Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 121Soru →

Dik koordinat düzleminde, aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x2−a2f(x) = x^2 - a^2
g(x)=a2−x2g(x) = a^2 - x^2

parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 7272 birimkaredir.

Buna göre, bu parabollerin kesim noktalarından çizilen teğet doğrularının oluşturduğu sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 108

Cevap

Parabollerin kesim noktalarındaki teğet doğrularının oluşturduğu sınırlı bölgenin alanı 108 birimkaredir.
Parabollerin kesişim noktaları x=±3x = \pm 3 olup, bu noktalardan çizilen teğet doğruları y=±6x±18y = \pm 6x \pm 18 denklemlerine sahiptir. Bu doğrular analitik düzlemde köşegen uzunlukları 6 ve 36 birim olan bir eşkenar dörtgen oluşturur. Eşkenar dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarısı olduğundan, alan 108 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesim noktalarının apsislerini bulmak için f(x)=g(x)f(x) = g(x) ortak çözüm denklemini oluşturun.
x2−a2=a2−x2⇒2x2=2a2⇒x=±ax^2 - a^2 = a^2 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2a^2 \Rightarrow x = \pm a (kesim noktalarının apsisleridir).
İntegral sınırlarını belirlemek ve alanı aa parametresine bağlı olarak ifade etmek amacıyla kesim noktaları bulunur.
2
İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla aa cinsinden hesaplayın.
S=∫−aa(g(x)−f(x)) dx=∫−aa(2a2−2x2) dx=[2a2x−23x3]−aa=83a3S = \int_{-a}^{a} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-a}^{a} (2a^2 - 2x^2) \, dx = \left[ 2a^2 x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-a}^{a} = \frac{8}{3}a^3
Sınırlar dahilinde üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak alan formüle edilir.
3
Hesaplanan alan ifadesini verilen alan değerine (7272) eşitleyerek aa sabitini bulun.
83a3=72⇒a3=27⇒a=3\frac{8}{3}a^3 = 72 \Rightarrow a^3 = 27 \Rightarrow a = 3
Parabollerin net denklemlerini yazabilmek ve teğet noktalarını saptayabilmek için aa değeri hesaplanmalıdır.
4
Parabollerin kesim noktalarını yazın ve bu noktalardaki teğet doğrularının eğimlerini türev yardımıyla hesaplayın.
Kesim noktaları A(−3,0)A(-3, 0) ve B(3,0)B(3, 0) olarak bulunur. Parabollerin türevleri f′(x)=2xf'(x) = 2x ve g′(x)=−2xg'(x) = -2x olup, x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimleri 66 ve −6-6, x=−3x = -3 noktasındaki teğet eğimleri ise −6-6 ve 66 olur.
Teğet doğrularının denklemlerini kurabilmek için teğet noktalarındaki türev değerleri (eğimler) belirlenmelidir.
5
Teğet doğrularının denklemlerini yazın ve kesişim noktalarından oluşan kapalı bölgeyi belirleyin.
Teğet doğrularının denklemleri y=±6(x±3)y = \pm 6(x \pm 3) yani y=±6x±18y = \pm 6x \pm 18 şeklindedir. Bu doğruların kesişim noktaları (0,18)(0, 18), (3,0)(3, 0), (0,−18)(0, -18) ve (−3,0)(-3, 0) olan bir eşkenar dörtgen oluşturur.
Oluşan geometrik şeklin sınırlarını ve köşegen uzunluklarını belirlemek için teğet doğrularının kesişim noktaları bulunur.
6
Eşkenar dörtgenin alanını köşegen uzunluklarını çarparak hesaplayın.
Yatay köşegen uzunluğu d1=6d_1 = 6 birim, dikey köşegen uzunluğu d2=36d_2 = 36 birimdir. Alan = d1⋅d22=6⋅362=108\frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 36}{2} = 108 birimkaredir.
Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral yardımıyla hesaplanması, türev ile teğet doğrusunun eğiminin bulunması ve analitik düzlemde teğetlerin oluşturduğu bölgenin alan hesabı.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, teğet doğrularının oluşturduğu şeklin birinci bölgedeki kısmının alanını hesaplayıp, şeklin x ve y eksenlerine göre simetrik olmasından faydalanarak bu alanı 4 ile çarpabilirsiniz. Birinci bölgedeki üçgenin köşeleri (0,0)(0,0), (3,0)(3,0) ve (0,18)(0,18) olmadığından, teğet doğrularının sınırladığı dik üçgenin alanı 12⋅3⋅18=27\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 18 = 27 birimkaredir. 4 eş üçgenin toplam alanı 27⋅4=10827 \cdot 4 = 108 birimkare olarak elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 122Soru →

[a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir ff fonksiyonunun, bu aralığın eş alt aralıklara bölünmesiyle elde edilen herhangi bir düzgün bölüntüsüne göre hesaplanan sol Riemann toplamı, ff fonksiyonunun bu bölüntüye ait Riemann alt toplamına her zaman eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Sürekli ve artan bir fonksiyonun her alt aralıktaki en küçük değeri aralığın sol sınırında oluşur. Riemann alt toplamı bu minimum değerleri kullandığından, sol uç noktaları kullanan sol Riemann toplamı ile birebir aynı değeri verir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıklardaki uç noktaların fonksiyon değerlerini analiz etme
ff fonksiyonu sürekli ve artan olduğundan, her bir [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında fonksiyonun minimum değeri sol uç noktada gerçekleşir, yani mi=f(xi−1)m_i = f(x_{i-1}) olur.
Artan fonksiyonlar��n tanımı gereği, aralıktaki daha küçük girdiler daha küçük çıktılar üretir.
2
Riemann alt toplamının formülünü yazma
nn alt aralıktan oluşan bir düzgün bölüntü için Riemann alt toplamı A=∑i=1nmiΔx=∑i=1nf(xi−1)ΔxA = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x şeklindedir.
Riemann alt toplamı, alt aralıkların genişliği ile o aralıktaki minimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
3
Sol Riemann toplamının formülünü yazıp karşılaştırma
Sol Riemann toplamı, her bir alt aralığın sol uç noktasındaki değer olan f(xi−1)f(x_{i-1}) ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamıdır: S=∑i=1nf(xi−1)ΔxS = \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x. Buradan A=SA = S olduğu görülür.
Her iki toplam da aynı terimlerin toplamından oluştuğu için birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı ile sol Riemann toplamının özdeşliği
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 123Soru →

Analitik düzlemde, f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x ve g(x)=2x−x2g(x) = 2x - x^2 fonksiyonlarının grafikleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
İki parabolün kesim noktaları x=0x=0 ve x=3x=3 olarak bulunur. Bu aralıkta g(x)=2x−x2g(x) = 2x-x^2 parabolü üstte yer aldığından alan ∫03(g(x)−f(x)) dx=9\int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx = 9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesim noktalarını belirlemek amacıyla iki fonksiyonun denklemini birbirine eşitleyin.
x2−4x=2x−x2  ⟹  2x2−6x=0  ⟹  2x(x−3)=0x^2 - 4x = 2x - x^2 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0 denkleminden kesim noktalarının apsisleri x=0x = 0 ve x=3x = 3 olarak bulunur.
İki eğri arasında sınırlanan bölgenin x eksenindeki sınırlarını tespit etmek için kesim noktaları hesaplanmalıdır.
2
Bulunan [0,3][0, 3] aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu test edin.
x=1x = 1 için g(1)=1g(1) = 1 ve f(1)=−3f(1) = -3 olduğundan, [0,3][0, 3] aralığında g(x)≥f(x)g(x) \ge f(x)'dir.
Alan hesabında pozitif bir değer elde etmek için üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulmalıdır.
3
Eğriler arasında kalan alanı veren belirli integrali yazın.
A=∫03(g(x)−f(x)) dx=∫03(2x−x2−(x2−4x)) dx=∫03(6x−2x2) dxA = \int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_0^3 (2x - x^2 - (x^2 - 4x)) \, dx = \int_0^3 (6x - 2x^2) \, dx
İki eğri arasındaki alan, üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen farkın belirli integrali ile hesaplanır.
4
Belirli integrali hesaplayarak alan değerini bulun.
∫03(6x−2x2) dx=[3x2−23x3]03=(3(3)2−23(3)3)−0=(27−18)−0=9\int_0^3 (6x - 2x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^3 = \left( 3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3 \right) - 0 = (27 - 18) - 0 = 9 birimkare.
Newton-Leibniz kuralı gereğince ilkel fonksiyon bulunup sınırlar yerine yazılır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın belirli integral kullanılarak hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 124Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2f(x) = x^2 parabolü ile g(x)=2xg(x) = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43\frac{4}{3}

Cevap

Sınırlandırılmış bölgenin alanı 4/3 birimkaredir.
Kesişim noktaları olan x=0x=0 ve x=2x=2 sınırları arasında, üstte yer alan y=2xy=2x doğrusu ile altta yer alan y=x2y=x^2 parabolünün farkının integrali alındığında bölgenin alanı 4/3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için fonksiyonları birbirine eşitleyin.
x2=2x  ⟹  x2−2x=0  ⟹  x(x−2)=0x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0
İki eğri arasında kalan alanın sınırlarını (entegrasyon limitlerini) belirlemek amacıyla kesişim noktalarının apsisleri hesaplanır.
2
Kesişim noktalarını bulun.
x1=0x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2
Elde edilen denklemin kökleri entegrasyonun alt ve üst sınırlarını oluşturur.
3
Belirlenen aralıkta hangi fonksiyonun üstte olduğunu tespit edin ve alanı veren belirli integrali yazın.
[0,2][0, 2] aralığında 2x≥x22x \geq x^2 olduğundan, Alan = ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx
İki eğri arasındaki alan hesaplanırken üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak entegre edilir.
4
Belirli integrali hesaplayarak alanı bulun.
S=[x2−x33]02=(22−233)−0=4−83=43S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
İntegral alma kuralları uygulanarak alanın sayısal değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktalarının belirlediği aralıkta üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılarak elde edilen belirli integral ile hesaplanır.
Soru 125Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′f' olmak üzere, her x≠1x \neq 1 gerçel sayısı için
f′(x)=3x3−3x2+2x−2x−1f'(x) = \frac{3x^3 - 3x^2 + 2x - 2}{x - 1}
eşitliği verilmiştir.
f(2)=10f(2) = 10
olduğuna göre, f(1)f(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Verilen rasyonel türev ifadesi sadeleştirildiğinde f′(x)=3x2+2f'(x) = 3x^2 + 2 elde edilir. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=x3+2x+Cf(x) = x^3 + 2x + C olur. f(2)=10f(2) = 10 sınır koşulu kullanılarak C=−2C = -2 bulunur. Dolayısıyla f(x)=x3+2x−2f(x) = x^3 + 2x - 2 fonksiyonunda x=1x=1 yazıldığında sonuç 1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Türev ifadesini sadeleştirme
f′(x)=3x2+2f'(x) = 3x^2 + 2 (x≠1x \neq 1 için)
Rasyonel ifadenin payını 3x2(x−1)+2(x−1)3x^2(x - 1) + 2(x - 1) şeklinde gruplandırarak paydadaki x−1x - 1 terimi ile sadeleştiririz.
2
Belirsiz integral alarak f(x) fonksiyonunu bulma
f(x)=x3+2x+Cf(x) = x^3 + 2x + C
Polinom fonksiyonların integral alma kuralı (xnx^n için xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}) uygulanır ve belirsiz integral sabiti olan CC eklenir.
3
Sınır koşulunu kullanarak C integral sabitini hesaplama
C=−2C = -2
f(2)=10f(2) = 10 bilgisi fonksiyonda yerine yazılır: 23+2(2)+C=10  ⟹  12+C=102^3 + 2(2) + C = 10 \implies 12 + C = 10 eşitliğinden C=−2C = -2 elde edilir.
4
f(1) değerini hesaplama
f(1)=1f(1) = 1
Bulunan f(x)=x3+2x−2f(x) = x^3 + 2x - 2 fonksiyonunda x=1x = 1 yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral kuralları ve başlangıç değer koşulu yardımıyla kendisinin bulunması
Soru 126Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun yerel minimum noktası (2,−5)(2, -5)'tir.

f(x)=∫x6−64x4+4x2+16 dxf(x) = \int \frac{x^6 - 64}{x^4 + 4x^2 + 16} \, dx

olduğuna göre, f(−1)f(-1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İntegral sadeleştirilip hesaplandığında elde edilen fonksiyonun yerel minimum noktası yardımıyla integral sabiti C=1/3C = 1/3 bulunur. Bu durumda f(−1)f(-1) değeri 44 olmalıdır.
İntegral içerisindeki ifade iki küp farkı özdeşliği ile sadeleştirildiğinde f′(x)=x2−4f'(x) = x^2 - 4 olur. Buradan integral alındığında f(x)=x33−4x+Cf(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + C elde edilir. Türevin işaret tablosuna göre yerel minimum noktası x=2x=2 apsisinde gerçekleşir. (2,−5)(2, -5) noktası fonksiyon denkleminde yerine yazıldığında C=1/3C = 1/3 bulunur. Bu fonksiyon denkleminde x=−1x = -1 yazıldığında sonuç 44 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki rasyonel ifadenin pay kısmını iki küp farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırma
x6−64=(x2)3−43=(x2−4)(x4+4x2+16)x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16) olarak yazılır.
Payda ile sadeleşme sağlayarak integrali daha basit bir polinom haline getirmek amaçlanır.
2
Rasyonel ifadeyi sadeleştirme ve integral alma işlemini gerçekleştirme
f(x)=∫(x2−4)(x4+4x2+16)x4+4x2+16 dx=∫(x2−4) dx=x33−4x+Cf(x) = \int \frac{(x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16)}{x^4 + 4x^2 + 16} \, dx = \int (x^2 - 4) \, dx = \frac{x^3}{3} - 4x + C elde edilir.
Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel kuralı integral sabiti CC ile birlikte bulunur.
3
Fonksiyonun türevi yardımıyla yerel minimum noktasının apsisini belirleme
f′(x)=x2−4=0  ⟹  x=2f'(x) = x^2 - 4 = 0 \implies x = 2 veya x=−2x = -2. İşaret tablosuna göre türev x=2x = 2 noktasında negatiften pozitife geçtiği için bu nokta yerel minimum apsisidir.
Soruda verilen yerel minimum noktasının hangi xx değerine karşılık geldiğini tespit etmek gerekir.
4
Yerel minimum noktasının koordinatlar��nı fonksiyonda yerine yazarak CC sabitini hesaplama
f(2)=−5  ⟹  233−4(2)+C=−5  ⟹  83−8+C=−5  ⟹  C=13f(2) = -5 \implies \frac{2^3}{3} - 4(2) + C = -5 \implies \frac{8}{3} - 8 + C = -5 \implies C = \frac{1}{3} bulunur.
Fonksiyon grafiği üzerindeki bir nokta, fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.
5
f(−1)f(-1) değerini hesaplama
f(−1)=(−1)33−4(−1)+13=−13+4+13=4f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 4(-1) + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} + 4 + \frac{1}{3} = 4 bulunur.
Elde edilen tam fonksiyon denkleminde istenen girdi yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki küp farkı yardımıyla rasyonel ifadeleri sadeleştirerek belirsiz integral alma ve türevin yerel ekstremum özelliklerini kullanarak integral sabitini bulma.
Soru 127Soru →

Diferansiyellenebilir bir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu için f(1)=0f(1) = 0 ve f(2)=3f(2) = \sqrt{3} eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,
∫ee2f(ln⁡x)⋅f′(ln⁡x)x1+f2(ln⁡x) dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x) \cdot f'(\ln x)}{x \sqrt{1 + f^2(\ln x)}} \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İntegralin değeri 1'dir.
İntegral sırasıyla u=ln⁡xu = \ln x ve t=1+f2(u)t = 1 + f^2(u) değişken değiştirmeleriyle çözülür. İlk adımda sınırlar [1,2][1, 2] aralığına, ikinci adımda ise [1,4][1, 4] aralığına güncellenir. Diferansiyel geçişinde oluşan yarım katsayısı ile integralin integrali olan 2t2\sqrt{t} terimi çarpıldığında t\sqrt{t} elde edilir. Sınırlar yerine yazıldığında doğru sonuç 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk değişken değiştirmeyi uygulayalım.
u=ln⁡xu = \ln x dönüşümü yapılırsa du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx olur.
İntegral içindeki ln⁡x\ln x ifadesini sadeleştirmek ve diferansiyel terimini elde etmek için.
2
��lk dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için x=e  ⟹  u=ln⁡(e)=1x = e \implies u = \ln(e) = 1 ve üst sınır için x=e2  ⟹  u=ln⁡(e2)=2x = e^2 \implies u = \ln(e^2) = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İntegrali yeni değişken cinsinden yeniden yazalım.
İntegralimiz ∫12f(u)⋅f′(u)1+f2(u) du\int_{1}^{2} \frac{f(u) \cdot f'(u)}{\sqrt{1 + f^2(u)}} \, du şekline dönüşür.
Elde edilen tüm terimleri yerine koymak için.
4
İkinci değişken değiştirmeyi uygulayalım.
t=1+f2(u)t = 1 + f^2(u) dönüşümü yapılırsa, diferansiyel dt=2f(u)f′(u)du  ⟹  f(u)f′(u)du=12dtdt = 2f(u)f'(u)du \implies f(u)f'(u)du = \frac{1}{2} dt olur.
Kareköklü ifadeyi ve pay kısmını sadeleştirmek için.
5
İkinci dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için u=1  ⟹  t=1+f2(1)=1+02=1u = 1 \implies t = 1 + f^2(1) = 1 + 0^2 = 1 ve üst sınır için u=2  ⟹  t=1+f2(2)=1+(3)2=4u = 2 \implies t = 1 + f^2(2) = 1 + (\sqrt{3})^2 = 4 olur.
Yeni değişken tt için sınırları belirlemek amacıyla.
6
İntegrali tt değişkenine göre hesaplayalım.
∫1412dtt=12∫14t−1/2dt=12[2t]14=[t]14=4−1=2−1=1\int_{1}^{4} \frac{\frac{1}{2} dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \left[ \sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1 bulunur.
Belirli integralin değerini nihai olarak hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde ardışık değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının her adımda doğru şekilde güncellenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 128Soru →
kk pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, [0,2][0, 2] kapalı aralığında tanımlı
f(x)=k(4−x2)f(x) = k(4 - x^2)
fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralığı, her birinin uzunluğu 11 birim olan 22 eş alt aralığa bölünüyor.

Bu bölüntüye göre elde edilen Riemann üst toplamı ile ff fonksiyonunun [0,2][0, 2] aral��ğındaki belirli integralinin değeri arasındaki fark 55 birimkaredir.

Buna göre, kk değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

3
Riemann üst toplamı sol uç noktalar kullanılarak U¨=7kÜ = 7k olarak hesaplanır. Fonksiyonun [0,2][0, 2] aralığındaki belirli integralinin değeri ise I=163kI = \frac{16}{3}k bulunur. Bu iki değer arasındaki fark olan 53k\frac{5}{3}k ifadesi 55'e eşitlendiğinde k=3k = 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
[0,2][0, 2] aralığını 22 eş alt aralığa bölüp Riemann üst toplamını (U¨Ü) ifade edelim.
Alt aralık uzunluğu Δx=2−02=1\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1 birimdir. Alt aralıklar [0,1][0, 1] ve [1,2][1, 2] olur. f(x)=k(4−x2)f(x) = k(4-x^2) fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında azalan olduğundan, her bir aralıktaki maksimum değer sol uç noktalarda elde edilir. Buradan Riemann üst toplamı:
U¨=Δx⋅(f(0)+f(1))=1⋅(4k+3k)=7kÜ = \Delta x \cdot (f(0) + f(1)) = 1 \cdot (4k + 3k) = 7k olarak bulunur.
Azalan fonksiyonlarda Riemann üst toplamını bulmak için alt aralıkların sol uç noktalarındaki fonksiyon değerleri kullanılır.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun [0,2][0, 2] aralı��ındaki belirli integralini (II) hesaplayalım.
I=∫02k(4−x2)dx=k[4x−x33]02=k(8−83)=163kI = \int_{0}^{2} k(4 - x^2) dx = k \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = k \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3}k bulunur.
Eğrinin altında kalan net alanın değerini bulmak için belirli integral hesabı yapılır.
3
Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki farkı 55'e eşitleyerek kk değerini çözelim.
U¨−I=7k−163k=53kÜ - I = 7k - \frac{16}{3}k = \frac{5}{3}k
53k=5  ⟹  k=3\frac{5}{3}k = 5 \implies k = 3 elde edilir.
Soruda verilen fark ilişkisi kullanılarak bilinmeyen kk parametresi bulunur.

Anahtar Kavram

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 129Soru →
∫13f(2x−1) dx\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx belirli integraline u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında elde edilen yeni integral ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫15f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du

Cevap

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni integral ifadesi ön katsayıs�� yarım olan ve 1 ile 5 sınırları arasında yer alan integraldir.
Verilen integralde u = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında, diferansiyel hesabı dx = du/2 sonucunu verir. İntegralin alt sınırı olan x = 1 değeri için u = 1, üst sınırı olan x = 3 değeri için u = 5 elde edilir. Bu değerler integralde yerine yazılıp 1/2 katsayısı integralin dışına alındığında, aranan yeni ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm ifadesinin diferansiyeli alınır.
u=2x−1⇒du=2 dxu = 2x - 1 \Rightarrow du = 2 \, dx elde edilir. Buradan dx=du2dx = \frac{du}{2} bulunur.
İntegral içerisindeki dx ifadesini yeni değişken u cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integral sınırları güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=2(1)−1=1x = 1 \Rightarrow u = 2(1) - 1 = 1 olur. Üst sınır için x=3⇒u=2(3)−1=5x = 3 \Rightarrow u = 2(3) - 1 = 5 olur.
Değişken değiştiği için entegrasyon sınırlarının da yeni u değişkenine göre ayarlanması gerekir.
3
Elde edilen veriler orijinal integralde yerine yazılır.
∫13f(2x−1) dx=∫15f(u)⋅du2=12∫15f(u) du\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du elde edilir.
Tüm bileşenler yeni değişken u cinsine çevrilerek dönüşüm işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 130Soru →

Dik koordinat düzleminde, y=x2−4xy = x^2 - 4x eğrisi ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 323\frac{32}{3}

Cevap

İstenen alan 323\frac{32}{3} birimkaredir.
Parabolün xx-eksenini kestiği noktalar x=0x=0 ve x=4x=4 olup bu aralıkta parabol xx-ekseninin altındadır. Bu nedenle alan, −∫04(x2−4x) dx-\int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx integraline eşittir ve sonucu 323\frac{32}{3} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları belirlemek için denklemi sıfıra eşitleriz.
x2−4x=0  ⟹  x(x−4)=0  ⟹  x=0x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0 \implies x = 0 ve x=4x = 4 bulunur.
Bu noktalar belirli integralin alt ve üst sınırlarını oluşturur.
2
Parabolün [0,4][0, 4] aralığındaki konumunu belirleriz.
[0,4][0, 4] aralığ��nda y=x2−4xy = x^2 - 4x değerleri negatif olduğundan grafik xx-ekseninin altındadır.
Eğrinin xx-ekseninin altında kalması durumunda alan formülünde integralin önüne eksi işareti konulmalıdır.
3
Alan formülünü yazar ve integral hesabı gerçekleştiririz.
Alan=−∫04(x2−4x) dx=−[x33−2x2]04Alan = -\int_{0}^{4} (x^2 - 4x) \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 \right]_{0}^{4}
Alanı bulmak için integralin mutlak değerini alırız.
4
Sınır değerlerini yerine yazarak alanı buluruz.
Alan=−((643−32)−0)=−(−323)=323Alan = -\left( \left(\frac{64}{3} - 32\right) - 0 \right) = -\left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3} birimkare.
Sınır değerlerin farkı alınarak alan hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir eğrinin xx-ekseninin altında kalan bölgesinin alanı hesaplanırken integral değerinin önüne eksi işareti getirilir.
Soru 131Soru →
Türevlenebilir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu ve bir CC gerçel sayısı için
∫(x+1)⋅f′(x) dx=x3+12x2−2x+C\int (x + 1) \cdot f'(x) \, dx = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + C
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

11
Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında (x+1)⋅f′(x)=3x2+x−2(x + 1) \cdot f'(x) = 3x^2 + x - 2 elde edilir. Sağ taraf çarpanlarına ayrıldığında (x+1)(3x−2)(x+1)(3x-2) elde edileceğinden, f′(x)=3x−2f'(x) = 3x - 2 olur. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=32x2−2x+C1f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C_1 bulunur. f(1)=3f(1) = 3 koşuluyla C1=72C_1 = \frac{7}{2} olarak hesaplanır. Buradan f(3)=32(9)−2(3)+72=11f(3) = \frac{3}{2}(9) - 2(3) + \frac{7}{2} = 11 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
(x+1)⋅f′(x)=3x2+x−2(x + 1) \cdot f'(x) = 3x^2 + x - 2
Belirsiz integralin t��revi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.
2
3x2+x−23x^2 + x - 2 ifadesi çarpanlarına ayrılır ve her iki taraf x+1x + 1 ile sadeleştirilir.
f′(x)=3x−2f'(x) = 3x - 2
3x2+x−2=(3x−2)(x+1)3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1) olduğundan, x≠−1x \neq -1 için f′(x)f'(x) yalnız bırakılır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak f(x)f(x) elde edilir.
f(x)=32x2−2x+C1f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C_1
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
4
f(1)=3f(1) = 3 eşitliği kullanılarak C1C_1 integral sabiti hesaplanır.
C1=72C_1 = \frac{7}{2}
f(1)=32(1)2−2(1)+C1=3  ⟹  C1=72f(1) = \frac{3}{2}(1)^2 - 2(1) + C_1 = 3 \implies C_1 = \frac{7}{2} elde edilir.
5
f(x)f(x) fonksiyonunda x=3x = 3 yazılarak sonuç hesaplanır.
f(3)=11f(3) = 11
f(3)=32(3)2−2(3)+72=272−6+72=11f(3) = \frac{3}{2}(3)^2 - 2(3) + \frac{7}{2} = \frac{27}{2} - 6 + \frac{7}{2} = 11 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve integral alma kuralları kullanılarak fonksiyonun kendisinin elde edilmesi.
Soru 132Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=y2−2x = y^2 - 2 parabolü ile x=yx = y doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

Sınırlıbo¨lgeninalanı92birimkaredir.Sınırlı bölgenin alanı \frac{9}{2} birimkaredir.
Eğrilerin kesim noktaları olan y=−1y = -1 ve y=2y = 2 sınırları arasında, sağda yer alan x=yx = y doğrusundan solda yer alan x=y2−2x = y^2 - 2 parabolü çıkarılarak integral alındığında alan 92\frac{9}{2} birimkare olarak bulunur. Bu durum sınırlı bölgenin alanını tam ve doğru şekilde verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
y2−2=y⇒y2−y−2=0⇒(y−2)(y+1)=0y^2 - 2 = y \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y - 2)(y + 1) = 0
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin hangi noktalarda kesiştiğini saptamak gerekir.
2
Kesişim noktalarından belirli integralin sınırlarını elde edin.
y1=−1y_1 = -1 ve y2=2y_2 = 2
Bu sınırlar, sınırlı bölgenin yy ekseni üzerindeki alt ve üst sınırlarını oluşturur.
3
[−1,2][-1, 2] aralığında hangi eğrinin sağda (daha büyük xx değerine sahip) olduğunu belirleyin.
y=0y = 0 için x=0x = 0 (doğru) ve x=−2x = -2 (parabol) olduğundan, doğru (x=yx = y) parabolün (x=y2−2x = y^2 - 2) sağındadır.
Alanı hesaplarken integral içinde sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılmalıdır.
4
Belirli integrali kurup hesaplayın.
A=∫−12[y−(y2−2)] dy=∫−12(−y2+y+2) dy=[−y33+y22+2y]−12=(−83+2+4)−(13+12−2)=103−(−76)=92A = \int_{-1}^{2} [y - (y^2 - 2)] \, dy = \int_{-1}^{2} (-y^2 + y + 2) \, dy = \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{-1}^{2} = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}
İki eğri arasında kalan alan, sağdaki eğrinin denkleminden soldakinin çıkarılmasıyla elde edilen farkın integraline eşittir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alan hesaplanırken, kesim noktaları bulunarak integral sınırları belirlenir. yy değişkenine göre entegrasyon yapıldığında sağdaki eğrinin denkleminden soldaki eğrinin denklemi çıkarılarak integral hesabı gerçekleştirilir.
Soru 133Soru →
Bir ff fonksiyonu ve sıfırdan farklı her xx gerçel sayısı için tanımlı ve türevlenebilir bir gg fonksiyonu arasında
f′(x)=3x2⋅g(x)+x3⋅g′(x)f'(x) = 3x^2 \cdot g(x) + x^3 \cdot g'(x)
ilişkisi bulunmaktadır.
∫g(x)x4 dx=−2x+3x2+C\int \frac{g(x)}{x^4} \, dx = -\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + C
eşitliği verildiğine göre, f(1)=−1f(1) = -1 şartını sağlayan ff fonksiyonu için f(2)f(2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -29

Cevap

f(2) değeri -29 olarak bulunur.
Verilen integral eşitliğinin her iki tarafının türevi alındığında g(x) fonksiyonu 2x^2 - 6x olarak bulunur. f'(x) ifadesinin x^3 * g(x) çarpımının türevi olduğu görülür. Buradan integral alınarak f(x) = 2x^5 - 6x^4 + C elde edilir. f(1) = -1 koşulundan C = 3 bulunur. Son olarak f(2) = 2(32) - 6(16) + 3 = -29 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen integral eşitliğinin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
g(x)x4=ddx(−2x−1+3x−2)=2x−2−6x−3=2x2−6x3\frac{g(x)}{x^4} = \frac{d}{dx} \left( -2x^{-1} + 3x^{-2} \right) = 2x^{-2} - 6x^{-3} = \frac{2}{x^2} - \frac{6}{x^3}
Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki ifadeye (integranda) e��ittir.
2
Elde edilen denklemde her iki taraf x^4 ile çarpılarak g(x) fonksiyonu yalnız bırakılır.
g(x)=x4⋅(2x2−6x3)=2x2−6xg(x) = x^4 \cdot \left( \frac{2}{x^2} - \frac{6}{x^3} \right) = 2x^2 - 6x
g(x) ifadesini elde etmek için cebirsel sadeleştirme yapılır.
3
f'(x) fonksiyonunun çarpımın türevi kuralından (x^3 * g(x))' ifadesine eşit olduğu fark edilir ve her iki tarafın belirsiz integrali alınarak f(x) fonksiyonu bulunur.
f(x)=∫f′(x) dx=∫(x3⋅g(x))′ dx=x3⋅g(x)+C1=x3(2x2−6x)+C1=2x5−6x4+C1f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x^3 \cdot g(x))' \, dx = x^3 \cdot g(x) + C_1 = x^3(2x^2 - 6x) + C_1 = 2x^5 - 6x^4 + C_1
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.
4
f(1) = -1 başlangıç koşulu kullanılarak C_1 integral sabiti bulunur.
f(1)=2(1)5−6(1)4+C1=−1  ⟹  −4+C1=−1  ⟹  C1=3f(1) = 2(1)^5 - 6(1)^4 + C_1 = -1 \implies -4 + C_1 = -1 \implies C_1 = 3
Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri kullanılarak integral sabiti tek bir değere indirgenir.
5
f(x) = 2x^5 - 6x^4 + 3 fonksiyonunda x = 2 yazılarak f(2) değeri hesaplanır.
f(2)=2(2)5−6(2)4+3=64−96+3=−29f(2) = 2(2)^5 - 6(2)^4 + 3 = 64 - 96 + 3 = -29
Fonksiyonun istenen noktadaki değerini bulmak için x yerine 2 yazılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integralin türevi ile integrali arasındaki ilişki, çarpımın türevi kuralının integralde fark edilmesi ve integral sabiti kullanılarak fonksiyonun yeniden elde edilmesi.
Soru 134Soru →

f(x)=4x2−2x+1f(x) = 4x^2 - 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] kapalı aralığı, eşit uzunlukta 3 alt aralığa bölünüyor. Bu bölüntüye göre ff fonksiyonunun Riemann orta toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 71

Cevap

Riemann orta toplamının değeri 71'dir.
Verilen f(x)=4x2−2x+1f(x) = 4x^2 - 2x + 1 fonksiyonunun [1,4][1, 4] aralığındaki 3 eşit alt aralığının orta noktaları olan 151{}5, 252{}5 ve 353{}5 noktalarındaki fonksiyon değerlerinin toplamı ile aralık genişliği olan 11 çarpıldığında doğru sonuç olan 71 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
[1, 4] aralığının 3 eşit alt aralığa bölüntüsündeki aralık genişliğini bulma
Δx=1\Delta x = 1
Her bir alt aralığın genişliği, aralığın toplam uzunluğunun alt aralık sayısına bölünmesiyle elde edilir.
2
Elde edilen alt aral��kların orta noktalarını belirleme
[1,2][1, 2] için c1=15c_1 = 1{}5, [2,3][2, 3] için c2=25c_2 = 2{}5, [3,4][3, 4] için c3=35c_3 = 3{}5
Riemann orta toplamı hesaplanırken, fonksiyonun her bir alt aralığın tam orta noktasındaki değeri kullanılır.
3
Orta noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(15)=7f(1{}5) = 7, f(25)=21f(2{}5) = 21, f(35)=43f(3{}5) = 43
Alt aralıkların orta noktaları fonksiyon kuralında yerine yazılarak Riemann dikdörtgenlerinin yükseklikleri bulunur.
4
Fonksiyon değerleri ile aralık genişliğini çarparak toplamı hesaplama
7171
Her bir dikdörtgenin alanı (yükseklik ile taban genişliğinin çarpımı) toplanarak Riemann orta toplamı elde edilir.

Anahtar Kavram

Riemann orta toplamı, tanımlı olduğu aralıkta alt aralıkların orta noktalarındaki fonksiyon değerleri ile aralık genişliğinin çarpımlarının toplamıdır.
Soru 135Soru →
f:[0,9]→Rf: [0, 9] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,
∫−33(x3−5x+3)f(x2) dx=36\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x + 3) f(x^2) \, dx = 36
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫09f(x)x dx\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen integral ifadesi lineerlik özelliğiyle parçalandığında, ilk terim tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali olduğu için sıfır olur. İkinci terim ise çift fonksiyon simetrisinden dolayı [0,3][0,3] aralığındaki integralin iki katı olarak yazılıp integral değeri 6 olarak bulunur. İstenen integralde yapılan u=xu=\sqrt{x} değişken değiştirmesi sonucunda integralin sınırları [0,3][0,3] aralığına gelir ve integral 2∫03f(u2)du2 \int_{0}^{3} f(u^2) du biçimine dönüşerek 12 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali doğrusal özelliklerini kullanarak iki parçaya ayırma
∫−33(x3−5x)f(x2) dx+∫−333f(x2) dx=36\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx + \int_{-3}^{3} 3 f(x^2) \, dx = 36
Belirli integralin lineerlik özelliği gereği, parantez içindeki toplam ve fark durumundaki ifadeler ayrı ayrı integraller olarak yazılabilir.
2
Tek fonksiyon özelliğini kullanarak ilk integralin değerini belirleme
∫−33(x3−5x)f(x2) dx=0\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx = 0
h(x)=(x3−5x)f(x2)h(x) = (x^3 - 5x) f(x^2) fonksiyonunda h(−x)=−h(x)h(-x) = -h(x) sağlandığı için bu fonksiyon tektir. Simetrik [−a,a][-a, a] aralığında sürekli bir tek fonksiyonun belirli integrali her zaman sıfırdır.
3
Çift fonksiyon simetri özelliğini kullanarak ikinci integralin sınırlarını daraltma
∫03f(x2) dx=6\int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6
g(x)=f(x2)g(x) = f(x^2) fonksiyonunda g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) olduğundan bu fonksiyon çifttir. Simetrik [−3,3][-3, 3] aralığında çift fonksiyonun integrali, [0,3][0, 3] aralığındaki integralinin iki katına eşittir. Buradan 3⋅[2∫03f(x2) dx]=36  ⟹  ∫03f(x2) dx=63 \cdot \left[ 2 \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx \right] = 36 \implies \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6 elde edilir.
4
Hesaplanması istenen integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) uygulama
∫09f(x)x dx=2∫03f(u2) du\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapıldığında x=u2x = u^2 ve diferansiyel dx=2u dudx = 2u \, du olur. Alt sınır x=0  ⟹  u=0x=0 \implies u=0 ve üst sınır x=9  ⟹  u=3x=9 \implies u=3 olarak güncellenir. Değerler yerine yazıldığında integral 2∫03f(u2) du2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du halini alır.
5
Elde edilen integral değerini yerine koyarak sonucu bulma
12
2∫03f(u2) du=2⋅6=122 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du = 2 \cdot 6 = 12

Anahtar Kavram

Belirli integralde tek-çift fonksiyon simetrisi ve değişken değiştirme yardımıyla sınırların güncellenmesi.
Soru 136Soru →

Dik koordinat düzleminde; y=xy = \sqrt{x} eğrisi, y=2−xy = 2 - x doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı AA birimkaredir.

Buna göre, 6A6A değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İstenen alanın 6 katı olan değer 5 olarak bulunur.
Verilen eğriler ve y ekseni arasındaki sınırlı bölgenin alanı integral yardımıyla 5/6 birimkare olarak hesaplanır. Bu alanın 6 katı alındığında sonuç 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasının belirlenmesi
x=1x = 1
y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=2−xy = 2 - x doğrusunun ortak çözümünden elde edilen x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0 denkleminin x≤2x \le 2 koşulunu sağlayan kökü bulunur.
2
İntegral sınırlarının ve ifadesinin belirlenmesi
A=∫01(2−x−x) dxA = \int_{0}^{1} (2 - x - \sqrt{x}) \, dx
Bölge soldan yy ekseni (x=0x=0) ve sağdan kesişim noktası (x=1x=1) ile sınırlıdır. Bu aralıkta üstteki eğri y=2−xy = 2 - x, alttaki eğri ise y=xy = \sqrt{x} fonksiyonudur.
3
İntegralin hesaplanması ve alanın bulunması
A=56A = \frac{5}{6}
Belirli integralin ilkel fonksiyonu yardımıyla sınır değerleri yerine yazılarak alan değeri elde edilir.
4
6A6A değerinin hesaplanması
5
Bulunan alan değeri soru kökünde belirtilen katsayı olan 6 ile çarpılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Soru 137Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
A=∫12x3f(x2+1) dxA = \int_{1}^{\sqrt{2}} x^3 f(x^2 + 1) \, dx
eşitliği veriliyor.

Buna göre, AA ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \int_{2}^{3} \frac{x - 1}{2} f(x) \, dx

Cevap

∫23x−12f(x) dx\int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx ifadesidir.
Doğru seçenekte, u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümüyle x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} ve x2=u−1x^2 = u - 1 eşitlikleri kullanılmış, integral sınırları da alt sınır 22 ve üst sınır 33 olacak şekilde güncellenerek ∫23x−12f(x) dx\int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx ifadesine ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır ve u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü seçilir.
du=2x dxdu = 2x \, dx diferansiyeli elde edilir ve buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} bulunur.
İntegral içindeki x3x^3 ifadesi, diferansiyel çarpanını elde etmek amacıyla x2⋅xx^2 \cdot x olarak parçalanır.
2
x2x^2 terimi uu cinsinden yazılır.
u=x2+1u = x^2 + 1 eşitliğinden x2=u−1x^2 = u - 1 elde edilir.
İntegral içindeki tüm değişkenlerin yeni değişken olan uu türünden ifade edilmesi zorunludur.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=(2)2+1=3x = \sqrt{2} \implies u = (\sqrt{2})^2 + 1 = 3 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Bulunan tüm ifadeler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak integral sadeleştirilir.
A=∫23(u−1)f(u)du2=∫23u−12f(u) duA = \int_{2}^{3} (u - 1) f(u) \frac{du}{2} = \int_{2}^{3} \frac{u - 1}{2} f(u) \, du elde edilir. Belirli integralde değişken ismi sonucu değiştirmediğinden uu yerine xx yazılarak A=∫23x−12f(x) dxA = \int_{2}^{3} \frac{x-1}{2} f(x) \, dx bulunur.
Değişken değiştirme tamamlanarak integralin eşiti olan ifade belirlenmiş olur.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi
Soru 138Soru →
Her xx gerçel sayısı için ikinci mertebeden türevi tanımlı olan bir ff fonksiyonu için
f′′(x)=6x−4f''(x) = 6x - 4
olduğu bilinmektedir.

y=f(x)y = f(x) eğrisinin x=1x = 1 apsisli noktasında bir yerel ekstremumu bulunmaktadır.

Eğri (1,3)(1, 3) noktasından geçtiğine göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen ikinci türev ifadesinin ardışık iki kez integrali alınarak ve yerel ekstremum (f′(1)=0f'(1) = 0) ile noktayı sağlama (f(1)=3f(1) = 3) koşulları uygulanarak integral sabitleri sırasıyla C1=1C_1 = 1 ve C2=3C_2 = 3 bulunur. Elde edilen f(x)=x3−2x2+x+3f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında sonuç 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci türevi verilen fonksiyonun belirsiz integrali alınarak birinci türev fonksiyonu genel olarak elde edilir.
f′(x)=3x2−4x+C1f'(x) = 3x^2 - 4x + C_1
İkinci türevin integrali birinci türevi verir: ∫(6x−4) dx=3x2−4x+C1\int (6x - 4) \, dx = 3x^2 - 4x + C_1.
2
Yerel ekstremum koşulu kullanılarak birinci integral sabiti (C1C_1) hesaplanır.
C1=1C_1 = 1 ve f′(x)=3x2−4x+1f'(x) = 3x^2 - 4x + 1
x=1x = 1 apsisli noktada yerel ekstremum olduğu için f′(1)=0f'(1) = 0 olmalıdır. Buradan 3(1)2−4(1)+C1=0  ⟹  C1=13(1)^2 - 4(1) + C_1 = 0 \implies C_1 = 1 bulunur.
3
Birinci türev fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak fonksiyonun kendisi (f(x)f(x)) elde edilir.
f(x)=x3−2x2+x+C2f(x) = x^3 - 2x^2 + x + C_2
Birinci türevin integrali fonksiyonun kendisini verir: ∫(3x2−4x+1) dx=x3−2x2+x+C2\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx = x^3 - 2x^2 + x + C_2.
4
Eğrinin geçtiği nokta kullanılarak ikinci integral sabiti (C2C_2) hesaplanır.
C2=3C_2 = 3 ve f(x)=x3−2x2+x+3f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3
Eğri (1,3)(1, 3) noktasından geçtiği için f(1)=3f(1) = 3 olmalıdır. Buradan 13−2(1)2+1+C2=3  ⟹  C2=31^3 - 2(1)^2 + 1 + C_2 = 3 \implies C_2 = 3 elde edilir.
5
Fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak istenen değer hesaplanır.
f(2)=5f(2) = 5
f(x)=x3−2x2+x+3f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 fonksiyonunda x=2x = 2 yazıldığında f(2)=23−2(2)2+2+3=8−8+2+3=5f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 + 3 = 8 - 8 + 2 + 3 = 5 bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları kullanılarak türevleri verilen bir fonksiyonun kendisinin elde edilmesi ve sınır koşullarıyla integral sabitlerinin bulunması.
Soru 139Soru →

Dik koordinat düzleminin birinci b��lgesinde; y2=4xy^2 = 4x parabolü, x=4x = 4 doğrusu ve xx ekseni arasında kalan sınırlı bölge, y=mxy = mx doğrusu ile alanları oranı 1:311:31 olan iki bölgeye ayrılıyor. Buna göre, mm pozitif gerçel sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 112\frac{1}{12}

Cevap

Değerlerin çarpımı 1/12'dir.
Birinci bölgede parabol, x ekseni ve x = 4 doğrusu arasındaki toplam alan 32/3 birimkaredir. Alanlar oranı 1:31 olduğundan küçük bölgenin alanı 1/3 birimkare olmalıdır. Doğrunun eğimi m >= 1 olduğunda üstte kalan alan 8/(3m^3) formülüyle bulunur ve buradan m = 2 elde edilir. Doğrunun eğimi 0 < m <= 1 olduğunda altta oluşan üçgenin alanı 8m olur ve buradan m = 1/24 elde edilir. Bu iki pozitif gerçel sayının çarpımı ise 1/12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrularla sınırlanan bölgenin toplam alanını hesaplama
S=323S = \frac{32}{3} birimkare
Bölgenin sınırlarını belirleyip belirli integral kullanarak toplam alanı bulmak için.
2
Alanları oranı 1:311:31 olan iki bölgeden küçük olanın alanını belirleme
Küçük bölgenin alanı S1=132S=13S_1 = \frac{1}{32} S = \frac{1}{3} birimkare
Toplam alan 32 parçaya bölündüğünde küçük parçanın payına düşen miktarı bulmak için.
3
y=mxy = mx doğrusunun bölgeden çıkış noktasına göre birinci durumu inceleme (m≥1m \ge 1)
m=2m = 2 değeri elde edilir.
Doğrunun parabolü x≤4x \le 4 aralığında kesmesi durumundaki alanı hesaplamak için.
4
y=mxy = mx doğrusunun bölgeden çıkış noktasına göre ikinci durumu inceleme (0<m≤10 < m \le 1)
m=124m = \frac{1}{24} değeri elde edilir.
Doğrunun x=4x = 4 düşey doğrusunu kesmesi durumundaki üçgensel alanı hesaplamak için.
5
Bulunan mm değerlerinin çarpımını hesaplama
2×124=1122 \times \frac{1}{24} = \frac{1}{12}
Soruda istenen çarpım değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı ve Doğru ile Alan Bölme
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 140Soru →

Aşağıda dik koordinat düzleminde sınırları verilen bölge tanımları ile bu bölgelerin alanlarını veren belirli integral ifadelerini doğru şekilde eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminde x=y2x = y^2 parabolü ile x=y+2x = y + 2 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
Birinci bölgede y=x2y = x^2 eğrisi, y=4−3xy = 4 - 3x doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölge
Birinci bölgede y=8x2y = \frac{8}{x^2} eğrisi, y=xy = x doğrusu ve y=8y = 8 doğrusu arasında kalan sınırlı bölge

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge tanımı ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy integraliyle, ikinci bölge tanımı ∫01(4−y3−y) dy\int_{0}^{1} \left( \frac{4-y}{3} - \sqrt{y} \right) \, dy integraliyle, üçüncü bölge tanımı ise ∫28(y−8y) dy\int_{2}^{8} \left( y - \sqrt{\frac{8}{y}} \right) \, dy integraliyle eşleşir.
Bölge sınırları ve kesişim noktaları y-eksenine göre ifade edilip sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak doğru integral ifadelerine ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktaları y=−1y = -1 ve y=2y = 2 olup alan integrali ∫−12(y+2−y2) dy\int_{-1}^{2} (y + 2 - y^2) \, dy olarak elde edilir.
Kesişim noktalarını bulmak için iki ifadenin x değerleri eşitlenir: y2=y+2y^2 = y + 2. Buradan sınırlar [−1,2][-1, 2] bulunur. Doğru (x=y+2x = y+2), parabolün (x=y2x = y^2) sağında yer aldığı için fark fonksiyonu (y+2)−y2(y+2) - y^2 olur.
2
İkinci bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktası y=1y=1 olup alan integrali ∫01(4−y3−y) dy\int_{0}^{1} \left( \frac{4-y}{3} - \sqrt{y} \right) \, dy olarak elde edilir.
y=x2y = x^2 ve y=4−3xy = 4-3x eğrilerinin kesişimi birinci bölgede x=1x=1 (yani y=1y=1) noktasındadır. Bölge x-ekseniyle de sınırlandığı için y sınırları [0,1][0, 1] olur. x değerleri y cinsinden çekildiğinde sağda x=4−y3x = \frac{4-y}{3} doğrusu, solda x=yx = \sqrt{y} parabolü bulunur.
3
Üçüncü bölge için sınırları belirleme ve integral kurma
Kesişim noktası y=2y=2 olup alan integrali ∫28(y−8y) dy\int_{2}^{8} \left( y - \sqrt{\frac{8}{y}} \right) \, dy olarak elde edilir.
y=8x2y = \frac{8}{x^2} ve y=xy = x eğrilerinin kesişimi birinci bölgede x=2x=2 (yani y=2y=2) noktasındadır. Üst sınır y=8y=8 doğrusu olduğundan y sınırları [2,8][2, 8] olur. x değerleri y cinsinden yazıldığında sağda x=yx = y doğrusu, solda ise x=8yx = \sqrt{\frac{8}{y}} eğrisi bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanını y-eksenine göre dilimleme (yatay dilimleme) yöntemiyle belirli integral kullanarak ifade etme.
ÖncekiSayfa 7 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 7 | Examkin