Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 221Soru →
Sürekli bir f ⁣:R→Rf \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu için
∫−24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−20f(x) dx\int_{-2}^{0} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen belirli integralin değeri 2 olarak bulunur.
Değişken değiştirme yöntemiyle integral sınırları güncellenerek ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 değeri elde edilir. Ardından toplam aralık [−2,4][ -2, 4 ] parçalanarak [−2,0][ -2, 0 ] aralığındaki integral değeri 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
∫13f(2x−2) dx=8\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8 integralinde u=2x−2u = 2x-2 dönüşümü uygulayalım.
∫04f(u) du=16\int_{0}^{4} f(u) \, du = 16 elde edilir.
u=2x−2u = 2x-2 ise her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2 dxdu = 2 \, dx yani dx=du2dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; alt sınır için x=1  ⟹  u=0x = 1 \implies u = 0, üst sınır için x=3  ⟹  u=4x = 3 \implies u = 4 bulunur. Buradan integral ∫04f(u)du2=8  ⟹  ∫04f(u) du=16\int_{0}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{0}^{4} f(u) \, du = 16 şeklinde yazılır. Belirli integralde değişken ismi sonucu değiştirmeyeceği için bu ifade ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 demektir.
2
Birinci denklemdeki ∫−24f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx integraline sınır parçalama özelliğini uygulayalım.
∫−24f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫04f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{4} f(x) \, dx eşitliği elde edilir.
Belirli integralde integral sınırları [a,b][a, b] aralığındaki bir cc noktasına göre parçalanabilir. Burada [−2,4][-2, 4] aralığı 00 noktası kullanılarak parçalanmıştır.
3
Elde edilen değerleri denklemde yerine yazarak sonuca ulaşalım.
∫−20f(x) dx=2\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2 bulunur.
∫−24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18 ve ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 değerleri denklemde yerine yazıldığında, 18=∫−20f(x) dx+16  ⟹  ∫−20f(x) dx=218 = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + 16 \implies \int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru biçimde güncellenmesi ve belirli integralin aralık bölme özelliği.
Soru 222Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫24f(2x−3) dx=8\int_{2}^{4} f(2x - 3) \, dx = 8
ve
∫12f(3x−2) dx=5\int_{1}^{2} f(3x - 2) \, dx = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫45f(x) dx\int_{4}^{5} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Doğru seçenekte, her iki integral için de değişken değiştirme kuralları tam uygulanmış, sınırlar yeni değişkene göre doğru hesaplanmış ve integralin parçalanabilirliği kullanılarak 1 değeri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
u=2x−3  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x - 3 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} sınırları güncellersek; x=2  ⟹  u=1x = 2 \implies u = 1 ve x=4  ⟹  u=5x = 4 \implies u = 5 olur. Bu durumda, ∫15f(u)du2=8  ⟹  ∫15f(x) dx=16\int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 16 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) cinsinden yazarak sınırları belirlemek için.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
v=3x−2  ⟹  dv=3 dx  ⟹  dx=dv3v = 3x - 2 \implies dv = 3 \, dx \implies dx = \frac{dv}{3} sınırları güncellersek; x=1  ⟹  v=1x = 1 \implies v = 1 ve x=2  ⟹  v=4x = 2 \implies v = 4 olur. Bu durumda, ∫14f(v)dv3=5  ⟹  ∫14f(x) dx=15\int_{1}^{4} f(v) \frac{dv}{3} = 5 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 15 elde edilir.
İkinci integrali de f(x)f(x) cinsinden yazarak sınırları belirlemek için.
3
Elde edilen belirli integralleri kullanarak istenen integral değerini hesaplamak.
∫15f(x) dx=∫14f(x) dx+∫45f(x) dx \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx olduğundan, 16=15+∫45f(x) dx  ⟹  ∫45f(x) dx=1 16 = 15 + \int_{4}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{4}^{5} f(x) \, dx = 1 bulunur.
Belirli integralin aralık parçalama özelliğini kullanarak hedeflenen integrali bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 223Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(6−x)=6x−x2f(x) + f(6-x) = 6x - x^2
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫15f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 463\frac{46}{3}

Cevap

İntegralin doğru değeri olan 463\frac{46}{3} ifadesidir.
Değişken değiştirme yapılarak integral sınırları uyuşturulur ve ∫15f(x) dx=∫15f(6−x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(6-x) \, dx eşitliği elde edilir. Bu iki integral toplandığında integralin içi f(x)+f(6−x)=6x−x2f(x) + f(6-x) = 6x - x^2 olur. Belirli integralin değeri hesaplanıp ikiye bölündüğünde 463\frac{46}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralde u=6−xu = 6 - x değişken değiştirmesi yapılır.
dx=−dudx = -du olur. Sınırlar ise x=1⇒u=5x = 1 \Rightarrow u = 5 ve x=5⇒u=1x = 5 \Rightarrow u = 1 olarak güncellenir.
f(6−x)f(6-x) terimini elde etmek ve integral sınırlarının değişimini görmek için.
2
Yeni değişkenlerle integral yeniden yazılır ve sınırlar��n yönü düzenlenir.
∫15f(x) dx=∫51f(6−u) (−du)=∫15f(6−x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{5}^{1} f(6-u) \, (-du) = \int_{1}^{5} f(6-x) \, dx elde edilir.
Belirli integralin sınırlarının yer değiştirmesi durumunda işaret değiştirmesi özelliğini kullanmak için.
3
Elde edilen iki integral toplanır ve verilen fonksiyonel denklem yerine yaz��lır.
2∫15f(x) dx=∫15[f(x)+f(6−x)] dx=∫15(6x−x2) dx2 \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} [f(x) + f(6-x)] \, dx = \int_{1}^{5} (6x - x^2) \, dx olur.
f(x)+f(6−x)f(x) + f(6-x) ifadesinin cebirsel değerini integrale dahil edebilmek için.
4
Polinom integral hesabı yapılarak sınırlar yerine konur.
∫15(6x−x2) dx=[3x2−x33]15=1003−83=923\int_{1}^{5} (6x - x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{5} = \frac{100}{3} - \frac{8}{3} = \frac{92}{3} bulunur.
Belirli integralin sayısal değerini hesaplamak için.
5
Nihai integral değeri için her iki taraf ikiye bölünür.
∫15f(x) dx=463\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \frac{46}{3} elde edilir.
Toplam integralin iki katından tekil integral değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yardımıyla sınırlar güncellenerek fonksiyonel simetri özelliklerinin kullanılması.
Soru 224Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8
ve
∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2+1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İntegralin doğru değeri 6'dır.
Değişken değiştirme yöntemiyle u=x2+1u = x^2 + 1 seçildiğinde x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=2u=2 ve x=2x=2 için u=5u=5 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫25f(u) du\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du şekline dönüşür. Verilen ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 bilgisi kullanılarak sonuç 12⋅12=6\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen integralde değişken değiştirme uygulamak için uygun dönüşümü belirleyin.
u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir. Buradan x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du bulunur.
İntegral içerisindeki x2+1x^2 + 1 ifadesinin türevi olan 2x2x ifadesi (sabit katsayı farkıyla) integralin içinde çarpan olarak bulunmaktadır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni de��işken olan uu'ya göre güncelleyin.
Alt sınır için: x=1⇒u=12+1=2x = 1 \Rightarrow u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için: x=2⇒u=22+1=5x = 2 \Rightarrow u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene uyarlanması gerekir.
3
Dönüşümü integralde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
∫12x⋅f(x2+1) dx=∫25f(u)⋅12 du=12∫25f(u) du\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du elde edilir. Verilen ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 değeri yerine yazıldığında: 12⋅12=6\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 bulunur.
Elde edilen yeni belirli integral, verilen ikinci integralin değerine bağlıdır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.
Soru 225Soru →
f:[1,2]→Rf: [1, 2] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫128x2⋅f(2x) dx\int_{1}^{2} \frac{8}{x^2} \cdot f\left(\frac{2}{x}\right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

İntegralin değeri 48 olarak bulunur.
Dönüşüm kurallarına göre u=2xu = \frac{2}{x} seçildiğinde integral sınırları 22 ve 11 olur. Diferansiyel ifadesindeki eksi işareti sınırların sırasını tersine çevirmek için kullanıldığında integral pozitif 4 katına çıkar ve verilen değerle çarpılarak 48 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=2xu = \frac{2}{x} dönüşümü seçilir.
İntegral içindeki ff fonksiyonunun argümanını sadeleştirmek için bu dönüşüm gereklidir.
2
Dönü��ümün diferansiyeli hesaplanır.
du=−2x2 dx  ⟹  1x2 dx=−12 dudu = -\frac{2}{x^2} \, dx \implies \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegraldeki 1x2 dx\frac{1}{x^2} \, dx ifadesinin yerine uu cinsinden ne yazılacağını bulmak için diferansiyel alınır.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=1  ⟹  u=21=2x = 1 \implies u = \frac{2}{1} = 2 ve x=2  ⟹  u=22=1x = 2 \implies u = \frac{2}{2} = 1 olur.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
4
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılır ve hesaplanır.
∫128x2⋅f(2x) dx=8∫21f(u)⋅(−12 du)=−4∫21f(u) du=4∫12f(u) du\int_{1}^{2} \frac{8}{x^2} \cdot f\left(\frac{2}{x}\right) \, dx = 8 \int_{2}^{1} f(u) \cdot \left(-\frac{1}{2} \, du\right) = -4 \int_{2}^{1} f(u) \, du = 4 \int_{1}^{2} f(u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarının yer değiştirmesi integralin işaretini değiştirir.
5
Verilen integral değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.
4∫12f(u) du=4⋅12=484 \int_{1}^{2} f(u) \, du = 4 \cdot 12 = 48 bulunur.
Soruda verilen ∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12 eşitliği kullanılarak nihai değer hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 226Soru →
Bir ff fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu bilinmektedir.
∫−13f(x) dx=8\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 8
ve
∫13(f(x)−f(2−x)) dx=10\int_{1}^{3} \big(f(x) - f(2-x)\big) \, dx = 10
olduğuna göre, ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integralinin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İstenen belirli integralin değeri -1 olarak bulunur.
Verilen birinci integral aralık bölme özelliğiyle ∫−13f(x) dx=∫−11f(x) dx+∫13f(x) dx=8\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 şeklinde yazılır. İkinci integralde bulunan ∫13f(2−x) dx\int_{1}^{3} f(2-x) \, dx terimi, u=2−xu = 2-x dönüşümü yapıldığında sınırların ters dönmesi ve du=−dxdu = -dx eşitliğindeki eksinin sınırları düzeltmesiyle ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integraline eşit olur. Bu iki bağıntı ortak çözüldüğünde istenen integralin sonucu -1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanarak sınırları [−1,1][-1, 1] ve [1,3][1, 3] olarak ayıralım.
A=∫−11f(x) dxA = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx ve B=∫13f(x) dxB = \int_{1}^{3} f(x) \, dx olmak üzere A+B=8A + B = 8 denklemi elde edilir.
İntegrali verilen diğer sınırlarla ilişkilendirmek ve istenen [−1,1][-1, 1] aralığını ortaya çıkarmak için parçalama yapılır.
2
İkinci denklemdeki integralde lineerlik özelliğini kullanalım ve değişken değiştirme uygulayalım.
B−∫13f(2−x) dx=10B - \int_{1}^{3} f(2-x) \, dx = 10 olur. Burada u=2−xu = 2-x dönüşümüyle integral ∫−11f(x) dx=A\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = A biçimine gelir ve B−A=10B - A = 10 denklemi bulunur.
Parantez içindeki 2−x2-x ifadesini sadeleştirmek ve sınırları [−1,1][-1, 1] aralığına taşımak amacıyla değişken değiştirilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.
A+B=8A + B = 8 ve B−A=10B - A = 10 denklemlerinden A=−1A = -1 olarak hesaplanır.
Ortak çözüm yapılarak doğrudan aranan integralin sayısal değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde aralık bölme ve değişken değiştirme yöntemiyle sınırların güncellenmesi.
Soru 227Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫0ln⁡2f(x) dx=4\int_{0}^{\ln 2} f(x) \, dx = 4
ve
∫12f(x) dx=10\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫0ln⁡2ex⋅f(ex) dx\int_{0}^{\ln 2} e^x \cdot f(e^x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

10
Doğru cevap, u=exu = e^x dönüşümü yapılarak sınırların güncellenmesiyle elde edilen ifadedir. x=0x = 0 için u=1u = 1 ve x=ln⁡2x = \ln 2 için u=2u = 2 sınırları elde edilir. Böylece integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du şekline dönüşür ve bu değer soruda 10 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulamak için dönüşüm tanımlanır.
u=exu = e^x dönüşümü seçilir ve her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=ex dxdu = e^x \, dx elde edilir.
İntegral içindeki ex dxe^x \, dx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır: x=0  ⟹  u=e0=1x = 0 \implies u = e^0 = 1. Üst sınır: x=ln⁡2  ⟹  u=eln⁡2=2x = \ln 2 \implies u = e^{\ln 2} = 2.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre değiştirilmesi gerektiği için.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen bilgi kullanılarak sonuç hesaplanır.
∫0ln⁡2ex⋅f(ex) dx=∫12f(u) du=10\int_{0}^{\ln 2} e^x \cdot f(e^x) \, dx = \int_{1}^{2} f(u) \, du = 10
Dönüşüm sonrasında integralin ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx ifadesine eşit olduğu görülür ve bu değer soruda 10 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesinin hem de integral sınırlarının doğru bir şekilde güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 228Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=8\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8
∫37f(x) dx=18\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫24(3f(2x−3)−f(2x−1)) dx\int_{2}^{4} \Big( 3f(2x-3) - f(2x-1) \Big) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İntegralin doğru değeri 3'tür.
İntegral doğrusallık özelliği kullanılarak iki parçaya ayrılır. Her bir parçada ayrı ayrı değişken değiştirme uygulanır. Birinci terimde u=2x−3u = 2x-3 dönüşümüyle sınırlar 11 ve 55 olur; diferansiyel katsayısı 12\frac{1}{2} gelir. İkinci terimde v=2x−1v = 2x-1 dönüşümüyle sınırlar 33 ve 77 olur; diferansiyel katsayısı 12\frac{1}{2} gelir. Verilen integral değerleri yerine yazıldığında sonuç 12−9=312 - 9 = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusallık özelliğini kullanarak iki ayrı integral olarak yazalım.
∫24(3f(2x−3)−f(2x−1)) dx=3∫24f(2x−3) dx−∫24f(2x−1) dx\int_{2}^{4} \Big( 3f(2x-3) - f(2x-1) \Big) \, dx = 3 \int_{2}^{4} f(2x-3) \, dx - \int_{2}^{4} f(2x-1) \, dx
İntegral içindeki çıkarma ve sabit kat sayıları dışarı çıkarma özelliklerini uygulamak işlemleri kolaylaştırır.
2
Birinci integral olan ∫24f(2x−3) dx\int_{2}^{4} f(2x-3) \, dx ifadesinde u=2x−3u = 2x-3 dönüşümü yapalım.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  u=2(2)−3=1x=2 \implies u=2(2)-3=1 ve x=4  ⟹  u=2(4)−3=5x=4 \implies u=2(4)-3=5 olarak güncellenir. Böylece integral 12∫15f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du haline gelir.
İntegral sınırlarını yeni değişken cinsinden güncellemek belirli integralde değişken değiştirmenin temel kuralıdır.
3
İkinci integral olan ∫24f(2x−1) dx\int_{2}^{4} f(2x-1) \, dx ifadesinde v=2x−1v = 2x-1 dönüşümü yapalım.
dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar ise x=2  ⟹  v=2(2)−1=3x=2 \implies v=2(2)-1=3 ve x=4  ⟹  v=2(4)−1=7x=4 \implies v=2(4)-1=7 olarak güncellenir. Böylece integral 12∫37f(v) dv\frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv haline gelir.
Bu terim için de sınırları yeni değişken vv cinsinden güncelleriz.
4
Elde edilen yeni integrallerde verilen değerleri yerine yazarak sonucu hesaplayalım.
3⋅(12∫15f(u) du)−(12∫37f(v) dv)=3⋅(12⋅8)−(12⋅18)=12−9=33 \cdot \left( \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du \right) - \left( \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv \right) = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 8 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 18 \right) = 12 - 9 = 3 bulunur.
Verilen ∫15f(x) dx=8\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8 ve ∫37f(x) dx=18\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18 değerlerini yerleştirmek nihai sonuca ulaştırır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Doğrusallık
Soru 229Soru →

[0,4][0, 4] kapalı aralığında sürekli olan bir ff fonksiyonu için

∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6
∫13f(x+1) dx=8\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

∫01(3f(2x)+4x3) dx\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İstenen integralin değeri 7 olarak bulunur.
Değişken değiştirme kuralları ve integralin aralık bölme özelliği doğru uygulandığında, [0,2][0,2] aralığındaki belirli integral değeri 4 olarak bulunur. İstenen integralde de benzer şekilde w=2xw=2x değişken değiştirmesi yapıldığında integralin değeri 7 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integralde değişken değiştirme uygulamak
∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6 integralinde u=2xu = 2x dönüşümü yapıldığında du=2 dxdu = 2\,dx olur. Sınırlar x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 şeklinde güncellenir. Buradan 12∫04f(u) du=6\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6 elde edilir.
2
İkinci integralde değişken değiştirme uygulamak
∫24f(x) dx=8\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8
∫13f(x+1) dx=8\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8 integralinde v=x+1v = x+1 dönüşümü yapıldığında dv=dxdv = dx olur. Sınırlar x=1  ⟹  v=2x = 1 \implies v = 2 ve x=3  ⟹  v=4x = 3 \implies v = 4 şeklinde güncellenir.
3
Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini kullanmak
∫02f(x) dx=4\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4
∫04f(x) dx=∫02f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx özelliğinden yararlanarak bilinen değerler yerine yazılır: 12=∫02f(x) dx+812 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + 8 denkleminden aranan değer bulunur.
4
İstenen integrali parçalara ayırarak hesaplamak
77
∫01(3f(2x)+4x3) dx=3∫01f(2x) dx+∫014x3 dx\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx = 3 \int_{0}^{1} f(2x) \, dx + \int_{0}^{1} 4x^3 \, dx şeklinde yazılır. İlk kısım için w=2xw = 2x dönüşümüyle 3⋅(12∫02f(w) dw)=32⋅4=63 \cdot \left(\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(w) \, dw\right) = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6 elde edilir. İkinci kısım ise [x4]01=1\left[ x^4 \right]_0^1 = 1 olur. Bu iki değer toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integrasyon sınırlarının güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.
Soru 230Soru →

Gerçel sayılar kümesinin uygun alt kümelerinde tanımlı f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 ve g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1} fonksiyonlarının grafikleri, koordinat eksenleri ve y=5y = 5 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1243\frac{124}{3}

Cevap

İstenen sınırlı bölgenin alanı \frac{124}{3} birimkaredir.
Grafikler dik koordinat sisteminde çizildiğinde, aranan bölgenin alanı [0,26]×[0,5][0, 26] \times [0, 5] boyutlarındaki dikdörtgenden, sol üstte kalan ve alanı 163\frac{16}{3} olan bölge ile sağ altta kalan ve alanı 2503\frac{250}{3} olan bölgenin çıkarılmasıyla elde edilir. Bu fark 130−2663=1243130 - \frac{266}{3} = \frac{124}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların kesim noktalarını belirlemek için denklemleri kurarız.
f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 eğrisi ile y=5y = 5 doğrusunun kesim noktasının apsisi: x2+1=5  ⟹  x=2x^2 + 1 = 5 \implies x = 2 olur (birinci bölgede çalışıldığından). g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1} eğrisi ile y=5y = 5 doğrusunun kesim noktasının apsisi: \sqrt{x-1} = 5 \implies x - 1 = 25 \implies x = 26$ olur.
İntegral sınırlarını belirlemek ve bölgenin geometrik s��nırlarını anlamak için kesim noktaları gereklidir.
2
Aranan bölgenin alanını doğrudan x-eksenine göre entegre etmek yerine, [0,26]×[0,5][0, 26] \times [0, 5] dikdörtgeninin alanından istenmeyen bölgelerin alanlarını çıkarma stratejisini uygularız.
Çevreleyen dikdörtgenin alanı: 26×5=13026 \times 5 = 130 birimkaredir.
Bu yöntem, çok parçalı integral işlemlerinden kaçınarak çözümü kolaylaştırır.
3
Dikdörtgenin içinde kalan ama aradığımız bölgeye dahil olmayan iki yardımcı alanın (A1A_1 ve A2A_2) değerlerini hesaplarız.
Sol üstteki tamamlayıcı alan (A1A_1): yy-ekseni, y=5y = 5 doğrusu ve y=x2+1y = x^2 + 1 eğrisi aras��ndadır. f−1(y)=y−1f^{-1}(y) = \sqrt{y-1} kullanılarak: A1=∫15y−1 dy=[23(y−1)3/2]15=163A_1 = \int_{1}^{5} \sqrt{y-1} \, dy = \left[ \frac{2}{3}(y-1)^{3/2} \right]_{1}^{5} = \frac{16}{3} birimkare.
Sağ alttaki tamamlayıcı alan (A2A_2): g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1} eğrisi, xx-ekseni ve x=26x = 26 doğrusu arasındadır: A2=∫126x−1 dx=[23(x−1)3/2]126=2503A_2 = \int_{1}^{26} \sqrt{x-1} \, dx = \left[ \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} \right]_{1}^{26} = \frac{250}{3} birimkare.
İstenmeyen bu alanlar, ters fonksiyon ilişkisi ve temel belirli integral formülleriyle bulunur.
4
Dikdörtgenin toplam alanından bu iki alanı çıkartarak aradığımız alanı elde ederiz.
Alan = 130−(A1+A2)=130−(163+2503)=130−2663=1243130 - (A_1 + A_2) = 130 - \left( \frac{16}{3} + \frac{250}{3} \right) = 130 - \frac{266}{3} = \frac{124}{3} birimkare.
Hedef bölgenin alanı, dikdörtgen alanı ile diğer iki bölgenin farkına eşittir.

Anahtar Kavram

Ters fonksiyon ilişkileri ve dikdörtgen tamamlama (tamamlayıcı alan) yöntemiyle belirli integral yardımıyla alan hesabı.

Alternatif Yöntem

Aranan alan, y-eksenine göre integral alınarak da hesaplanabilir. y∈[0,5]y \in [0, 5] aralığında sağ sınır x=y2+1x = y^2 + 1 parabolü (g−1(y)g^{-1}(y)), sol sınır ise y∈[0,1]y \in [0, 1] için x=0x = 0 (y-ekseni) ve y∈[1,5]y \in [1, 5] için x=y−1x = \sqrt{y-1} (f−1(y)f^{-1}(y)) eğrisidir. Buradan alan integral ifadesi olarak:
Alan=∫01(y2+1) dy+∫15((y2+1)−y−1) dy\text{Alan} = \int_{0}^{1} (y^2 + 1) \, dy + \int_{1}^{5} \left( (y^2 + 1) - \sqrt{y-1} \right) \, dy
şeklinde kurulur. Bu ifade düzenlenerek:
Alan=∫05(y2+1) dy−∫15y−1 dy=1403−163=1243\text{Alan} = \int_{0}^{5} (y^2 + 1) \, dy - \int_{1}^{5} \sqrt{y-1} \, dy = \frac{140}{3} - \frac{16}{3} = \frac{124}{3}
elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 231Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=2\int_1^2 f(x) \, dx = 2
∫23f(x) dx=6\int_2^3 f(x) \, dx = 6
∫35f(x) dx=10\int_3^5 f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x−3) dx+∫24f(x−1) dx\int_2^3 f(2x-3) \, dx + \int_2^4 f(x-1) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegrallerin doğru dönüşümlerle hesaplanıp toplanması sonucu elde edilen 12 değeri doğru cevaptır.
İlk integralde u=2x−3u = 2x-3 dönüşümüyle sınırlar 11 ve 33 olur, diferansiyelden gelen 1/21/2 çarpanıyla integral değeri 44 bulunur. İkinci integralde v=x−1v = x-1 dönüşümüyle sınırlar 11 ve 33 olur ve integral değeri 88 bulunur. Bu iki değerin toplamı 12 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integral olan ∫23f(2x−3) dx\int_2^3 f(2x-3) \, dx için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=2x−3u = 2x-3 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=2x=2 için u=1u=1 ve x=3x=3 için u=3u=3 olarak güncellenir. Böylece integral 12∫13f(u) du\frac{1}{2} \int_1^3 f(u) \, du şeklini alır.
Belirli integralde değişken değiştirme kuralı uygulanırken diferansiyel ve sınırların yeni değişkene göre dönüştürülmesi zorunludur.
2
Elde edilen birinci integral, verilen integral değerleri ve belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak hesaplanır.
12∫13f(u) du=12(∫12f(x) dx+∫23f(x) dx)=12(2+6)=4\frac{1}{2} \int_1^3 f(u) \, du = \frac{1}{2} \left( \int_1^2 f(x) \, dx + \int_2^3 f(x) \, dx \right) = \frac{1}{2} (2 + 6) = 4 bulunur.
İntegral sınırları [1,3][1, 3] aralığında olduğu için bu aralık verilen [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarına bölünerek hesaplanır.
3
İkinci integral olan ∫24f(x−1) dx\int_2^4 f(x-1) \, dx için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
v=x−1v = x-1 dönüşümü yapıldığında dv=dxdv = dx olur. Sınırlar ise x=2x=2 için v=1v=1 ve x=4x=4 için v=3v=3 olarak güncellenir. Böylece integral ∫13f(v) dv\int_1^3 f(v) \, dv şeklini alır.
Yatay öteleme özelliği gereği integral sınırları fonksiyonun tanım kümesindeki kayma miktarı kadar sola ötelenir.
4
İkinci integral hesaplanır ve bulunan iki integral değeri toplanarak sonuca ulaşılır.
I2=∫13f(v) dv=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx=2+6=8I_2 = \int_1^3 f(v) \, dv = \int_1^2 f(x) \, dx + \int_2^3 f(x) \, dx = 2 + 6 = 8 bulunur. Toplam değer ise 4+8=124 + 8 = 12 olarak elde edilir.
Her iki integralin de sayısal değerleri bulunduktan sonra toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi ile integralin aralık bölme özelliği.
Soru 232Soru →
∫12x(x2−1)3 dx\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 818\frac{81}{8}

Cevap

818\frac{81}{8}
Doğru olan 818\frac{81}{8} cevabı, u=x2−1u = x^2 - 1 değişken değiştirmesi yapılıp diferansiyel x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} olarak yazıldıktan sonra sınırlar 00 ve 33 olacak şekilde güncellenerek yapılan integral hesabı ile bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x2−1u = x^2 - 1 dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} ifadesi elde edilir.
İntegral içerisindeki karmaşık ifadeyi daha basit bir formda entegre edebilmek için içteki fonksiyona yeni bir değişken atanır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12−1=0x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=22−1=3x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene uygun olarak değiştirilmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral hesaplanır.
∫03u3⋅du2=12[u44]03=18(34−04)=818\int_{0}^{3} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{8} (3^4 - 0^4) = \frac{81}{8} olarak hesaplanır.
İlkel fonksiyon bulunarak güncellenmiş sınırlar yerine yazılır ve belirli integralin değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel çarpanlarının doğru hesaplanması.
Soru 233Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Doğru yanıt olan değer, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x eğrisinin xx-eksenini kestiği sınır noktaları olan −2,0,2-2, 0, 2 değerlerine göre iki ayrı bölge halinde hesaplanan alanların toplamıdır. [−2,0][-2, 0] aralığındaki alan 4 birimkare ve [0,2][0, 2] aralığındaki alan 4 birimkare olup toplamda 8 birimkare yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun grafiğinin xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözelim.
x(x−2)(x+2)=0x(x-2)(x+2) = 0 denkleminden kökler x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Bu noktalar, integral hesaplamasında kullanacağımız sınırları ve bölgelerin sınırlarını belirler.
2
Fonksiyonun bu aralıklardaki işaretini inceleyerek hangi bölgenin xx-ekseninin üstünde, hangisinin altında kaldı��ını belirleyelim.
[−2,0][-2, 0] aralığında f(x)≥0f(x) \geq 0 (eksenin üstünde) ve [0,2][0, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \leq 0 (eksenin altında) olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanını hesaplarken integralin önüne eksi işareti koymamız gerekir.
3
Belirli integral yardımıyla alanları ayrı ayrı hesaplayalım.
[−2,0][-2, 0] aralığındaki alan A1=∫−20(x3−4x) dx=[x44−2x2]−20=4A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = 4 birimkare. [0,2][0, 2] aralığındaki alan A2=∫02−(x3−4x) dx=[−x44+2x2]02=4A_2 = \int_{0}^{2} -(x^3 - 4x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_{0}^{2} = 4 birimkaredir.
Her iki bölgenin alanını pozitif değerler olarak bulmak için integral işaretlerine dikkat edilmelidir.
4
Bulunan alan değerlerini toplayalım.
Atoplam=A1+A2=4+4=8A_{toplam} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8 birimkare elde edilir.
Eğri ile xx-ekseni arasında kalan toplam sınırlı alanı bulmak için tüm alt alanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan hesabı yapılırken, xx-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değerinin negatif çıkacağı göz önünde bulundurulmalı ve bu alanlar pozitif olacak şekilde integralin önüne eksi işareti getirilmelidir.

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun tek fonksiyon (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)) olduğu fark edilirse, [−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki bölgelerin alanlarının simetriden dolayı eşit olduğu görülür. Bu durumda sadece bir bölgenin alanını hesaplayıp 2 ile çarpmak süreyi kısaltır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 234Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫19f(x) dx=28\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 28
ve
∫35f(x) dx=12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫19f(2x+7)2x+7 dx\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Doğru cevap 12'dir. u=2x+7u = \sqrt{2x+7} dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=dx2x+7du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}} olur. İntegralin sınırları güncellendiğinde alt sınır 3, üst sınır 5 olur. Bu durumda integral ∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du haline gelir ve bu değer soruda 12 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali basitleştirmek amacıyla u=2x+7u = \sqrt{2x+7} değişken değiştirmesi uygulanır.
Diferansiyel alındığında du=122x+7⋅2 dx  ⟹  du=dx2x+7du = \frac{1}{2\sqrt{2x+7}} \cdot 2 \, dx \implies du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}} elde edilir.
İntegral içindeki ifadeyi yeni değişken uu cinsinden ifade edebilmek.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=2(1)+7=3x = 1 \implies u = \sqrt{2(1)+7} = 3 olur. Üst sınır için x=9  ⟹  u=2(9)+7=5x = 9 \implies u = \sqrt{2(9)+7} = 5 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene uygun şekilde değiştirilmesi zorunludur.
3
Dönüşüm ve yeni sınırlar integralde yerine yazılır.
∫19f(2x+7)2x+7 dx=∫35f(u) du\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx = \int_{3}^{5} f(u) \, du elde edilir. Soruda verilen ∫35f(x) dx=12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12 eşitliğinden bu integralin değeri 12 olarak bulunur.
Elde edilen yeni integral ifadesinin değeri, soruda verilen belirli integral bilgisi kullanılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının güncellenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 235Soru →

Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için f(1)=2f(1) = 2 ve f(5)=8f(5) = 8 eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,
∫13f′(2x−1)⋅[f(2x−1)]2 dx\int_{1}^{3} f'(2x-1) \cdot [f(2x-1)]^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

84 değeri doğrudur.
Dönüşüm u=f(2x−1)u = f(2x-1) olarak seçildiğinde diferansiyel du=2f′(2x−1)dxdu = 2f'(2x-1)dx olur ve integral sınırları x=1x=1 için u=2u=2, x=3x=3 için u=8u=8 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫28u2du\frac{1}{2} \int_{2}^{8} u^2 du haline gelir ve hesaplandığında 84 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel al��nır.
u=f(2x−1)u = f(2x-1) dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=2⋅f′(2x−1) dxdu = 2 \cdot f'(2x-1) \, dx elde edilir. Buradan f′(2x−1) dx=du2f'(2x-1) \, dx = \frac{du}{2} bulunur.
Verilen integrali u değişkenine bağlı daha kolay çözülebilir bir biçime dönüştürmek için.
2
Belirli integral sınırları yeni değişken u'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=f(2(1)−1)=f(1)=2x = 1 \Rightarrow u = f(2(1)-1) = f(1) = 2 olur. Üst sınır için x=3⇒u=f(2(3)−1)=f(5)=8x = 3 \Rightarrow u = f(2(3)-1) = f(5) = 8 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.
3
Yeni integral ifadesi oluşturulup hesaplanır.
∫28u2⋅du2=12[u33]28=16(83−23)=16(512−8)=5046=84\int_{2}^{8} u^2 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{2}^{8} = \frac{1}{6} (8^3 - 2^3) = \frac{1}{6} (512 - 8) = \frac{504}{6} = 84 elde edilir.
İntegral alma kuralları ve belirli integral hesaplama adımları uygulanarak nihai sayısal değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel alırken zincir kuralına (içinin türevine) dikkat edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 236Soru →

Şekildeki dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+4x−3f(x) = -x^2 + 4x - 3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafikte; f(x)f(x) eğrisi, koordinat eksenleri ve x=3x = 3 doğrusu aras��nda kalan boyalı S1S_1 ve S2S_2 bölgelerinin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 83\frac{8}{3}

Cevap

Boyalı bölgelerin alanları toplamı 83\frac{8}{3} birimkaredir.
Doğru cevap olan 83\frac{8}{3} değeri, parabolün [0,1][0,1] aralığında x-ekseninin altında kalan bölgesinin alanını (S1=43S_1 = \frac{4}{3}) ve [1,3][1,3] aralığında x-ekseninin üstünde kalan bölgesinin alanını (S2=43S_2 = \frac{4}{3}) ayrı ayrı hesaplayıp toplayarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları (kökleri) bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözeriz.
−x2+4x−3=0⇒−(x−1)(x−3)=0-x^2 + 4x - 3 = 0 \Rightarrow -(x-1)(x-3) = 0 denkleminden sınır noktaları x=1x = 1 ve x=3x = 3 bulunur.
İntegral sınırlarını belirlemek ve fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları bulmak gerekir.
2
[0,3][0, 3] aralığını fonksiyonun işaretine göre parçalarız.
[0,1][0, 1] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan bu bölgenin alanı S1=∫01−f(x) dxS_1 = \int_0^1 -f(x) \, dx ve [1,3][1, 3] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan bu bölgenin alanı S2=∫13f(x) dxS_2 = \int_1^3 f(x) \, dx olur.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin negatif çıkmaması için fonksiyonun önüne eksi konulmalıdır.
3
S1S_1 bölgesinin alanını belirli integral yardımıyla hesaplarız.
S1=∫01(x2−4x+3) dx=[x33−2x2+3x]01=13−2+3=43S_1 = \int_0^1 (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3} birimkare.
[0,1][0, 1] aralığındaki alan değerini bulmak.
4
S2S_2 bölgesinin alanını belirli integral yardımıyla hesaplarız.
S2=∫13(−x2+4x−3) dx=[−x33+2x2−3x]13=(−9+18−9)−(−13+2−3)=0−(−43)=43S_2 = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_1^3 = ( -9 + 18 - 9 ) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} birimkare.
[1,3][1, 3] aralığındaki alan değerini bulmak.
5
S1S_1 ve S2S_2 alanlarını toplayarak toplam alanı elde ederiz.
S1+S2=43+43=83S_1 + S_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} birimkare.
Toplam boyalı alanı bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan alan hesaplanırken, eğrinin x-ekseninin altında kalan bölgedeki integralinin negatif değer alacağı unutulmamalı ve bu aralıkta alan bulmak için integralin önüne eksi (-) işareti getirilmelidir.

Alternatif Yöntem

Parabolün tepe noktası olan x=2x = 2 doğrusu simetri eksenidir. Bu eksene göre [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarındaki alanlar birbirine eşittir. Sadece [1,2][1, 2] aralığındaki integral hesaplanıp 2 ile çarpılarak S2S_2 alanı daha hızlı bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 237Soru →
[3,7][3, 7] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(2x+1) dx\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx
belirli integralinde u=2x+1u = 2x + 1 dönü��ümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫3712f(u) du\int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du

Cevap

doğru dönüşüm sonucunda elde edilen \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du ifadesidir.
Belirli integralde u=2x+1u = 2x + 1 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=12 dudu = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=3u=3 ve x=3x=3 için u=7u=7 olarak güncellenir. Bu ifadeler yerine yazıldığında doğru dönüşüm ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlaması ve diferansiyel hesabı yapılır.
u=2x+1u = 2x + 1 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2 dx  ⟹  dx=12 dudu = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki ifadeyi tek bir değişken cinsinden yazmak ve diferansiyel bağıntısını kurmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene (uu) göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=2(1)+1=3x = 1 \implies u = 2(1) + 1 = 3 ve üst sınır için x=3  ⟹  u=2(3)+1=7x = 3 \implies u = 2(3) + 1 = 7 olarak bulunur.
İntegrasyon değişkeni x'ten u'ya geçtiği için sınır değerlerinin de u değişkenine göre hesaplanması gerekir.
3
Dönüşümler ve yeni sınırlar orijinal integralde yerine yazılarak integral düzenlenir.
∫13f(2x+1) dx=∫37f(u)⋅12 du=∫3712f(u) du\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx = \int_{3}^{7} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du elde edilir.
Değişken değiştirme işlemini tamamlayarak integralin eşdeğerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 238Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=2f(0) = 2
f(12)=8f\left(\frac{1}{2}\right) = 8
f(π6)=5f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫0π/6cos⁡(x)⋅f′(sin⁡(x)) dx\int_{0}^{\pi/6} \cos(x) \cdot f'(\sin(x)) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
İntegral u=sin⁡(x)u = \sin(x) değişken değiştirmesiyle sınırları [0,1/2][0, 1/2] olan ∫01/2f′(u) du\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du integraline dönüşür. Bu integralin sonucu f(1/2)−f(0)=8−2=6f(1/2) - f(0) = 8 - 2 = 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemini uygulamak için uygun bir dönüşüm belirlenir.
u=sin⁡(x)u = \sin(x) dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx elde edilir.
İntegral içindeki cos⁡(x) dx\cos(x) \, dx ifadesini dudu cinsinden yazarak integrali basitleştirmek amacıyla bu dönüşüm gereklidir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡(0)=0x = 0 \implies u = \sin(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/6  ⟹  u=sin⁡(π/6)=12x = \pi/6 \implies u = \sin(\pi/6) = \frac{1}{2} olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınırlarla integral uu değişkenine bağlı olarak yazılır ve hesaplanır.
∫01/2f′(u) du=[f(u)]01/2=f(12)−f(0)\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1/2} = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0) elde edilir. Değerler yerine yazıldığında: 8−2=68 - 2 = 6 bulunur.
Türevi f′(u)f'(u) olan fonksiyon f(u)f(u)'dur. Belirli integralin temel teoremine göre sınır değerleri fonksiyonda yerine yazılarak farkı alınır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Soru 239Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫23(2x−3)⋅f(x2−3x+5) dx\int_{2}^{3} (2x - 3) \cdot f(x^2 - 3x + 5) \, dx
belirli integralinde u=x2−3x+5u = x^2 - 3x + 5 değişken değiştirmesi yapılıyor.

Buna göre, elde edilen yeni integral aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du

Cevap

Sınırları 3'ten 5'e olan f(u) du integrali
Verilen integralde u=x2−3x+5u = x^2 - 3x + 5 dönüşümü yapıldığında her iki tarafın diferansiyeli alınırsa du=(2x−3) dxdu = (2x - 3)\,dx elde edilir. Bu durum integral içindeki (2x−3) dx(2x - 3)\,dx ifadesinin doğrudan dudu ile yer değiştireceğini gösterir. Ardından sınırlar güncellenir: Alt sınır olan x=2x = 2 değeri dönüşüm denkleminde yerine yazıldığında u=3u = 3, üst sınır olan x=3x = 3 değeri yazıldığında ise u=5u = 5 bulunur. Böylece integral sınırları 3'ten 5'e olan f(u) duf(u)\,du integraline dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel ifadesini bulunuz.
u=x2−3x+5⇒du=(2x−3) dxu = x^2 - 3x + 5 \Rightarrow du = (2x - 3) \, dx
İntegral içerisindeki (2x−3) dx(2x-3)\,dx ifadesini yeni değişken cinsinden yazmak için diferansiyel hesabı yapılır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişkene göre güncelleyiniz.
Alt sınır için x=2⇒u=22−3(2)+5=3x = 2 \Rightarrow u = 2^2 - 3(2) + 5 = 3
Üst sınır için x=3⇒u=32−3(3)+5=5x = 3 \Rightarrow u = 3^2 - 3(3) + 5 = 5
Belirli integralde değişken değiştiğinde, sınır değerlerin de yeni değişkene göre karşılıklarının hesaplanması gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri orijinal integralde yerine yazınız.
∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du
Eski değişken xx cinsinden olan tüm terimler ve sınırlar, yeni değişken uu cinsinden olan karşılıklarıyla değiştirilerek nihai integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel dönüşümünün eksiksiz yapılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 240Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=4f(1) = 4
f(2)=10f(2) = 10
f(4)=15f(4) = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫14f′(x)x dx\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Değişken değiştirme yöntemiyle integral 2∫12f′(u) du2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du biçimine dönüşür. Bu integralin değeri 2[f(2)−f(1)]=2(10−4)=122[f(2) - f(1)] = 2(10 - 4) = 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yap��lması ve diferansiyelinin bulunması.
du=12x dx  ⟹  dxx=2 dudu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du elde edilir.
İntegraldeki değişkenleri uu cinsinden ifade etmek için.
2
İntegral sınırlarının güncellenmesi.
Alt sınır x=1x=1 için u=1u=1 ve üst sınır x=4x=4 için u=2u=2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İntegralin yeni değişkenle hesaplanması ve değerinin bulunması.
∫14f′(x)x dx=2∫12f′(u) du=2[f(2)−f(1)]=2(10−4)=12\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du = 2[f(2) - f(1)] = 2(10 - 4) = 12 olarak hesaplanır.
İntegral değerini verilen fonksiyon değerleri cinsinden bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ile birlikte sınırların da güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 12 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 12 | Examkin