Examkin

Yaş Problemleri

78 soru

Tüm türler78Çoktan seçmeli39Sayısal19Sıralama20
Soru 1Soru →

Ali, Burak, Cem ve Deniz adındaki dört arkadaşın yaşları ve doğum yıllarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ali, Burak'ın bugünkü yaşına geldiğinde yıl 20322032 olacaktır.
* Cem, Deniz'den yaşça büyük olup bu ikisinin yaşları farkı, Burak ile Ali'nin yaşları farkının yarısı kadardır.
* Deniz doğduğunda Ali 22 yaşındaydı.

Bugünün tarihi 1313 Temmuz 20262026 olduğuna göre; Ali, Burak, Cem ve Deniz'in doğum yıllarını en erken olandan en geç olana doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğum yıllarının en erken olandan en geç olana doğru doğru sıralaması Burak, Cem, Ali ve Deniz şeklindedir.
Deniz'in yaşı DD kabul edildiğinde Ali D+2D+2, Cem D+3D+3 ve Burak D+8D+8 yaşındadır. Yaş sıralaması büyükten küçüğe Burak, Cem, Ali ve Deniz şeklinde olduğundan doğum yılları en erken olandan en geç olana doğru sırasıyla Burak, Cem, Ali ve Deniz olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ali ile Burak arasındaki yaş farkını belirleme
Burak, Ali'den 66 yaş büyüktür (B−A=6B - A = 6).
Bugünün yılı 20262026 olarak verilmiştir. Ali'nin Burak'ın yaşına gelmesi için B−AB - A yıl geçmesi gerekir. Bu durumda 2026+(B−A)=20322026 + (B - A) = 2032 denkleminden yaş farkı B−A=6B - A = 6 olarak bulunur.
2
Cem ile Deniz arasındaki yaş farkını belirleme
Cem, Deniz'den 33 yaş büyüktür (C−D=3C - D = 3).
Cem ile Deniz'in yaşları farkı, Burak ile Ali'nin yaşları farkının yarısı kadardır. 6/2=36 / 2 = 3 olduğundan ve Cem Deniz'den büyük olduğundan C=D+3C = D + 3 yazılır.
3
Ali ile Deniz arasındaki yaş ilişkisini belirleme
Ali, Deniz'den 22 yaş büyüktür (A−D=2A - D = 2).
Deniz doğduğunda (yani 00 yaşındayken) Ali 22 yaşında olduğuna göre Ali, Deniz'den 22 yaş büyüktür. Buradan A=D+2A = D + 2 elde edilir.
4
Tüm yaşları tek bir değişken cinsinden ifade edip sıralama
Yaşların büyükten küçüğe sıralaması Burak>Cem>Ali>DenizBurak > Cem > Ali > Deniz şeklindedir.
Deniz'in bugünkü yaşına DD dersek; Ali'nin yaşı D+2D + 2, Cem'in yaşı D+3D + 3, Burak'ın yaşı ise A+6=(D+2)+6=D+8A + 6 = (D + 2) + 6 = D + 8 olur. Yaşı en büyük olan en erken doğmuştur, dolayısıyla doğum yılları en erken olandan en geç olana doğru Burak, Cem, Ali, Deniz olarak sıralanır.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde yaş farkının sabitliği ve zamanla değişmemesi ilkesi ile doğum yılı-yaş ilişkisi.
Soru 2Soru →

Aslı ile Hakan'ın bugünkü yaşları farkı 1010'dur. Aslı, Hakan'dan büyüktür. 44 yıl önce ikisinin yaşları toplamı 2424 olduğuna göre, Aslı'nın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

21
İki kişinin yaşları farkı sabittir ve zamanla değişmez. Dolayısıyla Aslı ile Hakan'ın 44 yıl önce de yaşları farkı 1010'dur. 44 yıl önceki yaşları toplamı 2424 olduğuna göre, bu dönemde büyük olan Aslı'nın yaşı 24+102=17\frac{24 + 10}{2} = 17 olur. Aslı'nın bugünkü yaşını bulmak için bu değere 44 ekleriz: 17+4=2117 + 4 = 21 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin bugünkü yaşlarını bilinmeyenler cinsinden belirleme.
Hakan'ın bugünkü yaşı xx olsun. Aslı, Hakan'dan büyük ve yaş farkı 1010 olduğu için Aslı'nın bugünkü yaşı x+10x + 10 olur.
Verilen yaş farkı ilişkisini matematiksel ifadeye dökmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
4 yıl önceki yaşlar�� bulma ve toplamlarını veren denklemi kurma.
44 yıl önce Hakan x−4x - 4 yaşında, Aslı ise (x+10)−4=x+6(x + 10) - 4 = x + 6 yaşındadır. Bu yaşların toplamı: (x−4)+(x+6)=24(x - 4) + (x + 6) = 24 olur.
Geçmişteki yaşları bulmak için her iki kişinin yaşından da geçen yıl sayısı kadar eksiltme yapılır.
3
Denklemi çözerek bilinmeyeni ve Aslı'nın bugünkü yaşını bulma.
2x+2=24⇒2x=22⇒x=112x + 2 = 24 \Rightarrow 2x = 22 \Rightarrow x = 11 (Hakan'ın bugünkü yaşı). Aslı'nın bugünkü yaşı: x+10=11+10=21x + 10 = 11 + 10 = 21 olarak bulunur.
Elde edilen birinci dereceden denklemin çözülmesiyle hedeflenen yaş değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki kişinin yaşları farkı yıllar geçse de değişmez. Geçen süre, gruptaki her bireyin yaşına aynı miktarda eklenir veya eksiltilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Derya, Elif ve Fatih'in bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Elif, Derya'nın bugünkü yaşına geldiğinde; Fatih'in yaşı, Elif'in bugünkü yaşının 22 katı olacaktır.
* Derya, Fatih'in bugünkü yaşındayken; Fatih'in doğmasına henüz 66 yıl vardı.
* Bu üç kişinin bugünkü yaşları toplam�� 4040'tır.

Buna göre; aşağıda verilen I, II ve III numaralı ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

İfadelerin k��çükten büyüğe doğru sıralanışı I, III, II şeklindedir.
Verilen bilgiler doğrultusunda kurulan denklem sisteminden kişilerin bugünkü yaşları sırasıyla Derya için 2222, Elif için 1010 ve Fatih için 88 olarak çözülür. Buradan I. öncülün değeri 1212, II. öncülün değeri 1818 ve III. öncülün değeri 1616 bulunur. Sayısal değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı I, III, II şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin bugünkü yaşları için değişkenler belirleyelim.
Derya'nın bugünkü yaşına DD, Elif'in bugünkü yaşına EE ve Fatih'in bugünkü yaşına FF diyelim.
Verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
Elif'in Derya'nın yaşına gelmesi durumu için denklem kuralım.
Elif'in Derya'nın yaş��na gelmesi için D−ED - E yıl geçmelidir. Bu süre sonunda Fatih'in yaşı F+(D−E)F + (D - E) olur. Soruda verilen bilgiye göre bu yaş, Elif'in bugünkü yaşının 22 katı olacağından: F+D−E=2E  ⟹  D+F=3EF + D - E = 2E \implies D + F = 3E elde edilir.
Geçen sürenin her bir kişi için aynı miktarda olacağı bilgisini kullanmak için.
3
Derya'nın Fatih'in yaşında olduğu geçmiş zaman durumu için denklem kuralım.
Derya'nın Fatih'in yaşında olduğu zaman D−FD - F yıl öncedir. Bu süre önce Fatih'in yaşı F−(D−F)=2F−DF - (D - F) = 2F - D olur. Fatih'in doğmasına 66 yıl kaldığı belirtildiğine göre bu değer −6-6'ya eşitlenir: 2F−D=−6  ⟹  D=2F+62F - D = -6 \implies D = 2F + 6 bulunur.
Geçmişteki yaş farkı durumunu ve doğum öncesi zamanı negatif değerle ifade etmek için.
4
Eldeki denklemleri birleştirerek Elif'in yaşını Fatih cinsinden bulalım.
D=2F+6D = 2F + 6 ifadesini birinci denklemde yerine yazalım: (2F+6)+F=3E  ⟹  3F+6=3E  ⟹  E=F+2(2F + 6) + F = 3E \implies 3F + 6 = 3E \implies E = F + 2 bulunur.
Değişken sayısını azaltmak için.
5
Yaşlar toplamı bilgisini kullanarak Fatih'in yaşını hesaplayalım.
Bugünkü yaşlar toplamı D+E+F=40D + E + F = 40 olarak verilmiştir. DD ve EE ifadelerini FF cinsinden yerine yazarsak: (2F+6)+(F+2)+F=40  ⟹  4F+8=40  ⟹  4F=32  ⟹  F=8(2F + 6) + (F + 2) + F = 40 \implies 4F + 8 = 40 \implies 4F = 32 \implies F = 8 olarak bulunur.
Tüm yaşları tek bilinmeyenli bir denklemde çözmek için.
6
Derya ve Elif'in yaşlarını hesaplayalım.
F=8F = 8 için, Elif'in yaşı E=8+2=10E = 8 + 2 = 10 ve Derya'nın yaşı D=2×8+6=22D = 2 \times 8 + 6 = 22 olur.
Her bir bireyin bugünkü kesin yaşlarını saptamak için.
7
İstenen öncüllerin sayısal değerlerini bulalım.
I. öncül: D−E=22−10=12D - E = 22 - 10 = 12
II. öncül: E+F=10+8=18E + F = 10 + 8 = 18
III. öncül: 2F=2×8=162F = 2 \times 8 = 16 değerleri elde edilir.
Öncüllerin değerlerini karşılaştırabilmek için.
8
Değerleri küçükten büyüğe sıralayalım.
12<16<1812 < 16 < 18 olduğundan, doğru sıralama I < III < II şeklindedir.
Öncüllerin büyüklük ilişkilerini saptamak için.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman içinde geçen sürenin tüm bireyler için eşit olması ve iki kişinin yaş farkının zamanla asla değişmemesi ilkeleri.
Soru 4Soru →

Ece, Deniz ve Can isimli üç kardeşin bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ece, Deniz'den; Deniz de Can'dan büyüktür.
* Ece, Deniz'in bugünkü yaşındayken Can'ın doğmasına 44 yıl vardı.
* Can, Deniz'in bugünkü yaşına geldiğinde Ece ile Deniz'in yaşları toplamı 5252 olacaktır.
* Deniz ile Can'ın bugünkü yaşları farkı 66'dır.

Buna göre, Ece'nin bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Ece'nin bugünkü yaşı 26'dır.
Verilen bilgilere göre kurulan denklem sisteminde Ece'nin bugünkü yaşı E=26E = 26, Deniz'in bugünkü yaşı D=14D = 14 ve Can'ın bugünkü yaşı C=8C = 8 olarak elde edilir. Ece'nin yaşı olan 2626 değeri sorunun doğru cevabıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kardeşlerin bugünkü yaşlarını sırasıyla EE, DD ve CC olarak tanımlayalım (E>D>CE > D > C). Birinci bilgiyi denklemleştirelim: Ece, Deniz'in yaşındayken (E−DE-D yıl önce) Can'ın doğmasına 4 yıl vardı.
C−(E−D)=−4  ⟹  E−D=C+4  ⟹  E=D+C+4C - (E - D) = -4 \implies E - D = C + 4 \implies E = D + C + 4 olur.
Geçmişteki yaş ilişkisinden Ece, Deniz ve Can'ın yaşları arasında birinci denklemi kurmak.
2
İkinci bilgiyi denklemleştirelim: Can'ın Deniz'in yaşına gelmesi için D−CD-C yıl geçmesi gerekir. Bu sürede Ece'nin yaşı E+D−CE + D - C, Deniz'in yaşı ise D+D−C=2D−CD + D - C = 2D - C olur. Bu yaşların toplamı 5252 olarak verilmiştir.
(E+D−C)+(2D−C)=52  ⟹  E+3D−2C=52(E + D - C) + (2D - C) = 52 \implies E + 3D - 2C = 52 elde edilir.
Gelecekteki yaş durumunu ifade eden ikinci denklemi oluşturmak.
3
Üçüncü bilgiyi denklemleştirelim: Deniz ile Can'ın bugünkü yaşları farkı 66'dır.
D−C=6  ⟹  D=C+6D - C = 6 \implies D = C + 6 olur.
İki kardeşin yaş farkından yararlanarak denklem sistemine üçüncü bir girdi sağlamak.
4
Elde edilen üç denklemi ortak çözelim: D=C+6D = C + 6 değerini birinci denklemde yerine yazarsak E=(C+6)+C+4=2C+10E = (C + 6) + C + 4 = 2C + 10 elde edilir. Bu EE ve DD değerlerini ikinci denklemde yerine yazalım.
(2C+10)+3(C+6)−2C=52  ⟹  3C+28=52  ⟹  3C=24  ⟹  C=8(2C + 10) + 3(C + 6) - 2C = 52 \implies 3C + 28 = 52 \implies 3C = 24 \implies C = 8 bulunur.
Denklem sistemini tek bilinmeyene indirgeyerek çözmek.
5
Bulunan C=8C = 8 değerini kullanarak Ece'nin bugünkü yaşını bulalım.
E=2(8)+10=26E = 2(8) + 10 = 26 olarak hesaplanır.
İstenen Ece'nin bugünkü yaşını bulmak.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçişinin tüm bireyleri aynı miktarda etkilemesi ve yaş farkının sabit kalması prensibi
Soru 5Soru →

Bir arkadaş grubundaki Umut, Can ve Efe'nin bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Umut'un bugünkü yaşı; Can'ın bugünkü yaşının 22 katına, Efe'nin bugünkü yaşının ise 33 katına eşittir.
* Efe, Can'ın bugünkü yaşına geldiğinde üçünün yaşları toplamı 8484 olacaktır.

Buna göre, Umut'un bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Umut'un bugünkü yaşı 36'dır.
Umut'un bugünkü yaşı 6x6x, Can'ın 3x3x ve Efe'nin 2x2x olarak belirlendiğinde; Efe'nin Can'ın yaşına gelmesi için geçen xx yılda herkes xx yıl yaşlanır. Yaşlar toplamı 7x+4x+3x=14x=847x + 4x + 3x = 14x = 84 denkleminden x=6x = 6 bulunur. Buradan Umut'un bugünkü yaşı 6×6=366 \times 6 = 36 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin bugünkü yaşlarını ortak bir bilinmeyen cinsinden ifade etme
Umut'un bugünkü yaşı 6x6x olsun. Bu durumda Can'ın bugünkü yaşı 3x3x, Efe'nin bugünkü yaşı ise 2x2x olur.
Umut'un yaşı Can'ın 2 katı ve Efe'nin 3 katı olduğundan, yaşları en küçük ortak kat olan 6'nın katı olarak belirlemek işlemleri kolaylaştırır.
2
Efe'nin Can'ın yaşına gelmesi için geçmesi gereken süreyi ve bu süredeki yeni yaşları belirleme
Efe'nin (2x2x) Can'ın bugünkü yaşına (3x3x) gelmesi için 3x−2x=x3x - 2x = x yıl geçmelidir. Bu süre zarfında gruptaki herkes xx yıl yaşlanır. Yeni yaşlar: Umut için 6x+x=7x6x + x = 7x, Can için 3x+x=4x3x + x = 4x, Efe için 2x+x=3x2x + x = 3x olur.
Zaman herkes için aynı miktarda akar; dolayısıyla gruptaki her bir kişinin yaşı aynı oranda artmalıdır.
3
Gelecekteki yaşlar toplamı denkleminden bilinmeyeni bulma ve Umut'un bugünkü yaşını hesaplama
7x+4x+3x=84  ⟹  14x=84  ⟹  x=67x + 4x + 3x = 84 \implies 14x = 84 \implies x = 6 olarak bulunur. Umut'un bugünkü yaşı 6x=6×6=366x = 6 \times 6 = 36 olarak hesaplanır.
Gelecekteki yaşların toplamı 84 olarak verilmiştir. Buradan elde edilen bilinmeyen değeriyle Umut'un bugünkü yaş ifadesi çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zamanın herkes için eşit miktarda akması ve iki kişi arasındaki yaş farkının yıllar geçse de değişmemesi.

Alternatif Yöntem

Umut ile Can arasındaki yaş farkı 6x−3x=3x6x - 3x = 3x ve Can ile Efe arasındaki yaş farkı 3x−2x=x3x - 2x = x'tir. Yaş farklarının sabitliği ilkesi gereğince, Efe xx yaş büyüdüğünde Can da xx yaş büyür ve yaş farkları değişmez. Bu durum pratik olarak herkesin xx yıl yaşlandığını gösterir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →

Bir arkadaş grubundaki Aslı, Burak, Cem ve Derya'nın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Cem, Derya'dan 66 yaş büyüktür.
* Burak, Cem'in bugünkü yaşına geldiğinde Aslı'nın yaşı, Derya'nın bugünkü yaşına eşit olmaktadır.
* Cem, Aslı'nın bugünkü yaşındayken Derya 1616 yaşındaydı.
* Aslı ile Derya'nın bugünkü yaşları toplamı 4646'dır.

Buna göre, bu kişilerin doğum yıllarını en erkenden en geç olana doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğum yıllarının en erkenden en geç olana doğru sıralanışı Cem, Burak, Derya, Aslı şeklindedir.
Kişilerin bugünkü yaşları sırasıyla Cem 3030, Burak 2828, Derya 2424 ve Aslı 2222 olarak hesaplanır. Doğum yılı en erken olan en yaşlı kişi, en geç olan ise en genç kişidir. Bu nedenle doğru sıralama en yaşlıdan en gence doğru Cem, Burak, Derya, Aslı şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin bugünkü yaşlarını değişkenlerle ifade edip birinci veriyi denklem haline getirelim.
Aslı'nın yaşı AA, Burak'ın yaşı BB, Cem'in yaşı CC ve Derya'nın yaşı DD olsun. Birinci bilgiye göre: C=D+6C = D + 6 yani C−D=6C - D = 6 olur.
Cem ile Derya arasındaki yaş farkını belirlemek için.
2
İkinci bilgiyi denklem haline getirerek Burak ile Aslı arasındaki yaş farkını bulalım.
Burak'ın Cem'in yaşına gelmesi için geçen süre C−BC - B yıldır. Bu süre sonunda Aslı'nın yaşı A+(C−B)A + (C - B) olur ve bu yaş Derya'nın bugünkü yaşına eşitlenir: A+C−B=D  ⟹  C−D=B−AA + C - B = D \implies C - D = B - A. C−D=6C - D = 6 olduğundan, B−A=6B - A = 6 bulunur.
Kişilerin yaş farklarının zamanla değişmeyeceği ilkesini kullanarak iki kişi arasındaki farkı diğeriyle ilişkilendirmek için.
3
Üçüncü bilgiyi kullanarak Aslı'nın bugünkü yaşını hesaplayalım.
Cem'in Aslı'nın bugünkü yaşında olduğu dönem C−AC - A yıl öncesidir. O tarihte Derya'nın yaşı D−(C−A)=16D - (C - A) = 16 olur. Buradan D−C+A=16D - C + A = 16 yazılır. C−D=6  ⟹  D−C=−6C - D = 6 \implies D - C = -6 olduğundan, −6+A=16  ⟹  A=22-6 + A = 16 \implies A = 22 bulunur.
Geçmişteki yaş durumunu denklemleştirip yaş farkı bilgisini yerine koyarak tek bilinmeyenli denklem çözmek için.
4
Bulduğumuz Aslı'nın yaşını kullanarak diğer kişilerin yaşlarını hesaplayalım.
A=22A = 22 ise B=A+6=28B = A + 6 = 28 olur. Dördüncü bilgiye göre A+D=46  ⟹  22+D=46  ⟹  D=24A + D = 46 \implies 22 + D = 46 \implies D = 24 olur. Cem'in yaşı ise C=D+6=24+6=30C = D + 6 = 24 + 6 = 30 olarak bulunur.
Gruptaki tüm bireylerin bugünkü yaşlarını tam olarak belirlemek için.
5
Kişilerin bugünkü yaşlarını karşılaştırarak doğum yıllarını sıralayalım.
Bugünkü yaşlar: Cem (3030), Burak (2828), Derya (2424), Aslı (2222) şeklindedir. Yaşı daha büyük olanın doğum yılı daha eskidir (en erkendir). Buna göre doğum yılı sırası en erkenden en geç olana doğru: Cem, Burak, Derya, Aslı olur.
Yaş ile doğum yılı arasındaki ters orantı ilişkisini kullanarak doğru sıralamayı elde etmek için.

Anahtar Kavram

İki kişi arasındaki yaş farkı yıllar geçse de değişmez. Yaşı daha büyük olan bireyin doğum yılı kronolojik olarak daha eskidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →

Deniz, Ezgi ve Fatih'in yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Deniz'in yaşının 33 katı, Ezgi'nin yaşının 44 katına eşittir.
* Fatih, Deniz'den 22 yaş büyüktür.

Buna göre; bu üç kişinin bugünkü yaşlarının küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama Ezgi, Deniz ve Fatih şeklindedir.
Verilen 3D=4E3D = 4E bağıntısına göre Ezgi'nin yaşı 3k3k iken Deniz'in yaşı 4k4k olur. Fatih ise Deniz'den 22 yaş büyük olduğuna göre Fatih'in yaşı 4k+24k+2 olur. Bu durumda en küçük Ezgi, ortanca Deniz ve en büyük Fatih olur. Sıralama Ezgi < Deniz < Fatih şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Deniz ile Ezgi'nin yaşları arasındaki ilişkiyi belirleme
Deniz'in yaşına DD, Ezgi'nin yaşına EE dersek, 3D=4E3D = 4E bağıntısından D=4kD = 4k ve E=3kE = 3k (k>0k > 0) elde edilir. Buradan E<DE < D olduğu görülür.
Verilen kat ilişkisini matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Fatih ile Deniz'in yaşları arasındaki ilişkiyi belirleme
Fatih'in yaşına FF dersek, F=D+2F = D + 2 olur. Yaşlar pozitif tam sayı olduğundan D<FD < F sonucuna ulaşılır.
Fatih'in yaşının Deniz'inkinden büyük olduğunu görmek için.
3
Elde edilen eşitsizlikleri birleştirme
E<DE < D ve D<FD < F eşitsizlikleri birleştirildiğinde E<D<FE < D < F sıralaması elde edilir.
Kişilerin yaşlarını küçükten büyüğe doğru sıralamak için.

Anahtar Kavram

İki veya daha fazla kişinin yaşları arasındaki oran ve fark ilişkilerini kullanarak büyüklük sıralaması yapma.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 8Soru →

Ahmet, Burak ve Cihan'ın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ahmet, Cihan'ın bugünkü yaşına geldiğinde Burak 3232 yaşındadır.
* Cihan, Burak'ın bugünkü yaşına geldiğinde Ahmet 1212 yaşındadır.
* Bu üç kişinin bugünkü yaşları toplamı 5454'tür.

Buna göre; Ahmet, Burak ve Cihan'ın bugünkü yaşlarına göre küçükten büyüğe doğru sıralanışını belirleyiniz.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Bug��nkü yaşlarına göre küçükten büyüğe sıralama Ahmet, Cihan ve Burak şeklindedir.
Denklem sistemi çözüldüğünde Ahmet'in bugünkü yaşı 1111, Cihan'ın bugünkü yaşı 2121 ve Burak'ın bugünkü yaşı 2222 olarak elde edilmektedir. Bu yaş değerlerine göre küçükten büyüğe doğru yapılan sıralamada en küçük Ahmet, ardından Cihan ve en büyük ise Burak olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin bugünkü yaşlarını Ahmet için aa, Burak için bb ve Cihan için cc değişkenleriyle temsil edelim.
Ahmet: aa, Burak: bb, Cihan: cc
Yaş ilişkilerini matematiksel denklemlere dökebilmek için bilinmeyenleri tanımlarız.
2
Ahmet'in Cihan'ın yaşına gelmesi için geçen süreyi bulup Burak'ın bu süre sonundaki yaşını denklem haline getirelim.
Geçen süre: c−ac - a yıl. Burak'ın yeni yaşı: b+(c−a)=32b + (c - a) = 32
Gelecekteki bir zamana gitmek için geçen süreyi hesaplayıp diğer kişilerin yaşına ekleriz.
3
Cihan'ın Burak'ın yaşına gelmesi için geçen süreyi bulup Ahmet'in bu süre sonundaki yaşını denklem haline getirelim.
Geçen süre: b−cb - c yıl. Ahmet'in yeni yaşı: a+(b−c)=12a + (b - c) = 12
Aynı şekilde diğer durum için geçen süreyi bulup Ahmet'in yaşına ekleriz.
4
Elde edilen b+c−a=32b + c - a = 32 ve a+b−c=12a + b - c = 12 denklemlerini taraf tarafa toplayarak Burak'ın yaşını bulalım.
2b=44  ⟹  b=222b = 44 \implies b = 22
Taraf tarafa toplama işlemi aa ve cc değişkenlerini sadeleştirerek doğrudan bb değerine ulaşmamızı sağlar.
5
Burak'ın yaşını (b=22b = 22) birinci denklemde yerine yazarak Cihan ile Ahmet arasındaki yaş ilişkisini bulalım.
22+c−a=32  ⟹  c−a=10  ⟹  c=a+1022 + c - a = 32 \implies c - a = 10 \implies c = a + 10
Bulunan değeri yerine koyarak diğer iki değişken arasındaki farkı belirleriz.
6
Yaşlar toplamının 5454 olduğu bilgisini kullanarak Ahmet ve Cihan'ın yaşlarını bulalım.
a+b+c=54  ⟹  a+22+(a+10)=54  ⟹  2a+32=54  ⟹  2a=22  ⟹  a=11a + b + c = 54 \implies a + 22 + (a + 10) = 54 \implies 2a + 32 = 54 \implies 2a = 22 \implies a = 11 ve c=21c = 21
Tüm bilinenleri toplam denkleminde yerine yazarak tek bilinmeyenli denklem elde eder ve çözeriz.
7
Bulunan yaş değerlerini karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralayalım.
Ahmet (1111) < Cihan (2121) < Burak (2222)
Sayısal değerlerin büyüklük ilişkisine göre kişileri doğru sıraya dizeriz.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde iki kişi arasındaki yaş farkı zamanla değişmez ve geçen süre gruptaki her birey için aynıdır.
Soru 9Soru →

Bir öğretmen ile öğrencisinin bugünkü yaşları farkı 2020'dir. 44 yıl sonra öğretmenin yaşı, öğrencisinin yaşının 33 katı olacağına göre, öğrencisinin bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Öğrencinin bugünkü yaşı 6'dır.
Öğrencinin bugünkü yaşına xx denilirse, yaş farkı sabit kalacağı için öğretmenin bugünkü yaşı x+20x + 20 olur. 4 yıl sonra her ikisinin de yaşı 4 artar; öğrenci x+4x + 4, öğretmen ise x+24x + 24 yaşında olur. Bu durumda öğretmenin yaşı öğrencisinin yaşının 3 katı olacağından x+24=3(x+4)x + 24 = 3(x + 4) denklemi elde edilir. Buradan x+24=3x+12  ⟹  2x=12  ⟹  x=6x + 24 = 3x + 12 \implies 2x = 12 \implies x = 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve bugünkü yaşları ifade etme
Öğrencinin bugünkü yaşına xx dersek, yaş farkı 2020 olduğu için öğretmenin bugünkü yaşı x+20x + 20 olur.
Kişilerin bugünkü yaşlarını ortak bir bilinmeyen cinsinden yazabilmek için.
2
4 yıl sonraki yaşları belirleme
4 yıl sonra öğrenci x+4x + 4, öğretmen ise (x+20)+4=x+24(x + 20) + 4 = x + 24 yaşında olur.
Zaman geçtikçe gruptaki herkesin yaşının aynı miktarda artacağını hesaba katmak için.
3
Kat ilişkisine göre denklemi kurup çözme
x+24=3(x+4)  ⟹  x+24=3x+12  ⟹  2x=12  ⟹  x=6x + 24 = 3(x + 4) \implies x + 24 = 3x + 12 \implies 2x = 12 \implies x = 6 bulunur.
4 yıl sonra öğretmenin yaşının öğrencisinin yaşının 3 katı olacağı bilgisini kullanarak denklem kurmak ve öğrencisinin bugünkü yaşını bulmak için.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçtikçe her bireyin yaşı aynı miktarda artar ve iki kişi arasındaki yaş farkı yıllar geçse de daima sabit kalır.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri deneyerek de çözüme ulaşılabilir. Örneğin, öğrenci bugün 6 yaşında ise öğretmen 26 yaşındadır. 4 yıl sonra öğrenci 10, öğretmen 30 yaşında olur. 30 sayısı 10 sayısının tam 3 katı olduğu için doğru cevabın 6 olduğu teyit edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 10Soru →

Ayhan, Burak ve Cenk'in bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ayhan'ın bugünkü yaşı, Burak'ın bugünkü yaşının 22 kat��dır.
* Burak, Cenk'in bugünkü yaşına geldiğinde Ayhan'ın yaşı Burak'ın yaşının 43\frac{4}{3} katı olacaktır.

Buna göre; Ayhan, Burak ve Cenk'i doğum yıllarına göre en eskiden (en erken doğum yılından) en yeniye (en geç doğum yılına) doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğum yıllarına göre en eskiden en yeniye doğru sıralama Cenk, Ayhan, Burak şeklindedir.
Yapılan hesaplamalar sonucunda Cenk'in en büyük, Burak'ın ise en küçük yaşta olduğu bulunur. Yaş sıralaması büyükten küçüğe Cenk, Ayhan, Burak şeklinde olduğundan, doğum yıllarına göre en eskiden en yeniye sıralama da Cenk, Ayhan, Burak olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin bugünkü yaşlarını değişkenler cinsinden ifade etme
Ayhan'ın yaşı AA, Burak'ın yaşı BB ve Cenk'in yaşı CC olsun. Birinci bilgiden A=2BA = 2B elde edilir.
Verilen ilk bilgiyi matematiksel olarak modellemek için.
2
Burak'ın Cenk'in yaşına gelmesi için geçen süreyi ve bu süredeki yaşları bulma
Aradan geçen süre C−BC - B yıldır. Bu süre sonunda Burak'ın yaşı CC, Ayhan'ın yaşı ise A+(C−B)=2B+C−B=B+CA + (C - B) = 2B + C - B = B + C olur.
Zamanın ilerlemesiyle kişilerin yaşlarındaki artışı hesaplamak için.
3
İkinci bilgiyi kullanarak denklem kurma ve yaşlar arasındaki oranı belirleme
B+C=43C  ⟹  3B+3C=4C  ⟹  3B=CB + C = \frac{4}{3}C \implies 3B + 3C = 4C \implies 3B = C elde edilir.
Ayhan ile Burak'ın gelecekteki yaş oranından Cenk ile Burak arasındaki yaş ilişkisini bulmak için.
4
Bulunan yaşları karşılaştırarak doğum yıllarını sıralama
B=xB = x için A=2xA = 2x ve C=3xC = 3x olur. Yaş sıralaması B<A<CB < A < C şeklindedir. Yaşı büyük olanın doğum yılı daha eskidir, dolayısıyla en eskiden en yeniye sıralama Cenk, Ayhan, Burak şeklindedir.
Yaş ile doğum yılı arasındaki ters orantı ilişkisini kullanarak nihai sıralamayı belirlemek için.

Anahtar Kavram

Yaş Problemleri ve Doğum Yılı İlişkisi
Soru 11Soru →

Bir ailede anne, baba ve iki çocuk bulunmaktadır. Bu ailedeki bireylerin yaşlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Babanın bugünkü yaşı, iki çocuğun bugünkü yaşları toplamından 2828 fazladır.
* Baba ile annenin yaşları farkı, çocuklar��n yaşları farkının 22 katına eşittir (baba, anneden büyüktür).
* Büyük çocuk doğduğunda anne 1919 yaşındaydı.
* 66 yıl sonra anne ile babanın yaşları toplamı, çocukların yaşları toplamının 33 katından 66 eksik olacaktır.

Buna göre, büyük çocuğun bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Büyük çocuğun bugünkü yaşı 15'tir.
Büyük çocuğun bugünkü yaşına xx, küçük çocuğun yaşına yy denilerek kurulan denklem sisteminde (2x−3y=92x - 3y = 9 ve x+2y=29x + 2y = 29), yerine koyma veya yok etme metodu uygulandığında büyük çocuğun yaşı 1515, küçük çocuğun yaşı ise 77 olarak hesaplanır. Dolayısıyla büyük çocuğun yaşının 15 olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin tanımlanması ve ilk denklemlerin kurulması
Büyük çocuğun bugünkü yaşına xx, küçük çocuğun bugünk�� yaşına yy diyelim. Çocukların yaşları toplamı S=x+yS = x + y ve yaşları farkı d=x−yd = x - y olsun. Babanın bugünkü yaşı BB ve annenin bugünkü yaşı AA olsun. Verilenlere göre: B=S+28=x+y+28B = S + 28 = x + y + 28. Baba ile annenin yaş farkı: B−A=2d  ⟹  A=B−2d  ⟹  A=x+y+28−2(x−y)=3y−x+28B - A = 2d \implies A = B - 2d \implies A = x + y + 28 - 2(x - y) = 3y - x + 28.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
Anne ile büyük çocuk arasındaki yaş ilişkisinin kurulması
Büyük çocuk doğduğunda anne 19 yaşında olduğuna göre, anne ile büyük çocuğun yaş farkı sabittir ve 19'dur. Yani A−x=19  ⟹  A=x+19A - x = 19 \implies A = x + 19. Bir önceki adımda bulduğumuz AA ifadesini eşitlersek: x+19=3y−x+28  ⟹  2x−3y=9x + 19 = 3y - x + 28 \implies 2x - 3y = 9 elde edilir.
Anne ile çocukların yaşları arasındaki ilişkiyi tek bir denklemde birleştirmek için.
3
Gelecekteki yaş durumunun denkleme dökülmesi
66 yıl sonra anne ile babanın yaşları toplamı: (A+6)+(B+6)=A+B+12(A + 6) + (B + 6) = A + B + 12. Çocukların yaşları toplamı ise: (x+6)+(y+6)=x+y+12(x + 6) + (y + 6) = x + y + 12 olacaktır. Verilen bağıntıya göre: A+B+12=3(x+y+12)−6  ⟹  A+B+12=3x+3y+30  ⟹  A+B=3x+3y+18A + B + 12 = 3(x + y + 12) - 6 \implies A + B + 12 = 3x + 3y + 30 \implies A + B = 3x + 3y + 18 elde edilir.
Zamanın geçmesiyle bireylerin yaşlarındaki artışı doğru yansıtıp ikinci ana denklemi kurmak için.
4
Denklemlerin birleştirilmesi ve sistemin çözülmesi
A=x+19A = x + 19 ve B=x+y+28B = x + y + 28 değerlerini son bulduğumuz denklemde yerine yazalım: (x+19)+(x+y+28)=3x+3y+18  ⟹  2x+y+47=3x+3y+18  ⟹  x+2y=29(x + 19) + (x + y + 28) = 3x + 3y + 18 \implies 2x + y + 47 = 3x + 3y + 18 \implies x + 2y = 29 elde edilir. Şimdi elimizde iki bilinmeyenli iki denklem var:
1) 2x−3y=92x - 3y = 9
2) x+2y=29  ⟹  x=29−2yx + 2y = 29 \implies x = 29 - 2y.
Birinci denklemde xx yerine 29−2y29 - 2y yazarsak: 2(29−2y)−3y=9  ⟹  58−7y=9  ⟹  7y=49  ⟹  y=72(29 - 2y) - 3y = 9 \implies 58 - 7y = 9 \implies 7y = 49 \implies y = 7 bulunur. Buradan x=29−2(7)=15x = 29 - 2(7) = 15 elde edilir.
Elde edilen tüm bağıntıları kullanarak büyük çocuğun bugünkü yaşını bulmak için.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde yaş farkının zamanla değişmediği bilgisini kullanarak denklem kurma ve iki bilinmeyenli denklem sistemlerini çözme.
Soru 12Soru →

Ahmet, Berk ve Cenk adındaki üç arkadaşın bugünkü yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Cenk doğduğunda Berk 66 yaşındaydı.
* Ahmet ile Berk'in bugünkü yaşları farkı, Cenk'in bugünkü yaşının yarısına eşittir.
* Ahmet, Berk'ten daha büyüktür.

Buna göre, bu üç kişinin bugünkü yaşlarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

En küçükten en büyüğe doğru yaş sıralaması Cenk, Berk ve Ahmet şeklindedir.
Cenk doğduğunda Berk 66 yaşında olduğundan Berk, Cenk'ten büyüktür. Ahmet de Berk'ten büyük olduğuna göre en büyük Ahmet, en küçük ise Cenk olur. Dolayısıyla küçükten büyüğe sıralama Cenk, Berk ve Ahmet şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin yaşlarını değişkenlerle ifade edip ilk veriyi denkleme dökmek.
Ahmet'in yaşına AA, Berk'in yaşına BB, Cenk'in yaşına CC diyelim. Cenk doğduğunda Berk 66 yaşında olduğuna göre B=C+6B = C + 6 olur. Bu durumda Berk, Cenk'ten büyüktür (B>CB > C).
Kişiler arasındaki yaş ilişkilerini matematiksel olarak karşılaştırabilmek.
2
İkinci ve üçüncü verileri kullanarak Ahmet ile Berk arasındaki yaş ilişkisini yazmak.
Ahmet, Berk'ten büyük olduğu için yaş farkı A−BA - B olur. Bu fark Cenk'in yaşının yarısına eşit olduğundan A−B=C2A - B = \frac{C}{2} yazılır. Buradan A=B+C2A = B + \frac{C}{2} elde edilir.
Ahmet ve Berk'in yaş farkını Cenk'in yaşı cinsinden ifade etmek.
3
Elde edilen denklemleri birleştirip tüm yaşları Cenk'in yaşı cinsinden sıralamak.
A=(C+6)+C2=1,5C+6A = (C + 6) + \frac{C}{2} = 1,5C + 6 olur. Cenk'in yaşı pozitif bir değer (C>0C > 0) olduğundan, A=B+C2>BA = B + \frac{C}{2} > B ve B=C+6>CB = C + 6 > C eşitsizlikleri geçerlidir. Buradan C<B<AC < B < A sıralaması elde edilir.
Tüm yaşları tek bir değişken cinsinden karşılaştırarak kesin sıralamayı bulmak.

Anahtar Kavram

Yaş Problemleri
Soru 13Soru →

İki çocuklu bir annenin bugünkü yaşı, çocuklarının bugünkü yaşları toplamının 22 katıdır.

Çocukların yaşları farkı 44 olduğuna göre, 44 yıl sonra annenin yaşı çocuklarının yaşları farkının 1111 katı olacaktır.

Buna göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Annenin bugünkü yaşı 40'tır.
Çocukların yaş farkı her zaman sabit kalıp 44 olacağından, 44 yıl sonra annenin yaşı bu farkın 1111 katı yani 11×4=4411 \times 4 = 44 olur. Annenin bugünkü yaşı ise 44−4=4044 - 4 = 40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çocukların yaşları farkının zaman içindeki değişimini belirlemek.
Çocukların bugünkü yaşları farkı 44 ise, 44 yıl sonra da bu fark değişmeyerek 44 kalacaktır.
Yaş problemlerinde iki kişi arasındaki yaş farkı yıllar geçse de her zaman sabittir.
2
Annenin 44 yıl sonraki yaşını veren denklemi kurmak ve çözmek.
Annenin bugünkü yaşına AA dersek, 44 yıl sonraki yaşı A+4A + 4 olur. Bu yaş farkının 1111 katına eşit olduğuna göre: A+4=11×4  ⟹  A+4=44  ⟹  A=40A + 4 = 11 \times 4 \implies A + 4 = 44 \implies A = 40 bulunur.
Soruda verilen gelecekteki yaş ilişkisinden yararlanarak annenin bugünkü yaşını bulmak.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde iki kişi arasındaki yaş farkının zamanla değişmediği gerçeği ve zaman geçişinin kişilerin yaşlarına doğrusal etkisi.
Soru 14Soru →

Can, Umut ve Efe adındaki üç arkadaşın yaşları arasındaki ilişkiler şu şekildedir:

* Can, Umut'tan 33 yaş büyüktür.
* Umut, Efe'den 55 yaş küçüktür.

Buna göre; Can, Umut ve Efe'nin doğum yıllarını en eskiden (en erken doğum yılından) en yeniye (en geç doğum yılına) doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğum yıllarının en eskiden en yeniye doğru sıralaması sırasıyla Efe'nin doğum yılı, Can'ın doğum y��lı ve Umut'un doğum yılı şeklindedir.
Yaş sıralaması en büyükten en küçüğe doğru Efe, Can ve Umut şeklindedir. Yaşı daha büyük olanın doğum yılı daha eski olacağından doğru sıralama Efe, Can ve Umut sırasıyla olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kişilerin yaşlarını karşılaştırabilmek amacıyla bir değişken tanımlayalım.
Umut'un yaşı xx olsun.
Diğer kişilerin yaşlarını ortak bir bilinmeyen cinsinden yazarak sıralama yapmayı kolaylaştırmak.
2
Can ve Efe'nin yaşlarını Umut'un yaşı olan xx cinsinden ifade edelim.
Can'ın yaşı x+3x + 3 olur. Umut, Efe'den 55 yaş küçük olduğuna göre Efe, Umut'tan 55 yaş büyüktür. Bu durumda Efe'nin yaşı x+5x + 5 olur.
Verilen sözel ifadeleri matematiksel ifadelere dönüştürmek.
3
Üç kişinin yaşlarını büyüklüklerine göre sıralayalım.
Yaşlar arasında x+5>x+3>xx + 5 > x + 3 > x ilişkisi vardır. Dolayısıyla yaş sıralaması Efe > Can > Umut şeklindedir.
Doğum yılı sıralamasına geçmeden önce yaş hiyerarşisini kurmak.
4
Yaş sıralamasından yararlanarak doğum yıllarını eskiden yeniye doğru sıralayalım.
Yaşı daha büyük olan kişinin doğum yılı daha eskidir. Buna göre doğum yılı en eski olan Efe, ardından Can ve en yeni olan Umut'tur.
Yaş ile doğum yılı arasındaki ters yönlü ilişkiyi uygulamak.

Anahtar Kavram

Yaş ile doğum yılı arasındaki ters ilişki: Yaşı büyük olan kişinin doğum yılı sayısal olarak daha küçüktür (daha eskidir).
Soru 15Soru →

Bir ailedeki üç kardeş olan Ahmet, Berk ve Cihan'ın yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ahmet ile Berk'in yaşları farkı, Berk ile Cihan'ın yaşları farkına eşittir.
* Cihan, Berk'in bugünkü yaşına geldiğinde; üçünün yaşları toplamı, Ahmet ile Cihan'ın bugünkü yaşları toplamının 22 katı olmaktadır.
* Ahmet'in doğum yılı, Berk'in doğum yılından 66 yıl öncedir.

Buna göre, en küçük kardeşin bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

En küçük kardeş Cihan'ın bugünkü yaşı 12'dir.
Doğru seçenekte belirtilen 12 yaş, soruda verilen tüm koşulları (yaş farklarının eşitliği, Ahmet'in Berk'ten 6 yaş büyük olması ve Cihan Berk'in yaşına geldiğinde yaşlar toplamının Ahmet ile Cihan'ın bugünkü yaşları toplamının 2 katı olması) eksiksiz sağlamaktadır. Denklem çözüldüğünde en küçük kardeş Cihan'ın yaşı doğrudan 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kardeşlerin bugünkü yaşlarını değişkenlerle ifade edip yaş sıralamasını belirleme.
Ahmet'in bugünkü yaşı aa, Berk'in bugünkü yaşı bb ve Cihan'ın bugünkü yaşı cc olsun. Ahmet'in doğum yılı Berk'ten 66 yıl önce olduğundan Ahmet, Berk'ten 66 yaş büyüktür (a−b=6a - b = 6). Yaş farkları eşit olduğundan ve Ahmet en büyük olduğundan a>b>ca > b > c sırası bulunur. Buradan b−c=a−b=6b - c = a - b = 6 elde edilir. Dolayısıyla b=c+6b = c + 6 ve a=c+12a = c + 12 olur.
Kardeşlerin yaş ilişkilerini tek bir bilinmeyen (cc) cinsinden yazmak için.
2
Cihan'ın Berk'in yaşına geldiği gelecekteki durumu modelleme.
Cihan'ın (cc), Berk'in bugünkü yaşına (c+6c + 6) gelmesi için 66 yıl geçmelidir. 66 yıl sonra kardeşlerin yaşları sırasıyla Ahmet: a+6=c+18a + 6 = c + 18, Berk: b+6=c+12b + 6 = c + 12, Cihan: c+6c + 6 olacaktır. Bu durumda üçünün yaşları toplamı (c+18)+(c+12)+(c+6)=3c+36(c + 18) + (c + 12) + (c + 6) = 3c + 36 olur.
Gelecekteki yaşlar toplamını bulmak için.
3
Verilen eşitliği kullanarak denklem kurma ve en küçük kardeşin yaşını bulma.
Gelecekteki yaşlar toplamı (3c+363c + 36), Ahmet ile Cihan'ın bugünkü yaşları toplamının (a+c=c+12+c=2c+12a + c = c + 12 + c = 2c + 12) 22 katına eşittir. Denklem: 3c+36=2(2c+12)  ⟹  3c+36=4c+24  ⟹  c=123c + 36 = 2(2c + 12) \implies 3c + 36 = 4c + 24 \implies c = 12 bulunur.
Cihan'ın bugünkü yaşını bulmak için denklemi çözüyoruz.

Anahtar Kavram

Yaş Problemleri (Yaş farkının sabitliği ve zamanla yaşların eşit miktarda artması)
Soru 16Soru →

Bir dede ile Akif, Buse ve Can isimli üç torununun yaşları ve doğum yıllarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Akif, Buse'den 33 yaş büyüktür.
* Can doğduğunda dedesi 6363 yaşındaydı.
* Can, Buse'nin bugünkü yaşına geldiğinde dedenin yaşı, üç torunun yaşları toplamından 1010 fazla olacaktır.
* Akif, Can'ın bugünkü yaşındayken dedenin yaşı, üç torunun yaşları toplamının 22 katından 22 fazlaydı.

Buna göre, Buse'nin bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Buse'nin bugünkü yaşı 20'dir.
Buse'nin bugünkü yaşının 20 olması durumunda, Can 15, Akif 23 ve dede 78 yaşındadır. 5 yıl sonra Can Buse'nin bugünkü yaşına (20) geldiğinde dede 83 yaşında olur ve torunların yaş toplamı (28 + 25 + 20 = 73) dedenin yaşından 10 eksik olur. Benzer şekilde, 8 yıl önce Akif Can'ın bugünkü yaşındayken (15) dede 70 yaşındadır ve torunların yaş toplamı (15 + 12 + 7 = 34) dedenin yaşının yarısından 1 eksiktir. Bu durum verilen tüm koşulları sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve yaşlar arasındaki ilişkileri kurma
Akif (aa), Buse (bb), Can (cc) ve dedenin (dd) bugünkü yaşları olsun. Verilen bilgilere göre: a=b+3a = b + 3 ve d=c+63d = c + 63 denklemleri kurulur.
Problemi cebirsel olarak ifade edebilmek için başlangıç değişkenleri belirlenir.
2
Buse'nin ifadesini denklemleştirme
Can'ın Buse'nin yaşına gelmesi için b−cb - c yıl geçmelidir. Bu süre sonunda torunların yaşları toplamı b+(2b−c)+(a+b−c)=5b−2c+3b + (2b - c) + (a + b - c) = 5b - 2c + 3 olur. Dedenin yaşı ise d+b−cd + b - c olur. Verilen ilişkiyle d+b−c=(5b−2c+3)+10  ⟹  d=4b−c+13d + b - c = (5b - 2c + 3) + 10 \implies d = 4b - c + 13 denklemi elde edilir.
Gelecekteki yaş durumları ve aralarındaki ilişki modellenir.
3
Dedenin ifadesini denklemleştirme
Akif'in Can'ın bugünkü yaşındayken olduğu zaman a−ca - c yıl öncesidir. Bu süre önce torunların yaşları toplamı c+(b−a+c)+(c−a+c)=4c−b−6c + (b - a + c) + (c - a + c) = 4c - b - 6 olur. Dedenin yaşı ise d−a+cd - a + c olur. Verilen ilişkiyle d−a+c=2(4c−b−6)+2  ⟹  d=7c−b−7d - a + c = 2(4c - b - 6) + 2 \implies d = 7c - b - 7 denklemi elde edilir.
Geçmişteki yaş durumları ve aralarındaki ilişki modellenir.
4
Denklem sistemini çözerek Buse'nin yaşını bulma
d=c+63d = c + 63 ifadesi diğer iki denklemde yerine yazıldı��ında 2b−c=252b - c = 25 ve b=6c−70b = 6c - 70 denklemleri elde edilir. İlk denklemden c=2b−25c = 2b - 25 çekilip ikincide yerine yazılırsa: b=6(2b−25)−70  ⟹  b=12b−220  ⟹  11b=220  ⟹  b=20b = 6(2b - 25) - 70 \implies b = 12b - 220 \implies 11b = 220 \implies b = 20 bulunur.
Elde edilen bağımsız denklemler ortak çözülerek Buse'nin yaşı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçtikçe gruptaki her bireyin yaşının aynı miktarda değişmesi ve yaş farklarının sabit kalması ilkesi.
Soru 17Soru →

Arda ile Buket'in bugünkü yaşları toplamı 3232'dir. Arda, Buket'in bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 4040 olacağına göre, Arda'nın bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Arda'nın bugünkü yaşı 14'tür.
Arda ve Buket'in bugünkü yaşları toplamı 3232'dir. Arda, Buket'in yaşına geldiğinde ikisi de aynı süre (tt yıl) kadar yaşlanmış olur. Bu sürede yaşları toplamı 3232'den 4040'a çıkarak 88 artmıştır. İki kişi oldukları için geçen süre t=8/2=4t = 8 / 2 = 4 yıldır. Dolayısıyla Buket, Arda'dan 44 yaş büyüktür. Yaşları toplamı 3232, farkı 44 olan iki kişiden yaşı küçük olan Arda'nın yaşı 1414 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlayın ve ilk denklemi kurun.
Arda'nın bugünkü yaşına aa, Buket'in bugünkü yaşına bb dersek (b>ab > a), bugünkü yaşları toplamı a+b=32a + b = 32 olur.
Soruda verilen bugünkü yaşlar toplamını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Arda'nın Buket'in yaşına gelmesi için geçen süreyi belirleyin.
Geçen süre b−ab - a yıldır.
Gelecekteki yaşları hesaplamak için geçmesi gereken süreyi bulmak amacıyla.
3
Gelecekteki yaşları ve yeni yaşlar toplamı denklemini kurun.
b−ab - a yıl sonra Arda bb, Buket ise b+(b−a)=2b−ab + (b - a) = 2b - a yaşında olur. Yaşları toplamı: b+(2b−a)=3b−a=40b + (2b - a) = 3b - a = 40 olur.
Soruda verilen gelecekteki yaşlar toplamı bilgisini denklem haline getirmek için.
4
Ende edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.
a+b=32a + b = 32 ve 3b−a=403b - a = 40 denklemleri taraf tarafa toplanırsa: 4b=72  ⟹  b=184b = 72 \implies b = 18 bulunur.
Bilinmeyenlerden birini yok ederek diğerinin değerine ulaşmak için.
5
Arda'nın bugünkü yaşını hesaplayın.
a+18=32  ⟹  a=14a + 18 = 32 \implies a = 14 olur.
Buket'in yaşını kullanarak Arda'nın yaşını bulmak için.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçtikçe her iki kişinin de aynı miktarda yaşlanacağı ve yaş farkının sabit kalacağı bilgisi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →

Bir tenis antrenörü ile sporcusunun yaşları hakkında aşağıdakiler bilinmektedir:

* Antrenörün bugünkü yaşı, sporcusunun bugünkü yaşının 44 katıdır.
* 66 yıl sonra antrenörün yaşı, sporcusunun yaşının 33 katı olacaktır.

Buna göre, sporcunun bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Sporcunun bugünkü yaşı 12'dir.
Sporcunun bugünkü yaşına xx dediğimizde antrenörün bugünkü yaşı 4x4x olur. 6 yıl sonra antrenör 4x+64x+6, sporcu ise x+6x+6 yaşında olacaktır. Antrenörün yaşı sporcunun yaşının 3 katı olacağından 4x+6=3(x+6)4x+6 = 3(x+6) denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde 4x+6=3x+184x+6 = 3x+18 ve buradan x=12x=12 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sporcunun bugünkü yaşına bir bilinmeyen atama.
Sporcunun bugünkü yaşı xx ise antrenörün bugünkü yaşı 4x4x olur.
Antrenörün yaşının sporcunun yaşının 4 katı olduğu bilgisini matematiksel olarak ifade etmek amacıyla bu adım uygulanır.
2
Kişilerin 6 yıl sonraki yaşlarını ifade etme.
Sporcunun 6 yıl sonraki yaşı x+6x + 6, antrenörün 6 yıl sonraki yaşı 4x+64x + 6 olur.
Zaman geçerken her iki kişinin de yaşı aynı miktarda (6 yıl) artar.
3
6 yıl sonraki yaş ilişkisine göre denklem kurma ve çözme.
4x+6=3(x+6)⇒4x+6=3x+18⇒x=124x + 6 = 3(x + 6) \Rightarrow 4x + 6 = 3x + 18 \Rightarrow x = 12 bulunur.
6 yıl sonra antrenörün yaşının sporcunun yaşının 3 katı olacağı bilgisiyle denklemi çözüp sporcunun bugünkü yaşına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zaman geçtikçe gruptaki her bireyin yaşının aynı miktarda artması ve doğrusal denklemler yardımıyla modellenmesi.
Soru 19Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan Eser ve Fahri'nin yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Eser'in bugünkü yaşının, Fahri'nin bugünkü yaşına oranı 34\frac{3}{4}'tür.
* Eser, Fahri'nin bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 7272 olacaktır.

Buna göre, Eser'in bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Eser'in bugünkü yaşı 24'tür.
Eser'in bugünkü yaşı 3k3k ve Fahri'nin bugünkü yaşı 4k4k alındığında, Eser Fahri'nin yaşına geldiğinde aradan kk yıl geçmiş olur. Bu durumda Eser 4k4k, Fahri ise 5k5k yaşında olur. İkisinin yaşları toplamı 4k+5k=9k=72  ⟹  k=84k + 5k = 9k = 72 \implies k = 8 olarak bulunur. Eser'in bugünkü yaşı ise 3k=3×8=243k = 3 \times 8 = 24 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Eser ve Fahri'nin bugünkü yaşlarını verilen orana göre değişken cinsinden ifade etmek.
Eser'in bugünkü yaşı 3k3k, Fahri'nin bugünkü yaşı 4k4k olur.
Yaşlarının oranı 34\frac{3}{4} olarak belirtilmiştir.
2
Eser'in Fahri'nin yaşına gelmesi için geçmesi gereken süreyi ve bu süredeki yaş değişimlerini belirlemek.
Geçen süre 4k−3k=k4k - 3k = k yıldır. Bu süre zarfında Eser 4k4k yaşına ulaşırken, Fahri de kk yıl yaşlanarak 4k+k=5k4k + k = 5k yaşına gelir.
Zaman herkes için aynı miktarda ilerler ve yaş farkı zamanla değişmez.
3
Gelecekteki yaşları toplamını verilen değere eşitleyerek kk orantı sabitini ve Eser'in bugünkü yaşını bulmak.
4k+5k=9k=72  ⟹  k=84k + 5k = 9k = 72 \implies k = 8 bulunur. Buradan Eser'in bugünkü yaşı 3k=3×8=243k = 3 \times 8 = 24 olarak hesaplanır.
Gelecekteki yaşlarının toplamının 72 olacağı soruda verilmiştir.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zamanın herkes için aynı miktarda geçmesi ve yaş farkının sabit kalması ilkesi.
Soru 20Soru →

Selin, Umut ve Tolga adındaki üç arkadaşın yaşları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Tolga, Umut'tan; Umut da Selin'den büyüktür.
* Tolga ile Selin'in bugünkü yaşları farkı, Umut ile Selin'in bugünkü yaşları farkının 33 katına eşittir.
* Selin, Umut'un bugünkü yaşına geldiğinde; Tolga'nın ya��ı, Selin ve Umut'un o günkü yaşları toplamından 88 eksik olacaktır.
* Bu üç arkadaşın bugünkü yaşları toplamı 5252'dir.

Buna göre, Selin'in bugünkü yaşı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Selin'in bugünkü yaşı 12'dir.
Selin, Umut ve Tolga'nın bugünkü yaşları sırasıyla 12, 16 ve 24 olarak bulunur. Koşullar sağlandığında Selin'in bugünkü yaşının 12 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Arkadaşların bugünkü yaşlarını değişkenler cinsinden ifade etme
Selin'in bugünkü yaşına SS, Umut'un bugünkü yaşına UU, Tolga'nın bugünkü yaşına TT diyelim. T>U>ST > U > S olduğu bilinmektedir. Umut ile Selin'in bugünkü yaşları farkı U−S=xU - S = x olsun (x>0x > 0). Bu durumda U=S+xU = S + x olur. Tolga ile Selin'in bugünkü yaşları farkı (T−ST - S), Umut ile Selin'in bugünkü yaşları farkının (xx) 33 katı olduğuna göre: T−S=3x  ⟹  T=S+3xT - S = 3x \implies T = S + 3x olur.
Yaşlar arasındaki fark ilişkisini kullanarak bilinmeyen sayısını azaltmak.
2
Selin'in Umut'un bugünkü yaşına gelmesi durumu için o günkü yaşları bulma
Selin'in Umut'un bugünkü yaşına (S+xS + x) gelmesi için geçen süre xx yıldır. Bu xx yıl sonunda her bir kişinin yaşı xx artacaktır:
Selin'in yaşı: S+xS + x
Umut'un yaşı: U+x=S+2xU + x = S + 2x
Tolga'nın yaşı: T+x=S+4xT + x = S + 4x olur.
Selin'in Umut'un yaşına gelmesi için geçen sürenin herkesin yaşını aynı miktarda artıracağını belirlemek.
3
Gelecekteki yaş ilişkisini denklem haline getirme
Tolga'nın o günkü yaşı (S+4xS + 4x), Selin ve Umut'un o günkü yaşları toplamından (S+x+S+2x=2S+3xS + x + S + 2x = 2S + 3x) 88 eksik olacağına göre:
S+4x=(2S+3x)−8S + 4x = (2S + 3x) - 8
S+4x=2S+3x−8  ⟹  S=x+8S + 4x = 2S + 3x - 8 \implies S = x + 8 denklemi elde edilir.
Tolga'nın gelecekteki yaşının, Selin ile Umut'un o günkü yaşları toplamıyla olan ilişkisini denklemleştirmek.
4
Bugünkü yaşlar toplamını kullanarak sistemi çözme ve Selin'in yaşını bulma
Üç arkadaşın bugünkü yaşları toplamı 5252 olduğuna göre:
S+U+T=52S + U + T = 52
S+(S+x)+(S+3x)=52  ⟹  3S+4x=52S + (S + x) + (S + 3x) = 52 \implies 3S + 4x = 52
Elde ettiğimiz S=x+8S = x + 8 ifadesini bu denklemde yerine yazalım:
3(x+8)+4x=523(x + 8) + 4x = 52
3x+24+4x=52  ⟹  7x=28  ⟹  x=43x + 24 + 4x = 52 \implies 7x = 28 \implies x = 4 bulunur.
Buradan Selin'in bugünkü yaşı:
S=x+8=4+8=12S = x + 8 = 4 + 8 = 12 olarak elde edilir.
Üç arkadaşın bugünkü yaşları toplamının 52 olmasını kullanarak her iki değişkeni de hesaplamak.

Anahtar Kavram

Yaş problemlerinde zamanın herkes için aynı miktarda ilerlemesi ve iki kişi arasındaki yaş farkının yıllar geçse de değişmemesi esastır.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma veya seçeneklerden giderek de çözüme ulaşılabilir. Örneğin, Selin'in yaşı 12 olarak alındığında; yaş farkı ilişkisinden Umut 16, Tolga 24 yaşında olur (yaşlar toplamı 12+16+24=52 sağlar). 4 yıl sonra Selin 16, Umut 20, Tolga 28 yaşında olur. Tolga'nın yaşı (28), Selin ile Umut'un yaşları toplamından (16+20=36) 8 eksik olup koşulu doğrular.
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 4Sonraki
Yaş Problemleri Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin