Examkin

Tüm alıştırma soruları

8734 soru

Tüm türler8,734Çoktan seçmeli4,865Çoklu seçim1Doğru / Yanlış289Sayısal852Eşleştirme1,797Sıralama842Boşluk doldurma63Kısa cevap25
Soru 1921Soru →
Bir ff fonksiyonu, aa ve bb gerçel sayıları için
f(x)={x2−x−6∣x−3∣+a,x<32x+b,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} + a, & x < 3 \\ 2x + b, & x \ge 3 \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limiti olduğuna göre, a−ba - b farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Limitin var olması için x=3x = 3 noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken x<3x < 3 olduğundan mutlak değerin içi negatiftir ve ifade eksi ile çarpılarak çıkarılır; sadeleştirme sonucunda sol limit −5+a-5 + a bulunur. Sağ limit ise doğrudan 6+b6 + b olarak elde edilir. Bu iki limit değerinin eşitliğinden a−b=11a - b = 11 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplamak için x<3x < 3 aralığındaki kural seçilir.
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(x2−x−6∣x−3∣+a)\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \left( \frac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} + a \right)
Kritik noktalarda limit varlığını incelemek için sağdan ve soldan limitlere ayrı ayrı bakılmalıdır.
2
x→3−x \to 3^- için x<3x < 3 olduğundan ∣x−3∣=−(x−3)|x - 3| = -(x - 3) olarak çıkarılır ve pay ifadesi çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.
lim⁡x→3−((x−3)(x+2)−(x−3)+a)=lim⁡x→3−(−(x+2)+a)=−(3+2)+a=−5+a\lim_{x \to 3^-} \left( \frac{(x - 3)(x + 2)}{-(x - 3)} + a \right) = \lim_{x \to 3^-} (-(x + 2) + a) = -(3 + 2) + a = -5 + a
0/00/0 belirsizliğini gidermek için mutlak değerin işareti belirlenir ve sadeleştirme yapılır.
3
x=3x = 3 noktasındaki sağ limiti hesaplamak için x≥3x \ge 3 aralığındaki kural seçilir ve x=3x = 3 de��eri yerine yazılır.
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(2x+b)=2(3)+b=6+b\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x + b) = 2(3) + b = 6 + b
Sağdan yaklaşırken ilgili fonksiyon parçası doğrudan değerlendirilir.
4
x=3x = 3 noktasında limitin mevcut olması için sağ ve sol limit değerleri birbirine eşitlenir.
−5+a=6+b⇒a−b=6−(−5)=11-5 + a = 6 + b \Rightarrow a - b = 6 - (-5) = 11
Bir noktada limitin var olabilmesi için o noktadaki sağ ve sol limitlerin eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde sağ ve sol limitlerin kritik noktalarda eşit olması kuralı ve mutlak değerin işaret analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1922Soru →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve y∈(π2,π)y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5}
cos⁡y=−513\cos y = -\frac{5}{13}
olduğuna göre, cos⁡(x−y)\cos(x - y) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1665\frac{16}{65}

Cevap

On altı bölü altmış beş
Doğru seçenekte verilen ifade, kosinüs fark formülü kullanılarak ve açıların bulundukları bölgelere göre trigonometrik değerlerinin işaretleri doğru belirlenerek hesaplanmıştır. xx açısı birinci bölgede olduğu için kosinüs değeri pozitif, yy açısı ikinci bölgede olduğu için sinüs değeri pozitiftir. Bu değerler formülde yerine yazıldığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
xx açısının trigonometrik değerlerini belirlemek.
cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan birinci bölgededir ve tüm trigonometrik fonksiyonları pozitiftir. 3−4−53-4-5 dik üçgeninden cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5} elde edilir.
2
yy açısının trigonometrik değerlerini belirlemek.
sin⁡y=1213\sin y = \frac{12}{13}
y∈(π2,π)y \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olduğundan ikinci bölgededir. İkinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir. 5−12−135-12-13 dik üçgeninden sin⁡y=1213\sin y = \frac{12}{13} elde edilir.
3
Kosinüs fark formülünü yazıp değerleri yerine koymak.
cos⁡(x−y)=1665\cos(x - y) = \frac{16}{65}
cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y formülünde bulduğumuz değerleri yerine yazarsak: cos⁡(x−y)=(45)⋅(−513)+(35)⋅(1213)=−2065+3665=1665\cos(x - y) = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(\frac{12}{13}\right) = -\frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{16}{65} bulunur.

Anahtar Kavram

İki açının farkının kosinüsü, bu açıların kosinüslerinin çarpımı ile sinüslerinin çarpımının toplamına eşittir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1923Soru →

Türevlenebilir ff ve gg fonksiyonlarının bazı xx değerleri için kendilerinin ve türevlerinin değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xxf(x)f(x)f′(x)f'(x)g(x)g(x)g′(x)g'(x)
2211443355
3355−2-22244

h(x)=(f∘g)(x)h(x) = (f \circ g)(x) olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Bileşke fonksiyonun türevi ve zincir kuralı doğru uygulandığında elde edilen −10-10 değeridir.
Bileşke fonksiyonun türev kuralı h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) biçimindedir. Tablodaki değerlere göre g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=5g'(2) = 5 olduğundan h′(2)=f′(3)⋅5h'(2) = f'(3) \cdot 5 haline gelir. Yine tablodan f′(3)=−2f'(3) = -2 değeri yerine konulduğunda h′(2)=−2⋅5=−10h'(2) = -2 \cdot 5 = -10 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını yazın.
h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Zincir kuralı gereğince h(x)=(f∘g)(x)h(x) = (f \circ g)(x) fonksiyonunun türevi, dıştaki fonksiyonun türevinin içteki fonksiyon değerindeki karşılığı ile içteki fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir.
2
Türev fonksiyonunda xx yerine 22 yazarak ifadeyi düzenleyin.
h′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)h'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2)
x=2x = 2 noktasındaki türev değerini bulmak için fonksiyonda xx yerine 22 yazılır.
3
Tablodan g(2)g(2) ve g′(2)g'(2) değerlerini okuyup yerlerine yazın.
g(2)=3g(2) = 3 ve g′(2)=5g'(2) = 5 olduğundan h′(2)=f′(3)⋅5h'(2) = f'(3) \cdot 5 olur.
x=2x=2 satırındaki g(x)g(x) ve g′(x)g'(x) sütunlarındaki değerler alınmıştır.
4
Tablodan f′(3)f'(3) değerini okuyup işlemi tamamlayın.
f′(3)=−2f'(3) = -2 olduğundan h′(2)=−2⋅5=−10h'(2) = -2 \cdot 5 = -10 bulunur.
x=3x=3 satırındaki f′(x)f'(x) sütunundaki değer alınarak çarpım işlemi gerçekleştirilmiştir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı uygulanırken dıştaki fonksiyonun türevi içteki fonksiyonun değerinde hesaplanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
Soru 1924Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her noktada türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi olan f′f' fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Grafik, xx-eksenini x=−3x = -3 ve x=4x = 4 noktalarında kesmektedir.
* Grafik, x=1x = 1 noktasında xx-eksenine teğettir.
* x∈(−∞,−3)∪(4,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty) için f′(x)<0f'(x) < 0 ve x∈(−3,1)∪(1,4)x \in (-3, 1) \cup (1, 4) için f′(x)>0f'(x) > 0 dır.

Buna göre,

I. ff fonksiyonu [−3,4][-3, 4] aralığında artandır.
II. g(x)=f(2−x)g(x) = f(2-x) fonksiyonu [3,5][3, 5] aralığında artandır.
III. h(x)=f(x2)h(x) = f(x^2) fonksiyonu (0,2)(0, 2) aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Doğru seçenek I ve III. öncüllerin doğru olduğunu belirtmektedir. ff fonksiyonunun türevi [−3,4][-3, 4] aralığında (sadece x=1x=1 noktasında sıfır olmak üzere) pozitif değerli olduğundan ff bu aralıkta artandır. h(x)=f(x2)h(x) = f(x^2) fonksiyonunun türevi h′(x)=2x⋅f′(x2)h'(x) = 2x \cdot f'(x^2) olup, (0,2)(0, 2) aralığındaki tüm xx değerleri için bu türev pozitif olduğundan hh fonksiyonu da bu aralıkta artandır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevin işaret tablosunu oluşturarak birinci öncülü değerlendirme
f′(x)f'(x) fonksiyonu [−3,4][-3, 4] aralığında (yalnızca x=1x=1 noktasında sıfır olmak üzere) pozitif değerlidir.
Bir fonksiyonun türevi bir aralıkta sıfırdan büyük veya eşitse ve türevi sıfır yapan noktalar ayrık ise fonksiyon o aralıkta strictly artandır. Dolayısıyla birinci ��ncül doğrudur.
2
İkinci öncüldeki composite fonksiyonun türevini alarak artanlığını inceleme
g′(x)=−f′(2−x)g'(x) = -f'(2-x) olur. x∈[3,5]x \in [3, 5] için 2−x∈[−3,−1]2-x \in [-3, -1] aralığındadır. Bu aralıkta f′(2−x)≥0f'(2-x) \ge 0 olduğundan g′(x)≤0g'(x) \le 0 elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken içteki 2−x2-x ifadesinin türevi olan −1-1 çarpanı gelir. g′(x)≤0g'(x) \le 0 olduğundan g(x)g(x) fonksiyonu bu aralıkta azalandır, dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.
3
Üçüncü öncüldeki composite fonksiyonun türevini alarak artanlığını inceleme
h′(x)=2x⋅f′(x2)h'(x) = 2x \cdot f'(x^2) olur. x∈(0,2)x \in (0, 2) için 2x>02x > 0 ve x2∈(0,4)x^2 \in (0, 4) aralığındadır. Bu aralıkta f′(x2)≥0f'(x^2) \ge 0 olduğundan h′(x)≥0h'(x) \ge 0 elde edilir.
x∈(0,2)x \in (0, 2) aralığında türev pozitif (sadece x=1x=1 noktasında sıfır) olduğundan h(x)h(x) bu aralıkta artandır, dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve bileşke fonksiyonların türevi

Alternatif Yöntem

Öncüller incelenirken uzun uzun işaret tablosu çizmek yerine, türevin grafik üzerindeki pozitif ve negatif olduğu bölgeler zihinden takip edilebilir. Örneğin g(x)=f(2−x)g(x) = f(2-x) için xx değerleri 33 ile 55 arasında artarken, 2−x2-x değerleri −1-1 ile −3-3 arasında azalır. Bu aralıkta f′f' pozitif olduğundan, ff fonksiyonu azalan yönde hareket eder. Dolayısıyla gg fonksiyonu azalandır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 1925Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir y=f(t)y = f(t) ve t=g(x)t = g(x) fonksiyonları

y=t2−3ty = t^2 - 3t
t=x2+5t = \sqrt{x^2 + 5}

eşitlikleriyle veriliyor.

Buna göre, x=2x = 2 değeri için dydx\frac{dy}{dx} türevinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

x = 2 değeri için dy/dx türevinin değeri 2'dir.
Zincir kuralı gereğince dy/dx türevi, y'nin t'ye göre türevi ile t'nin x'e göre türevinin çarpımına eşittir. x = 2 değeri için t = 3 olur. Bu noktalardaki dy/dt = 3 ve dt/dx = 2/3 değerleri çarpıldığında doğru türev değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x = 2 değeri için t değişkeninin değerini bulma
t = 3
Zincir kuralında türev değerlerini doğru noktalarda değerlendirebilmek için x'e karşılık gelen t değerini bilmemiz gerekir.
2
y fonksiyonunun t değişkenine göre türevini alıp t = 3 için değerini hesaplama
dy/dt = 3
y = t^2 - 3t ifadesinin t'ye göre türevi dy/dt = 2t - 3'tür. t = 3 yazıldığında 2(3) - 3 = 3 elde edilir.
3
t fonksiyonunun x değişkenine göre t��revini alıp x = 2 için değerini hesaplama
dt/dx = 2/3
t = (x^2 + 5)^(1/2) fonksiyonunun x'e göre türevi alınırken zincir kuralı uygulanır: dt/dx = (1/2) * (x^2 + 5)^(-1/2) * 2x = x / \sqrt{x^2 + 5} olur. x = 2 için bu değer 2 / \sqrt{9} = 2/3 olarak bulunur.
4
Zincir kuralını uygulayarak dy/dx değerini hesaplama
dy/dx = 2
Zincir kuralına göre dy/dx = (dy/dt) * (dt/dx) olur. Bulduğumuz değerleri yerine yazarsak dy/dx = 3 * (2/3) = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Zincir Kuralı yardımıyla bileşke fonksiyonların türevinin hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Zincir kuralını doğrudan uygulamak yerine y fonksiyonunda t yerine eşiti olan ifadeyi yazarak y'yi doğrudan x cinsinden elde edebiliriz: y=(x2+5)2−3x2+5=x2+5−3x2+5y = (\sqrt{x^2 + 5})^2 - 3\sqrt{x^2 + 5} = x^2 + 5 - 3\sqrt{x^2 + 5}. Buradan doğrudan x'e göre türev alırsak: y′=2x−3⋅2x2x2+5=2x−3xx2+5y' = 2x - 3 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = 2x - \frac{3x}{\sqrt{x^2+5}}. x=2x = 2 için y′=2(2)−3(2)22+5=4−63=4−2=2y' = 2(2) - \frac{3(2)}{\sqrt{2^2+5}} = 4 - \frac{6}{3} = 4 - 2 = 2 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1926Soru →
f′(x)=(x−3)2(x2−ax+16)f'(x) = (x-3)^2(x^2 - ax + 16) türev fonksiyonuna sahip f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonunun azalan olduğu herhangi bir aralık bulunmamaktadır.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin en geniş kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [−8,8][-8, 8]

Cevap

[−8,8][-8, 8] kapalı aralığı
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olması koşulundan elde edilen x2−ax+16≥0x^2 - ax + 16 \geq 0 eşitsizliğinin her xx için sağlanması gerekir. Bu da diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olmasıyla mümkündür. Buradan elde edilen a2−64≤0a^2 - 64 \leq 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi [−8,8][-8, 8] kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Azalanlık durumunun türev ile ilişkisini kurma.
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için f′(x)≥0f'(x) \geq 0 olmalıdır.
Bir fonksiyonun azalan olduğu bir aralığının bulunmaması, o fonksiyonun hiçbir yerde negatif türeve sahip olmaması gerektiği, yani türevin daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği anlamına gelir.
2
Türev ifadesindeki çarpanları analiz etme.
x2−ax+16≥0x^2 - ax + 16 \geq 0 olmalıdır.
f′(x)=(x−3)2(x2−ax+16)f'(x) = (x-3)^2(x^2 - ax + 16) ifadesinde, (x−3)2(x-3)^2 terimi her xx gerçel sayısı için tam kare olduğundan sıfırdan büyük veya eşittir. Çarpımın daima sıfırdan büyük veya eşit kalabilmesi için diğer çarpan olan x2−ax+16x^2 - ax + 16 ifadesinin de daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
3
İkinci dereceden ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit olma koşulunu (diskriminantı) inceleme.
Δ=a2−64≤0  ⟹  a∈[−8,8]\Delta = a^2 - 64 \leq 0 \implies a \in [-8, 8]
Baş katsayısı pozitif olan bir ikinci dereceden ifadenin her xx gerçel sayısı için sıfırdan büyük veya eşit olması, grafiğinin xx eksenini kesmemesi veya teğet olması anlamına gelir. Bu durum Δ≤0\Delta \leq 0 eşitsizliği ile sağlanır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi ve tekil noktalarda türevin sıfır olma durumunun incelenmesi
Soru 1927Soru →
x∈[0,3π2]x \in \left[0, \frac{3\pi}{2}\right] olmak üzere, cos⁡(2x)+sin⁡(x)=0\cos(2x) + \sin(x) = 0 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır. Denkleminin verilen aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3 değil, 2'dir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü denklemin sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 eşitliğinden gelen iki kökünden biri olan x=11π6x = \frac{11\pi}{6} açısı [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığının dışında kalır. Bu nedenle aralıktaki gerçek kök sayısı 3 değil, 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
cos⁡(2x)\cos(2x) yerine yarım açı formülü olan 1−2sin⁡2(x)1 - 2\sin^2(x) ifadesini yazarak denklemi tek değişkenli hale getirin.
1−2sin⁡2(x)+sin⁡(x)=0⇒2sin⁡2(x)−sin⁡(x)−1=01 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 0 \Rightarrow 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0
İkinci dereceden bir denklem yapısı elde ederek çarpanlara ayırma yöntemini uygulayabilmek.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak sin⁡(x)\sin(x) için olası değerleri bulun.
(2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)−1)=0⇒sin⁡(x)=1 veya sin⁡(x)=−1/2(2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \text{ veya } \sin(x) = -1/2
Çarpımın sonucunun sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir.
3
sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 denkleminin verilen [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındaki kökünü bulun.
x=π2x = \frac{\pi}{2}
Verilen aralıkta sinüs değeri 1 olan tek açı π2\frac{\pi}{2} radyandır.
4
sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denkleminin [0,2π]\left[0, 2\pi\right] aralığındaki genel köklerini belirleyin ve hangilerinin verilen [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığının içinde kaldığını denetleyin.
x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6} (aralıkta) ve x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} (aralık dışında)
3π2=9π6\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} olduğundan, x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} kökü 3π2\frac{3\pi}{2} üst sınırını aşar ve bu nedenle çözüm kümesine alınmaz.
5
Aralığa dahil olan kökleri bir araya getirerek denklemin toplam kök sayısını tespit edin.
Çözüm kümesi C\c={π2,7π6}Ç = \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}\right\} olup denklemin 2 farklı gerçel kökü vardır.
Tanımlı aralık içerisindeki geçerli köklerin sayılması gerekir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde yarım açı formülleri yardımıyla ikinci dereceden denklemlere dönüşüm yapılması ve köklerin verilen sınırlı bir aralığa göre elenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1928Soru →

Aşağıdaki dik koordinat düzleminde, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun grafiği ile bu grafiğe x=1x = 1 ve x=2x = 2 apsisli noktalarda teğet olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları verilmiştir.

d1d_1 doğrusu xx-eksenini (23,0)(\frac{2}{3}, 0) noktasında kesmekte, d2d_2 doğrusu ise xx-ekseniyle pozitif yönde 135∘135^\circ lik açı yapmaktadır.

g(x)=f(x⋅f(2x))g(x) = f(x \cdot f(2x)) şeklinde tanımlanan gg fonksiyonu için g′(1)g'(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

İstenen g'(1) değeri -3'tür.
Bileşke fonksiyon türev kuralı ve çarpımın türevi kuralı doğru şekilde uygulandığında g'(1) = f'(1) * (f(2) + 2f'(2)) ifadesine ulaşılır. Grafikten f(2) = 1, f'(2) = tan(135°) = -1, f(1) = 1 ve f'(1) = 3 değerleri bulunup yerine yazıldığında sonuç -3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını uygulayarak g'(x) ifadesini genel olarak yazalım.
g′(x)=f′(x⋅f(2x))⋅ddx(x⋅f(2x))g'(x) = f'(x \cdot f(2x)) \cdot \frac{d}{dx}(x \cdot f(2x))
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içinin türevi çarpılır.
2
Çarpımın türevi ve zincir kuralını kullanarak içteki x⋅f(2x)x \cdot f(2x) ifadesinin türevini bulalım.
ddx(x⋅f(2x))=1⋅f(2x)+x⋅f′(2x)⋅2=f(2x)+2x⋅f′(2x)\frac{d}{dx}(x \cdot f(2x)) = 1 \cdot f(2x) + x \cdot f'(2x) \cdot 2 = f(2x) + 2x \cdot f'(2x)
İki ifadenin çarpımının türevi için (birincinin türevi) * (ikinci) + (ikincinin türevi) * (birinci) kuralı uygulanır. f(2x) türevlenirken içinin türevi olan 2 çarpanı eklenir.
3
Türev ifadesinde x = 1 yazarak gerekli olan fonksiyon ve türev değerlerini belirleyelim.
g′(1)=f′(1⋅f(2))⋅(f(2)+2⋅f′(2))g'(1) = f'(1 \cdot f(2)) \cdot (f(2) + 2 \cdot f'(2))
x = 1 noktası türev fonksiyonundaki değişken yerine yerleştirilir.
4
Grafik ve teğet doğrularının denklemlerinden/eğimlerinden f(2), f'(2), f(1) ve f'(1) değerlerini elde edelim.
f(2)=1f(2) = 1, f′(2)=tan⁡(135∘)=−1f'(2) = \tan(135^\circ) = -1, f(1)=1f(1) = 1 ve f′(1)=1−01−2/3=3f'(1) = \frac{1 - 0}{1 - 2/3} = 3
Türevlenebilir bir fonksiyonun teğet olduğu noktadaki türevi, o noktadaki teğet doğrusunun eğimine (x-ekseniyle yapılan açının tanjantına) eşittir.
5
Bulunan değerleri adım 3'te elde edilen ifadede yerine yerleştirerek g'(1) değerini hesaplayalım.
g′(1)=f′(1⋅1)⋅(1+2⋅(−1))=f′(1)⋅(1−2)=3⋅(−1)=−3g'(1) = f'(1 \cdot 1) \cdot (1 + 2 \cdot (-1)) = f'(1) \cdot (1 - 2) = 3 \cdot (-1) = -3
Bulunan değerler cebirsel olarak yerlerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda türev alırken zincir kuralının ve çarpım kuralının doğru uygulanması ile grafikteki teğet doğrusunun eğiminin türev değeri olarak yorumlanması.
Soru 1929Soru →
x+y=π4x + y = \frac{\pi}{4} ve tan⁡x\tan x, tan⁡y\tan y tanımlı olduğuna göre,
(1+tan⁡x)⋅(1+tan⁡y)(1 + \tan x) \cdot (1 + \tan y)

çarpımının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İfadenin değeri 2'dir.
Verilen x+y=π4x+y = \frac{\pi}{4} eşitliğinden faydalanarak tan⁡(x+y)=1\tan(x+y) = 1 olduğu görülür. Tanjant toplam formülü olan tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y=1\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1 eşitliğinden tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y=1\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1 bağıntısı elde edilir. Sorulan çarpım ifadesi dağıtıldığında 1+tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y elde edilir ve elde edilen bağıntı burada yerine yazıldığında sonuç 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant toplam formülünü yazma
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}
Açıların toplamı ile tanjant değerleri arasındaki bağlantıyı kurmak amacıyla formül yazılır.
2
x+y=π4x+y = \frac{\pi}{4} bilgisini kullanma ve içler dışlar çarpımı yapma
tan⁡(π4)=1  ⟹  tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡xtan⁡y=1  ⟹  tan⁡x+tan⁡y=1−tan⁡xtan⁡y  ⟹  tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y=1\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1 \implies \tan x + \tan y = 1 - \tan x \tan y \implies \tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1
Tanjant terimlerinin toplamı ve çarpımı arasındaki cebirsel ilişkiyi elde etmek için.
3
İstenen çarpım ifadesini parantezleri açarak genişletme
(1+tan⁡x)(1+tan⁡y)=1+tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y(1 + \tan x)(1 + \tan y) = 1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y
Elde edilen cebirsel ilişkiyi sorulan ifade içerisinde yerine yazabilmek için.
4
Elde edilen bağıntıyı yerine yazarak sonucu bulma
1+(tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y)=1+1=21 + (\tan x + \tan y + \tan x \tan y) = 1 + 1 = 2
tan⁡x+tan⁡y+tan⁡xtan⁡y=1\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1 eşitliği yerine koyularak sayısal değere ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki açının toplamının tanjantı formülü: tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
Soru 1930Soru →

Bir şirkette 6 kadın ve 6 erkek çalışan arasından 5 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır. Kurulacak bu ekip ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:

* Ekipte en az 2 kadın ve en az 2 erkek çalışan bulunmalıdır.
* Erkek çalışanlardan Ahmet ve Mehmet aynı ekipte birlikte yer almak istememektedir.
* Kadın çalışanlardan Ayşe ve Fatma ise bu ekipte ya birlikte yer alacak ya da ikisi de yer almayacaktır.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 224

Cevap

Bu proje ekibi 224 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevapta, en az ikişer kadın ve erkek çalışan bulunması koşulu altında oluşabilecek iki farklı cinsiyet dağılımı (3 kadın - 2 erkek ve 2 kadın - 3 erkek) ayrı ayrı incelenmiştir. Her iki durumda da Ayşe ve Fatma'nın ya birlikte yer alması ya da ikisinin de yer almaması koşulu ile Ahmet ve Mehmet'in birlikte bulunmama koşulları kombinasyon formülleriyle hatasız uygulanmıştır. Bu iki durumun toplamı olan 224 sonucu elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Ekipteki cinsiyet dağılımı seçeneklerini belirleme
5 kişilik ekipte en az 2 kadın ve en az 2 erkek bulunması gerektiğinden, dağılım ya 3 kadın ve 2 erkek ya da 2 kadın ve 3 erkek olmalıdır.
Toplam kişi sayısı 5 olup alt sınır kısıtlamaları sadece bu iki durumu mümkün kılmaktadır.
2
3 kadın ve 2 erkekten oluşan ekipleri hesaplama
Ayşe ve Fatma'nın birlikte yer alması durumunda (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı kadın grubu; yer almaması durumunda ise (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı kadın grubu seçilebilir. Ahmet ve Mehmet'in birlikte yer almadığı erkek grubu sayısı (62)−(40)=15−1=14\binom{6}{2} - \binom{4}{0} = 15 - 1 = 14 tanedir. Toplamda (4+4)×14=112(4 + 4) \times 14 = 112 farklı ekip oluşturulur.
Kadın ve erkek seçimleri bağımsız olaylar olduğundan durum sayıları çarpılır.
3
2 kadın ve 3 erkekten oluşan ekipleri hesaplama
Ayşe ve Fatma'nın birlikte yer alması durumunda (40)=1\binom{4}{0} = 1 farklı kadın grubu; yer almaması durumunda ise (42)=6\binom{4}{2} = 6 farklı kadın grubu seçilebilir. Ahmet ve Mehmet'in birlikte yer almadığı erkek grubu sayısı (63)−(41)=20−4=16\binom{6}{3} - \binom{4}{1} = 20 - 4 = 16 tanedir. Toplamda (1+6)×16=112(1 + 6) \times 16 = 112 farklı ekip oluşturulur.
İkinci cinsiyet dağılımı senaryosunun kısıtlamalar altındaki kombinasyon hesabı bu şekilde yapılır.
4
Elde edilen durum sayılarını toplama
112+112=224112 + 112 = 224 farklı ekip oluşturulabilir.
İki ana cinsiyet dağılım senaryosu birbirinin alternatifi ve ayrık durumlar olduğu için sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesaplamalarında çoklu koşulların ayrık durumlar halinde incelenmesi ve seçme işlemlerinin yapılması.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1931Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={∣x2−5x+4∣x−1+2a,x<1ax2−7,x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 5x + 4|}{x - 1} + 2a, & x < 1 \\ ax^2 - 7, & x \ge 1 \end{cases}
fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

İstenen a gerçel sayısı -4'tür.
Fonksiyonun x=1x=1 noktasında limitinin var olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. x→1−x \to 1^- iken x<1x < 1 olduğundan x2−5x+4x^2 - 5x + 4 ifadesi pozitif değerler alır ve mutlak değer dışına aynen çıkar. Sadeleşme sonrasında sol limit 2a−32a - 3 bulunur. Sağdan limit ise a−7a - 7 olarak elde edilir. Eşitlik kurulduğunda 2a−3=a−7  ⟹  a=−42a - 3 = a - 7 \implies a = -4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limit varlığı için sağdan ve soldan limit eşitliği koşulunun belirlenmesi.
x→1−x \to 1^- ve x→1+x \to 1^+ limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Bir fonksiyonun kritik bir noktada limitinin olması için, o noktaya sağdan ve soldan yaklaşıldığında elde edilen limit değerlerinin eşit olması şarttır.
2
Soldan limitin hesaplanması ve mutlak değer için işaret analizi yapılması.
lim⁡x→1−f(x)=2a−3\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2a - 3
x→1−x \to 1^- yaklaşımında x<1x < 1 olur. Bu durumda x2−5x+4=(x−1)(x−4)x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) ifadesinin her iki çarpanı da negatif olacağından çarpım pozitif olur. Dolayısıyla ifade mutlak değer dışına aynen çıkar: ∣x2−5x+4∣=(x−1)(x−4)|x^2 - 5x + 4| = (x-1)(x-4). Pay ve paydadaki (x−1)(x-1) terimleri sadeleştiğinde limit lim⁡x→1−(x−4+2a)=2a−3\lim_{x \to 1^-} (x - 4 + 2a) = 2a - 3 olarak bulunur.
3
Sağdan limitin hesaplanması.
lim⁡x→1+f(x)=a−7\lim_{x \to 1^+} f(x) = a - 7
x→1+x \to 1^+ yaklaşımında x≥1x \ge 1 olduğundan f(x)=ax2−7f(x) = ax^2 - 7 kuralı geçerlidir. Polinom fonksiyonlarında limit doğrudan yerine koyarak bulunur: a(1)2−7=a−7a(1)^2 - 7 = a - 7.
4
Elde edilen limit değerlerinin birbirine eşitlenerek a parametresinin çözülmesi.
a=−4a = -4
Limitin var olması için sol limit (2a−32a - 3) ile sağ limit (a−7a - 7) birbirine eşit olmalıdır. Buradan 2a−3=a−7  ⟹  a=−42a - 3 = a - 7 \implies a = -4 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitlerinde kritik noktalarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değerli ifadelerde limit noktasına yaklaşılan yöne göre iç kısmın işareti belirlenip mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılır.
Soru 1932Soru →
f(x)={x2−ax−3,x≠3b,x=3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a}{x - 3}, & x \neq 3 \\ b, & x = 3 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Fonksiyonun sürekli olması için a = 9 ve b = 6 olmalıdır, dolayısıyla toplam 15 bulunur.
Fonksiyonun x=3x=3 noktasında sürekli olabilmesi için limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x→3x \to 3 için payda sıfır olduğundan, limitin bir gerçel sayı çıkabilmesi için pay da sıfır olmalıdır. Buradan 32−a=0  ⟹  a=93^2 - a = 0 \implies a = 9 elde edilir. İfade sadeleştirilip limit alındığında lim⁡x→3(x+3)=6\lim_{x \to 3} (x+3) = 6 bulunur. Süreklilik gereği bu limit değeri f(3)=bf(3) = b değerine eşit olmalıdır. Dolayısıyla b=6b = 6 ve a+b=9+6=15a+b = 9+6=15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Payın sıfır olma durumunu incelemek
32−a=0  ⟹  a=93^2 - a = 0 \implies a = 9
x=3x = 3 noktasında limitin var olabilmesi ve bir gerçel sayıya eşit olması için paydası sıfır olan ifadede payın da sıfır olması (yani 0/00/0 belirsizliği oluşması) gerekir.
2
Limiti hesaplamak ve belirsizliği gidermek
lim⁡x→3x2−9x−3=lim⁡x→3(x−3)(x+3)x−3=lim⁡x→3(x+3)=6\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6
Süreklilik tanımı gereği, fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki limiti mevcut olmalıdır. Ortak çarpanlar sadeleştirilerek limit değeri bulunur.
3
Süreklilik şartını uygulamak ve toplamı bulmak
b=6  ⟹  a+b=9+6=15b = 6 \implies a + b = 9 + 6 = 15
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında sürekli olması için lim⁡x→3f(x)=f(3)\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) olmalıdır. Buradan b=6b = 6 elde edilir ve toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydanın sıfır olduğu bir noktada limitin var olması için payın da sıfır olması gerekir.
Soru 1933Soru →

Bir gerçel sayı fonksiyonu bir x=x0x = x_0 noktasında sürekli ise bu noktada her zaman türevlenebilirdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli bir koşul olsa da yeterli değildir; dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü bir fonksiyonun sürekli olması o noktada türevlenebilir olmasını garanti etmez. Grafiklerdeki keskin köşeler bu durumun en temel istisnasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilirlik ve süreklilik arasındaki genel mantıksal ilişkiyi kurun.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebiliyorsa o noktada süreklidir. Ancak, sürekli olan her fonksiyonun türevlenebilir olması gerekmez (Süreklilik ⇏\not\Rightarrow Türevlenebilirlik).
Teorik tanım gereği türevlenebilirlik sürekliliği gerektirir, fakat karşıt yönlü önerme her zaman geçerli değildir.
2
Bir karşıt örnek (aksine örnek) belirleyerek sürekliliği inceleyin.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki sürekliliğine bakalım: lim⁡x→0−∣x∣=0\lim_{x \to 0^-} |x| = 0, lim⁡x→0+∣x∣=0\lim_{x \to 0^+} |x| = 0 ve f(0)=0f(0) = 0 olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir.
Aksine örneğin süreklilik koşulunu sağladığını göstermek.
3
Belirlenen karşıt örneğin bu noktadaki türevlenebilirliğini inceleyin.
x=0x = 0 noktasında sağdan türev 11, soldan türev ise −1-1 olur. Sağdan ve soldan türev limitleri eşit olmadığından fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.
Sürekli olduğu halde türevi olmayan bir noktanın varlığını ispatlamak.

Anahtar Kavram

Süreklilik ve Türevlenebilirlik Arasındaki Mantıksal İlişki
Soru 1934Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2+2x,x<14x+1,x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x < 1 \\ 4x + 1, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki türevi f′(1)f'(1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yoktur

Cevap

Fonksiyonun bu noktada sürekli olmamasından dolayı türevi yoktur.
Türevlenebilmenin ilk şartı sürekliliktir. Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sol limiti 3, sağ limiti ve değeri ise 5'tir. Bu değerler farklı olduğu için fonksiyon x=1x = 1 noktasında sürekli değildir. Dolayısıyla bu noktada türevlenebilmesi mümkün değildir ve türevi yoktur.

Adım Adım Çözüm

1
x=1x = 1 noktasındaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değerini bularak sürekliliği inceleyin.
Soldan limit: lim⁡x→1−(x2+2x)=12+2(1)=3\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x) = 1^2 + 2(1) = 3. Sağdan limit ve fonksiyon değeri: lim⁡x→1+(4x+1)=f(1)=4(1)+1=5\lim_{x \to 1^+} (4x + 1) = f(1) = 4(1) + 1 = 5 olarak bulunur. Soldan limit (33) ile sağdan limit (55) birbirine eşit olmadığından fonksiyon x=1x = 1 noktasında sürekli değildir.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması şarttır.
2
Süreklilik testinin sonucuna göre türevin varlığını değerlendirin.
Fonksiyon x=1x = 1 noktasında sürekli olmadığından bu noktada türevlenebilir değildir.
Süreksiz bir noktada fonksiyonun türevi tanımlı olamaz, yani türevi yoktur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 1935Soru →

Her aa gerçel sayısı için, f(x)=∣x2−a2∣x−af(x) = \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} kuralı ile tanımlı f:R∖{a}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{a\} \to \mathbb{R} fonksiyonunun x=ax = a noktasında limitinin olmadığını iddia eden bir önerme doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Önerme yanlıştır, çünkü a=0a = 0 durumunda fonksiyonun x=0x = 0 noktasında limiti vardır ve bu limitin değeri 00'dır.
İddia yanlıştır çünkü a=0a = 0 durumunda f(x)=∣x2∣xf(x) = \frac{|x^2|}{x} olur. x≠0x \neq 0 için x2x^2 daima pozitif olduğundan ∣x2∣=x2|x^2| = x^2 olarak dışarı çıkar. Sadeleştirme yapıldığında f(x)=xf(x) = x fonksiyonu elde edilir ve bu fonksiyonun x→0x \to 0 iken limiti 00'dır. Yani limit mevcuttur. Bu karşıt örnek önermenin genel doğruluğunu bozar.

Adım Adım Çözüm

1
Kritik nokta olan x=ax = a için sağdan ve soldan limit durumlarını incelemek üzere mutlak değerin işaret analizini yapalım.
x−ax - a ifadesinin işaretine bağlı olarak mutlak değerin dışına çıkma kuralları belirlenir.
Mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalarda sağ ve sol limitlerin ayrı ayrı incelenmesi gerekir.
2
a≠0a \neq 0 olduğunu varsayarak sağdan ve soldan limitleri hesaplayalım.
lim⁡x→a+f(x)=∣2a∣\lim_{x \to a^+} f(x) = |2a| ve lim⁡x→a−f(x)=−∣2a∣\lim_{x \to a^-} f(x) = -|2a| elde edilir. a≠0a \neq 0 olduğundan bu limitler eşit değildir ve limit yoktur.
x→a+x \to a^+ için x−a>0x-a > 0 olduğundan ∣x−a∣=x−a|x-a| = x-a olur. x→a−x \to a^- için x−a<0x-a < 0 olduğundan ∣x−a∣=−(x−a)|x-a| = -(x-a) olur.
3
a=0a = 0 özel durumunu fonksiyonda yerine yazarak inceleyelim.
f(x)=∣x2∣xf(x) = \frac{|x^2|}{x} fonksiyonu elde edilir. Tüm gerçel sayılar için x2≥0x^2 \geq 0 olduğundan ∣x2∣=x2|x^2| = x^2 olur. Buradan x≠0x \neq 0 için f(x)=x2x=xf(x) = \frac{x^2}{x} = x bulunur.
a=0a = 0 durumunda mutlak değerin içindeki ifadenin derecesi paydadaki ifadenin derecesinden büyük olduğu için işaret değişimi sadeleşme sonrası limiti yok etmez.
4
a=0a = 0 durumunda fonksiyonun x→0x \to 0 iken limitini hesaplayalım.
lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0x=0\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0 olur. Limit değeri mevcut ve 00'a eşittir. Bu durum genel önermeyi çürütür.
En az bir aa gerçel sayısı (a=0a=0) için limit mevcut olduğundan, önermedeki 'her aa gerçel sayısı için limit yoktur' ifadesi yanlış olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren rasyonel fonksiyonlarda limitin varlığı ve sıfır bölü sıfır belirsizliğinde mutlak değer analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 1936Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=∣x2−4x+3∣−k∣x−c∣f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - c|
fonksiyonu yalnızca bir noktada türevsizdir.
Buna göre, k>0k > 0 olmak üzere, k+ck + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

k + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.
Fonksiyonun yalnızca bir noktada türevsiz olması için, türevsizliğe sebep olan iki mutlak değer teriminin kritik noktalarından birinin çakışması ve o noktada türevlenebilirliğin sağlanması gerekir. Bu da c = 1 veya c = 3 olması durumunda mümkündür. Her iki durumda da sağ ve sol türevlerin eşitliğinden k = 2 bulunur. Böylece k + c toplamı 3 ve 5 değerlerini alabilir, bu değerlerin toplamı 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kritik noktaları belirleme
x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) ifadesinin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3'tür. f(x)f(x) fonksiyonu ∣x2−4x+3∣|x^2 - 4x + 3| ve k∣x−c∣k|x-c| terimlerinin farkından oluşmaktadır. Bu bileşenlerin türevsiz olabileceği kritik noktalar x=1x = 1, x=3x = 3 ve x=cx = c'dir.
Mutlak değer içerisindeki ifadelerin köklerinde türevlenebilirlik bozulabilir, bu yüzden bu noktaları kritik nokta olarak ele almalıyız.
2
Türevsizlik noktalarının sayısını analiz etme
Fonksiyonun yalnızca bir noktada türevsiz olması istenmektedir. Eğer cc sayısı 1 veya 3'ten farklı olsaydı, fonksiyonun türevsiz olabileceği 3 farklı nokta olurdu ve bu noktalar birbirini sadeleştiremezdi. Bu nedenle türevsizlik noktalarından birinin elenmesi (türevlenebilir hale gelmesi) için c=1c = 1 veya c=3c = 3 olmalıdır.
İki mutlak değerli ifadenin türevsizlik noktalarının çakışması, bu noktada türevlerin birbirini sıfırlayarak fonksiyonun türevlenebilir olmasını sağlayabilir.
3
c = 1 durumunu inceleme
c=1c = 1 için f(x)=∣x2−4x+3∣−k∣x−1∣f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - 1| olur. Bu fonksiyon x=1x = 1 noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevleri inceleyelim:
- x→1−x \to 1^- için: f(x)=(x2−4x+3)+k(x−1)  ⟹  f′(1−)=−2+kf(x) = (x^2 - 4x + 3) + k(x - 1) \implies f'(1^-) = -2 + k
- x→1+x \to 1^+ için: f(x)=−(x2−4x+3)−k(x−1)  ⟹  f′(1+)=2−kf(x) = -(x^2 - 4x + 3) - k(x - 1) \implies f'(1^+) = 2 - k
f′(1−)=f′(1+)  ⟹  −2+k=2−k  ⟹  k=2f'(1^-) = f'(1^+) \implies -2 + k = 2 - k \implies k = 2 bulunur. Bu durumda k+c=2+1=3k + c = 2 + 1 = 3 olur. Fonksiyon x=3x = 3 noktasında ise türevsiz kalmaya devam eder.
Fonksiyonun x = 1 noktasında türevlenebilir olması için sağ ve sol türevlerin eşit olması gerekir.
4
c = 3 durumunu inceleme
c=3c = 3 için f(x)=∣x2−4x+3∣−k∣x−3∣f(x) = |x^2 - 4x + 3| - k|x - 3| olur. Bu fonksiyon x=3x = 3 noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevleri inceleyelim:
- x→3−x \to 3^- için: f(x)=−(x2−4x+3)+k(x−3)  ⟹  f′(3−)=−2+kf(x) = -(x^2 - 4x + 3) + k(x - 3) \implies f'(3^-) = -2 + k
- x→3+x \to 3^+ i��in: f(x)=(x2−4x+3)−k(x−3)  ⟹  f′(3+)=2−kf(x) = (x^2 - 4x + 3) - k(x - 3) \implies f'(3^+) = 2 - k
f′(3−)=f′(3+)  ⟹  −2+k=2−k  ⟹  k=2f'(3^-) = f'(3^+) \implies -2 + k = 2 - k \implies k = 2 bulunur. Bu durumda k+c=2+3=5k + c = 2 + 3 = 5 olur. Fonksiyon x=1x = 1 noktasında ise türevsiz kalmaya devam eder.
Fonksiyonun x = 3 noktasında türevlenebilir olması için sağ ve sol türevlerin eşit olması gerekir.
5
Değerlerin toplamını hesaplama
k+ck + c ifadesinin alabileceği farklı değerler 33 ve 55 olup, bu değerlerin toplamı 3+5=83 + 5 = 8 olarak hesaplanır.
Soru bizden elde edilen farklı k+ck + c değerlerinin toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli fonksiyonlarda türevlenebilme koşulu, sağ ve sol limit/türev kavramlarının süreklilikle ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, türev tanımı (limit tanımı) kullanılarak x = 1 ve x = 3 noktalarındaki sağdan ve soldan limitler yardımıyla türevlenebilirlik doğrudan kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1937Soru →
Her noktada türevlenebilen ff ve gg fonksiyonları arasında
f(x)⋅g(x)=x3−2x2+5f(x) \cdot g(x) = x^3 - 2x^2 + 5
ilişkisi bulunmaktadır.
g(2)=5g(2) = 5
g′(2)=3g'(2) = 3
olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.2

Cevap

Hesaplanan f'(2) türev değeri 0.2 olarak bulunur.
Verilen fonksiyonların çarpım ilişkisinden öncelikle f(2)=1f(2) = 1 bulunur. Daha sonra her iki tarafın türevi çarpım kuralıyla alınarak f′(2)⋅g(2)+f(2)⋅g′(2)=3x2−4xf'(2) \cdot g(2) + f(2) \cdot g'(2) = 3x^2 - 4x eşitliğine ulaşılır. Burada x=2x=2 ve bilinen değerler yerine yazılarak f′(2)=0.2f'(2) = 0.2 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x=2x = 2 için eşitliği kullanarak f(2)f(2) değerini bulunuz.
f(2)=1f(2) = 1
f(2)⋅g(2)=23−2(2)2+5f(2) \cdot g(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 5 ve g(2)=5g(2) = 5 olduğundan f(2)⋅5=5f(2) \cdot 5 = 5 ve f(2)=1f(2) = 1 elde edilir.
2
Eşitliğin her iki tarafının türevini alınız.
f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)=3x2−4xf'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) = 3x^2 - 4x
Sol tarafta çarpımın türevi kuralı, sağ tarafta ise kuvvet kuralı uygulanmıştır.
3
Türev denkleminde x=2x = 2 yazarak f′(2)f'(2) değerini hesaplayınız.
f′(2)=0.2f'(2) = 0.2
f′(2)⋅5+1⋅3=3(2)2−4(2)  ⟹  5f′(2)+3=4  ⟹  5f′(2)=1  ⟹  f′(2)=0.2f'(2) \cdot 5 + 1 \cdot 3 = 3(2)^2 - 4(2) \implies 5f'(2) + 3 = 4 \implies 5f'(2) = 1 \implies f'(2) = 0.2 olur.

Anahtar Kavram

Çarpımın Türevi ve Temel Türev Kuralları
Soru 1938Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x3+x)=g(x2−x)⋅(x2+1)+x2−2xf(x^3 + x) = g(x^2 - x) \cdot (x^2 + 1) + x^2 - 2x
g(2x−2)=f(x2−3x+2)+x3−1g(2x - 2) = f(x^2 - 3x + 2) + x^3 - 1
eşitliklerini sağlamaktadır.

g(0)=2g(0) = 2 olduğuna göre, h(x)=(f∘g)(x2−2x)h(x) = (f \circ g)(x^2 - 2x) şeklinde tanımlanan hh fonksiyonu için h′(0)h'(0) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −35-35

Cevap

−35-35
Doğru cevap −35-35 değeridir. h(x)=f(g(x2−2x))h(x) = f(g(x^2 - 2x)) fonksiyonunun türevi zincir kuralı uyarınca alındığında h′(x)=f′(g(x2−2x))⋅g′(x2−2x)⋅(2x−2)h'(x) = f'(g(x^2 - 2x)) \cdot g'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) olur. Burada x=0x = 0 yazıldığında h′(0)=f′(g(0))⋅g′(0)⋅(−2)h'(0) = f'(g(0)) \cdot g'(0) \cdot (-2) ifadesi elde edilir. Verilen denklemlerin türevlerinden elde edilen g(0)=2g(0) = 2, g′(0)=5g'(0) = 5 ve f′(2)=7/2f'(2) = 7/2 değerleri bu ifadede yerine yazıldığında sonuç −35-35 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyonel denklemlerin her iki tarafının xx değişkenine göre türevi alınır.
Birinci denklemden:
f′(x3+x)⋅(3x2+1)=g′(x2−x)⋅(2x−1)⋅(x2+1)+2x⋅g(x2−x)+2x−2f'(x^3 + x) \cdot (3x^2 + 1) = g'(x^2 - x) \cdot (2x - 1) \cdot (x^2 + 1) + 2x \cdot g(x^2 - x) + 2x - 2
İkinci denklemden:
2⋅g′(2x−2)=f′(x2−3x+2)⋅(2x−3)+3x22 \cdot g'(2x - 2) = f'(x^2 - 3x + 2) \cdot (2x - 3) + 3x^2
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı gereği içteki ifadelerin türevleri çarpım şeklinde dışarıya yazılır.
2
Türev denklemlerinde uygun xx değerleri yerine yazılarak türev değerleri arasındaki bağıntılar kurulur.
Birinci türev denkleminde x=1x = 1 yazılırsa:
4⋅f′(2)=2⋅g′(0)+2⋅g(0)4 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(0) + 2 \cdot g(0)
g(0)=2g(0) = 2 olduğu için:
4⋅f′(2)=2⋅g′(0)+4  ⟹  2⋅f′(2)−g′(0)=2(Denklem I)4 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(0) + 4 \implies 2 \cdot f'(2) - g'(0) = 2 \quad \text{(Denklem I)}

Birinci türev denkleminde x=0x = 0 yazılırsa:
f′(0)=−g′(0)−2  ⟹  f′(0)+g′(0)=−2(Denklem II)f'(0) = -g'(0) - 2 \implies f'(0) + g'(0) = -2 \quad \text{(Denklem II)}

İkinci türev denkleminde x=1x = 1 yazılırsa:
2⋅g′(0)=−f′(0)+3  ⟹  f′(0)+2⋅g′(0)=3(Denklem III)2 \cdot g'(0) = -f'(0) + 3 \implies f'(0) + 2 \cdot g'(0) = 3 \quad \text{(Denklem III)}
Bilinmeyen türev değerlerini belirlemek amacıyla çözülebilir bir doğrusal denklem sistemi elde edilir.
3
Elde edilen Denklem II ve Denklem III ortak çözülerek g′(0)g'(0) ve f′(0)f'(0) değerleri hesaplanır.
Denklem III'ten Denklem II taraf tarafa çıkarılırsa:
g′(0)=3−(−2)=5g'(0) = 3 - (-2) = 5
Bu değer Denklem II'de yerine yazılırsa:
f′(0)+5=−2  ⟹  f′(0)=−7f'(0) + 5 = -2 \implies f'(0) = -7
Ortak çözüm yapılarak gg fonksiyonunun sıfır noktasındaki türev değerine ulaşılır.
4
Bulunan g′(0)=5g'(0) = 5 değeri Denklem I'de yerine yazılarak f′(2)f'(2) değeri hesaplanır.
2⋅f′(2)−5=2  ⟹  2⋅f′(2)=7  ⟹  f′(2)=722 \cdot f'(2) - 5 = 2 \implies 2 \cdot f'(2) = 7 \implies f'(2) = \frac{7}{2}
h(x)h(x) fonksiyonunun türevinde kullanılacak olan f′(2)f'(2) değerini belirlemek için Denklem I kullanılır.
5
h(x)=f(g(x2−2x))h(x) = f(g(x^2 - 2x)) bileşke fonksiyonunun türevi zincir kuralıyla alınarak x=0x = 0 noktası için hesaplanır.
h′(x)=f′(g(x2−2x))⋅g′(x2−2x)⋅(2x−2)h'(x) = f'(g(x^2 - 2x)) \cdot g'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2)
x=0x = 0 yazılırsa:
h′(0)=f′(g(0))⋅g′(0)⋅(2(0)−2)h'(0) = f'(g(0)) \cdot g'(0) \cdot (2(0) - 2)
h′(0)=f′(2)⋅g′(0)⋅(−2)h'(0) = f'(2) \cdot g'(0) \cdot (-2)
h′(0)=72⋅5⋅(−2)=−35h'(0) = \frac{7}{2} \cdot 5 \cdot (-2) = -35
Zincir kuralı üçlü bileşke yapısına uygulanarak elde edilen değerler yerine yazılır ve nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken en dıştaki fonksiyondan en içtekine doğru zincir kuralı uygulanır ve her adımda içteki ifadenin türevi çarpım olarak eklenir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 1939Soru →
f(x)=14x4−2x2f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

0
Verilen fonksiyonun birinci türevi hesaplandığında kökleri −2-2, 00 ve 22 olarak elde edilir. İşaret tablosu incelendiğinde, sıfır noktasından geçerken türevin işareti pozitiften negatife değiştiği için bu nokta fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
f′(x)=4⋅14x3−2⋅2x=x3−4xf'(x) = 4 \cdot \frac{1}{4}x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevi hesaplanır.
2
Türevi sıfıra eşitleyen kritik noktaları (kökleri) bulalım.
x3−4x=0  ⟹  x(x2−4)=0  ⟹  x(x−2)(x+2)=0x^3 - 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0 Buradan kökler x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu oluşturarak yerel maksimum noktas��nı belirleyelim.
f′(x)f'(x) ifadesinin başkatsayısı pozitif olduğundan tabloya en sağdan ++ ile başlanır:
- x>2x > 2 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan)
- 0<x<20 < x < 2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan)
- −2<x<0-2 < x < 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan)
- x<−2x < -2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan)

Bu durumda:
- −2-2 noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum,
- Sıfır noktasında türev pozitiften negatife geçtiği için yerel maksimum,
- 22 noktasında türev negatiften pozitife geçtiği için yerel minimum vardır.
Türevin işaretinin pozitiften negatife geçtiği nokta yerel maksimum noktasıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel maksimum noktalarında birinci türevi sıfırdır ve türevin işareti bu noktalardan geçerken pozitiften negatife değişir.
Soru 1940Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve x=0x = 0 noktasında türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için f(0)=g(0)=0f(0) = g(0) = 0 ve lim⁡x→0f(x)g(x)=L∈R\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in \mathbb{R}'dir. Buna göre, L=f′(0)g′(0)L = \frac{f'(0)}{g'(0)} eşitliği her zaman sağlanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen önerme yanlıştır.
Önerme yanlıştır çünkü paydanın türevinin sıfır olduğu durumlarda limit mevcut olsa bile türevler oranı tanımsız kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının tanımlılık durumunu incelemek.
g′(0)=0g'(0) = 0 olması durumunda f′(0)g′(0)\frac{f'(0)}{g'(0)} ifadesinin paydası sıfır olacağından bu oran tanımsız olur.
Bir eşitliğin her zaman sağlanması için ifadenin her iki tarafının da tanımlı olması gerekir.
2
Limitin var olduğu ancak türevler oranının tanımsız olduğu bir karşıt örnek oluşturmak.
f(x)=x2f(x) = x^2 ve g(x)=x2g(x) = x^2 seçildiğinde, x→0x \to 0 iken limit değeri lim⁡x→0x2x2=1\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1 olur.
Karşıt örnek yöntemiyle önermenin genel geçerliliğini test etmek.
3
Seçilen fonksiyonların türevlerini sıfır noktasında hesaplamak.
f′(x)=2x  ⟹  f′(0)=0f'(x) = 2x \implies f'(0) = 0 ve g′(x)=2x  ⟹  g′(0)=0g'(x) = 2x \implies g'(0) = 0 olur.
Karşıt örnekteki fonksiyonların x=0x = 0 noktasındaki türev değerlerini belirlemek.
4
Eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek.
L=1L = 1 iken f′(0)g′(0)=00\frac{f'(0)}{g'(0)} = \frac{0}{0} tanımsızlığı oluşur ve 1≠tanımsız1 \neq \text{tanımsız} olduğundan eşitlik sağlanmaz.
Elde edilen değerleri önermede yerine koyarak doğruluğunu denetlemek.

Anahtar Kavram

Türevlenebilir fonksiyonların limitlerinde 0/00/0 belirsizliği çözülürken paydanın türevinin limit noktasındaki değerinin sıfır olabilmesi durumu ve limitin türev tanımıyla ilişkisi.
ÖncekiSayfa 97 / 437Sonraki
Tüm alıştırma soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin