Examkin

Kümeler ve Mantık

184 soru

Tüm türler184Çoktan seçmeli123Doğru / Yanlış10Sayısal50Eşleştirme1
Soru 21Soru →

aa, bb ve cc sıfırdan farklı tam sayılar olmak ��zere,

pp: "a+ba + b toplamı çift sayıdır."
qq: "b⋅cb \cdot c çarpımı tek sayıdır."
rr: "a⋅ca \cdot c çarpımı çift sayıdır."

önermeleri veriliyor.

[(p⇒q)⇒(q∨r)][(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \lor r)]

bileşik önermesi yanlış olduğuna göre;

I. ab+ca^b + c
II. (a+c)⋅b(a + c) \cdot b
III. a⋅b+ca \cdot b + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II
Verilen bileşik önermenin yanlış olması, ise bağlacının kuralı gereği p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 ve q∨r≡0q \lor r \equiv 0 olmasını gerektirir. q∨r≡0q \lor r \equiv 0 ise q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 olmalıdır. q≡0q \equiv 0 olduğuna göre, p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 koşulunun sağlanması için p≡0p \equiv 0 olmalıdır. Böylece pp, qq ve rr önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla 0,0,00, 0, 0 bulunur. Bu durum, a⋅ca \cdot c çarpımının tek (yani aa ve cc tek), a+ba + b toplamının tek (yani bb çift) olmasını gerektirir. aa ve cc tek ise toplamları a+ca+c çift bir sayıdır. Çift bir sayının başka bir tam sayı olan bb ile çarpımı çift olacağından (a+c)⋅b(a+c) \cdot b ifadesi her zaman çift bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşik önermenin doğruluk değerini analiz etmek
[(p⇒q)⇒(q∨r)]≡0[(p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \lor r)] \equiv 0 ise ise bağlacının kuralından birinci kısım p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 ve ikinci kısım q∨r≡0q \lor r \equiv 0 bulunur. Buradan q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 elde edilir. q≡0q \equiv 0 değeri p⇒q≡1p \Rightarrow q \equiv 1 ifadesinde yerine yazılırsa p⇒0≡1p \Rightarrow 0 \equiv 1 olabilmesi için p≡0p \equiv 0 olmalıdır. Sonuç olarak p≡0p \equiv 0, q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 bulunur.
pp, qq ve rr önermelerinin doğruluk değerlerini belirlemek için bileşik önermenin yapısı çözümlenir.
2
Önermelerin doğruluk değerlerini kullanarak sayıların teklik-çiftlik durumlarını belirlemek
r≡0r \equiv 0 olduğundan a⋅ca \cdot c tektir, yani aa ve cc tek sayılardır. p≡0p \equiv 0 olduğundan a+ba + b tektir. aa tek sayı olduğundan bb çift sayı olmak zorundadır. q≡0q \equiv 0 olduğundan b⋅cb \cdot c çifttir, bu durum bb çift sayı olduğundan doğrulanır. Sonuç olarak: aa tek, bb çift, cc tektir.
Soruda verilen ifadelerin değerlerini inceleyebilmek için değişkenlerin tek veya çift sayı karakterlerini saptamak gerekir.
3
Verilen I. ifadeyi (ab+ca^b + c) incelemek
bb sayısı sıfırdan farklı bir çift tam sayı olduğundan negatif olabilir (örneğin b=−2b = -2). Bu durumda aba^b rasyonel bir sayı olur ve tam sayı belirtmez, dolayısıyla bu ifadenin teklik veya çiftliği garanti edilemez.
Birinci ifadenin her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini belirlemek.
4
Verilen II. ifadeyi ((a+c)⋅b(a + c) \cdot b) incelemek
aa ve cc tek sayılar olduğundan toplamları a+ca+c çift sayıdır. Çift bir sayının bir tam sayı olan bb ile çarpımı her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla bu ifade her zaman çift sayıdır.
İkinci ifadenin her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini belirlemek.
5
Verilen III. ifadeyi (a⋅b+ca \cdot b + c) incelemek
aa tek ve bb çift olduğundan çarpımları a⋅ba \cdot b çift sayıdır. Çift sayı ile tek sayı olan cc'nin toplamı tek sayıdır. Dolayısıyla bu ifade her zaman tek sayıdır.
Üçüncü ifadenin her zaman çift sayı belirtip belirtmediğini belirlemek.

Anahtar Kavram

Önermelerin doğruluk değerleri ve sayıların teklik-çiftlik özellikleri ile ilişkisi

Alternatif Yöntem

Önermelerin doğruluk değerlerini sırasıyla denemek yerine, doğruluk tablosu mantığı veya doğrudan mantıksal sadeleştirme kuralları kullanılarak p≡0p \equiv 0, q≡0q \equiv 0 ve r≡0r \equiv 0 sonuçlarına daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 22Soru →

pp: "33=93^3 = 9"
qq: "−2-2 sayısı bir doğal sayıdır."
rr: "55 sayısı bir tek sayıdır."

önermeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 11'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: q′∧rq' \land r

Cevap

q′∧rq' \land r bileşik önermesi
q′∧rq' \land r ifadesinde, q≡0q \equiv 0 olduğundan q′≡1q' \equiv 1 olur. r≡1r \equiv 1 olduğundan, 1∧1≡11 \land 1 \equiv 1 elde edilir. Bu nedenle bu bileşik önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Önermelerin doğruluk değerlerini belirleyin.
p≡0p \equiv 0, q≡0q \equiv 0 ve r≡1r \equiv 1
33=273^3 = 27 olduğundan pp önermesi yanlıştır (p≡0p \equiv 0). −2-2 bir tam sayıdır ancak doğal sayı değildir, bu yüzden qq önermesi yanlıştır (q≡0q \equiv 0). 55 sayısı ikiye tam bölünemediği için tek sayıdır, bu yüzden rr önermesi doğrudur (r≡1r \equiv 1).
2
Doğru seçenekteki bileşik önermeyi değerlendirin.
q′∧r≡1∧1≡1q' \land r \equiv 1 \land 1 \equiv 1
q≡0q \equiv 0 ise değili q′≡1q' \equiv 1 olur. r≡1r \equiv 1 olduğundan, bu iki önermenin 've' (∧\land) bağlacı ile birleşimi 1∧1≡11 \land 1 \equiv 1 doğruluk değerini verir.

Anahtar Kavram

Önermelerin doğruluk değerleri ve temel mantık bağlaçları (ve, veya, değili)
Tahmini Süre:45s
Soru 23Soru →

Bir AA kümesi A={3,{7},{3,7}}A = \{3, \{7\}, \{3, 7\}\} şeklinde tanımlanıyor. Bu kümenin eleman ve alt küme özellikleri düşünüldüğünde, aşağıdakilerden hangisi doğru bir ifadedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {{7}}⊂A\{\{7\}\} \subset A

Cevap

Süslü parantez içinde, elemanı süslü parantezli yedi olan küme A kümesinin bir alt kümesidir.
Doğru olan ifade, süslü parantez içinde süslü parantezli yedi elemanını içeren kümenin A kümesinin bir alt kümesi olduğunu belirten ifadedir. A kümesinin elemanlarından biri {7}\{7\} olduğu için, bu elemanı içeren {{7}}\{\{7\}\} kümesi A kümesinin bir alt kümesidir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını tek tek belirleyin.
A kümesinin elemanları sırasıyla: 33, {7}\{7\} ve {3,7}\{3, 7\} olmak üzere 3 tanedir. Dolayısıyla s(A)=3s(A) = 3 olur.
Eleman ve alt küme sembollerinin doğruluğunu kontrol edebilmek için öncelikle kümenin eleman sınırlarını doğru belirlememiz gerekir.
2
Seçeneklerde verilen ifadelerin eleman ve alt küme tanımlarına uygunluğunu analiz edin.
A kümesinin elemanlarından biri olan {7}\{7\} ifadesi için {7}∈A\{7\} \in A yazımı doğrudur. Bu elemanı küme parantezine alarak oluşturduğumuz {{7}}\{\{7\}\} kümesi ise A kümesinin bir alt kümesidir, yani {{7}}⊂A\{\{7\}\} \subset A ifadesi doğrudur.
Bir x elemanı A kümesine aitse x∈Ax \in A sembolüyle gösterilir. Bu elemandan oluşan {x}\{x\} kümesi ise A'nın alt kümesi olur ve {x}⊂A\{x\} \subset A şeklinde gösterilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman sayısı, eleman sembolü ve alt küme sembolü arasındaki kavramsal farklar.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 24Soru →

Tam sayılar ve gerçek sayılar kümeleri üzerinde aşağıdaki pp, qq ve rr önermeleri tanımlanıyor:

p:∀x∈R, x2+4>0p: \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 4 > 0
q:∃x∈Z, 2x−3=0q: \exists x \in \mathbb{Z}, \ 2x - 3 = 0
r:∀x∈Z−, x2>xr: \forall x \in \mathbb{Z}^-, \ x^2 > x

Buna göre;

I. p⇒qp \Rightarrow q
II. q′∨r′q' \lor r'
III. p∧rp \land r

ifadelerinden hangilerinin doğruluk değeri 11'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

II ve III
pp ve rr önermelerinin doğruluk değerleri 11, qq önermesinin doğruluk değeri ise 00'dır. Bu değerler bileşik önermelerde yerine yazıldığında ikinci ve üçüncü ifadelerin doğruluk değerleri 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
pp önermesinin doğruluk değerini belirleme
p≡1p \equiv 1
Her x∈Rx \in \mathbb{R} için x2≥0x^2 \geq 0 olduğundan, eşitsizliğin her iki tarafına 44 eklendiğinde x2+4≥4>0x^2 + 4 \geq 4 > 0 elde edilir. Bu ifade tüm gerçek sayılar için doğru olduğundan pp önermesinin doğruluk değeri 11'dir.
2
qq önermesinin doğruluk değerini belirleme
q≡0q \equiv 0
2x−3=02x - 3 = 0 denklemini sağlayan xx değeri 1.51.5'tir. Ancak 1.5∉Z1.5 \notin \mathbb{Z} olduğundan, bu denklemi sağlayan bir tam sayı yoktur. Dolayısıyla qq önermesinin doğruluk değeri 00'dır.
3
rr önermesinin doğruluk değerini belirleme
r≡1r \equiv 1
Her negatif tam sayı (x∈Z−x \in \mathbb{Z}^-) için x2x^2 pozitif bir gerçek sayıdır. Pozitif bir sayı daima negatif bir sayıdan büyük olacağından, her negatif tam sayı için x2>xx^2 > x eşitsizliği doğrudur. Dolayısıyla rr önermesinin doğruluk değeri 11'dir.
4
Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini hesaplama
I. ifade 00, II. ve III. ifadeler 11'dir.
Bulunan p≡1p \equiv 1, q≡0q \equiv 0, r≡1r \equiv 1 değerleri yerine yazıldığında:
I. p⇒q≡1⇒0≡0p \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0
II. q′∨r′≡0′∨1′≡1∨0≡1q' \lor r' \equiv 0' \lor 1' \equiv 1 \lor 0 \equiv 1
III. p∧r≡1∧1≡1p \land r \equiv 1 \land 1 \equiv 1
elde edilir.

Anahtar Kavram

Açık önermelerin belirtilen sayı kümelerindeki doğruluk değerlerinin bulunması ve niceleyicilerin mantıksal yorumu
Soru 25Soru →

A={4,{4},{4,7}}A = \{4, \{4\}, \{4, 7\}\} kümesi veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {4,7}⊂A\{4, 7\} \subset A

Cevap

{4,7}⊂A\{4, 7\} \subset A ifadesi yanlıştır.
Verilen AA kümesinde {4,7}\{4, 7\} ifadesi bir bütün olarak kümenin elemanıdır (∈\in). Bir kümenin alt kümesi (⊂\subset) olabilmesi için o kümenin içindeki elemanların tek tek ana kümenin elemanı olması gerekir. 77 sayısı AA kümesinin bağımsız bir elemanı olmadığından, {4,7}\{4, 7\} kümesi AA kümesinin alt kümesi olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını belirleme.
AA kümesinin elemanları 44, {4}\{4\} ve {4,7}\{4, 7\} olmak üzere 3 tanedir.
Soruda verilen ifadelerin doğruluk değerlerini incelemek için öncelikle kümenin elemanlarının netleştirilmesi gerekir.
2
Eleman (∈\in) ve alt küme (⊂\subset) ilişkilerini inceleme.
4∈A4 \in A, {4}∈A\{4\} \in A ve {4,7}∈A\{4, 7\} \in A ifadeleri doğrudur. Kümenin herhangi bir elemanı süslü parantez içine alındığında alt küme elde edilir. Dolayısıyla, {4}⊂A\{4\} \subset A, {{4}}⊂A\{\{4\}\} \subset A ve {{4,7}}⊂A\{\{4, 7\}\} \subset A ifadeleri de doğrudur.
Her bir seçenekteki sembolik gösterimin küme elemanlarıyla olan ilişkisi tanımlara göre kontrol edilir.
3
Yanlış olan ifadeyi tespit etme.
{4,7}\{4, 7\} ifadesi AA kümesinin bir elemanıdır. Bir ifadenin alt küme olabilmesi için o ifadenin içindeki her elemanın AA kümesinin de bir elemanı olması gerekir. 7∉A7 \notin A olduğundan {4,7}\{4, 7\} kümesi AA kümesinin bir alt kümesi değildir ({4,7}⊄A\{4, 7\} \not\subset A). Bu yüzden bu ifade yanlıştır.
Alt küme tanımı gereği, bir kümenin alt küme olabilmesi için tüm elemanlarının ana kümede bulunması şarttır.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman ve alt küme kavramlarının sembolik gösterimi ve farkları
Soru 26Soru →

R\mathbb{R} gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı p:"(∀x∈R, x2≥0)⇒(∃x∈R, x<0)"p: "(\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0) \Rightarrow (\exists x \in \mathbb{R}, \ x < 0)" önermesinin değili p′:"(∃x∈R, x2<0)∧(∀x∈R, x≥0)"p': "(\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0) \wedge (\forall x \in \mathbb{R}, \ x \geq 0)" önermesidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü bir koşullu önermenin değili alınırken birinci önerme aynen kalıp ikinci önermenin değili alınmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu önermenin değili kuralını belirleme
(A⇒B)′≡A∧B′(A \Rightarrow B)' \equiv A \wedge B' denkliği geçerlidir.
Bir koşullu önermenin değilini almak için birinci bileşen (AA) aynen yazılır ve ikinci bileşenin değili (B′B') ile 've' (∧\wedge) bağlacı kullanılarak birleştirilir.
2
Birinci bileşenin (AA) belirlenmesi
A:∀x∈R, x2≥0A: \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0 önermesidir.
Kural gereği birinci bileşen üzerinde herhangi bir değilleme işlemi yapılmaz.
3
İkinci bileşenin (BB) değili olan B′B' önermesinin bulunması
B′:∀x∈R, x≥0B': \forall x \in \mathbb{R}, \ x \geq 0 önermesidir.
B:∃x∈R, x<0B: \exists x \in \mathbb{R}, \ x < 0 önermesinin niceleyicisi ∃\exists yerine ∀\forall yapılır ve x<0x < 0 eşitsizliğinin değili x≥0x \geq 0 olarak yazılır.
4
Bileşik önermenin doğru değilinin (p′p') yazılması ve verilen ifade ile karşılaştırılması
p′:(∀x∈R, x2≥0)∧(∀x∈R, x≥0)p': (\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0) \wedge (\forall x \in \mathbb{R}, \ x \geq 0) olmalıdır. Ancak soruda verilen p′p' önermesinde birinci bileşenin de değili alınmıştır.
Soruda verilen p′p' önermesinin ilk kısmı ∃x∈R, x2<0\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0 olarak yanlış yazılmıştır. Dolayısıyla verilen ifade yanlıştır.

Anahtar Kavram

Koşullu önermelerin ve niceleyicilerin değili (olumsuzu)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 27Soru →

Elemanları ve alt kümeleri arasındaki ilişkileri inceleyen bir öğrenci, A={x,{y},{x,z}}A = \{x, \{y\}, \{x, z\}\} kümesi için aşağıdaki ifadeleri yazmıştır:

I. s(A)=3s(A) = 3
II. {y}⊂A\{y\} \subset A
III. {x}⊂A\{x\} \subset A
IV. {{x,z}}⊂A\{\{x, z\}\} \subset A

Buna göre, bu ifadelerden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, III ve IV

Cevap

I, III ve IV ifadeleri doğrudur.
I, III ve IV ifadelerini içeren seçenek doğrudur. A={x,{y},{x,z}}A = \{x, \{y\}, \{x, z\}\} kümesinin elemanları xx, {y}\{y\} ve {x,z}\{x, z\} olmak üzere 3 tanedir, bu yüzden s(A)=3s(A) = 3 doğrudur. x∈Ax \in A olduğundan {x}⊂A\{x\} \subset A doğrudur. {x,z}∈A\{x, z\} \in A olduğundan {{x,z}}⊂A\{\{x, z\}\} \subset A doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin elemanlarını belirlemek ve eleman sayısını bulmak.
AA kümesinin elemanları sırasıyla xx, {y}\{y\} ve {x,z}\{x, z\} şeklindedir. Toplamda 3 eleman olduğundan s(A)=3s(A) = 3 olur. Bu durumda I. ifade doğrudur.
Küme elemanlarının doğru sayılması ve ayrıştırılması öncüllerin doğruluğunu test etmek için ilk adımdır.
2
II. ve III. ifadelerin doğruluğunu kontrol etmek.
yy sembolü tek başına AA kümesinin bir elemanı değildir (y∉Ay \notin A). Bu nedenle {y}⊂A\{y\} \subset A ifadesi yanlıştır. Öte yandan, xx sembolü AA kümesinin bir elemanıdır (x∈Ax \in A). Dolayısıyla bu elemanın küme parantezine alınmasıyla oluşan {x}\{x\} kümesi AA'nın alt kümesidir, yani {x}⊂A\{x\} \subset A ifadesi doğrudur.
Bir elemanın alt küme oluşturması için elemanın kendisinin kümede yer alması gerekir. Bu kuralı uygulayarak öncülleri inceleriz.
3
IV. ifadenin doğruluğunu kontrol etmek.
{x,z}\{x, z\} sembolü bütün olarak AA kümesinin bir elemanıdır ({x,z}∈A\{x, z\} \in A). Bir elemanı küme parantezine alarak alt küme oluşturabildiğimiz için, {{x,z}}⊂A\{\{x, z\}\} \subset A ifadesi doğrudur.
Süslü parantez içeren elemanların alt küme sembolüyle gösterim kurallarını doğrulamak.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanları süslü parantez içerse bile her biri tek bir eleman olarak kabul edilir. Bir elemanın alt küme belirtmesi için elemanın dışına bir küme parantezi daha eklenmesi gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 28Soru →

Bir AA kümesi

A={a,{a},{b}}A = \{a, \{a\}, \{b\}\}

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi AA kümesinin hem bir elemanı hem de bir alt kümesidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {a}\{a\}

Cevap

Süslü parantez içinde a ifadesi, yani {a} kümesi, verilen A kümesinin hem bir elemanıdır hem de bir alt kümesidir.
Verilen A kümesinde hem eleman listesinde doğrudan bir nesne olarak yer alan hem de kümenin elemanı olan a harfinin süslü parantez içine alınmasıyla oluşturulabilen alt küme süslü parantez içindeki a ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını listeleyin ve her birinin eleman olma durumunu belirleyin.
A kümesinin elemanları aa, {a}\{a\} ve {b}\{b\} olmak üzere 3 tanedir. Buradan {a}∈A\{a\} \in A olduğunu görürüz.
Soruda istenen eleman olma şartını sağlayan adayları bulmak için eleman listesi netleştirilmelidir.
2
A kümesinin elemanlarından yola çıkarak alt küme olma durumlarını inceleyin.
a∈Aa \in A olduğundan bu elemanın parantez içine alınmasıyla elde edilen {a}\{a\} kümesi, A'nın bir alt kümesidir ({a}⊂A\{a\} \subset A).
Bir elemanın süslü parantez içine alınmasıyla oluşturulan tek elemanlı kümelerin alt küme olup olmadığı kontrol edilmelidir.
3
Her iki durumu da sağlayan ortak ifadeyi tespit edin.
Hem {a}∈A\{a\} \in A hem de {a}⊂A\{a\} \subset A şartları aynı anda sağlandığı için doğru cevap süslü parantez içindeki a ifadesidir.
Soruda hem eleman hem de alt küme olma ortak özelliği taşıyan ifadenin bulunması istenmiştir.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman (∈) ve alt küme (⊂) ilişkileri ile sembollerin doğru kullanımı.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 29Soru →
s:"∀x∈R, (x2−1≥0⇒x>0)"s: "\forall x \in \mathbb{R}, \ (x^2 - 1 \geq 0 \Rightarrow x > 0)"

önermesi gerçek sayılar kümesi R\mathbb{R} üzerinde tanımlanmıştır.

Buna göre, ss önermesinin değili (s′s') aşağıdakilerden hangisine denktir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∃x∈R, (x2−1≥0∧x≤0)\exists x \in \mathbb{R}, \ (x^2 - 1 \geq 0 \land x \leq 0)

Cevap

Bazı gerçek sayılar için x kare eksi bir sıfırdan büyük veya eşit ve x sıfırdan küçük veya eşittir önermesi
Verilen önermenin değili alınırken öncelikle başındaki her (∀\forall) niceleyicisi bazı (∃\exists) niceleyicisine dönüştürülür. Ardından p⇒qp \Rightarrow q yapısındaki ifadenin değili ¬(p⇒q)≡p∧q′\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \land q' kuralıyla açılır. Bu durumda birinci bileşen olan x2−1≥0x^2 - 1 \geq 0 aynen kalırken, ikinci bileşen olan x>0x > 0 ifadesinin değili x≤0x \leq 0 olarak elde edilir. Bu iki ifade 've' (∧\land) bağlacı ile birleştirildiğinde doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Niceleyicinin değilini alma
∀x∈R\forall x \in \mathbb{R} ifadesinin değili ∃x∈R\exists x \in \mathbb{R} olur.
Her niceleyicisinin mantıksal değili en az bir (bazı) niceleyicisidir.
2
Koşullu önermenin değilini alma kuralını uygulama
¬(p⇒q)≡p∧q′\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \land q' kuralı gereğince, parantez içindeki ifadenin değili (x2−1≥0)∧¬(x>0)(x^2 - 1 \geq 0) \land \neg(x > 0) şekline gelir.
İse bağlacının değili, birinci önerme aynen kalıp ikinci önermenin değili alınarak ve bağlacı ile birleştirilerek bulunur.
3
Eşitsizliğin değilini alma
¬(x>0)≡x≤0\neg(x > 0) \equiv x \leq 0 olur. Buradan ifadenin son hali (x2−1≥0)∧(x≤0)(x^2 - 1 \geq 0) \land (x \leq 0) olarak bulunur.
Büyüktür sembolünün değili, küçük veya eşittir sembolüdür.

Anahtar Kavram

Açık önermelerin niceleyiciler kullanarak değillerinin (olumsuzlarının) bulunması ve koşullu önerme içeren mantıksal ifadelerin değili kuralları.
Soru 30Soru →

Gerçek sayılar k��mesi üzerinde R\mathbb{R} ve tam sayılar kümesi üzerinde Z\mathbb{Z} sembolleri kullanılarak aşağıdaki önermeler tanımlanıyor:

p:"∀x∈R, ∃y∈R, x−y2=3"p: "\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists y \in \mathbb{R}, \ x - y^2 = 3"
q:"∃x∈Z, ∀y∈Z, x⋅y=x"q: "\exists x \in \mathbb{Z}, \ \forall y \in \mathbb{Z}, \ x \cdot y = x"
r:"∀x∈R, ∃y∈Z, y<x<y+1"r: "\forall x \in \mathbb{R}, \ \exists y \in \mathbb{Z}, \ y < x < y+1"

Buna göre; pp, qq ve rr önermelerinden hangilerinin doğruluk değeri 1'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız qq

Cevap

Doğruluk değeri 1 olan tek önerme qq önermesidir. Bu nedenle doğru cevap yalnız qq ifadesini içeren seçenektir.
Doğruluk değeri 1 olan tek önerme qq önermesidir. x=0x = 0 tam sayısı seçildiğinde, her yy tam sayısı için 0⋅y=00 \cdot y = 0 eşitliği her zaman sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
pp önermesinin doğruluk değerini belirlemek için her xx gerçek sayısı için x−y2=3x - y^2 = 3 denklemini sağlayan bir yy gerçek sayısının var olup olmadığını inceleyelim.
x<3x < 3 (örneğin x=2x = 2) için y2=−1y^2 = -1 olur. Karesi negatif olan bir gerçek sayı olmadığından bu eşitliği sağlayan bir y∈Ry \in \mathbb{R} bulunamaz. Dolayısıyla pp önermesinin doğruluk değeri 0'dır (p≡0p \equiv 0).
Evrensel niceleyicinin (\forall) sağlandığını göstermek için tüm elemanların koşula uyması gerekir, uymayan tek bir karşıt örnek önermeyi yanlış yapar.
2
qq önermesinin doğruluk değerini belirlemek için x⋅y=xx \cdot y = x eşitliğini her yy tam sayısı için sağlayan en az bir xx tam sayısının var olup olmadığını inceleyelim.
x=0x = 0 tam sayısı seçildiğinde, her y∈Zy \in \mathbb{Z} için 0⋅y=00 \cdot y = 0 olur. Bu sonuç seçilen xx değerine (00'a) eşit olduğu için eşitlik her zaman sağlanır. Dolayısıyla qq önermesinin doğruluk değeri 1'dir (q≡1q \equiv 1).
Varoluşsal niceleyici (\exists) için koşulu sağlayan en az bir elemanın bulunması önermenin doğru olması için yeterlidir.
3
rr önermesinin doğruluk değerini belirlemek için her xx gerçek sayısı için y<x<y+1y < x < y+1 koşulunu sağlayan bir yy tam sayısının bulunup bulunamayacağını inceleyelim.
xx bir tam sayı (örneğin x=1x = 1) seçildiğinde, y<1<y+1y < 1 < y+1 eşitsizliğini sağlayan bir yy tam sayısı bulunamaz. Çünkü y<1y < 1 ise y≤0y \le 0 olmalıdır; bu durumda y+1≤1y+1 \le 1 olur ve 1<y+11 < y+1 ifadesi çelişki yaratır. Dolayısıyla rr önermesinin doğruluk değeri 0'dır (r≡0r \equiv 0).
Herhangi bir tam sayının iki ardışık tam sayı arasında yer alması mantıksal olarak imkansızdır.

Anahtar Kavram

Açık Önermeler ve Niceleyiciler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 31Soru →

Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde tanımlı

p(x,y):"x2+y2≤5"p(x, y): "x^2 + y^2 \leq 5"

açık önermesinin doğruluk kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Açık önermeyi sağlayan 21 farklı (x, y) tam sayı ikilisi vardır.
Verilen açık önermeyi doğru yapan (x,y)(x, y) tam sayı ikililerinin sayısı, x2+y2≤5x^2 + y^2 \leq 5 eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayı çiftlerinin bulunmasıyla elde edilir. Bu çiftler tek tek incelendiğinde 21 farklı ikili olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerlerinin karelerini sınırlamak.
x2∈{0,1,4}x^2 \in \{0, 1, 4\} olmalıdır.
x2+y2≤5x^2 + y^2 \leq 5 ve y2≥0y^2 \geq 0 olduğundan x2≤5x^2 \leq 5 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan xx tam sayıları {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} kümesindedir.
2
Her bir xx tam sayı değeri için y2≤5−x2y^2 \leq 5 - x^2 eşitsizliğini sağlayan yy tam sayılarını belirlemek.
x=0x = 0 için 5, x=±1x = \pm 1 için 10, x=±2x = \pm 2 için 6 değer bulunur.
- x=0  ⟹  y2≤5  ⟹  y∈{−2,−1,0,1,2}x = 0 \implies y^2 \leq 5 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} (5 adet)
- x=1x = 1 veya x=−1  ⟹  y2≤4  ⟹  y∈{−2,−1,0,1,2}x = -1 \implies y^2 \leq 4 \implies y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} (2 \times 5 = 10 adet)
- x=2x = 2 veya x=−2  ⟹  y2≤1  ⟹  y∈{−1,0,1}x = -2 \implies y^2 \leq 1 \implies y \in \{-1, 0, 1\} (2 \times 3 = 6 adet)
3
Elde edilen tüm durumları toplayarak toplam eleman sayısına ulaşmak.
5+10+6=215 + 10 + 6 = 21 farklı ikili bulunur.
Farklı xx değerleri için elde edilen ikililerin kümeleri ayrık olduğundan toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine o önermenin doğruluk kümesi denir. Doğruluk kümesi bulunurken değişkenlerin hangi sayı kümelerine ait olduğuna dikkat edilmelidir.
Soru 32Soru →
Bir AA kümesi
A={1,{1},2,{1,2}}A = \{1, \{1\}, 2, \{1, 2\}\}
olarak tanımlanıyor.

Buna g��re, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {2}∈A\{2\} \in A

Cevap

{2}∈A\{2\} \in A ifadesi yanlıştır.
Kümelerde bir elemanın kümenin elemanı olduğunu göstermek için eleman sembolü (\in) kullanılır. Kümenin elemanları sırasıyla 11, {1}\{1\}, 22 ve {1,2}\{1, 2\} şeklindedir. Kümenin elemanları arasında {2}\{2\} diye bir eleman bulunmadığı için "{2}∈A\{2\} \in A" ifadesi yanlıştır. 22 sayısı kümenin bir elemanıdır, bu nedenle {2}\{2\} kümesi AA'nın bir alt kümesidir ancak kendisi AA'nın bir elemanı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirleyelim.
AA kümesinin elemanları: 11, {1}\{1\}, 22 ve {1,2}\{1, 2\}'dir. Bu durumda s(A)=4s(A) = 4 olur.
Küme elemanlarının hangileri olduğunu netleştirmek, eleman ve alt küme sembollerinin doğruluğunu kontrol etmemizi sağlar.
2
Seçeneklerdeki eleman ve alt küme ilişkilerini inceleyelim.
- {1}∈A\{1\} \in A ifadesi doğrudur çünkü {1}\{1\} kümenin bir elemanıdır.
- {1}⊂A\{1\} \subset A ifadesi doğrudur çünkü 1∈A1 \in A olup elemanı içeren tek elemanlı küme A'nın alt kümesidir.
- {2}∈A\{2\} \in A ifadesi yanlıştır çünkü A'nın elemanları arasında {2}\{2\} diye bir eleman yoktur (2 sayısı elemandır, dolayısıyla {2}\{2\} alt kümedir).
- {1,2}⊂A\{1, 2\} \subset A ifadesi doğrudur çünkü 1∈A1 \in A ve 2∈A2 \in A'dir.
Her bir seçeneğin doğruluk değerini belirleyerek yanlış olan ifadeyi bulmak için.
3
Kümenin alt küme sayısını hesaplayalım.
Eleman sayısı s(A)=4s(A) = 4 olduğundan, alt küme sayısı 24=162^4 = 16'dır. Bu nedenle son seçenek de doğrudur.
Son seçeneğin de doğruluğunu teyit etmek için.

Anahtar Kavram

Bir elemanın kümeye ait olması (\in) ile alt kümesi olması (\subset) arasındaki sembolik ve mantıksal farklar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 33Soru →
Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesini ve R\mathbb{R} gerçek sayılar kümesini göstermek üzere,
p:"(∃x∈Z, 3x+2<8)⇒(∀x∈R, x2≥0)"p: "(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \Rightarrow (\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0)"
önermesi veriliyor.

Buna göre, pp önermesinin değili olan p′p' önermesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (∃x∈Z, 3x+2<8)∧(∃x∈R, x2<0)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \wedge (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0)

Cevap

Birinci bileşeni aynı kalan, aradaki bağlacı ve (∧\wedge) olan ve ikinci bileşenindeki niceleyici ile eşitsizlik yönü doğru biçimde tersine çevrilen önerme doğru cevaptır.
Mantık kurallarına göre A⇒BA \Rightarrow B koşullu önermesinin değili A∧B′A \wedge B' ifadesine denktir. Burada birinci önerme olan tam sayılar üzerindeki açık önerme aynen kalmış, aradaki bağlaç 've' yapılmış, ikinci önermenin ise niceliği 'bazı' (∃\exists) haline getirilip eşitsizliği de sıfırdan küçük (<0< 0) olacak şekilde doğru şekilde tersine çevrilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu önermenin değili kuralını belirleme
p⇒q≡p′∨qp \Rightarrow q \equiv p' \vee q olduğundan, bu ifadenin değili ¬(p⇒q)≡¬(p′∨q)≡p∧q′\neg(p \Rightarrow q) \equiv \neg(p' \vee q) \equiv p \wedge q' şeklinde elde edilir.
Verilen önerme bir ise (⇒\Rightarrow) önermesi olduğu için olumsuzunu almak amacıyla bu mantıksal denklik kuralı uygulanmalıdır.
2
İkinci bileşenin (qq) değilini (q′q') hesaplama
q:(∀x∈R, x2≥0)q: (\forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \geq 0) önermesinin değili q′:(∃x∈R, x2<0)q': (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0) olarak bulunur.
Niceleyicilerin değili alınırken 'her' (∀\forall) niceleyicisi 'bazı' (∃\exists) niceleyicisine dönüşür ve ≥\geq sembolünün değili << sembolü olur.
3
Bileşenleri p∧q′p \wedge q' formunda birleştirme
Birinci bileşen olan (∃x∈Z, 3x+2<8)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) aynen korunur ve araya 've' (∧\wedge) bağlacı konularak ikinci bileşenin değili ile birleştirilir. Sonuç: (∃x∈Z, 3x+2<8)∧(∃x∈R, x2<0)(\exists x \in \mathbb{Z}, \ 3x + 2 < 8) \wedge (\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 < 0)
İlk adımda elde edilen mantıksal denklik kuralına göre önermenin olumsuzu bu şekilde kurulur.

Anahtar Kavram

Açık önermelerin ve niceleyici içeren bileşik önermelerin değili (olumsuzu)
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 34Soru →

Bir gruptaki kişilerden İngilizce konuşanların sayısı 2222, Almanca konuşanların sayısı 1515'tir. Hem İngilizce hem de Almanca konuşanların sayısı 55 olduğuna göre, bu grupta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan toplam kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3232

Cevap

İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan toplam 3232 kişi vardır.
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü s(I˙∪A)=s(I˙)+s(A)−s(I˙∩A)s(İ \cup A) = s(İ) + s(A) - s(İ \cap A) şeklindedir. Verilen s(I˙)=22s(İ) = 22, s(A)=15s(A) = 15 ve s(I˙∩A)=5s(İ \cap A) = 5 değerleri formülde yerine yazıldığında 22+15−5=3222 + 15 - 5 = 32 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İngilizce konuşanlar kümesini I˙İ, Almanca konuşanlar kümesini AA olarak tanımlayalım. Küme birleşim formülünü yazalım.
s(I˙∪A)=s(I˙)+s(A)−s(I˙∩A)s(İ \cup A) = s(İ) + s(A) - s(İ \cap A)
İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için her iki kümenin eleman sayıları toplanır ve her iki kümede ortak olan (kesişim) elemanlar iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılır.
2
Verilen değerleri (s(I˙)=22s(İ) = 22, s(A)=15s(A) = 15, s(I˙∩A)=5s(İ \cap A) = 5) formülde yerlerine yazarak işlemi gerçekleştirelim.
s(I˙∪A)=22+15−5=32s(İ \cup A) = 22 + 15 - 5 = 32
Grupta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan toplam kişi sayısını bulmak.

Anahtar Kavram

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 35Soru →

pp ve qq iki önermedir.

Buna göre, p⇒q′p \Rightarrow q' önermesi aşağıdakilerden hangisine her zaman denktir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: p′∨q′p' \vee q'

Cevap

p′∨q′p' \vee q' önermesi
Koşullu önermenin veya bağlacı cinsinden eşdeğeri yazılırken birinci bileşenin değili alınır, araya veya bağlacı yerleştirilir ve ikinci bileşen değiştirilmeden yazılır. Dolayısıyla, birinci bileşen olan pp önermesinin değili p′p', ikinci bileşen olan q′q' önermesi ise aynen yazılarak araya veya bağlacı konduğunda p′∨q′p' \vee q' önermesi elde edilir. Bu nedenle doğru yanıt p′∨q′p' \vee q' önermesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullu önermenin veya bağlacı cinsinden eşdeğerlik kuralını belirleme.
Bir x⇒yx \Rightarrow y koşullu önermesinin veya bağlacı cinsinden eşdeğeri x′∨yx' \vee y şeklindedir.
Mantıkta koşullu önermeyi veya bağlacına çevirirken birinci bileşenin değili alınır, araya veya bağlacı konur ve ikinci bileşen aynen yazılır.
2
Verilen p⇒q′p \Rightarrow q' önermesine bu kuralı uygulama.
Birinci bileşen olan pp önermesinin değili p′p' olur. İkinci bileşen olan q′q' önermesi ise aynen kalır. Araya veya (∨{\vee}) bağlacı getirildiğinde p′∨q′p' \vee q' ifadesi elde edilir.
Kuralı doğrudan verilen bileşenlere uygulayarak denk olan önermeyi bulmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu önermenin veya bağlacı cinsinden eşdeğeri

Alternatif Yöntem

Doğruluk tablosu oluşturarak her bir doğruluk durumu için p⇒q′p \Rightarrow q' önermesi ile seçeneklerdeki önermelerin doğruluk değerleri karşılaştırılabilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 36Soru →
Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde tanımlanan
p:"∀x∈Z,∃y∈Z, x−y=5"p: "\forall x \in \mathbb{Z}, \exists y \in \mathbb{Z}, \ x - y = 5"
q:"∃x∈Z,∀y∈Z, x⋅y=0"q: "\exists x \in \mathbb{Z}, \forall y \in \mathbb{Z}, \ x \cdot y = 0"
önermeleri için p⇒qp \Rightarrow q bileşik önermesinin doğruluk değeri 00'dır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen bileşik önermenin doğruluk değeri 1 olduğundan, değerinin 0 olduğunu belirten ifade yanlıştır.
Verilen pp ve qq önermelerinin her ikisi de doğru olduğundan, p⇒qp \Rightarrow q koşullu önermesinin doğruluk değeri 1'dir. Bu nedenle, bileşik önermenin doğruluk değerinin 0 olduğunu iddia eden ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
pp önermesinin doğruluk değerini belirleme
p≡1p \equiv 1
Her x∈Zx \in \mathbb{Z} için x−y=5⇒y=x−5x - y = 5 \Rightarrow y = x - 5 olur. İki tam sayının farkı da her zaman bir tam sayı olduğundan, seçilen her xx tam sayısı için bu koşulu sağlayan en az bir yy tam sayısı bulunabilir.
2
qq önermesinin doğruluk değerini belirleme
q≡1q \equiv 1
x=0x = 0 tam sayısı seçildiğinde, her y∈Zy \in \mathbb{Z} için 0⋅y=00 \cdot y = 0 eşitliği sağlanır. En az bir tane (x=0x=0) bu koşulu sağlayan tam sayı var olduğundan önerme doğrudur.
3
p⇒qp \Rightarrow q bileşik önermesinin doğruluk değerini hesaplama
p⇒q≡1⇒1≡1p \Rightarrow q \equiv 1 \Rightarrow 1 \equiv 1
Koşullu önermede (ise bağlacı), hipotez doğru ve hüküm doğru iken bileşik önerme de doğrudur.

Anahtar Kavram

Açık önermelerin niceleyiciler altındaki doğruluk değerlerinin belirlenmesi ve mantıksal bağlaçlarla bileşik önermelerin oluşturulması
Soru 37Soru →

Z+\mathbb{Z}^+ pozitif tam sayılar kümesi ve Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere,

p(x,y):"x2−y<4"p(x, y): "x^2 - y < 4"
q(x,y):"x+y2≤5"q(x, y): "x + y^2 \leq 5"

açık önermeleri tanımlanıyor.

Buna göre, (x,y)∈Z+×Z(x, y) \in \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z} olmak üzere, p(x,y)∧q(x,y)p(x, y) \wedge q(x, y) açık önermesinin doğruluk kümesinin eleman say��sı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

Doğruluk kümesinin eleman sayısı 6'dır.
Doğruluk kümesinin eleman sayısı altı olarak bulunur. Her iki eşitsizliği de sağlayan pozitif tam sayı xx ve tam sayı yy ikilileri sırasıyla (1,−2)(1, -2), (1,−1)(1, -1), (1,0)(1, 0), (1,1)(1, 1), (2,1)(2, 1) ve (1,2)(1, 2)'dir. Burada y=2y = 2 için xx'in alabileceği değerler x2<6x^2 < 6 eşitsizliğinden 11 ve 22 iken, x≤5−22=1x \leq 5 - 2^2 = 1 koşulu nedeniyle sadece x=1x = 1 değeri kabul edilir ve (2,2)(2, 2) ikilisi elenir.

Adım Adım Çözüm

1
İki açık önermenin de doğru olmasını sağlayan (x,y)(x, y) ikililerini bulmak için eşitsizlikleri düzenleyelim.
Birinci eşitsizlikten y>x2−4y > x^2 - 4 ve ikinci eşitsizlikten x≤5−y2x \leq 5 - y^2 elde edilir.
Eşitsizlikleri tek bir değişken cinsinden ifade etmek sınırları belirlemeyi kolaylaştırır.
2
xx'in pozitif tam sayı olması (x≥1x \geq 1) şartını kullanarak yy'nin alabileceği tam sayı değerlerini sınırlandıralım.
x≥1x \geq 1 ve x≤5−y2x \leq 5 - y^2 olduğundan, 1≤5−y2⇒y2≤41 \leq 5 - y^2 \Rightarrow y^2 \leq 4 elde edilir. Buradan yy tam sayısı −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 değerlerini alabilir.
yy değişkeninin alabileceği değer aralığını daraltarak sonlu sayıda durum incelemesi yapmak.
3
yy'nin her bir olası değeri için y>x2−4y > x^2 - 4 (yani x2<y+4x^2 < y + 4) ve x≤5−y2x \leq 5 - y^2 eşitsizliklerini sağlayan pozitif tam sayı xx değerlerini belirleyelim.
Aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi her bir yy değeri için xx değerleri bulunur:

yy Değerix2<y+4x^2 < y + 4 Koşulux≤5−y2x \leq 5 - y^2 KoşuluGeçerli xx DeğerleriOluşan İkililer
−2-2x2<2x^2 < 2x≤1x \leq 111(1,−2)(1, -2)
−1-1x2<3x^2 < 3x≤4x \leq 411(1,−1)(1, -1)
00x2<4x^2 < 4x≤5x \leq 511(1,0)(1, 0)
11x2<5x^2 < 5x≤4x \leq 41,21, 2(1,1),(2,1)(1, 1), (2, 1)
22x2<6x^2 < 6x≤1x \leq 111(1,2)(1, 2)
Tüm olası yy değerleri için xx çözümlerini sistematik olarak bulmak.
4
Bulunan tüm geçerli (x,y)(x, y) sıralı ikililerini listeleyelim ve sayalım.
Doğruluk kümesi {(1,−2),(1,−1),(1,0),(1,1),(2,1),(1,2)}\{(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (2, 1), (1, 2)\} olup eleman sayısı 66'dır.
Ortak çözüm kümesinin eleman sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Açık Önermelerin Doğruluk Kümelerini Bulma
Soru 38Soru →

Elemanları ve alt kümeleri arasındaki ilişkileri inceleyen bir matematik öğretmeni, tahtaya aşağıdaki KK kümesini yazıyor:

K={1,2,{1},{1,2},{2,3},∅}K = \{1, 2, \{1\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \emptyset\}

Daha sonra öğrencilerine şu soruyu soruyor:

"Bu KK kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin tüm elemanları, aynı zamanda KK kümesinin de birer alt kümesidir?"

Buna göre, öğretmenin sorduğu sorunun doğru cevabı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Koşulu sağlayan elemanlar {1}\{1\}, {1,2}\{1, 2\} ve ∅\emptyset olmak üzere 3 tanedir. Bu elemanlar kullanılarak oluşturulabilecek alt küme sayısı 23=82^3 = 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
K kümesinin elemanlarını analiz etme
KK kümesinin elemanları 11, 22, {1}\{1\}, {1,2}\{1, 2\}, {2,3}\{2, 3\} ve ∅\emptyset olmak üzere 6 tanedir.
Koşulu sağlayan elemanları belirleyebilmek için kümenin tüm elemanlarını tek tek incelememiz gerekir.
2
Her bir elemanın K kümesinin alt kümesi olup olmadığını kontrol etme
Elemanların alt küme olma durumları:
- 1∈K1 \in K fakat 1⊈K1 \not\subseteq K (küme değildir)
- 2∈K2 \in K fakat 2⊈K2 \not\subseteq K (küme değildir)
- {1}∈K\{1\} \in K ve 1∈K1 \in K olduğundan {1}⊆K\{1\} \subseteq K
- {1,2}∈K\{1, 2\} \in K ve 1∈K,2∈K1 \in K, 2 \in K olduğundan {1,2}⊆K\{1, 2\} \subseteq K
- {2,3}∈K\{2, 3\} \in K fakat 3∉K3 \notin K olduğundan {2,3}⊈K\{2, 3\} \not\subseteq K
- ∅∈K\emptyset \in K ve boş küme her kümenin alt kümesi olduğundan ∅⊆K\emptyset \subseteq K
Bir kümenin alt küme olabilmesi için o kümenin tüm elemanların��n ana kümenin de birer elemanı olması gerekir.
3
Koşulu sağlayan elemanlarla oluşturulabilecek alt küme sayısını hesaplama
Koşulu sağlayan elemanlar kümesi S={{1},{1,2},∅}S = \{\{1\}, \{1, 2\}, \emptyset\} olup eleman sayısı s(S)=3s(S) = 3'tür. Bu elemanlarla oluşturulabilecek alt küme sayısı 23=82^3 = 8 olarak bulunur.
Tüm elemanları KK kümesinin alt kümesi olan kümeler, SS kümesinin alt kümeleridir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman ve Alt Küme İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 39Soru →

A={x∣x≤10 ve x bir pozitif tek tam sayı}A = \{x \mid x \le 10 \text{ ve } x \text{ bir pozitif tek tam sayı}\}

B={x∣x≤10 ve x bir asal sayı}B = \{x \mid x \le 10 \text{ ve } x \text{ bir asal sayı}\}

kümeleri veriliyor.

Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Birleşim kümesinin eleman sayısı 6'dır.
Doğru yanıt olan değer, A kümesinin eleman sayısı (5) ile B kümesinin eleman sayısının (4) toplamından, her iki kümede ortak bulunan elemanların (3, 5, 7) oluşturduğu kesişim kümesinin eleman sayısının (3) çıkarılmasıyla elde edilir. Bu işlem sonucunda 5+4−3=65 + 4 - 3 = 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını listeleyelim.
A={1,3,5,7,9}A = \{1, 3, 5, 7, 9\} ve s(A)=5s(A) = 5
10'dan küçük veya eşit olan pozitif tek tam sayılar belirlenir.
2
BB kümesinin elemanlarını listeleyelim.
B={2,3,5,7}B = \{2, 3, 5, 7\} ve s(B)=4s(B) = 4
10'dan küçük veya eşit olan asal sayılar belirlenir (2 sayısının çift ve asal olan tek sayı olduğu unutulmamalıdır).
3
AA ve BB kümelerinin kesişim kümesini ve eleman sayısını bulalım.
A∩B={3,5,7}A \cap B = \{3, 5, 7\} ve s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3
Hem pozitif tek tam sayı hem de asal sayı olan ortak elemanlar belirlenir.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü uygulayalım.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=5+4−3=6s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 5 + 4 - 3 = 6
Kesişim kümesindeki ortak elemanların iki kez sayılmasını önlemek için formülde kesişim eleman sayısı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin eleman sayısı ilişkisi (s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)).
Soru 40Soru →
AA ve BB boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,
s(A∪B)=5⋅s(A∩B)s(A \cup B) = 5 \cdot s(A \cap B)
s(A∖B)=3⋅s(B∖A)s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A)
eşitlikleri verilmiştir.
CC kümesi, A∪BA \cup B kümesinin bir alt kümesidir.
s(A∩C)=s(B∩C)=s(A∩B∩C)+4s(A \cap C) = s(B \cap C) = s(A \cap B \cap C) + 4
s((A∪B)∖C)=23s((A \cup B) \setminus C) = 23
olduğuna göre, CC kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

C kümesinin eleman sayısı 12'dir.
Verilen oranlar ve fark kümesi denklemleri çözüldüğünde 5k−s(A∩B∩C)=315k - s(A \cap B \cap C) = 31 bağıntısına ulaşılır. s(A∩B∩C)≤ks(A \cap B \cap C) \le k olması gerektiğinden kk tam sayısı yalnızca 7 olabilir. Buradan ortak kesişim bölgesinin eleman sayısı 4, CC kümesinin toplam eleman sayısı ise 12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birleşim ve fark kümelerinin eleman sayıları arasındaki oranları kullanarak bölgeleri tek bir değişken cinsinden yazmak.
s(A∩B)=ks(A \cap B) = k dersek, s(A∪B)=5ks(A \cup B) = 5k, s(B∖A)=ks(B \setminus A) = k ve s(A∖B)=3ks(A \setminus B) = 3k elde edilir.
Kümelerin alt bölgelerinin büyüklüklerini birbiriyle ilişkilendirebilmek için.
2
CC kümesinin AA ve BB ile olan kesişim bölgelerinin eleman sayılarını analiz etmek.
s((A∩C)∖B)=4s((A \cap C) \setminus B) = 4 ve s((B∩C)∖A)=4s((B \cap C) \setminus A) = 4 bulunur. Buradan s(C)=8+s(A∩B∩C)s(C) = 8 + s(A \cap B \cap C) eşitliği yazılır.
C⊂(A∪B)C \subset (A \cup B) koşuluna göre CC kümesinin eleman sayısını üçlü kesişim bölgesi cinsinden ifade etmek için.
3
(A∪B)∖C(A \cup B) \setminus C fark kümesinin eleman sayısını kk ve s(A∩B∩C)s(A \cap B \cap C) cinsinden ifade edip 23'e eşitlemek.
5k−8−s(A∩B∩C)=23  ⟹  5k−s(A∩B∩C)=315k - 8 - s(A \cap B \cap C) = 23 \implies 5k - s(A \cap B \cap C) = 31 denklemi elde edilir.
Soruda verilen eleman sayısı bilgisini kullanarak bilinmeyenler arasında doğrusal bir bağıntı kurmak için.
4
Kesişim kümesinin alt küme olma özelliğinden gelen eşitsizliği kullanarak kk ve s(A∩B∩C)s(A \cap B \cap C) değerlerini belirlemek.
0≤5k−31≤k  ⟹  6.2≤k≤7.750 \le 5k - 31 \le k \implies 6.2 \le k \le 7.75 aralığından k=7k = 7 tam sayısı bulunur. Buradan s(A∩B∩C)=4s(A \cap B \cap C) = 4 ve s(C)=8+4=12s(C) = 8 + 4 = 12 elde edilir.
Eleman sayılarının pozitif tam sayı olması ve alt küme kapsama sınırlılıklarını değerlendirerek tekil çözüme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiler ile alt küme özelliklerinin kullanımı.
Tahmini Süre:2m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 10Sonraki
Kümeler ve Mantık Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin