Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1961Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=∣x−3∣+{2x−1,x<3x2−a,x≥3f(x) = |x - 3| + \begin{cases} 2x - 1, & x < 3 \\ x^2 - a, & x \geq 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa parametresinin alması gereken değerin 44 olduğu yönündeki iddia doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen iddia doğrudur. Fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması için aa parametresinin 44 olması gerekir.
Verilen fonksiyonun x=3x=3 noktasında limitinin bulunabilmesi için sağdan limit olan 9−a9-a değerinin, soldan limit olan 55 değerine eşit olması zorunludur. Buradan 9−a=5  ⟹  a=49-a=5 \implies a=4 elde edildiğinden iddia doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Soldan limitin hesaplanması
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(∣x−3∣+2x−1)=∣3−3∣+2(3)−1=0+5=5\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (|x - 3| + 2x - 1) = |3 - 3| + 2(3) - 1 = 0 + 5 = 5
x→3−x \to 3^- için x<3x < 3 olduğundan parçalı fonksiyonun ilk dalı olan 2x−12x - 1 ifadesi kullanılır ve mutlak değerin içi sıfıra yaklaşır.
2
Sağdan limitin hesaplanması
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(∣x−3∣+x2−a)=∣3−3∣+32−a=0+9−a=9−a\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (|x - 3| + x^2 - a) = |3 - 3| + 3^2 - a = 0 + 9 - a = 9 - a
x→3+x \to 3^+ için x>3x > 3 olduğundan parçalı fonksiyonun ikinci dalı olan x2−ax^2 - a ifadesi kullanılır.
3
Limitlerin eşitlenerek parametrenin bulunması
9−a=5  ⟹  a=49 - a = 5 \implies a = 4
x=3x = 3 kritik noktasında limitin var olması için sağdan ve soldan limit değerlerinin birbirine eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer fonksiyonlarının sınır (kritik) noktasındaki limit varlığının sağdan ve soldan limit eşitliği kullan��larak incelenmesi.
Soru 1962Soru →
f(x)={x2−2ax+5,x<2x3−3x2+b,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 - 2ax + 5, & x < 2 \\ x^3 - 3x^2 + b, & x \geq 2 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde süreklidir.

ff fonksiyonunun x=2x = 2 noktasında bir yerel ekstremumu olduğuna göre, bb gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En büyük değer 5'tir.
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasında sürekli olması şartından b=13−4ab = 13 - 4a bağıntısı bulunur. x>2x > 2 için türev pozitif olduğundan fonksiyon artandır. x=2x = 2 noktasında yerel ekstremum (yerel minimum) oluşabilmesi için fonksiyonun x<2x < 2 bölgesinde tamamen azalan olması gerekir, bu da a≥2a \geq 2 olmasını zorunlu kılar. Bu eşitsizlik b=13−4ab = 13 - 4a bağıntısında yerine yazıldığında b≤5b \leq 5 elde edilir ve en büyük değer 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Süreklilik şartını kullanarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulunuz.
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)  ⟹  9−4a=b−4  ⟹  b=13−4a\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \implies 9 - 4a = b - 4 \implies b = 13 - 4a
Fonksiyonun gerçel sayılarda sürekli olması için kritik nokta olan x=2x = 2 noktasında da sürekli olması gerekir.
2
x>2x > 2 için fonksiyonun artan/azalan durumunu inceleyiniz.
x>2 ic¸in f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)>0x > 2 \text{ için } f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) > 0
Türevin işaretine göre fonksiyonun artış eğilimini belirlemek gerekir.
3
x<2x < 2 için yerel ekstremum koşulunu inceleyerek a için sınır koşulunu bulunuz.
x<2 ic¸in f′(x)=2(x−a)≤0  ⟹  a≥2x < 2 \text{ için } f'(x) = 2(x - a) \leq 0 \implies a \geq 2
Fonksiyonun x=2x = 2 noktasının sağında artan olduğu bilinmektedir. x=2x = 2 noktasında yerel ekstremum (yerel minimum) olabilmesi için fonksiyonun bu noktanın solunda azalan olması gerekir. Bu da her x<2x < 2 için f′(x)≤0f'(x) \leq 0 olmasını gerektirir.
4
a≥2a \geq 2 koşulunu kullanarak b değerini sınırlandırınız.
a≥2  ⟹  −4a≤−8  ⟹  13−4a≤5  ⟹  b≤5a \geq 2 \implies -4a \leq -8 \implies 13 - 4a \leq 5 \implies b \leq 5
Süreklilikten elde edilen b=13−4ab = 13 - 4a eşitliğinde a parametresinin sınırlarını yerine yazarak b için alabileceği en büyük değeri bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında türevin işaret değiştirmesi ve süreklilik ilişkisi.
Soru 1963Soru →
L=lim⁡x→01+xsin⁡(3x)−cos⁡(2x)x2L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - \cos(2x)}{x^2}

olduğuna göre, 2L2L değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Hesaplanan limit değerinin iki katı olan 7'dir.
Limit ifadesi parçalandığında köklü terimlerin oluşturduğu birinci kısmın limiti eşlenik yardımıyla 3/2, trigonometrik terimlerin oluşturduğu ikinci kısmın limiti ise yarım açı formülüyle 2 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı olan L sayısı 7/2'dir. Soruda istenen 2L ifadesinin değeri ise 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik durumunun belirlenmesi
x→0x \to 0 için payda 02=00^2 = 0 ve pay 1+0−cos⁡(0)=1−1=0\sqrt{1+0} - \cos(0) = 1-1 = 0 olduğundan 00\frac{0}{0} belirsizliği mevcuttur.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü tespit etmek gerekir.
2
Limit ifadesinin iki parçaya ayrılması
L=lim⁡x→0(1+xsin⁡(3x)−1x2+1−cos⁡(2x)x2)L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} + \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \right)
Buradan L1=lim⁡x→01+xsin⁡(3x)−1x2L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} ve L2=lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} olsun.
Toplamsal ifadeleri ayrı ayrı limitler halinde incelemek çözümü kolaylaştırır.
3
Eşlenik çarpımı ile birinci limitin (L1L_1) hesaplanması
L1=lim⁡x→0(1+xsin⁡(3x)−1)(1+xsin⁡(3x)+1)x2(1+xsin⁡(3x)+1)L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1)(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}
L1=lim⁡x→0xsin⁡(3x)x2(1+xsin⁡(3x)+1)L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{x\sin(3x)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}
L1=lim⁡x→0sin⁡(3x)x⋅lim⁡x→011+xsin⁡(3x)+1L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1}
L1=3⋅12=32L_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır ve lim⁡x→0sin⁡(ax)x=a\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a kuralı kullanılır.
4
Trigonometrik yarım açı formülü ile ikinci limitin (L2L_2) hesaplanması
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)  ⟹  1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \implies 1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)
L2=lim⁡x→02sin⁡2(x)x2=2⋅(lim⁡x→0sin⁡(x)x)2=2⋅12=2L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2} = 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2
Trigonometrik belirsizliklerde yarım açı dönüşümü yapılarak lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 kuralı uygulanır.
5
L ve 2L değerlerinin elde edilmesi
L=L1+L2=32+2=72L = L_1 + L_2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}
Buradan,
2L=2⋅72=72L = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7 bulunur.
İki ayrı parçadan elde edilen limit değerleri toplanarak L değeri ve ardından sorulan 2L değeri bulunur.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda köklü ifadeler için eşlenik çarpımı ve trigonometrik ifadeler için yarım açı formülleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.
Soru 1964Soru →
f(x)=x2−3x+1f(x) = x^2 - 3x + 1

fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

Normal doğrusunun eğimi −1-1 olur.
Fonksiyonun türevi alınıp teğet noktası olan x=2x = 2 değeri yerine yazıldığında teğet doğrusunun eğimi mt=1m_t = 1 olarak bulunur. Bir eğriye aynı noktadan çizilen teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır. Buradan normal doğrusunun eğimi mn=−1mt=−1m_n = -\frac{1}{m_t} = -1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci mertebeden türevi bulunur.
f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3
Bir eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
x=2x = 2 apsisli nokta türev fonksiyonunda yerine yazılarak teğet doğrusunun eğimi (mtm_t) hesaplanır.
mt=f′(2)=2(2)−3=1m_t = f'(2) = 2(2) - 3 = 1
Teğet doğrusunun eğimini bulmak için apsis değeri türevde yerine yazılır.
3
Teğet ve normal doğrularının dikliği kullanılarak normal doğrusunun eğimi (mnm_n) bulunur.
mn=−1mt=−11=−1m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1'dir (mt⋅mn=−1m_t \cdot m_n = -1).

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımı −1-1'dir.
Soru 1965Soru →

f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1} fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Türev fonksiyonunda x=2x = 2 değeri yazıldığında elde edilen sonuç −5-5 sayısıdır.
Verilen rasyonel fonksiyonun türevi bölümün türevi kuralı yardımıyla alınır. Payın türevi 22 ve paydanın türevi 11 olup türev fonksiyonu f′(x)=2(x−1)−1(2x+3)(x−1)2=−5(x−1)2f'(x) = \frac{2(x-1) - 1(2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2} olarak elde edilir. Bu fonksiyonda x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=−5(2−1)2=−5f'(2) = \frac{-5}{(2-1)^2} = -5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bölümün türevi kuralını uygulayarak türev fonksiyonunu bulunuz.
f′(x)=−5(x−1)2f'(x) = \frac{-5}{(x-1)^2}
Bölümün türevi kuralı (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} şeklindedir. Payın türevi 22, paydanın türevi 11 olduğundan bu kural uygulanarak türev fonksiyonu elde edilir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazarak değeri hesaplayınız.
f′(2)=−5f'(2) = -5
Soruda istenen f′(2)f'(2) değerini elde etmek için türev fonksiyonunda xx değişkeni yerine 22 sayısı yazılır.

Anahtar Kavram

Bölümün Türevi Kuralı
Soru 1966Soru →
f(x)=x+2x2−x−6f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - x - 6}

fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{-2, 3\}

Cevap

\{-2, 3\} kümesi
Doğru cevap {−2,3}\{-2, 3\} kümesidir. Fonksiyonun paydasını sıfır yapan x=3x = 3 ve x=−2x = -2 değerleri için fonksiyon tanımsızdır. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması zorunludur. Dolayısıyla fonksiyon bu iki noktada süreksizdir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonu tanımsız yapan değerleri bulmak amacıyla paydayı sıfır yapan denklemi kurarız.
x2−x−6=0x^2 - x - 6 = 0 denklemi elde edilir.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarının sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve tanımlı olmadıkları noktalarda sürekli olamazlar.
2
Paydadaki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırarak kökleri buluruz.
x2−x−6=(x−3)(x+2)=0x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 denklemi üzerinden kökler x=3x = 3 ve x=−2x = -2 olarak elde edilir.
İkinci dereceden denklemlerin kökleri çarpanlarına ayırma yöntemi ile kolayca belirlenebilir.
3
Pay ve paydadaki ortak terimlerin sadeleşmesinin sürekliliğe etkisini analiz ederiz.
f(x)=x+2(x−3)(x+2)f(x) = \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} fonksiyonunda x=−2x = -2 için 00\frac{0}{0} belirsizliği olu��sa da fonksiyon bu noktada tanımsız kalır. Sadeleştirme yapılması tanımsızlığı ortadan kaldırmaz. Dolayısıyla fonksiyon hem x=3x = 3 hem de x=−2x = -2 noktalarında süreksizdir. Süreksiz noktaların kümesi {−2,3}\{-2, 3\} olur.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için ilk koşul o noktada tanımlı olmasıdır.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, fonksiyonu tanımsız yapan (paydayı sıfır yapan) değerlerdir. Pay ve paydadaki ortak çarpanların sadeleşmesi, bu noktadaki süreksizliği ortadan kaldırmaz; grafik üzerinde o noktada bir delik (hole) oluşmasına yol açar.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 1967Soru →
f(x)=x3−4x2+3f(x) = x^3 - 4x^2 + 3 fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Türevin geometrik yorumuna göre, bir eğrinin üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Bu fonksiyonun x=2x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi −4-4 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun x=ax = a noktasındaki teğetinin eğimi f′(a)f'(a) değeridir. f(x)=x3−4x2+3f(x) = x^3 - 4x^2 + 3 fonksiyonunun türevi f′(x)=3x2−8xf'(x) = 3x^2 - 8x olur. Bu türevde x=2x = 2 yazıldığında f′(2)=3(2)2−8(2)=12−16=−4f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) = 12 - 16 = -4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevi alınır.
f′(x)=3x2−8xf'(x) = 3x^2 - 8x
Teğetin eğimini bulmak amacıyla öncelikle fonksiyonun türev fonksiyonu elde edilir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazılır.
f′(2)=−4f'(2) = -4
İstenen noktadaki teğetin eğimi, türevin o noktadaki değerine eşit olduğundan x=2x = 2 değeri türev fonksiyonunda yerine yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Soru 1968Soru →
Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(g(x)⋅x2−x)=x3+2[g(x)]3f(g(x) \cdot x^2 - x) = x^3 + 2[g(x)]^3
eşitliği sağlanmaktadır. gg fonksiyonunun grafiğine x=2x = 2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=3x−5y = 3x - 5 olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

f'(2) değeri 2 olarak bulunur.
Verilen eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi zincir ve çarpım kuralları kullanılarak alınmıştır. x = 2 noktasındaki teğet doğrusunun denklemi olan y = 3x - 5 kullanılarak g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri tespit edilmiştir. Bu değerler türev denkleminde yerlerine yazıldığında f'(2) * 15 = 30 bağıntısı elde edilmiş ve buradan f'(2) değeri 2 olarak hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusu denkleminden g(2) ve g'(2) değerlerini bulma
g(2) = 1 ve g'(2) = 3
g fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki teğet doğrusu y = 3x - 5 olduğundan, teğet noktası olan (2, g(2)) noktası bu doğrunun üzerindedir. Buradan g(2) = 3(2) - 5 = 1 elde edilir. Teğet doğrusunun eğimi ise fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan g'(2) = 3 olur.
2
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevini alma
f'(g(x) * x^2 - x) * [g'(x) * x^2 + 2x * g(x) - 1] = 3x^2 + 6[g(x)]^2 * g'(x)
Bileşke fonksiyon türevi için zincir kuralı, içteki g(x) * x^2 ifadesi için ise çarpım kuralı uygulanmıştır.
3
Türev denkleminde x = 2 yazarak f'(2) değerini bulma
f'(2) = 2
x = 2 için g(2) = 1 ve g'(2) = 3 değerleri türev denkleminde yerine yazıldığında, sol taraf f'(2) * [3 * 4 + 4 * 1 - 1] = f'(2) * 15 olur. Sağ taraf ise 3 * 4 + 6 * (1)^2 * 3 = 30 olur. f'(2) * 15 = 30 eşitliğinden f'(2) = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi, zincir kuralı ve teğet eğimi ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1969Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=cos⁡(π2x)f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡x→1f(x3)−f(1)x2−1 \lim_{x \to 1} \frac{f(x^3) - f(1)}{x^2 - 1}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −3π4-\frac{3\pi}{4}

Cevap

−3π4-\frac{3\pi}{4}
Doğru olan −3π4-\frac{3\pi}{4} değeri, limit ifadesinin 32f′(1)\frac{3}{2}f'(1) biçiminde sadeleştirilmesi ve f′(1)f'(1) değerinin trigonometrik türev kuralıyla −π2-\frac{\pi}{2} olarak hesaplanıp yerine yazılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesini türevin tanımına benzetmek amacıyla çarpanlarına ayırma işlemi yapalım.
lim⁡x→1f(x3)−f(1)x2−1=lim⁡x→1[f(x3)−f(1)x3−1⋅x3−1x2−1]\lim_{x \to 1} \frac{f(x^3) - f(1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \left[ \frac{f(x^3) - f(1)}{x^3 - 1} \cdot \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \right]
Türevin limit tanımı olan lim⁡u→1f(u)−f(1)u−1=f′(1)\lim_{u \to 1} \frac{f(u) - f(1)}{u - 1} = f'(1) formunu elde etmek için paydadaki ifadeyi x3−1x^3-1 haline getirecek şekilde çarpan ekleyip çıkarırız.
2
Oluşan ikinci çarpanın limit değerini çarpanlara ayırma yöntemiyle hesaplayalım.
lim⁡x→1x3−1x2−1=lim⁡x→1(x−1)(x2+x+1)(x−1)(x+1)=lim⁡x→1x2+x+1x+1=32\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x+1}{x+1} = \frac{3}{2}
Belirsizliği gidermek için pay ve paydayı x−1x-1 ortak çarpanına göre sadeleştirir ve x=1x = 1 değerini yerine yazarız.
3
Türevin limit tanımını kullanarak toplam limiti f′(1)f'(1) cinsinden yazalım.
lim⁡x→1f(x3)−f(1)x2−1=f′(1)⋅32=32f′(1)\lim_{x \to 1} \frac{f(x^3) - f(1)}{x^2 - 1} = f'(1) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}f'(1)
x→1x \to 1 iken x3→1x^3 \to 1 olduğundan, birinci limit ifadesi doğrudan f′(1)f'(1) türev değerini temsil eder.
4
Fonksiyonun türevini alarak f′(1)f'(1) değerini hesaplayalım.
f(x)=cos⁡(π2x)  ⟹  f′(x)=−π2sin⁡(π2x)f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \implies f'(x) = -\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)
f′(1)=−π2sin⁡(π2)=−π2⋅1=−π2f'(1) = -\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} \cdot 1 = -\frac{\pi}{2}
Kosinüs fonksiyonunun türev kuralı ve zincir kuralı (için türevi) uygulanarak fonksiyonun x=1x=1 noktasındaki anlık değişim oranı hesaplanır.
5
Elde edilen değerleri birleştirerek limit sonucunu bulalım.
Limit=32⋅(−π2)=−3π4\text{Limit} = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{3\pi}{4}
İkinci ve dördüncü adımlarda elde ettiğimiz çarpanları birbiriyle çarparak limitin nihai değerine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı yardımıyla belirsizlik içeren limitlerin türev değerine dönüştürülmesi ve trigonometrik fonksiyonlarda zincir kuralı uygulaması.

Alternatif Yöntem

Limit ifadesinde x→1x \to 1 için 0/00/0 belirsizliği bulunduğundan L'Hôpital kuralı uygulanabilir. Payın xx'e göre türevi 3x2⋅f′(x3)3x^2 \cdot f'(x^3), paydanın türevi ise 2x2x olur. Limitte x=1x=1 yazıldığında 3⋅12⋅f′(1)2⋅1=32f′(1)\frac{3 \cdot 1^2 \cdot f'(1)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}f'(1) elde edilir. Ardından fonksiyonun türevi alınarak sonuca gidilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1970Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu yalnızca (−∞,−8](-\infty, -8] aralığında azalandır.

Buna g��re,
g(x)=f(x2−6x)g(x) = f(x^2 - 6x)
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,3]∪[4,∞)[2, 3] \cup [4, \infty)

Cevap

Fonksiyonun artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi [2,3]∪[4,∞)[2, 3] \cup [4, \infty) kümesidir.
Artan olduğu en geniş aralıkların birleşimi [2,3]∪[4,∞)[2, 3] \cup [4, \infty) kümesidir. Fonksiyonun türevi olan g′(x)=2(x−3)f′(x2−6x)g'(x) = 2(x - 3) f'(x^2 - 6x) ifadesinin işaret tablosu yapıldığında; x−3x - 3 ve f′(x2−6x)f'(x^2 - 6x) çarpanlarının işaretlerinin çarpımı (2,3)(2, 3) ve (4,∞)(4, \infty) aralıklarında pozitif (++) olmaktadır. Dolayısıyla bu aralıklar fonksiyonun artan olduğu bölgelerdir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonun türevi alınır.
g′(x)=(2x−6)⋅f′(x2−6x)=2(x−3)⋅f′(x2−6x)g'(x) = (2x - 6) \cdot f'(x^2 - 6x) = 2(x - 3) \cdot f'(x^2 - 6x)
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları bulmak için türevinin işaretini incelemek gerekir.
2
Türevin sıfır olduğu kritik noktalar belirlenir.
x−3=0  ⟹  x=3x - 3 = 0 \implies x = 3 ve f′(x2−6x)=0  ⟹  x2−6x=−8  ⟹  (x−2)(x−4)=0  ⟹  x=2f'(x^2 - 6x) = 0 \implies x^2 - 6x = -8 \implies (x - 2)(x - 4) = 0 \implies x = 2 veya x=4x = 4 kritik noktalardır.
ff fonksiyonu yalnızca (−∞,−8](-\infty, -8] aralığında azalan olduğundan, f′(u)=0f'(u) = 0 eşitliğini sağlayan sınır değer u=−8u = -8 olur.
3
Kritik noktalara göre işaret tablosu oluşturulur ve g′(x)≥0g'(x) \ge 0 olan bölgeler belirlenir.
x<2x < 2 için g′(x)<0g'(x) < 0, 2<x<32 < x < 3 için g′(x)>0g'(x) > 0, 3<x<43 < x < 4 için g′(x)<0g'(x) < 0, x>4x > 4 için g′(x)>0g'(x) > 0 bulunur. Buradan artan olan aralıklar [2,3][2, 3] ve [4,∞)[4, \infty) olarak elde edilir.
Çarpanların her aralıktaki işareti belirlenerek çarpılır. x>4x > 4 için x−3>0x-3 > 0 ve x2−6x>−8  ⟹  f′(x2−6x)>0x^2-6x > -8 \implies f'(x^2-6x) > 0 olduğundan çarpım pozitif olur. Diğer aralıklar da benzer şekilde test edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların belirlenmesi
Soru 1971Soru →
f(x)={∣x2−9∣x−3+ax,x<3x2−2ax+a2−1,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 9|}{x - 3} + ax, & x < 3 \\ x^2 - 2ax + a^2 - 1, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limiti vardır.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 9'dur.
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında limitinin olması için soldan limiti olan 3a−63a - 6 ile sağdan limiti olan a2−6a+8a^2 - 6a + 8 değerleri birbirine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen a2−9a+14=0a^2 - 9a + 14 = 0 denkleminin kökleri 22 ve 77 olup, bu değerlerin toplamı 99 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit varlığı şartını belirleme
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3+f(x)\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) olmalıdır.
Bir fonksiyonun parçalı tanımlandığı sınır noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.
2
Soldan limiti hesaplama ve mutlak değer analizi
lim⁡x→3−f(x)=3a−6\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3a - 6
x→3−x \to 3^- için x<3x < 3 olduğundan x2−9<0x^2 - 9 < 0 olur. Dolayısıyla ∣x2−9∣=−(x2−9)=−(x−3)(x+3)|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = -(x-3)(x+3) olarak dışarı çıkar ve paydadaki x−3x-3 terimi ile sadeleşir.
3
Sağdan limiti hesaplama
lim⁡x→3+f(x)=a2−6a+8\lim_{x \to 3^+} f(x) = a^2 - 6a + 8
x→3+x \to 3^+ için x≥3x \ge 3 aralığındaki x2−2ax+a2−1x^2 - 2ax + a^2 - 1 kuralı kullanılır ve xx yerine 3 yazılır.
4
Limit eşitliğini kurma ve ikinci dereceden denklemi çözme
a2−9a+14=0  ⟹  (a−2)(a−7)=0  ⟹  a=2a^2 - 9a + 14 = 0 \implies (a - 2)(a - 7) = 0 \implies a = 2 veya a=7a = 7
Sağ ve sol limit değerleri birbirine eşitlenerek aa parametresine bağlı ikinci dereceden denklem çözülür.
5
Değerlerin toplamını bulma
2+7=92 + 7 = 9
aa'nın alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin incelenmesi, mutlak değer içerisindeki ifadenin işaret analizi ve sadeleştirme yöntemleri.
Soru 1972Soru →

Tanımlı olduğu kümede f(x)=18x+2f(x) = \frac{18}{x+2} fonksiyonu veriliyor.

Buna göre,
lim⁡h→0f(1−2h)−f(1+4h)3h \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - 2h) - f(1 + 4h)}{3h}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Limit ifadesinin değeri 4'tür.
Verilen limit ifadesi türevin limit tanımı kullanılarak −2f′(1)-2f'(1) şeklinde yazılabilir. f(x)=18x+2f(x) = \frac{18}{x+2} fonksiyonunun türevi f′(x)=−18(x+2)2f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2} olduğundan, f′(1)=−2f'(1) = -2 olur. Buradan limitin değeri −2⋅(−2)=4-2 \cdot (-2) = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=−18(x+2)2f'(x) = -\frac{18}{(x+2)^2}
f(x)=18(x+2)−1f(x) = 18(x+2)^{-1} şeklinde yazılarak türev alma kuralı uygulandığında f′(x)=−18(x+2)−2f'(x) = -18(x+2)^{-2} elde edilir.
2
Türevin x=1x = 1 noktasındaki değerini bulalım.
f′(1)=−2f'(1) = -2
Türev fonksiyonunda xx yerine 11 yazılarak f′(1)=−18(1+2)2=−2f'(1) = -\frac{18}{(1+2)^2} = -2 bulunur.
3
Limit ifadesini türevin tanımına göre düzenleyelim.
−2f′(1)-2f'(1)
Pay kısmına f(1)f(1) eklenip çıkarılarak limit parçalandığında, lim⁡h→0f(1−2h)−f(1)3h−lim⁡h→0f(1+4h)−f(1)3h=−23f′(1)−43f′(1)=−2f′(1)\lim_{h \to 0} \frac{f(1-2h)-f(1)}{3h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(1+4h)-f(1)}{3h} = -\frac{2}{3}f'(1) - \frac{4}{3}f'(1) = -2f'(1) elde edilir.
4
Limit değerini hesaplayalım.
4
−2f′(1)=−2⋅(−2)=4-2f'(1) = -2 \cdot (-2) = 4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Türevin limit tanımı ve anlık değişim oranı
Soru 1973Soru →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−53xf(x) = x^3 - \frac{5}{3}x
fonksiyonunun grafiğine üzerindeki bir P(p,f(p))P(p, f(p)) noktasından çizilen teğet doğrusu, bu grafiği başka bir Q(q,f(q))Q(q, f(q)) noktasında kesmektedir.

PP ve QQ noktalarından grafiğe çizilen teğet doğruları birbirine dik olduğuna göre, pp sayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 176\frac{\sqrt{17}}{6}

Cevap

kök 17 bölü 6 olan ifade
Doğru cevap olan ifade, f(x)f(x) eğrisinin PP noktasındaki teğetinin eğriyi kestiği diğer noktanın Q(−2p,f(−2p))Q(-2p, f(-2p)) olduğunu gösterdikten sonra, bu iki noktadaki teğetlerin eğimleri olan 3p2−533p^2 - \frac{5}{3} ve 12p2−5312p^2 - \frac{5}{3} değerlerinin çarpımını −1-1'e eşitleyerek elde edilen denklemin pozitif köklerinden biridir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak herhangi bir xx apsisli noktadaki teğet eğimi formülünü bulunuz.
f′(x)=3x2−53f'(x) = 3x^2 - \frac{5}{3}
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir.
2
P(p,f(p))P(p, f(p)) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini yazınız.
y−(p3−53p)=(3p2−53)(x−p)  ⟹  y=(3p2−53)x−2p3y - (p^3 - \frac{5}{3}p) = (3p^2 - \frac{5}{3})(x - p) \implies y = (3p^2 - \frac{5}{3})x - 2p^3
Teğet doğrusunun denklemi, eğimi ve üzerindeki PP noktası kullanılarak y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0) formülüyle elde edilir.
3
Teğet doğrusu ile eğrinin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözünüz.
x3−53x=(3p2−53)x−2p3  ⟹  x3−3p2x+2p3=0  ⟹  (x−p)2(x−q)=0x^3 - \frac{5}{3}x = (3p^2 - \frac{5}{3})x - 2p^3 \implies x^3 - 3p^2 x + 2p^3 = 0 \implies (x-p)^2(x-q) = 0
Teğet noktası çift katlı kök olduğundan denklem (x−p)2(x−q)=0(x-p)^2(x-q) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler toplamı ilişkisinden 2p+q=0  ⟹  q=−2p2p + q = 0 \implies q = -2p elde edilir.
4
PP ve QQ noktalarındaki teğet doğrularının eğimlerini bulunuz.
m1=3p2−53m_1 = 3p^2 - \frac{5}{3} ve m2=3(−2p)2−53=12p2−53m_2 = 3(-2p)^2 - \frac{5}{3} = 12p^2 - \frac{5}{3}
Her iki noktadaki teğetlerin eğimleri, o noktaların apsis değerlerinin türev fonksiyonunda yerine yazılmasıyla hesaplanır.
5
Teğetlerin birbirine dik olması şartını uygulayarak pp için denklemi çözünüz.
m1⋅m2=−1  ⟹  (3p2−53)(12p2−53)=−1  ⟹  324p4−225p2+34=0m_1 \cdot m_2 = -1 \implies (3p^2 - \frac{5}{3})(12p^2 - \frac{5}{3}) = -1 \implies 324p^4 - 225p^2 + 34 = 0
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir. Elde edilen denklem p2p^2 değişkenine göre ikinci dereceden bir denkleme dönüştürülür.
6
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırarak pp değerlerini bulunuz.
(36p2−17)(9p2−2)=0  ⟹  p2=1736(36p^2 - 17)(9p^2 - 2) = 0 \implies p^2 = \frac{17}{36} veya p2=29p^2 = \frac{2}{9}
Pozitif pp değerleri 176\frac{\sqrt{17}}{6} veya 23\frac{\sqrt{2}}{3} olarak bulunur. Seçeneklerde bu değerlerden ilki mevcuttur.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğrisi ile kesişim noktalarının tespiti ve türev ile teğet eğimi ilişkisi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1974Soru →
Gerçel katsayılı üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu için,
lim⁡x→1P(x)x2−1=−12\lim_{x \to 1} \frac{P(x)}{x^2 - 1} = -12
lim⁡x→3P(x)x2−9=−4\lim_{x \to 3} \frac{P(x)}{x^2 - 9} = -4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
lim⁡x→2P(x)x2−4\lim_{x \to 2} \frac{P(x)}{x^2 - 4}
limitinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Limit değeri 3'tür.
Verilen limitlerin gerçel sayı olması için paydaları sıfır yapan x=1x=1 ve x=3x=3 değerlerinin P(x)P(x) polinomunun kökleri olması gerekir. İstenen limitin varlığı da x=2x=2 değerinin polinomun bir diğer kökü olmasını gerektirir. Bu bilgilerle yazılan P(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3) polinomunun baş katsayısı k=−12k = -12 olarak bulunur. Son limitte belirsizlik giderilerek x=2x = 2 değeri yerine yazıldığında sonuç 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen limitlerin paydalarının sıfıra yaklaşma durumunu incelemek.
x→1x \to 1 için x2−1→0x^2 - 1 \to 0 ve x→3x \to 3 için x2−9→0x^2 - 9 \to 0 olur.
Limit değerlerinin gerçel sayı olması için paylar da sıfıra gitmelidir, yani P(1)=0P(1) = 0 ve P(3)=0P(3) = 0 olmalıdır.
2
İstenen limitin varlık koşulunu belirlemek.
x→2x \to 2 için payda x2−4→0x^2 - 4 \to 0 olduğundan limitin var olması için P(2)=0P(2) = 0 olmalıdır.
0/0 belirsizliği oluşmalıdır ki sadeleşme sonucu limit bir gerçel sayıya eşit olabilsin.
3
Polinomun genel denklemini yazmak.
P(x)P(x) üçüncü dereceden bir polinom ve kökleri 1, 2, 3 olduğundan P(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3) olur.
Polinomun kökleri bilindiğinde çarpanları cinsinden ifade edilebilir.
4
Birinci limit eşitliğini kullanarak kk baş katsayısını bulmak.
lim⁡x→1k(x−1)(x−2)(x−3)(x−1)(x+1)=k(−1)(−2)2=k=−12\lim_{x \to 1} \frac{k(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)} = \frac{k(-1)(-2)}{2} = k = -12 elde edilir.
x−1x-1 çarpanları sadeleşir ve belirsizlik giderilerek limit değeri hesaplanır.
5
İstenen limit değerini hesaplamak.
lim⁡x→2−12(x−1)(x−2)(x−3)(x−2)(x+2)=lim⁡x→2−12(x−1)(x−3)x+2=−12(1)(−1)4=3\lim_{x \to 2} \frac{-12(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{-12(x-1)(x-3)}{x+2} = \frac{-12(1)(-1)}{4} = 3 bulunur.
x−2x-2 çarpanları sadeleştirildikten sonra x=2x = 2 değeri yerine yazılarak limit hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinom fonksiyonlarda 0/0 belirsizliğinin çarpanlara ayırma yöntemiyle giderilmesi.

Alternatif Yöntem

Polinomun P(x)=k(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3) formunda olduğunu belirledikten sonra L'Hôpital kuralı kullanılarak da limit değerleri hesaplanabilir. Örneğin, lim⁡x→1P′(x)2x=−12\lim_{x \to 1} \frac{P'(x)}{2x} = -12 eşitliğinden türev yardımıyla da sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1975Soru →
f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 fonksiyonunun grafiğine, bu grafiğin yy eksenini kestiği noktadan çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15\frac{1}{5}

Cevap

15\frac{1}{5}
Grafiğin yy eksenini kestiği nokta x=0x = 0 apsisli noktadır. Fonksiyonun bu noktadaki teğet eğimi f′(0)=−5f'(0) = -5 olarak bulunur. Teğet ile normal doğruları birbirine dik olduğundan normal doğrusunun eğimi 15\frac{1}{5} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun yy eksenini kestiği noktanın apsisini belirleme.
Apsis değeri x=0x = 0 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun grafiğinin yy eksenini kestiği noktada her zaman x=0x = 0 olur.
2
Fonksiyonun türevini alarak bu noktadaki teğet doğrusunun eğimini hesaplama.
f′(x)=2x−5f'(x) = 2x - 5 türev fonksiyonunda x=0x = 0 yazılarak teğet doğrusunun eğimi mt=f′(0)=−5m_t = f'(0) = -5 bulunur.
Fonksiyonun o noktadaki türev değeri, grafiğe o noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimine eşittir.
3
Teğet eğiminden faydalanarak normal doğrusunun eğimini bulma.
mt⋅mn=−1  ⟹  −5⋅mn=−1  ⟹  mn=15m_t \cdot m_n = -1 \implies -5 \cdot m_n = -1 \implies m_n = \frac{1}{5} elde edilir.
Birbirine dik olan teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine üzerindeki bir noktadan çizilen teğet ve normal doğrularının eğimleri arasındaki ilişki ile türev ilişkisi.
Soru 1976Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için,

* x=1x = 1 apsisli noktasındaki teğeti y=−x+2y = -x + 2 doğrusudur.
* x=3x = 3 apsisli noktasındaki teğeti y=2x−3y = 2x - 3 doğrusudur.

Buna göre,
g(x)=f(x⋅f(4−x))g(x) = f(x \cdot f(4 - x))

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun x=3x = 3 noktasındaki türevinin değeri olan g′(3)g'(3) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Doğru cevap 8'dir.
Bileşke fonksiyon türevi ve çarpım kuralı eksiksiz uygulandığında g′(3)=f′(3⋅f(1))⋅[f(1)−3⋅f′(1)]g'(3) = f'(3 \cdot f(1)) \cdot [f(1) - 3 \cdot f'(1)] ifadesi elde edilir. Teğet doğrularının denklemlerinden okunan f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=−1f'(1) = -1 ve f′(3)=2f'(3) = 2 değerleri yerine yazıldığında sonuç 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrularının denklemlerini kullanarak ff fonksiyonunun ilgili noktalardaki değerlerini ve türevlerini belirlemek.
x=1x = 1 noktasındaki teğet y=−x+2y = -x + 2 olduğundan, teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) bu doğru üzerindedir. Buradan f(1)=−1+2=1f(1) = -1 + 2 = 1 ve teğetin eğimi olan türev f′(1)=−1f'(1) = -1 bulunur.

x=3x = 3 noktasındaki teğet y=2x−3y = 2x - 3 olduğundan, teğet noktası (3,f(3))(3, f(3)) bu doğru üzerindedir. Buradan f(3)=2(3)−3=3f(3) = 2(3) - 3 = 3 ve teğetin eğimi olan türev f′(3)=2f'(3) = 2 bulunur.
Bileşke fonksiyonun türevini alıp değerleri yerine yazabilmek için teğet-türev ilişkisinden yararlanılması gerekir.
2
g(x)=f(x⋅f(4−x))g(x) = f(x \cdot f(4 - x)) fonksiyonunun türev kuralını yazmak.
Zincir kuralı gereği:
g′(x)=f′(x⋅f(4−x))⋅ddx[x⋅f(4−x)]g'(x) = f'(x \cdot f(4 - x)) \cdot \frac{d}{dx}[x \cdot f(4 - x)]

İçteki ifadenin türevi için çarpım kuralı ve f(4−x)f(4-x) bileşkesi için zincir kuralı uyguland��ğında:
ddx[x⋅f(4−x)]=1⋅f(4−x)+x⋅f′(4−x)⋅(−1)=f(4−x)−x⋅f′(4−x)\frac{d}{dx}[x \cdot f(4 - x)] = 1 \cdot f(4 - x) + x \cdot f'(4 - x) \cdot (-1) = f(4 - x) - x \cdot f'(4 - x)

Böylece türev fonksiyonu:
g′(x)=f′(x⋅f(4−x))⋅[f(4−x)−x⋅f′(4−x)]g'(x) = f'(x \cdot f(4 - x)) \cdot [f(4 - x) - x \cdot f'(4 - x)] olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevini alırken dıştan içe doğru türev çarpımları zincir kuralına göre yapılmalıdır.
3
g′(x)g'(x) ifadesinde x=3x = 3 yazarak sonucu hesaplamak.
g′(3)=f′(3⋅f(1))⋅[f(1)−3⋅f′(1)]g'(3) = f'(3 \cdot f(1)) \cdot [f(1) - 3 \cdot f'(1)]

Adım 1'de bulduğumuz f(1)=1f(1) = 1 ve f′(1)=−1f'(1) = -1 değerlerini yerine koyalım:
g′(3)=f′(3⋅1)⋅[1−3⋅(−1)]g'(3) = f'(3 \cdot 1) \cdot [1 - 3 \cdot (-1)]
g′(3)=f′(3)⋅[1+3]g'(3) = f'(3) \cdot [1 + 3]
g′(3)=f′(3)⋅4g'(3) = f'(3) \cdot 4

f′(3)=2f'(3) = 2 değerini de yerine yazarsak:
g′(3)=2⋅4=8g'(3) = 2 \cdot 4 = 8 elde edilir.
İstenen g′(3)g'(3) değerine ulaşmak için elde edilen türev fonksiyonuna x=3x=3 yazılır ve bilinen değerler yerine konur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir. Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun teğet noktasındaki türevine eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1977Soru →
Türevlenebilir ve sıfırdan farklı değerler alan bir ff fonksiyonu için
g(x)=f(x+1f(x))g(x) = f\left(\frac{x+1}{f(x)}\right)
biçiminde tanımlanıyor.
f(1)=2f(1) = 2
f′(1)=4f'(1) = 4
olduğuna göre, g′(1)g'(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -6

Cevap

Doğru cevap -6'dır.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı ve bölümün türevi kuralları doğru bir şekilde uygulanıp x=1x=1 değeri yerine yazıldığında, içteki fonksiyonun değeri 11 ve bu noktadaki türevi −32-\frac{3}{2} olarak bulunur. Dıştaki fonksiyonun türevi olan f′(1)=4f'(1)=4 ile içteki kısmın türevi olan −32-\frac{3}{2} çarpıldığında doğru cevap −6-6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevi kuralını uygulayarak genel türev denklemini oluşturun.
g′(x)=f′(x+1f(x))⋅(x+1f(x))′g'(x) = f'\left(\frac{x+1}{f(x)}\right) \cdot \left(\frac{x+1}{f(x)}\right)'
Bileşke fonksiyon türevlenirken dıştaki fonksiyonun türevi alınıp içi aynen bırakılır ve bu ifade içteki fonksiyonun türevi ile çarpılır.
2
Bölümün türevi kuralını kullanarak içteki x+1f(x)\frac{x+1}{f(x)} ifadesinin türevini bulun.
h′(x)=1⋅f(x)−(x+1)⋅f′(x)[f(x)]2h'(x) = \frac{1 \cdot f(x) - (x+1) \cdot f'(x)}{[f(x)]^2}
Bölüm durumundaki bir ifadenin türevi; payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi, bölü paydanın karesi kuralıyla hesaplanır.
3
x = 1 için içteki fonksiyonun değerini ve türevini hesaplayın.
İçteki fonksiyonun değeri: h(1)=1+1f(1)=22=1h(1) = \frac{1+1}{f(1)} = \frac{2}{2} = 1. İçteki fonksiyonun türevi: h′(1)=f(1)−2⋅f′(1)[f(1)]2=2−2⋅422=−32h'(1) = \frac{f(1) - 2 \cdot f'(1)}{[f(1)]^2} = \frac{2 - 2 \cdot 4}{2^2} = -\frac{3}{2}.
Türev ifadesinde x=1x = 1 yazılarak her bir bileşenin değeri hesaplanır.
4
Tüm değerleri birleştirerek g′(1)g'(1) sonucuna ulaşın.
g′(1)=f′(1)⋅h′(1)=4⋅(−32)=−6g'(1) = f'(1) \cdot h'(1) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6
Zincir kuralından elde edilen bileşenler çarpılarak nihai türev değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türevi çarpan olarak eklenir.
Soru 1978Soru →

ff ve gg, x=2x = 2 noktasında türevlenebilir ve f(2)>0f(2) > 0, g(2)>0g(2) > 0 koşullarını sağlayan iki fonksiyondur.

x=2x = 2 noktasını içeren açık bir aralıktaki her xx değeri için,
f(x)⋅g(x)=x2−3x+4f(x) \cdot g(x) = x^2 - 3x + 4
f(x)g(x)+1=(x−1)2\frac{f(x)}{g(x) + 1} = (x - 1)^2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, h(x)=x⋅f(x)g(x)h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)} fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İstenen türev değeri 12'dir.
Verilen fonksiyonel bağıntılardan çarpım ve bölüm kuralları yardımıyla türev alınarak x=2x=2 için bir denklem sistemi oluşturulur. Buradan f′(2)=3f'(2) = 3 ve g′(2)=−1g'(2) = -1 bulunur. Daha sonra h(x)h(x) fonksiyonuna bölüm türevi uygulandığında h′(2)=12h'(2) = 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliklerde x=2x = 2 yazılarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerleri belirlenir.
f(2)⋅g(2)=2f(2) \cdot g(2) = 2 ve f(2)g(2)+1=1\frac{f(2)}{g(2)+1} = 1 denklem sistemi elde edilir. Pozitif değerlilik koşulu altında bu sistem çözüldüğünde g(2)=1g(2) = 1 ve f(2)=2f(2) = 2 bulunur.
Türev denklemlerinde fonksiyonların bu noktadaki değerlerini yerine koyabilmek için.
2
Her iki eşitliğin de xx'e göre türevleri alınır.
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=2x−3f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2x - 3 ve f′(x)(g(x)+1)−f(x)g′(x)(g(x)+1)2=2(x−1)\frac{f'(x)(g(x)+1) - f(x)g'(x)}{(g(x)+1)^2} = 2(x-1) türev bağıntıları elde edilir.
f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerlerine ulaşmak amacıyla temel türev kuralları uygulanır.
3
Türev bağıntılarında x=2x = 2 yazılıp, bilinen fonksiyon değerleri yerine konularak doğrusal denklem sistemi çözülür.
f′(2)+2g′(2)=1f'(2) + 2g'(2) = 1 ve f′(2)−g′(2)=4f'(2) - g'(2) = 4 sistemi elde edilir. Buradan g′(2)=−1g'(2) = -1 ve f′(2)=3f'(2) = 3 olarak bulunur.
h′(2)h'(2) değerini hesaplamak için gerekli olan türev değerlerini bulmak.
4
h(x)=x⋅f(x)g(x)h(x) = \frac{x \cdot f(x)}{g(x)} ifadesine bölüm ve pay kısmına çarpım türevi kuralı uygulanarak x=2x = 2 yazılır.
h′(x)=(f(x)+x⋅f′(x))⋅g(x)−x⋅f(x)⋅g′(x)(g(x))2h'(x) = \frac{(f(x) + x \cdot f'(x)) \cdot g(x) - x \cdot f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} ifadesinde değerler yerine konduğunda h′(2)=(2+2⋅3)⋅1−2⋅2⋅(−1)12=12h'(2) = \frac{(2 + 2 \cdot 3) \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot (-1)}{1^2} = 12 bulunur.
Soruda istenen h′(2)h'(2) değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları
Soru 1979Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x−5)2(x+3)f'(x) = (x-5)^2(x+3)
olarak verilmiştir.

Buna göre, g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,1]∪[2,3](-\infty, 1] \cup [2, 3]

Cevap

(−∞,1]∪[2,3](-\infty, 1] \cup [2, 3]
Bileşke fonksiyonun türevi alındığında g′(x)=2(x−2)(x−5)2(x+1)2(x−3)(x−1)g'(x) = 2(x-2)(x-5)^2(x+1)^2(x-3)(x-1) elde edilir. İşaret tablosu yapıldığında x=−1x = -1 ve x=5x = 5 çift katlı kökler olduğu için bu noktalarda işaret değişmez. Türevin negatif veya sıfır olduğu bölge (−∞,1]∪[2,3](-\infty, 1] \cup [2, 3] olur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=f(x2−4x)g(x) = f(x^2 - 4x) fonksiyonunun türevini zincir kuralını kullanarak alalım.
g′(x)=(2x−4)⋅f′(x2−4x)g'(x) = (2x - 4) \cdot f'(x^2 - 4x) elde edilir.
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.
2
Verilen f′(x)=(x−5)2(x+3)f'(x) = (x-5)^2(x+3) ifadesinde xx yerine x2−4xx^2 - 4x yazarak f′(x2−4x)f'(x^2 - 4x) ifadesini elde edip çarpanlarına ayıralım.
f′(x2−4x)=(x2−4x−5)2(x2−4x+3)f'(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x - 5)^2 (x^2 - 4x + 3) olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak: f′(x2−4x)=(x−5)2(x+1)2(x−3)(x−1)f'(x^2 - 4x) = (x-5)^2 (x+1)^2 (x-3)(x-1) elde edilir.
Türev fonksiyonunun köklerini ve işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm çarpanları en sade biçimde yazmamız gerekir.
3
g′(x)=2(x−2)(x−5)2(x+1)2(x−3)(x−1)g'(x) = 2(x-2)(x-5)^2(x+1)^2(x-3)(x-1) fonksiyonunun tüm köklerini ve bu köklerin katlılık (tek/çift) durumlarını belirleyelim.
Kökler küçükten büyüğe: x=−1x = -1 (çift katlı), x=1x = 1 (tek katlı), x=2x = 2 (tek katlı), x=3x = 3 (tek katlı), x=5x = 5 (çift katlı) olarak bulunur.
İşaret tablosunda hangi kritik noktalardan geçerken işaretin değişip değişmeyeceğini doğru tespit etmek için köklerin katları belirlenmelidir.
4
g′(x)g'(x) için işaret tablosu hazırlayarak fonksiyonun azalan olduğu aralıkları bulalım.
En sağdaki aralıkta derecesi en büyük terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için (+) ile başlanır. Çift katlı köklerde işaret değiştirilmeden tablo tamamlanır: x>5x > 5 için (+), 3<x<53 < x < 5 için (+), 2<x<32 < x < 3 için (-), 1<x<21 < x < 2 için (+), −1<x<1-1 < x < 1 için (-), x<−1x < -1 için (-). Dolayısıyla g′(x)≤0g'(x) \leq 0 olan en geniş aralıklar (−∞,1](-\infty, 1] ve [2,3][2, 3] aralıklarıdır.
Bir fonksiyonun türevinin negatif veya sıfır olduğu en geniş aralıklarda fonksiyon azalandır. Sürekli fonksiyonlarda türevin sıfır olduğu izole noktalar azalanlık aralığını bölmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi kullanılarak artan ve azalan aralıkların belirlenmesi
Soru 1980Soru →

ff ve gg, (0,∞)(0, \infty) aralığında tanımlı, pozitif değerli ve türevlenebilir iki fonksiyondur.

Her x>0x > 0 için
f(x)⋅g(x)=x3+4x2+12f(x) \cdot g(x) = x^3 + 4x^2 + 12
f(x)g(x)=x2\frac{f(x)}{g(x)} = x^2

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, H(x)=x⋅f(x)+g(x)f(x)⋅g(x)H(x) = \frac{x \cdot f(x) + g(x)}{f(x) \cdot g(x)} olarak tanımlanan H(x)H(x) fonksiyonunun x=2x = 2 noktasındaki türevi olan H′(2)H'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13\frac{1}{3}

Cevap

H'(2) değeri 13\frac{1}{3} olarak bulunur.
Verilen fonksiyonel ilişkilerden yararlanılarak x=2x=2 için f(2)=12f(2)=12 ve g(2)=3g(2)=3 değerleri elde edilir. Çarpım ve bölüm türevi kuralları uygulanarak türev değerleri f′(2)=323f'(2)=\frac{32}{3} ve g′(2)=−13g'(2)=-\frac{1}{3} olarak hesaplanır. H(x)H(x) fonksiyonu xg(x)+1f(x)\frac{x}{g(x)} + \frac{1}{f(x)} şeklinde parçalanıp türevi alındığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliklerden x=2x = 2 için f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerlerini bulunuz.
f(2)⋅g(2)=23+4(2)2+12=36f(2) \cdot g(2) = 2^3 + 4(2)^2 + 12 = 36 ve f(2)g(2)=22=4\frac{f(2)}{g(2)} = 2^2 = 4 elde edilir. Fonksiyonlar pozitif değerli olduğundan f(2)=4g(2)f(2) = 4g(2) yazılıp çarpım denkleminde yerine konulursa 4[g(2)]2=36⇒g(2)=34[g(2)]^2 = 36 \Rightarrow g(2) = 3 ve dolayısıyla f(2)=12f(2) = 12 bulunur.
Türev hesaplamalarında kullanılacak olan fonksiyon değerlerini belirlemek amacıyla.
2
Eşitliklerin türevlerini alarak f′(2)f'(2) ve g′(2)g'(2) değerlerini bulunuz.
Çarpım türevi kuralından: f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=3x2+8xf'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 + 8x. x=2x=2 için: 3f′(2)+12g′(2)=283f'(2) + 12g'(2) = 28 olur. Bölüm türevi kuralından: f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2=2x\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = 2x. x=2x=2 için: 3f′(2)−12g′(2)9=4⇒3f′(2)−12g′(2)=36\frac{3f'(2) - 12g'(2)}{9} = 4 \Rightarrow 3f'(2) - 12g'(2) = 36 olur. Bu iki denklemin ortak çözümünden f′(2)=323f'(2) = \frac{32}{3} ve g′(2)=−13g'(2) = -\frac{1}{3} elde edilir.
H′(2)H'(2) ifadesinde kullanılacak fonksiyon türev değerlerini bulmak amacıyla.
3
H(x)H(x) ifadesini cebirsel olarak sadeleştirip türevini alınız.
H(x)=x⋅f(x)+g(x)f(x)⋅g(x)=x⋅f(x)f(x)⋅g(x)+g(x)f(x)⋅g(x)=xg(x)+1f(x)H(x) = \frac{x \cdot f(x) + g(x)}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{x \cdot f(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{g(x)}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{x}{g(x)} + \frac{1}{f(x)} olur. Her iki tarafın türevi alındığında H′(x)=1⋅g(x)−x⋅g′(x)[g(x)]2−f′(x)[f(x)]2H'(x) = \frac{1 \cdot g(x) - x \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} - \frac{f'(x)}{[f(x)]^2} elde edilir.
H′(x)H'(x) türev fonksiyonunu daha basit ve hesaplaması kolay bir biçimde ifade etmek amacıyla.
4
Bulunan değerleri türev fonksiyonunda yerine yazarak H′(2)H'(2) değerini hesaplayınız.
H′(2)=3−2(−13)9−323144=1139−32432=1127−227=927=13H'(2) = \frac{3 - 2(-\frac{1}{3})}{9} - \frac{\frac{32}{3}}{144} = \frac{\frac{11}{3}}{9} - \frac{32}{432} = \frac{11}{27} - \frac{2}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} elde edilir.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak amacıyla.

Anahtar Kavram

Temel Türev Alma Kuralları
Tahmini Süre:3m 0s
ÖncekiSayfa 99 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin