Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 201Soru →

Yandaki dik koordinat düzleminde y=9−x2y = 9 - x^2 ve y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 parabolleri ile bu parabollerin sınırladığı boyalı bölge gösterilmi��tir.

Buna göre, boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1253\frac{125}{3}

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 1253\frac{125}{3} birimkaredir.
Kesişim noktaları x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olarak belirlendikten sonra, [−2,3][-2, 3] aralığında üstte yer alan y=9−x2y = 9 - x^2 parabolünden altta yer alan y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 parabolü çıkarılarak oluşturulan belirli integralin değeri 1253\frac{125}{3} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalarının apsislerini bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
9−x2=x2−2x−3⇒2x2−2x−12=0⇒x2−x−6=0⇒(x−3)(x+2)=09 - x^2 = x^2 - 2x - 3 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 12 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 2) = 0. Buradan kesişim noktaları x=−2x = -2 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Sınırlı bölgenin sınırlarını belirlemek için kesişim noktalarının apsisleri gereklidir.
2
Kesişim sınırları arasında üstte kalan eğriden altta kalan eğriyi çıkararak alan integralini kurun.
Boyalı bölgede y=9−x2y = 9 - x^2 parabolü üstte, y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 parabolü ise alttadır. Dolayısıyla alan integrali: A=∫−23((9−x2)−(x2−2x−3))dx=∫−23(−2x2+2x+12)dxA = \int_{-2}^{3} \left( (9 - x^2) - (x^2 - 2x - 3) \right) dx = \int_{-2}^{3} (-2x^2 + 2x + 12) dx şeklinde kurulur.
İki eğri arasında kalan alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemimi çıkararak hesaplanır.
3
Elde edilen integralin ters türevini (antiderivatif) bulun.
∫(−2x2+2x+12)dx=−23x3+x2+12x\int (-2x^2 + 2x + 12) dx = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12x
Belirli integrali hesaplamak için temel integral alma kuralları uygulanır.
4
Sınır değerlerini yerine yazarak belirli integralin değerini hesaplayın.
F(3)=−23(3)3+32+12(3)=−18+9+36=27F(3) = -\frac{2}{3}(3)^3 + 3^2 + 12(3) = -18 + 9 + 36 = 27

F(−2)=−23(−2)3+(−2)2+12(−2)=163+4−24=−443F(-2) = -\frac{2}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + 12(-2) = \frac{16}{3} + 4 - 24 = -\frac{44}{3}

A=F(3)−F(−2)=27−(−443)=27+443=1253A = F(3) - F(-2) = 27 - \left( -\frac{44}{3} \right) = 27 + \frac{44}{3} = \frac{125}{3} birimkare.
İntegral sınırları yerine yazılarak net alan değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 202Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff tek fonksiyonu için
∫−13f(2x−3) dx=6\int_{-1}^{3} f(2x-3) \, dx = 6
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫12(x⋅f(2x2+1)+4x) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} (x \cdot f(2x^2+1) + 4x) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1 değeri doğrudur.
İntegralin lineerlik özelliği ve değişken değiştirme kuralları doğru uygulanıp tek fonksiyon simetrisiyle ∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 değeri elde edildikten sonra ikinci integral −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde u=2x−3u = 2x-3 değişken değiştirmesi yapılması
∫−53f(u) du=12\int_{-5}^{3} f(u) \, du = 12 elde edilir.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=−1  ⟹  u=−5x = -1 \implies u = -5 ve x=3  ⟹  u=3x = 3 \implies u = 3 olarak güncellenir. Buradan 12∫−53f(u) du=6  ⟹  ∫−53f(x) dx=12\frac{1}{2} \int_{-5}^{3} f(u) \, du = 6 \implies \int_{-5}^{3} f(x) \, dx = 12 bulunur.
2
ff fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğinin kullanılması
∫35f(x) dx=−12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 olarak bulunur.
ff tek fonksiyon olduğundan ∫−33f(x) dx=0\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 0 olur. Bu durumda ∫−53f(x) dx=∫−5−3f(x) dx+∫−33f(x) dx=12  ⟹  ∫−5−3f(x) dx=12\int_{-5}^{3} f(x) \, dx = \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx + \int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 12 \implies \int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = 12 olur. Tek fonksiyon simetrisinden ∫−5−3f(x) dx=−∫35f(x) dx  ⟹  ∫35f(x) dx=−12\int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = -\int_{3}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = -12 elde edilir.
3
İkinci integralin lineerlik özelliği ile iki parçaya ayrılması ve t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılması
İstenen integral değeri −3+2=−1-3 + 2 = -1 olarak bulunur.
∫124x dx=[2x2]12=4−2=2\int_{1}^{\sqrt{2}} 4x \, dx = [2x^2]_{1}^{\sqrt{2}} = 4 - 2 = 2 olur. Diğer parça olan ∫12x⋅f(2x2+1) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(2x^2+1) \, dx için t=2x2+1t = 2x^2+1 dönüşümü yapılırsa dt=4x dx  ⟹  x dx=dt4dt = 4x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{4} olur. Sınırlar x=1  ⟹  t=3x = 1 \implies t = 3 ve x=2  ⟹  t=5x = \sqrt{2} \implies t = 5 olur. Buradan 14∫35f(t) dt=14(−12)=−3\frac{1}{4} \int_{3}^{5} f(t) \, dt = \frac{1}{4} (-12) = -3 elde edilir. Toplam sonuç −3+2=−1-3 + 2 = -1 olur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve tek fonksiyonların simetrik aralıktaki integral özelliklerinin kullanılması.
Soru 203Soru →

Analitik düzlemde f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ve g(x)=−x2+2x+10g(x) = -x^2 + 2x + 10 parabollerinin sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 32 birimkaredir.
Üstteki parabol olan g(x)=−x2+2x+10g(x) = -x^2 + 2x + 10 fonksiyonundan alttaki parabol olan f(x)=2x2−4x+1f(x) = 2x^2 - 4x + 1 fonksiyonu çıkarılarak elde edilen (−3x2+6x+9)(-3x^2 + 6x + 9) ifadesinin kesim noktaları olan [−1,3][-1, 3] aralığındaki belirli integrali alındığında sonuç 32 birimkare bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyelim.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=3x_2 = 3
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği apsis değerlerini bulmamız gerekir.
2
Belirtilen aralıkta hangi parabolün daha üstte yer aldığını belirleyelim.
[−1,3][-1, 3] aralığında g(x)≥f(x)g(x) \ge f(x)
İntegrali kurarken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkarmak için.
3
İki eğri arasında kalan alanı veren belirli integrali yazalım.
∫−13(−3x2+6x+9)dx\int_{-1}^{3} (-3x^2 + 6x + 9) dx
Alan, üstteki eğri ile alttaki eğrinin farkının kesim noktaları arasındaki belirli integraline eşittir.
4
İntegrali hesaplayıp sınır değerlerini yerine koyalım.
32
Belirli integralin değerini bularak alanı hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 204Soru →
Her xx gerçel sayısı için sürekli olan bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12(x⋅f(x2)+f(3−x)) dx\int_{1}^{2} \left( x \cdot f(x^2) + f(3 - x) \right) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İntegralin doğru değeri 9'dur.
Soruda verilen integral iki ayrı integralin toplamı olarak yazılabilir. İlk kısımda u=x2u = x^2 dönüşümü ile sınırlar 1'den 4'e güncellenir ve 12∫14f(u) du=5\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = 5 değeri elde edilir. İkinci kısımda ise v=3−xv = 3 - x dönüşümüyle sınırlar 1'den 2'ye güncellenir ve ∫12f(v) dv=4\int_{1}^{2} f(v) \, dv = 4 değeri elde edilir. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral olan ∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx ifadesinde u=x2u = x^2 değişken değiştirmesi yapılır.
Diferansiyel alındığında du=2x dx⇒x dx=12dudu = 2x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{1}{2} du olur. Sınırlar güncellendiğinde x=1⇒u=1x = 1 \Rightarrow u = 1 ve x=2⇒u=4x = 2 \Rightarrow u = 4 elde edilir. Bu durumda integral 12∫14f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
İntegrali bilinen bir sınır aralığında ff fonksiyonu cinsinden yazabilmek.
2
İlk integralin değeri verilen ∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10 bilgisi kullanılarak hesaplanır.
12∫14f(u) du=12⋅10=5\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 bulunur.
Soruda verilen belirli integral değerini yerine yerleştirmek.
3
İkinci integral olan ∫12f(3−x) dx\int_{1}^{2} f(3 - x) \, dx ifadesinde v=3−xv = 3 - x değişken değiştirmesi yapılır.
Diferansiyel alındığında dv=−dx⇒dx=−dvdv = -dx \Rightarrow dx = -dv olur. Sınırlar güncellendiğinde x=1⇒v=2x = 1 \Rightarrow v = 2 ve x=2⇒v=1x = 2 \Rightarrow v = 1 elde edilir. İntegral ∫21f(v)⋅(−dv)=∫12f(v) dv\int_{2}^{1} f(v) \cdot (-dv) = \int_{1}^{2} f(v) \, dv biçimine dönüşür.
İkinci integrali de bilinen integral sınırları cinsinden ifade etmek.
4
İkinci integralin değeri hesaplanır ve iki integralin sonuçları toplanır.
Verilen ∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4 bilgisine göre ikinci integralin değeri 4'tür. Toplam sonuç ise 5+4=95 + 4 = 9 olarak bulunur.
Sorulan ifadenin nihai değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 205Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
x2⋅f(x)=∫(4x3−3x2+2x⋅f(x))dxx^2 \cdot f(x) = \int \left( 4x^3 - 3x^2 + 2x \cdot f(x) \right) dx
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru yanıt 12 sayısıdır.
Verilen eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında, sol tarafta çarpımın türevi uygulanarak 2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) ifadesi elde edilir. Sağ tarafta ise integralin türevi kendisi olduğundan 4x3−3x2+2x⋅f(x)4x^3 - 3x^2 + 2x \cdot f(x) ifadesi kalır. Karşılıklı terimler sadeleştiğinde f′(x)=4x−3f'(x) = 4x - 3 bulunur. Bu ifadenin integrali f(x)=2x2−3x+Cf(x) = 2x^2 - 3x + C olur. f(1)=2f(1) = 2 bilgisi kullanılarak C=3C = 3 bulunur. Dolayısıyla f(x)=2x2−3x+3f(x) = 2x^2 - 3x + 3 fonksiyonunda x=3x = 3 yazıldığında sonuç 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)=4x3−3x2+2x⋅f(x)2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x \cdot f(x)
İntegral işlemini tersine çevirmek için türev alınır. Sol tarafta çarpımın türevi kuralı uygulanırken, sağ tarafta belirsiz integralin türevi kendisini verir.
2
Elde edilen denklem sadeleştirilir ve türev fonksiyonu yalnız bırakılır.
x2⋅f′(x)=4x3−3x2  ⟹  f′(x)=4x−3x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 3x^2 \implies f'(x) = 4x - 3
Eşitliğin her iki tarafındaki 2x⋅f(x)2x \cdot f(x) terimleri sadeleşir. x≠0x \neq 0 için her iki taraf x2x^2 ile bölünür. Fonksiyon türevlenebilir olduğundan bu eşitlik tüm gerçel sayılarda geçerlidir.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak f(x)f(x) fonksiyonunun kuralı yazılır.
f(x)=∫(4x−3) dx=2x2−3x+Cf(x) = \int (4x - 3) \, dx = 2x^2 - 3x + C
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulanır.
4
f(1)=2f(1) = 2 başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti CC bulunur.
f(1)=2(1)2−3(1)+C=2  ⟹  −1+C=2  ⟹  C=3f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + C = 2 \implies -1 + C = 2 \implies C = 3
Belirsiz integralden gelen CC sabitini netleştirmek için verilen nokta denklemde yerine yazılır.
5
Kuralı belirlenen f(x)=2x2−3x+3f(x) = 2x^2 - 3x + 3 fonksiyonunda x=3x = 3 yazılarak f(3)f(3) değeri hesaplanır.
f(3)=2(3)2−3(3)+3=18−9+3=12f(3) = 2(3)^2 - 3(3) + 3 = 18 - 9 + 3 = 12
Soruda bizden istenen f(3)f(3) değerine ulaşmak amaçlanmıştır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevi ile ilişkisi, çarpımın türevi kuralı ve integral sabiti hesabı.
Soru 206Soru →

x>−2x > -2 olmak üzere, türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi

f′(x)=x2−4x+2+3x2f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x+2} + 3x^2

eşitliğini sağlamaktadır.

f(2)=8f(2) = 8 olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32\frac{3}{2}

Cevap

3/2
Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde f′(x)=3x2+x−2f'(x) = 3x^2 + x - 2 olur. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=x3+x22−2x+Cf(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C elde edilir. f(2)=8f(2) = 8 bilgisi kullanıldığında 8+2−4+C=88 + 2 - 4 + C = 8 denkleminden C=2C = 2 bulunur. Fonksiyon kuralı f(x)=x3+x22−2x+2f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 2 olarak kesinleşir. Bu kuralda x=1x = 1 yazıldığında f(1)=1+12−2+2=32f(1) = 1 + \frac{1}{2} - 2 + 2 = \frac{3}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonundaki rasyonel ifade çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.
f′(x)=x−2+3x2f'(x) = x - 2 + 3x^2
İntegrasyon işlemini kolaylaştırmak için türev ifadesi en sade biçimine getirilir.
2
Türev fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak genel fonksiyon kuralı elde edilir.
f(x)=x3+x22−2x+Cf(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için her iki tarafın belirsiz integrali alınmalıdır.
3
f(2)=8f(2) = 8 başlangıç koşulu fonksiyon kuralında yerine yazılarak integral sabiti bulunur.
C=2C = 2
Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla integral sabiti olan C'nin tek bir değeri belirlenir.
4
Elde edilen f(x)=x3+x22−2x+2f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 2 fonksiyonunda x=1x = 1 yazılarak sonuç hesaplanır.
f(1)=32f(1) = \frac{3}{2}
Bizden istenen f(1) değerine ulaşmak için fonksiyonda x yerine 1 yazılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve başlangıç koşulu yardımıyla fonksiyonun kendisini elde etme.
Soru 207Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(x) dx=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8
∫13x⋅f(4−x) dx=10\int_{1}^{3} x \cdot f(4-x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13x⋅f(x) dx\int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 22'dir.
İkinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesi yapıldığında dx=−dudx = -du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=3u=3 ve x=3x=3 için u=1u=1 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫31(4−u)f(u)(−du)=∫13(4−u)f(u)du\int_{3}^{1} (4-u)f(u)(-du) = \int_{1}^{3} (4-u)f(u)du şekline dönüşür. İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak bu ifade 4∫13f(x)dx−∫13xf(x)dx=104\int_{1}^{3} f(x)dx - \int_{1}^{3} xf(x)dx = 10 olarak yazılır. ∫13f(x)dx=8\int_{1}^{3} f(x)dx = 8 değeri yerine yazıldığında 32−∫13xf(x)dx=1032 - \int_{1}^{3} xf(x)dx = 10 denklemin çözülmesiyle aranan integralin değeri 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesi yapılır.
dx=−dudx = -du elde edilir.
İntegralin içindeki f(4−x)f(4-x) ifadesini f(u)f(u) cinsinden yazarak bilinen integral sınırları ve de��erleriyle ilişkilendirmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=4−1=3x = 1 \implies u = 4 - 1 = 3 ve üst sınır için x=3  ⟹  u=4−3=1x = 3 \implies u = 4 - 3 = 1 olur.
Değişken değiştirme uygulandığında belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni sınırlar ve dx=−dudx = -du ifadesi integralde yerine yazılarak integral yeniden düzenlenir.
∫13x⋅f(4−x) dx=∫31(4−u)⋅f(u)⋅(−du)=∫13(4−u)⋅f(u) du\int_{1}^{3} x \cdot f(4-x) \, dx = \int_{3}^{1} (4-u) \cdot f(u) \cdot (-du) = \int_{1}^{3} (4-u) \cdot f(u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarının yer değiştirmesi durumunda integralin işaretinin tersine dönmesi (∫31=−∫13\int_3^1 = -\int_1^3) özelliği ile dx=−dudx = -du ifadesindeki eksi işareti birbirini sadeleştirir.
4
Elde edilen integral, lineerlik özelliği kullanılarak iki ayrı integralin farkı şeklinde yazılır.
∫13(4−u)⋅f(u) du=4∫13f(u) du−∫13u⋅f(u) du\int_{1}^{3} (4-u) \cdot f(u) \, du = 4 \int_{1}^{3} f(u) \, du - \int_{1}^{3} u \cdot f(u) \, du
Belirli integralin toplama ve çıkarma işlemleri üzerindeki dağılma ve sabit katsayıyı dışarı çıkarma özellikleri uygulanır.
5
İntegral değişkeninin adının değişmesi değeri etkilemediğinden uu yerine tekrar xx yazılır ve bilinen değerler yerine konarak istenen integral yalnız bırakılır.
4∫13f(x) dx−∫13x⋅f(x) dx=104 \int_{1}^{3} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10
4⋅8−∫13x⋅f(x) dx=10  ⟹  32−∫13x⋅f(x) dx=10  ⟹  ∫13x⋅f(x) dx=224 \cdot 8 - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10 \implies 32 - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10 \implies \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 22
Belirli integralde integral değişkeninin sembolü (örneğin uu veya xx) integralin değerini değiştirmez.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi, integral sınırlarının güncellenmesi ve integralin lineerlik özellikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 208Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=2f(1) = 2
f(3)=6f(3) = 6
olarak veriliyor.
Buna göre,
∫13x⋅f′(x2)⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{3}} x \cdot f'(x^2) \cdot f(x^2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen belirli integralde sırasıyla u=x2u = x^2 ve v=f(u)v = f(u) dönüşümleri yapıldığında integral sınırları sırasıyla [1,3][1, 3] ve [2,6][2, 6] olarak güncellenir. Bu adımlarla integral 12∫26v dv\frac{1}{2} \int_{2}^{6} v \, dv biçimine dönüşür ve integralin değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk değişken değiştirme dönüşümünü tanımlayınız.
u=x2u = x^2 dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir. Buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} olur.
İntegral içindeki ifadeleri basitleştirmek ve x değişkeninden kurtulmak amacıyla bu substitution yapılır.
2
Belirli integral sınırlarını birinci değişkene göre güncelleyiniz.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12=1x = 1 \implies u = 1^2 = 1 olur. Üst sınır için x=3  ⟹  u=(3)2=3x = \sqrt{3} \implies u = (\sqrt{3})^2 = 3 olur. İntegral bu aşamada ∫13f′(u)⋅f(u)⋅du2\int_{1}^{3} f'(u) \cdot f(u) \cdot \frac{du}{2} biçimine gelir.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da o değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
İkinci değişken değiştirme adımını uygulayınız.
v=f(u)v = f(u) dönüşümü yapılırsa, diferansiyel dv=f′(u) dudv = f'(u) \, du olur. Sınırlar ise alt sınır için u=1  ⟹  v=f(1)=2u = 1 \implies v = f(1) = 2 ve üst sınır için u=3  ⟹  v=f(3)=6u = 3 \implies v = f(3) = 6 şeklinde güncellenir. Yeni integral 12∫26v dv\frac{1}{2} \int_{2}^{6} v \, dv olur.
f(u) ve f'(u) çarpımını integrali alınabilir temel bir fonksiyona dönüştürmek için.
4
Belirli integrali hesaplayarak nihai sonuca ulaşınız.
12[v22]26=14(62−22)=14(36−4)=324=8\frac{1}{2} \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{2}^{6} = \frac{1}{4} (6^2 - 2^2) = \frac{1}{4} (36 - 4) = \frac{32}{4} = 8 bulunur.
İntegral alma kuralı uygulanarak belirli integralin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde ardışık değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 209Soru →

Dik koordinat düzleminde; birinci bölgede y=3x2y = 3x^2 eğrisi, y=12y = 12 doğrusu ve yy-ekseni ile sınırlandırılan bölge, orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu ile eşit alanlı iki bölgeye ayrılmaktadır.

Buna göre, mm değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Doğrunun eğimi olan m değeri 9 olarak bulunur.
Toplam alan integral yardımıyla 16 birimkare olarak bulunur. y = mx doğrusunun bu alanı 8'er birimkarelik iki parçaya bölmesi gerekir. Üst sınır doğrusu olan y = 12 ile y-ekseni arasında kalan dik üçgenin alanı 8 birimkareye eşitlendiğinde m = 9 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınırları verilen bölgenin kesim noktalarını belirlemek.
y=3x2y = 3x^2 eğrisi ile y=12y = 12 doğrusu ortak çözüldüğünde 3x2=12⇒x2=4⇒x=23x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 bulunur (birinci bölgede olduğumuz için x=2x = 2 alınır). Bölge x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığındadır.
Belirli integralin sınırlarını doğru tespit etmek amacıyla kesişim noktasının apsis değerini bulmamız gerekir.
2
Sınırlandırılmış bölgenin toplam alanını belirli integral yardım��yla hesaplamak.
Alan S=∫02(12−3x2) dx=[12x−x3]02=(24−8)−0=16S = \int_0^2 (12 - 3x^2) \, dx = \left[ 12x - x^3 \right]_0^2 = (24 - 8) - 0 = 16 birimkare olarak hesaplanır.
Bölgeyi iki eşit parçaya bölebilmek için öncelikle toplam alanın büyüklüğünü bilmemiz gerekir.
3
Eşit alanlı iki bölgeye ayrılma koşulunu ve doğrunun kesim noktasını analiz etmek.
Her bir alt bölgenin alanı 16/2=816 / 2 = 8 birimkare olmalıdır. y=mxy = mx doğrusu y=12y = 12 doğrusunu x=12mx = \frac{12}{m} noktasında keser. m≥6m \ge 6 durumu için bu kesişim noktası bölgenin içinde veya solunda kalır ve sol tarafta y-ekseni, y=12y = 12 ve y=mxy = mx arasında bir dik üçgen oluşur.
Geometrik olarak alan paylaşımını ifade etmek ve denklem kurmak için.
4
Oluşan dik üçgenin alanını 8 birimkareye eşitleyerek m değerini çözmek.
Dik üçgenin köşeleri (0,0)(0,0), (0,12)(0,12) ve (12m,12)(\frac{12}{m}, 12) noktalarıdır. Alanı 12×12×12m=72m\frac{1}{2} \times 12 \times \frac{12}{m} = \frac{72}{m} olur. Buradan 72m=8⇒m=9\frac{72}{m} = 8 \Rightarrow m = 9 elde edilir. 9≥69 \ge 6 olduğundan bu varsayım geçerlidir.
İstenen m parametresinin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integral kullanarak iki eğri arasında kalan alanı hesaplama ve analitik düzlemde geometrik alan paylaşımı uygulamaları.
Soru 210Soru →

Bir matematik öğretmeni, tahtaya y=6x−x2y = 6x - x^2 parabolünü ve y=xy = x doğrusunu çizmiştir. Daha sonra öğrencilerden bu iki eğri tarafından tamamen sınırlandırılan kapalı bölgenin alanını hesaplamalarını istemiştir.

Buna göre, öğrencilerin bulması gereken doğru sonuç kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1256\frac{125}{6}

Cevap

Doğru yanıt 1256\frac{125}{6} birimkaredir.
Doğru cevap olan 1256\frac{125}{6} değeri, parabol ile doğrunun kesişim noktalarının x=0x = 0 ve x=5x = 5 olarak doğru bulunması, [0,5][0, 5] aralığında parabolün üstte olduğunun belirlenmesi ve ∫05(5x−x2) dx\int_{0}^{5} (5x - x^2) \, dx integralinin doğru hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarının belirlenmesi
x2−5x=0  ⟹  x(x−5)=0  ⟹  x=0x^2 - 5x = 0 \implies x(x-5) = 0 \implies x = 0 ve x=5x = 5
Sınırlandırılan bölgenin integral sınırlarını belirlemek amacıyla kesişim noktaları hesaplanmalıdır.
2
Üstteki ve alttaki eğrilerin belirlenmesi
6x−x2≥x6x - x^2 \geq x
İki eğri arasındaki alanı hesaplarken [0,5][0, 5] aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu anlamak için bir test noktası seçilir. x=1x = 1 için parabolün değeri doğrunun değerinden büyük olduğundan parabol üstte yer alır.
3
Belirli integralin kurulması ve alan hesabı
A=∫05((6x−x2)−x) dx=[5x22−x33]05=1256A = \int_{0}^{5} ((6x - x^2) - x) \, dx = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} = \frac{125}{6}
Belirli integralin değeri, iki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanını verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 211Soru →

Analitik düzlemde sınırları verilen bazı kapalı bölgeler sol sütunda, bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral ifadeleri ise sağ sütunda karışık olarak verilmiştir. Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki doğru integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
y=x2y = x^2 ve y=8−x2y = 8 - x^2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölge
x=y2x = y^2 parabolü ile x=y+2x = y + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y=x2y = x^2 ile y=2xy = 2x bölgesi ∫02(2x−x2) dx\int_0^2 (2x - x^2) \, dx integraliyle; y=x2y = x^2 ile y=8−x2y = 8 - x^2 bölgesi ∫−22(8−2x2) dx\int_{-2}^2 (8 - 2x^2) \, dx integraliyle; x=y2x = y^2 ile x=y+2x = y + 2 bölgesi ise ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^2 (y + 2 - y^2) \, dy integraliyle eşleşir.
Her bir bölge için sınır eğrilerinin kesişim noktaları cebirsel olarak doğru hesaplanmış ve integral sınırları olarak atanmıştır. Ardından, verilen aralıklarda hangi eğrinin üstte (veya sağda) yer aldığı tespit edilerek doğru integral ifadeleriyle eşleştirme yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için kesim noktalarını ve üstteki fonksiyonu belirleyin.
Kesim noktaları x=0x=0 ve x=2x=2; üstteki fonksiyon y=2xy=2x.
İntegrasyon sınırlarını ve integrandın işaretini belirlemek için eğrilerin kesişim noktaları ve birbirlerine göre konumları bulunur.
2
İkinci bölge için kesim noktalarını ve üstteki fonksiyonu belirleyin.
Kesim noktaları x=−2x=-2 ve x=2x=2; üstteki fonksiyon y=8−x2y=8-x^2.
İki parabol arasındaki bölgenin alanını hesaplarken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.
3
Üçüncü bölge için değişkeni yy seçerek sınırları ve sağdaki fonksiyonu belirleyin.
Kesim noktaları y=−1y=-1 ve y=2y=2; sağdaki fonksiyon x=y+2x=y+2.
Eğriler yy değişkenine bağlı olarak daha kolay ifade edildiğinden entegrasyon yy eksenine göre yapılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral kullanılarak ifade edilmesi ve hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 212Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12x⋅f(x2+1) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

-4
Verilen iki integralde sırasıyla x2+1=ux^2 + 1 = u ve 2x−1=v2x - 1 = v değişken değiştirmeleri yapılıp sınırlar doğru güncellendiğinde ∫25f(x) dx=20\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20 ve ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 elde edilir. Buradan sınır parçalama özelliğiyle ∫12f(x) dx=−8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8 bulunur. İstenen integralde x2=wx^2 = w dönüşümü yapılıp sınır güncellemesiyle elde edilen 12∫12f(w) dw\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw ifadesinde yerine yazıldığında sonuç −4-4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
∫12x⋅f(x2+1) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10 integralinde u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılırsa du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 ve x=2  ⟹  u=5x = 2 \implies u = 5 elde edilir. Böylece integral 12∫25f(u) du=10  ⟹  ∫25f(x) dx=20\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du = 10 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20 olarak bulunur.
Verilen ilk integrali f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali cinsinden ifade etmek.
2
İkinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6 integralinde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü yapılırsa dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  v=1x = 1 \implies v = 1 ve x=3  ⟹  v=5x = 3 \implies v = 5 elde edilir. Böylece integral 12∫15f(v) dv=6  ⟹  ∫15f(x) dx=12\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(v) \, dv = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 olarak bulunur.
İkinci integrali de f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali şeklinde yazarak ilk adımla ilişkilendirmek.
3
Belirli integralin sınır parçalama özelliği kullanılır.
∫15f(x) dx=∫12f(x) dx+∫25f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx eşitliğinden yararlanarak; 12=∫12f(x) dx+20  ⟹  ∫12f(x) dx=−812 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 20 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8 bulunur.
İstenen integralin sınırlarına (1 ve 2) ulaşmak amacıyla elde edilen integral değerlerini birleştirmek.
4
İstenen integralde değişken değiştirme yapılarak sonuca ulaşılır.
∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx integralinde w=x2w = x^2 dönüşümü yapılırsa dw=2x dx  ⟹  x dx=dw2dw = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dw}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  w=1x = 1 \implies w = 1 ve x=2  ⟹  w=2x = \sqrt{2} \implies w = 2 elde edilir. Buradan integral 12∫12f(w) dw=12⋅(−8)=−4\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw = \frac{1}{2} \cdot (-8) = -4 olarak hesaplanır.
Elde edilen integral değerini kullanarak aranan integralin sonucunu bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve belirli integralin sınır parçalama özelliği.
Soru 213Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=4f(0) = 4
f(1)=3f(1) = 3
f(2)=9f(2) = 9
f(3)=11f(3) = 11
f(4)=5f(4) = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫14f′(x)x dx\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12 olan seçenektir.
Dönüşüm u=xu = \sqrt{x} olarak yapıldığında, sınırlar 11 ve 22 olur. Diferansiyel ifadesi 2 du2 \, du olarak yerine konur ve integral 2[f(2)−f(1)]2[f(2) - f(1)] haline gelir. Verilen değerler kullanıldığında 2[9−3]=122[9 - 3] = 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapılır.
du=12x dxdu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx elde edilir. Buradan 1x dx=2 du\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, du olur.
İntegral içindeki ifadeyi sadeleştirmek ve değişken değiştirme yöntemini uygulamak için.
2
Belirli integralin sınırları uu değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=1=1x = 1 \Rightarrow u = \sqrt{1} = 1 olur. Üst sınır için x=4⇒u=4=2x = 4 \Rightarrow u = \sqrt{4} = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre yeniden belirlenmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi hesaplanır.
∫14f′(x)x dx=∫12f′(u)⋅2 du=2∫12f′(u) du=2[f(2)−f(1)]\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} f'(u) \cdot 2 \, du = 2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du = 2 [f(2) - f(1)]
Türevin integrali kendisidir, bu nedenle temel integral alma kuralı uygulanır.
4
Verilen fonksiyon değerleri yerine yazılır.
2[f(2)−f(1)]=2[9−3]=2⋅6=122 [f(2) - f(1)] = 2 [9 - 3] = 2 \cdot 6 = 12
Soruda verilen fonksiyon değerlerini kullanarak nihai sayısal sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel hesabındaki katsayılara dikkat edilmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 214Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x parabolü, bu parabolün x=3x = 3 noktasındaki teğet doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 99

Cevap

Parabolün verilen noktadaki teğet doğrusu ile parabolün kendisi ve yy-ekseni arasında kalan bölgenin alanı 99 birimkaredir.
Parabolün x=3x = 3 noktasındaki teğetinin denklemi y=4x−9y = 4x - 9 olarak bulunur. Sınırlar x=0x = 0 (yy-ekseni) ile teğet noktası olan x=3x = 3 arasındadır. Bu aralıkta parabol her zaman teğet doğrusunun üstünde kaldığı için sınırlı bölgenin alanı, üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonun çıkarılmasıyla oluşturulan belirli integral yardımıyla 99 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denklemini türev yardımıyla bulma
y=4x−9y = 4x - 9 teğet doğrusu denklemi
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x için teğet noktasının apsisi x=3x=3 olup ordinatı f(3)=3f(3) = 3 olur. Türev f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olup teğet eğimi m=f′(3)=4m = f'(3) = 4 olarak elde edilir. Buradan teğet denklemi y−3=4(x−3)  ⟹  y=4x−9y - 3 = 4(x - 3) \implies y = 4x - 9 bulunur.
2
Sınırları ve integrali alınacak fark fonksiyonunu belirleme
Sınırlar [0,3][0, 3] ve integral fonksiyonu g(x)=x2−6x+9g(x) = x^2 - 6x + 9
Teğet noktası x=3x=3 ve yy-ekseni x=0x=0 olduğundan integral sınırları [0,3][0, 3] aralığıdır. Bu aral��kta parabol doğrunun üzerinde yer aldığından alan ∫03((x2−2x)−(4x−9))dx=∫03(x−3)2dx\int_{0}^{3} ((x^2 - 2x) - (4x - 9)) dx = \int_{0}^{3} (x-3)^2 dx integrali ile hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplama
99 birimkare
∫03(x−3)2dx=[(x−3)33]03=0−(−273)=9\int_{0}^{3} (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9 elde edilir.

Anahtar Kavram

İki fonksiyon grafiği ve düşey doğrular arasında kalan kapalı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Soru 215Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫03f(x+2) dx=10\int_{0}^{3} f(x+2) \, dx = 10
∫29f(x) dx=24\int_{2}^{9} f(x) \, dx = 24
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f(4x+1) dx\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72\frac{7}{2}

Cevap

I˙ntegralinindeg˘eri72olarakbulunur.İntegralinin değeri \frac{7}{2} olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen değer olan \frac{7}{2}, birinci integralde yapılan u = x+2 dönüşümüyle \int_{2}^{5} f(x) dx = 10 değeri bulunduktan sonra, aralık bölme özelliğiyle \int_{5}^{9} f(x) dx = 14 değerine ulaşılması ve son olarak hedeflenen integralde w = 4x+1 dönüşümü yapılarak elde edilen \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) dw ifadesinde değerin yerine yazılmasıyla doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x+2u = x+2 dönüşümü yapıldığında du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=0x = 0 için u=2u = 2 ve x=3x = 3 için u=5u = 5 elde edilir. Buradan, ∫25f(u) du=10\int_{2}^{5} f(u) \, du = 10 bulunur.
Verilen integral ifadesini sadeleştirmek ve sınırları f(x) fonksiyonunun tanım kümesine uygun hale getirmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak diğer integral parçalanır.
∫29f(x) dx=∫25f(x) dx+∫59f(x) dx\int_{2}^{9} f(x) \, dx = \int_{2}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{9} f(x) \, dx yazılabilir. Verilen değerler yerine yazıldığında; 24=10+∫59f(x) dx  ⟹  ∫59f(x) dx=1424 = 10 + \int_{5}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{5}^{9} f(x) \, dx = 14 elde edilir.
[2,9][2, 9] aralığındaki integralin değerini ve elimizdeki [2,5][2, 5] aralığının değerini kullanarak [5,9][5, 9] aralığındaki integralin değerine ulaşmak hedeflenir.
3
İstenen integralde değişken değiştirme uygulanarak sonuca ulaşılır.
∫12f(4x+1) dx\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx integralinde w=4x+1w = 4x+1 dönüşümü yapılırsa dw=4 dx  ⟹  dx=14 dwdw = 4 \, dx \implies dx = \frac{1}{4} \, dw olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1x = 1 için w=5w = 5 ve x=2x = 2 için w=9w = 9 olur. İntegral şu hali alır: ∫59f(w)⋅14 dw=14∫59f(w) dw\int_{5}^{9} f(w) \cdot \frac{1}{4} \, dw = \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) \, dw. Bir önceki adımda bu integralin değerini 1414 bulmuştuk, dolayısıyla sonuç 14⋅14=72\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{7}{2} olur.
4x+14x+1 ifadesini tek bir değişkene indirgeyip sınırları elde ettiğimiz verilerle uyumlu hale getirerek integralin sayısal değerini hesaplamak amaçlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.
Soru 216Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için

∫12f(2x−1) dx=5\int_{1}^{2} f(2x-1) \, dx = 5
∫13x⋅f(x2) dx=8\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 8

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

∫39f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İstenen integralin değeri 6'dır.
Soruda verilen iki integralde sırasıyla u=2x−1u = 2x-1 ve v=x2v = x^2 dönüşümleri yapıldığında ff fonksiyonunun [1,3][1, 3] ve [1,9][1, 9] aralıklarındaki belirli integral değerleri sırasıyla 10 ve 16 olarak elde edilir. Ardından, belirli integralin aralık bölme özelliği yardımıyla ∫39f(x) dx=∫19f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{1}^{9} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx bağıntısı kurulur. Bu bağıntıdan 16−10=616 - 10 = 6 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde u=2x−1u = 2x-1 değişken değiştirmesi uygulamak.
∫13f(x) dx=10\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10
u=2x−1u = 2x-1 dönüşümüyle sınırlar xx değişkeninden uu değişkenine taşınarak ff fonksiyonunun [1,3][1, 3] aralığındaki integral değeri hesaplanır.
2
İkinci integralde v=x2v = x^2 değişken değiştirmesi uygulamak.
∫19f(x) dx=16\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 16
v=x2v = x^2 dönüşümüyle x dxx\,dx ifadesi dv2\frac{dv}{2} şeklinde yazılır ve sınırlar [1,9][1, 9] aralığına güncellenerek bu aralıktaki integral değeri bulunur.
3
Belirli integralin aralık bölme özelliğini uygulamak.
∫39f(x) dx=6\int_{3}^{9} f(x) \, dx = 6
[1,9][1, 9] aralığındaki integral, [1,3][1, 3] ve [3,9][3, 9] alt aralıklarının toplamı olarak yazılabilir. Bu özellik sayesinde bilinen değerler yerine koyularak bilinmeyen integral hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integralin aralık bölme özelliği.
Soru 217Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−11f(3x+1) dx=8\int_{-1}^{1} f(3x + 1) \, dx = 8
∫12f(5−3x) dx=2\int_{1}^{2} f(5 - 3x) \, dx = 2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx
ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

İstenen toplamın değeri 18'dir.
Doğru cevaba ulaşmak için verilen integral ifadelerinde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. İlk integralde u=3x+1u = 3x + 1 dönüşümü yapılarak sınırlar [−2,4][-2, 4] aralığına güncellenir ve ∫−24f(x) dx=24\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 24 bulunur. İkinci integralde v=5−3xv = 5 - 3x dönüşümü yapılarak sınırlar [−1,2][-1, 2] aralığına güncellenir ve ∫−12f(x) dx=6\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 6 bulunur. Son olarak, belirli integralin aralık toplama özelliği kullanılarak [−2,4][-2, 4] aralığındaki integral [−2,−1][-2, -1], [−1,2][-1, 2] ve [2,4][2, 4] alt aralıklarına ayrıştırılır. Değerler yerine yazıldığında aranan toplamın 18 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral ifadesinde değişken değiştirme yöntemini uygulayarak sınırları güncelleyin.
u=3x+1  ⟹  du=3 dx  ⟹  dx=du3u = 3x + 1 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3} olur.
Sınırlar:
x=−1  ⟹  u=3(−1)+1=−2x = -1 \implies u = 3(-1) + 1 = -2
x=1  ⟹  u=3(1)+1=4x = 1 \implies u = 3(1) + 1 = 4
Bu durumda integral:
∫−24f(u)du3=8  ⟹  ∫−24f(u) du=24\int_{-2}^{4} f(u) \frac{du}{3} = 8 \implies \int_{-2}^{4} f(u) \, du = 24 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) türünden yazabilmek ve [−2,4][-2, 4] aralığındaki toplam integral değerini elde etmek için.
2
İkinci integral ifadesinde değişken değiştirme yöntemini uygulayarak sınırları güncelleyin.
v=5−3x  ⟹  dv=−3 dx  ⟹  dx=−dv3v = 5 - 3x \implies dv = -3 \, dx \implies dx = -\frac{dv}{3} olur.
Sınırlar:
x=1  ⟹  v=5−3(1)=2x = 1 \implies v = 5 - 3(1) = 2
x=2  ⟹  v=5−3(2)=−1x = 2 \implies v = 5 - 3(2) = -1
Bu durumda integral:
∫2−1f(v)(−dv3)=2  ⟹  13∫−12f(v) dv=2  ⟹  ∫−12f(v) dv=6\int_{2}^{-1} f(v) \left(-\frac{dv}{3}\right) = 2 \implies \frac{1}{3} \int_{-1}^{2} f(v) \, dv = 2 \implies \int_{-1}^{2} f(v) \, dv = 6 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) türünden yazabilmek ve [−1,2][-1, 2] aralığındaki integral değerini bulmak için.
3
Belirli integralin aralık toplama özelliğini kullanarak aranan integral toplamını hesaplayın.
Belirli integralin sınır özellikleri gereği:
∫−24f(x) dx=∫−2−1f(x) dx+∫−12f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx
yazılabilir. Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
24=(∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx)+624 = \left( \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx \right) + 6
Buradan,
∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx=24−6=18\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 24 - 6 = 18 bulunur.
Bulunan [−2,4][-2, 4] ve [−1,2][-1, 2] aralıklarındaki integral değerleri yardımıyla istenen parçalı integral toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi ve Belirli İntegralin Aralık Parçalama Özelliği
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 218Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(2x+1) dx=12\int_{1}^{4} f(2x+1) \, dx = 12
∫23f(3x−3) dx=5\int_{2}^{3} f(3x-3) \, dx = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫69f(x) dx\int_{6}^{9} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Doğru cevap olan 9 değeri, her iki integralde de değişken değiştirme yapılarak integral sınırlarının ve diferansiyel ifadelerinin doğru şekilde güncellenmesi ve ardından belirli integralin parçalama özelliği kullanılarak aralarındaki farkın alınması ile elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫39f(u) du=24\int_{3}^{9} f(u) \, du = 24
u=2x+1u = 2x+1 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar için x=1  ⟹  u=3x=1 \implies u=3 ve x=4  ⟹  u=9x=4 \implies u=9 elde edilir. Buradan ∫39f(u)⋅du2=12  ⟹  ∫39f(u) du=24\int_{3}^{9} f(u) \cdot \frac{du}{2} = 12 \implies \int_{3}^{9} f(u) \, du = 24 bulunur.
2
İkinci integral için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
∫36f(v) dv=15\int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15
v=3x−3v = 3x-3 dönüşümü yapıldığında dv=3 dx  ⟹  dx=dv3dv = 3 \, dx \implies dx = \frac{dv}{3} olur. Sınırlar için x=2  ⟹  v=3x=2 \implies v=3 ve x=3  ⟹  v=6x=3 \implies v=6 elde edilir. Buradan ∫36f(v)⋅dv3=5  ⟹  ∫36f(v) dv=15\int_{3}^{6} f(v) \cdot \frac{dv}{3} = 5 \implies \int_{3}^{6} f(v) \, dv = 15 bulunur.
3
Belirli integralin sınırları parçalama özelliği kullanılarak hedef integral hesaplanır.
∫69f(x) dx=9\int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9
∫39f(x) dx=∫36f(x) dx+∫69f(x) dx\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{3}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{9} f(x) \, dx yazılabilir. Bulunan değerler yerine yazıldığında 24=15+∫69f(x) dx  ⟹  ∫69f(x) dx=924 = 15 + \int_{6}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{6}^{9} f(x) \, dx = 9 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yapıldığında integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin aralık bölme özelliği kullanılarak hesaplanması.
Soru 219Soru →
∫124x(x2+1)2 dx\int_{1}^{2} \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35\frac{3}{5}

Cevap

İntegralin değeri 35\frac{3}{5} olarak bulunur.
Doğru yanıt olan değer, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü ve güncellenmiş [2,5][2, 5] sınırları ile integrasyon kuralları hatasız uygulandığında elde edilen 35\frac{3}{5} ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü belirleme ve diferansiyel alma
u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir. Buradan 2 du=4x dx2 \, du = 4x \, dx olur.
İntegral içindeki ifadenin daha kolay entegre edilebilir bir forma dönüştürülmesi için bu dönüşüm gereklidir.
2
Belirli integral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=22+1=5x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Değişken değiştirildiğinde, belirli integralin sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Yeni integrali oluşturma ve hesaplama
İntegral ∫252u2 du\int_{2}^{5} \frac{2}{u^2} \, du halini alır. Bu integralin ters türevi [−2u]25\left[ -\frac{2}{u} \right]_{2}^{5} şeklindedir. Sınırlar yerine yazıldığında: −25−(−22)=−25+1=35-\frac{2}{5} - (-\frac{2}{2}) = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5} elde edilir.
Belirli integralin değerini bulmak için elde edilen yeni integral sınırları kullanılarak fonksiyonun ters türevi hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 220Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=∣x2−2x∣y = |x^2 - 2x| eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 136\frac{13}{6}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 13/6 birimkaredir.
Verilen iki fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktaları x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Sınırlı alanlar [0,1][0, 1] ve [1,3][1, 3] aralıklarında oluşur. [0,1][0, 1] aralığında eğri doğrunun üzerinde kaldığı için ∫01(2x−x2−x)dx=1/6\int_0^1 (2x-x^2 - x) dx = 1/6 olur. [1,3][1, 3] aralığında ise doğru eğrinin üzerinde kalır ve bu integral x=2x=2 noktasında parçalanarak hesaplandığında 2 birimkare bulunur. İkisinin toplamı 13/6 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğri ile doğrunun kesim noktalarının apsislerini bulmak için ∣x2−2x∣=x|x^2 - 2x| = x denklemini çözelim.
x≥2x \ge 2 veya x≤0x \le 0 için x2−2x=x⇒x(x−3)=0⇒x=0x^2 - 2x = x \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0 veya x=3x = 3. 0<x<20 < x < 2 için −(x2−2x)=x⇒x(x−1)=0⇒x=1-(x^2 - 2x) = x \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 1. Böylece kesim noktaları x=0x = 0, x=1x = 1 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
Sınırlı bölgelerin alt ve üst sınırlarını belirlemek amacıyla kesim noktalarını bulmamız gerekir.
2
Bölgelerin alan formüllerini integral cinsinden yazalım.
[0,1][0, 1] aralığında eğri doğrunun üzerinde olduğundan alan S1=∫01(∣x2−2x∣−x) dxS_1 = \int_{0}^{1} (|x^2 - 2x| - x) \, dx olur. [1,3][1, 3] aralığında ise doğru eğrinin üzerinde olduğundan alan S2=∫13(x−∣x2−2x∣) dxS_2 = \int_{1}^{3} (x - |x^2 - 2x|) \, dx olur.
Alan hesaplanırken üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.
3
[0,1][0, 1] aralığındaki S1S_1 alanını hesaplayalım.
[0,1][0, 1] aralığında x2−2x≤0x^2 - 2x \le 0 olduğundan ∣x2−2x∣=2x−x2|x^2 - 2x| = 2x - x^2 olur. S1=∫01(2x−x2−x) dx=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16S_1 = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} birimkaredir.
Belirli integral alma kuralları uygulanarak ilk bölgenin alanı bulunur.
4
[1,3][1, 3] aralığındaki S2S_2 alanını hesaplayalım. x=2x = 2 noktası mutlak değerin kritik noktası olduğundan integrali bu noktadan parçalayalım.
S2=∫12(x−(2x−x2)) dx+∫23(x−(x2−2x)) dx=∫12(x2−x) dx+∫23(3x−x2) dx=[x33−x22]12+[3x22−x33]23=(23−(−16))+(92−103)=56+76=2S_2 = \int_{1}^{2} (x - (2x - x^2)) \, dx + \int_{2}^{3} (x - (x^2 - 2x)) \, dx = \int_{1}^{2} (x^2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (3x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 + \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_2^3 = \left( \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) \right) + \left( \frac{9}{2} - \frac{10}{3} \right) = \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = 2 birimkaredir.
İntegralin sınırları içindeki mutlak değer ifadesinin işareti kritik noktaya göre değiştiğinden parçalı entegrasyon uygulanır.
5
Toplam alanı hesaplayalım.
S1+S2=16+2=136S_1 + S_2 = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} birimkare elde edilir.
İki ayrı sınırlı bölgenin alanlarının toplamı istenen sonucu verir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesaplanması ve mutlak değerli integrallerde kritik noktalara göre parçalama yapılması.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 11 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 11 | Examkin