Fonksiyonlar ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 5

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - 6x + 11

parabolünün tepe noktası

T_f

olarak belirleniyor.

a

ve

b

pozitif gerçel sayılar olmak üzere;

g(x) = f(x - a) + b

h(x) = f(x + b) - a

fonksiyonları tanımlanıyor.

$g(x)$ parabolünün tepe noktası $T_1$ , $h(x)$ parabolünün tepe noktası $T_2$ olmak üzere, $T_1$ ile $T_2$ noktaları arasındaki uzaklık $6\sqrt{2}$ birimdir.

$T_f$ , $T_1$ ve $T_2$ noktalarını köşe kabul eden üçgenin alanı $12$ birimkare olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

4

5

6

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Doğru cevap,

a \cdot b

çarpım��nın değerinin 5 olduğunu belirten seçenektir.

Doğru cevap olan 5 değeri, parabolün orijinal tepe noktası

T_f(3,2)

referans alınarak öteleme kuralları uygulandığında bulunur.

g(x) = f(x-a)+b

fonksiyonu

T_1(3+a, 2+b)

noktasına,

h(x) = f(x+b)-a

fonksiyonu ise

T_2(3-b, 2-a)

noktasına ötelenir. İki nokta arasındaki uzaklıktan

a+b=6

ve bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanından

|b^2-a^2|=24

denklemleri elde edilir. Buradan

|b-a|=4

bulunur. İki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden

a \cdot b = 5

sonucuna doğru bir şekilde ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 6x + 11

parabolünün tepe noktasını bulalım.

r = -\frac{-6}{2(1)} = 3

ve

k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 11 = 2

olduğundan

T_f(3, 2)

elde edilir.

Ötelenen fonksiyonların tepe noktalarını belirlemek için öncelikle orijinal parabolün tepe noktasını bulmamız gerekir.

2

Yatay ve dikey öteleme kurallarını uygulayarak

T_1

ve

T_2

tepe noktalarının koordinatlarını

a

ve

b

cinsinden yazal��m.

g(x) = f(x-a) + b

fonksiyonunun grafiği,

f(x)

grafiğinin

a

birim sağa ve

b

birim yukarı ötelenmesiyle elde edildiğinden

T_1(3+a, 2+b)

olur.

h(x) = f(x+b) - a

fonksiyonunun grafiği,

f(x)

grafiğinin

b

birim sola ve

a

birim aşağı ötelenmesiyle elde edildiğinden

T_2(3-b, 2-a)

olur.

Fonksiyon dönüşümlerinde

f(x-u)+v

ifadesi grafiğin yatayda

u

birim sağa, dikeyde

v

birim yukarı ötelenmesini sağlar.

3

T_1

ile

T_2

noktaları arasındaki uzaklık bağıntısını kullanarak

a+b

değerini bulalım.

T_1

ve

T_2

noktaları arasındaki uzaklık:

d(T_1, T_2) = \sqrt{((3+a) - (3-b))^2 + ((2+b) - (2-a))^2} = \sqrt{(a+b)^2 + (a+b)^2} = (a+b)\sqrt{2}

Verilen uzaklık

6\sqrt{2}

birim olduğuna göre,

(a+b)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \implies a+b = 6

elde edilir.

Öteleme parametreleri arasındaki ilk doğrusal ilişkiyi kurmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılır.

4

T_f

,

T_1

ve

T_2

noktalarını köşe kabul eden üçgenin alan formülünü uygulayarak

|b^2 - a^2|

bağıntısını bulalım.

T_f(3,2)

noktası orijin

(0,0)

konumuna ötelenecek şekilde koordinat sistemi kaydırılırsa, tepe noktaları sırasıyla

T_f'(0,0)

,

T_1'(a,b)

ve

T_2'(-b,-a)

olur. Bu üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı:

\text{Alan} = \frac{1}{2} |a(-a) - b(-b)| = \frac{1}{2} |b^2 - a^2|

Alan

12

birimkare verildiğinden,

\frac{1}{2} |b^2 - a^2| = 12 \implies |b^2 - a^2| = 24

bulunur.

Üçgenin alanını koordinat düzlemindeki determinant yöntemiyle pratik bir şekilde hesaplamak için referans noktasını orijine taşırız.

5

a+b = 6

ve

|b^2 - a^2| = 24

denklemlerini ortak çözerek

a \cdot b

çarpımını hesaplayalım.

|b^2 - a^2| = |b-a|(b+a) = 24 \implies |b-a| \cdot 6 = 24 \implies |b-a| = 4

olur.

(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab

özdeşliğinde değerleri yerine yazarsak:

6^2 - 4^2 = 4ab \implies 36 - 16 = 4ab \implies 20 = 4ab \implies ab = 5

elde edilir.

Elde edilen toplam ve fark denklemleri yardımıyla iki bilinmeyenli cebirsel denklem çözülerek istenen çarpım değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların tepe noktalarının yatay (

f(x \pm u)

) ve dikey (

f(x) \pm v

) öteleme kurallarına göre koordinat takibinin yapılması.

Soru 82Soru →

Dik koordinat düzleminde tanımlı bir $y = f(x)$ fonksiyonunun yerel minimum noktası $A(-3, -2)$ ve yerel maksimum noktası $B(1, 4)$ olarak verilmiştir.

$f(x)$ fonksiyonunun ötelenmesiyle elde edilen $g(x) = f(x - a) + b$ fonksiyonunun yerel minimum noktası orijin $(0,0)$ üzerindedir.

Buna göre, $g(x)$ fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

0

4

6

10

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı 10'dur.

Grafiğin yerel minimum noktası

A(-3, -2)

'den orijine

(0,0)

ötelendiğinde yatayda 3 birim sağa ve dikeyde 2 birim yukarı kaydırıldığı belirlenir. Bu öteleme kuralları yerel maksimum noktası olan

B(1, 4)

'e uygulandığında yeni maksimum noktası

(1 + 3, 4 + 2) = (4, 6)

olarak bulunur. Bu noktanın koordinatları toplamı

4 + 6 = 10

'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Öteleme kurallarını belirlemek.

g(x) = f(x - a) + b

dönüşümünde,

f(x)

fonksiyonunun grafiği

a

birim sağa ve

b

birim yukarı ötelenir.

Yatay ve dikey öteleme kurallarına göre

x - a

ifadesi sağa ötelemeyi,

+b

ifadesi ise yukarı ötelemeyi temsil eder.

2

Minimum noktalarının koordinatlarını karşılaştırarak öteleme miktarlarını bulmak.

f(x)

'in yerel minimum noktası

A(-3, -2)

iken

g(x)

'in minimum noktası

(0, 0)

olmuştur. Buradan

-3 + a = 0 \implies a = 3

ve

-2 + b = 0 \implies b = 2

elde edilir.

Grafik üzerindeki tüm noktalar aynı öteleme miktarı kadar kaydırılır.

3

Bulunan öteleme değerlerini yerel maksimum noktasına uygulamak.

f(x)

'in yerel maksimum noktası

B(1, 4)

olduğundan,

g(x)

'in yerel maksimum noktası

C(1 + 3, 4 + 2) = C(4, 6)

olur.

Aynı öteleme kuralları maksimum noktası için de geçerlidir.

4

Maksimum noktasının koordinatları toplamını hesaplamak.

4 + 6 = 10

bulunur.

Soruda yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların Yatay ve Dikey Ötelenmesi

Soru 83Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonunun grafiği;
* $x$ ekseni boyunca pozitif yönde $a$ birim ve $y$ ekseni boyunca pozitif yönde $b$ birim ötelendiğinde $g(x)$ fonksiyonunun grafiği,
* $x$ ekseni boyunca negatif yönde $b$ birim ve $y$ ekseni boyunca negatif yönde $a$ birim ötelendiğinde $h(x)$ fonksiyonunun grafiği
elde ediliyor ( $a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılardır).

$g(x)$ ve $h(x)$ fonksiyonlarının tepe noktalarından geçen doğru orijinden geçtiğine ve bu tepe noktaları arasındaki uzaklık $5\sqrt{2}$ birim olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

2

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Öteleme miktarlarının çarpımı 4'tür.

Doğru cevap olan 4 değeri; orijinal tepe noktası

T(2, -1)

olan parabolün ötelemeler altındaki yeni tepe noktaları

T_1(2+a, -1+b)

ve

T_2(2-b, -1-a)

'nın orijinle doğrusal olmasından

b-a=3

denkleminin, aralarındaki uzaklığın

5\sqrt{2}

olmasından ise

a+b=5

denkleminin elde edilip ortak çözülmesiyle

a=1, b=4

bulunarak

a \cdot b = 4

şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 4x + 3

fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulmak.

Tepe noktası

T(r, k)

olmak üzere;

r = -\frac{-4}{2} = 2

ve

k = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1

bulunur. Yani orijinal tepe noktası

T(2, -1)

'dir.

Parabolün öteleme hareketlerini tepe noktasının koordinatları üzerinden takip etmek kolaylık sağlar.

2

Öteleme kurallarını uygulayarak

g(x)

ve

h(x)

fonksiyonlarının tepe noktalarını (

T_1

ve

T_2

)

a

ve

b

cinsinden yazmak.

g(x)

için

a

birim sağa ve

b

birim yukarı öteleme yapıldığından

T_1(2 + a, -1 + b)

olur.

h(x)

için

b

birim sola ve

a

birim aşağı öteleme yapıldığından

T_2(2 - b, -1 - a)

olur.

Grafik üzerinde sağa ve yukarı ötelemeler koordinat değerlerini artırırken, sola ve aşağı ötelemeler koordinat değerlerini azaltır.

3

Tepe noktalarından geçen doğrunun orijinden geçmesi şartını kullanmak.

Orijin

(0,0)

,

T_1(2+a, -1+b)

ve

T_2(2-b, -1-a)

noktaları doğrusal olduğundan, bu noktaların eğimleri eşit olmalıdır:

\frac{b-1}{a+2} = \frac{-a-1}{2-b} \implies \frac{b-1}{a+2} = \frac{a+1}{b-2}

elde edilir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında

(b-1)(b-2) = (a+1)(a+2) \implies b^2 - 3b + 2 = a^2 + 3a + 2 \implies b^2 - a^2 - 3(a+b) = 0 \implies (b-a)(b+a) - 3(a+b) = 0

bulunur.

a, b > 0

olduğundan

a+b > 0

'dır. Her iki taraf

a+b

ile bölünürse

b - a = 3

bağıntısı elde edilir.

Orijinden geçen bir doğru üzerindeki noktaların ordinatlarının apsislerine oranı doğrunun eğimini verir ve bu oran sabittir.

4

Tepe noktaları arasındaki uzaklığı

5\sqrt{2}

birim yapan

a+b

değerini bulmak.

T_1T_2 = \sqrt{((2+a) - (2-b))^2 + ((-1+b) - (-1-a))^2} = \sqrt{(a+b)^2 + (b+a)^2} = (a+b)\sqrt{2}

olur. Bu uzaklık

5\sqrt{2}

birim verildiğinden

(a+b)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \implies a+b = 5

elde edilir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak

a+b

toplamına ulaşılır.

5

b - a = 3

ve

b + a = 5

denklem sistemini çözerek

a \cdot b

çarpımını hesaplamak.

Denklemler taraf tarafa toplanırsa

2b = 8 \implies b = 4

ve buradan

a = 1

bulunur. İstenen çarpım değeri

a \cdot b = 1 \cdot 4 = 4

olarak elde edilir.

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümüyle öteleme miktarları belirlenir.

Anahtar Kavram

Fonksiyon grafiğinin yatay ve dikey ötelenmesiyle grafik üzerindeki koordinatların değişimi ve iki nokta arasındaki uzaklık ile doğrusallık ilişkilerinin koordinat düzleminde analizi.

Soru 84Soru →

Bir teknoloji firması, geliştirdiği yeni bir mobil uygulamanın günlük kârını (bin TL cinsinden) lansmandan sonraki $x$ . günde elde edilen verilerle $f(x) = -x^2 + 10x + 11$ fonksiyonu ile modellemektedir. Ancak operasyonel gecikmeler nedeniyle firmanın fiili günlük kâr grafiği, bu teorik kâr grafiğinin 2 gün sağa ötelenmiş hali olan $g(x) = f(x - 2)$ fonksiyonu ile gerçekleşmektedir.

Buna göre, bu firmanın lansmandan sonraki $[6, 9]$ kapalı zaman aralığında (gün olarak) elde edebileceği fiili günlük kârın en büyük değeri kaç bin TL'dir?

20

27

32

35

36

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Fiili günlük kârın en büyük değeri 36 bin TL'dir.

Fiili kâr fonksiyonu g(x) = f(x-2) olduğundan, f(x) parabolü 2 birim sağa ötelenmiştir. f(x)'in tepe noktasının apsisi 5 olduğundan, g(x)'in tepe noktasının apsisi 7 olur. Bu tepe noktası [6, 9] kapalı aralığında yer aldığı için g(x) fonksiyonu en büyük değerini x = 7 noktasında alır ve bu değer 36 bin TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Teorik kâr fonksiyonunun tepe noktasını bulma

f(x) = -x^2 + 10x + 11

fonksiyonunda

a = -1

,

b = 10

ve

c = 11

dir. Tepe noktasının apsisi

r_f = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5

olarak bulunur. En büyük değer ise

f(5) = -5^2 + 10(5) + 11 = 36

olur.

Öteleme dönüşümünün tepe noktasını nereye taşıyacağını belirlemek için referans noktası gereklidir.

2

Fiili kâr fonksiyonunun tepe noktasını öteleme kuralları ile belirleme

g(x) = f(x-2)

fonksiyonu,

f(x)

grafiğinin 2 birim sağa ötelenmiş halidir. Yatay ötelemede tepe noktasının ordinatı değişmez, apsisi ise 2 birim artar. Dolayısıyla

g(x)

fonksiyonunun tepe noktasının apsisi

r_g = 5 + 2 = 7

olur. Bu tepe noktasındaki maksimum değer yine 36'dır.

Yatay eksende yapılan

f(x-k)

dönüşümü, grafiği

k > 0

için sağa doğru

k

birim öteler.

3

Tepe noktasının tanımlı aralıkta olup olmadığını kontrol etme ve en büyük değeri hesaplama

Belirlenen

[6, 9]

aralığı incelendiğinde,

g(x)

fonksiyonunun tepe noktasının apsisi olan

7

değerinin bu aralıkta olduğu görülür (

7 \in [6, 9]

). Kollar aşağı doğru olan bu parabol, bu aralıktaki en büyük değerini tepe noktasında alır. Dolayısıyla en büyük değer

g(7) = f(5) = 36

bin TL olarak bulunur.

Kollar aşağı doğru olan bir parabol, tepe noktasının apsisi incelenen kapalı aralığın içinde yer alıyorsa en büyük değerini tepe noktasında alır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük veya en küçük değeri bulunurken tepe noktasının apsisinin (r) verilen aralığın içinde olup olmadığı kontrol edilir. Eğer tepe noktası aralığın içindeyse en büyük/en küçük değer tepe noktasında; aralığın dışındaysa aralığın uç noktalarında oluşur.

Soru 85Soru →

Bir tarım kooperatifi, üyelerine dağıtılacak yeni bir gübre karışımı geliştirmiştir. Bu karışımdaki azot oranı yüzde $x$ olmak üzere, elde edilen ürün verimi (ton/hektar)

V(x) = -x^2 + 8x + 12

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Karışımdaki azot oranının en az $\%2$ , en fazla $\%7$ olması gerektiği bilindiğine göre, bu gübre kullanımıyla elde edilebilecek en yüksek ürün verimi kaç tondur?

12

19

24

28

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Maksimum ürün verimi 28 tondur.

Ürün verimi fonksiyonu

V(x) = -x^2 + 8x + 12

şeklinde kolları aşağı doğru olan bir parabol belirtir. Bu parabolün en büyük değeri tepe noktasında elde edilir. Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4

olarak hesaplanır.

4

değeri verilen

[2, 7]

tanım aralığında yer aldığından, en yüksek ürün verimi bu noktadaki değer olan

V(4) = -(4)^2 + 8(4) + 12 = 28

ton olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Tanım aralığını belirleme.

Azot oranının yüzde

x

sınırları

\%2

ile

\%7

arasında olduğundan, tanım aralığı

[2, 7]

kapalı aralığıdır.

Problemdeki fiziksel sınırlandırmalar tanım kümesini belirler.

2

Parabolün tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplama.

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4

olarak bulunur.

Kolları aşağı doğru olan parabolün maksimum değeri tepe noktasında oluşur.

3

Bulunan tepe noktasının tanım aralığında olup olmadığını kontrol etme ve en büyük değeri hesaplama.

r = 4

değeri

[2, 7]

aralığına ait olduğu için maksimum verim

V(4) = -(4)^2 + 8(4) + 12 = -16 + 32 + 12 = 28

tondur.

Tepe noktası tanım kümesinin içinde kaldığı için en büyük değer doğrudan bu noktadaki fonksiyondur.

Anahtar Kavram

Kolları aşağı doğru olan bir parabolün kapalı bir aralıktaki maksimum değerini tepe noktası ve sınır değerlerini inceleyerek bulma.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 86Soru →

Dik koordinat düzleminde, $f(x)$ parabolünün tepe noktası $T(3, 1)$ 'dir. $a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $f(x)$ parabolünün grafiği;

* $x$ -ekseni boyunca pozitif yönde $a$ birim, $y$ -ekseni boyunca pozitif yönde $b$ birim ötelendiğinde $f_1(x)$ parabolü,
* $x$ -ekseni boyunca pozitif yönde $b$ birim, $y$ -ekseni boyunca negatif yönde $a$ birim ötelendiğinde $f_2(x)$ parabolü,
* $x$ -ekseni boyunca negatif yönde $a$ birim, $y$ -ekseni boyunca negatif yönde $b$ birim ötelendiğinde $f_3(x)$ parabolü,
* $x$ -ekseni boyunca negatif yönde $b$ birim, $y$ -ekseni boyunca pozitif yönde $a$ birim ötelendiğinde $f_4(x)$ parabolü

elde ediliyor.

Bu dört parabolün tepe noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı $52$ birimkaredir.

$f_1(x)$ parabolünün tepe noktası $y = 2x - 2$ doğrusu üzerinde olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

2

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Çarpımın değeri 5 olmalıdır.

Doğru öteleme adımları izlendiğinde

T_1(3+a, 1+b)

noktası elde edilir. Bu noktanın doğru üzerindeki yerleşimi ile

b = 2a + 3

bağıntısı bulunur. Köşelerin oluşturduğu karenin alanı

2(a^2 + b^2) = 52

olduğundan

a^2 + b^2 = 26

denklemi çözülerek

a=1

ve

b=5

değerlerine ulaşılır. Bu iki sayının çarpımı 5 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1

Öteleme kurallarına göre yeni tepe noktalarını yazma

T_1(3+a, 1+b)

,

T_2(3+b, 1-a)

,

T_3(3-a, 1-b)

ve

T_4(3-b, 1+a)

koordinatları elde edilir.

Fonksiyonların yatay ötelemesinde sağa öteleme apsise eklenirken sola öteleme apsisten çıkarılır. Dikey ötelemede yukarı öteleme ordinata eklenirken aşağı öteleme ordinatten çıkarılır.

2

Tepe noktalarının oluşturduğu dörtgenin geometrik türünü belirleme ve alan bağıntısını kurma

Dörtgenin köşeleri olan noktalar, merkezi

T(3,1)

olan ve kenar uzunluğu

\sqrt{2(a^2 + b^2)}

birim olan bir karedir. Karenin alanı

\text{Alan} = 2(a^2 + b^2) = 52 \implies a^2 + b^2 = 26

olarak bulunur.

Karşılıklı ve komşu tepe noktaları arasındaki uzaklıkların eşitliği ve köşegenlerin birbirine dik olması, bu şeklin bir kare olduğunu gösterir.

3

T_1

noktasının doğru denklemini sağlama koşulunu uygulama

1 + b = 2(3 + a) - 2 \implies b = 2a + 3

bağıntısı elde edilir.

T_1(3+a, 1+b)

noktası

y = 2x - 2

doğrusu üzerinde yer aldığından koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır.

4

Elde edilen denklem sistemini çözme

a^2 + (2a + 3)^2 = 26 \implies 5a^2 + 12a - 17 = 0

denkleminin pozitif kökü

a = 1

olarak bulunur. Buradan

b = 5

elde edilir.

a

ve

b

değerleri pozitif gerçel sayılar olmak zorundadır.

5

a \cdot b

çarpımını hesaplama

a \cdot b = 1 \cdot 5 = 5

bulunur.

Soruda bizden istenen çarpım değerine ulaşmaktır.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey öteleme kurallarının koordinat düzleminde noktaların taşınmasına uygulanması ve geometrik yorumu.

Soru 87Soru →

Analitik düzlemde,

y = x^2 - 6x + 5

parabol��nün

y = 2x - 7

doğrusuna en yakın noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Parabolün doğruya en yakın noktasının koordinatları toplamı 1'dir.

Parabolün doğruya en yakın noktasını bulmak için aralarındaki dikey uzaklığı veren

x^2 - 8x + 12

fonksiyonunun minimum noktası olan tepe noktası bulunur. Bu fonksiyonun tepe noktası apsisi

r = 4

olup parabol üzerindeki karşılık gelen nokta

(4, -3)

'tür. Bu koordinatların toplamı ise 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol üzerindeki genel bir noktanın koordinatlarını tanımlama.

Nokta

A(x, x^2 - 6x + 5)

şeklinde yazılır.

Parabol üzerindeki her nokta parabol denklemini sağlamak zorundadır.

2

Parabol ile doğru arasındaki düşey uzaklığı temsil eden fonksiyonu kurma ve minimum yapan apsis değerini hesaplama.

Uzaklık fonksiyonu

d(x) = x^2 - 8x + 12

elde edilir. Bu fonksiyonun tepe noktası apsisi

r = -\frac{-8}{2(1)} = 4

olarak bulunur.

Bir parabol ile doğru arasındaki en kısa mesafe, aralarındaki dikey uzaklığı minimum yapan noktada (yani aralarındaki fark fonksiyonunun tepe noktasında) gerçekleşir.

3

Bulunan apsis değerini kullanarak en yakın noktanın ordinatını hesaplama.

Ordinat

y = 4^2 - 6(4) + 5 = -3

olarak bulunur.

En yakın nokta parabolün üzerinde olduğundan, parabol denkleminde

x = 4

yazılarak ordinat değeri elde edilir.

4

Elde edilen koordinatların toplamını bulma.

Toplam

4 + (-3) = 1

bulunur.

Soru kökünde bizden en yakın noktanın koordinatlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Parabolün bir doğruya en yakın noktasını, aralarındaki düşey uzaklığı veren ikinci dereceden fonksiyonun en küçük değerini (tepe noktasını) bularak hesaplama.

Soru 88Soru →

Bir cismin yerden havaya fırlatıldıktan sonra

t

. saniyede ulaştığı yükseklik (metre cinsinden)

h(t) = -t^2 + 8t + 5

fonksiyonu ile modellenmektedir.
Buna göre, bu cismin ulaşabileceği en büyük yükseklik kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Cismin ulaşabileceği en büyük yükseklik 21 metredir.

Maksimum yükseklik parabolün tepe noktasının ordinatıdır.

h(t) = -t^2 + 8t + 5

fonksiyonunun tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-1)} = 4

ve ordinatı

k = h(4) = 21

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün tepe noktasının apsisi (

r

) hesaplanır.

r = 4

Tepe noktasının apsisi, fonksiyonun maksimum değerine ulaştığı zamanı temsil eder.

2

Bulunan

t = 4

değeri

h(t)

fonksiyonunda yerine yazılır.

h(4) = 21

Tepe noktasının ordinatı (

k = f(r)

) parabolün alabileceği en büyük değeri verir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının ordinatı (

k = f(r)

) en büyük veya en küçük değeri temsil eder. Baş katsayı negatif (

a < 0

) olduğundan parabolün kolları aşağı doğrudur ve tepe noktasında en büyük değerini alır.

Soru 89Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 + 4x + k$ parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğet doğruları birbirine diktir. Bu teğet doğrularının parabole değme noktalarından geçen doğrunun $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8.5

Cevap

Teğet doğrularının parabole değme noktalarından geçen doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 8,5'tir.

Doğruların parabole teğet olması ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfır olmasını gerektirir. Teğetlerin dikliği ise eğimler çarpımının -1 olmasını gerektirir. Bu iki temel koşul birleştirildiğinde k değeri 17/4 olarak bulunur. Değme noktalarından geçen doğrunun denklemi y = 4x + 2k şeklinde kurulur ve x = 0 için y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 2k = 8,5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Orijinden geçen teğet doğrularının denklemini belirleme.

Teğetlerin denklemleri

y = mx

biçimindedir.

Başlangıç noktasından (orijinden) geçen doğruların y-kesimi sıfırdır.

2

Parabol ile teğet doğrusunun ortak çözüm denklemini oluşturma.

x^2 + (4-m)x + k = 0

Kesişim ve teğetlik noktalarını bulmak için iki fonksiyonun kuralları birbirine eşitlenir.

3

Teğetlik şartını uygulayarak eğimler denklemine ulaşma.

\Delta = (4-m)^2 - 4k = 0 \Rightarrow m^2 - 8m + 16 - 4k = 0

Bir doğrunun bir parabole teğet olması için ortak çözüm denkleminin çakışık iki kökü olmalıdır, bu da diskriminantın sıfır olmasını gerektirir.

4

Teğetlerin birbirine dik olması koşulunu kullanarak

k

değerini bulma.

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow 16 - 4k = -1 \Rightarrow k = \frac{17}{4}

Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı

-1

değerine eşittir. Burada kökler çarpımı formülü uygulanmıştır.

5

Değme noktalarının koordinatlarını eğimler cinsinden bulma.

A\left(\frac{m_1-4}{2}, \frac{m_1^2-4m_1}{2}\right)

ve

B\left(\frac{m_2-4}{2}, \frac{m_2^2-4m_2}{2}\right)

Ortak çözüm denkleminde teğet noktalarının apsisleri kökler olup

x = -b/(2a)

yardımıyla tek bir değere sahip olur.

6

Değme noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplama.

Eğim

a = m_1 + m_2 - 4

. Eğimler denkleminde kökler toplamı

m_1 + m_2 = 8

olduğundan eğim

a = 4

bulunur.

İki noktadan geçen doğrunun eğim formülü uygulanarak kökler toplamı cinsinden ifade edilir.

7

Doğru denklemini kurup

y

-eksenini kestiği noktanın ordinatını hesaplama.

y = 4x + 2k

doğrusu elde edilir. Buradan

y

-kesimi

2k = 2 \cdot \frac{17}{4} = 8.5

olarak bulunur.

Değme noktalarından geçen doğrunun denklemi düzenlenerek

x=0

için ordinat değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları, teğetlik koşulu (diskriminantın sıfır olması) ve dik doğruların eğim ilişkisi.

Soru 90Soru →

Analitik düzlemde, bir kontrol merkezi orijin noktasında ( $O(0,0)$ ) bulunmaktadır. Bir araştırma dronu, bu düzlemde $2x + y = 5$ doğrusu boyunca doğrusal bir rota izleyerek hareket etmektedir. Sinyal kalitesinin korunması amacıyla dronun yalnızca $x \in [3, 6]$ kapalı aralığında kaldığı bölgede veri toplamasına izin verilmiştir. Buna göre, dronun veri topladığı süre boyunca kontrol merkezine olan uzaklığının karesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dronun veri toplama merkezine olan uzaklığının karesinin alabileceği en küçük değer 10'dur.

Dronun koordinatları

P(x, 5-2x)

şeklindedir. Orijine olan uzaklığının karesi

f(x) = 5x^2 - 20x + 25

parabolüdür. Bu parabolün tepe noktası

x = 2

olup, tanımlı

[3, 6]

aralığının solundadır. Dolayısıyla fonksiyon

[3, 6]

aralığında daima artandır ve en küçük değerini sol sınır olan

x = 3

noktasında alır. Buradan en küçük değer

3^2 + (-1)^2 = 10

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Dronun rota denklemi kullanılarak

y

koordinatı

x

cinsinden ifade edilir.

y = 5 - 2x

Uzaklık formülünü tek bir değişkene bağlı olarak yazabilmek için.

2

Uzaklığın karesini veren iki değişkenli formül, tek değişkene bağlı bir parabol fonksiyonuna dönüştürülür.

f(x) = x^2 + (5 - 2x)^2 = 5x^2 - 20x + 25

Orijine olan uzaklığın karesi

x^2 + y^2

olduğundan,

y

yerine elde edilen ifade yazılır.

3

Oluşan parabolün tepe noktasının koordinatı (

r

) hesaplanır.

r = -\frac{-20}{2 \cdot 5} = 2

Fonksiyonun en küçük değerini alabileceği yerel minimum noktasını (tepe noktasını) tespit etmek için.

4

Tepe noktasının tanımlı aralık olan

[3, 6]

ile ilişkisi ve fonksiyonun bu aralıktaki artanlık/azalanlık durumu belirlenir.

r = 2 \notin [3, 6]

olup fonksiyon

x \geq 2

için sürekli artandır.

Kapalı aralıkta en küçük değer aranırken tepe noktasının aralığın içinde olup olmadığı kontrol edilmelidir.

5

Aralığın sol ucu olan

x = 3

değeri fonksiyonda yerine yazılarak en küçük değer hesaplanır.

f(3) = 5(3)^2 - 20(3) + 25 = 10

Fonksiyon

[3, 6]

aralığında artan olduğundan en küçük değer aralığın başlangıç noktasında gerçekleşir.

Anahtar Kavram

Bir parabolün belirli bir kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığının kontrol edilmesi gerekir.

Soru 91Soru →

Bir kimyasal reaksiyonun hızı (gr/sn cinsinden), ortam sıcaklığı $T$ (°C) olmak üzere, $5 \leq T \leq 9$ kapalı aralığında

V(T) = -T^2 + 8T + 12

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, bu reaksiyonun belirtilen sıcaklık aralığındaki en yüksek hızı kaç gr/sn'dir?

3

12

27

28

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Reaksiyonun belirtilen aralıktaki en yüksek hızı 27 gr/sn'dir.

Verilen reaksiyon hızı fonksiyonu V(T) = -T^2 + 8T + 12 bir parabol belirtir. Bu parabolün kolları aşağı doğrudur (a = -1 < 0). Tepe noktasının apsisi r = -8 / (2 * -1) = 4 olarak bulunur. Ancak sıcaklık aralığı [5, 9] olarak tanımlanmıştır ve r = 4 bu aralığa dahil değildir. Parabol, r = 4 noktasının sağındaki tüm T değerleri için azalan bir grafik çizer. Dolayısıyla [5, 9] aralığında fonksiyon tamamen azalandır ve en büyük değerini aralığın en solundaki T = 5 değerinde alır. T = 5 için V(5) = -25 + 40 + 12 = 27 gr/sn elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün tepe noktasının apsisini (r) hesaplayın.

r = 4

Tepe noktasının verilen aralıkta olup olmadığını kontrol etmek amacıyla apsis değeri r = -b/(2a) formülüyle bulunur.

2

Tepe noktasının apsisi olan 4 değerinin [5, 9] aralığında olup olmadığını kontrol edin.

4 sayısı [5, 9] aralığının dışındadır.

Tepe noktası aralığın dışındaysa, fonksiyon bu aralıkta daima artan veya daima azalandır. Bu durumda en büyük ve en küçük değerler aralığın uç noktalarında bulunur.

3

Aralığın uç noktaları olan T = 5 ve T = 9 değerlerini fonksiyon denkleminde yerine yazın.

T = 5 için V(5) = -25 + 40 + 12 = 27; T = 9 için V(9) = -81 + 72 + 12 = 3

Uç noktalardaki hız değerlerini karşılaştırarak maksimum hızı belirlemek için.

4

Elde edilen sonuçları karşılaştırarak en büyük değeri belirleyin.

27 > 3 olduğundan, maksimum hız 27 gr/sn'dir.

Fonksiyon T = 4'ten büyük değerler için azalan olduğundan, aralığın sol ucunda en büyük değerine ulaşır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün sınırlı bir kapalı aralıktaki en büyük veya en küçük değeri bulunurken tepe noktasının apsisi kontrol edilir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa, en büyük ve en küçük değerler aralığın uç noktalarında aranır.

Soru 92Soru →

Dik koordinat düzleminde $f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

g(x) = |f(-|x|) - 1|

biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonu için,

$g(x) = \frac{1}{2}$ denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı $A$ ,

$g(x) = 1$ denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı $B$

olduuna göre, $A + B$ toplamı kaçtır?

9

11

13

15

17

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Doğru cevap 13 olan seçenektir.

Doğru cevap 13'tür.

g(x) = 1/2

denkleminin 8 farklı kökü,

g(x) = 1

denkleminin ise 5 farklı kökü vardır. Bu kök sayıları fonksiyonun grafiği çizilip

y = 1/2

ve

y = 1

doğrularıyla olan kesişim noktaları sayılarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1

h(x) = f(-|x|)

fonksiyonunun simetri özelliğini belirleme.

h(x)

fonksiyonu çift fonksiyondur.

x \ge 0

için

h(x) = f(-x) = -x^3 + 3x

olur.

Değişkenin mutlak değeri alındığı için fonksiyon y-eksenine göre simetrik hale gelir.

2

x \ge 0

için

h(x) - 1

fonksiyonunun grafiğini analiz etme.

y(x) = -x^3 + 3x - 1

fonksiyonunun

x=0

için değeri

-1

,

x=1

için yerel maksimum değeri

1

'dir.

x \to \infty

için

-\infty

'a gider. Bu aralıkta fonksiyonun biri

(0, 1)

diğeri

(1, \infty)

aralığında olmak üzere iki pozitif kökü vardır.

Grafiğin x-eksenini kestiği noktaları ve tepe noktalarını bulmak için türev ve fonksiyon değerleri incelenir.

3

g(x) = |h(x) - 1|

dönüşümünü uygulayarak grafiğin genel şeklini çıkarma.

g(x)

çift fonksiyonu, x-ekseninin altında kalan kısımların yukarı katlanmasıyla oluşur.

x \ge 0

için grafik

(0, 1)

noktasından başlayıp azalarak sıfıra iner, sonra

(1, 1)

tepe noktasına çıkıp tekrar sıfıra iner ve ardından artarak sonsuza gider.

Dışarıdaki mutlak değer, negatif y değerlerini pozitif yaparak grafiği x-eksenine göre yans��tır.

4

g(x) = 1/2

denkleminin kök sayısını belirleme.

y = 1/2

yatay doğrusu,

g(x)

grafiğinin dalgalanan kollarını

x \ge 0

için 4 noktada keser. Çift fonksiyon simetrisinden dolayı toplam kök sayısı

A = 8

olur.

0 < 1/2 < 1

seviyesindeki bir yatay doğru, grafiğin her bir artan ve azalan kolunu tam olarak bir kez keser.

5

g(x) = 1

denkleminin kök sayısını belirleme.

y = 1

doğrusu yerel maksimum noktaları olan

x = -1, 0, 1

noktalarında grafiğe teğettir. Ayrıca dış kollarda

x = \pm\sqrt{3}

noktalarında kesişir. Buradan kök sayısı

B = 5

bulunur. Sonuç olarak

A + B = 8 + 5 = 13

elde edilir.

y = 1

seviyesi hem yerel maksimum değerlerine eşit olduğundan teğet noktalarını hem de dış kollardaki kesişim noktalarını verir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların mutlak değer ve simetri dönüşümleri altında grafik analizinin yapılması ve yatay doğrularla kesişim sayıları yardımıyla denklem kök sayılarının bulunması.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 93Soru →

Bir koordinat düzleminde, $y = x^2 - x + a$ kuralıyla verilen parabol ile $y = x + 2$ denklemli doğrunun yalnızca bir ortak noktası olduğu bilinmektedir. Buna göre, $a$ gerçek sayısı kaçtır?

\frac{1}{4}

1

2

3

-1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Parabol ile doğrunun teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır. Buradan

a = 3

elde edilir.

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması, ortak kesişim noktalarının yalnızca bir tane olması anlamına gelir. Denklemlerin ortak çözümü yapıldığında

x^2 - 2x + a - 2 = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir. Bu denklemin tek bir gerçek kökünün (çift katlı kök) olması için diskriminant sıfır olmalıdır.

\Delta = (-2)^2 - 4(a-2) = 12 - 4a = 0

eşitliğinden

a = 3

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.

x^2 - x + a = x + 2 \Rightarrow x^2 - 2x + a - 2 = 0

denklemi elde edilir.

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için ortak çözüm yapılmalıdır.

2

Oluşan ikinci dereceden denklemin diskriminantını (

\Delta

) hesaplayın.

\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) = 12 - 4a

olarak bulunur.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığı ve sayısı diskriminant ile belirlenir.

3

Doğru ile parabol birbirine teğet olduğu için diskriminantı sıfıra eşitleyin ve

a

değerini bulun.

12 - 4a = 0 \Rightarrow 4a = 12 \Rightarrow a = 3

elde edilir.

Doğru ile parabolün birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin çakışık (çift katlı) iki kökünün olması, yani diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Soru 94Soru →

Analitik düzlemde, kolları yukarı doğru olan $y = x^2 + ax + b$ parabolü $y = 2x - 3$ ve $y = -4x - 12$ doğrularının her ikisine de teğettir. Bu parabolün tepe noktası $T$ , teğet doğrularının kesişim noktası $K$ olduğuna göre, $T$ ve $K$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

\frac{\sqrt{17}}{2}

\frac{13}{2}

\frac{\sqrt{37}}{2}

\frac{\sqrt{89}}{2}

\frac{17}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sqrt{17}}{2}$

Cevap

Tepe noktası

T

ve teğet doğrularının kesişim noktası

K

arasındaki uzaklık

\frac{\sqrt{17}}{2}

birimdir.

Parabolün her iki doğruya teğet olması

\Delta = 0

şartını gerektirir. Bu şartlardan elde edilen sistem çözüldüğünde parabol denklemi

y = x^2 + 2x - 3

bulunur. Parabolün tepe noktası

T(-1, -4)

ve doğruların kesişim noktası

K\left(-\frac{3}{2}, -6\right)

olarak saptanır. İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle uzaklık

\frac{\sqrt{17}}{2}

olarak doğru hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Parabolün birinci doğruya teğet olma koşulunu diskriminant yardımıyla yazalım.

y = x^2 + ax + b

parabolü ile

y = 2x - 3

doğrusunun ortak çözüm denklemi

x^2 + (a-2)x + (b+3) = 0

olur. Teğetlik durumunda bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır:

\Delta_1 = (a-2)^2 - 4(b+3) = 0 \implies a^2 - 4a - 4b - 8 = 0

.

Bir doğru ve bir parabolün teğet olması, ortak çözüm denkleminin çakışık iki köke (yani diskriminantının sıfıra) sahip olmasını gerektirir.

2

Parabolün ikinci doğruya teğet olma koşulunu diskriminant yardımıyla yazalım.

y = x^2 + ax + b

parabolü ile

y = -4x - 12

doğrusunun ortak çözüm denklemi

x^2 + (a+4)x + (b+12) = 0

olur. Teğetlik durumunda bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır:

\Delta_2 = (a+4)^2 - 4(b+12) = 0 \implies a^2 + 8a - 4b - 32 = 0

.

İkinci doğrunun da parabole teğet olması nedeniyle ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmal��dır.

3

Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek

a

ve

b

parametrelerini bulalım.

İkinci denklemden birinci denklemi çıkardığımızda:

(a^2 + 8a - 4b - 32) - (a^2 - 4a - 4b - 8) = 0 \implies 12a - 24 = 0 \implies a = 2

bulunur.

a = 2

değerini birinci denklemde yerine yazarsak:

4 - 8 - 4b - 8 = 0 \implies 4b = -12 \implies b = -3

elde edilir. Parabol denklemi

y = x^2 + 2x - 3

olur.

İki denklemdeki ortak terimleri yok etmek ve parabolün katsayılarını belirlemek için denklem sistemi çözülür.

4

Bulunan parabolün tepe noktası

T(r, k)

koordinatlarını hesaplayalım.

r = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1

ve

k = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4

olduğundan tepe noktası

T(-1, -4)

olarak bulunur.

Parabolün tepe noktasının apsis formülü

r = -\frac{b}{2a}

ve ordinatı

k = f(r)

bağıntısı ile hesaplanır.

5

Teğet doğrularının kesişim noktası olan

K

noktasının koordinatlarını bulalım.

2x - 3 = -4x - 12 \implies 6x = -9 \implies x = -\frac{3}{2}

olur. Herhangi bir doğru denkleminde yerine yazarsak

y = 2\left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = -6

bulunur. Böylece kesişim noktası

K\left(-\frac{3}{2}, -6\right)

olur.

İki doğrunun kesişim noktası, doğruların denklemlerinin ortak çözümüyle elde edilir.

6

T(-1, -4)

ve

K\left(-\frac{3}{2}, -6\right)

noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayalım.

|TK| = \sqrt{\left(-1 - \left(-\frac{3}{2}\right)\right)^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}

birim bulunur.

Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak

T

ve

K

arasındaki mesafe bulunur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumlarında teğetlik şartı (ortak çözümün diskriminantının sıfıra eşit olması) ve tepe noktası ile doğruların kesişim noktasının analitik incelenmesi.

Soru 95Soru →

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

[0, 2]

kapalı aralığında tanımlı

f(x) = -x^2 + 2ax + a^2 - 4a

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer

5

'tir.

Buna göre, $a$ 'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

-4

-1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2

Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan, tepe noktası aralığın dışında kaldığında fonksiyon monoton (sürekli artan veya azalan) davranır. Tepe noktasının konumu

a < 0

olduğunda fonksiyon azalan olup en büyük değerini

x = 0

noktasında alır; buradan

a = -1

bulunur. Tepe noktasının konumu

a > 2

olduğunda ise fonksiyon artan olup en büyük değerini

x = 2

noktasında alır; buradan da

a = 3

elde edilir. Bu iki geçerli değerin toplamı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Tepe noktasının apsisini (

r

) bulunuz.

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{2a}{2(-1)} = a

Parabolün kapalı aralıktaki en büyük değerini bulmak için tepe noktasının aralığa göre konumunu incelemeliyiz.

2

Tepe noktasının aralığın solunda olduğu durumu (

a < 0

) inceleyiniz.

f(0) = 5 \implies a^2 - 4a = 5 \implies a^2 - 4a - 5 = 0 \implies a = -1

veya

a = 5

. Koşuldan ötürü

a = -1

alınır.

a < 0

iken fonksiyon

[0, 2]

aralığında azalandır, en büyük değer sol uç nokta olan

x = 0

için gerçekleşir.

3

Tepe noktasının aralığın içinde olduğu durumu (

0 \le a \le 2

) inceleyiniz.

f(a) = 5 \implies 2a^2 - 4a - 5 = 0 \implies a = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}

. Kökler

[0, 2]

aralığının dışındadır, çözüm yoktur.

Tepe noktası aralığın içindeyken en büyük değer parabolün tepe noktasında (

x = a

) oluşur.

4

Tepe noktasının aralığın sağında olduğu durumu (

a > 2

) inceleyiniz.

f(2) = 5 \implies a^2 - 4 = 5 \implies a^2 = 9 \implies a = 3

veya

a = -3

. Koşuldan ötürü

a = 3

alınır.

a > 2

iken fonksiyon

[0, 2]

aralığında artandır, en büyük değer sağ uç nokta olan

x = 2

için gerçekleşir.

5

Bulunan geçerli

a

değerlerini toplayınız.

(-1) + 3 = 2

Soruda istenen,

a

'nın alabileceği farklı değerlerin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralığa göre konumunun incelenmesi

Soru 96Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve çift olan bir $f$ fonksiyonunun grafiğinin $x$ eksenini kestiği noktaların apsisleri $-5, -2, 2$ ve $5$ 'tir. Bu fonksiyonun en büyük değeri $4$ olup bu değeri $x = 0$ noktasında almaktadır.

Bu

f

fonksiyonu kullanılarak,

g(x) = f(x - 3) + 2

h(x) = f(x + 1) - 1

fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre;
I. $g(x)$ fonksiyonunun grafiği, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $x$ ekseni boyunca sola 3 birim ve $y$ ekseni boyunca yukarı 2 birim ötelenmesiyle elde edilir.
II. $h(x)$ fonksiyonunun grafiği $x = -1$ doğrusuna göre simetriktir.
III. $f(x)$ fonksiyonu $[0, 2]$ aralığında azalan ise, $g(x)$ fonksiyonu $[1, 3]$ aralığında artandır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III

Doğru yanıt olan seçenek II ve III öncüllerini içermektedir. I. öncülde verilen sola öteleme ifadesi yanlıştır çünkü

f(x - 3)

dönüşümü grafiği sağa öteler. II. öncülde çift fonksiyonun

x = 0

doğrusuna göre olan simetrisinin, sola 1 birim ötelenerek

x = -1

doğrusuna taşındığı doğru ifade edilmiştir. III. öncülde çift fonksiyonun simetrisinden dolayı

[-2, 0]

aralığında artan olduğu ve sağa 3 birim öteleme ile bu artanlığın

[1, 3]

aralığına taşındığı doğru analiz edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncülün analiz edilmesi ve öteleme yönünün belirlenmesi

I. öncül yanlıştır.

g(x) = f(x - 3) + 2

fonksiyonu,

f(x)

fonksiyonunun grafiğinin

x

ekseni boyunca pozitif yönde (sağa doğru) 3 birim ve

y

ekseni boyunca pozitif yönde (yukarı doğru) 2 birim ötelenmesiyle elde edilir. Öncüldeki 'sola 3 birim' ifadesi yatay öteleme yönünün ters alınmasından dolayı hatalıdır.

2

II. öncülün simetri ekseni değişimi üzerinden incelenmesi

II. öncül doğrudur.

f(x)

çift bir fonksiyon olduğundan grafiği y-eksenine (

x = 0

doğrusuna) göre simetriktir.

h(x) = f(x + 1) - 1

fonksiyonu tanımlanırken,

f(x)

grafiği

x

ekseni boyunca sola 1 birim kaydırılır. Bu durum simetri eksenini de sola 1 birim kaydırarak

x = -1

doğrusu yapar. Dikey eksendeki

-1

birimlik öteleme ise düşey simetri ekseninin konumunu değiştirmez.

3

III. öncülün çift fonksiyon simetrisi ve öteleme ile monotonicity ilişkisi üzerinden incelenmesi

III. öncül doğrudur.

f(x)

çift fonksiyonu

[0, 2]

aralığında azalan ise, y-eksenine göre simetrik olmasından dolayı

[-2, 0]

aralığında artan olmak zorundadır.

g(x) = f(x - 3) + 2

fonksiyonunun grafiği,

f(x)

'in sağa 3 birim ötelenmiş hali olduğundan,

f(x)

'in

[-2, 0]

aralığındaki artanlık özelliği

g(x)

için

[-2 + 3, 0 + 3] = [1, 3]

aralığına taşınır. Dolayısıyla

g(x)

fonksiyonu

[1, 3]

aralığında artandır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri ile dikey ve yatay öteleme dönüşümlerinin fonksiyonların tanım kümesi ve monotonicity (artanlık/azalanlık) üzerindeki etkileri.

Soru 97Soru →

Dik koordinat düzleminde, $[-4, 4]$ kapalı aralığında tanımlı $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği doğrusal parçalardan oluşmakta olup tepe noktası $(0, 4)$ , $x$ -eksenini kestiği noktalar ise $(-4, 0)$ ve $(4, 0)$ 'dır.

a

ve

b

pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

[-2, 2]

kapalı aralı��ında tanımlı

g(x) = a \cdot f(b \cdot x)

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer

6

olarak veriliyor.

Buna göre, dik koordinat düzleminde $y = f(x)$ ve $y = g(x)$ grafiklerinin her ikisinin de altında kalan ve $x$ -ekseni ile sınırlanan ortak bölgenin alanı kaç birimkaredir?

5

8

10

12

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Ortak bölgenin alanı 10 birimkaredir.

Doğru yanıt olan 10 değeri,

g(x) = 1,5 \cdot f(2x)

dönüşümüyle elde edilen grafiğin

f(x)

ile

[-2, 2]

aralığındaki kesişim noktalarının

x = \pm 1

olduğu belirlendikten sonra,

[0, 1]

aralığında

f(x)

'in altında kalan alan (3,5 birimkare) ile

[1, 2]

aralığında

g(x)

'in altında kalan alanın (1,5 birimkare) toplamının iki katı alınarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

f(x)

fonksiyonunun kuralını belirleme

f(x) = 4 - |x|

(veya

x \ge 0

için

f(x) = 4 - x

,

x < 0

için

f(x) = 4 + x

)

Dönüşüm uygulanacak olan ana fonksiyonun cebirsel ifadesini elde etmek için

2

g(x)

fonksiyonunun tanım kümesinden faydalanarak

b

katsayısını bulma

b = 2

f(x)

'in tanım kümesi

[-4, 4]

ve

g(x) = a \cdot f(b \cdot x)

'in tanım kümesi

[-2, 2]

olduğundan, sınırların

b

katı orijinal sınırlara eşit olmalıdır:

b \cdot 2 = 4 \implies b = 2

.

3

g(x)

'in en büyük değerinden faydalanarak

a

katsayısını bulma

a = 1,5

f(x)

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer

f(0) = 4

olduğundan,

g(x) = a \cdot f(2x)

fonksiyonunun en büyük değeri

g(0) = a \cdot f(0) = 4a

olur.

4a = 6 \implies a = 1,5

bulunur.

4

g(x)

fonksiyonunun cebirsel ifadesini yazma

g(x) = 1,5 \cdot (4 - |2x|) = 6 - 3|x|

a

ve

b

değerlerini yerine yazarak dönüşüme uğramış fonksiyonu elde etmek için

5

Grafiklerin kesişim noktasını bulma

x \ge 0

için kesişim noktası

x = 1

,

y = 3

'tür.

Hangi aralıklarda hangi fonksiyonun daha altta (ortak bölgenin üst sınırı) olduğunu belirlemek için:

4 - x = 6 - 3x \implies 2x = 2 \implies x = 1

.

6

Ortak bölgenin alanını hesaplama

Alan = 10 birimkare

Grafikler

y

-eksenine göre simetrik olduğundan

x \ge 0

bölgesindeki alanın 2 katını alırız.

[0, 1]

aralığında altta kalan fonksiyon

f(x)

,

[1, 2]

aralığında ise

g(x)

'tir. Birinci bölgedeki alan:

\int_0^1 (4 - x) \, dx + \int_1^2 (6 - 3x) \, dx = 3,5 + 1,5 = 5

birimkaredir. Tüm alan ise

2 \cdot 5 = 10

birimkare olur.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey yönde esnetilmesi/sıkıştırılması dönüşümlerinin fonksiyon grafiği, tanım kümesi ve görüntü kümesi üzerindeki etkileri

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 98Soru →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 4x + 5$ parabolü ile $y = mx - 4$ doğrusu verilmiştir. Bu doğru parabolü iki farklı $A$ ve $B$ noktasında kesmektedir. $A$ ve $B$ noktalarından parabole çizilen teğet doğruları bir $P$ noktasında kesişmektedir. $P$ noktasının ordinatı $-2$ olduğuna göre, $m$ sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan

y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5

denkleminde değerler yerine yazılıp

-2

'ye eşitlendiğinde pozitif

m

değeri

4

olarak bulunur.

Ortak çözüm denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsislerini verir. Teğetlerin kesişim noktasının ordinatının kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifadesi olan

y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5

denkleminde değerler yerine yazılıp

-2

'ye eşitlendiğinde pozitif

m

değeri

4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Parabol ile doğrunun kesim noktalarını bulmak için ortak çözüm denklemini yazın.

x^2 - 4x + 5 = mx - 4 \implies x^2 - (m+4)x + 9 = 0

denklemi elde edilir.

Kesişim noktalarının koordinatlarını belirlemek ve kökler toplamı ile çarpımını bulmak için ortak denklem gereklidir.

2

Ortak çözüm denkleminin kökleri olan

x_1

ve

x_2

için Vieta bağıntılarını kullanarak kökler toplamı ve çarpımını bulun.

x_1 + x_2 = m+4

ve

x_1 x_2 = 9

olarak bulunur.

Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiler, teğetlerin kesişim noktasını bulmada kullanılacaktır.

3

Parabolün üzerindeki

A(x_1, y_1)

ve

B(x_2, y_2)

noktalarından çizilen teğetlerin denklemlerini türev yardımıyla yazın.

Teğet denklemleri

y = (2x_1 - 4)x - x_1^2 + 5

ve

y = (2x_2 - 4)x - x_2^2 + 5

şeklinde elde edilir.

Teğetlerin kesişim noktası olan

P(x_p, y_p)

koordinatlarını bulmak için teğet denklemlerine ihtiyaç vardır.

4

Teğet denklemlerini birbirine eşitleyerek kesişim noktasının apsisi

x_p

ve ordinatı

y_p

değerlerini

x_1

ve

x_2

cinsinden bulun.

x_p = \frac{x_1 + x_2}{2}

ve

y_p = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 5

bağıntıları elde edilir.

Kesişim noktasının ordinatının genel ifadesini belirleyip

m

parametresine bağlamak için bu sadeleştirme yapılır.

5

y_p

ifadesinde kökler toplamı ve çarpımını yerine yazarak

m

değerini hesaplayın.

y_p = 9 - 2(m+4) + 5 = 6 - 2m

olur. Kesişim noktasının ordinatı

-2

olarak verildiğinden,

6 - 2m = -2 \implies m = 4

bulunur.

Soruda verilen ordinat değeri yardımıyla bilinmeyen

m

parametresini çözmek için denklem kurulur.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarından parabole çizilen teğetlerin kesişim noktasının koordinatları, kesişim noktalarının apsisleri toplamı ve çarpımı cinsinden ifade edilebilir.

Soru 99Soru →

Bir tiyatro salonunda bilet fiyatı $x$ TL olarak belirlendiğinde, bir oyunu izlemeye gelen seyirci sayısı $120 - 2x$ kişi olmaktadır. Tiyatro salonunun her bir oyun için sabit gideri $400$ TL ve seyirci başına değişken gideri $10$ TL'dir. Buna göre, bu tiyatro salonunun bir oyundan elde edebileceği kâr en fazla kaç TL'dir?

400

425

800

850

1400

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 850

Cevap

Tiyatro salonunun bir oyundan elde edebileceği maksimum kâr 850 TL'dir.

Kâr fonksiyonu

K(x) = -2x^2 + 140x - 1600

olarak elde edilir. Bu parabolün tepe noktası maksimum kârı verir. Tepe noktasının apsisi

r = 35

olup, bu değer fonksiyonda yerine yazıldığında maksimum kâr 850 TL olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Seyirci sayısı ve bilet fiyatı cinsinden gelir fonksiyonunu oluşturma.

G(x) = x \cdot (120 - 2x) = -2x^2 + 120x

TL

Kârı hesaplayabilmek için öncelikle toplam geliri bilet fiyatı

x

deği��kenine bağlı olarak ifade etmemiz gerekir.

2

Sabit ve değişken giderleri toplayarak toplam maliyet fonksiyonunu oluşturma.

M(x) = 400 + 10 \cdot (120 - 2x) = 1600 - 20x

TL

Kâr, gelirden giderlerin çıkarılmasıyla bulunduğundan toplam maliyeti belirlemeliyiz.

3

Gelir fonksiyonundan maliyet fonksiyonunu çıkararak kâr fonksiyonunu elde etme.

K(x) = G(x) - M(x) = -2x^2 + 140x - 1600

TL

Maksimum kârı verecek tepe noktasını bulmak için kâr fonksiyonunu elde etmemiz gerekir.

4

Kâr parabolünün tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplama.

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{140}{2(-2)} = 35

TL

Kolları aşağı doğru olan bir parabol en büyük değerini tepe noktasında (

x = r

) alır.

5

Bulunan

r = 35

değerini kâr fonksiyonunda yerine yazarak maksimum kârı bulma.

K(35) = -2(35)^2 + 140(35) - 1600 = 850

TL

Maksimum kâr miktarını bulmak için tepe noktasının ordinatını (

k = K(r)

) hesaplarız.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası yardımıyla en büyük (maksimum) değerini bulma ve kâr optimizasyonu uygulamaları.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 100Soru →

Bir kimyasal deney sırasında reaksiyon kabının sıcaklığı (°C cinsinden), deneyin başlangıcından itibaren geçen süre

t

(saat) olmak üzere,

0 \leq t \leq 12

aralığında

T(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b

parabolik fonksiyonu ile modellenmektedir.

Deneyin başlangıcında kabın sıcaklığı azalmakta olup, deney süresince sıcaklığın aldığı en küçük değer $-10$ °C, en büyük değer ise $26$ °C'dir.

Buna göre, deney süresince kabın sıcaklığının $-6$ °C olduğu iki an arasında geçen süre kaç saattir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Kabın sıcaklığının

-6

°C olduğu iki an arasında geçen süre 4 saattir.

Verilen bilgilere göre başlangıçta azalan bir eğilim gösteren parabolün kolları yukarı doğrudur (

a > 0

). Bu durumda tepe noktasında (

t=6

) en küçük değer olan

-10

alınır. Tepe noktasına eşit uzaklıktaki uç noktalarda (

t=0

veya

t=12

) ise en büyük değer olan

26

alınır. Buradan

b = 26

ve

a = 1

bulunarak fonksiyon

T(t) = t^2 - 12t + 26

olarak elde edilir. Sıcaklığın

-6

olduğu anlar

t^2 - 12t + 32 = 0

denkleminin kökleri olan

4

. ve

8

. saatlerdir. Bu iki an arasındaki fark 4 saattir.

Adım Adım Çözüm

1

Tepe noktasının konumunu belirleme ve

a

katsayısının işaretini saptama.

Tepe noktasının apsisi

r = 6

ve

a > 0

olarak bulunur.

T(t) = a \cdot t^2 - 12a \cdot t + b

fonksiyonunun tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-12a}{2a} = 6

olur. Deneyin başlangıcında (

t=0

) sıcaklık azaldığı için, fonksiyon tepe noktasına kadar azalan olmalıdır. Bu durum ancak parabolün kolları yukarı doğru olduğunda (

a > 0

) gerçekleşir.

2

En büyük ve en küçük değerlerin fonksiyon üzerindeki yerlerini belirleme.

En küçük değer

T(6) = -10

, en büyük değer ise

T(0) = T(12) = 26

olur.

a > 0

olduğundan

[0, 12]

kapalı aralığında fonksiyon en küçük değerini tepe noktası olan

t=6

'da alır. En büyük değerini ise tepe noktasına en uzak olan uç noktalarda alır.

t=0

ve

t=12

noktaları tepe noktasına eşit uzaklıkta (

6

birim) olduğundan bu noktalardaki değerler e��ittir ve en büyük değeri oluşturur.

3

Fonksiyonun katsayılarını (

a

ve

b

) bulma.

b = 26

ve

a = 1

elde edilir, böylece

T(t) = t^2 - 12t + 26

olur.

T(0) = b = 26

elde edilir. Tepe noktasındaki en küçük değer için

T(6) = a(6)^2 - 12a(6) + 26 = -10 \implies -36a + 26 = -10 \implies -36a = -36 \implies a = 1

bulunur.

4

Sıcaklığın

-6

°C olduğu zamanları bulma.

t = 4

ve

t = 8

saatleri elde edilir.

T(t) = -6 \implies t^2 - 12t + 26 = -6 \implies t^2 - 12t + 32 = 0

denklemi çözülmelidir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında

(t-4)(t-8) = 0

olur ve kökler

t_1 = 4

ve

t_2 = 8

olarak bulunur. Her iki değer de

[0, 12]

aralığındadır.

5

İki an arasındaki süreyi hesaplama.

Süre 4 saattir.

Sıcaklığın

-6

°C olduğu iki an arasındaki süre

t_2 - t_1 = 8 - 4 = 4

saat olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parabolün kapalı aralıktaki en büyük ve en küçük değer uygulamaları

Tahmini Süre:2m 30s

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram