{-(x-2)(x-3)}{x - 2} + 3a - 2b = \lim_{x \to 2^+} -(x-3) + 3a - 2b = 1 + 3a - 2b

Limitin varlığı için bu iki limit birbirine eşit olmalıdır:

2b + 5 = 1 + 3a - 2b \implies 3a - 4b = 4

(Denklem 2)

Mutlak değerli ifadede 0/0 belirsizliğini gidermek için çarpanlara ayırma ve limit yönüne göre işaret incelemesi yapmak.

3

Elde edilen denklem sistemini çözerek a ve b parametrelerini bulunuz.

Denklem 1'den

a = b + 4

bağıntısını Denklem 2'de yerine yazalım:

3(b + 4) - 4b = 4

3b + 12 - 4b = 4 \implies -b = -8 \implies b = 8

b = 8

değerini yerine yazarak

a

değerini bulalım:

a = 8 + 4 = 12

Buradan istenen toplam:

a + b = 12 + 8 = 20

olarak elde edilir.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek parametreleri ve bunların toplamını elde etmek.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitlerinde, özellikle kritik (sınır) noktalardaki limit incelenirken sağdan ve soldan yaklaşımlar ayrı ayrı ele alınmalıdır. Mutlak değer fonksiyonunda limit alınırken limit noktasının mutlak değerin içini sıfır yapıp yapmadığı kontrol edilmeli, yaklaşılan yöne göre işaret belirlenip sadeleştirme yapılarak limit değeri hesaplanmalıdır.

Soru 1948Soru →

Tüm gerçel sayılarda türevlenebilen

f

fonksiyonu için

f(1) = 1

f'(1) = 3

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $g(x) = f(2x - f(x))$ biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonunun $x = 1$ noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

g fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin değeri -3'tür.

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulandığında g'(x) = f'(2x - f(x)) * (2 - f'(x)) elde edilir. x = 1 için bu ifade g'(1) = f'(1) * (2 - f'(1)) = 3 * (2 - 3) = -3 olur.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = f(2x - f(x))

fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak ifade etme.

g'(x) = f'(2x - f(x)) \cdot (2 - f'(x))

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre

(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)

şeklindedir. Burada

u(x) = 2x - f(x)

olup,

u'(x) = 2 - f'(x)

'tir.

2

Türev fonksiyonunda

x = 1

değerini yerine yazma.

g'(1) = f'(2(1) - f(1)) \cdot (2 - f'(1))

x = 1

noktasındaki türev değerini bulmak için

g'(x)

ifadesinde

x

yerine

1

yazılır.

3

Verilen

f(1) = 1

ve

f'(1) = 3

değerlerini yerine koyarak hesaplama yapma.

g'(1) = f'(1) \cdot (2 - 3) = 3 \cdot (-1) = -3

Soru kökündeki bilinen değerler yerine yazılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Soru 1949Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = x^2 + 5x

fonksiyonunun grafiğine $x = -1$ noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eğrinin belirtilen noktadaki teğetinin eğimi 3'tür.

Türevin geometrik yorumuna göre, bir fonksiyonun grafiğine

x = x_0

apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi

f'(x_0)

değeridir.

f(x) = x^2 + 5x

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 2x + 5

olup,

x = -1

için bu değer

f'(-1) = 3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun türevini alın.

f'(x) = 2x + 5

Bir fonksiyona herhangi bir noktadan ��izilen teğet doğrusunun eğimi, o noktanın apsisindeki türev değerine eşittir.

2

Türev fonksiyonunda teğet noktasının apsisi olan

x = -1

değerini yerine yazın.

f'(-1) = 3

x = -1

noktasındaki teğet doğrusunun eğimi

f'(-1)

değerine karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine

x = x_0

noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine (

f'(x_0)

) eşittir.

Soru 1950Soru →

Türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun grafiğine $x = 2$ apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

f(2) = 3

olmak üzere,

g

fonksiyonu

g(x) = f\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $g'(2)$ kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.75

Cevap

Türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için zincir kuralı ve bölüm türevi kuralları uygulanarak

g'(2)

değeri

0.75

olarak bulunur.

Orijinden ve

(2,3)

noktasından geçen teğet doğrusunun eğimi

\frac{3}{2}

'dir. Dolayısıyla

f'(2) = 1.5

olur. Bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı ve bölüm türevi uygulandığında içteki fonksiyonun türevi

0.5

olarak bulunur. Bu iki değerin çarpımı

1.5 \cdot 0.5 = 0.75

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Teğet doğrusunun eğimini hesaplama

f'(2) = 1.5

x=2

apsisli teğet noktası

(2, 3)

olup bu noktadan çizilen teğet doğrusu

(0,0)

noktasından geçtiği için eğimi

m = \frac{3-0}{2-0} = 1.5

olur. Bu eğim değeri fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.

2

g(x)

fonksiyonuna zincir kuralını uygulama

g'(x) = f'\left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right) \cdot \left(\frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}\right)'

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre, dıştaki fonksiyonun içinin türevi ile dıştaki fonksiyonun türevinin çarp��mı alınmalıdır.

3

İçteki fonksiyonun

x=2

noktasındaki değerini ve türevini hesaplama

u(2) = 2

ve

u'(2) = 0.5

u(x) = \frac{x^2 - f(x) + 1}{x - 1}

olsun. Bölüm türevi kuralı uygulandığında

u'(x) = \frac{(2x - f'(x))(x-1) - (x^2 - f(x) + 1)}{(x-1)^2}

elde edilir.

x=2

için bu değerler yerine konulur.

4

Elde edilen tüm değerleri birleştirerek nihai türevi bulma

g'(2) = 0.75

g'(2) = f'(u(2)) \cdot u'(2) = f'(2) \cdot u'(2) = 1.5 \cdot 0.5 = 0.75

bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Soru 1951Soru →

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = |x^2 - 1|(x^2 - a)

fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı $N$ 'dir.

Buna göre, $N$ değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

6

8

9

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Ekstremum noktalarının sayısı olan

N

değeri

1

,

3

veya

5

olabilir ve bu değerlerin toplamı

9

'dur.

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı,

a

parametresinin değerlerine göre değişmektedir. Yapılan detaylı analiz sonucunda,

a = 1

iken fonksiyonun yalnızca

x = 0

noktasında yerel ekstremumu bulunur (

N = 1

).

a \le -1

iken fonksiyonun

x = 0, x = 1, x = -1

olmak üzere

3

yerel ekstremum noktası vardır (

N = 3

).

-1 < a < 1

ve

a > 1

durumlarında ise fonksiyonun

5

farklı yerel ekstremum noktası bulunur (

N = 5

). Dolayısıyla

N

değerinin alabileceği farklı değerler

1, 3

ve

5

'tir. Bunların toplamı da

9

yapar.

Adım Adım Çözüm

1

Mutlak değerin kritik noktaları olan

x = 1

ve

x = -1

civarındaki davranışı incelemek.

f(x) = |x^2-1|(x^2-a)

fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan

x \ge 0

için incelemek yeterlidir.

x = 1

noktasında

x^2-1

işaret değiştirir. Eğer

a \neq 1

ise,

x = 1

noktasının komşuluğunda

f(x)

fonksiyonu

x = 1

'in solunda ve sağında farklı işaretli türevlere sahip olur veya sınırda yerel minimum ya da maksimum oluşturur. Dolayısıyla

a \neq 1

iken

x = 1

ve simetrisi olan

x = -1

yerel ekstremum noktalarıdır. Eğer

a = 1

ise,

f(x) = |x^2-1|(x^2-1)

olur. Bu durumda

x = 1

civarında

f(x)

işareti

x > 1

için pozitif,

x < 1

için negatif olur ve fonksiyon artmaya devam eder, yani

x = \pm 1

noktaları ekstremum noktası olamaz.

Mutlak değerli fonksiyonların köklerinde türev olmasa bile yerel ekstremum noktası bulunabilir. Bu yüzden

x = \pm 1

noktalarının ekstremum olma durumunu

a

parametresine göre ayırmak gerekir.

2

Türevin sıfır olduğu diğer iç noktaları tespit etmek.

g(x) = (x^2-1)(x^2-a) = x^4 - (a+1)x^2 + a

tanımlayalım.

g'(x) = 4x^3 - 2(a+1)x = 2x(2x^2 - (a+1))

olur. Bu türevin kökleri

x = 0

ve

x^2 = \frac{a+1}{2}

(eğer

a \ge -1

ise) olarak bulunur. Bu köklerin mutlak değer sınırları olan

-1

ve

1

ile olan ilişkisi incelenmelidir.

Parçalı tanımlanan fonksiyonun her bir bölgesinde türevin sıfır olduğu yerler yerel ekstremum adayıdır.

3

a

parametresinin farklı aralıkları için ekstremum sayılarını (

N

) belirlemek.

1. Durum:

a < -1

ise,

\frac{a+1}{2} < 0

olduğundan

2x^2 - (a+1) = 0

denkleminin gerçel kökü yoktur. Tek türev sıfır noktası

x = 0

'dır.

a \neq 1

olduğundan

x = \pm 1

noktaları da ekstremumdur. Bu durumda ekstremum noktaları

\{-1, 0, 1\}

olup

N = 3

olur.

2. Durum:

a = -1

ise,

x^2 = 0 \implies x = 0

çift katlı kök gibi davranır, ekstremum noktaları yine

\{-1, 0, 1\}

olur ve

N = 3

'tür.

3. Durum:

-1 < a < 1

ise,

0 < \frac{a+1}{2} < 1

olur. Bu durumda

x^2 = \frac{a+1}{2}

denkleminin kökleri olan

x_1, x_2 = \pm \sqrt{\frac{a+1}{2}}

noktaları

(-1, 1)

aralığının içindedir. Ekstremum noktaları

\{-1, x_1, 0, x_2, 1\}

olup

N = 5

olur.

4. Durum:

a = 1

ise,

x = \pm 1

noktalarında işaret değişimi olmadığından ekstremum yoktur. Tek ekstremum noktası

x = 0

olup

N = 1

olur.

5. Durum:

a > 1

ise,

\frac{a+1}{2} > 1

olur. Bu durumda

x_1, x_2 = \pm \sqrt{\frac{a+1}{2}}

kökleri

[-1, 1]

aralığının dışındadır. Ekstremum noktaları

\{x_1, -1, 0, 1, x_2\}

olup

N = 5

olur.

a

değerinin kritik sınırları olan

-1

ve

1

değerlerine göre türev köklerinin konumunu ve sınır noktalarının ekstremum olup olmadığını netleştirmek gerekir.

4

Elde edilen tüm farklı

N

değerlerini toplamak.

N

değerinin alabileceği farklı değerler

1, 3

ve

5

'tir. Bunların toplamı ise

1 + 3 + 5 = 9

olarak bulunur.

Soru bizden

N

sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlarda türevlenebilirlik ile yerel ekstremum noktası ilişkisi ve sınır noktalarının analizi.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun grafiğinin

a > 1

,

a = 1

,

-1 < a < 1

,

a = -1

ve

a < -1

durumları için kabaca çizilmesi (grafiksel analiz yöntemi), yerel ekstremum noktalarının (çukur ve tümseklerin) sayısını görsel olarak görmeyi çok kolaylaştırır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 1952Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu

f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 5

olarak veriliyor.

Buna göre, pozitif gerçel sayılar kümesinde tanımlı $g(x) = f(x^2 - 2x)$ fonksiyonunun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu aralıkların birleşiminde yer alan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.

Verilen f(x) fonksiyonunun türevi alınıp g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonuna zincir kuralı uygulandığında g'(x) = 2x(x - 2)(x - 4)(x + 2)(x - 1) türev fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun işaret tablosu oluşturulduğunda pozitif gerçel sayılar kümesindeki azalan aralıklar [0, 1] ve [2, 4] olarak belirlenir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4 olup toplamları 10 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) fonksiyonunun birinci türevini bulma

f'(x) = x^2 - 8x

Bileşke fonksiyonun türevini alırken dıştaki fonksiyonun türevi kullanılacaktır.

2

g(x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak hesaplama

g'(x) = 2(x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 8)(x - 1)

Bileşke fonksiyon türevlenirken içteki fonksiyonun türevi olan (2x - 2) terimi çarpan olarak eklenmelidir.

3

g'(x) = 0 denkleminin köklerini bularak kritik noktaları belirleme

x_1 = -2

,

x_2 = 0

,

x_3 = 1

,

x_4 = 2

,

x_5 = 4

İşaret tablosunda kullanılacak sınır değerleri ve tek/çift katlı kök durumları bu noktalar üzerinden incelenir.

4

g'(x) için işaret tablosu oluşturarak türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeleri belirleme

Azalan olduğu bölgeler:

(-\infty, -2] \cup [0, 1] \cup [2, 4]

Bir fonksiyon türevinin negatif veya sıfır olduğu aralıklarda azalandır.

5

Tanım kümesine uygun pozitif tam sayıları seçip toplama

1 + 2 + 3 + 4 = 10

g(x) fonksiyonu pozitif gerçel sayılarda tanımlı olduğundan, azalan aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 2, 3 ve 4'tür. 0 sayısı pozitif olmadığından işleme dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda türev yardımıyla artanlık ve azalanlık durumunun incelenmesi.

Soru 1953Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu için

\lim_{x \to 2} f(x) = 4

ve

f(2) = 1

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $f$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevi $f'(2)$ ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Fonksiyon

x = 2

noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi yoktur.

Türev değeri

4

'tür.

Türev değeri

1

'dir.

Türev değeri

3

'tür.

Fonksiyonun bu noktada limiti olduğundan türevi kesinlikle vardır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Fonksiyon $x = 2$ noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi yoktur.

Cevap

Fonksiyon

x = 2

noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevi yoktur.

Doğru seçenek olan ifadenin belirttiği gibi, fonksiyonun

x = 2

noktasındaki limiti (

4

), fonksiyonun o noktadaki değerinden (

1

) farklıdır. Bu durum fonksiyonun

x = 2

noktasında süreksiz olduğunu gösterir. Süreksiz noktalarda fonksiyon türevlenemez olduğundan, bu noktada türev yoktur.

Adım Adım Çözüm

1

Süreklilik kontrolü yapılması

\lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq f(2) = 1

olduğundan fonksiyon

x = 2

noktasında sürekli değildir.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması şarttır.

2

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisinin uygulanması

Fonksiyon süreksiz olduğundan

x = 2

noktasında türevlenebilir değildir.

Türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir (Türevlenebilirlik

\Rightarrow

Süreklilik). Bu kuralın karşıt tersi gereği, süreksiz olan bir noktada fonksiyon türevlenemez (Süreksizlik

\Rightarrow

Türevsizlik).

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması şarttır. Eğer fonksiyon bir noktada süreksiz ise o noktada türevli olamaz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 1954Soru →

\alpha

ve

\beta

birer dar açı olmak üzere,

\tan \alpha = \frac{1}{2}

\cot \beta = 3

olduğuna göre,

\cos(\alpha + \beta)

ifadesinin değeri kaçtır?

\frac{\sqrt{2}}{2}

-\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{7\sqrt{2}}{10}

\frac{\sqrt{2}}{10}

-\frac{\sqrt{2}}{10}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cevap

Kosinüs toplam formülü kullanılarak elde edilen değer kök iki bölü ikidir.

Verilen dar açılar için sinüs ve kosinüs değerleri hesaplandıktan sonra, kosinüs toplam formülü olan

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

uygulanarak doğru değer kök iki bölü iki olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen trigonometrik oranlardan yararlanarak

\alpha

ve

\beta

açılarının diğer trigonometrik değerlerini bulmak için dik üçgenler çizilir.

\alpha

açısı için karşı kenar

1

, komşu kenar

2

birim olduğundan hipotenüs

\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}

birimdir. Buradan

\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}

ve

\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}

elde edilir.

\beta

açısı için

\cot \beta = 3

olduğundan komşu kenar

3

, karşı kenar

1

birimdir. Hipotenüs

\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}

birimdir. Buradan

\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}

ve

\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{10}}

elde edilir.

Kosinüs toplam formülünde ihtiyaç duyulan sinüs ve kosinüs değerlerini elde etmek.

2

Kosinüs toplam formülü olan

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

ifadesi yazılır.

Formül:

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

İki açının toplamının kosinüsünü açarak hesaplamak.

3

Bulunan değerler formülde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılır.

\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)

\cos(\alpha + \beta) = \frac{6}{\sqrt{50}} - \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Rasyonel ifadeleri sadeleştirerek sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının kosinüs değerini bulmak için kosinüs toplam formülü kullanılır.

Soru 1955Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için

f(2) = \frac{1}{2}

f'(2) = 3

eşitlikleri sağlanmaktadır.

g(x) = f(x^2 \cdot f(x))

olduğuna göre, $g'(2)$ değeri kaçtır?

3

6

14

36

42

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 42

Cevap

42

Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralı uygulanır:

g'(x) = f'(x^2 \cdot f(x)) \cdot (x^2 \cdot f(x))'

. İçteki fonksiyonun türevi alınırken çarpım kuralı kullanılarak

(x^2 \cdot f(x))' = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x)

elde edilir. Bilinen değerler (

x=2

,

f(2)=1/2

,

f'(2)=3

) yerlerine yazıldığında içteki ifadenin türevi

14

ve dıştaki türev

f'(2) = 3

olur. Bu iki değerin çarpımı olan

42

doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Bileşke fonksiyonun türevini almak için zincir kuralını uygulayınız.

g'(x) = f'(x^2 \cdot f(x)) \cdot (x^2 \cdot f(x))'

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi, içteki fonksiyon aynen korunarak alınır ve ardından içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.

2

İçteki fonksiyon olan

u(x) = x^2 \cdot f(x)

ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayınız.

u'(x) = 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x)

Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi: Birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci kural�� ile hesaplanır.

3

Türev ifadelerinde

x=2

değerini yerine yazarak gerekli hesaplamaları yapınız.

u(2) = 2^2 \cdot f(2) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2

ve

u'(2) = 2(2) \cdot f(2) + 2^2 \cdot f'(2) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot 3 = 2 + 12 = 14

elde edilir.

Bileşke fonksiyon türevini

x=2

noktasında değerlendirmek için hem içteki fonksiyonun değerine hem de bu noktadaki türevine ihtiyaç vardır.

4

Bulunan değerleri ana türev denkleminde yerine koyarak sonucu hesaplayınız.

g'(2) = f'(u(2)) \cdot u'(2) = f'(2) \cdot 14 = 3 \cdot 14 = 42

Zincir kuralının son aşaması olarak dıştaki fonksiyonun türev değeri ile içteki fonksiyonun türev değerinin çarpılması gerekir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevinin çarpılması (zincir kuralı) gerekir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 1956Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x - 3$ eğrisine çizilen ve $y = 8x + 5$ doğrusuna paralel olan teğet doğrularının $y$ eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -38

Cevap

Teğet doğrularının

y

eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı

-38

'dir.

Doğru cevap olan

-38

sayısı, paralel teğetlerin eğrinin üzerindeki apsislerinin türev yardımıyla bulunup teğet denklemlerinin yazılması ve bu doğruların

y

-kesenlerinin ordinatlarının toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen doğrunun eğimini belirlemek ve teğet doğrularının eğimiyle eşitlemek.

Teğet doğrularının eğimi

m = 8

olmalıdır.

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

2

Fonksiyonun türevini alıp teğet eğimi olan

8

'e eşitleyerek teğet noktalarının apsislerini bulmak.

x_1 = 0

ve

x_2 = 4

doğruları elde edilir.

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.

3

Apsis değerlerini fonksiyonda yerine yazarak teğet noktalarının ordinatlarını hesaplamak.

f(0) = -3

ve

f(4) = -3

. Teğet noktaları

P_1(0, -3)

ve

P_2(4, -3)

'tür.

Değme noktaları fonksiyonun grafiği üzerinde yer aldığından fonksiyon denklemini sağlarlar.

4

Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülüyle teğet doğrularının denklemlerini yazıp

y

eksenini kestikleri ordinatları bulmak.

Birinci teğet doğrusunun

y

-keseni

-3

, ikinci teğet doğrusunun

y

-keseni

-35

'tir.

Teğet denklemlerinde

x = 0

yazılarak doğruların

y

eksenini kestiği noktalar belirlenir.

5

Bulunan

y

-keseni değerlerini toplamak.

(-3) + (-35) = -38

.

Soruda bizden teğet doğrularının

y

eksenini kestiği noktaların ordinatları toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumu uyarınca, bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Paralel doğruların eğimleri eşittir.

Soru 1957Soru →

$a < 4$ olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a^2}{x - a}, & x < a \\ \sqrt{x^2 - 6x + 24}, & a \leq x \leq 4 \\ \log_3(x^2 - 2x + k), & x > 4 \end{cases}

fonksiyonu her $x$ gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, $a + k$ toplamı kaçtır?

6

58

69

75

77

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

Süreklilik şartları doğru uygulandığında a = 2 ve k = 73 bulunur. Bu değerlerin toplamı olan 75 doğru cevaptır.

Fonksiyonun tüm gerçek sayılarda sürekli olması için

x = a

ve

x = 4

kritik noktalarında sürekli olması gerekir.

x = a

noktasında süreklilik için sol limit olan

2a

değeri ile sağ limit ve fonksiyon değeri olan

\sqrt{a^2 - 6a + 24}

değeri eşit olmalıdır. Buradan

a = 2

elde edilir (

a = -4

değeri sol limiti negatif yaptığından elenir).

x = 4

noktasında süreklilik için sol limit ve fonksiyon değeri olan

4

ile sağ limit olan

\log_3(8 + k)

eşit olmalıdır. Buradan

k = 73

elde edilir. Toplamları ise

75

olur.

Adım Adım Çözüm

1

x < a

için tanımlı olan

\frac{x^2-a^2}{x-a}

ifadesini sadeleştirerek limit durumunu incelemek.

Sol limit

2a

olarak bulunur.

x \neq a

için

\frac{x^2-a^2}{x-a} = x+a

eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla

x \to a^-

için limit değeri

a+a = 2a

olur.

2

x = a

noktasındaki süreklilik şartını yazmak.

a = 2

bulunur.

Süreklilik için sol limit ile sağ limit ve o noktadaki fonksiyon değeri eşit olmalıdır. Buradan

2a = \sqrt{a^2 - 6a + 24}

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için

2a \geq 0

yani

a \geq 0

olmalıdır. İki tarafın karesi alındığında

4a^2 = a^2 - 6a + 24 \Rightarrow a^2 + 2a - 8 = 0

denklemi elde edilir. Kökler

a = 2

ve

a = -4

olup,

a \geq 0

şartından dolayı

a = 2

seçilir.

3

x = 4

noktasındaki süreklilik şartını yazarak

k

parametresini bulmak.

k = 73

bulunur.

x = 4

noktasında süreklilik için sol limit ve fonksiyon değeri olan

\sqrt{4^2 - 6(4) + 24} = 4

değeri, sağ limit olan

\lim_{x \to 4^+} \log_3(x^2 - 2x + k) = \log_3(16 - 8 + k)

değerine eşit olmalıdır. Buradan

\log_3(8 + k) = 4 \Rightarrow 8 + k = 3^4 = 81 \Rightarrow k = 73

elde edilir. Bu

k

değeri için

x^2 - 2x + 73 > 0

şartı tüm

x > 4

sayıları için sağlandığından logaritma fonksiyonu tanımlıdır.

4

Bulunan

a

ve

k

değerlerini toplamak.

a + k = 2 + 73 = 75

bulunur.

Soruda istenen

a + k

toplamı bu iki parametrenin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların kritik noktalarda süreklilik tanımı, limit varlığı şartı ve tanımlı olma koşullarının analizi.

Soru 1958Soru →

a - b = \frac{\pi}{3}

olmak üzere,

(\cos a + \cos b)^2 + (\sin a + \sin b)^2

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3; 3.0

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.

Parantez kareler açılıp toplandığında

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

özdeşliği ve kosinüs fark formülü olan

\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b

kullanılarak ifade

2 + 2\cos(a-b)

şeklinde sadeleşir.

a-b = \pi/3

için

\cos(\pi/3) = 1/2

olduğundan sonuç

2 + 2(1/2) = 3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parantez kareleri a��ılır.

(\cos a + \cos b)^2 = \cos^2 a + 2\cos a\cos b + \cos^2 b

ve

(\sin a + \sin b)^2 = \sin^2 a + 2\sin a\sin b + \sin^2 b

ifadeleri elde edilir.

İfadeleri sadeleştirebilmek için öncelikle parantez açılımını yapmalıyız.

2

Elde edilen ifadeler taraf tarafa toplanır ve aynı açıya sahip terimler gruplandırılır.

(\cos^2 a + \sin^2 a) + (\cos^2 b + \sin^2 b) + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b)

ifadesi elde edilir.

Trigonometrinin temel özdeşliklerini ve toplam-fark formüllerini kullanabilmek için.

3

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

temel özdeşliği uygulanır.

1 + 1 + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b) = 2 + 2(\cos a\cos b + \sin a\sin b)

elde edilir.

Aynı açıya sahip sinüs ve kosinüs karelerinin toplamını sadeleştirmek için.

4

Kosinüs fark formülü uygulanır.

\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos(a-b)

olduğundan, ifade

2 + 2\cos(a-b)

haline gelir.

Toplam ve fark formüllerini kullanarak iki değişkenli ifadeyi tek bir açı cinsinden yazmak için.

5

Verilen

a-b = \frac{\pi}{3}

değeri yerine yazılır.

2 + 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3

bulunur.

Sonuca ulaşmak için bilinen açı değerini yerine yerleştiririz.

Anahtar Kavram

Kosinüs Fark Formülü

Alternatif Yöntem

İfadeyi karmaşık sayılar veya vektörlerin skaler çarpımı yardımıyla da modellemek mümkündür; ancak parantez kare açılımı ve fark formülü en doğrudan çözümdür.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 1959Soru →

x \in [0, 2\pi]

olmak üzere,

\sin(2x) - 2\sin(x) + \cos(x) - 1 = 0

denklemini sağlayan farklı

x

gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?

2\pi

3\pi

4\pi

5\pi

\frac{7\pi}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5\pi$

Cevap

Denklemin

[0, 2\pi]

aralığındaki farklı köklerinin toplamı

5\pi

radyandır.

Denklem yarım açı formülüyle açılıp

(2\sin(x) + 1)(\cos(x) - 1) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrıldığında,

\cos(x) = 1

ve

\sin(x) = -1/2

denklemleri elde edilir. Belirtilen

[0, 2\pi]

kapalı aralığında

\cos(x) = 1

denklemini sağlayan değerler

0

ve

2\pi

;

\sin(x) = -1/2

denklemini sağlayan değerler ise

\frac{7\pi}{6}

ve

\frac{11\pi}{6}

'dır. Bu değerlerin toplamı

0 + 2\pi + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 5\pi

olduğundan doğru yanıt

5\pi

değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Yarım açı formülü kullanarak

\sin(2x)

ifadesini açın.

Denklem

2\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x) + \cos(x) - 1 = 0

şekline dönüşür.

Denklemi ortak çarpan parantezine alabilmek için tüm terimleri benzer trigonometrik ifadeler cinsinden yazmalıyız.

2

İfadeyi gruplandırarak ortak çarpan parantezine alın.

2\sin(x)(\cos(x) - 1) + 1(\cos(x) - 1) = 0 \Rightarrow (2\sin(x) + 1)(\cos(x) - 1) = 0

elde edilir.

Çarpım durumuna getirilen denklemin köklerini ayrı ayrı bulmak kolaylaşır.

3

Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek temel trigonometrik denklemleri elde edin.

2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\frac{1}{2}

ve

\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = 1

denklemleri bulunur.

Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

4

Elde edilen denklemlerin

[0, 2\pi]

aralığındaki köklerini bulun.

\cos(x) = 1

için

x = 0

ve

x = 2\pi

;

\sin(x) = -\frac{1}{2}

için

x = \frac{7\pi}{6}

ve

x = \frac{11\pi}{6}

elde edilir.

Belirtilen kapalı aralıkta bu fonksiyonların aldığı değerlere karşılık gelen açıları belirlememiz gerekir.

5

Bulunan tüm farklı kökleri toplayın.

0 + 2\pi + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 2\pi + 3\pi = 5\pi

bulunur.

Soruda denklemi sağlayan tüm farklı gerçel sayıların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin yarım açı ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözülmesi, belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.

Soru 1960Soru →

f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5

fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?

3

0

2

-3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi 3'tür.

Verilen fonksiyonun türevi alındığında

f'(x) = x^2(x-3)

elde edilir. Bu ifadenin kökleri

x=0

(çift katlı) ve

x=3

(tek katlı) olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde,

x=3

noktasının solunda türevin negatif (fonksiyonun azalan) ve sağında pozitif (fonksiyonun artan) olduğu görülür. Dolayısıyla, fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Fonksiyonun birinci türevini alın.

f'(x) = x^3 - 3x^2

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle türevinin sıfır olduğu kritik noktalar belirlenmelidir.

2

Türevi sıfıra eşitleyerek kökleri bulun.

x^2(x - 3) = 0 \implies x = 0 \text{ ve } x = 3

Türevin işaret değiştirdiği noktaları bulmak amacıyla kökler tespit edilir. Burada

x=0

çift katlı kök,

x=3

ise tek katlı köktür.

3

Türevin işaret tablosunu oluşturun.

x > 3

için

f'(x) > 0

(artan),

0 < x < 3

için

f'(x) < 0

(azalan) ve

x < 0

için

f'(x) < 0

(azalan) olur.

x=0

çift katlı kök olduğu için işareti değiştirmeden geçeriz.

x=3

tek katlı kök olduğu için işaret negatiften pozitife döner.

4

İşaret değişimine göre yerel minimum noktasını belirleyin.

Türevin işareti

x=3

noktasında negatiften pozitife geçtiği için (fonksiyon azalandan artana geçtiği için)

x=3

noktası yerel minimum noktasıdır.

x=0

noktasında işaret değişmediği için ekstremum yoktur.

Yerel minimum noktası, türevin işaretinin eksiden artıya geçtiği apsis değerine karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının belirlenmesi ve tek/çift katlı köklerin ekstremum üzerindeki etkisi.

İpuçları

1

Öncelikle fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitleyin.

Tahmini Süre:50s

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap