Examkin

İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

120 soru

Tüm türler120Çoktan seçmeli50Doğru / Yanlış15Sayısal53Eşleştirme2
Soru 101Soru →
mm bir tam sayı olmak üzere,
f(x)=(x−2)(x−m)x−5≤0f(x) = \frac{(x-2)(x-m)}{x-5} \le 0
eşitsizliğini sağlayan xx doğal sayılarının sayısı 55 tir.
Buna göre, mm tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

m tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 13'tür.
Doğru cevap olan 13 değeri, m tam sayısının alabileceği dört farklı değerin (7,3,2,17, 3, 2, 1) toplamıdır. Bu değerler, eşitsizliğin pay ve payda kökleri belirlenip, m'nin kritik sınırlar olan 2 ve 5'e göre büyüklük durumları ayrı ayrı incelendiğinde elde edilen aralıklardaki doğal sayı çözümlerinin sayılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin köklerini belirleme
Payın sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen kökler x=2x = 2 ve x=mx = m'dir. Paydanın sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen kök ise x=5x = 5'tir. Payda kökü olan 55, paydayı tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez (x≠5x \ne 5).
Eşitsizlik tablosunun oluşturulabilmesi için pay ve paydanın kökleri ile tanımsızlık sınırları belirlenmelidir.
2
m>5m > 5 durumunu inceleme
Köklerin büyüklük sıralaması 2<5<m2 < 5 < m şeklindedir. İşaret tablosu en sağdan pozitif (+) işaret ile başlanarak oluşturulduğunda çözüm aralığı (−∞,2]∪(5,m](-\infty, 2] \cup (5, m] olarak bulunur. Bu aralıktaki doğal sayı çözümleri 0,1,20, 1, 2 (3 tane) ile 6,7,…,m6, 7, \dots, m değerleridir. Toplam 5 doğal sayı çözümü olabilmesi için (5,m](5, m] aralığından tam olarak 2 tane (66 ve 77) çözüm gelmelidir. Buradan m=7m = 7 bulunur.
m'nin 5'ten büyük olduğu durumda eşitsizliği sağlayan doğal sayıların adet analizi yapılır.
3
m=5m = 5 durumunu inceleme
Eşitsizlik f(x)=(x−2)(x−5)x−5≤0f(x) = \frac{(x-2)(x-5)}{x-5} \le 0 şeklini alır. x≠5x \ne 5 olmak üzere, ifade x−2≤0x - 2 \le 0 olur. Bu aralıktaki doğal sayı çözümleri 0,1,20, 1, 2 olup 3 adettir. Eşitsizliği sağlayan 5 doğal sayı bulunması koşulu sağlanmaz.
Pay ve paydada aynı kökün bulunması durumunda sadeleşen ifadenin çözüm kümesine etkisi kontrol edilir.
4
2<m<52 < m < 5 durumunu inceleme
m bir tam sayı olduğundan bu aralıkta m=3m = 3 veya m=4m = 4 olabilir. Köklerin sıralaması 2<m<52 < m < 5 şeklindedir. İşaret tablosuna göre çözüm aralığı (−∞,2]∪[m,5)(-\infty, 2] \cup [m, 5) olarak belirlenir. (−∞,2](-\infty, 2] aralığından 0,1,20, 1, 2 (3 tane) doğal sayı çözümü gelir. Toplam 5 çözüm olması için [m,5)[m, 5) aralığından 2 tane doğal sayı gelmelidir. m=3m = 3 için bu aralık [3,5)[3, 5) olup {3,4}\{3, 4\} çözümlerini sağlar. m=4m = 4 için aralık [4,5)[4, 5) olup tek çözüm (44) sağlar. Dolayısıyla m=3m = 3 elde edilir.
m'nin 2 ile 5 arasındaki tam sayı değerleri için doğal sayı çözüm sayısı test edilir.
5
m=2m = 2 durumunu inceleme
Eşitsizlik (x−2)2x−5≤0\frac{(x-2)^2}{x-5} \le 0 hâlini alır. x=2x = 2 pay kısmında çift katlı köktür. İşaret tablosunda x=2x = 2 noktasında işaret değişmez. Eşitsizliği sağlayan aralık (−∞,5)(-\infty, 5) olarak bulunur. Bu aralıktaki doğal sayı çözümleri 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup tam 5 adettir. Dolayısıyla m=2m = 2 bir çözümdür.
Çift katlı kök durumunun işaret tablosuna ve çözüm kümesine olan etkisi incelenir.
6
m<2m < 2 durumunu inceleme
Köklerin sıralaması m<2<5m < 2 < 5 şeklindedir. İşaret tablosuna göre çözüm aralığı (−∞,m]∪[2,5)(-\infty, m] \cup [2, 5) olarak belirlenir. [2,5)[2, 5) aralığındaki doğal sayı çözümleri 2,3,42, 3, 4 (3 tane) değerleridir. Toplam 5 doğal sayı çözümü olması için (−∞,m](-\infty, m] aralığından tam olarak 2 tane (00 ve 11) doğal sayı gelmelidir. Bu durumun sağlanması için m=1m = 1 olmalıdır.
m'nin 2'den küçük olduğu durumda çözüm kümesindeki doğal sayıların adet kontrolü yapılır.
7
Alınabilecek değerlerin toplamını hesaplama
m tam sayısının alabileceği farklı değerler 7,3,2,17, 3, 2, 1 olarak belirlenmiştir. Bu değerlerin toplamı 7+3+2+1=137 + 3 + 2 + 1 = 13 bulunur.
Soruda istenen m tam sayılarının toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden ve rasyonel eşitsizliklerde köklerin sıralamasına göre işaret tablosu oluşturulması, çift katlı köklerin ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilme kurallarının uygulanması.
Soru 102Soru →
a∈Ra \in \mathbb{R} olmak üzere,
(a−3)x2−4x+a>0(a - 3)x^2 - 4x + a > 0

ikinci dereceden eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlandığına göre, aa parametresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük tam sayı değeri 5'tir.
Eşitsizliğin her gerçel sayı için daima pozitif değerler alması için a−3>0a - 3 > 0 ve diskriminantın Δ<0\Delta < 0 olması gerekir. Bu iki eşitsizliğin ortak çözümü a>4a > 4 aralığını verir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri ise 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Daima pozitiflik şartlarını belirleme
a−3>0a - 3 > 0 ve Δ<0\Delta < 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir fonksiyonun daima pozitif değerler alması için kollarının yukarı doğru olması ve grafiğinin x-eksenini kesmemesi gerekir.
2
Baş katsayı koşulunu çözme
a>3a > 3
a−3>0a - 3 > 0 eşitsizliğinin çözülmesiyle baş katsayının pozitif olma aralığı bulunur.
3
Diskriminant eşitsizliğini kurma ve sadeleştirme
a2−3a−4>0a^2 - 3a - 4 > 0
Δ=16−4a(a−3)<0\Delta = 16 - 4a(a - 3) < 0 ifadesini düzenleyip −4-4'e bölerek aa cinsinden ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edilir.
4
Diskriminant eşitsizliğinin köklerini bulma ve çözüm aralığını belirleme
a∈(−∞,−1)∪(4,∞)a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)
a2−3a−4=0a^2 - 3a - 4 = 0 denkleminin kökleri olan −1-1 ve 44 değerleri ile işaret tablosu oluşturularak pozitif bölgeler belirlenir.
5
İki koşulun kesişimini alarak en küçük tam sayıyı belirleme
a>4a > 4 aralığından en küçük tam sayı 5'tir.
Hem baş katsayının pozitiflik şartı (a>3a > 3) hem de diskriminant şartı (a>4a > 4 veya a<−1a < -1) birlikte sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin her gerçel sayı için daima sağlanması koşulu
Soru 103Soru →

aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, x2−ax+b≤0x^2 - ax + b \le 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş küme ise x2+ax+b≥0x^2 + ax + b \ge 0 eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlanır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur.
Verilen ifadenin diskriminantı negatif ve başkatsayısı pozitif olduğundan, her iki eşitsizlikteki ifadeler de daima pozitif değerler alır. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi bilgisini kullanarak diskriminantın işaretini belirleme.
x2−ax+b≤0x^2 - ax + b \le 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir. Bu, x2−ax+b>0x^2 - ax + b > 0 ifadesinin her x∈Rx \in \mathbb{R} için doğru olması demektir. İkinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olması için başkatsayısının pozitif ve diskriminantının negatif olması gerektiğinden Δ=(−a)2−4⋅1⋅b=a2−4b<0\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot b = a^2 - 4b < 0 elde edilir.
İkinci dereceden bir ifadenin işaretinin daima pozitif kalabilmesi için xx eksenini kesmemesi gerekir, bu da diskriminantın negatif olmasını gerektirir.
2
İkinci eşitsizlikteki ifadenin diskriminantını hesaplama.
x2+ax+b≥0x^2 + ax + b \ge 0 eşitsizliğindeki üç terimlinin diskriminantı Δ2=a2−4⋅1⋅b=a2−4b\Delta_2 = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot b = a^2 - 4b olarak bulunur.
Yeni ifadenin işaret davranışını analiz edebilmek için diskriminantını hesaplamamız gerekir.
3
İki diskriminantı karşılaştırarak ikinci eşitsizliğin çözüm kümesini yorumlama.
İlk adımdan Δ=a2−4b<0\Delta = a^2 - 4b < 0 olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla Δ2=a2−4b<0\Delta_2 = a^2 - 4b < 0 olur. Başkatsayısı da 1>01 > 0 olduğundan, x2+ax+bx^2 + ax + b ifadesi her x∈Rx \in \mathbb{R} için daima pozitif (>0> 0) değerler alır. Bu da x2+ax+b≥0x^2 + ax + b \ge 0 eşitsizliğinin tüm gerçel sayılar için sağlandığını gösterir.
Negatif diskriminant ve pozitif başkatsayı, ifadenin her zaman pozitif olduğunu garanti eder.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin daima sağlanması veya çözüm kümesinin boş küme olması durumlarında diskriminantın işaret analizi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 104Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x2−x−6)(x−2)x2−4≤0\frac{(x^2 - x - 6)(x - 2)}{x^2 - 4} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan xx pozitif tam sayılar��nın toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 4'tür.
Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde x≤3x \leq 3 elde edilir. Ancak paydadaki çarpanlar nedeniyle xx değeri 2 ve -2 olamaz. Bu kısıtlamalar altındaki pozitif tam sayı çözümleri sadece 1 ve 3'tür. Bu iki sayının toplamı ise 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin pay ve paydasındaki terimleri çarpanlarına ayırın.
Pay: (x−3)(x+2)(x−2)(x-3)(x+2)(x-2), Payda: (x−2)(x+2)(x-2)(x+2)
Eşitsizliğin köklerini belirlemek ve sadeleşebilecek terimleri görmek için çarpanlara ayırma yapılır.
2
Tanım kümesini belirleyin ve paydayı sıfır yapan değerleri hariç tutun.
x−2≠0  ⟹  x≠2x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 ve x+2≠0  ⟹  x≠−2x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Ortak çarpanları sadeleştirerek eşitsizliği en sade haline getirin.
x≠2x \neq 2 ve x≠−2x \neq -2 koşulu altında eşitsizlik x−3≤0x - 3 \leq 0 haline gelir.
Eşitsizliğin çözümünü kolaylaştırmak amacıyla tanım kümesi kısıtlamaları saklı kalmak üzere sadeleştirme yapılır.
4
Eşitsizliğin çözüm kümesini yazın.
x≤3x \leq 3 ve x≠2,x≠−2  ⟹  x \neq 2, x \neq -2 \implies Çözüm Kümesi = (−∞,3]∖{−2,2}(-\infty, 3] \setminus \{-2, 2\}
Sadeleştirilmiş eşitsizlikten elde edilen aralık ile başlangıçtaki tanımsızlık koşulları birleştirilerek nihai çözüm kümesi elde edilir.
5
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları belirleyin ve toplayın.
Pozitif tam sayılar: 1 ve 3. Toplam: 1+3=41 + 3 = 4.
Kümelerdeki pozitif tam sayılar (1,2,31, 2, 3) arasından tanımsızlık yapan 2 değeri çıkarılarak kalan değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ikinci dereceden eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken paydanın köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi kuralı.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 105Soru →
Her xx gerçel sayısı için
x2−(a−3)x+a>0x^2 - (a-3)x + a > 0
eşitsizliği sağlandığına göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için sağlanmasını sağlayan aa tam sayılarının alabileceği farklı değerlerin toplamı 35'tir.
Verilen ikinci dereceden ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olabilmesi için ifadenin diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (Δ<0\Delta < 0). Buradan elde edilen a2−10a+9<0a^2 - 10a + 9 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi 1<a<91 < a < 9 açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan aa tam sayıları 2,3,4,5,6,7,82, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olup toplamları 35 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için daima sağlanma koşullarını belirleme.
Baş katsayının pozitif olması (1>01 > 0) ve diskriminantın sıfırdan küçük olması gerekir (Δ<0\Delta < 0).
İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabol) her zaman pozitif değerler alması, grafiğin xx eksenini kesmemesi ve kollarının yukarı doğru olması ile mümkündür.
2
Eşitsizlik için diskriminant (Δ\Delta) ifadesini hesaplama.
Δ=a2−10a+9\Delta = a^2 - 10a + 9 ifadesi elde edilir.
Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC formülünde A=1A = 1, B=−(a−3)B = -(a-3) ve C=aC = a değerleri yerine koyulur.
3
Δ<0\Delta < 0 koşulundan elde edilen eşitsizliği çarpanlarına ayırıp kökleri bulma.
(a−1)(a−9)<0(a-1)(a-9) < 0 eşitsizliğinin kökleri a=1a = 1 ve a=9a = 9 olarak bulunur.
Kökleri bulmak işaret inceleme tablosunun oluşturulması için gereklidir.
4
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralığını belirleme ve aa tam sayılarının toplamını hesaplama.
Çözüm aralığı 1<a<91 < a < 9 olup, bu aralıktaki aa tam sayı değerlerinin toplamı 2+3+4+5+6+7+8=352 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 bulunur.
Kökler dahil edilmeden (11 ve 99 hariç) açık aralıktaki tam sayılar belirlenir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin daima pozitif olma koşulu (işaret analizi)
Soru 106Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−4)2(x−6)(x−4)(x−1)≤0\frac{(x-4)^2(x-6)}{(x-4)(x-1)} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 11'dir.
Eşitsizliğin paydasını sıfır yapan x=1x = 1 ve x=4x = 4 değerleri çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Bu durumda elde edilen en geniş çözüm kümesi (−∞,1)∪(4,6](-\infty, 1) \cup (4, 6] olur. Bu kümedeki pozitif tam sayılar olan 55 ve 66 sayılarının toplamı 1111 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik ifadesini sadeleştirmek ve tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi için payda sıfırdan farklı olmalıdır. Buradan x−4≠0  ⟹  x≠4x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 ve x−1≠0  ⟹  x≠1x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 elde edilir. Bu kısıtlamalar altında x−4x-4 terimleri sadeleştirilebilir ve eşitsizlik (x−4)(x−6)x−1≤0\frac{(x-4)(x-6)}{x-1} \leq 0 halini alır.
Paydayı sıfır yapan noktalar ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
2
Eşitsizliğin köklerini bulmak
Kritik noktalar payın kökleri olan x=4x = 4, x=6x = 6 ve paydanın kökü olan x=1x = 1 değerleridir. Tüm kökler tek katlı köktür.
İşaret tablosunda kullanılacak olan sınırları belirlemek gerekir.
3
İşaret tablosunu oluşturmak
En sağdaki aralıkta (x>6x > 6) ifadenin işareti pozitiftir (+)(+). Köklerden geçildikçe işaretler sağdan sola sırasıyla ++, −-, ++, −- şeklinde değişir. Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya eşit olmasını istediğimizden negatif bölgeler seçilir.
İfadenin negatif olduğu en geniş çözüm aralığını tespit etmek gerekir.
4
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları toplamak
Bulunan en geniş çözüm kümesi (−∞,1)∪(4,6](-\infty, 1) \cup (4, 6] şeklindedir. Bu kümedeki pozitif tam sayılar sadece 55 ve 66'dır. Toplamları ise 5+6=115 + 6 = 11 olur.
Soruda istenen pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde sadeleştirme yapılırken tanım kümesi kısıtlamasının korunması ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 107Soru →

(x−2)2(x2−5x−6)<0(x-2)^2(x^2 - 5x - 6) < 0 eşitsizliğinin gerçel sayılar kümesindeki en geniş çözüm kümesi [−1,6]∖{2}[-1, 6] \setminus \{2\} kümesidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Eşitsizliğin gerçel sayılardaki en geniş çözüm kümesi (−1,6)∖{2}(-1, 6) \setminus \{2\} olmalıdır.
Eşitsizlik kesin küçüktür (<<) sembolü içerdiğinden, ifadeyi sıfır yapan sınır değerleri (x=−1x = -1 ve x=6x = 6) ile çift katlı kök olan x=2x = 2 çözüm kümesine dahil edilmemelidir. Dolayısıyla doğru çözüm kümesi [−1,6]∖{2}[-1, 6] \setminus \{2\} değil, (−1,6)∖{2}(-1, 6) \setminus \{2\} açık aralığı olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki çarpanların köklerini bulunuz.
(x−2)2=0  ⟹  x=2(x-2)^2 = 0 \implies x = 2 (çift katlı kök) ve x2−5x−6=0  ⟹  (x−6)(x+1)=0  ⟹  x=6x^2 - 5x - 6 = 0 \implies (x-6)(x+1) = 0 \implies x = 6 ve x=−1x = -1 (tek katlı kökler) olarak bulunur.
İşaret tablosunda yer alacak sınır noktalarını ve köklerin tek/çift kat durumlarını belirlemek amacıyla her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenir.
2
Kökleri işaret tablosuna yerleştirerek en sağdaki bölgenin işaretini tespit ediniz.
Kökler küçükten büyüğe doğru −1-1, 22 ve 66 şeklinde sıralanır. Eşitsizlikteki ifadelerin baş katsayılarının işaretleri çarpımı (+1)⋅(+1)=+(+1) \cdot (+1) = + olduğundan, tablonun en sağ bölgesi (x>6x > 6 için) ++ işareti ile başlar.
İşaret tablosuna hangi işaretle başlanacağını belirlemek için en büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpılır.
3
Köklerin kat durumlarına dikkat ederek işaret tablosunu tamamlayınız.
x=6x = 6 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir (−- olur). x=2x = 2 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez (−- olarak kalır). x=−1x = -1 tek katlı kökünden geçerken işaret tekrar değişir (++ olur).
Tek katlı köklerde işaretin değiştiği, çift katlı köklerde ise işaretin korunduğu kuralı uygulanır.
4
Eşitsizlik şartını sağlayan bölgeleri belirleyip çözüm kümesini yazınız.
Eşitsizlikte sıfırdan küçük (<0< 0) olan bölgeler istendiği için tablodaki negatif bölgeler seçilir. Bu bölgeler (−1,2)(-1, 2) ve (2,6)(2, 6) aralıklarıdır. İki aralığın birleşimi (−1,6)∖{2}(-1, 6) \setminus \{2\} şeklinde yazılır. Eşitsizlikte eşitlik (==) durumu bulunmadığı için kök değerleri çözüm kümesine dahil edilmez.
Kesin eşitsizlik durumunda (<<) sınır değerlerinin ve ifadeyi sıfır yapan köklerin çözüm kümesinden çıkarılması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerde çift katlı köklerin ve açık/kapalı aralık sınırlarının işaret tablosunda incelenmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 108Soru →
xx bir gerçel sayı ve aa bir tam sayı olmak üzere,
x2−(a−2)x+16x2+4x+8>0\frac{x^2 - (a-2)x + 16}{x^2 + 4x + 8} > 0
eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlanmaktadır.
Buna göre, aa'nın alabilece��i farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

a tam sayıs��nın alabileceği değerlerin toplamı 30'dur.
Paydadaki ifadenin diskriminantı negatif ve başkatsayısı pozitif olduğundan daima pozitiftir. Eşitsizliğin daima sağlanması için payın da daima pozitif olması gerekir, bu da payın diskriminantının negatif olmasını gerektirir. Buradan elde edilen −6<a<10-6 < a < 10 aralığındaki tam sayıların toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki ifadenin işaretini belirlemek için diskriminant analizi yapılması.
Δ=−16<0\Delta = -16 < 0 ve başkatsayı pozitif olduğundan payda daima pozitiftir.
Paydanın kökünün olup olmadığını ve işaretinin her yerde aynı olup olmadığını anlamak için.
2
Pay kısmındaki ifadenin daima pozitif olması gerektiği şartının kurulması.
x2−(a−2)x+16>0x^2 - (a-2)x + 16 > 0 ifadesinin diskriminantı sıfırdan küçük olmalıdır (Δ<0\Delta < 0).
Daima pozitif bir ifadenin paydası pozitifse payı da pozitif olmalıdır ve gerçel kökü bulunmamalıdır.
3
Payın diskriminant eşitsizliğinin çözülmesi.
∣a−2∣<8⇒−6<a<10|a-2| < 8 \Rightarrow -6 < a < 10 aralığı elde edilir.
aa parametresinin alabileceği değer aralığını bulmak için.
4
Bulunan aralıktaki tam sayıların toplanması.
−5-5 ile 99 arasındaki tam sayıların toplamı 3030 olarak hesaplanır.
Soruda istenen aa değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel ifadenin daima pozitif olması için pay ve paydanın işaretlerinin analizi ve ikinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olma şartı (Δ<0\Delta < 0 ve a>0a > 0).
Soru 109Soru →
a>6a > 6 olmak üzere, xx gerçel sayısı için
(x−2)2(x−a)x−6≤0\frac{(x - 2)^2 (x - a)}{x - 6} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Bu eşitsizliği sağlayan tam sayıların kümesinde tam 7 tane pozitif tam sayı bulunduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [12,13)[12, 13)

Cevap

a sayısı [12, 13) aralığında yer almalıdır.
Eşitsizliğin çözüm kümesi {2}∪(6,a]\{2\} \cup (6, a] olarak bulunur. Bu kümedeki pozitif tam sayılardan biri 22'dir. Kalan 6 tanesi ise 66'dan büyük olan 7,8,9,10,11,127, 8, 9, 10, 11, 12 sayılarıdır. Bu durumun gerçekleşmesi için aa değerinin 1212'ye eşit veya büyük, ancak 1313'ten küçük olması gerekir. Dolayısıyla en geniş aralık [12,13)[12, 13) olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği oluşturan ifadelerin köklerini belirleyelim.
Payın kökleri: (x−2)2=0  ⟹  x=2(x-2)^2 = 0 \implies x = 2 (çift katlı kök) ve x−a=0  ⟹  x=ax-a = 0 \implies x = a (tek katlı kök).
Paydanın kökü: x−6=0  ⟹  x=6x-6 = 0 \implies x = 6 (tek katlı kök).
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktaları bulmamız gerekir.
2
a>6a > 6 koşuluna göre kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlayalım.
Köklerin sıralaması: 2<6<a2 < 6 < a.
İşaret tablosu en sağdan (x>ax > a) pozitif (++) işaretle başlar, x=ax = a kökünde eksi (−-) olur, x=6x = 6 kökünde artı (++) olur ve x=2x = 2 çift katlı kökünde işaret değişmeyerek artı (++) olarak kalır.
Baş katsayılar pozitif olduğu için tablonun sağ ucu pozitif değer alır. Tek katlı köklerde işaret değişirken, çift katlı köklerde işaret korunur.
3
Eşitsizlik ≤0\leq 0 olduğu için ifadenin negatif veya sıfır olduğu çözüm kümesini yazalım.
Çözüm kümesi: {2}∪(6,a]\{2\} \cup (6, a]
İfadenin negatif olduğu tek aralık (6,a)(6, a) aralığıdır. Payı sıfır yapan 22 ve aa değerleri dahil edilirken, paydayı sıfır yapan 66 değeri tanımsızlık nedeniyle dahil edilmez.
4
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları inceleyerek aa parametresinin aralığını belirleyelim.
Çözüm kümesindeki ilk pozitif tam sayı 22 sayısıdır (1 adet).
Toplam 7 tane pozitif tam sayı çözümü olması için (6,a](6, a] aralığından tam 6 tane pozitif tam sayı gelmelidir. Bu sayılar 7,8,9,10,11,127, 8, 9, 10, 11, 12 olmak zorundadır.
Buradan 12≤a<1312 \leq a < 13 elde edilir.
1212 sayısının çözüm kümesinde bulunması için a≥12a \geq 12 olmalı, 1313 sayısının kümede yer almaması için ise a<13a < 13 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde çift katlı kök, payda kökü (tanımsızlık) durumları ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümesi sınırlarının analizi.
Soru 110Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere, x2−2ax+a+6>0x^2 - 2ax + a + 6 > 0 eşitsizliği her xx gerçel sayısı için sağlandığına göre, aa parametresinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 22'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Çünkü verilen eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantın negatif olması gerekir. Buradan elde edilen a2−a−6<0a^2 - a - 6 < 0 eşitsizliğinin ç��züm kümesi (−2,3)(-2, 3) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 22'dir.
Verilen ifade doğrudur çünkü x2−2ax+a+6>0x^2 - 2ax + a + 6 > 0 eşitsizliğinin her gerçel sayı için sağlanması diskriminantın sıfırdan küçük olması koşuluna bağlıdır. Bu koşuldan elde edilen (−2,3)(-2, 3) aralığındaki tam sayıların toplamı gerçekten 22 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Daima pozitiflik şartını belirleme
İkinci dereceden bir ifadenin her xx gerçel sayısı için daima pozitif olması için başkatsayısının pozitif (1>01 > 0) ve diskriminantının negatif (Δ<0\Delta < 0) olması gerekir.
Fonksiyonun grafiğinin xx ekseninin tamamen üstünde kalması ve ekseni kesmemesi için diskriminant sıfırdan küçük olmalıdır.
2
Diskriminantı hesaplama ve eşitsizliği oluşturma
Δ=(−2a)2−4⋅1⋅(a+6)<0⇒4a2−4a−24<0\Delta = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a + 6) < 0 \Rightarrow 4a^2 - 4a - 24 < 0
aa, bb, cc katsayıları kullanılarak b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0 formülü uygulanır.
3
Eşitsizliği sadeleştirme ve çarpanlarına ayırma
a2−a−6<0⇒(a−3)(a+2)<0a^2 - a - 6 < 0 \Rightarrow (a - 3)(a + 2) < 0
Eşitsizliğin köklerini bulmak ve işaret incelemesi yapmak için çarpanlarına ayrılır.
4
İşaret tablosu yard��mıyla çözüm aralığını bulma ve tam sayıları toplama
Kökler a=−2a = -2 ve a=3a = 3'tür. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−2,3)(-2, 3) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar −1,0,1,2-1, 0, 1, 2 olup toplamları 22'dir.
Aralıktaki tam sayı değerleri toplanarak ifadenin doğruluğu test edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir ifadenin daima pozitif olma şartı ve diskriminant analizi

İpuçları

1
Bir ikinci dereceden ifadenin daima pozitif olması için x2x^2'li terimin katsayısının işareti ile diskriminantın (Δ\Delta) işaretini düşünün.
2
Δ<0\Delta < 0 eşitsizliğini kurun ve bu eşitsizliği aa değişkenine bağlı ikinci dereceden bir eşitsizlik olarak çözün.
3
a2−a−6<0a^2 - a - 6 < 0 eşitsizliğinin köklerini bulup işaret tablosu oluşturarak aa'nın değer aralığını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, ifadenin daima negatif olması veya daima sıfırdan büyük ya da eşit olması durumlarında diskriminantın nasıl inceleneceğini çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Grafiksel olarak, y=x2−2ax+a+6y = x^2 - 2ax + a + 6 parabolünün daima xx ekseninin üzerinde kalması için tepe noktasının koordinatlarından k>0k > 0 olmalıdır. r=−−2a2=ar = -\frac{-2a}{2} = a ve k=f(a)=a2−2a2+a+6=−a2+a+6>0⇒a2−a−6<0k = f(a) = a^2 - 2a^2 + a + 6 = -a^2 + a + 6 > 0 \Rightarrow a^2 - a - 6 < 0 eşitsizliği elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 111Soru →
xx bir gerçel sayı ve mm bir parametre olmak üzere,
x2−2x−8x2−mx+m+3≤0\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - mx + m + 3} \leq 0
eşitsizliğinin gerçel sayılardaki en geniş çözüm kümesi [−2,4][-2, 4] kapalı aralığıdır.

Buna göre, mm parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−2,6)(-2, 6)

Cevap

(−2,6)(-2, 6) açık aralığı
Doğru cevap olan (−2,6)(-2, 6) açık aralığıdır. Payda olan x2−mx+m+3x^2 - mx + m + 3 ifadesinin reel kökü olmaması (yani \Delta < 0 olması) durumunda payda daima pozitif olur. Bu durumda rasyonel ifadenin işareti sadece pay kısmındaki x2−2x−8x^2 - 2x - 8 ifadesine bağlı kalır ve çözüm kümesi tam olarak [−2,4][-2, 4] olur. \Delta < 0 koşulundan m2−4m−12<0m^2 - 4m - 12 < 0 elde edilir, bu eşitsizliğin çözümü de (−2,6)(-2, 6) açık aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadenin köklerini bulmak ve işaretini incelemek.
x2−2x−8=0  ⟹  (x−4)(x+2)=0x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0 denkleminden kökler x1=−2x_1 = -2 ve x2=4x_2 = 4 olarak bulunur. Bu ifade [−2,4][-2, 4] aralığında sıfırdan küçük veya eşittir, bu aralığın dışındaki gerçel sayılar için ise pozitiftir.
Rasyonel ifadenin tamamının \leq 0 olabilmesi için pay ve paydanın işaret durumlarını belirlememiz gerekir.
2
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin [−2,4][-2, 4] kapalı aralığı olması koşulunu değerlendirmek.
Çözüm kümesinin tam olarak [−2,4][-2, 4] olabilmesi için, payda olan x2−mx+m+3x^2 - mx + m + 3 ifadesinin her xx gerçel sayısı için daima pozitif (> 0) olması gerekir.
Eğer payda herhangi bir noktada sıfır veya negatif değer alsaydı, bu nokta çözüm kümesini daraltır (payda sıfır ise tanımsızlık) ya da [−2,4][-2, 4] aralığı dışındaki bazı noktaların da çözüm kümesine dahil olmasına yol açardı.
3
Paydanın daima pozitif olma koşulunu matematiksel olarak uygulamak.
x2−mx+m+3>0x^2 - mx + m + 3 > 0 ifadesinde başkatsayı 1>01 > 0 olduğundan, ifadenin daima pozitif olması için diskriminantının sıfırdan küçük olması gerekir: \Delta < 0.
Δ=(−m)2−4(1)(m+3)<0  ⟹  m2−4m−12<0\Delta = (-m)^2 - 4(1)(m + 3) < 0 \implies m^2 - 4m - 12 < 0
İkinci dereceden bir ifadenin her x gerçel sayısı için daima pozitif olması, grafiğinin (parabolün) x eksenini kesmemesi ve kollarının yukarı doğru olması anlamına gelir. Bu da reel kök olmaması (\Delta < 0) ile sağlanır.
4
Elde edilen m'ye bağlı ikinci dereceden eşitsizliği çözmek.
m2−4m−12<0  ⟹  (m−6)(m+2)<0m^2 - 4m - 12 < 0 \implies (m - 6)(m + 2) < 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kökler m=−2m = -2 ve m=6m = 6 olup, işaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan en geniş aralık (−2,6)(-2, 6) açık aralığıdır.
Çözüm kümesinde tanımsızlık yaratacak herhangi bir reel kök bulunmaması için sınır değerleri olan -2 ve 6 aralığa dahil edilmemelidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerde paydanın daima pozitif olma (reel kökünün olmama) koşulunun incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 112Soru →

Bir kenar uzunluğu xx birim olan bir karenin alanı, bu karenin çevre uzunluğunun 3 katından 16 birimkare daha küçüktür.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 54

Cevap

Bu koşulu sağlayan xx tam sayılarının toplamı 54'tür.
Karenin alanı ile çevresinin 3 katından 16 eksik olan miktar arasındaki ilişki x2−12x+16<0x^2 - 12x + 16 < 0 eşitsizliğini verir. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi (6−25,6+25)(6 - 2\sqrt{5}, 6 + 2\sqrt{5}) aralığıdır. Yaklaşık olarak (1.53,10.47)(1.53, 10.47) aralığında yer alan tam sayılar 2,3,4,5,6,7,8,9,102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 54 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin alan ve çevre formüllerini yazarak eşitsizliği kurmak.
x2<12x−16  ⟹  x2−12x+16<0x^2 < 12x - 16 \implies x^2 - 12x + 16 < 0 eşitsizliği elde edilir.
Problemde verilen sözel ilişkiyi cebirsel eşitsizliğe dönüştürmek için.
2
Eşitsizlik sınırlarını belirlemek için kökleri bulmak.
x1=6−25x_1 = 6 - 2\sqrt{5} ve x2=6+25x_2 = 6 + 2\sqrt{5} kökleri hesaplanır.
İkinci dereceden ifadenin işaret değiştirdiği kritik noktaları saptamak için.
3
Köklerin yaklaşık değerlerini bularak aralığı sadeleştirmek.
x1≈1.53x_1 \approx 1.53 ve x2≈10.47x_2 \approx 10.47 sınırları ile çözüm aralığı (1.53,10.47)(1.53, 10.47) olarak bulunur.
Aralığa dahil olan tam sayı değerlerini kesin olarak belirlemek için.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplamak.
2+3+4+5+6+7+8+9+10=542 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54 toplamına ulaşılır.
Soruda istenen xx tam sayılarının toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin köklerinin bulunması, aralık analizi ve tam sayı çözümlerinin belirlenmesi.
Soru 113Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−2)2(x2−2x−24)x2−4x−5≤0\frac{(x-2)^2(x^2-2x-24)}{x^2-4x-5} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı −1-1 de��erine eşittir.
Doğru yanıt −1-1 değeridir. Eşitsizliğin çözüm kümesi [−4,−1)∪(5,6]∪{2}[-4, -1) \cup (5, 6] \cup \{2\} olarak elde edilir. Bu kümede yer alan tam sayılar −4,−3,−2,2-4, -3, -2, 2 ve 66 olup, bu sayıların toplamı −1-1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadelerin kökleri bulunur ve köklerin tek/çift katlı olma durumları belirlenir.
Payın kökleri: (x−2)2=0⇒x=2(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 (çift katlı kök) ve x2−2x−24=(x−6)(x+4)=0⇒x=6,x=−4x^2-2x-24 = (x-6)(x+4) = 0 \Rightarrow x = 6, x = -4 (tek katlı kökler). Paydanın kökleri: x2−4x−5=(x−5)(x+1)=0⇒x=5,x=−1x^2-4x-5 = (x-5)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 5, x = -1 (tek katlı kökler).
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturulurken tüm sınır değerlerin (köklerin) doğru belirlenmesi gerekir.
2
Kökler küçükten büyüğe doğru sıralanarak işaret inceleme tablosu hazırlanır.
Köklerin sıralaması: −4<−1<2<5<6-4 < -1 < 2 < 5 < 6 şeklindedir.
İşaret tablosunda aralıkların sayı doğrusuna uygun sırada yer alması zorunludur.
3
Eşitsizliğin en sağ bölgesindeki başlangıç işareti belirlenir.
Paydaki (x−2)2(x-2)^2 teriminin başkatsayısı pozitif (+), x2−2x−24x^2-2x-24 teriminin başkatsayısı pozitif (+), paydadaki x2−4x−5x^2-4x-5 teriminin başkatsayısı pozitiftir (+). Bu işaretlerin çarpım ve bölümü pozitif (+) olduğundan, tablonun en sağından (6'dan büyük değerler için) (+) işareti ile başlanır.
En yüksek dereceli terimlerin katsayıları tablonun başlangıç işaretini tayin eder.
4
Sağdan sola doğru kök geçişlerinde işaretler belirlenir ve payda kökleri ile eşitlik durumu incelenir.
Kök geçişleri şu şekildedir: (6,∞)(6, \infty) aralığında (+); tek katlı kök x=6x=6 geçildiğinde [5,6][5, 6] aralığında (-); tek katlı payda kökü x=5x=5 geçildiğinde (2,5)(2, 5) aralığında (+); çift katlı kök x=2x=2 geçildiğinde işaret değişmez ve (−1,2](-1, 2] aralığında (+); tek katlı payda kökü x=−1x=-1 geçildiğinde [−4,−1)[-4, -1) aralığında (-); tek katlı kök x=−4x=-4 geçildiğinde (−∞,−4)(-\infty, -4) aralığında (+) olur.
Çift katlı köklerde işaret değişmezken, tek katlı köklerde işaret yön değiştirir. Payda kökleri tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine dahil edilemez.
5
Küçük veya eşit sıfır (≤0\leq 0) koşulunu sağlayan en geniş çözüm kümesi yazılır.
Çözüm kümesi: S=[−4,−1)∪(5,6]∪{2}S = [-4, -1) \cup (5, 6] \cup \{2\} olarak bulunur.
Sıfıra eşit veya negatif olan aralıklar ile payı sıfır yapan ancak paydayı sıfır yapmayan köklerin birleşimi alınır.
6
Çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenerek toplanır.
[−4,−1)[-4, -1) aralığındaki tam sayılar: −4,−3,−2-4, -3, -2.
(5,6](5, 6] aralığındaki tam sayı: 66.
Tekil çözüm noktası: 22.
Bu değerlerin toplamı: (−4)+(−3)+(−2)+2+6=−1(-4) + (-3) + (-2) + 2 + 6 = -1 bulunur.
Soru kökünde istenen farklı tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için bu işlemler gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerin çözümünde kök analizi, çift katlı kök davranışı, payda köklerinin tanımsızlık durumu ve işaret tablosunun oluşturulması.
Soru 114Soru →

Tüm xx gerçel sayıları için x2−(m−2)x+m+1>0x^2 - (m-2)x + m + 1 > 0 eşitsizliği sağlandığına göre, mm parametresinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 2828'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Tüm gerçel sayılar için eşitsizliğin sağlanması diskriminantın sıfırdan küçük olması (Δ<0\Delta < 0) şartına bağlıdır. Bu şarttan elde edilen m2−8m<0m^2 - 8m < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (0,8)(0, 8) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların (1,2,3,4,5,6,71, 2, 3, 4, 5, 6, 7) toplamı 2828'dir.
Verilen ifade doğrudur çünkü x2−(m−2)x+m+1>0x^2 - (m-2)x + m + 1 > 0 eşitsizliğinin her xx gerçel sayısı için sağlanması için diskriminantın sıfırdan küçük olması gerekir. Buradan elde edilen m2−8m<0m^2 - 8m < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (0,8)(0, 8) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı gerçekten 2828'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin her xx gerçel sayısı için daima sağlanma koşulu belirlenir.
Başkatsayı a>0a > 0 ve diskriminant Δ<0\Delta < 0 olmalıdır.
İkinci dereceden bir ifadenin daima pozitif değerler alması, parabolün xx-eksenini kesmemesi (kökünün olmaması) ve kollarının yukarı doğru olması anlamına gelir.
2
Verilen ifadenin diskriminantı (Δ\Delta) hesaplanır.
Δ=(−(m−2))2−4⋅1⋅(m+1)=m2−8m\Delta = (-(m-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+1) = m^2 - 8m
Diskriminant formülü Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac kullanılarak mm cinsinden bir eşitsizlik elde etmek için hesaplama yapılır.
3
Diskriminantın sıfırdan küçük olması koşuluyla elde edilen eşitsizlik çözülür.
m2−8m<0  ⟹  m(m−8)<0  ⟹  m∈(0,8)m^2 - 8m < 0 \implies m(m-8) < 0 \implies m \in (0, 8)
Eşitsizliğin kökleri 00 ve 88 olarak bulunur. Başkatsayı pozitif olduğu için işaret tablosunda sağdan (+) ile başlanır ve köklerde işaret değiştirilerek negatif bölge (0,8)(0, 8) olarak belirlenir.
4
mm parametresinin alabileceği tam sayı değerleri bulunur ve toplanır.
Tam sayılar: 1,2,3,4,5,6,71, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Toplam: 1+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7 = 28.
(0,8)(0, 8) açık aralığındaki tam sayı değerleri toplanarak ifadedeki değerle karşılaştırılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin daima sağlanması koşulu ve işaret incelemesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, parabolün tepe noktasının y-koordinatının (kk) pozitif olması gerektiği kullanılabilir: k=f(r)>0k = f(r) > 0. Tepe noktasının apsisi r=m−22r = \frac{m-2}{2} olup, k=f(m−22)=(m−22)2−(m−2)(m−22)+m+1>0  ⟹  −(m−2)24+m+1>0  ⟹  −(m2−4m+4)+4m+4>0  ⟹  −m2+8m>0  ⟹  m2−8m<0k = f\left(\frac{m-2}{2}\right) = \left(\frac{m-2}{2}\right)^2 - (m-2)\left(\frac{m-2}{2}\right) + m + 1 > 0 \implies -\frac{(m-2)^2}{4} + m + 1 > 0 \implies -(m^2 - 4m + 4) + 4m + 4 > 0 \implies -m^2 + 8m > 0 \implies m^2 - 8m < 0 eşitsizliğine ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 115Soru →

aa bir gerçel sayı olmak üzere,

x2−(a+1)x+a+4≤0x^2 - (a+1)x + a + 4 \leq 0

eşitsizliğini sağlayan yalnızca bir tane xx ger��el sayısı olduğuna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

-15
Verilen ikinci dereceden eşitsizliğin yalnızca bir gerçel sayı çözümü bulunması, bu ifadenin tam kare olmasıyla mümkündür. Dolayısıyla diskriminant sıfıra eşitlenerek a2−2a−15=0a^2 - 2a - 15 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri çarpımı −15-15 olduğundan doğru cevap −15-15 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin tek bir gerçel sayı çözümü olmasının koşulunu belirleme.
İkinci dereceden ifadenin diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır (Δ=0\Delta = 0).
x2x^2 teriminin katsayısı pozitif (1>01 > 0) olduğundan, bu ifade kolları yukarı doğru olan bir parabol belirtir. Bu ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgenin tek bir elemandan oluşması, parabolün xx eksenine teğet olması yani çift katlı köke sahip olması durumunda mümkündür.
2
Verilen ifadenin diskriminantını (Δ\Delta) hesaplama.
Δ=(a+1)2−4⋅1⋅(a+4)=a2−2a−15\Delta = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a+4) = a^2 - 2a - 15
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülünü uygulamak için b=−(a+1)b = -(a+1) ve c=a+4c = a+4 değerleri yerine konur.
3
Diskriminantı sıfıra eşitleyip aa değerlerini bulma.
a2−2a−15=0⇒(a−5)(a+3)=0⇒a=5a^2 - 2a - 15 = 0 \Rightarrow (a-5)(a+3) = 0 \Rightarrow a = 5 veya a=−3a = -3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri elde ederiz.
4
Bulunan aa değerlerinin çarpımını hesaplama.
5⋅(−3)=−155 \cdot (-3) = -15
Soruda bizden aa parametresinin alabileceği farklı değerlerin çarpımı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir eşitsizliğin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için baş katsayısı pozitif iken ifadenin tam kare (Δ=0\Delta = 0) olması gerekir. Bu durumda eşitsizlik sadece teğet noktasında (çift katlı kökte) sağlanır.
Soru 116Soru →
aa bir pozitif tam sayı olmak üzere,
x2−ax+a+3≤0x^2 - ax + a + 3 \leq 0
eşitsizliğini sağlayan en az bir xx gerçel sayısı olduğuna göre, aa sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunabilmesi için ifadenin diskriminantının sıfırdan büyük ya da eşit olması gerekir. Buradan elde edilen a2−4a−12≥0a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinin pozitif tam sayılardaki en küçük çözümü 6 olarak bulunur.
Verilen ikinci dereceden eşitsizliği sağlayan en az bir gerçel sayının bulunması için ifadenin diskriminantı sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Δ=a2−4a−12≥0\Delta = a^2 - 4a - 12 \ge 0 eşitsizliğinden aa değerleri (−∞,−2]∪[6,∞)(-\infty, -2] \cup [6, \infty) aralığında bulunur. Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan en küçük aa değeri 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin çözüm kümesinin boş küme olmaması için gereken diskriminant koşulunu belirleme
Δ≥0\Delta \geq 0 olmalıdır.
Başkatsayısı pozitif olan bir parabolün negatif veya s��fır değerini alabilmesi, xx eksenini kesmesi ya da teğet olması ile mümkündür.
2
Diskriminantı aa değişkeni cinsinden hesaplama
Δ=a2−4a−12\Delta = a^2 - 4a - 12
ax2+bx+cax^2 + bx + c yapısında Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır.
3
Diskriminant eşitsizliğini çözerek aa için uygun aralıkları bulma
a≤−2a \leq -2 veya a≥6a \geq 6
(a−6)(a+2)≥0(a - 6)(a + 2) \geq 0 eşitsizliğinin işaret tablosu oluşturulur.
4
Pozitif tam sayı şartını sağlayan en küçük aa değerini bulma
6
a≥6a \geq 6 aralığındaki en küçük pozitif tam sayı 6'dır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizliklerin çözüm kümesinin varlığı için diskriminant analizi
Soru 117Soru →
Bir cismin havaya fırlatıldıktan tt saniye sonra yerden yüksekliği metre cinsinden
h(t)=−t2+10t−9h(t) = -t^2 + 10t - 9
fonksiyonu ile modellenmektedir.
Buna göre, bu cismin yerden yüksekliğinin en az 1212 metre olduğu süre kaç saniyedir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Cismin yerden yüksekliğinin en az 1212 metre olduğu süre 44 saniyedir.
Cismin yüksekliğini veren −t2+10t−9-t^2 + 10t - 9 ifadesinin 1212 metreden büyük ya da eşit olduğu zaman dilimi, ikinci dereceden t2−10t+21≤0t^2 - 10t + 21 \leq 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [3,7][3, 7] kapalı aralığıdır. Bu aralığın uzunluğu 7−3=47 - 3 = 4 saniyedir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulu belirten eşitsizliğin yazılması
−t2+10t−9≥12-t^2 + 10t - 9 \geq 12
Cismin yüksekliğinin en az 1212 metre olması istendiği için yükseklik fonksiyonu 1212'ye büyük veya eşit olmalıdır.
2
Eşitsizliğin sıfırla karşılaştırılacak biçimde düzenlenmesi
t2−10t+21≤0t^2 - 10t + 21 \leq 0
İkinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesini yapabilmek için ifadenin bir tarafı sıfır yapılmalıdır.
3
Köklerin bulunması ve çarpanlara ayırma
(t−3)(t−7)≤0  ⟹  t1=3, t2=7(t-3)(t-7) \leq 0 \implies t_1 = 3,\, t_2 = 7
Eşitsizlik tablosunda yer alacak sınır değerlerini bulmak amacıyla ifadenin kökleri hesaplanır.
4
İşaret tablosunun oluşturulması ve çözüm aralığının belirlenmesi
t∈[3,7]t \in [3, 7]
Başkatsayı pozitif olduğundan en sağdan '+' ile başlanır, köklerde işaret değiştirilerek '-' bölge taranır.
5
Geçen sürenin hesaplanması
7−3=47 - 3 = 4 saniye
Cismin [3,7][3, 7] saniye aralığında bu koşulu sağladığı görülür ve bu aralığın uzunluğu hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin sınır değerler analizi ve işaret tablosu yardımıyla çözümü.
Soru 118Soru →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ikinci dereceden bir ff fonksiyonu için f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (2,12)(2, 12) aralığıdır.

Buna göre,
f(x2−x)<0f(x^2 - x) < 0
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 2 farklı tam sayı değeri vardır.
Doğru seçenekte belirtilen 2 değeri, 2<x2−x<122 < x^2 - x < 12 eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesi olan (−3,−1)∪(2,4)(-3, -1) \cup (2, 4) aralığındaki tam sayıların sayısıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar yalnızca −2-2 ve 33 değerleridir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesinden hareketle değişken tanımlaması yapılması.
f(x)<0f(x) < 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (2,12)(2, 12) olduğundan, f(u)<0  ⟺  2<u<12f(u) < 0 \iff 2 < u < 12 elde edilir. Buradan f(x2−x)<0f(x^2 - x) < 0 eşitsizliği 2<x2−x<122 < x^2 - x < 12 eşitsizlik sistemine dönüşür.
Fonksiyonun girdisi olan x2−xx^2 - x ifadesinin değer alabileceği aralığı belirlemek için.
2
x2−x>2x^2 - x > 2 eşitsizliğinin çözülmesi.
x2−x−2>0⇒(x−2)(x+1)>0x^2 - x - 2 > 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) > 0 olur. Kökler x=−1x = -1 ve x=2x = 2 olup, işaret tablosuna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−1)∪(2,∞)(-\infty, -1) \cup (2, \infty) aralığıdır.
Sistemin ilk eşitsizliğini sağlayan xx değerlerini bulmak için.
3
x2−x<12x^2 - x < 12 eşitsizliğinin çözülmesi.
x2−x−12<0⇒(x−4)(x+3)<0x^2 - x - 12 < 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 3) < 0 olur. Kökler x=−3x = -3 ve x=4x = 4 olup, işaret tablosuna göre bu eşitsizliğin çözüm kümesi (−3,4)(-3, 4) aralığıdır.
Sistemin ikinci eşitsizliğini sağlayan xx değerlerini bulmak için.
4
Bulunan iki çözüm kümesinin kesiştirilmesi ve ortak tam sayıların belirlenmesi.
İki çözüm kümesinin kesişimi ((−∞,−1)∪(2,∞))∩(−3,4)=(−3,−1)∪(2,4)\left( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \right) \cap (-3, 4) = (-3, -1) \cup (2, 4) olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar sadece −2-2 ve 33 değerleridir. Dolayısıyla 2 farklı değer vardır.
Eşitsizlik sistemini aynı anda sağlayan ortak xx tam sayılarını bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu yardımıyla çözülmesi ve bileşke fonksiyon içeren eşitsizliklerin analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 119Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
(x2−x−20)⋅(x−2)(x2−4x)⋅(x−5)2≤0 \frac{(x^2 - x - 20) \cdot (x - 2)}{(x^2 - 4x) \cdot (x - 5)^2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük pozitif tam sayı ile en küçük iki basamaklı negatif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -97

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük pozitif tam sayı 2, en küçük iki basamaklı negatif tam sayı ise -99 olup, bu iki değerin toplamı -97'dir.
Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde kökler −4,0,2,4,5-4, 0, 2, 4, 5 olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklar (−∞,−4]∪(0,2]∪(4,5)(-\infty, -4] \cup (0, 2] \cup (4, 5) olur. Bu aralıklardaki en büyük pozitif tam sayı 2, en küçük iki basamaklı negatif tam sayı ise -99'dur. Toplamları ise -97'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırma.
Pay: (x−5)(x+4)(x−2)(x - 5)(x + 4)(x - 2), Payda: x(x−4)(x−5)2x(x - 4)(x - 5)^2
İfadenin köklerini ve işaret tablosundaki sınır noktalarını belirlemek için çarpanlarına ayrılması gerekir.
2
Köklerin belirlenmesi ve teklik/çiftlik durumlarının incelenmesi.
Kökler: x=−4x = -4 (tek), x=0x = 0 (tek), x=2x = 2 (tek), x=4x = 4 (tek), x=5x = 5 (tek katlı davranış gösterir ancak paydanın kökü olduğundan tanımsızlık yaratır).
İşaret tablosunda işaretin nerede değişeceğini ve hangi köklerin dahil edilemeyeceğini belirlemek.
3
İşaret tablosunun oluşturulması ve çözüm aralıklarının bulunması.
Çözüm aralıkları: (−∞,−4]∪(0,2]∪(4,5)(-\infty, -4] \cup (0, 2] \cup (4, 5)
İfadenin sıfıra eşit veya küçük olduğu (≤0\leq 0) bölgeleri tespit etmek.
4
İstenen özel tam sayıların bulunması ve toplanması.
En büyük pozitif tam sayı 22, en küçük iki basamaklı negatif tam sayı −99-99 ve toplamları 2+(−99)=−972 + (-99) = -97.
Soruda tanımlanan koşullara uyan tam sayı değerlerini belirleyip toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerde köklerin bulunması, sadeleştirme işlemlerinde payda köklerine dikkat edilmesi ve işaret tablosu oluşturulması.
Soru 120Soru →
2x2−xy−3y2=0x2+y2−x+y=4\begin{aligned} 2x^2 - xy - 3y^2 &= 0 \\ x^2 + y^2 - x + y &= 4 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikilileri için x ve y koordinatlarının çarpımının alabileceği en küçük değer -4'tür.
İlk denklem çarpanlarına ayrılarak x=−yx = -y ve x=1.5yx = 1.5y elde edilir. Bu iki durum ikinci denklemde yerine yazıldığında, gerçel çözümlerden elde edilen x⋅yx \cdot y çarpım değerleri −1-1, −4-4 ve bazı pozitif değerler olur. Bu değerlerin en küçüğü -4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk denklemi çarpanlarına ayırmak
x=−yx = -y veya x=32yx = \frac{3}{2}y elde edilmesi
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli denklemlere indirgemek için değişkenler arasındaki ilişkileri bulmak.
2
x=−yx = -y doğrusu üzerindeki çözümleri bulmak
(−1,1)(-1, 1) ve (2,−2)(2, -2) çözümlerinin bulunması
Bulunan ilk doğrusal ilişkiyi ikinci denklemde yerine yazarak bu doğru üzerindeki kesim noktalarını elde etmek.
3
x=32yx = \frac{3}{2}y doğrusu üzerindeki çözümlerin durumunu incelemek
Çözümlerin gerçel olduğu ve koordinatlar çarpımının pozitif olduğunun belirlenmesi
Diğer doğrusal ilişkiden gelecek çözümlerin gerçel olup olmadığını ve koordinatlar çarpımının değer aralığını kontrol etmek.
4
Elde edilen çarpım değerlerini karşılaştırarak en küçüğünü seçmek
En küçük değerin -4 olarak bulunması
Soru kökünde istenen minimum çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çarpanlara ayırma yöntemi ve yerine koyma metodunun uygulanması.
ÖncekiSayfa 6 / 6
İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 6 | Examkin